江苏省宿迁市沭阳县如东中学2020-2021学年高三上学期第一次月考数学试题

江苏省宿迁中学2020年1月高三年级一模全真模拟卷一.填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分) 1.已知全集{1,2,3,4}U =，集合{1,2}A =，3{}1,B ，则()U A C B ⋂=_________.【答案】{2} 【解析】 【分析】结合已知利用补集的定义先求出{2,4}U C B =，然后根据交集的定义即可求出()U A C B ⋂． 【详解】因为{1,2,3,4}U =，3{}1,B ，所以{2,4}U C B =，又{1,2}A =，所以(){1,2}{2,4}{2}U AB ==C .故答案为:{2}【点睛】本题主要考查集合的交集运算及补集的运算，属于基础题． 2.已知复数z 满足2zi i =+，其中i 为虚数单位，则||z =________. 5【解析】 【分析】 将等式变形为2iz i+=，再利用复数的除法运算化简为复数的代数形式，再根据复数的模的定义即可求出||z ．【详解】因为2zi i =+，所以22i (2i)i 2i 112i i i 1z ++-====--， 所以22||1(2)5z =+-= 5【点睛】本题主要考查复数的除法运算及复数的模的求法，属于基础题． 3.函数()sin 2()(0)f x x φφ=+>的最小正周期为________. 【答案】π 【解析】 【分析】根据函数()sin(22)f x x φ=+可知2ω=，代入周期公式2||T πω=，即可求出函数()f x 的最小正周期．【详解】因为函数()sin 2()sin(22)f x x φx φ=+=+，所以22T ππ==． 故答案为：π【点睛】本题主要考查三角函数的周期求法，关键是熟练掌握函数sin()y A x ωϕ=+的最小正周期为2π||ω，属于基础题．4.执行如图所示的伪代码，若输出y 的值为1，则输入x 的值为_______.【答案】-1 【解析】【详解】执行此程序框图可知，当0x ≥时，121x +=，此时方程无解； 当0x <时，221x -=，解得1x =-，所以输入x 的值为1-. 5.3，母线与底面所成角为3π，则该圆锥的底面积为____ .【答案】π 【解析】 【分析】设圆锥底面半径为r ，可得母线2l r =，高3h r =，根据体积公式建立方程，即可求出r ，再根据圆锥的底面积公式2S r π=，即可求出结果． 【详解】因为圆锥母线与底面所成角为3π，设圆锥底面半径为r ，则母线长2l r =，所以圆锥的高h==，所以圆锥的体积221133Vπr hπr=⋅==，解得1r=，所以该圆锥的底面积2S rππ==．故答案为：π【点睛】本题主要考查圆锥的底面积的求法，同时考查圆锥的体积公式，属于基础题．6.已知各项均为正数的等比数列{}n a的前4项和15，且5312a a a=+，则3a=____.【答案】1)【解析】【分析】根据等比数列通项公式将5312a a a=+化为用基本量1,a q来表示，解出q，然后再由415S=求出1a，再根据通项公式即可求出3a．【详解】设等比数列{}n a的公比为q，由5312a a a=+，得421112a q a q a=+，所以422q q=+，解得22q=，又数列{}n a的各项均为正数，所以q=又414(1)151a qSq-===-，所以11)a=，所以2311)a a q==．故答案为：1)【点睛】本题主要考查等比数列的通项公式的应用及等比数列的求和公式的应用，同时考查方程思想及运算能力，属于基础题．7.从分别写有1,2,3,4的4张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为_____．【答案】38【解析】【分析】先求出别写有1,2,3,4的4张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，基本事件的个数，然后再求出抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的基本事件的个.数，运用古典概型公式求出概率.【详解】写有1,2,3,4的4张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，基本事件的个数为4416⨯=，抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的基本事件为：(2,1),(3,1),(3,2)(4,1)(4,2),(4,3)，共6个，因此抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为63168=. 【点睛】本题考查了古典概型概率的计算公式，考查了有放回抽样，属于基础题.8.在等差数列{}n a 中，设,,,k l p r N *∈，则k l p r +>+是k l p r a a a a +>+的_____条件.（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要条件”或“既不充分也不必要”中的一个） 【答案】既不充分也不必要 【解析】 【分析】先将k l p r a a a a +>+利用等差数列的通项公式进行化简，再利用充分条件和必要条件判断充分性和必要性，即可判断出结果．【详解】在等差数列{}n a 中，由k l p r a a a a +>+得1111(1)(1)(1)(1)a k d a l d a p d a r d +-++->+-++-，即()()k l d p r d +>+，若0d >，则k l p r +>+；若0d <，则k l p r +<+， 故k l p r +>+是k l p r a a a a +>+的既不充分也不必要条件． 故答案为：既不充分也不必要【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，等差数列的通项公式及不等式的性质．9.在平面直角坐标系xOy 中，双曲线C ：()2221016x y a a -=>的右顶点到双曲线的一条渐近线的距离为125，则双曲线的离心率为______. 【答案】53【解析】【分析】求出右焦点及渐近线，利用点到直线的距离列出方程求出a ，再利用c 求出c ，即可求出双曲线的离心率．【详解】根据题意知，双曲线的右顶点坐标为(,0)a ，其渐近线方程为40x ay ±=， 因为双曲线C 的右顶点到双曲线的一条渐近线的距离为125，125=，解得3a =，所以5c ===， 所以双曲线的离心率53c e a ==． 故答案为：53【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质，属于中档题． 10.已知(0,)2πα∈，2sin 2cos21αα=+，则sin α=_______.【解析】 【分析】根据二倍角公式可将已知等式化简为24sin cos 2cos ααα=，根据0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭可求得1tan 2α=；根据同角三角函数关系，结合0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭可求得结果.【详解】由二倍角公式可知：sin 22sin cos ααα=，2cos 22cos 1αα=-24sin cos 2cos ααα∴=又0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭cos 0α∴≠ 2sin cos αα∴=，即1tan 2α=sin 5α∴=【点睛】本题考查利用二倍角公式、同角三角函数关系求解三角函数值的问题，关键是能够利用公式，结合角的范围来对已知等式进行化简.11.若实数a，b满足20 101a bb aa+-≥⎧⎪--≤⎨⎪≤⎩，则223b aba-的取值范围是_____.【答案】9[,0]4-【解析】【分析】223b aba-可化为2()3()b ba a-，令bka=，只需求出k的范围，作出不等式组所表示的平面区域，利用b bka a-==-的几何意义，即可求出k的范围，进而可求出223b aba-的取值范围．【详解】2223()3()b ab b ba a a-=-，令bka=，则22233b abk ka-=-，作出原不等式组所表示的平面区域，如图所示，易知当目标函数bka=，过点(1,1)A时，k取得最小值1；当过点13(,)22B时，k取得最大值3，故13k≤≤，所以222233993()[,0]244b abk k ka-=-=--∈-，所以223b aba-的取值范围是9[,0]4-．故答案为：9[,0]4-【点睛】本题主要考查线性规划知识的应用，关键是将223b aba -可化为2()3()b b a a -，利用数形结合求出ba的范围． 12.已知函数||()x t f x e-=，()g x x e =-+，()max{(),()}h x f x g x =，其中max{,}a b 表示中,a b 最大的数，若()h x e >对x ∈R 恒成立，则实数t 的取值范围是_______. 【答案】1t <- 【解析】 【分析】在同一坐标系中作出()f x 和()g x 图象，()h x 的图象是由()f x 和()g x 图象中较大部分构成，当0x <时，()g x x e e =-+>，而当0x ≥时，()g x e ≤，故只需()f x e >即可，利用数形结合即可得出结果．【详解】当0x <时，()g x x e e =-+>，所以由()max{(),()}h x f x g x e =>成立； 当0x ≥时，()g x e ≤，所以只要()f x e >即可，如图将||x y e =的图象向左平移1个单位(如图①)，得到函数|1|x y e +=的图象，此时有|1|x e e +≥，若图象再向左平移(如图②)则满足|()|(0,1)x t ee x t +->≥->，所以1t <-．故答案为：1t <-【点睛】本题主要考查利用数形结合处理恒成立问题，属于中档题．13.已知圆221:(2)1O x y ++=，圆222:(2)1O x y -+=，若在圆1O 上存在点M ，圆2O 上存在点N 使得点0(,3)P x 满足：PM PN =，则实数0x 的取值范围是_______.【答案】[2,2]- 【解析】 【分析】由图形的对称性，不妨设0(,3)P x 在y 轴的右侧，问题可转化为点0(,3)P x 到圆2O 上的距离最大值大于等于点0(,3)P x 到圆1O 上的距离最小值，即2111PO PO +≥-，即可求出0x 的取值范围．【详解】若在圆1O 上存在点M ，圆2O 上存在点N 使得点0(,3)P x 满足：PM PN =， 由图形对称性，不妨设0(,3)P x 在y 轴及其右侧，故只需2111PO PO +≥-，所以212PO PO +≥2≥解得002x ≤≤，同理0(,3)P x 在y 轴及其左侧得到020x -≤≤，综上，022x -≤≤ 所以实数0x 的取值范围是[2,2]-．【点睛】本题主要考查圆的方程及几何图形中的存在性问题处理策略，属于难题． 14.已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c 且7cos 8A =,I 为ABC ∆内部的一点，且0aIA bIB cIC ++=，若AI xAB y AC =+，则x y +的最大值为______.【答案】45【解析】 【分析】将0aIA bIB cIC ++=利用向量的线性运算全部转化为以A 为起点的向量，根据平面向量基本定理可将,x y 用,,a b c 表示，再利用余弦定理及基本不等式，即可求出结果． 【详解】因为0aIA bIB cIC ++=，所以()()0a AI b AB AI c AC AI -+-+-=， 所以()0a b c AI bAB cAC ++++=，所以b cAI AB AC a b c a b c=+++++又AI xAB y AC =+，所以b x a b cc y a b c ⎧=⎪⎪++⎨⎪=⎪++⎩，所以11b c x y a a b c b c++==++++， 在ABC ∆中，由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-，又7cos 8A =， 所以222222271515()()()()444216b c b c a b c bc b c bc b c ++=+-=+-≥+-=， 即14a b c ≥+，当且仅当b c =时，等号成立． 所以11415114x y ab c +=≤=+++，故x y +的最大值为45．故答案为：45【点睛】本题主要考查向量的线性运算，平面向量基本定理，余弦定理及基本不等式求最值，关键是利用整体思想将b ca b c+++化为11a b c++，属于难题．二.解答题（本大题共6小题，共90分，解答时应写出文字说明）15.在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知sin 4sin a A b B =，222)ac a b c =--.（I ）求cos A 的值； （II ）求sin(2)B A -的值.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ） 【解析】试题分析：利用正弦定理“角转边”得出边的关系2a b =，再根据余弦定理求出cos A ， 进而得到sin A ，由2a b =转化为sin 2sin A B =，求出sin B ，进而求出cos B ，从而求出2B 的三角函数值，利用两角差的正弦公式求出结果. 试题解析：（Ⅰ）解：由sin 4sin a A b B =，及sin sin a bA B=，得2a b =.由()2225ac a b c=--，及余弦定理，得222555cos 25acbc aA bcac -+-===-. （Ⅱ）解：由（Ⅰ），可得25sin A =，代入sin 4sin a A b B =，得sin 5sin 4a A B b ==. 由（Ⅰ）知，A 为钝角，所以225cos 1sin B B =-=.于是4sin22sin cos 5B B B ==，23cos212sin 5B B =-=，故 ()4532525sin 2sin2cos cos2sin 55B A B A B A ⎛⎫-=-=⨯--⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭. 考点：正弦定理、余弦定理、解三角形【名师点睛】利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.16.如图，直四棱柱1111ABCD A B C D -的底面四边形ABCD 是菱形，14AA =，2AB =，60BAD ∠=，,,E M N 分别是11,,BC BB A D 的中点.(1)证明：//MN 平面1C DE ； (2)求三棱锥1A AMD -的体积．【答案】(1)见解析；(2)43．【解析】【分析】(1)要证//MN平面1C DE，只需在平面1C DE找到一条直线与MN平行即可，故只需证//MN DE即可；(2)要求三棱锥1A AMD-的体积可变换底面转化为求三棱锥1M AA D-的体积即可．【详解】(1)连结1,B C ME，因为M，E分别为1,BB BC 的中点，所以11//2ME B C=，因为11////A B AB CD==，所以四边形11A B CD是平行四边形，所以11//A D B C=，又N是AD的中点，且112DN A D=，所以//ME DN=，所以四边形DEMN为平行四边形，所以//MN DE，又DE⊂平面1C DE，MN⊄平面1C DE, 所以//MN平面1C DE．(2)因为11//BB AA，1AA⊂平面1AA D，1BB⊄平面1AA D，所以1//BB 平面1AA D ，所以M 到平面1AA D 的距离即为B 到平面1AA D 的距离，直四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AA ⊥平面ABCD ，又1AA ⊂平面11AA D D ， 所以平面11AA D D ⊥平面ABCD ，过B 在平面ABCD 内，作BF AD ⊥垂足为F ，因为平面11AA D D ⋂平面ABCD AD =，BF ⊂平面ABCD ， 所以BF ⊥平面11AA D D ，在Rt ABF ∆中，60BAD ∠=，2AB =，所以sin BF AB BAD =⋅∠=所以11111124332三棱锥三棱锥AA D A AMD M AA D V V S BF ∆--==⋅=⨯⨯⨯=，所以三棱锥1A AMD -． 【点睛】本题主要考查线面平行的判定定理及变换底面求三棱锥的体积．17.已知椭圆Γ:22143x y +=的左、右焦点分别为12,F F ，过2F 的直线l 与椭圆Γ交于,P Q两点.(1)求FPQ ∆的周长；(2)设直线l 不平行于坐标轴，点R 为P 关于x 轴的对称点，直线QR 与x 轴交于点N ，求2QF N ∆面积的最大值．【答案】(1)8； 【解析】 【分析】(1)根据椭圆的定义可得12|||4|PF PF +=，12||||4QF QF +=，即可求出FPQ ∆的周长；(2)设出,P Q 点的坐标及直线l 的方程，将直线l 的方程与椭圆Γ的方程联立方程组消去x ，利用根与系数关系求出,P Q 纵坐标的和与积，由直线QR 的方程求出N 点坐标，从而可求出2QF N ∆的底2||F N ，再利用三角形面积公式，即可求出结果．【详解】(1)由已知得2a =，则FPQ ∆的周长为11||||||PF QF PQ ++1122||||||||PF QF PF QF =+++ 1212(||||)(||||)PF PF QF QF =+++22a a =+8=(2)设1122(,),(,)P x y Q x y ，则11(,)R x y -，根据题意可设直线l 的方程为1x my =+，由221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22(34)690m y my ++-=，所以122634m y y m +=-+，122934y y m =-+， 因为直线QR 的斜率2121QR y y k x x +=-，所以直线QR 的方程为211121()y y y y x x x x ++=--， 令0y =，得112121111212()()1y x x y my my x x my y y y y --=+=++++21212292341124634y y m m m m y y m -+=+⋅=+⋅=+-+， 所以(4,0)N ，所以2||413F N =-=， 所以2QF N ∆面积22213||||||22S F N y y =⋅=，又20||y <≤所以当2||y =时，2QF N ∆【点睛】本题主要考查椭圆的定义、直线与椭圆的位置关系及直线的方程设法，考查基本运算能力，属于中档题．18.如图，长途车站P 与地铁站O的距离为从地铁站O 出发有两条道路12,,l l 经测量12,l l 的夹角为4π，OP 与1l 夹角θ满足1tan 2θ=(其中02πθ<<)，现要经过P 修一条直路分别与道路12,l l 交汇于A ，B 两点，并在点A ，B 处设立公共自行车停放点．(1)已知修建道路,PA PB 的单位造价分别为2m 元/千米和m 元/千米，若两段道路的总造价相等，求此时点,A B 之间的距离；(2)考虑环境因素，需要对OA ，OB 段道路进行翻修，OA ，OB 段的翻修单价分别为n 元/千米和22n 元/千米，要使两段道路的翻修总价最少，试确定点A ，B 的位置．【答案】(1) 35(2)要使两段道路的翻修总价最少，A 在距O 点6千米处，B 在距O 点32 【解析】 【分析】(1)要求点,A B 之间的距离，只需求出OA ，OB ，先根据sin sin()4πBOP θ∠=-，利用两角差的正弦公式求出sin BOP ∠，根据已知可得2PA PB =，再利用3AOB AOP S S ∆∆=，23BOP AOB S S ∆∆=即可分别求出OB ，OA ，再利用余弦定理即可求出点,A B 之间的距离；(2)设OA x =，OB y =(,0x y >)，将两段道路的翻修总价W 用,x y 表示，根据AOB AOP BOP S S S ∆∆∆+=找出,x y 关系，代入W 中，利用基本不等式即可求出翻修总价最小值．【详解】(1)因为1tan 2θ=，02πθ<<，所以cos θ=sin θ=，所以sin sin()sin cos cos sin 444πππBOP θθθ∠=-=-==， 根据题意知， 2m PA m PA ⋅=⋅，所以2PA PB =， 所以3AOB AOP S S ∆∆=，即11sin 3sin 22OA OB AOB OA OP θ⋅⋅⋅∠=⨯⋅⋅⋅，所以3sin sin OP θOB AOB⋅==∠同理，由23BOP AOB S S ∆∆=，可得3OA =， 在AOB ∆中，由余弦定理得2222cos AB OA OB OA OB AOB =+-⋅⋅∠9722345=+-⨯⨯=，所以AB =，答：此时点,A B 之间的距离为千米．(2)设OA x =，OB y =(,0x y >),总造价为W ,则()W nx n x =+=+， 因为AOB AOP BOP S S S ∆∆∆+=，即111sin sin sin 222OA OB AOB OA OP θOB OP BOP ⋅⋅∠=⋅⋅+⋅⋅∠，所以2xy y =+，所以2y x =-，又0y >，所以2x >， 所以88(2)16()[(2)2]22x x W n x n x x x -+=+=-++--16[(2)10]2n x x =-++-10]18n n ≥=当且仅当1622x x -=-，即6x =时，等号成立，此时y =答：要使两段道路的翻修总价最少，A在距O 点6千米处，B 在距O 点32千米处． 【点睛】本题主要考查对三角形面积算“两次”建立方程，同时考查三角形的面积公式及利用基本不等式求最值，属于中档题． 19.已知数列{}n a 与{}n b 满足：1123(1)0,2nn n n n n n ba a b a b ++++-++==，*n N ∈，且122,4a a ==． （Ⅰ）求345,,a a a 的值；（Ⅱ）设*2121,n n n c a a n N -+=+∈，证明：{}n c 是等比数列；（Ⅲ）设*242,,k k S a a a k N =++⋅⋅⋅+∈证明：4*17()6nk k kS n N a =<∈∑． 【答案】（Ⅰ）3,5,4--（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）见解析 【解析】【详解】（Ⅰ）由3(1)2nn b +-=，可得1,2n n b n ⎧=⎨⎩为奇数，为偶数，又1120,n n n n n b a a b a +++++=将122,4a a ==代入可得20.已知函数()(2)ln 23f x x x x =-+- （Ⅰ）求曲线()y f x =在1x =处的切线方程； （Ⅱ）当1x ≥时，求()f x 的零点个数； （Ⅲ）若函数(1)()()ln a x g x x a x x -=-+在[1,)+∞上是增函数，求证：494a <． 【答案】（Ⅰ）2y x =-．（Ⅱ）见解析．（Ⅲ）见解析．【解析】 【分析】（Ⅰ）由题意，求得'()f x ，求得'(1)1f =，得到切线的斜率，利用点斜式方程，即可得到切线的方程；（Ⅱ）由'[()]0f x '>，得到'()f x 在[1,)+∞上是增函数，进而得到''()(1)1f x f ≥=，再根据零点的存在定理，即可求解. （Ⅲ）由题意得2()ln 0x a ag x x x x-=+'+≥在[1,)+∞上恒成立，即2(1)(ln 1)x a x x -≤+在[1,)+∞上恒成立，设2(ln 1)()(1)(1)x x h x x x +=>-，利用导数得到函数()h x 的单调性与最值，即可求解.【详解】解：（Ⅰ）()2ln 2x f x x x -=++' 2ln 3x x=-+则：()11f '=，又()11f =- 所以，所求切线方程为()111y x +=⋅-，即2y x =-． （Ⅱ）因为()'2120f x x x ⎡⎤=+'>⎣⎦， 所以()f x '在[)1,+∞上是增函数， 则()()11f x f ''≥=，所以()f x 在[)1,+∞上是增函数， 又()11f =-，()21f =，所以()f x 在[)1,+∞上有唯一零点，且零点在[]1,2上． （Ⅲ）由题意，()2ln 0x a ag x x x x-+'=+≥在[)1,+∞上恒成立， 即()()21ln 1x a xx -≤+在[)1,+∞上恒成立，当1x =时，a R ∈； 当1x >时，()()2ln 11x x a x +≤-恒成立，设()()()2ln 1(1)1x x h x x x +=>-所以()()()()()222ln 2311x x x x x f x h x x x ⎡'⎤-+-⋅⎣⎦==--，由（Ⅱ）可知，()1,2m ∃∈，使()0f m =，所以，当()1,x m ∈时，()0h x '<，当(),x m ∈+∞时()0h x '> 由此，()h x 在()1,m 单调递减，在(),m +∞单调递增． 所以，()()()2minln 11m m h x h m m +==-又因为()()2ln 230f m m m m =-+-=， 所以32ln 2mm m -=- 从而()()2min2m h x h m m==-， 所以22m a m≤-．又因为，313ln 0222f ⎛⎫=-<⎪⎝⎭， 717117ln 2ln 0444244f ⎛⎫⎛⎫=-+=-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以3724m <<． 由于()22m h m m =-在37,24⎛⎫ ⎪⎝⎭上是增函数，所以()74944h m h ⎛⎫<=⎪⎝⎭， 故()494a h m ≤<． 【点睛】本题主要考查导数在函数中的应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，其中利用导数研究不等式恒成立或解不等式问题，通常首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题．。

某某省沐阳如东中学2020-2021学年高一数学上学期周练试题（含解析）、单项选择题（本大题共 8小题，每小题5分，共计40分•在每小题给出的四个选项中，只有 个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）充要条件D.既不充分也不必要条件设 a,b,e R ,且a b ，则 ()ae be1 B.—1C. a 2b 2 D. a 3 b 3a b1,2, a 3a ,N0,a 1,3 a 2，且 M N0,1，则实数a 的值组成的集合是B.0,1C.1D.已知实数 x,y 满足 4 xy1, 1 4x y 5，则9x y 的取值X 围是（）充分不必要条件 必要不充分条件 B. C. 4. A. A.6. B. (1.设全集 U={1 , 2, 3, 4, 5, 6｝，设集合 P={1 ,2, 3,Q={3 , 4, 5}，则 P n ( GQ)=( A. {1 , 2, 3, 4, 6} B. { 1 , 2,4, 5} C. {1 ,2 , 5}D. {1,2}2. x 2 2x 1的否定是A.x R , x 2 2x 1B.■:—，使得x 2 2x 1D. - ■： - ，使得，:--:: ■■；" 0ac 2be 2是 ab 的（)A.[7,26] [1,20]A . [4,15]D.[1,15] 2y m2m 恒成立，贝U 实数m 的取值X 围是（D. 2,4C.多项选择题（本大题共4小题，每小题5分, 共计20分.在每小题给出的四个选项中，至a fb tc 0 + b 4匸"於+lr + ? = 6,求仅的最大值D. 4少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）29. 设集合A 1，9，m , B= m，1 ，若妇乜曹，则满足条件的实数m的值是A. 0B. 1C. 3D. -310. 下列四个不等式中，解集为的是（）A. x2 X 1 0B. 2x23x 4 024C x2 3x 10 0 D. x 4x a —0（a 0）a11. 十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“二”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“”和“ a,b,c R，则下列命题正确的是（）A .若ab0 且a b , 则1 1 B.若0 a1,则a3aa bC .若a b 0, ，则b1bD.若c b a且ac 0，贝U 2 2cb ab a1aa0, b 0, a b2，则对一切满足条件的a,b恒成立的有（)A. ab1B..a b 2 C2 2.a b 2 2 1 D.2a b三、填空题.（本大题共4题，每题5分，共20分.请同学们将答案填到答题卷上对应的位置处.）P : x 2 , q: x a，若p是q的必要不充分条件，则实数a的取值X围是____________________________ 14. 已知函数f（x） 3x2 bx c，不等式3x2 b x c 0的解集为；-沁-门Vv 汽,则函数f（x） 0的解集为 __________________ .1 1 3 215. 已知实数a 0 , b 0,且一一1，则--------------- ——的最小值为______________ .a b a 1 b 1竝y均为正实数，则H + b +1的最小值为___________________ .（X + 2）y三、解答题（本大题共有6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）5x 2A.0A x| ------------- 3 ,B x| x 1 2 ,C x| m x m 3x 1（1 ）求i i自（2）若CQ（Ar\Q,求m的取值X围.18.已知集合A3 3y | y x2x 1,x ,2 , B x | x m2 1 ,命题P : x2 4A,命题q:x B，并且命题P是命题q的充分条件，某某数m的取值X围.19.某某数的X围，使关于乂的方程x2 + - l)x + 2m + 6 = 0分别满足下列条件:(1) 有两个实根，且一个比2大，一个比2小；(2) 有两个实根.，且满足fvwi < ；：' <耳.20.设f(x) ax2(1 a)x a 2 .(1)若不等式f(x) 2对一切实数x恒成立，某某数a的取值X围;(2)解关于x的不等式f(x) a 1( a R).21.经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量y (千辆/小时) 与汽车的平均速度v （千米/小时）之间的函数关系为：y 卡（v 0）.v 2 2v 900（1） 在该时段内，当汽车的平均速度为多少时， 车流量最大？最大车流量为多少？ （保留分数形式） （2） 若要求在该时段内车流量超过 10千辆/小时，则汽车的平均速度应在什么X 用内？22.已知函数心）=|护- 1| + * +知⑴ 若k=2,求函数砂的零点.⑵ 若函数/'^）在（ 0，2）上有两个零点工仁 心,某某数k 的取值X 围. ⑶在（2）的的条件下证明：...瓯蛊22020-2021学年度第一学期周练 20200917高一数学试题一、单项选择题（本大题共 8小题，每小题5分，共计40分•在每小题给出的四个选项中，只有一 个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）1.设全集 U={1，2，3，4，5，6}，设集合 P={1，2，3，4}，Q{3，4，5}，则 P A （ CQ =（） A. {1，2，3，4, 6} B. { 1 ，2，3, 4, 5} C. {1，2，5}D. {1,2}【答案】D【解析「丄D 正确.2.命题p :x R ，x 2 2x 1 0 ”的否定是（）B.去L R，使得！<2 4 2X4 1 <0 A. x R，x2 2x 1 0【答案】A答案选择AC.0 4.设a,b,e R 且a b ，则（）2 2C. a bD. a 3 b 3A. ae be1 B.- a1 b 【答案】 D【解析】设a,b,eR ,且a b ,则 3 a b 3.M 1,2, a 3a ,N0,a 1,3 2 a ,且MN 0,1 ,则实数a 的值组成的集合是A. 0B.0,1C. 1D.【答案】 A【解析】M N 0,10 M即3a a=0a 0,a 1,a1,b 的充分不必要条件( )【答案】B【解析】 命题P :2 .ae be 2 是a2x的否定是()B. 必要不充分条C.充要条件D. 既不充分也不必要条件【解析】ac 2 be 2是a所以 0时,1时,1时，M1,2,0 1,2,01,2,0a 0,即构成集合为: ,N = 0,1,3符合题意;N= 0,2,2，不符合集合元素互异性; N= 0,0,2不符合集合元素互异性;ab 的 A.充分不必要条件 36. 已知实数x，y满足41, 1 4x y 5，则9x y的取值X围是（[7,26] B. [1,20]A.C. [4,15]D. [1,15]【答案】B【解析】令4x y ,n mJ 3n 4m3则z 9x5m T38 8n3 340亍，因此9x20T,8n3 5m 20，故本题选B.【答案】C + - xy，且x2yB.【解析】由题意, 两个正实数y满足—x 2m恒成立，则实数m的取值X围是（）□o,亠4)U (2T + co)则x 2y (x22y)(-x8,当且仅当4yx—，即xy4,y 2时, 等号成立,2,4又由x 2y 2m恒成立，可得m22m 8，即（m 4)(x 2) 0 ,解得4 m 2，即实数m的取值X围是4,2 .故选：C.8.已知实数规』丄E + n = 0&三+ b2 ^c2= 6,求口的最大值（A.0 D. 4【答案】2【解析】法一：消c,看成b的二次函数，判别式大于等于0•得a的最大值为22 2 2T a+b+c = 0, a+b+c = 6,2 2 2b+c =- a, b +c = 6 - a ,1• bc= ? ( 2bc)=—[(b +c ) 2-( b 2+c 2)]2=a 2- 3••• b 、c 是方程：x 2+ax +a 2-3 = 0的两个实数根,/.△> 0• a 2- 4 ( a 2- 3)> 0即 a 2w 4•••- 2w a w 2即a 的最大值为2 法二：a 用b ，c 表示，利用基本不等式得 a 的最大值为2二、 多项选择题（本大题共 4小题，每小题5分， 共计20分•在每小题给出的四个选项中，至 少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）A . x 2 x 1 0B. 2x 2 3x 49.设集合A 1,9, m , B= m 2,1，若A 「| B B ，则满足条件的实数 m 的值是【答案】 ACD【解析】'■'A 19 m , B 2 .m ,1,ABBm 2 9或m 2 m解得m3，或 m 0, 或m 1 当m 3时，A 19, 3 , B9,1 ,成当m3时，A19,3,B 91 ,成立, 当m 0时，A 19,,B0,1 ,成立,当m1时，A 1,1 , B 1,1 ,不成立,则满足条件的实数 m 的值是0,3, 3B. 1C. 3A. 0 故选ACD10.下列四个不等式中，解集为 的是（）D. -3C. X23x 100D.【答案】BCD【解析】对于A, 2 x x 1 0对应函数y对于B,2x23x4,对应的函数开口向上,对于C 2 x3x100，对应的函数开口向上x2 4x 0(a 0)对于x24x16 11.x2 x 1开口向下,△=9-40<00（a 0）对应的函数开口向下2显然解集不为；其解集为；，其解集为；a 4 0，其解集为；故选：BCD卜六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“”和“ ”符号，并逐渐被数学界接受, 不等号的引入对不等式的发展影响深远.若a,b,c R，则下列命题正确的是（A.若ab 0且a b，则B•若0 1,则aC.若a b0,则b 1a 1baD.若c b a且ac0，则cb2【答案】BC【解析】A . 取a2,1 1b 1，则不成a bB •若0 a1,则 3a a a(a21) 0, a3a，因此正确.C •若a b0 ,则a(b1) b(a 1) a b 0 , a(b 1)b(a1) 0 ,b 1 ba 1 aD •若c b a 且ac 0 ,则a 0 , c 0 ,而b可能为0, 因此cb2ab2不正确. 故选：BC .1 a 0,b0, a b2，则对一切满足条件的a,b恒成立的有（）A. ab1B.、a 、b * 2 C.a2b22D..Z丄2a b【答案】AC D【解析】对于A, 由 2 a b 2 ab，则ab 1，故A正确;正确;ab2三、填空题•(本大题共4题，每题5分，共20分.请同学们将答案填到答题卷上对应的位置处.) p : x 2，q: x a，若p是q的必要不充分条件，则实数a的取值X围是___________________________________________ 【答案】a 2【解析】因为P是q的必要不充分条件，所以，a是,2的真子集，即a 2.故答案为：a 214・已知函数f(x) 3x2 bx c，不等式3x2 bx c 0的解集为(-沆-甘u(°*网)，则函数f(x) 0的解集为 .【答案】(,2] [0,)【解析】函数f(x) 3x2 bx c，不等式3x2 bx c 0的解集为(,2)U(0,)，根据不等式与方程的关系可知，f(x)0的解集为(，2][0,)，故答案为：(，2][0,).15.已知实数a0，b 0，口1 1 彳3且1，则a b a 12的最小值为b 1【答案】2.6【解析】根据题意得到丄a bX变形为ab a b a 1 b 1 1对于B, 令a 1, 2，故a b 2不成立，故B错误; 对于C, 因为a2b2(a b)22ab 2ab 2，故C正确;对于a b~2~ 2b a当且仅当 4 2 2取等号•故D正确.综上所述，正确的为: ACD 故选：ACD.1 1 1 1因为1,故得到3b 2a 3b 2aa ba bO o当且仅当一——时等号成立.a b2 6.故答案为2 6 .16.若勒y 均为正实数，^U F +护+ 1的最小值为 ____________________(x + 2)y【答案】【分析】本题根据 y 为正实数，可对分式的分子分母同时除以 y ，再对分子运用均值不等式，则 变成只关于x 的算式，再令t = x +2,则x = t - 2，可将算式变成只关于 t 的算式，可变成关于 的二次函数的形式取得极小值•即可得出结果. 【解答】解：由题意，可知：••• y 为正实数，•••可对分式的分子分母同时除以y ，得= - 》 ---------------- •(x+2)y----- 二— x+23 ai2 bl3b 2a 5 a-1 b 13b 2a 53b a2a b【解析】若x , y 均为正实数，则 w 为严的最小值为吕字.故答案为：I —5【点评】本题主要考查运用基本不等式将二元问题转化为一元问题•再利用换元法将表达式进一步化简，禾U用二次函数即可得到极小值•本题属较难的中档题.三、解答题（本大题共有6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）1616所以Ax|5^-23 , B x| xx 11 2 ,C x| m(1) 求 M ；(2) 若 U (A，求m 的取值 X围.【解斤】（ 1)A 1,5 ,B 3,12(2) 因为 C A 「IC ，所以CA①当 m m 33即m时，C2②当m m 33即m时，因 为C2综上:m115，所以18.已知集合1,x3,2m 2,命题 P : x A ,命题 q :x B ，并且命题p 是命题q 的充分条件, 某某数的取值X 围.【解析】化简集合，由■/ -、：、-:.]，配方,因为x4,2 ，所以『min7, y max所以y符合题意A ，所以27 因为命题P 是命题q 的充分条件，所以 A B ，所以1 m 2163 33 3解得m ，或m .所以实数m 的取值X 围是 ，，4 44419.某某数二的X 围，使关于匸的方程x z + 2(m-l)r + 2m + b=0分别满足下列条件: (1) 有两个实根，且一个比 2大，一个比2小；(2) 有两个实根a.伏 且满足0 < tr < 1< p<4.o20.设 f (x) ax (1 a)x a 2 .(1) 若不等式f (x)2对一切实数x 恒成立，某某数a 的取值X 围;(2) 解关于x 的不等式f(x) a 1( a R ).【解析】恒成立.当a 0时，不等式可化为 x 1,所以不等式的解集为｛x|x 1｝；1当a 0时，不等式可化为(ax 1)(x 1)0,此时 1 , a1所以不等式的解集为｛x|1x 1｝；a当a 0时，不等式可化为(ax 1)(x 1)0 ,1<得<VIZ- 2 (1)由题意，不等式f (x)2对于一切实数x 恒成立，等价于ax 2(1 a)x a > 0对于一切实数x0时, 不等式可化为不满足题意;0时, a 0满足，即a 2 4a 21，解得a -3(2) 不等式f (x) a 1 等价于 ax?(1 a)x\171①当a 1时，一1，不等式的解集为｛x|x 1｝;a②当1 a 0时, 11，不等式的解集为x xa丄或x 1 ；a1 、③当a 1时，一 1，不等式的解集为 xx 1或xa21.经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量(1)在该时段内，当汽车的平均速度为多少时， 车流量最大？最大车流量为多少？(保留分数形式)10千辆/小时，则汽车的平均速度应在什么X 用内?【解析】均速度v (千米/小时)之间的函数关系为:700v v 2 2v 900y (千辆/小时)与汽车的平(2 )若要求在该时段内车流量超过(1)依题得700v~2 - v 2v900700- 9002 vv700c f9002屮T31 .当且仅当900，即vv30时, 上时等号成立,y max 35031(千辆/时)30km / h时，车流量最大，最大车流量约为350千辆/时;31(2 )由条件得 2 丫0：“ 10，因为v22vv2 2v 900900 0，所以整理得v268v 900 0，即v 18 v 50 0，解得18 v 50.如果要求在该时段内车流量超过10千辆/时，则汽车的平均速度应大于18km/h 且小于50km / h .22.已知函数-l '■- :■■■'(1) 若＜= 2,求函数f(X〕的零点•(2) 若函数在(0，2)上有两个零点•，某某数L的取值X围.⑶在(2)的的条件下证明：_十丄fri衍已知f( x) kx+1, [-1, 1]2/就-匚-l)U(b 心：(1)若k= 2,求函数f (x)的零点;(2) 若函数f (x )在(0, 2)上有两个不同的零点，求 k 的取值X 围;(3) 在(2)的条件下证明： 亠一 J 」V 4.【分析】(1)通过k = 2，禾U 用分段函数求出方程的根，即可得到函数 f (x )的零点;(2) 判断函数f (乂)在(0, 2) 上有两个不同的零点所在区间，利用跟与系数的关系，列出不 等式组即可求k的取值X 围; 0 V x i V 1 V X 2< 2,通过 1 - x i 2 =- x i 2- kx i ； X 22 - 1 =- X 22 - kx 2.逐(0)= 1> 0 ②两个零点都在(1, 2)时，显然不符合跟与系数的关系, 7综上k 的取值X 围：(可，-1].(3) 证明：不妨设 0V X 1< 1V X 2< 2有 1 - X 12=- X 12 - kx 1； X 22 - 1 =- X 22 - kx 2..一「；…=02吧将k 代入得2X 22-—- 1 = 0 即 2x 2 - 11- s 2 mir +叱 =2x V 4.=0(3)在(2)的条件下，不妨设 2x 2V 4. 【解答】(1) (x)= x€ [T, 1] 2?+2^-L* (-0 -1)U ⑴ 心； 令2x +1 = 0可得x =- 2 2x +2x - 1 = 0 可得 x 2，-1±V3函数的零点是: 2 1 -1-V3 2 ? ~2 s (1, +s )故舍去. (2)v f (x ) ki ：+l, x. 6 L] (li 2) ①函数在(0, 1] , ( 1 , 2)各一个零点，由于 f [fdXo 百⑵>0 X 1X 2= 一二 I,步化简证明 1【点评】本题考查函数与方程的关系的应用，函数的零点以及不等式的证明，考查分析问题解决问题的能力.。

江苏省如东高级中学2020┄2021学年第一学期第一次月考试卷10高一化学本试卷分第一卷（选择题）和第二卷（非选择题）两部分。

第一卷从第1页至第4页，第二卷从第5页至第7页。

考试结束后，将第一卷答题卡和第二卷答题纸一并交监考老师。

考试时间100分钟，满分100分。

第一卷（选择题 共48分）注意事项：1．作答第一卷前，请考生务必将自己的姓名、考试号用0.5毫米的黑色签字笔写在答题卡上相应的位置，并将考试号和考试科目用2B 铅笔正确填涂在答题卡的相应位置。

2．第一卷答案必须用2B 铅笔填涂在答题卡上，在其他位置作答一律无效。

每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

可能用到的相对原子质量：H 1 C 12 N 14 O 16 Na 23 Al 27 S 32Cu 64 Ba 137一、选择题（本题包括8小题，每小题3分，共24分。

每小题只有一个．．．．选项符合题意） 1．“化学――人类进步的关键！”这是诺贝尔化学奖获得者G.T.Seabory 教授在美国化学会成立100周年大会上讲话中的著名论断。

化学与社会以及人民生活质量的提高有着密切的关系。

下面是人们对化学的一些认识，其中不科学．．．的是 A ．化学是一门以实验为基础的科学B ．化学是研究物质的组成、性质、结构、用途以及合成等的一门科学C ．化学反应中反应物都能100％的转化为生成物D ．化学将在能源、资源的合理开发和安全应用方面大显身手2．对危险化学品要在包装标签上印有警示性标志。

氢氧化钠溶液应选用的标志是A ．BC ． D3．下列对溶液、胶体和浊液的认识正确的是A．三种分散系的分散质均能通过滤纸B．胶体在一定的条件下也能稳定存在C．胶体带电荷，而溶液呈电中性D．胶体区别于其他分散系的本质特征是产生丁达尔现象4.分类法是一种行之有效、简单易行的科学方法，人们在认识事物时可以采取多种分类方的是法。

江苏省如东高级中学2020届高三第一阶段测试数学试题 2020.8.25一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将所选答案填在题后括号内 1．集合M=｛x |4|3|≤-x ｝, N=｛x x y y -+-=22|｝, 则 M I N = （ ）A ．{0}B ．{2}C ．ΦD ．{}72|≤≤x x 2．根据表格中的数据，可以判定方程20x e x --=的一个根所在的区间为x－1 0 1 2 3 x e0.37 1 2.72 7.39 20.09 2x + 1 2 34 5A ．(1,0)-B ．(0,1)C ．(1,2)D ．(2,3)3．已知5sin α=，则αα44cos sin -的值为 （ ） Ａ．35- Ｂ．15- Ｃ．15 Ｄ．354．已知22()ln(1)f x x x x =+++，且(2) 4.627f =，则(2)f -=（ ） A. —4.627 B. 4.627 C. －3.373 D. 3.373 5．已知曲线33:x x y S -=及点)2,2(P ,则过点P 向曲线S 可引切线的条数为 （ ) A 、0 B 、1 C 、2 D 、36．以下都是同一坐标系中三次函数及其导函数的图像，其中一定不正确的序号是 （ ）A ．①、②B ．①、③C ．③、④D ．①、④ 7．已知p 是r 的充分条件而不是必要条件，q 是r 的充分条件，s 是r 的必要条件，q 是s 的必要条件。

现有下列命题：①s 是q 的充要条件；②p 是q 的充分条件而不是必要条件；③r 是q 的必要条件而不是充分条件；④s p ⌝⌝是的必要条件而不是充分条件；⑤r 是s 的充分条件而不是必要条件，则正确命题序号是 （ ） A.①④⑤ B.①②④ C.②③⑤ D. ②④⑤ 8．若110x <<，则以下各式正确的是 （ ） A. 22lg lg lg(lg )x x x >> B. 22lg lg lg(lg )x x x >> C. 22lg lg(lg )lg x x x >> D. 22lg(lg )lg lg x x x >>9．已知)(x f 是定义R 在上的偶函数，对任意R x ∈，都有)2()()4(f x f x f +=+，若2)1(=f ，则)2007()2006(f f +等于A ． 2020B ． 2020C ． 2D ．0 10. 如图，设点A 是单位圆上的一定点，动点P 从点A 出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P 所旋转过的弧AP 的长为l ，弦AP 的长为d ，则函数d=f(l )的图象大致是AB C D二、填空题：本大题共6小题，每小题6分，共36分．答案填在题中横线上 11．已知cos tan 0θθ<g ，那么角θ是第 ▲ 象限角.12．已知x x x f cos 3sin 2)(cos 2-=，则)30(sin οf =______▲ _________ .13．若}06|{},065|{2=-==+-=ax x B x x x A ，且A B A =Y ，则 a 的值的的集合 ▲ .14．已知函数f (x )满足：f (p +q ) = f (p ) f (q ) ，且 f (1)=3, 则(2)(4)(6)(8)(1)(3)(5)(7)f f f f f f f f +++= ▲ .15．函数()f x 满足1(0,1)1()xa a a f x =>≠+，若12()()1f x f x +=，则12()f x x +的最大值为 ▲ ． 16. 已知函数3214()333f x x x x =--+，直线l 1：9x ＋2y ＋c ＝0．若当x ∈[－2，2]时，函数y ＝f (x )的图像恒在直线l 的下方，则c 的取值范围是 ▲ .三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算17．（14分）设函数f (x )=,22aax x c ++其中a 为实数. (Ⅰ)若f (x )的定义域为R ,求a 的取值范围; (Ⅱ)当f (x )的定义域为R 时，求f (x )的单减区间.18．（16分）已知函数()),0(2R a x xax x f ∈≠+= （1）判断函数()x f 的奇偶性；（2）若()x f 在区间[)+∞,2是增函数，求实数a 的取值范围。

江苏省宿迁市沭阳县潼阳中学2020-2021学年高三上学期第一次月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}22(,)|1A x y x y +==，(){},21B x y y x ==+，则集合AB 中元素的个数为（ ） A ．3B ．2C ．1D ．02．设i 是虚数单位，则复数21ii-在复平面内所对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．若方程22153x y m m +=-+表示椭圆，则m 的取值范围是（ ）A ．()3,5-B ．()5,3-C ．()()3,11,5- D ．()()5,11,3-4．在ABC 中，2AB AC AD +=，20AE DE +=，若EB xAB y AC =+，则（ ） A ．2y x =B ．2y x =-C ．2x y =D ．2x y =-5．朱世杰是历史上最伟大的数学家之一，他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数”五问有如下表述：“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多七人，每人日支米三升”.其大意为“官府陆续派遣1864人前往修筑堤坝，第一天派出64人，从第二天开始每天比前一天多派出7人，修筑堤坝的每人每天分发大米3升”，则前3天共分发大米（ ） A ．234升B ．468升C ．639升D ．903升6．设0a >，0b >，且21a b +=，则12aa a b++（ ）A ．有最小值为4B ．有最小值为1C ．有最小值为143D ．无最小值7．已知数列{}n a 满足12a =，110+-+=n n a a ，则10a =（ ）． A ．8-B ．7-C ．6-D ．5-8．双曲线()2210x y mn m n-=>有一个焦点与抛物线24y x = 的焦点重合，则m n + 的值 为（ ） A ．3B ．2C ．1D ．以上都不对9．已知函数()sin f x x a x =-，对任意的实数1x ，()2,x ∈-∞+∞，且12x x ≠，不等式()()1212f x f x a x x ->-恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．12a <B ．12a ≤C ．12a >D ．12a ≥二、多选题10．数列{}n a 为等比数列（ ）. A ．{}1n n a a ++为等比数列 B ．{}1n n a a +为等比数列 C ．{}221n n a a ++为等比数列D ．{}n S 不为等比数列（n S 为数列{}n a 的前n 项）11．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，则下列四个命题正确的是（ ）A ．直线BC 与平面11ABC D 所成的角等于4π B ．点C 到面11ABC DC ．两条异面直线1D C 和1BC 所成的角为4π D ．三棱柱1111AA D BB C -12．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>，右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M ，N 两点，则有（ ）A．渐近线方程为y = B．渐近线方程为y x = C ．60MAN ∠=︒ D ．120MAN ∠=︒三、填空题13．已知tan 2α=，则cos 22απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭________. 14．已知函数2,1()43,1x x f x x x x ⎧⎪=⎨+->⎪⎩，则()f x 的值域是________. 15．直线40kx y ++=将圆C ：2220x y y +-=分割成两段圆弧之比为3:1，则k =______.16．已知各项均为正数的等比数列{a n }，若2a 4＋a 3－2a 2－a 1＝8，则2a 8＋a 7的最小值为______.四、解答题17．已知集合{}2|230A x x x =+-<，{}|||1B x x a =+<.（1）当3a =时，求A B ；（2）设:p x A ∈，:q x B ∈，若q 是p 成立的充分不必要条件，求实数a 的取值范围. 18．已知函数()3f x ax x b =-+（0a ≠），若函数()f x 在点()()1,1f 处的切线方程是230x y -+=．（1）求函数()f x 的解析式； （2）求()f x 的单调区间．19．如图，在四棱锥P ABCD -中，P A ⊥底面ABCD ，BC ∥AD ，AB ⊥BC，PA AB =22AD BC ==，M 是PD 的中点.（1）求证：CM ∥平面P AB ； （2）求二面角M AC D --的余弦值.20．已知椭圆与双曲线221412x y -=的焦点相同，且它们的离心率之和等于145.（1）求椭圆方程；（2）过椭圆内一点(1,1)M 作一条弦AB ，使该弦被点M 平分，求弦AB 所在直线方程.21．某投资商到邢台市高开区投资72万元建起一座汽车零件加工厂，第一年各种经费12万元，以后每年增加4万元，每年的产品销售收入50万元．（Ⅰ）若扣除投资及各种费用，则该投资商从第几年起开始获取纯利润？（Ⅱ）若干年后，该投资商为投资新项目，需处理该工厂，现有以下两种处理方案：① 年平均利润最大时，以48万元出售该厂； ② 纯利润总和最大时，以16万元出售该厂． 你认为以上哪种方案最合算？并说明理由．22．记n S 是正项数列{}n a 的前n 项和，1n a +是4和n S 的等比中项. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）记11(1)(1)n n n b a a +=++，求数列{}n b 的前n 项和n T .参考答案1．B 【分析】集合A 表示圆上的点，集合B 表示直线上的点，联立方程判断根的个数即得交集元素的个数. 【详解】依题意，集合A 表示圆221x y +=上的点，集合B 表示直线21y x =+上的点，故集合AB中元素表示直线与圆的交点，联立22121x y y x ⎧+=⎨=+⎩得2540x x +=，方程有两根，故直线与圆有两个交点，故集合A B 中有2个元素.故选：B. 【点睛】本题考查了直线与圆的交点个数和集合的交集运算，属于基础题. 2．B 【解析】试题分析：由题意得()()()2121111i i i i i i i +==-+--+ ，所以在复平面内表示复数1i -+的点为()1,1-在第二象限．故选B ．考点：复数的运算；复数的代数表示以及几何意义. 3．C 【分析】由方程22153x ym m +=-+表示椭圆可得503053m m m m ->⎧⎪+>⎨⎪-≠+⎩，解出即可. 【详解】若方程22153x y m m +=-+表示椭圆，则503053m m m m ->⎧⎪+>⎨⎪-≠+⎩，解得31m -<<或15m <<. 故选：C. 【点睛】本题考查对椭圆标准方程的理解，属于基础题. 4．D 【分析】画出图形，将,AB AC 作为基底向量，将EB 向量结合向量的加减法表示成两基底向量相加减的形式即可求解 【详解】如图，由题可知，点D 为BC 的中点，点E 为AD 上靠近D 的三等分点，()()111121326233EB ED DB AD CB AB AC AB AC AB AC =+=+=++-=-， 21,,233x y x y ∴==-∴=-故选：D 【点睛】本题考查平面向量的基本定理，属于基础题 5．C 【分析】根据题意，得到等差数列的首项164a =，公差7d =，从而求出其前3项的和，再求出3共分发的大米，得到答案. 【详解】由题意可知每天派出的人数构成等差数列，记为{}n a ，且164a =，公差7d =， 则前3项和33236472132S ⨯=⨯+⨯=， 则前3天共分发大米2133639⨯=（升）， 故选：C. 【点睛】本题主要考查等差数列的前n 项和公式，属于简单题. 6．B 【分析】0a >，0b >，且21a b +=，可得12b a =-．代入12aa a b++，化简整理利用基本不等式的性质即可得出． 【详解】0a >，0b >，且21a b +=，120b a ∴=->，解得102a <<．∴12122(1)1212122(1)()2321111a a a a a a a a b a a a a a a a a---+=+=+-=+-+-=++-+----12111a a a-+=-，当且仅当1a =，3b =-∴12aa a b++有最小值1． 故选：B ． 【点睛】本题考查基本不等式的性质、方程的解法，考查推理能力与计算能力． 7．B 【解析】∵数列{}n a 满足12a =，110+-+=n n a a ，故11n n a a +-=-，∴数列{}n a 是以2为首项，1-为公差的等差数列， ∴1029(1)7a =+⨯-=-． 本题选择B 选项. 8．C 【分析】求出抛物线的焦点坐标，双曲线的焦点坐标，然后求出m n +的值． 【详解】解：双曲线()2210x y mn m n-=>有一个焦点与抛物线24y x =的焦点(1,0)重合，1，解得：1m n +=． 故选：C ． 【点睛】本题考查抛物线的简单性质的应用，双曲线的简单性质的应用，考查计算能力，属于基础题． 9．B 【分析】 由题可得()11122212sin sin 0x ax a x x ax a x x x ----->-，构造函数()sin g x x ax a x =--，可知()g x 在R 上为增函数，利用导数即可求出. 【详解】()()1212f x f x a x x ->-，且()sin f x x a x =-，()()11221112221212sin sin sin sin 0x a x x a x x ax a x x ax a x a x x x x --------∴-=>--，令()sin g x x ax a x =--，则1212()()0g x g x x x ->-对任意的实数1x ，()2,x ∈-∞+∞，且12x x ≠都成立， ()g x ∴在R 上为增函数，即()1cos 0g x a a x '=--≥恒成立，整理得()1cos 1x a +≤，可知1cos 0x +≥ 当1cos 0x +=时，不等式成立， 当1cos 0x +>时，11cos a x ≤+恒成立，又111cos 2x ≥+，12a ∴≤. 故选：B. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，属于中档题. 10．BCD 【分析】举反例，反证，或按照等比数列的定义逐项判断即可. 【详解】解：设{}n a 的公比为q ，A. 设()1nn a =-，则10n n a a ++=，显然{}1n n a a ++不是等比数列.B.2211n n n n a a q a a +++=，所以{}1n n a a +为等比数列. C. ()()24222221222211n n n n n n a q q a a q a a a q +++++==++，所以{}221n n a a ++为等比数列. D. 当1q =时，n S np =，{}n S 显然不是等比数列； 当1q ≠时，若{}n S 为等比数列，则()222112n n n S S n S -+=≥，即()()()211111111111n n n a q a q a q q q q-+⎛⎫⎛⎫⎛⎫---⎪⎪⎪= ⎪ ⎪⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以1q =，与1q ≠矛盾，综上，{}n S 不是等比数列. 故选：BCD. 【点睛】考查等比数列的辨析，基础题. 11．ABD 【分析】对于A ，由直线与平面夹角的定义可知1CBC ∠即为直线BC 与平面11ABC D 所成的角，结合正方体性质即可得解；对于B ，由1B C ⊥平面11ABC D ，可知C 到面11ABC D 的距离为1B C 长度的一半，即可求解；对于C ，由于11//BC AD ，则异面直线1D C 和1BC 所成的角为1AD C ∠，根据边的关系即可得解；对于D ，正方体1111ABCD A B C D -的外接球即为三棱柱1111AA D BB C -外接球，由外接球性质即可得解. 【详解】正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，对于A ，直线BC 与平面11ABC D 所成的角为14CBC π∠=，故A 正确；对于B ，因为1B C ⊥平面11ABC D ，点C 到面11ABC D 的距离为1B C 长度的一半，即h =，故B 正确；对于C ，因为11//BC AD ，所以异面直线1D C 和1BC 所成的角为1AD C ∠，而1AD C 为等边三角形，故两条异面直线1D C 和1BC 所成的角为3π，故C 错误； 对于D ，因为11111,,A A A B A D 两两垂直，所以三棱柱1111AA D BB C -外接球也是正方体1111ABCD A B C D -的外接球，故22r ==，故D 正确． 综上可知，正确的为ABD ， 故选：ABD. 【点睛】本题考查了空间结构体线面位置关系的综合应用，直线与平面的夹角，直线与平面垂直性质，点到平面距离及三棱柱外接球的求法，属于中档题. 12．BC 【分析】由离心率公式22222c a b a a +=化简可得渐近线方程，通过求圆心A 到渐近线的距离结合直角三角形可得到MAN ∠的值.【详解】双曲线2222:1y ,x y b C x a b a -==±的渐近线方程为离心率为c a =222222222411,,333c a b b b b a a a a a 则则，+==+===±故渐近线方程为y x =±， 取MN 的中点P,连接AP,利用点到直线的距离公式可得d AP ab c==, 则cos ab AP a c PAN AN b c∠===， 所以221cos cos 2212a MAN PAN c ∠=∠=⨯-=则60MAN ∠=︒故选BC【点睛】本题考查双曲线的简单的几何性质，考查双曲线的渐近线和离心率的应用，考查圆的有关性质，属于中档题. 13．45-【分析】利用诱导公式、二倍角的正弦公式以及齐次式即可求解. 【详解】222sin cos cos 2sin 22sin cos 2sin cos ααααααααπ-⎛⎫+=-=-= ⎪+⎝⎭222tan 224tan 1215αα--⨯===-++. 故答案为：45-【点睛】本题考查了诱导公式、二倍角的正弦公式以及齐次式求三角函数值，需熟记公式，属于基础题.14．[0，+∞) 【分析】求出1x 时二次函数的值域，再由基本不等式求出1x >时函数的值域，取并集得答案． 【详解】解：由2,1()43,1x x f x x x x ⎧⎪=⎨+->⎪⎩，知当1x 时，20x ； 当1x >时，44323431x x x x +--=-=，当且仅当4x x=，即2x =时取“=”， 取并集得：()f x 的值域是[)0,+∞． 故答案为：[)0,+∞． 【点睛】本题考查分段函数值域的求法，分段函数的值域分段求，然后取并集即可，属于中档题． 15．7± 【分析】先转化条件得到圆心到直线的距离为2r ，再求圆心(0,1)C 、半径1r =、圆心(0,1)C 到直线40kx y ++=的距离并建立方程，最后求解k 即可. 【详解】解：因为直线40kx y ++=将圆C ：2220xy y +-=分割成两段圆弧之比为3:1， 所以直线过圆的弦所对的圆心角为2π， 所以圆心到直线的距离为2，因为圆C 的方程：2220x y y +-=，所以圆心(0,1)C ，半径1r =， 所以圆心(0,1)C 到直线40kx y ++=的距离为：d =2=7k =±， 故答案为：7±. 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，点到直线的距离、利用圆的方程求圆心与半径，是基础题. 16．54 【解析】由题意知等比数列{}n a 中，0n a >，则公比0q >4321228a a a a +--= 321111228a q a q a q a ∴⋅+⋅--=即()3212218a q q q +--= 则()()212118a q q +-=()128211a q q +=- ()6687124688221111a a a q q q q q q ∴+=+⋅=⨯=-- 设21x q =，则0x >，设234611y x x q q =-=- 则()22323y x x x x '=-=-，令0y =，得0x =或23当203x <<时，0y '>， 当23x >时，0y '< ∴函数23y x x =-在203⎛⎫⎪⎝⎭，上递增，在23⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，上递减，当23x =时，函数y 取得最大值是232243327⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 则46811q q -取到最小值是278544⨯= 即872a a +的最小值为54点睛：由题意知0n a >和公比0q >，由通项公式代入式子:4321228a a a a +--=，化简得到()128211a q q +=-，同理化简872a a +，再把上式代入用q 来表示且化简，设21x q =并构造函数234611y x x q q =-=-，再求导，求临界点和函数单调区间，求出函数的最大值，代入872a a +的化简后式子求出最小值． 17．（1）()3,2--；（2）[]0,2. 【分析】（1）由2230x x +-<，解得x 范围，可得A ，由3a =可得：|3|1x +<，解得B ．即可得出AB ．（2）由||1x a +<，解得(1,1)B a a =---．根据p 是q 成立的必要条件，利用包含关系列不等式即可得出实数a 的取值范围． 【详解】（1）由2230x x +-<，解得31x -<<，可得：(3,1)A =-．3a =，可得：|3|1x +<，化为：131x -<+<，解得42x -<<-，(4,2)B ∴=--．所以AB =()3,2--.（2）q 是p 成立的充分不必要条件，所以集合B 是集合A 的真子集. 由||1x a +<，解得11a x a --<<-． (1,1)B a a ∴=---，又集合A =()3,1-，所以 1311a a --≥-⎧⎨-+<⎩或1311a a -->-⎧⎨-+≤⎩解得0≤a ≤2，即实数a 的取值范围是[]0,2. 【点睛】本题考查了简易逻辑的判定方法、集合之间的关系、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．18．（1）()35f x x x =-+；（2）增区间为,3⎛-∞ ⎝⎭，3⎛⎫∞ ⎪ ⎪⎝⎭，减区间为33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭． 【分析】（1）求出()f x 的导数，则=(1)k f '切，即可求出a ，求出切点，将点代入函数即可求出b ，继而得出解析式；（2）根据()f x 的导数的正负即可得出单调区间. 【详解】（1）由()3f x ax x b =-+，得()231f x ax '=-，所以()1312f a '=-=，所以1a =．把1x =代入230x y -+=，得切点为()1,5，所以()1115f b =-+=，得5b =， 所以()35f x x x =-+．（2）由（1）知，()231f x x '=-，令()2310f x x '=->，解得3x >或3x <-；令()2310f x x '=-<，解得33x -<<．所以()f x 的增区间为⎛-∞ ⎝⎭，⎫∞⎪⎪⎝⎭，减区间为⎛ ⎝⎭． 【点睛】本题考查已知切线求参数，考查利用导数求函数的单调区间，属于基础题.19．（1）证明见解析（2 【分析】（1）取AP 的中点E ，可证得四边形BCME 为平行四边形，从而得到//MC BE ，由线面平行判定定理可证得结论；（2）根据垂直关系可以A 为坐标原点建立空间直角坐标系，根据二面角的向量求法可求得结果. 【详解】（1）如图，取AP 的中点E ，连接,BE EM .,E M 分别为,PA PD 的中点，1//2EM AD ∴， 又//BC AD 且2AD BC =，//EM BC ∴，∴四边形BCME 为平行四边形，//BE CM ∴，又CM ⊄平面PAB ，BE ⊂平面PAB ，//MC ∴平面PAB .（2）由题意知：,,PA AB AD 两两垂直，以A 为坐标原点，,,AB AD AP 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系：则()0,0,0A ，()0,2,0D ，)C，0,1,2M ⎛ ⎝⎭，(P ，()2,1,0AC ∴=，0,1,2AM ⎛= ⎝⎭，(AP =， 设平面MAC 的法向量(),,n x y z =，则20202AC n xy AM n y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令y =，则1x =-，2z =-，()1,2,2n ∴=--. PA ⊥平面ABCD ，AP∴为平面ACD 的一个法向量，cos ,72AP n AP n AP n⋅∴<>===-⋅，二面角M AC D --为锐二面角，∴二面角M AC D --的余弦值为7. 【点睛】本题考查立体几何中线面平行关系的证明、空间向量法求解二面角的问题；考查学生的逻辑推理、运算和求解能力，属于常考题型.20．（1）221259y x +=；（2）259340x y +-=． 【解析】试题分析：（1）求出椭圆的焦点和离心率，进而得到双曲线的离心率和焦点，再由椭圆的a ，b ，c 的关系，即可得到椭圆方程；（2）设出弦AB 的端点的坐标，代入椭圆方程和中点坐标公式，运用作差，结合平方差公式和斜率公式，由点斜式方程即可得到直线AB 的方程 试题解析：（1）由题意知，双曲线的焦点坐标为，离心率为422e ==， 设椭圆方程：，则，， ，椭圆方程为：．（2）设，为弦的中点，，由题意：，得，，此时直线方程为：，即，故所求弦所在的直线方程为．考点：1．椭圆和双曲线的方程和性质；2．直线与椭圆相交的位置关系21．（1）从第3年起；（2）两种方案获利都是144万元，但方案①只需要6年，而方案②需要10年，所以选择方案①最合算． 【解析】本试题主要考查了函数在实际生活中的运用．解：由题意知，每年的经费是以12为首项、4为公差的等差数列，设纯利润与年数的关系为()f n ，则()()215012472240722n n f n n n n n ⎡⎤-=-+⨯-=-+-⎢⎥⎣⎦． ………………3分（Ⅰ）令()0f n >，即2240720n n -+->，解得218n <<．由*n N ∈可知，该工厂从第3年起开始获得纯利润； …………………………5分（Ⅱ）按方案①：年平均利润为()36402()40216f n n nn =-+≤-⨯=，当且仅当36n n=，即6n =时取等号，故按方案①共获利61648144⨯+=万元，此时6n =； ………………………………8分按方案②：()()2224072210128f n n n n =-+-=--+，当10n =时，，故按方案②共获利万元，此时10n =．比较以上两种方案，两种方案获利都是144万元，但方案①只需要6年，而方案②需要10年，所以选择方案①最合算． ………………………………12分 22．（1）21n a n =-；（2）4(1)n nT n =+.【分析】（1）本小题先借n S 与n a 的关系判断数列{}n a 为等差数列，再求通项公式即可； （2）本小题直接运用裂项相消法求解即可. 【详解】（1）因为1n a +是4和n S 的等比中项，所以2(1)4n n a S +=①，当2n ≥时，211(1)4n n a S --+=②，由①②得：2211(1)(1)44n n n n a a S S --+-+=-，化简得221(1)(1)n n a a --=+，即111n n a a --=+或者11(1)0n n a a --++=（舍去），故12n n a a --=(2)n ≥，数列{}n a 为等差数列，因为211(1)4a S +=，解得11a =，所以数列{}n a 是首项为1、公差为2的等差数列， 通项公式：21n a n =-. （2）∵ 111111(1)(1)2(22)41n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪++⋅++⎝⎭，∴12311111111(1)()()()42233414(1)n n nT b b b b n n n ⎡⎤=++++=-+-+-++-=⎢⎥++⎣⎦. 【点睛】本题考查数列通项公式的求法以及数列的前n 项和的求法，考查等差数列的判定，考查裂项相消法求和，考查推理能力与计算能力，是中档题.。

江苏省沭阳如东中学2020-2021学年高一数学上学期第一次阶段测试试题（含解析）一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）1.计算的结果是( )A. B. － C. D. －【答案】A【解答】解：.故选A.2.已知集合，，则的子集个数是（）A. 4B. 8C. 16D. 32【答案】C【解答】解∵集合A={-1,0},B={0,1,2},则A∪B={-1,0,1,2},∴集合A∪B的子集个数为24=16.故选C.3.命题p：∀x≥0，x2-ax+3＞0，则￢p为（）A. ∀x＜0，x2-ax+3≤0B. ∃x≥0，x2-ax+3≤0C. ∀x≥0，x2-ax+3＜0D. ∃x＜0，x2-ax+3≤0【答案】B【解析】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“：∀x≥0，x2-ax+3＞0”的否定是∃x≥0，x2-ax+3≤0．故选：B．4.“a＞0，b＜0”是“ab＜0”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】解：若a＞0，b＜0，则必有ab＜0．若ab＜0，则a＞0，b＜0或a＜0，b＞0．所以“a＞0，b＜0”是“ab＜0”的充分不必要条件．故选：A．5.下列说法：①很小的实数可以构成集合；②若集合满足则；③空集是任何集合的真子集；④集合,则.其中正确的个数为（）.A. B. C. D.【答案】A【解答】解：①不正确；②不正确，应该是;③不正确，空集是任何集合的子集；④不正确，,;故选A.6.已知，，且，则的最大值为（）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】B【解答】解：由，化为，∵x＞0，y＞0，∴．令x+2y=t＞0，∴，化为t2-6t+8≤0，解得2≤t≤4．∴x+y的最大值是4．故选B．7.若不等式ax2+bx+c＞0的解为m＜x＜n（其中m＜0＜n），则不等式cx2-bx+a＞0的解为（）A. x＞-m或x＜-nB. -n＜x＜-mC. x＞-或xD.【答案】C【解析】解：不等式ax2+bx+c＞0的解为m＜x＜n，所以a＜0，且；所以b=-a（m+n），c=amn，所以不等式cx2-bx+a＞0，可化为amnx2+a（m+n）x+a＞0；又a＜0，所以mnx2+（m+n）x+1＜0，即（mx+1）（nx+1）＜0；又m＜0＜n，所以不等式化为（x+）（x+）＞0，且-＞-；所以解不等式得x＞-或x＜-，即不等式cx2-bx+a＜0的解集是（-∞，-）∪（-，+∞）．故选：C．8.关于的不等式恰有2个整数解，则实数的取值范围是A. ，，B. ，，C. ，，D. ，，【答案】B【解答】解：由题恰有2个整数解，即恰有两个解，，即，或．当时，不等式解为，，恰有两个整数解即：1，2，，，解得：；当时，不等式解为，，，恰有两个整数解即：，，，，解得：，综上所述：或．二、多项选择题（本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分）9.设集合，，若满足，则实数a可以是（）A. 0B.C.D. 3【答案】ABC【解答】解：，∵，所以,∴或空集，当a=0时，B为空集；当，将x=3代入，得；当，将x=5代入，得，∴.故选ABC.10.下列说法正确的有（）A. 不等式的解集是B. “a>1，b>1”是“ab>1”成立的充分条件C. 命题，，则，D. “a<5”是“a<3”的必要条件【答案】ABD【解答】解：由得，，，故A正确；时一定有，但时不一定有成立，如，满足，但，因此“，”是“”成立的充分条件，故B正确；命题，，则，，故C错误；不能推出，但时一定有成立，“”是“”的必要条件，故D正确．11.下列说法不正确的是（）A. 若，，，则的最大值为4B. 若，则函数的最大值为C. 若，，，则的最小值为1D. 函数的最小值为4【答案】AC【解答】解：对于A,若x,y>0,满足x+y=2,则+2=22=4,当且仅当x=y=1时,取得最小值4,故A 错误;对于B,若x<,即2x-1<0,则函数y=2x+=(2x-1)++1，当且仅当x=0时取等号，即函数的最大值为-1,故B正确;对于C,若x,y>0,满足x+y+xy=3, 当且仅当x=y=1时,取得等号,即的最大值为1,故C错误;对于D,当且仅当时,取得等号,即函数的最小值为4，故D正确.故选AC.12.对，表示不超过x的最大整数．十八世纪，被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”，则下列命题中的真命题是A. ，B. ，的图像关于原点对称C. 函数，y的取值范围为D. 恒成立【答案】ACD【解答】解：对于A，由定义得[x]x<[x]+1，∴，，故选A正确；对于B，当0x<1时，=0，当-1<x<0时，=-1，故，不是奇函数，故B错误；对于C，由定义x-1<[x]x，0x-[x]<1，函数的值域为，故C正确；对于D，,[x]x，[y]y，[x]+[y]x+y，[x]+[y][x+y]，故D正确.故选ACD.三、填空题.（本大题共4题，每题5分，共20分.请同学们将答案填到答题卡上对应的位置.） 13. 设:x-5或x1,:x-2m -3或x-2m +1,mR ,是的充分不必要条件,则实数m 的取值范围是 . 【答案】【解答】解：是的充分不必要条件，，且等号不能同时成立，解得.故答案为14. 设一元二次方程的两个根分别为，，则方程可写成，即，容易发现根与系数的关系：，设一元三次方程的三个非零实数根分别为，，，以下命题：；；；正确命题的序号是_____．【答案】解：一元三次方程的三个非零实根分别为，，，则方程可表示为，即，所以，故正确；，故正确；，故正确；，故错误．故正确的为，15、设实数y x ,满足则 的最小值为 . 【答案】36 16、设，且，则的最小值为 .【答案】解：因为，且所以,94,8322≤≤≤≤yx xy 34y x )()(22234yx xy y x =、,当且仅当时，等号成立，四、解答题（本题共6小题,共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知集合，．当 a=3 时，求，与若为空集，求实数a的取值范围．【答案】解：当时，，，则；由，则，即，即或，解得．实数a的取值范围为．即a的取值范围为18、（1）计算；（2）已知求的值。

江苏省如东高级中学2020-2021学年第一学期高一年级阶段测试（二）数学试题一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上） 1．已知3sin()35x π-=，则7cos()6x π+等于( ) A ．35B ．45C ．35D ．45-2．幂函数)(x f 满足)2(3)4(f f =,则)21(f 等于( )A.31B.3C.31-D.3- 3．设x R ∈，则 “2,6x k k Z ππ=+∈”是“1sin 2x =”的 （ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 4．已知定义在[]1,2a a -上的偶函数()f x ，且当[]0,2x a ∈时，()f x 单调递减，则关于x 的不等式()()123f x f x a ->-的解集是（ ）A ．2(0,)3B ．15,66⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．12(,]33D ．25(,36]5．若函数(),142,12x a x f x a x x ⎧≥⎪=⎨⎛⎫-+< ⎪⎪⎝⎭⎩且满足对任意的实数12x x ≠都有()()12120f x f x x x ->-成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[)4,8B ．()4,8C ．(]1,8D ．()1,86．设集合1|,24k M x x k Z ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，1|,42k N x x k Z ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，则（ ） A ．MNB ．M NC ．MND ．M N ⋂=∅7．设2312a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1223b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()2ln sin 2019c =，则（ ）A. c b a <<B. b a c <<C. a b c <<D. c a b <<8．函数()cos()f x A x ωϕ=+的部分图像如下图所示，其中0A >，0>ω，||2ϕπ<，则3f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ） A. -1 B. 1 C. 3 D. 3二、 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）9．若实数,0m n >，满足21m n +=，以下选项中正确的有（ ） A ．mn 的最大值为18B ．11m n+的最小值为42C ．2912m n +++的最小值为5 D ．224m n +的最小值为1210．若函数()f x 同时满足：（1）对于定义域内的任意x ，有()()0f x f x +-=；（2）对于定义域内的任意1x ，2x ，当12x x ≠时，有()()()1212[]0x x f x f x --<，则称函数()f x 为“理想函数”.给出下列四个函数是“理想函数”的是（ ） A ．()2f x x =B ．()3f x x =-C ．()1f x x x=-D ．()22,0,0x x f x x x ⎧-≥=⎨<⎩11．函数()()sin f x A x =+ωϕ（其中0A >，0>ω，ϕπ<）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A ．23πϕ=-B ．函数()f x 图象的对称轴为直线()7212k x k ππ=+∈Z C ．将函数()f x 的图象向左平移3π个单位长度，得到函数()2sin 23g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象D ．若()f x 在区间2,3a π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为,3A ⎡⎤-⎣⎦，则实数a 的取值范围为133,122ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦12.台球运动已有五、六百年的历史，参与者用球杆在台上击球.若和光线一样，台球在球台上碰到障碍物后也遵从反射定律如图，有一张长方形球台ABCD ，2AB AD =，现从角落A 沿角α的方向把球打出去，球经2次碰撞球台内沿后进入角落C 的球袋中，则tan α的值为（ ）A.16B.12C. 1D.32三、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）13．已知函数1(2)(3)y m x m x m =-++，21y x =-，若它们同时满足条件：①x ∀∈R ，10y <或20y <； ②{4}x x x ∃∈<-∣，120y y <．则m 的取值范围是__________________． 14. 关于x 的不等式121x ≥-的解集为__________________. 15．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，()()23log 1f x x x =++，若()5f m ≥，则m 的取值范围是_____________________. 16. 已知A 是函数()()()sin 0,02fx x ωφωφπ=+><<的图像上的一个最高点，B ，C 是()f x 图像上相邻的两个对称中心，且ABC ∆的面积为12，若对任意x R ∈，存在常数(0)M M >，使得()()f x M Mf x +=-，则该函数的解析式是()f x =_________________．四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 化简下列式子：（1）53sin cos tan()cos 222sin(2)tan()sin()πππααπααπααπαπ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⋅-⋅+⋅- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭-⋅-⋅--（2）0.112lg3log 41cos0lg 0.362++18．（1）点(3,)P y 为角α终边上一点，且sin 5yα=，求tan α （2）若2παπ<<，且1sin cos 5αα+=-，求11sin cos αα-的值. 19．已知函数()()21log 01+=>-axf x a x 是奇函数（1）求a 的值与函数()f x 的定义域；（2）若()232log g x x =-（[]1,4x ∈），且()22log>⋅g x gk x 恒成立，求k 的取值范围.20．某地某路无人驾驶公交车发车时间间隔t （单位：分钟）满足520t ≤≤，t N ∈．经测算，该路无人驾驶公交车载客量()p t 与发车时间间隔t 满足：()()26010,51060,1020t t p t t ⎧--≤<⎪=⎨≤≤⎪⎩，其中t N ∈．（1）求()5p ，并说明()5p 的实际意义；（2）若该路公交车每分钟的净收益()62410p t y t+=-（元），问当发车时间间隔为多少时，该路公交车每分钟的净收益最大？并求每分钟的最大净收益．21．在平面直角坐标系xOy 中，对于点(),A a b ，若函数()y f x =满足:[]1,1x a a ∀∈-+，都有[]1,1y b b ∈-+，则称这个函数是点A 的“界函数”.（1）若函数y x =是点(),A a b 的“界函数”，求,a b 需满足的关系； （2）若点(),B m n 在函数212y x =-的图象上，是否存在m 使得函数212y x =-是点B 的“界函数”? 若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由.22．已知函数2()(,)f x x ax a b a b R =+-+∈ （1）若2,b y =71,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有意义且不单调，求a 的取值范围．（2）若非空集合{}|()0A x f x =≤，()(){}|11B x f f x =+≤，且A B =，求a 的取值范围．如东高级中学2020-2021学年第一学期高一年级阶段测试（二）数学参考答案一、单项选择题1．C2．A 3．A4．D5．A6．B7．D8．B 二、 多项选择题9．AD10．BD11．ABD12.AD 三、填空题13．()4,2--14.31,2⎛⎤⎥⎝⎦15．](),22,⎡-∞-⋃+∞⎣16.sin x π- 四、解答题17. 【答案】（1）原式(cos )(sin )tan sin cos (sin )tan sin αααααααα-⋅-⋅⋅==--⋅⋅；------------------5分（2）0.11lg4lg 911lg 2lg 3log lg 9lg 4lg(94)lg 36104211lg 0.6lg(100.6)lg 6lg 6cos 0lg 0.362+++⨯=====+⨯+----------10分 18．【答案】（1）sin 5y α==，0,4y ∴=±，4tan =03α∴±，----------6分 （2）2221(sin cos )sin cos 2sin cos .25αααααα+=++⋅=12sin cos 25αα⋅=-；--------------------------8分 2222449(sin cos )sin cos 2sin cos 12525αααααα-=+-⋅=+=7,sin 0,cos 0,cos sin 25παπαααα<<∴><∴-=-，----10分 711cos sin 355.12sin cos sin cos 1225αααααα---===-----------------12分19．【答案】()21log 1ax f x x +=-是奇函数，∴()()f x f x -=-，∴2211log log 11ax axx x -+=----∴2211log log 11--=-++ax x x ax ，∴1111--=++ax x x ax ，∴22211a x x -=-又0a >∴1a =----------------------------------------------2分 ∴()21log 1x f x x +=-，要使()f x 有意义，则101x x +>-，即1x <-或1x >， ∴()f x 的定义域为()(),11,-∞-+∞.--------------------------------4分（2）由()()22log⋅>⋅g xg x k x 得()()22234log 3log log x x k x -->⋅.------6分令2log t x =∵[]1,16x ∈2141214x x x ⎧≤≤⎪⇒≤≤⎨≤≤⎪⎩，∴[]2log 0,1t x =∈-------------------8分 ∴()()343-->t t kt ，对一切[]0,1t ∈恒成立， ①当0t =时，k ∈R ；-------------9分 ②当(]0,1t ∈时，()()343t t k t--<恒成立；即9415k t t <+-，∵94y t t=+在0,1]（上为减函数，∴9415t t+-的最小值为-2，所以2k <- 综上，实数k 的取值范围为(),2-∞-.------------12分20．【答案】（1）()()256051035p =--=，实际意义为：发车时间间隔为5分钟时，载客量为35--4分 （2）()62410p t y t+=-，∴当50t l ≤<时，()236061024216101106t y t t t --+⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭，---6分函数2161106y t t ⎛⎫=-+⎪⎝⎭在区间[]5,6上单调递增，在区间[)6,10上单调递减，所以，当6t =时，y 取得最大值38；--------------------------9分 当1020t ≤≤时，660243841010y t t⨯+=-=-，该函数在区间[]10,20上单调递减， 则当10t =时，y 取得最大值28.4．-------11分综上，当发车时间间隔为6分钟时，该路公交车每分钟的净收益最大，最大净收益为38元．---12分21．【答案】（1）a b =（2）存在，11[,]22m ∈-【解析】（1）由函数y x =是点(),A a b 的“界函数”，且函数为增函数， 当[]1,1x a a ∀∈-+时，值域为[1,1]a a -+，因为[]1,1y b b ∈-+，所以[1,1][ 1.1]a a b b -+⊆-+，a b ∴=-------------------------4分（2）(,)B m n 在函数212y x =-的图象上， ∴212n m =-，[1x m ∴∀∈-，1]m +，都有22[11122,1]y m m --∈-+，①10m +，即1m -时，212y x =-在[1m ，1]m +上单调递增，∴2211[(1),(1)]22y m m ∈---+，∴22221111[(1),(1)][1,1]2222m m m m ---+⊆---+，∴222211(1)12211(1)122m m m m ⎧----⎪⎪⎨⎪-+-+⎪⎩，解得12m -，又1m -，∴这种情况不合题意；------------------------6分②1010m m +>⎧⎨-<⎩，即11m -<<时，由[1x m ∈-，1]m +可得21[(1),0]2y m ∈--或21[(1),0]2y m ∈-+，∴222111[(1),0][1,1]222m m m --⊆---+且222111[(1),0][1,1]222m m m -+⊆---+，∴2222211(1)12211(1)1221102m m m m m ⎧----⎪⎪⎪-+--⎨⎪⎪-+⎪⎩，解得1122m -，------------10分③10m -，即1m 时，212y x =-在[1m ，1]m +上单调递减， ∴2211[(1),(1)]22y m m ∈-+--，∴22221111[(1),(1)][1,1]2222m m m m -+--⊆---+，∴222211(1)12211(1)122m m m m ⎧-+--⎪⎪⎨⎪---+⎪⎩，解得12m ，又1m ， ∴这种情况不合题意1111b a a b -≤-⎧∴⎨+≤+⎩综上得，m 的取值范围是11[,]22-．-----------------------------12分 22．【答案】（1）)223,2⎡---⎣；（2）[0,22]． 【解析】（1）当2b =时，()22f x x ax a =+-+，由()y f x =在71,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有意义且不单调，可得函数()f x 的对称轴在71,2⎛⎫ ⎪⎝⎭之间，且()f x 在71,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上非负，∴ 271222024a a a f a ⎧<-<⎪⎪⎨⎛⎫⎪-=--+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩，解得2232a --≤<-； 所以a 的取值范围为)223,2⎡---⎣-------------------------------------------4分（2）因为A B =，A ≠∅，故B ≠∅，设(),m n m n ≤为方程()1f x =的两个根，结合图像可知：(){}(){}|11|1B x f f x x m f x n ∴=+≤=≤+≤⎡⎤⎣⎦(){}|11x m f x n =-≤≤-由A B =，故有1()1m f x n -≤≤-与()0f x ≤等解，得10n -=且()min 1f x m ≥-，由()()11f n f ==得0b =，所以()2f x x ax a =+-，----7分因为{}|()0A x f x =≤≠∅，∴240a a ∆=+≥，解得0a ≥或4a ≤-，-----------9分 又(),m n m n ≤为方程()1f x =的两个根，即21x ax a +-=，即210x ax a +--=， 由韦达定理知：1mn a =--，又1n =，所以1m a =-----------------1 ∴()min2424a a a f x --=≥--，解得2222a -≤≤，综上可知：a的取值范围为[0,. -------------------12分。

江苏省泰州市姜堰中学、南通市如东中学、宿迁市沭阳如东中学2020-2021学年高三上学期联考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若集合()(){}160A x x x =-->，{}20B x x =->，则A B 等于（ ）A ．{}6x x >B ．{}|12x x <<C ．{}|1x x <D ．{}|26x x <<2．若(12)2z i i -=+，则复数z =（ ） A ．1-B ．i -C ．1D ．i3． “0a =”是“函数2()sin cos f x x a x =+为奇函数”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是110.61822≈称为黄金分割比例)，已知一位美女身高154cm ，穿上高跟鞋后肚脐至足底的长度约100cm ，若她穿上高跟鞋后达到黄金比例身材，则她穿的高跟鞋约是（ ）（结果保留一位小数） A ．7.8cmB ．7.9cmC ．8.0cmD ．8.1cm5．已知函数()(xx f x ee e -=-为自然对数的底数)，若0.50.50.70.7log 0.7log 5a b c -===，，，则（ ）A ．()()()f b f a f c <<B ．()()()f c f b f a <<C ．()()()f c f a f b <<D ．()()()f a f b f c <<6．已知向量()2a m =-，，()12b =-，，()15c m =+，，若a b ⊥，则a 与b c +的夹角为（ ） A ．4π B ．34π C ．23π D ．3π 7．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，点A 是椭圆短轴的一个顶点，且123cos 4F AF ∠=，则椭圆的离心率e =（ ）A ．12B ．2C ．14D ．48．已知函数()()()2ln 14f x x x ax =-+-.若0x >时，()0f x ≥恒成立，则实数a 的值为（ ） A ．3 B ．14e e-C ．4e e- D ．4e e-二、多选题9．已知α，β是两个不同的平面，l ，m 是两条不同的直线，下列命题正确是（ ） A ．若l α⊥，l β⊥，则//αβ； B ．若l α⊥，αβ⊥，则l β//； C ．若//l α，l β⊥，则αβ⊥；D ．若l m ⊥，m α⊥，则//l α.10．在单位圆O ：221x y +=上任取一点()P x y ，，圆O 与x 轴正向的交点是A ，将OA 绕原点O 旋转到OP 所成的角记为θ，若x ，y 关于θ的表达式分别为()x fθ=，()y g θ=，则下列说法正确的是（ ）A ．()x f θ=是偶函数，()y g θ=是奇函数；B ．()x f θ=在()0，π上为减函数，()y g θ=在()0，π上为增函数；C ．()()1fg θθ+≥在02πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，上恒成立；D ．函数()()22t fg θθ=+.11．已知点()()1,0,1,0A B -，若圆()()2221221x a y a -++--=上存在点M 满足3MA MB ⋅=，则实数a 的值为（ ）A ．2-B ．1-C ．2D ．012．已知函数2222()4()()x x f x x x m m e e --+=-+-+有唯一零点，则m 的值可能为（ ） A ．1 B ．1-C ．2D ．2-三、填空题13．曲线2()1x f x xe x =+-在0x =处的切线方程为_________．14．在四边形ABCD 中， 6.AB =若2133DA CA CB →→→=+，则AB DC →→⋅=__________.15．意大利画家列奥纳多⋅达⋅芬奇()1452.4?1519.5的画作《抱银貂的女人》中，女士脖颈上悬挂的黑色珍珠项链与主人相互映衬呈现出不一样的美与光泽，达⋅芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”，后人给出了悬链线的函数解析式：()cos xf x a ha=，其中a 为悬链线系数，cos hx 称为双曲余弦函数，其函数表达式为cos 2x xe e hx -+=，相应地双曲正弦函数的函数表达式为sin .2x xe e hx --=若直线()0x m m =<与双曲余弦函数1C 与双曲正弦函数2C 分别相交于点A B ，，曲线1C 在点A 处的切线1l ，曲线2C 在点B 处的切线2l 相交于点P ，且PAB △为钝角三角形，则实数m 的取值范围为__________.四、双空题16．如图，已知点M ，N 分别为平行六面体1111ABCD A B C D -的棱1BB ，11B C 的中点，设AMN ∆的面积为1S ，平面AMN 截平行六面体1111ABCD A B C D -所得截面面积为S ，五棱锥1A BMNC C -的体积为1V ，平行六面体1111ABCD A B C D -的体积为V ，则1V V=__________，1S S=__________.五、解答题 17．在b a =①2sin tan b A a B =②，()()sin sin sin a c A c A B b B -++=③这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答. 已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，满足______. （1）求角B ；（2）若2a c b +=，且ABC ∆外接圆的直径为2，求ABC ∆的面积.18．已知O 为坐标原点，()22sin 1OA x =，，()1cos 1OB x x =-+，，()112f x OA OB =-⋅+.（1）求()y f x =的单调减区间；（2）将()f x 图象上各点的纵坐标不变，横坐标扩大为原来的两倍，再将所得图象向左平移6π个单位后，所得图象对应的函数为()g x ，且263ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，563ππβ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，，()35g α=，()45g β=-，求()cos 22αβ-的值.19．如图，在五面体ABCDEF 中，四边形EDCF 是正方形，AD DE =，090ADE ∠=，0120ADC DCB ∠=∠=.(1)证明：平面ABCD ⊥平面EDCF ； (2)求直线AF 与平面BDF 所成角的正弦值．20．某健身机构统计了去年该机构所有消费者的消费金额（单位：元），如下图所示：（1）将去年的消费金额超过3200 元的消费者称为“健身达人”，现从所有“健身达人”中随机抽取2 人，求至少有1 位消费者，其去年的消费金额超过4000 元的概率；（2）针对这些消费者，该健身机构今年欲实施入会制，详情如下表：0,1600内的消费者今年都将会申请办理普通会员，消费金额在预计去年消费金额在(](]3200,4800内的消1600,3200内的消费者都将会申请办理银卡会员，消费金额在(]费者都将会申请办理金卡会员. 消费者在申请办理会员时，需-次性缴清相应等级的消费金额.该健身机构在今年底将针对这些消费者举办消费返利活动，现有如下两种预设方案：方案1：按分层抽样从普通会员，银卡会员，金卡会员中总共抽取25 位“幸运之星”给予奖励: 普通会员中的“幸运之星”每人奖励500 元；银卡会员中的“幸运之星”每人奖励600 元；金卡会员中的“幸运之星”每人奖励800 元.方案2：每位会员均可参加摸奖游戏，游戏规则如下：从-个装有3 个白球、2 个红球（球只有颜色不同）的箱子中，有放回地摸三次球，每次只能摸-个球.若摸到红球的总数消费金额/元为2，则可获得200 元奖励金；若摸到红球的总数为3，则可获得300 元奖励金；其他情况不给予奖励. 规定每位普通会员均可参加1 次摸奖游戏；每位银卡会员均可参加2 次摸奖游戏；每位金卡会员均可参加3 次摸奖游戏（每次摸奖的结果相互独立） .以方案2 的奖励金的数学期望为依据，请你预测哪-种方案投资较少？并说明理由.21．已知椭圆22143x y E +=：的左、右焦点分别为1F 、2F ，点P 在直线4m x y +=：上且不在x 轴上，直线1PF 与椭圆E 的交点分别为A 、B ，直线2PF 与椭圆E 的交点分别为C 、D ．（1）设直线1PF 、2PF 的斜率分别为1k 、2k ，求1235k k -的值； （2）问直线m 上是否点P ，使得直线OA ，OB ，OC ，OD 的斜率OA k ，OB k ，OC k ，OD k 满足0OA OB OC OD k k k k +++=？若存在，求出所有满足条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由.22．已知函数()()3252f x ax x bx a b R =-+∈，，其导函数为()f x '，且()()11116f f '=+. （1）求a 的值；（2）设函数()f x 有两个极值点1x ，2x ，求b 的取值范围，并证明过两点()()11P x f x ，，()()22Q x f x ，的直线m 恒过定点，且求出该定点坐标；（3）当1b >时，证明函数()()231g x f x x x =+--在R 上只有一个零点.参考答案1．C 【分析】先分别解出集合A 与集合B ，然后求解A B .【详解】本题考查集合的交集运算，属于基础题. 化简集合A ，B ，然后计算AB 即可.解：()(){}160{6A x x x x x =-->=>或1}x <，{}20{|2}B x x x x =->=<， 则{}|1AB x x =<.故选：C 【点睛】本题考查交集的运算，根据交集的概念计算即可，属于简单题. 2．D 【分析】本题根据复数的除法运算直接计算即可. 【详解】解：因为(12)2z i i -=+，所以2(2)(12)512(12)(12)5i i i iz i i i i +++====--+ 故选：D 【点睛】本题考查复数的除法运算，是基础题. 3．C 【分析】先将根据函数2()sin cos f x x a x =+为奇函数求参数0a =，判断前后两个条件相互等价，即可解题. 【详解】解：∵函数2()sin cos f x x a x =+为奇函数， ∴(0)0f =即2sin0cos 00a +=，解得：0a =，∴ 0a =⇔函数2()sin cos f x x a x =+为奇函数，∴“0a =”是“函数2()sin cos f x x a x =+为奇函数”的充要条件. 故选：C . 【点睛】本题考查根据函数的奇偶性求参数、判断p 是q 的什么条件，是中档题. 4．A 【分析】设该美女穿的高跟鞋为xcm ，则总高为()154x cm +，根据黄金分割的概念，列出方程直接求解即可. 【详解】设该美女穿的高跟鞋为xcm ，则总高为()154x cm +则1541000.618100x +-=≈，解得：7.8x ≈， 故选：A. 5．D 【分析】先根据指数函数，对数函数的性质得a b c >>，再根据函数()xx f x e e -=-在R 上单调递减求解. 【详解】 因为()0.50.50.70.71log 0.701log 50a b c -=>=∈=<，，，.所以a b c >>， 又函数()xx f x ee -=-在R 上单调递减，所以()()()f a f b f c <<， 故选：D. 6．B 【分析】根据向量垂直求出m ，进而求出a 与b c +的坐标，然后由数量积公式计算即可. 【详解】因为()2a m =-，，()12b =-，，a b ⊥， ·220a b m ∴=--=，解得1m =-，()21a ∴=--，，()()1505c m =+=，，， ()13b c +=，，设a 与b c +的夹角为0απ，，则()()·cos 25a b ca b c α+===-⨯+.34πα=. 故选：B. 7．D 【分析】依题意，不妨设点A 的坐标为()0b ，，在12F AF 中，由余弦定理得22142a c =，再根据离心率公式计算即可. 【详解】设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的焦距为2(0)c c >，则椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点1F 的坐标为()0c -，，右焦点2F 的坐标为()0c ，， 依题意，不妨设点A 的坐标为()0b ，， 在12F AF 中，由余弦定理得：22212121212||||2cos F F AF AF AF AF F AF ∠=+-⋅⋅， 123cos 4F AF ∠=，22223142242c a a a ∴=-⨯=， 22218c e a ∴==，解得e =故选：D . 【点睛】本题考查椭圆的几何性质，在12F AF 中，利用余弦定理求得22142a c =是关键，属于中档题. 8．C 【分析】通过分析函数ln 1y x =-与24(0)y x ax x =+->的图象，得到两函数必须有相同的零点，从而可建立关系式，求出a 的值. 【详解】由题意，函数()f x 的定义域为0,，且()0f x ≥恒成立，当0e x <<时，函数ln 10y x =-<；当e x >时，函数ln 10y x =->；当e x =时，ln 10y x =-=，所以当0e x <<时，函数240y x ax =+-<；当e x >时，函数240y x ax =+->；当e x =时，240y x ax =+-=，所以2e e 40a +-=，解得4e ea =-. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题考查函数的图象的综合应用，考查不等式的恒成立问题.解题关键是分析函数ln 1y x =-与24(0)y x ax x =+->的图象，当0e x <<时，两个函数图象都在x 轴下方；当e x >时，两个函数图象都在x 轴上方；当e x =时，两个函数值都为0，从而可得到关系式，求出a 的值，考查学生的逻辑推理能力与运算求解能力，属于中档题.9．AC 【分析】对于A ，由线面垂直的性质定理判断；对于B ，由线面的位置关系判断；对于C ，由面面垂直的判定定理判断；对于D ，若由线面的位置关系判断. 【详解】对于A ，若l α⊥，l β⊥，由线面垂直的性质定理得//αβ，故正确； 对于B ，若l α⊥，αβ⊥，则l β//或l β⊂，故错误；对于C ，若l //α，l β⊥，由面面垂直的判定定理得αβ⊥，故正确； 对于D ，若l m ⊥，m α⊥，则//l α或l α⊂，故D 错误； 故选：AC. 10．ACD 【分析】依据三角函数的基本概念可知cos x θ=，sin y θ=，根据三角函数的奇偶性和单调性可判断A 、B ；根据辅助角公式知()()4f g πθθθ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，再利用三角函数求值域可判断C ；对于D ，2cos sin2t θθ=+，先对函数t 求导，从而可知函数t 的单调性，进而可得当1sin 2θ=，cos 2θ=时，函数t 取得最大值，结合正弦的二倍角公式，代入进行运算即可得解． 【详解】由题意，根据三角函数的定义可知，x cos θ=，y sin θ=， 对于A ，函数()cos fθθ=是偶函数，()sin g θθ=是奇函数，故A 正确；对于B ，由正弦，余弦函数的基本性质可知，函数()cos f θθ=在()0,π上为减函数，函数()sin g θθ=在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭为增函数，在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭为减函数，故B 错误； 对于C ，当0θπ⎛⎤∈ ⎥2⎝⎦，时，3,444πππθ⎛⎤+∈ ⎥⎝⎦()()cos sin 4f g πθθθθθ⎛⎫+=+=+∈ ⎪⎝⎭，故C 正确；对于D ，函数()()222cos sin2t fg θθθθ=+=+，求导22sin 2cos22sin 2(12sin )2(2sin 1)(sin 1)t θθθθθθ'=-+=-+-=--+， 令0t '>，则11sin 2θ-<<；令0t '<，则1sin 12θ<<， ∴函数t 在06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和5,26ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在5,66ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，当6πθ=即1sin 2θ=，cos θ=时，函数取得极大值1222t =+⨯=又当2θπ=即sin 0θ=，cos 1θ=时，212012t =⨯+⨯⨯=，所以函数()()22t f g θθ=+D 正确.故选：ACD. 【点睛】方法点睛：考查三角函数的值域时，常用的方法：（1）将函数化简整理为()()sin f x A x ωϕ=+，再利用三角函数性质求值域； （2）利用导数研究三角函数的单调区间，从而求出函数的最值. 11．BD 【分析】设点(),M x y ，由平面向量数量积的坐标表示可得M 的轨迹方程为224x y +=，结合圆与圆的位置关系即可得解. 【详解】设点(),M x y ，则()()1,,1,MA MB x y x y =---=-+-， 所以()()2113MA MB x x y =⋅---++=，所以M 的轨迹方程为224x y +=，圆心为()0,0，半径为2，由此可知圆()()2221221x a y a -++--=与224x y +=有公共点，又圆()()2221221x a y a -++--=的圆心为()21,22a a -+，半径为1，所以13≤≤，解得112a -≤≤. 故选：BD . 【点睛】解决本题的关键是求出点M 的轨迹方程和转化问题为圆与圆的位置关系，细心计算即可得解. 12．BC 【分析】由已知可得()4()f x f x -=，所以()f x 图象关于2x =对称，结合函数图象的对称性分析可得结论. 【详解】∵22222222()4()()(2)4()()x x x x f x x x m m ee x m m e e --+--+=-+-+=--+-+，令2t x =-，则22()4()()ttg t t m m e e -=-+-+，定义域为R ，22()()4()()()t t g t t m m e e g t --=--+-+=，故函数()g t 为偶函数，所以函数()f x 的图象关于2x =对称， 要使得函数()f x 有唯一零点，则(2)0f =， 即2482()0m m -+-=，解得1m =-或2， 故选：BC ． 【点睛】该题考查了函数零点个数求参数的取值范围，考查了转化与化归的思想，属于较难题目. 13．10x y --= 【分析】先求导数，求得()0f 的值，并利用导数求得()0f '的值，利用点斜式可得出所求切线的方程. 【详解】()2x x f x e x e x =+⋅+'，(0)1f =-，根据导数的几何意义可知曲线在点(0,1)-处的切线斜率为(0)1k f '==， ∴切线方程为1y x +=，即10x y --=． 故答案为：10x y --=. 【点睛】本题考查利用导数求解函数的切线方程，考查计算能力，属于基础题. 14．12 【分析】由题意和平面向量的运算法则可知13DC DA AC AB →→→→=+=，再利用向量的数量积的运算求解，即可求解. 【详解】根据题意，如图，在AB 上取一点E ，使13AE AB →→=，则有11213333CE CA AE CA AB CA CB CA CA CB →→→→→→→→→→⎛⎫=+=+=+-=+ ⎪⎝⎭，又由2133DA CA CB →→→=+，则有CE DA →→=，所以四边形AECD 为平行四边形，则有13DC AE AB →→→==，又由6AB =，则2111·3612333AB DC AB AB AB →→→→→⋅===⨯=；故答案为：12. 【点睛】本题关键要处理好向量的线性运算，将向量DC →转化为AB →表示，以便利用已知条件6AB =，进而求解.15．1,2)2∞⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】求导得到函数的导函数，计算切线方程得到交点坐标()1,mP m e+，计算向量的数量积得到A ∠，B 均为锐角，P ∠为钝角，故()221104m me e -+-<，解得答案. 【详解】由题可知：()12m mA m e e-⎛⎫+ ⎪⎝⎭，，()12mm B m e e -⎛⎫- ⎪⎝⎭，，()=cos 2x x e e g x hx -+=，则()=2x xe e g x -'-，()=2m m e e g m -'-， 则1l ：()()122m m m m e e y x m e e --=-++-，同理2l ：()()122m m m m e e y x m e e --=--++，故()1,m P m e +，所以()()()1101122mm m m m AB e AP e e BP e e ---⎛⎫⎛⎫=-=-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，，，于是()()()2222111111224m m m m AB AP e BA BP e PA PB e e ---=-=⋅⋅⋅+=+-，，， 因为0m <，所以00AB AP BA BP ⋅>⋅>，， 所以A ∠，B 均为锐角，从而P ∠为钝角.由()221104m m e e -+-<得：)212ln 22m e m <<，得，故实数m 的取值范围为1,2)2∞⎛⎫- ⎪⎝⎭.故答案为：1,2)2∞⎛⎫- ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查了根据三角形形状求参数，属于较难题. 方法点睛：当三角形中A ∠为钝角时，转化为0AB AC ⋅<；当三角形中A ∠为直角时，转化为0AB AC ⋅=； 当三角形中A ∠为锐角时，转化为0AB AC ⋅>； 16．724 13【分析】第一空可由点A 到平面1BMNC C 的距离等于平面11ADD A 到平面11BCC B 的距离，然后用锥体和柱体的体积公式计算即可，第二空则需运用面面平行的性质定理补全截面，然后用面积公式处理. 【详解】因为点A 到平面1BMNC C 的距离等于平面11ADD A 到平面11BCC B 的距离，所以设该距离为d ，则11111111111111111111·738·33324BMNC C BCC B BCC B BMNC C BCC B B MN BCC B BCC B BCC B BCC B S d S S S S S V V S d S S S --=====； 因为平面11//BCC B 平面11 ADD A ，所以平面AMN 与平面11BCC B 和平面11ADD A 的交线相互平行，又因为平面AMN 平面11BCC B MN =， 且MN 分别为各自所在棱的中点，所以平面AMN 平面111ADD A AD =， 所以平面AMN 截平行六面体所得截面为梯形1AMND ， 设梯形1AMND 的高为h ，所以()()11111122113222AMN AMND MN h MN h S S S S MN AD h MN MN h ====++. 故答案为：724；13.17．选择见解析；（1）3B π=；（2）4. 【分析】1（）选①结合正弦定理求解即可；选②由同角三角函数的基本关系和正弦定理化简即可；选③由正弦定理和余弦定理求解即可；2（）利用余弦定理求出3ac =，再用三角形面积公式1sin 2S ac B =求解即可. 【详解】1（）选①，由正弦定理得sin sin B A =， sin 0A ≠，cos 1B B -=，即1sin 62B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，0B π<<，5666B πππ∴-<-<，66B ππ∴-=，3B π∴=； 选②，2sin tan b A a B =，sin 2sin cos a Bb A B =， 由正弦定理可得sin 2sin sin sin cos BB A A B=⋅，sin 0A ≠，1cos 2B ∴=，(0,)B π∈，3B π∴=选③，sin()sin()sin A B C C π+=-=，由已知结合正弦定理可得()22a c a cb -+=，222a cb ac ∴+-=，2221cos 222a cb ac B ac ac +-∴===， (0,)B π∈，3B π∴=.2（）设ABC 的外接圆半径为R ，则1R =，2sin b R B ==，由余弦定理得()22222cos33b ac ac a c ac π=+-=+-，即3123ac =-，所以3ac =，所以ABC 的面积为：1sin 2S ac B == 【点睛】关键点点睛：在正余弦定理和三角形面积的计算中，不需要计算,a c 具体的值，只需要计算ac 即可，可以简化计算，快速得到答案.18．（1）单调减区间是()263k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦，；（2）527625. 【分析】（1）由数量积坐标表示公式，结合二倍角公式与辅助角公式得到函数()y f x =的解析式，再由3222262k x k πππππ+≤+≤+解不等式求解即可； （2）根据图象变换规则求出()g x ，先求出()sin sin 33ππαβαβ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=+-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，再利用二倍角的余弦公式，即可求cos 2()1αβ--的值． 【详解】(1)由题得，()21sin cos 2f x x x x =-+cos2sin 226x x x π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，令3222262k x k πππππ+≤+≤+得263k x k ππππ+≤≤+， 所以()y f x =的单调减区间是()263k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦，； (2)将()f x 图象上各点的纵坐标不变，横坐标扩大为原来的两倍得到sin 6y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，再将所得图象向左平移6π个单位后得到()sin 3g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，又()35g α=，()45g β=-即3sin 35πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，4sin 35πβ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭因为263ππα⎛⎫∈⎪⎝⎭，，563ππβ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭， 所以32ππαπ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，，032ππβ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，所以4cos 35πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，3cos 35πβ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 所以()sin sin 33ππαβαβ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=+-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦sin cos cos sin 3333ππππαβαβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++-++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭33447555525⎛⎫⎛⎫=⨯--⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以()()227527cos 2212sin 12()25625αβαβ-=--=--=. 【点睛】函数sin()y A x ωϕ=+的单调区间的求法： 若0,0A ω>>,把x ωϕ+看作是一个整体，由22k x ππωϕ+≤+≤()322k k Z ππ+∈求得函数的减区间，2222k x k πππωϕπ-+≤+≤+求得增区间；②若0,0A ω><,则利用诱导公式先将ω的符号化为正，再利用①的方法，或根据复合函数的单调性规律进行求解19．（1）见解析（2 【分析】（1）证明面面垂直，在证明的过程中，利用常规方法，抓住面面垂直的判定定理，找出相应的垂直关系证得结果；（2）求的是线面角的正弦值，利用空间向量，将其转化为直线的方向向量与平面的法向量所成角的余弦值的绝对值，从而求得结果. 【详解】（1）证明：因为AD DE ⊥，DC DE ⊥，AD ，CD ⊂平面ABCD ，且AD CD D =，所以DE ⊥平面ABCD ，又DE ⊂平面EDCF ， 故平面ABCD ⊥平面EDCF .（2）解：由已知//,DC EF DC ⊄平面ABFE ，EF ⊂平面ABFE ，所以//DC 平面ABFE .又平面ABCD平面ABFE AB =，故//AB CD .所以四边形ABCD 为等腰梯形.又AD DE =，所以AD CD =，得AD BD ⊥，令1AD =， 如图，以D 为原点，以DA 的方向为x 轴正方向， 建立空间直角坐标系D xyz -， 则()0,0,0D ，()1,0,0A，1,,122F ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，()B ，所以3,12FA ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，()0,DB =，12DF ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭.设平面BDF 的法向量为(),,n x y z =，由0,0,nDB n DF ⎧⋅=⎨⋅=⎩所以0,10,2x y z ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩ 取2x =，则0y =，1z =，得()2,0,1n =，cos ,25FA n FA n FA n⋅===⨯. 设直线与平面BDF 所成的角为θ，则sin θ. 所以直线AF 与平面BDF .【点睛】本题在解题的过程中，第一问用的是常规法，第二问用的是空间向量法，既然第二问要用空间向量，则第一问也可以用空间向量的数量积等于零来达到证明垂直的条件，所以解题方法是不唯一的. 20．（1）1933（2）预计方案2投资较少.详见解析 【分析】（1）由题意，随机变量X 的可能值为“0,1,2”，得(1)(1)(2)P X P X P X ≥==+=，即可求解．（2）根据方案1求得按照方案1奖励的总金额14900元，又由方案2：得到η的可能值为“0,200,300”，求得其概率，列出分布列，求得按照方案2奖励的总金额，比较得到答案． 【详解】（1）设随机抽取的2人中，去年的消费金额超过4000元的消费者有X 人， 则X 的可能值为“0，1，2”，∴()()()112P X P X P X ≥==+== 11284422121216319333333C C C C C +=+=. （或者()()2821219110133C P X P X C ≥=-==-=. （2）方案1：按分层抽样从普通会员，银卡会员，金卡会员中总共抽取25位“幸运之星”，则“幸运之星”中的普通会员，银卡会员，金卡会员的人数分别为：28257100⨯=，602515100⨯=，12253100⨯=， ∴按照方案1奖励的总金额为：1750015600380014900ξ=⨯+⨯+⨯=元，方案2：设η表示参加一次摸奖游戏所获得的奖励金， 则η的可能值为“0，200，300”，∵摸到红球的概率：121525C P C ==，∴()030323055P C η⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 1213238155125C ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()2123233620055125P C η⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()333283005125P C η⎛⎫=== ⎪⎝⎭， ∴η的分布列为∴81368020030076.8125125125E η=⨯+⨯+⨯=元， ∴按照方案2奖励的总金额为：()22826031276.814131.2ξ=+⨯+⨯⨯=元，∵方案1奖励的总金额1ξ多于方案1奖励的总金额2ξ， ∴预计方案2投资较少. 【点睛】本题主要考查了离散型随机变量的分布列及数学期望的求解，对于求离散型随机变量概率分布列问题首先要清楚离散型随机变量的可能取值，计算得出概率，列出离散型随机变量概率分布列，最后按照数学期望公式计算出数学期望，其中列出离散型随机变量概率分布列及计算数学期望是理科高考数学必考问题.21．（1）2；（2）存在；点P 的坐标是()04，或26⎛-+ ⎝⎭或26⎛-- ⎝⎭. 【分析】（1）由椭圆的标准方程可得焦点坐标，设点()004,P x x -，由斜率公式化简即可得解； （2）按照1PF 、2PF 的斜率是否都存在讨论，当斜率均存在时，设直线方程，联立方程结合韦达定理可得120k k +=或123k k =，再代入斜率公式即可得解.【详解】（1）由条件知()()121,0,1,0F F -， 设点()004,P x x -，则00120044,11x x k k x x --==+-， 所以()()00012000315182352444x x x k k x x x +---=+==---；（2）设存在点()00,P x y 符合条件，当直线1PF 的斜率不存在或直线2PF 的斜率不存在时， 则0,0OA OB OC OD k k k k +=+=，不合题意；当直线1PF 、2PF 的斜率均存在时，设直线1PF 、2PF 的斜率分别为1k 、2k ， 则直线1PF ：()11y k x =+，直线2PF ：()21y k x =-， 设()()1122,A x y B x y ，，，联立()1231143y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得()22221113484120k x k x k +++-=，>0∆，所以2211121222118412,3434k k x x x x k k --+==++，所以()()()1112112121121212112OA OB k x k x k x x y y k k k x x x x x x ++++=+=+=+ ()21111221126233k k k k k k --=+=--， 同理可得22263OC OD k k k k -+=-，由0OA OB OC ODk k k k +++=得()()()()11122222122212636603333k k k k k k k k k k ---=--++=--， 所以120k k +=或123k k =，又00120044,11x x k k x x --==+-， 所以000044011x x x x --+=+-或000044311x x x x --⨯=+- 解得04(x =舍去)，00x =，022x =--，022x =-+， 所以点P 的坐标是()04，或26⎛-+ ⎝⎭或26⎛- ⎝⎭. 【点睛】解决本题的关键是设出所需点的坐标，结合韦达定理求得直线斜率的关系，利用斜率公式可得点P 的横坐标，整个过程中要注意运算的准确性. 22．（1）13a =；（2）254b <；证明见解析；定点5125424⎛⎫- ⎪⎝⎭，；（3）证明见解析.【分析】(1)由导数运算可得a 的值；(2)由题设知，12x x ，是方程()'0fx =的两个根，得254b <，化简()()111542566f x b x b =-+，同理可得()()221542566f x b x b =-+，因此，直线m 的方程是()1542566y b x b =-+，整理可得定点坐标；(3)先得出()()32111132g x x x b x =++--，分0x ≥和0x <两种情况研究零点即可.【详解】解：(1)因为()3252f x ax x bx =-+，()235f x ax x b '=-+， 所以()()512135f a b f a b⎧=-+⎪⎨⎪=-+⎩'，代入()()11116f f '=+，得5113526a b a b -+=-++，解得13a =； (2)因为()321532f x x x bx =-+，所以()25f x x x b '=-+，由题设知， 12x x ，是方程()0f x '=的两个根，故有()2540b -->，解得254b <，因为2115x x b =-，所以()3211111532f x x x bx =-+()2111115532x x b x bx =--+ 2115263x bx =-+()1152563x b bx =--+()11542566b x b =-+，同理可得()()221542566f x b x b =-+，过两点()()11P x f x ，，()()22Q x f x ，的直线m 的方程是()1542566y b x b =-+，即()()452560b x x y +-+=，由4502560x x y +=⎧⎨+=⎩，解得5125424x y =-=，，所以直线m 横过定点5125424⎛⎫- ⎪⎝⎭，；(3)由(1)可知()321532f x x x bx =-+，()()231g x f x x x =+-- ()32111132x x b x =++--， 当0x ≥时，因为1b >，所以()()2'10g x x x b =++->，故()g x 在区间[)0+∞，上单调递增，又()010g =-<，()1122103g b =-+>（）， 且()g x 的图像在区间[0,)+∞是不间断的，所以()g x 在区间[)0+∞，上有唯一零点； 当0x <时，()()323211111113232g x x x b x x x =++--<+-， 设()3211132h x x x =+-，则()2'h x x x =+， 当()1x ∈-∞-，时，()'0h x >，()h x 单调递增， 当()10x ∈-，时，()'0h x <，()h x 单调递减， 所以()()5106h x h ≤-=-<，从而()()0g x h x <<，故()g x 在()0-∞，上不存在零点. 综上，()g x 在R 上有唯一零点. 【点睛】本题考查了导数的运算、利用导数研究函数的极值和导数中的零点问题，是较难题. 方法点睛：求直线所过定点时，一般将直线方程转化整理成()0a Ax By Cx Dy +++=的形式，令0Ax By Cx Dy +=⎧⎨+=⎩，解方程组后即可求出定点的坐标.。

江苏省宿迁中学2020届高三一模全真模拟数学试题2020．01(总分160分，考试时间120分钟)一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．．） 1．已知全集U ＝{1，2，3，4}，集合A ＝{1，2}，B ＝{1，3}，则A I (U ðB)＝ ． 答案：{2}考点：集合的交集、补集解析：∵全集U ＝{1，2，3，4}，B ＝{1，3}， ∴U ðB ＝{2，4}， ∵集合A ＝{1，2}， ∴A I (U ðB)＝{2}2．已知复数z 满足2zi i =+，其中i 为虚数单位，则z ＝ ． 答案：5 考点：复数 解析：由题意得2i12i iz +==-，所以5z =． 3．函数()sin 2()f x x ϕ=+(ϕ＞0)的最小正周期为 ．答案：π考点：三角函数的周期 解析：222T πππω===． 4．执行如图所示的伪代码，若输出的y 的值为1，则输入x 的值为 ．答案：﹣1 考点：伪代码解析：根据伪代码可得1220()20x x f x x x +⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩，，，又输出y 的值为1，即1021x x +≥⎧⎨=⎩或2021x x <⎧⎨-=⎩，解得x ＝﹣1．5．已知锥体的体积为33π，母线与底面所成角为3π，则该圆锥的表面积为 ． 答案：3π考点：圆锥的表面积与体积解析：设圆锥底面半径为r ，又母线与底面所成角为3π，则母线R ＝2r ， 求得圆锥的高为h ＝3r ，则231333r r ππ=⋅，解得r ＝1． 故圆锥的表面积S ＝223rRr πππππ+=+=．6．已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前4项和为15，且5313a a a =+，则3a ＝ ． 答案：4考点：等比数列的通项公式及性质 解析：依题意知，①因为， 即因为等比数列的各项为正数， 所以，所以，解得或（舍去）， 故或（舍去）将代入①式得，所以．7．从分别写有1，2，3，4的4张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡上的数字大于第二张卡片上的数的概率为 ． 答案：38考点：等可能事件的概率解析：从4张卡片中随机先后抽取2张，共有16种可能，满足第一张卡上的数字大于第二张卡片上的数有6种情况，故概率P ＝63168=． 8．在等差数列{}n a 中，设k ，l ，p ，r N *∈，则k ＋l ＞p ＋r 是k l p r a a a a +>+的 条件．（填“充分⽽不必要”、“必要⽽不充分”、“充要条件”或“既不充分也不必要”中的一个）答案：既不充分也不必要 考点：充要条件的判断解析：在等差数0，0，0，0，……，中，3＋4＞1＋2，则3412a a a a +>+不成立，即充分性不成立；在等差数列{}n a 中，设公差为d ，则12(2)k l a a a k l d +=++-，12(2)p r a a a p r d +=++-，由k l p r a a a a +>+，得12(2)a k l d ++-＞12(2)a p r d ++-，即(2)k l d +-＞(2)p r d +-， 当d ＜0时，2k l +-＜2p r +-，即k ＋l ＜p ＋r ，即必要性不成立所以k ＋l ＞p ＋r 是k l p r a a a a +>+的既不充分也不必要条件9．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线C ：222116x y a -=(a ＞0)的右顶点到双曲线的一条渐近线的距离为125，则双曲线的离心率为 ． 答案：53考点：双曲线的性质解析：双曲线C ：222116x y a -=(a ＞0)的右顶点为(a ，0)，设右顶点到双曲线的一条渐近线的距离为d ，其中渐近线方程为4y x a=±，化为一般式为40x ay ±-=， 则d 212516a =+，解得a ＝3（负值已舍去），∴291625c =+=，c ＝5， 故离心率e ＝53． 10．已知α∈(0，2π)，2sin 2cos 21αα=+，则sin α＝ ．答案：55考点：二倍角公式，同角三角函数关系式解析：∵2sin2cos21αα=+，∴4sinαcosα＝2cos2α，∵α∈(0，2π)，故cosα＞0，sinα＞0，∴cosα＝2sinα，又sin2α＋cos2α＝1，且sinα＞0，故求得sinα＝55．11．若实数a，b满足20101a bb aa+-≥⎧⎪--≤⎨⎪≤⎩，则223b aba-的取值范围是．答案：[94-，0]考点：线性规划解析：12．已知函数()x tf x e-=，()g x x e=-+，()h x＝{()f x，()g x}，其中max{a，b}表示a，b中最大的数．若()h x＞e对x∈R恒成立，则实数t的取值范围是．答案：t＜﹣1考点：函数与不等式解析：由图可知，13．已知圆O1：(x＋2)2＋y2＝1，圆O2：(x﹣2)2＋y2＝1，若在圆O1上存在点M、圆O2上存在点N使得点P(x，3)满足：PM＝PN．则实数x的取值范围是．答案：22x-≤≤考点：圆的方程解析：由题意得：12PO11PO1-≤+，故PO1≤PO2＋2，2200(2)9(2)92x x++≤-+，24x≤，22x-≤≤．14．已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且cosA＝78，I为△ABC内部的一点，且IA IB IC 0a b c ++=u u r u u r u u r r ．若AI AB AC x y =+u u r u u u r u u u r，则x ＋y 的最大值为 ．答案：45考点：平面向量 解析：二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域．．．．．．．内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15．（本题满分14分）在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知a sinA ＝4b sinB ，ac ＝5(a 2﹣b 2 ﹣c 2)．（1）求cosA 的值； （2）求sin(2B ﹣A)的值． 解：（1）由及得，由及余弦定理，可得．（2）由（1）可得，代入，可得．由（1）知，为钝角，所以，所以，，故．16．（本题满分14分）如图，直四棱柱ABCD—A1B1C1D1的底面四边形ABCD是菱形，AA1＝4，AB＝2，∠BAD ＝60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．（1）证明：MN∥平面C1DE；（2）求三棱锥A1—AMD的体积．（2）111A AMD M AA D AA D 111434233323V V S h --==⋅=⨯⨯⨯⨯=△． 17．（本题满分14分）已知椭圆Γ：22143x y +=的左、右焦点分别为F 1、F 2，过F 2的直线l 与椭圆Γ交于P 、Q 两点．（1）求△FPQ 的周长；（2）设直线l 不平行于坐标轴，点R 为点P 关于x 轴的对称点，直线QR 与x 轴交于点N ．求△QF 2N 面积的最大值． 解：（2）18．（本题满分16分）如图，长途车站P 与地铁站O 的距离为5千米，从地铁站O 出发有两条道路l 1，l 2，经测量 l 1，l 2的夹角为4π，OP 与l 1夹角θ满足tan θ＝12（其中0＜θ＜2π），现要经过P 修一条直路分别与道路l 1，l 2交汇于A ，B 两点，并在点A ，B 处设立公共自行车停放点．（1）已知修建道路PA ，PB 的单位造价分别为2m 元/千米和m 元/千米，若两段道路的总造价相等，求此时点A ，B 之间的距离；（2）考虑环境因素，需要对OA ，OB 段道路进行翻修，OA ，OB 段的翻修单价分别为n 元/千米和22n 元/千米，要使两段道路的翻修总价最少，试确定点A ，B 的位置．19．（本题满分16分）已知数列{}n a 与{}n b 满足：1120n n n n n b a a b a +++++=，3(1)2nn b +-=，且12a =，24a =．（1）求3a ，4a ，5a 的值；（2）设2121n n n c a a -+=+，N n *∈，证明：{}n c 是等比数列； （3）设242k k S a a a =+++L ，N n *∈，证明：4176nk k kS a =<∑(N n *∈)．20．（本题满分16分）已知函数()(2)ln 23f x x x x =-+-．（1）求曲线()y f x =在1x =处的切线方程；（2）当1x ≥时，求函数()y f x =的零点个数；（3）若函数(1)()()lna xg x x a xx-=-+在[1，+∞)上是增函数，求证：494a<．解：（1）函数的定义域为，对函数求导可得：，当时，，且，则曲线在的切线方程为，即。