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§3微积分基本定理()baf x dx ⎰＝()ba f t dt ⎰． [,]x ab ∀∈．()()x aF x f t dt =⎰．在[,]a b 有定义．定理1 若[,]f R a b ∈，()()xaF x f t dt =⎰，则（１） ()F x 是[,]a b 上的连续函数．（２） 若()f x 在[,]a b 上连续，则()F x 是[,]a b 上可微，且()()F x f x '=． 证明：（１）0[,]x a b ∀∈，00()()()()()xx xaax F x F x f t dt f t dt f t dt -=-=⎰⎰⎰．[,]m M η∃∈．00()()()0F x F x x x η-=-→．（２）00()()()()F x F x f x x ξ-=-．00000()()limlim ()()x x x F x F x f f x x x ξξ→→-==-． 推论 ()()()()()(())()(())()x x F x f t dt f x x f x x ϕψϕϕψψ''''==-⎰．证明：设()()uaG u f t dt =⎰．()(())()x aG x f t dt ϕϕ=⎰．()(())()x aG x f t dt ψψ=⎰． ()()G u f u '=．((()))(())()G x G x x ϕϕϕ'''=． ()()()()()x x aaF x f t dt f t dt ϕψ=-⎰⎰．例１：232002sin 2limlim 33x x x x x x x ++→→==⎰． ()f x 的积分上限给出()f x 的一个原函数，即()()xaf x dx f t dt C =+⎰⎰()()xad f t dt f x dx =⎰ 若()()uaF u f t dt =⎰()u x ϕ=，则()(())()()[()]()x af t dt F u x f x x ϕϕϕϕ''''==⎰．同理，()()()[()]()[()]()x x d f t dt f x x f x x dxϕψϕϕψψ''=-⎰． 例：求极限2032000sin 22sin 2limlim lim 333x x x x x x x x x x +++→→→⋅===⎰． 二．微积分基本定理定理２ 设()f x 在[,]a b 上连续，()F x 是()f x 在[,]a b 上的一个原函数，则成立()()()()bba af x dx F b F a F x =-⎰．证明：()()xaf t dt F x c =+⎰，()0F a c +=．()()()xaf t dt F x F a ∴=-⎰． ()()()baf t dt F b F a ∴=-⎰．例２：111lim 122n n n n →∞⎛⎫+++⎪++⎝⎭1111111lim lim 121111nn x i n i n n n n n n→∞→∞=⎛⎫⎡⎤ ⎪⎢⎥=+++=⋅ ⎪⎢⎥ ⎪⎢⎥++++ ⎪⎣⎦⎝⎭∑ 110011lim ()ln 1ln 21ni i x i f x dx x n ξ→∞==∆==+=+∑⎰． 例３：121limsin sin sinn n n n n n πππ→∞-⎛⎫+++ ⎪⎝⎭1lim ()ni i x i f x ξ→∞==∆∑1sin xdx =⎰11cos x ππ-=＝112πππ+=．三．定积分的计算１．第一类换元法：()()()(())()()u x bb aa f x x dx f u du ϕϕϕϕϕ='=⎰⎰(())()ba f x d x ϕϕ⎡⎤=⎣⎦⎰．例：cos cos cos 10sin cos ()xx x exdx e d x e e e πππ-=-=-=-⎰⎰．或cos 11111t xt te dt e e e =---=-=-=-⎰．２．第二类换元法：()()()()(())()x t baa bf x dx f t t dt ϕβαϕαϕβϕϕ==='=⎰⎰．例：2()11cos x xe x f x x-⎧≥⎪=⎨≤≤⎪+⎩ -1x 0 求：21()f x dx -⎰． 21()f x dx -⎰＝2021011cos x dx xe dx x -++⎰⎰＝20222101cos 1()1cos 2x x dx e d x x --+---⎰⎰ ＝2020111sin 2x ctgx e x --⎛⎫-+- ⎪⎝⎭＝202101cos 1sin 2x x e x ----＝041sin 111cos 22x e x ---++＝41sin1(1)21cos1e --++． ３．分部积分法：()()()()()()bbba aau x v x dx u x v x v x u x dx ''=-⎰⎰．例：000sin (cos )cos sin x xdx x x xdx x ππππππ=-+=+=⎰⎰．４．利用函数的特殊性质计算积分： 定理３ ()[,]f x R a a ∈-， （１）若()f x 为偶函数，则有0()2()aaaf x dx f x dx -=⎰⎰；（２）若()f x 为奇函数，则有()0aaf x dx -=⎰．证明：()()()aa aaf x dx f x dx f x dx --=+⎰⎰⎰00()()[()()]a aaf t dt f x dx f x f x dx =--+=-+⎰⎰⎰．例：222202(sin )(cos )(sin )()(sin )x t f x dx f x dx f x dt f x dx πππππ=-==-=⎰⎰⎰⎰．例：222000sin cos sin cos 2sin cos sin cos sin cos 2x x x x dx dx A A dx x x x x x x ππππ+==⇒==+++⎰⎰⎰．例：2sin n n xdx I π=⎰，121sin [(1)sin cos ]n n n n xdx I n I x x n--==--⎰ 2201n n n n I II nπ--== 2n ≥． 210sin 1I xdx π==⎰， 02I π=．01131(1)!!22!!2132(1)!!23!!n n n I n n n n n n I n n n π---⎧=⋅⋅⋅=⋅⎪⎪-⎨---⎪=⋅⋅⋅=⎪-⎩ n=偶数 n=奇数例：设21()xt f x e dt -=⎰不能用初等函数表示，221111110000011()()()(1)(1)0(1)22x x f x dx xf x xf x dx f xe dx f e e --'=-=-=+=+-⎰⎰⎰．定理４ ()f x 是以T 为周期的可积函数，则a ∀有0()()a TTaf x dx f x dx +=⎰⎰．注：计算定积分应该注意的问题（1）换元时，上下限应改变．（2）第二类换元不必一一对应．（3）若积分函数积分区域不连续，应变形去掉不连续点．。
