高中数学必修5第一章解三角形的进一步讨论

知识建构一、知识网络二、基本知识、方法归纳整理1.解三角形常见类型及解法已知两边和其中一边的对角不能唯一确定三角形,解这类三角形问题可能出现一解、两解、无解的情况,这时应结合“三角形中大边对大角”及几何图形帮助理解，此时一般用正弦定理，但也可用余弦定理.(1)利用正弦定理讨论:若已知a 、b 、A,由正弦定理A a sin =B b sin ,得sinB=aA b sin . 若sinB>1,无解;若sinB=1,一解;若sinB<1,两解.(2)利用余弦定理讨论:已知a 、b 、A,由余弦定理a 2=c 2+b 2-2cbcosA,即c 2-(2bcosA)c+b 2-a 2=0,这是关于c 的一元二次方程.若方程无解或无正数解,则三角形无解;若方程有唯一正数解,则三角形有一解;若方程有两个同正数解,则三角形有两解.3.三角形形状的判定方法判定三角形形状通常有两种途径:一是通过正弦定理和余弦定理,化边为角(如:a=2RsinA,a 2+b 2-c 2=2abcosC 等),利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断.此时注意一些常见的三角等式所体现的内角关系.如sinA=sinB ⇔A=B;sin(A-B)=0⇔A=B;sin2A=sin2B ⇔A=B 或A+B=2π,等等;二是利用正弦定理、余弦定理,化角为边,如:sinA=R a 2,cosA=bca cb 2222-+等,通过代数恒等变换,求出三条边之间的关系进行判断.4.解斜三角形应用题的步骤(1)准确理解题意,分清已知与所求,准确理解应用题中的有关名称、术语.(2)根据题意画出图形.(3)将要求解的问题归结到一个或几个三角形中,通过合理运用正、余弦定理有关知识建立数学模型,然后求解.实践探究1.就三角形的面积计算问题作一探索,你现在已经学习了哪些计算公式,还可发现和证明一些新的计算公式吗?解:已学过的三角形面积公式有(1)已知一边和边上的高:S=21ah a ,S=21bh b ,S=21ch c . (2)已知两边及其夹角:S=21absinC,S=21bcsinA,S=21casinB. 还可以得到如下面积公式:(p=a+b+c)(3)S △ABC =r·p=R·r(sinA+sinB+sinC).(4)S △ABC =))()((c p b p a p p ---. (5)S △ABC =Rabc 4. (6)S △ABC =)sin(2sin sin 2C B C B a +∙∙=)sin(2sin sin 2C A C A b +∙=)sin(2sin sin 2B A B A c +∙. 证明:(3)如图所示.S △ABC =S △OAB+S △OBC+S △OAC =21c·OE+21a·OF+21b·OD =21cr+21ar+21br =21r(a+b+c) =rp.由正弦定理,得a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,∴S △ABC =21r(a+b+c)=21r(2RsinA+2RsinB+2RsinC)=R·r(sinA+sinB+sinC). (4)由余弦定理知cosC=abc b a 2222-+,∴S △ABC =21ab·sinC=21ab·C 2cos 1- =21ab·2222)2(1abc b a -+- =4122222)()2(c b a ab -+- =41])([(])[(2222b a c c b a --∙-+ =2222c b a c b a c b a c b a ++-∙+-∙-+∙++ =))()((a p b p c p p --- =))()((c p b p a p p ---.(5)由正弦定理知A a sin =B b sin =Cc sin =2R, ∴S △ABC =21absinC=21ab·R c 2=Rabc 4. (6)由正弦定理知A a sin =B b sin =Cc sin =2R, ∴S △ABC =21absinC=21·a·2R·sinB·sinC =21·a·A a sin ·sinB·sinC=A C B a sin 2sin sin 2∙=)sin(2sin sin 2C B C B a +∙∙. 同理,S △ABC =)sin(2sin sin 2C A C A b +∙=)sin(2sin sin 2B A B A c +∙. 2.设a 、b 、c 分别是△ABC 中∠A 、∠B 、∠C 的对边,其外接圆半径为1,且(sinB+sinC+sinA)(sinB+sinC-sinA)=3sinBsinC,b 、c 是方程x 2-3x+4cosA=0的两根(b>c).(1)求角A 的度数及a 、b 、c 的值;(2)判定△ABC 的形状,并求其内切圆的半径.解:(1)由韦达定理b+c=3,b·c=4cosA,由正弦定理b=2RsinB=2sinB,c=2sinC.∴2(sinB+sinC)=3,sinB·sinC=cosA.∵（sinB+sinC+sinA ）(sinB+sinC-sinA)=3sinBsinC,利用平方差公式展开为（sinB+sinC ）2-sin 2A=3sinBsinC,把sinB ＋sinC ＝23,sinB·sinC=cosA 代入上式可得49-sin 2A=3cosA.整理得4cos 2A-12cosA+5=0,即(2cosA-5)(2cosA-1)=0,∴cosA=21,cosA=25(舍去).∴∠A=60°.∴⎩⎨⎧=∙=+.2,3c b c b∵b>c,∴b=2,c=1.由余弦定理a 2=b 2+c 2-2bccosA=22+12-2×2×1×21=3,∴a=3.(2)∵b 2=a 2+c 2(由勾股定理).∴△ABC 是直角三角形.如图所示,设内切圆半径是r,则∠OAB=30°,在△OAD 中,AD=rcot30°=3r,∴3r+r=1.∴内切圆半径r=213-.3.在△ABC 中,设=a,=b,=c.(1)当△ABC 为正三角形时,求证:a·b=b·c=c·a;(2)若a·b=b·c=c·a,问△ABC 是否是正三角形?(1)证明:不妨设|BC |=|CA |=||=1,则·=||||cos60°=21,同理可得·=21,·=21,∴b·(-a)=(-b)·c=(-c)·a.∴a·b=b·c=c·a.(2)解:若a·b=b·c=c·a,则·=·=·, ∴·=·=·,即|a||b|cosC=|b||c|cosA=|a||c|cosB,各除以|a||b||c|,得||cos c C =||cos a A =||cos b B,①由正弦定理可得C c sin ||=A a sin ||=Bb sin ||, ② 由①②得C tan 1=A tan 1=B tan 1. ∵A 、B 、C ∈(0,π),∴A=B=C,即△ABC 为正三角形.4.如图所示,有两条相交成60°角的直线xx′、yy′,交点是O,甲、乙分别在Ox 、Oy 上,起初甲离O 点3 km,乙离O 点1 km,后来两人同时以每小时4 km 的速度,甲沿xx′方向,乙沿y′y 方向步行(设甲、乙初始位置分别为A 、B).(1)甲、乙两人之间的初始距离是多少?(2)什么时间两人的距离最短?解:(1)△AOB 中,OA=3,OB=1,∠AOB=60°.∴AB 2=OA 2+OB 2-2×OA×OB×cos60°=7.∴AB=7,即甲、乙两人最初相距7 km.(2)设t 小时后甲由A 到P,乙由B 到Q.①当3-4t≥0,即t≤34时,则△POQ 中,OQ=1+4t,OP=3-4t,∠POQ=60°, ∴PQ 2=(1+4t)2+(3-4t)2-2×(1+4t)×(3-4t)×cos60°. ②当3-4t<0,即t>34时,△POQ 中,OQ=1+4t,OP=4t-3,∠POQ=120°. ∴PQ 2=(1+4t)2+(4t-3)2-2×(1+4t)×(4t-3)×cos120°.综合①②知,当t≥0时,PQ 2=(4t+1)2+(4t-3)2+2×(4t+1)(4t-3)×21=(4t+1)2+(4t-3)2+(4t+1)(4t-3)=48t 2-24t+7=48(t-41)2+4. ∴当t=41时,PQ min =2, 即41小时后,甲、乙两人的距离最短.。

高中数学：新人教A 版必修5全套教案第一章 解三角形课题: 1．1．1正弦定理●教学目标 知识与技能：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。

过程与方法：让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。

情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。

●教学重点正弦定理的探索和证明及其基本应用。

●教学难点已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。

●教学过程 Ⅰ.课题导入如图1．1-1，固定∆ABC 的边CB 及∠B ，使边AC 绕着顶点C 转动。

A 思考：∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系？ 显然，边AB 的长度随着其对角∠C 的大小的增大而增大。

能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？ C B Ⅱ.讲授新课[探索研究] (图1．1-1)在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。

如图1．1-2，在Rt ∆ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有sin a A c =，sin b B c =，又sin 1cC c==, A则sin sin sin abcc ABC=== b c 从而在直角三角形ABC 中，sin sin sin abcABC==C a B(图1．1-2)思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？（由学生讨论、分析）可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：如图1．1-3，当∆ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义，有CD=sin sin a B b A =,则sin sin abAB=， C同理可得sin sin cbC B =， b a从而sin sin a b A B=sin cC=A cB (图1．1-3)思考：是否可以用其它方法证明这一等式？由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。

必修5 第一章解三角形一、本章知识结构：二、知识要点梳理知识点一：解三角形由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个是边）求其他未知元素的问题叫做解三角形。

解三角形的问题一般可分为下面两种情形：①若给出的三角形是直角三角形，则称解直角三角形；②若给出的三角形是斜三角形，则称为解斜三角形。

(四种类型的解斜三角形)知识点二：解斜三角形的主要依据设的三边分别为a、b、c，对应的三个内角分别为A、B、C。

（1）角与角的关系：①内角和：，②互补关系：③互余关系：（2）边与边的关系：三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。

即：a+b＞c，b+c＞a，c+a＞b，a－b＜c，b－c＜a，c－a＜b。

（3）边与角关系：①大角对大边，大边对大角；等边对等角，等角对等边即；②正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，其比值为外接圆的直径。

即（其中R表示三角形的外接圆半径）变式：; sinA=a/2R ; sinA/sinB=a/b; a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC③余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍即；……. 变式：。

……..知识点三：△ABC的面积公式（1）（其中表示a边上的高）（2）（R为三角形的外接圆半径）三、规律方法指导1. 利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角；（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（从而进一步求出其他的边和角）2. 利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：（1）已知三边，求三个角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角注意：①正、余弦定理的实质是方程，因此在应用的过程中要留意方程思想；②三角形问题可能出现一解、两解或无解的情况，这时应结合三角形中大边对大角定理及几何作图来帮助理解；3．三角形的形状的判定（1）根据所给条件确定三角形的形状，常用正弦（余弦）定理实施边角转化，主要有两种途径：①化边为角；②化角为边。

1.1正弦定理和余弦定理1.1.1正弦定理从容说课本章内容是处理三角形中的边角关系，与初中学习的三角形的边与角的基本关系有密切的联系，与已知三角形的边和角相等判定三角形全等的知识也有着密切的联系．教科书在引入正弦定理内容时，让学生从已有的几何知识出发，提出探究性问题“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系.我们是否能得到这个边、角的关系准确量化的表示呢?”在引入余弦定理内容时，提出探究性问题“如果已知三角形的两条边及其所夹的角,根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形.我们仍然从量化的角度来研究这个问题，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题”．这样，用联系的观点，从新的角度看过去的问题，使学生对于过去的知识有了新的认识，同时使新知识建立在已有知识的坚实基础上，形成良好的知识结构．教学重点1.正弦定理的概念；2.正弦定理的证明及其基本应用．教学难点1.正弦定理的探索和证明；2.已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数．教具准备直角三角板一个三维目标一、知识与技能1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；2.会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题．二、过程与方法1.让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系；2.引导学生通过观察、推导、比较，由特殊到一般归纳出正弦定理；3.进行定理基本应用的实践操作．三、情感态度与价值观1.培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；2.培养学生探索数学规律的思维能力，通过三角函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一．教学过程导入新课师如右图，固定△ABC的边CB及∠B，使边AC绕着顶点C转动．师思考：∠C的大小与它的对边A B的长度之间有怎样的数量关系？生显然，边AB的长度随着其对角∠C的大小的增大而增大．师能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？师在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式 关系．如右图，在 △R t ABC 中，设 BC =A ,AC =B ,AB =C ,根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有 a b c a b c=sin A ，=sin B ，又 sin C =1= ,则ccc sinA sinB simCc.从而在直角三角形 ABC 中，a b csinA sinB simC推进新课 [合作探究].师那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？（由学生讨论、分析） 生可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：如右图，当△ABC 是锐角三角形时，设边 A B 上的高是 CD ，根据任意角三角函数的定义，有CD =A sin B =B sin A ,则a b c b a b c ，同理，可得 .从而 sinA sinB sinC sinB sinA sinB sinC.（当△ABC 是钝角三角形时，解法类似锐角三角形的情况，由学生自己完成） 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即a b c sinA sinB sinC师是否可以用其他方法证明这一等式？生可以作△ABC 的外接圆，在△ABC 中,令 BC =A ,AC =B ,AB =C ,根据直径所对的圆周角是直角以及同弧所对的圆周角相等，来证明a b csinA sinB sinC这一关系．师很好！这位同学能充分利用我们以前学过的知识来解决此问题，我们一起来看下面的证法. 在△ABC 中,已知 BC =A ,AC =B ,AB =C ,作△ABC 的外接圆,O 为圆心,连结 BO 并延长交圆于 B ′, 设 BB ′=2R.则根据直径所对的圆周角是直角以及同弧所对的圆周角相等可以得到 ∠BAB ′=90°，∠C =∠B ′，∴sin C =sin B ′=sinC sinBc2R∴csinC2R同理,可得a b2R,2R sinA sinB∴a b csinA sinB sinC2R这就是说,对于任意的三角形,上述关系式均成立,因此,我们得到等式a b csinA sinB sinC点评:上述证法采用了初中所学的平面几何知识,将任意三角形通过外接圆性质转化为直角三角形进而求证,此证法在巩固平面几何知识的同时,易于被学生理解和接受,并且消除了学生所持的“向量方法证明正弦定理是唯一途径”这一误解.既拓宽了学生的解题思路,又为下一步用向量方法证明正弦定理作了铺垫[知识拓展师接下来,我们可以考虑用前面所学的向量知识来证明正弦定理.从定理内容可以看出,定理反映的是三角形的边角关系,而在向量知识中,哪一知识点体现边角关系呢生向量的数量积的定义式A·B=|A||B|C osθ,其中θ为两向量的夹角师回答得很好,但是向量数量积涉及的是余弦关系而非正弦关系,这两者之间能否转化呢生可以通过三角函数的诱导公式s inθ=Co s(90°-θ)进行转化师这一转化产生了新角90°-θ,这就为辅助向量j的添加提供了线索,为方便进一步的运算,辅助向量选取了单位向量j,而j垂直于三角形一边,且与一边夹角出现了90°-θ这一形式,这是作辅助向量j垂直于三角形一边的原因师在向量方法证明过程中,构造向量是基础,并由向量的加法原则可得AC CB AB而添加垂直于AC的单位向量j是关键,为了产生j与AB、ACCB、的数量积,而在上面向量等式的两边同取与向量j的数量积运算,也就在情理之中了师下面,大家再结合课本进一步体会向量法证明正弦定理的过程,并注意总结在证明过程中所用到的向量知识点点评:(1)在给予学生适当自学时间后,应强调学生注意两向量的夹角是以同起点为前提,以及两向量垂直的充要条件的运用(2)要求学生在巩固向量知识的同时,进一步体会向量知识的工具性作用向量法证明过程(1)△ABC为锐角三角形,过点A作单位向量j垂直于CB-A,j与的夹角为90°-C AC,则 j 与AB的夹角为由向量的加法原则可得AC CB AB为了与图中有关角的三角函数建立联系,我们在上面向量等式的两边同取与向量j的数量积运算,得到j (AC CB)j AB 由分配律可得AC j CB j AB∴|j|AC Co s90°+|j|CB Co s(90°-C)=|j|AB Co s(90°-A∴A sin C=C sin A∴a c sinA sinC另外,过点C作与CB 垂直的单位向量j,则j与AC的夹角为90°+C,j与AB的夹角为c b90°+B,可得sinC sinB(此处应强调学生注意两向量夹角是以同起点为前提,防止误解为j与A C的夹角为90°-C,j与AB的夹角为90°-Ba b c ∴sinA sinB sinC(2)△ABC为钝角三角形,不妨设A＞90°,过点A作与AC垂直的单位向量j,则j 与AB的夹角为A-90°,j与CB的夹角为90°-C由AC CB AB ,得j·AC C B=j·AB即A·Co s(90°-C)=C·Co s(A- ∴A sin C=C sin A∴a c sinA sinC另外,过点C作与C B垂直的单位向量j,则j与AC 的夹角为90°+C,j与AB夹角为90°+B.同理,可得b c sinB sinC∴a b csimA sinB sinC（形式1）综上所述,正弦定理对于锐角三角形、直角三角形、钝角三角形均成立师在证明了正弦定理之后,我们来进一步学习正弦定理的应用[教师精讲]（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k使A=ksin A，B=ksin B，C=ksin C；（2）a b c sinA sinB sinC等价于a b c b a c, ,sinA sinB sinC sinB sinA sinC(形式我们通过观察正弦定理的形式2不难得到,利用正弦定理,可以解决以下两类有关三角形问题.①已知三角形的任意两角及其中一边可以求其他边，如a bsinAsinB.这类问题由于两角已知,故第三角确定,三角形唯一,解唯一,相对容易,课本P的例1就属于此类问题②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如s inA ab sinB．此类问题变化较多,我们在解题时要分清题目所给的条件．一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形．师接下来,我们通过例题评析来进一步体会与总结［例题剖析］【例1】在△ABC中，已知A=32.0°,B=81.8°,A=42.9c m,解三角形分析:此题属于已知两角和其中一角所对边的问题,直接应用正弦定理可求出边B,若求边C,再利用正弦定理即可解：根据三角形内角和定理，C=180°-(A+B)=180°-根据正弦定理，b= c=a s inB42.9sin81.8sinA sin32.0oa s inC42.9sin66.2sinA sin32.0ooo≈80.1(c m)≈74.1(c[方法引导(1)此类问题结果为唯一解,学生较易掌握,如果已知两角和两角所夹的边,也是先利用内角和180°求出第三角,再利用正弦定理(2)对于解三角形中的复杂运算可使用计算器【例2】在△ABC中，已知A=20c m，B=28c m，A=40°，解三角形（角度精确到1°，边长精确到1c m）．分析:此例题属于B sin A＜a＜b的情形,故有两解,这样在求解之后呢,无需作进一步的检验,使学生在运用正弦定理求边、角时,感到目的很明确,同时体会分析问题的重要性解：根据正弦定理，sin B=bsinA28sin40 a 20o因为0°＜B＜180°，所以B≈64°或B（1）当B≈64°时，C=180°-（A+B）=180°-（40°+64°）=76°，C=a s inC20sin76sinA sin40oo≈30(c4（2）当B≈116°时，C=180°-（A+B）=180°-（40°+116°）=24°，C =a s inC20sin24sinA sin40oo≈13(c[方法引导]通过此例题可使学生明确,利用正弦定理求角有两种可能,但是都不符合题意,可以通过分析获得,这就要求学生熟悉已知两边和其中一边的对角时解三角形的各种情形.当然对于不符合题意的解的取舍,也可通过三角形的有关性质来判断,对于这一点,我们通过下面的例题来体会变式一：在△ABC中,已知A＝60,B＝50,A＝38°,求B(精确到1°)和C(保留两个有效数字).分析:此题属于A≥B这一类情形,有一解,也可根据三角形内大角对大边,小角对小边这一性质来排除B为钝角的情形解：已知B<A,所以B<A,因此B也是锐角∵sin B=bsinA50sin38 a 60o∴B∴C=180°-(A+B)=180°-∴C =a s in C 60sin111o sinA sin38o[方法引导同样是已知两边和一边对角,但可能出现不同结果,应强调学生注意解题的灵活性,对于本题,如果没有考虑角B所受限制而求出角B的两个解,进而求出边C的两个解,也可利用三角形内两边之和大于第三边,两边之差小于第三边这一性质进而验证而达到排除不符合题意的解变式二：在△ABC中,已知A＝28,B＝20,A＝120°,求B(精确到1°)和C(保留两个有效数字).分析:此题属于A为钝角且A>B的情形,有一解,可应用正弦定理求解角B后,利用三角形内角和为180°排除角B为钝角的情形解：∵sin B=bsinA20sin120 a 28o∴B≈38°或B≈142°(舍去∴C =180°-（A+B）∴C=a s inC28sin22sinA sin120≈12.[方法引导]此题要求学生注意考虑问题的全面性,对于角B为钝角的排除也可以结合三角形小角对小边性质而得到(2)综合上述例题要求学生自我总结正弦定理的适用范围,已知两角一边或两边与其中一边的对角解三角形(3)对于已知两边夹角解三角形这一类型,将通过下一节所学习的余弦定理来解师为巩固本节我们所学内容,接下来进行课堂练习：1.在△ABC中(结果保留两个有效数字)，(1)已知 C =3,A =45°,B =60°，求 B(2)已知 B ＝12,A ＝30°,B ＝120°,求 A解：(1)∵C =180°-(A +B )=180°-(45°+60°)=75°，b c sinB sin C，∴B =csinB 3 s in60 sin Csin75(2)∵a b sinA sinB，∴A =bsinA 12sin30sinB sin 120点评:此题为正弦定理的直接应用,意在使学生熟悉正弦定理的内容,可以让数学成绩较弱的 学生进行在黑板上解答,以增强其自信心2.根据下列条件解三角形(角度精确到 1°,边长精确到 (1)B =11,A =20,B =30°;(2)A =28,B =20,A (3)C =54,B =39,C =115°;(4)A =20,B =28,A解： (1) ∵a b sinA sinB∴sin A =a s inB 20sin30b 11∴A ≈65°，A1 2当 A ≈65°时，C =180°-(B +A )=180°-(30°+65°)=85°， 111bsinC 11sin 85 ∴C = 1sinsinB sin30当 A ≈115°时，C =180°-(B +A )=180°-2 22bsin C 11sin 35 ∴C = 2sinB sin30(2)∵sin B =bsinA 20sin45a 28∴B ≈30°，B1 2 由于 A +B =45°+150°＞180°,故 B ≈150°应舍去(或者由 B ＜A 知 B ＜A ,故 B 应为锐角 2 2∴C =180°-(45°+30°)=105°∴C=a s inC 28sin 105 sinA sin45(3)∵b csinB sinC∴sin B =bsinC 39sin 115c 54∴B ≈41°,B1 2由于 B ＜C ,故 B ＜C ,∴B ≈139°应舍去2∴当 B =41°时，A =180°-1 2A =csinA54sin24 sinC sin115(4) sin B=bsinA28sin120a 20=1.212＞∴本题无解点评:此练习目的是使学生进一步熟悉正弦定理,同时加强解三角形的能力,既要考虑到已知角的正弦值求角的两种可能,又要结合题目的具体情况进行正确取舍课堂小结通过本节学习,我们一起研究了正弦定理的证明方法,同时了解了向量的工具性作用,并且明确了利用正弦定理所能解决的两类有关三角形问题:已知两角、一边解三角形;已知两边和其中一边的对角解三角形布置作业（一）课本第10页习题1.1第1、2题（二）预习内容：课本P～P余弦定理5 8[预习提纲(1)复习余弦定理证明中所涉及的有关向量知识(2)余弦定理如何与向量产生联系(3)利用余弦定理能解决哪些有关三角形问题板书设计正弦定理1.正弦定理证明方法: 3.利用正弦定理,能够解决两类问题:a b csinA sinB sinC(1)平面几何法已知两角和一边(2)向量法(2)已知两边和其中一边的对角1.1.2余弦定理从容说课课本在引入余弦定理内容时，首先提出探究性问题“如果已知三角形的两条边及其所夹的角,根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形.我们仍然从量化的角度来研究这个问题，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题”．这样，用联系的观点，从新的角度看过去的问题，使学生对过去的知识有了新的认识，同时使新知识建立在已有知识的坚实基础上，使学生能够形成良好的知识结构．设置这样的问题，是为了更好地加强数学思想方法的教学．比如对于余弦定理的证明，常用的方法是借助于三角的方法，需要对三角形进行讨论，方法不够简洁，通过向量知识给予证明,引起学生对向量知识的学习兴趣,同时感受向量法证明余弦定理的简便之处.教科书就是用了向量的方法，发挥了向量方法在解决问题中的威力．在证明了余弦定理及其推论以后，教科书从余弦定理与勾股定理的比较中，提出了一个思考问题“勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？”并进而指出，“从余弦定理以及余弦函数的性质可知，如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角；如果小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角；如果大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角.由上可知，余弦定理是勾股定理的推广”．还要启发引导学生注意余弦定理的各种变形式,并总结余弦定理的适用题型的特点,在解题时正确选用余弦定理达到求解、求证目的启发学生在证明余弦定理时能与向量数量积的知识产生联系,在应用向量知识的同时,注意使学生体会三角函数、正弦定理、向量数量积等多处知识之间的联系教学重点余弦定理的发现和证明过程及其基本应用教学难点1.向量知识在证明余弦定理时的应用,与向量知识的联系过程2.余弦定理在解三角形时的应用思路3.勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用．教具准备投影仪、幻灯片两张第一张:课题引入图片(记作A如图(1),在Rt△ABC中,有A2+B2=C2问题:在图(2)、(3)中,能否用b、c、A求解a第二张:余弦定理(记作1.1.2B余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍形式一: a2=b2+c2-2bcco s A，b2=c2+a2-2caco s B,c2=a2+b2-2abco s C形式二:co s A=b2c2a2c2a2b2a2b2,co s B=,co s C=2bc 2ca 2abc2三维目标一、知识与技能1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法2.会利用余弦定理解决两类基本的解三角形问题3.能利用计算器进行运算二、过程与方法1.利用向量的数量积推出余弦定理及其推论2.通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题三、情感态度与价值观1.培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；2.通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，来理解事物之间的普遍联系与辩证统一．教学过程导入新课师上一节,我们一起研究了正弦定理及其应用,在体会向量应用的同时,解决了在三角形已知两角、一边和已知两边与其中一边对角这两类解三角形问题.当时对于已知两边夹角求第三边问题未能解决,下面我们来看幻灯片1.1.2A,如图(1)，在直角三角形中,根据两直角边及直角可表示斜边,即勾股定理,那么对于任意三角形,能否根据已知两边及夹角来表示第三边呢?下面我们根据初中所学的平面几何的有关知识来研究这一问题在△ABC中,设BC=A,AC=B,AB=C,试根据B、C、A来表示A师由于初中平面几何所接触的是解直角三角形问题，所以应添加辅助线构成直角三角形，在直角三角形内通过边角关系作进一步的转化工作，故作CD垂直于AB于D，那么在Rt△BDC中，边A可利用勾股定理用CD、DB表示,而CD可在Rt△ADC中利用边角关系表示,DB可利用AB-AD转化为AD,进而在△R t ADC内求解解：过C作CD⊥AB,垂足为D,则在△R t CDB中,根据勾股定理可得A2=CD2+BD2∵在Rt△ADC中,CD2=B2-AD2又∵BD2=(C-AD)2=C2-2C·AD+AD2∴A2=B2-AD2+C2-2C·AD+AD2=B2+C2-2C·AD又∵在Rt△ADC中,AD=B·CO s A∴a2=b2+c2-2ab c os A类似地可以证明b2=c2+a2-2caco s Bc2=a2+b2-2ab c os C另外,当A为钝角时也可证得上述结论,当A为直角时，a2+b2=c2也符合上述结论,这也正是我们这一节将要研究的余弦定理,下面我们给出余弦定理的具体内容.(给出幻灯片1.1.2B推进新课1.余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍在幻灯片1.1.2B中我们可以看到它的两种表示形式形式一a2=b2+c2-2bcco s Ab2=c+a2-2caco s Bc2=a2+b2-2abco s C形式二cosA cosB bc22c22bca22caab22cosC a2b22abc2师在余弦定理中,令C=90°时,这时c o s C=0,所以c2=a2+b2,由此可知余弦定理是勾股定理的推广.另外,对于余弦定理的证明,我们也可以仿照正弦定理的证明方法二采用向量法证明,以进一步体会向量知识的工具性作用[合作探究2.向量法证明余弦定理(1)证明思路分析师联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题？用正弦定理试求，发现因A、B均未知，所以较难求边C．由于余弦定理中涉及到的角是以余弦形式出现,从而可以考虑用向量来研究这个问题．由于涉及边长问题，那么可以与哪些向量知识产生联系呢生向量数量积的定义式a·b=|a||b|co sθ,其中θ为A、B的夹角师在这一点联系上与向量法证明正弦定理有相似之处,但又有所区别.首先因为无须进行正、余弦形式的转换,也就少去添加辅助向量的麻烦.当然,在各边所在向量的联系上仍然通过向量加法的三角形法则,而在数量积的构造上则以两向量夹角为引导,比如证明形式中含有角C,则构造CBCA这一数量积以使出现CO s C.同样在证明过程中应注意两向量夹角是以同起点为前提(2)向量法证明余弦定理过程如图，在△ABC中,设AB、BC、CA的长分别是c、a、b由向量加法的三角形法则，可得∴AC AB BCAC AC (AB BC)(AB BC)AB22AB BC BC2AB 2AB BC cos(180B)BC2c22accosB a2,B即B2=C2+A2-2AC COBC AC AB由向量减法的三角形法则，可得∴BC BC(AC AB) (AC AB)AC22AC AB AB 2AC 2AC AB cosAAB2b22bccosA c2即a2=b2+c2-2bcco s AAB AC CB AC BC 由向量加法的三角形法则,可得∴AB AB (AC BC) (AC BC) AC22AC BC BC2 AC 22AC BC cosCBC2b22ba cosC a2,2 2即 c 2=a 2+b 2-2abco s C [方法引导(1)上述证明过程中应注意正确运用向量加法(减法)的三角形法则(2)在证明过程中应强调学生注意的是两向量夹角的确定,AC与A B属于同起点向量,则夹角为 A ; AB 与 BC 是首尾相接,则夹角为角 B 的补角 180°-B ; 则夹角仍是角 C[合作探究A C与 是同终点,师 思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能 否由三边求出一角？生（留点时间让学生自己动手推出）从余弦定理，又可得到以下推论：cosAb2c 2 a 2a 2 c 2b 2b 2 a 2c 2,cosB,cosC2bc2ac2ba师 思考：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角 形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？ 生（学生思考片刻后会总结出）若△ABC 中，C =90°，则 co s C =0，这时 c 2=a 2+b 2 .由此可知 余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例．师 从余弦定理和余弦函数的性质可知，在一个三角形中，如果两边的平方和等于第三边的 平方，那么第三边所对的角是直角；如果两边的平方和小于第三边的平方，那么第三边所对 的角是钝角，如果两边的平方和大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角．从上可知， 余弦定理可以看作是勾股定理的推广．现在，三角函数把几何中关于三角形的定性结果都变 成可定量计算的公式了．师 在证明了余弦定理之后,我们来进一步学习余弦定理的应用(给出幻灯片 1.1.2B通过幻灯片中余弦定理的两种表示形式我们可以得到 ,利用余弦定理,可以解决以下两类有 关三角形的问题(1)已知三边,求三个角这类问题由于三边确定,故三角也确定,解唯一,课本 P 例 4 属这类情况8(2)已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角这类问题第三边确定,因而其他两个角唯一,故解唯一,不会产生类似利用正弦定理解三角形 所产生的判断取舍等问题接下来,我们通过例题来进一步体会一下 ［例题剖析］【例 1】在△ABC 中，已知 B =60 c m ，C =34 c m ，A =41°，解三角形（角度精确到 1°，边长 精确到 1 c m ）解：根据余弦定理，a 2 =b 2+c 2-2bcco s A =602+342 -2·60·34co s41°≈3 600+1 156-所以 A ≈41 c 由正弦定理得 sin C =csinA 34 sin41 34 0.656≈a 41 41因为 C 不是三角形中最大的边，所以 C 是锐角.利用计数器可得 C B =180°-A -C =180°-41°-【例 2】在△ABC 中，已知 a =134.6 c m ，b =87.8 c m ，c =161.7 c m ，解三角形BC解：由余弦定理的推论,得co s A =co s B =bc 22c 2 a 2 87.82 161.72 134.6 2bc 2 87.8 161.7a 2b 2 134.62 161.72 87.8 2ca 2 134.6 161.722≈0.554 3,A≈0.839 8,BC =180°-(A +B )=180°-[知识拓展 补充例题：【例 1】在△ABC 中,已知 a =7,b =10,c =6,求 A 、B 和 C .(精确到分析:此题属于已知三角形三边求角的问题,可以利用余弦定理,意在使学生熟悉余弦定理的 形式二解：∵cosA b2c 2 a 2 102 62 72 2bc 2 10 60.725∴A∵c os C =a2b 2c 2 72 102 62 113 2ab 2 7 10 140∴C∴B =180°-(A +C )=180°- [教师精讲(1)为保证求解结果符合三角形内角和定理 ,即三角形内角和为 180°,可用余弦定理求出 两角,第三角用三角形内角和定理求出(2)对于较复杂运算,可以利用计算器运算【例 2】在△ABC 中,已知 a =2.730,b =3.696,c =82°28′,解这个三角形(边长保留四个有效 数字,角度精确到分析:此题属于已知两边及其夹角解三角形的类型,可通过余弦定理形式一先求出第三边,在 第三边求出后其余角求解有两种思路 :一是利用余弦定理的形式二根据三边求其余角 ,二是 利用两边和一边对角利用正弦定理求解,但根据 1.1.1 斜三角形求解经验,若用正弦定理需 对两种结果进行判断取舍,而在 0°～180°之间,余弦有唯一解,故用余弦定理较好 解：由 c 2=a 2+b 2-2abco s C =2.7302+3.6962-2×2.730×3.696×co s82°28′, 得 c∵c os A =b2c 2 a 2 3.696 2 4.297 2 2.730 2bc 2 3.696 4.2972∴A∴B =180°-(A +C )=180°- [教师精讲通过例 2,我们可以体会在解斜三角形时,如果正弦定理与余弦定理都可选用,那么求边 用两个定理均可,求角则用余弦定理可免去判断取舍的麻烦【例 3】在△ABC 中,已知 A =8,B =7,B =60°,求 C 及 分析:根据已知条件可以先由正弦定理求出角 A ,再结合三角形内角和定理求出角 C ,再利用△SABC正弦定理求出边 C ,而三角形面积由公式 S = △ABC12ac sin B 可以求出若用余弦定理求 C ,表面上缺少 C ,但可利用余弦定理 b 2=c 2+a 2-2caco s B 建立关于 C 的方程,亦 能达到求 C 的目的 下面给出两种解法解法一:由正弦定理得8 7sinA sin60∴A =81.8°,A = 1 2∴C =38.2°,C1 27 c 由sin60 sin C,得 c =3,c 1 2= △∴S ABC 1 1 ac sinB 6 3 或 = 2 2ac sinB 10 3 2 解法二:由余弦定理得 b 2=c +a 2-2caco s B∴72=c +82-2×8×cco 整理得 c 2-8c解之,得 c =3,c =5. = 12 △∴S ABC[教师精讲]1 1 ac sinB 6 3 或 S =2 2ac sinB 10 3 2 在解法一的思路里,应注意由正弦定理应有两种结果,避免遗漏;而解法二更有耐人寻味 之处,体现出余弦定理作为公式而直接应用的另外用处,即可以用之建立方程,从而运用方程 的观点去解决,故解法二应引起学生的注意综合上述例题,要求学生总结余弦定理在求解三角形时的适用范围 ;已知三边求角或已 知两边及其夹角解三角形,同时注意余弦定理在求角时的优势以及利用余弦定理建立方程的 解法，即已知两边、一角解三角形可用余弦定理解之课堂练习1.在△ABC 中(1)已知 c =8,b =3,b =60°,求 A(2)已知 a =20,b B =29,c =21，求 B (3)已知 a =33,c =2,b =150°,求 B (4)已知 a =2,b =2，c =3+1,求 A解： (1)由 a 2=b 2+c 2-2bcco s A ，得 a 2=82+32-2×8×3co s60°=49.∴A(2)由cosBc2a 2b 2202 212 292 ,得 c osB2ca2 20 21.∴B(3)由 b 2=c 2+a 2-2caco s B ,得 b 2=(33)2+22-2×33×2co s150°=49.∴b(4)由cosAb2c 2 a 2 2bc ,得cosA( 2)2 ( 3 1)2 22 2 2( 3 1)2 2.∴A评述:此练习目的在于让学生熟悉余弦定理的基本形式 ,要求学生注意运算的准确性及解题 效率2.根据下列条件解三角形(角度精确到 (1)a =31,b =42,c (2)a =9,b =10,c△S ABC1 △ABC 1。

必修5 第一章 解三角形——高考一题通对教案的建议高考一题通是以“一题通”的方式对高中数学做更高层次的抽象概括，让学生进一步去感悟自己对数学知识的积累程度、理解程度、应用程度等方面的能力是否有所提高，所以，高考一题通更加注重平时的每一章节知识的教学效果，即没有较好的点滴积累过程，就不会有较好的一题通的教学效果和教学作用，高考一题通是通过对一道题的“变式探究”、“解法探究”以及推广问题的探究和通性通法的应用，来揭示或反映历届高考试题以及今后试题中所要或必须涉及到的试题题型以及解题方法和数学思想方法的应用程度，从而，达到提高学生分析问题的能力和解决问题的能力，让学生真正认知在数学中“合情推理，演绎推理”的思维方式是数学发展史中必需的思维方式，也是解答高考试题的核心思维方式，同时认知通性通法是解答高考试题的的通用方法，以及进一步让学生认识到掌握数学概念的重要性。

下面就解三角形的常规教案（后附）提出几点探讨性建议，仅供参考。

（一）课标要求方面在原有的基础上应增加一条：“在两个学习目标下让学生适当练习和强化特殊到一般的相关思维问题”如，教案中提到的下列问题：就是较好的教学方法。

[探索研究]在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。

如图1．1-2，在Rt ∆ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有sin aA c =，sin bB c =，又sin 1cC c ==, 则sin sin sin a b cc A B C ===从而在直角三角形ABC 中，sin sin sin a b cA B C == （由学生讨论、分析）（二）教学重点和难点方面常规教案为下列8个教案的重点和难点：1. 课题: §1．1．1正弦定理●教学重点正弦定理的探索和证明及其基本应用。

●教学难点已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。

人教版高中必修5探究与发现解三角形的进一步讨论课程设计一、课程目标•理解余弦定理、正弦定理的原理和应用；•掌握利用余弦定理、正弦定理求解三角形的面积和角度的方法；•能够综合运用知识解决实际问题；•培养学生自主思考、团队协作、解决问题的能力。

二、教学内容1.余弦定理和正弦定理的原理和应用；2.利用余弦定理、正弦定理求解三角形的面积和角度的方法；3.实际问题的应用。

三、教学方法1.活动导入：通过探究一道三角形问题的方法引出余弦定理、正弦定理；2.课堂授课：讲解余弦定理、正弦定理的原理和应用，并引导学生掌握求解三角形面积和角度的方法；3.小组讨论：分组讨论三角形实际问题，并给出解决方案；4.展示讨论结果：每个小组选出代表展示讨论结果，其他小组给予点评；5.教师点评：对学生讨论结果进行点评并给予指导；6.作业布置：巩固本课内容，并涉及到课前所学知识。

四、教学重点1.掌握余弦定理、正弦定理的应用；2.利用余弦定理、正弦定理求解三角形的面积和角度。

五、教学难点1.实际问题的应用；2.解决问题的方法。

六、课时安排本课程计划为4学时，具体安排如下：时间教学内容第1学时活动导入、授课第2学时小组讨论、展示第3学时教师点评、作业布置第4学时作业讲解、扩展课程七、教学资源1.电子白板；2.课件PPT；3.教学实例。

八、预期效果1.学生理解余弦定理、正弦定理的原理和应用；2.学生掌握利用余弦定理、正弦定理求解三角形的面积和角度的方法；3.学生能够综合运用知识解决实际问题；4.学生具备自主思考、团队协作、解决问题的能力。

解三角形教学反思解三角形教学反思1第一，通过本节课教学，我觉得教学目标定位准确恰当。

结合课程标准，在对教材深入钻研的基础上，围绕知识与技能、过程与方法、情感态度价值观，制定了以“会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形”作为本节课的核心目标，同时让学生“通过学习解直角三角形的应用，认识到数与形相结合的意义和作用，体验到学好知识，能应用于社会实践，通过选择算式进行简便计算，从而体会探索、发现科学的奥秘和意义；渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯。

”结合课堂教学，我个人认为教学目标达成度是比较高的。

第二，本节课的设计，力求体现新课程理念。

给学生自主探索的时间，给学生宽松和谐的氛围，让学生学得更主动、更轻松，力求在探索知识的过程中，培养探索能力、创新精神、合作精神，激发学生学习数学的积极性、主动性。

第三，教师是课堂教学的组织者、引导者、合作者、帮助者。

在学生选择解直角三角形的诸多方法的过程中，我并没有过多地干预学生的思维，而是通过问题引导学生自己想办法解决问题，教师组织学生比较各种方法中哪些较好，而后选择了一种解法进行板演。

通过本节课的实践，我觉得也存在一些需要自己深刻反思和改进的地方。

比如，在探讨解直角三角形的依据时，处理的有些过于仓促，应该让学生从理论上深刻地理解其中的数学原理；再如，在探索解直角三角形需要具备的条件与三角形全等的判定的内在联系时，问题的指向性太明确，过多地关注问题的预设而忽视了即时的生成，如果放手让学生自己去想，可能效果更好；又如，课堂总结时，总想把现成的规律性结论用学生喜欢的形式告知他们，但忽视了学生在没有亲身体验与感受的情况下，老师的努力将大打折扣。

在今后的教学中，我将更多地关注学生的发展与提升。

总之，本节课教学力争体现新课标的'教学理念，对新课标下的新课堂的丰富内涵进行积极的探索与有益的尝试。

着力做到新课堂是数学活动的场所，是讨论交流的学堂，是渗透德育的基地，是学生发现创造展示自我的舞台！解三角形教学反思2应用题教学是培养学生应用数学能力的一个良好途径。

人教版高中数学必修五第一章《解三角形的进一步讨论-解三角形中的一类倍角问题》教学设计解三角形的进一步讨论——解三角形中的一类倍角问题1．教学内容解析“正弦定理和余弦定理”是高中数学必修5中“解三角形”的一节内容．本节教学内容与前后知识联系紧密，涉及多种数学思想方法，主要工具是正弦定理、余弦定理、三角形面积公式和三角形内角和定理，通过对任意三角形边角关系的探究，发现并掌握三角形中边角之间的数量关系．有些问题的求解还会用到三角函数中的和、差角公式和二倍角公式．根据问题的不同类型和不同形式，广泛联想、合理选择、灵活运用公式是求解问题的关键．2．教学目标设置教学目标：(1)掌握并熟练运用正弦、余弦定理转化三角形中的边角关系；(2)理解三角形中有关边角关系的几何意义，如cos a B 、sin b A 、22a b bc -=、2A B =，并对以此为背景的试题进行深入的探究，理解其数学本质；(3)通过对问题背景与变式探究学习，激发学生参与数学活动的兴趣与热情．教学重难点：(1)能够熟练运用正弦、余弦定理转化三角形中的边角关系；(2)理解三角形中有关边角关系的几何意义，如cos a B 、sin b A 、22a b bc -=、2A B =，探究其数学本质．（2）问题探究揭示本质【探究一】一般地，在ABC∆中，由等式2B A=可以得到什么结论?它具有什么代数特征呢？【设计意图】通过发散性探究，学生能够体会正、余弦定理在转化三角形边角关系中的作用，以及在解三角形的过程中三角恒等变换的作用．在问题的解决过程中，引导学生发现等式2B A=的代数特征．【提问】反之是否成立呢？【探究二】一般地，在ABC∆中，若22b a ac=+，则2B A=．【设计意图】通过探究，进一步体会正、余弦定理在转化三角形边角关系中的作用．同时，通过两次探究，我们得到了一个重要的推论：一般地，在ABC∆中，222a b bc A B-=⇔=．并能利用正弦定理和余弦定理证明该推论，感受正弦定理和余弦定理的内在联系．【提问】在ABC∆中，222a b bc A B-=⇔=，这个代数恒等式具有怎么样的几何意义呢？【设计意图】引导学生发现其几何背景，从几何角度看清问题本质，感受在三角形中的数与形的统一性，培养数学抽象与数形结合的能力，了解此类问题的命题策略，（3）应用探【练习】在ABC∆中，,,a b c分别为角,,A B C所对的边，已知B C A>>，且2,4,8B A c a b==+=，求,a b的值．【设计意图】通过微调题目条件，增加了思维容量，培养学生综合运用正弦定理和余弦定理的能力，并在问题的解决过程中，引导究尝试解决学生体会等式2B A=的代数特征．【高考链接】（2019年高考北京卷（理））在ABC∆中，,,a b c分别为角,,A B C所对的边，若3,26,2a b B A==∠=∠．(I)求cos A的值；(II)求c的值．【高考链接】（2019年浙江高考）在ABC∆中，内角,,A B C所对的边分别为,,a b c．已知2cosb c a B+=．（I）证明：2A B=；（II）若ABC∆的面积2=4aS，求角A的大小．【设计意图】进一步熟悉正弦、余弦定理，注重推论的应用性，引导学生落实核心知识，培养实践能力．（4）直通自招探究不止（2019上海交大自招）是否存在三边长为连续自然数的三角形，使得(1)最大角是最小角的两倍；(2)最大角是最小角的三倍．若存在，求出该三角形；若不存在，请说明理由．【探究三】一般地，在ABC∆中，由等式3B A=可以得到什么结论?它具有什么代数特征和几何意义呢？【设计意图】体会推论应用的广泛性，培养学生数学抽象，逻辑推理，数学运算等能力，树立用数学的眼光观察现实世界，用数学的思维思考现实世界的数学核心素养．（【学生命题】5）自主命题总结反思以三角形中有关边角关系的几何意义为背景，如cosa B、sinb A、22a b bc-=、2A B=（或者其它自选），命制一道解答题．【学生归纳】1．正弦定理、余弦定理体现了三角形中边与角存在的一种内在联系，其主要作用是将已知的边、角互化或统一；2．理解三角形中有关边角关系的几何意义，如cosa B、sinb A、22a b bc-=、2A B=，掌握此类问题的“源”与“流”；【设计意图】学生通过归纳，回顾自己在本节课所学得知识要点与思想方法，并与同学，老师交流，完善知识结构与思维方式；通过自主命题，旨在引导学生与命题者对话，加深对问题本质的理解，拓展探究学习的维度．（6）作业布置1．书本P25 B组练习3；2．小组合作完成探究三；3．以三角形中有关边角关系的几何意义为背景命制一道解答题．。

必修5第一章解三角形 知识总结1.正弦定理: 在一个三角形中, 各边和它所对角的正弦的比相等, 即sin sin a b A B =sin cC==2R （1）正弦定理说明同一三角形中, 边与其对角的正弦成正比, 且比例系数为同一正数2R, 即 , , ； （2） 等价于 变形: , （3）正弦定理的基本作用为:①已知三角形的两角及其一边可以求其他边, 即先用内角和求第三角, 再用正弦定理求另外两边；②已知三角形的两边与一边的对角可以先求另一对角的正弦值, 然后用内角和定理求第三角, 再用正弦定理求第三边如先求sin sin aA B b=——A ——C ——c2.余弦定理: 三角形中任何一边的平方等于其它两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。

即:2222cos a b c bc A =+- 或 2222cos b c a bc A +-= 2222cos =+-b a c ac B 或 2222cos a c b ac B +-= 2222cos c a b ab C =+- 或 2222cos a b c ab C +-= 从余弦定理, 又可得到以下推论:222cos 2b c a A bc +-=222cos 2a c b B ac +-= 222cos 2a b c C ab+-= 在△ABC 中, 由 得:若 , 则cosC=0, 角 是直角； 若 , 则cos <0, 角C 是钝角； 若 , 则cos >0, 角C 是锐角．3.三角形面积公式: 三角形的面积等于三角形的任意两边以及它们夹角的正弦之积的一半. S= absinC= bcsinA= acsinB4.三角形中的三角变换 , 除了应用上述公式和上述变换方法外, 还要注意三角形自身的特点。

（1）角的变换：在△ABC 中, A+B+C=π,所以sin(A+B)=sinC ；cos(A+B)=－cosC ；tan(A+B)=－tanC 。