2017年江苏综合素质测试数学模拟题
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江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(二)数 学(满分160分,考试时间120分钟)参考公式:1. 样本数据x 1,x 2,…,x n 的方差s 2=1n ∑i =1n (x i -x -)2,其中x -=1n ∑i =1nx i ;2. 锥体的体积公式:V =13Sh ,其中S 是锥体的底面面积,h 是高.一、 填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分. 1. 已知集合A ={x|-1≤x ≤1},则A ∩Z =______________.2. 若复数z =(1-i)(m +2i)(i 为虚数单位)是纯虚数,则实数m 的值为____________.3. 数据10,6,8,5,6的方差s 2=____________.4. 抛掷甲、乙两枚质地均匀且四面上分别标有1,2,3,4的正四面体,记落在桌面的底面上的数字分别为x ,y ,则xy为整数的概率是________.(第6题)5. 已知双曲线x 2-y 2m2=1(m >0)的一条渐近线方程为x +3y =0,则m =______________.6. 执行如图所示的算法流程图,则输出的结果是__________.7. 底面边长为2,侧棱长为3的正四棱锥的体积为____________.8. 在等比数列{a n }中,若a 1=1,a 3a 5=4(a 4-1),则a 7=__________.9. 已知|a|=1,|b|=2,a +b =(1,2),则向量a ,b 的夹角为____________. 10. 直线ax +y +1=0被圆x 2+y 2-2ax +a =0截得的弦长为2,则实数a 的值是____________.11. 已知函数f(x)=-x 2+2x ,则不等式f(log 2x)<f(2)的解集为__________.12. 将函数y =sin2x 的图象向左平移φ(φ>0)个单位,若所得的图象过点⎝⎛⎭⎫π6,32,则φ的最小值为____________.13. 在△ABC 中,AB =2,AC =3,角A 的平分线与AB 边上的中线交于点O ,若AO →=xAB →+yAC →(x ,y ∈R ),则x +y 的值为____________.14. 已知函数f(x)=e x -1+x -2(e 为自然对数的底数),g(x)=x 2-ax -a +3,若存在实数x 1,x 2,使得f(x 1)=g(x 2)=0,且|x 1-x 2|≤1,则实数a 的取值范围是____________.二、 解答题:本大题共6小题,共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15. (本小题满分14分)在锐角△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,b =4,c =6,且asinB =2 3. (1) 求角A 的大小;(2) 若D 为BC 的中点,求线段AD 的长.16.(本小题满分14分)如图,在四棱锥PABCD 中,AB ∥CD ,AC ⊥BD ,AC 与BD 交于点O ,且平面PAC ⊥底面ABCD ,E 为棱PA 上一点.(1) 求证:BD ⊥OE ;(2) 若AB =2CD ,AE =2EP ,求证:EO ∥平面PBC.已知数列{a n }满足2a n +1=a n +a n +2+k(n ∈N *,k ∈R ),且a 1=2,a 3+a 5=-4. (1) 若k =0,求数列{a n }的前n 项和S n ; (2) 若a 4=-1,求数列{a n }的通项公式a n .18. (本小题满分16分)如图,墙上有一壁画,最高点A 离地面4 m ,最低点B 离地面2 m ,观察者从距离墙x m(x >1),离地面高a m(1≤a ≤2)的C 处观赏该壁画,设观赏视角∠ACB =θ.(1) 若a =1.5,问:观察者离墙多远时,视角θ最大? (2) 若tan θ=12,当a 变化时,求x 的取值范围.如图,椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的上、下顶点分别为A ,B ,右焦点为F ,点P 在椭圆C 上,且OP ⊥AF.(1) 若点P 坐标为(3,1),求椭圆C 的方程;(2) 延长AF 交椭圆C 于点Q ,若直线OP 的斜率是直线BQ 的斜率的2倍,求椭圆C 的离心率;(3) 求证:存在椭圆C ,使直线AF 平分线段OP.20. (本小题满分16分)已知函数f(x)=cosx +ax 2-1,a ∈R . (1) 求证:函数f(x)是偶函数;(2) 当a =1时,求函数f(x)在[-π,π]上的最值; (3) 若对于任意的实数x 恒有f(x)≥0,求实数a 的取值范围.(二)1. {-1,0,1} 解析:本题主要考查集合的运算.本题属于容易题.2. -2 解析:z =(1-i)(m +2i)= m +2+(2-m)i 是纯虚数,则m =-2.本题主要考查纯虚数的概念及四则运算等基础知识.本题属于容易题.3. 165 解析:平均数为7,由方差公式得方差s 2=165.本题考查了平均数及方差的概念及计算公式.本题属于容易题.4. 12 解析:本题的基本事件数为16,x y 为整数的的基本事件数为8,则所求的概率是12.本题考查古典概型,属于容易题.5. 33 解析:双曲线x 2-y 2m 2=1(m >0)的一条渐近线方程为x +y m=0,与x +3y =0是同一条直线,则m =33.本题考查了双曲线方程与其渐近线的方程之间的关系.本题属于容易题.6. -1 解析:由流程图知循环体执行8次,第1次循环S =12,n =2;第2次循环S=-1,n =3;第3次循环S =2,n =4,…,第8次循环S =-1,n =9.本题考查了算法及流程图的基本内容.本题属于容易题.7. 43 解析:底面边长为2,侧棱长为3的正四棱锥的高为1,底面积为4,则体积为43.本题考查了正四棱锥的体积公式.本题属于容易题.8. 4 解析:由a 1=1,a 3a 5=4(a 4-1),得q 3=2,则a 7 =a 1(q 3)2=4.本题考查了等比数列通项公式,以及项与项之间的关系.本题属于容易题.9. 23π 解析:由a +b =(1,2),得(a +b )2=3,则1+4+2a·b =3,a ·b =-1=|a||b|cos θ,cos θ=-12,则θ=23π.本题考查了向量数量积的定义,模与坐标之间的关系.本题属于容易题.10. -2 解析:由圆x 2+y 2-2ax +a =0的圆心(a ,0),半径的平方为a 2-a ,圆心到直线ax +y +1=0的距离的平方为a 2+1,由勾股定理得a =-2.本题考查了点到直线的距离公式,以及利用垂径定理、勾股定理处理弦长问题.本题属于容易题.11. (0,1)∪(4,+∞) 解析:∵ 二次函数f(x)=-x 2+2x 的对称轴为x =1,∴ f(0)=f(2),结合二次函数的图象可得log 2x<0或log 2x>2,解得0<x<1或x>4,∴ 解集为(0,1)∪(4,+∞).本题考查了二次函数的图象与性质,以及基本的对数不等式的解法.本题属于中等题.12. π6 解析:易知y =sin2(x +φ),即y =sin(2x +2φ),∵ 图象过点⎝⎛⎭⎫π6,32,∴sin ⎝⎛⎭⎫π3+2φ=32,∴ π3+2φ=π3+2k π或π3+2φ=2π3+2k π,k ∈Z ,即φ=k π或φ=π6+k π,k ∈Z .∵ φ>0,∴ φ的最小值为π6.本题考查了三角函数的图象变换与性质.本题属于中等题.13. 58 解析:∵ AO 为△ABC 的角平分线,∴ 存在实数λ(λ≠0)使AO →=λ⎝⎛⎭⎪⎪⎫AB →||AB→+AC →||AC →,即AO →=12λAB →+13λAC →,∴ ⎩⎨⎧12λ=x ,13λ=y ①.若AB 边上的中线与AB 交于点D ,则AO →=2xAD→+yAC →.∵ C 、O 、D 三点共线,∴ 2x +y =1 ②,由①②得x =38,y =14,∴ x +y =58.本题考查了平面向量的线性表示以及向量的共线定理.本题属于难题.14. [2,3] 解析:易知函数f(x)=e x -1+x -2在R 上为单调增函数且f(1)=0,∴ x 1=1,则|1-x 2|≤1解得0≤x ≤2,∴ x 2-ax -a +3=0在x ∈[0,2]上有解,∴ a =x 2+3x +1在x ∈[0,2]上有解.令t =x +1∈[1,3],则x =t -1,a =(t -1)2+3t ,即a =t +4t-2 在[1,2]上递减,在[2,3]上递增,则当t =2时a 的最小值为2,当t =1时a 的最大值为3,∴ a 的取值范围为[2,3].本题考查了函数的单调性,分离参数构造新函数,对数函数的性质以及换元的应用.本题属于难题.15. 解:(1) 由正弦定理,得asinB =bsinA ,(2分)因为b =4,asinB =23,所以sinA =32.(4分)又0<A <π2,所以A =π3.(6分)(2) 若b =4,c =6,由余弦定理得a 2=b 2+c 2-2bccosA =16+36-2×24×12=28,所以a =27.(8分)因为asinB =23,所以sinB =217,从而cosB =277.(10分)因为D 为BC 的中点,所以BD =DC =7.在△ABD 中,由余弦定理得AD 2=AB 2+BD 2-2AB·BD ·cosB ,即AD 2=36+7-2×6×7×277=19,所以AD =19.(14分)16. 证明:(1) 因为平面PAC ⊥底面ABCD ,平面PAC ∩底面ABCD =AC ,BD ⊥AC ,BD 平面ABCD ,所以BD ⊥平面PAC.因为OE ⊂ 平面PAC ,所以BD ⊥OE.(6分)(2) 因为AB ∥CD ,AB =2CD ,AC 与BD 交于O , 所以CO ∶OA =CD ∶AB =1∶2.因为AE =2EP ,所以CO ∶OA =PE ∶EA ,所以EO ∥PC. 因为PC ⊂平面PBC ,EO ⊄ 平面PBC , 所以EO ∥平面PBC.(14分)17. 解:(1) 当k =0时,2a n +1=a n +a n +2,即a n +2-a n +1=a n +1-a n ,所以数列{a n }是等差数列.(2分)设数列{a n }公差为d ,则⎩⎪⎨⎪⎧a 1=2,2a 1+6d =-4,解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1=2,d =-43.(4分)所以S n =na 1+n (n -1)2d =2n +n (n -1)2×⎝⎛⎭⎫-43=-23n 2+83n.(6分)(2) 由题意,2a 4=a 3+a 5+k ,即-2=-4+k ,所以k =2.(8分) 又a 4=2a 3-a 2-2=3a 2-2a 1-6,所以a 2=3.由2a n +1=a n +a n +2+2,得(a n +2-a n +1)-(a n +1-a n )=-2,所以,数列{a n +1-a n }是以a 2-a 1=1为首项,-2为公差的等差数列. 所以a n +1-a n =-2n +3.(10分)当n ≥2时,有a n -a n -1=-2(n -1)+3,于是a n -1-a n -2=-2(n -2)+3,a n -2-a n -3=-2(n -3)+3,…,a 3-a 2=-2×2+3,a 2-a 1=-2×1+3,叠加,得a n -a 1=-2[1+2+…+(n -1)]+3(n -1)(n ≥2),所以a n =-2×n (n -1)2+3(n -1)+2=-n 2+4n -1(n ≥2).(13分)又当n =1时,a 1=2也适合.所以数列{a n }的通项公式为a n =-n 2+4n -1,n ∈N *.(14分)18. 解:(1) 当a =1.5时,过C 作AB 的垂线,垂足为D ,则BD =0.5 m ,且θ=∠ACD-∠BCD ,由已知观察者离墙x m ,且x >1,则tan ∠BCD =0.5x ,tan ∠ACD =2.5x,(2分)所以tan θ=tan(∠ACD -∠BCD)= 2.5x -0.5x 1+2.5×0.5x 2=2x1+1.25x 2=2x +1.25x ≤2254=255,当且仅当x =52>1时,取“=”.(6分) 又tan θ在⎝⎛⎭⎫0,π2上单调增,所以,当观察者离墙52m 时,视角θ最大.(8分)(2) 由题意,得tan ∠BCD =2-a x ,tan ∠ACD =4-a x ,又tan θ=12,所以tan θ=tan(∠ACD-∠BCD)=2x x 2+(a -2)·(a -4)=12,(10分)所以a 2-6a +8=-x 2+4x ,当1≤a ≤2时,0≤a 2-6a +8≤3,所以0≤-x 2+4x ≤3,即⎩⎪⎨⎪⎧x 2-4x ≤0x 2-4x +3≥0,解得0≤x ≤1或3≤x ≤4.(14分) 因为x >1,所以3≤x ≤4,所以x 的取值范围为[3,4].(16分)19. (1) 解:因为点P(3,1),所以k OP =13.因为AF ⊥OP ,-b c ×13=-1,所以3c =b ,所以3a 2=4b 2.(2分) 又点P(3,1)在椭圆上,所以3a 2+1b 2=1,解之得a 2=133,b 2=134.故椭圆C 的方程为x 2133+y2134=1.(4分)(2) 解:由题意,直线AF 的方程为x c +y b =1,与椭圆C 的方程x 2a 2+y 2b2=1联立消去y ,得a 2+c 2a 2c 2x 2-2x c =0,解得x =0或x =2a 2c a 2+c 2,所以Q 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 2c a 2+c 2,b (c 2-a 2)a 2+c 2,(7分)所以直线BQ 的斜率为k BQ =b (c 2-a 2)a 2+c 2+b2a 2c a 2+c2=bca 2. 由题意得cb =2bca2,所以a 2=2b 2,(9分)所以椭圆的离心率e =c a =1-b 2a 2=22.(10分)(3) 证明:因为线段OP 垂直AF ,则直线OP 的方程为y =cx b ,与直线AF 的方程x c +yb=1联立,解得两直线交点的坐标⎝⎛⎭⎫b 2c a 2,bc 2a 2.因为线段OP 被直线AF 平分,所以P 点坐标为⎝⎛⎭⎫2b 2c a 2,2bc 2a 2.(12分)由点P 在椭圆上,得4b 4c 2a 6+4b 2c 4a 4b 2=1,又b 2=a 2-c 2,设c2a 2=t ,得4[(1-t)2·t +t 2]=1. (*)(14分)令f(t)=4[(1-t)2·t +t 2]-1=4(t 3-t 2+t)-1,因为f′(t)=4(3t 2-2t +1)>0,所以函数f(t)单调增. 又f(0)=-1<0,f(1)=3>0,所以f(t)=0在区间(0,1)上有解,即(*)式方程有解, 故存在椭圆C ,使线段OP 被直线AF 垂直平分.(16分) 20. (1) 证明:函数f(x)的定义域为R ,因为f(-x)=cos(-x)+a(-x)2-1=cosx +ax 2-1=f(x),所以函数f(x)是偶函数.(3分)(2) 解:当a =1时,f(x)=cosx +x 2-1,则f′(x)=-sinx +2x ,令g(x)=f′(x)=-sinx +2x ,则g′(x)=-cosx +2>0,所以f′(x)是增函数.又f′(0)=0,所以f′(x)≥0,所以f(x)在[0,π]上是增函数. 又函数f(x)是偶函数,故函数f(x)在[-π,π]上的最大值是π2-2,最小值为0.(8分) (3) 解:f′(x)=-sinx +2ax ,令g(x)=f′(x)=-sinx +2ax ,则g′(x)=-cosx +2a ,① 当a ≥12时,g ′(x)=-cosx +2a ≥0,所以f′(x)是增函数.又f′(0)=0,所以f′(x)≥0,所以f(x)在[0,+∞)上是增函数.而f(0)=0,f(x)是偶函数,故f(x)≥0恒成立.(12分)② 当a ≤-12时,g ′(x)=-cosx +2a ≤0,所以f′(x)是减函数.又f′(0)=0,所以f′(x)≤0,所以f(x)在(0,+∞)上是减函数.而f(0)=0,f(x)是偶函数,所以f(x)<0,与f(x)≥0矛盾,故舍去.(14分)③ 当-12<a <12时,必存在唯一x 0∈(0,π),使得g′(x 0)=0,因为g′(x)=-cosx +2a在[0,π]上是增函数,所以当x ∈(0,x 0)时,g ′(x)<0,即f′(x)在(0,x 0)上是减函数.又f ′(0)=0,所以当x ∈(0,x 0)时,f ′(x)<0,即f(x)在(0,x 0)上是减函数.而f(0)=0,所以当x ∈(0,x 0)时,f(x)<0,与f(x)≥0矛盾,故舍去.综上,实数a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫12,+∞.(16分)。
江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(八)数 学(满分160分,考试时间120分钟)一、 填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分.1. 已知集合A ={x|x 2-2x <0},B ={0,1,2},则A ∩B =____________.2. 若复数z =i(3-2i)(i 是虚数单位),则z 的虚部为____________.3. 如图,若输入的x 值为π3,则相应输出的值为________.(第3题)(第4题)4. 某学校从高三年级共800名男生中随机抽取50名测量身高.据测量被测学生身高全部介于155 cm 和195 cm 之间,将测量结果按如下方式分成八组:第一组[155,160)、第二组[160,165)、…、第八组[190,195],按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分如图所示.估计这所学校高三年级全体男生身高180 cm 以上(含180 cm)的人数为____________.5. 双曲线x 29-y 216=1的焦点到渐近线的距离为____________.6. 从1,2,3,4,5这5个数中,随机抽取2个不同的数,则这2个数的和为偶数的概率是________.7. 已知等比数列{a n }满足a 2+2a 1=4,a 23=a 5,则该数列的前5项和为____________. 8. 已知正四棱锥底面边长为42,体积为32,则此四棱锥的侧棱长为__________. 9. 已知函数f(x)=sin ⎝⎛⎭⎫2x +π3(0≤x <π),且f(α)=f(β)=12(α≠β),则α+β=________.10. 已知m =(cos α,sin α),n =(2,1),α∈⎝⎛⎭⎫-π2,π2,若m·n =1,则sin ⎝⎛⎭⎫2α+3π2=__________.11. 已知a >b >1且2log a b +3log b a =7,则a +1b 2-1的最小值为__________.12. 已知圆O :x 2+y 2=4,若不过原点O 的直线l 与圆O 交于P 、Q 两点,且满足直线OP 、PQ 、OQ 的斜率依次成等比数列,则直线l 的斜率为____________.13. 已知数列{a n }中,a 1=a(0<a ≤2),a n +1=⎩⎪⎨⎪⎧a n -2(a n >2),-a n +3(a n ≤2)(n ∈N *),记S n =a 1+a 2+…+a n .若S n =2 015,则n =____________.14. 已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数,当x ≥0时,f(x)=12(|x -a|+|x -2a|-3|a|).若集合{x|f(x -1)-f(x)>0,x ∈R }=∅ ,则实数a 的取值范围为____________.二、 解答题:本大题共6小题,共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15. (本小题满分14分)如图,已知直三棱柱ABCA 1B 1C 1中,AB =AC ,D 、E 分别为BC 、CC 1中点,BC 1⊥B 1D.求证:(1) DE ∥平面ABC 1; (2) 平面AB 1D ⊥平面ABC 1.已知函数f(x)=3cos 2ωx +sin ωxcos ωx (ω>0)的周期为π. (1) 当x ∈⎣⎡⎦⎤0,π2时,求函数y =f(x)的值域;(2) 已知△ABC 的内角A ,B ,C 对应的边分别为a ,b ,c ,若f ⎝⎛⎭⎫A 2=3,且a =4,b +c =5,求△ABC 的面积.17.(本小题满分15分)如图,已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点为F 1,F 2,P 是椭圆上一点,M 在PF 1上,且满足F 1M →=λMP →(λ∈R ),PO ⊥F 2M ,O 为坐标原点.(1) 若椭圆方程为x 28+y 24=1,且P(2,2),求点M 的横坐标;(2) 若λ=2,求椭圆离心率e 的取值范围.某隧道设计为双向四车道,车道总宽20米,要求通行车辆限高4.5米,隧道口截面的拱线近似地看成抛物线形状的一部分,如图所示建立平面直角坐标系xOy.(1) 若最大拱高h 为6米,则隧道设计的拱宽l 是多少?(2) 为了使施工的土方工程量最小,需隧道口截面面积最小.现隧道口的最大拱高h 不小于6米,则应如何设计拱高h 和拱宽l ,使得隧道口截面面积最小?(隧道口截面面积公式为S =23lh)已知函数f(x)=(ax2+x+2)e x(a>0),其中e是自然对数的底数.(1) 当a=2时,求f(x)的极值;(2) 若f(x)在[-2,2]上是单调增函数,求a的取值范围;(3) 当a=1时,求整数t的所有值,使方程f(x)=x+4在[t,t+1]上有解.20. (本小题满分16分)若数列{a n}中不超过f(m)的项数恰为b m(m∈N*),则称数列{b m}是数列{a n}的生成数列,称相应的函数f(m)是数列{a n}生成{b m}的控制函数.(1) 已知a n=n2,且f(m)=m2,写出b1,b2,b3;(2) 已知a n=2n,且f(m)=m,求{b m}的前m项和S m;(3) 已知a n=2n,且f(m)=Am3(A∈N*),若数列{b m}中,b1,b2,b5是公差为d(d≠0)的等差数列,且b3=10,求d的值及A的值.(八)1. {1} 解析:A ={x|0<x <2},B ={0,1,2},则A ∩B ={1}.本题主要考查集合的交集以及简单的一元二次不等式的解法等基础知识.本题属于容易题.2. 3 解析:z =2+3i ,则z 的虚部为3.本题主要考查复数的概念及四则运算等基础知识.本题属于容易题.3. 12 解析:由于sin π3>cos π3,则y =cos π3,所以输出的值为12.本题考查了流程图的基础知识以及特殊角的三角函数值.本题属于容易题.4. 144 解析:由题意知,组距为5,这所学校高三年级全体男生身高180 cm 以上(含180 cm)的人数为800×[1-5(0.008+0.016+0.08+0.06)]=144.本题考查了频率分布直方图基础知识.本题属于容易题.5. 4 解析:由题意知,焦点(±5,0)到渐近线的距离为b =4.本题考查了双曲线焦点及渐近线等基础知识.本题属于容易题.6. 25解析:由从1,2,3,4,5这5个数中,随机抽取2个不同的数共有10种取法,其中2个数的和为偶数共有4种,则所求的概率是25.本题考查了古典概型求法,主要是用列举法列出基本事件总数.本题属于容易题.7. 31 解析:由a 23=a 5,得a 1=1,代入a 2+2a 1=4,则a 2=2,得到公比为2,则该数列的前5项和为1+2+4+8+16=31.本题考查了等比数列的通项公式以及求和公式等内容.本题属于容易题.8. 5 解析:由正四棱锥底面边长为42,则对角线的一半长为4,再由体积公式得四棱锥的高为3,则此四棱锥的侧棱长为5. 本题考查了正四棱锥体积、底面边长与侧棱长的关系.本题属于容易题.9. 7π6 解析:由f(x)=sin ⎝⎛⎭⎫2x +π3=12,则2α+π3=5π6,2β+π3=13π6,相加并化简得α+β=7π6.本题主要考查了已知三角函数的值求角,此时一定要注意角的范围.本题属于容易题.10. -725 解析:由m·n =2cos α+sin α=1,又cos 2α+sin 2α=1,由α∈⎝⎛⎭⎫-π2,π2,得cos α=45,则sin ⎝⎛⎭⎫2α+3π2=-cos2α=1-2cos 2α=-725.本题主要考查了数量积的坐标运算,同角的三角函数关系,二倍角公式等内容.本题属于中等题.11. 3 解析:由a >b >1,得log a b <1,由2log a b +3log b a =7,得log a b =12,即b 2=a ,a +1b 2-1=a +1a -1-1+1≥2+1=3,则a +1b 2-1的最小值为3.本题考查了对数的运算,指数与对数的互化,以及基本不等式的运用、代数式的变换.本题属于中等题.12. ±1 解析:由题意可知,直线l 的斜率存在且不为0,故可设直线l 的方程为 y =kx +m (m ≠0),P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2),由x 2+y 2=4,y =kx +m ,消去y ,得(1+k 2)x 2+2kmx+m 2-4=0 ,且x 1+x 2=-2km 1+k 2 ,x 1x 2=m 2-41+k2 ,故y 1y 2=(kx 1+m)(kx 2+m)=k 2x 1x 2+km(x 1+x 2)+m 2.因为直线OP ,PQ ,OQ 的斜率依次成等比数列,所以y 1x 1·y 2x 2=k 2x 1x 2+km (x 1+x 2)+m2x 1x 2=k 2,化简得m 2k 2=m 2.又m ≠0,所以k 2=1,即k =±1.本题考查了直线与圆的位置关系,以及韦达定理的运用,此方法也同样适用于直线与椭圆的位置关系.本题属于中等题.13. 1 343 解析:当1≤a ≤2时,a 1=a ,a 2=3-a ≤2,a 3=a.若n 为偶数时,即n2×3=2 015,无解;若n 为奇数时,n -12×3+a =2 015,即3n =4 033-2a ,n ∈N *,由2≤2a ≤4,2a =4,得n =1 343.当0<a ≤1时,a 1=a ,a 2=3-a >2,a 3=1-a ,a 4=a +2,a 5=a.同理此时a =12,得n =1 343.本题考查了数列的和问题,突出分类讨论思想和函数周期思想.本题属于难题.14. ⎝⎛⎦⎤-∞,16 解析:∵ {x|f(x -1)-f(x)>0,x ∈R }=∅ ,∴ f(x -1)-f(x)≤0恒成立,即f(x -1)≤f(x).(1) 当a ≤0时,当x ≥0时,f(x)=12x ,又函数f(x)是定义在R 上的奇函数,∴ 函数f(x)是在R 上的解析式为f(x)=12x ,而f(x -1)是由f(x)向右平移1个单位,则函数f(x)和f(x -1)的图象有下图关系:通过图象观察,当a ≤0时,f(x -1)≤f(x)恒成立;(2) 当a>0时,当x ≥0时,f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧+∞∈-∈-∈-=),2[,3)2,[,),0[,)(a x a x a a x a a x x x f ∵ 函数f(x)是定义在R上的奇函数,∴ f(x)在R 上的图象为(如下图):要使f(x -1)≤f(x),两图象只要满足:由图知,只要满足-3a +1≥3a ,即0<a ≤16时,f(x -1)≤f(x)恒成立.综上可得,当a ≤16时,f(x -1)≤f(x)恒成立.本题考查了集合、分段函数、函数的图象与性质、不等式等内容的综合运用,体现了数形结合思想和分类讨论的思想.本题属于难题.15. 证明:(1) ∵ D 、E 分别为BC 、CC 1中点, ∴ DE ∥BC 1.(2分)∵ DE ⊄ 平面ABC 1,BC 1⊂平面ABC 1, ∴ DE ∥平面ABC 1.(6分)(2) 直三棱柱ABCA 1B 1C 1中,CC 1⊥平面ABC , ∵ AD ⊂平面ABC ,∴ CC 1⊥AD.(8分) ∵ AB =AC ,D 为BC 中点,∴ AD ⊥BC. ∵ CC 1∩BC =C ,CC 1,BC ⊂平面BCC 1B 1,∴ AD ⊥平面BCC 1B 1.∵ BC 1⊂平面BCC 1B 1,∴ AD ⊥BC 1.(11分)∵ BC 1⊥B 1D ,B 1D ∩AD =D ,B 1D ,AD ⊂平面AB 1D , ∴ BC 1⊥平面AB 1D. ∵ BC 1⊂平面ABC 1,∴ 平面AB 1D ⊥平面ABC 1.(14分)16. 解:(1) f(x)=32(1+cos2ωx)+12sin2ωx =sin (2ωx +π3)+32.(2分)∵ f(x)的周期为π,且ω>0, ∴ 2π2ω=π,解得ω=1, ∴ f(x)=sin ⎝⎛⎭⎫2x +π3+32.(4分)又0≤x ≤π2, 得π3≤2x +π3≤43π,-32≤sin(2x +π3)≤1,0≤sin ⎝⎛⎭⎫2x +π3+32≤32+1,即函数y =f(x)在x ∈⎣⎡⎦⎤0,π2上的值域为⎣⎡⎦⎤0,32+1.(7分)(2) ∵ f ⎝⎛⎭⎫A 2=3,∴ sin ⎝⎛⎭⎫A +π3=32. 由A ∈(0,π),知π3<A +π3<43π,解得A +π3=23π,∴ A =π3.(9分)由余弦定理知a 2=b 2+c 2-2bccosA ,即16=b 2+c 2-bc , ∴ 16=(b +c)2-3bc.∵ b +c =5,∴ bc =3,(12分)∴ S △ABC =12bcsinA =343.(14分)17. 解:(1) ∵ x 28+y24=1,∴ F 1(-2,0),F 2(2,0),∴ k OP =22,kF 2M =-2,kF 1M =24,∴ 直线F 2M 的方程为y =-2(x -2),直线F 1M 的方程为y =24(x +2).(4分)由错误!解得x =错误!,∴ 点M 的横坐标为65.(6分)(2) 设P(x 0,y 0),M(x M ,y M ),∵ F 1M →=2MP →,∴ F 1M →=23(x 0+c ,y 0)=(x M +c ,y M ),∴ M ⎝⎛⎭⎫23x 0-13c ,23y 0,F 2M →=⎝⎛⎭⎫23x 0-43c ,23y 0. ∵ PO ⊥F 2M ,OP →=(x 0,y 0),∴ ⎝⎛⎭⎫23x 0-43c x 0+23y 20=0,即x 20+y 20=2cx 0.(9分) 联立方程得⎩⎪⎨⎪⎧x 20+y 20=2cx 0,x 20a 2+y 2b 2=1,消去y 0得c 2x 20-2a 2cx 0+a 2(a 2-c 2)=0,解得x 0=a (a +c )c 或 x 0=a (a -c )c.(12分)∵ -a<x 0<a ,∴ x 0=a (a -c )c∈(0,a),∴ 0<a 2-ac<ac ,解得e>12.综上,椭圆离心率e 的取值范围为⎝⎛⎭⎫12,1.(15分)18. 解:(1)设抛物线的方程为y =-ax 2(a>0),则抛物线过点⎝⎛⎭⎫10,-32, 代入抛物线方程解得a =3200,(3分) 令y =-6,解得x =±20,则隧道设计的拱宽l 是40米.(5分)(2) 抛物线最大拱高为h 米,h ≥6,抛物线过点⎝⎛⎭⎫10,-⎝⎛⎭⎫h -92,代入抛物线方程得a =h -92100. 令y =-h ,则-h -92100x 2=-h ,解得x 2=100hh -92,则⎝⎛⎭⎫l 22=100h h -92,h =92l 2l 2-400.(9分)∵ h ≥6,∴ 92l 2l 2-400≥6,即20<l ≤40,∴ S =23lh =23l ·92l 2l 2-400=3l 3l 2-400(20<l ≤40).(12分)∴ S ′=9l 2(l 2-400)-3l 3·2l (l 2-400)2=3l 2(l 2-1 200)(l 2-400)2=3l 2(l +203)(l -203)(l 2-400)2.当20<l <203时,S ′<0;当203<l ≤40时,S ′>0,即S 在(20,203)上单调递减,在(203,40]上单调递增,∴ S 在l =203时取得最小值,此时l =203,h =274.答:当拱高为274米,拱宽为203米时,使得隧道口截面面积最小.(15分)19. 解:(1) f(x)=(2x 2+x +2)e x ,则f′(x)=(2x 2+5x +3)e x =(x +1)(2x +3)e x .(2分)令f′(x)=0 ,解得x =-1,-32.∴ f(x)极大值=f ⎝⎭⎫-32=5e -32,f(x)极小值=f(-1)=3e -1.(4分) (2) 问题转化为f′(x)=[ax 2+(2a +1)x +3]e x ≥0在x ∈[-2,2]上恒成立; 又e x >0,即ax 2+(2a +1)x +3≥0在x ∈[-2,2]上恒成立;(6分)令g(x)=ax 2+(2a +1)x +3.∵ a >0,对称轴x =-1-12a<0.① 当-1-12a ≤-2,即0<a ≤12时,g(x)在[-2,2]上单调增,∴ g(x)min =g(-2)=1>0,∴ 0<a ≤12.(8分)② 当-2<-1-12a <0,即a>12时,g(x)在⎣⎡⎦⎤-2,-1-12a 上单调减,在⎣⎡⎦⎤-1-12a ,2上单调增,∴ Δ=(2a +1)2-12a ≤0,解得1-32≤a ≤1+32,∴ 12<a ≤1+32. 综上,a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤0,1+32.(10分)(3) ∵ a =1,设h(x)=(x 2+x +2)e x -x -4,h ′(x)=(x 2+3x +3)e x -1, 令φ(x)=(x 2+3x +3)e x -1,φ′(x)=(x 2+5x +6)e x , 令φ′(x)=(x 2+5x +6)e x =0,得x =-2,-3.∴ φ(x)极大值=φ(-3)=3e 3-1<0,φ(x)极小值=φ(-2)=1e2-1<0.(13分)∵ φ(-1)=1e-1<0,φ(0)=2>0,∴ 存在x 0∈(-1,0),x ∈(-∞,x 0)时φ(x)<0,x ∈(x 0,+∞)时φ(x)>0, ∴ h(x)在(-∞,x 0)上单调递减,在(x 0,+∞)上单调递增.∵ h(-4)=14e 4>0,h(-3)=8e3-1<0,h(0)=-2<0,h(1)=4e -5>0,由零点的存在性定理可知:h(x)=0的根x 1∈(-4,-3),x 2∈(0,1),即t =-4,0.(16分)20. 解:(1) m =1,则a 1=1≤1,∴ b 1=1;m =2,则a 1=1<4,a 2=4≤4,∴ b 2=2; m =3,则a 1=1<9,a 2=4<9,a 3=9≤9,∴ b 3=3.(3分)(2) m 为偶数时,则2n ≤m ,则b m =m2;m 为奇数时,则2n ≤m -1,则b m =m -12;∴ b m=⎩⎨⎧m -12(m 为奇数),m2(m 为偶数).(5分)m 为偶数时,则S m =b 1+b 2+…+b m =12(1+2+…+m)-12×m 2=m 24;m 为奇数时,则S m =b 1+b 2+…+b m =S m +1-b m +1=(m +1)24-m +12=m 2-14.∴ S m=⎩⎨⎧m 2-14(m 为奇数),m24(m 为偶数).(8分)(3) 依题意:a n =2n ,f(1)=A ,f(2)=8A ,f(5)=125A ,设b 1=t ,即数列{a n }中,不超过A 的项恰有t 项,∴ 2t ≤A <2t +1.同理:2t +d ≤8A <2t +d +1,2t +2d ≤125A <2t +2d +1,即⎩⎪⎨⎪⎧2t ≤A <2t +1,2t +d -3≤A <2t +d -2,2t +2d 125≤A <2t +2d +1125,故max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫2t ,2t +d -3,2t +2d 125≤A <min ⎩⎨⎧⎭⎬⎫2t +1,2t +d -2,2t +2d +1125. 由⎩⎪⎨⎪⎧2t +d -3<2t +1,2t +2d 125<2t +d -2,得d<4.∵ d 为正整数,∴ d =1,2,3.(10分) 当d =1时,max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫2t ,2t +d -3,2t +2d 125=max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫2t ,2t 4,4×2t 125=2t , min ⎩⎨⎧⎭⎬⎫2t +1,2t +d -2,2t +2d +1125=min ⎩⎨⎧⎭⎬⎫2t +1,2t 2,8×2t 125=8×2t 125<2t 不合题意,舍去; 当d =2时,max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫2t ,2t +d -3,2t +2d 125=max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫2t ,2t -1,16×2t 125=2t , min ⎩⎨⎧⎭⎬⎫2t +1,2t +d -2,2t +2d +1125=min ⎩⎨⎧⎭⎬⎫2t +1,2t ,32×2t 125=32×2t 125<2t 不合题意,舍去; 当d =3时,max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫2t ,2t +d -3,2t +2d 125=max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫2t ,2t ,64×2t 125=2t , min ⎩⎨⎧⎭⎬⎫2t +1,2t +d -2,2t +2d +1125=min ⎩⎨⎧⎭⎬⎫2t +1,2t +1,128×2t 125=128×2t 125>2t 适合题意,(12分) 此时2t ≤A <128125×2t ,b 1=t ,b 2=t +3,b 5=t +6,∴ t +3≤b 3≤t +6. ∵ b 3=10,∴ 4≤t ≤7.∵ t 为整数,∴ t =4,t =5,t =6或t =7.∵ f(3)=27A ,b 3=10,∴ 210≤27A <211,∴ 21027≤A <21127.(14分) 当t =4时,24≤A <211125,∴ 无解. 当t =5时,25≤A <212125,∴ 无解. 当t =6时,26≤A <213125,∴ 64≤A <213125. 当t =7时,27≤A<214125,∴ 无解. ∴ 26≤A <213125. ∵ A ∈N *,∴ A =64或A =65.综上:d =3,A =64或65.(16分)。
江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(十二)数 学(满分160分,考试时间120分钟)参考公式:样本数据x 1,x 2,…,x n 的方差s 2=1n ∑i =1n (x i -x -)2,其中x -=1n i =1n x i .一、 填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分. 1. 设集合A ={x|x >1},B ={x|x 2<9},则A∩B=__________.2. 设a ,b ∈R ,i 为虚数单位,若(a +bi )·i=2-5i ,则ab 的值为__________.(第5题)3. 在平面直角坐标系xOy 中,已知双曲线x 2a 2-y2b 2=1(a >0,b >0)的一条渐近线的方程为y =3x ,则该双曲线的离心率为__________.4. 已知一组数据9.8,10.1,10,10.2,9.9,那么这组数据的方差为__________.5. 右图是一个算法流程图,运行后输出的结果是__________.6. 若函数f(x)=asin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +π4+3sin ⎝⎛⎭⎪⎫x -π4是偶函数,则实数a 的值为__________.7. 正四棱锥的底面边长为2 cm ,侧面与底面所成二面角的大小为60°,则该四棱锥的侧面积为__________cm 2.8. 将函数f(x)=sin(2x +φ)(0<φ<π)的图象向右平移2个单位后得到的函数图象关于原点对称,则实数φ的值为____________.9. 二次函数y =f(x)=ax 2+bx +c(x∈R )的部分对应值如下表:则关于x 的不等式f(x)≤0的解集为__________.10. 在正五边形ABCDE 中,已知AB →·AC →=9,则该正五边形的对角线的长为__________. 11. 用大小完全相同的黑、白两种颜色的正六边形积木拼成如图所示的图案,按此规律再拼5个图案,并将这8个图案中的所有正六边形积木充分混合后装进一个盒子中,现从盒子中随机取出一个积木,则取出黑色积木的概率是__________.12. 若函数f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧(x -a )2,x ≤0,x -lnx +5+a ,x >0的最小值为f(0),则实数a 的取值范围是__________.13. 在平面直角坐标系xOy 中,已知点P(-1,0),Q(2,1),直线l :ax +by +c =0,其中实数a ,b ,c 成等差数列,若点P 在直线l 上的射影为H ,则线段QH 的取值范围是__________.14. 在平面直角坐标系xOy 中,将函数y =3+2x -x 2-3(x∈[0,2])的图象绕坐标原点O 按逆时针方向旋转角θ,若θ∈[0,α],旋转后所得曲线都是某个函数的图象,则α的最大值为__________.二、 解答题:本大题共6小题,共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15. (本小题满分14分) 已知θ∈⎝⎛⎭⎪⎫3π4,5π4,sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ-π4=55.(1) 求sin θ的值; (2) 求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ+2π3的值.16.(本小题满分14分)如图,在直三棱柱ABCA 1B 1C 1中,已知AC⊥BC,BC =CC 1.设AB 1的中点为D ,B 1C ∩BC 1=E.求证:(1) DE∥平面AA1C1C;(2) BC1⊥AB1.在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆C :x 2a 2+y2b 2=1(a >b >0)的焦距为2.(1) 若椭圆C 经过点⎝⎛⎭⎪⎫62,1,求椭圆C 的标准方程; (2) 设A(-2,0),F 为椭圆C 的左焦点.若椭圆C 上存在点P ,满足PAPF =2,求椭圆C的离心率的取值范围.如图,扇形AOB 是一个植物园的平面示意图,其中∠AOB =2π3,半径OA =OB =1 km.为了便于游客观赏,拟在园内铺设一条从入口A 到出口B 的观赏道路,道路由弧AC ,线段CD ,线段DE 和弧EB 组成,且满足:AC ︵=EB ︵,CD ∥AO ,DE ∥OB ,OD ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤33,63(单位:km).设∠AOC=θ.(1) 用θ表示CD 的长度,并求出θ的取值范围; (2) 当θ为何值时,观赏道路最长?19. (本小题满分16分)已知公差不为0的等差数列{a n }的首项为1,前n 项和为S n ,且数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n a n 是等差数列.(1) 求数列{a n }的通项公式;(2) 设lgb n =a n 3n (n∈N *),问:b 1,b k ,b m (k ,m 均为正整数,且1<k <m)能否成等比数列?若能,求出所有的k 和m 的值;若不能,请说明理由.20. (本小题满分16分)设a 为正常数,函数f(x)=ax ,g(x)=lnx. (1) 求函数h(x)=f(x)·g(x)的极值; (2) 证明:x 0∈R ,使得当x >x 0时,f(x)>g(x)恒成立.(十二)1. (1,3) 解析:B ={x|-3<x <3},则A∩B={x|1<x <3}.本题主要考查集合的概念与运算等基础知识.本题属于容易题.2. 10 解析:a +bi = -i·(2-5i)=-5-2i ,则ab =10.本题主要考查复数的概念及四则运算等基础知识.本题属于容易题.3. 2 解析:双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的一条渐近线的方程为y =b a x ,则b a=3,b2=3a 2,则c 2=a 2+b 2=4a 2,c =2a ,所以双曲线的离心率为2.本题考查双曲线方程及其渐近线的方程等基础知识.本题属于容易题.4. 0.02 解析:平均数为10,由方差公式得s 2=15[(9.8-10)2+(10.1-10)2+(10.2-10)2+(9.9-10)2]=0.02.本题考查了平均数及方差的概念及计算公式.本题属于容易题.5. 25 解析:由流程图可知,循环体执行5次,从而有S =1+3+5+7+9=25.本题考查了算法语句及流程图的基本概念.本题属于容易题.6. - 3 解析:由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4=a ,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫-π4=-3,函数f(x) 是偶函数,则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4=f ⎝ ⎛⎭⎪⎫-π4,a =- 3.本题考查了偶函数的概念,本题属于容易题.7. 8 解析:由边长为2 cm ,侧面与底面所成二面角的大小为60°,得四棱锥的斜高为2,一个侧面的面积为2 cm 2,则侧面积为8 cm 2.本题考查了棱锥的底面边长、侧面与底面所成二面角、斜高的关系,以及侧面积的求法.本题属于容易题.8. 4-π 解析:由函数f(x)=sin(2x +φ)的图象向右平移2个单位得到y =sin(2x +φ-4) 的图象,此函数为奇函数,则φ-4=k π,而0<φ<π,φ=4-π.本题考查了函数图象的平移以及奇函数的性质.本题属于容易题.9. [-3,2] 解析:由表格数据作出二次函数的草图,结合数据即可发现不等式f(x)≤0的解集为[-3,2].本题考查了三个二次之间的关系.本题属于容易题.10. 3 2 解析:AB →·AC →=12AC 2=9,则AC =32,即该正五边形的对角线的长为3 2.本题考查了三个二次之间的关系.本题属于容易题.11. 949解析:由图案的规律可知:黑色积木共有1+2+3+…+8=36个,白色积木共6+(6+4)+(6+4×2)+…+(6+4×7)=160个,黑、白两种颜色的正六边形积木共196个,则取出黑色积木的概率=36196=949.本题考查了简单的等差数列的求和与古典概型的概率.本题属于容易题.12. [0,3] 解析:由y =(x -a)2,x ≤0的最小值为f(0),则a≥0.g(x)=x -lnx +5+a(x >0)必须满足g(1)≥f(0),即-2≤a≤3,所以0≤a≤3.本题考查了函数的图象与性质,重点考查了数形结合思想的应用.本题属于中等题.13. [2,32] 解析:因为a ,b ,c 成等差数列,有2b =a +c ,即a -2b +c =0,对比方程ax +by +c =0可知,动直线恒过定点(1,-2),记为A ,点P(-1,0)在动直线ax +by +c =0上的射影为H ,即∠AHP=90°,所以点H 在以PA 为直径的圆上,该圆的圆心C 为(0,-1),半径为2,点Q 到圆心的距离QC 为22,所以线段QH 的取值范围是[2,32].本题考查了直线过定点与圆的性质.本题属于难题.14. π3 解析:由函数y =3+2x -x 2-3得y +3=3+2x -x 2,两边平方,化简得(x-1)2+(y +3)2=4 (x ∈[0,2])为两段圆弧(圆心角均为60°,其中一段过原点),而原点与圆心连线的倾斜角为30°,因此,要使旋转后的图象仍为一个函数的图象,旋转θ后的切线倾斜角最多为90°,也就是说,最大旋转角为90°-30°=60°,则α的最大值为60°,即π3.本题考查了圆的方程与性质,突出了化归思想的运用.本题属于难题. 15. 解:(1) 设α=θ-π4,因为θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4,5π4,所以α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2,π,且θ=α+π4.(2分)因为sin α=sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ-π4=55, 所以cos α=-1-sin 2α=-255.(4分)于是sin θ=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α+π4=sin αcos π4+cos αsin π4 =55×22+⎝ ⎛⎭⎪⎫-255×22=-1010.(6分) (2) 因为cos θ=cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α+π4=cos αcos π4-sin αsin π4 =⎝ ⎛⎭⎪⎫-255×22-55×22=-31010,(8分) 所以sin2θ=2sin θcos θ=2×⎝⎛⎭⎪⎫-1010×⎝ ⎛⎭⎪⎫-31010=35,(10分) cos2θ=1-2sin 2θ=1-2×⎝ ⎛⎭⎪⎫-10102=45.(12分)所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫2θ+2π3=cos2θcos 2π3-sin2θsin 2π3=45×⎝ ⎛⎭⎪⎫-12-35×32=-4+3310.(14分)16. 证明:(1) 在直棱柱ABCA 1B 1C 1中,侧面BB 1C 1C 是矩形, 故对角线的交点E 是B 1C 的中点.(2分)又D 是AB 1的中点,DE 是中位线,所以DE∥AC.(4分) 因为DE ⊄ 平面AA 1C 1C ,AC ⊂平面AA 1C 1C , 所以DE∥平面AA 1C 1C.(6分)(2) 因为在直棱柱ABCA 1B 1C 1中,BC =CC 1,所以侧面BB 1C 1C 是正方形,于是B 1C ⊥BC 1.(8分) 因为AA 1C 1C 是矩形,所以AC⊥CC 1.(注:或因为CC 1⊥底面ABC ,AC ⊂平面ABC ,CC 1⊥AC) 又AC⊥BC,BC ∩CC 1=C ,BC ,CC 1⊂平面BB 1C 1C , 所以AC⊥平面BB 1C 1C.(10分)因为BC 1⊂平面BB 1C 1C ,所以AC⊥BC 1. 因为AC∩CB 1=C ,AC ,CB 1⊂平面AB 1C , 所以BC 1⊥平面AB 1C.(12分)由AB 1⊂平面AB 1C ,得BC 1⊥AB 1.(14分)17. 解:(1) 由题设知,椭圆C 的焦距2c =2,即c =1,所以a 2=b 2+1.(2分)因为椭圆C 经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫62,1,所以32a 2+1b 2=1,即32(b 2+1)+1b2=1,(4分) 化简、整理得2b 4-3b 2-2=0,解得b 2=2(负值已舍去).故椭圆C 的标准方程为x 23+y22=1.(6分)(2) 易知F(-1,0),设P(x 0,y 0),于是x 20a 2+y 2b2=1. ①因为PA PF=2,即PA 2=2PF 2,所以(x 0+2)2+y 20=2(x 0+1)2+2y 20,即x 20+y 20=2. ②(8分)联立①②,并注意到a 2=b 2+1,解得x 20=2a 2-a 2b 2=a 2(3-a 2).(10分)因为-a≤x 0≤a ,所以0≤x 20≤a 2.于是0≤a 2(3-a 2)≤a 2,即2≤a 2≤3,亦即2≤a ≤ 3.(12分)所以33≤1a ≤22,即33≤c a ≤22.故椭圆C 的离心率的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤33,22.(14分) 18. 解:(1) 因为AC ︵=EB ︵,CD ∥AO ,DE ∥OB ,所以∠AOD=π3.(2分)于是在△OCD 中,OC =1,∠CDO =2π3,∠OCD =θ,∠COD =π3-θ,从而由正弦定理得OD sin ∠OCD =CD sin ∠COD =OCsin ∠CDO ,即OD sin θ=CDsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3-θ=OC sin2π3=233. 所以OD =233sin θ,CD =233sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3-θ.(5分) 因为OD∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤33,63,即33≤233sin θ≤63, 所以12≤sin θ≤22,而0<θ≤π3,所以π6≤θ≤π4.故CD =233sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3-θ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6≤θ≤π4.(8分)(2) 由(1)知,观赏道路长L =2(AC ︵+CD)=2θ+433sin(π3-θ)⎝ ⎛⎭⎪⎫π6≤θ≤π4,即L =2θ+2cos θ-233sin θ.(10分)所以L′=2-2sin θ-233cos θ=2-433cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ-π3.(12分)令L′=0,得cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ-π3=32,因为π6≤θ≤π4,所以θ=π6.(14分)因为当π6<θ≤π4时,-π6<θ-π3≤-π12,L ′=2-433cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ-π3<0, 所以当θ=π6时,L 取得最大值,即观赏道路最长.(16分)19. 解:(1) 设等差数列{a n }的公差为d(d≠0),因为a 1=1, 所以a 2=1+d ,a 3=1+2d ,从而S 2=2+d ,S 3=3+3d.(3分)因为数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n a n 是等差数列,所以2×S 2a 2=S 1a 1+S 3a 3,即2(2+d )1+d =1+3+3d1+2d ,(5分)化简得d 2-d =0,而d≠0,所以d =1. 故a n =a 1+(n -1)d =n.(7分)(2) 假设存在正整数数组k 和m ,使b 1,b k ,b m 成等比数列,则lgb 1,lgb k ,lgb m 成等差数列,于是2k 3k =13+m3m .(9分)所以m =3m ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k3k -13 (*).易知k =2,m =3满足(*).(11分)因为当k≥3,且k∈N *时,2(k +1)3k +1-2k 3k =2-4k 3k +1<0, 所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫2k 3k (k≥3,k ∈N )为递减数列,(14分)于是2k 3k -13≤2×333-13<0,所以,当k≥3时,不存在正整数k 和m 满足(*).综上,当且仅当k =2,m =3时,b 1,b k ,b m 成等比数列.(16分) 20. (1) 解:易得h(x)=ax·lnx(a >0),则h′(x)=a(lnx +1),令h′(x)=0,得x =1e,(2分)且当0<x <1e 时,h ′(x)<0;当x >1e时,h ′(x)>0,所以函数h(x)存在极小值h ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e =-a e ,不存在极大值.(5分) (2) 证明:取x 0=1a2,满足x >x 0,f(x)>g(x).(7分)令φ(x)=ax -lnx(a >0),由φ′(x)=a -1x =0,得x =1a,列表:若a >e 时,[φ(x)]min =1+lna >0,所以φ(x)>0,取x 0=a 2>0,则满足题意;若a =1e 时,[φ(x)]min =1+lna =0,所以φ(x)≥0,取x 0=1a 2>1a ,则满足题意;(11分)若0<a <1e 时,[φ(x)]min =1+lna <0,取x 0=1a 2>1a,则当x >x 0时,φ(x)>φ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2=1a-2ln 1a ,令t =1a,记r(t)=t -2lnt ,且t >e ,则r′(t)=1-2t =t -2t>0,故r(t)为(e ,+∞)上单调增函数,所以r(t)>r(e)=e -2>0,从而1a -2ln 1a>0,所以φ(x)>0,满足题意.综上,存在x 0=1a 2,使得x >x 0,φ(x)>0,即f(x)>g(x).(16分)。
江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(九)数 学(满分160分,考试时间120分钟)参考公式:锥体的体积公式:V =13Sh ,其中S 是锥体的底面面积,h 是高.一、 填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分.1. 已知集合A ={0,a},B ={0,1,3},若A∪B={0,1,2,3},则实数a 的值为____________.2. 已知复数z 满足z 2=-4,若z 的虚部大于0,则z =____________.3. 交通部门对某路段公路上行驶的汽车速度实施监控,从速度在50~90 km/h 的汽车中抽取150辆进行分析,得到数据的频率分布直方图(如图所示),则速度在70 km/h 以下的汽车有________辆.(第3题)4. 运行如图所示的伪代码,则输出的结果S 为____________. S←1 I←1 While I <5 S←S+2 I←I+1 End While Print S (第4题)5. 函数f(x)=2sin(ωx +φ)的部分图象如图所示,若AB =5,则ω的值为____________.(第5题)6. 若随机安排甲、乙、丙三人在3天节日中值班,每人值班1天,则甲与丙都不在第一天值班的概率为______________.7. 抛物线y 2=4x 的焦点到双曲线x 216-y29=1渐近线的距离为____________.8. 已知矩形ABCD 的边AB =4,BC =3,若沿对角线AC 折叠,使平面DAC⊥平面BAC ,则三棱锥DABC 的体积为__________.9. 若公比不为1的等比数列{a n }满足log 2(a 1·a 2·…·a 13)=13,等差数列{b n }满足b 7=a 7,则b 1+b 2+…+b 13的值为____________.10. 定义在R 上的奇函数f(x)满足当x≥0时,f(x)=log 2(2+x)+(a -1)x +b(a ,b 为常数).若f(2)=-1,则f(-6)的值为____________.11. 已知|OA →|=|OB →|=2,且OA →·OB →=1.若点C 满足|OA →+CB →|=1,则|OC →|的取值范围是____________.12. 已知函数f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧2x +cosx ,x ≥0,x (a -x ),x <0.若关于x 的不等式f(x)<π的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫-∞,π2,则实数a 的取值范围是____________.13. 已知点A(0,1),B(1,0),C(t ,0),点D 是直线AC 上的动点,若AD≤2BD 恒成立,则最小正整数t 的值为____________.14. 已知正数a ,b ,c 满足b +c≥a,则b c +ca +b 的最小值为____________.二、 解答题:本大题共6小题,共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15. (本小题满分14分)在锐角三角形ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知sinA =35,tan(A -B)=-12.(1) 求tanB 的值; (2) 若b =5,求c.16.(本小题满分14分)如图,在四棱锥PABCD中,已知底面ABCD为矩形,PA⊥平面PDC,点E为棱PD的中点.求证:(1) PB∥平面EAC;(2) 平面PAD⊥平面ABCD.如图,OA 是南北方向的一条公路,OB 是北偏东45°方向的一条公路,某风景区的一段边界为曲线C.为方便游客观光,拟过曲线C 上某点P 分别修建与公路OA ,OB 垂直的两条道路PM ,PN ,且PM ,PN 的造价分别为5万元/百米、40万元/百米.建立如图所示的平面直角坐标系xOy ,则曲线C 符合函数y =x +42x 2(1≤x≤9)模型,设PM =x ,修建两条道路PM ,PN 的总造价为f(x)万元.题中所涉及长度单位均为百米.(1) 求f(x)的解析式;(2) 当x 为多少时,总造价f(x)最低?并求出最低造价.18. (本小题满分16分)已知各项均为正数的数列{a n }的首项a 1=1,S n 是数列{a n }的前n 项和,且满足:a n S n +1-a n +1S n +a n -a n +1=λa n a n +1(λ≠0,n ∈N *).(1) 若a 1,a 2,a 3成等比数列,求实数λ的值; (2) 若λ=12,求S n .如图,在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率e =12,左顶点为A(-4,0),过点A 作斜率为k(k≠0)的直线l 交椭圆C 于点D ,交y 轴于点E.(1) 求椭圆C 的方程;(2) 已知点P 为AD 的中点,是否存在定点Q ,对于任意的k(k≠0)都有OP⊥EQ?若存在,求出点Q 的坐标;若不存在,说明理由;(3) 若过点O 作直线l 的平行线交椭圆C 于点M ,求AD +AEOM的最小值.20. (本小题满分16分)已知函数f(x)=e x ⎣⎢⎡⎦⎥⎤13x 3-2x 2+(a +4)x -2a -4,其中a∈R ,e 为自然对数的底数.(1) 若函数f(x)的图象在x =0处的切线与直线x +y =0垂直,求a 的值; (2) 关于x 的不等式f(x)<-43e x在(-∞,2)上恒成立,求a 的取值范围;(3) 讨论函数f(x)极值点的个数.(九)1. 2 解析:A ={0,a},B ={0,1,3}, A ∪B ={0,1,2,3},则a =2.本题考查了集合并集的概念.本题属于容易题.2. 2i 解析:复数z =x +yi ,则z 2=x 2-y 2+ 2xyi =-4, 得x 2-y 2=-4,xy =0,则x =0,y =2,所以z =2i.本题考查了复数的平方运算以及虚部的概念.本题属于容易题.3. 75 解析:速度在70 km/h 以下的频率为0.05×10=0.5,150×0.5=75辆.本题考查了频率分布直方图的知识.本题属于容易题.4. 9 解析:I =1时,S =3;I =2时,S =5;I =3时,S =7;I =4时,S =9;I =5时,输出的结果S 为9.本题考查伪代码的知识,关键把握每一次循环体执行情况.本题属于容易题.5. π3 解析:AB =5,|y A -y B |=4,则|x A -x B |=3=T 2,则T =6=2πω,ω=π3.本题主要考查三角函数周期求法.本题属于容易题.6. 13 解析:甲与丙都不在第一天值班,说明乙在第一天值班,则乙在第一天值班的概率为13.本题主要考查古典概型中对立事件、互斥事件的概率.本题属于容易题.7. 35 解析:抛物线y 2=4x 的焦点为(1,0),双曲线x 216-y 29=1渐近线方程为3x -4y =0,点(1,0)到渐近线的距离为35.本题考查了双曲线的渐近线方程,抛物线的焦点,点到直线的距离公式.本题属于容易题.8. 245 解析:三棱锥DABC 的高为125,△ABC 的面积为6,则三棱锥DABC 的体积为245.本题考查三棱锥的体积问题.本题属于容易题.9. 26 解析:log 2(a 1·a 2·…·a 13)=13得a 1·a 2·…·a 13=213,a 137=213,a 7=2,b 7=2,则b 1+b 2+…+b 13=13b 7=26.本题考查等比数列和等差数列的性质.本题属于中等题.10. 4 解析:f(0)=0,得b =-1,f(2)=-1,得a =0,当x≥0时,f(x)=log 2(2+x)-x -1,f(-6)=-f(6)=-(-4)=4.本题考查奇函数的性质,本题属于中等题.11. [6-1,6+1] 解析:∵ OA →·OB →=1,∴ ∠AOB =π3,建系可设A(2,0),B ⎝⎛⎭⎪⎫22,62,C(x ,y), ∴ OA →+CB →=⎝ ⎛⎭⎪⎫322-x ,62-y ,∴ ⎝ ⎛⎭⎪⎫x -3222+⎝⎛⎭⎪⎫y -622=1,∴ C 的轨迹是以点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫322,62为圆心的圆,∴ OM =⎝ ⎛⎭⎪⎫3222+⎝ ⎛⎭⎪⎫622=6, ∴ |OC →|∈[6-1,6+1].本题通过建系来解决,重点考查了向量坐标运算和圆的性质. 本题属于中等题. 12. (-2π,+∞) 解析:当x≥0时,f(x)=2x +cosx ,∵ f ′(x)=2-sinx >0,f(x)递增,结合f(0)=1,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2=π 可知f(x)<π的解集为⎣⎢⎡⎭⎪⎫0,π2.当x <0时,f(x)=-x 2+ax ,不等式f(x)<π可化为x 2-ax +π>0,当Δ=a 2-4π<0即-2π<a <2π时,x 2-ax +π>0恒成立,满足题意;当Δ=a 2-4π≥0即a <-2π或a >2π时,x 2-ax +π>0的解集为x <a -a 2-4π2或x >a +a 2-4π2.依题意知a≥2π时,a -a 2-4π2>0.综上可知,实数a 的取值范围是(-2π,+∞)本题考查利用导数判断函数的单调性,一元二次不等式解法,以及分类讨论思想的运用.本题属于难题.13. 4 解析:直线AC 的方程为xt+y =1即x +ty -t =0,设D(x ,y),∵ AD ≤2BD 即AD 2≤4BD 2,∴ x 2+(y -1)2<4[(x -1)2+y 2],⎝ ⎛⎭⎪⎫x -432+⎝ ⎛⎭⎪⎫y +132≥89表示圆外区域及圆周上的点, 直线x +ty -t =0与圆⎝ ⎛⎭⎪⎫x -432+⎝ ⎛⎭⎪⎫y +132=89相离, ⎪⎪⎪⎪⎪⎪43-13t -t 1+t 2≥223,化简得t 2-4t +1≥0, 解得t≥2+3或t≤2- 3.∴ 正整数t 的值的值为4.本题考查直线与圆的位置,一元二次不等式解法,以及数形结合思想的运用. 本题属于难题.14. 2-12 解析:由b +c≥a,得b c +1≥a c ,则b c +c a +b =b c +1a c +b c ≥b c +12×b c+1=bc+12+12b c +12-12≥2-12.本题考查基本不等式的运用,以及代数式的变形. 本题属于难题. 15. 解:(1) 在锐角三角形ABC 中,由sinA =35,得cosA =1-sin 2A =45,(2分)所以tanA =sinA cosA =34.(4分)由tan(A -B)=tanA -tanB 1+tanA ·tanB =-12,得tanB =2.(7分)(2) 在锐角三角形ABC 中,由tanB =2,得sinB =255,cosB =55,(9分)所以sinC =sin(A +B)=sinAcosB +cosAsinB =11525.(11分)由正弦定理b sinB =c sinC ,得c =bsinC sinB =112.(14分)16. 证明:(1) 连结BD 与AC 相交于点O ,连结OE.(2分) 因为四边形ABCD 为矩形,所以O 为BD 中点. 因为E 为棱PD 中点,所以PB∥OE.(4分) 因为PB ⊄ 平面EAC ,OE ⊂平面EAC ,所以直线PB∥平面EAC.(6分)(2) 因为PA⊥平面PDC ,CD ⊂平面PDC , 所以 PA⊥CD.(8分)因为四边形ABCD 为矩形,所以AD ⊥CD.(10分) 因为 PA∩AD=A ,PA ,AD ⊂平面PAD , 所以CD⊥平面PAD.(12分) 因为CD ⊂平面ABCD ,所以平面PAD⊥平面ABCD. (14分)17. 解:(1) 在如图所示的直角坐标系中,因为曲线C 的方程为y =x +42x2(1≤x≤9),PM =x ,所以点P 坐标为⎝⎛⎭⎪⎫x ,x +42x 2,直线OB 的方程为x -y =0,(2分)则点P 到直线x -y =0的距离为|x -⎝⎛⎭⎪⎫x +42x 2|2=|42x 2|2=4x 2.(4分)又PM 的造价为5万元/百米,PN 的造价为40万元/百米,则两条道路总造价为f(x)=5x +40·4x 2=5⎝ ⎛⎭⎪⎫x +32x 2(1≤x≤9).(8分) (2) 因为f(x)=5x +40·4x 2=5⎝ ⎛⎭⎪⎫x +32x 2, 所以f′(x)=5⎝ ⎛⎭⎪⎫1-64x 3=5(x 3-64)x 3.(10分) 令f′(x)=0,得x =4,列表如下:所以当x =4时,函数f(x)有最小值,最小值为f(4)=5⎝ ⎛⎭⎪⎫4+42=30.(13分) 答:(1) 两条道路PM ,PN 总造价为f(x)=5⎝ ⎛⎭⎪⎫x +32x 2(1≤x≤9); (2) 当x =4时,总造价最低,最低造价为30万元.(14分)(注:利用三次均值不等式f(x)=5⎝ ⎛⎭⎪⎫x +32x 2=5(x 2+x 2+32x 2)≥5×338=30,当且仅当x 2=x 2=32x2,即x =4时等号成立,照样给分) 18. 解:(1) 令n =1,得a 2=21+λ.令n =2,得a 2S 3-a 3S 2+a 2-a 3=λa 2a 3,所以a 3=2λ+4(λ+1)(2λ+1).(2分)由a 22=a 1a 3,得⎝ ⎛⎭⎪⎫21+λ2=2λ+4(λ+1)(2λ+1), 因为λ≠0,所以λ=1.(4分)(2) 当λ=12时,a n S n +1-a n +1S n +a n -a n +1=12a n a n +1,所以S n +1a n +1-S n a n +1a n +1-1a n =12,即S n +1+1a n +1-S n +1a n =12,(6分)所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n +1a n 是以2为首项,公差为12的等差数列, 所以S n +1a n =2+(n -1)·12,即S n +1=⎝ ⎛⎭⎪⎫n 2+32a n ,①(8分) 当n≥2时,S n -1+1=⎝ ⎛⎭⎪⎫n -12+32a n -1,②①-②得,a n =n +32a n -n +22a n -1,(10分)即(n +1)a n =(n +2)a n -1,所以a n n +2=a n -1n +1(n≥2),(12分)所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n +2是首项为13的常数列, 所以a n =13(n +2).(14分)代入①得S n =⎝ ⎛⎭⎪⎫n 2+32a n -1=n 2+5n 6.(16分)19. 解:(1) 因为左顶点为A(-4,0),所以a =4.又e =12,所以c =2.(2分)因为b 2=a 2-c 2=12,所以椭圆C 的标准方程为x 216+y212=1.(4分)(2) 直线l 的方程为y =k(x +4),由⎩⎪⎨⎪⎧x 216+y 212=1,y =k (x +4),消元得x 216+[k (x +4)]212=1.化简得(x +4)[(4k 2+3)x +16k 2-12]=0, 所以x 1=-4,x 2=-16k 2+124k 2+3.(6分) 当x =-16k 2+124k 2+3时,y =k ⎝ ⎛⎭⎪⎫-16k 2+124k 2+3+4=24k 4k 2+3,所以D ⎝ ⎛⎭⎪⎫-16k 2+124k 2+3,24k 4k 2+3. 因为点P 为AD 的中点,所以P 的坐标为(-16k 24k 2+3,12k 4k 2+3),则k OP =-34k (k≠0).(8分)直线l 的方程为y =k(x +4),令x =0,得E 点坐标为(0,4k),假设存在定点Q(m ,n )(m≠0),使得OP⊥EQ, 则k OP k EQ =-1,即-34k ·n -4km=-1恒成立,所以(4m +12)k -3n =0恒成立,所以⎩⎪⎨⎪⎧4m +12=0,-3n =0,即⎩⎪⎨⎪⎧m =-3,n =0,因此定点Q 的坐标为(-3,0).(10分)(3) 因为OM∥l,所以OM 的方程可设为y =kx 。
江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(十九)数 学(满分160分,考试时间120分钟)参考公式:锥体的体积公式V =13Sh ,其中S 是锥体的底面面积,h 是高.一、 填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分.1. 已知集合A ={x|x =2k +1,k ∈Z },B ={x|0<x <5},则A ∩B =__________.2. 已知复数z 满足(3+i)z =10i(其中i 为虚数单位),则复数z 的共轭复数是__________.3. 一个最高分和一个最低分后,算得平均分为91分,复核员在复核时,发现有一个数字(茎叶图中的x)无法看清,若记分员计算无误,则数字x 应该是__________.(第5题)4. 甲、乙、丙三人一起玩“黑白配”游戏:甲、乙、丙三人每次都随机出“手心(白)”、“手背(黑)”中的某一个手势,当其中一个人出示的手势与另外两人都不一样时,这个人胜出;其他情况,不分胜负.则一次游戏中甲胜出的概率是__________.5. 执行如图所示的算法流程图,则输出k 的值为________.6. 已知点F 为抛物线y 2=4x 的焦点,该抛物线上位于第一象限的点A 到其准线的距离为5,则直线AF 的斜率为__________.7. 已知公差为d 的等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 5S 3=3,则a 5a 3的值为________.8. 已知圆锥的母线长为10 cm ,侧面积为60π cm 2,则此圆锥的体积为________ cm 3.9. 若实数x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x +y ≤1,3x -y ≥0,y ≥0,则|3x -4y -10|的最大值为________.10. 已知函数f(x)=sinx(x ∈[0,π])和函数g(x)=12tanx 的图象交于A ,B ,C 三点,则△ABC 的面积为__________.11. 若点P ,Q 分别是曲线y =x +4x与直线4x +y =0上的动点,则线段PQ 长的最小值为__________.12. 已知a ,b ,c 是同一平面内的三个向量,其中a ,b 是互相垂直的单位向量,且(a -c )·(3b -c )=1,则|c|的最大值为__________.13. 已知对满足x +y +4=2xy 的任意正实数x ,y ,都有x 2+2xy +y 2-ax -ay +1≥0,则实数a 的取值范围为__________.14. 已知经过点P ⎝⎛⎭⎫1,32的两个圆C 1,C 2都与直线l 1:y =12x ,l 2:y =2x 相切,则这两圆的圆心距C 1C 2等于__________.二、 解答题:本大题共6小题,共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15. (本小题满分14分)如图,在梯形ABCD 中,已知AD ∥BC ,AD =1,BD =210,∠CAD =π4,tan ∠ADC=-2.求:(1) CD 的长; (2) △BCD 的面积.16. (本小题满分14分)如图,在直三棱柱ABCA 1B 1C 1中,已知AB =AC ,M ,N ,P 分别为BC ,CC 1,BB 1的中点.求证:(1) 平面AMP ⊥平面BB 1C 1C ;(2) A1N∥平面AMP.在平面直角坐标系xOy 中,已知点P ⎝⎛⎭⎫1,32在椭圆C :x 2a 2+y2b 2=1(a >b >0)上,P 到椭圆C 的两个焦点的距离之和为4.(1) 求椭圆C 的方程;(2) 若点M ,N 是椭圆C 上的两点,且四边形POMN 是平行四边形,求点M ,N 的坐标.18. (本小题满分16分)经市场调查,某商品每吨的价格为x(1<x <14)百元时,该商品的月供给量为y 1万吨,y 1=ax +72a 2-a(a >0);月需求量为y 2万吨,y 2=-1224x 2-1112x +1.当该商品的需求量大于供给量时,销售量等于供给量;当该商品的需求量不大于供给量时,销售量等于需求量.该商品的月销售额等于月销售量与价格的乘积.(1) 若a =17,问商品的价格为多少时,该商品的月销售额最大?(2) 记需求量与供给量相等时的价格为均衡价格.若该商品的均衡价格不低于每吨6百元,求实数a 的取值范围.已知函数f(x)=exe x ,g(x)=ax -2lnx -a(a ∈R ,e 为自然对数的底数).(1) 求f(x)的极值;(2) 在区间(0,e]上,对于任意的x 0,总存在两个不同的x 1,x 2,使得g(x 1)=g(x 2)=f(x 0),求a 的取值范围.20. (本小题满分16分)在数列{a n }中,已知a 1=1,a 2=2,a n +2=⎩⎪⎨⎪⎧a n +2,n =2k -1,3a n ,n =2k (k ∈N *).(1) 求数列{a n }的通项公式;(2) 求满足2a n +1=a n +a n +2的正整数n 的值;(3) 设数列{a n }的前n 项和为S n ,问是否存在正整数m ,n ,使得S 2n =mS 2n -1?若存在,求出所有的正整数对(m ,n);若不存在,请说明理由.(十九)1. {1,3} 解析:本题主要考查集合的概念与运算等基础知识.本题属于容易题.2. 1-3i 解析:z =10i3+i=1+3i ,z 的共轭复数是1-3i.本题主要考查复数的概念及四则运算等基础知识.本题属于容易题.3. 1 解析:最低分为86,若最高分为9x ,此时平均分不是91,说明最高分为94,去掉86和94,89+92+91+92+90+x =91×5,则x =1.本题主要考查平均分的基础知识.本题属于容易题.4. 14 解析:基本事件数为8种,一次游戏中甲胜出的基本事件数为2种,则所求的概率为14.本题考查用列举法解决古典概型问题.本题属于容易题.5. 3 解析:由题设流程图的循环体执行如下:第1次循环n =6,k =1;第2次循环n =3,k =2;第3次循环n =1,k =3.本题关键是把握每一次循环体执行情况.本题属于容易题.6. 43解析:F(1,0),准线方程x =-1,由第一象限的点A 到其准线的距离为5,则A(4,4),则直线AF 的斜率为43.本题考查抛物线方程的特征,直线斜率公式.本题属于容易题.7. 179 解析:S 5S 3=a 1×5+12×5×4da 1×3+12×3×2d=5a 1+10d 3a 1+3d=3,则d =4a 1,则a 5a 3=a 1+4d a 1+2d =17a 19a 1=179.本题考查了等差数列的通项与前n 项和的公式的应用.本题属于容易题.8. 96π 解析:设圆锥的底面半径为r ,侧面积=12×母线长×底面圆周长=60π,得r=6,此圆锥的高为8,则此圆锥的体积为13×36π×8=96π.本题考查了圆锥的侧面展开图以及体积求法.本题属于容易题.9. 494 解析:设z =3x -4y -10,画出可行域,利用线性规划求出-494≤z ≤-7,则|z|的最大值为494.本题考查了线性规划的内容和绝对值的意义.本题属于容易题.10. 34π 解析:sinx =12tanx =12·sinx cosx 得2cosxsinx =sinx ,(2cosx -1)sinx =0,x ∈[0,π],x =π3或0或π,则△ABC 的面积为12×π×sin π3=34π.本题考查了三角函数的图象和性质,以及同角三角函数的关系.本题属于容易题.11. 71717 解析:设曲线上任意一点P ⎝⎛⎭⎫x 0,1+4x 0,则d =⎪⎪⎪⎪4x 0+1+4x 017,当x 0>0时,d =4x 0+1+4x 017≥917,当x 0<0时,d =-4x 0-1-4x 017≥717.综上所述,d min =71717.本题考查点到直线的距离公式和基本不等式的运用.本题属于中等题.12. 6+22解析:建立平面直角坐标系,a =(1,0),b =(0,1),令c =(x ,y),则a-c =(1-x ,-y),b -c =(-x ,1-y).∵ (a -c )·(b -c )=1,∴ x 2+y 2-x -y =1,x +y =x 2+y 2-1,(x +y)2=(x 2+y 2-1)2=x 2+y 2+2xy ≤2(x 2+y 2),2-3≤x 2+y 2≤2+3,6-22≤|c|≤6+22,|c|max =6+22.本题考查了用解析法解决向量数量积的问题,并利用重要不等式求解或者利用距离模型求解.本题属于中等题.[试题更正:原题中“(a -c )(3b -c )=1”更正为“(a -c )(b -c )=1”.]13. ⎝⎛⎦⎤-∞,174 解析:x +y +4=2xy ≤2×⎝⎛⎭⎫x +y 22,x +y ≥4,当且仅当x =y =2时取=.∵ (x +y)2-a(x +y)+1≥0,∴ (x +y)+1x +y≥a.∵ (x +y)+1x +y ≥174,则a ≤174.本题考查对数函数的性质和基本不等式的运用.本题属于中等题.14. 459 解析:假设圆心所在直线为y =kx ,则k -121+12k =2-k 1+2k,k =1.故假设圆C 1:(a-1)2+⎝⎛⎭⎫a -322=a 25,圆C 2:(b -1)2+⎝⎛⎭⎫b -322=b 25,圆C 1:36a 2-100a +65=0,圆C 2:36b 2-100b +65=0.∴ a +b =10036,a ×b =6536,∴ C 1C 2=(a -b )2+(a -b )2=459.本题考查了正切的差角公式、圆的对称性、两点间的距离公式和韦达定理的运用.本题综合性强,属于难题.15. 解:(1) 因为tan ∠ADC =-2,所以sin ∠ADC =255,cos ∠ADC =-55.(2分)所以sin ∠ACD =sin (π-∠ADC -π4)=sin(∠ADC +π4)=sin ∠ADC ·cos π4+cos ∠ADC ·sin π4=1010.(6分)在△ADC 中,由正弦定理得CD =AD·sin ∠DACsin ∠ACD= 5.(8分)(2) 因为AD ∥BC, 所以cos ∠BCD =-cos ∠ADC =55.(10分)在△BDC 中,由余弦定理得 BD 2=BC 2+CD 2-2·BC·CD·cos ∠BCD ,得BC 2-2BC -35=0,解得BC =7,(12分)所以S △BCD =12×7×5×sin ∠BCD =12×7×5×255=7.(14分)16. 证明:(1) 因为直三棱柱ABCA 1B 1C 1,所以BB 1⊥底面ABC. 因为AM ⊂底面ABC ,所以BB 1⊥AM.(2分)因为M 为BC 中点,且AB =AC ,所以AM ⊥BC.又BB 1∩BC =B ,BB 1⊂平面BB 1C 1C ,BC ⊂平面BB 1C 1C , 所以AM ⊥平面BB 1C 1C.(4分)因为AM ⊂平面APM ,所以平面APM ⊥平面BB 1C 1C.(6分)(2) 取C 1B 1中点D ,连结A 1D ,DN ,DM ,B 1C.由于D ,M 分别为C 1B 1,CB 的中点,所以DM ∥CC 1且DM =CC 1,故DM ∥AA 1且DM =AA 1.则四边形A 1AMD 为平行四边形,所以A 1D ∥AM.又A 1D 平面APM ,AM ⊂平面APM ,所以A 1D ∥平面APM.(9分)由于D ,N 分别为C 1B 1,CC 1的中点,所以DN ∥B 1C. 又P ,M 分别为BB 1,CB 的中点,所以MP ∥B 1C. 则DN ∥MP.又DN ⊄ 平面APM ,MP ⊂平面APM ,所以DN ∥平面APM.(12分) 由于A 1D ∩DN =D ,所以平面A 1DN ∥平面APM. 由于A 1N ⊂平面A 1DN ,所以A 1N ∥平面APM.(14分)17. 解:(1) 由题意知,1a 2+94b2=1,2a =4.(2分)解得a 2=4,b 2=3,所以椭圆的方程为x 24+y 23=1.(4分)(2) 设M(x 1,y 1),N(x 2,y 2),则ON 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫x 22,y 22,PM 的中点坐标为(1+x 12,32+y 12). 因为四边形POMN 是平行四边形,所以⎩⎪⎨⎪⎧1+x 12=x 22,32+y 12=y 22.即⎩⎪⎨⎪⎧x 1=x 2-1,y 1=y 2-32.(6分)因为点M ,N 是椭圆C 的两点,所以⎩⎪⎨⎪⎧3x 22+4y 22=12,3(x 2-1)2+4⎝⎛⎭⎫y 2-322=12.(8分) 解得⎩⎪⎨⎪⎧x 2=2,y 2=0,或⎩⎪⎨⎪⎧x 2=-1,y 2=32.(12分) 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2=2,y 2=0,得⎩⎪⎨⎪⎧x 1=1,y 1=-32.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2=-1,y 2=32,得⎩⎪⎨⎪⎧x 1=-2,y 1=0. 所以,点M ⎝⎛⎭⎫1,-32,N(2,0);或M(-2,0),N ⎝⎛⎭⎫-1,32.(14分) 18. 解:(1) 若a =17,由y 2>y 1,得-1224x 2-1112x +1>17x +72⎝⎛⎭⎫172-17.解得-40<x<6.(3分)因为1<x<14,所以1<x<6.设该商品的月销售额为g(x),则g(x)=⎩⎪⎨⎪⎧y 1·x ,1<x<6,y 2·x ,6≤x <14.(5分)当1<x<6时,g(x)=17⎝⎛⎭⎫x -12x<g(6)=337.(7分) 当6≤x<14时,g(x)=⎝⎛⎭⎫-1224x 2-1112x +1x , 则g′(x)=-1224(3x 2+4x -224)=-1224(x -8)(3x +28),由g′(x)>0,得x<8,所以g(x)在[6,8)上是增函数,在(8,14)上是减函数,当x =8时,g(x)有最大值g(8)=367.(10分)(2) 设f(x)=y 1-y 2=1224x 2+⎝⎛⎭⎫1112+a x +72a 2-1-a , 因为a>0,所以f(x)在区间(1,14)上是增函数.若该商品的均衡价格不低于6百元,即函数f(x)在区间[6,14)上有零点,(12分)所以⎩⎪⎨⎪⎧f (6)≤0,f (14)>0,即⎩⎨⎧7a 2+10a -117≤0,72a 2+13a>0,解得0<a ≤17.(15分)答:(1) 若a =17,商品的每吨价格定为8百元时,月销售额最大;(2) 若该商品的均衡价格不低于每吨6百元,实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤0,17.(16分) 19. 解:(1) 因为f(x)=exe x ,所以f′(x)=(1-x )e e x.(2分)令f′(x)=0,得x =1.(3分)当x ∈(-∞,1)时,f ′(x)>0,f(x)是增函数; 当x ∈(1,+∞)时,f ′(x)<0,f(x)是减函数.所以f(x)在x =1时取得极大值f(1)=1,无极小值.(5分)(2) 由(1)知,当x ∈(0,1)时,f(x)单调递增;当x ∈(1,e]时,f(x)单调递减.因为f(0)=0,f(1)=1,f(e)=e ·e 1-e >0,所以当x ∈(0,e]时,函数f(x)的值域为(0,1].(7分)当a =0时,g(x)=-2lnx 在(0,e]上单调,不合题意;(8分)当a ≠0时,g ′(x)=a -2x =ax -2x =a ⎝⎛⎭⎫x -2a x,x ∈(0,e],故必须满足0<2a <e ,所以a>2e.(10分)此时,当x 变化时,g ′(x),g(x)的变化情况如下:所以x →0,g(x)→+∞,g ⎝⎛⎭⎫2a =2-a -2ln 2a,g(e)=a(e -1)-2. 所以对任意给定的x 0∈(0,e],在区间(0,e]上总存在两个不同的x 1,x 2,使得g(x 1)=g(x 2)=f(x 0),当且仅当a 满足下列条件⎩⎪⎨⎪⎧g ⎝⎛⎭⎫2a ≤0,g (e )≥1,即⎩⎪⎨⎪⎧2-a -2ln 2a ≤0,a (e -1)-2≥1.(13分)令m(a)=2-a -2ln 2a ,a ∈⎝⎛⎭⎫2e ,+∞,m ′(a)=-a -2a,由m′(a)=0,得a =2. 当a ∈(2,+∞)时,m ′(a)<0,函数m(a)单调递减;当a ∈⎝⎛⎭⎫2e ,2时,m ′(a)>0,函数m(a)单调递增. 所以,对任意a ∈⎝⎛⎭⎫2e ,+∞有m(a)≤m(2)=0,即2-a -2ln 2a≤0对任意a ∈⎝⎛⎭⎫2e ,+∞恒成立. 由a(e -1)-2≥1,解得a ≥3e -1.综上所述,当a ∈⎣⎡⎭⎫3e -1,+∞时,对于任意给定的x 0∈(0,e],在区间(0,e]上总存在两个不同的x 1,x 2,使得g(x 1)=g(x 2)=f(x 0).(16分)20. 解:(1) 由题意,数列{a n }的奇数项是以a 1=1为首项,公差为2的等差数列;偶数项是以a 2=2为首项,公比为3的等比数列. (1分)所以对任意正整数k ,a 2k -1=2k -1,a 2k =2×3k -1.所以数列{a n }的通项公式a n =⎩⎪⎨⎪⎧n ,n =2k -1,2·3n2-1,n =2k(k ∈N *).(3分) (2) ① 当n 为奇数时,由2a n +1=a n +a n +2,得2×2×3n +12-1=n +n +2,所以2×3n -12=n +1.令f(x)=2×3x -12-x -1(x ≥1),由f′(x)=23×(3)x ×ln 3-1≥23×3×ln 3-1=ln3-1>0,可知f(x)在[1,+∞)上是增函数,所以f(x)≥f(1)=0,所以当且仅当n =1时,满足2×3n -12=n +1,即2a 2=a 1+a 3.(6分)② 当n 为偶数时,由2a n +1=a n +a n +2,得2(n +1)=2×3n2-1+2×3n +22-1,即n +1=3n2-1+3n2,上式左边为奇数,右边为偶数,因此不成立. 综上,满足2a n +1=a n +a n +2的正整数n 的值只有1.(8分) (3) S 2n =(a 1+a 3+…+a 2n -1)+(a 2+a 4+…+a 2n ) =n (1+2n -1)2+2(1-3n )1-3=3n +n 2-1,n ∈N *.S 2n -1=S 2n -a 2n =3n -1+n 2-1.(10分)假设存在正整数m ,n ,使得S 2n =mS 2n -1,则3n +n 2-1=m(3n -1+n 2-1),所以3n -1(3-m)=(m -1)(n 2-1),(*) 从而3-m ≥0,所以m ≤3.又m ∈N *,所以m =1,2,3.(12分)① 当m =1时,(*)式左边大于0,右边等于0,不成立.② 当m =3时,(*)式左边等于0,所以2(n 2-1)=0,n =1,所以S 2=3S 1.(14分)③ 当m =2时,(*)式可化为3n -1=n 2-1=(n +1)(n -1),则存在k 1,k 2∈N *,k 1<k 2,使得n -1=3k 1,n +1=3k 2 且k 1+k 2=n -1,从而3k 2-3k 1=3k 1(3k 2-k 1-1)=2,所以3k 1=1,3k 2-k 1-1=2,所以k 1=0,k 2-k 1=1,于是n =2,S 4=2S 3.综上可知,符合条件的正整数对(m ,n)只有两对:(2,2),(3,1).(16分)。
江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(五) 数学附加分(满分40分,考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题,每小题10分,共20分.若多做,则按作答的前两题计分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.A. (选修4-1:几何证明选讲)如图所示,△ABC 是圆O 的内接三角形,且AB =AC ,AP ∥BC ,弦CE 的延长线交AP 于点D.求证:AD 2=DE·DC.B. (选修4-2:矩阵与变换) 已知矩阵M =⎣⎢⎡⎦⎥⎤a24b 的属于特征值8的一个特征向量是e =⎣⎢⎡⎦⎥⎤11,点P(-1,2)在M 对应的变换作用下得到点Q ,求Q 的坐标.C. (选修4-4:坐标系与参数方程)在平面直角坐标系xOy 中,曲线C :⎩⎨⎧x =6cos α,y =2sin α(α为参数).以原点O 为极点,x轴正半轴为极轴,建立极坐标系,直线l 的极坐标方程为ρ(cos θ+3sin θ)+4=0.求曲线C 上的点到直线l 的最大距离.D. (选修4-5:不等式选讲)已知|x|<2,|y|<2,求证:|4-xy|>2|x-y|.【必做题】第22、23题,每小题10分,共20分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.22. 如图,在四棱柱ABCDA1B1C1D1中,侧面ADD1A1⊥底面ABCD,D1A=D1D=2,底面ABCD为直角梯形,其中BC∥AD,AB⊥AD,AD=2AB=2BC=2.(1) 在平面ABCD内找一点F,使得D1F⊥平面AB1C;(2) 求二面角CB1AB的平面角的余弦值.23.已知数列{a n}满足a n=a n+1-a-n-1a-a-1(n∈N*),a≠-1,0,1.设b=a+1a.(1) 求证:a n+1=ba n-a n-1(n≥2,n∈N*);(2) 当n(n∈N*)为奇数时,a n=,猜想当n(n∈N*)为偶数时,a n关于b的表达式,并用数学归纳法证明.(五)21. A. 证明:连结AE ,则∠AED =∠B.(2分) ∵ AB =AC ,∴ ∠ACB =∠B , ∴ ∠ACB =∠AED.(4分) ∵ AP ∥BC ,∴ ∠ACB =∠CAD ,∴ ∠CAD =∠AED.(6分) 又∠ACD =∠EAD ,∴ △ACD ∽△EAD.(8分) ∴CD AD =ADED,即AD 2=DE·DC.(10分)B. 解:由题意知⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 24b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11=8×⎣⎢⎡⎦⎥⎤11,故⎩⎪⎨⎪⎧a +2=8,4+b =8,解得⎩⎪⎨⎪⎧a =6,b =4.(5分) ∴ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤6 244⎣⎢⎡⎦⎥⎤-1 2=⎣⎢⎡⎦⎥⎤-2 4, ∴ 点Q 的坐标为(-2,4).(10分)C. 解:将l 转化为直角坐标方程为x +3y +4=0.(3分)在C 上任取一点A(6cos α,2sin α),α∈[0,2π),则点A 到直线l 的距离为 d =|6cos α+6sin α+4|2=|23sin ⎝⎛⎭⎫α+π4+4|2=23sin ⎝⎛⎭⎫α+π4+42.(7分)当α=π4时,d 取得最大值,最大值为2+3,此时A 点为(3,1).(10分)D. 证明:因为|4-xy|2-4|x -y|2=(4-xy +2x -2y)(4-xy -2x +2y)(2分) =(2+x)(2-y)(2-x)(2+y)=(4-x 2)(4-y 2)>0,(7分) ∵ |x|<2,|y|<2,∴ |4-xy|>2|x -y|.(10分)22. 解:(1) 以A 为原点,建立空间直角坐标系,如图,A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D 1(0,1,1),B 1(1,-1,1),设F(a ,b ,0),则D 1F →=(a ,b -1,-1),(3分)由⎩⎪⎨⎪⎧D 1F →·AC →=a +b -1=0,D 1F →·AB 1→=a -b =0,得a =b =12,(5分)∴ F ⎝⎛⎭⎫12,12,0,即F 为AC 的中点.(6分)(2) 由(1)可取平面B 1AC 的一个法向量n 1=D 1F →=⎝⎛⎭⎫12,-12,-1.(7分) 设平面B 1AB 的法向量n 2=(x ,y ,z),⎩⎪⎨⎪⎧n 2·AB →=x =0,n 2·AB 1→=x -y +z =0,得⎩⎪⎨⎪⎧x =0,y =z ,取n 2=(0,1,1).(8分)则cos 〈n 1,n 2〉=-322×32=-32.(9分)∴ 二面角CB 1AB 的平面角的余弦值为32.(10分) 23. (1) 证明:ba n -a n -1=(a +a -1)(a n +1-a -n -1)a -a -1-a n -a -n a -a -1=a n +2-a -n -2a -a -1=a n +1.(3分) (2) 解:猜想当n(n ∈N *)为偶数时,a n =(4分)下面用数学归纳法证明这个猜想.① 当n =2时,a 2=a 3-a -3a -a-1=a 2+1+a -2=⎝⎛⎭⎫a +1a 2-1=b 2-1,结论成立.(5分) ② 假设当n =k(k 为偶数)时,结论成立,即a k ==0,k(-1)i C ik -i b-2i=b k -C 1k -1bk -2+…+(-1)i C i k -i b k -2i+…+(-1)k 2,此时k +1为奇数,∴ a k +1==0,k(-1)i C i k +1-i b k+1-2i=b k +1-C 1k bk -1+…+(-1)i C i k +1-i b k +1-2i +…+(-1)k2C k2k +22b ,(6分)则当n =k +2(k 为偶数)时, a k +2=ba k +1-a k =[b k +2-C 1k b k +…+(-1)i C i k +1-i b k +2-2i+…+(-1)k2C k2k +22b 2]-[b k -C 1k -1b k -2+…+(-1)i C i k -i b k-2i+…+(-1)k2]=b k +2-b k +…+(-1)i(C i k +1-i +C i -1k -(i -1))bk +2-2i+…+(-1)k +22=bk +2-bk+…+(-1)i C i k +2-i bk +2-2i +…+(-1)k +22==0,k+2(-1)i C i k+2-i b k+2-2i,结论也成立.(9分) 根据①和②,可知当n(n∈N*)为偶数时,均有a n=(10分)。
江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(一)数 学(满分160分,考试时间120分钟)一、 填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分.1. 设集合A ={x|-1≤x ≤2},B ={x|0≤x ≤4},则A ∩B =____________.2. 函数y =ln(x 2-x -2)的定义域是____________.3. 已知sin α=14,且α∈⎝⎛⎭⎫π2,π,则tan α=____________.4. 定义在R 上的奇函数f(x),当x >0时,f(x)=2x -x 2,则f(-1)+f(0)+f(3)=____________.5. 函数y =3sinx -cosx -2(x >0)的值域是____________.6. 等差数列{a n }中,前n 项和为S n ,若S 4=8a 1,a 4=4+a 2,则S 10=__________.7. 设函数f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧2x -4,x >0,-x -3,x <0,若f(a)>f(1),则实数a 的取值范围是______________.8. 等比数列{a n }的公比大于1,a 5-a 1=15,a 4-a 2=6,则a 3=____________. 9. 将函数y =sin ⎝⎛⎭⎫2x +π6的图象向右平移φ⎝⎛⎭⎫0<φ<π2个单位后,得到函数f(x)的图象,若函数f(x)是偶函数,则φ的值等于________.10. 已知函数f(x)=ax +bx (a ,b ∈R ,b >0)的图象在点P(1,f(1))处的切线与直线x +2y-1=0垂直,且函数f(x)在区间⎣⎡⎭⎫12,+∞上单调递增,则b 的最大值等于__________.11. 已知f(m)=(3m -1)a +b -2m ,当m ∈[0,1]时,f(m)≤1恒成立,则a +b 的最大值是__________.12. △ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ,若tanA =2tanB ,a 2-b 2=13c ,则c =____________.13. 已知x +y =1,y >0,x >0,则12x +xy +1的最小值为____________.14. 设f′(x)和g′(x)分别是函数f(x)和g(x)的导函数,若f′(x)·g′(x)≤0在区间I 上恒成立,则称函数f(x)和g(x)在区间I 上单调性相反.若函数f(x)=13x 3-2ax 与函数g(x)=x 2+2bx 在开区间(a ,b)(a >0)上单调性相反,则b -a 的最大值等于____________.二、 解答题:本大题共6小题,共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15. (本小题满分14分)已知函数f(x)=2cos ωx2⎝⎛⎭⎫3cos ωx 2-sin ωx 2(ω>0)的最小正周期为2π.(1) 求函数f(x)的表达式;(2) 设θ∈⎝⎛⎭⎫0,π2,且f(θ)=3+65,求cos θ的值.16.(本小题满分14分)设数列{a n }的前n 项和为S n ,满足2S n =a n +1-2n +1+1,且a 1,a 2+5,a 3成等差数列.(1) 求a 1,a 2的值;(2) 求证:数列{a n +2n }是等比数列,并求数列{a n }的通项公式.17. (本小题满分14分) 已知函数f(x)=x 2-2ax +1.(1) 若函数g(x)=log a [f(x)+a](a >0,a ≠1)的定义域是R ,求实数a 的取值范围; (2) 当x >0时,恒有不等式f (x )x>lnx 成立,求实数a 的取值范围.18. (本小题满分16分)如图,在海岸线l一侧C处有一个美丽的小岛,某旅游公司为方便游客,在l上设立了A,B两个报名点,满足A,B,C中任意两点间的距离为10 km.公司拟按以下思路运作:先将A,B两处游客分别乘车集中到AB之间的中转点D处(点D异于A,B两点),然后乘同一艘游轮前往C岛.据统计,每批游客A处需发车2辆,B处需发车4辆,每辆汽车每千米耗费2a元,游轮每千米耗费12a元.(其中a是正常数)设∠CDA=α,每批游客从各自报名点到C岛所需运输成本为S元.(1) 写出S关于α的函数表达式,并指出α的取值范围;(2) 问:中转点D距离A处多远时,S最小?19. (本小题满分16分)设函数f(x)=x|x-1|+m,g(x)=lnx.(1) 当m>1时,求函数y=f(x)在[0,m]上的最大值;(2) 记函数p(x)=f(x)-g(x),若函数p(x)有零点,求实数m的取值范围.20. (本小题满分16分)已知数列{a n}的奇数项是公差为d1的等差数列,偶数项是公差为d2的等差数列,S n是数列{a n}的前n项和,a1=1,a2=2.(1) 若S5=16,a4=a5,求a10;(2) 已知S15=15a8,且对任意n∈N*,有a n<a n+1恒成立,求证:数列{a n}是等差数列;(3) 若d1=3d2(d1≠0),且存在正整数m,n(m≠n),使得a m=a n.求当d1最大时,数列{a n}的通项公式.(一)1. {x|0≤x ≤2} 解析:本题主要考查集合的概念与运算等基础知识.本题属于容易题.2. (-∞,-1)∪(2,+∞) 解析:由x 2-x -2>0,则x >2或x<1.本题主要考查对数式中真数大于0,以及一元二次不等式的解法.本题属于容易题.3. -1515 解析:由sin α=14,α∈⎝⎛⎭⎫π2,π,得cos α=-154,则tan α=sin αcos α=-1515.本题主要考查同角三角函数关系.本题属于容易题. 4. -2 解析:由函数f(x)在R 上是奇函数,则f(0) =0,又x >0时,f(x)=2x -x 2,则f(3)=-1,f(-1)=-f(1)=-1,则f(-1)+f(0)+f(3)=-2.本题主要考查奇函数的性质.本题属于容易题.5. [-4,0] 解析:由y =3sinx -cosx -2=2sin ⎝⎛⎭⎫x -π6-2,则-4≤y ≤0.本题主要考查三角函数的值域,以及和差角公式的逆用.本题属于容易题.6. 120 解析:由S 4=8a 1,a 4=4+a 2得d =2,a 1=3,则S 10=10a 1+45d =120.本题主要考查等差数列通项公式以及求和公式.本题属于容易题.7. a <-1或a >1 解析:由f(1)=-2,则f(a)>-2.当a>0时,有2a -4>-2,则a>1;当a <0时,-x -3>-2,则a <-1.所以实数a 的取值范围是a <-1或a >1. 本题主要考查分段函数,以及简单不等式的解法.本题属于容易题.8. 4 解析:由a 5-a 1=15,a 4-a 2=6(q>1),得q =2,a 1=1,则a 3=4. 本题主要考查等比数列通项公式.本题属于容易题.9. π3 解析:由函数y =sin ⎝⎛⎭⎫2x +π6的图象向右平移φ⎝⎛⎭⎫0<φ<π2个单位后,得到函数f(x)=sin(2x +π6-2φ)的图象,函数f(x)是偶函数,π6-2φ=π2+k π,而φ为锐角,则k =-1时φ=π3.本题主要考查三角函数的图象变换,以及三角函数的奇偶性.本题属于容易题.10. 23 解析:函数f(x)=ax +bx(a ,b ∈R ,b >0)的图象在点P(1,f(1))处的切线斜率为2, f ′(1)=2,得a -b =2,由函数f(x)在区间⎣⎡⎭⎫12,+∞上单调递增,f ′(x)≥0在区间⎣⎡⎭⎫12,+∞上恒成立,得a 4≥b ,又a =2+b ,则b ≤23.本题主要考查导数的几何意义,导数在单调性中的运用以及恒成立问题.本题属于中等题.11. 73 解析:将已知条件变形f(m)=m(3a -2)+b -a ,当3a -2=0时,即a =23,则有b -a ≤1,即b ≤a +1,所以a +b ≤2a +1=2×23+1=73;当3a -2>0,即a >23时,函数f(m)在[0,1]上单调递增,f(m)max =f(1)=3a -2+b -a =2a +b -2≤1,则b ≤3-2a ,所以a +b ≤a+3-2a =3-a <73;当3a -2<0,即a <23时,函数f(m)在[0,1]上单调递减,f(m)max =f(0)=b -a ≤1,则b ≤a +1,所以a +b ≤2a +1<73.综上所述,a +b 的最大值为73.本题主要考查在多元变量中如何变换主元以及借助单调性求最值来解决不等式的恒成立问题.本题属于中等题.12. 1 解析:由tanA =2tanB sinA cosA =2sinBcosB,结合正、余弦定理转化为边的关系,有2abc b 2+c 2-a 2=2×2abc a 2+c 2-b2,化简有a 2-b 2=13c 2,结合已知条件有c =1.本题主要考查利用正、余弦定理解三角形以及三角函数中遇切化弦.本题属于中等题.13. 54 解析:将x +y =1代入12x +x y +1中,得x +y 2x +x x +2y =12+y 2x +11+2y x,设yx=t >0,则原式=1+t 2+11+2t =2t 2+3t +32(1+2t )=14·(1+2t )2+2t +1+41+2t =14[(1+2t)+41+2t+1]≥14×2(1+2t )·41+2t +14=54,当且仅当t =12时,即x =23,y =13时,取“=”.本题主要考查利用代数式变形,以及利用基本不等式求最值.本题属于难题.14. 12 解析:因为g(x)=x 2+2bx 在区间(a ,b)上为单调增函数,所以f(x)=13x 3-2ax在区间(a ,b)上单调减,故x ∈(a ,b),f ′(x)=x 2-2a ≤0,即a ≥b22,而b >a ,所以b ∈(0,2),b -a ≤b -b 22=-12(b -1)2+12,当b =1时,b -a 的最大值为12.本题主要考查二次函数的单调性、最值问题和导数在单调性中的运用以及恒成立问题.本题属于难题.15. 解:(1) f(x)=2cos ωx 2⎝⎛⎭⎫3cos ωx 2-sin ωx 2=23cos 2ωx 2-2cos ωx 2sin ωx2=3(1+cos ωx)-sin ωx(2分)=3-2sin ⎝⎛⎭⎫ωx -π3.(4分)∵ 函数f(x)的最小正周期为2π,∴ 2πω=2π,ω=1.(6分)∴ f(x)=3-2sin ⎝⎛⎭⎫x -π3.(7分)(2) 由f(θ)=3+65,得sin ⎝⎛⎭⎫θ-π3=-35.∵ θ∈⎝⎛⎭⎫0,π2,∴ θ-π3∈⎝⎛⎭⎫-π3,π6,∴ cos ⎝⎛⎭⎫θ-π3=45.(9分)∴ cos θ=cos ⎝⎛⎭⎫θ-π3+π3=cos ⎝⎛⎭⎫θ-π3cos π3-sin ⎝⎛⎭⎫θ-π3sin π3(12分)=45×12-⎝⎛⎭⎫-35×32=4+3310.(14分)16. (1) 解:由已知,得2a 1=a 2-3 ①, 2(a 1+a 2)=a 3-7 ②.(2分) 又a 1,a 2+5,a 3成等差数列, 所以a 1+a 3=2a 2+10 ③.(3分) 解①②③,得a 1=1,a 2=5.(5分)(2) 证明:由已知,n ∈N *时,2(S n +1-S n )=a n +2-a n +1-2n +2+2n +1,即a n +2=3a n +1+2n+1,即a n +1=3a n +2n (n ≥2),(7分)由(1)得,a 2=3a 1+2,∴ a n +1=3a n +2n (n ∈N *),(9分)从而有a n +1+2n +1=3a n +2n +2n +1=3a n +3×2n =3(a n +2n ).(11分)又a 1+2>0,∴ a n +2n>0,∴ a n +1+2n +1a n +2n=3,∴ 数列{a n +2n }是等比数列,且公比为3.(12分)∴ a n +2n =(a 1+2)×3n -1=3n ,即a n =3n -2n .(14分)[注:① 不说明a 2=3a 1+2,就得a n +1=3a n +2n (n ∈N *),扣1分;② 仅由a n +1+2n +1=3(a n +2n ),就得到数列{a n +2n }是等比数列,扣1分.]17. 解:(1) 由题意得,对任意x ∈R ,恒有f(x)+a >0,即恒有x 2-2ax +1+a >0,(2分)于是Δ=4a 2-4(1+a)<0,(3分)即a 2-a -1<0,解得1-52<a <1+52.(3分)因为a >0,a ≠1,所以实数a 的取值范围是(0,1)∪⎝⎛⎭⎪⎫1,1+52.(5分)(2) 当x >0时,不等式f (x )x >lnx 等价于x -2a +1x >lnx ,即2a <x +1x-lnx ,(7分)设g(x)=x +1x -lnx ,则g′(x)=1-1x 2-1x =x 2-x -1x 2.(9分)令g′(x)=0,得x =1+52,当0<x <1+52时,g ′(x)<0,g(x)单调减,当x >1+52时,g ′(x)>0,g(x)单调增,(11分)故当x =1+52时,g(x)min =g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1+52=5-ln 1+52,(13分)所以2a <5-ln 1+52,所以实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫-∞,52-12ln 1+52.(14分) 18. 解:(1) 由题知在△ACD 中,∠CAD =π3,∠CDA =α,AC =10,∠ACD =2π3-α.由正弦定理知CD sin π3=AD sin ⎝⎛⎭⎫2π3-α=10sin α,(2分)即CD =53sin α,AD =10sin ⎝⎛⎭⎫2π3-αsin α,(3分)所以S =4aAD +8aBD +12aCD =(12CD -4AD +80)a =⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤603-40sin ⎝⎛⎭⎫2π3-αsin αa +80a(5分) =203(3-cos α)·a sin α+60a ⎝⎛⎭⎫π3<α<2π3.(6分)(2) S′=203·1-3cos αsin 2α·a ,(8分)令S′=0得cos α=13,(10分)当cos α>13时,S ′<0;当cos α<13时,S ′>0,(12分)所以当cos α=13时,S 取得最小值,(13分)此时sin α=223,AD =53cos α+5sin αsin α=5+564,(15分)所以中转点D 距A 处20+564km 时,运输成本S 最小.(16分)19. 解:(1) 当x ∈[0,1]时,f(x)=x(1-x)+m =-x 2+x +m =-⎝⎛⎭⎫x -122+m +14, 当x =12时,f(x)max =m +14.(2分)当x ∈(1,m]时,f(x)=x(x -1)+m =x 2-x +m =⎝⎛⎭⎫x -122+m -14, 因为函数y =f(x)在(1,m]上单调递增,所以f(x)max =f(m)=m 2.(4分) 由m 2≥m +14得m 2-m -14≥0,又m >1,所以m ≥1+22.(6分)所以当m ≥1+22时,f(x)max =m 2;当1<m <1+22时,f(x)max =m +14.(8分)(2) 函数p(x)有零点,即方程f(x)-g(x)=x|x -1|-lnx +m =0有解, 即m =lnx -x|x -1|有解.令h(x)=lnx -x|x -1|, 当x ∈(0,1]时,h(x)=x 2-x +lnx.因为h′(x)=2x +1x-1≥22-1>0,(10分)所以函数h(x)在(0,1]上是增函数,所以h(x)≤h(1)=0.(11分) 当x ∈(1,+∞)时,h(x)=-x 2+x +lnx.因为h′(x)=-2x +1x +1=-2x 2+x +1x=-(x -1)(2x +1)x<0,(12分)所以函数h(x)在(1,+∞)上是减函数, 所以h(x)<h(1)=0.(14分)所以方程m =lnx -x|x -1|有解时m ≤0.即函数p(x)有零点时实数m 的取值范围是(-∞,0].(16分)20. (1) 解:由题意,得a 1=1,a 2=2,a 3=a 1+d 1=1+d 1,a 4=a 2+d 2=2+d 2,a 5=a 3+d 1=1+2d 1.(2分)因为S 5=16,a 4=a 5,所以a 1+a 2+a 3+a 4+a 5=7+3d 1+d 2=16,2+d 2=1+2d 1.所以d 1=2,d 2=3,(4分)所以a 10=2+4d 2=14.(5分)(2) 证明:当n 为偶数时,因为a n <a n +1恒成立,即2+⎝⎛⎭⎫n 2-1d 2<1+n 2d 1,n2(d 2-d 1)+1-d 2<0恒成立,所以d 2-d 1≤0且d 2>1.(7分) 当n 为奇数时,因为a n <a n +1恒成立,即1+n -12d 1<2+⎝⎛⎭⎫n +12-1d 2,(1-n)(d 1-d 2)+2>0恒成立,所以d 1-d 2≤0,于是有d 1=d 2.(9分)因为S 15=15a 8,所以8+8×72d 1+14+7×62d 2=30+45d 2,所以d 1=d 2=2,a n =n ,所以数列{a n }是等差数列.(11分)(3) 解:若d 1=3d 2(d 1≠0),且存在正整数m ,n(m ≠n),使得a m =a n ,由题意得,在m ,n 中必然一个是奇数,一个是偶数,不妨设m 为奇数,n 为偶数.因为a m =a n ,所以1+m -12d 1=2+⎝⎛⎭⎫n 2-1d 2.(13分) 因为d 1=3d 2,所以d 1=63m -n -1.因为m 为奇数,n 为偶数,所以3m -n -1的最小正值为2,此时d 1=3,d 2=1.(15分)所以数列{a n}的通项公式为a n=⎩⎨⎧32n -12,n 为奇数,12n +1,n 为偶数.(16分)。
江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(二十)数学附加分(满分40分,考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题,每小题10分,共20分.若多做,则按作答的前两题计分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.A. (选修4-1:几何证明选讲)如图,AB 是圆O 的直径,弦CA ,BD 的延长线相交于点E ,EF 垂直BA 的延长线于点F ,连结FD.求证:∠DEA =∠DFA.B. (选修4-2:矩阵与变换)已知矩阵M =⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 m n 1的两个特征向量α1=⎣⎢⎡⎦⎥⎤10,α2=⎣⎢⎡⎦⎥⎤01,若β=⎣⎢⎡⎦⎥⎤12,求M 2β.C. (选修4-4:坐标系与参数方程)已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =1+t 2,y =t ,曲线C 的极坐标方程为ρ=4sin θ,试判断直线l 与曲线C 的位置关系.D. (选修4-5:不等式选讲)已知正数x ,y ,z 满足x +2y +3z =1,求1x +2y +3z的最小值.【必做题】 第22、23题,每小题10分,共20分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.22. 甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛,其中两人比赛,另一人当裁判,每局比赛结束时,负的一方在下一局当裁判,假设每局比赛中,甲胜乙的概率为12,甲胜丙、乙胜丙的概率都为23,各局比赛的结果都相互独立,第1局甲当裁判. (1) 求第3局甲当裁判的概率;(2) 记前4局中乙当裁判的次数为X ,求X 的概率分布与数学期望.23. 记f(n)=(3n +2)(C 22+C 23+C 24+…+C 2n )(n ≥2,n ∈N *).(1) 求f(2),f(3),f(4)的值;(2) 当n ≥2,n ∈N *时,试猜想所有f(n)的最大公约数,并证明.(二十)21. A. 证明:连结AD ,∵ AB 是圆O 的直径,∴ ∠ADB =90°,∴ ∠ADE =90°.(4分)∵ EF ⊥FB ,∴ ∠AFE =90°,∴ A ,F ,E ,D 四点共圆,∴ ∠DEA =∠DFA.(10分)B. 解:设矩阵M 的特征向量α1对应的特征值为λ1,特征向量α2对应的特征值为λ2,则由⎩⎪⎨⎪⎧Mα1=λ1α1,M α2=λ2α2,可解得m =n =0,λ1=2,λ2=1.(4分) 又β=⎣⎢⎡⎦⎥⎤12=⎣⎢⎡⎦⎥⎤10+2⎣⎢⎡⎦⎥⎤01=α1+2α2,(6分) 所以M 2β=M 2(α1+2α2)=λ21α1+2λ22α2=4⎣⎢⎡⎦⎥⎤10+2⎣⎢⎡⎦⎥⎤01=⎣⎢⎡⎦⎥⎤42.(10分) C. 解:直线l 的普通方程为2x -y -2=0;曲线C 的直角坐标方程为x 2+(y -2)2=4,它表示圆.(4分)由圆心到直线l 的距离d =45=455<2,得直线l 与曲线C 相交.(10分) D. 解:1x +2y +3z =⎝⎛⎭⎫1x +42y +93z (x +2y +3z) =1+4+9+2y x +3z x +4x 2y +12z 2y +9x 3z +18y 3z(4分) ≥14+22y x ·4x 2y +23z x ·9x 3z +212z 2y ·18y 3z=36, ⎝⎛⎭⎫当且仅当x =y =z =16时等号成立 所以1x +2y +3z的最小值为36.(10分) 22. 解:(1) 第2局中可能是乙当裁判,其概率为13,也可能是丙当裁判,其概率为23, 所以第3局甲当裁判的概率为13×13+23×12=49.(4分) (2) X 可能的取值为0,1,2.(5分)P(X =0)=23×12×23=29;(6分) P(X =1)=13×⎝⎛⎭⎫13×23+23×12+23×12+23×12×13=1727;(7分) P(X =2)=13×⎝⎛⎭⎫23×12+13×13=427.(8分) 所以X 的数学期望E(X)=0×29+1×1727+2×427=2527.(10分) 23. 解:(1) 因为f(n)=(3n +2)(C 22+C 23+C 24+…+C 2n )=(3n +2)C 3n +1,所以f(2)=8,f(3)=44,f(4)=140.(3分)(2) 由(1)中结论可猜想所有f(n)的最大公约数为4.(4分)下面用数学归纳法证明所有的f(n)都能被4整除即可.①当n=2时,f(2)=8能被4整除,结论成立;(5分)②假设n=k时,结论成立,即f(k)=(3k+2)C3k+1能被4整除,则当n=k+1时,f(k+1)=(3k+5)C3k+2=(3k+2)C3k+2+3C3k+2=(3k+2)(C3k+1+C2k+1)+(k+2)C2k+1(7分)=(3k+2)C3k+1+(3k+2)C2k+1+(k+2)C2k+1=(3k+2)C3k+1+4(k+1)C2k+1,此式也能被4整除,即n=k+1时结论也成立.综上所述,所有f(n)的最大公约数为4.(10分)。
江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(三)数学附加分(满分40分,考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题,每小题10分,共20分.若多做,则按作答的前两题计分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.A. (选修4-1:几何证明选讲)如图,四边形ABDC 内接于圆,BD =CD ,过C 点的圆的切线与AB 的延长线交于E 点.(1) 求证:∠EAC =2∠DCE ;(2) 若BD ⊥AB ,BC =BE ,AE =2,求AB 的长.B. (选修4-2:矩阵与变换)已知二阶矩阵M 有特征值λ=3及对应的一个特征向量e 1=⎣⎢⎡⎦⎥⎤11,并且矩阵M 对应的变换将点(-1,2)变换成(9,15),求矩阵M .C. (选修4-4:坐标系与参数方程)在直角坐标系xOy 中,已知曲线C 1的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x =t ,y =3t 3(t 为参数),在以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C 2的极坐标方程是ρ=2,求曲线C 1与C 2的交点在直角坐标系中的直角坐标.D. (选修4-5:不等式选讲)设函数f(x)=⎪⎪⎪⎪x +1a +|x -a|(a >0). (1) 证明:f(x)≥2;(2) 若f(3)<5,求实数a 的取值范围.【必做题】 第22、23题,每小题10分,共20分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.22. 一位网民在网上光顾某网店,经过一番浏览后,对该店铺中的A ,B ,C 三种商品有购买意向.已知该网民购买A 种商品的概率为34,购买B 种商品的概率为23,购买C 种商品的概率为12.假设该网民是否购买这三种商品相互独立. (1) 求该网民至少购买2种商品的概率;(2) 用随机变量η表示该网民购买商品的种数,求η的概率分布和数学期望.23.如图,由若干个小正方形组成的k 层三角形图阵,第一层有1个小正方形,第二层有2个小正方形,依此类推,第k 层有k 个小正方形.除去最底下的一层,每个小正方形都放置在它下一层的两个小正方形之上.现对第k 层的每个小正方形用数字进行标注,从左到右依次记为x 1,x 2,…,x k ,其中x i ∈{0,1}(1≤i ≤k),其他小正方形标注的数字是它下面两个小正方形标注的数字之和,依此规律,记第一层的小正方形标注的数字为x 0.(1) 当k =4时,若要求x 0为2的倍数,则有多少种不同的标注方法?(2) 当k =11时,若要求x 0为3的倍数,则有多少种不同的标注方法?(三)21. A. (1) 证明:因为BD =CD ,所以∠BCD =∠CBD.因为CE 是圆的切线,所以∠ECD =∠CBD.(2分)所以∠ECD =∠BCD ,所以∠BCE =2∠ECD.因为∠EAC =∠BCE ,所以∠EAC =2∠ECD.(5分)(2) 解:因为BD ⊥AB ,所以AC ⊥CD ,AC =AB.(6分)因为BC =BE ,所以∠BEC =∠BCE =∠EAC ,所以AC =EC.(7分)由切割线定理得EC 2=AE·BE ,即AB 2=AE·(AE -AB),即AB 2+2AB -4=0,解得AB =5-1.(10分)B. 解:设M =⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ,则⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11=3⎣⎢⎡⎦⎥⎤11=⎣⎢⎡⎦⎥⎤33, 故⎩⎪⎨⎪⎧a +b =3,c +d =3.(3分) ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤-1 2=⎣⎢⎡⎦⎥⎤915,故⎩⎪⎨⎪⎧-a +2b =9,-c +2d =15.(6分) 联立以上两方程组解得a =-1,b =4,c =-3,d =6,故M =⎣⎢⎡⎦⎥⎤-1 4-3 6.(10分) C. 解:由⎩⎪⎨⎪⎧x =t ,y =3t 3,消去t 得曲线C 1的普通方程为y =33x(x ≥0);(3分) 由ρ=2,得ρ2=4,得曲线C 2的直角坐标方程是x 2+y 2=4.(6分)联立⎩⎪⎨⎪⎧y =33x (x ≥0),x 2+y 2=4,解得⎩⎨⎧x =3,y =1. 故曲线C 1与C 2的交点坐标为(3,1).(10分)D. (1) 证明:由a >0,有f(x)=⎪⎪⎪⎪x +1a +|x -a| ≥⎪⎪⎪⎪x +1a -(x -a )=1a+a ≥2, 所以f(x)≥2.(4分)(2) 解:f(3)=⎪⎪⎪⎪3+1a +|3-a|. 当a >3时,f(3)=a +1a ,由f(3)<5得3<a <5+212.(6分) 当0<a ≤3时,f(3)=6-a +1a, 由f(3)<5得1+52<a ≤3.(8分)综上,a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1+52,5+212.(10分) 22. 解:(1) 记“该网民购买i 种商品”为事件A i ,i =2,3,则P(A 3)=34×23×12=14, P(A 2)=34×23×⎝⎛⎭⎫1-12+34×⎝⎛⎭⎫1-23×12+⎝⎛⎭⎫1-34×23×12=1124,(3分) 所以该网民至少购买2种商品的概率为P(A 3)+P(A 2)=14+1124=1724. 答:该网民至少购买2种商品的概率为1724.(5分) (2) 随机变量η的可能取值为0,1,2,3,P(η=0)=⎝⎛⎭⎫1-34×⎝⎛⎭⎫1-23×⎝⎛⎭⎫1-12=124, 又P(η=2)=P(A 2)=1124,P(η=3)=P(A 3)=14, 所以P(η=1)=1-124-1124-14=14. 所以随机变量η的概率分布为(8分)故数学期望E(η)=0×124+1×14+2×1124+3×14=2312.(10分) 23. 解:(1) 当k =4时,第4层标注数字依次为x 1,x 2,x 3,x 4,第3层标注数字依次为x 1+x 2,x 2+x 3,x 3+x 4,第2层标注数字依次为x 1+2x 2+x 3,x 2+2x 3+x 4,所以x 0=x 1+3x 2+3x 3+x 4.(2分)因为x 0为2的倍数,所以x 1+x 2+x 3+x 4是2的倍数,则x 1,x 2,x 3,x 4四个都取0或两个取0两个取1或四个都取1,所以共有1+C 24+1=8种标注方法.(4分)(2) 当k =11时,第11层标注数字依次为x 1,x 2,…,x 11,第10层标注数字依次为x 1+x 2,x 2+x 3,…,x 10+x 11,第9层标注数字依次为x 1+2x 2+x 3,x 2+2x 3+x 4,…,x 9+2x 10+x 11,以此类推,可得x 0=x 1+C 110x 2+C 210x 3+…+C 910x 10+x 11.(6分)因为C 210=C 810=45,C 310=C 710=120,C 410=C 610=210,C 510=252均为3的倍数,所以只要x 1+C 110x 2+C 910x 10+x 11是3的倍数,即只要x 1+x 2+x 10+x 11是3的倍数.(8分)所以x 1,x 2,x 10,x 11四个都取0或三个取1一个取0,而其余七个x 3,x 4,…,x 9可以取0或1,这样共有(1+C 34)×27=640种标注方法.(10分)。
江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(一)数学附加分(满分40分,考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题,每小题10分,共20分.若多做,则按作答的前两题计分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.A. (选修4-1:几何证明选讲)如图,已知AB 为圆O 的直径,BC 切圆O 于点B ,AC 交圆O 于点P ,E 为线段BC 的中点.求证:OP ⊥PE.B. (选修4-2:矩阵与变换) 设曲线2x 2+2xy +y 2=1在矩阵A =⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 0b1(a >0)对应的变换作用下得到的曲线为x 2+y 2=1.求实数a ,b 的值.C. (选修4-4:坐标系与参数方程)在直角坐标系xOy 中,已知曲线C 1:⎩⎪⎨⎪⎧x =t +1,y =1-2t (t 为参数)与曲线C 2:⎩⎪⎨⎪⎧x =asin θ,y =3cos θ(θ为参数,a >0)有一个公共点在x 轴上,P(m ,n)为曲线C 2上任一点,求m +n 的取值范围.D. (选修4-5:不等式选讲)设a ,b ,c 均为正数,且a +b +c =1,证明:1a +1b +1c ≥9.【必做题】 第22、23题,每小题10分,共20分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.22. 如图,已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直,AB =2,AF =1,M 是线段EF 的中点.(1) 求二面角ADFB 的大小;(2) 试在线段AC 上确定一点P ,使PF 与BC 所成的角是60°.23.设f(x ,n)=(1+x)n,n ∈N *.(1) 求f(x ,6)的展开式中系数最大的项; (2) n∈N *时,化简C 0n 4n -1+C 1n 4n -2+C 2n 4n -3+…+C n -1n 40+C n n 4-1;(3) 求证:C 1n +2C 2n +3C 3n +…+nC nn =n×2n -1.(一)21. A. 证明:连结BP ,因为AB 是圆O 的直径,所以∠APB=90°,从而∠BPC=90°.(2分)在△BPC 中,因为E 是边BC 的中点,所以BE =EC ,从而 BE =EP ,因此∠1=∠3.(4分) 因为B 、P 为圆O 上的点,所以OB =OP ,从而∠2=∠4.(6分) 因为BC 切圆O 于点B ,所以∠ABC=90°,即∠1+∠2=90°,(8分) 从而∠3+∠4=90°,于是∠OPE=90°. 所以OP⊥PE.(10分)B. 解:设曲线2x 2+2xy +y 2=1上任一点P(x ,y)在矩阵A 对应变换下的像是P′(x′,y ′),则⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 0b 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y =⎣⎢⎡⎦⎥⎤ax bx +y =⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′,(2分) 所以⎩⎪⎨⎪⎧ax =x′,bx +y =y′.(5分)因为x′2+y′2=1,所以(ax)2+(bx +y)2=1,即(a 2+b 2)x 2+2bxy +y 2=1,(7分)所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2+b 2=2,2b =2,由于a >0,得a =b =1.(10分)C. 解:曲线C 1:⎩⎪⎨⎪⎧x =t +1,y =1-2t 的直角坐标方程为y =3-2x ,与x 轴交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫32,0.(2分)曲线C 2:⎩⎪⎨⎪⎧x =asin θ,y =3cos θ的直角坐标方程为x 2a 2+y29=1,与x 轴交点为(-a ,0),(a ,0),(4分)由a >0,曲线C 1与曲线C 2有一个公共点在x 轴上,所以a =32.(6分)所以2m +n =3sin θ+3cos θ=32sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ+π4,(8分) 所以2m +n 的取值范围为[-32,32].(10分)[试题更正:题目中“求m +n 的取值范围”改为“求2m +n 的取值范围”]D. 证明:1a +1b +1c =1+b +c a +1+a +c b +1+a +bc (4分)=3+b a +a b +c a +a c +c b +bc (8分)≥3+2+2+2=9.(10分)22. 解:(1) 以CD →,CB →,CE →为正交基底,建立空间直角坐标系,则E(0,0,1),D(2,0,0),F(2,2,1),B(0,2,0),A(2,2,0),BD →=(2,-2,0),BF →=(2,0,1).平面ADF 的法向量t =(1,0,0),(2分)设平面DFB 法向量n =(a ,b ,c),则n ·BD →=0,n ·BF →=0,所以⎩⎨⎧2a -2b =0,2a +c =0.令a =1,得b =1,c =-2,所以n =(1,1,-2).(4分)设二面角ADFB 的大小为θ⎝⎛⎭⎪⎫0<θ<π2,从而cos θ=|cos 〈n ,t 〉|=12,∴ θ=60°,故二面角ADFB 的大小为60°.(6分)(2) 依题意,设P(a ,a ,0)(0≤a≤2),则PF →=(2-a ,2-a ,1),CB →=(0,2,0).因为〈PF →,CB →〉=60°,所以cos60°=2(2-a )2×2(2-a )2+1=12,解得a =22,(9分) 所以点P 应在线段AC 的中点处.(10分)23. (1) 解:展开式中系数最大的项是第四项为C 3n x 3=20x 3.(3分)(2) 解:C 0n 4n -1+C 1n 4n -2+C 2n 4n -3+…+C n -1n 40+C n n 4-1=14[C 0n 4n +C 1n 4n -1+C 2n 4n -2+…+C n -1n 4+C n n ] =14(4+1)n=5n4.(7分) (3) 证明:因为kC k n =nC k -1n -1, 所以C 1n +2C 2n +3C 3n +…+nC n n =n(C 0n -1+C 1n -1+C 2n -1+…+C n -1n -1)=n×2n -1.(10分)。