DEA方法在投资组合中的应用

资者在选择风险证券进行投资时提供了理论方法。但该 理 论 方法在分 析 风险 证 券 时， 考虑 的 因 素 并不 十 分 全面， 仅考虑了期望收益及方差等量之间的关系， 为了更全面地反映投资者在投资于风险证券时证券中各量 之间的关系， 本文利用 DEA ( Data Envelopment Analysis) 方法， 分析投资 者 投资 于 风险 证 券 的 各量之 间 的关 ［2 ］ 系。DEA 方法是由著名运筹学家 A． Charnes 和 W． W． Cooper 等 人 于 1978 年 提出 的 ， 其 实际 应用 背景 是 衡量生产活动中多项投入和多项产出之间具有的规模有效性和技术有效性， 应用背景非常广泛， 不少学者越 来越多地将其引入到证券行业
n
( 1)
{
U T σi － V T R i + β≥0 ，i = 1 ， …n。 ( 2)
利用模型( 1 ) 对所有的投资决策单元进行评价， 即可确定出有效的投资决策单元。 2， …n} ， 令 I = { 1， 则投资可能集为: T = T1 定理 1 θ0 ＞ 0 。 证明 ( 1， 1， …， 1)
Application of DEA method on identifying a portfolio
CUI Yuquan1 ，M A Lijie2 ，ZHAO Jing 3 ，BAI Jinyan4
( 1． School of M athematics，Shandong University ，Jinan 250100 ，Shandong ，China; 2． School of M athematics，Shandong Normal University ，Jinan 250104 ，Shandong ，China; 3． Division of Science and Technology ，University of Science and Technology of China，Hefei 230026 ，Anhui，China; 4． School of Statistics，Renmin University of China，Beijing 100872 ，China) Abstract : Data envelopment analysis is introduced into the field of investment，some results on how to identify efficient securities by DEA w ith the security return representing outputs and security risk representing inputs are obtained． A new DEA model is proposed to obtain the optimal portfolio and an algorithm for this model is given． Key words: portfolio ; return; risk; data envelopment analysis; relative efficiency
min θ
n
λ i σi ≤θσ0 ， i∑ =1 n ∑ λ i R i ＞ R0 ， s． t． i = 1 n ∑λ i = 1 ，， …， n) ， θ∈E 。 R0 ) 为要评价的投资决策单元． 模型( 1 ) 的对偶模型为: 其中( σ0 ， max ( V T R0 － β) ， s． t． U T σ0 = 1 U≥0 ，V≥0
e2 = ( 1 ， 1， …， 1) 是一个 m 维向量，
n
T
0 U 0T σ0 = 1 ， d ＞ 0， V 0 ＞ 0， 是一个 s 维向量) ， 则 U ＞ 0， 且
U 0T σi － V 0T R i + β0 ≥0 ， i ∈I ， 即模型( 2 ) 存在可行解。
0 0 0 i ∈I ， 由 于 R0 ∈ T1 ， 故存在 λ i ≥0 ， ∑λ i = 1 ， 使得 R0 ≤∑λ i R i ， 由于 σ0 ＞ 0 ， 可取 θ 为∑λ i σi 与 σ0 的相应 i =1 i∈I i∈I － 0 + 0 分量之比的最大者 θ1 ， 则 s = θ1 σ0 － ∑λ i σi ≥0 ，s = ∑R i λ i － R0 ≥0 就得到模型( 1 ) 的可行解。 i∈I i∈I
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行了说明。该理论方法为投资者在风险证券市场上进行投资提供了科学的理论依据。
1
风险投资 DEA 模型
+ 假设证券市场上 n 种风险证券的期望收益率等量形成的第 i 种风险证券的输出向量为 R i ( R i ∈R S ，i =
+ 1， 2， …， n) ， 2， …， n) ， 其相应的风险等量形成的第 i 种风险证券的输入向量为 σi ( σi ∈R m ，i = 1 ， 则基于 输 入 2 2 的 C G S 模型为:
1 2 3 4 崔玉泉 ， 马立杰 ， 赵晶 ， 白金燕
( 1． 山东大学数学学院，山东 济南 250100 ; 2． 山东师范大学数学学院，山东 济南 250104 ; 3． 中国科学技术大学科技处，安徽 合肥 230026 ; 4． 中国人民大学统计学院，北京 100872 )
摘要: 将证券的收益等量作为输出， 证券的风险等量作为输入， 用数 据 包 络 分 析 方法给 出了 有 效 证 券 的 判 定， 进一 步给出确定这些有效证券的最优投资组合方法及如何确定不同时间段的证券最优投资组合方式。 关键词: 投资组合; 收益率; 风险; 数据包络分析; 相对有效性 中图分类号: O221. 1 文献标志码: A
T 0 对模型( 2 ) ， 由于 σ0 ＞ 0 ， 故 C = e1 σ0 ＞ 0 ， 令U = T i∈I i i i∈I i i i =1 i
R ) σ≥∑λ σ ， R ≤∑λ R ， i ∈I } ; ∑λ = 1 ， λ ≥0 ， { ( σ， = { R R ≤∑λ R ， i ∈I } 。 ∑λ = 1 ， λ ≥0 ，
第 46 卷 Vol． 46
第2 期 No． 2
山
东
大
学
学
报
(理
学
版)
Journal of Shandong University ( Natural Science)
2011 年 2 月 Feb． 2011
9352 ( 2011 ) 02008207 文章编号: 1671-
DEA 方法在 投 资组 合 中的应 用
由线性规划理论知， 模型( 1 ) 和( 2 ) 都存在最优解， 且最优值相等， 对模型( 1 ) 的任一可行解， 由∑λ i = 1 ，
i∈I － i ∈I ， λ i ≥0 ， 至少有一个 λ i ＞ 0 ，不妨令 λ1 ＞ 0 ， 则 θσ0 = ∑ λ i σi + s ≥ λ1 σ1 ≥0 。 又 σ0 ＞ 0 ， 故 θ ＞ 0 。 故 模型 i∈I
i n i∈I i i i =1 i i
R i ≥0 ， i ∈I ， 令 σi ≥0 ， 若 R0 ∈ T1 ， 且 σ0 ＞ 0 ， 则模型( 1 ) 和( 2 ) 都存在最优解且最优值都等于 θ = e1 0 U0T σi ， = 0 ， d = min ，V0 = d·e2 ( 其中 e1 = β T i e ·R C i i
* * * T 0 V* ＞ 0 ， i' ∈I1 评价 DM U i 为 DEA 有效的模型( 2 ) ，必存在最优解 U ＞ 0 ， β ， 使得 V R － * 0 * T * * T 0 R0 ) 时 ， β = 1 。记 d = ( V R0 － β ) / ( U σ0 ) ， 则 DM U n + 1 取( d σ0 ， 决策单元 DM U n + 1 相对于这 n + 1 个投 资决策单元是 DEA 有效的。
q i =1 q i =1 2 q i =1 q i =1 q i =1 q i =1 q i =1
…P k ( ∑t ik σ i ，∑t ik r i ) ， j = 1 …k。 我 组合点分别记作 P1 ( ∑t i1 σ i ，∑t i1 r i ) ，P2 ( ∑t i2 σ i ，∑t i2 r i ) ， 其中∑t ij = 1 ， 们用基于输入的 DEA 模型( C G S ) 来评价 P j ( j = 1 …k) 的有效性: min θ j 0
0915 收稿日期: 2010基金项目: 山东省自然科学基金资助项目( Y2007G08 ) 作者简介: 崔玉泉( 1964 － ) ， 男， 博士， 教授， 研究方向为运筹学、 系统理论和数理经济学． Email: cuiyq@ sdu． edu． cn
第2 期
崔玉泉， 等: DEA 方法在投资组合中的应用
0 * T * * T * T 0 * T * ［5 ］ 0 R0 ) 为 又因为 d = ( V R0 － β ) / ( U σ0 ) ， 故 U ( d σ0 ) － V R0 + β = 0 。 由 引 理 1 DM U n + 1 ( d σ0 ，
DEA 有效。
2
不同投资组合方式中有效组合的确定
ri) ， i = 1 …q 。或 者 将 它 们 记 作一 个向 量 M ( σ1 ， r1 ， r 2 …r q ) 。 我 设 q 种有效风险证券为 M i ( σ i ， σ2 …σ q ，
们的目的是寻求这些证券的最优投资组合。取 q 种有效风险证券的 k 种组合方式， 即 k 个组合点， 将这 k 个
［1 ］ 投资者在具有风险的证券市 场 上 进行 投资 时， 按 照 M ． M arkow its 的 理 论 ， 总 是 希望 所 选 择 的 风险 证 券收益越大越好， 且所冒的风险越 小 越 好。 由 M ． M arkow its 等 人 提出 的 均 值—方 差 理 论 及 模型， 无疑为投