05章习题提示与答案

国际经济学克鲁格曼课后习题答案章集团标准化办公室：[VV986T-J682P28-JP266L8-68PNN]第一章练习与答案1．为什么说在决定生产和消费时，相对价格比绝对价格更重要？答案提示：当生产处于生产边界线上，资源则得到了充分利用，这时，要想增加某一产品的生产，必须降低另一产品的生产，也就是说，增加某一产品的生产是有机会机本（或社会成本）的。

生产可能性边界上任何一点都表示生产效率和充分就业得以实现，但究竟选择哪一点，则还要看两个商品的相对价格，即它们在市场上的交换比率。

相对价格等于机会成本时，生产点在生产可能性边界上的位置也就确定了。

所以，在决定生产和消费时，相对价格比绝对价格更重要。

2．仿效图1—6和图1—7，试推导出Y商品的国民供给曲线和国民需求曲线。

答案提示：3．在只有两种商品的情况下，当一个商品达到均衡时，另外一个商品是否也同时达到均衡？试解释原因。

答案提示：4．如果生产可能性边界是一条直线，试确定过剩供给（或需求）曲线。

答案提示：5．如果改用Y商品的过剩供给曲线（B国）和过剩需求曲线（A国）来确定国际均衡价格，那么所得出的结果与图1—13中的结果是否一致？6．答案提示：国际均衡价格将依旧处于贸易前两国相对价格的中间某点。

7．说明贸易条件变化如何影响国际贸易利益在两国间的分配。

答案提示：一国出口产品价格的相对上升意味着此国可以用较少的出口换得较多的进口产品，有利于此国贸易利益的获得，不过，出口价格上升将不利于出口数量的增加，有损于出口国的贸易利益；与此类似，出口商品价格的下降有利于出口商品数量的增加，但是这意味着此国用较多的出口换得较少的进口产品。

对于进口国来讲，贸易条件变化对国际贸易利益的影响是相反的。

8．如果国际贸易发生在一个大国和一个小国之间，那么贸易后，国际相对价格更接近于哪一个国家在封闭下的相对价格水平？答案提示：贸易后，国际相对价格将更接近于大国在封闭下的相对价格水平。

第一章练习与答案此答案有很多这是提示，具体的可以从课本中找。

而且重点标记的是考试常考的！1．为什么说在决定生产和消费时，相对价格比绝对价格更重要？答案提示：当生产处于生产边界线上，资源则得到了充分利用，这时，要想增加某一产品的生产，必须降低另一产品的生产，也就是说，增加某一产品的生产是有机会机本（或社会成本）的。

生产可能性边界上任何一点都表示生产效率和充分就业得以实现，但究竟选择哪一点，则还要看两个商品的相对价格，即它们在市场上的交换比率。

相对价格等于机会成本时，生产点在生产可能性边界上的位置也就确定了。

所以，在决定生产和消费时，相对价格比绝对价格更重要。

2．仿效图1—6和图1—7，试推导出Y商品的国民供给曲线和国民需求曲线。

答案提示：3．在只有两种商品的情况下，当一个商品达到均衡时，另外一个商品是否也同时达到均衡？试解释原因。

答案提示：4．如果生产可能性边界是一条直线，试确定过剩供给（或需求）曲线。

答案提示：5．如果改用Y商品的过剩供给曲线（B国）和过剩需求曲线（A国）来确定国际均衡价格，那么所得出的结果与图1—13中的结果是否一致？答案提示：国际均衡价格将依旧处于贸易前两国相对价格的中间某点。

6．说明贸易条件变化如何影响国际贸易利益在两国间的分配。

答案提示：一国出口产品价格的相对上升意味着此国可以用较少的出口换得较多的进口产品，有利于此国贸易利益的获得，不过，出口价格上升将不利于出口数量的增加，有损于出口国的贸易利益；与此类似，出口商品价格的下降有利于出口商品数量的增加，但是这意味着此国用较多的出口换得较少的进口产品。

对于进口国来讲，贸易条件变化对国际贸易利益的影响是相反的。

7．如果国际贸易发生在一个大国和一个小国之间，那么贸易后，国际相对价格更接近于哪一个国家在封闭下的相对价格水平？答案提示：贸易后，国际相对价格将更接近于大国在封闭下的相对价格水平。

8．根据上一题的答案，你认为哪个国家在国际贸易中福利改善程度更为明显些？答案提示：小国。

习题提示与答案 第五章 热力学第二定律5-1 蒸汽机中所用新蒸汽的温度为227 ℃，排出乏汽的温度为100 ℃，如按卡诺循环计算，试求其热效率。

提示：新蒸汽与乏汽的温度分别看做卡诺循环的高、低温热源温度。

答案： 254.0t =η。

5-2 海水表面温度为10 ℃，而深处的温度为4 ℃。

若设计一热机利用海水的表面和深处作为高温热源及低温热源并按卡诺循环工作，试求该热机的热效率。

提示：略。

答案： 2021.0t =η。

5-3 一卡诺热机的热效率为40%，若它从高温热源吸热4 000 kJ/h ，而向25 ℃的低温热源放热，试求高温热源的温度及热机的功率。

提示：略。

答案： 4971r =T K ，44.0=P kW 。

5-4 某内燃机每作出1 kW h 的功需消耗汽油514.8 g 。

已知每千克汽油燃烧时可放出41 868 kJ 的热量，试求该内燃机的实际热效率。

提示：热机的吸热量等于燃料的放热量。

答案：167.0t =η。

5-5 有报告宣称某热机自160 ℃的热源吸热，向5 ℃的低温环境放热，而在吸热1 000 kJ/h 时可发出功率0.12 kW 。

试分析该报告的正确性。

提示：热机热效率不可能大于在相同温度范围内工作的卡诺热机的热效率。

答案：报告不正确，不可能实现。

5-6 有A 、B 两个卡诺热机，A 从温度为700 ℃的热源吸热，向温度为t 的热源放热。

B 则从温度为t 的热源取得A 排出的热量并向温度为100 ℃的热源放热。

试求：当两热机的循环净功相同或两热机的热效率相同时温度t 的数值。

提示：卡诺循环热效率121211T T Q Q tc -=-=η。

答案：两热机循环净功相同时='t 400 ℃，两热机热效率相同时="t 329.4 ℃。

5-7 以氮气作为工质进行一个卡诺循环，其高温热源的温度为1 000 K 、低温热源的温度为300 K ；在定温压缩过程中，氮气的压力由0.1 MPa 升高到0.4 MPa 。

附录各章习题参考答案第1章习题参考答案1. 答：AutoCAD 2019中包括“二维草图与注释”、“三维基础”和“三维建模”3种工作空间。

2. 在“快速访问”工具栏中单击“自定义快速访问工具栏”下拉按钮，在弹出的菜单中选择“显示菜单栏”命令，即可在默认工作界面中显示菜单栏3. 答：AutoCAD 2019执行命令的常用方式包括选择菜单命令、单击工具栏按钮和在命令行中输入命令3种。

4. 答：AutoCAD的透明命令是指在不中断其他命令的情况下被执行的命令。

使用透明命令的前提条件是在执行某个命令的过程中需要用到其他命令而又不退出当前执行的命令。

透明命令可以单独执行，也可以在执行其他命令的过程中执行。

在绘图或编辑过程中，要在命令行中执行透明命令，必须在原命令前面加一个撇号“'”，然后根据相应的提示进行操作即可。

5. 答：在AutoCAD中，绝对直角坐标的输入格式为“X，Y，Z”；相对直角坐标的输入格式为“@ΔX，ΔY，ΔZ”；相对极坐标的输入格式为“@距离<角度”；绝对极坐标的输入格式为“距离<角度”。

6. 答：AutoCAD提供的选择方式包括使用鼠标选择、窗口选择、窗交选择、快速选择和栏选对象等多种方式。

如果要在复杂的图形中快速选择同一特性的对象，可以选择“工具”|“快速选择”命令，在打开的“快速选择”对话框中按对象的特性进行选择。

第2章习题参考答案1. 答：默认情况下，图形界限功能处于关闭状态，因此在设置好图形界限后，如果没有打开图形界限功能，仍然可以在图形界限之外绘制图形2. 答：使用正交模式功能后，可以将光标限制在水平或垂直轴向上，从而方便在水平或垂直方向上绘制或编辑图形。

3. 答：启用或关闭捕捉和栅格的常用方法有如下3种。

●单击状态栏中的“捕捉模式”和“栅格显示”按钮。

●按F9键可以打开或关闭捕捉模式；按F7键可以打开或关闭栅格显示。

• 7 •在“草图设置”对话框中选中或取消“启用捕捉”和“启用栅格”复选框4. 答：在“草图设置”对话框只是选中了“启用对象捕捉追踪”复选框，还是不能进行对象捕捉追踪操作，因为还需要选中“启用对象捕捉”复选框，并开启一个或多个对象捕捉功能。

新人教版选择性必修第二册课后作业第五章传感器认识传感器一、选择题1.(多选)如图所示是电子电路中常用到的一种称为“干簧管”的元件。

关于干簧管,下列说法正确的是( )A.干簧管接入电路中相当于电阻B.干簧管是根据热胀冷缩的原理制成的C.干簧管接入电路中相当于开关D.干簧管是一种能感知磁场的传感器2.(多选)关于传感器的作用,下列说法正确的是( )A.通常的传感器可以直接用来进行自动控制B.传感器可以用来采集信息C.传感器可以将感受到的一些信号转换为电学量D.传感器可以将所有感受到的信号都转换为电学量3.传感器的输出量通常为( )A.非电学量信号B.电学量信号C.位移信号D.光信号4.当你靠近某些宾馆、酒店的大门时,门就会自动为你打开;当你远离门之后,门又会自动关上。

你觉得自动门可能是将下列哪种外界信息转换成了有用的信息( )A.温度B.紫外线C.可见光D.红外线5.每当地震发生后,各路救援人员及时深入灾区,与死神抢时间,争分夺秒抢救被埋人员。

有些救援队借助“生命探测仪”可以发现被深埋在废墟中的人员,根据所学知识,你认为“生命探测仪”可能用到了( )A.红外线传感器B.压力传感器C.振动传感器D.电容传感器6.电子秤使用的是( )A.超声波传感器B.压力传感器C.温度传感器D.红外线传感器7.在会议室、宾馆房间的天花板上均装有火灾报警器,当有烟雾进入这种报警器的罩内时它就会发出警报,则火灾报警器中装有的传感器是( )A.光传感器B.压力传感器C.声音传感器D.温度传感器8.关于传感器工作的一般流程,以下选项中正确的是( )A.非电学量→敏感元件→转换电路→电学量→转换元件B.电学量→敏感元件→转换电路→转换元件→非电学量C.非电学量→敏感元件→转换元件→转换电路→电学量D.非电学量→转换电路→转换元件→敏感元件→电学量9.如图所示电路中,R为某种半导体气敏元件,其阻值随周围环境中一氧化碳气体浓度的增大而减小。

新人教版选择性必修第二册课后作业第五章传感器利用传感器制作简单的自动控制装置一、选择题1.如图所示是某保密室的防盗报警电路,当有人闯入保密室时会使开关S闭合。

下列说法正确的是( )A.电磁继电器与发电机工作原理相同B.电磁铁的磁性强弱只与电流大小有关C.电磁铁工作时,上端为S极D.当有人闯入保密室时,b灯亮2.图甲为一种家用门磁防盗报警器,由磁条和主机组成,门窗均可使用。

乙图为其简化示意图,安装时,将磁条固定在门框上,主机安装在与其等高的门板边缘,门关上时,两者刚好靠在一起。

当主机开关闭合时,若门被打开,磁条与主机分离,主机内的触发器就会工作,带动报警器发出报警声。

下列有关说法正确的是( )甲乙A.触发器内是一个开关,当主机与磁条靠近时,开关是断开的B.触发器可以由铜制成C.磁条的两极对调后,该报警器不能正常工作D.本装置是利用电流的磁效应工作的3.如图所示是一位同学设计的防盗门报警器的简化电路示意图。

门打开时,红外光敏电阻R3受到红外线照射,电阻减小;门关闭时会遮蔽红外线源(红外线源没有画出)。

经实际试验,可知灯的亮灭情况能反映门的开关状态。

门打开时两灯的发光情况及R2两端电压U R2与门关闭时相比( )A.红灯亮,U R2变大B.绿灯亮,U R2变大C.绿灯亮,U R2变小D.红灯亮,U R2变小二、非选择题4.设计一个自动防盗报警电路,要求:晚间房门被打开,细导线EF被扯断,电铃发声自动报警。

把如图所示的电路元件连成电路。

5.如图是某研究学习小组设计的模拟街道路灯自动控制系统的电路图,光控开关可采用光敏电阻来控制,光敏电阻的阻值随着光照强度增强而减小,利用直流电源为电磁铁供电,利用照明电源为电灯供电。

为达到天亮灯熄、天黑灯亮的效果,电灯应接在(选填“A、B”或“B、C”)之间,请用笔画线代替导线,将电路补充完整。

6.目前有些居民区内楼道灯的控制使用的是一种延时开关,该延时开关的简化原理如图所示。

高等数学课后习题及参考答案（第五章）习题5-11. 利用定积分定义计算由抛物线y =x 2+1, 两直线x =a 、x =b (b >a )及横轴所围成的图形的面积.解 第一步: 在区间[a , b ]内插入n -1个分点i nab a x i -+=(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n -1), 把区间[a , b ]分成n 个长度相等的小区间, 各个小区间的长度为: nab x i -=∆(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n ). 第二步: 在第i 个小区间[x i -1, x i ] (i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n )上取右端点i nab a x i i -+==ξ, 作和 nab i n a b a x f S ni i i ni n -⋅+-+=∆=∑∑==]1)[()(211ξ ∑=+-+-+-=n i i na b i n a b a a n a b 12222]1)()(2[ ]6)12)(1()(2)1()(2[)(222n n n n n a b n n n a b a na n a b +++⋅-++⋅-+-= ]16)12)(1()()1)(()[(222+++-++-+-=n n n a b n n a b a a a b . 第三步: 令λ=max{∆x 1, ∆x 2, ⋅ ⋅ ⋅ , ∆x n }nab -=, 取极限得所求面积 ∑⎰=→∆==ni i i ba x f dx x f S 10)(lim )(ξλ]16)12)(1()()1)(()[(lim 222+++-++-+-=∞→n n n a b n n a b a a a b n a b a b a b a b a a a b -+-=+-+-+-=)(31]1)(31)()[(3322.2. 利用定积分定义计算下列积分: (1)xdx ba ⎰(a <b ); (2)dx e x ⎰10.解 (1)取分点为i n a b a x i -+=(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n -1), 则nab x i -=∆(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n ). 在第i 个小区间上取右端点i nab a x i i -+==ξ (i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n ). 于是 ∑∑⎰=∞→=∞→-⋅-+=∆=ni n ni i i n ba nab i n a b a x xdx 11)(lim lim ξ )(21]2)1()()([lim )(22222a b n n n a b a b a a b n -=+-+--=∞→. (2)取分点为ni x i =(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n -1), 则n x i 1=∆(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n ). 在第i 个小区间上取右端点nix i i ==ξ (i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n ). 于是) (1lim 1lim 21110n n n i i n xe e e nn e dx e +⋅⋅⋅++==∞→=∞→∑⎰1)1(]1[lim1])(1[1lim 11111-=--=--⋅=∞→∞→e e n e e e e e nn n n n n n .3. 利用定积分的几何意义说明下列等式:(1)1210=⎰xdx ; (2)41102π=-⎰dx x ;(3)⎰-=ππ0sin xdx ;(4)⎰⎰=-2022cos 2cos πππxdx xdx .解 (1)⎰102xdx 表示由直线y =2x 、x 轴及直线x =1所围成的面积, 显然面积为1.(2)⎰-1021dx x 表示由曲线21x y -=、x 轴及y 轴所围成的四分之一圆的面积, 即圆x 2+y 2=1的面积的41:41411212ππ=⋅⋅=-⎰dx x .(3)由于y =sin x 为奇函数, 在关于原点的对称区间[-π, π]上与x 轴所夹的面积的代数和为零, 即⎰-=ππ0sin xdx .(4)⎰-22cos ππxdx 表示由曲线y =cos x 与x 轴上]2,2[ππ-一段所围成的图形的面积. 因为cos x为偶函数, 所以此图形关于y 轴对称. 因此图形面积的一半为⎰20cos πxdx , 即⎰⎰=-2022cos 2cos πππxdx xdx .4. 水利工程中要计算拦水闸门所受的水压力, 已知闸门上水的压强p (单位面积上的压力大小)是水深h 的函数, 且有p =9⋅8h (kN/m 2). 若闸门高H =3m , 宽L =2m , 求水面与闸门顶相齐时闸门所受的水压力P .解 建立坐标系如图. 用分点i nHx i =(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n -1)将区间[0, H ]分为n 分个小区间, 各小区间的长为nHx i =∆(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n ). 在第i 个小区间[x i -1, x i ]上, 闸门相应部分所受的水压力近似为 ∆P i =9.8x i l ⋅∆x i . 闸门所受的水压力为22118.42)1(lim8.9lim 8.98.9lim H L n n n H L n Hi n H L x L x P n n i n n i i i n ⋅=+⋅=⋅=∆⋅⋅=∞→=∞→=∞→∑∑. 将L =2, H =3代入上式得P =88.2(千牛).5. 证明定积分性质: (1)⎰⎰=ba b a dx x f k dx x kf )()(; (2)a b dx dx ba b a -==⋅⎰⎰1.证明 (1)⎰∑∑⎰=∆=∆==→=→ba ni i i ni i i ba dx x f k x f k x kf dx x kf )()(lim )(lim )(1010ξξλλ.(2)a b a b x x dx ni i ni i ba -=-=∆=∆⋅=⋅→=→=→∑∑⎰)(lim lim 1lim 101010λλλ.6. 估计下列各积分的值: (1)⎰+412)1(dx x ; (2)⎰+ππ4542)sin 1(dx x ;(3)⎰331arctan xdx x ;(4)⎰-022dx e xx.解 (1)因为当1≤x ≤4时, 2≤x 2+1≤17, 所以 )14(17)1()14(2412-⋅≤+≤-⋅⎰dx x , 即 51)1(6412≤+≤⎰dx x . (2)因为当ππ454≤≤x 时, 1≤1+sin 2x ≤2, 所以 )445(2)sin 1()445(14542ππππππ-⋅≤+≤-⋅⎰dx x ,即 ππππ2)sin 1(4542≤+≤⎰dx x .(3)先求函数f (x )=x arctan x 在区间]3 ,31[上的最大值M 与最小值m .21a r c t a n )(xx x x f ++='. 因为当331≤≤x 时, f '(x )>0, 所以函数f (x )=x arctan x 在区间]3 ,31[上单调增加. 于是3631arctan31)31(π===f m , 33arctan 3)3(π===f M .因此)313(3arctan )313(36331-≤≤-⎰ππxdx x ,即32arctan 9331ππ≤≤⎰xdx x . (4)先求函数xx e x f -=2)(在区间[0, 2]上的最大值M 与最小值m .)12()(2-='-x e x f xx, 驻点为21=x .比较f (0)=1, f (2)=e 2, 41)21(-=e f ,得41-=e m , M =e 2. 于是)02()02(22012-⋅≤≤-⎰--e dx e e xx,即 41022222---≤≤-⎰e dx dx e e xx .7. 设f (x )及g (x )在[a , b ]上连续, 证明: (1)若在[a , b ]上f (x )≥0, 且0)(=⎰ba dx x f , 则在[a ,b ]上f (x )≡0;(2)若在[a , b ]上, f (x )≥0, 且f (x )≢0, 则0)(>⎰ba dx x f ; (3)若在[a ,b ]上, f (x )≤g (x ), 且⎰⎰=ba ba dx x g dx x f )()(, 则在[ab ]上f (x )≡g (x ).证明 (1)假如f (x )≢0, 则必有f (x )>0. 根据f (x )在[a , b ]上的连续性, 在[a , b ]上存在一点x 0, 使f (x 0)>0, 且f (x 0)为f (x )在[a , b ]上的最大值.再由连续性, 存在[c , d ]⊂[a , b ], 且x 0∈[c , d ], 使当x ∈[c , d ]时, 2)()(0x f x f >. 于是0)(2)()()()()()(0>-≥≥++=⎰⎰⎰⎰⎰c d x f dx x f dx x f dx x f dx x f dx x f dc bd d c c a b a . 这与条件0)(=⎰ba dx x f 相矛盾. 因此在[a ,b ]上f (x )≡0.(2)证法一 因为f (x )在[a , b ]上连续, 所以在[a , b ]上存在一点x 0, 使f (x 0)>0, 且f (x 0)为f (x )在[a , b ]上的最大值.再由连续性, 存在[c , d ]⊂[a , b ], 且x 0∈[c , d ], 使当x ∈[c , d ]时, 2)()(0x f x f >. 于是⎰⎰>-≥≥badcc d x f dx x f dx x f 0)(2)()()(0. 证法二 因为f (x )≥0, 所以0)(≥⎰ba dx x f . 假如0)(>⎰ba dx x f 不成立. 则只有0)(=⎰ba dx x f , 根据结论(1), f (x )≡0, 矛盾. 因此0)(>⎰ba dx x f . (3)令F (x )=g (x )-f (x ), 则在[a ,b ]上F (x )≥0且0)()()]()([)(=-=-=⎰⎰⎰⎰ba b a b a b a dx x f dx x g dx x f x g dx x F ,由结论(1), 在[a , b ]上F (x )≡0, 即f (x )≡g (x ).4. 根据定积分的性质及第7题的结论, 说明下列积分哪一个的值较大: (1)⎰102dx x 还是⎰103dx x ？(2)⎰212dx x 还是⎰213dx x ？ (3)⎰21ln xdx 还是⎰212)(ln dx x ？ (4)⎰10xdx 还是⎰+10)1ln(dx x ？ (5)⎰10dx e x 还是⎰+10)1(dx x ？解 (1)因为当0≤x ≤1时, x 2≥x 3, 所以⎰⎰≥103102dx x dx x . 又当0<x <1时, x 2>x 3, 所以⎰⎰>103102dx x dx x . (2)因为当1≤x ≤2时, x 2≤x 3, 所以⎰⎰≤213212dx x dx x . 又因为当1<x ≤2时, x 2<x 3, 所以⎰⎰<213212dx x dx x .(3)因为当1≤x ≤2时, 0≤ln x <1, ln x ≥(ln x )2, 所以⎰⎰≥21221)(ln ln dx x xdx . 又因为当1<x ≤2时, 0<ln x <1, ln x >(ln x )2, 所以⎰⎰>21221)(ln ln dx x xdx . (4)因为当0≤x ≤1时, x ≥ln(1+x ), 所以⎰⎰+≥1010)1ln(dx x xdx . 又因为当0<x ≤1时, x >ln(1+x ), 所以⎰⎰+>1010)1ln(dx x xdx .(5)设f (x )=e x -1-x , 则当0≤x ≤1时f '(x ) =e x -1>0, f (x )=e x -1-x 是单调增加的. 因此当0≤x ≤1时, f (x )≥f (0)=0, 即e x ≥1+x , 所以⎰⎰+≥1010)1(dx x dx e x .又因为当0<x ≤1时, e x >1+x , 所以⎰⎰+>1010)1(dx x dx e x .习题5-21. 试求函数⎰=xtdt y 0sin 当x =0及4π=x 时的导数.解 x tdt dx dy x sin sin 0=='⎰, 当x =0时, y '=sin0=0;当4π=x 时, 224sin =='πy .2. 求由参数表示式⎰=tudu x 0sin , ⎰=tudu y 0cos 所给定的函数y 对x的导数.解 x '(t )=sin t , y '(t )=cos t ,t t x t y dx dy cos )()(=''=. 3. 求由⎰⎰=+xy ttdt dt e 00cos 所决定的隐函数y 对x 的导数dxdy. 解 方程两对x 求导得 0cos =+'x y e y , 于是ye x dx dy cos -=. 4. 当x 为何值时, 函数⎰-=xt dt te x I 02)(有极值？解 2)(x xe x I -=', 令I '(x )=0, 得x =0.因为当x <0时, I '(x )<0; 当x >0时, I '(x )>0, 所以x =0是函数I (x )的极小值点. 5. 计算下列各导数:(1)⎰+2021x dt t dx d ; (2)⎰+32411x x dt tdx d ; (3)⎰x x dtt dxd cos sin 2)cos(π.解 (1)dxdu dt t du d u x dt t dx d u x ⋅+=+⎰⎰02202112令 421221x x x u +=⋅+=.(2)⎰⎰⎰+++=+323204044111111x x x x dt t dx d dt t dx d dt t dx d ⎰⎰+++-=3204041111x x dt t dx d dt t dx d )()(11)()(11343242'⋅++'⋅+-=x x x x 12281312xx x x +++-=. (3)⎰⎰⎰+-=x x x x dt t dx d dt t dx d dt t dx d cos 02sin 02cos sin 2)cos()cos()cos(πππ))(cos cos cos())(sin sin cos(22'+'-=x x x x ππ )cos cos(sin )sin cos(cos 22x x x x ππ⋅-⋅-= )sin cos(sin )sin cos(cos 22x x x x πππ-⋅-⋅-= )sin cos(sin )sin cos(cos 22x x x x ππ⋅+⋅-= )sin cos()cos (sin 2x x x π-=.6. 计算下列各定积分: (1)⎰+-adx x x 02)13(;解a a a x x x dx x x a a+-=+-=+-⎰230230221|)21()13(.(2)⎰+2142)1(dx xx ;解852)11(31)22(31|)3131()1(333321332142=---=-=+---⎰x x dx x x . (3)⎰+94)1(dx x x ;解942394194|)2132()()1(x x dx x x dx x x +=+=+⎰⎰6145)421432()921932(223223=+-+=.(4)⎰+33121x dx ; 解 66331arctan 3arctan arctan 13313312πππ=-=-==+⎰x x dx . (5)⎰--212121x dx ; 解3)6(6)21arcsin(21arcsin arcsin 1212121212πππ=--=--==---⎰x x dx .(6)⎰+ax a dx 3022;解aa a ax a x a dx a a30arctan 13arctan 1arctan 1303022π=-==+⎰.(7)⎰-1024x dx ;解60arcsin 21arcsin 2arcsin 41012π=-==-⎰x x dx .(8)dx x x x ⎰-+++012241133; 解 01301221224|)arctan ()113(1133---+=++=+++⎰⎰x x dx x x dx x x x 41)1arctan()1(3π+=----=.(9)⎰---+211e xdx ; 解1ln 1ln ||1|ln 12121-=-=+=+------⎰e x xdx e e .(10)⎰402tan πθθd ;解4144tan )(tan )1(sec tan 4040242πππθθθθθθπππ-=-=-=-=⎰⎰d d .(11)dx x ⎰π20|sin |; 解⎰⎰⎰-=ππππ2020sin sin |sin |xdx xdx dx xπππ20cos cos x x +-==-cos π +cos0+cos2π-cos π=4. (12)⎰2)(dx x f , 其中⎪⎩⎪⎨⎧>≤+=1 2111)(2x x x x x f . 解38|)61(|)21(21)1()(213102212102=++=++=⎰⎰⎰x x x dx x dx x dx x f . 7. 设k 为正整数. 试证下列各题: (1)⎰-=ππ0cos kxdx ;(2)⎰-=ππ0sin kxdx ;(3)⎰-=πππkxdx 2cos ;(4)⎰-=πππkxdx 2sin .证明 (1)⎰--=-=--==ππππππ000)(sin 1sin 1|sin 1cos k kk k kx k kxdx . (2))(cos 1cos 1cos 1sin ππππππ-+-=-=--⎰k kk k x k k kxdx0cos 1cos 1=+-=ππk kk k .(3)πππππππππ=+=+=+=---⎰⎰22|)2sin 21(21)2cos 1(21cos 2kx k x dx kx kxdx . (4)πππππππππ=+=-=-=---⎰⎰22|)2sin 21(21)2cos 1(21sin 2kx k x dx kx kxdx . 8. 设k 及l 为正整数, 且k ≠l . 试证下列各题: (1)⎰-=ππ0sin cos lxdx kx ;(2)⎰-=ππ0cos cos lxdx kx ;(3)⎰-=ππ0sin sin lxdx kx .证明 (1)⎰⎰----+=ππππdx x l k x l k lxdx kx ])sin()[sin(21sin cos0])cos()(21[])cos()(21[=----++-=--ππππx l k l k x l k l k .(2)⎰⎰---++=ππππdx x l k x l k lxdx kx ])cos()[cos(21cos cos0])sin()(21[])sin()(21[=--+++=--ππππx l k l k x l k l k .(3)⎰⎰----+-=ππππdx x l k x l k lxdx kx ])cos()[cos(21sin sin . 0])sin()(21[])sin()(21[=--+++-=--ππππx l k l k x l k l k .9. 求下列极限: (1)xdt t xx ⎰→020cos lim ; (2)⎰⎰→xt xt x dttedt e 0220022)(lim.解 (1)11cos lim cos lim20020==→→⎰x xdt t x xx . (2)22222200022)(2lim)(limx xt x t x xt xt x xedt e dt e dttedt e '⋅=⎰⎰⎰⎰→→222220202lim2limx xt x x x xt x xedte xeedt e ⎰⎰→→=⋅=2212lim 22lim 2020222=+=+=→→x e x e e x x x x x . 10. 设⎩⎨⎧∈∈=]2 ,1[ ]1 ,0[ )(2x x x x x f . 求⎰=x dt t f x 0)()(ϕ在[0, 2]上的表达式,并讨论ϕ(x )在(0, 2)内的连续性.解 当0≤x ≤1时, 302031)()(x dt t dt t f x xx===⎰⎰ϕ;当1<x ≤2时, 6121212131)()(2211020-=-+=+==⎰⎰⎰x x tdt dt t dt t f x xxϕ.因此 ⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤≤=21 612110 31)(23x x x x x ϕ.因为31)1(=ϕ, 3131lim )(lim 30101==-→-→x x x x ϕ,316121)6121(l i m )(l i m 20101=-=-=+→+→x x x x ϕ,所以ϕ(x )在x =1处连续, 从而在(0, 2)内连续.11. 设⎪⎩⎪⎨⎧><≤≤=ππx x x x x f 或0 00 sin 21)(. 求⎰=x dt t f x 0)()(ϕ在(-∞, +∞)内的表达式.解 当x <0时,00)()(0===⎰⎰xxdt dt t f x ϕ;当0≤x ≤π时,21cos 21|cos 21sin 21)()(000+-=-===⎰⎰x t tdt dt t f x xxxϕ;当x >π时,πππϕ000|cos 210sin 21)()(t dt tdt dt t f x x x-=+==⎰⎰⎰10cos 21cos 21=+-=π.因此 ⎪⎩⎪⎨⎧≥≤≤-<=ππϕx x x x x 10 )cos 1(210 0)(.12. 设f (x )在[a , b ]上连续, 在(a , b )内可导且f '(x )≤0,⎰-=x a dt t f ax x F )(1)(. 证明在(a , b )内有F '(x )≤0.证明 根据积分中值定理, 存在ξ∈[a , x ], 使))(()(a x f dt t f xa -=⎰ξ.于是有)(1)()(1)(2x f ax dt t f a x x F x a -+--='⎰ ))(()(1)(12a x f a x x f a x ----=ξ )]()([1ξf x f ax --=.由 f '(x )≤0可知f (x )在[a , b ]上是单调减少的, 而a ≤ξ≤x , 所以f (x )-f (ξ)≤0. 又在(a , b )内, x -a >0, 所以在(a , b )内)]()([1)(≤--='ξf x f a x x F .习题5-31. 计算下列定积分:(1)⎰+πππ2)3sin(dx x ;解 0212132cos 34cos)3cos()3sin(22=-=+-=+-=+⎰ππππππππx dx x . (2)⎰-+123)511(x dx;解51251110116101)511(2151)511(22122123=⋅+⋅-=+-⋅=+-----⎰x x dx. (3)⎰203cos sin πϕϕϕd ;解⎰⎰-=20323sin cos cos sin ππϕϕϕϕϕd s d410cos 412cos 41cos 4144204=+-=-=πϕπ.(4)⎰-πθθ03)sin 1(d ; 解⎰⎰⎰⎰-+=+=-πππππθθθθθθθθ02002003cos )cos 1(cos sin )sin 1(d d d d34)cos 31(cos 03-=-+=πθθππ.(5)⎰262cos ππudu ;解22262622sin 4121)2cos 1(21cos ππππππππu u du u udu +=+=⎰⎰836)3sin (sin 41)62(21-=-+-=πππππ.(6)dx x ⎰-2022;解dt t tdt t t x dx x ⎰⎰⎰+=⋅=-02022)2cos 1(cos 2cos 2sin 22ππ令 2)2sin 21(2ππ=+=t t .(7)dy y ⎰--22228;解⎰⎰⎰---⋅=-=-44222222cos 2cos 22sin 24228ππxdx x xy dy y dy y 令)2(2)2sin 21(22)2cos 1(224444+=+=+=--⎰πππππy x dx x .(8)⎰-121221dx xx ;解41)cot ()1sin 1(cos sin cos sin 122212122πππππππ-=--=-=⋅=-⎰⎰⎰t t dt t tdt t t t x dx x x 令.(9)⎰-adx x a x 0222; 解⎰⎰⎰=⋅⋅=-2024202202222sin4cos cos sin sin ππtdt a tdt a t a t a t a x dx x a xa令164sin 328)4cos 1(84204204204ππππa t a t a dt t a =-=-=⎰. (10)⎰+31221xxdx ;解⎰⎰⋅⋅=+34223122secsec tan 1tan 1ππtdt t t tx xxdx 令3322sin 1sin cos 34342-=-==⎰ππππt dt tt. (11)⎰--1145xxdx ;解61)315(81)5(81454513133211=--=-=--⎰⎰-u u du u u x x xdx 令. (12)⎰+411xdx ;解)32ln 1(2|)1|ln (2)111(2211121212141+=+-=+-=⋅+=+⎰⎰⎰u u du u udu u u x x dx 令.(13)⎰--14311x dx ;解2ln 21|)1|ln (2)111(2)2(1111121010021143-=-+=-+=-⋅-=---⎰⎰⎰u u du u du u u ux x dx 令.(14)⎰-axa xdx 20223;解)13(3)3(3121320202222222022-=--=---=-⎰⎰a x a x a d x a xa xdx a a a.(15)dt te t ⎰-1022;解2110102221021)2(222-----=-=--=⎰⎰e etd e dt tet t t .(16)⎰+21ln 1e x x dx; 解)13(2ln 12ln ln 11ln 1222111-=+=+=+⎰⎰e e e xx d xxx dx .(17)⎰-++02222x x dx;解 2)1arctan(1arctan )1arctan()1(112202022022π=--=+=++=++---⎰⎰x dx x x x dx .(18)⎰-222cos cos ππxdx x ;解32)sin 32(sin sin )sin 21(2cos cos 2322222=-=-=---⎰⎰ππππππx x x d x xdx x . (19)⎰--23cos cos ππdx x x ;解⎰⎰---=-23cos 1cos cos cos ππππdx x x dx x x34cos 32cos 32sin cos )sin (cos 2023023202=-=+-=--⎰⎰ππππx xxdx x dx x x (20)⎰+π02cos 1dx x .解22cos 2sin 22cos 1000=-==+⎰⎰πππxxdx dx x .2. 利用函数的奇偶性计算下列积分: (1)⎰-ππxdx x sin 4;解 因为x 4sin x 在区间[-π, π]上是奇函数, 所以0sin 4=⎰-ππxdx x . (2)⎰-224cos 4ππθθd ;解⎰⎰⎰+==-202204224)22cos 1(8cos 42cos 4ππππθθθθθd x d d ⎰⎰++=++=20202)4cos 212cos 223(2)2cos 2cos 21(2ππθθd x x d x x23)4sin 412sin 23(20πθπ=++=x x . (3)⎰--2121221)(arcsin dx xx ;解⎰⎰⎰=-=--21221022212122)(arcsin )(arcsin 21)(arcsin 21)(arcsin x d x dx xx dx xx324)(arcsin 3232103π==x .(4)⎰-++55242312sin dx x x xx . 解 因为函数12sin 2423++x x x x 是奇函数, 所以012sin 552423=++⎰-dx x x x x .3. 证明:⎰⎰-=aa adx x dx x 022)(2)(ϕϕ, 其中ϕ(u )为连续函数.证明 因为被积函数ϕ(x 2)是x 的偶函数, 且积分区间[-a , a ]关于原点对称, 所以有⎰⎰-=aa adx x dx x022)(2)(ϕϕ.4. 设f (x )在[-b , b ]上连续, 证明⎰⎰---=bb bb dx x f dx x f )()(. 证明 令x =-t , 则dx =-dt , 当x =-b 时t =b , 当x =b 时t =-b , 于是⎰⎰⎰----=--=b b bb bbdt t f dt t f dx x f )()1)(()(,而 ⎰⎰---=-bb bb dx x f dt t f )()(, 所以⎰⎰---=bb bb dx x f dx x f )()(.5. 设f (x )在[a , b ]上连续., 证明⎰⎰-+=ba ba dx xb a f dx x f )()(. 证明 令x =a +b -t , 则dx =d t , 当x =a 时t =b , 当x =b 时t =a , 于是 ⎰⎰⎰-+=--+=b a ba ab dt t b a f dt t b a f dx x f )()1)(()(, 而 ⎰⎰-+=-+ba badx x b a f dt t b a f )()(,所以⎰⎰-+=ba ba dx xb a f dx x f )()(.6. 证明:⎰⎰>+=+11122)0(11x x x x dxx dx. 证明 令t x 1=, 则dt tdx 21-=, 当x =x 时x t 1=, 当x =1时t =1, 于是⎰⎰⎰+=-⋅+=+11111211)1(111xxdt t dt t tx dx , 而⎰⎰+=+x x dx x dt t 1121121111, 所以 ⎰⎰+=+1112211x xdx x dx.7. 证明:⎰⎰-=-1010)1()1(dx x x dx x xm n n m.证明 令1-x =t , 则⎰⎰⎰⎰-=-=--=-10100110)1()1()1()1(dx x x dt t t dt t t dx x x m n n m n m n m , 即⎰⎰-=-1010)1()1(dx x x dx x x m n n m . 8. 证明: ⎰⎰=ππ020sin 2sinxdx xdx n n.证明 ⎰⎰⎰+=ππππ020sin sin sin xdx xdx xdx nn n,而⎰⎰⎰⎰==---=2020202sin sin ))((sin sinπππππππxdx tdt dt t t x xdx n n nn 令,所以⎰⎰=ππ020sin 2sinxdx xdx n n.9. 设f (x )是以l 为周期的连续函数, 证明⎰+1)(a a dx x f 的值与a 无关.证明 已知f (x +l )=f (x ). ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰-+=++=+++ala ll la ll a a adx x f dx x f dx x f dx x f dx x f dx x f dx x f 00001)()()()()()()(,而 ⎰⎰⎰⎰=+=++=+a a ala ldx x f dx l x f dt l t f l t x dx x f 000)()()()(令,所以 ⎰⎰=+la adx x f dx x f 01)()(.因此⎰+1)(a adx x f 的值与a 无关.10. 若f (t )是连续函数且为奇函数, 证明⎰xdt t f 0)(是偶函数; 若f (t )是连续函数且为偶函数, 证明⎰xdt t f 0)(是奇函数. 证明 设⎰=xdt t f x F 0)()(.若f (t )是连续函数且为奇函数, 则f (-t )=-f (t ), 从而)()()()1)(()()(0000x F dx x f dx u f du u f u t dt t f x F x x xx ===---==-⎰⎰⎰⎰-令,即⎰=xdt t f x F 0)()(是偶函数.若f (t )是连续函数且为偶函数, 则f (-t )=f (t ), 从而)()()()1)(()()(0000x F dx x f dx u f du u f u t dt t f x F x x x x -=-=-=---==-⎰⎰⎰⎰-令,即⎰=xdt t f x F 0)()(是奇函数.11. 计算下列定积分: (1)⎰-10dx xe x ; 解11011010101021--------=--=+-=-=⎰⎰⎰e e e dx e xe xde dx xe xx x x x .(2)⎰e xdx x 1ln ; 解)1(414121121ln 21ln 21ln 21220212121+=-=⋅-==⎰⎰⎰e x e dx x x x x xdx xdx x ee e e e.(3)⎰ωπω20sin tdt t (ω为常数); 解⎰⎰⎰+-=-=ωπωπωπωπωωωωωωω20202020cos 1cos 1cos 1sin tdt tt t td tdt t 220222sin 12ωπωωωπωπ-=+-=t.(4)⎰32sin ππdx xx;解343432sin ln 4313cot cot cot sin ππππππππππππxxdx xx x xd dx x x++⋅-=+-=-=⎰⎰⎰23ln 21)9341(+-=π.(5)⎰41ln dx x x; 解 ⎰⎰⎰⋅-==4141414112ln 2ln 2ln dx xx x x x xd dx xx )12ln 2(442ln 8122ln 84141-=-=-=⎰x dx x.(6)⎰10arctan xdx x ;解x d x x x x xdx xdx x ⎰⎰⎰+⋅-==1022102102101121arctan 21arctan 21arctan214)41(218)arctan (218)111(21810102-=--=--=+--=⎰πππππx x x d x. (7)⎰02cos πxdx e x ; 解⎰⎰⎰-==022020202sin 2sin sin cos ππππxdx e xe x d e xdx e x x x x⎰⎰⎰-+=-+=+=202202202202cos 42cos 4cos 2cos 2πππππππxdx e e xdx e xe e x d e e x x xx所以)2(51cos 202-=⎰ππe xdx e x ,于是(8)⎰212log xdx x ; 解⎰⎰⎰⋅-==212212221222122ln 121log 21log 21log dx x x x x xdx xdx x2ln 432212ln 212212-=⋅-=x . (9)⎰π02)sin (dx x x ; 解⎰⎰⎰-=-=ππππ02302022sin 4161)2cos 1(21)sin (x d x x dx x x dx x x πππππππ03000332cos 41622sin 412sin 416⎰⎰-=⋅+-=xxd xdx x xx 462sin 81462cos 412cos 416303003ππππππππ-=+-=+-=⎰x xdx x x .(10)⎰edx x 1)sin(ln ; 解法一 ⎰⎰⋅=101sin ln )sin(ln dt e t t x dx x te令.因为⎰⎰⎰-==⋅10101010cos sin sin sin tdt e te tde dt e t t tt t⎰⎰--⋅=-⋅=101010sin cos 1sin cos 1sin tdt e t e e tde e t t t⎰-+⋅-⋅=10sin 11cos 1sin tdt e e e t , 所以 )11cos 1sin (21sin 10+⋅-⋅=⎰e e tdt e t .因此)11cos 1sin (21)sin(ln 1+⋅-⋅=⎰e e dx x e. 解法二⎰⎰⎰-⋅=⋅⋅-⋅=e e eedx x e dx x x x x x dx x 1111)cos(ln 1sin 1)cos(ln )sin(ln )sin(ln ⎰⋅⋅-⋅-⋅=e edx x x x x x e 111)sin(ln )cos(ln 1sin ⎰-+⋅-⋅=edx x e e 0)sin(ln 11cos 1sin , 故)11cos 1sin (21)sin(ln 1+⋅-⋅=⎰e e dx x e . (11)dx x e e⎰1|ln |; 解⎰⎰⎰⎰⎰-++-=+-=eee eee e e dx dx xx x x dx x dx x dx x 1111111111ln ln ln ln |ln |)11(2)1()11(1ee e e e -=---++-=.(12)⎰-102)1(dx xm (m 为自然数); 解⎰⎰+=-2011022cos sin )1(πtdt t x dx xm m 令.根据递推公式⎰⎰--=20220cos 1cos ππxdx n n xdx n n ,⎪⎩⎪⎨⎧⋅⋅⋅⋅⋅--⋅--⋅+⋅⋅⋅⋅⋅⋅--⋅--⋅+=-⎰为偶数为奇数m m m m m m m m m m m m m m dx x m325476 34121 2214365 34121)1(1022π. (13)⎰=π0sin xdx x J m m (m 为自然数). 解 因为⎰⎰⎰⎰-=----=ππππππππ0000sin sin )1)((sin )(sin tdt t tdt dt t t t x xdx x mm m m 令,所以 ⎰⎰⎰⎰=⋅===20200sin sin 22sin 2sin πππππππxdx xdx xdx xdx x J m m mmm (用第8题结果).根据递推公式⎰⎰--=20220sin 1sin ππxdx n n xdx n n , ⎪⎩⎪⎨⎧⋅⋅⋅⋅⋅--⋅--⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅--⋅--⋅-=为奇数为偶数m m m m m m m m m m m m m m J m 325476 45231 2214365 452312ππ.习题5-71. 判别下列各反常积分的收敛性, 如果收敛, 计算反常积分的值:(1)⎰+∞14xdx; 解 因为3131)31(lim 3131314=+-=-=-+∞→+∞-+∞⎰x x x dx x , 所以反常积分⎰+∞14x dx收敛, 且3114=⎰∞+x dx . (2)⎰+∞1xdx ;解 因为+∞=-==+∞→+∞∞+⎰22lim 211x xxdx x , 所以反常积分⎰+∞1xdx 发散.(3)dx e ax ⎰+∞-0(a >0); 解 因为aa e a e adx e ax x ax ax 11)1(lim 100=+-=-=-+∞→+∞-+∞-⎰, 所以反常积分dx e ax ⎰+∞-0收敛, 且adx e ax 10=⎰+∞-.(4)⎰+∞-0ch tdt e pt (p >1); 解 因为1]1111[21][21ch 2)1()1(0)1()1(0-=+--=+=+∞+--∞++--∞+-⎰⎰p p e pe p dt e e tdt e tp t p t p tp pt ,所以反常积分⎰+∞-0ch tdt e pt 收敛, 且1ch 20-=⎰∞+-p p tdt e pt .(5)⎰+∞-0sin tdt e pt ω(p >0, ω>0); 解⎰⎰+∞-+∞--=0cos 1sin t d e tdt e pt pt ωωω⎰⎰+∞-+∞-+∞--=-⋅+-=020sin 1)(cos 1cos 1t d e pdt pe t te pt pt pt ωωωωωωω⎰+∞-+∞--⋅+-=0202)(sin sin 1dt pe t pte p ptpt ωωωωω⎰+∞--=022sin 1tdt e p pt ωωω,所以 22sin w p tdt e pt +=⎰+∞-ωω.(6)⎰+∞∞-++222x x dx;解 πππ=--=+=++=++⎰⎰+∞∞-+∞∞-+∞∞-)2(2)1arctan()1(12222x x dxx x dx .(7)dx xx ⎰-121;解 这是无界函数的反常积分, x =1是被积函数的瑕点.11)1(lim 112110212=+--=--=--→⎰x x dx x x x . (8)⎰-22)1(x dx;解 这是无界函数的反常积分, x =1是被积函数的瑕点. 因为⎰⎰⎰-+-=-212102202)1()1()1(x dxx dx x dx , 而 +∞=--=-=--→⎰111lim 11)1(110102xx x dx x ,所以反常积分⎰-202)1(x dx发散. (9)⎰-211x xdx ;解 这是无界函数的反常积分, x =1是被积函数的瑕点.21232121]12)1(32[)111(1-+-=-+-=-⎰⎰x x dx x x x xdx322]12)1(32[lim 3831=-+--=+→x x x . (10)⎰-ex x dx 12)(ln 1.解 这是无界函数的反常积分, x =e 是被积函数的瑕点.2)arcsin(ln lim )arcsin(ln ln )(ln 11)(ln 111212π===-=--→⎰⎰x x x d x x x dx ex e ee.2. 当k 为何值时, 反常积分⎰+∞)(ln kx x dx收敛? 当k 为何值时, 这反常积分发散? 又当k 为何值时, 这反常积分取得最小值?解 当k <1时, +∞=-==+∞+-+∞+∞⎰⎰2122)(ln 11ln )(ln 1)(ln k k k x k x d x x x dx ;当k =1时, +∞===+∞+∞+∞⎰⎰222)ln(ln ln ln 1)(ln x x d x x x dxk ; 当k >1时,k k kkk x kx d x x x dx -+∞+-+∞+∞-=-==⎰⎰12122)2(ln 11)(ln 11ln )(ln 1)(ln . 因此当k >1时, 反常积分⎰+∞0)(ln k x x dx 收敛; 当k ≤1时, 反常积分⎰+∞0)(ln k x x dx发散. 当k >1时, 令k kk x x dx k f -∞+-==⎰10)2(ln 11)(ln )(, 则 )2ln ln 11()1(2ln ln )2(ln 2ln ln )2(ln 11)2(ln )1(1)(21112+---=----='---k k k k k f k kk. 令f '(k )=0得唯一驻点2ln ln 11-=k . 因为当2ln ln 111-<<k 时f '(k )<0, 当2ln ln 11->k 时f '(k )>0, 所以2ln ln 11-=k 为极小值点,同时也是最小值点, 即当2ln ln 11-=k 时, 这反常积分取得最小值 3. 利用递推公式计算反常积分⎰+∞-=0dx e x I x n n . 解 因为101000-+∞--+∞-+∞-+∞-=+-=-==⎰⎰⎰n x n x n x n x n n nI dx e x n e x de x dx e x I ,所以 I n = n ⋅(n -1)⋅(n -2)⋅ ⋅ ⋅2⋅I 1. 又因为 1000001=-=+-=-==+∞-+∞-+∞-+∞-+∞-⎰⎰⎰xx xx x e dx e xe xde dx xe I ,所以 I n = n ⋅(n -1)⋅(n -2)⋅ ⋅ ⋅2⋅I 1=n !.总习题五1. 填空:(1)函数f (x )在[a , b ]上(常义)有界是f (x )在[a , b ]上可积的______条件, 而f (x )在[a , b ]上连续是f (x )在[a , b ]上可积______的条件;解 函数f (x )在[a , b ]上(常义)有界是f (x )在[a , b ]上可积的___必要___条件, 而f (x )在[a , b ]上连续是f (x )在[a , b ]上可积___充分___的条件;(2)对[a , +∞)上非负、连续的函数f (x ), 它的变上限积分⎰xa dx x f )(在[a , +∞)上有界是反常积分⎰+∞a dx x f )(收敛的______条件;解 对[a , +∞)上非负、连续的函数f (x ), 它的变上限积分⎰xa dx x f )(在[a , +∞)上有界是反常积分⎰+∞a dx x f )(收敛的___充分___条件;(3)绝对收敛的反常积分⎰+∞a dx x f )(一定______; 解 绝对收敛的反常积分⎰+∞a dx x f )(一定___收敛___;(4)函数f (x )在[a , b ]上有定义且|f (x )|在[a , b ]上可积, 此时积分⎰ba dx x f )(______存在. 解 函数f (x )在[a ,b ]上有定义且|f (x )|在[a , b ]上可积, 此时积分⎰b a dx x f )(___不一定___存在.2. 计算下列极限:(1)∑=∞→+n i n nin 111lim ;解 )122(32)1(32111lim 103101-=+=+=+⎰∑=∞→x dx x n i n n i n . (2)121lim+∞→+⋅⋅⋅++p pp p n nn (p >0);解 11111])( )2()1[(lim 21lim 101101+=+==⋅⋅⋅⋅++=+⋅⋅⋅+++∞→+∞→⎰p x p dx x n n n n n n n p p p p p n p p p p n . (3)nn nn !lnlim ∞→; 解 ]ln 1)ln 2ln 1(ln 1[lim !lnlim n n nn n n n n nn ⋅-+⋅⋅⋅++=∞→∞→nn n n n n 1)]ln (ln )ln 2(ln )ln 1[(ln lim ⋅-+⋅⋅⋅+-+-=∞→⎰=⋅+⋅⋅⋅++=∞→10ln 1)ln 2ln 1(ln lim xdx n n n n n n1)ln ()ln (10101010-=-=-=⎰xx x dx x x .(4)⎰-→xaa x dt t f a x x )(lim, 其中f (x )连续; 解法一 )()(lim )(lima af xf dt t f ax x axa ax ==-→→⎰ξξ (用的是积分中值定理). 解法二 )(1)()(lim )(lim )(lim a af x xf dt t f a x dt t f x dt t f a x x xaa x xa a x x a a x =+=-=-⎰⎰⎰→→→ (用的是洛必达法则). (5)1)(arctan lim 22+⎰+∞→x dtt xx .解4)(arctan 1lim 1)(arctan lim 1)(arctan lim 22222202π=+=+=+∞→+∞→+∞→⎰x x x x x x x dtt x x xx . 3. 下列计算是否正确, 试说明理由:(1)⎰⎰----=-=+-=+111111222)1arctan ()1(1)1(1πx xx d x dx ;解 计算不正确, 因为x 1在[-1, 1]上不连续. (2)因为⎰⎰--++-=++111122111t t dt tx x x dx , 所以⎰-=++11201x x dx .解 计算不正确, 因为t1在[-1, 1]上不连续.(3)01lim 122=+=+⎰⎰-∞→+∞∞-A A A dx x xdx x x . 解 不正确, 因为⎰⎰⎰⎰-+∞→+∞→+∞∞--∞→+≠+++=+A A A b b a a dx xxdx x x dx x x dx x x 2020221lim 1lim 1lim 1. 4. 设p >0, 证明⎰<+<+10111p x dx p p. 证明 p pp p p p px x x x x x x ->+-=+-+=+>11111111. 因为⎰⎰⎰<+<-1010101)1(dx x dxdx x pp,而 110=⎰dx , pp p x x dx x p p+=+-=-+⎰1)1()1(10110, 所以⎰<+<+10111pxdx p p. 5. 设f (x )、g (x )在区间[a , b ]上均连续, 证明: (1)⎰⎰⎰⋅≤ba ba ba dx x g dx x f dx x g x f )()(])()([222;证明 因为[f (x )-λg (x )]2≥0, 所以λ2g 2(x )-2λ f (x )g (x )+f 2(x )≥0, 从而 0)()()(2)(222≥+-⎰⎰⎰ba ba ba dx x f dx x g x f dx x g λλ.上式的左端可视为关于λ的二次三项式, 因为此二次三项式大于等于0, 所以其判别式小于等于0, 即0)()(4])()([4222≤⋅-⎰⎰⎰ba ba ba dx x g dx x f dx x g x f ,亦即 ⎰⎰⎰⋅≤ba ba ba dx x g dx x f dx x g x f )()(])()([222. (2)()()()212212212)()()]()([⎰⎰⎰+≤+b ab a b a dx x g dx x f dx x g x f , 证明⎰⎰⎰⎰++=+ba ba ba ba dx x g x f dx x g dx x f dx x g x f )()(2)()()]()([222。

第05章课后习题参考答案1.熟悉“图层”控制面板中各个设置项的作用。

答：图层控制面板用来管理和操作图层，几乎所有与图层有关的操作都可以通过图层控制面板实现。

（1）不透明度一个层的不透明度决定了其下面一层的完全显示程度。

其值在0%到100%之间，当取值为0%时为完全透明，取值为100%时则会完全遮住下面的图层。

百分比的数值越大，该层显示越不透明。

注意不能改变背景图层、被锁定图层和不可见图层的不透明度。

（2）混合模式Photoshop 提供了22种图层混合模式，单击图层混合模式右边的下拉箭头就能看到，如图5-6所示。

选择不同的图层混合模式能看到当前图层与位于其下面的图层混合叠加到一起的效果。

（3）锁定按钮在图层面板有4个锁定按钮，用来部分或者完全锁定图层，以保护图层内容。

图层被锁定后，在图层面板的层名称后面将出现一个“锁”的图标。

如果锁图标是实心的，表明图层被完全锁定；如果锁图标是空心的，表明图层被部分锁定。

锁定透明像素：锁定后，透明区域将被保护起来，只能对当前图层的不透明区域进行处理。

锁定图像像素：锁定后，图像的透明与不透明区域都不能进行修改。

锁定位置：锁定后，当前图层的图像位置不能改变。

锁定全部：上面的三种情况都被锁定。

（4）面板底部按钮链接图层：把两个以上的图层链接在一起。

添加图层样式：单击此图标可以在弹出的菜单中给当前图层选择新图层样式。

添加图层蒙版：单击此图标可以给当前图层增加图层蒙版。

创建新的填充或调整图层：单击此图标可以在弹出的菜单中给当前图层选择新填充图层或调整图层。

创建新组：单击此图标可创建图层组。

创建新图层：单击此图标可以在当前图层上新建图层。

删除图层：单击此图标可以删除当前图层。

2.什么是背景图层和文字图层？它们分别有那些特点？答：背景图层是一种特殊的图层，它永远位于图层最底层，而且是锁定的，所以很多针对图层的操作在背景层都不能进行。

背景层和普通层是可以相互转化的，该“背景图层”命令就起转化的作用。

⼈⼯智能教程习题及答案第5章习题参考解答第五章搜索策略习题参考解答5.1 练习题5.1 什么是搜索？有哪两⼤类不同的搜索⽅法？两者的区别是什么？5.2 ⽤状态空间法表⽰问题时，什么是问题的解？求解过程的本质是什么？什么是最优解？最优解唯⼀吗？5.3 请写出状态空间图的⼀般搜索过程。

在搜索过程中OPEN表和CLOSE表的作⽤分别是什么？有何区别？5.4 什么是盲⽬搜索？主要有⼏种盲⽬搜索策略？5.5 宽度优先搜索与深度优先搜索有何不同？在何种情况下，宽度优先搜索优于深度优先搜索？在何种情况下，深度优先搜索优于宽度优先搜索？5.6 ⽤深度优先搜索和宽度优先搜索分别求图5.10所⽰的迷宫出路。

图5.10 习题5.6的图5.7 修道⼠和野⼈问题。

设有3个修道⼠和3个野⼈来到河边，打算⽤⼀条船从河的左岸渡到河的右岸去。

但该船每次只能装载两个⼈，在任何岸边野⼈的数⽬都不得超过修道⼠的⼈数，否则修道⼠就会被野⼈吃掉。

假设野⼈服从任何⼀种过河安排，请使⽤状态空间搜索法，规划⼀使全部6⼈安全过河的⽅案。

（提⽰：应⽤状态空间表⽰和搜索⽅法时，可⽤(N m,N c)来表⽰状态描述，其中N m和N c分别为传教⼠和野⼈的⼈数。

初始状态为(3,3)，⽽可能的中间状态为(0,1),(0,2),(0,3), (1,1),(2,1),(2,2),(3,0),(3,1),(3,2)等。

）5.8 ⽤状态空间搜索法求解农夫、狐狸、鸡、⼩⽶问题。

农夫、狐狸、鸡、⼩⽶都在⼀条河的左岸，现在要把它们全部送到右岸去。

农夫有⼀条船，过河时，除农夫外，船上⾄多能载狐狸、鸡和⼩⽶中的⼀样。

狐狸要吃鸡，鸡要吃⼩⽶，除⾮农夫在那⾥。

试规划出⼀个确保全部安全的过河计划。

（提⽰：a.⽤四元组(农夫，狐狸，鸡，⽶)表⽰状态，其中每个元素都可为0或1，0表⽰在左岸，1表⽰在右岸；b.把每次过河的⼀种安排作为⼀个算符，每次过河都必须有农夫，因为只有他可以划船。

第5章细胞的能量供应和利用本章出思维导图1教材旁栏问题和练习及答案2第1节降低化学反应活化能的酶问题探讨1773年，意大利科学家斯帕兰札尼(L. Spallanzani, 1729—1799 )做了一个巧妙的实验：将肉块放入小巧的金属笼内，然后让鹰把小笼子吞下去。

过一段时间后,他把小笼子取出来，发现笼内的肉块消失了。

讨论：1.为什么要将肉块放在金属笼内？【答案】便于取出实验材料(肉块)，排除物理性消化对肉块的影响，确定其是否发生了化学性消化。

2.是什么物质使肉块消失了？【答案】是胃内的化学物质将肉块分解了。

3.怎样才能证明你的推测？【答案】收集胃内的化学物质，看看这些物质在体外是否也能将肉块分解。

一、酶的作用和本质探究与实践1.与1号试管相比，2号试管出现什么不同的现象？这一现象说明什么？【答案】2号试管放出的气泡多。

这一现象说明加热能促进过氧化氢的分解，提高反应速率。

2.在细胞内，能通过加热来提高反应速率吗？【答案】不能。

3.3号和4号试管未经加热，也有大量气泡产生，这说明什么？【答案】说明FeCl3中的Fe3+和新鲜肝脏中的过氧化氢酶都能加快过氧化氢分解的速率。

4.3号试管与4号试管相比，哪支试管中的反应速率快？这说明什么？为什么说酶对于细胞内化学反应的顺利进行至关重要？【答案】4号试管的反应速率比3号试管快得多，说明过氧化氢酶比Fe3+的催化效率高得多。

细胞内每时每刻都在进行着成千上万种化学反应，这些化学反应需要在常温、常压下高效率地进行，只有酶能够满足这样的要求，所以说酶对于细胞内化学反应的顺利进行至关重要。

思考•讨论1.巴斯德和李比希的观点各有什么积极意义？各有什么局限性？【答案】巴斯德认为发酵与活细胞有关,是合理的；认为发酵是整个细胞而不是细胞中的某些物质在起作用,是不正确的。

李比希认为引起发酵的是细胞中的某些物质,是合理的；认为这些物质只有在酵母细胞死亡并裂解后才能发挥作用，是不正确的。

第五章习题参考答案与提示第五章数理统计初步习题参考答案与提示1.在总体中随机抽取一长度为36的样本，求样本均值)3.6,52(~2NXX落50.8到53.8之间的概率。

答案与提示：由于)/,(~2nNXσμ，所以{50.853.8}0.8293PX<<=。

2.在总体中随机抽取一长度为100的样本，问样本均值与总体均值的差的绝对值大3的概率是多少？)20,8(~2NX答案与提示：由于2~(,/XNnμσ)，所以{83}0.1336PX−>=3．设为来自总体n XXX,,,21)(~λPX的一个样本，X、分别为样本均值和样本方差。

求2SXD及。

2ES答案与提示：此题旨在考察样本均值的期望、方差以及样本方差的期望与总体期望、总体方差的关系，显然应由定理5-1来解决这一问题。

2,DXDXESnnλλ===。

4．设是来自正态总体的随机样本，。

试确定、b使统计量4321XXXX，，，)30(2，N243221)32()2(XXbXXaX−+−=a X服从分布，并指出其自由度。

2χ答案与提示：依题意，要使统计量X服从分布，则必需使及服从标准正态分布。

解得2χ)2(212/1XXa−)32(432/1XXb−a=1/45；b=1/117。

5．设X和Y独立同分布和分别是来自N()032，，921XXX，，，921YYY，，，X和Y 的简单抽样，试确定统计量UXXYY=++++112929 所服从的分布。

答案与提示：应用t分布的定义，得UXXYY=++++191292~()t96．设随机变量~()Xtn(1n> )，试确定统计量21YX=所服从的分布。

答案与提示：先由t分布的定义知nVUX=，再利用F分布的定义即可。

—1—第五章习题参考答案与提示)1,(~12nFXY=。

7.设总体X服从正态分布，而是来自总体)2,0(2N1521,,,XXX X的简单随机样本，试确定随机变量)(221521121021XXXXY++++=所服从的分布。

05刚体的定轴转动习题解答05刚体的定轴转动习题解答第五章刚体的定轴转动一选择题1. 一绕定轴转动的刚体，某时刻的角速度为ω，角加速度为α，则其转动加快的依据是：（）A. α > 0B. ω > 0，α > 0C. ω < 0，α > 0D. ω > 0，α < 0解：答案是B。

2. 用铅和铁两种金属制成两个均质圆盘，质量相等且具有相同的厚度，则它们对过盘心且垂直盘面的轴的转动惯量。

（）A. 相等；B. 铅盘的大；C. 铁盘的大；D. 无法确定谁大谁小解：答案是C 。

简要提示：铅的密度大，所以其半径小，圆盘的转动惯量为：2/2 Mr J =。

3. 一轻绳绕在半径为r 的重滑轮上，轮对轴的转动惯量为J ，一是以力F 向下拉绳使轮转动；二是以重量等于F 的重物挂在绳上使之转动，若两种情况使轮边缘获得的切向加速度分别为a 1和a 2，则有：（）A. a 1 = a 2B. a 1 > a 2C. a 1< a 2D. 无法确定解：答案是B 。

简要提示：(1) 由定轴转动定律，1αJ Fr =和11αr a =，得：JFra /21=(2) 受力分析得：===-2222ααr a J Tr ma T mg ，其中m 为重物的质量，T 为绳子的张力。

得：)/(222mr J Fr a +=，所以a 1 > a 2。

4. 一半径为R ，质量为m 的圆柱体，在切向力F 作用下由静止开始绕轴线作定轴转动，则在2秒内F 对柱体所作功为：（）A. 4 F 2/ mB. 2 F 2 / mC. F 2 / mD. F 2 / 2 m 解：答案是A 。

简要提示：由定轴转动定律：α221MR FR =，得：mRFt 4212==?αθ 所以：mFM W /42=?=θ5. 一电唱机的转盘正以ω 0的角速度转动，其转动惯量为J 1，现将一转动惯量为J 2的唱片置于转盘上，则共同转动的角速度应为：（）A ．0211ωJJ J+ B ．0121ωJJJ + C ．021ωJ JD ．012ωJ J解：答案是A 。

《统计分析与SPSS的应用〔第五版》〔薛薇课后练习答案第5章SPSS的参数检验1、某公司经理宣称他的雇员英语水平很高,如果按照英语六级考试的话,一般平均得分为75分。

现从雇员中随机选出11人参加考试,得分如下： 80, 81, 72, 60, 78, 65, 56, 79, 77,87,76 请问该经理的宣称是否可信。

原假设：样本均值等于总体均值即u=u0=75步骤：生成spss数据→分析→比较均值→单样本t检验→相关设置→输出结果〔Analyze->compare means->one-samples T test；采用单样本T检验〔原假设H0:u=u0=75,总体均值与检验值之间不存在显著差异；分析：N=11人的平均值〔mean为73.7,标准差〔std.deviation为9.55,均值标准误差<std error mean>为2.87.t统计量观测值为-4.22,t统计量观测值的双尾概率p-值〔sig.<2-tailed>为0.668,六七列是总体均值与原假设值差的95%的置信区间,为<-7.68,5.14>,由此采用双尾检验比较a和p。

T统计量观测值的双尾概率p-值〔sig.<2-tailed>为0.668＞a=0.05所以不能拒绝原假设；且总体均值的95%的置信区间为<67.31,80.14>,所以均值在67.31~80.14内,75包括在置信区间内,所以经理的话是可信的。

2、在某年级随机抽取35名大学生,调查他们每周的上网时间情况,得到的数据如下〔单位：小时：〔1 请利用SPSS对上表数据进行描述统计,并绘制相关的图形。

〔2 基于上表数据,请利用SPSS给出大学生每周上网时间平均值的９５％的置信区间。

〔1分析→描述统计→描述、频率〔2分析→比较均值→单样本T检验每周上网时间的样本平均值为27.5,标准差为10.7,总体均值95%的置信区间为23.8-31.2.3、经济学家认为决策者是对事实做出反应,不是对提出事实的方式做出反应。

第五章一、单选题（共2题，10分）1、关于IiSt和String下列说法错误的是：A、IiSt可以存放任意类型。

B、1ist是一个有序集合,没有固定大小。

C、用于统计string中字符串长度的函数是string.IenO。

D、string具有不可变性,其创建后值不能改变。

正确答案：D2、关于字符串下列说法错误的是（）A、％f用于格式化输出浮点类型数据B、字符串的子串查找函数find。

只能返回第一个符合子串的位置,否则返回为0。

C、既可以用单引号,也可以用双引号创建字符串D、在三引号字符串中可以包含换行回车等特殊字符正确答案：B二、简答题（共38题，190分）1、【字符串基础训练】在当前目录下创建一个"test.Iog w文件。

在test文件中写入w.查找当前文件操作标记的a He11oWord wβ在test文件“He11oWord“后面输入"Python位置（提示:Seek（））。

把文件操作符的位置移动最前面。

以二进制方式输出test文件。

关闭test文件。

删除test文件。

编写代码输出当前Pythor1脚本工作的目录路径。

正确答案：2、【文件内容合并】有两个磁盘文件A和B,各存放一行字母,要求编写代码实现将这两个文件中的信息合并,并按字母先后顺序排列,最后输出到一个新文件C中。

正确答案：3、【文件存储】从键盘输入一个字符串,将小写字母全部转换成大写字母,然后输出到一个磁盘文件'test'中保存,并实现循环输入,直到输入一个#为止。

正确答案：4、写出下面程序的功能。

假设文件a origina1”内容为Upgrcynpmepyk.Writeaprogram.那么文件αsavetoo”内存储的内容应该是什么？正确答案：5、使用之前所学的循环语句以及列表完成这样的一个输出结果（字典方法可能能更加方便的完成）正确答案：6、编写函数判断两个字符串是否包含相同的字母正确答案：7、现有字符串str=,thisisstringexamp1e....wow 编写代码把字符串的atex1分别改为12345并去除其中的s和h正确答案：8、添加指定长度字符串如a=“12345"b="abcde”从键盘读取n,若n=1则输出字符串“12345a”若n=2则输出字符串“12345ab”正确答案：9、已知a="aAsmr3idd4bgs7D1sf9eAF”请将a字符串的数字取出，并输出成一个新的字符串。