新课标2017春高中数学第2章数列数列综合检测

第二章 2.2 第1课时基 础 巩 固一、选择题1．在等差数列{a n }中，a 1＋a 9＝10，则a 5的值为导学号 27542285( A ) A ．5 B ．6 C ．8D ．10[解析] 设等差数列{a n }的公差为d ，则a 1＋a 9＝a 1＋a 1＋8d ＝2a 1＋8d ＝2(a 1＋4d )＝2a 5＝10，∴a 5＝5.2．等差数列{a n }中，a 1＋a 5＝10，a 4＝7，则数列{a n }的公差为导学号 27542286( B ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4[解析] 设公差为d ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1＋4d ＝10a 1＋3d ＝7，解得d ＝2.3.2＋1与2－1的等差中项是导学号 27542287( C ) A ．1 B ．－1 C ． 2D ．±1[解析] 由等差中项的定义可知，2＋1与2－1的等差中项为2＋1＋2－12＝ 2.4．{a n }是首项为a 1＝1，公差d ＝3的等差数列，如果a n ＝22，则n 等于导学号 27542288( C )A ．6B ．7C ．8D ．9[解析] 由题意，得a n ＝a 1＋(n －1)d ＝1＋3(n －1)＝3n －2，又∵a n ＝22，∴3n －2＝22，∴n ＝8.5．在数列{a n }中，a 1＝2,2a n ＋1＝2a n ＋1，则a 101的值为导学号 27542289( D ) A ．49 B ．50 C ．51D ．52[解析] 由2a n ＋1＝2a n ＋1得a n ＋1－a n ＝12，∴{a n }是等差数列首项a 1＝2，公差d ＝12，∴a n ＝2＋12(n －1)＝n ＋32，∴a 101＝101＋32＝52.6．等差数列{a n }中，a 5＝33，a 45＝153，则201是该数列的第( )项导学号 27542290( B )A ．60B ．61C ．62D ．63[解析] 设公差为d ，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋4d ＝33a 1＋44d ＝153，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝21d ＝3.∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝21＋3(n －1)＝3n ＋18. 令201＝3n ＋18，∴n ＝61. 二、填空题7．在等差数列{a n }中，已知a 1＝2，a 2＋a 3＝13，则a 4＋a 5＋a 6＝42.导学号 27542291 [解析] a 1＋a 2＋a 3＝15，a 2＝5，d ＝3， ∴a 5＝a 2＋3d ＝14，a 4＋a 5＋a 6＝3a 5＝42.8．一个四边形的四个内角成等差数列，最小角为40°，则最大角为140°. 导学号 27542292[解析] ∵四边形的四个内角成等差数列，最小角为40°，∴设其他内角为40°＋d,40°＋2d,40°＋3d ，∴40°＋(40°＋d )＋(40°＋2d )＋(40°＋3d )＝360°，解得d ＝100°3，∴最大角为40°＋3d ＝40°＋3×100°3＝140°.三、解答题9．已知等差数列6,3,0，…，试求此数列的第100项.导学号 27542293[解析] 设此数列为{a n }，则首项a 1＝6，公差d ＝3－6＝－3，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝6－3(n －1)＝－3n ＋9.∴a 100＝－3×100＋9＝－291.10．已知等差数列{a n }中，a 15＝33，a 61＝217，试判断153是不是这个数列的项，如果是，是第几项？导学号 27542294[解析] 设首项为a 1，公差为d ，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋(15－1)d ＝33a 1＋(61－1)d ＝217，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－23d ＝4， ∴a n ＝－23＋(n －1)×4＝4n －27，令a n ＝153，即4n －27＝153，得n ＝45∈N *， ∴153是所给数列的第45项．能 力 提 升一、选择题1．等差数列的首项为125，且从第10项开始为比1大的项，则公差d 的取值范围是导学号 27542295( D )A ．d >875B ．d <325C ．875<d <325D ．875<d ≤325[解析] 由题意⎩⎪⎨⎪⎧a 10>1a 9≤1，∴⎩⎨⎧125＋9d >1125＋8d ≤1，∴875<d ≤325.2．在等差数列{a n }中，a 3＝7，a 5＝a 2＋6，则a 6＝导学号 27542296( C ) A ．11 B ．12 C ．13D ．14[解析] 设公差为d ，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝7a 1＋d ＋6＝a 1＋4d ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3d ＝2.∴a 6＝a 1＋5d ＝3＋10＝13.3．已知数列{a n }中，a 3＝2，a 7＝1，又数列{1a n ＋1}是等差数列，则a 11等于导学号 27542297( B )A ．0B ．12C ．23D ．－1[解析] 令b n ＝1a n ＋1，由题设b 3＝1a 3＋1＝13， b 7＝1a 7＋1＝12且{b n }为等差数列，∴b 7＝b 3＋4d ，∴d ＝124.∴b 11＝b 7＋4d ＝12＋16＝23，又b 11＝1a 11＋1，∴a 11＝12.4．若a ≠b ，两个等差数列a ，x 1，x 2，b 与a ，y 1，y 2，y 3，b 的公差分别为d 1、d 2，则d 1d 2等于导学号 27542298( C )A ．32B ．23C ．43D ．34[解析] 由题意可知：d 1＝b －a 3，d 2＝b －a 4，∴d 1d 2＝43，故选C ． 二、填空题5．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为6766升. 导学号 27542299[解析] 设此等差数列为{a n }，公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝3a 7＋a 8＋a 9＝4， ∴⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋6d ＝33a 1＋21d ＝4，解得⎩⎨⎧a 1＝1322d ＝766，∴a 5＝a 1＋4d ＝1322＋4×766＝6766.6．在等差数列{a n }中，已知a 3＋a 8＝10，则3a 5＋a 7＝20.导学号 27542300 [解析] 设公差为d ，则a 3＋a 8＝2a 1＋9d ＝10， 3a 5＋a 7＝4a 1＋18d ＝2(2a 1＋9d )＝20. 三、解答题7．一位同学喜欢观察小动物的活动规律，他观察到随着气温的升高，一种昆虫在相等的时间内发出的啁啾声次数也在逐渐增加．下表是他记录的数据，34上方及40下方的数据变得模糊不清了．但是该同学记得气温每升高1℃他观察一次，而且观察到的数据成等差数列．请你为他补好这两个数据.导学号 27542301[解析] n 则a 1＝4，a 5＝20，温度为34℃时，a 7＝a 1＋6d . 又因为d ＝a 5－a 14＝164＝4，所以a 7＝4＋6×4＝28.若a n ＝40，则4＋(n －1)×4＝40.所以n ＝10，所以温度为37℃. 8．已知函数f (x )＝3xx ＋3，数列{x n }的通项由x n ＝f (x n －1)(n ≥2，且n ∈N *)确定. 导学号 27542302(1)求证：{1x n }是等差数列；(2)当x 1＝12时，求x 100的值．[解析] (1)∵x n ＝f (x n －1)＝3x n －1x n －1＋3(n ≥2，n ∈N *)，∴1x n ＝x n －1＋33x n －1＝13＋1x n －1， ∴1x n －1x n －1＝13(n ≥2，n ∈N *)． ∴数列{1x n }是等差数列．(2)由(1)知{1x n }的公差为13，又x 1＝12，∴1x n ＝1x 1＋(n －1)·13＝13n ＋53.∴1x 100＝1003＋53＝35，即x 100＝135.。

第2章数列单元测试基础检测1．如果一个数列既是等差数列，又是等比数列，则此数列（ ）A 为常数数列B 为非零的常数数列C 存在且唯一D 不存在 2．在等差数列{}n a 中，已知1a +4a +7a =39，2a +5a +8a =33，则3a +6a +9a =（ ）A 30B 27C 24D 21 3.若lg a ,lg b ,lg c 成等差数列，则（ ） A b =2c a + B b =21(lg a +lg c ) C a ,b ,c 成等比数列 D a ,b ,c 成等差数列4.在等比数列}{n a 中,,8,1685=-=a a 则=11a ( )A 4-B 4±C 2-D 2± 5.在△ABC 中，若三内角成等差数列，则最大内角与最小内角之和为______.6．已知数列{}n a 的通项公式为，那么是这个数列的第________项．7. 等比数列的公比为2, 且前4项之和等于1, 那么前8项之和等于 . 8．已知数列的通项公式372-=n a n ,则n S 取最小值时n = ,此时n S = .9．已知三个数成等差数列，首末两项之积为中项的5倍，后两项的和为第一项的8倍，求这三个数。

10．已知一个数列前n 项和n S =12-+n n ，求它的通项公式，它是等差数列吗？11．在等比数列}{n a 中，S n 为其前n 项的和。

设28,4,0142=-=>a S a a n . 求nn a a 3+的值。

12．数列{a n }中，a 1=8，a 4=2且满足a n+2=2a n+1-a n （n ∈N +） （1）求数列{a n }通项公式；（2）设S n =|a 1|+|a 2|+…+|a n |，求S n ； （3）设)a 12(n 1b n n -=（n ∈N +）T n =b 1+b 2+…+b n ，是否存在最大的整数m ，使得对于任意的n ∈N +，均有32mT n >成立？若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由。

第二章 习题课 求通项公式一、选择题(每小题5分，共20分)1．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝a n－2(a 为常数，且a ≠0，a ≠1)，则数列{a n }( )A ．是等比数列B ．从第二项起的等比数列C ．是等差数列D ．从第二项起的等差数列解析： 当n ≥2时，a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝a n ＋1－a n∴a n ＝S n －S n －1＝a n －an －1，则a n ＋1a n＝a . 又∵a 2＝S 2－S 1＝a 2－2－(a －2) ＝a 2－a ＝a (a －1)a 1＝S 1＝a －2.当a ＝2时，a 1＝0， 当a ≠2时，a 2a 1＝a a －1a －2≠a .答案： B2．如果数列{a n }满足a 1，a 2a 1，a 3a 2，…，a na n －1，…是首项为1，公比为2的等比数列，则a 6＝( )A ．21 008B ．29 968C ．25 050D ．32 768解析： a 6＝a 1×a 2a 1×a 3a 2×…×a 6a 5＝1×2×22×…×25＝215＝32 768. 答案： D3．若数列{a n }满足a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝n 2(n ∈N *)，则a 6＝( ) A ．95 B ．116C ．137D ．2 解析： a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋6a 6＝36，① a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋5a 5＝25，②①－②得6a 6＝11，所以a 6＝116. 答案： B4．在数列{a n }中，已知a n ＋1＝a n ＋n2，且a 1＝2，则a 99的值是( )A ．2 477B ．2 427C ．2 427.5D ．2 477.5解析： ∵a n ＋1－a n ＝n2，∴a n －a 1＝(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1) ＝12[1＋2＋…＋(n －1)]＝14(n －1)n ， ∴a 99＝2＋14×98×99＝2 427.5.答案： C二、填空题(每小题5分，共10分) 5．已知数列{a n }中，a 1＝2，且a n a n －1＝n －1n ＋1(n ≥2)，则a n ＝______. 解析： a n ＝a 1·a 2a 1·a 3a 2·…·a na n －1＝2×13×24×35×…×n －1n ＋1＝4n n ＋1.答案：4n n ＋16．数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2，则a n ＝________. 解析： a n ＋1＝3a n ＋2， ∴a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)． 又a 1＋1＝2.∴数列{a n ＋1}是首项为2，公比为3的等比数列． ∴a n ＋1＝2×3n －1.∴a n ＝2×3n －1－1.答案： 2×3n －1－1三、解答题(每小题10分，共20分) 7．已知数列{a n }中，a 1＝1，前n 项和S n ＝n ＋23a n .(1)求a 2，a 3； (2)求{a n }的通项公式．解析： (1)由S 2＝43a 2得3(a 1＋a 2)＝4a 2，解得a 2＝3a 1＝3.由S 3＝53a 3得3(a 1＋a 2＋a 3)＝5a 3，解得a 3＝32(a 1＋a 2)＝6.(2)由题设知a 1＝1. 当n ＞1时，有a n ＝S n －S n －1＝n ＋23a n －n ＋13a n －1，整理得a n ＝n ＋1n －1a n －1. 于是a 2＝31a 1，a 3＝42a 2，…，a n －1＝nn －2a n －2，a n ＝n ＋1n －1a n －1.将以上n －1个等式中等号两端分别相乘， 整理得a n ＝n n ＋12.综上可知，{a n }的通项公式a n ＝n n ＋12.8．设数列{a n }满足a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －1a n ＝n3(n ∈N *)．求数列{a n }的通项公式．解析： ∵a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －1a n ＝n 3， ①∴当n ≥2时，a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －2a n －1＝n －13.②①－②，得3n －1a n ＝13，∴a n ＝13n .在①中，令n ＝1，得a 1＝13.∴a n ＝13n (n ∈N *)．尖子生题库☆☆☆9.(10分)设数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{S n }的前n 项和为T n ，满足T n ＝2S n －n 2，n ∈N *.(1)求a 1的值；(2)求数列{a n }的通项公式．解析： (1)当n ＝1时，T 1＝2S 1－12.因为T 1＝S 1＝a 1，所以a 1＝2a 1－1，解得a 1＝1.(2)当n ≥2时，S n ＝T n －T n －1＝2S n －n 2－[2S n －1－(n －1)2]＝2S n －2S n －1－2n ＋1， 所以S n ＝2S n －1＋2n －1， ① 所以S n ＋1＝2S n ＋2n ＋1，②②－①得a n ＋1＝2a n ＋2. 所以a n ＋1＋2＝2(a n ＋2)，即a n ＋1＋2a n ＋2＝2(n ≥2)． 当n ＝1时，a 1＋2＝3，a 2＋2＝6，则a 2＋2a 1＋2＝2， 所以当n ＝1时也满足上式．所以{a n ＋2}是以3为首项，2为公比的等比数列， 所以a n ＋2＝3·2n －1，所以a n ＝3·2n －1－2.。

第02章 数列章末检测（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．在等差数列{}n a 中，7914a a +=，41a =，则12a 的值为 A ．16 B ．15 C ．14D ．132．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知130S >，140S <，若10k k a a +⋅<，则k = A ．6B ．7C ．13D ．143．已知数列{}n a 中，13a =，111n n a a +=-+，则能使3n a =的n 可以等于 A ．2016 B ．2017 C ．2018D ．20194．已知数列{}n a 是公差为2的等差数列，且1a ，2a ，5a 成等比数列，其前n 项和为n S ，则8S = A ．36 B ．49 C ．64D ．815．已知等比数列{}n a 满足375a a +=，则2446682a a a a a a ++等于 A ．5B ．10C ．20D ．256．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，其中15512a a S +=，且1120a =，则13S = A ．130 B ．60 C ．160D ．267．若数列{}n a 满足12a =，21n n a a +=，且0n a >，则n a =A ．210n -B ．110n -C ．1210n -D ．122n -8．在等差数列{}n a 中，已知67S S <，78S S >，则下列说法中正确的是①前七项递增，后面的项递减；②96S S <；③1a 是最大项；④7S 是n S 的最大值． A ．②④B ．①②④C ．②③④D ．①②③④9．已知数列{}n a 是首项为1、公差为2的等差数列，数列{}n b 满足关系31212312n n n a a a a b b b b ++++= ，数列{}n b 的前n 项和为n S ，则5S 的值为 A ．454- B ．450- C ．446-D ．442-10．已知数列{}n a 满足12n n a a +=，且31a a -=22212111n a a a +++= A ．114n -B ．1(41)4n- C ．31(1)22n -D ．11(1)164n -11．已知函数2()cos()f n n n =π，且()(1)n a f n f n =++，则12100a a a +++=A ．100-B ．0C ．100D ．1020012．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，113m S -=，0m S =，115m S +=-，其中m ∈*N 且2m ≥，则数列11{}n n a a +的前n 项和n T 的最大值为 A ．24143B ．1143 C ．2413D ．613第Ⅱ卷二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．若等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，23a =，352a a +=-，则使得n S 取得最大值时的正整数n =______________．14．已知单调递减的等比数列{}n a 满足23428a a a ++=，且32a +是2a ，4a 的等差中项，则数列{}n a 的通项公式n a =______________．15．在数列{}n a 中，已知11a =，122()n n n a a n +=+∈*N ，则数列{}n a 的通项公式n a =______________．16．已知数列{}n a 的前n 项和为(1)n S n n =+，数列{}n b 的前n 项和为n T ，若1122n n n S b S b S b a +++= ，则2017T =______________．三、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分10分）已知等差数列{}n a 的公差不为零，其前n 项和为n S ，223a S =，且1S ，2S ，4S 成等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式n a ；（2）记15943n n T a a a a -=++++ ，求n T ．18．（本小题满分12分）已知在等比数列{}n a 中，首项13a =，公比1q >，且213100()()n n n n a a a ++-=∈+*N ．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设13{}n n b a +是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{}n b 的通项公式及前n 项和n S ．19．（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的前n 项和为n T ，满足11a b =，222a b =，2213S T +=，332S b =．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）设2nn na cb =，求数列{}n c 的前n 项和n C ． 20．（本小题满分12分）已知正项数列{}n a 满足：2122(n n n S S t a n -+=⨯+≥，0)t >，11a =，其中n S 是数列{}n a 的前n 项和．（1）求2a 及数列{}n a 的通项公式；（2）记数列11{}n n a a +的前n 项和为n T ，若2n T <对所有的*n ∈N 都成立，求证：01t <≤．21．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，2212(1)n n n S n a n a +=+-，数列{}n b 满足11b =，12n a n n b b λ+=⋅．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）是否存在正实数λ，使得数列{}n b 为等比数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．22．（本小题满分12分）设满足以下两个条件的有穷数列123n a a a a ,,,,为n 阶“期待数列”： ①1230n a a a a ++++= ；②123||||||||1n a a a a ++++= ．（1）若等比数列{}n a 为2k 阶“期待数列”(*k ∈N )，求首项1a 及公比q ；（2）若一个等差数列{}n a 既是2k 阶“期待数列”又是递增数列(*k ∈N )，求该数列的通项公式．。

（新课标）2017春高中数学第2章数列基本知能检测新人教B版必修5 编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（新课标）2017春高中数学第2章数列基本知能检测新人教B版必修5）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为（新课标）2017春高中数学第2章数列基本知能检测新人教B版必修5的全部内容。

2017春高中数学第2章数列基本知能检测新人教B版必修5（时间：120分钟满分150分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分,共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在等差数列｛a n}中，a3＝－6，a7＝a5＋4，则a1等于错误!（ A )A．－10 B．－2C．2 D．10[解析］设公差为d，∴a7－a5＝2d＝4,∴d＝2，又a3＝a1＋2d，∴－6＝a1＋4,∴a1＝－10。

2．在等比数列{a n}中,a4、a12是方程x2＋3x＋1＝0的两根，则a8等于错误!（ B )A．1 B．－1C．±1D．不能确定［解析]由题意得，a4＋a12＝－3<0,a·a12＝1>0，∴a4〈0，a12<0。

4∴a8<0,又∵a错误!＝a4·a12＝1，∴a8＝－1。

3．如果－4,a，b,c，－16成等比数列，那么导学号 27542545（ B )A．b＝8，ac＝64 B．b＝－8，ac＝64C．b＝8，ac＝64 D．b＝－8，ac＝－64［解析]∵b2＝（－4)×(－16）＝64，b与首项－4同号，∴b＝－8.4．已知等差数列｛a n}的前n项和为S n，若S17＝170，则a7＋a9＋a11的值为错误!（ D ) A．10 B．20C．25 D．30［解析]∵S17＝17a9＝170,∴a9＝10，∴a7＋a9＋a11＝3a9＝30.5．在等比数列｛a n}中，a n<a n＋1，且a2a11＝6，a4＋a9＝5，则错误!等于错误!（ B ）A．6 B．错误!C．错误!D．错误!［解析]∵a4·a9＝a2a11＝6，又∵a4＋a9＝5，且a n<a n＋1,∴a4＝2，a9＝3，∴q5＝错误!＝错误!，又错误!＝错误!＝错误!。

第二章综合素质检测(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12个小题，每个小题5分，共60分，每小题给出的四个备选答案中，有且仅有一个是符合题目要求的)1．(2014·安徽宿州市泗县双语中学高二期末测试)数列1，23，35，47，59，…，的一个通项公式a n是( )A ．n 2n ＋1B ．n 2n －1C ．n 2n －3D ．n 2n ＋3B解法一：当n ＝1时，a 1＝1只有选项B 满足，故选B ．解法二：数1，23，35，47，59，…，的第n 项a n 的分子是n ，分母是2n －1，故选B ．2．若等比数列{a n }的公比q >0，且q ≠1，又a 1<0，那么( ) A ．a 2＋a 6>a 3＋a 5 B ．a 2＋a 6<a 3＋a 5 C ．a 2＋a 6＝a 3＋a 5D ．a 2＋a 6与a 3＋a 5的大小不能确定 B(a 2＋a 6)－(a 3＋a 5)＝(a 2－a 3)－(a 5－a 6) ＝a 2(1－q )－a 5(1－q )＝(1－q )(a 2－a 5) ＝a 1q (1－q )2(1＋q ＋q 2)． ∵q >0，且q ≠1，又a 1<0， ∴(a 2＋a 6)－(a 3＋a 5)<0. 即a 2＋a 6<a 3＋a 5.3．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋n ，那么它的通项公式a n ＝( ) A ．n B ．2n C ．2n ＋1 D ．n ＋1 B当n ＝1时，a 1＝S 1＝2，排除A ，C ；当n ＝2时，a 2＝S 2－S 1＝6－2＝4，排除D ，故选B ．4．数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n ＝1n (n ＋1)，则S 5等于( )A ．1B ．56C ．16D ．130Ba n ＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，∴S 5＝1－12＋12－13＋13－14＋14－15＋15－16＝1－16＝56.5．(2013～2014学年度内蒙古通辽实验中学高二期中测试)数列{a n }满足a 1＝19，a n ＋1＝a n －3(n ∈N ＋)，则数列{a n }的前n 项和S n 最大时，n 的值为( )A ．6B ．7C ．8D ．9B∵a n ＋1＝a n －3，∴a n ＋1－a n ＝－3(n ∈N ＋)，故数列{a n }是首项为19，公差为－3的等差数列． ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝19－3(n －1)＝22－3n . 由a n ＝22－3n >0，得n <223.∴a 7>0，a 8<0，故当n ＝7时，S n 取最大值．6．某工厂去年产值为a ，计划今后5年内每年比上年产值增加10%，则从今年起到第5年，这个厂的总产值为( )A ．1.14aB ．1.15aC ．11×(1.15－1)aD ．10(1.16－1)aC设从去年开始，每年产值构成数列为{a n }，则a 1＝a ， a n ＝a (1＋10%)n －1(1≤n ≤6)，从今年起到第5年是求该数列a 2到a 6的和，应为S 6－a 1＝a (1.16－1)1.1－1－a ＝11×(1.15－1)A ．7．等比数列{a n }的各项为正数，且a 5a 6＋a 4a 7＝18，则log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10等于( ) A ．12 B ．10 C ．8 D ．2＋log 35B由等比数列的性质可知：a 5a 6＝a 4a 7＝a 3a 8＝…＝a 1a 10， ∴a 5a 6＋a 4a 7＝2a 1a 10＝18，∴a 1a 10＝9. ∴log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝log 3(a 1·a 2·a 3·…·a 10)＝log 3(a 1a 10)5＝10. 8．212＋414＋818＋…＋102411024等于( )A ．2 0461 0231 024B ．2 0071 0231 024C ．1 04711 024D ．2 04611 024A212＋414＋818＋…＋1 02411 024＝(2＋4＋8＋…＋1 024)＋(12＋14＋18＋…＋11 024)＝2(1－210)1－2＋12[1－(12)10]1－12＝211－2＋1－(12)10＝2 046＋210－1210＝2 046＋1 0231 024＝2 0461 0231 024.9．正项数列{a n }满足a 2n ＋1＝a 2n ＋4(n ∈N *)，且a 1＝1，则a 7的值为( )A ．4B ．5C ．6D ．7B∵a 2n ＋1＝a 2n ＋4(n ∈N *)， ∴a 2n ＋1－a 2n ＝4，又a 1＝1，∴a 21＝1.∴数列{a 2n }是首项为1，公差为4的等差数列， ∴a 2n ＝1＋4(n －1)＝4n －3. ∴a 27＝4×7－3＝25， 又a 7>0，∴a 7＝5.10．若{a n }是等差数列，首项a 1>0，a 1 007＋a 1 008>0，a 1 007·a 1 008<0，则使前n 项和S n >0成立的最大自然数n 是( )A ．2 012B ．2 013C ．2 014D ．2 015C∵a 1 007＋a 1 008>0， ∴a 1＋a 2 014>0，∴S 2 014＝2 014(a 1＋a 2 014)2>0，∵a 1 007·a 1 008<0，a 1>0， ∴a 1 007>0，a 1 008<0， ∴2a 1 008＝a 1＋a 2 015<0， ∴S 2 015＝2 015(a 1＋a 2 015)2<0，故选C ．11．设f (n )＝2＋24＋27＋210＋…＋23n ＋10(n ∈N *)，则f (n )等于( ) A ．27(8n ＋1)B ．27(8n －1－1)C ．27(8n ＋3－1)D ．27(8n ＋4－1)D解法一：令n ＝0，则f (n )＝2＋24＋27＋210＝2[1－(23)4]1－23＝2(1－84)1－8＝27(84－1)，对照选项，只有D 成立．解法二：数列2,24,27,210，…，23n ＋10是以2为首项，8为公比的等比数列，项数为n ＋4， ∴f (n )＝2(1－8n ＋4)1－8＝27(8n ＋4－1)．12．定义：称np 1＋p 2＋…＋p n为n 个正数p 1，p 2，…，p n 的“均倒数”，若数列{a n }的前n 项的“均倒数”为12n －1，则数列{a n }的通项公式为( )A ．2n －1B ．4n －1C ．4n －3D ．4n －5C设数{a n }的前n 项和为S n ，则由已知得n a 1＋a 2＋…＋a n ＝n S n ＝12n －1，∴S n ＝n (2n －1)＝2n 2－n当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n 2－n －＝4n －3 当n ＝1时，a 1＝S 1＝2×12－1＝1适合上式， ∴a n ＝4n －3.二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．将正确答案填在题中横线上)13．已知等比数列{a n }为递增数列，若a 1>0，且2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1，则数列{a n }的公比q ＝________.2本题考查了等比数列的通项公式． ∵{a n }是递增的等比数列，且a 1>0，∴q >1， 又∵2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1， ∴2a n ＋2a n q 2＝5a n q ， ∵a n ≠0，∴2q 2－5q ＋2＝0， ∴q ＝2或q ＝12(舍去)，∴公比q 为2.一定要注意数列{a n }是递增数列且a 1>0，则公比q 大于1.14．(2014·江西文，13)在等差数列{a n }中，a 1＝7，公差为d ，前n 项和为S n ，当且仅当n ＝8时S n 取得最大值，则d 的取值范围为________．(－1，－78)本题主要考查等差数列中S n 与a n 的关系，由题意知a 1＝7，且当且仅当n ＝8时，S n 取最大值，∴该数列为递减数列且a 8>0，a 9<0，即⎩⎪⎨⎪⎧7＋7d >07＋8d <0，∴－1<d <－78，解题本题时要注意当且仅当n ＝8时S n 最大．15．设等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 5＝5a 3，则S 9S 5＝________.9解法一：设等差数列{a n }的公差为d ，∵a 5＝5a 3，∴a 1＋4d ＝5(a 1＋2d )，∴a 1＝－32d ，∴S 9S 5＝9a 1＋12×9×8×d 5a 1＋12×5×4×d ＝－272d ＋36d －152d ＋10d ＝452d52d＝9. 解法二：S 9S 5＝9(a 1＋a 9)25(a 1＋a 5)2＝9×2a 525×2a 32＝9a 55a 3，∵a 5＝5a 3，∴S 9S 5＝9a 55a 3＝9.16．若数列{a n }满足a 1＝2，a n ＝1－1a n －1，则a 2 013＝________.－1∵a 1＝2，a n ＝1－1a n －1，∴a 2＝1－1a 1＝12，a 3＝1－1a 2＝－1，a 4＝1－1a 3＝2，a 5＝1－1a 4＝12，…∴数列{a n }的值呈周期出现，周期为3. ∴a 2 013＝a 3＝－1.三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本题满分12分)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，公比是正数的等比数列{b n }的前n 项和为T n ，已知a 1＝1，b 1＝3，a 3＋b 3＝17，T 3－S 3＝12，求{a n }、{b n }的通项公式．设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q . 由a 3＋b 3＝17得1＋2d ＋3q 2＝17，① 由T 3－S 3＝12得q 2＋q －d ＝4.② 由①、②及q >0解得q ＝2，d ＝2.故所求的通项公式为a n ＝2n －1，b n ＝3×2n －1.18．(本题满分12分)(2014·湖北理，18)已知等差数列{a n }满足：a 1＝2，且a 1，a 2，a 5成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)记S n 为数列{a n }的前n 项和，是否存在正整数n ，使得S n >60n ＋800？若存在，求n 的最小值；若不存在，说明理由．(1)设数列{a n }的公差为d ，依题意，2,2＋d,2＋4d 成等比数列，故有(2＋d )2＝2(2＋4d )． 化简得d 2－4d ＝0，解得d ＝0或d ＝4. 当d ＝0时，a n ＝2；当d ＝4时，a n ＝2＋(n －1)·4＝4n －2，从而得数列{a n }的通项公式为a n ＝2或a n ＝4n －2. (2)当a n ＝2时，S n ＝2n ，显然2n <60n ＋800， 此时不存在正整数n ，使得S n >60n ＋800成立， 当a n ＝4n －2时，S n ＝n [2＋(4n －2)]2＝2n 2，令2n 2>60n ＋800，即n 2－30n －400>0， 解得n >40或n <－10(舍去)．此时存在正整数n ，使得S n >60n ＋800成立，n 的最小值为41. 综上，当a n ＝2时，不存在满足题意的n ；当a n ＝4n －2时，存在满足题意的n ，其最小值为41.19．(本题满分12分)数列{a n }的前n 项和为S n ＝2－2a n ，n ∈N *.求证：数列{a n }为等比数列，并求通项a n .(1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝2－2a 1，∴a 1＝23；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2－2a n )－(2－2a n －1) ＝2a n －1－2a n .∴a n a n －1＝23.故{a n }是以 a 1＝23为首项，以q ＝23为公比的等比数列．∴a n ＝a 1q n －1＝(23)n .20．(本题满分12分)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2＝1，S 11＝33. (1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝(14)a n .求证：{b n }是等比数列，并求其前n 项和T n .(1)∵⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1S 11＝33，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝111a 1＋11×102d ＝33， ∴⎩⎨⎧a 1＝12d ＝12，∴a n ＝n2.(2)∵b n ＝(14)n 2＝12n ，∴b n ＋1b n ＝12，∴{b n }是以b 1＝12为首项，12为公比的等比数列，前n 项和T n ＝12(1－12n )1－12＝1－12n .21．(本题满分12分)设数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1－a n ＝3·4n (n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝na n ，求数列{b n }的前n 项和S n . (1)由题意，得 a 2－a 1＝3×4， a 3－a 2＝3×42， a 4－a 3＝3×43， ……a n －a n －1＝3·4n －1(n ≥2)， 以上n －1个式子相加，得 a n －a 1＝3(4＋42＋43＋…＋4n －1) ＝3×4(1－4n －1)1－4＝4n －4，∴a n ＝a 1＋4n －4＝4n －2. a 1＝2满足上式，∴a n ＝4n －2. (2)b n ＝na n ＝n (4n －2)，S n ＝1×4＋2×42＋3×43＋…＋n ·4n －2(1＋2＋…＋n )， 设T n ＝1×4＋2×42＋3×43＋…＋n ·4n ， ∴4T n ＝1×42＋2×43＋…＋(n －1)·4n ＋n ·4n ＋1，∴－3T n ＝4＋42＋43＋…＋4n －n ·4n ＋1 ＝4(1－4n )1－4－n ·4n ＋1＝4－4n ＋1－3－n ·4n ＋1，∴T n ＝4－4n ＋19＋n ·4n ＋13＝19，∴S n ＝19－n (n ＋1)．22．(本题满分14分)已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n 和S n 满足：4S n ＝(a n ＋1)2(n ＝1,2,3……)，(1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1a n ·a n ＋1，求{b n }的前n 项和T n ；(3)在(2)的条件下，对任意n ∈N *，T n >m23都成立，求整数m 的最大值．(1)∵4S n ＝(a n ＋1)2， ① ∴4S n －1＝(a n －1＋1)2(n ≥2)，②①－②得4(S n －S n －1)＝(a n ＋1)2－(a n －1＋1)2. ∴4a n ＝(a n ＋1)2－(a n －1＋1)2. 化简得(a n ＋a n －1)·(a n －a n －1－2)＝0. ∵a n >0，∴a n －a n －1＝2(n ≥2)． 由4a 1＝(a 1＋1)2得a 1＝1，∴{a n }是以1为首项，2为公差的等差数列． ∴a n ＝1＋(n －1)·2＝2n －1.(2)b n ＝1a n ·a n ＋1＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12(12n －1－12n ＋1)．∴T n ＝12〔〕(1－13)＋(13－15)＋…＋(12n －1－12n ＋1)＝12(1－12n ＋1)＝n2n ＋1.(3)由(2)知T n ＝12(1－12n ＋1)，T n ＋1－T n ＝12(1－12n ＋3)－12(1－12n ＋1)＝12(12n ＋1－12n ＋3)>0. ∴数列{T n }是递增数列． ∴min ＝T 1＝13.∴m 23<13，∴m <233. ∴整数m 的最大值是7.。

232等差数列前n 项和的综合应用(建议用时：45分钟)［学业达标］一、选择题1 •等差数列前n 项和为S,若a s = 4, S 3= 9，则0— a 5=( )A. 14B. 19C . 28D. 60【解析】 在等差数列｛a“ 中，a 3= 4, S ?= 3a 2= 9,「. a 2 = 3, S 5— a 5= a i + a 2 + a 3 + a 4=2(a 2+ a 3)= 2x 7= 14.【答案】 A｛a n ｝的前n 项和记为S,若a 2 + a 4+ a 15的值为确定的常数，则下列各数中也是常数的是(A. S ? D. S 5a 1 + a 133a + a4+ a15=a1+ d+ a1+3d + 勿 +14d=3(a1+6d ) =3a7= 3x =乜于是可知S 13是常数. 【答案】 C3.若数列｛a n ｝满足：a 1= 19, a n +1 = a n — 3( n € N *)，则数列｛a n ｝的前n 项和数值最大时, n 的值为()A. 6 C. 8D. 9【解析】 因为a n +1 — a=— 3，所以数列｛a n ｝是以19为首项，—3为公差的等差数列,a k 》0,所以a n = 19+ (n — 1) X ( — 3) = 22— 3n .设前k 项和最大，则有*a k +1 < 0,因为k € N ,所以k = 7. 故满足条件的n 的值为7. 【答案】 B2.等差数列B. S 8【解析】 B. 7 19 22所以"3三k w y.4.设等差数列｛a n｝的前n项和为S n,若S= 9, S = 36，贝U a?+ a s+ a9等于D. 27【解析】 •/ a 7+ a 8+ a 9= $— S,而由等差数列的性质可知，— S 3, $— 3构成等差数列，所以 S 3+ (S 9— S 6) = 2( S 6— S 3)，即 S 9— S 6 = 2S s — 3$= 2X 36 — 3X 9= 45.【答案】 B5•含2n + 1项的等差数列，其奇数项的和与偶数项的和之比为 （ ）2n + 1 n + 1 A.B.- nn【答案】 B 二、填空题6.已知等差数列｛a n ｝ 中, S n 为其前n 项和，已知S 3 = 9®+ a 5 + & = 7,则S ）— S = ____________【解析】 T S 3, S 6— S 3, S 9— S 6成等差数列，而 S B = 9, S 6 — S 3 = a 4 + a 5 + a 6 = 7,— S 9 —S 6= 5.【答案】 57.已知数列｛a n ｝的前n 项和S n = n 2— 9n ,第k 项满足5<a k <8，则k =--a n = 2n — 10.由 5<2k — 10<8, 得 7.5< k <9,「. k = 8.【答案】 8值.【解析】 T S= S e ,.°. S B —S B = a 4 + a 5 + a 6 + a 7 + a =5a 6= 0,.°. a 6= 0, T a 1>0,••• a 1>a 2>a 3>a 4>a 5>a 6= 0, a 7<0. 故当n = 5或6时，S n 最大.【答案】 5或6 三、解答题C. 36 C. n —1nD.n + 1【解析】- n+1-S 奇=a 1 + a 3+…+ a 2n +1 = ----------a 1 + a 2n +12,S 偶=a 2+ a 4 +…+ a 2n =n a 2+ a 2n2.又 T a 1 + a 2n + 1 = cb + a 2n ,n +1n.故选B. 【解析】a n = S,n=l&首项为正数的等差数列的前n 项和为S n ，且S B = S 8,当n =_________ 时，S n 取至y 最大9.已知等差数列｛a n｝中，a1= 9, a4+ a? = 0.⑴求数列｛a n ｝的通项公式；⑵ 当n 为何值时，数列｛a n ｝的前n 项和取得最大值?【解】 (1)由 a i = 9, a 4 + a 7= 0, 得 a i + 3d + a i + 6d = 0，解得 d = — 2,•'•a n = a i + (n — 1) • d = 11 — 2n .⑵法一：a 1 = 9, d = — 2,n n — 12S= 9n +…(—2) = — n +10n2=—(n — 5) + 25,•••当n = 5时，S 取得最大值.法二：由(1)知a 1 = 9, d = — 2<0,「. ｛a n ｝是递减数列.11令a n 》0,贝U 11 — 2n 》0,解得nWq .T n € N *,• n W5 时，a n >0, n 》6 时，&<0.•••当n = 5时，S 取得最大值.10.若等差数列｛a n ｝的首项 a 1= 13, d =— 4,记 T n = | a| + | a 2| +•••+ | a n |，求 T n .【解】a 1= 13, d = — 4, • a n = 17 — 4n . 当 n W4 时，T n = | a 11 + | a 2| +…+ | a n | = a 1 + a 2 +…+ a n=15n — 2n 2；当 n 》5 时，T n = | a 11 + | a 2| +…+ | a n |=(a 1 + a 2 + a 3 + a 4)— (& + a e +…+ a n ) =S — (Si — S) = 2S — S 13+ 1 X42=2X— (15 n — 2n )2=2n — 15n + 56.15n — 2n 2, nW. 1 ,I 22n — 15n + 56, n ；二 J［能力提升］n =n a 1+ -n — 12X ( —4)1.已知等差数列 {a n }的前n 项和为 S n , S 4= 40, S = 210, Si —4= 130,贝V n =(A. 12 C. 16d = 13 n + -B. 14D. 18【解析】S n—S n-4= a n+ a n - 1 + a n-2+ a n- 3= 80 ,【解】(1)nS n = na 1 + _n d = 12n +_n —122x ( — 2) =— n + 13n .图象如图.S= a i + 82 + a 3 + a 4 = 40, 所以 4(a i + a n ) = 120, a i + a n = 30,【答案】 B2.设等差数列｛a n ｝的前n 项和为S n ,S v 1 = - 2, S m = 0, S +1 = 3,贝ym 等于( )A. 3B. 4D. 6【解析】因 a m = S — Sn-1 = 2, a n + 1 = S n + 1 — S m = 3,所以公差 d = a n + 1 — a m = 1 ,【答案】 C3•设项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44,偶数项之和为33,则这个数列的中间项是 _________ ，项数是 __________ .【解析】 设等差数列｛a n ｝的项数为2n + 1,S 奇=a 1 + a 3+…+ a 2n +1n +1a 1 + a 2n +1==(n + 1) a n+1,n a 2 + a 2nS 偶=a 2 + a 4 + a 6 +…+ a 2n =2=na n +1,& n +1 44所以M= =，解得n = 3，所以项数2n + 1 = 7,Ss n 33S 奇一S s = a n+1,即卩a 4= 44 — 33 = 11为所求中间项.【答案】 11 74.已知数列｛a n ｝的前n 项和为S,数列｛a n ｝为等差数列, (1) 求S n ,并画出｛S n ｝(1 w n W 13)的图象； (2) 分别求｛S ｝单调递增、单调递减的 n 的取值范围，并求｛S n ｝的最大(或最小)的项;(3)｛ S ｝有多少项大于零?由 S n =a i + a n ~2=210,得 n = 14.C. 5由S m =a 1 + a m~2=0,得 a 1 = — 2, 由 a m =— 2+ ( m-1) • 1= 2,解得 m= 5,故选 C.a 1 = 12, d = — 2.(2)S=—n2+ 13n=—n —13 2+ 罟,n€ N*,•••当n= 6或7时，S最大；当1< n w6时，｛S｝单调递增；当n》7时，｛S｝单调递减. ｛S｝有最大值，最大项是S, S7, S6= S7= 42.⑶由图象得｛$｝中有12项大于零.。

必修五第二章数列综合测试一、：1.将自然数的前 5 个数：（1）排成 1， 2， 3，4， 5；（2）排成 5， 4， 3，2， 1；（3）排成 2， 1， 5， 3， 4；（4）排成 4， 1， 5，3， 2.那么能够叫做数列的只有()(A) （ 1）(B) （ 1）和（ 2）(C) （ 1），（ 2），（ 3）(D) （ 1），（2），（ 3），（ 4）2. 若数列 {a n} 的通公式是a n=2(n ＋ 1)＋ 3，此数列()(A) 是公差 2 的等差数列(B) 是公差 3 的等差数列(C) 是公差 5 的等差数列(D) 不是等差数列3.等差数列 {a n} 中，若 a2+a4+a9+a11=32 ， a6+a7=()（ A ） 9（B）12（C）15（D）164.已知数列足：>0，，，数列{} 是：（）(A) 增数列( B) 减数列(C)数列(D) 不确立5.等差数列 0，，－7，⋯的第n+1是：（）(A)(B)(C)(D)6.在数列中，，的：（）（ A ） 49（B）50（C）51(D)527．已知数列10,⋯10⋯,使数列前n 的乘不超10最小正整数n 是(A)9(B)10(C)11(D)12()8. 在首81，公差－ 7 的等差数列中，最靠近零的是第()(A)11 (B)12 (C)13 (D)149. 已知等差数列{a n} 的公差d≠ 0,若a5、 a9、 a15成等比数列,那么公比( )(A) (B) (C) (D)10.有 200 根同样的管，把它堆放成正三角形，要使节余的管尽可能少，那么节余管的根数( )(A)9 (B)10 (C)19 (D)29二、填空：11．等差数列110， 116， 122， 128，⋯⋯，在400 与600 之共有________.12. 等比数列 { a n} 的前 n 和 S n，S3 +S6 =2S9，数列的公比______________13．已知数列1,，其前n 的和等于14．数列的第一1，而且n∈ N,n ≥ 2 都有：前n 之n2，此数列的通公式_______三．解答：15．三个互不相等的数成等差数列，假如适合摆列三个数，也可成等比数列，已知三个数的和等于 6，求此三个数。

1188.222第二章数列章末检测卷（二）（时间：120分钟满分：150分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分•在每小题给出的四个选项中，只有 项是符合题目要求的）1 • ｛a n ｝是首项为1,公差为3的等差数列，如果 a n =2 014，则序号n 等于（ ）A. 667 B • 668 C • 669 D • 672 答案 D解析 由 2 014 = 1 + 3（ n — 1），解得 n = 672.2.等差数列｛a n ｝中，a 1 + a 5 = 10, a 4= 7,则数列｛a n ｝的公差为（ ）A . 1B • 2C • 3D • 4 答案 B解析 T a+ a 5= 2a 3= 10,「. & = 5,d = a 4 — a 3 = 7 — 5= 2.3•公比为2的等比数列｛a n ｝的各项都是正数，且 a 3 • an = 16,则a 5等于（ ）A • 1B • 2C • 4D • 8 答案 A2a 7 4a 3 • an = a 7 = 16,— a 7= 4,「. a 5= 2= 2= 1.q 24•等差数列｛a n ｝的公差为d ,前n 项和为S ，当首项a 1和d 变化时，a 2+ a 8 + an 是一个定值, 则下列各数也为定值的是（）A • S rB • S 8C • S3D • S5 答案 C解析 T a 2 + a 8 + an = (a 1+ d ) + (a 1+ 7d ) + (ai + 10d ) = 3a 1 + 18d = 3(a 1 + 6d )为常数,―a 1 + 6d 为常数.5 •在等差数列｛a n ｝中，已知a 4+ a 8= 16,则该数列前11项的和$1等于（ A • 58 B • 88 C • 143 D • 176 答案 B解析S 13= 13a +13X 122d = 13( a 1 + 6d )也为常数•a1+ an a4 + a8 11X 16 解析6.等比数列｛a n ｝中，a 2 = 9, a 5= 243，则｛a n ｝的前4项和为( )A . 81B . 120C . 168D . 192 答案 B解析 由a 5= a 2q 3得q = 3.7 .数列｛( - 1)n - n ｝的前2 015项的和S 2 015为( )A . - 2 013B . - 1 008C . 2 013D . 1 008 答案 B解析 Sa 015 = - 1+ 2-3 + 4- 5+-+ 2 014 - 2 015 =(-1) + (2 - 3) + (4 - 5) +…+ (2 014 - 2 015)=(-1) + ( - 1) X 1 007 = - 1 008.8.若｛a n ｝是等比数列，其公比是 q,且一a 5, a 6成等差数列，则q 等于( )A . 1 或 2B . 1 或—2 C.— 1 或 2 D.— 1 或—2答案 C解析 依题意有2a 4= a 6— a 5, 即 2a 4= ap - ap ,而 a 4丰0,2•- q - q -2= 0, (q -2)( q + 1) = 0. q =— 1 或 q = 2.9 .一个首项为23,公差为整数的等差数列，从第 7项开始为负数，则它的公差是 ( )A .- 2 C.— 4 答案 C解析 由题意，知a 6>0, a ?<0.a 1 + 5d = 23+ 5d 》0,-<a 1 + 6d = 23+ 6d <0,d € Z ,. d =— 4.10.设｛a n ｝是等差数列，S 是其前n 项和，且$<&, S = S>S ，则下列结论错误的是( )A. d <0B . -3 D .-6 1-q 41 — q；! I-341 - 3=120.23 < 523 d <-云B. a7 = 0C. S9>S(5解得 q = 2,故 &= aq" 1 = 2n 112 .某人为了观看2018年世界杯足球赛，从 2014年起，每年的5月1日到银行存入 定期储蓄，若年利率为 p 且保持不变，并约定每年到期，存款的本息均自动转为新的一年的 定期，到2018年的5月1日将所有存款及利息全部取出，则可取出钱(元)的总数为(45A . a (1 + p )B . a (1 + p )a 4a5C. p [(1 + p ) - (1 + p )]D.-[(1 + p ) - (1 + p )]答案 D解析 设自2015年起每年到5月1日存款本息合计为 a 1, a 2, a s , a 4.贝U a 1 = a + a • p = a (1 + p ),2a 2= a (1 + p )(1 + p ) + a (1 + p ) = a (1 + p ) + a (1 + p ),432D. S 6与S 7均为S n 的最大值答案 C解析 由 S 5<S 6, 得 a 6 = S 6 — S 5>0. 又 S 6= S 7? a 7= 0,所以 d <0. 由 S 7>S 8? a 8<0,因此，S 9— S 5= a 6+ a 7 + a 8 + a 9 =2( a 7+ a 8)<0 ， 即 S e <S 5.111.在等比数列｛a n ｝中，a i = 1,9 S 3= S 6,则数列｛#的前5项和为()A. 185和 58 B.31 和 5 31 C •亦15 D.—答案 C解析 若 q = 1,贝U 9S 3= 27a 1, S 6= 6a 1,■/ av0,二9S 6，矛盾，故 q z 1.a 1 由 9S e = S 6得 9 X — 1-q 3 *1 - qa 1 1-q 61-q•••｛丄｝的前5项和S 5 =31 16a 元的)a4 = a3(i + p) + a(l + p) = a[(l + p) + (1 + p) + (1 + p) + (1 + p)] =1+ p H—1+ p 4]aa 1—1+Pa 5=-[(1 + p) —(1 + p)] •p二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分•把答案填在题中横线上)13. 若｛a n｝是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48,则它的首项是 ____________ •答案2解析设前三项分别为a—d, a, a+ d,则a —d+ a+ a+ d= 12且a(a—d)( a+ d) = 48,解得a= 4且d=± 2,又｛a n｝递增，••• d>0，即d= 2,「. a1 = 2.14. 已知等比数列｛a n｝是递增数列，S是｛a n｝的前n项和.若a1, a3是方程x2—5x+ 4 = 0的两个根，则S6= ________________________ .答案63解析■/ a1, a3是方程x2—5x + 4= 0的两根，且q> 1,学 [一26 a1= 1, a3 = 4，则公比q = 2,因此S ==63.1—2~15. _______________________________________________________________________ 如果数列｛刘的前n项和S n= 2a n—1, n€ N*，则此数列的通项公式a n = ______________________________________答案2n—1解析当n= 1时，S = 2a1—1,•- a1 = 2a1 —1 ,• ai = 1.当n时，a n= S n —S n- 1 = (2 a n —1) —(2 a n- 1 —1),•a n= 2a n- 1 ,•｛a n｝是等比数列，n —1 *•a n= 2 , n》2, n€ N ,经检验n= 1也符合.16. 一个直角三角形的三边成等比数列，则较小锐角的正弦值是答案三二解析设三边为a, aq,aq2(q>1), 则(aq2)2= (aq)2+ a2,."^-5^• 较小锐角记为B ,贝U sin B =9= 5 1.aq 2三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17. （10分）已知等差数列｛a n ｝中，a 3a 7=— 16, a 4+ a 6= 0,求｛a n ｝的前n 项和S. 解设｛a n ｝的公差为d ,则a i + 2d a i + 6d = — 16,a 1 + 3d + a 1 + 5d = 0, a ? + 8da 1+ 12d 2=— 16, 即a 1 = — 4d .因此 S = — 8n + n (n — 1) = n (n — 9),或 S n = 8n — n (n — 1) = — n (n — 9).18. (12分)已知等差数列｛a n ｝的前n 项和为S, n € N , a 3= 5, S o = 100. （1）求数列｛a n ｝的通项公式；⑵设b n = 2a n + 2n ,求数列｛b n ｝的前n 项和T n . 解（1）设等差数列｛a n ｝的公差为d,Q + 2d = 5, 广*a 1= 1, 由题意，得$ 10X9 解得*|10a +—-— d = 100,d = 2,2 -所以◎= 2n — 1.1 n(2)因为 b n = 2a n + 2n = X4 + 2n , 所以 T n = b+ H+…+ b n=2(4 + 42+…+ 4n ) + 2(1 + 2+-+ n )n + 14— 4 2. 2、，，n . 2 . 2+ n + n = X4 + n + n —.63319. (12 分)已知数列｛log 2(a n — 1)｝( n € N)为等差数列，且 a= 3, a 3= 9. (1)求数列｛a n ｝的通项公式；1 1 1⑵证明： + +…+ <1.a 2— a 1 a 3 — a 2 a n +1— a n (1)解 设等差数列｛log 2( a n — 1)｝的公差为d . 由 a 1 = 3, a 3= 9,得 log 2(9 — 1) = log 2(3 — 1) + 2d ,则 d = 1. 所以 log 2(a n — 1) = 1 + ( n — 1) X 1 = n ,a 1 = — 8,解得1= 2a 1= 8, 或 1一 2.即a n= 2 +1.1 1 1(2)证明因为 ---------- =旷n =刁,a n +1 — a n 2 — 2 21 1 1 1 =尹尹尹…+21⑵ 求数列｛a n ｝的前n 项和S. (1)证明 由已知a n +1 = 2a n + 2 ,a n +1 2a n + 2a n得 b n + 1=尹=2=+ 1= b n + 1.b n +1 — b n = 1，又 b 1 = a 1 = 1.「•｛b n ｝是首项为1，公差为1的等差数列. (2)解 由(1)知，b n = n ,許=b n = n ..a n = n ・2.12n — 1•. S n = 1 + 2・2 + 3*2 +…+ n ・2,两边同时乘以2得2S = 1 ・21 + 2・2 2+…+ (n — 1)1 + n ・2役 两式相减得一 S n = 1 + 2 + 2 +…+ 2 1 — n ・2 “ =2n — 1 — n ・2n = (1 — n )2n — 1,.S n = (n — 1)・2n +1.22. (12 分)已知等比数列｛a n ｝满足：| a 2— a 3| = 10, a©a 3= 125. (1)求数列｛a n ｝的通项公式； (2)是否存在正整数 m 使得丄+1+…+丄＞ 1?若存在，求出a 1 a 2 a m明理由.解(1)设等比数列｛a n ｝的公比为q,『33a 1q = 125,则由已知可得*2U ag - a 1q | = 10,5a 1 = -解得S 32= 35 n —1n —1 一 *所以 1 a 2 - a 1 1 a 3—a 2 1…+ a n +1 — a nm 的最小值；若不存在，请说故a n= 3，3 或a n= —5 • ( —1) , n€ N.3(2)设S m= 1+ 1+ …+ 丄,a1 a2 a m若a n= |・3n-1,1 3 1则数列｛尹是首项为5，公比为3的等比数列.3 15[1—3从而S=11 —39 1 m 910 • [1_(3门<10<1. n —1右a n= — 5 • ( —1),nr 1 1 n—1则a n=—5(—1)，1 1故数列｛£｝是首项为-5,公比为—1的等比数列, 「 1 *一匚，m= 2k — 1 k€ N , 从而S= f 5[o, m= 2k k € N ,故S<1.综上，对任何正整数m总有S m<1.1 1 1 、故不存在正整数m 使得一+—+…+ —成立.a1 a2 a m3 2 a3= a2(1 + p) + a(1 + p) = a(1 + p) + a(1 + p) +a(1 + p),1 —产1.20. (12分)某商店采用分期付款的方式促销一款价格为每台 6 000元的电脑.商店规定，购1买时先支付货款的3,剩余部分在三年内按每月底等额还款的方式支付欠款，且结算欠款的利息.(1) 已知欠款的月利率为0.5%，到第一个月底，货主在第一次还款之前，他欠商店多少元？⑵假设货主每月还商店a元，写出在第i (i = 1,2，…，36)个月末还款后，货主对商店欠款数的表达式.2解(1)因为购买电脑时，货主欠商店3的货款，2即 6 000 X 3 = 4 000(元),又月利率为0.5%,至U第一个月底的欠款数应为4 000(1 + 0.5%) = 4 020(元).(2) 设第i个月底还款后的欠款数为y i,则有屮=4 000(1 + 0.5%) —a,y2= y1(1 + 0.5%) —a2=4 000(1 + 0.5 %) —a(1 + 0.5%) —a,y3= y2(1 + 0.5%) —a3 2=4 000(1 + 0.5%) —a(1 + 0.5%) —a(1 + 0.5%) —a,y i = y i-1(1 + 0.5%) —a= 4 000(1 + 0.5%)* i—a(1 +0.5%)i —1—a(1 + 0.5%)i—2 * 4—…—a, 由等比数列的求和公式，得i UOi i—1 .y i = 4 000(1 + 0.5%) —a (i =1,2，…，36).0.5%21. (12 分)在数列｛a n｝中，a1 = 1, a n+1 = 2a n+ 2, n€N.(1)设b n=許，证明：数列｛b n｝是等差数列；。

单元质量评估(二)第二章 数列 (120分钟 150分)一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 2011是等差数列：1，4，7，10,…的第几项( ) （A ）669 （B ）670 （C ）671 （D ）6722.数列{a n }满足a n =4a n-1+3,a 1=0，则此数列的第5项是（ ） （A ）15 （B ）255 （C ）20 （D ）83.等比数列{a n }中，如果a 6=6,a 9=9,那么a 3为（ ） （A ）4 （B ）23 （C ）916（D ）2 4.在等差数列{a n }中，a 1+a 3+a 5=105,a 2+a 4+a 6=99,则a 20=( ) （A ）-1 （B ）1 （C ）3 （D ）75.在等差数列{a n }中，已知a 1=2,a 2+a 3=13,则a 4+a 5+a 6=( ) （A ）40 （B ）42 （C ）43 （D ）456.记等差数列的前n 项和为S n ，若S 2=4，S 4=20，则该数列的公差d=（ ）(A)2 (B)3 (C)6 (D)77.等差数列{a n }的公差不为零，首项a 1=1，a 2是a 1和a 5的等比中项，则数列的前10项之和是（ ）（A ）90 （B ）100 （C ）145 （D ）190 8.在数列{a n }中，a 1=2,2a n+1-2a n =1,则a 101的值为（ ） （A ）49 （B ）50 （C ）51 （D ）529.计算机是将信息转化成二进制数进行处理的，二进制即“逢二进一”，如（1101）2表示二进制的数，将它转化成十进制的形式是1×23+1×22+0×21+1×20=13，那么将二进制数16111 位转换成十进制数的形式是（ ）（A ）217-2 （B ）216-1 （C ）216-2 （D ）215-110.在等差数列{a n }中，若a 1+a 2+a 3=32,a 11+a 12+a 13=118,则a 4+a 10=（ ） （A ）45 （B ）50 （C ）75 （D ）6011.（2011·江西高考）已知数列{a n }的前n 项和S n 满足：S n +S m =S n+m ,且a 1=1,那么a 10=（ ）（A ）1 （B ）9 （C ）10 （D ）5512.等比数列{a n }满足a n >0,n=1,2,…，且a 5·a 2n-5=22n (n ≥3),则当n ≥1时，log 2a 1+log 2a 3+…+log 2a 2n-1=（ ） （A ）n(2n-1) （B ）(n+1)2 （C ）n 2 （D ）(n-1)2二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填在题中的横线上）13.等差数列{a n }前m 项的和为30，前2m 项的和为100，则它的前3m项的和 为______.14.（2011·广东高考）已知{a n }是递增等比数列，a 2=2,a 4-a 3=4,则此数列的公比q=______. 15.两个等差数列{a n }, {b n },12n 12n a a a 7n 2b b b n 3++⋯++=++⋯++,则55a b =______.16.设数列{a n }中,a 1=2,a n+1=a n +n+1，则通项a n =_____.三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.（10分）已知数列{a n }是等差数列，a 2=3,a 5=6,求数列{a n }的通项公式与前n 项的和M n .18.（12分）等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 1,S 3,S 2成等差数列. （1）求{a n }的公比q ； （2）若a 1-a 3=3,求S n .19.（12分）数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{b n }中，b 1=a 1,b n =a n -a n-1（n ≥2），若a n +S n =n ，c n =a n -1. （1）求证：数列{c n }是等比数列； （2）求数列{b n }的通项公式.20.（12分）如果有穷数列a 1,a 2,a 3,…,a m （m 为正整数）满足条件a 1=a m , a 2=a m-1,…,a m =a 1,即a i =a m-i+1(i=1,2,…，m),我们称其为“对称数列”.例如，数列1，2，5，2，1与数列8，4，2，2，4，8都是“对称数列”.（1）设{b n }是7项的“对称数列”，其中b 1,b 2,b 3,b 4是等差数列，且b 1=2,b 4=11.依次写出{b n }的每一项；（2）设{c n }是49项的“对称数列”，其中c 25,c 26,…,c 49是首项为1，公比为2的等比数列，求{c n }各项的和S.[] 21.(12分)已知数列{a n }的前n 项和为()nn n 1S ,S 312=-(*n N ∈),等差数列{b n }中，b n >0(*n N ∈),且b 1+b 2+b 3=15,又a 1+b 1,a 2+b 2,a 3+b 3成等比数列.（1）求数列{a n },{b n }的通项公式； （2）求数列{a n +b n }的前n 项和T n .22.（12分）某商店为了促进商品销售,特定优惠方式,即购买某种家用电器有两种付款方式可供顾客选择,家用电器价格为2 150元.第一种付款方式:购买当天先付150元,以后每月这一天都交付200元,并加付欠款利息,每月利息按复利计算,月利率为1%；第二种付款方式：购买当天先付150元，以后每个月付款一次，10个月付清，每月付款金额相同，每月利息按复利计算，月利率1%.试比较两种付款方法,计算每月所付金额及购买这件家用电器总共所付金额.答案解析1.【解析】选C.∵2011=1+（n-1）×(4-1)，∴n=671.2.【解析】选B.由a n =4a n-1+3,a 1=0，依次求得a 2=3,a 3=15,a 4=63,a 5=255.3.【解析】选A.等比数列{a n }中，a 3,a 6,a 9也成等比数列，∴a 62=a 3a 9,∴a 3=4.4.【解析】选B.a 1+a 3+a 5=105,∴a 3=35,同理a 4=33, ∴d=-2,a 1=39,∴a 20=a 1+19d=1.5.【解析】选B.设公差为d,由a 1=2,a 2+a 3=13,得d=3,则a 4+a 5+a 6= (a 1+3d)+(a 2+3d)+(a 3+3d) =(a 1+a 2+a 3)+9d=15+27=42.6.【解析】选B.S 4-S 2=a 3+a 4=20-4=16，∴a 3+a 4-S 2=（a 3-a 1）+(a 4-a 2)=4d=16-4=12，∴d=3.7.【解析】选B.设公差为d,∴(1+d)2=1×(1+4d), ∵d ≠0,∴d=2,从而S 10=100.[] 8.【解题提示】利用等差数列的定义. 【解析】选D.∵2a n+1-2a n =1,∴n 1n 1a a 2+-=, ∴数列{a n }是首项a 1=2,公差1d 2=的等差数列， ∴()1011a 21011522=+-=.9.【解析】选B.形式为：1×215+1×214+1×213+…+1×21+1×20=216-1.10.【解析】选B.由已知a 1+a 2+a 3+a 11+a 12+a 13=150,∴3(a 1+a 13)=150,∴a 1+a 13=50,∴a 4+a 10=a 1+a 13=50.11.【解题提示】结合S n +S m =S n+m ,对m,n 赋值，令n=9,m=1,即得S 9+S 1=S 10,即得a 10=1.【解析】选A.∵S n +S m =S n+m ,∴令n=9,m=1,即得S 9+S 1=S 10,即S 1=S 10-S 9=a 10, 又∵S 1=a 1,∴a 10=1.12.【解题提示】由已知可先求得通项公式，再由对数的性质进行运算.【解析】选C.a 5·a 2n-5=22n (n ≥3), ∴a n 2=22n ,a n >0,∴a n =2n ,log 2a 1+log 2a 3+…+log 2a 2n-1 =1+3+…+(2n-1)=n 2.13.【解题提示】利用等差数列前n 项和的性质【解析】由题意可知S m ,S 2m -S m ,S 3m -S 2m 成等差数列，2（S 2m -S m ）=S m +S 3m -S 2m∴S 3m =3(S 2m -S m )=3×(100-30)=210. 答案：21014.【解题提示】由等比数列的通项公式，可得关于公比q 的方程，从而求出q.【解析】由a 4-a 3=4得a 2q 2-a 2q=4,即2q 2-2q=4,解得q=2或q=-1（由数列是递增数列，舍去）. 答案：215.【解题提示】利用等差数列的前n 项和的有关性质进行运算. 【解析】设两个等差数列{a n },{b n }的前n 项和分别为A n ,B n .则()()195919599a a a A 7926529b b b B 93122+⨯+====++.答案：651216.【解析】∵a 1=2,a n+1=a n +(n+1), ∴a n =a n-1+n,a n-1=a n-2+(n-1)，a n-2=a n-3+(n-2),…,a 3=a 2+3，a 2=a 1+2,a 1=2=1+1将以上各式相加得：()()2n n n 1n na [n n 121]111222+=+-+⋯+++=+=++. 答案：2n n122++17.【解析】设{a n }的公差为d, ∵a 2=3,a 5=6,∴11a d 3a 4d 6+=⎧⎨+=⎩,∴a 1=2,d=1, ∴a n =2+(n-1)=n+1.()2n 1n n 1n 3nM na d .22-+=+=18.【解析】（1）依题意有a 1+(a 1+a 1q)=2(a 1+a 1q+a 1q 2)由于a 1≠0，故2q 2+q=0，又q ≠0,从而1q 2=-.（2）由已知得a 1-a 1(12-)2=3,故a 1=4从而n n n 141()812S 113212--==----［］［（）］（）. 19.【解析】（1）∵a 1=S 1,a n +S n =n,① ∴a 1+S 1=1,得11a 2=.又a n+1+S n+1=n+1 ②①②两式相减得2(a n+1-1)=a n -1， 即n 1n a 11a 12+-=-,也即n 1n c 1c 2+=, 故数列{c n }是等比数列. （2）∵111c a 12=-=-, ∴n n n n n11c ,a c 1122=-=+=-, n 1n 11a 12--=-.故当n ≥2时，n n n 1n 1n n111b a a 222--=-=-=. 又111b a 2==,即n n 1b 2=. 20.【解题提示】利用等比数列的前n 项和公式进行计算.【解析】（1）设数列{b n }的公差为d ，则b 4=b 1+3d=2+3d=11,解得d=3，∴数列{b n }为2，5，8，11，8，5，2. （2）S=c 1+c 2+…+c 49 =2(c 25+c 26+…+c 49)-c 25 =2(1+2+22+…+224)-1 =2(225-1)-1=226-3.21.【解析】（1）a 1=1,a n =S n -S n-1=3n-1,n>1，∴a n =3n-1(*n N ∈)，∴数列{a n }是以1为首项，3为公比的等比数列， ∴a 1=1,a 2=3,a 3=9,在等差数列{b n }中， ∵b 1+b 2+b 3=15,∴b 2=5.又因a 1+b 1,a 2+b 2,a 3+b 3成等比数列，设等差数列{b n }的公差为d,∴（1+5-d ）(9+5+d)=64，解得d=-10或d=2, ∵b n >0(*n N ∈),∴舍去d=-10,取d=2,∴b 1=3. ∴b n =2n+1(*n N ∈). （2）由（1）知∴T n =a 1+b 1+a 2+b 2+…+a n +b n =(a 1+a 2+…+a n )+(b 1+b 2+…+b n )()n n 32n 113132++-=+- n 231n 2n 22=++-. 22.【解题提示】第一种付款方式是等差数列模型，第二种付款方式是等比数列模型，分别计算出实际共付金额，再比较得出结论. 【解析】第一种方式:购买时先付150元,欠2 000元,按要求知10次付清,则第1次付款金额为a 1=200+2 000×0.01=220(元); 第2次付款金额为a 2=200+(2 000-200)×0.01=218(元) ……第n 次付款金额为a n =200+［2 000-(n-1)×200］×0.01=220-(n-1)×2(元).不难看出每次所付款金额顺次构成以220为首项,-2为公差的等差数列,所以10次付款总金额为()10109S 102202 2 1102⨯=⨯+⨯-= (元)，实际共付2 260元.第二种方式:购买时先付150元,欠2 000元,则10个月后增值为2000×(1+0.01)10=2 000×(1.01)10(元).设每月付款x 元,则各月所付的款额连同最后一次付款时生成的利息之和分别是(1.01)9x,(1.01)8x,…,x,其构成等比数列,和为()101011.01S x 11.01-=-·. 应有()1010S 2 0001.01=⨯,所以x ≈211.2，每月应付211.2元,10次付款总金额为2 112元,实际共付2 262元,所以第一种方式更省钱. 【方法技巧】分清类型解数列应用题解数列应用题要明确问题是属于哪一种类型，即明确是等差数列问题还是等比数列问题，是求a n 还是求S n ，特别要弄清项数为多少，试题中常见的数列类型有：（1）构造等差、等比数列模型，然后再应用数列的通项公式及求和公式求解；（2）先求出连续的几项，再归纳出a n ，然后用数列知识求解.。

第二章综合素质检测(时间：120分钟 满分150分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．数列1，23，35，47，59，…，的一个通项公式a n 是导学号 27542565( B )A ．a n ＝n2n ＋1B ．a n ＝n2n －1C ．a n ＝n2n －3D ．a n ＝n2n ＋3[解析] 解法一：当n ＝1时，a 1＝1只有选项B 满足，故选B ．解法二：数1，23，35，47，59，…，的第n 项a n 的分子是n ，分母是2n －1，故选B ．2．若等比数列{a n }的公比q >0，且q ≠1，又a 1<0，那么导学号 27542566( B ) A ．a 2＋a 6>a 3＋a 5 B ．a 2＋a 6<a 3＋a 5 C ．a 2＋a 6＝a 3＋a 5D ．a 2＋a 6与a 3＋a 5的大小不能确定[解析] (a 2＋a 6)－(a 3＋a 5)＝(a 2－a 3)－(a 5－a 6) ＝a 2(1－q )－a 5(1－q )＝(1－q )(a 2－a 5) ＝a 1q (1－q )2(1＋q ＋q 2)． ∵q >0，且q ≠1，又a 1<0， ∴(a 2＋a 6)－(a 3＋a 5)<0. 即a 2＋a 6<a 3＋a 5.3．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋n ，那么它的通项公式a n ＝导学号 27542567( B )A ．nB ．2nC ．2n ＋1D ．n ＋1[解析] 当n ＝1时，a 1＝S 1＝2，排除A ，C ；当n ＝2时，a 2＝S 2－S 1＝6－2＝4，排除D ，故选B ．4．若等比数列{a n }满足a n a n ＋1＝16n ，则公比q ＝导学号 27542568( B ) A ．2 B ．4 C ．±4D ．16[解析] 由a n a n ＋1＝16n ，知a 1a 2＝16，a 2a 3＝162，后式除以前式，得q 2＝16，∴q ＝±4.∵a 1a 2＝a 21q ＝16>0，∴q >0，∴q ＝4.故选B ．5．数列{a n }满足a 1＝19，a n ＋1＝a n －3(n ∈N ＋)，则数列{a n }的前n 项和S n 最大时，n 的值为导学号 27542569( B )A ．6B ．7C ．8D ．9[解析] ∵a n ＋1＝a n －3，∴a n ＋1－a n ＝－3(n ∈N ＋)，故数列{a n }是首项为19，公差为－3的等差数列．∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝19－3(n －1)＝22－3n . 由a n ＝22－3n >0，得n <223.∴a 7>0，a 8<0，故当n ＝7时，S n 取最大值．6．一个卷筒纸，其内圆直径为4 cm ，外圆直径为12 cm ，一共卷60层，若把各层都视为一个同心圆，π＝3.14，则这个卷筒纸的长度为(精确到个位)导学号 27542570( B )A ．14 mB ．15 mC ．16 mD ．17 m[解析] 纸的厚度相同，且各层同心圆直径成等差数列，则l ＝πd 1＋πd 2＋…＋πd 60＝60π×4＋122＝480×3.14＝1507.2(cm)≈15 m ，故选B ．7．数列{a n }的首项为3，{b n }为等差数列且b n ＝a n ＋1－a n (n ∈N ＋)．若b 3＝－2，b 10＝12，则a 8＝导学号 27542571( B )A ．0B ．3C ．8D ．11[解析] 由b 3＝－2，b 10＝12，∴d ＝2， b 1＝－6，∴b n ＝2n －8，∵b n ＝a n ＋1－a n .∴a 8＝(a 8－a 7)＋(a 7－a 6)＋(a 6－a 5)＋(a 5－a 4)＋(a 4－a 3)＋(a 3－a 2)＋(a 2－a 1)＋a 1 ＝b 7＋b 6＋b 5＋b 4＋b 3＋b 2＋b 1＋a 1 ＝7(－6＋2×7－8)2＋3＝3.8．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＝3，且a 2 016＋a 2 017＝0，则S 101等于导学号 27542572( A )A ．3B ．303C ．－3D ．－303[解析] 设公比为q ，∵a 2 016＋a 2 017＝0，∴a 2 016＋a 2 016q ＝0，∴1＋q ＝0，q ＝－1.∵a 3＝3，∴等比数列{a n }的奇数项为3，偶数项为－3， ∴S 101＝S 100＋a 101＝3.9．正项数列{a n }满足a 2n ＋1＝a 2n ＋4(n ∈N *)，且a 1＝1，则a 7的值为导学号 27542573( B )A ．4B ．5C ．6D ．7[解析] ∵a 2n ＋1＝a 2n ＋4(n ∈N *)， ∴a 2n ＋1－a 2n ＝4，又a 1＝1，∴a 21＝1.∴数列{a 2n }是首项为1，公差为4的等差数列， ∴a 2n ＝1＋4(n －1)＝4n －3.∴a 27＝4×7－3＝25，又a 7>0，∴a 7＝5.10．若{a n }是等差数列，首项a 1>0，a 1 007＋a 1 008>0，a 1 007·a 1 008<0，则使前n 项和S n >0成立的最大自然数n 是导学号 27542574( C )A ．2 012B ．2 013C ．2 014D ．2 015[解析] ∵a 1 007＋a 1 008>0，∴a 1＋a 2 014>0， ∴S 2 014＝2 014(a 1＋a 2 014)2>0，∵a 1 007·a 1 008<0，a 1>0，∴a 1 007>0，a 1 008<0， ∴2a 1 008＝a 1＋a 2 015<0，∴S 2 015＝2 015(a 1＋a 2 015)2<0，故选C ．11．设f (n )＝2＋24＋27＋210＋…＋23n ＋10(n ∈N *)，则f (n )等于导学号 27542575( D ) A ．27(8n ＋1)B ．27(8n －1－1)C ．27(8n ＋3－1)D ．27(8n ＋4－1)[解析] 解法一：令n ＝0，则f (n )＝2＋24＋27＋210＝2[1－(23)4]1－23＝2(1－84)1－8＝27(84－1)，对照选项，只有D 成立．解法二：数列2,24,27,210， (23)＋10是以2为首项，8为公比的等比数列，项数为n ＋4，∴f (n )＝2(1－8n ＋4)1－8＝27(8n ＋4－1)．12．定义np 1＋p 2＋…＋p n为n 个正数p 1，p 2，…，p n 的“均倒数”，已知数列{a n }的前n项的“均倒数”为12n ＋1，又b n ＝a n ＋14，则1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b 10b 11＝导学号 27542576( C )A ．111B ．910C ．1011D ．1112[解析] 由已知，得n a 1＋a 2＋…＋a n ＝12n ＋1，∴a 1＋a 2＋…＋a n ＝n (2n ＋1)＝S n ，∴a 1＝S 1＝3，∴当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝4n －1，验证知当n ＝1时也成立，∴a n ＝4n －1，∴b n ＝a n ＋14＝n ，∴1b n b n ＋1＝1n －1n ＋1，∴1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b 10b 11＝(1－12)＋(12－13)＋…＋(110－111)＝1－111＝1011.二、填空题(本大题共4个小题，每个小题4分，共16分．将正确答案填在题中横线上) 13．已知等比数列{a n }为递增数列，若a 1>0，且2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1，则数列{a n }的公比q ＝2.导学号 27542577[解析] ∵{a n }是递增的等比数列，且a 1>0，∴q >1， 又∵2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1，∴2a n ＋2a n q 2＝5a n q ， ∵a n ≠0，∴2q 2－5q ＋2＝0， ∴q ＝2或q ＝12(舍去)，∴公比q 为2.14．若等比数列{a n }的各项均为正数，且a 10a 11＋a 9a 12＝2e 5，则ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝50.导学号 27542578[解析] 由等比数列的性质可知a 10a 11＋a 9a 12＝2e 5⇒a 1a 20＝e 5，于是a 1a 2…a 20＝(e 5)10＝e 50，所以ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝ln(a 1a 2…a 20)＝ln e 50＝50.15．若数列{a n }满足a 1＝2，a n ＝1－1a n －1，则a 2 013＝－1.导学号 27542579 [解析] ∵a 1＝2，a n ＝1－1a n －1，∴a 2＝1－1a 1＝12，a 3＝1－1a 2＝－1，a 4＝1－1a 3＝2，a 5＝1－1a 4＝12，…∴数列{a n }的值呈周期出现，周期为3. ∴a 2 013＝a 3＝－1.16．某地区为防洪抗旱大面积植树造林，如图，在区域{(x ，y )|x ≥0，y ≥0}内植树，第1棵树在点A 1(0,1)，第2棵树在点B 1(1,1)，第3棵树在点C 1(1,0)，第4棵树在点C 2(2,0)，接着按图中箭头方向，每隔一个单位种一棵树，那么第2 016棵树所在的点的坐标是 (8,44). 导学号 27542580[解析] 将OA 1B 1C 1设为第一个正方形，种植3棵树，第二个正方形新种植5棵树，第三个正方形新种植7棵树，……它们构成一个首项为3、公差为2的等差数列，所以前n 项和S n ＝3n ＋n (n －1)2×2＝n 2＋2n .因为S 43＝1 935，S 44＝2 024，所以2 024－2 016＝8，根据图象知第2 016棵树所在的点的坐标是(8,44)．三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本题满分12分)在等差数列{a n }中，a 1＋a 3＝8，且a 4为a 2和a 9的等比中项，求数列{a n }的首项、公差及前n 项和.导学号 27542581[解析] 设该数列公差为d ，前n 项和为S n . 由已知，可得2a 1＋2d ＝8， (a 1＋3d )2＝(a 1＋d )(a 1＋8d )， 所以a 1＋d ＝4，d (d －3a 1)＝0， 解得a 1＝4，d ＝0，或a 1＝1，d ＝3， 当a 1＝4，d ＝0时，S n ＝4n . 当a 1＝1，d ＝3时，S n ＝3n 2－n2.18．(本题满分12分)(2015·四川文，16)设数列{a n }(n ＝1,2,3，…)的前n 项和S n 满足S n＝2a n －a 1，且a 1，a 2＋1，a 3成等差数列.导学号 27542582(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为T n ，求T n .[解析] (1)由已知S n ＝2a n －a 1，有a n ＝S n －S n －1＝2a n －2a n －1(n ≥2)，即a n ＝2a n －1(n ≥2)， 从而a 2＝2a 1，a 3＝2a 2＝4a 1. 又因为a 1，a 2＋1，a 3成等差数列， 即a 1＋a 3＝2(a 2＋1)，所以a 1＋4a 1＝2(2a 1＋1)，解得a 1＝2.所以，数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列． 故a n ＝2n . (2)由(1)得1a n ＝12n ，所以T n ＝12＋122＋…＋12n ＝12⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n 1－12＝1－12n .19．(本题满分12分)(2016·北京文，15)已知{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，且b 2＝3，b 3＝9，a 1＝b 1，a 14＝b 4.导学号 27542583(1)求{a n }的通项公式；(2)设c n ＝a n ＋b n ，求数列{c n }的前n 项和． [解析] (1)等比数列{b n }的公比q ＝b 3b 2＝93＝3，所以b 1＝b 2q ＝1，b 4＝b 3q ＝27.设等差数列{a n }的公差为d . 因为a 1＝b 1＝1，a 14＝b 4＝27， 所以1＋13d ＝27，即d ＝2. 所以a n ＝2n －1(n ＝1,2,3，…)． (2)由(1)知，a n ＝2n －1，b n ＝3n －1，因此c n ＝a n ＋b n ＝2n －1＋3n －1从而数列{c n }的前n 项和S n ＝1＋3＋…＋(2n －1)＋1＋3＋…＋3n －1＝n (1＋2n －1)2＋1－3n 1－3＝n 2＋3n －12.20．(本题满分12分)(2015·湖北理，18)设等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，等比数列{b n }的公比为q .已知b 1＝a 1，b 2＝2，q ＝d ，S 10＝100.导学号 27542584(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)当d >1时，记c n ＝a nb n ，求数列{c n }的前n 项和T n .[解析] (1)由题意有⎩⎪⎨⎪⎧ 10a 1＋45d ＝100a 1d ＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋9d ＝20a 1d ＝2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1d ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝9d ＝29.故⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝2n －1b n ＝2n －1或⎩⎨⎧a n ＝19(2n ＋79)b n＝9·⎝⎛⎭⎫29n －1.(2)由d ＞1，知a n ＝2n －1，b n ＝2n －1， 故c n ＝2n －12n －1，于是T n ＝1＋32＋522＋723＋924＋…＋2n －12n －1，①12T n ＝12＋322＋523＋724＋925＋…＋2n －12n ，② ①－②可得12T n ＝2＋12＋122＋…＋12n －2－2n －12n ＝3－2n ＋32n ， 故T n ＝6－2n ＋32n －1.21．(本题满分12分)(2016·山东文，19)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2＋8n ，{b n }是等差数列，且a n ＝b n ＋b n ＋1.导学号 27542585(1)求数列{b n }的通项公式；(2)令c n ＝(a n ＋1)n ＋1(b n ＋2)n.求数列{c n }的前n 项和T n .[解析] (1)由题意知，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝6n ＋5， 当n ＝1时，a 1＝S 1＝11，符合上式． 所以a n ＝6n ＋5. 设数列{b n }的公差为d .由⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝b 1＋b 2，a 2＝b 2＋b 3，即⎩⎪⎨⎪⎧11＝2b 1＋d ，17＝2b 1＋3d ，可解得b 1＝4，d ＝3，所以b n ＝3n ＋1. (2)由(1)知c n ＝(6n ＋6)n ＋1(3n ＋3)n ＝3(n ＋1)·2n ＋1. 又T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ，得T n ＝3×[2×22＋3×23＋…＋(n ＋1)×2n ＋1]，2T n ＝3×[2×23＋3×24＋…＋(n ＋1)×2n ＋2]，两式作差，得－T n ＝3×[2×22＋23＋24＋…＋2n ＋1－(n ＋1)×2n ＋2]＝3×[4＋4(1－2n )1－2－(n ＋1)×2n ＋2]＝－3n ·2n ＋2所以T n ＝3n ·2n ＋2.22．(本题满分14分)已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n 和S n 满足：4S n ＝(a n ＋1)2(n ＝1,2,3……).导学号 27542586(1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1a n ·a n ＋1，求{b n }的前n 项和T n ；(3)在(2)的条件下，对任意n ∈N *，T n >m23都成立，求整数m 的最大值．[解析] (1)∵4S n ＝(a n ＋1)2，① ∴4S n －1＝(a n －1＋1)2(n ≥2)，② ①－②得4(S n －S n －1)＝(a n ＋1)2－(a n －1＋1)2. ∴4a n ＝(a n ＋1)2－(a n －1＋1)2. 化简得(a n ＋a n －1)·(a n －a n －1－2)＝0. ∵a n >0，∴a n －a n －1＝2(n ≥2)． 由4a 1＝(a 1＋1)2得a 1＝1，∴{a n }是以1为首项，2为公差的等差数列． ∴a n ＝1＋(n －1)·2＝2n －1.(2)b n ＝1a n ·a n ＋1＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12(12n －1－12n ＋1)．∴T n ＝12〔〕(1－13)＋(13－15)＋…＋(12n －1－12n ＋1)＝12(1－12n ＋1)＝n2n ＋1. (3)由(2)知T n ＝12(1－12n ＋1)，T n ＋1－T n ＝12(1－12n ＋3)－12(1－12n ＋1)＝12(12n ＋1－12n ＋3)>0. ∴数列{T n }是递增数列． ∴[T n ]min ＝T 1＝13.∴m 23<13，∴m <233. ∴整数m 的最大值是7.。

高中数学第二章数列单元质量测评新人教A 版必修5本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．有穷数列1,23,26,29，…，23n ＋6的项数是( )A ．3n ＋7B ．3n ＋6C ．n ＋3D ．n ＋2 答案 C解析 此数列的次数依次为0,3,6,9，…，3n ＋6，为等差数列，且首项a 1＝0，公差为d ＝3，设3n ＋6是第x 项，则3n ＋6＝0＋(x －1)×3⇒x ＝n ＋3.2．已知等差数列{a n }的公差为1，且S 99＝99，则a 3＋a 6＋…＋a 96＋a 99的值是( ) A ．99 B ．66 C ．33 D ．0 答案 B解析 设A ＝a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 97，B ＝a 2＋a 5＋…＋a 98，C ＝a 3＋a 6＋…＋a 99，A ＋B ＋C ＝S 99，B －A ＝33，C －B ＝33，∴A ＝C －66，故C －66＋C －33＋C ＝S 99＝99，∴C ＝66.3．已知{a n }是首项为1，公差为3的等差数列，如果a n ＝2020，则序号n 等于( ) A ．667 B ．668 C ．672 D ．674 答案 D解析 由2020＝1＋3(n －1)，解得n ＝674.4．已知数列{a n }为等比数列，a 1＝1，q ＝2，且第m 项至第n (m <n )项的和为112，则m ＋n 的值为( )A ．11B ．12C ．13D ．14 答案 B解析 由已知，得1×1－2n1－2－1×1－2m －11－2＝112，即2m －1·(2n －m ＋1－1)＝24×7，则⎩⎪⎨⎪⎧2m －1＝24，2n －m ＋1－1＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝5，n ＝7，所以m ＋n ＝12，故选B.5．记等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 5＋a 21＝a 12，那么S 27＝( ) A ．2015 B ．2014 C ．2013 D ．0 答案 D解析 设等差数列{a n }的公差为d .∵a 5＋a 21＝a 12， ∴2a 1＋24d ＝a 1＋11d ，∴a 1＋13d ＝0，即a 14＝0.∴S 27＝27a 1＋a 272＝27×2a 142＝27a 14＝0.故选D.6．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 11－a 8＝3，S 11－S 8＝3，则使a n >0的最小正整数n 的值是( )A ．8B ．9C ．10D ．11 答案 C解析 由S 11－S 8＝3，得a 11＋a 10＋a 9＝3,3a 10＝3，a 10＝1，所以a 1＋9d ＝1，a 11－a 8＝3d ＝3，所以d ＝1，于是a 1＝－8，从而a n ＝－9＋n >0的最小正整数n 的值是10.7．在数列{a n }中，a 1＝12，a n ＋1＝1－1a n ，则a 10＝( )A ．2B ．3C ．－1 D.12答案 D解析 ∵a 1＝12，a n ＋1＝1－1a n，∴a 2＝1－2＝－1，同理可得：a 3＝2，a 4＝12，…，∴a n ＋3＝a n .∴a 10＝a 3×3＋1＝a 1＝12.故选D.8．设等差数列{a n }的公差为2，前10项和为490，等差数列{b n }的公差为4，前10项和为240.以a k ，b k 为邻边的矩形内的最大圆的面积记为S k ，若k ≤18，则S k ＝( )A ．π(2k ＋1)2B ．π(2k ＋3)2C ．π(k ＋1)2D ．π(k ＋18)2答案 A解析 由10a 1＋10×10－12×2＝490，得a 1＝40，∴a n ＝40＋2(n －1)＝2n ＋38.由10b 1＋10×10－12×4＝240，得b 1＝6，∴b n ＝6＋4(n－1)＝4n ＋2.∵a k －b k ＝(2k ＋38)－(4k ＋2)＝36－2k ，∴当k ≤18时，36－2k ≥0，即2k ＋38≥4k ＋2，∴以a k 和b k 为邻边的矩形内的最大圆的半径为2k ＋1，则该最大圆的面积S k ＝π(2k ＋1)2.9．数列{a n }中，a n ＝3n －7 (n ∈N ＋)，数列{b n }满足b 1＝13，b n －1＝27b n (n ≥2且n ∈N ＋)，若a n ＋log k b n 为常数，则满足条件的k 值( )A ．唯一存在，且为13B ．唯一存在，且为3C ．存在且不唯一D ．不一定存在答案 B解析 依题意，b n ＝b 1·⎝ ⎛⎭⎪⎫127n －1＝13·⎝ ⎛⎭⎪⎫133n －3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫133n －2，∴a n ＋log k b n ＝3n －7＋log k ⎝ ⎛⎭⎪⎫133n －2＝3n －7＋(3n －2)log k 13＝⎝⎛⎭⎪⎫3＋3log k 13n －7－2log k 13. ∵a n ＋log k b n 是常数，∴3＋3log k 13＝0，即log k 3＝1，∴k ＝3.10．已知{a n }为等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99，以S n 表示{a n }的前n 项和，则使得S n 达到最大值的n 是( )A ．21B ．20C ．19D ．18 答案 B解析 ∵(a 2－a 1)＋(a 4－a 3)＋(a 6－a 5)＝3d ， ∴99－105＝3d .∴d ＝－2.又∵a 1＋a 3＋a 5＝3a 1＋6d ＝105，∴a 1＝39. ∴S n ＝na 1＋n n －12d ＝－n 2＋40n ＝－(n －20)2＋400.∴当n ＝20时，S n 有最大值．11．已知数列1，12，21，13，22，31，14，23，32，41，…，则56是数列中的( )A ．第48项B ．第49项C ．第50项D ．第51项 答案 C解析 将数列分为第1组一个，第2组二个，…，第n 组n 个，即⎝ ⎛⎭⎪⎫11，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，21，⎝ ⎛⎭⎪⎫13，22，31，…，⎝⎛⎭⎪⎫1n ，2n －1，…，n 1，则第n 组中每个数分子分母的和为n ＋1.则56为第10组中的第5个，其项数为(1＋2＋3＋…＋9)＋5＝50.12．若一个数列的第m 项等于这个数列的前m 项的乘积，则称该数列为“m 积数列”．若各项均为正数的等比数列{a n }是一个“2017积数列”，且a 1>1，则当其前n 项的乘积取最大值时n 的值为( )A ．1008B ．1009C ．1007或1008D ．1008或1009答案 A解析 由题意，a 2017＝a 1a 2…a 2017， ∴a 1a 2…a 2016＝1，∴a 1a 2016＝a 2a 2015＝a 3a 2014＝…＝a 1007a 1010＝a 1008·a 1009＝1，∵a 1>1，q >0，∴a 1008>1,0<a 1009<1， ∴前n 项积最大时n 的值为1008. 故选A.第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上) 13．若等比数列{a n }满足a 2a 4＝12，则a 1a 23a 5＝________.答案 14解析 ∵a 2a 4＝a 23＝12，∴a 1a 23a 5＝a 43＝14.14．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6S 3＝3，则S 9S 6＝________. 答案 73解析 因S 6S 3＝3，故q ≠1，∴a 11－q 61－q ×1－q a 11－q3＝1＋q 3＝3， 即q 3＝2.所以S 9S 6＝a 11－q 91－q ×1－q a 11－q 6＝1－231－22＝73.15．在如下数表中，已知每行、每列中的数都成等差数列，那么位于表中的第n 行第n ＋1列的数是________．答案 n 2＋n解析 由题中数表，知第n 行中的项分别为n,2n,3n ，…，组成一等差数列，设为{a n }，则a 1＝n ，d ＝2n －n ＝n ，所以a n ＋1＝n ＋n ·n ＝n 2＋n ，即第n 行第n ＋1列的数是n 2＋n .16．已知{a n }是等差数列，d 为其公差，S n 是其前n 项和，若只有S 4是{S n }中的最小项，则可得出的结论中正确的是________．①d >0 ②a 4<0 ③a 5>0 ④S 7<0 ⑤S 8>0 答案 ①②③④解析 由已知条件得a 5>0，a 4<0，则d >0，故①②③正确． 因为S 7＝7a 1＋a 72＝7a 4<0，故④正确．S 8＝8a 1＋a 82＝4(a 4＋a 5)无法判断其正负，故⑤错误．综上可得结论正确的有①②③④.三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，公比是正数的等比数列{b n }的前n 项和为T n ，已知a 1＝1，b 1＝3，a 3＋b 3＝17，T 3－S 3＝12，求{a n }，{b n }的通项公式．解 设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q . 由a 3＋b 3＝17得1＋2d ＋3q 2＝17，① 由T 3－S 3＝12得q 2＋q －d ＝4.② 由①、②及q >0解得q ＝2，d ＝2. 故所求的通项公式为a n ＝2n －1，b n ＝3×2n －1.18．(本小题满分12分)设数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{S n }的前n 项和为T n ，满足T n＝2S n －n 2，n ∈N *.(1)求a 1的值；(2)求数列{a n }的通项公式．解 (1)当n ＝1时，T 1＝2S 1－1， ∵T 1＝S 1＝a 1，∴a 1＝2a 1－1，求得a 1＝1.(2)当n ≥2时，S n ＝T n －T n －1＝2S n －n 2－[2S n －1－(n －1)2]＝2S n －2S n －1－2n ＋1， ∴S n ＝2S n －1＋2n －1，① ∴S n ＋1＝2S n ＋2n ＋1，② 由②－①，得a n ＋1＝2a n ＋2， ∴a n ＋1＋2＝2(a n ＋2)，即a n ＋1＋2a n ＋2＝2(n ≥2)． 求得a 1＋2＝3，a 2＋2＝6，则a 2＋2a 1＋2＝2， ∴{a n ＋2}是以3为首项，2为公比的等比数列． ∴a n ＋2＝3·2n －1，∴a n ＝3·2n －1－2，n ∈N *.19．(本小题满分12分)在等差数列{a n }中，a 10＝23，a 25＝－22， (1)该数列前多少项的和最大？最大和是多少？ (2)求数列{|a n |}的前n 项和． 解 (1)设数列{a n }的公差为d ，由⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋9d ＝23，a 1＋24d ＝－22，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝50，d ＝－3.∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－3n ＋53，令a n >0，得n <533，∴当n ≤17，n ∈N *时，a n >0；当n ≥18，n ∈N *时，a n <0， ∴{a n }前17项的和最大．S max ＝S 17＝17×50＋17×8×(－3)＝442.(2)当n ≤17，n ∈N *时，|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝na 1＋n n －12d ＝－32n 2＋1032n ， ∴当n ≤17，n ∈N *时，{|a n |}前n 项和为－32n 2＋1032n ，当n ≥18，n ∈N *时，|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a 17－a 18－a 19－…－a n ＝2(a 1＋a 2＋…＋a 17)－(a 1＋a 2＋…＋a n )＝32n 2－1032n ＋884，当n ≥18，n ∈N *时，{|a n |}前n 项和为32n 2－1032n ＋884.20．(本小题满分12分)数列{a n }的前n 项和为S n ，a n 是S n 和1的等差中项，等差数列{b n }满足b 1＋S 4＝0，b 9＝a 1.(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式； (2)若c n ＝1b n ＋16b n ＋18，求数列{c n }的前n 项和W n .解 (1)∵a n 是S n 和1的等差中项，∴S n ＝2a n －1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2a n －1)－(2a n －1－1)＝2a n －2a n －1，∴a n ＝2a n －1，当n ＝1时，a 1＝S 1＝2a 1－1. ∴a 1＝1且a n ≠0，∴a n a n －1＝2，∴{a n }是首项为1，公比为2的等比数列，∴a n ＝2n －1，S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝1－2n1－2＝2n－1.设{b n }的公差为d ，b 1＝－S 4＝－15，b 9＝－15＋8d ＝1，∴d＝2，∴b n ＝－15＋(n －1)×2＝2n －17. (2)c n ＝12n －12n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1，∴W n ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1＝12－14n ＋2＝n 2n ＋1.21．(本小题满分12分)已知数列{a n }满足a 1＝76，S n 是{a n }的前n 项和，点(2S n ＋a n ，S n ＋1)在f (x )＝12x ＋13的图象上．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若c n ＝⎝⎛⎭⎪⎫a n －23n ，T n 为c n 的前n 项和，n ∈N *，求T n .解 (1)∵点(2S n ＋a n ，S n ＋1)在f (x )＝12x ＋13的图象上，∴S n ＋1＝12×(2S n ＋a n )＋13，∴a n ＋1＝12a n ＋13.∵a n ＋1－23＝12⎝⎛⎭⎪⎫a n －23，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n －23是以a 1－23＝76－23＝12为首项，以12为公比的等比数列，∴a n －23＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，即a n ＝23＋12n .(2)∵c n ＝⎝⎛⎭⎪⎫a n －23n ＝n 2n ，∴T n ＝12＋2×122＋3×123＋…＋n2n ，①。

高中数学第二章数列单元质量测评含解析新人教A 版必修5081931本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷 (选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．数列3，5，9，17，33，…的通项公式a n 等于( ) A ．2n B ．2n ＋1 C ．2n －1 D ．2n ＋1答案 B解析 由于3＝2＋1，5＝22＋1，9＝23＋1，…，所以通项公式是a n ＝2n＋1．(或特值法，当n ＝1时只有B 项符合．)2．记等差数列的前n 项和为S n ，若S 2＝4，S 4＝20，则该数列的公差d ＝( ) A ．2 B ．3 C ．6 D ．7 答案 B解析 S 4－S 2＝a 3＋a 4＝20－4＝16，∴a 3＋a 4－S 2＝(a 3－a 1)＋(a 4－a 2)＝4d ＝16－4＝12，∴d ＝3． 3．在数列{a n }中，a 1＝2，2a n ＋1－2a n ＝1，则a 101的值为( ) A ．49 B ．50 C ．51 D ．52 答案 D解析 ∵2a n ＋1－2a n ＝1，∴a n ＋1－a n ＝12．∴数列{a n }是首项a 1＝2，公差d ＝12的等差数列．∴a 101＝2＋12×(101－1)＝52．4．在等差数列{a n }中，若a 1＋a 2＋a 3＝32，a 11＋a 12＋a 13＝118，则a 4＋a 10＝( ) A ．45 B ．50 C ．75 D ．60 答案 B解析 ∵a 1＋a 2＋a 3＝3a 2＝32，a 11＋a 12＋a 13＝3a 12＝118，∴3(a 2＋a 12)＝150，即a 2＋a 12＝50，∴a 4＋a 10＝a 2＋a 12＝50．5．公差不为零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ．若a 4是a 3与a 7的等比中项，S 8＝32，则S 10等于( )A ．18B ．24C ．60D ．90 答案 C解析 由a 24＝a 3a 7得(a 1＋3d )2＝(a 1＋2d )(a 1＋6d )，即2a 1＋3d ＝0． ① 又S 8＝8a 1＋562d ＝32，则2a 1＋7d ＝8． ②由①②，得d ＝2，a 1＝－3． 所以S 10＝10a 1＋902d ＝60．故选C ．6．等比数列{a n }的通项为a n ＝2·3n －1，现把每相邻两项之间都插入两个数，构成一个新的数列{b n }，那么162是新数列{b n }的( )A ．第5项B ．第12项C ．第13项D ．第6项 答案 C解析 162是数列{a n }的第5项，则它是新数列{b n }的第5＋(5－1)×2＝13项． 7．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何？”其意思为：“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”(“钱”是古代的一种重量单位)．这个问题中，甲所得为( )A ．54钱B ．43钱C ．32钱D ．53钱 答案 B解析 依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a －2d ，a －d ，a ，a ＋d ，a ＋2d ，则由题意可知，a －2d ＋a －d ＝a ＋a ＋d ＋a ＋2d ，即a ＝－6d ，又a －2d ＋a －d ＋a ＋a ＋d ＋a ＋2d ＝5a ＝5，∴a ＝1，则a －2d ＝a －2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 6＝43a ＝43．故选B ．8．已知{a n }是等差数列，a 3＝5，a 9＝17，数列{b n }的前n 项和S n ＝3n，若a m ＝b 1＋b 4，则正整数m 等于( )A ．29B ．28C ．27D ．26 答案 A解析 因为{a n }是等差数列，a 9＝17，a 3＝5，所以6d ＝17－5，得d ＝2，a n ＝2n －1．又因为S n ＝3n，所以当n ＝1时，b 1＝3，当n ≥2时，S n －1＝3n －1，b n ＝3n －3n －1＝2·3n －1，由a m ＝b 1＋b 4，得2m －1＝3＋54，得m ＝29，故选A ．9．在各项均为正数的等比数列{a n }中，a 1＝2且a 2，a 4＋2，a 5成等差数列，记S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 5＝( )A ．32B ．62C ．27D ．81 答案 B解析 设各项均为正数的等比数列{a n }的公比为q ， 又a 1＝2，则a 2＝2q ，a 4＋2＝2q 3＋2，a 5＝2q 4， ∵a 2，a 4＋2，a 5成等差数列，∴4q 3＋4＝2q ＋2q 4， ∴2(q 3＋1)＝q (q 3＋1)，由q ＞0，解得q ＝2， ∴S 5＝21－251－2＝62．故选B ．10．已知数列{a n }前n 项和为S n ＝1－5＋9－13＋17－21＋…＋(－1)n －1(4n －3)，则S 15＋S 22－S 31的值是( )A ．13B ．－76C ．46D ．76 答案 B解析 ∵S n ＝1－5＋9－13＋17－21＋…＋ (－1)n －1(4n －3)，∴S 14＝7×(1－5)＝－28，a 15＝60－3＝57， S 22＝11×(1－5)＝－44， S 30＝15×(1－5)＝－60， a 31＝124－3＝121，∴S 15＝S 14＋a 15＝29，S 31＝S 30＋a 31＝61． ∴S 15＋S 22－S 31＝29－44－61＝－76．故选B ．11．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1，x ≤0，f x －1＋1，x >0，把方程f (x )＝x 的根按从小到大的顺序排列成一个数列{a n }，则该数列的通项公式为( )A ．a n ＝n n －12(n ∈N *)B ．a n ＝n (n －1)(n ∈N *) C ．a n ＝n －1(n ∈N *) D ．a n ＝n －2(n ∈N *) 答案 C解析 令2x－1＝x (x ≤0)，易得x ＝0． 当0<x ≤1时，由已知得f (x －1)＋1＝x ， 即2x －1－1＋1＝2x －1＝x ，则x ＝1．当1<x ≤2时，由已知得f (x )＝x ， 即f (x －1)＋1＝x ，即f (x －2)＋1＋1＝x ， 故2x －2＋1＝x ，则x ＝2．因此，a 1＝0，a 2＝1，a 3＝2， 结合各选项可知该数列的通项公式为a n ＝n －1(n ∈N *)．故选C ．12．已知数列{a n }满足a n ＋1＋(－1)na n ＝2n －1，S n 为其前n 项和，则S 60＝( ) A ．3690 B ．1830 C ．1845 D ．3660 答案 B解析 ①当n 为奇数时，a n ＋1－a n ＝2n －1，a n ＋2＋a n ＋1＝2n ＋1，两式相减得 a n ＋2＋a n ＝2；②当n 为偶数时，a n ＋1＋a n ＝2n －1，a n ＋2－a n ＋1＝2n ＋1，两式相加得a n ＋2＋a n ＝4n ，故S 60＝a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 59＋(a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 60)＝2×15＋(4×2＋4×6＋…＋4×58) ＝30＋4×450＝1830．故选B ．第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知数列{a n }中，a 1＝10，a n ＋1＝a n －12，则它的前n 项和S n 的最大值为________．答案 105解析 ∵a n ＋1－a n ＝－12，∴d ＝－12，又a 1＝10，∴a n ＝－n 2＋212(n ∈N *)．∵a 1＝10>0，d ＝－12<0，设从第n 项起为负数，则－n 2＋212<0(n ∈N *)．∴n >21，于是前21项和最大，最大值为S 21＝105．14．已知等比数列{a n }为递增数列，若a 1＞0，且2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1，则数列{a n }的公比q ＝________．答案 2解析 ∵{a n }是递增的等比数列，且a 1＞0，∴q ＞1．又∵2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1，∴2a n ＋2a n q 2＝5a n q ．∵a n ≠0，∴2q 2－5q ＋2＝0，∴q ＝2或q ＝12(舍去)，∴公比q 为2．15．在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，且a n ＋2－a n ＝1＋(－1)n(n ∈N *)，则a 1＋a 2＋…＋a 51＝________．答案 676解析 当n 为正奇数时，a n ＋2－a n ＝0，又a 1＝1，则所有奇数项都是1；当n 为正偶数时，a n ＋2－a n ＝2，又a 2＝2，则所有偶数项是首项和公差都是2的等差数列，所以a 1＋a 2＋…＋a 51＝(a 1＋a 3＋…＋a 51)＋(a 2＋a 4＋…＋a 50)＝26a 1＋25a 2＋25×242×2＝676．16．某企业为节能减排，用9万元购进一台新设备用于生产，第一年需运营费用2万元，从第二年起，每年运营费用均比上一年增加3万元，该设备每年生产的收入均为21万元．设该设备使用了n (n ∈N *)年后，盈利总额达到最大值(盈利总额等于总收入减去总成本)，则n 等于________．答案 7解析 设该设备第n 年的运营费用为a n 万元，则数列{a n }是以2为首项，3为公差的等差数列，则a n ＝3n －1．设该设备使用n 年的运营费用总和为T n ， 则T n ＝n 2＋3n －12＝32n 2＋12n ． 设n 年的盈利总额为S n ，则S n ＝21n －⎝ ⎛⎭⎪⎫32n 2＋12n －9＝－32n 2＋412n －9． 由二次函数的性质可知，当n ＝416时，S n 取得最大值，又n ∈N *，故当n ＝7时，S n 取得最大值．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)设a ，b ，c 是实数，3a ，4b ，5c 成等比数列，且1a ，1b ，1c成等差数列，求a c ＋c a的值．解 ∵3a ，4b ，5c 成等比数列，∴16b 2＝15ac ． ① ∵1a ，1b ，1c成等差数列，∴2b ＝1a ＋1c． ②由①，得4b2·15ac ＝64． ③ 将②代入③，得1a ＋1c2·15ac ＝64，∴1a 2＋1c 2＋2ac ac ＝6415． ∴c a ＋a c ＝3415． 18．(本小题满分12分)数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{b n }中，b 1＝a 1，b n ＝a n －a n －1(n ≥2)，若a n ＋S n ＝n ，c n ＝a n －1．(1)求证：数列{c n }是等比数列； (2)求数列{b n }的通项公式．解 (1)证明：∵a 1＝S 1，a n ＋S n ＝n ， ① ∴a 1＋S 1＝1，得a 1＝12．又a n ＋1＋S n ＋1＝n ＋1， ②由①②两式相减得2(a n ＋1－1)＝a n －1， 即a n ＋1－1a n －1＝12，也即c n ＋1c n ＝12， 故数列{c n }是等比数列． (2)∵c 1＝a 1－1＝－12，∴c n ＝－12n ，a n ＝c n ＋1＝1－12n ，a n －1＝1－12n －1．故当n ≥2时，b n ＝a n －a n －1＝12n －1－12n ＝12n ． 又b 1＝a 1＝12也适合上式，∴b n ＝12n ．19．(本小题满分12分)已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝3，a n ＋2＝3a n ＋1－2a n (n ∈N *)． (1)证明：数列{a n ＋1－a n }是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式． 解 (1)证明：∵a n ＋2＝3a n ＋1－2a n ， ∴a n ＋2－a n ＋1＝2(a n ＋1－a n )，∴a n ＋2－a n ＋1a n ＋1－a n＝2．∵a 1＝1，a 2＝3，∴{a n ＋1－a n }是以a 2－a 1＝2为首项，2为公比的等比数列． (2)由(1)得a n ＋1－a n ＝2n，∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝2n －1＋2n －2＋…＋2＋1＝2n－1．故数列{a n }的通项公式为a n ＝2n－1．20．(本小题满分12分)2010年4月14日，冰岛南部艾雅法拉火山喷发，弥漫在欧洲上空多日的火山灰严重影响欧洲多个国家的机场正常运营．由于风向，火山灰主要飘落在该火山口的东北方向与东南方向之间的地区．假设火山喷发停止后，需要了解火山灰的飘散程度，为了测量的需要，现将距离火山喷口中心50米内的扇形面记为第1区、50米至100米的扇环面记为第2区、…、50(n －1)米至50n 米的扇环面记为第n 区，若测得第1区的火山灰每平方米的平均质量为1吨、第2区每平方米的平均质量较第1区减少了2%、第3区较第2区又减少了2%，依此类推，问：(1)离火山口1225米处的火山灰大约为每平方米多少千克？(结果精确到1千克) (2)第几区内的火山灰总质量最大？提示：当n 较大时，可用(1－x )n ≈1－nx 进行近似计算． 解 (1)设第n 区的火山灰为每平方米a n 千克， 依题意，数列{a n }为等比数列，且a 1＝1000(千克)， 公比q ＝1－2%＝0．98， ∴a n ＝a 1×qn －1＝1000×0．98n －1．∵离火山口1225米处的位置在第25区，∴a 25＝1000×(1－0．02)24≈1000×(1－24×0．02)＝520，即离火山口1225米处的火山灰大约为每平方米520千克．(2)设第n 区的火山灰总质量为b n 千克，且该区的火山灰总质量最大． 依题意，第n 区的面积为14π{(50n )2－[50(n －1)]2}＝625π(2n －1)， ∴b n ＝625π(2n －1)×a n ．依题意得⎩⎪⎨⎪⎧b n ≥b n －1，b n ≥b n ＋1，解得49．5≤n ≤50．5．∵n ∈N *， ∴n ＝50，即第50区的火山灰总质量最大．21．(本小题满分12分)设数列{a n }的前n 项和为S n ＝2n 2，数列{b n }为等比数列，且a 1＝b 1，b 2(a 2－a 1)＝b 1．(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式；(2)设c n ＝a n b n，求数列{c n }的前n 项和T n ． 解 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝2； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n 2－2(n －1)2＝4n －2，∵当n ＝1时，a 1＝4－2＝2也适合上式， ∴{a n }的通项公式为a n ＝4n －2， 即{a n }是a 1＝2，公差d ＝4的等差数列． 设{b n }的公比为q ，则b 1qd ＝b 1， ∴q ＝14．故b n ＝b 1q n －1＝2×14n －1．即{b n }的通项公式为b n ＝24n －1．(2)∵c n ＝a n b n ＝4n －224n －1＝(2n －1)4n －1，∴T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ＝1＋3×41＋5×42＋…＋(2n －1)4n －1，4T n ＝1×4＋3×42＋5×43＋…＋(2n －3)4n －1＋(2n －1)4n．两式相减，得3T n ＝－1－2(41＋42＋43＋…＋4n －1)＋(2n －1)4n ＝13[(6n －5)4n＋5]，∴T n ＝19[(6n －5)4n＋5]．22．(本小题满分12分)已知a 1＝2，点(a n ，a n ＋1)在函数f (x )＝x 2＋2x 的图象上，其中n ＝1，2，3，…．(1)证明：数列{lg (1＋a n )}是等比数列； (2)设T n ＝(1＋a 1)·(1＋a 2)…(1＋a n )，求T n ；(3)记b n ＝1a n ＋1a n ＋2，求数列{b n }的前n 项和S n ，并证明S n <1．解 (1)证明：由已知a n ＋1＝a 2n ＋2a n ， ∴a n ＋1＋1＝(a n ＋1)2，∴lg (1＋a n ＋1)＝2lg (1＋a n )， ∴{lg (1＋a n )}是公比为2的等比数列． (2)由(1)知lg (1＋a n )＝2n －1·lg (1＋a 1)＝2n －1·lg 3＝lg 32n －1，∴1＋a n ＝32n －1，∴T n ＝(1＋a 1)(1＋a 2)…(1＋a n )＝320.321.322 (32)n －1＝31＋2＋22＋…＋2n －1＝32n－1．(3)∵点(a n ，a n ＋1)在函数f (x )＝x 2＋2x 的图象上， ∴a n ＋1＝a 2n ＋2a n ，∴a n ＋1＝a n (a n ＋2)． ∴1a n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －1a n ＋2，∴1a n ＋2＝1a n －2a n ＋1， ∴b n ＝1a n ＋1a n ＋2＝1a n ＋1a n －2a n ＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －1a n ＋1． ∴S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝2⎝ ⎛1a 1－1a 2＋1a 2－1a 3＋…＋⎭⎪⎫1a n －1a n ＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1－1a n ＋1． ∵a n ＝32n －1－1，a 1＝2，a n ＋1＝32n－1，∴S n ＝1－232n －1．32n－1>32－1＝8>2，∴0<232n－1<1．∴S n <1．。

综合检测(二)第二章 数列(时间90分钟，满分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2013·郑州高二检测)数列－1，43，－95，167，…的一个通项公式是( )A ．a n ＝(－1)n n 22n －1 B ．a n ＝(－1)n n (n ＋1)2n －1C ．a n ＝(－1)n n 22n ＋1 D ．a n ＝(－1)nn 32n －1 【解析】 观察各项知符号可用(－1)n 表示，各项绝对值的分母为1,3,5,7…，故可表示为2n －1，分子为1,4,9,16…可表示为n 2，故a n ＝(－1)nn 22n －1. 【答案】 A2．(2013·咸阳高二检测)已知等差数列{a n }中，a 5＋a 9＝2，则S 13＝( )A ．11B ．12C ．13D ．不确定【解析】 S 13＝13(a 1＋a 13)2＝13(a 5＋a 9)2＝13. 【答案】 C3．已知等差数列{a n }中，a 7＋a 9＝16，a 4＝1，则a 12的值是( )A ．15B ．30C ．31D ．64【解析】 由a 7＋a 9＝16，得a 8＝8，∴d ＝8－18－4＝74，∴a 12＝1＋8×74＝15.【答案】 A4．等比数列{a n }中，a 2＝9，a 5＝243，则{a n }的前4项和为( )A ．81B ．120C ．168D ．192 【解析】 ∵a 5＝a 2q 3，∴q 3＝a 5a 2＝2439＝27，∴q ＝3，∴a 1＝3，∴S 4＝3(1－34)1－3＝120. 【答案】 B5．已知等比数列{a n }满足a 1＝3，且4a 1,2a 2，a 3成等差数列，则a 3＋a 4＋a 5等于( )A ．33B ．84C ．72D ．189【解析】 设等比数列{a n }的公比为q ，∵4a 1,2a 2，a 3成等差数列，∴4a 2＝4a 1＋a 3，即4×3q ＝4×3＋3q 2，∴q ＝2，∴a 3＋a 4＋a 5＝a 1q 2＋a 1q 3＋a 1q 4＝3(22＋23＋24)＝84.【答案】 B6．(2013·合肥高二检测)若数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n ·(3n －2)，则a 1＋a 2＋…＋a 10＝( )A ．15B ．12C ．－12D ．－15【解析】 记b n ＝3n －2，则数列{b n }是以1为首项，3为公差的等差数列，所以a 1＋a 2＋…＋a 9＋a 10＝(－b 1)＋b 2＋…＋(－b 9)＋b 10＝(b 2－b 1)＋(b 4－b 3)＋…＋(b 10－b 9)＝5×3＝15.故选A.【答案】 A7．已知数列{a n }满足a n ＋1＝11－a n，若a 1＝12，则a 2 012等于( ) A.12B ．2C ．－1D ．1【解析】 由a 1＝12，a n ＋1＝11－a n 得a 2＝11－a 1＝2，a 3＝11－a 2＝－1，a 4＝11－a 3＝12，a 5＝11－a 4＝2，…，因此a 2 012＝a 3×670＋2＝a 2＝2. 【答案】 B8．设数列{a n }是以2为首项，1为公差的等差数列，{b n }是以1为首项，2为公比的等比数列，则ab 1＋ab 2＋…＋ab 10等于( )A ．1 033B ．1 034C ．2 057D ．2 058【解析】 由已知可得a n ＝n ＋1，b n ＝2n －1，于是ab n ＝b n ＋1，因此ab 1＋ab 2＋…＋ab 10＝(b 1＋1)＋(b 2＋1)＋…＋(b 10＋1)＝b 1＋b 2＋…＋b 10＋10＝20＋21＋…＋29＋10＝1－2101－2＋10＝1 033. 【答案】 A9．(2013·宜昌高二检测)已知数列{a n }中，a 1＝1，前n 项和为S n ，且点P (a n ，a n ＋1)(n ∈N *)在直线x －y ＋1＝0上，则1S 1＋1S 2＋1S 3＋…＋1S n等于( ) A.2n n ＋1 B.2n (n ＋1)C.n (n ＋1)2D.n 2(n ＋1) 【解析】 由题意，a n －a n ＋1＋1＝0.∴a n ＋1－a n ＝1，∴{a n }为等差数列，且a 1＝1，d ＝1，∴a n ＝1＋(n －1)×1＝n ，∴S n ＝n (n ＋1)2，∴1S n ＝2n (n ＋1)＝2(1n －1n ＋1)， ∴1S 1＋1S 2＋…＋1S n ＝2(1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1)＝2n n ＋1. 【答案】 A10．在数列{a n }中，若a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln(1＋1n )，则a n 等于( )A ．2＋ln nB ．2＋(n －1)ln nC ．2＋n ln nD ．1＋n【解析】 依题意可得a 2＝a 1＋ln(1＋11)，a 3＝a 2＋ln(1＋12)，…a n ＝a n －1＋ln(1＋1n －1)，则a n ＝a 1＋ln[(21)(32)(43)…(n n －1)]＝2＋ln n . 【答案】 A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)11．(2013·烟台高二检测)若数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝2a n (n ∈N *), 则a 5＝________.【解析】 由已知a n ＋1a n＝2，∴{a n }为首项a 1＝1，公比q ＝2的等比数列， ∴a 5＝a 1q 4＝1×24＝16.【答案】 1612．(2013·洛阳高二检测)首项为－24的等差数列从第10项起开始为正数，则公差d 的取值范围是________．【解析】 设a 1＝－24，公差为d ，∴a 10＝－24＋9d >0且a 9＝－24＋8d ≤0，∴83<d ≤3.【答案】 (83，3]13．等差数列{a n }中，a 1>0，S 3＝S 10，则当S n 取最大值时n 的值是________．【解析】 由S 3＝S 10可知，a 4＋a 5＋a 6＋a 7＋a 8＋a 9＋a 10＝0，∴a 7＝0.又a 1>0，∴a 6>0，∴S n 取最大值时，n 的值为6或7.【答案】 6或714．某房地产开发商在销售一幢23层的商品楼之前按下列方法确定房价：由于首层与顶层均为复式结构，因此首层价格为a 1元/m 2，顶层由于景观好价格为a 2元/m 2，第2层价格为a 元/m 2，从第3层开始每层在前1层价格上加价a 100元/m 2，则该商品房各层的平均价格为________．【解析】 设第2层到第22层的价格构成数列{b n }，则{b n }是等差数列，b 1＝a ，公差d ＝a 100，共21项．所以其和为S 21＝21a ＋21×202·a 100＝23.1a .故平均价格为123(a 1＋a 2＋23.1a )元/m 2.【答案】 123(a 1＋a 2＋23.1a )元/m 2三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)公差d ≠0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 4是a 3与a 7的等比中项，且S 8＝32，求S 10的大小．【解】 根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧(a 1＋3d )2＝(a 1＋2d )(a 1＋6d )，8a 1＋28d ＝32，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－3，d ＝2，所以S 10＝S 8＋a 9＋a 10＝32＋2a 1＋17d ＝60.16．(本小题满分12分)(2013·德州高二检测)设{a n }是一个公差为d (d ≠0)的等差数列，它的前10项和S 10＝110，且a 1，a 2，a 4成等比数列．(1)证明：a 1＝d ；(2)求公差d 的值和数列{a n }的通项公式．【解】 (1)证明：因a 1，a 2，a 4成等比数列，故a 22＝a 1a 4，而{a n }是等差数列，有a 2＝a 1＋d ，a 4＝a 1＋3d ，于是(a 1＋d )2＝a 1(a 1＋3d )，即a 21＋2a 1d ＋d 2＝a 21＋3a 1d ，化简得a 1＝d .(2)由条件S 10＝110和S 10＝10a 1＋10×92d ，得到10a 1＋45d ＝110，由(1)a 1＝d ，代入上式得55d ＝110，故d ＝2，a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n .17．(本小题满分12分)等比数列{a n }的各项均为正数，且2a 1＋3a 2＝1，a 23＝9a 2a 6.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ，求数列{1b n}的前n 项和． 【解】 (1)设数列{a n }的公比为q .由a 23＝9a 2a 6，得a 23＝9a 24，所以q 2＝19. 由条件可知q >0，故q ＝13.由2a 1＋3a 2＝1，得2a 1＋3a 1q ＝1，所以a 1＝13.故数列{a n }的通项公式为a n ＝13n .(2)b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n＝－(1＋2＋…＋n )＝－n (n ＋1)2.故1b n ＝－2n (n ＋1)＝－2(1n －1n ＋1)， 1b 1＋1b 2＋…＋1b n＝－2[(1－12)＋(12－13)＋…＋(1n －1n ＋1)] ＝－2n n ＋1. 所以数列{1b n }的前n 项和为－2n n ＋1. 18．(本小题满分14分)(2013·绵阳高二检测)设数列{a n }的前n 项和为S n ，若对于任意的正整数n 都有S n ＝2a n －3n .(1)设b n ＝a n ＋3，求证：数列{b n }是等比数列，并求出{a n }的通项公式；(2)求数列{na n }的前n 项和．【解】 (1)∵S n ＝2a n －3n 对于任意的正整数都成立， ∴S n ＋1＝2a n ＋1－3(n ＋1)，两式相减，得S n ＋1－S n ＝2a n ＋1－3(n ＋1)－2a n ＋3n ∴a n ＋1＝2a n ＋1－2a n －3，即a n ＋1＝2a n ＋3，∴a n ＋1＋3＝2(a n ＋3)，即b n ＋1b n ＝a n ＋1＋3a n ＋3＝2对一切正整数都成立． ∴数列{b n }是等比数列．由已知得S 1＝2a 1－3， 即a 1＝2a 1－3，∴a 1＝3，∴首项b 1＝a 1＋3＝6，公比q ＝2，∴b n ＝6·2n －1.∴a n ＝6·2n －1－3＝3·2n －3.(2)∵na n ＝3×n ·2n －3n ， ∴S n ＝3(1·2＋2·22＋3·23＋…＋n ·2n )－3(1＋2＋3＋…＋n ) 2S n ＝3(1·22＋2·23＋3·24＋…＋n ·2n ＋1)－6(1＋2＋3＋…＋n )， －S n ＝3(2＋22＋23＋…＋2n )－3n ·2n ＋1＋3(1＋2＋3＋…＋n )＝3·2(2n －1)2－1－6n ·2n ＋3n (n ＋1)2， ∴S n ＝(6n －6)·2n＋6－3n (n ＋1)2.。

高中数学第二章数列章末综合检测二含解析新人教A 版必修50621111章末综合检测(二)(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知数列1，3，5，7，3，11，…2n －1，…，则21是这个数列的( ) A ．第10项 B ．第11项 C ．第12项D ．第21项解析：选B.观察可知该数列的通项公式为a n ＝2n －1(事实上，根号内的数成等差数列，首项为1，公差为2)，令21＝2n －1，解得n ＝11，故选B.2．已知等比数列{a n }的前3项的和等于首项的3倍，则该等比数列的公比为( ) A ．－2 B ．1 C ．－2或1D ．2或－1解析：选C.由题设条件可得a 1＋a 1q ＋a 1q 2＝3a 1， 所以q 2＋q －2＝0，所以q ＝1或q ＝－2，故选C.3．在等差数列{a n }中，若a 2＋a 3＝4，a 4＋a 5＝6，则a 9＋a 10＝( ) A ．9 B ．10 C ．11D ．12解析：选C.设等差数列{a n }的公差为d ，则有(a 4＋a 5)－(a 2＋a 3)＝4d ＝2， 所以d ＝12.又(a 9＋a 10)－(a 4＋a 5)＝10d ＝5，所以a 9＋a 10＝(a 4＋a 5)＋5＝11.4．设等差数列{a n }的前n 项和是S n ，若－a m <a 1<－a m ＋1(m ∈N *，且m ≥2)，则必定有( ) A ．S m >0，且S m ＋1<0 B ．S m <0，且S m ＋1>0 C ．S m >0，且S m ＋1>0 D ．S m <0，且S m ＋1<0解析：选A.因为－a m <a 1<－a m ＋1，所以a 1＋a m >0，a 1＋a m ＋1<0，所以S m >0，且S m ＋1<0. 5．已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，下列选项中不可能是{S n }的图象的是( )解析：选D.因为S n 是等差数列{a n }的前n 项和，所以S n ＝an 2＋bn (a ，b 为常数，n ∈N *)，则其对应函数y ＝ax 2＋bx 的图象是过原点的一条曲线．当a ＝0时，该曲线是过原点的直线，如选项C ；当a ≠0时，该曲线是过原点的抛物线，如选项A ，B ；选项D 中的曲线不过原点，不符合题意．故选D.6．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，a 1＝1且a 1a 2a 3＝－8，则S 5S 2＝( ) A ．－11 B ．－8 C ．5D ．11解析：选A.设等比数列{a n }的公比为q ，因为a 1a 2a 3＝－8，所以a 32＝－8，a 2＝－2，又a 1＝1，所以q ＝－2，S 5S 2＝a 1（1－q 5）1－q ·1－q a 1（1－q 2）＝1－q 51－q 2＝1－（－2）51－（－2）2＝－11，故选A.7．已知公差不为0的等差数列{a n }的前23项的和等于前8项的和．若a 8＋a k ＝0，则k ＝( )A ．22B ．23C ．24D ．25解析：选C.等差数列的前n 项和S n 可看作关于n 的二次函数(图象过原点)．由S 23＝S 8，得S n 的图象关于n ＝312对称，所以S 15＝S 16，即a 16＝0，所以a 8＋a 24＝2a 16＝0，所以k ＝24.8．已知数列{a n }满足a 1＝2，4a 3＝a 6，⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等差数列，则数列{(－1)na n }的前10项的和S 10＝( )A ．220B ．110C ．99D ．55解析：选B.因为⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等差数列，所以可设a nn＝an ＋b .所以a n ＝an 2＋bn .因为a 1＝2，4a 3＝a 6，所以a ＋b ＝2，且4(9a ＋3b )＝36a ＋6b ，解得a ＝2，b ＝0，所以a n ＝2n 2.所以S 10＝2[(－12＋22)＋(－32＋42)＋…＋(－92＋102)]＝110.故选B.9．数列{a n }满足递推公式a n ＝3a n －1＋3n－1(n ≥2)，又a 1＝5，则使得⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋λ3n为等差数列的实数λ等于( )A ．2B ．5C ．－12D.12解析：选C.a 1＝5，a 2＝23，a 3＝95，令b n ＝a n ＋λ3n.则b 1＝5＋λ3，b 2＝23＋λ9，b 3＝95＋λ27，因为b 1＋b 3＝2b 2， 所以λ＝－12.10．各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＝3，S 3n ＝39，则S 4n ＝( ) A ．80 B ．90 C ．120D ．130解析：选C.由已知，可得公比q ≠1，q >0，因为S n ＝3，S 3n ＝39，所以a 1（1－q n ）1－q ＝3，a 1（1－q 3n ）1－q ＝39，两式相除化简可得q 2n ＋q n －12＝0，解得q n ＝3或q n＝－4(舍去)，所以a 11－q＝－32.则S 4n ＝a 1（1－q 4n）1－q ＝－32×(1－34)＝120.故选C.11．设b n ＝a n（a n ＋1）（a n ＋1＋1）(其中a n ＝2n －1)，数列{b n }的前n 项和为T n ，则T 5＝( ) A.3133 B.3233 C.3166D.1633解析：选 C.b n ＝2n －1（2n －1＋1）（2n＋1）＝12n －1＋1－12n ＋1，所以T n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫120＋1－121＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫121＋1－122＋1＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＋1－12n ＋1＝12－12n ＋1，所以T 5＝12－133＝3166. 12．对于正项数列{a n }，定义G n ＝a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na nn为数列{a n }的“匀称”值．已知数列{a n }的“匀称”值为G n ＝n ＋2，则该数列中的a 10等于( )A ．2 3 B.45 C ．1D.2110解析：选D.因为G n ＝a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na nn，数列{a n }的“匀称”值为G n ＝n ＋2， 所以a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝n (n ＋2)，①所以n ≥2时，a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋(n －1)a n －1＝(n －1)(n ＋1)，②①－②得na n ＝2n ＋1， 所以a n ＝2n ＋1n，n ≥2，当n ＝1时，a 1＝G 1＝3满足上式． 所以a n ＝2n ＋1n ，a 10＝2110.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上． 13．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 8＝4a 3，a 7＝－2，则a 9＝________． 解析：S 8＝8×（a 1＋a 8）2＝4(a 3＋a 6)．由于S 8＝4a 3，所以a 6＝0.又a 7＝－2，所以a 8＝－4，a 9＝－6.答案：－614．已知等比数列{a n }中，a 2a 10＝6a 6，等差数列{b n }中，b 4＋b 6＝a 6，则数列{b n }的前9项和为________．解析：因为数列{a n }是等比数列，所以a 2a 10＝a 26，又a 2a 10＝6a 6，所以a 26＝6a 6，解得a 6＝6，所以b 4＋b 6＝6.因为数列{b n }是等差数列，所以数列{b n }的前9项和为（b 1＋b 9）×92＝（b 4＋b 6）×92＝6×92＝27. 答案：2715．数列{a n }的通项公式为a n ＝(－1)n·n ·sin n π2＋1，其前n 项和为S n ，则S 100＝________．解析：由数列{a n }的通项公式得a 1＝0，a 2＝1，a 3＝4，a 4＝1，a 5＝－4，a 6＝1，a 7＝8，a 8＝1，…，四项为一组，每组的和都是6，故S 100＝25×6＝150.答案：15016．已知等差数列{a n }中，a 3＝7，a 6＝16，将此等差数列的各项排成如下三角形数阵：a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9 a 10… … … … …则此数阵中第20行从左到右的第10个数是________．解析：第1行有1项，第2行有2项，第3行有3项，故前19行共有19×202＝190(项)，第20行第10项为数列{a n }中的第200项．又a 3＝7，a 6＝16，所以公差d ＝a 6－a 36－3＝16－73＝3，所以a n ＝a 3＋(n －3)·d ＝7＋3(n －3)＝3n －2，所以a 200＝3×200－2＝598.答案：598三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分10分)已知数列{a n }为等差数列，且a 1＋a 5＝－12，a 4＋a 8＝0. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若等比数列{b n }满足b 1＝－8，b 2＝a 1＋a 2＋a 3，求数列{b n }的通项公式． 解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ， 因为a 1＋a 5＝2a 3＝－12，a 4＋a 8＝2a 6＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝－6a 6＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝－6a 1＋5d ＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－10d ＝2，所以a n ＝－10＋2(n －1)＝2n －12. (2)设等比数列{b n }的公比为q ， 因为b 2＝a 1＋a 2＋a 3＝－24，b 1＝－8， 所以－8q ＝－24，即q ＝3， 因此b n ＝b 1·qn －1＝(－8)×3n －1.18．(本小题满分12分)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，公差d ≠0，且S 3＝9，a 1，a 3，a 7成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2a n ，求数列{b n }的前n 项和T n .解：(1)因为a 1，a 3，a 7成等比数列，所以a 23＝a 1a 7，即(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋6d )． 化简得d ＝12a 1，d ＝0(舍去)．所以S 3＝3a 1＋2×32×12a 1＝92a 1＝9，得a 1＝2，d ＝1，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2＋(n －1)＝n ＋1， 即a n ＝n ＋1. (2)因为b n ＝2a n ＝2n ＋1，所以b 1＝4，b n ＋1b n＝2. 所以数列{b n }是以4为首项，2为公比的等比数列．所以T n ＝b 1（1－q n ）1－q ＝4（1－2n ）1－2＝2n ＋2－4.19．(本小题满分12分)已知等比数列{a n }满足a 3＋a 4＝12，a 1a 6＝32，前n 项和为S n ，且公比q >1.(1)求证：S n ＝2a n －1； (2)求证：1a 1＋1a 2＋…＋1a n<2.证明：(1)因为数列{a n }为等比数列， 所以a 1a 6＝a 3a 4＝32.由⎩⎪⎨⎪⎧a 3＋a 4＝12a 3a 4＝32，得⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝4a 4＝8或⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝8a 4＝4， 由公比q >1，得⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝4a 4＝8，故⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1q ＝2，所以a n ＝2n －1，S n ＝1－2n1－2＝2n －1＝2a n －1.(2)由(1)知a n ＝2n －1，所以1a 1＋1a 2＋…＋1a n ＝1＋12＋…＋12n －1＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n1－12＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＝2－12n －1<2. 20．(本小题满分12分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＝2S n －1(n ∈N *)． (1)求证：数列{a n }为等比数列；(2)若b n ＝(2n ＋1)a n ，求数列{b n }的前n 项和T n .解：(1)证明：当n ＝1时，a 1＝2S 1－1＝2a 1－1，解得a 1＝1；当n ≥2时，a n ＝2S n －1，a n －1＝2S n －1－1，两式相减得a n －a n －1＝2a n ，化简得a n ＝－a n －1，所以数列{a n }是首项为1，公比为－1的等比数列．(2)由(1)可得a n ＝(－1)n －1，所以b n ＝(2n ＋1)·(－1)n －1，法一(并项求和法)：当n 为偶数时，b n －1＋b n ＝－2，T n ＝n2×(－2)＝－n ；当n 为奇数时，n ＋1为偶数，T n ＝T n ＋1－b n ＋1＝－(n ＋1)－[－(2n ＋3)]＝n ＋2.综上，数列{b n }的前n 项和T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－n ，n 为偶数，n ＋2，n 为奇数.法二(错位相减法)：T n ＝3·(－1)0＋5·(－1)1＋7·(－1)2＋…＋(2n ＋1)·(－1)n －1，－T n ＝3·(－1)1＋5·(－1)2＋…＋(2n －1)·(－1)n －1＋(2n ＋1)·(－1)n，两式相减得2T n ＝3＋2·(－1)1＋2·(－1)2＋…＋2·(－1)n －1－(2n ＋1)(－1)n＝3＋2·－[1－（－1）n －1]1－（－1）－(2n ＋1)·(－1)n＝(2n ＋2)·(－1)n －1＋2.所以数列{b n }的前n 项和T n ＝(n ＋1)·(－1)n －1＋1.21．(本小题满分12分)设{a n }是等差数列，其前n 项和为S n (n ∈N *)；{b n }是等比数列，公比大于0，其前n 项和为T n (n ∈N *)，已知b 1＝1，b 3＝b 2＋2，b 4＝a 3＋a 5，b 5＝a 4＋2a 6.(1)求S n 和T n ；(2)若S n ＋(T 1＋T 2＋…＋T n )＝a n ＋4b n ，求正整数n 的值． 解：(1)设等比数列{b n }的公比为q (q >0)． 由b 1＝1，b 3＝b 2＋2，可得q 2－q －2＝0. 因为q >0，可得q ＝2，故b n ＝2n －1.所以T n ＝1－2n1－2＝2n－1.设等差数列{a n }的公差为d .由b 4＝a 3＋a 5，可得a 1＋3d ＝4. 由b 5＝a 4＋2a 6，可得3a 1＋13d ＝16，从而a 1＝1，d ＝1， 故a n ＝n ，所以S n ＝n （n ＋1）2.(2)由(1)有T 1＋T 2＋…＋T n ＝(21＋22＋ (2))－n ＝2×（1－2n）1－2－n ＝2n ＋1－n －2.由S n ＋(T 1＋T 2＋…＋T n )＝a n ＋4b n 可得n （n ＋1）2＋2n ＋1－n －2＝n ＋2n ＋1.整理得n 2－3n －4＝0，解得n ＝－1(舍去)或n ＝4. 所以n 的值为4.22．(本小题满分12分)在等差数列{a n }中，a 3＝6，a 8＝26，S n 为等比数列{b n }的前n 项和，且b 1＝1，4S 1，3S 2，2S 3成等差数列．(1)求数列{a n }与{b n }的通项公式；(2)设c n ＝|a n |·b n ，求数列{c n }的前n 项和T n . 解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ， 等比数列{b n }的公比为q .由题意，得a 8－a 3＝5d ＝26－6＝20， 所以d ＝4，所以a n ＝a 3＋(n －3)d ＝4n －6. 因为6S 2＝4S 1＋2S 3，即3(b 1＋b 2)＝2b 1＋b 1＋b 2＋b 3， 所以b 3＝2b 2.所以公比q ＝2，所以b n ＝2n －1.(2)由(1)可得，c n ＝|4n －6|·2n －1＝|2n －3|·2n.①当n ＝1时，2n －3<0，所以T 1＝c 1＝2. ②当n ≥2时，2n －3>0，所以c n ＝(2n －3)·2n，T n ＝2＋1×22＋3×23＋5×24＋…＋(2n －3)×2n ，所以2T n ＝4＋1×23＋3×24＋…＋(2n －3)×2n ＋1.所以－T n ＝2＋2×(23＋24＋ (2))－(2n －3)×2n ＋1＝2＋2×23×（1－2n －2）1－2－(2n －3)×2n ＋1＝－14＋(5－2n )×2n ＋1. 所以T n ＝(2n －5)·2n ＋1＋14.当n ＝1时，满足上式． 所以T n ＝(2n －5)·2n ＋1＋14.。

第2章数列2.1 数列A级基础巩固一、选择题1．下列命题中错误的是( )A．f（n)＝2n－1（n∈N＊）是数列的一个通项公式B．数列通项公式是一个函数关系式C．任何一个数列中的项都可以用通项公式来表示D．数列中有无穷多项的数列叫作无穷数列答案：C2．下列说法中正确的是（）A．数列2，3,5可表示为｛2，3，5｝B．数列2，4，6,8与数列8,6，4，2是相同的数列C．集合｛1,3，5，7｝与集合{7,5，3，1}是相同的集合D．数列1,3，5，7，…可记为{2n＋1}（n∈N*）解析：考查数列的定义及数列与数集的区别．答案：C3．数列1，3,7,15，…的一个通项公式是a n＝( )A．2n B．2n＋1C．2n－1D．2n－1解析：由数列的前四项可知，该数列的一个通项公式为a n＝2n －1。

答案：D4．数列｛a n}的通项公式是a n＝错误!则这个数列的前3项是（）A．1,4，9 B．2,4，9C．2,1，4 D．2，6，11解析：考查数列的通项．答案：B5．已知数列错误!，错误!，错误!，错误!，…,错误!，…,则0。

96是该数列的第( ）A．20项B．22项C．24项D．26项解析：由a n＝nn＋1，令错误!＝0.96，解得n＝24。

即a24＝0。

96.答案:C 二、填空题6．数列｛a n｝的通项公式为a n＝(－1）n12n＋1,则a10＝______；a2n＋1＝________．解析:a10＝（－1）10错误!＝错误!，a2n＋1＝(－1）2n＋1错误!＝－错误!。

答案：错误!－错误!7．已知a n＝n2－7n＋6，则从第________项起｛a n}的各项为正数．解析：由n2－7n＋6＞0得n＜1或n＞6，而n∈N*，所以n＞6。

答案：78．由数列错误!,错误!，错误!，错误!，…，可得有序数对(a,b）为________．解析：从上面的规律可以看出错误!解得错误!答案：错误!三、解答题9．根据数列的通项公式，写出数列的前5项,并用图象表示出来．(1)a n＝（－1)n＋2；（2)a n＝错误!。