1.1.3解三角形的进一步讨论

龙源期刊网 三角形解的个数的进一步讨论作者：刘振龙来源：《新课程·教师》2016年第03期在学习了正弦定理、余弦定理之后，学生经常对如何判断三角形解的个数而烦扰。

结合初中全等三角形的判定定理，若已知三角形的三边（且符合任意两边之和大于第三边）、两边一夹角、两角一边，则该三角形有唯一解。

但是如果已知三角形的两边及其中一边的对角时，解的情况又如何呢？普通高中课程标准实验教科书《数学必修5》在第8页到第9页的“探究与发现《解三角形的进一步讨论》”中有详细的说明（此处略），但分类种数较多，学生容易混淆结论，故在实际操作中仍存在很多困惑。

因此，针对学生的具体学情，笔者以课堂实例为依托，对已知“两边一对角”的三角形解的个数问题进行多种方法的探究讨论。

方法二：画圆找交点解：由于角A为已知角，故先画出角A，在角A的其中一边上确定顶点C，使得AC=24，即b=24，接着以点C为圆心，a=18为半径画圆，观察所画得的圆与角A的另一边出现的交点个数（交点即为三角形的顶点B），若没有交点，则说明该三角形无解；若只有一个交点，则说明该三角形解的个数为1个；若有两个交点，则说明该三角形解的个数为2个。

如图所示，以C为圆心，为半径所画得的圆与角A的另一边交于B1，B2两点，故该三角形有两解。

在判断交点个数时，可利用半径a与过点C作射线AB1的垂线段CH的长度大小进行对比：若a数学教学活动中，不断渗透、总结相关的数学思想并有效地理解掌握，对于寻找解题途径和提高解题能力具有重大意义。

上述方法体现了数学学习中常见的分类讨论思想、数形结合思想、化归思想等多种数学思想。

当面临问题时，先思考该问题所属类别，尽可能多地联想解决此类问题所能包含的各种数学思想，选择其中一种或多种思想予以解决。

所以，平时注重对数学思想的认识归纳和掌握，对于提升认识并解决问题的能力大有益处。

编辑尹军。

课题:§1．1．1正弦定理授课类型：新授课●教学目标知识与技能：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。

过程与方法：让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。

情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。

●教学重点正弦定理的探索和证明及其基本应用。

●教学难点已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。

●教学过程 Ⅰ.课题导入如图1．1-1，固定∆ABC 的边CB 及∠B ，使边AC 绕着顶点C 转动。

A 思考：∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系？ 显然，边AB 的长度随着其对角∠C 的大小的增大而增大。

能否 用一个等式把这种关系精确地表示出来？CB Ⅱ.讲授新课[探索研究](图1．1-1)在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。

如图1．1-2，在Rt ∆ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c,根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有sin a A c =，sin b B c =，又sin 1cC c ==,A则sin sin sin a b c c A B C===bc 从而在直角三角形ABC 中，sin sin sin a b cA B C==Ca (图1．1-2)思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？ （由学生讨论、分析）可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：如图1．1-3，当∆ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义，有CD=sin sin a B b A =,则sin sin abAB=，C同理可得sin sin cbCB=，ba从而sin sin abAB=sin cC=AcB(图1．1-3)思考：是否可以用其它方法证明这一等式？由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。

高中数学必修5教案全集第一章解三角形章节总体设计（一）课标要求本章的中心内容是如何解三角形，正弦定理和余弦定理是解三角形的工具，最后落实在解三角形的应用上。

通过本章学习，学生应当达到以下学习目标：（1）通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。

（2）能够熟练运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的生活实际问题。

（二）编写意图与特色1．数学思想方法的重要性数学思想方法的教学是中学数学教学中的重要组成部分，有利于学生加深数学知识的理解和掌握。

本章重视与内容密切相关的数学思想方法的教学，并且在提出问题、思考解决问题的策略等方面对学生进行具体示范、引导。

本章的两个主要数学结论是正弦定理和余弦定理，它们都是关于三角形的边角关系的结论。

在初中，学生已经学习了相关边角关系的定性的知识，就是“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角”，“如果已知两个三角形的两条对应边及其所夹的角相等,那么这两个三角形全”等。

教科书在引入正弦定理内容时，让学生从已有的几何知识出发，提出探究性问题：“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系.我们是否能得到这个边、角的关系准确量化的表示呢?”，在引入余弦定理内容时，提出探究性问题“如果已知三角形的两条边及其所夹的角,根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形.我们仍然从量化的角度来研究这个问题，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题。

”设置这些问题，都是为了加强数学思想方法的教学。

2．注意加强前后知识的联系加强与前后各章教学内容的联系，注意复习和应用已学内容，并为后续章节教学内容做好准备，能使整套教科书成为一个有机整体，提高教学效益，并有利于学生对于数学知识的学习和巩固。

本章内容处理三角形中的边角关系，与初中学习的三角形的边与角的基本关系，已知三角形的边和角相等判定三角形全等的知识有着密切联系。

高一数学教案(必修五)重庆铁路中学陈昭旭数学5 第一章解三角形课题:§1．1．1正弦定理授课类型：新授课●教学目标知识与技能：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。

过程与方法：让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。

情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。

●教学重点正弦定理的探索和证明及其基本应用。

●教学难点已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。

●教学过程 Ⅰ.课题导入如图1．1-1，固定∆ABC 的边CB 及∠B ，使边AC 绕着顶点C 转动。

A 思考：∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系？ 显然，边AB 的长度随着其对角∠C 的大小的增大而增大。

能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？ C B Ⅱ.讲授新课[探索研究] (图1．1-1)在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。

如图1．1-2，在Rt ∆ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有sin aA c=，sin b B c =，又sin 1cC c==, A 则sin sin sin a b c c A B C=== b c 从而在直角三角形ABC 中，sin sin sin a b cA B C==(图1．1-2)思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？ （由学生讨论、分析）可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：如图1．1-3，当∆ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义，有CD=sin sin a B b A =,则sin sin abAB=， C同理可得sin sin cb=， b a从而sin sin a b A B =sin cC=A c B(图1．1-3)思考：是否可以用其它方法证明这一等式？由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。

《解三角形的进一步讨论》——研究性学习报告研究班级：高二（8）班小组组长：钱成玲小组成员：刘万童许海强丁志珺马海龙张鹏恩指导老师：魏兴文实施时间：2012年3月15日至2012年3月20日一、背景说明：在我国古代就有嫦娥奔月的神话故事。

明月高悬，我们仰望星空，会有无限遐想。

不禁会问，遥不可及的月球离地球到底有多远？1671年，两个法国天文学家测出大约距离为385400千米。

他们是怎样测出的呢？在数学发展史上，受到天文测量、航海测量和地理测量等方面实践活动的推动。

解三角形的理论不断发展，并被用于解决许多测量问题方面。

二、课题目的和意义：三角形是基本的几何图形，三角形中的数量关系是基本的数量关系，有着极其广泛的应用。

我们将在以前学习的有关三角形、三角函数和解直角三角形的知识基础上，通过对于任意三角形边角关系的研究，发现并掌握三角形中的变长与角度之间的数量关系，并解决一些实际问题。

学而不思则罔，只有通过自己的独立思考才能真正学会数学，同时应当掌握科学的思维方法，特别是学习类比、推广等数学思考方法，提高我们的数学思维能力。

三、研究内容：在生产、生活、科技和技术中，我们都会看到许多数学的应用，我们小组主要研究高中数学中以解三角形为中心的一系列问题。

其中包括正弦定理、余弦定理、以及解三角形在实际生活中的一些应用，有天文测量、航海测量和地理测量。

还有解三角形中的一些特殊问题——海伦公式和秦九韶独出的“三斜求积”公式。

四、研究方法：主要采用数学归纳法、合情推理、建立数学模型、数形结合法、类比、化归、推广等数学思考中常用的逻辑方法。

五、活动步骤及计划安排：（包括成员分工）1、确定研究课题——解三角形的进一步讨论2、成员分工：组长：钱成玲，负责与指导教师联系，获取课题信息和研究方法指导，积极协同课题组成员共同研究。

成员：刘万童、许海强负责收集课题材料。

丁志珺，负责对所收集的材料进行分类、整理。

马海龙，负责对收集的材料的综合整理，完成对研究性学习报告表的填写。

高一数学资源必修1---必修5总目录高一数学资源(必修1---必修5)总目录必修1教案:1.1.1集合的含义与表示 1.1.2集合间的基本关系1.1.3 集合的基本运算 1.2.1函数的概念1.2.2函数的表示法1.3.1函数的单调性1.3.1函数的最大(小)值1.3.2函数的奇偶性2.1.1 指数与指数幂的运算 2.1.2指数函数及其性质2.2.1 对数与对数运算2.2.2对数函数及其性质2.3.1幂函数3.1.1方程的根与函数的零点 3.1.2用二分法求方程的近似解 3.2.1 几类不同增长的函数模型 3.2.2 函数模型的应用实例课件:1.1.1集合的含义与表示1.1.2集合间的基本关系1.1.3 集合的基本运算1.2.1函数的概念1.2.2函数的表示法1.3.1函数的单调性1.3.1函数的最大(小)值 1.3.2函数的奇偶性2.1.1 指数与指数幂的运算 2.1.2指数函数及其性质2.2.1 对数与对数运算2.2.2对数函数及其性质 2.3.1幂函数3.1.1方程的根与函数的零点 3.1.2用二分法求方程的近似解 3.2.1 几类不同增长的函数模型 3.2.2 函数模型的应用实例试卷:必修一第1单元考试试卷必修一第2单元考试试卷必修一第3单元考试试卷必修2教案:1.1.1柱、锥、台、球的结构特征 1.2.1 空间几何体的三视图 1.2.2 空间几何体的直观图1.3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积 1.3.2 球的体积和表面积2.1.1 平面2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 2.1.3 — 2.1.4 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系2.2.1 直线与平面平行的判定2.2.2 平面与平面平行的判定 2.2.3 — 2.2.4直线与平面、平面与平面平行的性质2.3.1直线与平面垂直的判定 2.3.2平面与平面垂直的判定2.3.3直线与平面垂直的性质3.1.1直线的倾斜角和斜率3.1.2两条直线的平行与垂直 3.2.1 直线的点斜式方程 3.2.2 直线的两点式方程3.2.3 直线的一般式方程 3.3.1两直线的交点坐标3.3.2直线与直线之间的位置关系-两点间距离 3.3.3两条直线的位置关系―点到直线的距离公式4.1.1 圆的标准方程4.1.2圆的一般方程4.2.1 直线与圆的位置关系4.2.2 圆与圆的位置关系4.2.3 直线与圆的方程的应用课件:1.1.1柱、锥、台、球的结构特征1.2.1 空间几何体的三视图1.2.2 空间几何体的直观图1.3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积 1.3.2 球的体积和表面积2.1.1 平面2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 2.1.3 空间中直线与平面2.1.4平面与平面之间的位置关系 2.2.1 直线与平面平行的判定 2.2.2 平面与平面平行的判定 2.2.3直线与平面2.2.4平面与平面平行的性质2.3.1直线与平面垂直的判定 2.3.2平面与平面垂直的判定2.3.3直线与平面垂直的性质 3.1.1直线的倾斜角和斜率3.1.2两条直线的平行与垂直 3.2.1 直线的点斜式方程3.2.2 直线的两点式方程3.2.3 直线的一般式方程3.3.1两直线的交点坐标 3.3.2直线与直线之间的位置关系-两点间距离3.3.3两条直线的位置关系―点到直线的距离公式4.1.1 圆的标准方程4.1.2圆的一般方程4.2.1 直线与圆的位置关系 4.2.2 圆与圆的位置关系4.2.3 直线与圆的方程的应用试卷:必修二第1单元考试试卷必修二第2单元考试试卷必修二第3单元考试试卷必修二第4单元考试试卷必修3教案:1.1.1算法的概念1.1.2 程序框图1.2.1输入、输出语句和赋值语句 1.2.2-1.2.3条件语句和循环语句 1.3算法案例2.1.1 简单随机抽样2.1.2 系统抽样2.1.3 分层抽样2.2.1用样本的频率分布估计总体分布 2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征3.1.1 —3.1.2随机事件的概率及概率的意义3.1.3 概率的基本性质 3.2.1 —3.2.2古典概型及随机数的产生3.3.1—3.3.2几何概型及均匀随机数的产生课件:1.1.1算法的概念1.1.2 程序框图1.2.1输入、输出语句和赋值语句1.2.2条件语句1.2.3循环语句1.3算法案例2.1.1 简单随机抽样2.1.2 系统抽样2.1.3 分层抽样2.2.1用样本的频率分布估计总体分布 2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征3.1.1随机事件的概率3.1.2概率的意义3.1.3 概率的基本性质3.2.1古典概型3.2.2 (整数值)随机数的产生 3.3.1几何概型3.3.2均匀随机数的产生试卷:必修三第1单元考试试卷必修三第2单元考试试卷必修三第3单元考试试卷必修4教案:1.1.1任意角1.1.2弧度制1.2.1任意角的三角函数1.2.2同角三角函数的基本关系 2.1 平面向量的实际背景及基本概念 2.2.1向量的加法运算及其几何意义 2.2.2 向量的减法运算及其几何意义 2.3.1 平面向量基本定理2.3.2—2.3.3 平面向量的正交分解和坐标表示及运算 2.3.4 平面向量共线的坐标表示2.4.1平面向量的数量积的物理背景及其含义 2.4.2平面向量数量积的运算律2.4.3平面向量数量积的坐标表示、模、夹角3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 3.1.3 二倍角的正弦、余弦和正切公式 3.2 简单的三角恒等变换课件:1.1.1任意角1.1.2弧度制1.2.1任意角的三角函数1.2.2同角三角函数的基本关系 2.1 平面向量的实际背景及基本概念 2.2.1向量的加法运算及其几何意义 2.2.2 向量的减法运算及其几何意义 2.3.1—2.3.2 平面向量基本定理和坐标表示 2.3.3-2.3.4平面向量的坐标运算及向量共线的坐标表示2.4.1平面向量的数量积的物理背景及其含义 2.4.2平面向量数量积的运算律2.4.3平面向量数量积的坐标表示、模、夹角3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 3.1.3 二倍角的正弦、余弦和正切公式 3.2 简单的三角恒等变换试卷:必修四第1单元考试试卷必修四第2单元考试试卷必修四第3单元考试试卷必修5教案:1.1.1正弦定理1.1.2余弦定理1.1.3解三角形的进一步讨论1.2解三角形应用举例2.1数列的概念与简单表示法2.2等差数列2.3 等差数列的前n项和2.4等比数列2.5等比数列的前n项和3.1不等式与不等关系3.2一元二次不等式及其解法3.3.1二元一次不等式(组)与平面区域 3.3.2简单的线性规划3.4基本不等式课件:1.1.1正弦定理1.1.2余弦定理1.1.3解三角形的进一步讨论1.2解三角形应用举例(1)1.2解三角形应用举例(2)1.2解三角形应用举例(3)2.1数列的概念与简单表示法 2.2等差数列2.3 等差数列的前n项和2.4等比数列2.5等比数列的前n项和3.1不等式与不等关系3.2一元二次不等式及其解法(1) 3.2一元二次不等式及其解法(2) 3.3.1二元一次不等式(组)与平面区域 3.3.2简单的线性规划 3.3.2线性规划(1)3.3.2线性规划(2)3.4基本不等式试卷:必修五第1单元考试试卷必修五第2单元考试试卷必修五第3单元考试试卷。

1课题: §1．1．1正弦定理授课类型：新授课 ●教学目标知识与技能：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。

过程与方法：让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。

情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。

●教学重点正弦定理的探索和证明及其基本应用。

●教学难点已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。

●教学过程 Ⅰ.课题导入如图1．1-1，固定∆ABC 的边CB 及∠B ，使边AC 绕着顶点C 转动。

A 思考：∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系？ 显然，边AB 的长度随着其对角∠C 的大小的增大而增大。

能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？ C B Ⅱ.讲授新课[探索研究] (图1．1-1)在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。

如图1．1-2，在Rt ∆ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有sin a A c =，sin bB c=，又sin 1cC c==, A则sin sin sin abcc ABC=== b c 从而在直角三角形ABC 中，sin sin sin abcABC==C a B(图1．1-2)思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？ （由学生讨论、分析）可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：如图1．1-3，当∆ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义，有CD=sin sin a B b A =,则sin sin abAB=， C同理可得sin sin cbC B =， b a从而sin sin abAB=sin cC=A c B(图1．1-3)2思考：是否可以用其它方法证明这一等式？由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。

1.1.1 正弦定理一 知识梳理1．我们已学习过任意三角形的哪些边角关系？（内角和、大边对大角） 是否可以和直角三角形一样把边、角关系准确量化，达到解三角形的目的？2.叙述正弦定理3.如何证明正弦定理？（请阅读下面的证法） 证明一：（等积法）在任意斜△ABC 当中 S △ABC =111sin sin sin 222ab C ac B bc A ==. 两边同除以12abc 即得：sin a A==sin c C. 证明二：（外接圆法）如图所示，∠A ＝∠D ，∴2sin sin a aCD R A D===， 同理 sin b B =2R ，sin cC＝2R .4．什么是解三角形？5．用正弦定理可以解决哪两类有关三角形问题？二 问题探究例1.在△ABC 中 ，已知c =3,A =45°,B =60°，求b ; (结果保留两个有效数字)。

思考 ：已知两角一边，能用正弦定理解三角形吗？例2 （1）在C B b c A a ABC ,,1,60,30和求中，===∆思考 ：已知两边和其中一边的对角，能用正弦定理解三角形吗？如果能，在解三角形的过程中要注意什么？三 体验展示1.已知ABC ∆中，C B A ∠∠∠,,的对边分别为,,a b c 若a c ==75A ∠=o，求b2.在锐角ABC ∆中，1,2,BC B A ==则cos ACA的值等于 ， 3已知在B b a C A c ABC 和求中，,,30,45,1000===∆四 总结归纳1.正弦定理的探索过程；2.正弦定理的两类应用；3.已知两边及一边对角的讨论；4.本节课的学习中有哪些数学思想方法？ 五 检测评价1.已知∆ABC 中，∠A =60°，a =，求sin sin sin a b cA B C ++++.2.已知 在ΔABC 中, c =, A=45o ，B=60o ，求b ；3.在Δ ABC 中,已知(1)A=45º,a=50,b=256 ; 求B,1.1.2 余弦定理一知识梳理1．我们已经研究过哪两类解三角形的问题了？2.我们知道在直角三角形中,根据两直角边及直角可表示斜边,即勾股定理,那么对于任意三角形,能否根据已知两边及夹角来表示第三边呢? 你能用初中所学的平面几何的有关知识来解决这一问题吗？如图在△ABC中,设BC=a,，AC=b，AB=c,,试根据b、c、A来表示a。

数学5 第一章解三角形章节总体设计（一）课标要求本章的中心内容是如何解三角形，正弦定理和余弦定理是解三角形的工具，最后落实在解三角形的应用上。

通过本章学习，学生应当达到以下学习目标：（1）通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。

（2）能够熟练运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的生活实际问题。

（二）编写意图与特色1．数学思想方法的重要性数学思想方法的教学是中学数学教学中的重要组成部分，有利于学生加深数学知识的理解和掌握。

本章重视与内容密切相关的数学思想方法的教学，并且在提出问题、思考解决问题的策略等方面对学生进行具体示范、引导。

本章的两个主要数学结论是正弦定理和余弦定理，它们都是关于三角形的边角关系的结论。

在初中，学生已经学习了相关边角关系的定性的知识，就是“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角”，“如果已知两个三角形的两条对应边及其所夹的角相等,那么这两个三角形全”等。

教科书在引入正弦定理内容时，让学生从已有的几何知识出发，提出探究性问题：“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系.我们是否能得到这个边、角的关系准确量化的表示呢?”，在引入余弦定理内容时，提出探究性问题“如果已知三角形的两条边及其所夹的角,根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形.我们仍然从量化的角度来研究这个问题，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题。

”设置这些问题，都是为了加强数学思想方法的教学。

2．注意加强前后知识的联系加强与前后各章教学内容的联系，注意复习和应用已学内容，并为后续章节教学内容做好准备，能使整套教科书成为一个有机整体，提高教学效益，并有利于学生对于数学知识的学习和巩固。

本章内容处理三角形中的边角关系，与初中学习的三角形的边与角的基本关系，已知三角形的边和角相等判定三角形全等的知识有着密切联系。

《解三角形的进一步讨论》—-研究性学习报告研究班级：高二(12)班小组组长:张学栋小组成员：唐亮钱智年徐金玉史子军刘晶琳陈敬荣张金年赵峒山李超丁晓瑞秦海龙指导老师：潘金实施时间：2014年10月15日至2015年1月4日一、背景说明：在我国古代就有嫦娥奔月的神话故事。

明月高悬,我们仰望星空,会有无限遐想。

不禁会问，遥不可及的月球离地球到底有多远?1671年,两个法国天文学家测出大约距离为385400千米。

他们是怎样测出的呢？在数学发展史上，受到天文测量、航海测量和地理测量等方面实践活动的推动。

解三角形的理论不断发展,并被用于解决许多测量问题方面。

二、课题目的和意义：三角形是基本的几何图形，三角形中的数量关系是基本的数量关系，有着极其广泛的应用。

我们将在以前学习的有关三角形、三角函数和解直角三角形的知识基础上，通过对于任意三角形边角关系的研究，发现并掌握三角形中的变长与角度之间的数量关系,并解决一些实际问题。

学而不思则罔，只有通过自己的独立思考才能真正学会数学，同时应当掌握科学的思维方法，特别是学习类比、推广等数学思考方法，提高我们的数学思维能力。

三、研究内容：在生产、生活、科技和技术中,我们都会看到许多数学的应用，我们小组主要研究高中数学中以解三角形为中心的一系列问题。

其中包括正弦定理、余弦定理、以及解三角形在实际生活中的一些应用,有天文测量、航海测量和地理测量。

还有解三角形中的一些特殊问题—-海伦公式和秦九韶独出的“三斜求积"公式。

四、研究方法：主要采用数学归纳法、合情推理、建立数学模型、数形结合法、类比、化归、推广等数学思考中常用的逻辑方法。

五、活动步骤及计划安排：（包括成员分工）1、确定研究课题——解三角形的进一步讨论2、成员分工:组长：张学栋，负责与指导教师联系，获取课题信息和研究方法指导，积极协同课题组成员共同研究。

成员：钱智年、徐金玉、唐亮负责收集课题材料。

史子军、刘晶琳、陈敬荣负责对所收集的材料进行分类、整理。

解三角形(3)---解三角形的进一步讨论思考：在∆ABC 中，已知22a cm =，25b cm =，0133A =，解三角形。

从此题的分析我们发现，在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，在某些条件下会出现无解的情形。

下面进一步来研究这种情形下解三角形的问题。

【探索研究】例1、在∆ABC 中，已知,,a b A ，讨论三角形解的情况。

分析：先由sin sin b A B a =可进一步求出B ；则0180()C A B =-+，从而AC a c sin sin = 1、当A 为钝角或直角时，必须a b >才能有解，这时从sin sin b A B a=计算B 时，只能取锐角的值，因此有一个解。

2、如果已知的A 是锐角，并且b a >或b a =，这时从这时从sin sin b A B a =计算B 时，也只能取锐角的值，因此都只有一个解。

3、如果已知的A 是锐角，并且b a <，我们可以分下面三种情形来讨论：（1）若sin a b A >，则有两解，B 取一个锐角的值，一个钝角的值；（2）若sin a b A =，则只有一解，B 只能取直角；（3）若sin a b A <，则无解。

评述：注意在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，只有当A 为锐角且sin b A a b <<时，有两解；其它情况时则只有一解或无解。

【随堂练习】（1）在∆ABC 中，已知80a =，100b =，045A ∠=，试判断此三角形的解的情况。

（2）在∆ABC 中，若1a =，12c =，040C ∠=，则符合题意的b 的值有_____个。

（3）在∆ABC 中，a xcm =，2b cm =，045B ∠=，如果利用正弦定理解三角形有两解，求x 的取值范围。

（答案：（1）有两解；（2）0；（3）222x <<）例2．在∆ABC 中，已知7a =，5b =，3c =，判断∆ABC 的类型。

1.1。

1 正弦定理教学要求:通过对任意三角形边长和角度关系的探索,掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。

教学重点:正弦定理的探索和证明及其基本应用。

教学难点：已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数. 教学过程:一、复习引入：1.在任意三角形行中有大边对大角，小边对小角的边角关系？是否可以把边、角关系准确量化？2.在ABC ∆中，角A 、B 、C 的正弦对边分别是c b a ,,，你能发现它们之间有什么关系吗？ 结论★： 。

二、讲授新课：探究一:在直角三角形中，你能发现三边和三边所对角的正弦的关系吗？直角三角形中的正弦定理： sin A =c a sin B =c bsin C =1 即c =sin sin sin a b c A B C==. 探究二:能否推广到斜三角形？ （先研究锐角三角形，再探究钝角三角形）当∆ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据三角函数的定义，有sin sin CD a B b A ==，则sin sin a b A B =。

同理，sin sin a cA C=（思考如何作高？）,从而sin sin sin a b cA B C==。

探究三:你能用其他方法证明吗？1． 证明一：(等积法)在任意斜△ABC 当中S △ABC =111sin sin sin 222ab C ac B bc A ==。

两边同除以12abc 即得：sin a A =sin bB =sin c C。

2．证明二：（外接圆法）如图所示，∠A ＝∠D ,∴2sin sin a aCD R A D===， 同理sin bB=2R ,sin c C ＝2R 。

3．证明三：（向量法）过A 作单位向量j 垂直于AC ，由AC +CB =AB 边同乘以单位向量j 得…。

.正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即sin sin abAB=sin cC==2R[理解定理] 1公式的变形：C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2)1(===C B A c b a sin :sin :sin ::)3(=,2sin ,2sin ,2sin )2(Rc C R b B R a A ===Bb Cc C c A a B b A a sin sin ,sin sin ,sin sin )4(===2.正弦定理的基本作用为：①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如sin sin b Aa B=； ②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如sin sin a A B b=。

1.1.1正弦定理学案学习目标：①发现并掌握正弦定理及其证明方法；②会用正弦定理解决三角形中的简单问题。

预习自测1. 正弦定理的数学表达式2. 一般地,把三角形的三个角A,B,C 和它们的对边 叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做 . 3．利用正弦定理可以解决两类三角形的问题 (1) (2)问题引入：1、在任意三角形行中有大边对大角，小边对小角的边角关系.是否可以把边、角关系准确量化？2、在ABC 中，角A 、B 、C 的正弦对边分别是c b a ,,，你能发现它们之间有什么关系吗？ 结论★： 。

二 合作探究：1、探究一：在直角三角形中，你能发现三边和三边所对角的正弦的关系吗？2、探究二：能否推广到斜三角形？ （先研究锐角三角形，再探究钝角三角形）3、探究三：你能用其他方法证明吗？4、正弦定理：5、正弦定理的应用（能解决哪类问题）：三例题讲解例1 已知在B b a C A c ABC 和求中，,,30,45,1000===∆例2 C B b a A c ABC ,,2,45,60和求中，===∆例3（1）在C A a c B b ABC ,,1,60,30和求中，===∆解这个三角形）（,45,20,402︒===C c b例4、仿照正弦定理的证法一，证明C ab S ABC sin 21=∆，并运用此结论解决下面问题： （1）在ABC ∆中，已知2=a ，3=b ，︒=150C ，求ABC S ∆；（2）在ABC ∆中，已知10=c ，︒=45A ，︒=30C ，求b 和ABC S ∆；（3）在△ABC 中，已知a ＝32，cos C ＝13，S △ABC ＝43，则b ＝________.四 课堂练习：。

，，求，，解这个三角形）（解这个三角形。

和边，求角求边求边）（根据条件解三角形：C A a B b c C c b B a b c C B A b a c a b B A b a C A c ,6031)6(,45,20,405,30,26,13)4(.,30,316,16)3(.,,12,120,30)2(.,,30,45,1014︒︒︒︒︒︒︒︒==================1.1.2 解三角形的进一步讨论学案【学习目标】1.掌握已知三角形的两边及其中一边的对角时对解个数的讨论； 2.三角形各种形状的判断方法； 【学习重难点】1.已知三角形的两边及其中一边的对角时对解个数的讨论；三角形各种形状的判断方法。

第一章解三角形章节总体设计（一）课标要求本章的中心内容是如何解三角形，正弦定理和余弦定理是解三角形的工具，最后落实在解三角形的应用上。

通过本章学习，学生应当达到以下学习目标：（1）通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。

（2）能够熟练运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的生活实际问题。

（二）编写意图与特色1．数学思想方法的重要性数学思想方法的教学是中学数学教学中的重要组成部分，有利于学生加深数学知识的理解和掌握。

本章重视与内容密切相关的数学思想方法的教学，并且在提出问题、思考解决问题的策略等方面对学生进行具体示范、引导。

本章的两个主要数学结论是正弦定理和余弦定理，它们都是关于三角形的边角关系的结论。

在初中，学生已经学习了相关边角关系的定性的知识，就是“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角”，“如果已知两个三角形的两条对应边及其所夹的角相等,那么这两个三角形全”等。

教科书在引入正弦定理内容时，让学生从已有的几何知识出发，提出探究性问题：“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系.我们是否能得到这个边、角的关系准确量化的表示呢?”，在引入余弦定理内容时，提出探究性问题“如果已知三角形的两条边及其所夹的角,根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形.我们仍然从量化的角度来研究这个问题，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题。

”设置这些问题，都是为了加强数学思想方法的教学。

2．注意加强前后知识的联系加强与前后各章教学内容的联系，注意复习和应用已学内容，并为后续章节教学内容做好准备，能使整套教科书成为一个有机整体，提高教学效益，并有利于学生对于数学知识的学习和巩固。

本章内容处理三角形中的边角关系，与初中学习的三角形的边与角的基本关系，已知三角形的边和角相等判定三角形全等的知识有着密切联系。

1.1.1 正弦定理教学要求：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题.教学重点：正弦定理的探索和证明及其基本应用.教学难点：已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数. 教学过程：一、复习引入：1.在任意三角形行中有大边对大角，小边对小角的边角关系？是否可以把边、角关系准确量化？2.在ABC ∆中，角A 、B 、C 的正弦对边分别是c b a ,,，你能发现它们之间有什么关系吗？结论★： 。

二、讲授新课：探究一：在直角三角形中，你能发现三边和三边所对角的正弦的关系吗？直角三角形中的正弦定理： sin A =ca sin B =cb sin C =1 即c =sin sin sin a b cA B C==. 探究二：能否推广到斜三角形？ （先研究锐角三角形，再探究钝角三角形）当∆ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据三角函数的定义，有sin sin CD a B b A ==,则sin sin a bA B=. 同理，sin sin a c A C =（思考如何作高？），从而sin sin sin a b c A B C==.探究三：你能用其他方法证明吗？ 1． 证明一：（等积法）在任意斜△ABC当中S △ABC =111sin sin sin 222ab C ac B bc A ==.两边同除以12abc 即得：sin aA =sin bB =sin c C.2．证明二：（外接圆法）如图所示，∠A ＝∠D ，∴2s i n s i n a aCD R A D===，同理sin bB =2R ，sin c C＝2R .3．证明三：（向量法）过A 作单位向量j 垂直于AC ，由AC +CB =AB 边同乘以单位向量j 得…..正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即sin sin abAB=sin cC==2R[理解定理] 1公式的变形：2.正弦定理的基本作用为：①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如sin sin b A a B=；②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如sin sin a A B b=。

必修5第一章 解三角形1．1 正弦定理和余弦定理探究与发现 解三角形的进一步讨论 1．2 应用举例阅读与思考 海伦和秦九韶 1．3 实习作业 第二章 数列2．1 数列的概念与简单表示法 阅读与思考 斐波那契数列阅读与思考 估计根号下2的值 2．2 等差数列2．3 等差数列的前n 项和 2．4 等比数列2．5 等比数列前n 项和 第三章 不等式3．1 不等关系与不等式3．2 一元二次不等式及其解法3．3 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题 3．4 基本不等式第一章 解三角形知识点归纳1、三角形三角关系：A+B+C=180°；C=180°—(A+B)；2、三角形三边关系：a+b>c; a-b<c3、三角形中的基本关系：sin()sin ,A B C +=cos()cos ,A B C +=-tan()tan ,A B C +=-sincos ,cos sin ,tan cot 222222A B C A B C A B C+++=== 4、正弦定理：在C ∆AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，R 为C ∆AB 的外接圆的半径，则有2sin sin sin a b cR C===A B ． 5、正弦定理的变形公式：①化角为边：2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =；②化边为角：sin 2a R A =，sin 2b R B =，sin 2c C R=； ③::sin :sin :sin a b c C =A B ；④sin sin sin sin sin sin a b c a b cC C++===A +B +A B ．6、两类正弦定理解三角形的问题：①已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.②已知两角和其中一边的对角，求其他边角.(对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况（一解、两解、三解）) 7、三角形面积公式：111sin sin sin 222C S bc ab C ac ∆AB =A ==B ．=2R 2sinAsinBsinC=R abc 4=2)(c b a r ++=))()((c p b p a p p ---8、余弦定理：在C ∆AB 中，有2222cos a b c bc =+-A ，2222cos b a c ac =+-B ，2222cos c a b ab C =+-．9、余弦定理的推论：222cos 2b c a bc +-A =，222cos 2a c b ac+-B =，222cos 2a b c C ab +-=．10、余弦定理主要解决的问题：①已知两边和夹角，求其余的量。