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参数估计基础

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参数估计的基础(8)

参数估计的基础(8)

可信区间和可信限
❖ 可信区间（confidence interval 简记为CI） 可信区间是以上下可信限为界的一个范围。例如 95%的可信区间为（171.97，173.49）cm。
❖ 可信限（ confidence limit 简记为CL） 可信限是指上限和下限两个点值。如171.97为下限
结果报告：可将点值估计和区间估计同时写出 如 172.72（171.97，173.49）cm
例
该市19岁健康男大学生的身高的95%置信区间 (171.3,173.1)cm
总体均数可信区间的估计
可信 区间
已知
未知 但n足够大
未知 且n小
95% Sx
X±1.96x
X±1.96Sx
99% Sx
X±2 0.05（ ） X±t 0.01（）
（二）、总体概率的置信区间
表3.1 100个样本均数
173.22 172.06 170.89 174.07 172.60 173.14 172.61 172.26 171.93 172.85
175.23 173.76 174.77 172.57 171.76 172.74 173.36 173.69 171.10 173.40
呈正态分布； ④样本均数变异范围较原变量变异范
围大大缩小，这100个样本均数的 均数为167.69cm、标准差为1.69cm。
在非正态分布总体中可进行类似抽样。
数理统计推理和中心极限定理表明:
从 N (, 2 )中随机抽取n例的样本，样本均数 X也服从
正态分布,且
x
~
N
(,
2 x
)
即使从非正态总体中抽取样本，当n足够大（n>30),
本例n=27，S=15

参数估计基础

参数估计基础

▪
样本均数的总体标准差
x
资料的总体标准差
n
X ~ N(,x2)
11
正态总体样本均数的分布
❖样本均数的标准差 X ，称为样本均数的标准误 (standard error of mean ,SE)，简称均数标 准误 X
❖ 它反映样本均数之间的离散程度，也反映样本均 数抽样误差的大小。
❖误差大小 X ，实质是要估计 X 的分布中的离 散程度特征
72 74 74 73 66 67 80 73 64 75 78 69
70.1 4.4
-2.40
74 80 76 64 66 71 82 78 67 79 56 64 65 4
69 74 64 66 62 75 71 80 83 77 76 71
71.6 7.1
-0.90
75 72 79 74 76 65 80 71 74 75 79 74 73
1
72.8 6.3
76 70 67 63 76 65 78 72 72 78 74 81
0.30
74 61 65 75 67 78 72 70 67 74 74 74 74 2
77 72 69 81 71 60 70 67 78 78 77 64
71.6 5.5
-0.90
73 71 71 67 68 68 67 61 68 66 70 66 71 3
样本量 n=5 n=100
统计量 u t u t
平均值 0.0149031 0.0319309 0.0033231 0.0034704
P2.5 -1.950067 -2.654214 -1.950886 -1.981183
P97.5 1.969157 2.838163 1.971245 2.000407

第四章 参数估计

第四章 参数估计

x
n
总体标准差，若 未知，可用样本
标准差代替
36
总体均值的置信区间引例
(２ 未知)
例：某商场从一批袋装食品中随机抽取10袋，测得 每袋重量（单位：克）分别为789，780，794， 762，802，813，770，785，810，806，要 求以95%的把握程度，估计这批食品的平均每袋 重量的区间范围。假定食品重量服从正态分布。
0.95，Ｚ/2=1.96
x Z 2
n
,
x
Z
2
n
26 1.96 6 ,26 1.96 6
100
100
24.824,27.176
我们可以95％的概率保证平均每天 参加锻炼的时间在24.824～ 27.176 分钟之间。
一般置信水平
一般使用的置信水平是：90%, 95%, 99%
Confidence Level
▪ 总体服从正态分布,且总体方差（２）已知 ▪ 如果不是正态分布，可以由正态分布来近似 (n 30)
2. 使用正态分布统计量Ｚ
Z
x s
m ~ N (0,1)
n
3. 总体均值 在1-置信水平下的置信区间为
s
s
x
Za 2
,x n
Za 2 n
总体均值的置信区间
(２ 已知)
抽样极限误差:
s x Za 2 n
❖ 定理1
当总体 X ~ N ( m , s 2 ) 时，抽自该总体
的简单随机样本 x1 , x 2 , , x n 的样本平均数
服从数学期望为 ，方差为 s2的正态分布，
n
即 x ~ N (m, s2 ) 。
n
Z x ~ N (0,1) n

参数估计基础

参数估计基础
p =黑球数/50 每次摸出黑球的比例p服从二项分布，表示为：
p ~ B(n,π), 给定n=50, π =0.20. 共抽取100个样本，计算黑球的比例， p1,p2,…,p100.结果见表5-3。
表5-3 从B(n=50 =0.20)抽取的100 个样本频率的频数分布
黑球比例(%) 8.010.012.014.016.018.020.022.024.026.0-
试估计：该样本频率的抽样误差。 已知：p=41.5%,n=776,代入公式(5-4)得到标准误估 计值：
S pp 1 n p 0 .4 1 5 7 1 7 6 0 .4 1 5 0 .0 1 7 7 或 1 .7 7 %
标准误的估计值较小，说明用样本患病率 41.5%估计总体患病率的可靠性较好。
组段（cm） 152.6～
153.2～ 153.8～ 154.4～ 155.0～ 155.6～ 156.2～ 156.8～ 157.4～ 158.0～158.6
合计
频数 1
4 3 19 25 23 18 4 1 2 100
频率（％） 1.0
4.0 3.0 19.0 25.0 23.0 18.0 4.0 1.0 2.0 100.0
= 时，t分布就完全等于标准正态分布。 3、标准正态分布有两个固定常数（0，1）,t分 布只有一个参数 。
❖ 练习：
❖ 1、ν＝10，双侧尾部面积为0.05的t界值是？
❖ 2、ν＝100，单侧尾部面积为0.05的t界值是？
❖ 3、ν＝∞，双测尾部面积和单侧尾部面积分别 为0.05的界值是？
❖1、t 0.05/2，10＝2.228
两侧越分散； ➢ 随着 逐渐增大，t分布逐渐逼近标准正态分布；
当 趋于 时，t分布就完全成为标准正态分布。

统计基础知识学习之参数估计

统计基础知识学习之参数估计

总体总量、总体平均数、总体成数、总 体方差和标准差
总体平均数：是总体所研究标志的平均值， 用 表示。 X 例如：研究某县102个行政村的人均纯收入， 那么该县每个村的纯收入之和除以该县常 住人口数得到的平均数就是总体平均数。
X=
∑x
i =1
i
n
其中：xi为每个村的纯收入，n为该县常住人口数。
总体总量、总体平均数、总体成数、总 体方差和标准差
参数估计
二00八年六月 八年六月
主要内容
总体参数 统计量 估计的理论依据 统计误差 点估计 区间估计
一、参数估计的概念
估计就是根据从样本中收集的信息对总 体未知量进行推断的过程。参数估计就是 根据随机抽样调查得来的样本数据，对未 知的总体水平、结构、规模等数量特征进 行估计，即样本指标估计总体指标。
中心极限定理的意义
只要是服从正态分布，我们就有可能 开展抽样调查。 中心极限定理为点估计和区间估计奠 定了理论基础 。 我们就可以用样本代替总体，用样本 值来推断总体数。
二、统计误差
●统计误差是指统计数据与客观实际数量之
间的差异。 间的差异。
（一）登记误差和代表性误差
1、登记误差 登记误差又称工作误差，是指在调查、整理工作 中，由于各种主观原因引起的误差。 例如：由于指标含义不清、口径不同而造成的误 差；在登记、计算、抄写上有差错造成的误差。
2、样本指标
●样本指标是根据样本各单位标志值计算的综合
指标。 ●常用的样本指标有样本平均数、样本成数、样 本方差和样本标准差。
●样本指标一般用小写字母表示。
x
（三）参数估计的理论基础
●大数定律：
它说明：如果被研究的总体是由大 量的相互独立的随机因素组成，而且 每个因素对总体的影响都相对小，那 么对这些大量因素加以综合平均，因 素的个别影响将相互抵消，而呈现出 其共同作用的影响，使总体具有稳定 的性质。

第六章参数估计基础

第六章参数估计基础
正态近似法：当n足够大时，且样本频率p不太接近0或1时，p的抽样分布接近正态分布，此时，总体概率的置信区间为p+-Zα/2 * Sp.
1总体分布的形态和样本含量对样本均数的抽样分布会产生何种影响？
从正态分布的总体中随机抽样，样本均数呈正态分布；从非正态分布的总体中随机抽样，样本量n较小时，样本均数的分布仍呈非正态分布，当样本量n足够大时，样本均数的分布近似正态哦分布。
计算：σXbar=σ/√n.在实际应用中，总体标准差σ常常未知，需要用样本标准差S来估计。此时，均数标准误的估计值为SXbar=S/√n.由此式可见，若增加样本含量n可减小样本均数的抽样误差。
主要应用：1估计总体均数的置信区间。 2均数的假设检验。
样本频率的抽样分布和抽样误差：频率的标准误用符号σp表示，它反映了样本频率之间以及样本频率与总体概率之间的离散程度，也反映了样本频率抽样误差的大小。
1.点估计：直接用随机样本的样本均数Xbar作为总体均数μ的估计值或用样本频率p作为总体概率π的估计值的方法称为点估计。这是一种没有考虑抽样误差的简单估计方法。
2.区间估计：用已知样本统计量和标准误确定总体参数所在范围的方法称为区间估计。所估计的总体参数的范围通常称为参数的置信区间，，是一个开区间，这一估计可相信的程度称为置信度或置信水平。若标准差不变，置信度由95%提高到99%，置信区间便由窄变宽，估计的精度下降。
计算：σp=√（π(1-π)/n）。在实际应用中，总体概率π常常未知，需要用样本频率p来估计。因此频率标准误的估计值为Sp=√（p(1-p)/n-1）约等于 √（p(1-p)/n）。由此式可见，增加样本含量n可减小样本频率的抽样误差。
主要应用：1估计总体概率的置信区间 2频率指标的假设检验。

参数估计

参数估计

6. 参数估计6.1. 参数估计概述统计学包括四个方面的问题，其中之一就是统计推断。

所谓统计推断就是指，如果有一个总体，其分布和统计量都不知道，如一批生产出来的产品的质量。

这样就需要对其进行推断，如一批灯泡的平均使用寿命是多少，是否为合格品等。

统计推断就是解决这些问题。

统计推断分为两个方面，一方面是参数估计，另一方面是假设检验。

6.1.1.参数估计所谓参数估计就是通过对样本的研究，来确定总体的统计量。

其中又可分为点估计和区间估计两类。

点估计就是估计出总体的某一统计量的确切值，如总体的均值、方差等。

通常可以通过样本的相应值来进行估计。

如：样本的平均值∑=i X nx 1是总体平均值的估计量； 样本的方差为∑=--=ni i x x n s 122)(11是总体方差的估计量； 点估计的优点在于它能明确地给出所估计的参数。

但是一般说来，估计的数值与实际值之间是肯定会有误差存在的。

在实际工作中常常需要对这种误差进行衡量，也就是说还需要确定这个估计值的精度，或误差范围和可信程度。

因此就产生了区间估计的问题。

区间估计是通过样本来估计总体参数可能位于的区间。

例如说一批产品的平均使用寿命为1000小时，这仅仅是一个点估计，还需要说明大多数产品（95%）的使用寿命的上限和下限值，比如说位于800~1200小时之间，这就是一个区间估计值。

因此，在进行区间估计时，除了要给出一个区间值外，还需要同时指明可以信赖的程度，即在进行区间估计时，需要确定的是αθθθ-=<<1)ˆˆ(21p ，其中α为事先给定的一个很小的正数，如0.10, 0.05, 0.01或0.001等，称之为显著水平；1-α称为参数θ的置信概率，或置信水平。

θ1和θ2为所估计的参数θ的区间范围的上下限。

其含为我们有100（1-α）%的把握相信所估计的参数θ位于θ1和θ2的区间范围内。

6.1.2.估计量的评价标准对于所给出的估计来说，有些是好的，有些则不是。

参数估计的基础

参数估计的基础

参数估计基础抽样研究的目的就是要用样本信息来推断相应总体的特征，这一过程称为统计推断。

统计推断包括两方面的内容：参数估计和假设检验总体样本抽取部分观察单位统计量参数统计推断统计推断statistical inferenceμ如：样本均数样本标准差S样本率P 如：总体均数总体标准差总体率σπX 内容：1.参数估计(estimation of parameters)包括：点估计与区间估计2. 假设检验（testof hypothesis)误差：泛指测得值与真值之差，样本指标与总体指标之差。

误差按其产生的原因与性质分为两大类（系统误差和偶然误差）。

1.系统误差：由于受试对象、研究者、仪器设备、研究方法、非实验因素影响等确定性原因造成，有一定倾向性或规律性的误差。

可以避免。

2.随机测量误差：由于多种无法控制的偶然因素引起，对同一样品多次测量数据的不一致。

无倾向性，不可避免。

只可控制在一定的范围内。

3.抽样误差：由个体变异产生的、由于抽样而造成的样本统计量与样本统计量及样本统计量与总体参数之间的差异称为抽样误差。

无倾向性，不可避免。

均数的抽样误差、总体均数的估计、分布t1、均数的抽样误差和标准误抽样试验以110名20岁健康男大学生的身高作为假设的有限总体，其总体均数，标准差。

)(73.172cm =μ)(09.4cm =σ每次随机抽取10个人的身高作为一个样本，记录下数据并计算均数、标准差，再放回重新抽样，共重复100次，求得100个样本均数和标准差，其样本均数列入表3.1。

数理统计推理和中心极限定理表明:●从中随机抽取n 例的样本，样本均数也服从正态分布,且●即使从非正态总体中抽取样本，当n 足够大（n>30),分布仍近似正态分布。

●随着样本量的增大, 样本均数的变异范围也逐渐变窄。

X ),(2σμN X ),(~2x N x σμ2 样本频率的抽样分布与抽样误差从同一总体中随机抽出观察单位相等的多个样本，样本率与总体率及各样本率之间都存在差异，这种差异是由于抽样引起的，称为频率的抽样误差。

卫生统计学七版 第五章参数估计基础

卫生统计学七版 第五章参数估计基础

二、总体均数及总体概率的区间估计
（一）总体均数的置信区间
1、t 分布法
当 未知且 n 较小时，估计双侧置信 区间：
（X
-t
,
s X
,
X
t ,
s X
)
可简写为：
X
t ,
s X
或X t,
s n
总体均数的95%双侧置信区间为：X
t0.05,
s X
例5-2(P95) 已知某地27名健康成年男子血红蛋白 含量的均数为125g/L，标准差为15g/L，试估计该地健康 成年男子血红蛋白平均含量的95%和99%置信区间 。
二项分布 n 31 X 25 n X 6 查附表6，得7 37 改错
该药物治疗脑血管梗塞有效概率的95%置信区间为 63%～93%。
2、正态近似法 适用范围：np＞5,且n(1-p)＞ 5
例5-6（P96） 用某种仪器检查已确诊的乳腺癌患者 120名，检出乳腺癌患者94例，检出率为78.3%，试估计该 仪器乳腺癌总体检出率的95%置信区间。 np 1200.783 93.96 n(1 p) 1200.217 26.04
第三节 总体均数及总体概率的估计
一、参数估计的基础理论
参数估计区 点间 估估 计计
对总体参数估计的范围称为置信区间，用CI（confidence interval）
表示，其置信度为（1 ），一般取置信度为95%，即取为0.05，此区
间的较小值称为置信下限，较大值称为置信上限。一般进行双侧置信区 间的估计。
第五章 参数估计基础
公共卫生学院 邹焰

定量资料

统计描述等级资料（有序分类资 料）

医学统计学习题参数估计基础

医学统计学习题参数估计基础

实习六参数估计基础［实习目的与要求］1、掌握均数及频率标准误的计算；掌握总体均数95%和99%置信区间的计算及适用条件；掌握总体概率的95%和99%置信区间的计算及适用条件2、熟悉t分布的特征。

（一）最佳选择题1. 表示均数抽样误差大小的统计指标是__________ 。

A.标准差B.方差C.均数标准差D.变异系数E.样本标准误2. S x表示 ________ 。

A. 总体均数B•样本均数的标准差 C.总体均数离散程度D.变量x的离散程度E.变量x的可靠程度3. 标准误越大，则表示此次抽样得到的样本频率 ____________ 。

A. 系统误差大B.可靠程度越大C.抽样误差越大D.可比性越差E.代表性越差4. 要减小抽样误差，通常的做法是____________ 。

A.适当增加样本例数B.将个体变异控制在一个范围内C.严格挑选观察对象D.增加抽样次数E.减小系统误差5. 关于t分布的图形，下述那项是错误的 ________ 。

A. 当' 趋于：：时，标准正态分布是t分布的特例B. 当逐渐增大，t分布逐渐逼近标准正态分布C. ＞越小，则t分布的尾部越高D. t分布是一条以为中心左右对称的曲线E. t分布是一簇曲线，故临界值因自由度的不同而不同6. 已知某地25岁正常成年男性的平均收缩压为113.0mmHg，从该地随机抽取20名25岁正常成年男性，测得其平均收缩压为119.0mmHg。

113.0mmHg与119.00mmHg不同，原因是_________ 。

A.样本例数太少B.抽样误差C.总体均数不同D.系统误差E.个体差异太大7. 从上题的同一地区中再随机抽取20名8岁男孩，测得其平均收缩压为90.0mmHg ,标准差为9.8mmHg。

90.0mmHg 与113.0mmHg 不同，原因是__________ 。

A.样本例数太少B.抽样误差C.总体均数不同D.系统误差E.样本均数不可比8. 用上题的样本，估计该地8岁正常男孩的平均收缩压的95%的置信区间为_________ 。

第六章估计基本理论—参数估计

第六章估计基本理论—参数估计

Cramer-Rao下界定义：任何一个无偏估计子方差 的下界常叫做Cramer-Rao下界。
第六章估计基本理论—参数估计
8/58
第六章 估计的基本理论—参数估计 6．1估计子的性能
主讲:刘颖 2009年秋
定理1.1：令 X（ x1,x2, ,xN)为 一 个 样 fX 本 /是 向 量
X的 条 件 密 ˆ是 度 的一个。 无偏若 估计子，且
即 ln fX|Kˆ
其K 中 （ ）是 的某个 x的 不正 包整 含数。
主讲:刘颖 2009年秋
1．1估计子的性能 令x(t)是一个与未知参数θ有关的随机信号，
x1,x2,,xN 是采样值，
θ的估计子记为 ˆg(x1,x2, ,xN )
其g中 (x1,x2, ,xN)是用来 的估 一计 个样本函
1. 无偏性
无偏估计定义：若Eˆ,则 ˆ就是 的一个无
否则就是有偏估计子。
参数估计：利用样本数据来估计待定的参数。 参数估计方法： （1）点估计：需求一个估计子，它将给出待定参数的单个估 计值，这个估计值叫点估计值。 （2）区间估计：确定的是待定参数可能位于某个区间，这个 区间叫做置信区间估值。
第六章估计基本理论—参数估计
3/58
第六章 估计的基本理论—参数估计 6．1估计子的性能
主讲:刘颖 2009年秋
渐进无偏估计定义：
ˆ是 的一个有l偏 ib m 估 ˆ0 ， 计则 ˆ子 是 称 ，若
N
的渐进无偏估计子。
例题6.2 线性平稳过程的自相关函数的估计子为
R ˆ(m)1Nmx(n)x(nm)
Nn1 若假设观测数据 x(m)是独立的。判断它是否为无偏估 计，若是有偏估计，再判断是否为渐进无偏估计。

参 数 估 计

参 数 估 计

二、参 数 估 计
【例5-5】 设X～B(1,p)，(X1，X2,…,Xn)是取自总体X的一个子样， 试求参数p的极大似然估计量。
解：设(x1,x2,…,xn)是子样(X1，X2,…,Xn)的一组相应的取值。总体X 的分布律为
则似然函数为 取对数后，有 令
二、参 数 估 计
从而得p的极大似然估计值为 p的极大似然估计量为
项目
参数估计
二、参 数 估 计
一、 参数估计的基本原理
参数估计是指由样本指标值（统计量）估计总体指标值 （参数），即当总体的分布性质已知，但其所含参数真值未 知时，根据一组样本的观察值X1，X2,…,Xn来估计总体中未 知参数θ或θ的某函数。首先从样本(X1，X2,…,Xn)中提取有 关总体X的信息，即构造样本的函数——统计量 g(X1X2,…,Xn)；然后用样本值代入，求出统计量 g(x1,x2,…,xn)的值，用该值来作为相应待估参数的值。
二、参 数 估 计
二 、 评价估计量的标准
在参数估计中，用样本估计量 作为总体参数θ的估 计量，实际上，对于同一参数，用不同的估计方法求出的估 计量可能不相同，用相同的方法也可能得到不同的估计量。 也就是说，同一参数可能具有多种估计量，而且，从原则上 讲，任何统计量都可以作为未知参数的估计量，那么采用哪 一个估计量好呢？这就涉及估计量的评价问题，而判断估计 量好坏的标准是：有无系统偏差，波动性的大小，伴随样本 容量的增大是否越来越精确，这就是估计的无偏性、有效性 和一致性。
区间的概念，并给出在一定可信程度的前提下求置信区间的
方法，使区间的平均长度最短。
二、参 数 估 计
用给定的置信度1－α说明区间估计的可靠程度
，通常α取值很小，如取0.05、0.01，有时取0.1。

参数估计PPT课件

参数估计PPT课件
参数估计
目录
• 参数估计简介 • 最小二乘法 • 最大似然估计法 • 贝叶斯估计法 • 参数估计的评估与选择
01 参数估计简介
参数估计的基本概念
参数估计是一种统计学方法，用于估计未知参数的值。通过使用样本数据和适当的统计模型，我们可 以估计出未知参数的合理范围或具体值。
参数估计的基本概念包括总体参数、样本参数、点估计和区间估计等。总体参数描述了总体特征，而 样本参数则描述了样本特征。点估计是使用单一数值来表示未知参数的估计值，而区间估计则是给出 未知参数的可能范围。
到样本数据的可能性。
最大似然估计法的原理是寻找 使似然函数最大的参数值，该 值即为所求的参数估计值。
最大似然估计法的计算过程
确定似然函数的表达式
根据数据分布和模型假设，写出似然函数的表达式。
对似然函数求导
对似然函数关于参数求导，得到导数表达式。
解导数方程
求解导数方程，找到使似然函数最大的参数值。
确定参数估计值
04
似然函数描述了样本数据与参数之间的关系，即给定参数值下观察到 样本数据的概率。
贝叶斯估计法的计算过程
首先，根据先验信息确定参数的先验分布。 然后，利用样本信息和似然函数计算参数的后验分布。 最后，根据后验分布进行参数估计，常见的估计方法包括最大后验估计（MAP）和贝叶斯线性回归等。
贝叶斯估计法的优缺点
参数估计的常见方法
最小二乘法
最小二乘法是一种常用的线性回归分析方法，通过最小化误差的平方和来估计未知参数。这种方法适用于线性回归模 型，并能够给出参数的点估计和区间估计。
极大似然法
极大似然法是一种基于概率模型的参数估计方法，通过最大化样本数据的似然函数来估计未知参数。这种方法适用于 各种概率模型，并能够给出参数的点估计和区间估计。

《卫生统计学》第六章 参数估计基础

《卫生统计学》第六章 参数估计基础
.
二、总体概率可信区间的计算
1.查表法：n≤50，特别是p接近0或100%时，可查 附表6（P478-480)，二项分布概率的置信区间表， 例6-4。
注意：附表6中X值只列出了X≤n/2部分，当X>n/2 时，应以n - X值查表，然后用100减去查得的数 值，即为所求的区间。
2.正态近似法**：当n较大且np和n（1-p）均大于5 时，二项分布接近正态分布，则总体率的双侧 （1-α）可信区间为： P ± Ζα/2· Sp
f(t)
0.4
υ=∞
υ＝5
0.3
υ＝1
0.2
0.1
0.0
t
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
图6-4 自由度为1、5、∞的t分布
.
t分布的特征：只有一个参数ν 以0为中心，左右对称的单峰分布； t分布是一簇曲线，形态变化与n（即自由度）大
小有关。自由度ν越小，t分布曲线越低平；自 由度ν越大，t分布曲线越接近标准正态分布 （Ζ分布）曲线。 t分布峰部较矮，尾部翘得较高，说明远侧的t值 的个数相对较多，即尾部面积（概率P）较大。 自由度ν越小这种情况越明显，ν渐大时，t分 布渐逼近标准正态分布；当ν=∞时，t分布就成 为标准正态分布了。 附表2，t界值表P467
.
均数的抽样误差——指由抽样而造成的样本均数 与总体均数之间的差异。
x 称标准误，它说明均数抽样误差的大小。
x / n
n越大，标准误越小，样本均数的抽样误差亦越小 实际工作中，σ常未知，而是用样本标准差s来估
计，则有 sx s/ n
常用来说明均数的抽样误差的大小。
.
即使从偏态总体抽样，当n足够大时， 样本均数也近似正态分布（见实验6-2， 观察图6-1及图6-2的变化）。
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第五章 参数估计基础【内容精要】1. 抽样误差的概念及其特点（重点）从同一总体中反复多次地随机抽取样本含量相同的若干份样本，由于受个体差异和偶然性的影响，样本统计量与总体参数之间可存在差异，这种差异称为抽样误差(sampling error)。

从同一总体中随机抽取样本含量相同的若干份样本，所得样本统计量之间也不尽相同，这也是抽样误差的表现。

在抽样研究中，抽样误差是不可避免的。

反映抽样误差大小的指标是标准误。

增加样本含量可以降低抽样误差。

2. 均数的标准误与频率的标准误（重点）样本均数的标准差称为均数的标准误(standard error of mean ，SEM 或SE)，用于反映均数抽样误差的大小。

其计算公式为nX σσ=。

实际应用中，总体标准差σ常常未知，需要用样本标准差S 来估计，此时，均数标准误的估计值为nS S X =。

频率的标准误用于反映频率抽样误差的大小，可按公式()np ππσ-=1计算。

实际应用中，总体概率π常常未知，需要用样本频率p 来估计，因此，频率标准误的估计值为np p n p p S p )1(1)1(-≈--=。

3. t 分布当X 服从均数为μ的正态分布时，统计量 XX t S μ-=服从自由度为1-=n ν的t 分布。

ν不同, t 分布的形态也不同；ν趋于∞时，t 分布趋近标准正态分布。

4. 参数估计方法（重点）参数估计有两种方法：一种是直接利用样本统计量的值来估计总体参数，称为点估计(point estimation)；另一种是区间估计(interval estimation)，即按一定的置信度来估计总体参数所在的范围，该范围称为总体参数的置信区间(confidence interval ，CI)，最常用的是95%置信区间。

由于考虑了抽样误差的大小，区间估计优于点估计。

5. 总体均数及总体概率的区间估计（重点）根据资料的已知条件及样本含量n 的不同，总体均数置信区间的计算公式亦不同（见表5-1）。

根据样本含量n 和样本频率p 的大小，总体概率置信区间的计算方法有两种：①当n ≤ 50，特别是p 很接近0或100%时，用查表法；②当n 足够大，且np 与)1(p n -均大于5时，用正态近似法，即/2p p Z S α±。

6. 总体均数的置信区间与医学参考值范围的区别表5-1 参考值范围与总体均数置信区间的区别【学习目标】1. 论述抽样误差的概念及其特点。

2. 学会均数的标准误及其估计值的计算方法。

3. 学会频率的标准误及其估计值的计算方法。

4. 知道当X 服从均数为μ的正态分布时，统计量 XX t S μ-=服从自由度为1-=n ν的t 分布。

5. 知道ν不同, t 分布的形态也不同；ν趋于∞时，t 分布趋近标准正态分布。

6. 阐述参数估计的两种方法。

7. 分析区间估计优于点估计的原因。

8. 根据资料的已知条件及样本含量n 的不同，能计算总体均数95%和99%置信区间（难点）。

9. 根据样本含量n 和样本频率p 的大小，能计算总体概率95%和99%置信区间（难点）。

10. 简要说明总体均数置信区间与医学参考值范围的区别（难点）。

【案例讨论参考答案】案例5-1 不合适。

由医学专业知识可知，血铅值高于某上限才被看作异常，故本资料总体均数的置信区间应采用)64.1(lg lg lg 1X X X S X +-（X 指血铅值），计算单侧95%置信区间的上限，而不应选择适合双侧95%置信区间估计的公式X S X 96.1±。

需要进一步说明的是，通过前面理论课的学习可以知道，从非正态分布总体中作随机抽样，当样本含量足够大时(如，50≥n )，样本均数的抽样分布近似于正态分布，可用正态分布近似法来估计总体均数的置信区间。

因此，本研究若为简便起见，尽管本例中的样本呈正偏峰分布，但因其样本含量较大(n =200)，亦可直接采用正态近似法来估计总体均数的置信区间，选用X S X 64.1+公式来估计该地正常成人平均血铅含量的单侧95%置信区间的上限，正态近似法与对数转换法计算出来的置信区间值会很接近。

【电脑实验及结果解释】实验5-1 正态总体样本均数的分布程序5-1 正态总体样本均数的分布SAS程序/***************************************************************//* 人民卫生出版社《卫生统计学》教材第7版SAS程序库*//* *//* 索引号：v7HS5-01 *//* 标题：正态总体样本均数的分布*//* 章节：第5章*//* 关键字：正态总体、样本均数、分布*//* 主要过程（PROC）：GCHART、UNIV ARIATE *//* 结果变量: 身高*//* 分组因素：无*//* 协变量: 无*//* 创建日期：2013年3月21日*//* 作者：钱聪马骏*//***************************************************************/DATA D05_01; /*建立SAS数据集*/ARRAY x(30) x1-x30;DO i = 1 TO 100; /*完成100次重复抽样*/DO j = 1 TO 30; /*每次生成的样本量为30*/x(j)=155.4+5.3*RANNOR(0);END;m30 = MEAN(OF x1-x30); /*计算30个观察值的样本均数*/ OUTPUT;END;PROC PRINT; VAR m30; /*打印100个样本均数*/DATA D05-01g;SET a(KEEP = m30);g=152.5+ int((m30-152.25)/0.5)*0.5; /*将100个样本均数重新分组*/ PROC UNIVARIATE freq; VAR g; /*计算每组频数*/PROC GCHART; /*绘制频数分布图*/VBAR m30/ MIDPOINTS = 152.5 TO 158BY 0.5 SPACE=0;RUN;实验结果05-1 正态总体样本均数的分布图5-1 正态总体抽样后样本均数频数分布图实验5-2非正态总体样本均数的分布程序5-2非正态总体样本均数分布的SAS程序/***************************************************************/ /* 人民卫生出版社《卫生统计学》教材第7版SAS程序库*/ /* */ /* 索引号：v7HS5-02 */ /* 标题：非正态总体样本均数的分布*/ /* 章节：第5章*/ /* 关键字：指数分布、非正态总体、样本均数*/ /* 主要过程（PROC）：GCHART */ /* 结果变量: 随机变量X */ /* 分组因素：无*/ /* 协变量: 无*/ /* 创建日期：2013年3月21日*/ /* 作者：钱聪马骏*/ /***************************************************************/ DATA D05_02; /*建立数据集*/DO n=5,10,30,50; /*抽取n=5,10,30,50的样本各1000次*/DO i=1 TO 1000;m=0;DO j=1 TO n;x = RANEXP(0); /*随机数函数产生服从指数分布的随机数*/m = m + x/n; /*分别计算1000个样本均数*/END;OUTPUT;END;END;PROC PRINT; /*打印这4 000个样本均数*/PROC GCHART; /*绘制随机变量的频率分布图*/VBAR x/TYPE=PCTMIDPOINTS=0 TO 5BY 0.1 AXIS=30 SPACE=0;PROC GCHART; /*分别对n=5,10,30,50的样本均数绘制频率分布图*/ VBAR m /TYPE=PCTMIDPOINTS=0 TO 5BY 0.1 AXIS=30 SPACE=0;BY n;RUN;图5-2b 从指数分布总体抽样后样本均数频数分布图（n=10）图5-2d 从指数分布总体抽样后样本均数频数分布图（n=50）实验5-3样本频率的分布程序5-3样本频率分布的SAS程序/***************************************************************//* 人民卫生出版社《卫生统计学》教材第7版SAS程序库*//* *//* 索引号：v7HS5-03 *//* 标题：非正态总体样本均数的分布*//* 章节：第5章*//* 关键字：摸球试验、二项分布*//* 主要过程（PROC）：GCHART *//* 结果变量: 随机变量X、Y *//* 分组因素：无*//* 协变量: 无*//* 创建日期：2013年3月21日*//* 作者：钱聪马骏*//***************************************************************/DATA D05_03; /*建立数据集*/DO i = 1 TO 100; /*100次摸球实验*/x = 0;DO j = 1 TO 50; /*每次实验重复摸50个球*/z = RANBIN(1,1,0.2); /*RANBIN(SEED,n,p) 产生服从二项分布的随机数*/ x = x + z; /*计算黑球的频数*/END;y = x/50; /*计算黑球的频率*/OUTPUT;END;PROC PRINT; VAR x y;PROC FREQ; TABLE x y;/*输出x和y的频率分布表*/PROC GCHART; /*绘制x的频率分布图*/VBAR x/SPACE=0;RUN;实验结果5-3摸球试验黑球出现频数的频率分布表x 频数百分比累积频数累积百分比3 1 1.00 1 1.004 3 3.00 4 4.005 6 6.00 10 10.006 3 3.00 13 13.007 8 8.00 21 21.008 17 17.00 38 38.009 8 8.00 46 46.0010 12 12.00 58 58.0011 5 5.00 63 63.0012 15 15.00 78 78.0013 10 10.00 88 88.0014 5 5.00 93 93.0015 3 3.00 96 96.00摸球试验黑球出现频率的频率分布表y 频数百分比累积频数累积百分比0.06 1 1.00 1 1.00 0.08 3 3.00 4 4.00 0.1 6 6.00 10 10.00 0.12 3 3.00 13 13.00 0.14 8 8.00 21 21.00 0.16 17 17.00 38 38.00 0.18 8 8.00 46 46.00 0.2 12 12.00 58 58.00 0.22 5 5.00 63 63.00 0.24 15 15.00 78 78.00 0.26 10 10.00 88 88.00 0.28 5 5.00 93 93.00 0.3 3 3.00 96 96.00 0.32 2 2.00 98 98.00 0.34 1 1.00 99 99.00 0.38 1 1.00 100 100.00图5-3摸球试验黑球出现频率分布图实验5-4不同自由度的t分布图形程序5-4不同自由度的t分布图形的SAS程序/***************************************************************//* 人民卫生出版社《卫生统计学》教材第7版SAS程序库*//* *//* 索引号：v7HS5-04 *//* 标题：不同自由度的t分布图形*//* 章节：第5章*//* 关键字：t分布*//* 主要过程（PROC）：GCHART *//* 结果变量: 随机变量X *//* 分组因素：无*//* 协变量: 无*//* 创建日期：2013年3月21日*//* 作者：钱聪马骏*//***************************************************************/DATA D05_04a; /*建立数据集*/mean = 155.4; std = 5.3; /*设定总体均数和总体标准差*/ARRAY x(50) x1-x50; /*从已知正态总体中产生一随机数x，重复1000次*/ DO i=1 TO 1000; /**/DO j=1 TO 50;x(j)=mean+std*RANNOR(1); /**/END;OUTPUT;END;DATA D05_04b;SET a; /*以下是求出前3个和前50个观察值的均数、标准差和标准误*/ m3 = MEAN(OF x1-x3 );m50 = MEAN(OF x1-x50);m3_std = STD( OF x1-x3 );m50_std = STD( OF x1-x50);m3_se = m3_std/SQRT(3);m50_se= m50_std/SQRT(50);t3 = (m3-mean)/m3_se; /*计算样本含量为3和50时的t值*/t50 = (m50-mean)/m50_se;PROC GCHART DATA=b; /*绘制不同自由度时t值的频率分布图*/VBAR t3/MIDPOINTS=-12 TO 12 BY 0.5AXIS=200 SPACE=0;VBAR t50/MIDPOINTS=-12 TO 12 BY 0.5AXIS=200 SPACE=0;RUN;实验结果5-4图5-4a 自由度为3时的t分布频数图图5-4b 自由度为50时的t分布频数图实验5-5总体均数的置信区间程序5-5总体均数的置信区间的SAS程序/***************************************************************//* 人民卫生出版社《卫生统计学》教材第7版SAS程序库*//* *//* 索引号：v7HS5-05 *//* 标题：总体均数的置信区间*//* 章节：第5章*//* 关键字：总体均数置信区间*//* 主要过程（PROC）：GCHART *//* 结果变量: 随机变量X *//* 分组因素：无*//* 协变量: 无*//* 创建日期：2013年3月21日*//* 作者：钱聪马骏*//***************************************************************/DATA D05_05a;/*建立数据集*/mean=155.4; std=5.3;a=0.05;/*设定总体均数和总体标准差，取a=0.05*/ARRAY x(30) x1-x30;DO i=1 TO 100;/*完成100次重复抽样，每次随机抽取30个观察值*/DO j=1 TO 30;x(j)= mean+std*RANNOR(0);END; OUTPUT;END;DATA D05_05b;SET D05_05a;/*计算100次实验的样本均数、标准差和标准误，估计总体均数的95%置信区间*/ m30=MEAN(OF x1-x30);m30_std = STD(OF x1-x30);m30_se = m30_std/SQRT(30);ci_l= m30-TINV(1-a/2,30-1)*m30_se;ci_u= m30+TINV(1-a/2,30-1)*m30_se;g=ci_l> mean or ci_u< mean ;/*判断每个置信区间是否包含总体均数，若包含则变量g为0，不包含则变量g为1*/PROC PRINT; /*输出100次实验的置信区间和g值，计算g值的和*/VAR ci_l ci_u g;SUM g;RUN;试验结果5-5100份随机样本总体均数置信区间1 152.827 157.547 02 154.667 158.649 03 152.003 156.920 04 151.982 155.617 05 154.281 158.097 06 154.589 158.651 07 152.709 156.591 08 153.410 157.065 09 154.729 158.264 010 154.364 158.376 011 153.748 157.670 012 153.547 157.374 013 152.423 156.465 014 151.100 155.956 015 154.349 158.343 016 152.454 156.655 017 152.672 157.545 018 153.877 157.464 019 152.906 156.511 020 153.739 157.488 021 155.162 159.435 022 155.314 158.424 023 152.115 155.616 024 152.379 156.446 025 155.110 158.329 026 153.019 156.877 027 151.697 155.978 028 154.060 158.298 029 153.087 157.588 030 154.225 157.866 031 153.228 157.838 032 153.065 156.751 033 152.421 156.488 034 152.397 156.198 035 150.897 155.306 136 155.128 159.156 037 153.640 157.515 038 153.337 156.691 039 154.201 158.918 040 153.739 157.258 041 154.094 158.525 042 154.816 159.364 043 153.196 157.277 044 152.679 156.269 045 151.554 156.271 046 152.876 157.633 047 155.706 159.240 148 153.796 158.460 049 154.276 159.013 050 152.773 157.419 051 153.039 156.856 052 152.322 156.022 053 154.215 157.691 054 151.589 156.091 055 155.149 158.877 056 153.499 157.575 057 153.732 157.689 058 152.685 156.394 059 154.936 159.400 060 152.439 155.489 061 153.935 157.469 062 153.037 156.192 063 154.549 158.646 064 153.142 157.411 065 151.721 156.238 066 152.400 156.252 067 154.516 158.450 068 154.992 158.753 069 152.922 157.472 070 152.516 156.649 071 152.861 156.999 072 152.585 156.507 073 154.315 158.370 074 152.633 156.712 075 155.254 158.686 076 154.545 159.092 077 151.137 154.787 178 151.939 156.526 079 155.092 158.558 080 153.856 157.159 081 153.917 157.477 082 152.488 156.723 083 152.638 157.027 084 153.585 158.465 0备注1：95%置信区间上限；备注2：计算95%置信区间下限；备注3：计算不包含总体均数的区间个数【思考与练习的参考答案】1、抽样误差：从某一总体中随机抽取一个或多个样本，所得的样本统计量与相应的总体参数之间的差异，或者各个样本统计量之间的差异称为抽样误差。