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计数原理与排列(高二)

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计数原理与排列
一、要点归纳：
1. 计数的基本方法： （1）枚举法； （2）利用分类，分步计数原理.
2. 排列：（1）定义：从n 个元素中选出m 个排成一列（要计次序），不同的排法记作m
n A .
（2）排列数公式：!
(1)(1)()!
m
n
n A n n n m n m =--+=
-
3. 常见题型：
（1）基本原理型； （2）排列型：排队，排数，限位排列（相邻，不相邻，定序）. 4. 需注意的问题：
（1）分清应该做加法还是作乘法；（2）分类时要尽可能不重不漏.如遇有重复、遗漏应扣除或补回 二、典型例题：
1、教学大楼共有4层，每层都有东西两个楼梯，由一层到4层共有_______种走法.
2、将m 封信投入n 个信箱，可能的投放方法共有_______种 .
3、{}{},,,,1,2,3A a b c d B ==，问从A 到B 的映射个数是多少？
4、4封不同的信投入3个不同的信箱，要求每个信箱至少有1封信，有几种投放方法?
5、用红、黄、蓝、绿、黑5种颜色给如图的,,,a b c d 四个区域染色，若相邻的区域不能用相同 的颜色，试问：不同的染色方法的种数是多少？
6、4种颜色给下列区域染色，相邻区域不同色，有几种不同的方法？
7、(1) 乘积123123412345()()()a a a b b b b c c c c c +++++++++展开后共有 项. （2）已知22198023511=⋅⋅⋅，则1980有_______个正约数 .
（3）由面值五分、一角、二角、五角、一元、二元、五元、十元、五十元、一百元人民币各一张，
共可组成不同币值 种.
（4）三人传球，有甲开始发球，并做第一次传球，经过5次传球后，球仍回到甲手中，则有
不同的传球方法？ 8、对于小于55的自然数n ，积(55)(56)
(69)n n n ---等于( )
A. A n
n --5569 B. A 15
69n - C. A 15
55n - D. A 14
69n -
9、 (1) 解方程：2247n n A A -= . (2) 求和
1232!3!4!
(1)!
n
n ++++
+
10．排队问题——7人站成一排，分别求出符合下列要求的不同排法种数 （1）甲排中间 （3）甲、乙站两端 （3）甲不排两端
（4）甲不排中间，乙不排两端 （5）甲、乙相邻 （6）甲在乙左侧
（7）甲、乙不相邻且甲、丙不相邻
11．排数问题——用0～5组成正整数，满足下列条件的有几个？ （1）四位数 （2）四为偶数
（3）无重复数字的四位偶数
（4）把（3）中的数从小到大排列起来，则4320是第几项；第96项是什么？ （5）偶数位上只能是偶数 （6）偶数只能排在偶数位上
12. 一个小型演出活动，共有2个演唱，2个乐器，1个舞蹈，1个相声共六个节目，要排成一个节
目单，使得同类节目不能相邻，则不同的排法有______种 .
13、2位男生和3位女生共5位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是
A. 60
B. 48
C. 42
D. 36
14．某人射击8枪，命中4枪，4枪种恰好有3枪连续命中的情况有 种，有3枪连续命中的情况有 种。

15. 抛物线方程2y ax bx c =++，其中{},,2,1,0,1,2,3,4a b c ∈--，且,,a b c 两两不等 . （1）过原点的抛物线有几条？ （2）原点在抛物线内部的有几条？
16、 从集合{}1,2,,24M =中任取三个不同的数排成一列，使这三个数的和是3的倍数.
求：不同的排法总数.
17．从编号为a 、b 、c 、d 、d 、e 的5个小球种任意取4个，放在编号为1、2、3、4的盒子里，每一个盒子放1个小球，且b 不能放2号盒子，则不同的放法种数为 。

18、7个人坐成一排, 现要调换其中4个人中的一个人的位置, 其余3个人的位置不变, 则不同的调
换方式有 种. 若调换位置的过程中, 保证至少3个人位置不变, 不同的调换方式有 种.。

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高二数学(选修2-3人教B版)-计数原理全章总结

高二数学(选修2-3人教B版)-计数原理全章总结

解：（1）第三项的二项式系数 C52 10 .
例6、求 (1 2x)5的展开式的：
（1）第三项的二项式系数； （2）第三项的系数； （3）所有项的系数和. 解：（2）由通项可知，展开式的第三项是
T3 C52 13 (2x)2 40x2
所以，第三项的系数为40.
例6、求 (1 2x)5的展开式的：
表示？
(a b)n (a b)(a b) (a b)
n个a b
Tr1 Cnr anr br
例6、求 (1 2x)5的展开式的：
（1）第三项的二项式系数； （2）第三项的系数； （3）所有项的系数和.
例6、求 (1 2x)5的展开式的：
（1）第三项的二项式系数； （2）第三项的系数； （3）所有项的系数和.
解：首先将A、B、C、D排成一排，共有 A44 种排法，每一种
排法都会产生五个“空”，在这五个“空”中任选一个，将E
放入，共有 C51 种方法；其次，E中的两个元素可以交换，有 A22
种方法.
所以，共有 A44 C51 A22 240 种不同的排法.
问题4 (a b)n 的展开式中的系数为什么可以用组合数的形式
（
Cm n1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
Cmn
Cm1 n
）？
作业： 1.一个集合由8个元素组成，这个集合含有3个元素的子集有多 少个？ 2.将6名应届大学毕业生分配到两个用人单位，每个单位至少 两人，一共有多少种不同的分配方案？ 3.求 (9x 1 )18 展开式的常数项，并说明它是展开式的第几项.
3x
入，共有 A43 种排法. 所以，一共有A33 A43 144 种不同的排法.
例5、有6位同学站成一排，符合下列各题要求的不同排法有多 少种？ （2）甲、乙相邻. 解：（2） 设除甲、乙之外的另外四个同学为A、B、C、D. 因为甲、乙要相邻，所以可以把甲、乙“绑”在一起看作一个 元素(记为E).
人教版高二数学选修2-3第一章计数原理《《计数原理》小结与复习》

人教版高二数学选修2-3第一章计数原理《《计数原理》小结与复习》

第一章 计数原理《计数原理》小结与复习班 ：高二（）班学号：姓名：一．知识点整理价：1、两个基本 数原理：（ 1）分 数原理：达成一件事，有n 法 , 达成 件事共有 N=m +m+⋯+m种不一样的方法。

12n（ 2）分步 数原理：达成一件事，需要分红n 个步 ，达成 件事有N=m × m ×⋯× m 种不一样的方法。

12n2、摆列（ 1）摆列：一般地，从n 个不一样的元素中拿出m （ m n ）个元素，并按必定的 序排成一列，叫做从n 个不一样元素中拿出 m 个元素的一个摆列。

（ 2）摆列数公式：A n mn (n1) (n 2) (n m 1)n! ，(n m)!3、 合（ 1） 合：一般地，从n 个不一样元素中拿出 m 个不一样元素并成一 ，叫做从n 个不一样元素中拿出 m 个不同元素的一个 合。

m（ 2） 合数公式：C mn ( n 1)( n2)(nm 1) ,Cmn !nnmm !nm !( nm ) !（ 3） 合数公式性 ：m性 1: C n mC n n m性 2:C n k C n k 1 C n k 11推 1: C k 0 C k 1 1C k 2 2 C n t C n t 1推 2:C k kC k k 1 C k k 2C n k C n k 114、二 式定理：（ 1）二 式定理： (a b)nC n 0a n C n 1a n 1 b C n 2a n2b 2C n r a n r b rC n n b n（ 2）通 是睁开式的第，即：2、二 睁开式的特色:（ 1） 数：共 n ＋ 1 ；（ 2）指数： a 按降 摆列， b 按升 摆列，每一 中a 、b 的指数和 n（ 3）系数 : 第 r ＋ 1 的二 式系数 Cr(r ＝0,1,2, ⋯， n )n二．稳固练习价： 1.( 西安 )4 个男生与 3 个女生站成一排，假如两头不站女生且3 个女生必 相 的排法有( ) 。

高二第六章计数原理知识点

高二第六章计数原理知识点

高二第六章计数原理知识点计数原理是离散数学的一部分，用于研究和探索计数的方法和技巧。

在高二的数学学习中，计数原理作为重要的知识点之一，在组合数学、概率论和图论等领域中都有广泛的应用。

本文将介绍高二第六章计数原理的相关知识点和常见应用。

一、排列与组合1. 排列排列是指从一组元素中按一定顺序取出若干个元素，形成不同的顺序。

排列可以分为有重复元素的排列和没有重复元素的排列。

在计数原理中，排列问题常用的计算方法是利用阶乘。

2. 组合组合是指从一组元素中无序地取出若干个元素，形成一个子集。

组合问题也可以分为有重复元素的组合和没有重复元素的组合。

在计数原理中，组合问题的计算方法是利用组合数公式。

二、二项式定理1. 二项式的展开二项式定理是计算二项式的重要工具，它可以将一个二项式展开成一系列项的和。

二项式定理的公式为：(a + b)^n = C(n,0) * a^n * b^0 + C(n,1) * a^(n-1) * b^1 + ... + C(n,n) * a^0 * b^n其中C(n,k)表示从n个不同元素中选出k个元素的组合数。

2.应用举例通过二项式定理，我们可以计算多项式的展开式，从而得到多项式的各个系数。

比如，我们可以计算(a + b)^3的展开式：(a + b)^3 = C(3,0) * a^3 * b^0 + C(3,1) * a^2 * b^1 + C(3,2) * a^1 * b^2 + C(3,3) * a^0 * b^3= a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3三、鸽巢原理鸽巢原理是指如果有n只鸽子进入m个巢，其中n > m，那么至少有一个巢中会有两只或两只以上的鸽子。

鸽巢原理在图论、密码学等领域有着广泛的应用，尤其是在处理极端情况和求解最优解问题时。

四、容斥原理容斥原理是一种计算基数的方法，用于解决多个集合的交、并、补的计数问题。

容斥原理的核心思想是通过对各个集合的计数进行加减交替操作，以得到所求的总数。

高中数学第一章计数原理1.2排列与组合1.2.1.1排列与排列数公式a23a高二23数学

高中数学第一章计数原理1.2排列与组合1.2.1.1排列与排列数公式a23a高二23数学


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第三十九页，共四十九页。
忽视排列问题中的限制条件致误 【例 4】 在 1,2,3,4 的排列 a1a2a3a4 中，满足 a1>a2，a3>a2， a3>a4 的排列个数是_____5___． 【错解】 排列的个数是 12 个或 8 个． 【错因分析】 3 个限制只注意 1 个限制条件或 2 个限制条 件．
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第七页，共四十九页。
知识点一 排列的概念
1．排列的定义
[填一填]
一般地，从 n 个 不同 元素中取出 m(m≤n)个元素，按照一 定的顺序 排成一列，叫做从 n 个 不同 元素中取出 m 个
元素的一个排列．
2．相同排列 两个排列相同，当且仅当两个排列的元素 完全相同 ，且 元素的 排列顺序 也相同．
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第三十三页，共四十九页。
(2)计算AA5525的值． 解：AA5255＝5×4×5×3×4 2×1＝6.
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第三十四页，共四十九页。
类型三 列举法解决排列问题 【例 3】 (1)从 1,2,3,4 四个数字中任取两个数字组成两位
数，共有多少个不同的两位数？ (2)写出从 4 个元素 a，b，c，d 中任取 3 个元素的所有排列．
Hale Waihona Puke [目标] 1.理解排列和排列数的特征.2.正确运用排列数公式 进行计算．
[重点] 理解排列的概念，会用排列数公式进行计算． [难点] 对排列的有序性的正确理解，排列数公式的逆用．
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要点整合夯基础 课堂达标练经典
典例讲练破题型 课时作业
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