计数原理与排列、组合(讲解部分)

计数原理与排列组合经典题型

计数原理与排列组合题型解题方法总结

计数原理

一、知识精讲

1、分类计数原理：

2、分步计数原理：

特别注意:两个原理的共同点：把一个原始事件分解成若干个分事件来完成。

不同点：如果完成一件事情共有n类办法，这n类办法彼此之间相互独立的，无论哪一类办法中的哪一种方法都能单独完成这件事情，求完成这件事情的方法种数，就用分类计数原理。分类时应不重不漏（即任一种方法必须属于某一类且只属于这一类）

如果完成一件事情需要分成n个步骤，各个步骤都是不可缺少的，需要依次完成所有的步骤，才能完成这件事，而完成每一个步骤各有若干种不同的方法，求完成这件事情的方法种数就用分步计数原理。各步骤有先后，相互依存，缺一不可。

3、排列

(1)排列定义,排列数

(2)排列数公式:

(3)全排列列:

4.组合

(1)组合的定义,排列与组合的区别;

(2)组合数公式:

(3)组合数的性质

二、.典例解析

题型1:计数原理

例1.完成下列选择题与填空题

(1)有三个不同的信箱,今有四封不同的信欲投其中,则不同的投法有种。

A.81 B.64 C.24 D.4

(2)四名学生争夺三项冠军,获得冠军的可能的种数是( )

A.81 B.64 C.24 D.4

(3)有四位学生参加三项不同的竞赛,

①每位学生必须参加一项竞赛,则有不同的参赛方法有 ;

②每项竞赛只许有一位学生参加,则有不同的参赛方法有 ;

计数原理-排列组合

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排列组合

知识点

一、排列

定义:一般地，从n个不同元素中取出)(nmm个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；排列数用符号mnA表示

对排列定义的理解：

定义中包括两个基本内容：①取出元素②按照一定顺序。因此，排列要完成的“一件事情”是“取出m个元素，再按顺序排列”

相同的排列：元素完全相同，并且元素的排列顺序完全相同。若只有元素相同或部分相同，而排列顺序不相同，都是不同的排列。比如abc与acb是两个不同的排列

描述排列的基本方法：树状图

排列数公式：),)(1()2)(1(NmnmnnnnAmn我们把正整数由1到n的连乘积，叫做n的阶乘，用!n表示，即12)2()1(!nnnn，并规定1!0。

全排列数公式可写成!nAnn.

由此，排列数公式可以写成阶乘式：)!(!)1()2)(1(mnnmnnnnAmn（主要用于化简、证明等）

二、组合

定义:一般地，从n个不同元素中取出)(nmm个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合；组合数用符号mnC表示

对组合定义的理解：

取出的m个元素不考虑顺序，也就是说元素没有位置要求，无序性是组合的特点.

只要两个组合中的元素完全相同，则不论元素的顺序如何，都是相同的组合.只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合

排列与组合的区别：主要看交换元素的顺序对结果是否有影响，有影响就是“有序”，是排列问题；没影响就是“无序”，是组合问题。

组合数公式：

),()!(!!!)1()2)(1(nmNmnmnmnmmnnnnAACmmmnmn，且

变式：),,()!()1()2)(1()!(!!nmNmnCmnmnnnmnmnCmnnmn且

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组合数的两个性质

怎样讲好高中数学《排列组合》的开篇——分类计数原理与分步计数原理

谭社西免　

ＥＷ（：　ｊＲＲＩＣＵＩ　Ｅ　ｆ｛ＥｒｉＥＡ娃　｝ｉ　

怎样铹毋高中教　《辨列　舍》的开篇　

分类计数原理与分步计数原理　

◇河北滦县第二中学　刘　英　

排列组合是高中数学的基础内容、重点内容，更是高　

考中的必考内容；它既是学习概率知识的基础，又是学好　

概率知识的关键。其中，分类计数原理与分步计数原理作　

为本章的开篇，为以后学习排列组合知识起铺垫作用，有　

助于学生运用分类与分步计数原理解决生活中的很多实际　

问题。笔者认为，要想上好这节课，应该注意以下几个重　

要环节：　

一、依据教材、课标及学生情况确定教学目标　

１．知识教学：　

（１）使学生理解分类与分步计数原理的内容。　

（２）结合实际问题使学生能正确运用分类与分步计数　

原理解题　

（３）根据例题的解答，使学生明确分类计数原理即为　

加法原理：分步计数原理即为乘法原理。弄清两个原理的　

区别。　

２．能力训练：通过本节学习，培养学生的逻辑推理能　

力和自主创新能力。　

二、教学过程　

１．创设问题情境。首先．教师让学生思考两个引例：　

引例ｌ：书架上分别放有５本不同的数学书，４本不　

同的英语书，３本不同的语文书，从书架上任取～本，有　

多少种不同取法？　

引例２：书架上分别放有５本不同的数学书，４本不　

同的英语书．３本不同的语文书，每科任取一本，有多少　

种不同取法？　

然后，教师找学生回答两个引例的解答方法，再由教　

师梳理解题思路，明确指出引例１用分类计数原理求解，　

引例２用分步计数原理求解，从而引出本节课题。　

本设计意图是通过创设问题情境，让学生尝试自主解　

决问题，进一步掌握、巩固和升华知识，把教学引向深　

入。　

２．自主探究：在这一层中主要揭示分类与分步计数原　

理。并巩固原理。　

（１）揭示原理：本环节再现了知识的发生、发展及形　

成过程。　

教师分析讲解：　

第一．引例ｌ中要完成从书架上任取一本书这件事，　

要分类考虑：第一类是取数学书，有５种不同取法。第二　

类是取英语书．有４种不同取法。第三类是取语文书，有　

计数原理与排列组合经典题型 2