计数原理与排列组合

基础--综合--能力--创新

1 排列,组合,二项式定理

一.两个基本计数原理

㈠分类计数原理(加法原理):做一件事情,完成它可以有n类办法,在第一类办法中有1m种不同的方法,在第二类办法中有2m种不同的方法,……,在第n类办法中有nm种不同的方法.那么完成这件事共有nmmmN21种不同的方法.

㈡分步计数原理(乘法原理):做一件事情,完成它需要分成n个步骤,做第一步有1m种不同的方法,做第二步有2m种不同的方法,……,做第n步有nm种不同的方法,那么完成这件事有nmmmN21种不同的方法.

㈢分类计数原理和分步计数原理的联系与区别:两个原理是排列组合的基础和核心,既可用来推导排列数、组合数公式,也可用来直接解题.

1.它们的共同点都是把一个事件分成若干个分事件来进行计算.

2.只不过利用分类计算原理时,每一种方法都可能独立完成事件;如需连续若干步才能完成的则是分步.利用分类计数原理,重在分“类”,类与类之间具有独立性和并列性;利用分步计数原理,重在分步;步与步之间具有相依性和连续性.比较复杂的问题,常先分类再分步.

★乘法原理:可．以有．．重复．．元素．．的排列(“邮筒投信”问题)

★从m个不同元素中,每次取出n个元素,元素可以重复出现,按照一定的顺序排成一排,那么第一、第二……第n位上选取元素的方法都是m个,所以从m个不同元素中,每次取出n个元素可重复排列数为m·m·… m = mn..

.1例将n件物品放入m个抽屉中,不限放法,共有多少种不同放法？(解:nm种)

.2例有5封不同的信，投入3个不同的信箱中，那么不同的投信方法总数为多少？(解:53种)

三.排列与排列数

(1)排列的概念:从n个不同元素中,任取)(nmm个元素(这里的被取元素各不相同)按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出)(nmm个元素的一个排列．

(2)排列数的定义:从n个不同元素中,任取)(nmm个元素的所有排列的个数叫做从n个不同元素中取出)(nmm个元素的排列数。排列数用符号mnA表示．

谭社西免　

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怎样铹毋高中教　《辨列　舍》的开篇　

分类计数原理与分步计数原理　

◇河北滦县第二中学　刘　英　

排列组合是高中数学的基础内容、重点内容，更是高　

考中的必考内容；它既是学习概率知识的基础，又是学好　

概率知识的关键。其中，分类计数原理与分步计数原理作　

为本章的开篇，为以后学习排列组合知识起铺垫作用，有　

助于学生运用分类与分步计数原理解决生活中的很多实际　

问题。笔者认为，要想上好这节课，应该注意以下几个重　

要环节：　

一、依据教材、课标及学生情况确定教学目标　

１．知识教学：　

（１）使学生理解分类与分步计数原理的内容。　

（２）结合实际问题使学生能正确运用分类与分步计数　

原理解题　

（３）根据例题的解答，使学生明确分类计数原理即为　

加法原理：分步计数原理即为乘法原理。弄清两个原理的　

区别。　

２．能力训练：通过本节学习，培养学生的逻辑推理能　

力和自主创新能力。　

二、教学过程　

１．创设问题情境。首先．教师让学生思考两个引例：　

引例ｌ：书架上分别放有５本不同的数学书，４本不　

同的英语书，３本不同的语文书，从书架上任取～本，有　

多少种不同取法？　

引例２：书架上分别放有５本不同的数学书，４本不　

同的英语书．３本不同的语文书，每科任取一本，有多少　

种不同取法？　

然后，教师找学生回答两个引例的解答方法，再由教　

师梳理解题思路，明确指出引例１用分类计数原理求解，　

引例２用分步计数原理求解，从而引出本节课题。　

本设计意图是通过创设问题情境，让学生尝试自主解　

决问题，进一步掌握、巩固和升华知识，把教学引向深　

入。　

２．自主探究：在这一层中主要揭示分类与分步计数原　

理。并巩固原理。　

（１）揭示原理：本环节再现了知识的发生、发展及形　

成过程。　

教师分析讲解：　

第一．引例ｌ中要完成从书架上任取一本书这件事，　

要分类考虑：第一类是取数学书，有５种不同取法。第二　

类是取英语书．有４种不同取法。第三类是取语文书，有　

排列组合的二十种解法(最全的排列组合方法总结)

教学目标：

1.理解和应用分类计数原理和分步计数原理。

2.掌握解决排列组合问题的常用策略，能够解决简单的综合应用题，提高解决问题和分析问题的能力。

3.学会应用数学思想和方法解决排列组合问题。

复巩固：

1.分类计数原理（加法原理）：完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法。在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+。+mn种不同的方法。

2.分步计数原理（乘法原理）：完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法。做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1×m2×。×mn种不同的方法。

3.分类计数原理和分步计数原理的区别：分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事；分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件。

解决排列组合综合性问题的一般过程如下：

1.认真审题弄清要做什么事。

2.确定采取分步还是分类，或是分步与分类同时进行，确定分多少步及多少类。

3.确定每一步或每一类是排列问题（有序）还是组合问题（无序），元素总数是多少及取出多少个元素。

4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略。

一、特殊元素和特殊位置优先策略：

例1.由0、1、2、3、4、5可以组成多少个没有重复数字的五位奇数。

解：由于末位和首位有特殊要求，应该优先安排，以免不合要求的元素占了这两个位置。先排末位共有C3，然后排首位共有C4，最后排其它位置共有A4^3.由分步计数原理得C4×C3×A4^3=288. 位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法。若以元素分析为主，需先安排特殊元素，再处理其它元素。若以位置分析为主，需先满足特殊位置的要求，再处理其它位置。若有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件。

高考加油！高考加油！高考加油！高考加油！

专题二十 计数原理

【真题典例】

20.1 计数原理与排列组合

挖命题

【考情探究】

考点 内容解读 5年考情 预测热度 考题示例 考向 关联考点

计数原理与排列组合 1.分类加法计数原理、分步乘法计数原理

2.排列、组合的概念,排列数公式,组合数公式及应用 2016江苏,23 组合数计算

★★★

2018江苏,23 计数原理与排列 高考加油！高考加油！高考加油！高考加油！

分析解读 江苏高考对两个计数原理、排列、组合的考查往往与集合、数列、概率等进行综合,难度较大,主要考查学生的逻辑推理能力.

破考点

【考点集训】

考点一 加法原理与乘法原理

1.从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种,分别种在不同土质的三块土地上,其中黄瓜必须种植,不同的种植方法有

种.

答案 18

2.如图,矩形的对角线把矩形分成A,B,C,D四部分,现用5种不同颜色给四部分涂色,每部分涂1种颜色,要求有公共边的两部分颜色互异,则共有 种不同的涂色方法.

答案 260

考点二 排列

1.一排9个座位坐了3个三口之家,若每家人坐在一起,则不同的坐法种数为 .

答案 64

2.从1,3,5,7,9这五个数中,每次取出两个不同的数分别记为a,b,共可得到lg a-lg b的不同值的个数是

.

答案 18

3.用0,1,2,3,4这五个数字组成无重复数字的五位数,其中恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间,这样的五位数有 个. 高考加油！高考加油！高考加油！高考加油！

答案 28

考点三 组合

1.四位学生,坐在一排有7个位置的座位上,有且只有两个空位是相邻的不同坐法有

种.(用数字作答)

答案 480

2.用1、2、3、4、5、6组成一个无重复数字的六位数,要求三个奇数1、3、5有且只有两个相邻,则不同的排法有 种.

答案 432