泰州市2009～2010学年度第一学期期末联考高三数学试题(考试时间：120分钟+30分钟 总分160分+40分)命题人：朱占奎 范继荣 龚才权 （江苏省靖江高级中学） 审题人：孟 泰（姜堰市教研室）石志群（泰州市教研室）注意事项：所有试题的答案均填写在答题纸上，答案写在试卷上的无效．A ．必做题部分一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上。
）1．已知集合{}1,2,3A =，{}2,B a =，若{}0,1,2,3A B = ，则a 的值为______▲_______．2．若函数2sin()4y a ax π=+的最小正周期为π，则正实数a =______▲_______．3．设()f x 是定义在R 上的奇函数，且(3)(2)2f f +-=，则(2)(3)f f -=______▲_______．4．3sin 5α=，3cos 5β=，其中(0,)2παβ∈、，则αβ+=______▲_______．5．已知双曲线:C 22221(0,0)x y a b ab-=>>的实轴长为2，离心率为2，则双曲线C 的焦点坐标 是______▲_______．6．右边的流程图最后输出的n 的值 是______▲_______．7．已知函数)1,0(log )(≠>=a a x x f a，若)3()2(f f <，则实数a 的取值范围是____▲______．8．若数列{}n a 是各项均为正数的等比数列，则当n b ={}n b 也是等比数列；类比上述性质，若数列{}n c 是等差数列，则当n d =______▲_______时，数列{}n d 也是等差数列． 9．i 是虚数单位，若32()4a bi i a b R i+=+∈-、，则a b +的值是______▲_______．10．通项公式为2n a an n =+的数列{}n a ，若满足12345a a a a a <<<<，且1n n a a +>对8n ≥恒成立，则实数a 的取值范围是______▲_______．11．正三棱锥S A B C -中，2B C =，SB =，D E 、分别是棱SA SB 、上的点，Q 为边A B的中点，SQ CDE ⊥平面，则三角形C D E 的面积为______▲_______．12．点(,)a b 在两直线1-=x y 和3-=x y 之间的带状区域内（含边界），则(,)f a b =22244a ab b a b -++-的最小值为______▲_______．13．等腰直角三角形ABC 中，90A ∠=︒，AB =，A D 是B C 边上的高，P 为A D 的中点，点M N 、分别为A B 边和A C 边上的点，且M N 、关于直线A D 对称，当12P M P N ⋅=-时，A M M B=______▲_______．14．已知实数x s t 、、满足：89x t s +=，且x s >-，则2()1x s t x st x t+++++的最小值为______▲_______．二、解答题：（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15．（本小题满分14分）如图，在底面为菱形的直四棱柱1111ABC D A B C D -中，E F 、分别为11A B 、11B C 的中点，G 为D F 的中点；（1）求证：E F ⊥平面11B BD D ； （2）求证：E G ∥平面11AA D D ．16．（本小题满分14分）在A B C ∆中，角A B C 、、所对的对边长分别为a b c 、、； （1）设向量)sin ,(sin C B x =，向量)cos ,(cos C B y =， 向量)cos ,(cos C B z -=，若)//(y x z +，求tan tan B C +的值；（2）已知228a c b -=，且sin cos 3cos sin 0A C A C +=，求b ．AB CDA 1B 1C 1D 1EGF17．（本小题满分14分）甲、乙两水池某时段的蓄水量随时间变化而变化，甲水池蓄水量（百吨）与时间t （小时）的关系是：()2sin ,[0,12]f t t t =+∈，乙水池蓄水量（百吨）与时间t （小时）的关系是：]12,0[,65)(∈--=t t t g ．问：何时甲、乙两水池蓄水量之和达到最大值？最大值为多少？（参考数据：sin 60.279≈-）．18．（本小题满分16分）已知椭圆C 的方程为22221(0)x y a b ab+=>>，点A B 、分别为其左、右顶点，点12F F 、分别为其左、右焦点，以点A 为圆心，1A F 为半径作圆A ；以点B 为圆心，O B 为半径作圆B ；若直线:3l y x =-被圆A 和圆B6；（1）求椭圆C 的离心率；（2）己知a =7，问是否存在点P ，使得过P 点有无数条直线被圆A 和圆B 截得的弦长之比为34；若存在，请求出所有的P 点坐标；若不存在，请说明理由．19．（本小题满分16分）已知各项均为整数的数列{}n a 满足：91a =-，134a =，且前12项依次成等差数列，从第11项起依次成等比数列． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若存在正整数m p 、使得：11m m m p m m m p a a a a a a +++++++= ，请找出所有的有序数对(,)m p ，并证明你的结论．20．（本小题满分16分）已知函数2()()f x x x a =-，2()(1)g x x a x a =-+-+（其中a 为常数）； （1）如果函数()y f x =和()y g x =有相同的极值点，求a 的值；（2）设0a >，问是否存在0(1,)3ax ∈-，使得00()()f x g x >，若存在，请求出实数a 的取值范围；若不存在，请说明理由．（3）记函数()[()1][()1]H x f x g x =-⋅-，若函数()y H x =有5个不同的零点，求实数a 的取值范围．B ．附加题部分三、附加题部分（本大题共6小题，其中第21～24题为选做题，请考生在第21～24题中任选2个小题作答，如果多做，则按所选做的前两题记分;第25和第26题为必做题．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 21．（本小题为选做题．．．，满分10分） 如图，点,M N 分别是正A B C ∆的边,AB AC 的中点，直线M N 与A B C ∆的外接圆的一个交点为P ．设正A B C ∆3（1）求线段A B 的长； （2）求线段PM 的长．22．（本小题为选做题．．．，满分10分）{(,),,A x y x y m ααα===+为参数}，{(,)3,3,B x y x t y t t ==+=-为参数}，且A B ≠∅ ，求实数m 的取值范围．APMNBC．．．已知在二阶矩阵M 对应变换的作用下，四边形A B C D 变成四边形''''A B C D ，其中(1,1)A ，(1,1)B -， (1,1)C --，'(3,3)A -，'(1,1)B ，'(1,1)D --．（1）求出矩阵M ；（2）确定点D 及点'C 的坐标．24．（本小题为选做题．．．，满分10分） 已知,,a b c R ∈，证明不等式： （1）66622218227a b c a b c ++≥；（2）22249236a b c ab ac bc ++≥++．．．．已知边长为6的正方体1111ABC D A B C D -，,E F 为AD CD 、上靠近D 的三等分点，H 为1B B 上靠近B 的三等分点，G 是E F 的中点. （1）求1A H 与平面E F H 所成角的余弦值； （2）设点P 在线段G H 上，且G P G Hλ=，试确定λ的值，使得1C P 的长度最短．FE EG 1B 1A C DAB1C 1D PH．．．设函数(,)1(0,0)xm f x y m y y ⎛⎫=+>> ⎪⎝⎭.（1）当3m =时，求(6,)f y 的展开式中二项式系数最大的项；（2）若31240234(4,)a a a a f y a yyyy=++++且332a =，求4i i a =∑；（3）设n 是正整数，t 为正实数，实数t 满足(,1)(,)n f n m f n t =，求证：7(2010,)f f t >-．泰州市2009～2010学年度第一学期期末联考高三数学试题参考答案A ．必做题部分一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．）1．0 2．2 3．2- 4．2π5．(2,0)±6．9 7．),1(+∞ 8．12nc c c n++⋅⋅⋅+ 9． 1910．11(,)917-- 11412．5 13．3 14．6二、解答题：（本大题共6小题,共90分．） 15．（本小题满分14分）证明：（1）在111A B C ∆中，因为E F 、分别为11A B 、11B C 的中点，所以11//EF A C ， 因为底面1111A B C D 为菱形，所以1111A C B D ⊥，所以11EF B D ⊥，（3分）因为直四棱柱1111ABC D A B C D -，所以11111D D A B C D ⊥平面，又因为1111EF A B C D ⊂平面，所以1D D EF ⊥； 又1111B D DD D = ，所以E F ⊥平面11B BD D ．（7分） （2）延长F E 交11D A 的延长线于点H ，连接D H ， 因为E F 、分别为11A B 、11B C 的中点， 所以11EFB EH A ∆≅∆，所以H E EF =， 在FD H ∆中，因为G F 、分别为D F 、H F 的中点， 所以//G E D H ， （10分）又DA D A GE 11平面⊄，DA D A DH 11平面⊂， 故E G ∥平面11AA D D ．（14分）CABA 1B 1C 1D 1E GFH D16． （本小题满分14分）解：（1）)cos sin ,cos (sin C C B B y x ++=+，由)//(y x z +，得cos (sin cos )cos (sin cos )0C B B B C C +++=， （4分）即sin cos cos sin 2cos cos B C B C B C +=- 所以sin sin sin cos cos sin tan tan 2cos cos cos cos BCB C B CB C B C B C++=+==-； （7分）（2）由已知可得，sin cos 3cos sin A C A C =-，则由正弦定理及余弦定理有：222222322a b cb c aa c abbc+-+-⋅=-⋅， （10分）化简并整理得：2222a c b -=，又由已知228a c b -=，所以228b b =， 解得40()b b ==或舍，所以4b =．（14分）17．（本小题满分14分）解：设甲、乙两水池蓄水量之和为()()()H t f t g t =+，（1分） 当[0,6]t ∈时，()()()2sin 5(6)sin 1H t f t g t t t t t =+=++--=++，（3分）'()cos 10H t t =+≥，所以()H t 在[0,6]t ∈上单调递增，所以max [()](6)7sin 6H t H ==+；（7分）当]12,6(∈t 时，()()()2sin 5(6)sin 13H t f t g t t t t t =+=++--=-+， （9分）'()cos 10H t t =-≤，所以()H t 在]12,6(∈t 上单调递减，所以6sin 7)(+<t H ； （13分）故当t =6h 时，甲、乙两水池蓄水量之和()H t 达到最大值， 最大值为7+sin6百吨．（14分）（注：取最大值为6.721也算对）18．（本小题满分16分） 解：（1）由3l k =-，得直线l 的倾斜角为150︒，则点A 到直线l 的距离1sin(180150)2a d a =︒-︒=，故直线l 被圆A截得的弦长为1L ==，直线l 被圆B截得的弦长为22cos(180150)L a =︒-︒=， （3分）据题意有：126L L =6=， （5分）化简得：2163270e e -+=， 解得：74e =或14e =，又椭圆的离心率(0,1)e ∈；故椭圆C 的离心率为14e =．（7分）（2）假设存在，设P 点坐标为(,)m n ，过P 点的直线为L ； 当直线L 的斜率不存在时，直线L 不能被两圆同时所截； 故可设直线L 的方程为()y n k x m -=-，则点)0,7(-A 到直线L 的距离2117knkm k D ++--=，由（1）有14c e a==，得34A a r a c =-==421，故直线L 被圆A截得的弦长为1'L =，（9分）则点)0,7(B 到直线L 的距离2217knkm k D ++-=，7=B r ，故直线L 被圆B截得的弦长为2'L =（11分）据题意有：1234L L =，即有22221216()9()A B r D r D -=-，整理得1243D D =， 即2174knkm k ++-2173knkm k ++-=，两边平方整理成关于k 的一元二次方程得07)14350()3433507(222=++-++nk mn m k m m ， （13分）关于k 的方程有无穷多解，故有：⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧-==⇒⎪⎩⎪⎨⎧==+=++49010070143500343350722m n m n n mn n m m 或， 故所求点P 坐标为（－1，0）或（－49，0）． （16分）（注设过P 点的直线为m kx y +=后求得P 点坐标同样得分） 19． （本小题满分16分）解：（1）设由前12项构成的等差数列的公差为d ，从第11项起构成的等比数列的公比为q ，由421)31(21121213=+-+-==dd a a a 可得21q d =⎧⎨=⎩或659q d =⎧⎪⎨=⎪⎩，（3分）又数列{}n a 各项均为整数，故21q d =⎧⎨=⎩；所以1110,122,13n n n n a n N n *--≤⎧=∈⎨≥⎩； （6分）（2）数列{}n a 为：9,8,7,6,5,4,3,2,1,0,1,2,4,8,16,--------- 当1,,,m m m p a a a ++⋅⋅⋅均为负数时，显然10m m m p a a a ++++⋅⋅⋅+<，所以10m m m p a a a ++⋅⋅⋅<，即1,,,m m mpa a a ++⋅⋅⋅共有奇数项，即p 为偶数；又最多有9个负数项，所以8p ≤，2p =时，经验算只有(3)(2)(1)(3)(2)(1)-+-+-=-⋅-⋅-符合，此时7m =； 4,6,8p =时，经验算没有一个符合；故当1,,,m m m p a a a ++ 均为负数时，存在有序数对(7,2)符合要求． （8分）当1,,,m m m p a a a ++⋅⋅⋅均为正数时，11m m N *≥∈且， 1110111222m m m p m m m p a a a --+-++++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+111112(122)2(21)m p m p --+=++⋅⋅⋅+=-(1)11101111121121222(2)2(2)2p pm m m p m ppm pm m m p a a a +--+--++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅=⋅因为121p +-是比1大的奇数，所以1m m m p a a a ++++⋅⋅⋅+能被某个大于1的奇数（121p +-）整除，而(1)112(2)2p pm p+-⋅不存在大于1的奇约数，故1m m m p a a a ++++⋅⋅⋅+1m m m p a a a ++≠ ；故当1,,,m m m p a a a ++⋅⋅⋅均为正数时，不存在符合要求有序数对；（11分）当1,,,m m m p a a a ++⋅⋅⋅中既有正数又有负数，即1,,,m m m p a a a ++⋅⋅⋅中含有0时， 有10m m m p a a a ++⋅⋅⋅=，所以10m m m p a a a ++++⋅⋅⋅+=，（方法一）设负数项有(9)k k N k *∈≤,且，正数项有()l l N *∈， 则1,,,m m m p a a a ++⋅⋅⋅应是1,(1),(2),,2,1,0,1,2,,2l k k k ------⋅⋅⋅-- ，故有(1)212lk k +=-；经验算：1k =时，1l =，此时1,,,m m m p a a a ++⋅⋅⋅为1,0,1-，9,2m p ==； 2k =时，2l =，此时1,,,m m m p a a a ++⋅⋅⋅为2,1,0,1,2--，8,4m p ==；5k =时，4l =，此时1,,,m m m p a a a ++⋅⋅⋅为5,4,32,1,0,1,2,4,8-----，5,9m p ==；3,4,6,7,8,9k =时，均不存在符合要求的正整数l ；故当1,,,m m m p a a a ++⋅⋅⋅中既有正数又有负数时，存在三组有序数对(9,2)，(8,4)，(5,9)符合要求；（方法二）因为负数项只有九项，我们按负数项分类：含1个负数项时，1,0,1-，符合，此时9,2m p ==； 含2个负数项时，2,1,0,1,2--，符合，此时8,4m p ==； 含3个或4个负数项时，经验算不存在符合要求的；含5个负数项时， 5,4,32,1,0,1,2,4,8-----，符合，此时5,9m p ==； 含6个及6个以上负数项时，经验算不存在符合要求的；故当1,,,m m m p a a a ++⋅⋅⋅中既有正数又有负数时，存在三组有序数对(9,2)，(8,4)，(5,9)符合要求；综上，存在四组有序数对(9,2)，(8,4)，(5,9)，(7,2)符合要求． （16分）（注：只找出有序数对无说明过程，一个有序数对只给1分）20．（本小题满分16分）解：（1）2322()()2f x x x a x ax a x =-=-+，则22()34(3)()f x x ax a x a x a '=-+=--， 令()0f x '=，得x a =或3a ，而()g x 在12a x -=处有极大值，∴112a a a -=⇒=-，或1323a a a -=⇒=；综上：3a =或1a =-．（4分）（2）假设存在，即存在(1,)3a x ∈-，使得22()()()[(1)]f x g x x x a x a x a -=---+-+2()()(1)x x a x a x =-+-+2()[(1)1]0x a x a x =-+-+>，当(1,)3ax ∈-时，又0a >，故0x a -<，则存在(1,)3ax ∈-，使得2(1)10x a x +-+<，（6分）1当123a a->即3a >时，2(1)1033a aa ⎛⎫⎛⎫+-+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得332a a ><-或，3a ∴>； 2当1123a a --≤≤即03a <≤时，24(1)04a --<得13a a <->或，a ∴无解；综上：3a >．（9分）（3）据题意有()10f x -=有3个不同的实根， ()10g x -=有2个不同的实根，且这5个实根两两不相等．（ⅰ）()10g x -=有2个不同的实根，只需满足1()1132a g a a ->⇒><-或；（ⅱ）()10f x -=有3个不同的实根，1当3a a >即0a <时，()f x 在x a =处取得极大值，而()0f a =，不符合题意，舍； 2当3a a =即0a =时，不符合题意，舍； 3当3a a <即0a >时，()f x 在3a x =处取得极大值，()132af a >⇒>；所以2a >；因为（ⅰ）（ⅱ）要同时满足，故2a >；（注：343>a 也对） （12分）下证：这5个实根两两不相等，即证：不存在0x 使得0()10f x -=和0()10g x -=同时成立； 若存在0x 使得00()()1f x g x ==，由00()()f x g x =，即22000(1)x x a x a x a -=-+-+（）， 得20000(1)0x a x ax x --++=（）， 当0x a =时，00()()0f x g x ==，不符合，舍去；当0x a ≠时，既有200010x ax x -++= ①；又由0()1g x =，即200(1)1x a x a -+-+= ②；联立①②式，可得0a =；而当0a =时，32()[()1][()1](1)(1)0H x f x g x x x x =-⋅-=----=没有5个不同的零点，故舍去，所以这5个实根两两不相等．综上，当2a >()y H x =有5个不同的零点． （16分）B ．附加题部分三、附加题部分：21．（选做题）（本小题满分10分） 解：（1）设边长为x ，由正弦定理知sin 60x32x ⇒=； （5分）（2）延长P N 交圆于P '，设P M x =，可得1(1)12x x x ⋅+=⇒=. （10分）22．（选做题）（本小题满分10分）解：22{(,)()2}A x y x y m =+-=,{(,)6}B x y x y =+=， （5分）[4,8]m ≤⇒∈． （10分）23．（选做题）（本小题满分10分）解：（1）设⎥⎦⎤⎢⎣⎡=d cb aM ，则有⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡1111,3311d cb a d cb a ， 故⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=+--=+=+1133d c b a d c b a 解得1,2,2,1-=-===d c b a ，1221M ⎡⎤∴=⎢⎥--⎣⎦． （5分）（2）由⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡--33111221知，)3,3('-C ， 由⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--111131323231知，)1,1(-D ．（10分）24．（选做题）（本小题满分10分）证明：（1）由均值不等式可得6662221822733a b ca b c ++≥=，即66622218227a b c a b c ++≥，故所证成立．（5分）（2）因为 2244a b ab +≥ ①，224912b c bc +≥ ②，2296a c ac +≥ ③①②③式两边相加，得 22228184612a b c ab ac bc ++≥++ 即22249236a b c ab ac bc ++≥++，故所证成立． （10分）25．（必做题）（本小题满分10分）解：如图建系：可得(2,0,6)E ,(0,2,6)F ,(6,6,H （1）设(1,,)n x y = ，(2,2,0)EF =- ,(4,6,E H = 则2204620x x y -+=⎧⎨+-=⎩⇒(1,1,5)n = ；1(0,6,A H = 111cos ,9n A H n A H n A H⋅===设1A H 与平面E F H 所成角为θ，则cos 9θ=． （5分）（2）由题知(1,1,6)G ,1(0,6,0)C ,(5,5,2)G H =- ,设(5,5,2)G P G H λλλλ==-⇒(51,51,26)P λλλ++-+，()()2222215155(26)546458C P λλλλλ=++-+-=-+，当1627λ=时，1C P 的长度取得最小值． （10分）26．（必做题）（本小题满分10分）解：（1）展开式中二项式系数最大的项是第4项＝33633540C y y ⎛⎫= ⎪⎝⎭； （2分）（2）431240234(4,)(1)a a a a m f y a yyyyy=++++=+，3334322a C m m ==⇒=，442(1)811ii a==+=∑； （5分）（3）由(,1)(,)n f n m f n t =可得2(1)(1)()n nnnm m m m m tt+=+=+，即21m m m m t+=+⇒=⇒201020101(1(1)1000m f =+=+．234123*********2010201011114211227100010001000100033C C C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>++++>++++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 而1)11()1(),2010(20102010<+=+=---t t m t f ，所以原不等式成立． （10分）。
