333点到直线、两平行线间的距离OK

小结(1)若给出的直线方程不是一般式，则应先把方程化为一般式，再利用公式求距离．(2)若点P在直线上，点P到直线的距离为零，距离公式仍然适用．
训练1求过点M(－2,1)且与A(－1,2)，B(3,0)两点距离相等的直线的方程．
【探究点二】两条平行直线间的距离
导引设直线l1∥l2，如何求l1与l2间的距离？
(1)求直线l的方程；
(2)若直线m与l平行，且点P到直线m的距离为3，求直线m的方程．
1．点到直线的距离即是点与直线上点连线的距离的最小值，利用点到直线的距离公式，解题时要注意把直线方程化为一般式．当直线与坐标轴垂直时可直接求之．
2．利用点到直线的距离公式可求直线的方程，有时需结合图形，数形结合，会使问题更加清晰．
3．已知两平行直线间的距离，即可利用公式d＝求解，也可在已知直线上取一点，转化为点到直线的距离.
例2已知直线l1：2x－7y－8＝0，l2：6x－21y－1＝0，l1与l2是否平行？若平行，求l1与l2间的距离．
小结(1)求两平行线间的距离可以转化为求点到直线的距离，也可以应用公式．
(2)应用两平行线间的距离公式d＝时，两直线方程必须是一般形式，而且x，y的系数对应相等．
训练2(1)求直线2x＋11y＋16＝0关于点P(0,1)对称的直线方程．
[问题情境]
构成平面图形的基本元素为点和直线，就距离而言有两点之间的距离，点到直线的距离及两条直线之间的距离．上节课我们已经学习了两点之间的距离，本节我们来研究点到直线的距离及两条直线之间的距离．
【探究点一】点到直线的距离
问题1两点间的距离公式是什么？
答已知点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则|P1P2|＝.
鸡西市第十九中学学案
2015年（）月（）日班级姓名

由光的性质可知，光线从O到P的路程即为AP的长度|AP|，由
A(4,3)，P(－4,3)知，|AP|＝4－(－4)＝8，
∴光线从O经直线l反射后到达P点所走过的路程为8.
[方法技巧]
光线的入射、反射的问题以及在某定直线取点，使它与两定点
距离之和最小这类问题均属于点关于直线对称的问题．
(1)点 A(x0，y0)关于直线 l：Ax＋By＋C＝0 的对称点 M(x，y)，
yx－－yx00·(－AB )＝－1AB≠0
可由方程组 A·x＋x0＋B·y＋y0＋C＝0
2
2
求得．
(2)常用对称的特例有： ①A(a，b)关于 x 轴的对称点为 A′(a，－b)； ②B(a，b)关于 y 轴的对称点为 B′(－a，b)； ③C(a，b)关于直线 y＝x 的对称点为 C′(b，a)； ④D(a，b)关于直线 y＝－x 的对称点为 D′(－b，－a)； ⑤P(a，b)关于直线 x＝m 的对称点为 P′(2m－a，b)； ⑥Q(a，b)关于直线 y＝n 的对称点为 Q′(a,2n－b)．
[方法技巧] 点到直线的距离的求解方法
(1)求点到直线的距离时，只需把直线方程化为一般式方程，直 接应用点到直线的距离公式求解即可．
(2)对于与坐标轴平行(或重合)的直线 x＝a 或 y＝b，求点到它 们的距离时，既可以用点到直线的距离公式，也可以直接写成 d＝ |x0－a|或 d＝|y0－b|.
解析：设与直线x＋3y－5＝0垂直的直线的方程为3x－y＋m＝ 0，
则由点到直线的距离公式知： d＝|3×3－2＋1－－01＋2 m|＝|m－103|＝35 10. 所以|m－3|＝6，即m－3＝±6. 得m＝9或m＝－3， 故所求直线l的方程为3x－y＋9＝0或3x－y－3＝0. 答案：3x－y＋9＝0或3x－y－3＝0

两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直
线间的公垂线段的长.
y
P l1
d C1 - C2 A2 B2
l2
Q
o
x
例7、求证：两条平行线l1:Ax+By+C1=0与
l2: Ax+By+C2=0的距离是
d
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
C1 - C2
A2 B2
例7、求证：两条平行线l1:Ax+By+C1=0与
l2: Ax+By+C2=0的距离是 d C1 - C2
§3.3. 3 点到直线的距离
两点间的距离公式是什么？
已知平面上两点P1(x1,y1)， P2(x2,y2)，如何 求P1 P2的距离| P1 P2 |呢?
y P1(x1,y1) Q(x2,y1)
P2(x2,y2)
o
x
| P1P2 | (x2 x1)2 ( y2 y1)2
特别地,原点O与任一点P(x, y)的距离:
y
A2 B2
P
l1 证明：B l2
0时，在l1上取一点P
0，-
C1 B
，
o
Q
x
则P到l2的距离d
A
0
B
C1 B
C2
A2 B2
注意:两直线方程的 A,B应相同
C1 C2 A2 B2
B 0时，则A 0，同理可证它们之间的距离为 d C1 C2
A2 B2
练习2
14 53
1.平行线2x-7y+8=0和2x-7y-6=0的距离是___5_3__;
d RS PR • PS PR • PS
d RS
d Ax0 By0 C A2 B2

y
A
h C
O
B
探究二。两平行线间的距离公式的应用。 探究二。两平行线间的距离公式的应用。 公式的应用 例 3、已知直线 l1 : 3 x − 4 y − 8 = 0, l2 : 3 x − 4 y + 2 = 0 ，求 l1 与 l2 间的距离。
x
例 4、已知直线 l1 : 2 x − 7 y − 8 = 0, l2 : 6 x − 21 y − 1 = 0 ， l1 与 l2 是否平行？若平行，求 l1 与 l2 间的距离。
当 A=0 时，公式 。
合作探究
探究一。点到直线的距离公式的应用。 探究一。点到直线的距离公式的应用。 距离公式的应用 例 1、求点 P0 ( −1, 2) 到直线 l : 3 x = 2 的距离。
例 2、已知点 A(1,3), B (3,1), C ( −1, 0) ，求 ∆ABC 的面积。 （如下图）
探究三。距离公式的综合应用。 探究三。距离公式的综合应用。 例 5.求经过点 P（1，2）的直线，且使 A（2，3） ，B（0，-5）到它的距离相等的直线方程。
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连南民族高级中学“学案导学”课堂教学活页学案 执笔人：雷训福 审阅人：姚尹赞 时间：09 年 12 月 16 日 课堂达标 课堂达标 [一层练习 ： 一层练习]： 一层练习 1.已知点 A（ a ，6）到直线 3 x －４ y ＝2 的距离 d=4，则 a 的值为 2.求点 p(3, −2) 到下列直线的距离： （1） y =
连南民族高级中学“学案导学”课堂教学活页学案 执笔人：雷训福 审阅人：姚尹赞 时间：09 年 12 月两平行线间的距离学案 3.3.3 点到直线的距离和 3.3.4 两平行线间的距离学案
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