计数原理与排列组合

计数原理与排列组合

课标要求

1、通过实例,总结出分类加法计数原理、分步乘法计数原理；能根据具体问题的特征,选择分类加法计数原理或分步乘法计数原理解决一些简单的实际问题；

2、通过实例,理解排列、组合的概念；能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式,并能解决简单的实际问题；

高考方向

两个计数原理在高考中单独命题较少,一般与排列组合相结合考查,排列组合的应用问题是命题的热点内容；题型多为选择、填空,也常与概率、分布列的求法相结合进行考查,题型多为解答题,难度中等,着重考查学生分析问题能力、解决问题能力;

知识梳理

1、分类计数原理与分步计数原理的区别和联系;

2、排列和组合的区别与联系;

3、利用计数原理推导排列数公式、组合数公式；排列数、组合数与阶乘数的关系;

4、排列组合中的常见问题及方法;

预习自测

1、设m∈N,且m＜25,则25－m26－m…30－m等于

A．625mA B．2530mmA C．630mA D．530mA

2．5名应届毕业生报考三所高校,每人报且仅报一所院校,则不同的报名方法的种数是

A．35 B．53 C．A错误! D．C错误! 3、从3名男生、4名女生中,选派1名男生、2名女生参加辩论赛,则不同的选派方法共有________种．

4、某班3名同学去参加5项活动,每人只参加1项,同一项活动最多2人参加,则3人参加活动的方案共有________种用数字作答．

5、电视台在直播2012伦敦奥运会时要连续插播5个广告,其中3个不同的商业广告和2个不同的奥运宣传广告,要求最后播放的是奥运宣传广告,且2个奥运宣传广告不能连播．则不同的播放方式有

A．120 B．48 C．36 D．18

典型例题

例题12011·大纲全国卷某同学有同样的画册2本,同样的集邮册3本,从中取出4本赠送给4位朋友,每位朋友1本,则不同的赠送方法共有

A．4种 B．10种 C．18种 D．20种

跟踪练习

1、从6个人中选4个人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览,要求每个城市至少有一人游览,每人只游览一个城市,且这6个人中,甲、乙两人不去巴黎游览,则不同的选择方案共有________种．

2、有四位学生参加三项不同的竞赛,

①每位学生必须参加一项竞赛,则有不同的参赛方法有 ；

②每项竞赛只许有一位学生参加,则有不同的参赛方法有 ；

③每位学生最多参加一项竞赛,每项竞赛只许有一位学生参加,则不同的参赛方法有 ;

例题2六个人按下列要求站成一排,分别有多少种不同的站法 1甲不站在两端；

2甲、乙必须相邻；

3甲、乙不相邻；

4甲、乙之间恰有两人；

5甲不站在左端,乙不站在右端；

6甲、乙、丙三人顺序已定．

例题3 有6本不同的书

⑴甲、乙、丙3人每人2本,有多少种不同的分法

⑵分成3堆,每堆2本,有多少种不同的分堆方法

⑶摆在3层书架上,每层2本,有多少种不同的摆法

⑷分成3堆,一堆1本,一堆2本,一堆3本,有多少种不同的分堆方法

⑸分给甲、乙、丙3人,一人1本,一人2本,一人3本,有多少不同的分配方法

⑹分给甲1本、乙1本、丙4本,有多少种不同的分配方法

⑺分成3堆,有2堆各一本,另一堆4本,有多少种不同的分堆方法

巩固练习

1.2011·潍坊模拟如图,M,N,P,Q为海上四个小岛,现要建造三座桥,将这四个小岛连接起来,则不同的建桥方法有

A．8种 B．12种 C．16种 D．20种

2、从6名男生和2名女生中选出3名志愿者,其中至少有1名女生的选法共有

A．36种 B．30种 C．42种 D．60种

3．某班级有一个7人小组,现任选其中3人相互调整座位,其余4人座位不变,则不同的调整方案的种数有 A．35 B．70 C．210 D．105

4、将1,2,3填入33的方格中,要求每行、每列都没有重复数字,下面是一种填法,则不同的填写方法共有

A．6种 B．12种 C．24种 D．48种

5、2012·义乌模拟2011年深圳世界大学生运动会火炬传递在A、B、C、D、E、F六个城市之间进行,以A为起点,F为终点,B与C必须接连传递,E必须在D的前面传递,且每个城市只经过一次,那么火炬传递的不同路线共有________种．

6．2011·威海模拟12名同学合影,站成前排4人后排8人,现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排,若其他人的相对顺序不变,则不同调整方法的总数是

A．C错误!A错误! B．C错误!A错误! C．C错误!A错误!

D．C错误!A错误!

7、某幢楼从二楼到三楼的楼梯共11级,上楼可以一步上一级,也可以一步上两级,若规定从二楼到三楼用7步走完,则上楼梯的方法有______种．

8、2010·湖北高考现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加上海世博会志愿者服务者活动,每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一,每项工作至少有一人参加．甲、乙不会开车但能从事其他三项工作,丙、丁、戊都能胜任四项工作,则不同安排方案的种数是

A．152 B．126 C．90 D．54

9.2012·沈阳模拟用1,2,3,4,5,6组成一个无重复数字的六位数,要求三个奇数1,3,5有且只有两个相邻,则不同的排法种数为

A18 B108 C216 D432

10、2012·苏北四市联考有3张都标着字母A,6张分别标着数字1,2,3,4,5,6的卡片,若任取其中5张卡片组成牌号,则可以组成的不同牌号的总数等于________．用数字作答

11、如图,正五边形ABCDE中,若把顶点A、B、C、D、E染上红、黄、绿三种颜色中的一种,使得相邻顶点所染颜色不相同,则不同的染色方法有

A． 30种 B． 27种 C． 24种 D． 21种

12、2012北京模拟三个人坐在一排八个座位上,若每个人的两边都要有空位,则不同的坐法种数为 ;

13、10个优秀指标名额分配给6个班级,每个班至少一个,共有 种不同的分配方法;

14. 正整数122221(1)nnnaaaaannN，称为凹数,如果12naaa,且2122nnnaaa,其中{0129}(12)iai，，，，，，,请回答三位凹数12313()aaaaa共有

个用数字作答．

15、对于各数互不相等的正数数组12,,,niiin是不小于2的正整数,如果在pq时有pqii,则称“pi与qi”是该数组的一个“顺序”,一个数组中所有“顺序”的个数称为此数组的“顺序数”．例如,数组2,4,3,1中有顺序“2,4”,“2,3”,其“顺序数”等于2．若各数互不相等的正数数组12345,,,,aaaaa的“顺序数”是4,则54321,,,,aaaaa的“顺序数”是_________．

16、从7名男生5名女生中,选出5人,分别求符合下列条件的选法种数有多少种

⑴ A、B必须当选；

⑵ A、B都不当选；

⑶ A、B不全当选； ⑷ 至少有2名女生当选；

⑸ 选出5名同学,让他们分别担任体育委员、文娱委员等5种不同工作,但体育委员由男生担任,文娱委员由女生担任．

17.有4个不同的球,四个不同的盒子,把球全部放入盒子内.

1共有多少种放法

2四个盒都不空的放法有多少种

3恰有一个盒子内放2个球,有多少种放法

4恰有两个盒子不放球,有多少种放法

5若盒子编号为1、2、3、4,则甲球所放盒的编号总小于乙球所放盒的编号的放法有多少种

18、用0,1,2,3,4这五个数字,可以组成多少个满足下列条件的没有重复数字的数

1能被3整除；

2比21034大的偶数；

3左起第二、四位是奇数的偶数.

高考真题

1、2010山东某台小型晚会由6个节目组成,演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位,节目乙不能排在第一位,节目丙必须排在最后一位,该台晚会节目演出顺序的编排方案共有

A36种 B42种 C48种 D54种

2、2012山东现有16张不同的卡片,其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张,从中任取3张,要求这3张卡片不能是同一种颜色,且红色卡片至多1张,不同取法的种数为 A232 B252 C472 D484

3、2011新课标有3个兴趣小组,甲、乙两位同学各自参加其中一个小组,每位同学参加各个小组的可能性相同,则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为

A13 B12 C23 D34

4、2012新课标将2名教师,4名学生分成2个小组,分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动,每个小组由1名教师和2名学生组成,不同的安排方案共有

()A12种 ()B10种 ()C种 ()D种