三角函数实际应用

三角函数的实际应用教案引言：三角函数是数学中的一门重要的分支，深入了解三角函数的实际应用对学生的数学学习非常有帮助。

本教案将重点介绍三角函数在实际问题中的应用，包括测量角度、计算距离、解决力学问题等方面。

通过生动的实例和具体的应用场景，帮助学生理解三角函数的实际用途，并能运用所学知识解决实际问题。

一、测量角度的应用在很多行业和领域，测量角度是一项重要的工作，比如在建筑、地理、天文等方面。

三角函数在测量角度中起到了重要的作用。

1.1 借助三角函数来测量高楼的高度和距离假设有一座高楼，我们想要测量其高度。

我们可以站在离高楼一定距离的地方，观察该楼顶的角度，并利用正切函数来计算出该高楼的高度。

同样的道理，我们也可以借助三角函数来测量物体与观察者的距离。

1.2 三角函数在地理测量中的应用地理中的经纬度可以用角度来表示。

通过使用正弦、余弦和正切函数，我们可以计算出两个位置之间的距离、方向以及夹角。

这对于地理探索和导航都非常关键。

二、力学问题中的三角函数应用在力学问题中，三角函数也扮演着重要的角色。

下面我们将介绍一些力学问题中常见的三角函数应用。

2.1 借助三角函数解决平面力学问题平面力学问题经常涉及到角度，通过使用三角函数，我们可以计算出斜面上物体的重力分量、摩擦力等。

比如，在解决斜面上的坡道问题时，我们可以通过分解力的方法，利用正弦和余弦函数来计算各个分力的大小。

2.2 三角函数在弹道学中的应用弹道学是研究物体弹射和运动轨迹的学科，三角函数在解决弹道学问题中起到了重要的作用。

通过应用正弦、余弦和正切函数，我们可以计算出物体在不同发射角度和速度下的轨迹和落点。

三、三角函数在电工电子领域中的应用三角函数在电工电子领域中也有广泛的应用。

下面我们将介绍一些典型的应用场景。

3.1 交流电中的正弦函数交流电是一种周期性变化的电流，可以用正弦函数来描述。

通过应用三角函数，我们可以计算出交流电的频率、幅值等。

这在电工领域中非常重要。

专题08《三角函数的实际应用》题型一、利用仰角和俯视解决问题【例1】如图为放置在水平桌面上的台灯的平面示意图，灯臂AO长为40cm，与水平面所形成的夹角∠OAM为75°．由光源O射出的边缘光线OC，OB与水平面所形成的夹角∠OCA，∠OBA分别为90°和30°，求该台灯照亮水平面的宽度BC（不考虑其他因素，结果精确到0.1cm．温馨提示：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，）．【详解】解：在直角三角形ACO中，sin75°＝＝≈0.97，解得OC≈38.8，在直角三角形BCO中，tan30°＝＝≈，解得BC≈67.3．答：该台灯照亮水平面的宽度BC大约是67.3cm．小明在楼高AB＝15米的楼顶A处测得一电视塔底部C的俯角为31°，测得塔顶D的仰角为52°，求楼顶A到塔顶D的距离（结果保留整数）．（参考数据：sin31°＝0.52，cos31°＝0.86，tan31°＝0.80，sin52°＝0.79，cos52°＝0.62，tan52°＝1.28）【详解】解：如图，作AE⊥CD于点E．则CE＝AB＝15米．∵在直角△ACE中，tan∠EAC＝，∴AE＝＝＝18.75（米）．∵直角△ADE中，cos∠DAE＝，∴AD＝＝≈30（米）．答：楼顶A到塔顶D的距离约为30米．如图，C地在A地的正东方向，因有大山阻隔，由A地到C地需绕行B地．已知B地位于A地北偏东67°方向，距离A地520km，C地位于B地南偏东30°方向．若打通穿山隧道，建成两地直达高铁，求A地到C地之间高铁线路的长．（结果保留整数）（参考数据：sin67°≈，cos67°≈，tan67°≈，≈1.73）【详解】解：过点B作BD⊥AC于点D，∵B地位于A地北偏东67°方向，距离A地520km，∴∠ABD＝67°，∴AD＝AB•sin67°＝520×＝＝480km，BD＝AB•cos67°＝520×＝＝200km．∵C地位于B地南偏东30°方向，∴∠CBD＝30°，∴CD＝BD•tan30°＝200×＝，∴AC＝AD+CD＝480+≈480+115＝595（km）．答：A地到C地之间高铁线路的长为595km．如图，两幢建筑物AB和CD，AB⊥BD，CD⊥BD，AB＝15m，CD＝20m．AB和CD之间有一景观池，小双在A点测得池中喷泉处E点的俯角为42°，在C点测得E点的俯角为45°，点B、E、D在同一直线上．求两幢建筑物之间的距离BD．（结果精确到0.1m）【参考数据：sin42°＝0.67，cos42°＝0.74，tan42°＝0.90】【详解】解：由题意得：∠AEB＝42°，∠DEC＝45°，∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴在Rt△ABE中，∠ABE＝90°，AB＝15，∠AEB＝42°，∵tan∠AEB＝，∴BE＝≈15÷0.90＝，在Rt△DEC中，∠CDE＝90°，∠DEC＝∠DCE＝45°，CD＝20，∴ED＝CD＝20，∴BD＝BE+ED＝+20≈36.7（m）．答：两幢建筑物之间的距离BD约为36.7m．【例2】如图，小明想测山高和索道的长度．他在B处仰望山顶A，测得仰角∠B＝31°，再往山的方向（水平方向）前进80m至索道口C处，沿索道方向仰望山顶，测得仰角∠ACE＝39°．（1）求这座山的高度（小明的身高忽略不计）；（2）求索道AC的长（结果精确到0.1m）．（参考数据：tan31°≈，sin31°≈，tan39°≈，sin39°≈）【详解】解：（1）过点A作AD⊥BE于D，设山AD的高度为（x）m，在Rt△ABD中，∵∠ADB＝90°，tan31°＝，∴BD＝≈＝x，在Rt△ACD中，∵∠ADC＝90°，tan39°＝，∴CD＝≈＝x，∵BC＝BD﹣CD，∴x﹣x＝80，解得：x＝180．即山的高度为180米；（2）在Rt△ACD中，∠ADC＝90°，sin39°＝，∴AC＝＝≈282.9（m）．答：索道AC长约为282.9米．【变式2-1】为了测量竖直旗杆AB的高度，某综合实践小组在地面D处竖直放置标杆CD，并在地面上水平放置一个平面镜E，使得B，E，D在同一水平线上（如图所示）．该小组在标杆的F 处通过平面镜E恰好观测到旗杆顶A（此时∠AEB＝∠FED），在F处测得旗杆顶A的仰角为45°，平面镜E的俯角为67°，测得FD＝2.4米．求旗杆AB的高度约为多少米？（结果保留整数，参考数据：sin67°≈，cos67°≈，tan67°≈）【详解】解：作FG⊥AB于G，设AB为x米，由题意得，四边形FDBG为矩形，∴BG＝DF＝2.4，FG＝BD，∵FG∥BD，∴∠FED＝∠GFE＝67°，在Rt△EDF中，tan∠FED＝，∴DE＝≈2.4÷＝1，在Rt△AFG中，∠AFG＝45°，∴FG＝AG＝x﹣2.4，在Rt△AEB中，tan∠AEB＝，即BE＝≈x，由题意得，x﹣2.4＝1+x解得，x≈6，答：旗杆AB的高度约为6米．如图，为了测量山顶铁塔AE的高，小明在27m高的楼CD底部D测得塔顶A的仰角为45°，在楼顶C测得塔顶A的仰角36°52′．已知山高BE为56m，楼的底部D与山脚在同一水平线上，求该铁塔的高AE．（参考数据：sin36°52′≈0.60，tan36°52′≈0.75）【详解】解：如图，过点C作CF⊥AB于点F．设塔高AE＝x，由题意得，EF＝BE﹣CD＝56﹣27＝29m，AF＝AE+EF＝（x+29）m，在Rt△AFC中，∠ACF＝36°52′，AF＝（x+29）m，则CF＝≈＝x+，在Rt△ABD中，∠ADB＝45°，AB＝x+56，则BD＝AB＝x+56，∵CF＝BD，∴x+56＝x+，解得：x＝52，答：该铁塔的高AE为52米．某公园的人工湖边上有一座假山，假山顶上有一竖起的建筑物CD，高为10米，数学小组为了测量假山的高度DE，在公园找了一水平地面，在A处测得建筑物点D（即山顶）的仰角为35°，沿水平方向前进20米到达B点，测得建筑物顶部C点的仰角为45°，求假山的高度DE．（结果精确到1米，参考数据：sin35°≈，cos35°≈，tan35°≈）【详解】解：过点D作水平线的垂线，即（DE⊥AB），垂足为E，则C、D、E在一条直线上，设DE的长为x米，在Rt△BCE中，∠CBE＝45°，∴CE＝BE＝CD+DE＝（10+x）米，在Rt△ADE中，∠A＝35°，AE＝AB+BE＝20+10+x＝30+x，tanA＝，∴tan35°＝≈，解得：x≈70，答：假山的高度DE约为70米．题型二、方位角的应用【例1】钓鱼岛自古以来就是我国的神圣领土，为维护国家主权和海洋权利，我国海监和渔政部门对钓鱼岛海域实现了常态化巡航管理．如图，某日在我国钓鱼岛附近海域有两艘自西向东航行的海监船A、B，B船在A船的正东方向，且两船保持20海里的距离，某一时刻两海监船同时测得在A的东北方向，B的北偏东15°方向有一我国渔政执法船C，求此时船C与船B的距离是多少．（结果保留根号）【详解】解：过点B作BD⊥AC于D．由题意可知，∠BAC＝45°，∠ABC＝90°+15°＝105°，∴∠ACB＝180°﹣∠BAC﹣∠ABC＝30°，在Rt△ABD中，BD＝AB•sin∠BAD＝20×＝10（海里），在Rt△BCD中，BC＝＝＝20（海里）．答：此时船C与船B的距离是20海里．【变式1-1】如图，某旅游景区为方便游客，修建了一条东西走向的木栈道AB ，栈道AB 与景区道路CD 平行．在C 处测得栈道一端A 位于北偏西42︒方向，在D 处测得栈道另一端B 位于北偏西32︒方向．已知120CD m =，80BD m =，求木栈道AB 的长度（结果保留整数）． （参考数据：17sin 3232︒≈，17cos3220︒≈，5tan 328︒≈，27sin 4240︒≈，3cos 424︒≈，9tan 42)10︒≈【详解】解：过C 作CE AB ⊥于E ，DF AB ⊥交AB 的延长线于F ，则//CE DF ，//AB CD ，∴四边形CDFE 是矩形，120EF CD ∴==，DF CE =，在Rt BDF ∆中，32BDF ∠=︒，80BD =，17cos32806820DF BD ∴=︒=⨯≈，1785sin 3280322BF BD =︒=⨯≈， 1552BE EF BF ∴=-=， 在Rt ACE ∆中，42ACE ∠=︒，68CE DF ==，9306tan 4268105AE CE ∴=︒=⨯=，155********AB AE BE m ∴=+=+≈，答：木栈道AB 的长度约为139m ．【变式1-2】如图，位于A 处的海上救援中心获悉：在其北偏东68︒方向的B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．该中心立即把消息告知在其北偏东30︒且距离A 点20海里的C 处救生船，此时，遇险船在救生船的正东方向B 处，现救生船沿着航线CB 前往B 处救援，求救生船到达B 处行驶的距离？（参考数据：sin 680.90︒≈，cos680.36︒≈，tan 68 2.50︒≈，1.7)≈【详解】解：如图，延长BC 交AN 于点D ，则BC AN ⊥于D ．在Rt ACD ∆中，90ADC ∠=︒，30DAC ∠=︒，1102CD AC ∴==，AD =．在Rt ABD ∆中，90ADB ∠=︒，68DAB ∠=︒，22B ∴∠=︒，46.81sin ADAB B ∴=≈∠，cos 46.810.9343.53BD AB B =∠≈⨯=，43.531033.53BC BD CD ∴=-=-=，答：救生船到达B 处行驶的距离是33.53km ．【例2】我国北斗导航装备的不断更新，极大方便人们的出行．某中学从A地出发，组织学生利用导航到B、C两个地区进行研学考察活动，出发时，发现C地恰好在A地正北方向，且距离A地15.3千米．但是导航显示路线应沿北偏东45°方同走到B地，再沿北偏西37°方向走一段距离才能到达C地，求B，C两地的距离（精确到1千米）．（参考数据sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.7）【详解】解：过B作BD⊥AC，在Rt△ABD中，∠A＝∠ABD＝45°，∴AD＝BD＝x千米，∵AC＝15.3千米，∴CD＝AC﹣AD＝（15.3﹣x）千米，在Rt△BCD中，∠C＝37°，∴tan37°＝＝0.7，即x＝（15.3﹣x）×0.7，解得：x＝6.3，即BD＝6.3千米，∵sinC＝＝0.6，即BC＝＝＝10.5≈11千米，则B，C两地的距离为11千米．某区域平面示意图如图，点O在河的一侧，AC和BC表示两条互相垂直的公路．甲勘测员在A处测得点O位于北偏东45°，乙勘测员在B处测得点O位于南偏西73.7°，测得AC＝840m，BC＝500m．请求出点O到BC的距离．参考数据：sin73.7°≈，cos73.7°≈，tan73.7°≈【详解】解：作OM⊥BC于M，ON⊥AC于N，则四边形ONCM为矩形，∴ON＝MC，OM＝NC，设OM＝x，则NC＝x，AN＝840﹣x，在Rt△ANO中，∠OAN＝45°，∴ON＝AN＝840﹣x，则MC＝ON＝840﹣x，在Rt△BOM中，BM＝＝x，由题意得，840﹣x+x＝500，解得，x＝480，答：点O到BC的距离为480m．码头A、B位于东西走向的河岸线l上，一游轮在P处测得码头A在其北偏东70°，游轮向东航行10分钟后到达Q处，此时测得码头B在其北偏东35°．已知游轮的速度为30千米/小时，两码头A、B相距2千米．（1）求点P到河岸线l的距离；（2）若该游轮按原速度从点Q驶向码头B，则它至少需要多长时间才能到达码头B？（参考数据：sin35°≈，cos35°≈，tan35°≈，sin70°≈，cos70°≈，tan70°≈）【详解】解：（1）过点B作BE⊥PQ于E，作BF∥AP交PQ于点F．∵AB∥PQ，BF∥AP，∴四边形APFB是平行四边形，∴PF＝AB＝2千米，∠EFB＝∠EPA＝20°，∴FQ＝PQ﹣PF＝30×﹣2＝3（千米）．在△BFQ中，∵∠BFQ＝20°，∠FQB＝90°+35°＝125°，∴∠FBQ＝180°﹣∠BFQ﹣∠FQB＝35°，设BE＝x，FQ＝FE﹣QE，FE＝x•tan70°，QE＝35×tan35°，可得x•tan70°﹣35×tan35°＝3，解得x＝．答：点P到河岸线l的距离是千米；（2）∵BQ ＝千米，游轮的速度为30千米/小时，∴该游轮按原速度从点Q 驶向码头B 的时间为：÷30＝（小时）． 答：若该游轮按原速度从点Q 驶向码头B ，则它至少需要小时才能到达码头B ．【变式2-3】海岛A 的周围8 n mile 内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在点B 处测得海岛A 位于北偏东67︒，航行12n mlie 到达C 点，又测得小岛A 在北偏东45︒方向上．如果渔船不改变航线继续向东航行，那么它有没有触礁的危险？请说明理由．（参考数据：12sin 6713︒≈，5cos 6713︒，12tan 67)5︒≈【详解】解：作AD BC ⊥，交BC 的延长线于D ，设AD 为xnmile ，由题意得，906723B ∠=︒-︒=︒，904545ACD ∠=︒-︒=︒，则tan 45CD AD x =︒=，12tan 675BD AD x =︒≈，BD CD BC -=， 由题意得，12125x x -=， 解得607x =，6087nmile nmile <，∴渔船没有触礁的危险．题型三、综合类【例1】如图，马路的两边CF，DE互相平行，线段CD为人行横道，马路两侧的A，B两点分别表示车站和超市．CD与AB所在直线互相平行，且都与马路的两边垂直，马路宽20米，A，B相距62米，∠A＝67°，∠B＝37°．（1）求CD与AB之间的距离；（2）某人从车站A出发，沿折线A→D→C→B去超市B．求他沿折线A→D→C→B到达超市比直接横穿马路多走多少米．（参考数据：sin67°≈，cos67°≈，tan67°≈，sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈）【详解】解：（1）CD与AB之间的距离为x，则在Rt△BCF和Rt△ADE中，∵＝tan37°，＝tan67°，∴BF＝≈x，AE＝≈x，又∵AB＝62，CD＝20，∴x+x+20＝62，解得：x ＝24，答：CD 与AB 之间的距离约为24米；（2）在Rt △BCF 和Rt △ADE 中，∵BC ＝≈＝40，AD ＝≈＝26，∴AD+DC+CB ﹣AB ＝40+20+26﹣62＝24（米），答：他沿折线A →D →C →B 到达超市比直接横穿马路多走约24米．【变式1-1】如图，某学校教学楼AB 的后面有一建筑物CD ，在距离CD 正后方28米的观测点P 处，以22︒的仰角测得建筑物的顶端C 恰好挡住教学楼的顶端A ，而在建筑物CD 上距离地面2米高的E 处，测的教学楼的顶端A 的仰角为45︒，求教学楼AB 的高度（结果保留整数，2tan 22)5︒≈．【详解】解：如图，作EF AB ⊥于F ，则四边形EFBD 是矩形．45AEF ∠=︒，90AFE ∠=︒，45AEF EAF ∴∠=∠=︒，EF AF ∴=，设EF AF x ==，则BD EF x ==，在Rt PAB ∆中，2AB x =+，28PB x =+，tan 22ABPB ∴︒=， ∴22528x x +=+， 解得15x ≈，217AB x ∴=+=．答：教学楼AB 的高度约为17m ．【变式1-2】如图，校园内有两幢高度相同的教学楼AB ，CD ，大楼的底部B ，D 在同一平面上，两幢楼之间的距离BD 长为24米，小明在点E （B ，E ，D 在一条直线上）处测得教学楼AB 顶部的仰角为45°，然后沿EB 方向前进8米到达点G 处，测得教学楼CD 顶部的仰角为30°．已知小明的两个观测点F ，H 距离地面的高度均为1.6米，求教学楼AB 的高度AB 长．（精确到0.1米）参考值：≈1.41，≈1.73．【详解】解：延长HF交CD于点N，延长FH交AB于点M，如右图所示，由题意可得，MB＝HG＝FE＝ND＝1.6m，HF＝GE＝8m，MF＝BE，HN＝GD，MN ＝BD＝24m，设AM＝xm，则CN＝xm，在Rt△AFM中，MF＝，在Rt△CNH中，HN＝，∴HF＝MF+HN﹣MN＝x+x﹣24，即8＝x+x﹣24，解得，x≈11.7，∴AB＝11.7+1.6＝13.3m，答：教学楼AB的高度AB长约为13.3m．在一次综合实践课上，同学们为教室窗户设计一个遮阳篷，小明同学绘制的设计图如图所示，其中AB表示窗户，且AB＝2米，BCD表示直角遮阳蓬，已知当地一年中正午时刻太阳光与水平线CD的最小夹角∠PDN＝18.6°，最大夹角∠MDN＝64.5°请你根据以上数据，帮助小明同学计算出遮阳篷中CD的长是多少米？（结果精确到0.1）（参考数据：sin18.6°≈0.32，tan18.6°≈0.34，sin64.5°≈0.90，tan64.5°≈2.1）【详解】解：设CD＝x米，在Rt△BCD中，∠BCD＝90°，∠CDB＝∠PDN＝18.6°，CB＝CD×tan18.6°≈0.34x米，在Rt△ACD中，∠ACD＝90°，∠CDA＝∠MDN＝64.5°，AC＝CD×tan64.5°≈2.1x米，∵AB＝2米，AB＝AC﹣BC，∴2.1x﹣0.34x＝2，解得：x≈1.1，即遮阳篷中CD的长约为1.1米．如图是某斜拉桥引申出的部分平面图，AE，CD是两条拉索，其中拉索CD与水平桥面BE 的夹角为72°，其底端与立柱AB底端的距离BD为4米，两条拉索顶端距离AC为2米，若要使拉索AE与水平桥面的夹角为35°，请计算拉索AE的长．（结果精确到0.1米）（参考数据：sin35°≈，cos35°≈，tan35°≈，sin72°≈，cos72°≈，tan72°≈）【详解】解：由题意可得：tan72°＝＝＝，解得：BC＝，则AB＝BC+AC＝+2＝（m），故sin35°＝＝＝，解得：AE≈26.2，答：拉索AE的长为26.2m．【变式1-5】2018年2月17日上午10点34分，我国自主研制的第二架C919大型客机在上海浦东国际机场进行首次飞行，这意味着C919大型客机逐步拉开全面试验试飞的新征程．这大大激发了同学们对航空科技的兴趣，如图是某校航模兴趣小组获得的一张数据不完整的航模飞机机翼图纸，图中AB∥CD，AM∥BN∥ED，AE⊥DE，请根据图中数据，求出线段BE和CD的长．（sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，结果保留小数点后一位）【详解】解：∵BN∥ED，∴∠NBD＝∠BDE＝37°，∵AE⊥DE，∴∠E＝90°，∴BE＝DE•tan∠BDE≈18.8（cm），如图，过C作AE的垂线，垂足为F，∵∠FCA＝∠CAM＝45°，∴AF＝FC＝25cm，∵CD∥AE，∴四边形CDEF为矩形，∴CD＝EF，∵AE＝AB+EB＝35.8（cm），∴CD＝EF＝AE﹣AF≈10.8（cm），答：线段BE的长约等于18.8cm，线段CD的长约等于10.8cm．【变式1-6】如图，在一条河流的两岸分别有A，B，C，D四棵景观树，已知AB∥CD，某数学活动小组测得∠DAB＝45°，∠CBE＝73°，AB＝10m，CD＝30m，请计算这条河的宽度．（参考数据：sin73°≈，cos73°≈，tan73°≈）【详解】解：分别过C，D作CF⊥AE于F，DG⊥AE于F，∴∠AGD＝∠BFC＝90°，∵AB∥CD，∴∠FCD＝90°，∴四边形CFGD是矩形，∴CD＝FG＝30m，CF＝DG，在直角三角形ADG中，∠DAG＝45°，∴AG＝DG，在直角三角形BCF中，∠FBC＝73°，∴tan∠FBC＝，tan73°＝，即，解得DG＝，∵AG＝AB+BF+FG＝DG，即10+BF+30＝，解得：BF＝m，则DG＝m，答：这条河的宽度为m．【课堂练习】1、如图所示，小河中学九年级数学活动小组选定测量学校前面小河对岸大树BC的高度，他们在斜坡上D处测得大树顶端B的仰角是30°，朝大树方向下坡走6米到达坡底A处，在A处测得大树顶端B的仰角是48°．若斜坡FA的坡比i＝1：，求大树的高度．（结果保留整数，参考数据：sin48°≈0.74，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11，≈1.73）【详解】解：过点D作DM⊥BC于点M，DN⊥AC于点N，则四边形DMCN是矩形，∵DA＝6，斜坡FA的坡比i＝1：，∴DN＝AD＝3，AN＝AD•cos30°＝6×＝3，设大树的高度为x，∵在斜坡上A处测得大树顶端B的仰角是48°，∴tan48°＝≈1.11，∴AC＝，∴DM＝CN＝AN+AC＝3+，∵在△ADM中，＝，∴x﹣3＝（3+）•，解得：x≈13．答：树高BC约13米．2、小明家所在居民楼的对面有一座大厦AB，AB＝80米，为测量这座居民楼与大厦之间的距离，小明从自己家的窗户C处测得大厦顶部A的仰角为37°，大厦底部B的俯角为48°．求小明家所在居民楼与大厦的距离CD的长度．（结果保留整数）（参考数据：）【详解】解：设CD＝x米．在Rt△ACD中，，则，∴；在Rt△BCD中，tan48°＝，则，∴．（4分）∵AD+BD＝AB，∴，解得：x≈43．答：小明家所在居民楼与大厦的距离CD大约是43米．（6分）3、若商场为方便消费者购物，准备将原来的阶梯式自动扶梯改造成斜坡式动扶梯，如图所示，已知原阶梯式自动扶梯AB长为10m，扶梯AB的坡度i为1：．改造后的斜坡式动扶梯的坡角∠ACB为15°，请你计算改造后的斜坡式自动扶梯AC的长度．（结果精确到0.1m．参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tanl5°≈0.27）【详解】解：∵扶梯AB的坡度i为1：，∴AD：DB＝1：即DB＝AD．在Rt△ADB中，∵AD2+DB2＝AB2，∴AD2+3AD2＝102解得AD＝±5．因为﹣5不合题意，所以AD＝5．在Rt△ACD中，sin∠ACD＝，∴AC＝≈≈19.2（m）答：改造后的自动扶梯AC的长约为19.2m．4、共享单车为人们的生活带来了极大的便利．如图，一辆单车放在水平的地面上，车把头下方A处与坐垫下方B处在平行于地面的水平线上，A，B之间的距离为49cm，现测得AC，BC与AB的夹角分别为45°，68°．若点C到地面的距离CD为28cm，坐垫中轴E处与点B的距离BE为5cm，求点E到地面的距离．（结果保留一位小数，参考数据：sin68°≈0.93，cos68°≈0.37，tan68°≈2.50）【详解】解：过点C作CH⊥AB于点H，过点E作EF垂直于AB延长线于点F，设CH＝x，则AH＝CH＝x，BH＝＝0.4x，由AB＝49知x+0.4x＝49，解得：x＝35，∵BE＝5，∴EF＝BEsin68°＝4.65，则点E到地面的距离为CH+CD+EF＝35+28+4.65≈67.7（cm），答：点E到地面的距离约为67.7cm．。

应用三角函数解决实际问题三角函数是数学中重要的概念之一，它与三角形的边长和角度之间的关系密切相关。

在实际生活中，我们可以利用三角函数解决各种实际问题，例如测量高楼的高度、计算船只与灯塔之间的距离等。

本文将通过几个具体的例子，详细介绍如何应用三角函数解决实际问题。

一、测量高楼的高度假设我们想要测量一座高楼的高度，但是无法直接测量。

此时，我们可以利用三角函数中的正切函数来解决这个问题。

我们可以站在离这座高楼较远的地方，仰望其顶部，并找到一个合适的角度。

然后，通过测量自己所站位置与地面的距离，以及仰望高楼时的角度，利用正切函数可以计算出高楼的高度。

例如，假设我们站在离高楼的位置为100米的地方，仰望高楼的角度为30度。

我们可以利用三角函数中的正切函数，根据公式tan(角度) = 高楼高度 / 100，计算出高楼的高度为100 * tan(30度) = 57.74米。

因此，高楼的高度约为57.74米。

二、计算船只与灯塔之间的距离假设我们在海上驾驶一艘船，远处有一座灯塔，我们想要知道船只与灯塔的距离。

此时，我们可以利用三角函数中的正弦函数来解决这个问题。

我们可以站在船只上，观察灯塔并记录下观察的角度。

然后，通过测量船只与海平面的高度，以及观察灯塔时的角度，利用正弦函数可以计算出船只与灯塔的距离。

例如，假设船只与海平面的高度为10米，我们观察灯塔的角度为45度。

我们可以利用三角函数中的正弦函数，根据公式sin(角度) = 灯塔的高度 / 距离，计算出船只与灯塔的距离为10 / sin(45度) = 14.14米。

因此，船只与灯塔的距离约为14.14米。

三、求解三角形的边长在一些实际问题中，给定三角形的某些角度和边长，我们需要求解其他未知边长。

这时，可以利用三角函数中的正弦、余弦、正切等函数来解决。

例如，已知一个直角三角形的直角边长分别为3和4，我们需要求解斜边的长度。

根据勾股定理，我们知道斜边的长度可以通过勾股定理计算得出：斜边的平方等于两个直角边平方和。

三角函数的应用解决实际问题三角函数是数学中的重要概念，广泛应用于各个领域，尤其是在解决实际问题时。

本文将探讨三角函数在解决实际问题中的应用，并详细介绍其中的几个例子。

一. 三角函数在建筑学中的应用建筑学是一个重要的应用领域，三角函数在其中扮演着至关重要的角色。

例如，建筑师在设计建筑物时需要考虑到各种因素，比如建筑物的倾斜角度。

通过三角函数的应用，可以计算出建筑物与水平面的夹角，从而确定建筑物的稳定性和美观性。

二. 三角函数在天文学中的应用天文学是研究天体运动和天象现象的学科。

三角函数在天文学中被广泛用于计算天体的位置、距离和速度等。

例如，通过观测天体的高度角和方位角，结合三角函数的计算，可以确定天体在夜空中的具体位置。

这对于研究天体运动和预测天象现象具有重要意义。

三. 三角函数在物理学中的应用物理学是研究物质和能量之间相互关系的学科。

三角函数在物理学中的应用涵盖了多个方面。

一个典型的例子是在力学中，通过三角函数的应用可以计算力的分解和合成。

例如，当一个物体受到两个力的作用时，通过三角函数的计算可以确定合力的大小和方向，从而推导出物体的运动状态。

四. 三角函数在航海学中的应用航海学是研究航海导航和船舶运动的学科，而三角函数则是航海学中不可或缺的工具。

比如，当船只在海上航行时，通过观测太阳或星星的高度角以及时间信息，结合三角函数的计算，可以确定船只的经纬度位置。

这对于船只的导航和航行安全至关重要。

五. 三角函数在工程学中的应用工程学是研究各种工程问题的学科，三角函数在其中扮演着重要的角色。

比如，当工程师在设计桥梁或者斜坡时，需要考虑力的平衡问题。

通过三角函数的应用，可以计算工程结构的受力情况，从而确保工程的安全性和稳定性。

综上所述，三角函数在解决实际问题中发挥着重要的作用，涵盖了多个领域。

从建筑学到天文学，从物理学到航海学和工程学，三角函数的应用都有着不可忽视的地位。

因此，熟练掌握三角函数的概念和应用方法，对于解决实际问题具有重要意义。

浅谈生活中三角函数的应用三角函数是高中数学中的重要内容，不仅仅是理论部分，也有着广泛的实际应用。

在生活中，我们常常会遇到一些与三角函数相关的情景，下面就让我们浅谈一下生活中三角函数的应用。

三角函数在物理中有着广泛的应用。

例如在力学中，通过三角函数可以描述物体在斜面上的运动情况，包括斜面上物体的加速度、速度和位移等。

斜面上的物体运动可以拆解成沿斜面方向和垂直斜面方向两个分量，而这两个分量的关系就可以通过三角函数来描述。

在电磁学中，三角函数也被用于描述电流和电压的变化规律，常见的交流电流正弦波就是一个典型的例子。

在工程领域中，三角函数也有着重要的应用。

例如在土木工程中，通过三角函数可以计算建筑物的高度、重量等参数，进而对建筑物的结构进行设计和评估。

在机械工程中，三角函数则可以用来描述物体的旋转运动，通过正弦和余弦函数可以计算物体的角速度和角加速度等。

三角函数还在计算机图形学中有着非常重要的应用，通过正弦和余弦函数可以计算出图形的旋转、放缩和位移等。

三角函数在日常生活中也有一些实际应用。

例如在航海领域，通过正弦和余弦函数可以计算出船只的航向和速度等信息，帮助船员进行导航和航行。

在测量领域，三角函数也被广泛应用于测量不可测量的角度，例如可以通过测量一个三角形的边长和角度，来计算出其他边长和角度的值。

三角函数在生活中有着广泛的应用。

通过三角函数，我们可以描述物体的运动、建筑物的结构、图形的变换、船只的导航等等，可以说是数学中的重要工具之一。

对于学习三角函数，我们不仅要理解其理论知识，更要注重其实际应用，将其运用到实际生活中，提高我们的问题解决能力和创新思维。

一、三角函数的实际应用知识点拨一、在Rt △ABC 中，∠C 为直角，则∠A 的锐角三角函数为(∠A 可换成∠B)：定义边范围数量关系正弦斜边的对边A A ∠=sin ca A =sin 1sin 0<<A (∠A 为锐角)余弦斜边的邻边A A ∠=cos c bA =cos 1cos 0<<A (∠A 为锐角)B A cos sin =B A sin cos =1cos sin 22=+A A 正切的邻边的对边A tan ∠∠=A A b a A =tan 0tan >A (∠A 为锐角)余切的对边的邻边A A A ∠∠=cot a b A =cot 0cot >A (∠A 为锐角)BA cot tan =B A tan cot =A A cot 1tan =(倒数)1cot tan =⋅AA 二、0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值三角函数0°30°45°60°90°αsin 02122231αcos 12322210αtan 03313不存在αcot 不存在31330三、常见术语：(1)仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。

对边邻边A C(2)坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度(坡比)。

用字母i 表示，即hi l =。

坡度一般写成1:m 的形式，如1:5i =等。

把坡面与水平面的夹角记作α(叫做坡角)，那么tan h i l α==。

例题演练一．选择题（共20小题）1．如图，为了测量旗杆AB 的高度，小明在点C 处放置了高度为2米的测角仪CD ，测得旗杆顶端点A 的仰角∠ADE ＝50.2°，然后他沿着坡度为i ＝的斜坡CF 走了20米到达点F ，再沿水平方向走8米就到达了旗杆底端点B ．则旗杆AB 的高度约为（ ）米．（参考数据：sin50.2°≈0.77，cos50.2°≈0.64，tan50.2°≈1.2）．A ．8.48B ．14C ．18.8D ．30.82．我校兴趣小组同学为测量校外“御墅临枫”的一栋电梯高层AB 的楼高，从校前广场的C 处测得该座建筑物顶点A 的仰角为45°，沿着C 向上走到30米处的D 点．再测得顶点A 的仰角为22°，已知CD 的坡度：i ＝1：2，A 、B 、C 、D 在同一平面内，则高楼AB 的高度为（ ）（参考数据；sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40）:i h l =hlαA．60B．70C．80D．903．小敏利用无人机测量某座山的垂直高度AB．如图所示，无人机在地面BC上方130米的D 处测得山顶A的仰角为22°，测得山脚C的俯角为63.5°．已知AC的坡度为1：0.75，点A ，B，C，D在同一平面内，则此山的垂直高度AB约为（ ）（参考数据：sin63.5°≈0.89，tan63.5°≈2.00，sin22°≈0.37，tan22°≈0.40）A．146.4米B．222.9米C．225.7米D．318.6米4．重庆实验外国语学校某数学兴趣小组，想测量华岩寺内七佛塔的高度，他们在点C处测得七佛塔顶部A处的仰角为45°，再沿着坡度为i＝1：2.4的斜坡CD向上走了5.2米到达点D，此时测得七佛塔顶部A的仰角为37°，七佛塔AB所在平台高度EF为0.8米，则七佛塔AB的高约为（ ）米．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）A．20.8B．21.6C．23.2D．245．春节期间，某老师读到《行路难》中“闲来垂钓碧溪上，忽复乘舟梦日边．”邀约好友一起在江边垂钓，如图，河堤AB的坡度为1：2.4，AB长为5.2米，钓竿AC与水平线的夹角是60°，其长为6米，若钓竿AC与钓鱼线CD的夹角也是60°，则浮漂D与河堤下端B 之间的距离约为（ ）（参考数据：＝1.732）A．2.33米B．2.35米C．2.36米D．2.42米6．如图，为测量观光塔AB的高度，冬冬在坡度i＝1：2.4的斜坡CD的D点测得塔顶A的仰角为52°，斜坡CD长为26米，C到塔底B的水平距离为9米．图中点A，B，C，D在同一平面内，则观光塔AB的高度约为（ ）米．（结果精确到0.1米，参考数据：sin52°≈0.79，cos52°≈0.62，tan52°≈1.28）A．10.5米B．16.1米C．20.7米D．32.2米7．如图，一棵松树AB挺立在斜坡CB的顶端，斜坡CB长为52米，坡度为i＝12：5，小张从与点C相距60米的点D处向上爬12米到达观景台DE的顶端点E，在此测得松树顶端点A的仰角为39°，则松树的高度AB约为（ ）（参考数据：sin39°≈0.63，cos39°≈0.78，tan39°≈0.81）A．16.8米B．28.8米C．40.8米D．64.2米8．小明和好朋友一起去三亚旅游，他们租住的酒店AB坐落在坡度为i＝1：2.4的斜坡CD上，酒店AB高为129米．某天，小明在酒店顶楼的海景房A处向外看风景，发现酒店前有一座雕像C（雕像的高度忽略不计），已知雕像C距离海岸线上的点D的距离CD为260米，雕像C与酒店AB的水平距离为36米，他站在A处还看到远处海面上一艘即将靠岸的轮船E的俯角为27°．则轮船E距离海岸线上的点D的距离ED的长大约为（ ）米．（参考数据：tan27°≈0.5，sin27°≈0.45）A．262B．212C．244D．2769．保利观澜旁边有一望江公园，公园里有一文峰塔，工程人员在与塔底中心的D同一水平线的A处，测得AD＝20米，沿坡度i＝0.75的斜坡AB走到B点，测得塔顶E仰角为37°，再沿水平方向走20米到C处，测得塔顶E的仰角为22°，则塔高DE为（ ）米．（结果精确到十分位）（sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，）A．18.3米B．19.3米C．20米D．21.2米10．小李同学想测量广场科技楼CD的高度，他先在科技楼正对面的智慧楼AB的楼顶A点测得科技楼楼顶C点的仰角为45°．再在智慧楼的楼底B点测得科技楼楼顶C点的仰角为61°，然后从楼底B点经过4米长的平台BF到达楼梯F点，沿着坡度为i＝1：2.4的楼梯向下到达楼梯底部E点，最后沿水平方向步行20米到达科技楼楼底D点（点A、B、C、D、E 、F在同一平面内，智慧楼AB和科技楼CD与水平方向垂直）．已知智慧楼AB的高为24米，则科技楼CD的高约为（ ）米．（结果精确到0.1，参考数据：sin61°≈0.87．cos61°≈0.48，tan61°≈1.80）A．54.0B．56.4C．56.5D．56.611．某游客乘坐“金碧皇宫号游船”在长江和嘉陵江的交汇处A点，测得来福士最高楼顶点F的仰角为45°，此时他头顶正上方146米的点B处有架航拍无人机测得来福士最高楼顶点F的仰角为31°，游船朝码头方向行驶120米到达码头C，沿坡度i＝1：2的斜坡CD 走到点D，再向前走160米到达来福士楼底E，则来福士最高楼EF的高度约为（ ）（结果精确到0.1，参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.87，tan31°≈0.60）A．301.3米B．322.5米C．350.2米D．418.5米12．如图是杨家坪步行街某天桥扶梯横截面的平面图．身高为1.5米的小明站在距离扶梯底端A处8米远的点P处，测得扶梯顶端B的仰角为18°，扶梯AB的坡度i＝3：4，已知扶梯顶端B到天桥顶部的距离为2.3米，则小明所在位置点P到天桥顶部的距离是（ ）（参考数据：sin18°≈0.29，cos18°≈0.95，tan18°≈）A．12.3米B．9.8米C．7.9米D．7.5米13．如图，在某山坡前有一电视塔．小明在山坡坡脚P处测得电视塔顶端M的仰角为60°，在点P处小明沿山坡向上走39m到达D处，测得电视塔顶端M的仰角为30°．已知山坡坡度i＝1：2.4，请你计算电视塔的高度ME约为（ ）m．（结果精确到0.1m，参考数据：≈1.732）A．59.8B．58.8C．53.7D．57.914．如图，万达广场主楼楼顶立有广告牌DE，小辉准备利用所学的三角函数知识估测该主楼的高度．由于场地有限，不便测量，所以小辉沿坡度i＝1：0.75的斜坡从看台前的B处步行50米到达C处，测得广告牌底部D的仰角为45°，广告牌顶部E的仰角为53°（小辉的身高忽略不计），已知广告牌DE＝15米，则该主楼AD的高度约为（ ）（结果精确到整数，参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.3）A．80m B．85m C．89m D．90m15．图中的阴影部分是某水库大坝横截面，小明站在大坝上的A处看到一棵大树CD的影子刚好落在坝底的B处（点A与大树及其影子在同一平面内），此时太阳光与地面的夹角为60°，在A处测得树顶D的俯角为15°，如图所示，已知斜坡AB的坡度i＝：1，若大树CD的高为8米，则大坝的高为（ ）米（结果精确到1米，参考数据≈1.414 ≈1.732）（ ）A．18B．19C．20D．2116．3月中旬某中学校园内的樱花树正值盛花期，供全校师生驻足观赏．如图，有一棵樱花树AB垂直于水平平台BC，通往平台有一斜坡CD，D、E在同一水平地面上，A、B、C、D、E均在同一平面内，已知BC＝3米，CD＝5米，DE＝1米，斜坡CD的坡度是，李同学在水平地面E处测得树冠顶端A的仰角为62°，则樱花树的高度AB约为（ ）（参考数据：sin62°≈0.88，cos62°≈0.47，tan62°≈1.88）A．9.16米B．12.04米C．13.16米D．15.04米17．某数学兴趣小组在歌乐山森林公园借助无人机测量某山峰的垂直高度AB．如图所示，无人机在地面BC上方120米的D处测得山顶A的仰角为22°，测得山脚C的俯角为63.5°．已知AC的坡度为1：0.75，点A，B，C，D在同一平面内，则山峰的垂直高度AB约为（ ）（参考数据：sin63.5°≈0.89，tan63.5°≈2.00，sin22°≈0.37，tan22°≈0.40）A．141.4米B．188.6米C．205.7米D．308.6米18．小菁在数学实践课中测量路灯的高度．如图，已知她的身高AB1.2米，她先站在A处看路灯顶端O的仰角为35°，再往前走3米站在C处，看路灯顶端O的仰角为65°．那么该路灯顶端O到地面的距离约为（ ）（sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7，sin65°≈0.9，cos65°≈0.4，tan65°≈2 .1）A．3.2米B．3.9米C．4.4米D．4.7米19．如图，某班数学兴趣小组利用数学知识测量建筑物DEFC的高度．他们从点A出发沿着坡度为i＝1：2.4的斜坡AB步行26米到达点B处，此时测得建筑物顶端C的仰角α＝35°，建筑物底端D的俯角β＝30°．若AD为水平的地面，则此建筑物的高度CD约为（ ）米．（参考数据：≈1.7，tan35°≈0.7）A．23.1B．21.9C．27.5D．3020．如图，某数学活动小组为测量学校旗杆AB的高度，从旗杆正前方2m处的点C出发，沿坡度l＝1：2的斜坡CD前进5m到达点D，在点D处安置测角仪，测得旗杆顶部A的仰角为37°，量得仪器的高DE为1.5m，已知A，B，C，D，E在同一平面内，AB⊥BC，AB∥D E，则旗杆AB的高度是（ ）（参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈，≈1.732，≈2.236，结果保留一位小数）A．8.2B．8.4C．8.6D．8.8。

三角函数的应用三角函数是数学中一个重要的概念，广泛应用于各个领域。

它们的应用范围广泛，包括工程学、物理学、天文学以及其他科学和技术领域。

本文将介绍几个三角函数的应用案例，并说明其在实际问题中的重要性。

1. 三角函数在航海中的应用航海是利用船只进行远洋航行的一门学科，而三角函数则在航海中起到了至关重要的作用。

例如，当船只需要导航时，可以利用正弦函数来计算出太阳或者星星的高度，从而确定船只的位置。

同样地，利用余弦函数可以计算海上两个点之间的距离。

同时，正切函数还可以帮助船只确定自身的航向和角度。

因此，三角函数在航海中的应用是不可或缺的。

2. 三角函数在建筑和工程中的应用在建筑和工程领域，三角函数也扮演着重要的角色。

例如，在设计建筑物时，我们需要利用正弦函数计算出各种角度和斜率，以确保建筑物的结构稳定和安全。

此外，正切函数可以用于计算坡度和曲线的弧度。

无论是计算建筑物的高度、角度还是连接两个物体的斜坡，三角函数都是必不可少的工具。

3. 三角函数在电子工程中的应用在电子工程中，三角函数的应用同样十分重要。

例如，在设计电路和计算器时，正弦函数和余弦函数可以用于计算波形和频率。

此外，正切函数常常用于计算电压和电流的相位差。

无论是在电子设备的设计还是电路分析中，三角函数都是必备的工具。

4. 三角函数在物理学中的应用物理学是研究物质和能量的科学，而三角函数则在物理学的各个分支中都有广泛的应用。

例如，在力学中，可以利用正弦函数和余弦函数来描述物体的运动和摆动。

在光学中，正弦函数也被用于描述光的传播和干涉。

而在声学中，正弦函数则被用来描述声波的传播和频率。

因此，三角函数在物理学中的应用是无法忽视的。

以上只是三角函数应用的几个例子，实际上，三角函数在各个领域都扮演着重要的角色。

从航海到工程，从电子到物理，三角函数提供了解决问题的工具和方法。

无论是在科学研究还是工程实践中，掌握和应用三角函数都是必不可少的。

因此，我们应该重视学习和理解三角函数，将其应用于实际问题的解决中，以推动科学技术的发展和进步。

三角函数在实际问题中的应用三角函数是数学中的重要概念之一，它在各个领域的实际问题中都有广泛的应用。

三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数，它们在几何学、物理学、建筑学等领域中发挥着重要的作用。

本文将从这些领域中选择几个实际问题，探讨三角函数在其中的应用。

引言三角函数的研究可以追溯到古希腊时期，当时人们就开始使用三角函数解决几何问题。

随着时间的推移，人们发现三角函数在各个领域的应用越来越广泛，成为解决实际问题不可或缺的工具。

一、建筑学中的三角函数应用在建筑学中，三角函数常被用来计算和测量各种角度和距离。

例如，建筑师在设计建筑物时，需要计算墙体倾斜角度，以确保建筑物的结构稳固。

这时就用到了正切函数。

通过测量斜边和邻边的长度，可以计算出墙体的倾斜角度。

此外，三角函数还能帮助建筑师设计和计算各种形状的结构。

例如，在设计楼梯的过程中，需要计算每一步的坡度和角度，以确保人们在爬升楼梯时的舒适度和安全性。

三角函数可以帮助建筑师准确计算出每一步的角度和长度。

二、物理学中的三角函数应用三角函数在物理学中有广泛的应用，尤其是在描述波动和振动方面。

例如，声波的传播就可以通过正弦函数进行描述。

声音的频率和振幅可以用正弦函数的周期和振幅来表示。

此外，光的传播也可以用三角函数进行描述。

例如，在光的干涉和衍射实验中，可以通过正弦函数模型来解释光的波动性。

通过计算正弦函数的周期和振幅，可以预测光的干涉和衍射的效果。

三、航海中的三角函数应用航海是一门古老而重要的领域，三角函数也在其中发挥着重要的作用。

在没有现代导航设备的时候，航海家们需要通过天体观测来确定自己的位置和航向。

航海中最常用的天体观测就是太阳的高度角观测。

通过观测太阳的高度角和知道当地的纬度，可以利用正切函数来计算出船只的位置。

这个方法被称为“经度观测法”，是航海中非常重要而精确的导航方法。

结论三角函数在实际问题中的应用举不胜举。

从建筑学到物理学，从航海到天文学，都使用到了三角函数。

三角函数的指数表示归纳与应用在数学领域中，三角函数是一类非常重要和广泛应用的函数。

它们在几何学、物理学、工程学以及其他科学领域中扮演着重要角色。

本文将深入探讨三角函数的指数表示归纳以及在实际应用中的运用。

一、指数表示的归纳1. 正弦函数的指数表示在数学中，正弦函数可以用指数形式表示为：sin(x) = (e^(ix) - e^(-ix)) / (2i)其中，e^ix 和 e^(-ix) 是复数的指数形式，i 是虚数单位。

这种指数表示形式有助于更简洁地展示和研究正弦函数的性质和特点。

2. 余弦函数的指数表示类似地，余弦函数可以用指数形式表示为：cos(x) = (e^(ix) + e^(-ix)) / 2这种指数表示形式与正弦函数相似，但需要注意它们之间的正负号不同。

通过使用指数表示，我们可以更方便地推导和证明余弦函数的性质。

3. 指数表示的优势与应用指数表示不仅使得三角函数的表达更简洁，同时也方便了对三角函数的运算和推导。

在数学分析、信号处理和物理学等领域中，人们常常采用指数表示来简化问题并得出更精确的结果。

通过使用指数表示，可将复杂的三角函数问题转化为更简单的指数运算问题，并通过一些技巧和性质得出最终的解析式。

二、指数表示的应用1. 信号处理中的应用在信号处理中，三角函数的指数表示经常被用于表示正弦和余弦信号。

通过将信号表示为指数形式，我们可以更方便地进行频域分析、滤波以及其他信号处理操作。

例如，在音频处理中，通过将音频信号转换为频域表示，可以实现音频的压缩、噪声消除和音频特征提取等功能。

2. 电路分析中的应用电路分析是工程学中一个关键的领域，而三角函数的指数表示在电路分析中扮演着重要角色。

通过将电流和电压表示为复数的指数形式，我们可以更方便地进行复杂电路的计算和分析。

特别是在交流电路中，使用指数表示可以简化计算过程，并得到更准确和精确的结果。

3. 物理学中的应用在物理学中，三角函数的指数表示广泛应用于波动和振动的分析。

浅谈生活中三角函数的应用三角函数是数学中的一种基本函数形式，包括正弦函数、余弦函数和正切函数。

在生活中，三角函数有着广泛的应用，涉及到多个领域。

本文将从几个方面探讨生活中三角函数的应用。

三角函数在物理学中的应用非常广泛。

经典力学是物理学的重要分支之一，而三角函数是解决力学问题的基本工具。

运动学中的匀速圆周运动，可以通过正弦函数或余弦函数来描述物体在圆周上的位置随时间的变化。

动力学中的周期性运动，如弹簧振动、摆动等，也可以使用三角函数来分析和解释。

电磁波的传播也是一种周期性波动，可以使用三角函数进行数学描述。

三角函数在工程学中的应用也非常重要。

建筑工程中的梁、柱的受力分析可以使用三角函数的知识进行计算。

在土木工程中，通过三角函数可以计算斜坡的倾斜度，从而保证工程的安全和稳定。

在电子工程中，正弦函数和余弦函数是交流电信号的基础，可以用于电路分析和设计。

三角函数在音乐领域中也有着广泛的应用。

音乐中的音高和音调是通过波的震荡频率来产生的。

而三角函数可以描述这种震荡的周期性变化。

乐器演奏中的音高可以通过正弦函数描述。

音乐中的和声和音程等也可以通过三角函数进行分析和解释。

在天文学中，三角函数也有重要应用。

根据天体运动的规律，可以使用正弦函数和余弦函数来描述天体在空间中的位置和运动。

地球的公转和自转都是周期性的运动，可以通过三角函数来进行描述和计算。

天体测量中的角度测量，也离不开三角函数的知识。

三角函数在生活中有着广泛的应用，涉及到物理学、工程学、音乐、天文学等多个领域。

掌握三角函数的知识能够帮助我们更好地理解和解决实际问题。

对于学生来说，学好三角函数是非常重要的。

在实际生活和工作中，我们也可以运用三角函数的知识来解决问题，提升自己的技能和能力。

专题08《三角函数的实际应用》题型一、利用仰角和俯视解决问题【例1】如图为放置在水平桌面上的台灯的平面示意图，灯臂AO长为40cm，与水平面所形成的夹角∠OAM为75°．由光源O射出的边缘光线OC，OB与水平面所形成的夹角∠OCA，∠OBA分别为90°和30°，求该台灯照亮水平面的宽度BC（不考虑其他因素，结果精确到0.1cm．温馨提示：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，）．【变式1-1】小明在楼高AB＝15米的楼顶A处测得一电视塔底部C的俯角为31°，测得塔顶D的仰角为52°，求楼顶A到塔顶D的距离（结果保留整数）．（参考数据：sin31°＝0.52，cos31°＝0.86，tan31°＝0.80，sin52°＝0.79，cos52°＝0.62，tan52°＝1.28）【变式1-2】如图，C地在A地的正东方向，因有大山阻隔，由A地到C地需绕行B地．已知B地位于A地北偏东67°方向，距离A地520km，C地位于B地南偏东30°方向．若打通穿山隧道，建成两地直达高铁，求A地到C地之间高铁线路的长．（结果保留整数）（参考数据：sin67°≈，cos67°≈，tan67°≈，≈1.73）【变式1-3】如图，两幢建筑物AB和CD，AB⊥BD，CD⊥BD，AB＝15m，CD＝20m．AB 和CD之间有一景观池，小双在A点测得池中喷泉处E点的俯角为42°，在C点测得E点的俯角为45°，点B、E、D在同一直线上．求两幢建筑物之间的距离BD．（结果精确到0.1m）【参考数据：sin42°＝0.67，cos42°＝0.74，tan42°＝0.90】【例2】如图，小明想测山高和索道的长度．他在B处仰望山顶A，测得仰角∠B＝31°，再往山的方向（水平方向）前进80m至索道口C处，沿索道方向仰望山顶，测得仰角∠ACE ＝39°．（1）求这座山的高度（小明的身高忽略不计）；（2）求索道AC的长（结果精确到0.1m）．（参考数据：tan31°≈，sin31°≈，tan39°≈，sin39°≈）【变式2-1】为了测量竖直旗杆AB的高度，某综合实践小组在地面D处竖直放置标杆CD，并在地面上水平放置一个平面镜E，使得B，E，D在同一水平线上（如图所示）．该小组在标杆的F处通过平面镜E恰好观测到旗杆顶A（此时∠AEB＝∠FED），在F处测得旗杆顶A 的仰角为45°，平面镜E的俯角为67°，测得FD＝2.4米．求旗杆AB的高度约为多少米？（结果保留整数，参考数据：sin67°≈，cos67°≈，tan67°≈）【变式2-2】如图，为了测量山顶铁塔AE的高，小明在27m高的楼CD底部D测得塔顶A的仰角为45°，在楼顶C测得塔顶A的仰角36°52′．已知山高BE为56m，楼的底部D 与山脚在同一水平线上，求该铁塔的高AE．（参考数据：sin36°52′≈0.60，tan36°52′≈0.75）【变式2-3】某公园的人工湖边上有一座假山，假山顶上有一竖起的建筑物CD，高为10米，数学小组为了测量假山的高度DE，在公园找了一水平地面，在A处测得建筑物点D（即山顶）的仰角为35°，沿水平方向前进20米到达B点，测得建筑物顶部C点的仰角为45°，求假山的高度DE．（结果精确到1米，参考数据：sin35°≈，cos35°≈，tan35°≈）题型二、方位角的应用【例1】钓鱼岛自古以来就是我国的神圣领土，为维护国家主权和海洋权利，我国海监和渔政部门对钓鱼岛海域实现了常态化巡航管理．如图，某日在我国钓鱼岛附近海域有两艘自西向东航行的海监船A 、B ，B 船在A 船的正东方向，且两船保持20海里的距离，某一时刻两海监船同时测得在A 的东北方向，B 的北偏东15°方向有一我国渔政执法船C ，求此时船C 与船B 的距离是多少．（结果保留根号）【变式1-1】如图，某旅游景区为方便游客，修建了一条东西走向的木栈道AB ，栈道AB 与景区道路CD 平行．在C 处测得栈道一端A 位于北偏西42︒方向，在D 处测得栈道另一端B 位于北偏西32︒方向．已知120CD m =，80BD m =，求木栈道AB 的长度（结果保留整数）．（参考数据：17sin 3232︒≈，17cos3220︒≈，5tan 328︒≈，27sin 4240︒≈，3cos 424︒≈，9tan 42)10︒≈【变式1-2】如图，位于A 处的海上救援中心获悉：在其北偏东68︒方向的B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．该中心立即把消息告知在其北偏东30︒且距离A 点20海里的C 处救生船，此时，遇险船在救生船的正东方向B 处，现救生船沿着航线CB 前往B 处救援，求救生船到达B 处行驶的距离？（参考数据：sin 680.90︒≈，cos680.36︒≈，tan 68 2.50︒≈，1.7)≈【例2】我国北斗导航装备的不断更新，极大方便人们的出行．某中学从A 地出发，组织学生利用导航到B 、C 两个地区进行研学考察活动，出发时，发现C 地恰好在A 地正北方向，且距离A 地15.3千米．但是导航显示路线应沿北偏东45°方同走到B 地，再沿北偏西37°方向走一段距离才能到达C地，求B，C两地的距离（精确到1千米）．（参考数据sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.7）【变式2-1】某区域平面示意图如图，点O在河的一侧，AC和BC表示两条互相垂直的公路．甲勘测员在A处测得点O位于北偏东45°，乙勘测员在B处测得点O位于南偏西73.7°，测得AC＝840m，BC＝500m．请求出点O到BC的距离．参考数据：sin73.7°≈，cos73.7°≈，tan73.7°≈【变式2-2】码头A、B位于东西走向的河岸线l上，一游轮在P处测得码头A在其北偏东70°，游轮向东航行10分钟后到达Q处，此时测得码头B在其北偏东35°．已知游轮的速度为30千米/小时，两码头A、B相距2千米．（1）求点P到河岸线l的距离；（2）若该游轮按原速度从点Q驶向码头B，则它至少需要多长时间才能到达码头B？（参考数据：sin35°≈，cos35°≈，tan35°≈，sin70°≈，cos70°≈，tan70°≈）【变式2-3】海岛A 的周围8 n mile 内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在点B 处测得海岛A 位于北偏东67︒，航行12n mlie 到达C 点，又测得小岛A 在北偏东45︒方向上．如果渔船不改变航线继续向东航行，那么它有没有触礁的危险？请说明理由．（参考数据：12sin 6713︒≈，5cos 6713︒，12tan 67)5︒≈题型三、综合类【例1】如图，马路的两边CF ，DE 互相平行，线段CD 为人行横道，马路两侧的A ，B 两点分别表示车站和超市．CD 与AB 所在直线互相平行，且都与马路的两边垂直，马路宽20米，A ，B 相距62米，∠A ＝67°，∠B ＝37°．（1）求CD 与AB 之间的距离；（2）某人从车站A 出发，沿折线A →D →C →B 去超市B ．求他沿折线A →D →C →B 到达超市比直接横穿马路多走多少米．（参考数据：sin67°≈，cos67°≈，tan67°≈，sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈）【变式1-1】如图，某学校教学楼AB的后面有一建筑物CD，在距离CD正后方28米的观测点P处，以22︒的仰角测得建筑物的顶端C恰好挡住教学楼的顶端A，而在建筑物CD 上距离地面2米高的E处，测的教学楼的顶端A的仰角为45︒，求教学楼AB的高度（结果保留整数，2 tan22)5︒≈．【变式1-2】如图，校园内有两幢高度相同的教学楼AB，CD，大楼的底部B，D在同一平面上，两幢楼之间的距离BD长为24米，小明在点E（B，E，D在一条直线上）处测得教学楼AB顶部的仰角为45°，然后沿EB方向前进8米到达点G处，测得教学楼CD顶部的仰角为30°．已知小明的两个观测点F，H距离地面的高度均为1.6米，求教学楼AB的高度AB长．（精确到0.1米）参考值：≈1.41，≈1.73．【变式1-3】在一次综合实践课上，同学们为教室窗户设计一个遮阳篷，小明同学绘制的设计图如图所示，其中AB表示窗户，且AB＝2米，BCD表示直角遮阳蓬，已知当地一年中正午时刻太阳光与水平线CD的最小夹角∠PDN＝18.6°，最大夹角∠MDN＝64.5°请你根据以上数据，帮助小明同学计算出遮阳篷中CD的长是多少米？（结果精确到0.1）（参考数据：sin18.6°≈0.32，tan18.6°≈0.34，sin64.5°≈0.90，tan64.5°≈2.1）【变式1-4】如图是某斜拉桥引申出的部分平面图，AE，CD是两条拉索，其中拉索CD与水平桥面BE的夹角为72°，其底端与立柱AB底端的距离BD为4米，两条拉索顶端距离AC为2米，若要使拉索AE与水平桥面的夹角为35°，请计算拉索AE的长．（结果精确到0.1米）（参考数据：sin35°≈，cos35°≈，tan35°≈，sin72°≈，cos72°≈，tan72°≈）【变式1-5】2018年2月17日上午10点34分，我国自主研制的第二架C919大型客机在上海浦东国际机场进行首次飞行，这意味着C919大型客机逐步拉开全面试验试飞的新征程．这大大激发了同学们对航空科技的兴趣，如图是某校航模兴趣小组获得的一张数据不完整的航模飞机机翼图纸，图中AB∥CD，AM∥BN∥ED，AE⊥DE，请根据图中数据，求出线段BE和CD的长．（sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，结果保留小数点后一位）【变式1-6】如图，在一条河流的两岸分别有A，B，C，D四棵景观树，已知AB∥CD，某数学活动小组测得∠DAB＝45°，∠CBE＝73°，AB＝10m，CD＝30m，请计算这条河的宽度．（参考数据：sin73°≈，cos73°≈，tan73°≈）【课堂练习】1、如图所示，小河中学九年级数学活动小组选定测量学校前面小河对岸大树BC的高度，他们在斜坡上D处测得大树顶端B的仰角是30°，朝大树方向下坡走6米到达坡底A处，在A处测得大树顶端B的仰角是48°．若斜坡FA的坡比i＝1：，求大树的高度．（结果保留整数，参考数据：sin48°≈0.74，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11，≈1.73）2、小明家所在居民楼的对面有一座大厦AB，AB＝80米，为测量这座居民楼与大厦之间的距离，小明从自己家的窗户C处测得大厦顶部A的仰角为37°，大厦底部B的俯角为48°．求小明家所在居民楼与大厦的距离CD的长度．（结果保留整数）（参考数据：）3、若商场为方便消费者购物，准备将原来的阶梯式自动扶梯改造成斜坡式动扶梯，如图所示，已知原阶梯式自动扶梯AB长为10m，扶梯AB的坡度i为1：．改造后的斜坡式动扶梯的坡角∠ACB为15°，请你计算改造后的斜坡式自动扶梯AC的长度．（结果精确到0.1m．参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tanl5°≈0.27）4、共享单车为人们的生活带来了极大的便利．如图，一辆单车放在水平的地面上，车把头下方A处与坐垫下方B处在平行于地面的水平线上，A，B之间的距离为49cm，现测得AC，BC与AB的夹角分别为45°，68°．若点C到地面的距离CD为28cm，坐垫中轴E处与点B的距离BE为5cm，求点E到地面的距离．（结果保留一位小数，参考数据：sin68°≈0.93，cos68°≈0.37，tan68°≈2.50）。

三角函数的应用三角函数是数学中的重要内容之一，广泛应用于各个领域，如物理、工程、计算机图形学等。

本文将从不同领域的角度介绍三角函数的应用。

一、物理中的三角函数应用1. 弹道学中的三角函数应用在弹道学中，我们可以使用三角函数来描述抛物线弹道的轨迹。

假设我们以水平方向飞行的火箭为例，其运动轨迹可以用函数 y = f(x) 来表示，其中 x 表示时间，y 表示高度。

由于重力的作用，火箭在垂直方向上存在加速度。

通过三角函数，我们可以推导出火箭的高度随时间变化的函数表达式，并进一步分析火箭的运动轨迹。

2. 波动学中的三角函数应用在波动学中，三角函数被广泛应用于描述波动的性质。

例如，海浪的起伏可以用正弦函数来表示。

正弦函数具有周期性，因此能够准确地描述出海浪的周期和振幅等特征。

此外，在声波和光波的传播中，也会使用到正弦函数和余弦函数来描述波的传播方程。

二、工程中的三角函数应用1. 测量学中的三角函数应用在测量学中，三角函数被广泛应用于距离和角度的测量。

例如，利用正弦定理和余弦定理，我们可以在不直接测量距离的情况下，通过测量角度和长度来计算两个不可测量的物体之间的距离。

这在大地测量和建筑测量中都有重要的应用价值。

2. 结构力学中的三角函数应用在结构力学中，三角函数被用于求解力学问题中的角度和向量关系。

例如，通过正弦定律和余弦定律，我们可以计算力的分解、合成以及受力物体之间的角度关系。

这对于分析建筑物和桥梁等结构的稳定性和强度是非常重要的。

三、计算机图形学中的三角函数应用1. 三维建模中的三角函数应用在计算机图形学中，三角函数被广泛应用于三维建模和渲染中。

例如，在计算机游戏中，我们可以使用正弦函数和余弦函数来计算光照的强度和方向，以达到逼真的渲染效果。

此外，在三维模型的旋转、缩放和平移中，三角函数也被用于计算变换矩阵，从而实现模型的变换和动画效果。

2. 图像处理中的三角函数应用在图像处理中，三角函数被用于图像的滤波和变换。

三角函数的实际应用知识：直角三角形中其他重要概念⑴ 仰角与俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角．如图⑴．⑵ 坡角与坡度：坡面的垂直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度（或叫做坡比），用字母表示为h i l =，坡面与水平面的夹角记作α，叫做坡角，则tan hi lα==．坡度越大，坡面就越陡．如图⑵． ⑶ 方向角（或方位角）：方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达为北（南）偏东（西）××度.如图⑶．图(3)图(2)图(1)俯角仰角视线视线水平线铅垂线2. 解直角三角形应用题的解题步骤及应注意的问题：⑴ 分析题意，根据已知条件画出它的平面或截面示意图，分清仰角、俯角、坡角、坡度、水平距离、垂直距离等概念的意义；⑵ 找出要求解的直角三角形．有些图形虽然不是直角三角形，但可添加适当的辅助线，把它们分割成一些直角三角形和矩形（包括正方形）； ⑶ 根据已知条件，选择合适的边角关系式解直角三角形； ⑷ 按照题目中已知数据的精确度进行近似计算，检验是否符合实际，并按题目要求的精确度取近似值，注明单位 3. 0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值(重要)典型例题类型一.所求线段由两段和差组成。

例题1.（2018成都） 由我国完全自主设计、自主建造的首舰国产航母于2018年5月成功完成第一次海上试验任务.如图，航母由西向东航行，到达A 处时，测得小岛C 位于它的北偏东70︒方向，且于航母相距80海里，再航行一段时间后到达处，测得小岛C 位于它的北偏东37︒方向.如果航母继续航行至小岛C 的正南方向的D 处，求还需航行的距离BD 的长.（参考数据：sin700.94︒≈，cos700.34︒≈，tan70 2.75︒≈，sin370.6︒≈，cos370.80︒≈，tan370.75︒≈）.解：由题知：70ACD ∠=︒，37BCD ∠=︒，80AC =.在Rt ACD ∆中，cos CD ACD AC ∠=，0.3480CD=∴，27.2CD =∴（海里）. 在Rt BCD ∆中，tan BD BCD CD ∠=，0.7527.2BD=∴，20.4BD =∴（海里）.答：还需要航行的距离BD 的长为20.4海里.变式1.为了减轻二环高架上汽车的噪音污染，成都市政府计划在高架上的一些路段的护栏上方增加隔音屏．如图，工程人员在高架上的车道 M 处测得某居民楼顶的仰角∠ABC 的度数是 20°，仪器 BM 的高是 0.8m ，点M 到护栏的距离 MD 的长为 11m ，求需要安装的隔音屏的顶部到桥面的距离 ED 的长（结果保留到 0.1m ，参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）解：由题意：CD ＝BM ＝0.8m ，BC ＝MD ＝11m ， 在Rt △ECB 中，EC ＝BC •tan20°＝11×0.36≈3.96（m ）， ∴ED ＝CD +EC ＝3.96+0.8≈4.8（m ），答：需要安装的隔音屏的顶部到桥面的距离 ED 的长4.8m2.如图，登山缆车从点A 出发，途径点B 后到达终点C 。

浅谈生活中三角函数的应用【摘要】三角函数在现代生活中扮演着重要的角色，其应用涉及建筑设计、工程测量、日常生活、音乐艺术和计算机图形学等多个领域。

在建筑设计中，三角函数帮助设计师计算建筑物的结构和角度，确保建筑物稳固美观。

在工程测量中，三角函数被用于测量地形地貌、建筑物高度、道路设计等工作。

在日常生活中，三角函数的应用案例包括电视信号、天文学观测、GPS定位等。

在音乐和艺术中，三角函数被用于调整音调和频率，创作出优美的音乐和图画。

在计算机图形学中，三角函数帮助计算机生成各种复杂的图形和动画。

三角函数在生活中的广泛应用表明其重要性，未来还有很大的潜力等待发掘。

【关键词】三角函数、应用、生活、建筑设计、工程测量、实际案例、音乐、艺术、计算机图形学、重要性、潜力。

1. 引言1.1 三角函数在现代生活中的重要性三角函数在现代生活中的重要性不可忽视。

它们是数学中的重要分支，广泛应用于各个领域。

从建筑设计到工程测量，从日常生活中的实际问题到音乐和艺术表达，再到计算机图形学，三角函数无处不在，发挥着至关重要的作用。

在建筑设计中，三角函数被用来计算各种角度和距离，确保建筑结构的稳定性和美观性。

工程测量中的角度测量、距离测量等也少不了三角函数的帮助。

在日常生活中，比如导航系统通过三角函数计算地点的位置，摄影测量利用三角函数来测量高度和距离，甚至在烹饪中也能见到三角函数的影子。

音乐和艺术中的三角函数应用更是丰富多彩。

音乐中的音调、频率等与三角函数有密切关联，艺术作品中的美学原理也往往依赖于三角函数的运算。

而在计算机图形学中，三角函数更是基础中的基础，用来实现各种复杂的图形效果。

三角函数在生活中的广泛应用表明其重要性不可替代。

未来，随着科技的发展和社会的进步，三角函数在生活中的应用还有很大的潜力待挖掘和发展。

我们应该更加重视三角函数的学习和应用，从中受益，推动社会的发展和进步。

1.2 为什么要浅谈生活中三角函数的应用三角函数在现代生活中扮演着重要的角色，无论是在建筑设计、工程测量、日常生活、音乐和艺术以及计算机图形学等领域，都有广泛的应用。

三角函数的应用实际问题解决三角函数是数学中重要的一个分支，它不仅具有纯理论的意义，还有广泛的实际应用。

在工程、物理、天文等领域，三角函数被广泛地运用于解决实际问题。

本文将探讨三角函数在实际问题中的应用，并给出相应的解决方案。

一、测量问题的解决在测量中，三角函数被广泛应用于解决一些无法直接测量的问题。

比如，在无法直接测量高塔或大楼的高度时，可以通过测量水平距离和仰角，运用正切函数求得目标物体的高度。

具体计算公式为：h = d * tanθ其中，h表示目标物体的高度，d表示水平距离，θ表示仰角。

通过测量得到水平距离d和仰角θ，就能快速准确地计算出目标物体的高度h。

二、力学问题的解决在力学中，三角函数也有重要应用。

比如，在解决斜面上物体滑动问题时，可以运用正弦函数和余弦函数进行分析计算。

以斜面上的物体自由滑动为例，设物体的质量为m，斜面的倾角为θ，重力加速度为g，则物体在斜面方向上的加速度为：a = g * sinθ物体的法向加速度为：a' = g * cosθ通过计算加速度和法向加速度，可以进一步推导出物体在斜面上滑动的速度、位移等相关参数，从而解决实际力学问题。

三、信号处理问题的解决在信号处理中，三角函数经常用于对信号进行分析和滤波。

例如，对于周期性信号，可以利用傅里叶级数将其分解为一个或多个正弦函数的和，从而实现信号的频谱分析。

在音频处理中，正弦函数常用于生成合成音效，通过调整正弦函数的频率、振幅等参数，可以模拟各种不同的音乐乐器声音。

此外，正弦函数还广泛应用于图像处理中的色彩调整、滤波等操作，提供了丰富的图像效果。

综上所述，三角函数在实际问题的解决中起着重要的作用。

无论是测量问题、力学问题还是信号处理问题，三角函数都能提供有效的解决方案。

通过合理运用三角函数的相关知识，我们能够更好地理解和解决实际生活中的各种问题。

三角函数模型的实际应用三角函数模型有广泛的应用，下面介绍几类实际应用：一、航海航空三角函数模型在航海航空方面的应用非常重要，利用它可以测量地球的大地测量和定位，在航空运输中提供权威的航行资料，例如绘制路线图、求解航行距离和航行时间等。

二、地图编绘地图编绘工作中也常用三角函数，在建立地图坐标系之前，可以用三角函数求出两点之间的距离或者方位角，在行使凹凸修正等工作中极为重要。

三、极坐标三角函数模型也常用在极坐标系中，假设有一个极坐标点(ρ ˆθ)，那么根据三角函数关系可以将其转换为直角坐标系的表示形式。

从而使可以用直角坐标形式来表示任意的极坐标点，并在其表示形式与直角坐标有关的几何图形中，可以将其绘制出来。

四、机械加工三角函数在机械加工中也有着广泛的用途，例如，利用三角算法，可以得出从一个极坐标到另一个极坐标的机械变换路径；用三角函数实现的抛物面及弧线的切削；在利用摄像机的3D 扫描时，也可以通过三角函数，将摄像机扫描的原始数据，转换成机械加工的参数数据。

五、摄影测量三角函数模型在摄影测量中也有深远的影响，可以进行空间坐标系的转换，从而使摄影测量与地理空间坐标系统融汇贯通。

比如，可以用三角函数模型实现从一幅空间摄影影像到另外一个空间坐标系的世界坐标系之间的重映射。

六、信息存储处理三角函数主要应用于信息存储处理，可以转换地理坐标或者其它形式的数据，将其存储在数据库中，实现进一步的统计分析或者与其它信息数据的结合，从而实现连接存储的数值信息。

七、数字信号处理三角函数在数字信号处理中具有重要作用，可以利用这种模型进行信号的压缩和数字图像的提取和处理，并利用三角算法对多边形进行着色，从而实现信号和图形的处理。

总之，三角函数模型在日常生活中具有很重要的应用，能够有效地解决一些复杂的实际问题，它是一门研究几何形状和距离的重要工具，其求解能力令人感到惊叹。

三角函数的应用场景
三角函数在多个领域都有广泛的应用，以下是一些主要的应用场景：
1.工程学：在建筑工程、桥梁工程、道路工程等领域，三角
函数被广泛应用于计算角度、长度和高度等参数。

例如，工程师可以使用三角函数来计算建筑物的高度、结构的稳定性和材料的应力等。

2.物理学：三角函数在物理学中也有重要的应用。

例如，在
研究力学问题时，三角函数可以帮助解决力与力之间的转换，并列出平衡方程。

此外，三角函数还可以用于计算物体运动的速度、加速度和位移等参数。

3.导航和航空：在航海和航空领域，三角函数被用于计算船
舶或飞机的位置、航向和速度。

例如，航海员可以使用三角函数来计算经度和纬度，从而确定船舶的位置。

飞行员也可以使用三角函数来计算飞行航线和导航点。

4.地理测量：地理学家和测量员可以使用三角函数来测量地
球表面上的距离、海拔高度和地形特征。

例如，通过测量角度和距离，可以计算出地形的高度和坡度等参数。

5.信号处理：在信号处理领域，三角函数被用于分析和处理
波形信号。

例如，在音频处理中，可以使用三角函数来表示音频信号的振幅和相位等参数，从而进行音频合成、滤波和降噪等操作。

总之，三角函数作为一种基本的数学工具，在多个领域都有广泛的应用。

通过学习和掌握三角函数的定义、性质和应用场景，可以更好地理解和解决各种实际问题。

三角函数的应用解决实际问题三角函数是数学中重要的一部分，它们不仅在数学领域中起着重要的作用，而且在实际问题中也有着广泛的应用。

通过运用三角函数的知识，我们可以解决许多与角度和距离相关的实际问题。

本文将以实际问题为切入点，介绍三角函数在解决实际问题中的应用。

一、三角函数在测量问题中的应用在测量问题中，我们经常需要测量高度、距离等物理量。

而正弦、余弦、正切等三角函数可以帮助我们计算这些物理量。

以测量高楼的高度为例，假设有一座高楼，我们无法直接测量其高度，但我们可以使用三角函数来解决这个问题。

我们设置一个测量点与高楼底部的连线和测量点与高楼顶部的连线之间形成的角为θ，我们可以利用正切函数来计算出高楼的高度。

具体地说，我们利用正切函数的定义：tan(θ) = 高度/距离，通过测量点与高楼底部的距离和测量点与高楼顶部的距离以及测量点与高楼底部的连线和测量点与高楼顶部的连线之间形成的角，就可以计算出高楼的高度。

二、三角函数在静力学问题中的应用静力学是力学的一个重要分支，研究物体的平衡与力的作用。

在静力学问题中，我们常常需要计算物体所受的力和力的分解，而三角函数的应用可帮助我们解决这些问题。

以斜面问题为例，我们可以通过分解力并利用正弦、余弦函数计算出一个斜面上物体所受的分力。

具体地说，对于一个斜面，我们可以将它的重力分解为垂直于斜面的分力和平行于斜面的分力，这样我们就可以利用正弦、余弦函数计算出物体所受的分力的大小，进而求解出斜面上物体的平衡状态。

三、三角函数在电路问题中的应用在电路问题中，三角函数也有重要的应用。

例如，在交流电路中，我们常常需要计算电流和电压之间的相位差，而三角函数可以帮助我们解决这个问题。

以正弦波形为例，设电流和电压的关系为i(t) = I*sin(ωt)、v(t) =V*sin(ωt + φ)，其中I、V分别表示电流和电压的最大值，ω表示角频率，t表示时间，φ表示相位差。

我们可以通过对两者进行比较，利用三角函数的性质，求解出相位差φ的大小。

浅谈生活中三角函数的应用生活中，三角函数的应用无处不在。

从建筑学到天文学，从日常生活到科学研究，三角函数都扮演着重要的角色。

本文将浅谈生活中三角函数的应用，探讨三角函数是如何融入到我们的生活中的。

我们来看看建筑工程中的三角函数应用。

在建筑工程中，三角函数常常用于测量和计算。

在建筑设计中，我们会用正弦函数来计算建筑物的高度和角度，以确保建筑物的结构和稳定性。

三角函数还可以帮助工程师设计出更合理的斜坡和坡度，以确保建筑物的排水和排气。

三角函数在航空航天领域也有着重要的应用。

在飞行中，飞行员需要根据飞机的速度、高度和角度来进行操作。

而这些数据往往是通过三角函数来计算和测量的。

飞行员可以利用正弦函数来计算飞机的爬升角度和俯冲角度，以及利用余弦函数来计算飞机的水平速度和垂直速度。

在飞行导航系统中，三角函数也被广泛应用，帮助飞行员确定飞机的位置和航向。

三角函数还在地理测量和地图绘制中起着关键作用。

地理测量师使用三角函数来测量地球表面上的距离、角度和高度，以绘制出准确的地图。

他们可以利用正弦函数来计算山的高度和斜度，以及利用余弦函数来计算两点之间的距离和角度。

这些数据对于军事、地质和航海等领域都具有重要的意义。

除了以上几个行业，三角函数在日常生活中也有着许多实际应用。

我们可以利用三角函数来计算日常生活中的测量问题，比如房子的面积和周长、物体的高度和重量等。

三角函数还可以帮助我们解决一些实际问题，比如利用正弦定理来计算建筑物的高度，利用余弦定理来测量建筑物的斜度，以及利用正切函数来计算棱柱的体积等。

三角函数在我们的生活中有着广泛的应用，无论是在建筑工程、航空航天、地理测量还是日常生活中，三角函数都扮演着重要的角色。

它不仅能帮助我们解决实际问题，还能帮助我们更好地理解和描述世界。

对于学生来说，学好三角函数是非常重要的，它不仅可以帮助他们更好地理解数学知识，还可以让他们在将来的工作中更加得心应手。

希望本文能够让大家更加了解三角函数在生活中的应用，也能够激发大家对数学的兴趣。