高中数学重点中学 第5课时实数与向量的积(2)教案 湘教版必修2

高一数学实数与向量的积二目标：⑴要求学生掌握平面向量的基本定理，能用两个不共线向量表示一个向量或一个向量分解为两个向量。

⑵培养发现问题和提出问题的能力，学会分析问题和创造地解决问题；培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力，培养善于独立思考的习惯⑶激发学生学习数学的兴趣和积极性，陶冶学生的情操，培养学生坚忍不拔的意志，实事求是的科学学习态度和勇于创新的精神重点：平面向量的基本定理难点：平面向量的基本定理的运用 过程: 一、复习：1．向量的加法运算（平行四边形法则）。

2．实数与向量的积 3．向量共线定理 二、由平行四边形想到：1．是不是每一个向量都可以分解成两个不共线向量？且分解是唯一？2．对于平面上两个不共线向量1e ，2e 是不是平面上的所有向量都可以用它们来表示？——提出课题：平面向量基本定理三、新授1．(P107)1e ，2e 是不共线向量，a是平面内任一向量OA =1e OM =λ11e OC =a=OM +ON =λ11e +λ22eOB =2e ON =λ22e得平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2使a=λ11e +λ22e注意：1︒ 1e 、2e 必须不共线，且它是这一平面内所有向量的一组基底 2︒ 这个定理也叫共面向量定理3︒λ1，λ2是被a，1e ，2e 唯一确定的数量 2．例题例1．已知向量1e ，2e 求作向量-2.51e +32e 。

( P108例3)作法：1︒ 取点O ，作OA =-2.51e OB =32e 2︒ 作OACB ，OC 即为所求作。

例2．(P108例4)如图 ABCD 的两条对角线交于点M ，且AB =a ，AD =b ，用a ，b表示MA ，MB ，MC 和MD解：在 ABCD 中∵AC =AB +AD =a +b∴DB =AB -AD =a -bMA =-21AC =-21(a +b )=-21a -21b MB =21DB =21(a -b )=21a -21bMC =21AC =21a +21b ∴MD =-MB =-21DB =-21a +21b例3．已知的两条对角线AC 与BD 交于E ，O OD =4OE 证：∵E 是对角线AC 和BD 的交点 ∴AE =EC =-CE ， BE =ED =-DE在△OAE 中 ∵ OA +AE =OE同理：OB +BE =OE OC +CE =OE OD +DE =OE1e2eaNBC1e2eOBaAB以上各式相加，得：OA+OB+OC+OD=4OE例4．(P109例5)如图，OA，OB不共线，AP=t AB (t∈R)用OA,OB表示OP解：∵AP=t AB∴OP=OA+AP=OA+ t AB=OA+ t(OB-OA) =OA+ t OB-t OA=(1-t) OA+ t OBPBA O四、小结：平面向量基本定理，其实质在于：同一平面内任一向量都可以表示为两个不共线向量的线性组合。

第五章平面向量教材分析这一章主要介绍平面向量的基础知识，包括平面向量的概念、运算以及简单应用等本章教学时间约25课时，具体安排如下：5.1向量约1课时5.2向量的加法与减法约2课时5.3实数与向量的积约2课时5.4平面向量的坐标运算约2课时5.5线段的定比分点约l课时5.6平面向量的数量积及运算律约2课时5.7平面向量数量积的坐标表示约1课时5.8平移约1课时5.9正弦定理、余弦定理约4课时5.10解斜三角形应用举例约2课时5.11实习作业约2课时5.12研究性课题向量在物理中的应用约3课时小结与复习约2课时(一)本章内容向量这一概念是由物理学和工程技术抽象出来的，反过来，向量的理论和方法，又成为解决物理学和工程技术的重要工具，向量之所以有用，关键是它具有一套良好的运算性质，通过向量可把空间图形的性质转化为向量的运算，这样通过向量就能较容易地研究空间的直线和平面的各种有关问题向量不同于数量，它是一种新的量，关于数量的代数运算在向量范围内不都适用因此，本章在介绍向量概念时，重点说明了向量与数量的区别，然后又重新给出了向量代数的部分运算法则，包括加法、减法、实数与向量的积、向量的数量积的运算法则等之后，又将向量与坐标联系起来，把关于向量的代数运算与数量(向量的坐标)的代数运算联系起来，这就为研究和解决有关几何问题又提供了两种方法——向量法和坐标法本章共分两大节第一大节是“向量及其运算”，内容包括向量的概念、向量的加法与减法、实数与向量的积、平面向量的坐标运算；线段的定比分点、平面向量的数量积及运算律、平面向量数量积的坐标表示、平移等第二大节是“解斜三角形”这一大节可以看成是向量知识的应用，内容包括正弦定理、余弦定理，解斜三角形应用举例，实习作业和研究性课题等正弦定理、余弦定理是关于任意三角形边角之间关系的两个重要定理，教科书通过向量的数量积把三角形的边与角联系起来，推导出了这两个定理，并运用这两个定理初步解决了测量、工业、几何等方面的实际问题为培养学生的创新意识和实践能力，激发学生学习数学的好奇心，启发学生能够发现问题和提出问题，学会分析问题和创造性地解决问题，本节中安排了一个实习作业和研究性课题教学中要加以实施为扩大学生的知识面，本章中还安排了两个阅读材料，即“向量的三种类型”和“人们早期怎样测量地球的半径”本章重点是向量的概念，向量的几何表示和坐标表示，向量的线性运算，平面向量的数量积，线段的定比分点和中点坐标公式，平移公式，解斜三角形等本章的难点是向量的概念，向量运算法则的理解和运用等(二)本章教学要求1.理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念2.掌握向量的加法与减法3.掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件4.了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算5.掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件6.掌握平面两点间的距离公式，掌握线段的定比分点公式和中点坐标公式，并且能熟练运用，掌握平移公式7.掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形，能利用计算器解决斜三角形的计算问题，通过解三角形的应用的教学，继续提高运用所学知识解决实际问题的能力通过实习作业和研究性课题，培养学生从数学角度对某些日常生活中和其他学科中出现的问题进行研究探索的能力本章一开始，从帆船航行的距离和方向两个要素出发，抽象出向量的概念，并重点说明了向量与数量的区别，然后介绍了向量的几何表示、向量的长度、零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量等基本概念向量的加法与减法、实数与向量的积，实际是向量的线性运算知识教科书先讲了向量的加法、加法运算律，然后用相反向量及向量的加法定义向量的减法，这样把向量的加法与减法统一了起来教科书又通过向量的加法引入了实数与向量的积的定义，接着给出了实数与向量的积的运算律，最后介绍了向量共线的充要条件和平行向量基本定理，这样为后面介绍平面向量的坐标表示奠定了理论基础在“向量及其表示”中，主要介绍有向线段，向量的定义，向量的长度，向量的表示，相等向量，相反向量，自由向量，零向量在“向量的线性运算”中，介绍向量加法的定义，向量加法的运算律；向量减法的定义，向量方程，向量长度的三角不等式；数乘向量的定义，单位向量，数乘向量的运算律在“向量的共线与共面”中，介绍平行向量，共线向量，共面向量，两个向量共线的充要条件，直线的向量方程，三个向量共面的充要条件在“向量的内积”中，介绍两个向量的夹角，向量内积的定义，向量内积的几何意义，向量内积的运算律，向量内积的性质通过建立直角坐标系，给出了向量的另一种表示式----坐标表示式，这样就使得向量与它的坐标建立起了一一对应的关系，然后给出了向量的加法、减法及实数与向量的积的坐标运算，这就为用“数”的运算处理“形”的问题搭起了桥梁在向量坐标运算的基础上，还导出了线段的定比分点坐标公式和线段的中点公式向量的数量积体现了向量的长度和三角函数之间的一种关系，特别用向量的数量积能有效地解决线段垂直的问题把向量的数量积应用到三角形中，还能解决三角形边角之间的有关问题平面向量数量积的概念，教科书是从学生熟知的功的概念引入的，在介绍了平面向量数量积的定义及几何意义之后，又介绍了平面向量数量积的5个重要性质、运算律及其坐标表示特别通过两个向量数量积的坐标表示，很容易推导出平面内两点间的距离公式本大节的最后，介绍了平移(这里讲的平移是指图象的平移)接着推导出了平移公式，并举例说明了平移公式的应用对这一章中概念的处理，是根据概念在教科书中的地位、作用及特点，对不同的概念采用不同的处理方式一些概念是通过例举反映概念实质的具体的对象，并充分发挥几何图形的直观的特点，使学生在感性认识的基础上建立概念，并理解概念的实质，像向量的概念等；一些概念则不仅给出严格的定义，还要分析满足定义的充要条件，要求学生理解、记忆，并通过适当的练习，让学生会用，像向量数量积的概念等这一章中的一些例题，不是先给出解法，而是先进行分析，探索出解题思路，再给出解法解题后，有的还总结出解决该题时运用的数学思想和数学方法，有的还让学生进一步考虑相关的问题关于向量运算，是借助于几何直观，并通过与数的对比引入，这样便于学生接受例如，关于向量的减法，在向量代数中，常有两种定义方法，第一种是将向量的减法定义为向量加法的逆运算，也就是，如果a+x=b，则 x叫做向量b与a的差这样，作b-a时，可先在平面内取一点O，再作，则就是b-a第二种方法是在相反向量的基础上，通过向量的加法定义向量的减法，即已知a、b，定义b-a=b+(-a)在这种定义下，作b-a时，可先在平面内任取一点O，作则由向量加法的平行四边形法则知，由于b+(-a)=b-a，即就是b-a实验表明，对中学生来讲，用这一种定义方法，学生不易理解向量减法的定义，但很容易作b-a而用第二种定义方法，学生根容易接受b-a=b+(-a)，但作b-a较繁为便于学生接受，在定义向量的减法时，先给出相反的向量(对比初中代数中的相反数)，再把b-a定义为b+(-a)，并告诉学生，作b-a时，只要按教科书图作出即可(三)注意培养学生的思维能力注意对学生思维能力的培养，对知识的处理，都尽量设计成让学生自己观察、比较、猜想、分析、归纳、类比、想象、抽象、概括的形式，从而培养学生的思维能力对于解斜三角形，教科书是这样引入的：“在初中，我们已会解直角三角形，就是说，已会根据直角三角形中的边与角求出未知的边与角那么，如何来解斜三角形呢?也就是如何根据斜三角形中已知的边与角求出未知的边与角呢?”通过设问，引起学生思考(四)注意数学思想方法的渗透在这一章中，从引言开始，就注意结合具体内容渗透数学思想方法例如，从帆船在大海中航行时的位移，渗透数学建模的思想通过介绍相等向量及有关作图的训练，渗透平移变换的思想由于向量具有两个明显特点——“形”的特点和“数”的特点，这就使得向量成了数形结合的桥梁，向量的坐标实际是把点与数联系了起来，进而可把曲线与方程联系起来，这样就可用代数方程研究几何问题，同时也可以用几何的观点处理某些代数问题，因此这部分知识还渗透了数形结合的解析几何思想(五)突出知识的应用(1)加强向量在数学知识中的应用，注意突出向量的工具性，很多公式都用向量来推导，如线段的定比分点公式、平面两点间距离公式、平移公式及正弦定理、余弦定理等(2)加强向量在物理中的应用为培养学生用向量知识解决有关物理问题的能力，在这一章的最后，安排了一个研究性课题，即向量在物理中的应用对于一个物理问题，首先要把它转化成数学问题，即用数学知识建立物理量之间的关系，也就是抽象成数学模型，然后再用建立起的数学模型解释相关物理现象(3)注意联系实际在这一章中，把联系实际分成三个层次：第一层次，在知识的引入上联系实际例如，向量的概念从帆船航行的位移引入，平面向量的数量积从力作的功引入第二层次，引导学生用数学知识解决实际生活和生产中的问题例如，在向量的加法之后，安排了求小船实际航行的速度的例题在解斜三角形之后，专门安排了“解斜三角形应用举例”一节等第三层次，安排实习作业安排实习作业的目的是进一步巩固学生所学知识，提高学生分析问题解决问题的能力、动手操作的能力以及用数学语言表达实习过程和实习结果的能力，从而增强学生用数学的意识。

诚西郊市崇武区沿街学校§实数与向量的积〔二〕教学目的：1．理解平面向量的根本定理；2．掌握定理的根本应用；3．能运用定理处理简单的几何问题．教学重点：1．掌握平面向量的根本定理；2．理解平面向量基底的含义．教学难点：1．运用平面向量根本定理解决有关问题；2．会用给定图形上的一组基底表示指定的向量．教学过程知识平台1．阅读教材P104，借助图形，理解如何用平面内一组不一一共线向量e1，e2去表示该平面内任一向量a；2．阅读教材P105，明确定理的内容，且通过例4、例5体会在简单的几何图形中如何用一组不一一共线向量去表示图形的其它向量．情景平台1．平面向量根本定理的内容是：假设e1，e2是，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有．2．下面三种说法：①一个平面内只有一对不一一共线向量可作为表示该平面所有向量的基底；②一个平面内有无数对不一一共线向量可作为该平面所有向量的基底；③零向量不可作为基底中的向量．其中正确的说法是．3．在直角坐标系中，假设(1,0)A ，(0,1)B ，(,)C x y ，(2,3)D ，假设OA =i ，OB =j ．〕i ，j 能作为一组基底吗？假设能，试用i ，j 表示OD ；〕试用i 和j 表示OC ．2°说明：①基底；②基底不唯一，关键不一一共线；③可将任一向量在基底e1，e2下分解．才能平台4．如图，在ABC △中，D 、E 是AC 上的三等分点，F 、G 是BC 上的三等分点，令CA =a ，CB =b ，用a 、b 来表示向量EF ，DG ．5．设D 、E 、F 分别表示ABC △的三边上的中点，令BC =a ，CA =b ，给出以下命题，其中正确命题的序号有．①12AD =-a -b②EF =a 12+b 12CF =-a 12+b④AD DE CF ++=0 6．如右图，OA PB λ=，R λ∈， 〔1〕用OA ，OB 表示OP ；〔2〕假设P 为中点呢？【小结】 1°利用法那么和用平面向量根本定理解决向量问题．2°注意途径的选择的多样性．作业：教材P110习题T3，T4，T6A B F P后记:。

第二课时 数乘向量的应用以及单位向量量共线、点共线问题1．向量数乘的运算律 1设a 是任意向量，，是任意两个实数，则＋a ＝a ＋a ，a ＝a 2设a ，b 是任意两个向量，λ是任意实数，则 λa ＋b ＝λa ＋λb 预习交流1下列两式：①－λa ＝－λa ＝λ－a ；②λa －b ＝λa －λb 成立吗 提示：成立，可由向量数乘的运算律推得． 2．向量共线的条件预习交流2若向量a 是一个非零向量，那么向量b 与a 共线的条件是什么提示：当b ＝λa 时，由数乘向量的几何意义知b 与a 共线，b 与a 共线，必存在唯一的实数λ，使得b ＝λa3．单位向量长度为1的向量称为单位向量．我们知道，向量有两个要素：大小和方向．向量a的大小由|a|表示，而它的方向就由该方向上的单位向量错误!a 代表．一、向量的数乘运算计算下列各式： 14a ＋b －3a －b ；23a －2b ＋c －2a ＋b －3c ；3错误!a－b－错误!2a＋4b＋错误!2a＋13b．思路分析：利用向量的线性运算律计算．解：14a＋b－3a－b＝4a－3a＋4b＋3b＝a＋7b23a－2b＋c－2a＋b－3c＝3a－6b＋3c－2a－b＋3c＝a－7b＋6c3错误!a－b－错误!2a＋4b＋错误!2a＋13b＝错误!a－错误!b－错误!a－错误!b＋错误!a＋错误!b＝错误!a＋错误!b＝0·a＋0·b＝0＋0＝0计算：136a＋b－9错误!；2错误!错误!－2错误!；325a－4b＋c－3a－3b＋c－7a解：1原式＝18a＋3b－9a－3b＝9a2原式＝错误!错误!－a－错误!b＝a＋错误!b－a－错误!b＝03原式＝10a－8b＋2c－3a＋9b－3c－7a＝b－c向量的数乘运算类似于实数运算，先算小括号里面的，再算中括号里面的，将相同的向量看作同类项进行合并．二、向量共线条件的应用已知向量e 1和e2不共线．1如果AB＝e1＋e2，BC＝2e1＋8e2，CD＝3e1－e2，求证：A，B，D三点共线．2欲使e 1＋e2和e1＋e2共线，试确定实数的值．思路分析：1要证A，B，D三点共线，可证AB，AD共线或AB与BD共线等；2当e1＋e 2与e1＋e2共线时，由向量共线的条件知必有e1＋e2＝λe1＋e2，从而求得的值．1证明：∵AB＝e 1＋e2，BD＝BC＋CD＝2e 1＋8e2＋3e1－3e2＝5e 1＋e2＝5AB，∴AB∥BD又∵AB∩BD＝B，∴A，B，D三点共线．2解：∵e1＋e2与e1＋e2共线，∴存在λ使e1＋e2＝λe1＋e2，则－λe1＝λ－1e2由于e1与e2不共线，只能有错误!则＝±1已知向量a＝2e1－3e2，b＝2e1＋3e2，其中e1，e2不共线，向量c＝2e1－9e2，问是否存在这样的实数λ，μ，使d＝λa＋μb与c共线解：∵d＝λa＋μb＝λ2e1－3e2＋μ2e1＋3e2＝2λ＋2μe1＋－3λ＋3μe2，要使d与c共线，则应存在实数，使d＝c，即2λ＋2μe1＋－3λ＋3μe2＝2e1－9e2，∴错误!∴λ＝－2μ故存在这样的实数λ，μ，只要λ＝－2μ，就能使d与c共线．1．若b＝λaλ∈R，则b与a共线．由此可以判断向量共线问题．若b与aa≠0共线，则必存在唯一实数λ，使b＝λa据此可以求两个共线向量中的系数问题．2．用向量证明三点共线时，关键是能否找到一个实数λ，使得a ＝λba ，b 为这三点构成的其中任意两个向量．证明步骤是先证明两个向量共线，然后再由两个向量有公共点，证得三点共线．三、向量线性运算的应用如图所示，OADB 是以向量OA =a ，OB =b 为边的平行四边形．又BM=13BC ，CN=13CD ，试用a ，b 表示OM ，ON ，MN思路分析：利用向量加法的平行四边形法则、三角形法则以及减法的三角形法则对向量进行分解，同时结合向量的数乘运算将未知向量用a ，b 表示．解：BM =13BC =16BA =16OA －OB =16a －b ， ∴OM =OB BM =b 16a －16b =16a 56b ，CN =13CD =16OD∴ON =OC CN =12OD 16OD =23OD=23OA OB =23ab =23a 23b MN =ON －OM =23ab －16a －56b =12a －16b1．已知在△ABC 中，D 是BC 边的中点，用向量AB ，AC 表示向量AD 为________． 答案：错误!AB ＋错误!AC 解析：∵BD ＝DC ，∴AD －AB ＝AC －AD ，2AD ＝AB ＋AC ∴AD ＝错误!AB ＋错误!AC2．如图所示，点E 在△ABC 的边BC 上，且CE ＝3EB ，设AB ＝a ，AC ＝b ，用a ，b 表示AE解：∵CE ＝3EB ， ∴BE ＝错误!BC 又∵BC ＝AC －AB ，∴AE ＝AB ＋BE ＝AB ＋错误!BC＝a ＋错误!b －a ＝错误!a ＋错误!b在平面几何图形中进行向量运算时，一般要把所求向量放在三角形或平行四边形中，利用向量加减的三角形法则或平行四边形法则把所求向量表示出来，同时，注意平面几何中一些定理的应用．1．下列计算正确的数目是①－3·2a＝－6a②2a＋b－2b－a＝3a③a＋2b－2b＋a＝0A．0 B．1 C．2 D．3答案：C解析：①②正确，③错误，应有a＋2b－2b＋a＝02．化简错误!错误!为A．错误!a＋b B．a＋错误!b C．错误!a＋错误!b D．a＋b答案：C解析：原式＝错误!a＋错误!b＋错误!a－错误!a＋b＝错误!a＋错误!b3．下面向量a，b共线的有①a＝2e1，b＝－2e2；②a＝e1－e2，b＝－2e1＋2e2；③a＝4e1－错误!e2，b＝e1－错误!e2；④a＝e1＋e2，b＝2e1－2e2e1，e2不共线A．②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④答案：A解析：①中a与e1共线，b与e2共线，而e1，e2不共线，所以a与b不共线；②中b＝－2a，故a与b共线；③中b＝错误!a，故a与b共线；④中a与b不共线，因为若a与b共线，则必存在实数λ，使e1＋e2＝λ2e1－2e2，于是错误!λ无解．故a与b不可能共线．4．已知平行四边形ABCD中，DA＝a，DC＝b，其对角线交点为O，则OB等于A．错误!a＋b B．a＋错误!b C．错误!a＋b D．a＋b答案：C解析：DA＋DC＝DA＋AB＝DB＝2OB，所以OB＝错误!a＋b，故选C．5．已知向量a与b不共线，m＝a－错误!b，n＝a＋3b，若m与n共线，则的值等于__________．答案：－6解析：依题意存在实数λ，使m＝λn，即错误!＝λa＋3b，即错误!于是λ＝－错误!，＝－6。

湖南师范大学附属中学高一数学教案：实数与向量的积教材：实数与向量的积目的：要求学生掌握实数与向量的积的定义、运算律，理解向量共线的充要条件。

过程：一、复习：向量的加法、减法的定义、运算法则。

二、1．引入新课：已知非零向量a 作出a +a +a 和(-a )+(-a )+(-a )讨论：1︒3a 与a 方向相同且|3a |=3|a |2︒-3a 与a 方向相反且|-3a |=3|a |2．从而提出课题：实数与向量的积实数λ与向量a 的积，记作：λa定义：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作：λa1︒|λa |=|λ||a |2︒λ>0时λa 与a 方向相同；λ<0时λa 与a 方向相反；λ=0时λa =3．运算定律：结合律：λ(μa )=(λμ)a ①第一分配律：(λ+μ)a =λa +μa② 第二分配律：λ(a +b )=λa +λb ③结合律证明：如果λ=0，μ=0，a =0至少有一个成立，则①式成立如果λ≠0，μ≠0，a ≠有：|λ(μa )|=|λ||μa |=|λ||μ||a ||(λμ)a |=|λμ|| a |=|λ||μ||a |∴|λ(μa )|=|(λμ)a |如果λ、μ同号，则①式两端向量的方向都与a 同向；如果λ、μ异号，则①式两端向量的方向都与a 反向。

从而λ(μa )=(λμ)a第一分配律证明：如果λ=0，μ=0，a =至少有一个成立，则②式显然成立如果λ≠0，μ≠0，a ≠0当λ、μ同号时，则λa 和μa 同向，∴|(λ+μ)a |=|λ+μ||a |=(|λ|+|μ|)|a ||λa +μa |=|λa |+|μa |=|λ||a |+|μ||a |=(|λ|+|μ|)|a |∵λ、μ同号 ∴②两边向量方向都与a同向即：|(λ+μ)a |=|λa +μa |当λ、μ异号，当λ>μ时 ②两边向量的方向都与λa 同向当λ<μ时 ②两边向量的方向都与μa 同向还可证：|(λ+μ)a |=|λa +μa|∴②式成立第二分配律证明： 如果a =，b =中至少有一个成立，或λ=0，λ=1则③式显然成立当a ≠，b ≠且λ≠0，λ≠1时1︒当λ>0且λ≠1时在平面内任取一点O ， 作=a =b =1λa =11B A λb 则=a +b =1OB λa +λb 由作法知：AB ∥11B A 有∠OAB=∠OA 1B 1 |AB |=λ|11B A | ==||||111AB OA λ ∴△OAB ∽△OA 1B 1 =||1OB λ ∠AOB=∠ A 1OB 1因此，O ，B ，B 1在同一直线上，|1OB |=|λ| 1OB 与λ方向也相同λ(a +b )=λa +λb当λ<0时 可类似证明：λ(a +b )=λa +λb∴ ③式成立4．例一 （见P104）略三、向量共线的充要条件（向量共线定理）1． 若有向量a (a ≠)、b ，实数λ，使b =λa 则由实数与向量积的定义知：a 与b 为共线向量若a 与b 共线(a ≠)且|b |：|a |=μ，则当a 与b 同向时b =μa当a 与b 反向时b =-μa从而得：向量b 与非零向量a 共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ使b =λa三、小结：中国书法艺术说课教案今天我要说课的题目是中国书法艺术，下面我将从教材分析、教学方法、教学过程、课堂评价四个方面对这堂课进行设计。

高二数学实数与向量的积学案学案一、教学目标：1、实数与向量的积的定义：2、实数与向量的积的运算律：启发接受学习模式3、两向量共线定理4、通过本节的学习培养学生的观察、分析、归纳、抽象的思维能力。

二、教学的重点、难点教学重点：实数与向量的积的定义；实数与向量积的运算律；向量共线定理。

教学难点和疑点：向量共线定理及其应用是本节的难点。

其中在利用定理判断两个向量是否共线的问题中对于已知向量是否的讨论是本节的教学疑点。

三、教具：Powerpoint幻灯片四、教学过程：教学环节教学程序设计意图知识回顾1、判断下列命题真假：（1）与任一向量平行、（）（2）方向相同或相反的非零向量叫做平行向量、（）2、填空：向量加法是归纳实数与向量的积的定义及运算律的依据，共线向量的定义及的特殊性是得出向量共线的充要条件的关键，也是应用定理证明点共线或直线平行问题的依据，因此引导学生温故而知新是分必要的。

引入课题在代数运算中，++=3，故实数乘法可以看成是相同实数加法的简便计算方法，所以相同向量的求和运算也有类似的简便计算，由此引入本节的课题“实数与向量的积” 由数与数的积的概念推广到实数与向量的积，这不仅符合从已知到未知的探索规律，也对后面启发学生发现向量的线性运算与代数运算中实数乘法的运算律的相似性作了一个铺垫。

归纳定义问题1、已知非零向量，请作出++和(-)+(-)+(-)问题2、由问题1请同学们观察并回答：相同向量相加后，和的长度与方向有什么变化？引导学生从特殊归纳到一般，而得出实数与向量的积的定义。

讲解例题并解答练习例1 点A、B、C在一条直线上，且，则，练习：（P115第2题）对定义的进一步认识运算律实数与向量的积也可称为数乘向量，它与向量的加法、减法以及它们的混合运算称为向量的线性运算。

根据实数与向量的定义，可以得出下面的运算律：1、λ(μ)=(λμ)2、(λ+μ)=λ+μ3、λ(+)=λ+λ运算律的给出采用开门见山的方式，但可说明证明这些运算律成立的关键，是证明等式两边的向量的模相等，且方向相同。

湘教版高中数学必修二向量教案教案范本
第一课：向量的基本概念
一、教学内容
1. 向量的定义及性质
2. 向量的表示法
3. 向量的加法和减法
二、教学目标
1. 了解向量的定义及性质
2. 掌握向量的表示法
3. 掌握向量的加法和减法的运算规则
三、教学重难点
1. 向量的定义及性质
2. 向量的加法和减法
四、教学方法
1. 讲解结合示例分析
2. 练习巩固
五、教学过程
1. 引言：向量的概念和应用
2. 向量的定义及性质的讲解
3. 向量的表示法的介绍
4. 向量的加法和减法的运算规则
5. 练习演练
6. 总结与拓展
六、教学资源
1. 课件
2. 教材
3. 练习册
七、作业布置
1. 完成练习册上的习题
2. 自主搜索相关资料，了解更多关于向量的知识
八、教学反馈
1. 老师及时批改作业
2. 学生可以提出问题进行解答
九、教学评价
1. 通过练习册中的题目检测学生对向量的掌握程度
2. 学生的提问反映出他们对向量的理解情况
十、教学延伸
1. 可以拓展向量在几何图形中的应用
2. 可以引导学生进行探究性学习，了解更深层次的向量知识。

第五课时向量的数乘（二）
教学目标：
掌握实数与向量的积的运算律，理解实数与向量积的几何意义，理解两个向量共线的条件，能够运用两向量共线条件判定两向量是否平行并能熟练运用.
教学重点：
实数与向量积的运用.
教学难点：
实数与向量积的运用.
教学过程：
Ⅰ.复习回顾
上一节，我们一起学习了实数与向量的积的定义及运算律，并了解了两向量共线的条件.
这一节，我们将在上述知识的基础上进行具体运用.
Ⅱ.讲授新课
［例１］已知ABCD，E、F分别是DC和AB的中点，求证：AE∥CF.
证明：
［例２］已知ABCD的对角线AC和BD相交于点O，证明AO＝OC，BO＝OD.
分析：本题考查两个向量共线的充要条件，实数与向量积的
运算以及平面向量基本定理的综合应用.
证明：
［例３］已知G为△ABC的重心，P为平面上任一点，求证：PG＝错误!（PA＋PB＋PC）.
证明：如图，设△ABC三条中线分别为AM、BK和CL，则易知AM＝３GM，由向量中线公式有：
［例４］AD、BE、CF是△ABC的中线，若直线EG∥AB，FG∥BE.
求证：AD 错误!GC.
证明：
［例５］设四边形ABCD的两对角线AC、BD的中点分别是E、F，求证：错误!｜AB—CD｜≤EF≤错误!（AB＋CD）.
证明：
Ⅲ.课堂练习
课本P68练习１，２，３．
Ⅳ.课时小结
通过本节学习，要求学生在理解平面向量基本定理基础上，能掌握平面向量基本定理的简单应用.Ⅴ.课后作业
课本P69习题9，１0，１２，１３。

2020高一数学教案下学期 5.3实数与向量的积2_0721文档EDUCATION WORD高一数学教案下学期 5.3实数与向量的积2_0721文档前言语料：温馨提醒，教育，就是实现上述社会功能的最重要的一个独立出来的过程。

其目的，就是把之前无数个人有价值的观察、体验、思考中的精华，以浓缩、系统化、易于理解记忆掌握的方式，传递给当下的无数个人，让个人从中获益，丰富自己的人生体验，也支撑整个社会的运作和发展。

本文内容如下：【下载该文档后使用Word打开】（第二课时）一．教学目标1．了解平面向量基本定理的证明．掌握平面向量基本定理及其应用；2．能够在解题中适当地选择基底，使其它向量能够用选取的基底表示．：平面向量基本定理教学难点：理解平面向量基本定理．三．教学具准备直尺、投影仪．四．教学过程1．设置情境上节课我们学习了共线向量的基本定理，通过它们判定两个向量是否平行，而且共线向量可由该集合中的任一非零向量表示出来．这个非零向量叫基向量．那么平面上的任一向量是否也具有类似属性呢？如果是这样的话，对平面上任一向量的研究就可以化归为对基向量的研究了．2．探索研究师：向量与非零向量共线的充要条件是什么？生：有且仅有一个实数，使得师：如何作出向量？生：在平面上任取一点，作，，则师：对！我们知道向量是向量与的合成，、也可以看做是由向量的分解，是不是每一个向量都可以分解两个不共线的向量呢？平面向量基本定理：如果、是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使我们把不共线的向量、叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．说明：①实数，的确定是由平面几何作图得到的，同时也应用了上节课的共线向量基本定理．②对该定理重在使用．下面看例题【例1】已知向量、，求作．【例2】如图所示，的两条对角线相交于点，且，，用、表示、、和？解：在中∵∴说明：①这些表示方法很常用，要熟记②用向量法讨论几何问题，关键是选取适当的基向量表示其他向量，本题的基底就是、，由它可以“生”成，，……．【例3】如图所示，已知的两条对角线与交于，是任意一点，求证证明：∵是对角线和的交点∴，．在△中，同理：相加可得：注：本题也可以取基本向量，，，，利用三角形中线公式（向量），得两种表示方式：①②①＋②得证毕．【例4】如图所示、不共线，（），用，表示．解∵∴说明：①本题是个重要题型：设为平面上任一点．则：、、三点共线或令，则、、三点共线（其中）②当时，常称为△的中线公式（向量式）．3．演练反馈（1）命题：向量与共线；命题：有且只有一个实数，使；则是的）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．不充分不必要条件（2）已知和不共线，若与共线，则实数的值等于____________．（3）如图△中，点是的中点，点在边上，且，与相交于点，求的值．参考答案：（1）B2）（3）解：如图）设，，则，，∵、、和、、分别共线，∴存在、，使，．故，而．∴由基本定理得∴∴，即4．总结提炼（1）当平面内取定一组基底，后，任一向量都被、惟一确定，其含义是存在惟一这数对，使，则必有且．（2）三点、、共线其中且）五．板书设计。

实数与向量的积（1）教学目的：1.掌握实数与向量积的定义，理解实数与向量积的几何意义；2.掌握实数与向量的积的运算律；3.理解两个向量共线的充要条件，能够运用共线条件判定两向量是否平行. 教学重点：掌握实数与向量的积的定义、运算律、理解向量共线的充要条件 教学难点：对向量共线的充要条件的理解 授课类型：新授课 课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入：1.向量的概念：既有大小又有方向的量叫向量,有二个要素：大小、方向.2.向量的表示方法：①用有向线段表示；②用字母ａ、ｂ等表示；3.零向量、单位向量概念：①长度为0的向量叫零向量，②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.4.平行向量定义：①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行.向量ａ、ｂ、ｃ平行，记作ａ∥ｂ∥ｃ. 5.相等向量定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量. 6.共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量. 7.向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法 向量加法的三角形法则和平行四边形法则 8．向量加法的交换律：a +b =b +a 9．向量加法的结合律：(a +b ) +c =a + (b +c )10．向量的减法向量a 加上的b 相反向量，叫做a 与b 的差即：a - b = a + (-b ) 11．差向量的意义： OA = a , OB = b , 则BA = a - b 即a - b 可以表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量 二、讲解新课：1．示例：已知非零向量a ρ，作出a ρ+a ρ+a ρ和(-a ρ)+(-a ρ)+(-a ρ)OC =BC AB OA ++=a ρ+a ρ+a ρ=3a ρPN =MN QM PQ ++=(-a ρ)+(-a ρ)+(-a ρ)=-3a ρ（1）3a ρ与a ρ方向相同且|3a ρ|=3|a ρ|；（2）-3a ρ与a ρ方向相反且|-3a ρ|=3|a ρ|2．实数与向量的积：实数λ与向量a ρ的积是一个向量，记作：λa ρ（1）|λa ρ|=|λ||a ρ|（2）λ>0时λa ρ与a ρ方向相同；λ<0时λa ρ与a ρ方向相反；λ=0时λa ρ=0 3．运算定律 结合律：λ(μa ρ)=(λμ)a ρ①第一分配律：(λ+μ)a ρ=λa ρ+μa ρ②第二分配律：λ(a ρ+b ρ)=λa ρ+λb ρ ③结合律证明：如果λ=0，μ=0，a ρ=0至少有一个成立，则①式成立如果λ≠0，μ≠0，a ρ≠0有：|λ(μa ρ)|=|λ||μa ρ|=|λ||μ||a ρ||(λμ)a ρ|=|λμ|| a ρ|=|λ||μ||a ρ| ∴|λ(μa ρ)|=|(λμ)a ρ|如果λ、μ同号，则①式两端向量的方向都与a ρ同向； 如果λ、μ异号，则①式两端向量的方向都与a ρ反向 从而λ(μa ρ)=(λμ)a ρ第一分配律证明：如果λ=0，μ=0，a ρ=0至少有一个成立，则②式显然成立 如果λ≠0，μ≠0，a ρ≠0当λ、μ同号时，则λa ρ和μa ρ同向，∴|(λ+μ)a ρ|=|λ+μ||a ρ|=(|λ|+|μ|)|a ρ||λa ρ+μa ρ|=|λa ρ|+|μa ρ|=|λ||a ρ|+|μ||a ρ|=(|λ|+|μ|)|a ρ| ∵λ、μ同号 ∴②两边向量方向都与a ρ同向 即 |(λ+μ)a ρ|=|λa ρ+μa ρ| 当λ、μ异号，当λ>μ时 ②两边向量的方向都与λa ρ同向；当λ<μ时 ②两边向量的方向都与μa ρ同向，且|(λ+μ)a ρ|=|λa ρ+μa ρ|∴②式成立 第二分配律证明：如果a ρ=0，b ρ=0中至少有一个成立，或λ=0，λ=1则③式显然成立 当a ρ≠0，b ρ≠0且λ≠0，λ≠1时（1）当λ>0且λ≠1时在平面内任取一点O ，作=OA a ρ =AB b ρ =1OA λa ρ=11B A λb ρ则=OB a ρ+b ρ =1OB λa ρ+λb ρ由作法知 ，AB ∥11B A 有∠OAB=∠OA 1B 1 |AB |=λ|11B A | ∴==||||||||111AB B A OA OA λ ∴△OAB ∽△OA 1B 1∴=||||1OB OB λ ∠AOB=∠ A 1OB 1因此，O ，B ，B 1在同一直线上，|1OB |=|λOB | 1OB 与λOB 方向也相同∴λ(a ρ+b ρ)=λa ρ+λb ρ当λ<0时 可类似证明：λ(a ρ+b ρ)=λa ρ+λb ρ∴ ③式成立 4．向量共线的充要条件若有向量a ρ(a ρ≠0)、b ρ，实数λ，使b ρ=λa ρ，则a ρ与b ρ为共线向量若a ρ与b ρ共线(a ρ≠0)且|b ρ|：|a ρ|=μ，则当a ρ与b ρ同向时b ρ=μa ρ； 当a ρ与b ρ反向时b ρ=-μa ρ从而得向量共线定理 向量b ρ与非零向量a ρ共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b ρ=λa ρ三、讲解范例：例1若3ｍ＋2ｎ＝ａ，ｍ－3ｎ＝ｂ，其中ａ，ｂ是已知向量，求ｍ，ｎ.分析：此题可把已知条件看作向量ｍ、ｎ的方程，通过方程组的求解获得ｍ、ｎ. 解：记3ｍ＋2ｎ＝ａ① ｍ－３ｎ＝ｂ② 3×②得３ｍ－９ｎ＝３ｂ③①－③得11ｎ＝ａ－３ｂ. ∴ｎ＝111ａ－113ｂ④ 将④代入②有：ｍ＝ｂ＋３ｎ＝113ａ＋112ｂ评述：在此题求解过程中，利用了实数与向量的积以及它所满足的交换律、结合律，从而解向量的二元一次方程组的方法与解实数的二元一次方程组的方法一致.例2凸四边形ABCD 的边AD 、BC 的中点分别为E 、F ，求证EF ＝21(AB +DC ). 解法一：构造三角形，使EF 作为三角形中位线，借助于三角形中位线定理解决. 过点C 在平面内作CG ＝AB ，则四边形ABGC 是平行四边形，故F 为AG 中点.∴EF 是△ADG 的中位线，∴EF =DG 21, ∴EF ＝21DG . 而DG ＝DC ＋CG ＝DC ＋AB ， ∴EF ＝21（AB ＋DC ）. 解法二：创造相同起点，以建立向量间关系 如图，连EB ，EC ，则有EB ＝EA ＋AB ，EC ＝ED ＋DC ，又∵E 是AD 之中点，∴有EA ＋ED ＝0. 即有EB ＋EC ＝AB ＋DC ；以EB 与EC 为邻边作平行四边形EBGC ，则由F 是BC 之中点，可得F 也是EG 之中点. ∴EF ＝21EG ＝21（EB ＋EC ）＝21（AB ＋DC ） 四、课堂练习：1.错例分析判断向量ａ＝－２e 与ｂ＝２e 是否共线? 对此题，有同学解答如下：解：∵ａ＝－２e ，ｂ＝２e ，∴ｂ＝－ａ，∴ａ与ｂ共线.分析：乍看上述解答，真是简单明快.然而，仔细研究题目已知，却发现其解答存有问题，这是因为，原题已知中对向量e 并无任何限制，那么就应允许e ＝0，而当e ＝0时，显然ａ＝0，ｂ＝0，此时，ａ不符合定理中的条件，且使ｂ＝λａ成立的λ值也不惟一(如λ＝－１，λ＝１，λ＝２等均可使ｂ＝λａ成立)，故不能应用定理来判断它们是否共线.可见，对e ＝0的情况应另法判断才妥.综上分析，此题应解答如下：解：(1)当e ＝0时，则ａ＝－２e ＝0由于“零向量与任一向量平行”且“平行向量也是共线向量”，所以，此时ａ与ｂ共线.(2)当e ≠0时，则ａ＝－２e ≠0，ｂ＝２e ≠0∴ｂ＝－ａ(这时满足定理中的ａ≠0，及有且只有一个实数λ（λ＝－１），使得ｂ＝λａ成立)∴ａ与ｂ共线.综合(1)、(2)可知，ａ与ｂ共线. 2.用向量法解决几何问题向量是数学中重要概念之一，是解决数学问题的得力工具，它简洁明快，许多几何里的命题，如果用向量知识来解决就显得格外简练.如图，MN 是△ABC 的中位线，求证：MN ＝21BC ，且MN ∥BC . 证明：∵M 、N 分别是AB 、AC 边上的中点，所以AM =21AB ，AN =21AC ，MN =AN －AM =21AC -21AB =21（AC -AB ）=21BC .因此，ＮＭ＝21ＢＣ且ＭＮ∥BC .五、小结:通过本节学习，要求大家掌握实数与向量的积的定义，掌握实数与向量的积的运算律，理解两个向量共线的充要条件，并能在解题中加以运用.六、课后作业：1．当λ∈Z 时，验证：λ(a ρ+b ρ)=λa ρ+λb ρ证：当λ=0时，左边=0•(a ρ+b ρ)=0 右边=0•a ρ+0•b ρ=0 分配律成立当λ为正整数时，令λ=n, 则有：n(a ρ+b ρ)=(a ρ+b ρ)+(a ρ+b ρ)+…+(a ρ+b ρ)=a ρ+a ρ+…+a ρ+b ρ+b ρ+b ρ+…+b ρ=n a ρ+n b ρ即λ为正整数时，分配律成立当为负整数时，令λ=-n （n 为正整数），有-n(a ρ+b ρ)=n[-(a ρ+b ρ)]=n[(-a ρ)+(-b ρ)]=n(-a ρ)+n(-b ρ)=-n a ρ+(-n b ρ)=-n a ρ-n b ρ分配律仍成立综上所述，当λ为整数时，λ(a ρ+b ρ)=λa ρ+λb ρ恒成立 2．如图，在△ABC 中，AB =a ρ, BC =b ρ ，AD 为边BC 的中线，G 为△ABC 的重心，求向量AG解法一：∵AB =a ρ, BC =b ρ 则BD =21BC =21b ρ∴AD =AB +BD =a ρ+21b ρ而AG =32AD∴AG =32a ρ+31b ρ解法二：过G 作BC 的平行线，交AB 、AC 于E 、F ∵△AEF ∽△ABC ，AE =32AB =32a ρ EF =32BC =32b ρ EG =21EF =31b ρ∴AG =AE +EG =32a ρ+31b ρDA BC a b DAE Ca b BF G3．在 ABCD 中，设对角线AC =a ρ，BD =b ρ试用a ρ, b ρ表示AB ，BC解法一：AO =OC =21a ρ BO =21BD =21b ρ∴AB =AO +OB =AO -BO =21a ρ-21b ρBC =BO +OC =OC +BO =21a ρ+21b ρ解二：设AB =x ，BC =y则AB +BC =AC ，即 x +y =a ρ；AD -AB =BD ，即x -y =b ρ∴ x =21(a ρ-b ρ)， y =21(a ρ+b ρ)即 AB =21(a ρ-b ρ) BC =21(a ρ+b ρ)4．设1e , 2e 是两个不共线向量，已知AB =21e +k 2e , CB =1e +32e ,CD =21e -2e , 若三点A, B, D 共线，求k 的值解：BD =CD -CB =(21e -2e )-(1e +32e )=1e -42e∵A, B, D 共线 ∴AB ,BD 共线 ∴存在λ使AB =λBD 即21e +k 2e =λ(1e -42e ) ∴⎩⎨⎧-==λλ42k ∴k=-8七、板书设计（略）八、课后记：实数与向量的积的定义可以看作是数与数的积的概念的推广.启发学生在掌握向量加法的基础上，学习实数与向量的积的概念及运算律，引导学生从特殊归纳到一般.在学习实数与向量的积的运算律时，应启发学生寻求其与代数运算中实数乘法的运算律的相似性，但应注意它们之间的区别，从而掌握实数与向量的积及其应用.。

课时设计活页纸翔宇教育集团数学专用作业纸班级 高一（ ） 姓名 学号 课题 平面向量基本定理一、判断题：1、平面内的任一向量a ，使a =λ1e 1+λ2e 2（e 1， e 2是一组基底）的实数λ1，λ2不止一对 （ ） 2、已知λ1，λ2∈R +，e 1，e 2是一组基底，a =λ1e 1+λ2e 2，则a 与e 1不共线、a 与e 2不共线 （ ） 二、填空题：1、设向量1e 和2e 不共线，若21e e k +与21e k e +共线，则实数k=2、在△ABC 中，点D 、E 、F 分别是边BC 、CA 、AB 的中点，则 CF BE BC AD AB ++++=3、若平行四边形ABCD 的中心为O ，P 为该平面上一点，a PO =，则PD PC PB PA +++= 三、选择题：1、已知a=e 1+2e 2 , b=2e 1-e 2则向量a+2b 与2a -b （ ）A. 一定共线B. 不一定共线C. 仅当e 1与e 2共线时共线D. 仅当e 1=e 2时共线2、a,b,c 为非零向量，m,n 为实数，则命题:1)b=m a a,b 共线2) b ∥a a =m b3) a,b,c 在同一个平面内 a =m b +n c,其中真命题的个数为 （ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 3、如图，已知□ABCD 的两条对角线相交于点E ，设= e 1，= e 2，试用e 1，e 2表示 的表达式为 （ ）A ．B ．C ．D ．4、若a ，b 是不共线的两向量，且 =λ1a +b ， =a +λ2b ，（λ1、λ2∈R ），则A 、B 、C 三点共线的充要条件为 （ ） A. λ1=λ2=-1 B ． λ1=λ2=1 C ． λ1λ2+1=0D ． λ1λ2-1=0。

湘教版高中高一数学必修二《向量的数量积》说课稿一、教材分析《向量的数量积》是湘教版高中高一数学必修二中的一章内容。

在这一章中，学生将学习到计算向量的数量积的方法和性质，掌握数量积的几何意义和应用。

根据教材中的内容安排，本章的主要目标如下： 1. 了解向量的数量积的定义； 2. 掌握计算向量的数量积的方法； 3. 理解向量的数量积的几何意义； 4. 学会应用向量的数量积解决实际问题。

二、教学目标根据教材分析，我们可以确定本节课的教学目标： 1. 知识与技能：学生能够准确理解向量的数量积的定义，能够熟练计算向量的数量积； 2. 过程与方法：学生能够通过几何方法理解向量的数量积的几何意义，能够应用向量的数量积解决实际问题； 3. 情感态度价值观：培养学生正确的数学学习兴趣和学习态度，提高学生解决实际问题的能力。

三、教学重点与难点本节课的教学重点和难点如下： 1. 教学重点：向量的数量积的定义，计算向量的数量积的方法； 2. 教学难点：向量的数量积的几何意义，应用向量的数量积解决实际问题。

四、教学过程本节课的教学过程安排如下：1. 热身与导入 (5分钟)通过展示一幅运动员奔跑的图片，引发学生对向量的讨论，提出问题：“你们觉得运动员在比赛过程中遇到的问题可以用向量表示吗？有哪些运动员的物理量可以用向量表示？”鼓励学生积极参与讨论。

2. 知识讲解 (10分钟)在学生对向量有一定认识的基础上，通过讲解向量的数量积的定义来引入本节的主题。

重点解释数量积的概念和意义，并举例说明如何计算数量积。

3. 计算练习 (15分钟)将学生分成小组，发放习题册，让学生通过小组讨论来计算向量的数量积。

教师巡回指导，及时解答学生的疑惑，并给予肯定和鼓励。

4. 几何意义解释 (15分钟)通过几何方法解释向量的数量积的几何意义。

引导学生思考，通过数量积的计算结果，能否判断两个向量之间的夹角大小，从而引出余弦定理的概念。

5. 应用实例讨论 (15分钟)给出实际问题，要求学生运用向量的数量积解决问题。

湘教版高中高一数学必修二《向量与实数相乘》评课稿一、课程简介《湘教版高中高一数学必修二》是高中数学教材的必修课程之一。

本课程以向量与实数相乘为主题，通过讲解向量的定义、向量的运算和向量与实数的乘法等内容，帮助学生掌握向量的基本概念与运算方法，培养学生运用向量与实数相乘解决实际问题的能力。

二、教学目标本节课的教学目标主要包括：1.掌握向量的定义和基本性质；2.理解向量与实数相乘的概念与运算规律；3.能够灵活运用向量与实数相乘解决实际问题。

三、教学内容1. 向量的定义和基本性质本节课将首先介绍向量的定义和基本性质。

通过讲解向量的表示方法、零向量和负向量的概念，引导学生对向量的基本概念进行理解和掌握。

2. 向量的运算接下来，本节课将重点讲解向量的运算方法，包括向量的加法、减法和数乘运算。

通过具体的示例和练习题，让学生掌握向量运算的方法和技巧，并能够运用相应的运算规律解决问题。

3. 向量与实数的乘法本节课最重要的内容是向量与实数的乘法。

通过引入向量与实数相乘的概念，让学生理解向量与实数相乘的含义和意义。

同时，通过讲解向量与实数相乘的运算规律和性质，培养学生运用向量与实数相乘解决实际问题的能力。

四、教学重点本节课的教学重点主要包括：1.向量的定义和基本性质；2.向量的运算方法和技巧；3.向量与实数的乘法的概念和运算规律。

五、教学难点本节课的教学难点主要包括：1.向量与实数相乘的含义和意义；2.向量与实数相乘的运算规律和性质。

六、教学方法本节课将采用讲授与练习相结合的教学方法。

具体教学方法包括：1.讲解法：通过讲解向量的定义、运算方法和向量与实数相乘的概念，引导学生对知识点进行理解和掌握；2.练习法：通过课堂练习和作业让学生进行实际操作和运算练习，巩固所学知识；3.讨论法：鼓励学生在课堂上发表自己的见解和观点，促进思维交流和合作学习。

七、教学过程本节课的教学过程安排如下：1.上课前准备：师生共同准备教材和学习资料，为课堂讨论做好准备；2.导入与激发兴趣：通过提出一个实际问题引入本节课的内容，激发学生的学习兴趣；3.教师讲解：讲解向量的定义和基本性质，向量的运算方法和技巧，向量与实数相乘的概念和运算规律；4.学生练习：课堂练习和小组讨论，学生进行实际操作和运算练习；5.梳理与总结：对本节课的重点、难点进行梳理和总结，确保学生理解和掌握所学知识；6.作业布置：布置相关练习作业，要求学生独立完成，并根据学生的实际情况提供个别指导和帮助。