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课时2 参数方程1.参数方程和一般方程的互化(1)曲线的参数方程和一般方程是曲线方程的不同形式.一般地，可以通过消去参数从参数方程得到一般方程. (2)假如知道变数x ，y 中的一个与参数t 的关系，例如x ＝f (t )，把它代入一般方程，求出另一个变数与参数的关系y ＝g (t )，那么⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )，y ＝g (t )就是曲线的参数方程.2.常见曲线的参数方程和一般方程点的轨迹 一般方程 参数方程 直线 y －y 0＝tan α(x －x 0)错误!(t 为参数) 圆 x 2＋y 2＝r 2 错误!(θ为参数) 椭圆 x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0) 错误!(φ为参数) 双曲线 x 2a －y 2b 2＝1，(a >0，b >0) 错误!(φ为参数) 抛物线y 2＝2px (p >0)错误!(t 为参数)1.直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t ，y ＝2－3t (t 为参数)，求直线l 的斜率.解 将直线l 的参数方程化为一般方程为 y －2＝－3(x －1)，因此直线l 的斜率为－3.2.已知直线l 1：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1－2t ，y ＝2＋kt (t 为参数)与直线l 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝s ，y ＝1－2s(s 为参数)垂直，求k 的值. 解 直线l 1的方程为y ＝－k 2x ＋4＋k 2，斜率为－k2；直线l 2的方程为y ＝－2x ＋1，斜率为－2. ∵l 1与l 2垂直，∴(－k2)×(－2)＝－1⇒k ＝－1.3.已知点P (3，m )在以点F 为焦点的抛物线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t 2，y ＝4t(t 为参数)上，求PF 的值.解 将抛物线的参数方程化为一般方程为y 2＝4x ，则焦点F (1,0)，准线方程为x ＝－1，又P (3，m )在抛物线上，由抛物线的定义知PF ＝3－(－1)＝4.4.已知曲线C 的极坐标方程是ρ＝1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋4t ，y ＝3t (t 为参数)，求直线l 与曲线C 相交所截的弦长.解 曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝1， 直线l 的一般方程为3x －4y ＋3＝0.圆心到直线的距离d ＝|3×0－4×0＋3|32＋42＝35.∴直线l 与曲线C 相交所截的弦长为21－(35)2＝85.题型一 参数方程与一般方程的互化例1 (1)如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，求圆x 2＋y 2－x ＝0的参数方程.(2)在平面直角坐标系中，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋s ，y ＝1－s (s 为参数)，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋2，y ＝t 2(t 为参数)，若l 与C 相交于A ，B 两点，求AB 的长. 解 (1)圆的半径为12，记圆心为C (12，0)，连结CP ，则∠PCx ＝2θ，故x P ＝12＋12cos2θ＝cos 2θ，y P ＝12sin2θ＝sin θcos θ(θ为参数).所以圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ，y ＝sin θcos θ(θ为参数).(2)直线l 的一般方程为x ＋y ＝2，曲线C 的一般方程为y ＝(x －2)2(y ≥0)，联立两方程得x 2－3x ＋2＝0，求得两交点坐标为(1,1)，(2,0)，所以AB ＝ 2.思维升华 消去参数的方法一般有三种：(1)利用解方程的技巧求出参数的表示式，然后代入消去参数； (2)利用三角恒等式消去参数；(3)依据参数方程本身的结构特征，机敏的选用一些方法从整体上消去参数.将参数方程化为一般方程时，要留意防止变量x 和y 取值范围的扩大或缩小，必需依据参数的取值范围，确定函数f (t )和g (t )的值域，即x 和y 的取值范围.(1)求直线⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2＋t ，y ＝－1－t (t 为参数)与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos α，y ＝3sin α(α为参数)的交点个数.(2)在平面直角坐标系xOy 中，若直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝t ，y ＝t －a (t 为参数)过椭圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)的右顶点，求常数a 的值.解 (1)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝－1－t 消去参数t 得直线x ＋y －1＝0；将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos α，y ＝3sin α消去参数α得圆x 2＋y 2＝9. 又圆心(0,0)到直线x ＋y －1＝0的距离d ＝22<3. 因此直线与圆相交，故直线与曲线有2个交点. (2)直线l 的一般方程为x －y －a ＝0， 椭圆C 的一般方程为x 29＋y 24＝1，∴椭圆C 的右顶点坐标为(3,0)，若直线l 过(3,0)， 则3－a ＝0，∴a ＝3. 题型二 参数方程的应用例2 .已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝a －2t ，y ＝－4t (t 为参数)，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数). (1)求直线l 和圆C 的一般方程；(2)若直线l 与圆C 有公共点，求实数a 的取值范围. 解 (1)直线l 的一般方程为2x －y －2a ＝0， 圆C 的一般方程为x 2＋y 2＝16.(2)由于直线l 与圆C 有公共点，故圆C 的圆心到直线l 的距离d ＝|－2a |5≤4，解得－25≤a ≤2 5.思维升华 已知圆、圆锥曲线的参数方程解决有关问题时，一般是把参数方程化为一般方程，通过互化解决与圆、圆锥曲线上动点有关的问题，如最值、范围等.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1和C 2的参数方程分别为⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝5sin θ⎝⎛⎭⎫θ为参数，0≤θ≤π2和⎩⎨⎧x ＝1－22t ，y ＝－22t (t 为参数)，求曲线C 1与C 2的交点坐标.解 曲线C 1的一般方程为x 2＋y 2＝5(x ≥0，y ≥0). 曲线C 2的一般方程为x －y －1＝0.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x －y －1＝0，x 2＋y 2＝5(x ≥0，y ≥0)，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1.∴曲线C 1与C 2的交点坐标为(2,1).题型三 极坐标方程和参数方程的综合应用例3 (2021·课标全国Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数，t ≠0)，其中0≤α＜π，在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝2sin θ，曲线C 3：ρ＝23cos θ. (1)求C 2与C 3交点的直角坐标；(2)若C 1与C 2相交于点A ，C 1与C 3相交于点B ，求AB 的最大值.解 (1)曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0，曲线C 3的直角坐标方程为x 2＋y 2－23x ＝0.联立⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2－2y ＝0，x 2＋y 2－23x ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0，或⎩⎨⎧x ＝32，y ＝32.所以C 2与C 3交点的直角坐标为(0,0)和⎝⎛⎭⎫32，32.(2)曲线C 1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R ，ρ≠0)，其中0≤α＜π.因此A 的极坐标为(2sin α，α)，B 的极坐标为(23cos α，α).所以AB ＝|2sin α－23cos α|＝4⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫α－π3. 当α＝5π6时，AB 取得最大值，最大值为4.思维升华 在对坐标系与参数方程的考查中，最能体现坐标法的解题优势，机敏地利用坐标法可以使问题得到简捷的解答.例如，将题设条件中涉及的极坐标方程和参数方程等价转化为直角坐标方程，然后在直角坐标系下对问题进行求解就是一种常见的解题方法，对应数学问题求解的“化生为熟”原则，充分体现了转化与化归的数学思想.在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ＝22cos(θ＋π4)，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝－1＋22t(t 为参数)，直线l 和圆C 交于A ，B 两点，P 是圆C 上不同于A ，B 的任意一点. (1)求圆心的极坐标； (2)求△P AB 面积的最大值. 解 (1)由圆C 的极坐标方程为 ρ＝22cos(θ＋π4)，得ρ2＝22(22ρcos θ－22ρsin θ)， 把⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入可得圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＋2y ＝0， 即(x －1)2＋(y ＋1)2＝2. ∴圆心坐标为(1，－1)， ∴圆心的极坐标为(2，7π4). (2)由题意，得直线l 的直角坐标方程为22x －y －1＝0. ∴圆心(1，－1)到直线l 的距离d ＝|22＋1－1|(22)2＋(－1)2＝223，∴AB ＝2r 2－d 2＝22－89＝2103. 点P 到直线l 的距离的最大值为r ＋d ＝2＋223＝523， ∴S max ＝12×2103×523＝1059.1.将参数方程化为一般方程是解决问题的一般思路，体现了化归思想.2.将参数方程化为一般方程时，要留意两种方程的等价性，不要增解；确定曲线的参数方程时，肯定要依据实际问题的要求确定参数的取值范围，必要时通过限制参数的范围去掉多余的解.A 组 专项基础训练 (时间：50分钟)1.求直线⎩⎨⎧x ＝1－12t ，y ＝32t(t 为参数)被曲线⎩⎨⎧x ＝cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)所截得的弦长.解 直线方程可化为3x ＋y －3＝0，曲线方程可化为x 2＋y 23＝1. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－3x ＋3，x 2＋y 23＝1，得x 2－x ＝0， ∴x ＝0或x ＝1.可得交点为A (0，3)，B (1,0). ∴AB ＝1＋3＝2.∴所截得的弦长为2.2.直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋at ，y ＝bt (t 为参数)与圆⎩⎨⎧x ＝2＋3cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)相切，求切线的倾斜角.解 直线的一般方程为bx －ay －4b ＝0，圆的一般方程为(x －2)2＋y 2＝3，直线与圆相切，则圆心(2,0)到直线的距离为3，从而有3＝|2b －a ·0－4b |a 2＋b 2，即3a 2＋3b 2＝4b 2，∴b ＝±3a ，而直线的倾斜角的正切值为tan α＝ba，∴tan α＝±3，因此切线的倾斜角为π3或2π3.3.已知直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程：⎩⎨⎧x ＝22t －2，y ＝22t(t 为参数)，以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，求以极点为圆心且与直线l 相切的圆的极坐标方程.解 ∵直线l 的直角坐标方程为x －y ＋2＝0. ∴原点到直线的距离r ＝22＝1. ∴以极点为圆心且与直线l 相切的圆的极坐标方程为ρ＝1.4.(2021·湖北)在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线l 的极坐标方程为ρ(sin θ－3cos θ)＝0，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t －1t，y ＝t ＋1t(t 为参数)，l 与C 相交于A ，B 两点，求AB 的长.解 直线l 的极坐标方程ρ(sin θ－3cos θ)＝0化为直角坐标方程为3x －y ＝0，曲线C 的参数方程⎩⎨⎧x ＝t －1t，y ＝t ＋1t两式经过平方相减，化为一般方程为y 2－x 2＝4，联立⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ＝0，y 2－x 2＝4解得⎩⎨⎧x ＝－22，y ＝－322或⎩⎨⎧x ＝22，y ＝322.所以A ⎝⎛⎭⎫－22，－322，B ⎝⎛⎭⎫22，322. 所以AB ＝⎝⎛⎭⎫－22－222＋⎝⎛⎭⎫－322－3222＝2 5.5.在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝2t 2(t 为参数)，在以O 为极点，以x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2的方程为ρsin(θ＋π4)＝22，求曲线C 1与曲线C 2的交点个数.解 曲线C 1，C 2化为一般方程和直角坐标方程分别为x 2＝2y ，x ＋y －4＝0，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2y ，x ＋y －4＝0，消去y 得x 2＋2x －8＝0，由于判别式Δ>0，所以方程有两个实数解.故曲线C 1与曲线C 2的交点个数为2.6.在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1－22t ，y ＝2＋22t (t 为参数)，直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长.解 将直线l 的参数方程⎩⎨⎧x ＝1－22t ，y ＝2＋22t代入抛物线方程y 2＝4x ，得⎝⎛⎭⎫2＋22t 2＝4⎝⎛⎭⎫1－22t ， 解得t 1＝0，t 2＝－8 2. 所以AB ＝|t 1－t 2|＝8 2. B 组 专项力量提升 (时间：40分钟)7.(2021·陕西)在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋12t ，y ＝32t(t 为参数).以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C 的极坐标方程为ρ＝23sin θ. (1)写出⊙C 的直角坐标方程；(2)P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角坐标. 解 (1)由ρ＝23sin θ，得ρ2＝23ρsin θ， 从而有x 2＋y 2＝23y ， 所以x 2＋(y －3)2＝3.(2)设P ⎝⎛⎭⎫3＋12t ，32t ，又C (0，3)，则PC ＝⎝⎛⎭⎫3＋12t 2＋⎝⎛⎭⎫32t －32＝t 2＋12， 故当t ＝0时，PC 取得最小值， 此时，P 点的直角坐标为(3,0).8.已知直线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋t cos αy ＝t sin α(t 为参数)，曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θy ＝sin θ(θ为参数).(1)当α＝π3时，求C 1与C 2的交点坐标；(2)过坐标原点O 作C 1的垂线，垂足为A ，P 为OA 的中点，当α变化时，求P 点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线.解 (1)当α＝π3时，C 1的一般方程为y ＝3(x －1)，C 2的一般方程为x 2＋y 2＝1，联立方程得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3(x －1)，x 2＋y 2＝1，解得C 1与C 2的交点坐标分别为(1,0)，(12，－32).(2)依题意，C 1的一般方程为x sin α－y cos α－sin α＝0， 则A 点的坐标为(sin 2α，－sin αcos α)， 故当α变化时，P 点轨迹的参数方程为⎩⎨⎧x ＝12sin 2αy ＝－12sin αcos α(α为参数)，∴P 点轨迹的一般方程为(x －14)2＋y 2＝116.故P 点的轨迹是圆心为(14，0)，半径为14的圆.9.已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－1－32ty ＝3＋12t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ＝4sin(θ－π6).(1)求圆C 的直角坐标方程；(2)点P (x ，y )是直线l 与圆面ρ≤4sin(θ－π6)的公共点，求3x ＋y 的取值范围.解 (1)由于圆C 的极坐标方程为ρ＝4sin(θ－π6)，所以ρ2＝4ρsin(θ－π6)＝4ρ(32sin θ－12cos θ).又ρ2＝x 2＋y 2，x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， 所以x 2＋y 2＝23y －2x ，所以圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＋2x －23y ＝0. (2)设z ＝3x ＋y ，由圆C 的方程x 2＋y 2＋2x －23y ＝0，得 (x ＋1)2＋(y －3)2＝4，所以圆C 的圆心是(－1，3)，半径是2.将⎩⎨⎧x ＝－1－32ty ＝3＋12t 代入z ＝3x ＋y ，得z ＝－t .又直线l 过C (－1，3)，圆C 的半径是2， 所以－2≤t ≤2，所以－2≤－t ≤2，即3x ＋y 的取值范围是[－2,2].10.在平面直角坐标系xOy 中，动圆x 2＋y 2－42x cos θ－4y sin θ＋7cos 2θ－8＝0 (θ∈R ，θ为参数)的圆心轨迹为曲线C ，点P 在曲线C 上运动.以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，若直线l 的极坐标方程为2ρcos ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝35，求点P 到直线l 的最大距离. 解 将动圆的方程配方，得(x －22cos θ)2＋(y －2sin θ)2＝9＋3sin 2θ，设圆心(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22cos θy ＝2sin θ (θ∈R ，θ为参数)，即曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22cos θy ＝2sin θ (θ∈R ，θ为参数)，直线l 的直角坐标方程为x －3y －35＝0，设点P (x 1，y 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝22cos θy 1＝2sin θ(θ∈R ，θ为参数)，点P 到直线l 的距离d ＝|22cos θ－23sin θ－35|12＋(3)2＝|25sin (θ＋φ)－35|2，其中tan φ＝－63.∴当sin(θ＋φ)＝－1，点P到直线l的距离d取得最大值552.。
高三数学（理）一轮复习 教案 第十四编 系列4选讲总第70期 § 坐标系与参数方程基础自测1曲线的极坐标方程ρ=4in θ化为直角坐标方程为答案 2-22=4 2直线⎪⎩⎪⎨⎧+=-=ty t x 2221t 为参数上到点A （1，2）的距离为42的点的坐标为答案 （-3，6）或（5，-2） （2，3）的直线的参数方程⎩⎨⎧+=+=ty tx 232（t 为参数），若此直线与直线-3=0相交于点B ，则|AB|= 答案 25 4直线⎩⎨⎧-=+-=ty t x 12t 为参数被圆（-3）212=25所截得的弦长为答案 82 =m 与圆⎪⎩⎪⎨⎧==ϕϕsin cos m y m x ϕ为参数，m ＞0相切，则m 为答案 2 例题精讲例1 将极坐标方程in θ=31化为直角坐标方程，并说明该方程表示什么曲线 解 由in θ=ρy ,ρ=22y x +,得in θ=ρy =22y x y +=31则＞0,平方得22=92,即2=812,=±88,因此，它表示端点除外的两条射线： =88 ＞0和=-88＜0 例2 在极坐标系中，求过点A ⎪⎭⎫ ⎝⎛6,6π，并且平行于极轴的直线的极坐标方程解 如图所示，设M （ρ，θ）为直线上的任意一点，则OM=ρ,∠MOC=θ 过点A ，M 作极轴的垂线AB ，MC 交极轴与B ，C 两点 ∵∥O ，∴MC==6，∠AOB=6π所以MC=AB=θ=OM MC =ρ3,得ρin θ=3 所以ρin θ=3为所求的直线的极坐标方程例3 把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线：（1）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=ty t x 232,211（t 为参数）；（2）⎪⎩⎪⎨⎧+=+=t y t x 2,12（t 为参数）；（3）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=t t y tt x 1,1（t 为参数）； （4）⎩⎨⎧==θθcos 5sin 4y x （θ为参数） 解 （1）由=121t 得，t=2-2∴=2232-2∴3-2-3=0,此方程表示直线 （2）由=2t 得,t=-2，∴=1（-2）2即-22=-1,方程表示抛物线（3）由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=t t y tt x 11 ∴①2-②2得，2-2=4,方程表示双曲线（4）⎩⎨⎧==θθcos 5sin 4y x ,得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==5cos 4sin yx θθ ①2②2，得251622y x +=1表示椭圆例4 （202X ·盐城调研）（10分）求直线⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=+=ty t x 531541（t 为参数）被曲线ρ=2co ⎪⎭⎫ ⎝⎛+4πθ所截的弦长解：将方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=+=ty t x 531541ρ=2co ⎪⎭⎫ ⎝⎛+4πθ分别化为普通方程：341=0,22-=0, 5分圆心C ⎪⎭⎫⎝⎛-21,21半径为22，圆心到直线的距离d=101, 弦长=222d r -=2100121-=5710分巩固练习1在极坐标系中，已知三点M ⎪⎭⎫ ⎝⎛-3,2π、N （2，0）、⎪⎭⎫⎝⎛6,32π、N 、、N 、⎩⎨⎧==θρθρsin cos y x 的直角坐标为1,-3;① ②① ②N 的直角坐标为（2，0）；3N =123-=3，N2303--3N =N 、N 、⎪⎭⎫⎝⎛6,πa （ρ，θ）为圆上的任意一点（点O ，B 除外），则OM=ρ，∠MO=θ 连结BM ，OB=2a ，∠MOB=θ-6π在直角三角形OBM 中， co ∠MOB=OB OM =a 2ρ=co （θ-6π），即ρ=2aco θ-6π* 经检验，O （0，32π），B （2a ，6π）满足方程（*）， 所以ρ=2aco （θ-6π）为所求的圆的极坐标方程 3（202X ·栟茶模拟）将参数方程⎪⎩⎪⎨⎧==θθ2cos 4,sin 32y x θ为参数化为普通方程，并指出它表示的曲线解 =4co2θ=4-8in 2θ,由=3in 2θ,得in 2θ=3x ∴=4-38，即83-12=0 ∵=3in 2θ≥0，∴所求普通方程为83-12=0 ≥0它表示一条射线（-1，1），倾斜角为4π的直线和椭圆2422y x +=1交于A ，B 两点，求线段AB 的长度及点M（-1，1）到A ，B 两点的距离之积解 直线的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=t y t x 221,221t为参数，代入椭圆的方程，得2221422122⎪⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-t t =1即3t 222t-2=0,解得t 1=-2,t 2=32所以，由参数t 的几何意义，得 |AB|=|t 1-t 2|=322--=324,|MA|·|MB|=|t 1t 2|=32 回顾总结 知识 方法 思想 课后作业 一、填空题（,）在曲线⎩⎨⎧=+-=θθsin cos 2y x θ为参数上，则x y的取值范围为答案 ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-33,33 （1，1），倾斜角α=6π，直线的参数方程为 答案 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=t y t x 211231 3极坐标系中，圆ρ=10co ⎪⎭⎫⎝⎛-θπ3的圆心坐标为答案 ⎪⎭⎫ ⎝⎛3,5π的直角坐标为1,-3,则点3π⎩⎨⎧+=+=θθsin cos 00t y y t x x θρθ，在OM 上取一点·O ρθ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,210α，N ，则|4332x 32x ⎪⎩⎪⎨⎧==ϕϕsin cos 3y x ϕ3ϕϕϕπ3ϕϕ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+ϕϕsin 21cos 23ϕ3πϕ6π⎩⎨⎧==,sin ,cos θθy x θ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=.22,222t y t x 1C '2C '1C '2C '1C '2C '221C '⎪⎩⎪⎨⎧==,sin 21,cos θθy x θ2C '⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=t y t x 42,2221C '2C '2122222C '1C '⎩⎨⎧=+=θθsin 3,cos 33y x θ⎪⎩⎪⎨⎧==ty t x 33⎩⎨⎧=+=θθsin 3,cos 33y x θ⎪⎩⎪⎨⎧==t y tx 33332323（ρ，θ）为圆上的任意一点 （点O ，B 除外），则OM=ρ，∠MO=θ 连结BM ，在直角三角形OBM 中， co θ=OB OM =4ρ，即ρ=4co θ（*） 经检验，O （0，2π），B （4，0）满足方程（*）， 所以ρ=4co θ为所求的圆的极坐标方程13⊙O 1和⊙O 2的极坐标方程分别为ρ=4co θ,ρ=-4in θ1把⊙O 1和⊙O 2的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）求经过⊙O 1，⊙O 2交点的直线的直角坐标方程解 以极点为原点，极轴为轴正半轴，建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位（1）=ρco θ,=ρin θ,由ρ=4co θ,得ρ2=4ρco θ 所以22=22-4=0为⊙224=0为⊙O 2的直角坐标方程（2）由⎪⎩⎪⎨⎧=++=-+,04,042222y y x x y x 解得⎩⎨⎧==,0,011y x 或⎩⎨⎧-==.2,222y x即⊙O 1，⊙O 2交于点（0，0）和（2，-2）过交点的直线的直角坐标方程为=-为坐标原点，直线:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=t y t x 22422参数t ∈R ）与曲线C ：⎪⎩⎪⎨⎧==μμ442y x （参数μ∈R ）交于 A ，B 两点（1）求直线与曲线C 的直角坐标方程； （2）求证：OA ⊥OB（1）解 直线的普通方程为：--4=的普通方程为：2=4 （2）证明 设A （1,1）,B 2,2,由⎪⎩⎪⎨⎧-==,4,42x y x y 消去,得2-1216=0,∴12=12,12=16,∴OA ·OB =2121x x y y =2121)4)(4(x x x x --=21212116)(4x x x x x x ++-=-1,∴OA ⊥OB。
第2讲 参数方程考点梳理1．参数方程的概念一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变数t 的函数⎩⎨⎧x ＝ft y ＝gt①，并且对于t 的每一个允许值，由方程组①所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，那么方程组①就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x ，y 的变数t 叫做参变数，简称参数，相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程． 2．参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式，一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程．(2)如果知道变数x ，y 中的一个与参数t 的关系，例如x ＝f (t )，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y ＝g (t )，那么⎩⎨⎧x ＝f t ，y ＝gt就是曲线的参数方程，在参数方程与普通方程的互化中，必须使x ，y 的取值范围保持一致．3．直线、圆和圆锥曲线的参数方程名称普通方程参数方程直线 y －y 0＝k (x －x 0)⎩⎨⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)圆 (x －x 0)2＋(y －y 0)2＝R 2⎩⎨⎧x ＝x 0＋R cos θ，y ＝y 0＋R sin θ(θ为参数且0≤θ≤2π)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0) ⎩⎨⎧x ＝a cos t ，y ＝b sin t1．极坐标方程ρ＝cos θ和参数方程⎩⎨⎧x ＝－1－t ，y ＝2＋t (t 为参数)所表示的图形分别是( )． A ．直线、直线 B ．直线、圆C ．圆、圆D ．圆、直线解析 ∵ρcos θ＝x ，∴cos θ＝x ρ代入到ρ＝cos θ，得ρ＝xρ，∴ρ2＝x ，∴x 2＋y 2＝x 表示圆． 又∵⎩⎨⎧x ＝－1－t ，y ＝2＋t ，相加得x ＋y ＝1，表示直线．答案 D2．若直线⎩⎨⎧x ＝1－2t ，y ＝2＋3t (t 为实数)与直线4x ＋ky ＝1垂直，则常数k ＝________.解析 参数方程⎩⎨⎧x ＝1－2t ，y ＝2＋3t ，所表示的直线方程为3x ＋2y ＝7，由此直线与直线4x ＋ky ＝1垂直可得－32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k ＝－1，解得k ＝－6.答案 －63．二次曲线⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝3sin θ(θ是参数)的左焦点的坐标是________．解析 题中二次曲线的普通方程为x 225＋y 29＝1左焦点为(－4,0)． 答案 (－4,0)4．(2012·湖南)在直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1：⎩⎨⎧x ＝t ＋1，y ＝1－2t (t 为参数)与曲线C 2：⎩⎨⎧x ＝a sin θy ＝3cos θ(θ为参数，a >0)有一个公共点在x 轴上，则a ＝________.解析 曲线C 1的普通方程为2x ＋y ＝3，曲线C 2的普通方程为x 2a 2＋y 29＝1，直线2x ＋y ＝3与x 轴的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，故曲线x 2a 2＋y 29＝1也经过这个点，代入解得a ＝32⎝⎛⎭⎪⎫舍去－32.答案325．(2011·广东)已知两曲线参数方程分别为⎩⎨⎧x ＝ 5cos θ，y ＝sin θ(0≤θ＜π)和⎩⎨⎧x ＝54t 2，y ＝t(t ∈R )，它们的交点坐标为________．解析 由⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝sin θ(0≤θ＜π)得，x 25＋y 2＝1(0≤y ≤1，－5<x ≤5)，由⎩⎨⎧x ＝54t 2，y ＝t(t ∈R )得，x ＝54y 2，∴5y 4＋16y 2－16＝0.解得：y 2＝45或y 2＝－4(舍去)．则x ＝54y 2＝1又θ≥0，得交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，255. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，255对应学生211考向一 参数方程与普通方程的互化【例1】►把下列参数方程化为普通方程：(1)⎩⎨⎧x ＝3＋cos θ，y ＝2－sin θ；(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝5＋32t .解 (1)由已知⎩⎨⎧cos θ＝x －3，sin θ＝2－y ，由三角恒等式cos 2 θ＋sin 2θ＝1,可知(x －3)2＋(y －2)2＝1.(2)由已知t ＝2x －2，代入y ＝5＋32t 中， 得y ＝5＋32(2x －2)，即3x －y ＋5－3＝0. 参数方程化为普通方程：化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式(三角的或代数的)消去法，参数方程通过代入消元或加减消元消去参数化为普通方程，不要忘了参数的范围．【训练1】 (2010·陕西)参数方程⎩⎨⎧x ＝cos α，y ＝1＋sin α(α为参数)化成普通方程为________． 解析 由⎩⎨⎧x ＝cos α，y ＝1＋sin α得⎩⎨⎧x ＝cos α， ①y －1＝sin α， ②①2＋②2得：x 2＋(y －1)2＝1.答案 x 2＋(y －1)2＝1考向二 直线与圆的参数方程的应用【例2】►已知圆C ：⎩⎨⎧x ＝1＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)和直线l ：⎩⎨⎧x ＝2＋t cos α，y ＝3＋t sin α(其中t 为参数，α为直线l 的倾斜角)．(1)当α＝2π3时，求圆上的点到直线l 距离的最小值；(2)当直线l 与圆C 有公共点时，求α的取值范围． 解 (1)当α＝2π3时，直线l 的直角坐标方程为3x ＋y －33＝0，圆C 的圆心坐标为(1,0)，圆心到直线的距离d ＝232＝3，圆的半径为1，故圆上的点到直线l 距离的最小值为3－1.(2)圆C 的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1，将直线l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，得t 2＋2(cos α＋3sin α)t ＋3＝0，这个关于t 的一元二次方程有解，故Δ＝4(cos α＋3sin α)2－12≥0，则sin 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6≥34，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6≥32或sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6≤－32.又0≤α＜π，故只能sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6≥32，即π3≤α＋π6≤2π3，即π6≤α≤π2.故α的范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2. 如果问题中的方程都是参数方程，那就要至少把其中的一个化为直角坐标方程．【训练2】 已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋t ，y ＝4－2t (参数t ∈R )，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos θ＋2，y ＝2sin θ(参数θ∈[0,2π])，求直线l 被圆C 所截得的弦长．[来源: ] 解 由⎩⎨⎧ x ＝1＋t ，y ＝4－2t消参数后得普通方程为2x ＋y －6＝0，由⎩⎨⎧x ＝2cos θ＋2，y ＝2sin θ消参数后得普通方程为(x －2)2＋y 2＝4，显然圆心坐标为(2,0)，半径为 2.由于圆心到直线2x ＋y －6＝0的距离为d ＝|2×2＋0－6|22＋1＝255，所以所求弦长为222－⎝ ⎛⎭⎪⎫2552＝855.考向三 圆锥曲线的参数方程的应用【例3】►求经过点(1,1)，倾斜角为135°的直线截椭圆x 24＋y 2＝1所得的弦长．解由条件可知直线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－22t ，y ＝1＋22t(t 为参数)，代入椭圆方程可得⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22t 24＋⎝⎛⎭⎪⎫1＋22t 2＝1，即52t 2＋32t ＋1＝0.设方程的两实根分别为t 1、t 2，则由二次方程的根与系数的关系可得⎩⎪⎨⎪⎧t 1＋t 2＝－625，t 1t 2＝25，则直线截椭圆的弦长是|t 1－t 2|＝t 1＋t 22－4t 1t 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－6252－4×25＝ 425.普通方程化为参数方程：化普通方程为参数方程的基本思路是引入参数，即选定合适的参数t ，先确定一个关系x ＝f (t )(或y ＝φ(t ))，再代入普通方程F (x ，y )＝0，求得另一关系y ＝φ(t )(或x ＝f (t ))．一般地，常选择的参数有角、有向线段的数量、斜率，某一点的横坐标(或纵坐标)．普通方程化为参数方程需要引入参数，选择的参数不同，所得的参数方程也不一样．【训练3】 (2013·南京模拟)过点P (－3,0)且倾斜角为30°的直线和曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1t ，y ＝t －1t (t 为参数)相交于A 、B 两点，求线段AB 的长．解直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3＋32s ，y ＝12s (s 为参数)，又曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1t ，y ＝t －1t (t 为参数)可以化为x 2－y 2＝4，将直线的参数方程代入上式，得s 2－63s ＋10＝0， 设A 、B 对应的参数分别为s 1，s 2. ∴s 1＋s 2＝63，s 1s 2＝10. ∴|AB |＝|s 1－s 2|＝s 1＋s 22－4s 1s 2＝217.(时间：30分钟 满分：60分)一、填空题(每小题5分，共40分) 1．(2013·深圳模拟)直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2－2t ，y ＝3＋2t (t 为参数)上与点A (－2,3)的距离等于2的点的坐标是________．解析 由题意知(－2t )2＋(2t )2＝(2)2，所以t 2＝12，t ＝±22，代入⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2－2t ，y ＝3＋2t (t为参数)，得所求点的坐标为(－3,4)或(－1,2)． 答案 (－3,4)或(－1,2)2．(2013·东莞模拟)若直线l ：y ＝kx 与曲线C ：⎩⎨⎧x ＝2＋cos θ，y ＝sin θ(参数θ∈R )有唯一的公共点，则实数k ＝________.解析 曲线C 化为普通方程为(x －2)2＋y 2＝1，圆心坐标为(2,0)，半径r ＝1.由已知l 与圆相切，则r ＝|2k |1＋k 2＝1⇒k ＝±33.答案 ±333．直线3x ＋4y －7＝0截曲线⎩⎨⎧x ＝cos α，y ＝1＋sin α(α为参数)的弦长为________．解析 曲线可化为x 2＋(y －1)2＝1，圆心到直线的距离d ＝|0＋4－7|9＋16＝35，则弦长l ＝2r 2－d 2＝85.答案854．已知直线l 1：⎩⎨⎧x ＝1－2t ，y ＝2＋kt(t 为参数)，l 2：⎩⎨⎧x ＝s ，y ＝1－2s(s 为参数)，若l 1∥l 2，则k ＝________；若l 1⊥l 2，则k ＝________.解析 将l 1、l 2的方程化为直角坐标方程得l 1：kx ＋2y －4－k ＝0，l 2：2x ＋y －1＝0，由l 1∥l 2，得k 2＝21≠4＋k1⇒k ＝4，由l 1⊥l 2，得2k ＋2＝0⇒k ＝－1.答案 4 －15．(2013·湛江调研)参数方程⎩⎨⎧x ＝3＋3cos θ，y ＝－3＋3sin θ(θ为参数)表示的图形上的点到直线y ＝x 的最短距离为________． 解析 参数方程⎩⎨⎧x ＝3＋3cos θ，y ＝－3＋3sin θ化为普通方程为(x －3)2＋(y ＋3)2＝9，圆心坐标为(3，－3)，半径r ＝3，则圆心到直线y ＝x 的距离d ＝|3－－3|2＝32，则圆上点到直线y ＝x 的最短距离为d －r ＝32－3＝3(2－1)． 答案 3(2－1)6．(2011·陕西)直角坐标系xOy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A ，B 分别在曲线C 1：⎩⎨⎧x ＝3＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)和曲线C 2：ρ＝1上，则|AB|的最小值为________．解析 消掉参数θ，得到关于x 、y 的一般方程C 1：(x －3)2＋y 2＝1，表示以(3,0)为圆心，以1为半径的圆；C 2：x 2＋y 2＝1，表示的是以原点为圆心的单位圆，|AB |的最小值为3－1－1＝1.[来源: ] 答案 17．已知在平面直角坐标系xOy 中，经过点(0，2)且斜率为k 的直线l 与曲线C ：⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝sin θ(θ是参数)有两个不同的交点P 和Q ，则k 的取值范围为________．解析 曲线C 的参数方程：⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝sin θ(θ是参数)化为普通方程：x 22＋y 2＝1，故曲线C 是一个椭圆．由题意，利用点斜式可得直线l 的方程为y ＝kx ＋2，将其代入椭圆的方程得x 22＋(kx ＋2)2＝1，整理得⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋k 2x 2＋22kx ＋1＝0，因为直线l 与椭圆有两个不同的交点P 和Q ，所以Δ＝8k 2－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋k 2＝4k 2－2＞0，解得k ＜－22或k ＞22.即k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－22∪⎝ ⎛⎭⎪⎫22，＋∞.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－22∪⎝ ⎛⎭⎪⎫22，＋∞8．如果曲线C ：⎩⎨⎧x ＝a ＋2cos θ，y ＝a ＋2sin θ(θ为参数)上有且仅有两个点到原点的距离为2，则实数a 的取值范围是________．解析 将曲线的参数方程转化为普通方程，即(x －a )2＋(y －a )2＝4，由题意可知，以原点为圆心，以2为半径的圆与圆C 总相交，根据两圆相交的充要条件，得0＜2a 2＜4，∴0＜a 2＜8，解得0＜a ＜22或－22＜a ＜0. 答案 (－22，0)∪(0,22) 二、解答题(共20分)9．(10分)(2012·新课标全国)已知曲线C 1的参数方程是⎩⎨⎧x ＝2cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ＝2，正方形ABCD 的顶点都在C 2上，且A ，B ，C ，D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，π3.(1)求点A ，B ，C ，D 的直角坐标；(2)设P 为C 1上任意一点，求|PA |2＋|PB |2＋|PC |2＋|PD |2的取值范围． 解 (1)由已知可得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos π3，2sin π3，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π2，2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π2，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π，2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π， D ⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋3π2，2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋3π2，即A (1，3)，B (－3，1)，C (－1，－3)，D (3，－1)． (2)设P (2cos φ，3sin φ)， 令S ＝|PA |2＋|PB |2＋|PC |2＋|PD |2，则S ＝16cos 2φ＋36sin 2φ＋16＝32＋20sin 2φ. 因为0≤sin 2φ≤1，所以S 的取值范围是[32,52]．10．(10分)(2012·福建)在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l 上两点M ，N 的极坐标分别为(2,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫233，π2，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝－3＋2sin θ(θ为参数)．(1)设P 为线段MN 的中点，求直线OP 的平面直角坐标方程； (2)判断直线l 与圆C 的位置关系．解 (1)由题意知，M ，N 的平面直角坐标分别为(2,0)， ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，233.又P 为线段MN 的中点，从而点P 的平面直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，33，故直线OP 的直角坐标方程为y ＝33x . (2)因为直线l 上两点M ，N 的平面直角坐标分别为(2,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫0，233，所以直线l的平面直角坐标方程为3x＋3y－23＝0.又圆C的圆心坐标为(2，－3)，半径r＝2，圆心到直线l的距离d＝|23－33－23|3＋9＝32＜r.故直线l与圆C相交．（注：本资料素材和资料部分来自网络，仅供参考。
