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《计算机数学基础(1)》辅导−−第3章 集合论 1015本章重点：集合概念，集合的运算，集合恒等式的证明，笛卡儿积.一、重点内容 1. 集合的概念集合与元素，具有确定的，可以区分的若干事物的全体称为集合，其中的事物叫元素.集合A 中元素的个数为集合的元数∣A ∣.集合的表示方法：列举法和描述法.列举集合的元素，元素不能重复出现，集合中的元素无顺序之分. 集合与其元素之间存在属于“∈”或不属于“∉”关系.2. 集合的关系：包含，子集，集合相等.包含(子集)，若B a A a ∈⇒∈∀，则B 包含A (或A 包含于B )，称A 是B 的子集，记B A ⊆，又A ≠B ，则A 是B 的真子集，记A ⊂B .集合相等，若A ⊆B ，B ⊆A ，则A ＝B. 注意：元素与集合,集合与子集，子集与幂集，∈与⊂(⊆)，空集∅与所有集合等的关系. 3. 特殊集合：全集、空集和幂集.全集合E ，在一个具体问题中，所涉及的集合都是某个集合的子集，该集合为全集. 空集∅，不含任何元素的集合为空集. 空集是惟一的，它是任何集合的子集.集合A 的幂集P (A)，集合A 的所有子集构成的集合P (A)=}{A x x ⊆. 若∣A ∣＝n , 则∣P (A)∣=2n .4. 集合的运算集合A 和B 的并A ⋃B ，由集合A 和B 的所有元素组成的集合.集合A 和B 的交A ⋂B ，由集合A 和B 的公共元素组成的集合.集合A 的补集~A ，属于E 但不属于集合A 的元素组成的集合，~A. 补集总相对于一个全集.集合A 与B 的差集A －B ，由属于A ，而不属于B 的所有元素组成的集合..集合A 与B 的对称差A ⊕B ，A ⊕B ＝(A －B )⋃(B －A )或A ⊕B ＝）A ⋃B 〕－（A ⋂B ）应该很好地掌握10条运算律(运算的性质)(教材P 71～72)，即交换律、结合律、分配律、幂等律、同一律、零律、补余律、吸收律、摩根律和双补律等.5. 恒等式证明集合运算部分有三个方面的问题：其一是进行集合的运算；其二是集合运算式的化简；其三是集合恒等式的推理证明.集合恒等式的证明方法通常有二：(1)要证明A ＝B ，只需要证明A ⊆B ，又A ⊇B ；(2)通过运算律进行等式推导.1.设集合A ＝{1,2}，则P(A)＝ ( )}},{},{},){{D (}},{},{,){C (}}{},{,){B (}}{},){{A (2121212121A φφ 2. 设A ，B ，C 是整数集Z 的子集，其中}{},,{},,,{整除被3∧10≤≤0∧∈=∈∧10<=421=2x x Z x x C Z x x x B A 求C B C A C B A ;~;。
集合论基础与规律集合论是现代数学最基础的分支之一，它以集合及其关系为研究对象，旨在建立集合的严格理论体系，并探索其内在规律。
集合论的基础包括集合的基本概念、集合运算、集合关系等，其中最重要的便是集合的定义与公理化体系。
一、集合的定义集合是数学中的基本概念之一，它是指某些对象的总体，这些对象被称为集合的元素。
集合的定义可以采用不同的方式，最常见的包括外延定义和内涵定义。
外延定义：集合可以用它所包含的元素给出，例如“自然数的集合”就是包含所有自然数的集合，用符号表示为N={0,1,2,3…}。
外延定义需要事先了解集合的元素，较为直观，但有时限制较大。
内涵定义：集合可以用某种特定的描述给出，例如“所有大于0且小于1的实数的集合”可以表示为(0,1)，其中描写集合的条件叫做集合的特征，我们将这个特征写成一句关于元素的陈述，叫做集合的描述。
内涵定义通常用于表示比较抽象的集合，能够更加灵活地刻画元素的性质。
需要注意的是，集合中的元素是没有顺序和重复的，例如{1,2,2,3}只能表示成{1,2,3}。
这是因为集合表示的是哪些元素构成了一个总体，和元素的具体性质或位置无关。
二、集合运算集合运算是指对于一个或多个集合进行操作，得到一个新的集合。
常见的集合运算包括并、交、差、对称差等。
并运算：将两个或多个集合合并成一个新的集合，包含它们所有的元素，记作A∪B，读作“A并上B”。
交运算：将两个或多个集合中都包含的元素取出来，形成一个新的集合，记作A∩B，读作“A交B”。
差运算：将一个集合中与另一个集合所共有的元素都去掉，形成一个新的集合，记作A-B，读作“A减去B”。
对称差运算：将两个集合中除了共有的部分外，剩余的元素合并形成新的集合，记作A△B，读作“A和B的对称差”。
三、集合关系集合关系是指对于两个集合，它们之间的某种联系或互动。
常见的集合关系包括包含关系与相等关系。
包含关系：对于集合A和集合B，如果集合B中所有的元素都属于集合A，那么就称集合A包含集合B，记作B⊆A，读作“B包含于A”。
第三章集合论基础1.如何表示集合？请各举一例。
2.一般地用谓词公式描述法定义集合A：A={x|P(x)}, 请问什么样的元素属于A，什么样的元素不属于A？3.判断下面命题的真值，并说明原因。
集合{a}与集合{{a}}是相同的集合。
4.A、B是集合。
试用谓词公式，表达A⊆B、A=B以及A⊂B。
5.证明空集是唯一的。
6.判断下面命题的真值。
对你的回答，给予证明或者举反例。
1．如果A∈B，B⊆C ，则A∈C。
2．如果A∈B，B⊆C，则A⊆C 。
7.判断下面命题的真值。
对你的回答，给予证明或者举反例。
1．如果A⊆B，B∈C，则A∈C。
2．如果A⊆B，B∈C，则A⊆C。
8.设A={a,{a},{a,b},{{a,b},c}}，判断下面命题的真值。
⑴{a}∈A ⑵⌝({a}⊆ A) ⑶c∈A⑷{{a,b}}⊆A ⑸{{{a}}}⊆A9.判断下面命题的真值。
⑴{a,b}∈{{a,b},c} ⑵{a}⊆{{a,b},c} ⑶{a,b}⊆{{a,b},c}⑷{c}⊆{{a,b},c} ⑸({c}⊆{{a,b,c}})→(Φ⊆{a})10.集合A的幂集是如何定义的？令A={1,{1}}，求A的幂集P(A).11.设A={Φ}，B=P(P(A))。
判断下面命题的真值。
1．Φ∈B 2．Φ⊆B 3．{Φ}∈B 4．{Φ} ⊆ B 5．{{Φ}}∈B 6．{{Φ}}⊆B12.填空：设E是全集，A、B、C是任意集合，则⑴A⊕ ~E=( ) ⑵A⊕A=( ) ⑶~A－A =（）⑷A－B( )A ⑸A－B=A( )~B ⑹A( )~A=E13.给定全集E={1,2,3,4,5} A={1,2,3} B={2,3,4}1．求A的幂集P(A)2．求B⊕ ~A14.给定全集N={1,2,3,4,…...}A={1,2,7,8} B={ i | i2<50 }C={i | i可被3整除，0≤i≤30 }D={ i |i=2k, k∈i+, 1≤k≤6 }分别求(1) B-(A∪C) (2) (~A∩B)∪D15.证明A⊆B ⇔ A∩B=A。
16.证明吸收律：对任何集合A、B，有A∪(A∩B)=A 。
17.证明(A－B)－C=(A－C)－(B－C)18.证明(A－(B∪C)=(A－B)∩(A－C)19.下面两个等式都成立不？对于你的回答给予证明或者举反例说明之。
1．A∩(B－C)=(A∩B)－(A∩C)2．A∪(B－C) = (A∪B)－(A∪C)20.证明(A∩B)∪C=A∩(B∪C) 当且仅当C⊆A.21.证明(A－B)－C=(A－C)－B22.证明下面各式彼此等价。
A∪B=E, ~A⊆B, ~B⊆A.23.在什么条件下，下面命题为真？1．(A-B)∪(A-C)=A2．(A-B)∪(A-C)=Φ3．(A-B)∩(A-C)=Φ4．(A-B)⊕(A-C)=Φ24.判断下面命题的真值，并说明原因。
1．A∪B= A∪C，则B=C。
2．A∩B= A∩C，则B=C。
3．A⊕B= A⊕C，则B=C。
25.A、B、C是集合，证明A⊕B= A⊕C，当且仅当B=C。
26.设A，B，C是有限集合，请写出求|A∪B∪C|的包含排斥原理公式。
27.某个研究所有170名职工，其中120人会英语，80人会法语，60人会日语，50人会英语和法语，25人会英语和日语，30人会法语和日语，10人会英语、日语和法语。
问有多少人不会这三种语言？28求1到1000之间不能被5、6、8整除的数的个数。
29.对24名科技人员掌握外语的情况进行调查结果如下：英、日、德、法四种外语中，每个人至少会一种；会英、日、德、法语的人数分别是13、5、10、9人；同时会英、日语的有2人；同时会英、法语的有4人；同时会德、法语的有4人；同时会英、德语的有4人；会日语的人不会德语，也不会法语；问这24人中，只会一种外语的人各是多少人？同时会英、法、德三种语言的人有多少人？30.填空。
令.A,B是有限集合，P(A)表示A的幂集，已知|A|=3，且|P(B)|=64，|P(A ∪B)|=256，则|B|=( )，|A∩B|=( )，|A－B|=( )，|A⊕B|=( )。
31.令集合A={1,{1}},B={1},P(A)表示A的幂集1. 分别计算(1) P(A)＝{ }(2) P(B)={ }。
2．再判断下面命题的真值，并简单说明原因。
(1) 1∈P(A), (2).{1}⊆P(A) (3).{1}∈P(B) (4).{{1}}⊆P(B)3.分别计算:(1).A与B的笛卡儿积：A×B(2).A⊕B(3) P(A)－P(B)32.填空：A,B,C是集合，(A-B)∪(A-C)=A，当且仅当( )。
33.设F表示一年级大学生的集合；S表示二年级大学生的集合；M表示数学专业学生的集合；C表示计算机专业学生的集合；D表示听离散数学课学生的集合；G 表示星期六晚上参加音乐会的学生的集合；,H表示星期六晚上很迟才睡觉的学生集合。
则将下面各个句子所对应的集合表达式分别写在句子后面的括号内：(1) 所有计算机专业二年级的学生在学离散数学课。
( ).(2) 这些且只有这些学离散数学课的学生或者星期六晚上去听音乐会的学生在星期六晚上很晚才睡觉。
( )(3) 听离散数学课的学生都没有参加星期六晚上的音乐会。
( )(4) 星期六晚上的音乐会只有大学一、二年级的学生参加。
( )(5) 除去数学专业和计算机专业以外的二年级的学生都去参加星期六晚上的音乐会。
( )34.A与B是全集E的子集,给定各个命题以及由这些命题构成集合X,如下所示: X={N,P,Q,S,T,U,V,W,Y,Z}N：A－B=A P：A⋂B=B Q：A⊆B S：A⊆~B T：B⊆AU：~B⊆~A V：A⋂B=ΦW：A⋃B=B Y：~A⊆~B Z：B⊆~A又令R是X上的命题等价关系,则商集X/R=( )35.A与B是全集E的子集,给定各个命题以及由这些命题构成集合X, 如下所示:X={P,Q,R,S,T,U,V,W,Y,Z}P: A⋃B=B Q: B⊆A R: A⊆~B S: ~A⊆~B T: A⋂B=BU: A⋂B=ΦV: ~B⊆~A W: ~A⊆B Y: A⊆B Z: A⋃B=E又令R是X上的命题之间的等价关系⇔，则商集X/R=( )36.判断下面命题得真值，并说明原因。
1．A、B是集合，如果(A-B)∪(A-C)=A，仅当B=C=Ф。
2．A、B是集合, 则A－B=B－A 当且仅当A=B37.设E是全集，P(A)是集合A的幂集，则有(1) P(A)∪P(~A)=P(E) (2) P(A)∩P(~A)=φ(3) P(A)∩P(B)=P(A∩B)这三种说法是否正确？并对你的答案给予证明或者举反例。
38.令P(A)表示A的幂集，全集E={Φ,{Φ}}, A⊆E, 计算下面各式：(要求有计算过程)1．P({{Φ}})⊕P(~{Φ});2．P(A)⋂P(~A);3．P(E)－P(~{{Φ}}) 。
39.令A,B是集合,给出命题如下:A―B=Φ, A⊆B , A=B, ～B⊆～A上述命题中，哪些是彼此等价的?如果彼此等价请给予证明。
40.10令全集E={1,2,3}，A={1,2}，P(A)表示集合A的幂集。
⌝1.计算P(E)－P(A)2.计算~A⊕E1.答案：集合的表示方法列举法：将集合中的元素一一列出，写在大括号内。
例如，N={1,2,3,4,……}描述法：用谓词公式描述元素的属性。
例如，E={x| x是偶数}2.答案：其中P(x)是描述元素x的特性的谓词公式，如果论域内客体a使得P(a)为真，则a∈A，否则a∉A。
3.答案：命题的真值为F 。
因为它们的元素不同。
{a}中元素是a，而{{a}}中元素是{a}。
4.答案：谓词定义：A⊆B⇔∀x(x∈A→x∈B)A=B⇔∀x(x∈A↔x∈B)A⊂B⇔∀x(x∈A→x∈B) ∧∃x(x∈B∧x∉A)5.答案：证明假设有两个空集Φ1、Φ2 ，则因为Φ1是空集，由于空集是任何集合的子集，所以Φ1⊆Φ2。
因为Φ2是空集，类似得Φ2 ⊆Φ1。
所以Φ1=Φ2 。
所以空集是唯一的。
6.答案：1．T，证明：因为B⊆C ，A∈B，所以A∈C。
2．F，例A={1} B={{1}} C={{1},2}，满足A∈B, B⊆C ，但是不满足A⊆C。
(因为1∈A 但1∉C )。
7.答案：1．F，举反例A={1} B={1,2} C={{1,2}} 满足A⊆B, B∈C ，但是A∉C 。
2．F，举反例A={1} B={1,2} C={{1,2}}满足A⊆B, B∈C ，但是不满足A⊆C 。
8.答案：⑴T ；⑵F ；⑶F；⑷T ；⑸F 。
9.答案：⑴T ；⑵F；⑶F；⑷T ；⑸T 。
10.答案：集合的幂集：由A的所有子集构成的集合，称之为A的幂集。
记作P(A)或2A。
P(A)={B| B⊆A}A={1,{1}}时，P(A)＝{Φ,{1} ,{{1}}, {1,{1}}}.11.答案：解：B=P(P(A)) =P({Φ,{Φ}})={Φ,{Φ} ,{{Φ}}, {Φ,{Φ}}}可见1、2、3、4、5、6中命题均为真。
12.答案：⑴A⊕ ~E=( A ) ⑵A⊕A=( Φ) ⑶~A－A =（~A）⑷A－B(⊆ )A ⑸A－B=A(∩)~B ⑹A( ∪)~A=E13.答案：解. P(A)={Φ,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}}~A={4,5}B⊕ ~A={2,3,4}⊕{4,5}={2,,3,4,5}-{4}={2,3,5}14.答案：解. A={1,2,7,8} B={1,2,3,4,5,6,7}C={3,6,9,12,15,18,21,24,27,30}D={2,4,8,16,32,64} ~A={3,4,5,6,9,10,11,12...}（1) B-(A∪C)={1,2,3,4,5,6,7}-{1,2,3,6,7,8,9,12,15,18,21,24,27,30}={4,5}（2) (~A∩B)∪D={3,4,5,6}∪D={2,3,4,5,6,8,16,32,64}15.答案：证明：A∩B=A ⇔∀x(x∈A∩B ↔x∈A)⇔∀x((x∈A∩B → x∈A)∧(x∈A→ x∈A∩B))⇔∀x((x∉A∩B∨x∈A)∧(x∉A∨x∈A∩B))⇔∀x((⌝(x∈A∧x∈B)∨x∈A)∧(x∉A∨(x∈A∧x∈B))⇔∀x(((x∉A∨x∉B)∨x∈A)∧(x∉A∨(x∈A∧x∈B)))⇔∀x(T∧(T∧( x∉A∨x∈B)))⇔∀x( x∉A∨x∈B)⇔∀x(x∈A→x∈B)⇔ A⊆B16.答案：证明A∪(A∩B)= (A∩E)∪(A∩B) (同一)= A∩(E∪B) (分配)= A∩E=A (零律) (同一)17.答案：证明：任取x∈(A－C)－(B－C)⇔x∈(A－C)∧x∉(B－C)⇔(x∈A∧x∉C)∧⌝(x∈B∧x∉C)⇔(x∈A∧x∉C)∧(x∉B∨x∈C)⇔(x∈A∧x∉C∧x∉B)∨(x∈A∧x∉C∧x∈C)⇔x∈A∧x∉C∧x∉B⇔x∈A∧x∉B∧x∉C⇔(x∈A∧x∉B)∧x∉C⇔x∈A－B∧x∉C⇔x∈(A－B)－C所以(A－B)－C=(A－C)－(B－C)18.答案：证明：任取x∈A－(B∪C)⇔x∈A∧x∉(B∪C)⇔x∈A∧⌝(x∈B∨x∈C)⇔x∈A∧(x∉B∧x∉C)⇔(x∈A∧x∉B)∧(x∈A∧x∉C )⇔x∈A－B∧x∈A－C⇔x∈(A－B)∩(A－C)所以A－(B∪C)=(A－B)∩(A－C))19.答案：1 成立，2不成立。
