表象理论中转换矩阵和传递矩阵的研究
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量子力学的表象变换与矩阵形式
基矢变换的一个重要应用是求解量子力学中的本征值 问题。通过选择合适的基矢，可以将一个复杂的二次 型哈密顿量变为简单的形式，从而方便求解。
坐标表象与动量表象
01
坐标表象和动量表象是量子力学中最常用的两种表象。在 坐标表象中，波函数是坐标的函数，而在动量表象中，波 函数是动量的函数。
02 03
在坐标表象中，哈密顿量是一个关于坐标的二次型，而在 动量表象中，哈密顿量是一个关于动量的二次型。因此， 这两种表象适用于不同类型的问题。在求解一些与位置和 动量有关的物理问题时，选择合适的表象可以大大简化计 算过程。
表象变换
基矢变换
基矢变换的基本思想是通过线性组合的方式，将一组 旧的基矢变换为新的基矢。在量子力学中，这种变换 通常是通过一个可逆矩阵来实现的。
基矢变换是指在不同表象之间进行转换时，基矢的选 择会发生改变。在量子力学中，一个量子态由一个波 函数来描述，而波函数在不同的表象下会有不同的形 式。基矢变换就是用来描子计算
01
量子纠缠是量子力学中的一种现象，指两个或多个量子系统之 间存在一种特殊的关联，使得它们的状态无法单独描述。
02
量子纠缠在量子计算中具有重要作用，是量子并行性和量子算
法复杂性的基础。
利用量子纠缠，可以实现更高效的量子算法和量子通信协议。
03
量子通信与量子密码学
量子通信利用量子力学原理实现 信息的传输和保护，具有无条件
描述了密度矩阵的演化，其矩阵形式为密度矩阵与时间导数的乘积。
矩阵形式的测量与观测
量子测量
通过测量操作，将量子态投影到测量 算子的本征态上，其结果以概率的形 式给出。
观测结果
观测结果以概率分布的形式给出，反 映了量子态的测量结果与测量算子的 本征值的关联。
表象理论 矩阵表示 表象变换
9
今有K表象 {i}, L表象 {},
两组基之间的关系是：
= i ii = i Ui i,
i = i = U-1i ,
其中，
Ui
=
i
，
U
-1
i
=
i
.
而且 UiU-1j = ij, i UiUi = .
A
A21
An1
A22
An2
A2n
Ann
注: 前面在Hilbert 空间中所述的矢量、算符之间的各种加法、乘法和
数乘运算等, 现在都可以很方便的用矩阵乘法来代替.
7
另外, 我们知道 是一个算符; 甚至这个关系也
能写成矩阵形式：
1
即
K i =ki i
则这个表象就用算符完备组K命名, 称为K表象.
4
矢量的表示
利用iii=1
任意矢量 ，可以按基矢展开 =iii = i i i, i = i
上式的中投, 影i 为. 一复数，而i i称为矢量 在基矢i 一因个而给 这定 组的 分矢 量量就可 看,由作其是全其部在分K表量象{中i}完的全表确示定，
进而，两个矢量的内积为
5
算符的表示
给定算符 A 和关系式 = A 有 j ijAii i Ajii ,
其中 Aji= jAi, 上式成为
j i Aji i .
10
一、矢量的表象变换
矢量 : K表象: i = i ； L表象: = . 由 = i ii ，知 = iU-1ii 或写成矩阵形式：
U-i1
今有K表象 {i}, L表象 {},
两组基之间的关系是：
= i ii = i Ui i,
i = i = U-1i ,
其中，
Ui
=
i
，
U
-1
i
=
i
.
而且 UiU-1j = ij, i UiUi = .
A
A21
An1
A22
An2
A2n
Ann
注: 前面在Hilbert 空间中所述的矢量、算符之间的各种加法、乘法和
数乘运算等, 现在都可以很方便的用矩阵乘法来代替.
7
另外, 我们知道 是一个算符; 甚至这个关系也
能写成矩阵形式：
1
即
K i =ki i
则这个表象就用算符完备组K命名, 称为K表象.
4
矢量的表示
利用iii=1
任意矢量 ，可以按基矢展开 =iii = i i i, i = i
上式的中投, 影i 为. 一复数，而i i称为矢量 在基矢i 一因个而给 这定 组的 分矢 量量就可 看,由作其是全其部在分K表量象{中i}完的全表确示定，
进而，两个矢量的内积为
5
算符的表示
给定算符 A 和关系式 = A 有 j ijAii i Ajii ,
其中 Aji= jAi, 上式成为
j i Aji i .
10
一、矢量的表象变换
矢量 : K表象: i = i ； L表象: = . 由 = i ii ，知 = iU-1ii 或写成矩阵形式：
U-i1
第7章 量子力学的矩阵形式与表象变换
这组数(a1,a2, … an, …)就是态ψ在Q表象中 的表示。可用列矩阵表示。设ψ是归一化的， 那么就有
* * d a a u m n mun d 2 mn
a an mn a an 1
* m * n mn n
9
由此可见，|an|2是ψ所描述的态中测量力学量Q所
ˆ 的共同本征态un(n代表 的任何一个力学量完全集 Q
一组完备的量子数，并先考虑分立谱情况)可以用
来构成此态空间的一组正交归一完备基矢，称为Q
表象。基矢满足正交归一性
(u m , u n ) mn
8
按态叠加原理，体系的任何一个态ψ可以用它们 展开
an u n
n
其中an (u n , )
为λ。可见，幺正变换不改变算符的本征值。
ˆ 自身的表象， 如果F' 是对角矩阵，即B表象是 F ˆ 本征值的问题归结为寻找一个幺正变换把算符 F
ˆ 的本征值。于是求算符 那么F' 的对角元素就是 F ˆ 自身的表象，使 F ˆ 的矩阵 从原来的表象变换到 F 表示对角化。解定态薛定谔方程求定态能级的问
ˆ 在A表象中的本征值方程为Fa=λa。λ为本 设F
征值，a为本征矢。通过幺正变换将F和a从A表 象变换到B表象，则有
F ' SFS ; b Sa
1
在B表象中有
F ' b (SFS1 )Sa
SFa Sa b
即 F'b b
19
ˆ 在B表象中的本征值仍 这个本征值方程说明算符 F
am ' u m ' an u n
量子力学表象变换和矩阵形式
(
x,
t
)
p
(
x)dx,
（13）
如果已知ψ(r,t) 就可以通过上式得到c(p,t)，反过来也成立。
(r,t) 2d 3r c(p,t) 2d 3 p,
（14）
显然， c(p,t)描述的粒子态与ψ(r,t)描述的粒子态同样完整。 已 知c(p,t)，就可以求出ψ(r,t)，反之也一样。即c(p,t)和ψ(r,t)描述 的是粒子态同一个状态。因此，将c(p,t)称为粒子态的动量表象。
(x,t) 2 dx 1
所以
a* n (t)an (t) 1
n
an 2 是对应力学量Q取不同能量本征值的几率
数列a1(t), a2 (t), a3(t),...an (t)..
可表示成一 列矩阵的形 式
a1(t)
a2 (t)
an (t)
能量表象
1 sin n x
a 2a
En
22n2 8a 2
xmn
1 a
sin(
n
2a
x)
xˆ
sin( m
2a
)xdx
1 a
x sin(
n
2a
x)
sin( m
2a
)xdx
1
x11 a
x sin2 xdx
2a
x12
1 a
x sin x sin 2 xdx来自)(ypˆ z
zpˆ y
)2
p'
(r)d
3r
4. 2算符的矩阵表示
第八章 量子力学的矩阵形式与表象变换 2 量子力学教学课件
xnn
当 m n 时，非对角元为:
xmn
2 a a 2 nx x sin dx a 0 a 2
2 a mx nx (sin ) x(sin )dx a 0 a a
x dx
1 a (m n) (m n) x cos x cos 0 a a a
j j , S j j j j k k
ˆ Lkj k , L j
L
ˆ , L
, k S k
ˆ S L S ( SLS ) S k S 得 L , L j k j k kj j kj kj
Qm为Q在自身空间中的的本征值
Qnm u ( x)Qum (x)dx u ( x)Qmu m (x)dx
n n
m u ( x)u m (x)dx Qm nm
n
结论：算符在自身的表象中是一个对角矩阵
15
例：一维谐振子的坐标x,动量p和Hamilton量H在能量表象中 的矩阵表示。 谐振子的能量本征函数记为ψn (n=0, 1, 2, ……)
第16页
第17页
例: 求一维无限深势阱中粒子的坐标算符 ˆ 在能量表象中的矩阵表示。 H 解：
ˆ 及哈密顿算符 x
一 维无限深势阱能量的本征函数基矢为:
n
2 n x sin a a
2 2 2
n 能级 En 2 2 a
n=1,2,3,…..
18
坐标算符x
当m=n时,对角元为:
即变换矩阵S是么正矩阵， 所以变换也称为么正变换。
10
§ 2.力学量（算符）的矩阵表示
量子力学讲义IV.表象理论（矩阵表述）
量⼦⼒学讲义IV.表象理论（矩阵表述）IV. 表象理论 ( 矩阵表述 )1．如何⽤矩阵表⽰量⼦态与⼒学量，并说明理由？答：矩阵表⽰⼀般⽤于本征值为离散谱的表象（相应的希尔伯空间维数是可数的）。
具体说，如果⼒学量的本征⽮为，相应本征值分别为。
假定⼀个任意态⽮为，将它展开For personal use only in study and research; not for commercial use则态⽮在表象中波函数便可⽤展开系数的⼀列矩阵表⽰其意义是：在态中，取的概率为，这与表象中波函数意义是类似的。
⼒学量⽤厄⽶⽅阵表⽰，。
显然，⼀列矩阵和⽅阵维数与希尔伯空间维数是相等的。
⽤矩阵表⽰⼒学量，有如下理由：第⼀可以反映⼒学量作⽤于⼀个量⼦态得到另⼀个量⼦态的事实。
设，式中，。
取，两端左乘，取标积得，即第⼆矩阵乘法⼀般不满⾜交换率，这恰好能满⾜两个⼒学量⼀般不对易的要求。
第三厄⽶矩阵的性质能体现⼒学量算符的厄⽶性。
对于本征值为连续谱的表象（希尔伯空间维数不可数），也可形式的运⽤矩阵表⽰，这时可将矩阵元素看成式连续分布的。
2.量⼦⼒学中，不同表象间：基⽮、波函数、⼒学量是如何变换的？答：量⼦⼒学中由⼀个表象到另⼀个表象的变换为⼳正变换，它类似于欧⽒空间中坐标转动。
设表象中的基⽮为表象中的基⽮为(1) 基⽮变换关系为式中，（为⼳正矩阵）。
设有任意态，则态在及表象中波函数分别为矩阵。
(2) 波函数变换规则为：矩阵。
(3) ⼒学量变换规则为：。
（式中与为⼒学量在、表象中矩阵）3.正变换有什么特征？答：⼳正变换特点：(1⼳正变换不改变态⽮的模，这⼀特征相当于坐标旋转变换；(2⼳正变换不改变⼒学量本征值；(3)⼒学量矩阵之迹 TrF与矩阵⾏列式 dgtF亦不因⼳正变换⽽改变．4. 学量在其⾃⾝表象中如何表⽰？其本征⽮是什么 ?答：如果⼒学量本征值为离散谱，那么，它在其⾃⾝表象中表⽰式为对⾓矩阵，为诸本征值。
本征⽮为单元素⼀列矩阵如果⼒学量本征值为连续谱，则它在其⾃⾝表象中为纯变量其本征⽮为函数。
力学量的矩阵形式与表象变换
表象变换的应用
要点一
总结词
表象变换在量子力学中有着广泛的应用，它可以用于解决 各种实际问题。
要点二
详细描述
表象变换可以用于计算量子态的演化、求解薛定谔方程、 理解量子纠缠等现象。通过选择适当的表象，我们可以将 复杂的问题简化为更易于处理的形式，从而更好地理解和 应用量子力学的基本原理。此外，表象变换在量子计算和 量子信息处理等领域也有着重要的应用，它可以用于实现 量子算法和量子通信等任务。
02
表象变换
表象变换的概念
总结词
表象变换是量子力学中一个重要的概念，它涉及到对物理系统的描述方式的改变。
详细描述
在量子力学中，一个物理系统可以用不同的方式进行描述，这些描述方式被称为表象。表象变换就是从一个表象 变换到另一个表象的过程。通过表象变换，我们可以选择最适合问题解决的方式进行描述，从而简化计算和问题 解决过程。
应用于量子模拟
通过表象变换，可以更好地模拟和分析一些复杂的量子系 统，例如凝聚态物质中的强关联效应等。
感谢观看
THANKS
简化计算
通过选择合适的表象，可以简化 某些物理过程的计算过程，提高 计算效率。
表象变换在量子力学中的具体应用
角动量表象
在角动量表象中，角动量算符可以表示为矩阵形式，方便进行计 算和表示。
位置和动量表象
在位置和动量表象中，位置和动量算符可以表示为简单的算术运 算，有助于理解量子力学的非经典性质。
哈密顿表象
力学量的矩阵形式 与表象变换
目 录
• 力学量的矩阵表示 • 表象变换 • 力学量的本征值与本征态 • 力学量算符的变换规则 • 表象变换在量子力学中的应用
01
力学量的矩阵表示
量子力学第四章-表象理论(3部分)
∑a
n
n
*(t )an (t ) + ∫ aq *(t )aq (t )dq = 1
|aq(t)|2dq 是在 是在Ψ(x,t) 态中 测量力学量 Q 所得结果在 q → q + d q之间的几率。 之间的几率。 之间的几率
在这样的表象中， 在这样的表象中，Ψ 仍可以用一个列矩阵 表示： 表示：
a1(t) a 2(t) M Ψ = a n (t) M aq (t)
将Ψ(x,t) 按 Q 的 本征函数展开： 本征函数展开：
Ψ( x, t ) = ∑ an (t )un ( x)
n
证：
1 = ∫ Ψ * ( x, t )Ψ( x.t )dx
=
an (t ) = ∫ un * ( x)Ψ( x.t )dx
a1(t), a2(t), ..., an(t), ... ...,
∫
ψ p * ( x )ψ p ′ ( x ) e
− iE p′ t / h
dx
所以，在动量表象中， 所以，在动量表象中， 具有确定动量p 的粒 具有确定动量p’的粒 子的波函数是以动量 函数。 p为变量的δ- 函数。 换言之， 换言之，动量本征函 数在自身表象中是一 函数。 个δ函数。
=e
− iE p′ t / h
假设只有分立本征值将q表象的表达方式代入一力学量算符的矩阵表示22211211nm是其矩阵元写成矩阵形式q表象的表达方式11101011计算中使用了公式由此得l在自身表象中具有最简单形式是一个对角矩阵对角元素就是1力学量算符用厄密矩阵表示dx所以厄密算符的矩阵表示是一厄密矩阵
第四章 态和力学量表象
§1 态的表象 §2 算符的矩阵表示 §3 量子力学公式的矩阵表述 §4 Dirac 符号 §5 Hellmann – Feynman 定理及应用 §6 占有数表象 §7 么正变换矩阵
量子力学的表象变换
量子力学的表象变换量子力学是描述微观粒子行为的理论，它具有许多奇特的特性和规律。
其中一个重要的概念就是表象变换，它是一个数学工具，用于描述在不同的观测角度下，量子系统的性质和行为。
量子力学的表象变换可以理解为从一个视角切换到另一个视角，就像在观察一幅画时，可以从不同的角度看到不同的景象一样。
这种变换的目的是为了更好地理解和描述量子系统的行为。
在量子力学中，存在多种不同的表象，如波函数表象（也称为薛定谔表象）和狄拉克表象（也称为自由度表象）。
在波函数表象中，系统的状态由波函数描述，而在狄拉克表象中，系统的状态由态矢量描述。
表象变换的基本原理是变换矩阵的应用。
这个变换矩阵是一个数学工具，用于在不同的表象之间建立联系。
它可以将一个态矢量或波函数从一个表象变换到另一个表象，从而描述量子系统在不同观测角度下的行为。
在量子力学中，表象变换有两种基本形式，即基态表象变换和幺正变换。
基态表象变换是将系统的基矢量从一个表象变换到另一个表象，通过变换矩阵的作用，得到新的基矢量。
幺正变换则是将整个系统的态矢量或波函数进行变换，通过变换矩阵的作用，得到新的态矢量或波函数。
通过表象变换，我们可以更好地理解和描述量子系统的性质和行为。
例如，在不同的表象下，量子系统的能量、动量和位置等物理量的表达式可以有所不同。
通过表象变换，我们可以在不同的表象下计算这些物理量，从而得到更全面的量子力学描述。
除了基本的表象变换之外，量子力学还涉及到更复杂的变换，如相互作用表象变换和相互作用绘景变换。
这些变换是为了更好地描述量子系统在相互作用下的行为和演化。
表象变换在量子力学中发挥着重要的作用。
它不仅为我们提供了一种理解和描述量子系统行为的数学工具，也为实际应用提供了基础。
例如，在量子计算和量子通信中，表象变换可以用于描述和控制量子态的演化和传输，从而实现更高效和安全的量子信息处理。
最后，需要注意的是，量子力学的表象变换本质上是一种数学工具，它并不涉及具体的实验操作。
4.6 量子力学的矩阵形式和表象变换
an给(t出) 2在
态(中r,测t)量粒子的力学量Q 取 值的几q率n。
69
13
以上讨论与三维矢量空间一矢量的表示很类似。
三维矢量空间
e1,
e2
,
e3
A A1e1 A2e2 A3e3
A1 A A2
A3
Hilbert空间：满足态迭加原理的状态全体构成一个复线性空间，称
为Hilbert空间，体系的状态波函数 是Hilbert空间中的一个矢量，称为
并引入记号： Fnm
un*
(
x)Fˆ
(
x,
i
x
)um
(
x)dx
69
26
可将（2）式写成：bn (t) Fnmam (t)
排成矩阵形式：
m
b1(t) F11 F12
b2
(t
)
F21
F1m
a1(t)
a2
(t
)
bn (t) Fn1 Fn2
Fnm
am (t)
69
a
1
e
i
pa
2 p2a2 / 2
22
能量表象：本征函数 n x
2 sin n x
aa
展开系数：
anE
1
x
* n
(
x)dx
1,n
即在自身表象中取δ形式。
∴ 基态在能量表象中的表示：
1
0
an
0
.
. .
1x an E n x a1E1x
n
69
23
2、算符的矩阵表示
力学量算符在不同表象中的表示
阵力学（海森堡Heisenberg）
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（） ８ 可知
有Ⅳ个算符分别为￡￡￡…￡ ， １ ， 在￡ 表象中， 他们的表达形式分别为 ￡￡三…厶， ， 。 §§§…Ｓ
分别是Ｎ一１ 个算符的变换算符 ． 可以将 ￡ 算符从
厶 表象 中变换到 ￡ 是的自身表象 中． ＾ 则可以存在 （０ １） （１ １）
中图 分类 号 ： Ｏ ３ ４１ 文献 标识 码 ： Ａ
１ 绪
论
＝
在 量 子力学 中 ， 一 个表 象 到另 一个 表象 的变 从 换， 称为 表象 变换 ． 两 种 办 法 可 以 实 现 表象 间 的 有 变 换 ： 种是 保持 态 矢 不 变 ， 一 把一 个 基 底换 成 另 一 个 基底 ， 另一 种是 保 持 基 底 不 变 ， 态 矢 变换 成 另 把
下 面的递推公 式
￡ ＝ ： ＝ ； ＝￡ ＝ 三 ￡雪 三 ：
则 有
￡ ＝ §￡ § ２ ；
三 ，＝ § Ｓ ｃ ； ， ￡Ｓ §
￡ ＝ Ｓ Ｓ § ￡ § § § ４ ； ， ， ；
（８ １）
（９ １）
（Ｏ ２）
§ｔ ：§￡ ：Ｓ ：
又 因为 § 与 § 变换算 符都 是 幺正算 符 ， 即有
§ ：＝§ ； ；＝Ｓ 则在等式两侧 同时左乘一个§ ， ：§ ；
右乘 一个 § 有 ：
￡ ＝ § Ｓ § § ￡ § § § ， ４ ２
量 算符 为 例 ， 当轨 道 角动 量 量子 数 ｆ １ ， ： 时 分量 的 个 数就 有 ２ ＋１而经 过转 换 矩 阵作 用后 变 回 自身 ２ ，
表 象 的矩 阵形式 是一 样 的 ， 是 因为 表象 变换不 改 这 变力学 量 的本征 值 、 符 自身 表象 中为对 角 阵和角 算 动量算符 在任 一 方 向 的 投 影算 符 的本 征 值 是 一 样 的 ． 于这些 性质 我 们 认 为 ， 基 在各 个 分 量 算符 之 间 进行 变换 的时候 ， 该 存 在 递 推 关 系 ， 得各 个 变 应 使 换 之 间建立 起一定 的联 系 ． 三 ： Ｓ ￡§ ： ￡ 为 Ｌ 在 自身 表象 下 的矩 阵表 达形 式 （） ４
Ｊ ｎ． ａ
２ ｌ ０Ｏ
文章 编 号 ：０ ８—１０ ｛ １｝ １ １３ ２ １０ ４２ ２ ０ ０ —００ —０ ０
表 象 理 论 中转 换 矩 阵 和 传 递 矩 阵 的研 究
崔 虹 云 ， 张海 丰
（ ． 木 斯 大 学 理 学 院 。 龙江 佳 木 斯 １４０ ） １佳 黑 ５０ ７
２ ２
§ ＝
０
１
（） ３
２ 轨 道 角 动 量 量 子 数 １： １ 三 ， 时 ：￡ ，
三 算 符 的 表 象 变 换 讨 论 ， ，
首 先我 们先 看较 简 单 的 ￡ ， ￡ 算 符 之间 的 ￡ ，
递推 ， ￡ 在 和 ￡ 的共 同表 象 中 ， 满足 的本征 方 ￡
第２ ８卷 第 １ 期
２１ 年 ０ 月 ００ １
佳 木 斯 大 学 学 报 （ 自 然 科 学 版 ）
Ｊｕｎ ｌ ｆ ｉ ｓ Ｕ ｉ ｒｉ Ｎ ｔｒ ｃ ｎ ｅＥ ｉ ｎ ｏｒａ ｏ ａ ｉ ｎｖ ｓ ｙ（ ａ ａ Ｓｉ ｃ ｄ ｉ ） Ｊ ｍｕ ｅ ｔ ｕｌ ｅ ｔ ｏ
Ｖｏ ． ８ １ ２ Ｎｏ． １
基金项目： 佳木斯大学科研项目（ ０８ １）黑龙江省教育厅面上课题（１２２１． １ ０ —１ ； ２ ６ １ ｌ９） ５
作者简介 ： 崔虹 云（９７一）女 ， １７ ， 黑龙江佳木斯人 ， 佳木斯大学理学院实验师 ， 硕士 ．
１４ ０
换矩阵， 即
佳 木 斯 大 学 学 报 （自 然 科 学 版 ）
摘
要 ： 对表 象理 论 转换 矩 阵和 传递 矩 阵进 行 了研 究 ， 再给 出三维 空 间角动 量的分 量算符 之 间
的转 换矩 阵的 基础 上 ， 导 出 了多维情 况 下的表 象之 间 变换 的传 递矩 阵 ， 得 多维 变换的理 论计 推 使 算更 加方便 快捷 ． 关键 词 ： 表 象理论 ； 转换 矩 阵 ； 递矩 阵 传
一
吉； ［一［ ＝。＝ ］ ］ ］ 吉 一 ；
２ ２
１
一
将 ￡在￡ 和 ￡ 的共 同表象 下 的本 征波 函数 按 顺 序排 列 ， 即可 得 到 ￡ 表 象 到 ￡ 表 象 之 间 的变 ；
个态矢 ． 教学 中我 们 发 现 ， 在 以角 动 量 算符 的分
ｆ ０１ ０ ０ ￡ １ ０Ｉ ：ｌ ０ ｈ ０ 一 ０ ｊ
（ ５ ）
＝
㈩
叫水铷 吉 ＝
将 ￡在￡ 和 ￡ 。 的共 同表象 下 的本 征波 函数
按顺序排列 ， 即可得到 ￡ 表象到 ￡ 表象之间的变 ，
① 收 稿 日期 ：００一Ｏ 一ｌ ２１ １ １
（） ８
三 ＝§三ｓ ｙ ；ｙｙ
上述情 况 是在 ￡ ， 三 三个 表象 中给 出的结 ￡ ，， 论． 我们可 以大胆 的 假设在 多维情 况下会 存在递 推 关系．
￡ ｆ ０１ ０ ０
：
ｌ ｈ ０ ｌ ０
（） ９
００ 一 ｊ ｈ
显然 ￡ 是 ￡ 在 自身表 象 下 的矩 阵表 示形 式 § 是将 ￡ 表 象边到 ￡ 表 现 的变换算 符 由式 （ ） 。 ４ 和
２ １ 年 ００
是在 其各 自自身 表象 中 的表 示形 式 ． 三者之 间存 其
在如 下关 系
２ ２
ｔ ＝ ： § ； ： ； 厶 ：￡ ＝ 丘 §
，
（） １ ７
§ ，＝
一
０ 杰 一
ｌ
一
ｌ
一
ｌ
（ ３ 轨 道 角 动 量 量子 数 Ｚ＝ ｎ时 各 分 ７ ） 量 算 的 表 象 变换 递 推 公 式 的推 导
有Ⅳ个算符分别为￡￡￡…￡ ， １ ， 在￡ 表象中， 他们的表达形式分别为 ￡￡三…厶， ， 。 §§§…Ｓ
分别是Ｎ一１ 个算符的变换算符 ． 可以将 ￡ 算符从
厶 表象 中变换到 ￡ 是的自身表象 中． ＾ 则可以存在 （０ １） （１ １）
中图 分类 号 ： Ｏ ３ ４１ 文献 标识 码 ： Ａ
１ 绪
论
＝
在 量 子力学 中 ， 一 个表 象 到另 一个 表象 的变 从 换， 称为 表象 变换 ． 两 种 办 法 可 以 实 现 表象 间 的 有 变 换 ： 种是 保持 态 矢 不 变 ， 一 把一 个 基 底换 成 另 一 个 基底 ， 另一 种是 保 持 基 底 不 变 ， 态 矢 变换 成 另 把
下 面的递推公 式
￡ ＝ ： ＝ ； ＝￡ ＝ 三 ￡雪 三 ：
则 有
￡ ＝ §￡ § ２ ；
三 ，＝ § Ｓ ｃ ； ， ￡Ｓ §
￡ ＝ Ｓ Ｓ § ￡ § § § ４ ； ， ， ；
（８ １）
（９ １）
（Ｏ ２）
§ｔ ：§￡ ：Ｓ ：
又 因为 § 与 § 变换算 符都 是 幺正算 符 ， 即有
§ ：＝§ ； ；＝Ｓ 则在等式两侧 同时左乘一个§ ， ：§ ；
右乘 一个 § 有 ：
￡ ＝ § Ｓ § § ￡ § § § ， ４ ２
量 算符 为 例 ， 当轨 道 角动 量 量子 数 ｆ １ ， ： 时 分量 的 个 数就 有 ２ ＋１而经 过转 换 矩 阵作 用后 变 回 自身 ２ ，
表 象 的矩 阵形式 是一 样 的 ， 是 因为 表象 变换不 改 这 变力学 量 的本征 值 、 符 自身 表象 中为对 角 阵和角 算 动量算符 在任 一 方 向 的 投 影算 符 的本 征 值 是 一 样 的 ． 于这些 性质 我 们 认 为 ， 基 在各 个 分 量 算符 之 间 进行 变换 的时候 ， 该 存 在 递 推 关 系 ， 得各 个 变 应 使 换 之 间建立 起一定 的联 系 ． 三 ： Ｓ ￡§ ： ￡ 为 Ｌ 在 自身 表象 下 的矩 阵表 达形 式 （） ４
Ｊ ｎ． ａ
２ ｌ ０Ｏ
文章 编 号 ：０ ８—１０ ｛ １｝ １ １３ ２ １０ ４２ ２ ０ ０ —００ —０ ０
表 象 理 论 中转 换 矩 阵 和 传 递 矩 阵 的研 究
崔 虹 云 ， 张海 丰
（ ． 木 斯 大 学 理 学 院 。 龙江 佳 木 斯 １４０ ） １佳 黑 ５０ ７
２ ２
§ ＝
０
１
（） ３
２ 轨 道 角 动 量 量 子 数 １： １ 三 ， 时 ：￡ ，
三 算 符 的 表 象 变 换 讨 论 ， ，
首 先我 们先 看较 简 单 的 ￡ ， ￡ 算 符 之间 的 ￡ ，
递推 ， ￡ 在 和 ￡ 的共 同表 象 中 ， 满足 的本征 方 ￡
第２ ８卷 第 １ 期
２１ 年 ０ 月 ００ １
佳 木 斯 大 学 学 报 （ 自 然 科 学 版 ）
Ｊｕｎ ｌ ｆ ｉ ｓ Ｕ ｉ ｒｉ Ｎ ｔｒ ｃ ｎ ｅＥ ｉ ｎ ｏｒａ ｏ ａ ｉ ｎｖ ｓ ｙ（ ａ ａ Ｓｉ ｃ ｄ ｉ ） Ｊ ｍｕ ｅ ｔ ｕｌ ｅ ｔ ｏ
Ｖｏ ． ８ １ ２ Ｎｏ． １
基金项目： 佳木斯大学科研项目（ ０８ １）黑龙江省教育厅面上课题（１２２１． １ ０ —１ ； ２ ６ １ ｌ９） ５
作者简介 ： 崔虹 云（９７一）女 ， １７ ， 黑龙江佳木斯人 ， 佳木斯大学理学院实验师 ， 硕士 ．
１４ ０
换矩阵， 即
佳 木 斯 大 学 学 报 （自 然 科 学 版 ）
摘
要 ： 对表 象理 论 转换 矩 阵和 传递 矩 阵进 行 了研 究 ， 再给 出三维 空 间角动 量的分 量算符 之 间
的转 换矩 阵的 基础 上 ， 导 出 了多维情 况 下的表 象之 间 变换 的传 递矩 阵 ， 得 多维 变换的理 论计 推 使 算更 加方便 快捷 ． 关键 词 ： 表 象理论 ； 转换 矩 阵 ； 递矩 阵 传
一
吉； ［一［ ＝。＝ ］ ］ ］ 吉 一 ；
２ ２
１
一
将 ￡在￡ 和 ￡ 的共 同表象 下 的本 征波 函数 按 顺 序排 列 ， 即可 得 到 ￡ 表 象 到 ￡ 表 象 之 间 的变 ；
个态矢 ． 教学 中我 们 发 现 ， 在 以角 动 量 算符 的分
ｆ ０１ ０ ０ ￡ １ ０Ｉ ：ｌ ０ ｈ ０ 一 ０ ｊ
（ ５ ）
＝
㈩
叫水铷 吉 ＝
将 ￡在￡ 和 ￡ 。 的共 同表象 下 的本 征波 函数
按顺序排列 ， 即可得到 ￡ 表象到 ￡ 表象之间的变 ，
① 收 稿 日期 ：００一Ｏ 一ｌ ２１ １ １
（） ８
三 ＝§三ｓ ｙ ；ｙｙ
上述情 况 是在 ￡ ， 三 三个 表象 中给 出的结 ￡ ，， 论． 我们可 以大胆 的 假设在 多维情 况下会 存在递 推 关系．
￡ ｆ ０１ ０ ０
：
ｌ ｈ ０ ｌ ０
（） ９
００ 一 ｊ ｈ
显然 ￡ 是 ￡ 在 自身表 象 下 的矩 阵表 示形 式 § 是将 ￡ 表 象边到 ￡ 表 现 的变换算 符 由式 （ ） 。 ４ 和
２ １ 年 ００
是在 其各 自自身 表象 中 的表 示形 式 ． 三者之 间存 其
在如 下关 系
２ ２
ｔ ＝ ： § ； ： ； 厶 ：￡ ＝ 丘 §
，
（） １ ７
§ ，＝
一
０ 杰 一
ｌ
一
ｌ
一
ｌ
（ ３ 轨 道 角 动 量 量子 数 Ｚ＝ ｎ时 各 分 ７ ） 量 算 的 表 象 变换 递 推 公 式 的推 导