专题：求定义域试题

函数定义域的求法练习题含答案学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________1. 函数f(x)=√1−2x+√x+2的定义域为( )A.(−2,0]B.(−2,1]C.(−∞,−2)∪(−2,0]D.(−∞,−2)∪(−2,1]2. 函数f(x)=lg(x−3)+√4−x的定义域为（）A.[3,4]；B.（3,4]；C.(3,4)；D.[3,4)3. 函数f(x)=√2−2x+1log3x的定义域为（）A.{x|0<x<1}B.{x|x<1}C.{x|0<x≤1}D.{x|x>1}4. 函数f(x)=ln(x−x2)的定义域为()A.(0, 1)B.[0, 1]C.(0, 1]D.[0, 1)5. 已知f(x)的定义域为[−2, 1]，函数f(3x−1)的定义域为( )A.(−7, 2)B.(−13，23) C.[−7, 2] D.[−13，23]6. 函数y=√1−3x的定义域为( )A.(0, 1]B.[0, +∞)C.(−1, 0]D.(−∞, 0]7. 已知函数f(x)=ln(x+3)√x−3，则函数f(x)的定义域为()A.(3,+∞)B.(−3,3)C.(−∞,−3)D.(−∞,3)8. 函数f(x)=√x+1的定义域为（）A.[−1,5)B.[−1,5]C.(−1,5]D.(−1,5)9. 函数f(x)=1ax2+4ax+3的定义域为(−∞, +∞)，则实数a的取值范围是( )A.(−∞, +∞)B.[0,34)C.(34,+∞)D.[0,34]10. 已知函数f(x)的定义域为[−2, 3]，则函数g(x)=2√x 2−x−2的定义域为（ ）A.(−∞, −1)∪(2, +∞)B.[−6, −1)∪(2, 3]C.[−2, −1)∪(2, 3]D.[−√5,−1)∪(2,√5]11. 函数f (x +1)的定义域为[0,1]，则f (x 2)的定义域为________.12. 已知函数 f [(12)x]的定义域为[1,2]，则函数f (2x )的定义域为________.13. 函数f (x )=ln (x−1)x−2的定义域为________.14. 函数f (x )=√6+x−x 2ln x 的定义域为________.15. 函数f (x )=√x −3的定义域为________.16. 函数y =√4−x 2的定义域是________.17. 若函数f(x −1)的定义域为[−3, 3]，则f(x)的定义域为________．18. 函数f(x)=√x −1+lg (3−x)的定义域为________.19. 已知函数f(x)=log 2(2−x)−log 2(2+x)． (1)求函数f(x)的定义域；(2)试判断函数f(x)的奇偶性；(3)求不等式f(x)>1的解集．20. 求下列函数的定义域．(1)f(x)=√√3−2cos x；(2)f(x)=1.1−tan x21. 求下列函数的定义域.(1)f(x)=√3x+6;x−1(2)f(x)=√|x|−2+(x−3)0.22. 求下列函数的定义域：(1)f(x)=6；x2−3x+2(2)f(x)=√4−x．x−123. 设函数f(x)=√3−x+√x的定义域为集合M，函数g(x)=x2−2x+2.(1)求函数g(x)在x∈M时的值域；(2)若对于任意x∈R都有g(x)≥mx−2成立，求实数m的取值范围．24. 已知函数f(x)=√(x+1)(x−2)的定义域为集合A，B={x|x<a或x>a+1}.(1)求集合A；(2)若A⊆B，求实数a的取值范围．25. 设全集为R，函数f(x)=√−2x2+5x+3的定义域为A，集合B={x|x2+a<0}．(1)当a=−4时，求A∪B；(2)若A∩B=B，求实数a的取值范围．参考答案与试题解析 函数定义域的求法练习题含答案一、 选择题 （本题共计 10 小题 ，每题 3 分 ，共计30分 ） 1.【答案】 A【考点】函数的定义域及其求法 【解析】本题主要考查函数定义域问题，根据定义域的要求进行求解即可 【解答】解：由{1−2x ≥0，x +2>0，解得−2<x ≤0， 所以函数f (x )=√1−2x √x+2的定义域为(−2,0].故选A ． 2.【答案】 C【考点】函数的定义域及其求法 【解析】 此题暂无解析 【解答】 略 3.【答案】 A【考点】函数的定义域及其求法 【解析】根据函数成立的条件即可求函数的定义域． 【解答】解：要使函数有意义，则{2−2x ≥0,log 3x ≠0,x >0,即{x ≤1,x ≠1,x >0,得0<x <1，即函数的定义域为{x|0<x <1}，故选A . 4. 【答案】 A【考点】函数的定义域及其求法【解析】根据对数函数的性质，求出函数的定义域即可．【解答】解：由题意得x−x2>0，即x(x−1)<0，解得0<x<1，故函数的定义域是(0, 1).故选A.5.【答案】D【考点】函数的定义域及其求法【解析】根据函数定义域的求法，直接解不等式−2≤3x−1≤1，即可求函数y=f(3x−1)的定义域．【解答】解：∵函数y=f(x)的定义域为[−2, 1]，∴−2≤3x−1≤1，解得：−13≤x≤23，即x∈[−13, 23]，故函数y=f(3x−1)的定义域为[−13, 2 3 ].故选D.6.【答案】D【考点】函数的定义域及其求法【解析】利用函数定义域的求法求函数的定义域．【解答】解：要使函数有意义，则有1−3x≥0，即3x≤1，所以x≤0，故函数的定义域为(−∞, 0]．故选D．7.【答案】A【考点】函数的定义域及其求法【解析】无【解答】解：要使函数f(x)=ln(x+3)√x−3有意义，则有{x +3>0,x −3>0,解得x >3，所以函数f (x )的定义域为(3,+∞)． 故选A ． 8. 【答案】 D【考点】函数的定义域及其求法 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：由题可知，{−3x +15>0，x +1>0,解得−1<x <5． 故选D ． 9.【答案】 B【考点】与二次函数相关的复合函数问题 函数的定义域及其求法【解析】根据函数的定义域的定义，即ax 2+4ax +3≠0的解集为R ，即方程ax 2+4ax +3=0无解，根据二次函数的性质，即可得到 答案． 【解答】解：由题意，函数的定义域为(−∞,+∞)， 即ax 2+4ax +3≠0的解集为R ， 即方程ax 2+4ax +3=0无解.当a =0时，3=0，此时无解，符合题意； 当a ≠0时，Δ=(4a )2−4a ×3<0， 即16a 2−12a <0，所以0<a <34. 综上可得，实数a 的取值范围是[0,34). 故选B . 10. 【答案】 D【考点】函数的定义域及其求法 【解析】根据f(x)的定义域即可得出，要使得函数g(x)有意义，则需满足{−2≤3−x 2≤3x 2−x −2>0，解出x 的范围即可． 【解答】解：∵ f(x)的定义域为[−2, 3]，∴ 要使g(x)有意义，则{−2≤3−x 2≤3,x 2−x −2>0,解得−√5≤x <−1或2<x ≤√5，∴ g(x)的定义域为[−√5,−1)∪(2,√5]． 故选D .二、 填空题 （本题共计 8 小题 ，每题 3 分 ，共计24分 ） 11.【答案】[−√2,−1]∪[1,√2] 【考点】函数的定义域及其求法 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：∵ f (x +1)的定义域为[0,1]， 即0≤x ≤1， ∴ 1≤x +1≤2.∵ f (x +1)与f (x 2)是同一个对应关系f ， ∴ x 2与x +1的取值范围相同， 即1≤x 2≤2，整理，得x 2−2≤0，x 2−1≥0， 解得−√2≤x ≤√2，x ≥1或x ≤−1， ∴ −√2≤x ≤−1，1≤x ≤√2，∴ f (x 2)的定义域为[−√2,−1]∪[1,√2]. 故答案为：[−√2,−1]∪[1,√2]. 12.【答案】 [−2,−1] 【考点】抽象函数及其应用 函数的定义域及其求法 【解析】由题意可知x ∈[1,2]，(12)x∈[12,14]，故有2x ∈[12,14]，解得x 的范围，可得函数f (2x )的定义域． 【解答】解：∵ 函数f [(12)x]的定义域为[1,2]， 即x ∈[1,2]， ∴ (12)x∈[14,12]， ∴ 2x ∈[14,12]， 解得x ∈[−2,−1]，∴ 函数f (2x )的定义域为[−2,−1]． 故答案为：[−2,−1]． 13.【答案】(1,2)∪(2,+∞) 【考点】函数的定义域及其求法 【解析】由条件可得{x −2≠0x −1>0，求解即可.【解答】解：要使函数有意义， 则{x −2≠0，x −1>0，解得1<x <2或x >2，即函数的定义域为(1,2)∪(2,+∞). 故答案为：(1,2)∪(2,+∞). 14.【答案】 (0,1)∪(1,3] 【考点】函数的定义域及其求法 【解析】根据二次根式的被开方数为非负数，分母不为零，对数的真数大于零，列不等式组求解即可. 【解答】解：要使函数有意义，则6+x −x 2≥0且ln x ≠0且x >0， 解得x ∈(0,1)∪(1,3]. 故答案为：(0,1)∪(1,3]. 15.【答案】 {x|x ≥3} 【考点】函数的定义域及其求法 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：由题意得x −3≥0，解得x ≥3.故函数f (x )=√x −3的定义域为{x|x ≥3}. 故答案为：{x|x ≥3}. 16. 【答案】 (−1,2) 【考点】函数的定义域及其求法 对数函数的定义域 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：由题意得{4−x 2>0,x +1>0,解得−1<x <2，∴ 函数y =√4−x 2的定义域是(−1,2).故答案为：(−1,2)． 17.【答案】 [−4, 2] 【考点】函数的定义域及其求法 【解析】f(x −1)的定义域为[−3, 3]，是指的x 的范围是[−3, 3]，由此求出x −1的范围得到f(x)的定义域． 【解答】解：∵ f(x −1)的定义域为[−3, 3]，即−3≤x ≤3． ∴ −4≤x −1≤2，即函数f(x)定义域为[−4, 2]． 故答案为：[−4, 2]． 18.【答案】 [1,3) 【考点】函数的定义域及其求法 【解析】由根式内部的代数式大于等于0，对数式的真数大于0联立不等式组得答案． 【解答】解：∵ f(x)=√x −1+lg (3−x)， ∴ {x −1≥0，3−x >0，解得1≤x <3，∴ 函数f(x)=√x −1+lg (3−x)的定义域为[1, 3)． 故答案为：[1,3).三、 解答题 （本题共计 7 小题 ，每题 10 分 ，共计70分 ） 19.【答案】解：(1)∵ f(x)=log 2(2−x)−log 2(2+x)， ∴ {2−x >0,2+x >0,解得−2<x <2,∴ f(x)的定义域是(−2, 2)；(2)∵ 函数f (x )的定义域为(−2,2).且f(−x)=log 2(2+x)−log 2(2−x) =−[log 2(2−x)−log 2(2+x)] =−f(x)，∴ f(x)是定义域(−2, 2)上的奇函数； (3)∵ f(x)=log 2(2−x)−log 2(2+x)=log 22−x 2+x>1，∴ {−2<x <2,2−x 2+x>2,解得−2<x <−23∴ 不等式f(x)>1的解集是(−2, −23)． 【考点】函数的定义域及其求法 函数单调性的判断与证明 指、对数不等式的解法【解析】（1）根据对数函数的定义，列出关于自变量x 的不等式组，求出f(x)的定义域； （2）由函数奇偶性的定义，判定f(x)在定义域上的奇偶性；（3）化简f(x)，根据对数函数的单调性以及定义域，求出不等式f(x)>1的解集． 【解答】解：(1)∵ f(x)=log 2(2−x)−log 2(2+x)， ∴ {2−x >0,2+x >0,解得−2<x <2,∴ f(x)的定义域是(−2, 2)；(2)∵ 函数f (x )的定义域为(−2,2). 且f(−x)=log 2(2+x)−log 2(2−x) =−[log 2(2−x)−log 2(2+x)] =−f(x)，∴ f(x)是定义域(−2, 2)上的奇函数； (3)∵ f(x)=log 2(2−x)−log 2(2+x)=log 22−x 2+x>1，∴ {−2<x <2,2−x 2+x >2,解得−2<x <−23∴ 不等式f(x)>1的解集是(−2, −23)．20. 【答案】解：(1)由被开方数为非负数可得√3−2cos x ≥0， 解得cos x ≤√32，所以π6+2kπ≤x ≤11π6+2kπ，k ∈Z ， 所以f (x )的定义域为[π6+2kπ,11π6+2kπ] k ∈Z .(2)由分式的分母不为零且正切函数中x ≠π2+kπ，k ∈Z ，可得1−tan x ≠0且x ≠π2+kπ，解得x ≠π4+kπ且x ≠π2+kπ，k ∈Z . 所以f (x )的定义域为{x|x ≠π2+kπ且x ≠π4+kπ，k ∈Z}.【考点】函数的定义域及其求法【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)由被开方数为非负数可得√3−2cos x ≥0，解得cos x ≤√32， 所以π6+2kπ≤x ≤11π6+2kπ，k ∈Z ， 所以f (x )的定义域为[π6+2kπ,11π6+2kπ] k ∈Z .(2)由分式的分母不为零且正切函数中x ≠π2+kπ，k ∈Z ，可得1−tan x ≠0且x ≠π2+kπ， 解得x ≠π4+kπ且x ≠π2+kπ，k ∈Z .所以f (x )的定义域为{x|x ≠π2+kπ且x ≠π4+kπ，k ∈Z}.21.【答案】解：(1)由题意得：{3x +6≥0，x −1≠0，解得x ≥−2且x ≠−1，所以函数f (x )的定义域为{x ∣x ≥−2且x ≠1}.(2)由题意得：{|x |−2≥0，x −3≠0，解得x <−2或x >2且x ≠3，故f (x )的定义域为{x ∣x <−2或x >2且x ≠3}.【考点】函数的定义域及其求法【解析】(1)由分母不为零，偶次根式底数为非负数，构造不等式组即可解出.(2)由偶次根式底数为非负数，零指数幂底数不为零，构造不等式组即可解出.【解答】解：(1)由题意得：{3x +6≥0，x −1≠0，解得x ≥−2且x ≠−1，所以函数f (x )的定义域为{x ∣x ≥−2且x ≠1}.(2)由题意得：{|x |−2≥0，x −3≠0，解得x <−2或x >2且x ≠3，故f (x )的定义域为{x ∣x <−2或x >2且x ≠3}.22.【答案】(1)∵ f(x)=6x 2−3x+2，∴ x 2−3x +2≠0，解得x ≠1且x ≠2，∴ f(x)的定义域为(−∞,1)∪(1,2)∪(2,+∞).(2)∵ f(x)=√4−x x−1， ∴ {4−x ≥0,x −1≠0,解得x ≤4且x ≠1，∴ f(x)的定义域为(−∞,1)∪(1,4]．【考点】函数的定义域及其求法【解析】；．【解答】(1)∵ f(x)=6x 2−3x+2，∴ x 2−3x +2≠0，解得x ≠1且x ≠2，∴ f(x)的定义域为(−∞,1)∪(1,2)∪(2,+∞).(2)∵ f(x)=√4−x x−1， ∴ {4−x ≥0,x −1≠0,解得x ≤4且x ≠1，∴ f(x)的定义域为(−∞,1)∪(1,4]．23.【答案】解：(1)由{3−x ≥0,x ≥0得{x ≤3,x ≥0, 所以M ={x|0≤x ≤3}.因为g (x )=x 2−2x +2=(x −1)2+1，x ∈[0,3]，所以g (x )max =g (3)=5，g (x )min =g (1)=1，所以函数g (x )在x ∈M 时的值域为[1,5]．(2)由任意x ∈R 都有g (x )≥mx −2成立得，x 2−(m +2)x +4≥0对x ∈R 恒成立，所以Δ=(m +2)2−16≤0，解得−6≤m ≤2，所以实数m 的取值范围为[−6,2]．【考点】函数的值域及其求法函数的定义域及其求法一元二次不等式的解法【解析】(1)答案未提供解析．(2)答案未提供解析．【解答】解：(1)由{3−x ≥0,x ≥0得{x ≤3,x ≥0, 所以M ={x|0≤x ≤3}.因为g (x )=x 2−2x +2=(x −1)2+1，x ∈[0,3]，所以g (x )max =g (3)=5，g (x )min =g (1)=1，所以函数g (x )在x ∈M 时的值域为[1,5]．(2)由任意x ∈R 都有g (x )≥mx −2成立得，x 2−(m +2)x +4≥0对x ∈R 恒成立，所以Δ=(m +2)2−16≤0，解得−6≤m ≤2，所以实数m 的取值范围为[−6,2]．24.【答案】解：(1)由(x +1)(x −2)≥0得：x ≤−1或x ≥2，所以A =(−∞, −1]∪[2, +∞)．(2)A =(−∞, −1]∪[2, +∞)，B ={x|x <a 或x >a +1},因为A ⊆B ，所以{a >−1,a +1<2,解得：−1<a <1，所以实数a 的取值范围是(−1, 1)．【考点】集合关系中的参数取值问题一元二次不等式的解法函数的定义域及其求法【解析】（1）根据题目中使函数有意义的x的值解分式不等式求得函数的定义域A；（2）由若A⊆B，根据两个集合端点值之间的关系列不等式组求解a的取值范围．【解答】解：(1)由(x+1)(x−2)≥0得：x≤−1或x≥2，所以A=(−∞, −1]∪[2, +∞)．(2)A=(−∞, −1]∪[2, +∞)，B={x|x<a或x>a+1},因为A⊆B，所以{a>−1,a+1<2,解得：−1<a<1，所以实数a的取值范围是(−1, 1)．25.【答案】解：(1)由−2x2+5x+3≥0，解得：−12≤x≤3，故A=[−12, 3]，当a=−4时，x2−4<0，解得：−2<x<2，故B=(−2, 2)，故A∪B=(−2, 3]；(2)若A∩B=B，则B⊆A，①当a<0时，(−√−a, √−a)⊆[−12, 3]，即−14≤a<0;②当a≥0时，B为⌀，符合题意.∴a∈[−14, +∞)．【考点】函数的定义域及其求法并集及其运算集合的包含关系判断及应用【解析】（1）解不等式分别求出集合A、B，求出A、B的交集即可；（2）根据A、B的包含关系，得到关于a的不等式，解出即可．【解答】解：(1)由−2x2+5x+3≥0，解得：−12≤x≤3，故A=[−12, 3]，当a=−4时，x2−4<0，解得：−2<x<2，故B=(−2, 2)，故A∪B=(−2, 3]；(2)若A∩B=B，则B⊆A，, 3]，①当a<0时，(−√−a, √−a)⊆[−12≤a<0;即−14②当a≥0时，B为⌀，符合题意.∴a∈[−1, +∞)．4。

定义域试题及答案1. 已知函数 \( f(x) = \frac{1}{x^2 - 4} \)，请找出该函数的定义域。

答案：函数 \( f(x) \) 的定义域是除了 \( x = \pm 2 \) 以外的所有实数。

因为当 \( x = \pm 2 \) 时，分母为零，函数无定义。

2. 函数 \( g(x) = \sqrt{2x - 3} \) 的定义域是什么？答案：函数 \( g(x) \) 的定义域是 \( x \geq \frac{3}{2} \)。

因为根号下的表达式必须非负，所以 \( 2x - 3 \geq 0 \)。

3. 确定函数 \( h(x) = \log_2(x - 1) \) 的定义域。

答案：函数 \( h(x) \) 的定义域是 \( x > 1 \)。

因为对数函数的自变量必须大于零，所以 \( x - 1 > 0 \)。

4. 函数 \( p(x) = \frac{x^2 - 9}{x^2 - 6x + 9} \) 的定义域是什么？答案：函数 \( p(x) \) 的定义域是所有实数，除了 \( x = 3 \)。

因为分母 \( x^2 - 6x + 9 \) 可以分解为 \( (x - 3)^2 \)，当 \( x = 3 \) 时分母为零。

5. 求函数 \( q(x) = \frac{\sin(x)}{x} \) 在 \( x = 0 \) 处的定义域。

答案：函数 \( q(x) \) 在 \( x = 0 \) 处的定义域是 \( x \neq 0 \)。

因为 \( x = 0 \) 时分母为零，所以 \( x = 0 \) 不在定义域内。

6. 函数 \( r(x) = \sqrt[3]{x^3 - 8} \) 的定义域是什么？答案：函数 \( r(x) \) 的定义域是所有实数。

因为立方根函数对所有实数都有定义。

7. 确定函数 \( s(x) = \frac{1}{x - 1} + 2 \) 的定义域。

函数定义域一、选择题（共6小题）1、在函数错误！未找到引用源。

中，自变量x的取值范围是（）A、x≠0B、x≤﹣2C、x≥﹣3且x≠0D、x≤2且x≠02、函数错误！未找到引用源。

的定义域是（）A、x≠2B、x≥﹣2C、x≠﹣2D、x≠03、函数y=错误！未找到引用源。

的自变量x的取值范围是（）A、x≥﹣2B、x≥﹣2且x≠﹣1C、x≠﹣1D、x＞﹣14、在函数y=错误！未找到引用源。

中，自变量x取值范围是（）A、x＞1B、x＜﹣1C、x≠﹣1D、x≠15、函数错误！未找到引用源。

的自变量x的取值范围为（）A、x≥﹣2B、x＞﹣2且x≠2C、x≥0且≠2D、x≥﹣2且x≠26、能使错误！未找到引用源。

有意义的x的取值范围是（）A、x＞﹣2B、x≥﹣2C、x＞0D、x≥﹣2且x≠0二、填空题（共6小题）7、函数y=错误！未找到引用源。

中，自变量x的取值范围是_________．8、（函数错误！未找到引用源。

的自变量取值范围是_________．9、求使代数式错误！未找到引用源。

有意义的x的整数值_________．10、函数y=错误！未找到引用源。

+（x﹣1）0自变量的取值范围是_________．11、函数y=错误！未找到引用源。

中，自变量x的取值范围是_________．12、写出一个y关于x的函数关系式，使自变量x的取值范围是x≥2且x≠3，则这个函数关系式可以是_________．函数定义域一、选择题（共6小题）1、在函数错误！未找到引用源。

中，自变量x的取值范围是（）A、x≠0B、x≤﹣2C、x≥﹣3且x≠0D、x≤2且x≠02、函数错误！未找到引用源。

的定义域是（）A、x≠2B、x≥﹣2C、x≠﹣2D、x≠03、函数y=错误！未找到引用源。

的自变量x的取值范围是（）A、x≥﹣2B、x≥﹣2且x≠﹣1C、x≠﹣1D、x＞﹣14、在函数y=错误！未找到引用源。

中，自变量x取值范围是（）A、x＞1B、x＜﹣1C、x≠﹣1D、x≠15、函数错误！未找到引用源。

高三数学函数的定义域与值域试题答案及解析1.已知函数f(x)＝(a≠1)．(1)若a>0，则f(x)的定义域是________；(2)若f(x)在区间(0,1]上是减函数，则实数a的取值范围是________．【答案】(1)(－∞，](2)(－∞，0)∪(1,3]【解析】(1)当a>0且a≠1时，由3－ax≥0得x≤，即此时函数f(x)的定义域是(－∞，]．(2)当a－1>0，即a>1时，要使f(x)在(0,1]上是减函数，则需3－a×1≥0，此时1<a≤3.当a－1<0，即a<1时，要使f(x)在(0,1]上为减函数，则需－a>0，此时a<0.综上a的取值范围(－∞，0)∪(1,3]．2.已知函数f(x)＝ (a是常数且a>0)．对于下列命题：①函数f(x)的最小值是－1；②函数f(x)在R上是单调函数；③若f(x)>0在[，＋∞)上恒成立，则a的取值范围是a>1；④对任意x1<0，x2<0且x1≠x2，恒有f()<.其中正确命题的所有序号是________．【答案】①③④【解析】作出函数f(x)的图象如图所示，显然f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，所以函数f(x)的最小值为f(0)＝－1，故命题①正确；显然，函数f(x)在R上不是单调函数，②错误；因为f(x)在(0，＋∞)上单调递增，故函数f(x)在[，＋∞)上的最小值为f()＝2a×－1＝a－1，所以若f(x)>0在[，＋∞)上恒成立，则a－1>0，即a>1，故③正确；由图象可知，在(－∞，0)上，对任意x1<0，x2<0且x1≠x2，恒有f()<成立，故④正确．3.函数的定义域是________．【答案】【解析】得.【考点】函数的定义域.4. (2014·荆州模拟)函数y=ln(2-x-x2)+的定义域是()A．(-1,2)B．(-∞,-2)∪(1,+∞)C．(-2,1)D．[-2,1)【答案】C【解析】使函数有意义,则有解得-2<x<1,即定义域为(-2,1).5.某幼儿园准备建一个转盘，转盘的外围是一个周长为k米的圆．在这个圆上安装座位，且每个座位和圆心处的支点都有一根直的钢管相连经预算，转盘上的每个座位与支点相连的钢管的费用为3k元/根，且当两相邻的座位之间的圆弧长为x米时，相邻两座位之间的钢管和其中一个座位的总费用为k元．假设座位等距分布，且至少有两个座位，所有座位都视为点，且不考虑其他因素，记转盘的总造价为y元．(1)试写出y关于x的函数关系式，并写出定义域；(2)当k＝50米时，试确定座位的个数，使得总造价最低？【答案】（1）y＝＋，定义域（2）32个【解析】(1)设转盘上总共有n个座位，则x＝即n＝，y＝＋，定义域.(2)y＝f(x)＝k2，y′＝k2，令y′＝0得x＝.当x∈时，f′(x)＜0，即f(x)在x∈上单调递减，当x∈时，f′(x)＞0，即f(x)在x∈上单调递增，y的最小值在x＝时取到，此时座位个数为＝32个．6.设a∈，则使函数y=x a的定义域是R，且为奇函数的所有a的值是（）A．1，3B．﹣1，1C．﹣1，3D．﹣1，1，3【答案】A【解析】当a=﹣1时，y=x﹣1的定义域是x|x≠0，且为奇函数；当a=1时，函数y=x的定义域是R且为奇函数；当a=时，函数y=的定义域是x|x≥0且为非奇非偶函数．当a=3时，函数y=x的定义域是R且为奇函数．故选A．7.设函数g(x)＝x2－2(x∈R)，f(x)＝则f(x)的值域是（）A．∪(1，＋∞)B．[0，＋∞)C．D．∪(2，＋∞)【答案】D【解析】令x<g(x)，即x2－x－2>0，解得x<－1或x>2.令x≥g(x)，即x2－x－2≤0，解得－1≤x≤2.故函数f(x)＝当x＜－1或x＞2时，函数f(x)＞f(－1)＝2；当－1≤x≤2时，函数≤f(x)≤f(－1)，即≤f(x)≤0.故函数f(x)的值域是∪(2，＋∞)．选D.8.已知则的值为【解析】由题意有，解得，∴原式＝．【考点】函数的定义域．9.已知函数f(x)＝x3(a>0且a≠1)．(1)求函数f(x)的定义域；(2)讨论函数f(x)的奇偶性；(3)求a的取值范围，使f(x)>0在定义域上恒成立．【答案】（1）{x|x∈R，且x≠0}（2）偶函数（3）a>1.【解析】(1)由于a x－1≠0，则a x≠1，所以x≠0，所以函数f(x)的定义域为{x|x∈R，且x≠0}．(2)对于定义域内任意的x，有f(－x)＝(－x)3＝－x3＝－x3＝x3＝f(x)所以f(x)是偶函数．(3)①当a>1时，对x>0，所以a x>1，即a x－1>0，所以＋>0.又x>0时，x3>0，所以x3>0，即当x>0时，f(x)>0.由(2)知，f(x)是偶函数，即f(－x)＝f(x)，则当x<0时，－x>0，有f(－x)＝f(x)>0成立．综上可知，当a>1时，f(x)>0在定义域上恒成立．②当0<a<1时，f(x)＝，当x>0时，0<a x<1，此时f(x)<0，不满足题意；当x<0时，－x>0，有f(－x)＝f(x)<0，也不满足题意．综上可知，所求a的取值范围是a>110.求下列函数的值域：(1) y＝x－；(2) y＝x2－2x－3，x∈(－1，4]；(3) y＝，x∈[3，5]；(4) y＝ (x>1)．【答案】（1）（2）[－4，5]．（3）（4）[2－2，＋∞)．【解析】(1) (换元法)设＝t，t≥0，则y＝ (t2＋2)－t＝2－，当t＝时，y有最小值－，故所求函数的值域为.(2) (配方法)配方，得y＝(x－1)2－4，因为x∈(－1，4]，结合图象知，所求函数的值域为[－4，5]．(3) (解法1)由y＝＝2－，结合图象知，函数在[3，5]上是增函数，所以ymax ＝，ymin＝，故所求函数的值域是.(解法2)由y＝，得x＝.因为x∈[3，5]，所以3≤≤5，解得≤y≤，即所求函数的值域是.(4) (基本不等式法)令t＝x－1，则x＝t＋1(t>0)，所以y＝＝t＋－2(t>0)．因为t＋≥2＝2，当且仅当t＝，即x＝＋1时，等号成立，故所求函数的值域为[2－2，＋∞)．11.已知函数.（Ⅰ）当a=3时，求函数在上的最大值和最小值；（Ⅱ）求函数的定义域，并求函数的值域。

I ．题源探究·黄金母题例1 求函数)34(log )(5.0-=x x f 的定义域. 【解析】要使式子有意义，则0)34(log 5.0≥-x ， 即1log 0)34(log 5.05.0=≥-x ，根据对数函数的单调性，则1340≤-<x ， 解得143≤<x ， 所以函数)(x f 的定义域为]1,43(.II ．考场精彩·真题回放【例2】【2016高考江苏卷】函数y义域是 ▲ . 【答案】[]3,1-【解析】要使函数有意义，必须2320x x --≥，即2230x x +-≤，31x ∴-≤≤．故答案应填：[]3,1-， 【例3】【2016高考新课标2文数】下列函数中，其定义域和值域分别与函数y=10lg x 的定义域和值域相同的是（ ）（A ）y =x （B ）y =lg x （C ）y =2x （D）y =【答案】D 【解析】lg 10xy x ==，定义域与值域均为()0,+∞，只有D 满足，故选D ．精彩解读【试题来源】人教版A 版必修一第74页习题2.2 A 组第7题【母题评析】本题以求函数定义域为载体，考查根式的概念及利用对数函数的性质解简单对数不等式.本类考查方式是近几年高考试题常常采用的命题形式，达到一箭双雕的目的.【思路方法】由函数式有意义得到关于自变量的不等式，利用有关函数的性质或不等式性质，解出自变量的取值范围，即为函数的定义域.【命题意图】本类题通常主要考查函数定义域的求法.【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，难度较小，往往与特殊函数的图像与性质、值域、解不等式、集合运算有联系. 【难点中心】对求函数定义域问题，首项要确定使函数式子有意义的条件，列出关于自变量的不等式（组），其次利用有关不等式性质和相关函数的性质解不等式（组），注意：①函数解析式含有几个式子，这几个式子都必须有意义，其交集即为函数的定义域；②解不等式时要等价变形；③抽象函数的定义域是难点.本题是简单函数定义域的求法，是基础题.III ．理论基础·解题原理考点一 函数定义域的概念1．在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域； 考点二 常见函数的定义域1.一次函数b kx y +=的定义域为R ；2.二次函数c bx ax y ++=2的定义域为R ； 3.指数函数x a y =（0>a 且1≠a ）定义域为R ；4.对数函数x y a log =（0>a 且1≠a ）的定义域为),0(+∞；（1）当Z m ∈，n 为奇数且0>mn 时，定义域为R ； （2）当m 为奇数n 为偶数且0>mn 时，定义域为),0[+∞； （3)当*Z m ∈，n 为奇数且0<mn 时，定义域为),0()0,(+∞⋃-∞； （4）当m 是奇数，n 为偶数且0<mn 时，定义域为),0(+∞； 6.正弦函数x y sin =、余弦函数x y cos =定义域都为R ；考点三 函数定义域的求法 1.已知函数解析式，求定义域紧扣“函数定义域是函数自变量的取值范围”这一概念。

专题5 函数：定义域归类大全目录【题型一】开偶次方根函数定义域 .......................................................................................................................... 2 【题型二】解绝对值函数不等式求定义域 .............................................................................................................. 3 【题型三】抽象函数定义域1：(x)→f(g(x))型........................................................................................................ 4 【题型四】抽象函数定义域2：f(g(x))→f(x)型 ...................................................................................................... 6 【题型五】抽象函数定义域3：f(g(x))→f(h （x ）)型 ............................................................................................ 7 【题型六】抽象函数定义域4：f(x)→ f(g （x ）)+f(h （x ）) ........................................................................... 8 【题型七】抽相与具体函数混合型 ........................................................................................................................ 10 【题型八】嵌入型（内外复合）函数型定义域 .................................................................................................... 11 【题型九】恒成立含参型 ........................................................................................................................................ 12 【题型十】对数函数定义域 .................................................................................................................................... 14 【题型十一】定义域：解指数函数不等式 ............................................................................................................ 15 【题型十二】 正切函数定义域 .............................................................................................................................. 16 【题型十三】解正弦函数不等式求定义域 ............................................................................................................ 17 【题型十四】解余弦函数不等式求定义域 ............................................................................................................ 19 【题型十五】求分段函数定义域 ............................................................................................................................ 20 【题型十六】实际应用题中的定义域应用 ............................................................................................................ 22 培优第一阶——基础过关练 .................................................................................................................................... 23 培优第二阶——能力提升练 .................................................................................................................................... 27 培优第三阶——培优拔尖练 (30)综述：常考函数的定义域： ①. ()()00f x f x ⇒≠⎡⎤⎣⎦； ②. ()()10f x f x ⇒≠； ()()0f x f x ⇒≥；②. ()()log 0a f x f x ⇒>； ②.()()tan ,2f x f x k k Z ππ⇒≠+∈；②.实际问题中，需根据实际问题限制范围.【题型一】开偶次方根函数定义域【典例分析】（2021·福建·厦门市海沧中学高一期中）函数()()31f x x x x -- ） A ．[]0,3 B ．[]1,3 C ．[)3,+∞ D ．(]1,3【答案】D【分析】根据二次根式的性质及二次不等式的解法即可得出结果.【详解】解：由题意可得()3010x x x ⎧-≥⎨->⎩，解得13x <≤. 【提分秘籍】 基本规律有根号时：开奇次方，根号下为任意实数，开偶次方，根号下大于或等于01.（2022·全国·高一专题练习）已知函数()f x a x =-(,1]-∞，则实数a 的取值集合为（ ） A ．{1} B ．(,1]-∞ C ．[1,)+∞ D ．(,1)(1,)-∞⋃+∞ 【答案】A【分析】求出函数的定义域，对比即可得出.【详解】由0a x -≥可得x a ≤，即()f x 的定义域为(,]a -∞，所以1a =， 则实数a 的取值集合为{}1. 故选：A.2.（2022·山东·临沂二十四中高一阶段练习）函数 2311y x x - 的定义域是（ ） A ．(],1-∞ B ．()()1,00,1- C ．[)(]1,00,1-D ．(]0,1 【答案】C【分析】函数定义域满足23100x x ⎧-≥⎨≠⎩，求解即可【详解】由题， 函数定义域满足23100x x ⎧-≥⎨≠⎩，解得[)(]1,00,1x ∈-.故选：C3.（2022·全国·高一专题练习）函数()0(1)32f x x x =--的定义域为（ ） A ．2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ B ．()2,11,3∞⎛⎫⋃+ ⎪⎝⎭C ．()2,11,3∞⎡⎫⋃+⎪⎢⎣⎭D ．2,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭【答案】B【分析】根据二次根式的被开方数大于等于0，分式的分母不为0，以及零次幂的底数不等于0，建立不等式组，求解即可.【详解】解：由已知得32>010x x -⎧⎨-≠⎩，解得2>3x 且1x ≠，所以函数()0(1)32f x x x =--的定义域为()2,11,3∞⎛⎫⋃+ ⎪⎝⎭， 故选：B.【题型二】解绝对值函数不等式求定义域【典例分析】.（2022·江苏·高一）函数0y x x=+ ）A ．()0,∞+B ．(),0∞-C ．()()0,11,+∞D ．()()(),11,00,-∞-⋃-⋃+∞【答案】C【分析】根据0次幂的底数不等于0，偶次根式的被开方数非负，分母不等于0列不等式，解不等式即可求解.【详解】由题意可得：1000x x x x x ⎧-≠⎪+≥⎨⎪+≠⎩，解得：0x >且1x ≠，所以原函数的定义域为()()0,11,+∞，【提分秘籍】 基本规律 绝对值不等式：1.|f ()|()()f ()()x g x g x x g x <⇔-<<2.|f ()|()f ()()f ()()x g x x g x x g x >⇔><-或者【变式训练】1.（2022·广东·广州六中高一期末）函数24x y x x--___________.【答案】[2,0)-【分析】利用根式、分式的性质求函数定义域即可.【详解】由解析式知：240||0x x x ⎧-≥⎨-≠⎩，则220x x -≤≤⎧⎨<⎩，可得20x -≤<，②函数的定义域为[2,0)-. 故答案为：[2,0)-.2.（2021·江苏·常州市第二中学高一期中）函数()2|12|f x x =--________． 【答案】13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦##1322x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭【分析】根据解析式的形式得到关于x 的不等式，解不等式后可得函数的定义域. 【详解】解：由题设可得2120x --≥，即122x -≤，故2122x -≤-≤，所以1322x -≤≤，故答案为：13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.3.（2021·北京市第九中学高一期中）函数|23|1y x =--________． 【答案】(,1][2,)-∞⋃+∞【分析】满足函数有意义的条件，即2310x --≥，解得定义域. 【详解】由题知，2310x --≥， 解得2x ≥或1x ≤，故函数的定义域为：(,1][2,)-∞⋃+∞ 故答案为：(,1][2,)-∞⋃+∞【题型三】抽象函数定义域1：(x)→f(g(x))型【典例分析】（2022·江西·修水中等专业学校模拟预测）已知函数()y f x =的定义域为[]1,5-，则函数()221y f x =-的定义域为（ ）A ．[]0,3B ．[]3.3-C ．[3,3]-D ．[]3,0-【答案】C【分析】由题可知解21215x -≤-≤即可得答案.【详解】解：因为函数()y f x =的定义域为[]1,5-， 所以，21215x -≤-≤，即203x ≤≤，解得33x ≤≤所以，函数()221y f x =-的定义域为[3,3]故选：C【提分秘籍】 基本规律已知()f x 的定义域为[,]a b ，求(())f g x 的定义域：解不等式()a g x b ≤≤即可得解1.（2022·全国·高一专题练习）已知()13x f x x--，则()1f x +的定义域为（ ）A ．()(),11,3-∞⋃B ．()(),22,4-∞⋃C ．)(),00,2-∞ D ．(),2-∞【答案】C【分析】先求得()f x 的定义域，然后将1x +看作一个整体代入计算即可.【详解】由题可知：10330x x x -≠⎧⇒<⎨->⎩且1x ≠ 所以函数定义域为{3x x <且}1x ≠令13x +<且11x +≠，所以2x <且0x ≠所以()(),00,2x ∈-∞，所以()1f x +的定义域为()(),00,2-∞故选：C2.（2015·上海·闵行中学高一期中）已知函数()1y f x =+的定义域为[]23-，，则函数()21y f x =-的定义域为（ ）A ．502⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B ．[]14-，C ．5522⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，D ．3722⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，【答案】C【分析】先求1x +取值范围，再根据两函数关系得21x -取值范围，解得结果为所求定义域. 【详解】因为函数()1y f x =+的定义域为[]23-，，所以1[1,4]x +∈-，因此55[1,4]02||51222x x x ∈-∴≤≤∴≤≤--即函数()21y f x =-的定义域为5522⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，故选：C3.（2018·江西·南康中学高一期中）已知函数()f x 的定义域为[3,)+∞，则函数1(1)f x+的定义域为（ ）A ．4(,]3-∞B ．4(1,]3C ．1(0,]2D ．1(,]2-∞【答案】C【分析】由已知函数定义域，可得113x+≥，求解分式不等式得答案．【详解】解：②函数()f x 的定义域为[3,)+∞，②由113x +≥，得12x ≥，则102x <≤．②函数1(1)f x +的定义域为1(0,]2．故选：C ．【题型四】抽象函数定义域2：f(g(x))→f(x)型【典例分析】（2023·全国·高一专题练习）已知函数22211x x y f x x ⎛⎫+-= ⎪+-⎝⎭的定义域是[)1,+∞，则函数()y f x =的定义域是_______．【答案】(]1,2【分析】令()()222111x x g x x x x +-=≥+-，根据函数值域的求解方法可求得()g x 的值域即为所求的()f x 的定义域.【详解】令()()222111x x g x x x x +-=≥+-，则()()222111111111x x x x g x x x x x x x x+-+==+=+≥+-+--+， 1y x x =-在[)1,+∞上单调递增，10x x∴-≥，10111x x∴<≤-+，()12g x ∴<≤，f x ∴的定义域为1,2.故答案为：1,2.【提分秘籍】 基本规律已知(())f g x 的定义域为[,]a b ，求()f x 的定义域：求出()y g x =在[,]a b 上的值域即可得解1.（2019·陕西·渭南市尚德中学高一阶段练习）若函数(1)f x -的定义域为[1,2]-，那么函数()f x 中的x 的取值范围是________. 【答案】[2,1]-【分析】根据函数(1)f x -的定义域求出()f x 的定义域即可． 【详解】解：函数(1)f x -的定义域为[1-，2]， 即12x -≤≤ 211x ∴-≤-≤ 1[2x ∴-∈-，1]，故函数()f x 的定义域为[2,1]-， 故答案为：[2,1]-.2.（2020·山西·太原五中高一阶段练习）若函数(21)f x -的定义域为[0,1]，则函数()f x 的定义域为（ ） A ．[1,0]- B ．[3,0]- C ．[0,1] D ．[1,1]- 【答案】D【解析】由函数(21)f x -的定义域为[0,1]，可求出1211-≤-≤x ，令x 代替21x -，可得11x -≤≤，即可求出函数()f x 的定义域.【详解】因为函数(21)f x -的定义域为[0,1]， 由01x ，得1211-≤-≤x ， 所以()y f x =的定义域是[1,1]-， 故选：D3.（2023·全国·高一专题练习）已知()21f x -的定义域为3,3⎡⎤-⎣⎦，则()f x 的定义域为 （ ）A ．[]22-,B ．[]0,2C ．[]1,2-D ．3,3⎡-⎣【答案】C【分析】由33x -≤21x -的范围，然后可得答案. 【详解】因为2(1)f x -的定义域为[3,3]，所以33x -≤所以2112x -≤-≤，所以()f x 的定义域为[1,2]-． 故选：C【题型五】抽象函数定义域3：f(g(x))→f(h （x ）)型【典例分析】（2022·全国·高一课时练习）函数()3=-y f x 的定义域为[]4,7，则()2y f x =的定义域为（ ） A ．()1,4B ．[]1,2C ．()()2,11,2--⋃D ．[][]2,11,2-- 【答案】D【分析】利用抽象函数的定义域解法结合一元二次不等式的解法即可求解. 【详解】解：因为函数()3=-y f x 的定义域为[]4,7所以47x ≤≤即134x ≤-≤所以214x ≤≤解得：[][]2,11,2x ∈--⋃所以()2y f x =的定义域为[][]2,11,2--故选：D.【提分秘籍】 基本规律已知(())f g x 的定义域为[,]a b ，求(h x )f （）的定义域：一般情况下，g （x ）在[,]a b 值域与h （x ）值域一致，解出其x 值即可1.（2021·辽宁·沈阳市第一中学高一期中）函数()1f x +的定义域为[]1,2-，则函数()2f x 的定义域为（ ）A ．1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D【分析】当[]1,2x ∈-得到[]1,13x +∈，根据123x ≤≤解得答案.【详解】函数()1f x +的定义域为[]1,2-，即[]1,2x ∈-，故[]0,2x ∈，[]1,13x +∈.123x ≤≤，解得13,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.故选：D.2.（2022·全国·高一课时练习）若函数()22f x -的定义域为[]1,3-，则函数()f x的定义域为______；若函数()23f x -的定义域为[)1,3，则函数()13f x -的定义域为______.【答案】 []2,7- 22,33⎛⎤- ⎥⎝⎦【分析】根据抽象函数定义域求解即可.【详解】因为函数()22f x -的定义域为[]1,3-，即13x -≤≤，所以209x ≤≤，2227x -≤-≤，故函数()f x 的定义域为[]2,7-.因为函数()23f x -的定义域为[)1,3，即13x ≤<，所以1233x -≤-<，则函数()f x 的定义域为[)1,3-，令1133x -≤-<，得2233x -<≤，所以函数()13f x -的定义域为22,33⎛⎤- ⎥⎝⎦.故答案为: []2,7-，22,33⎛⎤- ⎥⎝⎦3.（2022·黑龙江·牡丹江市第三高级中学高一阶段练习）(21)f x -的定义域为[0,1)，则(13)f x -的定义域为（ ）A ．(2,4]-B ．12,2⎛⎤- ⎥⎝⎦ C ．20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦ D ．10,6⎛⎤⎥⎝⎦【答案】C【分析】先由[0,1)x ∈，求出21x -的范围，可求出()f x 的定义域，而对于相同的对应关系，21x -的范围和13x -相同，从而可求出(13)f x -的定义域. 【详解】因为01x ≤<，所以022x ≤<，所以1211x -≤-<，所以()f x 的定义域为[1,1)-，所以由1131x -≤-<，得203x <≤，所以(13)f x -的定义域为20,3⎛⎤⎥⎝⎦，故选：C【题型六】抽象函数定义域4：f(x)→ f(g （x ）)+f(h （x ）)【典例分析】（2021·全国·高一单元测试）已知函数()f x 的定义域为0,1，若10,2c ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则函数()()()g x f x c f x c =++-的定义域为（ ）A ．(),1c c --B ．(),1c c -C ．()1,c c -D ．(),1c c +【答案】B【分析】由已知函数的定义域有0101x c x c <+<⎧⎨<-<⎩，即可求复合函数的定义域.【详解】由题意得：0101x c x c <+<⎧⎨<-<⎩，即11c x c c x c-<<-⎧⎨<<+⎩，又10,2c ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，②1c x c <<-． 故选：B【提分秘籍】基本规律1.如f(x)→ f(g （x ）)+f(h （x ）)型，则 f(g （x ）)与f(h （x ）)定义域交集即可2.f(r （x ）)→ f(g （x ）)+f(h （x ）)型，同上，思维一致。

高中定义域试题及解析及答案1. 函数 \(f(x) = \sqrt{x - 3}\) 的定义域是什么？2. 若 \(g(x) = \frac{1}{x - 2}\)，求 \(g(x)\) 的定义域。

3. 函数 \(h(x) = \frac{3x - 5}{x^2 - 4}\) 在哪些 \(x\) 值下是有定义的？4. 已知 \(k(x) = \log_{2}(x + 4)\)，求 \(k(x)\) 的定义域。

5. 函数 \(m(x) = \frac{\sqrt{x + 2}}{x - 1}\) 在哪些 \(x\) 值下是有定义的？解析与答案1. 对于函数 \(f(x) = \sqrt{x - 3}\)，我们需要保证根号内的表达式非负，即 \(x - 3 \geq 0\)。

解得 \(x \geq 3\)。

因此，\(f(x)\) 的定义域是 \([3, +\infty)\)。

2. 对于函数 \(g(x) = \frac{1}{x - 2}\)，分母不能为零，所以\(x \neq 2\)。

因此，\(g(x)\) 的定义域是 \((-\infty, 2) \cup (2, +\infty)\)。

3. 对于函数 \(h(x) = \frac{3x - 5}{x^2 - 4}\)，分母 \(x^2 -4\) 不能为零，即 \(x \neq \pm 2\)。

因此，\(h(x)\) 的定义域是\((-\infty, -2) \cup (-2, 2) \cup (2, +\infty)\)。

4. 对于函数 \(k(x) = \log_{2}(x + 4)\)，对数函数的自变量必须大于零，即 \(x + 4 > 0\)。

解得 \(x > -4\)。

因此，\(k(x)\) 的定义域是 \((-4, +\infty)\)。

5. 对于函数 \(m(x) = \frac{\sqrt{x + 2}}{x - 1}\)，根号内的表达式必须非负，即 \(x + 2 \geq 0\)，同时分母不能为零，即 \(x \neq 1\)。

专题三函数的定义域和值域一．选择题（共12小题）1．函数的定义域是（）A．（﹣1，+∞）B．（﹣1，1）∪（1，+∞） C．[﹣1，+∞）D．[﹣1，1）∪（1，+∞）2．已知函数f（x）=的定义域为（1，2），则函数f（x2）的定义域是（）A．（1，2） B．（1，4） C．R D．（﹣，﹣1）∪（1，）3．已知函数f（x）=的定义域是R，则实数a的取值范围是（）A．a＞B．﹣12＜a≤0 C．﹣12＜a＜0 D．a≤4．集合A={x|0≤x≤4}，B={y|0≤y≤2}，下列不能表示从A到B的函数的是（）A．B．f：x→y=2﹣x C．D．5．下列图形中，不能表示以x为自变量的函数图象的是（）A．B．C．D．6．下列函数与函数y=x相等的是（）A．B．C．D．7．如图所示，可表示函数图象的是（）A．①B．②③④C．①③④D．②8．下列四组函数，表示同一函数的是（）A．，g（x）=xB．C．D．f（x）=|x+1|，g（x）=9．已知函数f（x）=，x∈{1，2，3}．则函数f（x）的值域是（）A．B．（﹣∞，0]C．[1，+∞）D．R10．若函数y=的值域为[0，+∞），则a的取值范围是（）A．（3，+∞）B．[3，+∞）C．（﹣∞，0]∪[3，+∞）D．（﹣∞，0）∪[3，+∞）11．二次函数f（x）=x2﹣4x+1（x∈[3，5]）的值域为（）A．[﹣2，6]B．[﹣3，+∞）C．[﹣3，6]D．[﹣3，﹣2]12．若函数的定义域、值域都是[2，2b]，则（）A．b=2 B．b∈[1，2]C．b∈（1，2）D．b=1或b=2二．填空题（共4小题）13．函数f（x）=的定义域为，值域为．14．函数的定义域是．15．函数y=的定义域为R，则k的取值范围．16．函数的值域为．三．解答题（共6小题）17．求下列函数的定义域：（1）；（2）．18．已知函数f（x）=（1）求f（1）+f（2）+f（3）+f（）+f（）的值；（2）求f（x）的值域．19．已知函数y=的定义域为R，求实数m的取值范围．20．当x＞0时，求函数的值域．21．已知函数，（1）求函数的定义域；（2）求的值．22．求函数f（x）=x2+|x﹣2|，x∈[0，4]的值域．专题三（2）函数的概念参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．函数的定义域是（）A．（﹣1，+∞）B．（﹣1，1）∪（1，+∞） C．[﹣1，+∞）D．[﹣1，1）∪（1，+∞）【分析】由根式内部的代数式大于等于0，且分式的分母不为0联立不等式组求解．【解答】解：由，解得x≥﹣1且x≠1．∴函数的定义域是[﹣1，1）∪（1，+∞）．故选：D．【点评】本题考查函数的定义域及其求法，是基础的计算题．2．已知函数f（x）=的定义域为（1，2），则函数f（x2）的定义域是（）A．（1，2） B．（1，4） C．R D．（﹣，﹣1）∪（1，）【分析】由已知函数的定义域可得1＜x2＜2，求解不等式组得答案．【解答】解：∵数f（x）=的定义域为（1，2），∴由1＜x2＜2，得﹣＜x＜﹣1或1＜x＜．即函数f（x2）的定义域是（﹣，﹣1）∪（1，）．故选：D．【点评】本题考查函数的定义域及其求法，关键是掌握该类问题的求解方法，是基础题．3．已知函数f（x）=的定义域是R，则实数a的取值范围是（）A．a＞B．﹣12＜a≤0 C．﹣12＜a＜0 D．a≤【分析】由函数f（x）=的定义域是R，表示函数的分母恒不为零，即方程ax2+ax﹣3=0无解，根据一元二次方程根的个数与判断式△的关系，我们易得数a的取值范围．【解答】解：由a=0或可得﹣12＜a≤0，故选：B．【点评】求函数的定义域时要注意：（1）当函数是由解析式给出时，其定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合．（2）当函数是由实际问题给出时，其定义域的确定不仅要考虑解析式有意义，还要有实际意义（如长度、面积必须大于零、人数必须为自然数等）．（3）若一函数解析式是由几个函数经四则运算得到的，则函数定义域应是同时使这几个函数有意义的不等式组的解集．若函数定义域为空集，则函数不存在．（4）对于（4）题要注意：①对在同一对应法则f 下的量“x”“x+a”“x﹣a”所要满足的范围是一样的；②函数g（x）中的自变量是x，所以求g（x）的定义域应求g（x）中的x的范围．4．集合A={x|0≤x≤4}，B={y|0≤y≤2}，下列不能表示从A到B的函数的是（）A．B．f：x→y=2﹣x C．D．【分析】根据函数的定义分别进行判断即可．【解答】解：C的对应法则是f：x→y=x，可得f（4）=∉B，不满足映射的定义，故C的对应法则不能构成映射．故C的对应f中不能构成A到B的映射．故选：C．【点评】本题给出集合A、B，要求我们找出从A到B的映射的个数，着重考查了映射的定义及其判断的知识，属于基础题．5．下列图形中，不能表示以x为自变量的函数图象的是（）A．B．C．D．【分析】利用函数定义，根据x取值的任意性，以及y的唯一性分别进行判断．【解答】解：B中，当x＞0时，y有两个值和x对应，不满足函数y的唯一性，A，C，D满足函数的定义，故选：B．【点评】本题主要考查函数的定义的应用，根据函数的定义和性质是解决本题的关键．6．下列函数与函数y=x相等的是（）A．B．C．D．【分析】已知函数的定义域是R，分别判断四个函数的定义域和对应关系是否和已知函数一致即可．【解答】解：A．函数的定义域为{x|x≥0}，两个函数的定义域不同．B．函数的定义域为R，y=|x|，对应关系不一致．C．函数的定义域为R，两个函数的定义域和对应关系相同，是同一函数．D．函数的定义域为{x|x≠0}，两个函数的定义域不同．故选：C．【点评】本题主要考查判断两个函数是否为同一函数，判断的标准是判断函数的定义域和对应关系是否一致，否则不是同一函数．7．如图所示，可表示函数图象的是（）A．①B．②③④C．①③④D．②【分析】利用函数的定义分别对四个图象进行判断．【解答】解：由函数的定义可知，对定义域内的任何一个变化x，在有唯一的一个变量y与x对应．则由定义可知①③④，满足函数定义．但②不满足，因为②图象中，当x＞0时，一个x对应着两个y，所以不满足函数取值的唯一性．所以不能表示为函数图象的是②．故选：C．【点评】本题主要考查了函数的定义以及函数的应用．要求了解，对于一对一，多对一是函数关系，一对多不是函数关系．8．下列四组函数，表示同一函数的是（）A．，g（x）=xB．C．D．f（x）=|x+1|，g（x）=【分析】根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，判断它们是同一函数．【解答】解：对于A，f（x）==|x|，与g（x）=x的对应关系不同，∴不是同一函数；对于B，f（x）=（x≥2或x≤﹣2），与g（x）==（x≥2）的定义域不同，∴不是同一函数；对于C，f（x）=x（x∈R），与g（x）==x（x≠0）的定义域不同，∴不是同一对于D，f（x）=|x+1|=，与g（x）=的定义域相同，对应关系也相同，是同一函数．故选：D．【点评】本题考查了判断两个函数是否为同一函数的应用问题，是基础题目．9．已知函数f（x）=，x∈{1，2，3}．则函数f（x）的值域是（）A．B．（﹣∞，0]C．[1，+∞）D．R【分析】直接由已知函数解析式求得函数值得答案．【解答】解：f（x）=，x∈{1，2，3}，当x=1时，f（1）=1；当x=2时，f（2）=；当x=3时，f（3）=．∴函数f（x）的值域是．故选：A．【点评】本题考查函数值域的求法，是基础的计算题．10．若函数y=的值域为[0，+∞），则a的取值范围是（）A．（3，+∞）B．[3，+∞）C．（﹣∞，0]∪[3，+∞）D．（﹣∞，0）∪[3，+∞）【分析】由题意：函数y是一个复合函数，值域为[0，+∞），则函数f（x）=ax2+2ax+3的值域要包括0．即最小值要小于等于0．【解答】解：由题意：函数y=是一个复合函数，要使值域为[0，+∞），则函数f（x）=ax2+2ax+3的值域要包括0，即最小值要小于等于0．则有：⇒解得：a≥3所以a的取值范围是[3，+∞）．故选：B．【点评】本题考查了复合函数的值域的求法，通过值域来求参数的问题．属于基11．二次函数f（x）=x2﹣4x+1（x∈[3，5]）的值域为（）A．[﹣2，6]B．[﹣3，+∞）C．[﹣3，6]D．[﹣3，﹣2]【分析】利用二次函数的单调性即可求解值域．【解答】解：函数f（x）=x2﹣4x+1，其对称轴x=2，开口向上，∵x∈[3，5]，∴函数f（x）在[3，5]单调递增，当x=3时，f（x）取得最小值为﹣2．当x=5时，f（x）取得最小值为6∴二次函数f（x）=x2﹣4x+1（x∈[3，5]）的值域为[﹣2，6]．故选：A．【点评】本题考查二次函数的单调性求解最值问题，属于函数函数性质应用题，较容易．12．若函数的定义域、值域都是[2，2b]，则（）A．b=2 B．b∈[1，2]C．b∈（1，2）D．b=1或b=2【分析】根据二次函数的性质建立关系解得b的值．【解答】解：函数其对称轴x=2，∴函数f（x）在定义域[2，2b]是递增函数，且2b＞2，即b＞1．那么：f（2b）=2b即2b=﹣4b+4解得：b=2故选：A．【点评】本题考查了定义域、值域的关系，利用二次函数的性质，属于基础题．二．填空题（共4小题）13．函数f（x）=的定义域为[﹣3，1] ，值域为[0，2] ．【分析】根据函数的定义域和值域的定义进行求解即可．【解答】解：要使函数有意义，则3﹣2x﹣x2≥0，即x2+2x﹣3≤0，解得﹣3≤x≤1，故函数的定义域为[﹣3，1]，设t=3﹣2x﹣x2，则t=3﹣2x﹣x2=﹣（x+1）2+4，则0≤t≤4，即0≤≤2，即函数的值域为[0，2]，故答案为：[﹣3，1]，[0，2]【点评】本题主要考查函数定义域和值域的求解，利用换元法结合一元二次函数的性质是解决本题的关键．14．函数的定义域是[﹣3，1] ．【分析】根据使函数的解析式有意义的原则，结合偶次根式的被开方数必须不小于0，我们可以构造关于自变量x的不等式组，解不等式组，可得答案．【解答】解：要使函数的解析式有意义自变量x须满足解得﹣3≤x≤1即函数的定义域是[﹣3，1]故答案为：[﹣3，1]【点评】本题考查的知识点是函数的定义域及其求法，其中列出满足条件的不等式组，是解答本题的关键．15．函数y=的定义域为R，则k的取值范围[0，2] ．【分析】把函数y=的定义域为R转化为kx2﹣4kx+6≥0对任意x∈R恒成立．然后对k分类求解得答案．【解答】解：要使函数y=的定义域为R，则kx2﹣4kx+6≥0对任意x∈R恒成立．当k=0时，不等式化为6≥0恒成立；当k≠0时，则，解得0＜k≤2．综上，k的取值范围是[0，2]．故答案为：[0，2]．【点评】本题考查函数的定义域及其求法，考查数学转化思想方法，是中档题．16．函数的值域为．【分析】令（t≥0），得x=﹣t2+1，把原函数转化为关于t的一元二次函数求解．【解答】解：令（t≥0），得x=﹣t2+1，∴原函数化为y=．∴数的值域为：．故答案为：．【点评】本题考查函数值域的求法，训练了利用换元法求函数的值域，是中档题．三．解答题（共6小题）17．求下列函数的定义域：（1）；（2）．【分析】（1）由二次根式的意义可知：（2）由二次根式和分式的意义可知：，分别解不等式组可得答案．【解答】解：（1）由二次根式的意义可知：，∴定义域为[﹣8，3]．（2）由二次根式和分式的意义可知：∴定义域为{﹣1}．故答案为：（1）定义域为[﹣8，3]，（2）定义域为{﹣1}．【点评】本题为函数定义域的求解，使式子有意义，化为不等式组是解决问题的关键，属基础题．18．已知函数f（x）=（1）求f（1）+f（2）+f（3）+f（）+f（）的值；（2）求f（x）的值域．【分析】（1）直接根据函数解析式求函数值即可．（2）根据x2的范围可得1+x2的范围，再求其倒数的范围，即为所求．【解答】解：（1）原式=++=．（2）∵1+x2≥1，∴≤1，即f（x）的值域为（0，1]．【点评】本题考查了函数的值与函数的值域的求法，可怜虫推理能力与计算能力，属于中档题．19．已知函数y=的定义域为R，求实数m的取值范围．【分析】根据题意，一元二次不等式x2+6mx+m+8≥0恒成立；△≤0，求解集即可．【解答】解：函数y=的定义域为R，∴x2+6mx+m+8≥0恒成立；∴△=36m2﹣4（m+8）≤0，整理得9m2﹣m﹣8≤0，解得﹣≤m≤1，∴实数m的取值范围是﹣≤m≤1．【点评】本题考查了一元二次不等式恒成立的应用问题，是基础题．20．当x＞0时，求函数的值域．【分析】利用分离常数法，结合基本不等式即可求解值域；【解答】解：∵x＞0，x+1＞0∴函数===2（当且仅当x=时取等号）故得原式函数的值域为[，+∞）．【点评】本题考查了函数值域的求法．高中函数值域求法有：1、观察法，2、配方法，3、反函数法，4、判别式法；5、换元法，6、数形结合法，7、不等式法，8、分离常数法，9、单调性法，10、利用导数求函数的值域，11、最值法，12、构造法，13、比例法．要根据题意选择．21．已知函数，（1）求函数的定义域；（2）求的值．【分析】（1）根据分式及偶次根式成立的条件可得，，解不等式可求函数的定义域（2）直接把x=﹣3，x=代入到函数解析式中可求【解答】解：（1）由题意可得，解不等式可得，{x|x≥﹣3且x≠﹣2}故函数的定义域，{x|x≥﹣3且x≠﹣2}（2）f（﹣3）=﹣1，f（）=【点评】本题主要考查了函数的定义域的求解，函数值的求解，属于基础试题22．求函数f（x）=x2+|x﹣2|，x∈[0，4]的值域．【分析】去掉绝对值，得到两段函数，并对每段函数配方即可求出该段的函数f （x）的范围，对两段上求得的f（x）求并集即可求得f（x）的值域．【解答】解：f（x）=；∴当x∈[0，2]时，当x∈（2，4]时，f（x）∈（4，18]综上，即函数f（x）的值域为．【点评】考查求函绝对值函数的值域的求法，以及配方法求二次函数的值域．。

高中数学函数的定义域测试题(含答案)高二数学函数的定义域与值域、单调性与奇偶性苏教版【本讲教育信息】一. 教学内容：函数的定义域与值域、单调性与奇偶性二. 教学目标：理解函数的性质，能够运用函数的性质解决问题。

三. 教学重点：函数性质的运用．四. 教学难点：函数性质的理解。

［学习过程］一、知识归纳：1. 求函数的解析式（1）求函数解析式的常用方法：①换元法（注意新元的取值范围）②待定系数法（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等）③整体代换（配凑法）④构造方程组（如自变量互为倒数、已知f（x）为奇函数且g（x）为偶函数等）（2）求函数的解析式应指明函数的定义域，函数的定义域是使式子有意义的自变量的取值范围，同时也要注意变量的实际意义。

（3）理解轨迹思想在求对称曲线中的应用。

2. 求函数的定义域求用解析式y＝f（x）表示的函数的定义域时，常有以下几种情况：①若f（x）是整式，则函数的定义域是实数集R；②若f（x）是分式，则函数的定义域是使分母不等于0的实数集；③若f（x）是二次根式，则函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数集合；④若f（x）是由几个部分的数学式子构成的，则函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合；⑤若f（x）是由实际问题抽象出来的函数，则函数的定义域应符合实际问题.3. 求函数值域（最值）的一般方法：（1）利用基本初等函数的值域；（2）配方法（二次函数或可转化为二次函数的函数）；（3）不等式法（利用基本不等式，尤其注意形如型的函数）（4）函数的单调性：特别关注的图象及性质（5）部分分式法、判别式法（分式函数）（6）换元法（无理函数）（7）导数法（高次函数）（8）反函数法（9）数形结合法4. 求函数的单调性（1）定义法：（2）导数法：（3）利用复合函数的单调性：（4）关于函数单调性还有以下一些常见结论：①两个增（减）函数的和为_____；一个增（减）函数与一个减（增）函数的差是______；②奇函数在对称的两个区间上有_____的单调性；偶函数在对称的两个区间上有_____的单调性；③互为反函数的两个函数在各自定义域上有______的单调性；（5）求函数单调区间的常用方法：定义法、图象法、复合函数法、导数法等（6）应用：比较大小，证明不等式，解不等式。

函数的定义域、解析式测试题（教师版）一、已知解析式求定义域1、函数f (x )＝11－2x 的定义域是__________(用区间表示)． 解析：函数f (x )＝11－2x的定义域应满足1－2x ＞0，即x ＜12，用区间表示该数集为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12. 2、函数f (x )＝f (x )＝(x ＋1)0|x |－x.的定义域为________．(用区间表示) [答案] {x |x ＜0且x ≠－1}[解析] 由题意得⎩⎨⎧ x ＋1≠0，|x |－x ＞0，解得x ＜0且x ≠－1，所以函数f (x )的定义域为{x |x ＜0且x ≠－1}．3、 y ＝2x ＋3－12－x ＋1x的定义域为__________(用区间表示) 4、若函数y ＝f (x )的定义域是[0,2]，则函数g (x )＝f 2x x －1的定义域是__________(用区间表示)解析 ∵y ＝f (x )的定义域是[0,2]，∴要使g (x )＝f 2x x －1有意义，需⎩⎨⎧ 0≤2x ≤2，x －1≠0， ∴0≤x <1.二、复合函数的定义域(1)已知函数y ＝f (2x ＋1)的定义域为[1,2]，求函数y ＝f (x )的定义域．（2）已知函数y ＝f (x)的定义域为[1,2]，求函数y ＝f (2x-3)的定义域．(3)已知函数y ＝f (2x －1)的定义域为[1,2]，求函数y ＝f (1－x )的定义域．(4)知函数f x ()的定义域为 [1,1]-，且函数()()()F x f x m f x m =+--的定义域存 在，求实数m 的取值范围。

解析：(1)∵y ＝f (2x ＋1)的定义域为[1,2]，即x ∈[1,2]，∴2x ＋1∈[3,5]．把x 替代2x ＋1，即为函数y ＝f (x )，故函数y ＝f (x )的定义域为[3,5]．(2)[2,2.5](3)∵y ＝f (2x －1)的定义域为[1,2]，∴1≤x ≤2，∴1≤2x －1≤3，即为函数y ＝f (1－x )中的1－x 的范围．∴1≤1－x ≤3，∴0≤－x ≤2，∴－2≤x ≤0.∴函数y ＝f (1－x )的定义域为[－2,0](4) 11m -≤≤三、求解析式的方法一、换元法例1 已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，求f (x )．分析 采用整体思想，可把f (x ＋1)中的“x ＋1”看做一个整体，然后采用另一参数替代．解 令t ＝x ＋1，则x ＝(t －1)2(t ≥1)，代入原式有f (t )＝(t －1)2＋2(t －1)＝t 2－1.∴f (x )＝x 2－1(x ≥1)．点评 将接受对象“x ＋1”换作另一个元素(字母)“t ”，然后从中解出x 与t 的关系，代入原式中便求出关于“t ”的函数关系，此即为函数解析式，但在利用这种方法时应注意自变量取值范围的变化，否则就得不到正确的表达式．此法是求函数解析式时常用的方法．二、待定系数法例2 已知f (x )为二次函数，且f (x ＋1)＋f (x －1)＝2x 2－4x ，求f (x )的表达式． 解 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则f (x ＋1)＋f (x －1)＝a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋c ＋a (x －1)2＋b (x －1)＋c＝2ax 2＋2bx ＋2a ＋2c＝2x 2－4x .故有⎩⎨⎧2a ＝2，2b ＝－4，2a ＋2c ＝0，解得⎩⎨⎧ a ＝1，b ＝－2，c ＝－1. 所以f (x )＝x 2－2x －1. 点评 若已知函数是某个基本函数，可设表达式的一般式，再利用已知条件求出系数． 三、方程消元法 例3 已知：2f (x )＋f (1x )＝3x ，x ≠0，求f (x )．解 2f (x )＋f (1x )＝3x ， ①用1x 去代换①式中的x 得2f (1x )＋f (x )＝3x. ② 由①×2－②得f (x )＝2x －1x，x ≠0. 点评 方程消元法是指利用方程组通过消参、消元的途径达到求函数解析式的目的．四、赋值法例4 设f (x )是R 上的函数，且满足f (0)＝1，并且对任意实数x ，y ，有f (x －y )＝f (x )－y (2x －y ＋1)，求f (x )的表达式．解 令x ＝y 得f (0)＝f (x )－x (2x －x ＋1)＝1，所以f (x )＝x 2＋x ＋1.点评 有些函数的性质是用条件恒等式给出的，有时可以通过赋值法使问题得以解决．五、配凑法已知函数f (x )满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ＝x 2＋1x2，则f (x )的表达式为( ) A ．f (x )＝x ＋1xB ．f (x )＝x 2＋2C ．f (x )＝x 2D ．f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 2 解析：∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ＝x 2＋1x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 2＋2， ∴用x 代换x －1x 得f (x )＝x 2＋2，故选B.六、应用型已知函数y ＝f (x )的图象是由图中的两条射线和抛物线的一部分组成，求函数的解析式．解 根据图象，设左侧射线对应的函数解析式为y ＝kx ＋b (x <1)． ∵点(1,1)、(0,2)在射线上， ∴⎩⎨⎧ k ＋b ＝1，b ＝2， 解得⎩⎨⎧ k ＝－1，b ＝2.∴左侧射线对应的函数解析式为y ＝－x ＋2 (x <1)．同理，x >3时，函数的解析式为y ＝x －2 (x >3)．又抛物线对应的二次函数的解析式为y ＝a .(x －2)2＋2 (1≤x ≤3，a .<0)，∵点(1,1)在抛物线上，∴a .＋2＝1，a .＝－1，∴当1≤x ≤3时，函数的解析式为y ＝－x 2＋4x －2 (1≤x ≤3)．综上所述，函数的解析式为y ＝⎩⎨⎧ －x ＋2 x <1，－x 2＋4x －2 1≤x ≤3，x －2 x >3.。