河北区2021－2022学年度高三年级总复习质量检测（一）数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至8页.第Ⅰ卷（选择题共45分）注意事项：1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码.2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答在试卷上的无效.3.本卷共9小题，每小题5分，共45分.参考公式：如果事件A ，B 互斥，那么()()()P A B P A P B =+ 如果事件A ，B 相互独立，那么()()()P AB P A P B =⋅球的表面积公式24S R π=球的体积公式343V R π=其中R 表示球的半径.1.已知集合{}1,2,3,4,5U =，{}1,2A =，{}2,3,4B =，则集合()U A B = ð（）A.{}1 B.{}2 C.{}1,2,5 D.{}1,2,3,42.设x ∈R ，则“1x <”是“()10x x -<”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.已知132a -=，21log 3b =，131log 4c =，则（）A.a b c >> B.a c b >>C.c b a>> D.c a b>>4.某高校调查了400名学生每周的自习时间（单位：小时），绘制成如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[]17.5,30，样本数据分组为[)17.5,20，[)20,22.5，[)22.5,25，[)25,27.5，[]27.5,30.则根据直方图这400名学生中每周的自习时间不足22.5小时的人数是（）A.60B.90C.130D.1505.函数()22ln x xy x -=+的图像大致为（）A.B.C.D.6.一个圆锥的底面圆周和顶点都在一个球面上，已知圆锥的底面面积与球面面积比值为29，则这个圆锥体积与球体积的比值为（）A.881 B.827C.481或881D.427或8277.将函数()sin 232f x x x =+的图象向右平移π6个单位长度后得到函数()g x 的图象，则函数()g x 的一个单调递增区间为（）A.ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B.π3π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.ππ,36⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D.π,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦8.已知双曲线()2222:1,0x y C a b a b -=>的离心率为3，O 为坐标原点，过右焦点F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M 、N ，且OMN 为直角三角形，若2ONM S =△，则C 的方程为（）A.221124x y -=B.22162x y -= C.2213x y -= D.22126x y -=9.已知a 为正常数，()2221,321,x ax x a f x x ax a x a⎧-+≥=⎨-++<⎩,若存在,42ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，满足()()sin cos f f θθ=，则实数a 的取值范围是A.1,12⎛⎫⎪⎝⎭B.,12⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭C.(D.1,22⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭第Ⅱ卷注意事项：1.答卷前将密封线内的项目填写清楚.2.用黑色墨水的钢笔或签字笔答在答题纸上.3.本卷共11小题，共105分.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.请将答案写在答题纸上.10.i 是虚数单位，则1i1i+-的值为__________.11.在8+的展开式中，x 的系数等于__．12.袋子中有5个大小相同的小球，其中3个红球，2个白球.每次从袋子中随机摸出1个球，摸出的球不再放回，则两次都摸到红球的概率为_______；在第一次摸到红球的条件下，第二次摸到红球的概率为_______.13.经过点()5,5P 的直线l 被圆C ：2225x y +=截得的弦长为l 的方程为__________.14.已知0a >，0b >，且1a b +=，则11a ba b +++的最大值为__________.15.已知ABC 是边长为2的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得3DE EF =，则AF BC ⋅的值为_______．三、解答题：本大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin sin sin A b cB C b a+=--.（1）求角C 的大小；（2）若3cos 3A =，求()sin 2A C -的值.17.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，AC BC ⊥，12AC BC BB ===，1AB BB ⊥，D 为AB 的中点，且1CD DA ⊥.（1）求证：1BB ⊥平面ABC ；（2）求直线1DC 与平面1CDA 所成角的正弦值；（3）求平面1CDA 与平面11CD A 的夹角的余弦值.18.设数列{}n a 的前n 项和14n n S -=，（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令19(3)(3)nn n n a b a a +=++，记数列{}n b 前n 项和为n T ，求n T ；（3）利用第二问结果，设λ是整数，问是否存在正整数n ，使等式13758n n T a λ++=成立？若存在，求出λ和相应的n 值；若不存在，说明理由．19.已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的一个顶点恰好是抛物线D ：24x y =的焦点，离心率为2.（1）求椭圆C 的方程；（2）设()1,0A a -，()2,0A a ，()0,B b ，M 是椭圆C 上一点，且不与顶点重合，若直线1A B 与直线2A M 交于点P ，直线1A M 与直线2A B 交于点Q .证明BPQ V 是等腰三角形.20.已知函数()ln f x x a x =+，()ln 2x g x e x x -=--.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若()00g x =，求00ln x x +的值；（3）证明：2ln x x x x e x --≤+.河北区2021－2022学年度高三年级总复习质量检测（一）数学参考答案1.A【分析】求出U B ð，计算求解即可.【详解】根据题意得，{}1,5U B =ð，所以(){}1U A B =I ð.故选：A.2.B【分析】根据二次不等式解法解不等式()10x x -<，根据充分条件和必要条件的概念即可判断.【详解】()1001x x x -<⇒<<，设A ＝{x |1x <}，B ＝{x |01x <<}，∵BA ，∴“()10x x -<”是“1x <”的充分不必要条件，“1x <”是“()10x x -<”的必要不充分条件.故选：B .3.D性质结合中间值0和1比较后可得．【详解】1030221a -<=<=，21log 03b =<，1331log log 414c ==>，所以c a b >>.故选：D .【点睛】本题考查对数与幂的大小比较，掌握指数函数和对数函数的性质是解题关键，对于不同类型的幂、对数比较大小时可中间值如1、0等比较．4.B【分析】由频率分布直方图数据求解【详解】由图可得自习时间不足22.5小时的频率为(0.020.07) 2.50.225+⨯=则人数为4000.22590⨯=故选：B 5.B【分析】本题首先可根据()()f x f x -=得出函数()f x 是偶函数，D 错误，然后通过()20f >得出A 错误，最后通过()10f =判断出C 错误，即可得出结果.【详解】因为()()22ln x xf x x -=+×，定义域为()(),00,∞-+∞U ，又()()()()22ln 22ln xx x x f x x x f x ---=+-=+=，0x ≠，所以函数()f x 是偶函数，D 错误，令2x =，则()()22222ln 20f -=+×>，A 错误，令1x =，则()()11122ln10f -=+×=，C 错误，故选：B.6.D【分析】设圆锥的底面半径为r ，球的半径为R ，由圆锥的底面面积与球面面积比值为29，得到r 与R 的关系，计算出圆锥的高，从而求出圆锥体积与球体积的比.【详解】设圆锥的底面半径为r ，球的半径为R ，∵圆锥的底面面积与球面面积比值为29，∴22249r R ππ=，则223r R =；设球心到圆锥底面的距离为d，则13d R ==，所以圆锥的高为43h d R R =+=或23h R d R =-=，设圆锥体积为1V 与球体积为2V ，当43h R =时，圆锥体积与球体积的比为22133214133383442733R R r h V V R R ππππ⎛⎫ ⎪⎝⎭===，当43h R =时，圆锥体积与球体积的比为22133212133343442733R R r h V V R R ππππ⎛⎫ ⎪⎝⎭===.故选：D【点睛】求球的内接圆锥的体积关键是找球心到圆锥底面的距离，从而可以求出圆锥的底面半径和圆锥的高，代公式即可求出圆锥体积.7.A【分析】先对函数()f x 解析式化简，然后通过平移变换得到函数()g x 解析式，然后求解出函数()g x 的单调递减区间，通过对k 进行赋值选取合适的单调区间即可.【详解】因为()πsin 222sin(23f x x x x ==+，函数图象向右平移6π个单位长度后得到函数()g x ，即()ππ2sin 2(2sin 263g x x x ⎡⎤=-+=⎢⎥⎣⎦，函数()g x 的单调递增区间为：ππ2π22π(Z)22k x k k -+≤≤+∈，解得ππππ(Z)44k x k k -+≤≤+∈，当0k =时，ππ44x -≤≤，故选项A 正确；当1k =时，3π5π44x ≤≤，选项B 错误；当1k =-时，5π3π44x -≤≤-，选项C 、选项D 错误.故选：A.8.C【分析】利用双曲线的离心率得出3b a =，可得a =，2c b =，由OMN 为直角三角形可得出直线MN的方程，求出点N 的坐标，可得出ON 、MN ，再由2ONM S =△可求得b 、a 的值，进而可得出双曲线C 的方程.【详解】由于双曲线C 的离心率为3c e a ===，3b a ∴=，可得a =，2c b =，设点M 、N 分别为直线33y x =、3y x =-上的点，且MN ON ⊥，则直线MN的方程为)2y x b =-，联立)23y x b y x ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩，解得322x b y b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以点3,22b N ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，则ON ==，易知3MON π∠=，tan 33MN ON b π∴===，所以，21222ONMSON MN b =⋅==，解得1b =，a ∴=因此，双曲线C 的方程为2213x y -=.故选：C.【点睛】本题考查双曲线方程的求解，要结合题意得出关于a 、b 、c 的方程组，考查计算能力，属于中等题.9.D【分析】先根据题意分析出函数()f x 关于直线x a =对称，再利用对称性求出a 的表达式，再求a 的范围.【详解】设()21g x x ax =-+，则其关于直线x a =对称的曲线为()2,g x a -+()()()2222221321g x a x a a x a x ax a -+=-+--+=-++所以函数()f x 的图象关于直线x a =对称，且在[),a +∞上为增函数．因为()()sin cos f f θθ=，所以sin cos sin 224a θθπθ+⎛⎫==+ ⎪⎝⎭．又因为,42ππθ⎛⎫∈⎪⎝⎭，3,424πππθ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭．所以1sin 2422a πθ⎛⎫⎛⎫=+∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，．故选D.【点睛】本题考查函数的对称性判断、三角恒等变换，属于中档题.函数对称性的判断方法：（1）若函数()f x 在定义域上，满足()() f a x f b x +=-，则函数()f x 关于直线2a bx +=对称；（2）若函数()f x 在定义域上，满足()() f a x f b x c ++-=，则函数()f x 关于点(,)22a b c+中心对称；10.1【分析】根据复数的计算法则计算即可.【详解】1i1i +=-()()2(1i)2i i 11i 1i 2+===-+.故答案为：1.11.7【分析】由题，得8114221881122rrrr r r r T C x x C x---+⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，令3r =，即可得到本题答案.【详解】由题，得8114221881122rrrr r r r T C x x C x ---+⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，令3r =，得x 的系数338172C ⎛⎫== ⎪⎝⎭.故答案为：7【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，属基础题.12.①310##0.3②12##0.5【分析】分别利用古典概型的概率和条件概率求解.【详解】解：因为袋子中有5个大小相同的小球，其中3个红球，2个白球，每次从袋子中随机摸出1个球，摸出的球不再放回，所以两次都摸到红球的概率为11321154310C C p C C ==设第一次摸到红球的事件为A ，第二次摸到红球的事件为B,所以在第一次摸到红球的条件下，第二次摸到红球的概率为()()()11321154113411541|2C C p AB C C p B AP A C C C C ===，故答案为：310，1213.250x y -+=或250x y --=【分析】根据题意分别讨论斜率存在和不存在两种情况即可.【详解】当直线斜率不存在时：方程为5x =，此时直线与圆相切无弦长，故不符合题意；当斜率存在时，设直线为()55y k x -=-，即550kx y k --+=，圆心到直线的距离为d =，圆的半径为5，(2225+=，所以22520k k -+=，解得12k =或2k =，所以直线方程为250x y -+=或250x y --=.故答案为：250x y -+=或250x y --=.14.23【分析】将11a b a b +++化简为：11211a b ⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭，先求1111a b +++的最小值，再求11211a b ⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭的最大值，即可得出答案.【详解】1111111111211111111a b a b a b a b a b a b +-+-⎛⎫+=+=-+-=-+ ⎪++++++++⎝⎭.因为0a >，0b >，且1a b +=，所以()11111111131a b a b a ⎛⎫⎛+⋅=++++ ⎪ +++⎝⎭⎝()1111142222311333b a a b ⎛++⎛⎫=++≥+=+= ⎪ ++⎝⎭⎝，当且仅当11111b a a b a b ++⎧=⎪++⎨⎪+=⎩即12a b ==时取等.所以114222111133a b a b a b ⎛⎫+=-+≤-= ⎪++++⎝⎭.，即11a b a b +++的最大值为23.故答案为：23.15.13【分析】利用平面向量基本定理表示出1223AF AB AC =+ ，再利用数量积的运算即可解决问题．【详解】点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，且3DE EF =所以：14141122323223AF AD DF AB DE AB AC AB AC ⎛⎫=+=+=+=+ ⎪⎝⎭所以AF BC ⋅ =()221211223263AB AC AC AB AB AB AC AC ⎛⎫+⋅-=--⋅+ ⎪⎝⎭ ，又ABC 是边长为2的等边三角形，则22cos 23AB AC π⋅=⨯⨯= 所以AF BC ⋅ =2211212633AB AB AC AC --⋅+= 【点睛】本题主要考查了平面向量基本定理及向量运算知识，还考查了数量积的定义，考查计算能力，属于基础题．16.（1）3C π=（2）6+【分析】（1）利用正弦定理化简sin sin sin A b c B C b a +=--，得222a b c ab +-=，再利用余弦定理进行计算即可求解（2）由3cos 3A =，得6sin 3A ==，进而利用倍角公式和和差公式进行求解即可【小问1详解】∵sin sin sin A b c B C b a+=--，由正弦定理得，a b c b c b a +=--，化简得222a b c ab +-=.由余弦定理得，2221cos 22a b c C ab +-==.又0C π<<，∴3C π=.【小问2详解】由cos 3A =，得sin 3A ==.∴sin 22sin cos 3A A A ==，21cos 22cos 13A A =-=-.∴()sin 2sin 2sin 2cos cos 2sin 3336A C A A A πππ+⎛⎫-=-=-= ⎪⎝⎭17.（1）证明见解析（2）3（3）5【分析】（1）先证明出CD ⊥平面11ABB A 得到1CD BB ⊥，利用线面垂直的判定定理即可证明1BB ⊥平面ABC ；以C 为原点，CB ，1CC ，CA 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，用向量法求解（2）（3）.【小问1详解】∵AC BC =，D 为AB 的中点，∴CD AB ⊥.又1CD DA ⊥，1AB DA D ⋂=，AB Ì平面11ABB A ，1DA ⊂平面11ABB A ，∴CD ⊥平面11ABB A ，∴1CD BB ⊥.又1AB BB ⊥，AB CD D = ，AB Ì平面ABC ，CD ⊂平面ABC ，∴1BB ⊥平面ABC .【小问2详解】由（1）可知1CC ⊥平面ABC .又AC BC ⊥.以C 为原点，CB ，1CC ，CA 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则()000C ,,，()2,0,0B ，()0,0,2A ，()10,2,0C ，()10,2,2A ，()1,0,1D .∴()11,2,1DC =-- .设平面1CDA 的法向量为(),,n x y z = .∵()1,0,1CD = ，()10,2,2CA = ，∴100n CD n CA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即0,220.x z y z +=⎧⎨+=⎩不妨取1x =，得()1,1,1n =-.设直线1DC 与平面1CDA 所成的角为α，则1112sin cos ,3DC n DC n DC n α⋅====⋅ .∴直线1DC 与平面1CDA所成角的正弦值为3.【小问3详解】设平面11CD A 的法向量为(),,m x y z = .∵()110,0,2C A = ，()11,2,1DC =-- ，∴11100m C A m DC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即20,20.z x y z =⎧⎨-+-=⎩取1y =，得()2,1,0m = .设平面1CDA 与平面11CD A 的夹角为，如图示，平面1CDA 与平面11CD A 的夹角为锐角（或直角），则15cos cos ,5m n m n m n θ⋅====⋅ .∴平面1CDA 与平面11CD A的夹角的余弦值为5.18.（1）21,134,2n n n a n -=⎧=⎨⨯≥⎩;（2）171841n --+（3）当4λ=时，存在正整数2n =，使等式13758n n T a λ++=成立，当4,λ≠时，不存在正整数n 使等式13758n n T a λ++=成立.【分析】（1）直接由n a 与n S 的关系求解；（2）将（1）中求得的结果代入n b ，化简后利用裂项相消法求和；（3）将λ表示为含n 的等式，利用λ是整数，找出符合条件的n 即可.【详解】（1）令n ＝1得，111a S ==；当n 2≥时，2134n n n n a S S --=-=⨯，所以21,134,2n n n a n -=⎧=⎨⨯≥⎩（2）当2n ≥时，234n n a -=⨯,此时22119934(3)(3)(343)(343)n n n n n n n a b a a ---+⨯⨯==++⨯+⨯+21114141n n --=-++，又111293(3)(3)8a b a a ==++∴213,1811,24141n n n n b n --⎧=⎪⎪=⎨⎪-≥⎪++⎩.故1138T b ==，当2n ≥时，2221323131111(()841414141n T ----=+-+-+++++32211111()()41414141n n n n ----+-+-++++ 171841n -=-+.（3）若1n =，则等式13758n n T a λ++=为3858λ+=52λ=不是整数，不符合题意；若2n ≥，则等式13758n n T a λ++=为11717841548n n λ---+=+⨯，11154554141n n n λ---⨯==-++∵λ是整数,∴141n -+必是5的因数,∵2n ≥时1415n -+≥∴当且仅当2n =时，1541n -+是整数，从而4λ=是整数符合题意.综上可知，当4λ=时，存在正整数2n =，使等式13758n n T a λ++=成立，当4,λ≠时，不存在正整数n 使等式13758n n T a λ++=成立【点睛】本题考查了数列的通项与前n 项和的关系，考查了裂项求和法，考查了分析问题解决问题的能力及逻辑思维能力，属于难题.19.（1）2214x y +=（2）证明见解析【分析】（1）解方程组22212b a b c c a⎧⎪=⎪⎪=+⎨⎪⎪=⎪⎩即得解；（2）联立直线()11:202A M y k x k k ⎫⎛=+≠±≠ ⎪⎝⎭和椭圆方程得到214A M k k=-，解方程得到244,2121k k Q k k -⎫⎛ ++⎝⎭，242,2121k P k k -⎫⎛ ⎪++⎝⎭，得BN 为BPQ V 的中线且PQ BN ⊥，即得证.【小问1详解】由题意得，抛物线24x y =的焦点坐标为()0,1，∴1b =.∵2c a =，又222a b c =+，解得2a =.∴椭圆C 的方程为2214x y +=.【小问2详解】证明：（2）由（1）可得，()12,0A -，()22,0A ，()0,1B ，直线1A B 的方程为112y x =+.直线2A B 的方程为112y x =-+.设直线1A M 的方程为()2y k x =+（12k ≠±，且0k ≠）.由()222,14y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩消去y ，整理得()222241161640k x k x k +++-=.∵()()()2222164411640k k k =-+⨯->△，∴12216441A M k x x k -⋅=+，即222841M k x k -=+.∴2441M k y k =+，20124M A M M y k x k -==--.∴直线2A M 的方程为()124y x k=--.由()11,2124y x y x k ⎧=+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩得242,2121k P k k -⎫⎛ ⎪++⎝⎭.由()2,112y k x y x ⎧=+⎪⎨=-+⎪⎩得244,2121k k Q k k -⎫⎛ ⎪++⎝⎭.∴PQ x ⊥轴.又PQ 的中点N 的坐标为24,121k k -⎫⎛ ⎪+⎝⎭，∴BN x ∥轴.∴BPQ V 的中线BN PQ ⊥.故BPQ V 是等腰三角形.20.（1）见详解；（2）0；（3）见详解.【分析】（1）求解()f x '，然后讨论a 的范围，进行判断即可.（2）根据()00g x =可得0000ln x e x x x --=+，然后换元0x t e -=，可得00ln ln t t x x +=+，最后根据（1）的条件，简单计算可得结果.（3）构造函数()2ln x h x x x x ex -=---，然后求导，根据（2）的条件进行判断可知()()0h x h x ≤，简单计算即可.【详解】（1）函数()f x 的定义域为()0,∞+由()1a x a f x x x+'=+=，当0a ≥时，()0f x '>，当0a <时，令()0f x '>，则x a >-；令()0f x '<，则0x a <<-所以当0a ≥时，函数()f x 在()0,∞+单调递增当0a <时，函数()f x 在()0,a -单调递减，在(),a -∞单调递增（2）由()00g x =，所以000ln 20x e x x ---=，即0000ln x e x x x --=+令0x t e -=，则0ln x t -=，所以00ln ln t t x x +=+由（1）可知，当1a =时，()ln f x x x =+在()0,∞+单调递增，所以00x t e x -==，所以000000ln ln 0x x x x e x x -+=+=-=（3）()2ln x h x x x x e x -=---，()()ln 2x h x g x e x x--=-'=容易判断()g x 在()0,∞+单调递减，且由（2）可知，()00g x =，则00ln 0x x +=所以若()00,x x ∈，()()0h x g x '=>；若()0,x x ∈+∞，()()0h x g x '=<所以可知函数()h x 在()00,x 单调递增，在()0,x +∞单调递减所以()()0h x h x ≤，()0200000ln x h x x x x ex -=---，又00ln x x =-，00x e x -=所以()22000000h x x x x x =+-=-，所以2ln x x x x e x --≤+【点睛】思路点睛：第（1）问利用导数并讨论a 的范围即可判断；第（2）问通过变形然后借用第（1）问的条件判断；第（3）问构造函数并借用（2）的条件可知.。
