中考模拟试卷 数学卷

数学中考综合模拟检测试题学校________ 班级________ 姓名________ 成绩________一、选择题1. 下列四个实数中，是无理数的为( ) A.B.27C. D.32. 如图所示的几何体的左视图是( )A. B. C. D.3. 如图，直线AB ∥CD ，∠A ＝70°，∠E ＝30°，则∠C 等于( )A. 30°B. 40°C. 60°D. 70°4. 如果分式||11x x -+的值为0，那么的值为( ) A. -1B. 1C. -1或1D. 1或05. 下列计算正确的是( ) A. 66122a a a += B. 25822232-÷⨯= C. ()721120a a a a ⋅-⋅=-D. ()32233122ab a b a b ⎛⎫-⋅-= ⎪⎝⎭6. 我国是世界上严重缺水的国家之一，目前我国每年可利用的淡水资源总量为27500亿米3，人均占有淡水量居全世界第110位，因此我们要节约用水，27500亿用科学记数法表示为( ) A. 275×104B. 2.75×104C. 2.75×1012D. 27.5×10117. 如图，△ABD 是以BD 为斜边的等腰直角三角形，△BCD 中，∠DBC =90°，∠BCD =60°，DC 中点为E ，AD 与BE 的延长线交于点F ，则∠AFB 的度数为( )A. 30°B. 15°C. 45°D. 25°8. 若不等式组11324x xx m+⎧<-⎪⎨⎪<⎩无解，则的取值范围为( )A 2m ≤B. 2m <C. 2m ≥D. 2m >9. 如图，在平面直角坐标中，正方形ABCD 与正方形BEFG 是以原点O 为位似中心的位似图形，且相似比为13，点A ，B ，E 在x 轴上，若正方形BEFG 的边长为6，则C 点坐标为( )A. (3，2)B. (3，1)C. (2，2)D. (4，2)10. 如图，BC 是半圆的直径，，是BC 上两点，连接BD ，CE 并延长交于点，连接OD ，OE ，如果70A ∠︒＝，那么DOE ∠的度数为( )A. 35︒B. 38︒C. 40︒D. 42︒二、填空题11. 1483的结果是_____． 12. 将一副直角三角板如图放置，点C 在FD 的延长上，AB ∥CF ，∠F ＝∠ACB ＝90°，∠E ＝30°，∠A ＝45°，AC ＝2，则CD 的长为______．13. 在光明中学组织的全校师生迎”五四”诗词大赛中，来自不同年级的25名参赛同学的得分情况如图所示．这些成绩的中位数是_______．14. 在阳光中学举行的春季运动会上，小亮和大刚报名参加100米比赛，预赛分,,,A B C D 四组进行，运动员通过抽签来确定要参加的预赛小组，小亮和大刚恰好抽到同一个组的概率是_______．三、解答题15. 计算：2216313969a a a a a +⎛⎫-+÷ ⎪+--+⎝⎭． 16. 解分式方程：31133x x-=-- ______________． 17. 已知如图，△ABC 中，AB ＝AC ，用尺规在BC 边上求作一点P ，使△BP A ∽△BAC (保留作图痕迹，不写作法)．18. 学习一定要讲究方法，比如有效的预习可大幅提高听课效率．九年级(1)班学习兴趣小组为了了解全校九年级学生的预习情况，对该校九年级学生每天的课前预习时间(单位：min )进行了抽样调查．并将抽查得到的数据分成5组，下面是未完成的频数、顿率分布表和频数分布扇形图． 组别课前预习时间/t min频数(人数)频率1 010t ≤<2 21020t ≤<0.103 2030t ≤< 16 0.324 3040t ≤< 540t ≥3请根据图表中的信息，回答下列问题：(1)本次调查的样本容量为 ，表中的a = ，b = ，c = ; (2)试计算第4组人数所对应扇形圆心角的度数;(3)该校九年级其有1000名学生，请估计这些学生中每天课前预习时间不少于20min 的学生人数． 19. 某商场运动服装专柜，对,A B 两种品牌的远动服分两次采购试销后，效益可观，计划继续采购进行销售．已知这两种服装过去两次的进货情况如下表．第一次 第二次 品牌运动服装数/件 20 30 品牌运动服装数/件 30 40 累计采购款/元1020014400(1)问,A B 两种品牌运动服的进货单价各是多少元?(2)由于品牌运动服的销量明显好于品牌，商家决定采购品牌的件数比品牌件数的32倍多5件，在采购总价不超过21300元的情况下，最多能购进多少件品牌运动服?20. 在如图菱形ABCD 中，点是BC 边上一点，连接AP ，点,E F 是AP 上的两点，连接DE ，BF ，使得AED ABC ∠=∠，ABF BPF ∠=∠．(1)求证：ABF DAE ≌;(2)求证：DE BF EF =＋．21. 2018年3月2日，500架无人飞机在西安创业咖啡街区的夜空绽放，西安高新区用”硬科技”打造了最具独特的风景线，2018”西安年，最中国”以一场华丽的视觉盛宴完美收官，当晚，某兴趣爱好者想用手中的无人机测量大雁塔的高度，如图是从大雁塔正南面看到的正视图，兴趣爱好者将无人机上升至离地面185米高大雁塔正东面的F点，此时，他测得F点都塔顶A点的俯视角为30°，同时也测得F点到塔底C 点的俯视角为45°，已知塔底边心距OC＝23米，请你帮助该无人机爱好者计算出大雁塔的大体高度(结果精确到01米)?(3≈1.73，2≈1.41)．22. 如图，点A(32，4)，B(3，m)是直线AB与反比例函数nyx(x＞0)图象的两个交点．AC⊥x轴，垂足为点C，已知D(0，1)，连接AD，BD，BC．(1)求直线AB的表达式;(2)△ABC和△ABD的面积分别为S1，S2，求S2－S1．23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A(﹣2，0)，点B(4，0)，与y轴交于点C(0，8)，连接BC，又已知位于y轴右侧且垂直于x轴的动直线l，沿x轴正方向从O运动到B(不含O 点和B点)，且分别交抛物线、线段BC以及x轴于点P，D，E．(1)求抛物线的表达式;(2)连接AC，AP，当直线l运动时，求使得△PEA和△AOC相似的点P的坐标;(3)作PF⊥BC，垂足为F，当直线l运动时，求Rt△PFD面积最大值．24. 问题探究(1)如图①，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF=45°，则线段BE、EF、FD之间的数量关系为;(2)如图②，在△ADC中，AD=2，CD=4，∠ADC是一个不固定的角，以AC为边向△ADC的另一侧作等边△ABC，连接BD，则BD的长是否存在最大值?若存在，请求出其最大值;若不存在，请说明理由;问题解决(3)如图③，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=60°，BC=42，若BD⊥CD，垂足为点D，则对角线AC的长是否存在最大值?若存在，请求出其最大值;若不存在，请说明理由．答案与解析一、选择题1. 下列四个实数中，是无理数的为()A. B. 27C. D. 3【答案】D【解析】【分析】根据无理数的定义”也称为无限不循环小数，不能写作两整数之比”即可．【详解】由无理数的定义得：四个实数中，只有3是无理数故选：D．【点睛】本题考查了无理数的定义，熟记定义是解题关键．2. 如图所示的几何体的左视图是( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．【详解】从左向右看，得到的几何体的左视图是．故选B．【点睛】本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．3. 如图，直线AB∥CD，∠A＝70°，∠E＝30°，则∠C等于( )A. 30°B. 40°C. 60°D. 70°【答案】B 【解析】 【分析】根据平行线的性质得出∠A ＝∠EFD ，再根据三角形的外角性质求出∠C 即可． 【详解】解：∵AB ∥CD ，∠A ＝70°， ∴∠EFD ＝70°， ∵∠E ＝30°， ∴∠C ＝40°， 故选B ．【点睛】本题考查了平行线的性质和三角形的外角性质，关键是求出∠EFD 的度数和求出∠EFD ＝∠A ． 4. 如果分式||11x x -+的值为0，那么的值为( ) A. -1 B. 1C. -1或1D. 1或0【答案】B 【解析】 【分析】根据分式的值为零的条件可以求出x 的值． 【详解】根据题意，得 |x|-1=0且x+1≠0， 解得，x=1． 故选B ．【点睛】本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：(1)分子为0;(2)分母不为0．这两个条件缺一不可． 5. 下列计算正确的是( ) A. 66122a a a += B. 25822232-÷⨯= C. ()721120a a a a ⋅-⋅=- D. ()32233122ab a b a b ⎛⎫-⋅-= ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】根据整式的加减、有理数的乘方运算、同底数幂的乘法、积的乘方逐项判断即可．【详解】A 、6662a a a +=，此项错误B 、25825825822222222-----+=⨯=÷⨯⨯=，此项错误C 、()7211271120a a a a a ++⋅-⋅=-=-，此项正确D 、()()322236751128422ab a b ab a b a b ⎛⎫⎛⎫-⋅--⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=，此项错误故选：C ．【点睛】本题考查了整式的加减、有理数的乘方运算、同底数幂的乘法、积的乘方，熟记各运算法则是解题关键．6. 我国是世界上严重缺水的国家之一，目前我国每年可利用的淡水资源总量为27500亿米3，人均占有淡水量居全世界第110位，因此我们要节约用水，27500亿用科学记数法表示为( ) A. 275×104 B. 2.75×104 C. 2.75×1012 D. 27.5×1011 【答案】C 【解析】【详解】解：将27500亿用科学记数法表示为：2.75×1012． 故选C ．【点睛】本题考查科学记数法—表示较大的数．7. 如图，△ABD 是以BD 为斜边的等腰直角三角形，△BCD 中，∠DBC =90°，∠BCD =60°，DC 中点为E ，AD 与BE 的延长线交于点F ，则∠AFB 的度数为( )A. 30°B. 15°C. 45°D. 25°【答案】B 【解析】 解：∵∠DBC =90°，E 为DC 中点，∴BE =CE =12CD ，∵∠BCD =60°，∴∠CBE =60°，∴∠DBF =30°，∵△ABD 是等腰直角三角形，∴∠ABD =45°，∴∠ABF =75°，∴∠AFB =180°﹣90°﹣75°=15°，故选B ．8. 若不等式组11324x xx m+⎧<-⎪⎨⎪<⎩无解，则的取值范围为( )A. 2m ≤B. 2m <C. 2m ≥D. 2m >【答案】A 【解析】 【分析】求出第一个不等式的解集，根据口诀：大大小小无解了可得关于m 的不等式，解之可得． 【详解】解不等式1132x x+<-，得：x ＞8， ∵不等式组无解， ∴4m≤8， 解得m≤2， 故选A ．【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知”同大取大;同小取小;大小小大中间找;大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．9. 如图，在平面直角坐标中，正方形ABCD 与正方形BEFG 是以原点O 为位似中心的位似图形，且相似比为13，点A ，B ，E 在x 轴上，若正方形BEFG 的边长为6，则C 点坐标为( )A (3，2) B. (3，1) C. (2，2) D. (4，2)【答案】A 【解析】【详解】∵正方形ABCD 与正方形BEFG 是以原点O 为位似中心的位似图形，且相似比为13， ∴AD BG =13， ∵BG =6， ∴AD =BC =2， ∵AD ∥BG ， ∴△OAD ∽△OBG ，∴OA OB =13， ∴2OAOA +=13， 解得：OA =1，∴OB =3， ∴C 点坐标为：(3，2)， 故选A ．10. 如图，BC 是半圆的直径，，是BC 上两点，连接BD ，CE 并延长交于点，连接OD ，OE ，如果70A ∠︒＝，那么DOE ∠的度数为( )A. 35︒B. 38︒C. 40︒D. 42︒【答案】C 【解析】 【分析】连接CD ，由圆周角定理得出∠BDC=90°，求出∠ACD=90°-∠A=20°，再由圆周角定理得出∠DOE=2∠ACD=40°即可， 【详解】连接CD ，如图所示：∵BC 是半圆O 的直径， ∴∠BDC=90°， ∴∠ADC=90°，∴∠ACD=90°-∠A=20°， ∴∠DOE=2∠ACD=40°， 故选C ．【点睛】本题考查了圆周角定理、直角三角形的性质;熟练掌握圆周角定理是解题的关键．二、填空题11. 计算14893-的结果是_____．【答案】3【解析】【分析】先化简，再合并同类二次根式即可．【详解】解：14893-4333=-=3故答案为3．【点睛】此题考查二次根式的加减运算，注意先化简，再合并．12. 将一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝30°，∠A＝45°，AC＝122，则CD的长为______．【答案】12﹣3【解析】【分析】如图(见解析)，过点B作BG CF⊥于点G，先根据直角三角形的性质、平行线的性质得出45,60,2BCF EDF BC∠=︒∠=︒=,CG DG的长，然后根据线段的和差即可得．【详解】如图，过点B作BG CF⊥于点G90,45ACB A∠=︒∠=︒9045ABC A∴∠=︒-∠=︒，即45ABC A∠=∠=︒122BC AC∴==//AB CF45ABCBCF∴==∠∠︒Rt BCG为等腰直角三角形2122CG BG BC ∴=== 又90,30F E ∠=︒∠=︒9060EDF E ∴=︒-∠=∠︒在Rt BDG 中，tan BG BDG DG ∠=，即12tan 60DG︒= 解得121243tan 603DG ===︒1243CD CG DG ∴=-=-故答案：1243-．【点睛】本题考查了直角三角形的性质、平行线的性质、解直角三角形等知识点，通过作辅助线，构造直角三角形，进而运用到解直角三角形的方法是解题关键．13. 在光明中学组织的全校师生迎”五四”诗词大赛中，来自不同年级的25名参赛同学的得分情况如图所示．这些成绩的中位数是_______．【答案】96分 【解析】 【分析】先根据图得出这25名同学的得分，再根据中位数的定义即可得．【详解】由图可知，得分为94分的有5人，得分为96分的有8人，得分为98分的有9人，得分为100分的有3人则将这25名同学的得分按从小到大的顺序进行排序，排在第13位的得分为96分 由中位数的定义得：这些成绩的中位数是96分 故答案为：96分．【点睛】本题考查了中位数的定义，读懂图形，掌握中位数的定义是解题关键．14. 在阳光中学举行的春季运动会上，小亮和大刚报名参加100米比赛，预赛分,,,A B C D 四组进行，运动员通过抽签来确定要参加的预赛小组，小亮和大刚恰好抽到同一个组的概率是_______． 【答案】14【解析】 【分析】根据题意可以画出相应的树状图，从而可以求得甲、乙两人恰好分在同一组的概率． 【详解】如下图所示，小亮和大刚两人恰好分在同一组的情况有4种，共有16种等可能的结果， ∴小亮和大刚两人恰好分在同一组的概率是41164=， 故答案为14． 【点睛】本题考查列表法与树状图法、用样本估计总体、条形统计图、扇形统计图，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答三、解答题15. 计算：2216313969a a a a a +⎛⎫-+÷ ⎪+--+⎝⎭． 【答案】63a + 【解析】 【分析】根据分式的混合运算法则计算即可． 【详解】原式223319(3)a a a a ++=-÷--23(3)1(3)(3)3a a a a a +-=-⋅+-+313a a -=-+ 3(3)3a a a +--=+ 63a =+. 【点睛】本题考查的是分式的混合运算，掌握分式的混合运算法则、分式的通分、约分法则是解题的关键． 16. 解分式方程：31133x x-=-- ______________． 【答案】x ＝7 【解析】 【分析】方程两边都乘以最简公分母，注意不要漏乘没有分母的项;去括号，移项合并同类项，即可求得方程的解． 【详解】解：方程两边都乘以(x-3),得：3-(x-3)=-1 去括号，移项，得：-x=-1-6 合并同类项，得：x=7 经检验，x=7是原方程的根 故答案为：x=7【点睛】本题考查了解分式方程，注意在去分母时，不要漏乘没有分母的项，解分式方程必须验根． 17. 已知如图，△ABC 中，AB ＝AC ，用尺规在BC 边上求作一点P ，使△BP A ∽△BAC (保留作图痕迹，不写作法)．【答案】详见解析 【解析】 【分析】作出AB 的垂直平分线，可得BP ＝AP ，则∠PBA ＝∠BAP ，进而得出△BPA ∽△BAC ． 【详解】解：如图所示：点P 即为所求， 此时△BPA ∽△BAC ．【点睛】此题主要考查了相似变换以及复杂作图，正确把握相似三角形的判定方法是解题关键．18. 学习一定要讲究方法，比如有效的预习可大幅提高听课效率．九年级(1)班学习兴趣小组为了了解全校九年级学生的预习情况，对该校九年级学生每天的课前预习时间(单位：min)进行了抽样调查．并将抽查得到的数据分成5组，下面是未完成的频数、顿率分布表和频数分布扇形图．组别课前预习时间/t min频数(人数) 频率t≤< 21 010t≤<0.102 1020t≤<16 0.323 2030t≤<4 3040t≥ 35 40请根据图表中的信息，回答下列问题：(1)本次调查的样本容量为，表中的a=，b=，c=;(2)试计算第4组人数所对应的扇形圆心角的度数;(3)该校九年级其有1000名学生，请估计这些学生中每天课前预习时间不少于20min的学生人数．【答案】(1)50，5，24，0.48;(2)第4组人数所对应的扇形圆心角的度数为172.8;(3)九年级每天课前预习时间不少于20min的学生约有860人.【解析】【分析】(1)根据3组的频数和百分数，即可得到本次调查的样本容量，根据2组的百分比即可得到a的值，进而得到2组的人数，由本次调查的样本容量-其他小组的人数即可得到b，用b÷本次调查的样本容量得到c;(2)根据4组的人数占总人数的百分比乘上360°，即可得到扇形统计图中”4”区对应的圆心角度数;(3)根据每天课前预习时间不少于20min的学生人数所占的比例乘上该校九年级总人数，即可得到结果．【详解】(1)16÷0.32=50，a=50×0.1=5，b=50-2-5-16-3=24，c=24÷50=0.48;故答案为50，5，24，0.48;(2)第4组人数所对应的扇形圆心角的度数=360°×0.48=172.8°;(3)每天课前预习时间不少于20min的学生人数的频率=1-250-0.10=0.86，∴1000×0.86=860，答：这些学生中每天课前预习时间不少于20min的学生人数是860人．【点睛】本题主要考查了扇形统计图的应用，解题时注意：通过扇形统计图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系，用整个圆的面积表示总数(单位1)，用圆的扇形面积表示各部分占总数的百分数．用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．19. 某商场的运动服装专柜，对,A B两种品牌的远动服分两次采购试销后，效益可观，计划继续采购进行销售．已知这两种服装过去两次的进货情况如下表．(1)问,A B两种品牌运动服的进货单价各是多少元?(2)由于品牌运动服的销量明显好于品牌，商家决定采购品牌的件数比品牌件数的32倍多5件，在采购总价不超过21300元的情况下，最多能购进多少件品牌运动服?【答案】(1),A B两种品牌运动服的进货单价分别为240元和180元;(2)最多能购进65件品牌运动服. 【解析】【分析】(1)直接利用两次采购的总费用得出等式进而得出答案;(2)利用采购B品牌的件数比A品牌件数的32倍多5件，在采购总价不超过21300元，进而得出不等式求出答案．【详解】(1)设,A B两种品牌运动服的进货单价分别为元和元.根据题意，得203010200304014400x y x y +=⎧⎨+=⎩，解之，得240180x y =⎧⎨=⎩.经检验，方程组的解符合题意.答：,A B 两种品牌运动服的进货单价分别为240元和180元.(2)设购进品牌运动服件，则购进品牌运动服352m ⎛⎫+⎪⎝⎭件， ∴32401805213002m m ⎛⎫++≤⎪⎝⎭， 解得，40m ≤.经检验，不等式的解符合题意，∴3354056522m +≤⨯+=. 答：最多能购进65件品牌运动服.【点睛】此题主要考查了一元一次不等式的应用和二元一次方程组的应用，正确得出等量关系是解题关键． 20. 在如图菱形ABCD 中，点是BC 边上一点，连接AP ，点,E F 是AP 上的两点，连接DE ，BF ，使得AED ABC ∠=∠，ABF BPF ∠=∠．(1)求证：ABF DAE ≌;(2)求证：DE BF EF =＋． 【答案】(1)见解析;(2)见解析. 【解析】 【分析】(1)根据菱形的性质得到AB=AD ，AD ∥BC ，由平行线的性质得到∠BOA=∠DAE ，等量代换得到∠BAF=∠ADE ，求得∠ABF=∠DAE ，根据全等三角形的判定定理即可得到结论; (2)根据全等三角形的性质得到AE=BF ，DE=AF ，根据线段的和差即可得到结论． 【详解】证明：(1)∵四边形ABCD 为菱形， ∴AB AD =，AD BC ∥， ∴BPA DAE ∠=∠.在ABP ∆和DAE ∆中， 又∵ABC AED ∠=∠， ∴BAF ADE ∠=∠.∵ABF BPF ∠=∠且BPA DAE ∠=∠， ∴ABF DAE ∠=∠， 又∵AB DA =， ∴()ABF DAE ASA ≅ (2)∵ABF DAE ≅， ∴AE BF =，DE AF =. ∵AF AE EF BF EF =+=+， ∴DE BF EF =+.【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 21. 2018年3月2日，500架无人飞机在西安创业咖啡街区的夜空绽放，西安高新区用”硬科技”打造了最具独特的风景线，2018”西安年，最中国”以一场华丽的视觉盛宴完美收官，当晚，某兴趣爱好者想用手中的无人机测量大雁塔的高度，如图是从大雁塔正南面看到的正视图，兴趣爱好者将无人机上升至离地面185米高大雁塔正东面的F 点，此时，他测得F 点都塔顶A 点的俯视角为30°，同时也测得F 点到塔底C 点的俯视角为45°，已知塔底边心距OC ＝23米，请你帮助该无人机爱好者计算出大雁塔的大体高度(结果精确到0.1米)?(3≈1.73，2 ≈1.41)．【答案】大雁塔的大体高度是65.1米． 【解析】 【分析】作FD ⊥BC ，交BC 的延长线于D ，作AE ⊥DF 于E ，则四边形AODE 是矩形．解直角△CDF ，得出CD ＝DF ＝185米，那么OD ＝OC+CD ＝208米，AE ＝OD ＝208米．再解直角△AEF ，求出EF ＝AE•tan ∠FAE ＝20833米，然后根据OA＝DE＝DF﹣EF即可求解．【详解】解：如图，作FD⊥BC，交BC的延长线于D，作AE⊥DF于E，则四边形AODE是矩形．由题意，可知∠FAE＝30°，∠FCD＝45°，DF＝185米．在直角△CDF中，∵∠D＝90°，∠FCD＝45°，∴CD＝DF＝185米，∴OD＝OC+CD＝208米，∴AE＝OD＝208米．在直角△AEF中，∵∠AEF＝90°，∠FAE＝30°，∴EF＝AE•tan∠FAE＝208×33＝20833(米)，∴DE＝DF﹣EF＝185﹣20833≈185﹣119.95≈65.1(米)，∴OA＝DE≈65.1米．故大雁塔的大体高度是65.1米．【点睛】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，要求学生能借助俯角构造直角三角形并解直角三角形．22. 如图，点A(32，4)，B(3，m)是直线AB与反比例函数nyx(x＞0)图象的两个交点．AC⊥x轴，垂足为点C，已知D(0，1)，连接AD，BD，BC．(1)求直线AB 的表达式;(2)△ABC 和△ABD 的面积分别为S 1，S 2，求S 2－S 1．【答案】(1)463y x =-+;(2)34 【解析】【分析】(1)先由A 点坐标求出反比例函数的表达式，再求出B 点坐标，最后运用待定系数法求直线AB 的表达式即可;(2)ABC 的面积可由”底乘高除以2”直接求得，ABD △的面积运用”补”的思想求出，然后两者作差即可得．【详解】(1)由点3(,4)2A 在反比例函数(0)n y x x=>的图象上 ∴432n=∴6n = ∴反比例函数的表达式为6(0)y x x=> 将点(3,)B m 代入6y x =得623m == ∴(3,2)B设直线AB 的表达式为y kx b =+ 将点3(,4),(3,2)2A B 代入得34232k b k b ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩， 解得436k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ 则直线AB 的表达式为463y x =-+;(2)由点A 、B 的坐标得4AC =，点B 到AC 的距离为33322-= ∴1134322S =⨯⨯= 如图，设直线AB 与y 轴的交点为E令0x =得6y =，则点E 坐标为(0,6)E(0,1)D∴615DE =-=由点3(,4),(3,2)2A B 得：点A 、B 到DE 的距离分别为32，3 ∴2113155352224BDE ADE S S S=-=⨯⨯-⨯⨯= 则21153344S S -=-=．【点睛】本题考查了运用待定系数法求反比例函数、一次函数的表达式，在平面直角坐标系中求几何图形的面积，正确求出两个函数的表达式是解题关键．23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2+bx +c 与x 轴交于点A (﹣2，0)，点B (4，0)，与y 轴交于点C (0，8)，连接BC ，又已知位于y 轴右侧且垂直于x 轴的动直线l ，沿x 轴正方向从O 运动到B (不含O 点和B 点)，且分别交抛物线、线段BC 以及x 轴于点P ，D ，E ．(1)求抛物线的表达式;(2)连接AC ，AP ，当直线l 运动时，求使得△PEA 和△AOC 相似点P 的坐标;(3)作PF ⊥BC ，垂足为F ，当直线l 运动时，求Rt △PFD 面积的最大值．【答案】(1) y ＝﹣x 2+2x +8;(2)点P (1523,416);(3)165 【解析】【分析】(1)将点A 、B 、C 的坐标代入二次函数表达式，即可求解;(2)只有当∠PEA ＝∠AOC 时，PEA △∽AOC ，可得：PE ＝4AE ，设点P 坐标(4k ﹣2，k )，即可求解; (3)利用Rt △PFD ∽Rt △BOC 得： 2()PFD BOC S PD S BC=，再求出PD 的最大值，即可求解． 【详解】解：(1)将点A 、B 、C 的坐标代入二次函数表达式得：42016408a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩，解得：a = -1，b =2，c =8，故抛物线的表达式为：y ＝﹣x 2+2x +8;(2)∵点A (﹣2，0)、C (0，8)，∴OA ＝2，OC ＝8，∵l ⊥x 轴，∴∠PEA ＝∠AOC ＝90°，∵∠P AE ≠∠CAO ，∴只有当∠PEA ＝∠AOC 时，PEA △∽AOC ， 此时AE PE CO AO =，即：82AE PE =， ∴AE ＝4PE ，设点P 的纵坐标为k ，则PE ＝k ，AE ＝4k ，∴OE ＝4k ﹣2，将点P 坐标(4k ﹣2，k )代入二次函数表达式并解得：k ＝0或2316(舍去0)，则点P (1523,416); (3)在Rt △PFD 中，∠PFD ＝∠COB ＝90°，∵l ∥y 轴，∴∠PDF ＝∠COB ，∴Rt △PFD ∽Rt △BOC ， ∴2()PFD BOC S PD S BC=， ∴S △PDF ＝2()PD BC •S △BOC ， 而S △BOC ＝12OB •OC ＝12×4×8=16，BC==∴S △PDF ＝2()PD BC•S △BOC ＝15PD 2， 即当PD 取得最大值时，S △PDF 最大，将B 、C 坐标代入一次函数表达式y kx b =+得：408k b b +=⎧⎨=⎩， 解得：28k b =-⎧⎨=⎩， ∴直线BC 的表达式为：y ＝﹣2x +8，设点P (m ，﹣m 2+2m +8)，则点D (m ，﹣2m +8)，则PD ＝﹣m 2+2m +8+2m ﹣8＝﹣(m ﹣2)2+4，当m ＝2时，PD 的最大值为4，故当PD ＝4时，∴S △PDF ＝15PD 2＝165． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数和一次函数的解析式，相似三角形的判定和性质，利用数形结合的思想把代数和几何结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求得线段之间的关系是正确解答本题的关键.24. 问题探究(1)如图①，点E 、F 分别在正方形ABCD 的边BC 、CD 上，∠EAF=45°，则线段BE 、EF 、FD 之间的数量关系为 ;(2)如图②，在△ADC 中，AD=2，CD=4，∠ADC 是一个不固定的角，以AC 为边向△ADC 的另一侧作等边△ABC ，连接BD ，则BD 的长是否存在最大值?若存在，请求出其最大值;若不存在，请说明理由; 问题解决(3)如图③，在四边形ABCD 中，AB=AD ，∠BAD=60°，，若BD ⊥CD ，垂足为点D ，则对角线AC的长是否存在最大值?若存在，请求出其最大值;若不存在，请说明理由．【答案】(1)BE+DF=EF;(2)存在，BD的最大值为6;(3)存在，AC的最大值为26．【解析】【分析】(1)作辅助线，首先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AEG，进而得到EF=FG问题即可解决;(2)将△ABD绕着点B顺时针旋转60°，得到△BCE，连接DE，由旋转可得，CE=AD=2，BD=BE，∠DBE=60°，可得DE=BD，根据DE＜DC+CE，则当D、C、E三点共线时，DE存在最大值，问题即可解决;(3)以BC为边作等边三角形BCE，过点E作EF⊥BC于点F，连接DE，由旋转的性质得△DBE是等边三角形，则DE=AC，根据在等边三角形BCE中，EF⊥BC，可求出BF，EF，以BC为直径作⊙F，则点D在⊙F上，连接DF，可求出DF，则AC=DE≤DF+EF，代入数值即可解决问题.【详解】(1)如图①，延长CD至G，使得DG=BE，∵正方形ABCD中，AB=AD，∠B=∠AFG=90°，∴△ABE≌△ADG，∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，∵∠EAF=45°，∠BAD=90°，∴∠BAE+∠DAF=45°，∴∠DAG+∠DAF=45°，即∠GAF=∠EAF，又∵AF=AF，∴△AEF≌△AEG，∴EF=GF=DG+DF=BE+DF，故答案为BE+DF=EF;(2)存在．在等边三角形ABC中，AB=BC，∠ABC=60°，如图②，将△ABD绕着点B顺时针旋转60°，得到△BCE，连接DE．由旋转可得，CE=AD=2，BD=BE，∠DBE=60°，∴△DBE是等边三角形，∴DE=BD，∴在△DCE中，DE＜DC+CE=4+2=6，∴当D、C、E三点共线时，DE存在最大值，且最大值为6，∴BD的最大值为6;(3)存在．如图③，以BC为边作等边三角形BCE，过点E作EF⊥BC于点F，连接DE，∵AB=BD，∠ABC=∠DBE，BC=BE，∴△ABC≌△DBE，∴DE=AC，∵在等边三角形BCE中，EF⊥BC，∴BF=BC=2，∴EF=BF=×2=2，以BC为直径作⊙F，则点D在⊙F上，连接DF，∴DF=BC=×4=2，∴AC=DE≤DF+EF=2+2，即AC的最大值为2+2．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质以及旋转的性质，解题的关键是熟练的掌握全等三角形的判定与性质以及旋转的性质.。

中招考试数学模拟试卷（附有答案）（满分：120分考试时间：120分钟）第Ⅰ卷（选择题共30分）一选择题：本大题共10小题共30.0分。

在每小题给出的四个选项中只有一项是正确的,请把正确的选项选出来．每小题选对得3分选错不选或选出的答案超过一个均记零分．211.|−16|的相反数是()A. 16B. −16C. 6D. −62.下列运算正确的是()A. x6+x6=2x12B. a2⋅a4−(−a3)2=0C. (x−y)2=x2−2xy−y2D. (a+b)(b−a)=a2+b23.在计算器上按键：显示的结果为()A. −5B. 5C. −25D. 254.把Rt△ABC与Rt△CDE放在同一水平桌面上摆放成如图所示的形状使两个直角顶点重合两条斜边平行若∠B=25°∠D=58°则∠BCE的度数是()A. 83°B. 57°C. 54°D. 33°5.下列由左到右的变形属于因式分解的是()A. (x+2)(x−2)=x2−4B. x2+4x−2=x(x+4)−2C. x2−4=(x+2)(x−2)D. x2−4+3x=(x+2)(x−2)+3x6.如图抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=1下列结论：7.①abc>0②b2−4ac>0③8a+c<0④5a+b+2c>8.正确的有()A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个9.如图从一张腰长为90cm顶角为120°的等腰三角形铁皮OAB中剪出一个最大的扇形OCD用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥的侧面(不计损耗)则该圆锥的底面半径为()A. 15cmB. 12cmC. 10cmD. 20cm10.夏季来临某超市试销A B两种型号的风扇两周内共销售30台销售收入5300元A型风扇每台200元B型风扇每台150元问A B两种型号的风扇分别销售了多少台？若设A型风扇销售了x台B型风扇销售了y台则根据题意列出方程组为()A. {x+y=5300200x+150y=30 B. {x+y=5300150x+200y=30C. {x+y=30200x+150y=5300 D. {x+y=30150x+200y=530011.若甲乙两弹簧的长度ycm与所挂物体质量xkg之间的函数表达式分别为y=k1x+b1和y=k2x+b2如图所示所挂物体质量均为2kg时甲弹簧长为y1乙弹簧长为y2则y1与y2的大小关系为()A. y1>y2B. y1=y2C. y1<y2D. 不能确定12.如图正方形ABCD的边长为4点E在边AB上BE=1∠DAM=45°点F在射线AM上且AF=√2过点F作AD的平行线交BA的延长线于点H CF与AD相交于点G连接EC EG EF.下列结论：①△ECF的面积为17②△AEG的周长为8③EG2=2DG2+BE2.其中正确的是()A. ①②③B. ①③C. ①②D. ②③二填空题：本大题共8小题其中11-14题每小题3分15-18题每小题3分共28分．只要求填写最后结果．（本大题共8小题共24.0分）13.若关于x的二次三项式x2+(m+1)x+16可以用完全平方公式进行因式分解则m=_______．14.纳米是一种长度单位1纳米=10−9米．已知某种植物花粉的直径约为20800纳米则用科学记数法表示该种花粉的直径约为______米15.已知x1x2…x10的平均数是a x11x12…x30的平均数是b则x1x2…x30的平均数是____________．16.函数y=(3−m)x+n(m,n为常数m≠3)若2m+n=1当−1≤x≤3时函数有最大值2则n=______．17.如图矩形ABCD中AB=2BC=√2E为CD的中点连接AE BD交于点P过点P作PQ⊥BC于点Q则PQ=______．18.19.21. 如图 长方体的底面边长均为3cm 高为5cm 如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈达到点B 那么所用细线最短需要______cm ．22.23.24. 如图 在平面直角坐标系中 点A 1 A 2 A 3 … A n 在x 轴上 点B 1 B 2 B 3 …B n 在直线y =√33x 上．若A 1(1,0) 且△A 1B 1A 2 △A 2B 2A 3 … △A n B n A n +1都是等边三角形 从左到右的小三角形(阴影部分)的面积分别记为S 1 S 2 S 3 … S n 则S 2021可表示为______________．三 解答题：本大题共7小题 共62分．解答要写出必要的文字说明 证明过程或演算步骤．25. （8分）(1)先化简(1+2x−3)÷x 2−1x 2−6x+9 再从不等式组{−2x <43x <2x +4的整数解中选一个合适的x 的值代入求值．26.27.28.29.30.31.32.（2）计算：|−4|−2cos60°+(√3−√2)0−(−3)2．33.（8分）如图AB是⊙O的直径点C是⊙O上一点(与点A B不重合)过点C作直线PQ使得∠ACQ=∠ABC．34.(1)求证：直线PQ是⊙O的切线．35.(2)过点A作AD⊥PQ于点D交⊙O于点E若⊙O的半径为2sin∠DAC=1求图中阴影部分的面积．236.37.38.39.40.41.42.43.（8分）某校为了了解全校学生线上学习情况随机选取该校部分学生调查学生居家学习时每天学习时间(包括线上听课及完成作业时间).如图是根据调查结果绘制的统计图表．请你根据图表中的信息完成下列问题：44.频数分布表45.学习时间分组46.频数47.频率48.A组(0≤x<1)49.950.m51.B组(1≤x<2)52.1853.0.354.C组(2≤x<3)55.1856.0.357.D组(3≤x<4)58.n59.0.260.E组(4≤x<5)61.362.0.05(1)频数分布表中m=______ n=______ 并将频数分布直方图补充完整(2)若该校有学生1000名现要对每天学习时间低于2小时的学生进行提醒根据调查结果估计全校需要提醒的学生有多少名？(3)已知调查的E组学生中有2名男生1名女生老师随机从中选取2名学生进一步了解学生居家学习情况．请用树状图或列表求所选2名学生恰为一男生一女生的概率．22.（8分）数学兴趣小组到黄河风景名胜区测量炎帝塑像的高度．如图所示炎帝塑像DE在高55m的小山EC上在A处测得塑像底部E的仰角为34°再沿AC方向前进21m到达B处测得塑像顶部D的仰角为60°求炎帝塑像DE的高度．(精确到1m参考数据：sin34°≈0.56 cos34°=0.83tan34°≈0.6723（8分）天水市某商店准备购进A B两种商品A种商品每件的进价比B种商品每件的进价多20元用2000元购进A种商品和用1200元购进B种商品的数量相同．商店将A种商品每件的售价定为80元B种商品每件的售价定为45元．(1)A种商品每件的进价和B种商品每件的进价各是多少元？(2)商店计划用不超过1560元的资金购进A B两种商品共40件其中A种商品的数量不低于B 种商品数量的一半该商店有几种进货方案？(3)“五一”期间商店开展优惠促销活动决定对每件A种商品售价优惠m(10<m<20)元B种商品售价不变在(2)的条件下请设计出m的不同取值范围内销售这40件商品获得总利润最大的进货方案．24（10分）如图抛物线y=x2+bx+c经过点(3,12)和(−2,−3)与两坐标轴的交点分别为AB C它的对称轴为直线l．(1)求该抛物线的表达式(2)P是该抛物线上的点过点P作l的垂线垂足为D E是l上的点．要使以P D E为顶点的三角形与△AOC全等求满足条件的点P点E的坐标．25.（12分）如图在矩形ABCD中AB=20点E是BC边上的一点将△ABE沿着AE折叠点B刚好落在CD边上点G处点F在DG上将△ADF沿着AF折叠点D刚好落在AG上点H处此时S△GFH：S△AFH=2：3(1)求证：△EGC∽△GFH(2)求AD的长(3)求tan∠GFH的值．参考答案1..【答案】B【解析】解：|−16|的相反数即16的相反数是−16．故选：B．根据只有符号不同的两个数互为相反数可得一个数的相反数．本题考查了相反数绝对值在一个是数的前面加上负号就是这个数的相反数．2.【答案】B【解析】解：A原式=2x6不符合题意B原式=a6−a6=0符合题意C原式=x2−2xy+y2不符合题意D原式=b2−a2不符合题意故选：B．各项计算得到结果即可作出判断．此题考查了整式的混合运算熟练掌握运算法则是解本题的关键．3.【答案】A【解析】【分析】本题考查了计算器−数的开方解决本题的关键是认识计算器．根据计算器的功能键即可得结论．【解答】解：根据计算器上按键−√1253=−5所以显示结果为−5．故选：A．4.【答案】B【解析】解：过点C作CF//AB∴∠BCF=∠B=25°．又AB//DE∴CF//DE．∴∠FCE=∠E=90°−∠D=90°−58°=32°．∴∠BCE=∠BCF+∠FCE=25°+32°=57°．故选：B．过点C作CF//AB易知CF//DE所以可得∠BCF=∠B∠FCE=∠E根据∠BCE=∠BCF+∠FCE即可求解．本题主要考查了平行线的判定和性质解决角度问题一般借助平行线转化角此题属于“拐点”问题过拐点处作平行线是此类问题常见辅助线．5.【答案】C【解析】解：A(x+2)(x−2)=x2−4是整式的乘法运算故此选项错误B x2+4x−2=x(x+4)−2不符合因式分解的定义故此选项错误C x2−4=(x+2)(x−2)是因式分解符合题意．D x2−4+3x=(x+2)(x−2)+3x不符合因式分解的定义故此选项错误故选：C．直接利用因式分解的定义分别分析得出答案．此题主要考查了因式分解的意义正确把握分解因式的定义是解题关键．6.【答案】B【解析】【分析】本题考查的是二次函数图象与系数的关系掌握二次函数的性质灵活运用数形结合思想是解题的关键．根据抛物线的开口方向对称轴与坐标轴的交点判定系数符号及运用一些特殊点解答问题．【解答】解：由抛物线的开口向下可得：a<0根据抛物线的对称轴在y轴右边可得：a b异号所以b>0根据抛物线与y轴的交点在正半轴可得：c>0∴abc<0故①错误∵抛物线与x轴有两个交点∴b2−4ac>0故②正确∵直线x=1是抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴所以−b2a=1可得b=−2a由图象可知当x=−2时y<0即4a−2b+c<0∴4a−2×(−2a)+c<0即8a+c<0故③正确由图象可知当x=2时y=4a+2b+c>0当x=−1时y=a−b+c>0两式相加得5a+b+2c>0故④正确∴结论正确的是②③④3个故选：B．7.【答案】A【解析】解：过O作OE⊥AB于E∵OA=OB=90cm∠AOB=120°∴∠A=∠B=30°∴OE=12OA=45cm∴弧CD的长=120π×45180=30π设圆锥的底面圆的半径为r则2πr=30π解得r=15．故选：A．根据等腰三角形的性质得到OE的长再利用弧长公式计算出弧CD的长设圆锥的底面圆的半径为r根据圆锥的侧面展开图为一扇形这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长得到r然后利用勾股定理计算出圆锥的高．本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长扇形的半径等于圆锥的母线长．8.【答案】C【解析】 【分析】本题直接利用两周内共销售30台 销售收入5300元 分别得出等式进而得出答案． 此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组 正确得出等量关系是解题关键． 【解答】解：设A 型风扇销售了x 台 B 型风扇销售了y 台 则根据题意列出方程组为：{x +y =30200x +150y =5300故选C ．9.【答案】A【解析】解：∵点(0,4)和点(1,12)在y 1=k 1x +b 1上 ∴得到方程组：{4=b 112=k 1+b 1解得：{k 1=8b 1=4∴y 1=8x +4．∵点(0,8)和点(1,12)代入y 2=k 2x +b 2上 ∴得到方程组为{8=b 212=k 2+b 2解得：{k 2=4b 2=8．∴y 2=4x +8．当x =2时 y 1=8×2+4=20 y 2=4×2+8=16 ∴y 1>y 2． 故选：A ．将点(0,4)和点(1,12)代入y 1=k 1x +b 1中求出k 1和b 1 将点(0,8)和点(1,12)代入y 2=k 2x +b 2中求出k 2和b 2 再将x =2代入两式比较y 1和y 2大小．本题考查了一次函数的应用 待定系数法求一次函数关系式 比较函数值的大小 熟练掌握待定系数法求一次函数关系式是解题的关键．10.【答案】C【解析】解：如图在正方形ABCD中AD//BC AB=BC=AD=4∠B=∠BAD=90°∴∠HAD=90°∵HF//AD∴∠H=90°∵∠HAF=90°−∠DAM=45°∴∠AFH=∠HAF．∵AF=√2∴AH=HF=1=BE．∴EH=AE+AH=AB−BE+AH=4=BC ∴△EHF≌△CBE(SAS)∴EF=EC∠HEF=∠BCE∵∠BCE+∠BEC=90°∴∠HEF+∠BEC=90°∴∠FEC=90°∴△CEF是等腰直角三角形在Rt△CBE中BE=1BC=4∴EC2=BE2+BC2=17∴S△ECF=12EF⋅EC=12EC2=172故①正确过点F作FQ⊥BC于Q交AD于P∴∠APF=90°=∠H=∠HAD∴四边形APFH是矩形∵AH=HF∴矩形AHFP是正方形∴AP=PF=AH=1同理：四边形ABQP是矩形∴PQ=AB=4BQ=AP=1FQ=FP+PQ=5CQ=BC−BQ=3∵AD//BC∴△FPG∽△FQC∴FPFQ=PGCQ∴15=PG3∴PG=3 5∴AG=AP+PG=8 5在Rt△EAG中根据勾股定理得EG=√AG2+AE2=175∴△AEG的周长为AG+EG+AE=85+175+3=8故②正确∵AD=4∴DG=AD−AG=125∴DG2+BE2=14425+1=16925∵EG2=(175)2=28925≠16925∴EG2≠DG2+BE2故③错误∴正确的有①②故选：C．先判断出∠H=90°进而求出AH=HF=1=BE.进而判断出△EHF≌△CBE(SAS)得出EF=EC ∠HEF=∠BCE判断出△CEF是等腰直角三角形再用勾股定理求出EC2=17即可得出①正确先判断出四边形APFH是矩形进而判断出矩形AHFP是正方形得出AP=PF=AH=1同理：四边形ABQP是矩形得出PQ=4BQ=1FQ=5CQ=3再判断出△FPG∽△FQC得出FPFQ =PGCQ求出PG=35再根据勾股定理求得EG=175即△AEG的周长为8判断出②正确先求出DG=125进而求出DG2+BE2=16925再求出EG2=28925≠16925判断出③错误即可得出结论．此题主要考查了正方形的性质和判断全等三角形的判定和性质相似三角形的判定和性质勾股定理求出AG是解本题的关键．11.【答案】7或−9【解析】【分析】本题考查了公式法分解因式熟练掌握完全平方公式的结构特点是解题的关键．根据完全平方公式第一个数为x第二个数为4中间应加上或减去这两个数积的两倍．【解答】依题意得(m+1)x=±2×4x解得：m=7或−9．故答案为：7或−9．12.【答案】2.08×10−5【解析】解：20800纳米×10−9=2.08×10−5米．故答案为：2.08×10−5．绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示一般形式为a×10−n与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．本题考查用科学记数法表示较小的数一般形式为a×10−n其中1≤|a|<10n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．13.【答案】14【解析】【分析】此题考查了求概率用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比熟知概率的定义是解答此题的关键．根据题意先求出所有等可能的情况数和两枚硬币都是正面向上的情况数然后根据概率公式即可得出答案．【解答】解：同时抛掷两枚质地均匀的硬币一次共有正正正反反正反反四种等可能的结果两枚硬币都是正面向上的有1种所以两枚硬币都是正面向上的概率应该是14．故答案为：1414.【答案】10a+20b30【解析】【分析】本题考查的是样本加权平均数的求法．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．平均数是表示一组数据集中趋势的量数它是反映数据集中趋势的一项指标．解答平均数应用题的关键在于确定“总数量”以及和总数量对应的总份数利用平均数的定义利用数据x1x2…x10的平均数为a x11x12…x30的平均数为b可求出x1+x2+⋯+x10=10a x11+x12+⋯+x30=20b进而即可求出答案．【解答】解：因为数据x1x2…x10的平均数为a则有x1+x2+⋯+x10=10a因为x11x12…x30的平均数为b则有x11+x12+⋯+x30=20b∴x1x2…x30的平均数=10a+20b．30故答案为10a+20b30．15.【答案】−115【解析】 【分析】需要分类讨论：3−m >0和3−m <0两种情况 结合一次函数图象的增减性解答。

数学中考综合模拟检测试题学校________ 班级________ 姓名________ 成绩________ 一．选择题(共10小题)1.计算：(-3)×(- 13)=()A. -1B. 1C. -9D. 92.如图，下面几何体由两个大小相同的正方体和一个圆柱体组成，则它的左视图是( )A. B. C. D.3.计算(-2x2y)3的结果是( )A. -8x6y3B. 6x6y3C. -8x5y3D. -6x5y34.如图，AB∥CD.若∠1＝40°，∠2＝65°，则∠CAD＝()A. 50°B. 65°C. 75°D. 85°5.设点A(-3，a)，B(b，12)在同一个正比例函数图象上，则ab的值为()A.23- B.32- C. -6 D.326.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=20，AC=15，△ABC的高AD与角平分线CF交于点E，则DE AF的值为()A. 35B. 34C. 12D. 237.已知两个一次函数y=3x+b 1和y=-3x+b 2若b 1<b 2<0，则它们图象的交点在( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限8.如图， 在三边互不相等的△ABC 中， D ，E ，F 分别是AB ，AC ，BC 边的中点．连接DE ，过点C 作CM ∥AB 交DE 的延长线于点M ，连接CD 、EF 交于点N ，则图中全等三角形共有( )A. 3对B. 4对C. 5对D. 6对9.如图，在⊙O 中，弦AB 垂直平分半径OC ，垂足为D ．若点P 是⊙O 上异于点A ，B 的任意一点，则∠APB=( )A. 30°或60°B. 60°或150°C. 30°或150°D. 60°或120° 10.将抛物线M ：y=- 13x 2+2向左平移2个单位，再向上平移1个单位，得到抛物线M'．若抛物线M'与x 轴交于A 、B 两点，M'的顶点记为C ，则∠ACB=( ) A 45°B. 60°C. 90°D. 120° 二．填空题(共4小题)11.不等式-2x+1>-5的最大整数解是________．12.如图，五边形ABCDE 的对角线共有 ________条．13.如图，在x 轴上方，平行于x 轴的直线与反比例函数y ＝1k x和y ＝2k x 的图象分别交于A 、B 两点，连接OA 、OB ，若△AOB 的面积为6，则k 1﹣k 2＝_____．14.如图，在正方形ABCD 中，AB=4，E 是BC 边中点， F 是CD 边上的一点， 且DF=1．若M 、N 分别是线段AD 、AE 上的动点，则MN+MF 的最小值为________ ．三．解答题(共11小题)15.计算：2(3)|25|20-+--.16.化简：(22739a a a +--﹣43a a ++)÷33a a +-． 17.如图，已知锐角△ABC ，点D 是AB 边上的一定点，请用尺规在AC 边上求作一点E ，使△ADE 与△ABC 相似．(作出符合题意的一个点即可，保留作图痕迹，不写作法．)18.2016年4月23日是我国第一个”全民阅读日”某校开展了”建设书香校园，捐赠有益图书”活动．我们在参加活动的所有班级中，随机抽取了一个班，已知这个班是八年级5班，全班共50名学生．现将该班捐赠图书情况的统计结果，绘制成如下两幅不完整的统计图．请你根据以上信息，解答下列问题：(1)补全上面的条形统计图和扇形统计图;(2)求八年级5班平均每人捐赠了多少本书?(3)若该校八年级共有800名学生，请你估算这个年级学生共可捐赠多少本书?19.如图，菱形ABCD中，点E是边AD上一点，延长AB至点F，使BF＝AE，连结BE，CF．求证：BE＝CF．20.某市为了创建绿色生态城市，在城东建了”东州湖”景区，小明和小亮想测量”东州湖”东西两端A、B间的距离．于是，他们去了湖边，如图，在湖的南岸的水平地面上，选取了可直接到达点B的一点C，并测得BC＝350米，点A位于点C的北偏西73°方向，点B位于点C的北偏东45°方向．请你根据以上提供的信息，计算”东州湖”东西两端之间AB的长．(结果精确到1米)(参考数据：sin73°≈0.9563，cos73≈0.2924，tan73°≈3.2709，2≈1.414．)21.上周六上午点，小颖同爸爸妈妈一起从西安出发回安康看望姥姥，途中他们在一个服务区休息了半小时，然后直达姥姥家，如图，是小颖一家这次行程中距姥姥家的距离 (千米)与他们路途所用的时间(时)之间的函数图象，请根据以上信息，解答下列问题：(1)求直线AB所对应的函数关系式;(2)已知小颖一家出服务区后，行驶分钟时，距姥姥家还有千米，问小颖一家当天几点到达姥姥家?22.孙老师在上《等可能事件的概率》这节课时，给同学们提出了一个问题：”如果同时随机投掷两枚质地均匀的骰子，它们朝上一面的点数和是多少的可能性最大?”同学们展开讨论，各抒己见，其中小芳和小超两位同学给出了两种不同的回答．小芳认为6的可能性最大，小超认为7的可能性最大．你认为他们俩的回答正确吗?请用列表或画树状图等方法加以说明．(骰子：六个面上分别刻有1，2，3，4，5，6个小圆点的小正方体．)23.如图，已知⊙O的半径为5，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝8，．过点B作⊙O的切线BD，过点A作AD⊥BD，垂足为D．(1)求证：∠BAD+∠C＝90°(2)求线段AD的长．24.如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，△AOB是等腰直角三角形，∠AOB=90°，点A(2,1).(1)求点B的坐标;(2)求经过A、O、B三点的抛物线的函数表达式;(3)在(2)所求抛物线上，是否存在一点P，使四边形ABOP的面积最大?若存在，求出点P的坐标;若不存在，请说明理由.25.问题提出(1)如图①，在△ABC中，BC＝6，D为BC上一点，AD＝4，则△ABC面积的最大值是．问题探究(2)如图②，已知矩形ABCD的周长为12，求矩形ABCD面积的最大值．问题解决(3)如图③，△ABC是葛叔叔家的菜地示意图，其中AB＝30米，BC＝40米，AC＝50米，现在他想利用周边地的情况，把原来的三角形地拓展成符合条件的面积尽可能大、周长尽可能长的四边形地，用来建鱼塘．已知葛叔叔欲建的鱼塘是四边形ABCD，且满足∠ADC＝60°．你认为葛叔叔的想法能否实现?若能，求出这个四边形鱼塘周长的最大值;若不能，请说明理由．答案与解析一．选择题(共10小题)1.计算：(-3)×(- 13)=()A. -1B. 1C. -9D. 9 【答案】B【解析】【分析】根据两数相乘，同号得正，把绝对值相乘，再进行计算．【详解】解：1313⎛⎫-⨯-=⎪⎝⎭．故答案为：B．【点睛】此题主要考查了有理数的乘法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．2.如图，下面的几何体由两个大小相同的正方体和一个圆柱体组成，则它的左视图是( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．【详解】解：从左边看上下都是正方形，故选：D．【点睛】本题主要考查左视图，掌握三视图是解题的关键.3.计算(-2x2y)3的结果是( )A. -8x6y3B. 6x6y3C. -8x5y3D. -6x5y3【答案】A【解析】【分析】根据幂的乘方与积的乘方运算法则进行运算即可．【详解】(-2x2y)3=-8x6y3．故选A．4.如图，AB∥CD.若∠1＝40°，∠2＝65°，则∠CAD＝()A. 50°B. 65°C. 75°D. 85°【答案】C【解析】【分析】根据对顶角性质可知∠BAD=∠1=40°，然后利用平行线性质可得∠CAB=115°，据此进一步计算求解即可. 【详解】∵∠BAD与∠1是对顶角，∴∠BAD=∠1=40°，∵AB∥CD，∴∠2+∠CAB=180°，∴∠CAB=180°−∠2=115°，∴∠CAD=∠CAB−∠BAD=75°，故选：C.【点睛】本题主要考查了平行线性质以及对顶角性质，熟练掌握相关概念是解题关键.5.设点A(-3，a)，B(b，12)在同一个正比例函数的图象上，则ab的值为()A.23- B.32- C. -6 D.32【答案】B【解析】【分析】设正比例函数的解析式为y=kx，将两点在分别代入函数解析式，就可表示出a，b，然后代入求出ab的值．【详解】设正比例函数的解析式为y=kx(k≠0)∴a=-3k，bk=1 2∴b=1 2k∴13322 ab kk=-⋅=-．故答案为：B．【点睛】此题考查了一次函数图象上点的坐标特征，此类题目需灵活运用待定系数法建立函数解析式，然后将点的坐标代入解析式，利用方程解决问题．6.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=20，AC=15，△ABC的高AD与角平分线CF交于点E，则DE AF的值为()A 35B.34C.12D.23【答案】A【解析】【分析】利用勾股定理求出BC的长，再根据直角三角形的两个面积公式就可求出AD的长，利用勾股定理求出DC 的长，然后利用角平分线的定义，可得到tan∠ACF=tan∠ECD，然后利用锐角三角函数的定义，就可求出DE与AF的比值．【详解】解：在△ABC中2222201525BC AB AC+=+=∵AD是高∴1122AD BC AB AC⋅=⋅∴25AD=20×15解之：AD=12．在Rt△ADC中，222215129 DC AC AD--=∵CF平分∠ACB，∴∠ACF=∠ECD∴tan ∠ACF=tan ∠ECD ∴AF DE AC DC =即159AF DE = ∴35DE AF =． 故答案为：A ．【点睛】本题主要考查三角函数的应用，解题的关键是掌握勾股定理、三角函数的定义得到式子求解． 7.已知两个一次函数y=3x+b 1和y=-3x+b 2若b 1<b 2<0，则它们图象的交点在( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】将两函数联立方程组，解方程组求出两函数的交点坐标，再根据b 1<b 2<0 ，就可得到b 2-b 1＞0，b 2+b 1＜0，就可确定出交点的横纵坐标的符号，从而可判断出两函数图像的交点所在的象限． 【详解】解：1233y x b y x b =+⎧⎨=-+⎩解之：212162b b x b b y -⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩∵ b 1<b 2<0∴b 2-b 1＞0，b 2+b 1＜0∴x ＞0，y ＜0∴它们图像的交点在第四象限．故答案为：D ．【点睛】本题主要考查两直线相交或平行的问题及象限内点的坐标特点，掌握根据直线解析式求得交点坐标且各象限内点的坐标特点是解题的关键．8.如图， 在三边互不相等△ABC 中， D ，E ，F 分别是AB ，AC ，BC 边的中点．连接DE ，过点C 作CM ∥AB 交DE 的延长线于点M ，连接CD 、EF 交于点N ，则图中全等三角形共有( )A. 3对B. 4对C. 5对D. 6对【答案】C【解析】【分析】 利用已知条件可证得DE ，EF 都是△ABC 的中位线，同时可证得AE=EC ，CF=12BC ，利用三角形中位线定理可得到DE=12BC ，DE ∥BC ，EF ∥AB ，从而可以推出∠EDC=∠FCN ，DE=CF ，再利用AAS 证明△DEN ≌△CFN ，然后利用有两组对边平行的四边形是平行四边形，可证得四边形EFCM 是平行四边形，再利用平行四边形的性质可以推出△EMC ≌△CFE ，△ADE ≌△CME ，△ADE ≌△CEF, △BCD ≌△MDC ．【详解】证明：∵D ，E ，F 分别是AB ，AC ，BC 边的中点．∴CF=12BC ，DE 是△ABC 的中位线，EF 是△ABC 的中位线，AE=EC ∴DE=12BC ，DE ∥BC ，EF ∥AB ， ∴∠EDC=∠FCN ，DE=CF在△DEN 和△CFN 中DNE CNF EDC FCN DE CF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△DEN ≌△CFN (AAS );∵EF ∥AB ，CM ∥AB∴EF ∥CM ，DE ∥BC∴四边形EFCM 是平行四边形，∴EM=CF=DE ，EF=CM,在△EMC 和△CFE 中，EM CF EF CM CE EC =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴△EMC ≌△CFE (SSS );在△ADE 和△CME 中，AE EC AED CEM DE ME =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADE≌△CME(SAS);∴△ADE≌△CEF，∴DE∥BC又BD∥CM∥EF∴四边形DBCM是平行四边形，∴△BCD≌△MDC∴图中的全等三角形一共有5对．故答案为：C．【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、全等三角形的判定定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．9.如图，在⊙O中，弦AB垂直平分半径OC，垂足为D．若点P是⊙O上异于点A，B的任意一点，则∠APB=()A. 30°或60°B. 60°或150°C. 30°或150°D. 60°或120°【答案】D【解析】【分析】利用垂径定理及已知可得到∠OAD=30°，再求出∠AOB的度数，再分情况讨论：当点P在优弧AB上时，利用圆周角定理就可取出∠P的度数;当点P在劣弧上时，利用圆内接四边形的对角互补，就可求出∠AP1B 的度数．【详解】连接OA，OB，∵ 弦AB 垂直平分半径OC∴OD=12OA ， ∴∠OAD=30°，∵OA=OB∴∠OAB=∠OBA=30°，∴∠AOB=180°-∠OAB-∠OBA=180°-30°-30°=120°;当点P 在优弧AB 上时∠APB=12∠AOB=12×120°=60°; 当点P 在劣弧上时，∠APB+∠AP 1B=180°∴∠AP 1B=180°-60°=120°．∴∠APB=120°或60°．故答案为：D ．【点睛】此题考查了垂径定理，以及圆周角定理，熟练掌握垂径定理是解本题的关键．10.将抛物线M ：y=- 13x 2+2向左平移2个单位，再向上平移1个单位，得到抛物线M'．若抛物线M'与x 轴交于A 、B 两点，M'的顶点记为C ，则∠ACB=( ) A. 45°B. 60°C. 90°D. 120° 【答案】C【解析】【分析】利用二次函数的平移规律：上加下减，左加右减，可求出抛物线M'的函数解析式，由此可得到点C 的坐标，再由y=0求出抛物线M'与x 轴的两个交点A ，B 的坐标，然后利用勾股定理求出AC 2、BC 2、AB 2，由此可以推出AC 2+BC 2=AB 2，利用勾股定理的逆定理，可求出∠ACB 的度数．【详解】∵y=-13x 2+2向左平移2个单位，再向上平移1个单位，得到抛物线M'， ∴抛物线M'的解析式为y=21(2)33x -++ ∵ 若抛物线M'与x 轴交于A 、B 两点，M'的顶点记为C ，∴点C (-2，3)当y=0时21(2)303x -++=解之：x 1=1，x 2=-5∴点A(1，0)，点B(-5，0)∴AB2=|-5-1|2=36AC2=32+32=18，BC2=32+32=18∴AC2+BC2=AB2∴∠ACB=90°．故答案为：C．【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数与几何变换、勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于基础题．二．填空题(共4小题)11.不等式-2x+1>-5的最大整数解是________．【答案】2【解析】【分析】先求出不等式的解集，再求出不等式的最大整数解．【详解】解-2x+1>-5-2x＞-6x＜3，∴这个不等式的最大整数解为2．故答案为：2．【点睛】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．12.如图，五边形ABCDE的对角线共有________条．【答案】5【解析】【分析】根据n边形的对角线的总数量为(3)2n n，再将n=5代入计算可求出结果．【详解】五边形的对角线的条数为：(53)552-⨯=． 故答案为：5． 【点睛】此题考查了多边形的对角线，掌握多边形的对角线公式是解题的关键．13.如图，在x 轴上方，平行于x 轴的直线与反比例函数y ＝1k x和y ＝2k x 的图象分别交于A 、B 两点，连接OA 、OB ，若△AOB 的面积为6，则k 1﹣k 2＝_____．【答案】-12． 【解析】【分析】根据AB ∥x 轴，设1211k k x k A x B x k x（，），（，），得到21k x AB x k -＝，根据△AOB 的面积为6，列方程即可得到结论．【详解】∵AB ∥x 轴，∴设1211k k x k A x B x k x（，），（，） ∴21k x AB x k -＝， ∵△AOB 的面积为6，∴(2111•62k x k x k x-（）＝， ∴k 1﹣k 2＝﹣12，故答案为：﹣12．【点睛】本题考查的是反比例函数系数k 的几何意义，即在反比例函数k y x=图象中任取一点，过这一个点向x 轴和y 轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|;在反比例函数的图象上任意一点象坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是2y k ，且保持不变． 14.如图，在正方形ABCD 中，AB=4，E 是BC 边的中点， F 是CD 边上的一点， 且DF=1．若M 、N 分别是线段AD 、AE 上的动点，则MN+MF 的最小值为________ ．【答案】955【解析】【分析】作点F 关于AD 的对称点G ，过点G 作GN ⊥AE 于点N ，交AD 于点M ，可证得MG=MF ，△MDG ≌△MDF ，DF=DG=1 ，可推出MN+MF=NG ，根据垂线段最短，可知此时MN+MF 的最小值就是NG 的长;利用正方形的性质，可求出BE 的长，同时可以推出∠B=∠ANM=∠FDM ，∠AMN=∠BAE=∠FMD ，再利用有两组对应角相等的三角形相似，可证得△ABE ∽△MNA ∽△FMD ，然后利用相似三角形的性质及勾股定理就可求出MN ，MG 的长，由此看求出NG 的长．【详解】作点F 关于AD 的对称点G ，过点G 作GN ⊥AE 于点N ，交AD 于点M ，∴MG=MF ，△MDG ≌△MDF ，DF=DG=1∴∠GMD=∠DMF∴MN+MF=MN+MG=NG根据垂线段最短，可知此时MN+MF 的最小值就是NG 的长．∵正方形BCD ，点E 是BC 的中点∴BE=12BC=12AB=2∴∠B=∠ANM=∠FDM=90°，∠BAE+∠MAN=90°，∵∠AMN+∠MAN=90°，∴∠AMN=∠BAE ，∵∠AMN=∠DMG∴∠AMN=∠BAE=∠FMD∴△ABE ∽△MNA ∽△FMD ∴AB MD BE DF =即421MD = 解之：MD=2，∴AM=AD-MD=4-2=2 ∴2AB MN BE AN== 设AN=x ，则MN=2x∴AN 2+MN 2=AM 2，∴x 2+4x 2=4解之：∴在Rt △MDG 中，=∴NG=MN+MG==． 【点睛】本题考查了轴对称−最短距离问题，相似三角形的判定和性质，正确的确定M ，N 的位置是解题的关键．三．解答题(共11小题)15.计算：2(3)|2|-+-【答案】7【解析】【分析】先计算乘方，化简绝对值，计算算术平方根，再进行实数的加减混合运算即可解答.【详解】解：原式＝9＋5－2－25＝7－5【点睛】本题考查实数的混合运算，解题关键是熟练掌握绝对值的化简和算术平方根的意义.16.化简：(22739a a a +--﹣43a a ++)÷33a a +-． 【答案】269(3)a a ++ 【解析】【分析】根据分式的运算法则，先去括号，然后除一个数等于乘这个数的倒数即可．【详解】解：原式＝(273(3)(3)a a a a +-+-﹣43a a ++)÷33a a +-． ＝2273(3)a a a +-+﹣2(4)(3)(3)a a a +-+ ＝269(3)a a ++ 【点睛】本题考查分式的除法，需要注意，在去括号时，括号中的每一项都要除后面的除数17.如图，已知锐角△ABC ，点D 是AB 边上的一定点，请用尺规在AC 边上求作一点E ，使△ADE 与△ABC 相似．(作出符合题意的一个点即可，保留作图痕迹，不写作法．)【答案】详见解析【解析】【分析】以DA 为边、点D 为顶点在△ABC 内部作一个角等于∠B ，角的另一边与AC 的交点即为所求作的点．【详解】如图，点E 即为所求作的点．【点睛】本题主要考查作图-相似变换，根据相似三角形的判定明确过点D作DE∥BC并熟练掌握做一个角等于已知角的作法式解题的关键．18.2016年4月23日是我国第一个”全民阅读日”某校开展了”建设书香校园，捐赠有益图书”活动．我们在参加活动的所有班级中，随机抽取了一个班，已知这个班是八年级5班，全班共50名学生．现将该班捐赠图书情况的统计结果，绘制成如下两幅不完整的统计图．请你根据以上信息，解答下列问题：(1)补全上面的条形统计图和扇形统计图;(2)求八年级5班平均每人捐赠了多少本书?(3)若该校八年级共有800名学生，请你估算这个年级学生共可捐赠多少本书?【答案】(1)见解析;(2)6本书;(3)4800本书【解析】【分析】(1)观察两统计图可知全班捐赠图书的总数=其它书的数量÷其它书的数量所占的百分比，列式计算;再利用全班捐赠图书的总数×捐赠工具类书的数量所占的百分比，就可求出捐赠工具类书的数量，就可补全条形统计图;然后利用部分的数量÷总数，就可求出文学类和科普类所占的百分比，从而可以补全扇形统计图中的数据;(2)用全班捐赠图书的总数除以八年级5班的人数，列式计算;(3)用800×平均每一个人的捐赠图书的数量，列式计算．【详解】(1)解：全班捐赠图书的总数为24÷8%=300(本)，则捐赠工具类书有300×20%=60(本)，文学类百分比为120300×100%=40%，科普类百分比为96300×100%=32%，完成统计图如下：八年级5班全班同学捐赠图书情况统计图(2)解：八年级5班平均每人捐赠了30050=6本书;(3)解：∵800×6=4800，估算这个年级学生共可捐赠4800本书．【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确它们各自的含义，利用数形结合的思想解答．19.如图，菱形ABCD中，点E是边AD上一点，延长AB至点F，使BF＝AE，连结BE，CF．求证：BE＝CF．【答案】证明见解析【解析】【分析】由菱形的性质得出AD∥BC，AB=BC，得出∠A=∠CBF，证明△ABE≌△BCF(SAS)，即可得出BE=CF．【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，AB=BC，∴∠A=∠CBF．在△ABE和△BCF中，∵AE=BF，∠A=∠CBF，AB=BC，∴△ABE≌△BCF(SAS)，∴BE=CF．点睛：本题考查了菱形的性质、平行线的性质、全等三角形的判定与性质;熟练掌握菱形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．20.某市为了创建绿色生态城市，在城东建了”东州湖”景区，小明和小亮想测量”东州湖”东西两端A、B间的距离．于是，他们去了湖边，如图，在湖的南岸的水平地面上，选取了可直接到达点B的一点C，并测得BC＝350米，点A位于点C的北偏西73°方向，点B位于点C的北偏东45°方向．请你根据以上提供的信息，计算”东州湖”东西两端之间AB的长．(结果精确到1米)(参考数据：sin73°≈0.9563，cos73≈0.2924，tan73°≈3.2709，2≈1.414．)【答案】1057米．【解析】分析】先根据题意得出△BCD是等腰直角三角形，故可得出CD＝BD，再由锐角三角函数的定义得出AD的长，进而可得出结论．【详解】∵∠BCD＝45°，CD⊥AB，∴△BCD是等腰直角三角形，∴CD＝BD．∵BC＝350米，∴CD＝BD＝350×2＝2≈175×1.414＝247.45米，∴AD＝CD•tan73°≈247.45×3.2709≈809.38米，∴AB＝AD+BD＝809.38+247.45≈1057(米)．答：”东州湖”东西两端之间AB的长为1057米．【点睛】本题是锐角三角函数在实际问题中的考查，在解决此类题型的时候，我们首先需要抽象出数学模型，然后构造出直角三角形，最后利用三角函数解决.21.上周六上午点，小颖同爸爸妈妈一起从西安出发回安康看望姥姥，途中他们在一个服务区休息了半小时，然后直达姥姥家，如图，是小颖一家这次行程中距姥姥家的距离 (千米)与他们路途所用的时间(时)之间的函数图象，请根据以上信息，解答下列问题：(1)求直线AB所对应的函数关系式;(2)已知小颖一家出服务区后，行驶分钟时，距姥姥家还有千米，问小颖一家当天几点到达姥姥家?【答案】详见解析【解析】试题分析：由图象知AB过(0，320)和((2，120)两点，故可设AB所在直线解析式为y=kx+b,代入即可求出a，b 的值，从而确定函数关系式;(2)先求出CD所在直线解析式，令y=0，则可求出x的值，从而可知小颖一家当天几点到达姥姥家.试题解析：(1)由图象知：A(0，320)，B(2，120)设AB所在直线解析式为y=kx+b，把A、B坐标代入得：320 2120 bk b=⎧⎨+=⎩解得：320 {100 bk==-故AB所在直线解析式为y=-100x+320; (2)由图象知：CD过点(2.5，120)和(3，80)设CD所在直线解析式为y=mx+n，则有2.5120 {380m nm n+=+=解得：80320 mn=-⎧⎨=⎩故CD所在直线解析式为y=-80x+320令y=0时，-80x+320=0，解得x=4所以：8+4=12故小颖一家当天12点到达姥姥家.22.孙老师在上《等可能事件的概率》这节课时，给同学们提出了一个问题：”如果同时随机投掷两枚质地均匀的骰子，它们朝上一面的点数和是多少的可能性最大?”同学们展开讨论，各抒己见，其中小芳和小超两位同学给出了两种不同的回答．小芳认为6的可能性最大，小超认为7的可能性最大．你认为他们俩的回答正确吗?请用列表或画树状图等方法加以说明．(骰子：六个面上分别刻有1，2，3，4，5，6个小圆点的小正方体．)【答案】小超的回答正确，图表见解析【解析】【分析】根据题意列表，再根据表中的数据可求出所有等可能的结果数及点数之和等于6和点数之和等于7的情况数，然后分别求出点数之和等于6与点数之和等于7的概率，由此可作出判断．【详解】列表如下共有36种等可能的结果数，其中点数之和等于6占5种，点数之和等于7的占6种，∴点数之和为6的概率为536，点数之和为7的概率为61366故小超的回答正确．【点睛】本题考查了利用列表法或树状图求概率的方法：先利用列表法或树状图展示所有等可能的结果数n，再找出其中某事件所占有的结果数m，然后根据概率的概念计算出这个事件的概率＝mn．23.如图，已知⊙O的半径为5，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝8，．过点B作⊙O的切线BD，过点A作AD⊥BD，垂足为D．(1)求证：∠BAD+∠C＝90°(2)求线段AD的长．【答案】(1)证明见解析;(2)325．【解析】【分析】(1)由弦切角等于同弧所对的圆周角得：∠C＝∠ABD，再根据直角三角形两锐角互余得出结论;(2)作弦心距，由勾股定理得：OE＝3，再证明△OEB∽△BDA，列比例式可以求AD的长．【详解】：(1)∵BD为⊙O的切线，∴∠C＝∠ABD，∵AD⊥BD，∴∠ADB＝90°，∴∠BAD+∠ABD＝90°，∴∠C+∠BAD＝90°，(2)连接OB，过O作OE⊥AB于E，∴AE＝BE＝12AB＝4，由勾股定理得：OE22OB BE-2254-3，∵BD为⊙O的切线，∴OB⊥BD，∴∠OBD＝90°，∵∠ADB＝90°，∴AD∥OB，∴∠DAB＝∠ABO，∵∠D＝∠OEB＝90°，∴△OEB∽△BDA，∴BE OB AD AB=，∴458 AD=，∴AD＝325;则线段AD的长为325．【点睛】本题考查了切线的性质和垂径定理、以及三角形的外接圆，是常考题型，熟练掌握切线的性质和垂径定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．24.如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，△AOB是等腰直角三角形，∠AOB=90°，点A(2,1).(1)求点B的坐标;(2)求经过A、O、B三点抛物线的函数表达式;(3)在(2)所求的抛物线上，是否存在一点P，使四边形ABOP的面积最大?若存在，求出点P的坐标;若不存在，请说明理由.【答案】(1) B(-1.2);(2) y=57x?66x-;(3)见解析.【解析】【分析】(1)过A作AC⊥x轴于点C，过B作BD⊥x轴于点D，则可证明△ACO≌△ODB，则可求得OD和BD的长，可求得B点坐标;(2)根据A、B、O三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式;(3)由四边形ABOP可知点P在线段AO的下方，过P作PE∥y轴交线段OA于点E，可求得直线OA解析式，设出P点坐标，则可表示出E点坐标，可表示出PE的长，进一步表示出△POA的面积，则可得到四边形ABOP的面积，再利用二次函数的性质可求得其面积最大时P点的坐标．【详解】(1)如图1，过A作AC⊥x轴于点C，过B作BD⊥x轴于点D，∵△AOB 为等腰三角形，∴AO=BO ，∵∠AOB=90°，∴∠AOC+∠DOB=∠DOB+∠OBD=90°，∴∠AOC=∠OBD ，△ACO 和△ODB 中AOC OBD ACO ODB AO BO ＝＝＝∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩∴△ACO ≌△ODB (AAS )，∵A (2，1)，∴OD=AC=1，BD=OC=2，∴B (-1，2);(2)∵抛物线过O 点，∴可设抛物线解析式为y=ax 2+bx ，把A 、B 两点坐标代入可得4212a b a b +⎧⎨-⎩＝＝，解得5676a b ⎧⎪⎪⎨⎪-⎪⎩＝＝， ∴经过A 、B 、O 原点的抛物线解析式为y=56x 2-76x ; (3)∵四边形ABOP ，∴可知点P 在线段OA 的下方，过P 作PE ∥y 轴交AO 于点E ，如图2，设直线AO解析式为y=kx，∵A(2，1)，∴k=12，∴直线AO解析式为y=12x，设P点坐标为(t，56t2-76t)，则E(t，12t)，∴PE=12t-(56t2-76t)=-56t2+53t=-56(t-1)2+56，∴S△AOP=12PE×2=PE═-56(t-1)2+56，由A(2，1)可求得5∴S△AOB=12AO•BO=52，∴S四边形ABOP=S△AOB+S△AOP=-56(t-1)2+56+52=()2510163t--+，∵-56＜0，∴当t=1时，四边形ABOP的面积最大，此时P点坐标为(1，-13 )，综上可知存在使四边形ABOP的面积最大的点P，其坐标为(1，-13 )．【点睛】本题为二次函数的综合应用，主要涉及待定系数法、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形的面积以及方程思想等知识．在(1)中构造三角形全等是解题的关键，在(2)中注意待定系数法的应用，在(3)中用t表示出四边形ABOP的面积是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．25.问题提出(1)如图①，在△ABC中，BC＝6，D为BC上一点，AD＝4，则△ABC面积的最大值是．问题探究(2)如图②，已知矩形ABCD的周长为12，求矩形ABCD面积的最大值．问题解决(3)如图③，△ABC是葛叔叔家的菜地示意图，其中AB＝30米，BC＝40米，AC＝50米，现在他想利用周边地的情况，把原来的三角形地拓展成符合条件的面积尽可能大、周长尽可能长的四边形地，用来建鱼塘．已知葛叔叔欲建的鱼塘是四边形ABCD，且满足∠ADC＝60°．你认为葛叔叔的想法能否实现?若能，求出这个四边形鱼塘周长的最大值;若不能，请说明理由．【答案】(1)12;(2)9;(3)能实现;170(米)．【解析】【分析】(1)当AD⊥BC时，△ABC的面积最大．(2)由题意矩形邻边之和为6，设矩形的一边为m，另一边为6﹣m，可得S＝m(6﹣m)＝﹣(m﹣3)2+9，利用二次函数的性质解决问题即可．(3)由题意，AC＝100，∠ADC＝60°，即点D在优弧ADC上运动，当点D运动到优弧ADC的中点时，四边形鱼塘面积和周长达到最大值，此时△ACD为等边三角形，计算出△ADC的面积和AD的长即可得出这个四边形鱼塘面积和周长的最大值．【详解】(1)如图①中，∵BC＝6，AD＝4，∴当AD⊥BC时，△ABC的面积最大，最大值＝12×6×4＝12．故答案为12．(2)∵矩形的周长为12，∴邻边之和为6，设矩形的一边为m，另一边为6﹣m，∴S＝m(6﹣m)＝﹣(m﹣3)2+9，∵﹣1＜0，∴m＝3时，S有最大值，最大值为9．(3)如图③中，∵AC＝50米，AB＝40米，BC＝30米，∴AC2＝AB2+BC2∴∠ABC＝90°，作△AOC，使得∠AOC＝120°，OA＝OC，以O为圆心，OA长为半径画⊙O，∵∠ADC＝60°，∴点D在优弧ADC上运动，当点D是优弧ADC的中点时，四边形ABCD面积取得最大值，设D′是优弧ADC上任意一点，连接AD′，CD′，延长CD′到F，使得D′F＝D′A，连接AF，则∠AFC＝30°＝12∠ADC，∴点F在D为圆心DA为半径的圆上，∴DF＝DA，∵DF+DC≥CF，∴DA+DC≥D′A+D′C，∴DA+DC+AC≥D′A+D′C+AC，∴此时四边形ADCB的周长最大，最大值＝40+30+50+50＝170(米)．答：这个四边形鱼塘周长的最大值为170(米)．【点睛】本题主要是最大值的考查，求最大值，常用方法为：(1)利用平方为非负的性质求解;(2)利用三角形两边之和大于第三边求解，在求解过程中，关键在与将要求解的线段集中到一个三角形中。

一．选择题(共10小题,满分30分,每小题3分)1．方程2019x﹣2019＝2019的解为()A．x＝1B．x＝0C．x＝﹣1D．x＝22．如图是由几个相同的正方体搭成的一个几何体,从正面看到的平面图形是()A．B．C．D．3．我县人口约为530060人,用科学记数法可表示为()A．53006×10人B．5.3006×105人C．53×104人D．0.53×106人4．如图,已知AB∥CD,直线AB,CD被BC所截,E点在BC上,若∠1＝45°,∠2＝35°,则∠3＝()A．65°B．70°C．75°D．80°5．下列运算正确的是()A．a2+a2＝a4B．(﹣2a3)2＝4a6C．(a﹣2)(a+1)＝a2+a﹣2D．(a﹣b)2＝a2﹣b26．为了解我市居民用水情况,在某小区随机抽查了20户家庭,并将这些家庭的月用水量进行统计,结果如下表：月用水量(吨)456813户数45731则关于这20户家庭的月用水量,下列说法正确的是()A．中位数是5B．平均数是5C．众数是6D．方差是67．等边△ABC的边长为a,顶点A在原点,一条高线恰好落在y轴的负半轴上,则第三象限的顶点B的坐标是()A ．(a2,−√32a ) B ．(−√32a,−12a )C ．(−a 2,−√32a )D ．(−√32a,12a )8．用一个半径为15、圆心角为120°的扇形围成一个圆锥,则这个圆锥的底面半径是( ) A ．5B ．10C ．5πD ．10π9．如图,菱形ABCD 的对角线AC ,BD 相交于点O ,过点A 作AH ⊥BC 于点H ,连接OH ,若OB ＝4,S 菱形ABCD ＝24,则OH 的长为( )A ．3B ．4C ．5D ．610．已知二次函数y ＝ax 2+bx +c (a ≠0)的图象如图所示,下列结论：①abc ＞0；②2a +b ＜0；③4a ﹣2b +c ＜0；④a +b +2c ＞0,其中正确结论的个数为( )A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个二．填空题(共6小题,满分18分,每小题3分) 11．分式方程x−2x=12的解为 ．12．计算|﹣2|﹣(﹣1)+30的结果是 ．13．一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球,把它们分别标号为1、2、3、4．随机摸取一个小球然后放回,再随机摸出一个小球,两次取出的小球标号的和等于5的概率是 ．14．如图,在平行四边形ABCD 中,AB ＝2,BC ＝5．∠BCD 的平分线交AD 于点F ,交BA 的延长线于点E ,则AE 的长为 ．15．已知A、B两地之间的路程为3000米,甲、乙两人分别从A、B两地同时出发,相向而行,甲到B地停止,乙到A地停止,出发10分钟后,甲原路原速返回A地取重要物品,取到该物品后立即原路原速前往B地(取物品的时间忽略不计),结果到达B地的时向比乙到达A地的时间晚,在整个行走过程中,甲、乙两人均保持各自的速度匀速行走,甲、乙两人相距的路程y(m)与甲运动的时间x(min)之间的关系如图所示,则乙到达A 地时,甲与B地相距的路程是米．16．如图,边长为√3的正方形ABCD中,点E是BC边上一点,点F是CD边上一点,且BF⊥AE于点G,将△ABE 绕顶点A逆时针旋转°得△AB′E′,使得点B′、E′恰好分别落在AE、CD上,AE′交BF于点H．则四边形B′E′HG的面积为．三．解答题(共9小题,满分72分)17．(6分)先化简,再求值：(x+2−5x−2)÷x−33x2−6x,其中x满足x2+3x﹣1＝0．18．(6分)为更精准地关爱留守学生,某学校将留守学生的各种情形分成四种类型：A．由父母一方照看；B．由爷爷奶奶照看；C．由叔姨等近亲照看；D．直接寄宿学校．某数学小组随机调查了一个班级,发现该班留守学生数量占全班总人数的20%,并将调查结果制成如下两幅不完整的统计图．(1)该班共有名留守学生,B类型留守学生所在扇形的圆心角的度数为；(2)将条形统计图补充完整；(3)已知该校共有2400名学生,现学校打算对D类型的留守学生进行手拉手关爱活动,请你估计该校将有多少名留守学生在此关爱活动中受益？19．(8分)如图,在△ABC中,∠ACB＝45°,过点A作AD⊥BC于点D,点E为AD上一点,且ED＝BD．(1)求证：△ABD≌△CED；(2)若CE为∠ACD的角平分线,求∠BAC的度数．20．(8分)关于x的方程mx2+(m+2)x+m4=0有两个不相等的实数根．(1)求m的取值范围．(2)是否存在实数m,使方程的两个实数根的倒数和等于0？若存在,求出m的值；若不存在,说明理由．21．(8分)如图,已知反比例函数y=kx的图象与一次函数y＝x+b的图象交于点A(1,4),点B(﹣4,n)．(1)求n和b的值；(2)求△OAB的面积；(3)直接写出一次函数值大于反比例函数值的自变量x的取值范围．22．(8分)如图,AB是⊙O的直径,已知BC为⊙O的切线,B为⊙O切点,OC与AD弦互相平行．求证：DC是⊙O的切线．23．(8分)每年的6月5日为世界环保日,为了提倡低碳环保,某公司决定购买10台节省能源的新设备,现有甲、乙两种型号的设备可供选购,经调查：购买3台甲型设备比购买2台乙型设备多花16万元,购买2台甲型设备比购买3台乙型设备少花6万元．(1)求甲、乙两种型号设备的价格；(2)该公司经预算决定购买节省能源的新设备的资金不超过110万元,你认为该公司有哪几种购买方案；(3)在(2)的条件下,已知甲型设备的产量为240吨/月,乙型设备的产量为180吨/月,若每月要求总产量不低于2040吨,为了节约资金,请你为该公司设计一种最省钱的购买方案．24．(10分)已知在梯形ABCD中,AD∥BC,AC＝BC＝10,cos∠ACB=45,点E在对角线AC上(不与点A、C重合),∠EDC＝∠ACB,DE的延长线与射线CB交于点F,设AD的长为x．(1)如图1,当DF⊥BC时,求AD的长；(2)设EC＝y,求y关于x的函数解析式,并直接写出定义域；(3)当△DFC是等腰三角形时,求AD的长．25．(10分)如图1,抛物线y＝﹣x2+mx+n交x轴于点A(﹣2,0)和点B,交y轴于点C(0,2)．(1)求抛物线的函数表达式；(2)若点M在抛物线上,且S△AOM＝2S△BOC,求点M的坐标；(3)如图2,设点N是线段AC上的一动点,作DN⊥x轴,交抛物线于点D,求线段DN长度的最大值．答案与解析一．选择题(共10小题,满分27分)1．(3分)方程2019x﹣2019＝2019的解为()A．x＝1B．x＝0C．x＝﹣1D．x＝2【解答】解：移项合并得：2019x＝4038,解得：x＝2,故选：D．2．(3分)如图是由几个相同的正方体搭成的一个几何体,从正面看到的平面图形是()A．B．C．D．【解答】解：从正面看第一层是三个小正方形,第二层在中间位置一个小正方形,故D符合题意,故选：D．3．(3分)我县人口约为530060人,用科学记数法可表示为()A．53006×10人B．5.3006×105人C．53×104人D．0.53×106人【解答】解：∵530060是6位数,∴10的指数应是5,故选：B．4．(3分)如图,已知AB∥CD,直线AB,CD被BC所截,E点在BC上,若∠1＝45°,∠2＝35°,则∠3＝()A．65°B．70°C．75°D．80°【解答】解： ∵AB ∥CD , ∴∠C ＝∠1＝45°, ∵∠3是△CDE 的一个外角, ∴∠3＝∠C +∠2＝45°+35°＝80°, 故选：D ．5．(3分)下列运算正确的是( ) A ．a 2+a 2＝a 4B ．(﹣2a 3)2＝4a 6C ．(a ﹣2)(a +1)＝a 2+a ﹣2D ．(a ﹣b )2＝a 2﹣b 2【解答】解：A ．a 2+a 2＝2a 2,错误；C ．(a ﹣2)(a +1)＝a 2+a ﹣2a ﹣2＝a 2﹣a ﹣2,错误D ．(a ﹣b )2＝a 2﹣2ab +b 2,错误 故选：B ．6．(3分)为了解我市居民用水情况,在某小区随机抽查了20户家庭,并将这些家庭的月用水量进行统计,结果如下表： 月用水量(吨)4 5 6 8 13 户数45731则关于这20户家庭的月用水量,下列说法正确的是( ) A ．中位数是5B ．平均数是5C ．众数是6D ．方差是6【解答】解：A 、根据按大小排列这组数据,第10,11个数据的平均数是中位数,(6+6)÷2＝6,故本选项错误； B 、平均数＝(4×4+5×5+6×7+8×3+13×1)÷20＝6,故本选项错误； C 、6出现了7次,出现的次数最多,则众数是6,故本选项正确； D 、方差是：S 2=120[4(4﹣6)2+5(5﹣6)2+7(6﹣6)2+3(8﹣6)2+(13﹣6)2]＝4.1,故本选项错误； 故选：C ．7．(3分)等边△ABC 的边长为a ,顶点A 在原点,一条高线恰好落在y 轴的负半轴上,则第三象限的顶点B 的坐标是( ) A ．(a2,−√32a ) B ．(−√32a,−12a )C ．(−a 2,−√32a ) D ．(−√32a,12a )【解答】解：如图, ∵等边△ABC 的边长为a , ∴三角形高的长度为√3a2, 又∵过B 点的高线恰好落在y 轴的负半轴上, ∴B 点的坐标为(−√3a2,−12a )． 故选：B ．8．(3分)用一个半径为15、圆心角为120°的扇形围成一个圆锥,则这个圆锥的底面半径是( ) A ．5B ．10C ．5πD ．10π【解答】解：设该圆锥底面圆的半径为r , 根据题意得2πr =120π×15180,解得r ＝5, 即该圆锥底面圆的半径为5． 故选：A ．9．(3分)如图,菱形ABCD 的对角线AC ,BD 相交于点O ,过点A 作AH ⊥BC 于点H ,连接OH ,若OB ＝4,S 菱形ABCD＝24,则OH 的长为( )A ．3B ．4C ．5D ．6【解答】解：∵ABCD 是菱形, ∴BO ＝DO ＝4,AO ＝CO ,S 菱形ABCD =AC×BD2=24,∴AC ＝6,∵AH ⊥BC ,AO ＝CO ＝3, ∴OH =12AC ＝3． 故选：A ．10．(3分)已知二次函数y ＝ax 2+bx +c (a ≠0)的图象如图所示,下列结论：①abc ＞0；②2a +b ＜0；③4a ﹣2b +c ＜0；④a +b +2c ＞0,其中正确结论的个数为( )A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【解答】解：∵抛物线开口向下,与y 轴的交点在x 轴上方, ∴a ＜0,c ＞0, ∵0＜−b2a＜1, ∴b ＞0,且b ＜﹣2a , ∴abc ＜0,2a +b ＜0, 故①不正确,②正确,∵当x ＝﹣2时,y ＜0,当x ＝1时,y ＞0, ∴4a ﹣2b +c ＜0,a +b +c ＞0, ∴a +b +2c ＞0,故③④都正确, 综上可知正确的有②③④, 故选：B ．二．填空题(共6小题,满分18分,每小题3分) 11．(3分)分式方程x−2x=12的解为 x ＝4 ．【解答】解：去分母得：2x ﹣4＝x , 解得：x ＝4,经检验x ＝4是分式方程的解,故答案为：x ＝412．(3分)计算|﹣2|﹣(﹣1)+30的结果是 4 ．【解答】解：原式＝2+1+1＝4,故答案为：413．(3分)一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球,把它们分别标号为1、2、3、4．随机摸取一个小球然后放回,再随机摸出一个小球,两次取出的小球标号的和等于5的概率是14 ．【解答】解：画树状图如下：随机地摸出一个小球,然后放回,再随机地摸出一个小球,共有16种等可能的结果数,其中两次摸出的小球标号的和等于5的占4种,所有两次摸出的小球标号的和等于5的概率为416=14, 故答案为：14． 14．(3分)如图,在平行四边形ABCD 中,AB ＝2,BC ＝5．∠BCD 的平分线交AD 于点F ,交BA 的延长线于点E ,则AE 的长为 3 ．【解答】解：在平行四边形ABCD 中,AB ＝2,BC ＝5,∴CD ＝AB ＝2,AD ＝BC ＝5,AD ∥BC ,∴∠DFC ＝∠FCB ,∵CE 平分∠DCB ,∴∠DCF ＝∠BCF ,∴∠DFC ＝∠DCF ,∴DC ＝DF ＝2,∴AF ＝3,∵AB ∥CD ,∴∠E ＝∠DCF ,又∵∠EF A ＝∠DFC ,∠DFC ＝∠DCF ,∴∠AEF ＝∠EF A ,∴AE ＝AF ＝3,故答案为：3．15．(3分)已知A 、B 两地之间的路程为3000米,甲、乙两人分别从A 、B 两地同时出发,相向而行,甲到B 地停止,乙到A 地停止,出发10分钟后,甲原路原速返回A 地取重要物品,取到该物品后立即原路原速前往B 地(取物品的时间忽略不计),结果到达B 地的时向比乙到达A 地的时间晚,在整个行走过程中,甲、乙两人均保持各自的速度匀速行走,甲、乙两人相距的路程y (m )与甲运动的时间x (min )之间的关系如图所示,则乙到达A 地时,甲与B 地相距的路程是 250 米．【解答】解：设甲的速度为am /min ,乙的速度为bm /min ,{10(a +b)=3000−2100(4009−20)×(a +b)=3000−20b, 解得,{a =50b =40, 则乙到达A 地时用的时间为：3000÷40＝75min ,∴乙到达A 地时,甲与B 地相距的路程是：3000﹣50×(75﹣20)＝250m ,故答案为：250．16．(3分)如图,边长为√3的正方形ABCD 中,点E 是BC 边上一点,点F 是CD 边上一点,且BF ⊥AE 于点G ,将△ABE 绕顶点A 逆时针旋转°得△AB ′E ′,使得点B ′、E ′恰好分别落在AE 、CD 上,AE ′交BF 于点H ．则四边形B ′E ′HG 的面积为 √38．【解答】解：∵四边形ABCD 为正方形,∴BA ＝AD ,∠ABC ＝∠C ＝∠BAC ＝∠D ＝90°,∵△ABE 绕顶点A 逆时针旋转°得△AB ′E ′,∴AB ′＝AB ,∠BAE ＝∠B ′AE ′,∠AB ′E ′＝∠ABC ＝90°,△ABE ≌△AB ′E ′,在Rt △AB ′E ′和Rt △ADE ′中{AE′=AE′AB′=AD, ∴Rt △AB ′E ′≌Rt △ADE (HL ),∴∠B ′AE ′＝∠DAE ′,∴∠B ′AE ′＝∠DAE ′＝∠BAE =13×90°＝30°, 在Rt △ABG 中,BG =12AB =√32, 在Rt △BEG 中,GE =√33BG =√33×√32=12, ∵AG ⊥BH ,∠BAG ＝∠HAG ,∴△ABH 为等腰三角形,∴BG ＝GH ,∴S △AGH ＝S △ABG ,∴四边形B ′E ′HG 的面积＝S △AB ′E ′﹣S △AGH ＝S △ABE ﹣S △ABG ＝S △BGE =12×√32×12=√38．故答案为√38．三．解答题(共9小题,满分72分)17．(6分)先化简,再求值：(x +2−5x−2)÷x−33x 2−6x ,其中x 满足x 2+3x ﹣1＝0． 【解答】解：(x +2−5x−2)÷x−33x 2−6x =((x+2)(x−2)−5x−2)÷x−33x(x−2)=x 2−9x−2×3x(x−2)x−3=(x+3)(x−3)x−2×3x(x−2)x−3 ＝3x 2+9x ,∵x 2+3x ﹣1＝0,∴x 2+3x ＝1,∴原式＝3x 2+9x ＝3(x 2+3x )＝3×1＝3．18．(6分)为更精准地关爱留守学生,某学校将留守学生的各种情形分成四种类型：A ．由父母一方照看；B ．由爷爷奶奶照看；C ．由叔姨等近亲照看；D ．直接寄宿学校．某数学小组随机调查了一个班级,发现该班留守学生数量占全班总人数的20%,并将调查结果制成如下两幅不完整的统计图．(1)该班共有 10 名留守学生,B 类型留守学生所在扇形的圆心角的度数为 144 ；(2)将条形统计图补充完整；(3)已知该校共有2400名学生,现学校打算对D 类型的留守学生进行手拉手关爱活动,请你估计该校将有多少名留守学生在此关爱活动中受益？【解答】解：(1)2÷20%＝10(人),410×100%×360°＝144°,故答案为：10,144；(2)10﹣2﹣4﹣2＝2(人),如图所示：(3)2400×210×20%＝96(人),答：估计该校将有96名留守学生在此关爱活动中受益．19．(8分)如图,在△ABC中,∠ACB＝45°,过点A作AD⊥BC于点D,点E为AD上一点,且ED＝BD．(1)求证：△ABD≌△CED；(2)若CE为∠ACD的角平分线,求∠BAC的度数．【解答】(1)证明：∵AD⊥BC,∠ACB＝45°,∴∠ADB＝∠CDE＝90°,△ADC是等腰直角三角形,∴AD＝CD,∠CAD＝∠ACD＝45°,在△ABD与△CED中,{AD=CD∠ADB=∠CDE BD=ED,∴△ABD≌△CED(SAS)；(2)解：∵CE为∠ACD的角平分线,∴∠ECD=12∠ACD＝22.5°,由(1)得：△ABD≌△CED,∴∠BAD＝∠ECD＝22.5°,∴∠BAC＝∠BAD+∠CAD＝22.5°+45°＝67.5°．20．(8分)关于x的方程mx2+(m+2)x+m4=0有两个不相等的实数根．(1)求m的取值范围．(2)是否存在实数m,使方程的两个实数根的倒数和等于0？若存在,求出m的值；若不存在,说明理由．【解答】解：(1)∵关于x的方程mx2+(m+2)x+m4=0有两个不相等的实数根,∴{m≠0△=(m+2)2−4m⋅m4＞0,解得：m＞﹣1且m≠0．(2)假设存在,设方程的两根分别为x1、x2,则x1+x2=−m+2m,x1x2=14．∵1x1+1x2=x1+x2x1x2=−4(m+2)m=0,∴m＝﹣2．∵m＞﹣1且m≠0,∴m＝﹣2不符合题意,舍去．∴假设不成立,即不存在实数m,使方程的两个实数根的倒数和等于0．21．(8分)如图,已知反比例函数y=kx的图象与一次函数y＝x+b的图象交于点A(1,4),点B(﹣4,n)．(1)求n和b的值；(2)求△OAB的面积；(3)直接写出一次函数值大于反比例函数值的自变量x的取值范围．【解答】解：(1)把A点(1,4)分别代入反比例函数y=kx,一次函数y＝x+b,得k＝1×4,1+b＝4,解得k＝4,b＝3,∵点B(﹣4,n)也在反比例函数y=4x的图象上,∴n=4−4=−1；(2)如图,设直线y＝x+3与y轴的交点为C,∵当x＝0时,y＝3,∴C(0,3),∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC=12×3×1+12×3×4＝7.5；(3)∵B(﹣4,﹣1),A(1,4),∴根据图象可知：当x＞1或﹣4＜x＜0时,一次函数值大于反比例函数值．22．(8分)如图,AB是⊙O的直径,已知BC为⊙O的切线,B为⊙O切点,OC与AD弦互相平行．求证：DC是⊙O的切线．【解答】证明：连接OD,∵AB 是⊙O 的直径,∴OA ＝OB ＝OD ,∵BC 是⊙O 的切线,∴∠OBC ＝90°,∵OC ∥AD ,∴∠A ＝∠COB ,∠ODA ＝∠COD ,∵OA ＝OD ,∴∠A ＝∠ODA ,∴∠COD ＝∠COB ,在△COD 和△COB 中,{OC =OC∠COD =∠BOC OD =OB,∴△COD ≌△COB (SAS ),∴∠ODC ＝∠OBC ＝90°,∴OD ⊥CD ,∴DC 是⊙O 的切线．23．(8分)每年的6月5日为世界环保日,为了提倡低碳环保,某公司决定购买10台节省能源的新设备,现有甲、乙两种型号的设备可供选购,经调查：购买3台甲型设备比购买2台乙型设备多花16万元,购买2台甲型设备比购买3台乙型设备少花6万元．(1)求甲、乙两种型号设备的价格；(2)该公司经预算决定购买节省能源的新设备的资金不超过110万元,你认为该公司有哪几种购买方案；(3)在(2)的条件下,已知甲型设备的产量为240吨/月,乙型设备的产量为180吨/月,若每月要求总产量不低于2040吨,为了节约资金,请你为该公司设计一种最省钱的购买方案．【解答】解：(1)设甲,乙两种型号设备每台的价格分别为x 万元和y 万元,由题意得：{3x −2y =162x +6=3y, 解得：{x =12y =10, 则甲,乙两种型号设备每台的价格分别为12万元和10万元．(2)设购买甲型设备m 台,乙型设备(10﹣m )台,则：12m +10(10﹣m )≤110,∴m≤5,∵m取非负整数∴m＝0,1,2,3,4,5,∴有6种购买方案．(3)由题意：240m+180(10﹣m)≥2040,∴m≥4∴m为4或5．当m＝4时,购买资金为：12×4+10×6＝108(万元),当m＝5时,购买资金为：12×5+10×5＝110(万元),则最省钱的购买方案为,选购甲型设备4台,乙型设备6台．24．(10分)已知在梯形ABCD中,AD∥BC,AC＝BC＝10,cos∠ACB=45,点E在对角线AC上(不与点A、C重合),∠EDC＝∠ACB,DE的延长线与射线CB交于点F,设AD的长为x．(1)如图1,当DF⊥BC时,求AD的长；(2)设EC＝y,求y关于x的函数解析式,并直接写出定义域；(3)当△DFC是等腰三角形时,求AD的长．【解答】解：(1)设：∠ACB＝∠EDC＝∠α＝∠CAD,∵cosα=45,∴sinα=35,过点A作AH⊥BC交于点H, AH＝AC•sinα＝6＝DF,BH＝2,如图1,设：FC＝4a,∴cos∠ACB=45,则EF＝3a,EC＝5a,∵∠EDC＝∠α＝∠CAD,∠ACD＝∠ACD,∴△ADC∽△DCE,∴AC•CE＝CD2＝DF2+FC2＝36+16a2＝10•5a,解得：a＝2或98(舍去a＝2),AD＝HF＝10﹣2﹣4a=7 2；(2)过点C作CH⊥AD交AD的延长线于点H,CD2＝CH2+DH2＝(AC sinα)2+(AC cosα﹣x)2,即：CD2＝36+(8﹣x)2,由(1)得：AC•CE＝CD2,即：y=110x2−85x+10(0＜x＜16且x≠10)…①,(3)①当DF＝DC时,∵∠ECF＝∠FDC＝α,∠DFC＝∠DFC,∴△DFC∽△CFE,∵DF＝DC,∴FC＝EC＝y,∴x+y＝10,即：10=110x2−85x+10+x,解得：x＝6；②当FC＝DC,则∠DFC＝∠FDC＝α,则：EF＝EC＝y,DE＝AE＝10﹣y,在等腰△ADE中,cos∠DAE＝cosα=12ADAE=12x10−y=45,即：5x+8y＝80,将上式代入①式并解得：x =394； ③当FC ＝FD , 则∠FCD ＝∠FDC ＝α,而∠ECF ＝α≠∠FCD ,不成立,故：该情况不存在；故：AD 的长为6和394．25．(10分)如图1,抛物线y ＝﹣x 2+mx +n 交x 轴于点A (﹣2,0)和点B ,交y 轴于点C (0,2)．(1)求抛物线的函数表达式；(2)若点M 在抛物线上,且S △AOM ＝2S △BOC ,求点M 的坐标；(3)如图2,设点N 是线段AC 上的一动点,作DN ⊥x 轴,交抛物线于点D ,求线段DN 长度的最大值．【解答】解：(1)A (﹣2,0),C (0,2)代入抛物线的解析式y ＝﹣x 2+mx +n ,得{−4−2m +n =0n =2,解得{m =−1n =2, ∴抛物线的解析式为y ＝﹣x 2﹣x +2．(2)由(1)知,该抛物线的解析式为y ＝﹣x 2﹣x +2,则易得B (1,0),设M (m ,n )然后依据S △AOM ＝2S △BOC 列方程可得：12•AO ×|n |＝2×12×OB ×OC ,∴12×2×|﹣m 2﹣m +2|＝2,∴m 2+m ＝0或m 2+m ﹣4＝0,解得x ＝0或﹣1或−1±√172, ∴符合条件的点M 的坐标为：(0,2)或(﹣1,2)或(−1+√172,﹣2)或(−1−√172,﹣2)． (3)设直线AC 的解析式为y ＝kx +b ,将A (﹣2,0),C (0,2)代入得到{−2k +b =0b =2,解得{k =1b =2, ∴直线AC 的解析式为y ＝x +2,设N (x ,x +2)(﹣2≤x ≤0),则D (x ,﹣x 2﹣x +2), ND ＝(﹣x 2﹣x +2)﹣(x +2)＝﹣x 2﹣2x ＝﹣(x +1)2+1, ∵﹣1＜0,∴x ＝﹣1时,ND 有最大值1．∴ND 的最大值为1。

数学中考综合模拟检测试题学校________ 班级________ 姓名________ 成绩________一、选择题1. 下列实数中，无理数是( )A. 3.14B. 2.12122C. 39D. 237 2. 如图是一个大正方体切去一个小正方体形成的几何体，它的左视图是( )A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是( )A. ()222a b a b +=+B. ()3326a a -=- C. 428a a a ⋅= D. ()()2111a a a -+--=- 4. 如图所示，已知AB ∥CD ，EF 平分∠CEG ，∠1＝80°，则∠2的度数为( )A. 20°B. 40°C. 50°D. 60°5. 若正比例函数y kx =图象的经过一、三象限，且过点()2,4A a 和()2,B a ，则的值为( ) A. B. C. D.6. 如图，ABC ∆中，,70,AB AC C BD =∠=︒是AC 边上的高线，点在AB 上，且BE BD =，则ADE ∠的度数为( )A. 20︒B. 25︒C. 30D. 35︒ 7. 将直线1:12L y x =-向左平移个单位长度得到直线，则直线解析式为( ) A. 112y x =+ B. 122y x =+ C. 132y x =+ D. 112y x =-+ 8. 如图，菱形ABCD 的对角线,AC BD 相交于点，过点作AE BC ⊥于点，连接OE ．若6OB =，菱形ABCD 的面积为，则OE 的长为( )A. B. 4.5 C. D.9. 如图，四边形ABCD 内接于半径为的O 中，连接AC ，若,45AB CD ACB =∠=︒，12ACD BAC ∠=∠，则BC 的长度为( )A. 3B. 62C. 3D. 9210. 已知抛物线2:4W y x x c =-+，其顶点为，与轴交于点，将抛物线绕原点旋转180︒得到抛物线'W ，点,A B 的对应点分别为','A B ，若四边形''ABA B 为矩形，则的值为( )A. 32-B. 3C. 32D. 52二、填空题11. 分解因式：224ax ay -=________．12. 已知正六边形的周长为，则这个正六边形的边心距是_______． 13. 如图，在平面直角坐标系中，过原点的直线与反比例函数80y x x=-（＜）交于点，与反比例函数 ()0k y x x=>交于点，过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，两直线交于点，若ABC ∆的面积为，则的值为_______．14. 如图，正方形ABCD 的边长为，点在AD 上，连接 BP CP 、，则 s in BPC ∠的最大值为________．三．解答题15. 计算：211133tan 3033-⎛⎫⨯-+︒ ⎪⎝⎭． 16. 化简：221111x x x x x ⎛⎫-+--÷ ⎪++⎝⎭． 17. 如图，已知ABC ∆，点AB 边上，且90ACD ∠=︒，请用尺规作图法在BC 边上求作一点，使得APC ADC ∠=∠．(保留作图痕迹，不写作法)18. 如图，已知点 ,,,A D C B 在同一直线上，,//,//AD BC DE CF AE BF =;求证：AE BF =．19. 2021年高考方案与高校招生政策都将有重大的变化，我市某部门为了了解政策的宣传情况，对某初级中学学生进行了随机抽样调查，根据学生对政策的了解程度由高到低分为，，，四个等级，并对调查结果分析后绘制了如下两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息完成下列问题：(1)求被调查学生人数，并将条形统计图补充完整;(2)求扇形统计图中的等对应的扇形圆心角的度数;(3)已知该校有1500名学生，估计该校学生对政策内容了解程度为等学生有多少人?20. 如图，在建筑物顶部有一长方形广告牌架CDEF ，已知2CD m =，在地面上处测得广告牌 上端的仰角为，且34tan α=，前进10m 到达处，在处测得广告牌架下端的仰角为45︒，求广告牌 架下端到地面的距离．21. 在抗击新型冠状病毒感染的肺炎疫情过程中，某医药研究所正在试研发一种抑制新型冠状病毒的药物，据临床观察：如果成人按规定的剂量注射这种药物，注射药物后每毫升血液中的含药量 (微克)与时间 (小时)之间的关系近似地满足图中折线．(1)求注射药物后每毫升血液中含药量与时间之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围;(2)据临床观察：每毫升血液中含药量不少于微克时，对控制病情是有效的．如果病人按规定的剂量注射 该药物后，求控制病情的有效时间．22. 现有,,,A B C D 四张不透明的卡片，除正面上的图案不同外，其他均相同，将这四张卡片背 面向上洗匀后放在桌面上．(1)从中随机取出一张卡片，卡片上图案是中心对称图形的概率是_____;(2)若从四张卡片中随机拿出两张卡片，请用画树状图或列表的方法，求抽取的两张卡片都是轴对称图形的概率．23. 如图，已知以Rt ABC ∆的边AB 为直径作ABC ∆的外接圆的,O ABC ∠平分线BE 交AC 于，交O 于，过作//EF AC 交BA 的延长线于．(1)求证：EF 是O 切线;(2)若15,10,AB EF ==求AE 的长．24. 如图，已知抛物线2y x bx c =-++与直线AB 交于点()3,0A -，点()1,4B ．(1)求抛物线的解析式;(2)点M 是轴上方抛物线上一点，点是直线AB 上一点，若A O M N 、、、以为顶点的四边形是以 OA 为边的平行四边形，求点M 的坐标．25. 问题发现(1)如图①，ABC ∆为边长为的等边三角形，是AB 边上一点且CD 平分ABC ∆的面积，则线段CD 的长度为____;问题探究(2)如图②，ABCD 中,6,8,60AB BC B ==∠=︒，点M 在AD 上，点在BC 上，若MN 平分ABCD 的面积，且MN 最短，请你画出符合要求的线段MM ，并求出此时MN 与AM 的长度．问题解决(3)如图③，某公园的一块空地由三条道路围成，即线段AC AB BC 、、，已知160AB =米，120BC =米，90,AC ABC ∠=︒的圆心在AB 边上，现规划在空地上种植草坪，并AC 的中点修一条直路PM (点M 在 AB 上)．请问是否存在PM ，使得PM 平分该空地的面积?若存在，请求出此时AM 的长度;若不存在，请说明理由．答案与解析一、选择题1. 下列实数中，无理数是()A. 3.14B. 2.12122C. 39D. 23 7【答案】C【解析】【分析】根据无理数的定义，逐一判断选项，即可得到答案．【详解】∵3.14，2.12122，237是分数，属于有理数，39是无理数，∴C符合题意，故选C．【点睛】本题主要考查无理数的定义，掌握实数的分类以及无理数的定义，是解题的关键．2. 如图是一个大正方体切去一个小正方体形成的几何体，它的左视图是( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在视图中【详解】从几何体的左边看可得到一个正方形，正方形的右上角处有一个小正方形，故选B.【点睛】本题考查了三视图的知识，掌握主视图是从物体的正面看得到的视图，左视图是从物体的左面看得到的视图，俯视图是从物体的上面看得到的视图是解题的关键．3. 下列计算正确的是()A. ()222a b a b +=+B. ()3326a a -=- C. 428a a a ⋅=D. ()()2111a a a -+--=- 【答案】D【解析】【分析】 根据完全平方公式，积的乘方公式，同底数幂的乘法法则以及平方差公式，逐一判断选项，即可．【详解】A. ()2222a b a ab b +=++，故本选项错误，B. ()3328a a -=-，故本选项错误，C 426a a a ⋅=，故本选项错误，D. ()()22211(1)1a a a a -+--=--=-，故本选项正确． 故选D ．【点睛】本题主要考查完全平方公式，积的乘方公式，同底数幂的乘法法则以及平方差公式，熟练掌握上述公式和法则是解题的关键．4. 如图所示，已知AB∥CD，EF 平分∠CEG，∠1＝80°，则∠2的度数为( )A. 20°B. 40°C. 50°D. 60°【答案】C【解析】 【详解】解：∵EF 平分∠CEG ，∴∠CEG=2∠CEF又∵AB ∥CD ，∴∠2=∠CEF=(180°-∠1)÷2=50°，故选：C ．5. 若正比例函数y kx =图象的经过一、三象限，且过点()2,4A a 和()2,B a ，则的值为( ) A.B. C. D.【答案】D【解析】【分析】把()2,4A a 和()2,B a 代入y kx =，结合函数y kx =图象的经过一、三象限，即可得到答案． 【详解】∵正比例函数y kx =图象过点()2,4A a 和()2,B a ， ∴422ak a k =⎧⎨=⎩，解得：1k =±, ∵正比例函数y kx =图象的经过一、三象限，∴k ＞0，∴k=1．故选D ．【点睛】本题主要考查正比例函数的待定系数法以及比例系数的几何意义，掌握正比例函数y kx =图象的经过一、三象限，则k ＞0，是解题的关键．6. 如图，ABC ∆中，,70,AB AC C BD =∠=︒是AC 边上的高线，点在AB 上，且BE BD =，则ADE ∠的度数为( )A. 20︒B. 25︒C. 30D. 35︒【答案】B【解析】【分析】 根据等腰三角形的性质，得∠ABC=∠C ，∠A=40°，由直角三角形的性质得∠ABD=50°，从而得∠BDE=65°，进而即可求解．【详解】∵ABC ∆中，,70AB AC C =∠=︒，∴∠ABC=∠C=70°，∠A=180°-70°=70°=40°，∵BD 是AC 边上的高线，∴∠ADB=90°，∴∠ABD=90°-40°=50°，∵BE BD =，∴∠BDE=∠BED=(180°-50°)÷2=65°，∴ADE ∠=90°-65°=25°．故选B ．【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质定理，直角三角形的性质定理，掌握等腰三角形的底角相等，直角三角形的两个锐角互余，是解题的关键．7. 将直线1:12L y x =-向左平移个单位长度得到直线，则直线的解析式为( ) A 112y x =+ B. 122y x =+ C. 132y x =+ D. 112y x =-+ 【答案】A【解析】【分析】根据一次函数的平移规律：”左加右减，上加下减”，即可得到答案．【详解】将直线1:12L y x =-向左平移个单位长度得到：11(4)1122y x x =+-=+， 故选A ．【点睛】本题主要考查一次函数的平移后所得的新一次函数解析式，掌握一次函数的平移规律：”左加右减，上加下减”，是解题的关键．8. 如图，菱形ABCD 的对角线,AC BD 相交于点，过点作AE BC ⊥于点，连接OE ．若6OB =，菱形ABCD 的面积为，则OE 的长为( )A.B. 4.5C.D.【答案】B【解析】【分析】由6OB =，菱形ABCD 的面积为，得OC=4.5，根据直角三角形的性质，即可求解．【详解】∵6OB =，菱形ABCD 的面积为，∴54413.5BOC S =÷=，∵AC ⊥BD ，∴OC=13.5×2÷6=4.5， ∵AE BC ⊥，AO=CO ，∴OE=OC=4.5，故选B ．【点睛】本题主要考查菱形的性质定理和直角三角形的性质定理，掌握菱形的对角线互相垂直平分，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，是解题的关键．9. 如图，四边形ABCD 内接于半径为的O 中，连接AC ，若,45AB CD ACB =∠=︒，12ACD BAC ∠=∠，则BC 的长度为( )A. 63B. 2C. 93D. 2【答案】A【解析】【分析】 连接OA ，OB ，OC ，OD ，过点O 作OM ⊥BC 于点M ，易得∠AOB=∠COD=90°，∠DAC=∠ACB=45°，从而得∠OAD=∠CAB ，进而得∠OAD=∠AOD ，可得∠AOD=60°，∠BOC=120°，进而即可求解．【详解】连接OA ，OB ，OC ，OD ，过点O 作OM ⊥BC 于点M ，∵在四边形ABCD 内接于半径为的O 中，,45AB CD ACB =∠=︒，∴∠AOB=∠COD=2∠ACB=90°，∠DAC=∠ACB=45°，∵OA=OB ，∴∠OAB=45°，∴∠OAD=∠DAC+∠CAO=∠OAB+∠CAO=∠CAB ，又∵∠ACD=12∠AOD ，12ACD BAC ∠=∠， ∴∠AOD=∠BAC ，∴∠OAD=∠AOD ，∴AD=OD ，∵OD=OA ，∴∆AOD 是等边三角形，∴∠AOD=60°，∴∠BOC=360°-90°-90°-60°=120°，∵OC=OC=6，∴∠OCM=30°， ∴CM=32OC=33， ∴BC=2 CM==63．故选A ．【点睛】本题主要考查圆的基本性质，熟练掌握圆周角定理以及推论，圆心角定理，垂径定理，等腰三角形的性质定理，是解题的关键．10. 已知抛物线2:4W y x x c =-+，其顶点为，与轴交于点，将抛物线绕原点旋转180︒得到抛物线'W ，点,A B 的对应点分别为','A B ，若四边形''ABA B 为矩形，则的值为( )A. 3 3 C. 32 D. 52【答案】D【解析】【分析】先求出A(2，c-4)，B(0，c)，'(24),'(0)A c B c ---，，，，结合矩形性质，列出关于c 的方程，即可求解． 【详解】∵抛物线2:4W y x x c =-+，其顶点为，与轴交于点，∴A(2，c-4)，B(0，c)，∵将抛物线绕原点旋转180︒得到抛物线'W ，点,A B 的对应点分别为','A B ，∴'(24),'(0)A c B c ---，，，， ∵四边形''ABA B 为矩形，∴''AA BB =，∴[][]2222(2)(4)(4)(2)c c c --+---=，解得：52c =． 故选D ．【点睛】本题主要考查二次函数图象的几何变换以及矩形的性质，掌握二次函数图象上点的坐标特征，关于原点中心对称的点的坐标特征以及矩形的对角线相等，是解题的关键． 二、填空题11. 分解因式：224ax ay -=________．【答案】a(x-2y)( x+2y)【解析】【分析】先提取公因式，再利用平方差公式进行分解因式，即可．【详解】224ax ay -=a(x 2-4y 2)= a(x-2y)( x+2y)．故答案是：a(x-2y)( x+2y)．【点睛】本题主要考查分解因式，掌握提取公因式法和公式法分解因式，是解题的关键．12. 已知正六边形的周长为，则这个正六边形的边心距是_______．【解析】【分析】设正六边形的中心为点O ，AB 为一条边，过点O 作OC ⊥AB 于点C ，连接OA ，OB ，易得∆AOB 是等边三角形，进而即可求解．【详解】设正六边形的中心为点O ，AB 为一条边，过点O 作OC ⊥AB 于点C ，连接OA ，OB ， ∴∠AOB=60°，OA=OB ，即：∆AOB 是等边三角形，∴∠OAB=60°，∵正六边形的周长为，∴OA=OB =AB=2，∴OC=32OA=3． ∴这个正六边形的边心距是：3．故答案是：3．【点睛】本题主要考查正六边形的性质以及等边三角形的判定和性质定理，掌握等边三角形的性质定理，是解题的关键．13. 如图，在平面直角坐标系中，过原点的直线与反比例函数80y x x=-（＜）交于点，与反比例函数 ()0k y x x=>交于点，过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，两直线交于点，若ABC ∆的面积为，则的值为_______．【答案】-2【解析】【分析】设A(a ，8a -)，B(b ，k b )，AC 交x 轴于点D ，BC 交y 轴于点E ，易得∆DAO ~∆ EOB ，从而得2()AOD BOE S AD S OE=，进而得228b k a-=，由ABC ∆的面积为，得1610b a ka -=+，进而得到关于b a 的方程，即可求解． 【详解】设A(a ，8a -)，B(b ，k b )，AC 交x 轴于点D ，BC 交y 轴于点E ，由题意得：k ＜0，a ＜0，b ＞0， ∴4AOD S =，22BOE k k S ==-，AD=8a -，OE=k b-， ∵AD ∥OE ，OD ∥BE ，∴∠DAO=∠EOB ，∠AOD=∠OBE ，∴∆DAO ~∆ EOB ，∴2()AOD BOE S AD S OE =，即：2842a k k b -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭，化简得：228a k b =-， ∴228b k a -=， ∵ABC ∆的面积为，∴(b-a )(8a --k b)=18，化简：22810a k b ab kab -=+， ∴21610b ab kab -=+，即：1610b a ka -=+，∴24-8-5=0b b a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，解得：12b a =-或52b a =(不合题意，舍去)， ∴228b k a-==-2． 故答案是：-2．【点睛】本题主要考查反比例函数的图象和性质，比例系数的几何意义以及相似三角形的判定和性质定理，根据函数图象上点的坐标特征，三角形的面积公式以及相似三角形的性质，列出方程，是解题的关键． 14. 如图，正方形ABCD 的边长为，点在AD 上，连接 BP CP 、，则 s in BPC ∠的最大值为________．【答案】45【解析】【分析】 先证明当AP=DP=2时， s in BPC ∠有最大值，过点B 作BE ⊥PC 于点E ，根据勾股定理求出PB=PC=25根据三角形的面积法，求出BE 的值，进而即可得到答案．【详解】设∠APB=x ，∠DPC=y ，∴∠BPC=180°-∠APB -∠DPC=180°-(x+y )，∵当x ＞0，y ＞0时，2()0x y ≥， ∴20x y xy +-≥，即：2x y xy +≥x=y 时，2x y xy +=，∴当x=y 时，x+y 有最小值，此时，∠BPC=180°-(x+y )有最大值，即 s in BPC ∠有最大值．∵在正方形ABCD 中，∠A=∠D ，AB=CD ，当∠APB=∠DPC 时，∴∆APB ≅ DPC (AAS )，∴AP=DP=2，∴PB=PC=222425+=，过点B 作BE ⊥PC 于点E ，∵114422BCP S PC BE =⨯⨯=⋅， ∴BE=855， ∴ s in BPC ∠=8545525BE PB ==． 故答案是：45．【点睛】本题主要考查正方形的性质定理，勾股定理，锐角三角函数的定义以及全等三角形的判定和性质定理，证明当点P 是AD 的中点时， s in BPC ∠有最大值，是解题的关键．三．解答题15. 计算：211133tan 3033-⎛⎫⨯-+︒ ⎪⎝⎭． 【答案】【解析】【分析】先算负整数指数幂，绝对值以及特殊角三角函数值，再进行加减运算，即可求解．【详解】原式=13931)333⨯-+⨯=3313=．【点睛】本题主要考查实数的混合运算，掌握负整数指数幂的运算法则，求绝对值法则以及特殊角三角函数值，是解题的关键．16. 化简：221111x x x x x ⎛⎫-+--÷ ⎪++⎝⎭． 【答案】-x+1【解析】【分析】先算分式的减法运算，再把除法化为乘法，然后进行约分，即可得到答案．【详解】原式=212111x x x x x x ⎛⎫+-+-+⋅ ⎪+-⎝⎭=221111x x x x x ⎛⎫-+-+⋅ ⎪+-⎝⎭=2(1)111x x x x -+-⋅+- =-(x-1)=-x+1．【点睛】本题主要考查分式的化简，掌握分式的通分和约分，是解题的关键．17. 如图，已知ABC ∆，点在AB 边上，且90ACD ∠=︒，请用尺规作图法在BC 边上求作一点，使得APC ADC ∠=∠．(保留作图痕迹，不写作法)【答案】见详解【解析】【分析】作AD 的垂直平分线交AD 于点O ，以点O 为圆心，OD 长为半径，画圆，交BC 于点P ，即可．【详解】如图所示：∆ADC 的外接圆与BC 的交点P ，即为所求．【点睛】本题主要考查尺规作垂直平分线以及三角形的外接圆，掌握直角三角形的外接圆的圆心是斜边的中点，圆周角定理的推论，是解题的关键．18. 如图，已知点 ,,,A D C B 在同一直线上，,//,//AD BC DE CF AE BF =;求证：AE BF =．【答案】见详解【解析】【分析】根据平行线的性质得∠A=∠B ，∠CDE=∠DCF ，从而得∠ADE=∠BCF ，再根据ASA ，即可得到结论．【详解】∵//DE CF ，∴∠CDE=∠DCF ，∴∠ADE=∠BCF ，∵//AE BF ，∴∠A=∠B ，又∵AD BC =，∴∆ADE ≅∆BCF (ASA )，∴AE BF =．【点睛】本题主要考查三角形全等的判定和性质定理以及平行线的性质定理，掌握 ASA 证明三角形全等，是解题的关键．19. 2021年高考方案与高校招生政策都将有重大的变化，我市某部门为了了解政策的宣传情况，对某初级中学学生进行了随机抽样调查，根据学生对政策的了解程度由高到低分为，，，四个等级，并对调查结果分析后绘制了如下两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息完成下列问题：(1)求被调查学生的人数，并将条形统计图补充完整;(2)求扇形统计图中的等对应的扇形圆心角的度数;(3)已知该校有1500名学生，估计该校学生对政策内容了解程度为等的学生有多少人?【答案】(1)被调查学生的人数为200人.补全条形统计图见解析;(2)等对应的圆心角的度数为18︒;(3)对政策内容了解程度达到等的学生人数有75人.【解析】【分析】(1)从两个统计图中可得B 组的人数为50人，占调查人数的25%，可求出调查人数，从而计算出A 等人数和D 等人数，补全条形统计图，(2)用360°乘以D 组所占的百分比即可，(3)样本估计总体，用样本中D 组所占的百分比乘以总人数即可．【详解】(1)5020025%=(人) ∴被调查学生的人数为200人.等的人数：20060%120⨯=(人)，等的人数：200120502010---=(人)，补全条形统计图如下.(2)1036018200⨯︒=︒ ∴等对应的圆心角的度数为18︒. (3)10150075200⨯=(人) ∴对政策内容了解程度达到等的学生人数有75人.【点睛】考查条形统计图、扇形统计图的制作方法，从两个统计图中获取有用的数据，理清统计图中各个数据之间的关系是解决问题的关键，用样本估计总体是统计中常用的方法．20. 如图，在建筑物顶部有一长方形广告牌架CDEF ，已知2CD m =，在地面上处测得广告牌 上端的仰角为，且34tan α=，前进10m 到达处，在处测得广告牌架下端的仰角为45︒，求广告牌 架下端到地面的距离．【答案】22m【解析】【分析】延长CD 交AB 的延长线于H ，设DH=xm ，在Rt △DHB 中，利用正切的定义，用x 表示出BH ，在Rt △CAH 中，根据正切的定义，列出关于x 的方程，即可求解．【详解】延长CD 交AB 延长线于H ，则CD ⊥AB ，设DH=xm ，则CH=(x+2)m ，在Rt △DHB 中，tan45°=DH BH， ∴BH=DH tan45°=xm ，∴AH=AB+BH=(x+10)m ，在Rt △CAH 中，tan=CH AH ，即210x x ++=0.75， 解得：x=22， 答：广告牌架下端D 到地面的距离为22m ．【点睛】本题主要考查解直角三角形的实际应用，熟练掌握锐角三角函数的定义，添加合适的辅助线，构造直角三角形，是解题的关键．21. 在抗击新型冠状病毒感染的肺炎疫情过程中，某医药研究所正在试研发一种抑制新型冠状病毒的药物，据临床观察：如果成人按规定的剂量注射这种药物，注射药物后每毫升血液中的含药量 (微克)与时间 (小时)之间的关系近似地满足图中折线． (1)求注射药物后每毫升血液中含药量与时间之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围;(2)据临床观察：每毫升血液中含药量不少于微克时，对控制病情是有效的．如果病人按规定的剂量注射 该药物后，求控制病情的有效时间．【答案】(1)2206(110)33(01)y t t t t ⎧⎪=⎨-+<≤≤≤⎪⎩;(2)103(小时) 【解析】【分析】(1)当0≤t ≤1时，是正比例函数，用待定系数法进行求解，即可，当1<t ≤10时，是一次函数，用待定系数法求函数的关系式，即可;(2)当0≤t ≤1时，当含药量上升到4微克时，控制病情开始有效，令y=4，代入y=6t ，求出对应的t 值，同理，当1<t ≤10时，求出另一个t 值，他们的差就是药的有效时间．【详解】(1)当0≤t ≤1时，设y=k 1t ，则6=k 1×1，∴k 1=6，∴y=6t ．当1<t ≤10时，设y=k 2t+b ，∴226010k b k b =+=+⎧⎨⎩，解得：223203k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴ y=23-t+203， 综上所述：2206(110)33(01)y t t t t ⎧⎪=⎨-+<≤≤≤⎪⎩; (2)当0≤t ≤1时，令y=4，即：6t=4，解得：t=23， 当0<t ≤10时，令y=4，即：23-t+203=4，解得：t=4， ∴控制病情的有效时间为：4−23=103(小时)． 【点睛】本题主要考查一次函数的实际应用，掌握一次函数的图象上的点的坐标特征和待定系数法，是解题的关键．22. 现有,,,A B C D 四张不透明的卡片，除正面上的图案不同外，其他均相同，将这四张卡片背 面向上洗匀后放在桌面上．(1)从中随机取出一张卡片，卡片上的图案是中心对称图形的概率是_____;(2)若从四张卡片中随机拿出两张卡片，请用画树状图或列表的方法，求抽取的两张卡片都是轴对称图形的概率．【答案】(1)14;(2)12 【解析】【分析】(1)直接利用概率公式求解可得;(2)画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式计算可得．【详解】(1)∵4中卡片中，只有1张是中心对称图形，∴从中随机抽取1张卡片,卡片上的图案是中心对称图形的概率为14， 故答案为：14; (2)画树状图如下：由树状图知，共有12种等可能结果，其中两次所抽取的卡片恰好都是轴对称图形的有6种结果， ∴两次所抽取的卡片恰好都是轴对称图形的概率为：61122=．【点睛】本题主要考查等可能随机事件的概率，学会画树状图，掌握概率公式，是解题的关键． 23. 如图，已知以Rt ABC ∆的边AB 为直径作ABC ∆的外接圆的,O ABC ∠平分线BE 交AC 于，交O 于，过作//EF AC 交BA 的延长线于．(1)求证：EF 是O 切线;(2)若15,10,AB EF ==求AE 的长．【答案】(1)见详解;(2)35【解析】【分析】(1)要证EF 是 O 的切线，只要连接OE ，再证∠FEO=90°即可;(2)证明△FEA ∽△FBE ，得出EF AF BF EF =，从而得到AF 的值，进而得到12AE BE =，结合勾股定理得到关于AE 的方程，即可求出AE 的长．【详解】(1)连接OE ，∵∠B 的平分线BE 交AC 于D ，∴∠CBE=∠OBE ，∵EF ∥AC ，∴∠CAE=∠FEA ，∵∠OBE=∠OEB ，∠CBE=∠CAE ，∴∠FEA=∠OEB ，∵AB 是O 的直径，∴∠AEB=90°，∴∠FEO=90°，∴EF 是O 切线;(2)∵∠FEA=∠OEB=∠OBE ，∠F=∠F ，∴∆FEA ~∆FBE ， ∴EF AF BF EF =， 即：2EF AF BF =⋅，∴AF×(AF+15)=10×10，解得：AF=5或AF=-20(舍去)， ∴51102AE AF BE EF ===， ∵在Rt ∆ABE 中，AE 2+BE 2=AB 2，∴AE 2+(2AE )2=152，∴AE=35．【点睛】本题主要考查切线的判定定理，圆周角定理，相似三角形的判定和性质定理以及勾股定理，掌握切线的判定定理以及相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．24. 如图，已知抛物线2y x bx c =-++与直线AB 交于点()3,0A -，点()1,4B ．(1)求抛物线的解析式;(2)点M 是轴上方抛物线上一点，点是直线AB 上一点，若A O M N 、、、以为顶点的四边形是以 OA 为边的平行四边形，求点M 的坐标．【答案】(1)2 6y x x =--+;(2)(0，6)或(-2，4)或(17-+17-)．【解析】【分析】(1)根据待定系数法，即可得到答案;(2)先求出直线AB 的解析式，由平行四边形的性质得AO=MN=3且AO ∥MN ，设M(x ，26x x --+)，则N(x+3，x+6)或N(x-3，x)，根据M ，N 的纵坐标相等，列出关于x 的方程，即可求解．【详解】(1)∵抛物线2y x bx c =-++与直线AB 交于点() 3,0A -，点() 1,4B ， ∴ 09341b c b c =--+=-++⎧⎨⎩，解得： 16b c =-=⎧⎨⎩， ∴抛物线解析式为：26y x x =--+; (2)设直线AB 的解析式为：y=kx+m ， 把() 3,0A -，() 1,4B ，代入得： 034k m k m =-+=+⎧⎨⎩，解得： 13k m ==⎧⎨⎩， ∴直线AB 的解析式为：y=x+3．∵以A O M N 、、、为顶点的四边形是以OA 为边的平行四边形，∴AO=MN=3且AO ∥MN ，∵点M 是轴上方抛物线上一点，点是直线AB 上一点，∴设M(x ，26x x --+)，则N(x+3，x+6)或N(x-3，x)，∴26x x --+=x+6或26x x --+=x ，解得：10x =，22x =-，317x =-417x =-令y=0代入26y x x =--+，得：2 60x x --+=，解得：x=-3或x=2，∴抛物线与x 轴的另一个交点坐标为(2，0)，∵点M 是轴上方抛物线上一点，∴点M 的横坐标取值范围为：-3＜x ＜2，∴点M 的坐标为：(0，6)或(-2，4)或(17-+，17-+)．【点睛】本题主要考查二次函数与一次函数的综合以及平行四边形的性质，掌握待定系数法，函数图象上的点的坐标特征以及平行四边形的对边平行且相等，是解题的关键．25. 问题发现(1)如图①，ABC ∆为边长为的等边三角形，是AB 边上一点且CD 平分ABC ∆的面积，则线段CD 的长度为____;问题探究(2)如图②，ABCD 中,6,8,60AB BC B ==∠=︒，点M 在AD 上，点在BC 上，若MN 平分ABCD 的面积，且MN 最短，请你画出符合要求的线段MM ，并求出此时MN 与AM 的长度．问题解决(3)如图③，某公园的一块空地由三条道路围成，即线段AC AB BC 、、，已知160AB =米，120BC =米，90,AC ABC ∠=︒的圆心在AB 边上，现规划在空地上种植草坪，并AC 的中点修一条直路PM (点M 在 AB 上)．请问是否存在PM ，使得PM 平分该空地的面积?若存在，请求出此时AM 的长度;若不存在，请说明理由．【答案】(12)AM=2.5，作图见详解;(3)存在PM ，使得PM 平分该空地的面积，AM= 146(米)．【解析】【分析】(1)作CD ⊥AB 于点D ，利用等边三角形三线合一的性质和直角三角形的性质求出AD 的长，即可;(2)经过平行四边形对角线的交点的直线将平行四边形的面积分成相等的两部分，当MN ⊥BC 时，MN 最短，过A 作AE ⊥BC 于点E ，根据三角函数的定义，求AE 的长，即是MN 的长，再求出EN 的长，即AM 的长;(3)作AC 的垂直平分线EF 交AB 于点O ，交AC 于点D ，则点O 为AC 所在圆的圆心，通过锐角三角函数的定义，求得OD 的值，从而得AOD S ，OBCD S 四边形，在线段OB 上取点M ，连接PM ，使∆OPM 的面积=1050，进而求出OM ，即可求出AM 的值，然后得到结论．【详解】(1)如图①，作CD ⊥AB 于点D ，∵ABC ∆为边长为的等边三角形，∴AD=BD ，∴CD 平分ABC ∆的面积，∴(2)连接AC 、BD 交于点O ，过点O 作直线MN ，交AD 于M ，交BC 于N ，如图②，∵四边形ABCD 为平行四边形，∴OA=OC ，AD ∥BC ，∴∠CAD=∠ACB ，∵∠AOM=∠CON ，∴△AOM ≌△CON (ASA )，∴S △AOM =S △CON ，同理可得：△OMD ≌△ONB ，△AOB ≌△COD ，∴S △OMD =S △ONB ，S △AOB =S △COD ，∴S △AOM +S △AOB +S △BON =S △CON +S △COD +S △OMD ，即：MN 将四边形ABCD 分成面积相等的两部分，当MN ⊥BC 时，MN 最短，如图③所示，过A 作AE ⊥BC 于点E ，在Rt △ABE 中，∵∠ABC=60°，∴sin60°=AE AB，∴AE=2× ∵AD ∥BC ，AE ⊥BC ，MN ⊥BC ，∴∴此时MN 的长度为∵AE ∥MN ，AO=CO ，∴EN=CN ，∵BE=12AB=3， ∴CE=BC-BE=8-3=5，∴EN=2.5，∵AD ∥BC ，AE ⊥BC ，MN ⊥BC ，∴四边形AENM 是矩形，即：AM=EN=2.5;(3)存在PM ，使得PM 平分该空地的面积，理由如下：作AC 的垂直平分线EF 交AB 于点O ，交AC 于点D ，则点O 为AC 所在圆的圆心，如图④， ∵点P 是AC 的中点，∴点P 在直线EF 上，∵160AB =(米)，120BC =(米)，90ABC ∠=︒，∴=200(米)，AD=12AC=100(米)， ∵tan ∠BAC =34OD BC AD AB ==， ∴OD=34AD=75(米)，∴11007537502AOD S =⨯⨯=(平方米)， ∵112016096002ABC S =⨯⨯=(平方米)， ∴960037505850OBCD S =-=四边形(平方米)，∴图形OBCP 的面积比图形AOP 的面积多2100平方米，∴在线段OB 上取点M ，连接PM ，使∆OPM 的面积=1050(平方米)，即可．∵sin ∠BAC=35OD BC OA AC ==， ∴OA=53OD=53×75=125(米)， ∴OP=OA=125(米)，过点M 作MN ⊥EF 于点N ，∴12OP ∙MN=1050，即：MN=2100÷125=845(米)， ∵MN ∥AC ，∴∆AOD ~∆MON ，∴AD AO MN MO =，即：100125845MO =，解得：MO=21(米)， ∴AM=AO+MO=125+21=146(米)，∵AM ＜AB ，∴存在PM ，使得PM 平分该空地的面积，此时，AM= 146(米)．【点睛】本题主要等边三角形的性质，平行四边形的性质，圆的基本性质，三角函数的定义以及相似三角形的判定和性质，熟练掌握垂径定理，三角函数的定义和相似三角形的性质，合理添加辅助线，构造直角三角形和相似三角形，是解题的关键．。

中招考试数学模拟试卷（附带答案）（满分：120分考试时间：120分钟）一选择题（本大题共10小题共30.0分）1.2022的倒数的相反数为()A. −2022B. 2C. 12022D. −120222.下列运算错误的是()A.a+2a=3aB. (a2)3=a6C. a2⋅a3=a5D. a6÷a3=a23.如图所示的几何体它的俯视图是()A. B. C. D.4.如图AB//CD DA⊥AC垂足为A若∠ADC=35°则∠1的度数为()A. 65°B. 55°C. 45°D. 35°5.小明家1至6月份的用水量统计如图所示关于这组数据下列说法中错误的是()A. 众数是6吨B. 平均数是5吨C. 中位数是5吨D. 方差是436.如果关于x的分式方程mx−2−2x2−x=1无解那么m的值为()A. 4B. −4C. 2D. −27.用一块圆心角为216°的扇形铁皮做一个高为40cm的圆锥形工件(接缝忽略不计)那么这个扇形铁皮的半径是()cm．A. 30B. 50C. 60D. 808.已知二次函数y=ax2+2ax+3a2+3(其中x是自变量)当x≤−2时y随x的增大而减小且−2≤x≤1时y的最大值为9则a的值为()A.1或−2B. 1C. √2D. −√2或√29. 如图 矩形ABCD 中 E 是AB 的中点 将△BCE 沿CE 翻折 点B落在点F 处 tan∠DCE =43.设AB =x △ABF 的面积为y 则y 与x的函数图象大致为( ) A. B.C. D.10.如图 四边形ABCD 为菱形 AB =BD 点B C D G 四个点在同一个圆⊙O 上 连接BG 并延长交AD 于点F 连接DG 并延长交AB 于点E BD 与CG 交于点H 连接FH 下列结论：①AE =DF ②FH//AB ③△DGH ∽△BGE ④当CG 为⊙O 的直径时 DF =AF ．其中正确结论的个数是( )A. 1B. 2C. 3D. 4二 填空题（本大题共8小题 共24.0分）10. 我国推行“一带一路”政策以来 已确定沿线有65个国家加入 共涉及总人口约达46亿人 用科学记数法表示该总人口数为______人．11. 分解因式：2a 2−8b 2=______．12. 在一个口袋中有4个完全相同的小球 它们的标号分别为1 2 3 4 一人从中随机摸出一球记下标号后放回 再从中随机摸出一个小球记下标号 则两次摸出的小球的标号之和大于4的概率是______．13. 已知{x =2y =−3是方程组{ax +by =2bx +ay =3的解 则a 2−b 2=______．14.如图在平面直角坐标系中以O为圆心适当长为半径画弧交x轴于点M交y轴于点N再分别以点M N为圆心大于MN的长为半径画弧两弧在第二象限交于点P若点P的坐标为(a,b)则a 与b的数量关系为______．15.如图△ABC中A B两个顶点在x轴的上方点C的坐标是(−1,0).以点C为位似中心在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C并把△ABC放大到原来的2倍．设点B的对应点B′的横坐标是a则点B的横坐标是______．16.如图在直升机的镜头下观测牡丹园A处的俯角为30°B处的俯角为45°如果此时直升机镜头C处的高度CD为200米点A B D在同一条直线上则A B两点间的距离为______米．(结果保留根号)17.如图直线y=−x+5与双曲线y=kx (x>0)相交于A B两点与x轴相交于C点△BOC的面积是52.若将直线y=−x+5向下平移1个单位则所得直线与双曲线y=kx(x>0)的交点坐标为______ ．18.如图放置的△OAB1△B1A1B2△B2A2B3…都是边长为1的等边三角形点A在x轴上点O B1B2B3…都在直线l上则点A2019的坐标是______．三解答题（本大题共7小题共66.0分）19.(1)计算：(−1)20229+(sin30°)−1+(5−√2)0−|3−√18|+82019×(−0.125)2019(2)解方程：2x +1=xx+220.为推进“传统文化进校园”活动某校准备成立“经典诵读”“传统礼仪”“民族器乐”和“地方戏曲”等四个课外活动小组．学生报名情况如图(每人只能选择一个小组)：(1)报名参加课外活动小组的学生共有______人将条形图补充完整(2)扇形图中m=______n=______(3)根据报名情况学校决定从报名“经典诵读”小组的甲乙丙丁四人中随机安排两人到“地方戏曲”小组甲乙恰好都被安排到“地方戏曲”小组的概率是多少？请用列表或画树状图的方法说明．21.如图⊙O是△ABC的外接圆AE平分∠BAC交⊙O于点E交BC于点D∠ABC的平分线BF交AD于点F．(1)求证：BE=EF(2)若DE=4DF=3求AF的长．(x>0)经过△OAB的顶点A和OB的中点C AB//x轴点A的坐标为(2,3)．22.如图双曲线y=kx（1）确定k的值(2)若点D(3,m)在双曲线上求直线AD的解析式(3)计算△OAB的面积．23.某商场经营某种品牌的童装购进时的单价是60元．根据市场调查在一段时间内销售单价是80元时销售量是200件而销售单价每降低1元就可多售出20件．（1）写出销售量y件与销售单价x元之间的函数关系式（2）写出销售该品牌童装获得的利润w元与销售单价x元之间的函数关系式(3)若童装厂规定该品牌童装销售单价不低于76元且商场要完成不少于240件的销售任务则商场销售该品牌童装获得的最大利润是多少？24.已知：如图抛物线y=ax2+3ax+c(a>0)与y轴交于C点与x轴交于A B两点A点在B点左侧．点B的坐标为(1,0)OC=3BO．(1)求抛物线的解析式(2)若点D是线段AC下方抛物线上的动点求四边形ABCD面积的最大值(3)若点E在x轴上点P在抛物线上．是否存在以A C E P为顶点且以AC为一边的平行四边形？若存在求出点P的坐标若不存在请说明理由．25.通过类比联想引申拓展研究典型题目可达到解一题知一类的目的．下面是一个案例请补充完整．原题：如图1点E F分别在正方形ABCD的边BC CD上∠EAF=45°连接EF则EF=BE+DF 试说明理由．(1)思路梳理∵AB=AD26.∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG可使AB与AD重合．∵∠ADC=∠B=90°27.∴∠FDG=180°点F D G共线．根据______易证△AFG≌______得EF=BE+DF．(2)类比引申如图2四边形ABCD中AB=AD∠BAD=90°点E F分别在边BC CD上∠EAF=45°.若∠B ∠D都不是直角则当∠B与∠D满足等量关系______时仍有EF=BE+DF．(3)联想拓展如图3在△ABC中∠BAC=90°AB=AC点D E均在边BC上且∠DAE=45°.猜想BD DE EC应满足的等量关系并写出推理过程．已知：如图抛物线y=ax2+3ax+c(a>0)与y轴交于C点与x轴交于A B两点A点在B点左侧．点B的坐标为(1,0)OC=3BO．(1)求抛物线的解析式(2)若点D是线段AC下方抛物线上的动点求四边形ABCD面积的最大值(3)若点E在x轴上点P在抛物线上．是否存在以A C E P为顶点且以AC为一边的平行四边形？若存在求出点P的坐标若不存在请说明理由．参考答案1.【答案】B的倒数为−3−3的相反数为3．【解析】解：根据相反数和倒数的定义得：−13故选：B．根据相反数的定义只有符号不同的两个数是互为相反数倒数的定义互为倒数的两数乘积为1求出即可．此题主要考查了相反数和倒数的定义正确记忆只有符号不同的两个数是互为相反数若两个数的乘积是1我们就称这两个数互为倒数．2.【答案】D【解析】解：∵a+2a=3a∴选项A不符合题意∵(a2)3=a6∴选项B不符合题意∵a2⋅a3=a5∴选项C不符合题意∵a6÷a3=a3∴选项D符合题意．故选：D．根据同底数幂的除法乘法合并同类项的方法以及幂的乘方与积的乘方的运算方法逐项判定即可．此题主要考查了同底数幂的除法乘法合并同类项的方法以及幂的乘方与积的乘方的运算方法要熟练掌握．3.【答案】B【解析】解：∵DA⊥AC垂足为A∴∠CAD=90°∵∠ADC=35°∴∠ACD=55°∵AB//CD∴∠1=∠ACD=55°故选：B．利用已知条件易求∠ACD的度数再根据两线平行同位角相等即可求出∠1的度数．本题主要考查了平行线的性质垂直的定义等知识点熟记平行线的性质定理是解题关键．4.【答案】C【解析】解：这组数据的众数为6吨平均数为5吨中位数为5.5吨方差为43吨 2．故选：C．根据众数平均数中位数和方差的定义计算各量然后对各选项进行判断．本题考查了方差：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大则平均值的离散程度越大稳定性也越小反之则它与其平均值的离散程度越小稳定性越好．也考查了平均数众数中位数．5.【答案】A【解析】解：{3x<2x+4①3−x3≥2②由①得x<4由②得x≤−3由①②得原不等式组的解集是x≤−3故选：A．解出不等式组的解集即可得到哪个选项是正确的本题得以解决．本题考查解一元一次不等式组在数轴上表示不等式的解集解题的关键是明确解一元一次不等式组的方法．6.【答案】B【解析】【分析】本题考查了圆锥的计算属于基础题．根据题意可得r=35R可得(35R)2+402=R2即可得解．【解答】解：设这个扇形铁皮的半径为Rcm底面圆的半径为rcm根据题意得：2πr=216⋅π⋅R180即r=35R因为r2+402=R2所以(35R)2+402=R2解得R=50即这个扇形铁皮的半径为50cm．故选：B．7.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查菱形的判定解题的关键是掌握菱形的定义和各判定及矩形的判定．根据菱形的定义及其判定矩形的判定对各选项逐一判断即可得．【解答】解：∵AO=CO BO=DO∴四边形ABCD是平行四边形当AB=AD或AC⊥BD时均可判定四边形ABCD是菱形当∠ABO=∠CBO时由AD//BC知∠CBO=∠ADO∴∠ABO=∠ADO∴AB=AD∴四边形ABCD是菱形当AC=BD时可判定四边形ABCD是矩形故选：B．8.【答案】A【解析】解：过点C1作C1N⊥x轴于点N过点A1作A1M⊥x轴于点M 由题意可得：∠C1NO=∠A1MO=90°∠1=∠2=∠3则△A1OM∽△OC1N∵OA=5OC=3∴OA1=5A1M=3∴OM=4∴设NO=3x则NC1=4x OC1=3则(3x)2+(4x)2=9解得：x=±35(负数舍去)则NO=95NC1=125故点C的对应点C1的坐标为：(−95,12 5).故选：A．直接利用相似三角形的判定与性质得出△ONC1三边关系再利用勾股定理得出答案．此题主要考查了矩形的性质以及勾股定理等知识正确得出△A1OM∽△OC1N是解题关键．9.【答案】C【解析】本题主要考查点与圆的位置关系解题的关键是根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出AB取得最小值时点P的位置．由Rt△APB中AB=2OP知要使AB取得最小值则PO需取得最小值连接OM交⊙M于点P′当点P位于P′位置时OP′取得最小值据此求解可得．解：∵PA⊥PB∴∠APB=90°∵AO=BO∴AB=2PO若要使AB取得最小值则PO需取得最小值连接OM交⊙M于点P′当点P位于P′位置时OP′取得最小值过点M作MQ⊥x轴于点Q则OQ=3MQ=4∴OM=5又∵MP′=2∴OP′=3∴AB=2OP′=6故选C．10.【答案】D【解析】解：①∵四边形ABCD是菱形∴AB=BC=DC=AD又∵AB=BD∴△ABD和△BCD是等边三角形∴∠A=∠ABD=∠DBC=∠BCD=∠CDB=∠BDA=60°又∵B C D G四个点在同一个圆上∴∠DCH=∠DBF∠GDH=∠BCH∴∠ADE=∠ADB−∠GDH=60°−∠EDB∠DCH=∠BCD−∠BCH=60°−∠BCH∴∠ADE=∠DCH∴∠ADE=∠DBF在△ADE和△DBF中{∠EAD=∠FDB AD=DB∠ADE=∠DBF∴△ADE≌△DBF(ASA)∴AE=DF故①正确②由①中证得∠ADE=∠DBF∴∠EDB=∠FBA∵B C D G四个点在同一个圆上∠BDC=60°∠DBC=60°∴∠BGC=∠BDC=60°∠DGC=∠DBC=60°∴∠BGE=180°−∠BGC−∠DGC=180°−60°−60°=60°∴∠FGD=60°∴∠FGH=120°又∵∠ADB=60°∴F G H D四个点在同一个圆上∴∠EDB=∠HFB∴∠FBA=∠HFB∴FH//AB故②正确③∵B C D G四个点在同一个圆上∠DBC=60°∴∠DGH=∠DBC=60°∵∠EGB=60°∴∠DGH=∠EGB由①中证得∠ADE=∠DBF∴∠EDB=∠FBA∴△DGH∽△BGE故③正确④如下图∵CG为⊙O的直径点B C D G四个点在同一个圆⊙O上∴∠GBC=∠GDC=90°∴∠ABF=120°−90°=30°∵∠A=60°∴∠AFB=90°∵AB=BD∴DF=AF故④正确正确的有①②③④故选：D．①由四边形ABCD是菱形AB=BD得出△ABD和△BCD是等边三角形再由B C D G四个点在同一个圆上得出∠ADE=∠DBF由△ADE≌△DBF得出AE=DF②利用内错角相等∠FBA=∠HFB求证FH//AB③利用∠DGH=∠EGB和∠EDB=∠FBA求证△DGH∽△BGE④利用CG为⊙O的直径及B C D G四个点共圆求出∠ABF=120°−90°=30°再利用等腰三角形的性质求得DF=AF．此题综合考查了圆及菱形的性质等边三角形的判定与性质全等三角形的判定和性质运用四点共圆找出相等的角是解题的关键．解题时注意各知识点的融会贯通．11.【答案】4.6×109【解析】解：46亿=4.6×109．故答案为：4.6×109科学记数法的表示形式为a×10n的形式其中1≤|a|<10n为整数．确定n的值时要看把原数变成a时小数点移动了多少位n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>1时n是正数当原数的绝对值<1时n是负数．此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式其中1≤|a|<10n为整数表示时关键要正确确定a的值以及n的值．12.【答案】2(a+2b)(a−2b)【解析】【分析】本题主要考查提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式熟记公式是解题的关键难点在于要进行两次分解因式．先提取公因式2再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．【解答】解：2a2−8b2=2(a2−4b2)=2(a+2b)(a−2b)．故答案为2(a+2b)(a−2b)．13.【答案】58【解析】【分析】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．首先根据题意画出树状图然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出的小球的标号之和大于4的情况再利用概率公式即可求得答案．【解答】解：画树状图得：∵共有16种等可能的结果 两次摸出的小球的标号之和大于4的有10种情况∴两次摸出的小球的标号之和大于4的概率是：1016=58．故答案为58． 14.【答案】1【解析】解：∵{x =2y =−3是方程组{ax +by =2bx +ay =3的解 ∴{2a −3b =2①2b −3a =3②解得 ①−② 得a −b =−15①+② 得a +b =−5∴a 2−b 2=(a +b)(a −b)=(−5)×(−15)=1 故答案为：1．根据{x =2y =−3是方程组{ax +by =2bx +ay =3的解 可以求得a +b 和a −b 的值 从而可以解答本题． 本题考查二元一次方程组的解 解答本题的关键是明确二元一次方程组的解得意义 巧妙变形 利用平方差公式解答．15.【答案】a +b =0【解析】解：利用作图得点OP 为第二象限的角平分线所以a +b =0．故答案为a +b =0．利用基本作图得OP 为第二象限的角平分线 则点P 到x y 轴的距离相等 从而得到a 与b 互为相反数．本题考查了作图−基本作图：熟练掌握基本作图(作一条线段等于已知线段作一个角等于已知角作已知线段的垂直平分线作已知角的角平分线过一点作已知直线的垂线).也考查了第二象限点的坐标特征．(a+3)16.【答案】−12【解析】解：设点B的横坐标为x则B C间的横坐标的长度为−1−x B′C间的横坐标的长度为a+1∵△ABC放大到原来的2倍得到△A′B′C∴2(−1−x)=a+1(a+3)．解得x=−12(a+3)．故答案为：−12设点B的横坐标为x然后表示出BC B′C的横坐标的距离再根据位似比列式计算即可得解．本题考查了位似变换坐标与图形的性质根据位似比的定义利用两点间的横坐标的距离等于对应边的比列出方程是解题的关键．17.【答案】(200√3−200)【解析】【分析】本题考查了含30°角直角三角形的性质勾股定理平行线性质等内容解决本题的关键是利用CD的长分别在两三角形中求出AD与BD的长．在三角形ACD中利用勾股定理求出AC长在三角形BCD中根据等腰三角形性质得到BD长即可求解．【解答】解：∵EC//AD∴∠A=30°∠CBD=45°CD=200∵CD⊥AB于点D．∴在Rt△ACD中∠CDA=90°AC=2CD=400∴AD=√AC2−CD2=200√3在Rt△BCD中∠CDB=90°∴DB=CD=200∴AB=AD−DB=200√3−200答：A B两点间的距离为(200√3−200)米．故答案为：(200√3−200)18.【答案】(20212,2019√32)【解析】解：∵△OAB1△B1A1B2△B2A2B3…都是边长为1的等边三角形点O B1B2B3…都在直线l上∴点B1的坐标为(12,√32)点B2的坐标为(1,√3)点B3的坐标(32,3√32)…点B n的坐标为(n2,n√32)∴点A n的坐标为(n2+1,n√32)∴点A2019的坐标为(20192+1,2019√32)即A2019的坐标为(20212,2019√32).故答案为：(20212,2019√32).根据等边三角形的性质结合一次函数图象上点的坐标特征可得出点B n的坐标进而可得出点A n的坐标即可求出结论．本题考查了点的规律问题根据点的坐标的变化找出点A n的坐标是解题的关键．19.【答案】解：(1)原式=−1+2+1−3√2+3−1=4−3√2(2)去分母得：2x+4+x2+2x=x2解得：x=−1经检验x=−1是分式方程的解．【解析】(1)原式利用乘方的意义零指数幂负整数指数幂法则绝对值的代数意义以及积的乘方运算法则计算即可求出值(2)分式方程去分母转化为整式方程求出整式方程的解得到x的值经检验即可得到分式方程的解．此题考查了解分式方程以及实数的运算熟练掌握运算法则是解本题的关键．20.【答案】解：(1)100(2)25108(3)树状图分析如下：∵共有12种情况恰好选中甲乙的有2种∴P(选中甲乙)=212=16．【解析】【分析】本题考查了扇形统计图条形统计图及列表与树状图法求概率的知识解题的关键是能够列树状图将所有等可能的结果列举出来难度不大．(1)用地方戏曲的人数除以其所占的百分比即可求得总人数减去其它小组的频数即可求得民族乐器的人数从而补全统计图(2)根据各小组的频数和总数分别求得m和n的值即可(3)列树状图将所有等可能的结果列举出来然后利用概率公式求解即可．【解答】解：(1)∵根据两种统计图知地方戏曲的有13人占13%∴报名参加课外活动小组的学生共有13÷13%=100人参加民族乐器的有100−32−25−13=30人统计图为：故答案为：100(2)∵m%=25100×100%=25%∴m=25n=30100×360°=108°故答案为：25108(3)见答案21.【答案】(1)证明：∵AE平分∠BAC∴∠1=∠4∵∠1=∠5∴∠4=∠5∵BF平分∠ABC∴∠2=∠3∵∠6=∠3+∠4=∠2+∠5即∠6=∠EBF∴EB=EF(2)解：∵DE=4DF=3∴BE=EF=DE+DF=7∵∠5=∠4∠BED=∠AEB∴△EBD∽△EAB∴BEEA =DEBE即7EA=47∴EA=494∴AF=AE−EF=494−7=214．【解析】(1)通过证明∠6=∠EBF得到EB=EF(2)先证明△EBD∽△EAB再利用相似比求出AE然后计算AE−EF即可得到AF的长．本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点叫做三角形的外心．也考查了圆周角定理．22.【答案】解：(1)将点A(2,3)代入解析式y=kx得：k=6(2)将D(3,m)代入反比例解析式y=6x得：m=63=2∴点D坐标为(3,2)设直线AD解析式为y=kx+b将A(2,3)与D(3,2)代入得：{2k +b =33k +b =2解得：{k =−1b =5则直线AD 解析式为y =−x +5(3)过点C 作CN ⊥y 轴 垂足为N 延长BA 交y 轴于点M∵AB//x 轴∴BM ⊥y 轴∴MB//CN//x 轴∵C 为OB 的中点∴N 为OM 的中点∴CN =12BM ON =12OM ∴S △OCN S △OBM =14∵A C 都在双曲线y =6x 上 ∴S △OCN =S △AOM =3由33+S △AOB =14 得：S △AOB =9则△AOB 面积为9．【解析】此题属于反比例函数综合题 涉及的知识有：待定系数法确定函数解析式 坐标与图形性质 三角形中位线定理 以及反比例函数k 的几何意义 熟练掌握待定系数法是解本题的关键．(1)将A 坐标代入反比例解析式求出k 的值即可(2)将D 坐标代入反比例解析式求出m 的值 确定出D 坐标 设直线AD 解析式为y =kx +b 将A 与D 坐标代入求出k 与b 的值 即可确定出直线AD 解析式(3)过点C 作CN ⊥y 轴 垂足为N 延长BA 交y 轴于点M 得到CN 与BM 平行 根据C 为OB 的中点 由三角形中位线定理得出N 为OM 的中点 得到CN =12BM ON =12OM 确定出S △OCN S△OBM =14 利用反比例函数k的几何意义得出S△OCN=S△AOM=3得到33+S△AOB =14求出三角形AOB面积即可．23.【答案】解：(1)根据题意得=−20x+1800所以销售量y件与销售单价x元之间的函数关系式为y=−20x+1800(60≤x≤80)(2)w=(x−60)y=(x−60)(−20x+1800)=−20x2+3000x−108000所以销售该品牌童装获得的利润w元与销售单价x元之间的函数关系式w=−20x2+3000x−108000(3)根据题意得−20x+1800≥240解得x≤78∴76≤x≤78w=−20x2+3000x−108000对称轴为x=−30002×(−20)=75∵a=−20<0∴抛物线开口向下∴当76≤x≤78时w随x的增大而减小∴x=76时w有最大值最大值=(76−60)(−20×76+1800)=4480(元)．所以商场销售该品牌童装获得的最大利润是4480元．【解析】本题考查了二次函数的应用：根据实际问题列出二次函数关系式然后利用二次函数的性质特别是二次函数的最值问题解决实际中的最大或最小值问题．(1)销售量y件为200件加增加的件数：(80−x)×20(2)利润w等于单件利润×销售量y件即w=(x−60)(−20x+1800)整理即可(3)先利用二次函数的性质得到w=−20x2+3000x−108000的对称轴为x=−30002×(−20)=75而−20x+ 1800≥240得76≤x≤78根据二次函数的性质得到当76≤x≤78时w随x的增大而减小把x=76代入计算即可得到商场销售该品牌童装获得的最大利润．24.【答案】(1)SAS △AFE(2) ∠B +∠D =180°(3)猜想：DE 2=BD 2+EC 2证明：连接DE′ 根据△AEC 绕点A 顺时针旋转90°得到△ABE′∴△AEC≌△ABE′∴BE′=EC AE′=AE∠C =∠ABE′ ∠EAC =∠E′AB在Rt △ABC 中∵AB =AC∴∠ABC =∠ACB =45°∴∠ABC +∠ABE′=90°即∠E′BD =90°∴E′B 2+BD 2=E′D 2又∵∠DAE =45°∴∠BAD +∠EAC =45°∴∠E′AB +∠BAD =45°即∠E′AD =45°在△AE′D 和△AED 中{AE′=AE ∠E′AD =∠DAE AD =AD∴△AE′D≌△AED(SAS)∴DE =DE′∴DE 2=BD 2+EC 2．【解析】解：(1)∵AB=AD∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG可使AB与AD重合．∴∠BAE=∠DAG∵∠BAD=90°∠EAF=45°∴∠BAE+∠DAF=45°∴∠EAF=∠FAG∵∠ADC=∠B=90°∴∠FDG=180°点F D G共线在△AFE和△AFG中{AE=AG∠EAF=∠FAG AF=AF∴△AFE≌△AFG(SAS)∴EF=FG即：EF=BE+DF．(2)∠B+∠D=180°时EF=BE+DF∵AB=AD∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG可使AB与AD重合∴∠BAE=∠DAG∵∠BAD=90°∠EAF=45°∴∠BAE+∠DAF=45°∴∠EAF=∠FAG∵∠ADC+∠B=180°∴∠FDG=180°点F D G共线在△AFE和△AFG中{AE=AG∠FAE=∠FAG AF=AF∴△AFE≌△AFG(SAS)∴EF=FG即：EF=BE+DF．(3)根据△AEC绕点A顺时针旋转90°得到△ABE′根据旋转的性质可知△AEC≌△ABE′得到BE′=EC AE′=AE∠C=∠ABE′∠EAC=∠E′AB根据Rt△ABC中的AB=AC得到∠E′BD=90°所以E′B2+ BD2=E′D2证△AE′D≌△AED利用DE=DE′得到DE2=BD2+EC2此题主要考查了几何变换关键是正确画出图形证明△AFG≌△AEF.此题是一道综合题难度较大题目所给例题的思路为解决此题做了较好的铺垫．25.【答案】解：(1)∵B(1,0)∴OB=1∵OC=3BO∴C(0,−3)∵y=ax2+3ax+c过B(1,0)C(0,−3)∴{c=−3a+3a+c=0解这个方程组得{a=34 c=−3∴抛物线的解析式为：y=34x2+94x−3(2)过点D作DM//y轴分别交线段AC和x轴于点M N在y=34x2+94x−3中令y=0得方程34x2+94x−3=0解这个方程得x1=−4∴A(−4,0)设直线AC的解析式为y=kx+b∴{0=−4k+bb=−3解这个方程组得{k=−34 b=−3∴AC的解析式为：y=−34x−3∵S四边形ABCD=S△ABC+S△ADC=152+12⋅DM ⋅(AN +ON) =152+2⋅DM 设D(x,34x 2+94x −3)当x =−2时 DM 有最大值3此时四边形ABCD 面积有最大值272(3)如图所示①过点C 作CP 1//x 轴交抛物线于点P 1 过点P 1作P 1E 1//AC 交x轴于点E 1 此时四边形ACP 1E 1为平行四边形∵C(0,−3)∴设P 1(x,−3)∴34x 2+94x −3=−3 解得x 1=0∴P 1(−3,−3)②平移直线AC 交x 轴于点E 交x 轴上方的抛物线于点P 当AC =PE 时 四边形ACEP 为平行四边形∵C(0,−3)∴设P(x,3)∴34x 2+94x −3=3 x 2+3x −8=0解得x =−3+√412或x =−3−√412此时存在点P 2(−3+√412,3)和P 3(−3−√412,3) 综上所述存在3个点符合题意 坐标分别是P 1(−3,−3) P 2(−3+√412,3) P 3(−3−√412,3)．【解析】(1)已知了B 点坐标 易求得OB OC 的长 进而可将B C 的坐标代入抛物线中 求出待定系数的值 即可得出抛物线的解析式．(2)根据A C 的坐标 易求得直线AC 的解析式．由于AB OC 都是定值 则△ABC 的面积不变 若四边形ABCD 面积最大 则△ADC 的面积最大 可过D 作x 轴的垂线 交AC 于M x 轴于N 易得△ADC 的面积是DM与OA积的一半可设出N点的坐标分别代入直线AC和抛物线的解析式中即可求出DM的长进而可得出四边形ABCD的面积与N点横坐标间的函数关系式根据所得函数的性质即可求出四边形ABCD的最大面积．(3)本题应分情况讨论：①过C作x轴的平行线与抛物线的交点符合P点的要求此时P C的纵坐标相同代入抛物线的解析式中即可求出P点坐标②将AC平移令C点落在x轴(即E点)A点落在抛物线(即P点)上可根据平行四边形的性质得出P点纵坐标(P C纵坐标的绝对值相等)代入抛物线的解析式中即可求得P点坐标．此题考查了二次函数解析式的确定图形面积的求法平行四边形的判定和性质二次函数的应用等知识综合性强难度较大．。

广西壮族自治区南宁市银海三雅学校2023-2024学年九年级中考第四次模拟（收网考）数学试卷一、单选题（每题3分，共36分）1．（3分）中国是最早使用正负数表示具有相反意义的量的国家．如果大风车顺时针旋转66°，记作+66°，那么大风车逆时针旋转88°，记作（ ）A．﹣88°B．88°C．﹣22°D．22°2．（3分）2024年的春晚节目《年锦》用东方美学风韵惊艳了观众，节目巧妙地选用了汉、唐、宋、明不同朝代寓意吉祥祝福的代表纹样，与华丽的舞美技术相融合，织出一幅跨越千载的纹样变迁图卷．下列几幅纹样是中心对称图形的是（ ）A．B．C．D．3．（3分）2024年政府工作报告中指出：2024年城镇新增就业将达12000000人以上，将数据12000000用科学记数法表示应为（ ）A．0.12×108B．1.2×107C．12×106D．120×1054．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠A＝70°，则∠C的度数是（ ）A．70°B．90°C．110°D．140°5．（3分）如图，l1∥l2，点O在直线l2上，将三角板的直角顶点放在点O处，三角板的两条直角边分别与l1交于A，B两点，若∠1＝46°，则∠2的大小为（ ）A．34°B．44°C．46°D．54°6．（3分）下列事件中的必然事件是（ ）A．三角形三个内角和为180°B．射击运动员射击一次，命中靶心C．天空出现九个太阳D．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯7．（3分）如图是某商场营业大厅自动扶梯的示意图．自动扶梯AB的倾斜角为37°，大厅两层之间的距离BC为6米，则自动扶梯AB的长约为（sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）（ ）A．7.5米B．8米C．9米D．10米8．（3分）下列计算正确的是（ ）A．a2•a3＝a6B．（﹣a3）2＝﹣a6C．（2a）2＝2a2D．a3÷a2＝a9．（3分）为纪念北京奥运会成功举办，国务院批准从2009年起，将每年8月8日设置为“全民健身日”．因为为了认真发展体育运动，增强人民体质，贯彻执行《中华人民共和国体育法》，网上各种健身项目层出不穷．如图是侧抬腿运动，可以保证全身得到锻炼!已知小敏大腿根部距脚尖90cm，即OA＝90cm，当其完成图中一次动作时，脚尖划过的轨迹长度为（ ）cm．A．B．C．45πD．10．（3分）我国古代数学名著《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽”．大意是：“现请人代买一批椽，这批椽的总售价为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？”设6210文能买x株椽，则据题意可列方程为（ ）A．＝3x﹣1B．＝3（x﹣1）C．＝3x D．＝3（x﹣1）11．（3分）如图，在∠AOB中，以点O为圆心，5为半径作弧，分别交射线OA，OB于点C，D，再分别以C，D为圆心，CO的长为半径作弧，两弧在∠AOB内部交于点E，作射线OE，若OE＝8，则C，D 两点之间的距离为（ ）A．5B．6C．D．812．（3分）在二次函数y＝﹣x2+2x+3中，当0＜x＜3时，y的取值范围是（ ）A．0＜y＜3B．1＜y＜4C．0＜y≤4D．﹣4≤y＜0二、填空题（每题2分，共12分）13．（2分）cos60°＝ ．14．（2分）因式分解：a2+3a＝ ．15．（2分）命题“等角的余角相等”是 命题．（填“真”或“假”）16．（2分）我国人工智能市场分为“决策类人工智能”、“人工智能机器人”、“语音及语义人工智能”、“视觉人工智能”四大类型，将四个类型的图标分别制成四张卡片（卡片背面完全相同），并把四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，则抽到“视觉人工智能”的概率为 ．17．（2分）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，点A在反比例函数的图象上，AB⊥y轴于点B，连接OA，则△AOB的面积为 ．18．（2分）在等腰直角三角形ABC中AC＝3，E为AC上靠近点A的三等分点．圆C半径为2，D为圆C 上一动点，连接AD，将线段AD绕点A顺时针旋转90°得到线段AD′．连接ED′，则ED′的最小值为 ．三、解答题（共72分）19．（6分）计算：﹣1×4+22÷（5﹣3）．20．（6分）先化简，再求值：（x+1）2+（2+x）（2﹣x），其中x＝1．21．（10分）如图在平面直角坐标系内，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（0，3），B（3，4），C（2，2）．（1）画出△ABC向左平移5个单位长度，再向下平移1个单位长度后，得到图形△A1B1C1；（2）画出△ABC关于x轴的对称图形△A2B2C2，并写出A2的坐标；（3）请在x轴上确定点P的位置，使得PA+PC最小．22．（10分）快递业为商品走进千家万户提供了极大便利，不同的快递公司在配送速度、服务、收费和投递范围等方面各具优势．网店店主小刘打算从甲、乙两家快递公司中选择一家合作，为此，小刘收集了10家网店店主对两家快递公司的相关评价，并整理、描述、分析如下：①配送速度得分（满分10分）：甲：7，6，9，6，7，10，8，8，9，9；乙：8，8，6，7，9，7，9，8，8，9．②服务质量得分统计图（满分10分）：③配送速度和服务质量得分统计表：快递公司统计量配送速度得分服务质量得分平均数中位数众数平均数方差甲7.9m n7根据以上信息，回答下列问题：（1）填空：m＝ ，n＝ ，比较大小：s甲2 s乙2（填“＞”“＝”或“＜”）；（2）综合上表中的统计量，你认为小刘应选择哪家公司？请说明理由；（3）为了从甲、乙两家公司中选出更合适的公司，你认为小刘还应收集什么信息？（列出一条即可）23．（10分）如图，在△ABC中，BA＝BC，以AB为直径作⊙O，交AC于点D，连接DB，过点D作DE ⊥BC，垂足为E．（1）求证：AD＝CD；（2）求证：DE为⊙O的切线．24．（10分）2022年北京冬奥会和冬残奥会的吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”深受大家的喜爱．奥林匹克官方旗舰店有出售“冰墩墩”和“雪容融”的手办玩具和摆件，玩具A和摆件B是其中的两款产品，玩具A和摆件B的批发价和零售价格如下表所示．名称玩具A摆件B批发价（元/个）6050零售价（元/个）8060（1）若该旗舰店批发玩具A和摆件B一共100个，用去5650元钱，求玩具A和摆件B各批发了多少个？（2）若该旗舰店仍然批发玩具A和摆件B一共100个（批发价和零售价不变），要使得批发的玩具A 和摆件B全部售完后，所获利润不低于1400元，该旗舰店至少批发玩具A多少个？25．（10分）赛龙舟是我国传统的体育竞技项目，有着悠久的历史和广泛的群众基础．某龙舟队进行800米直道训练，全程分为启航，途中和冲刺三个阶段．图1，图2分别表示启航阶段和途中阶段龙舟划行总路程s（m）与时间t（s）的近似函数图象．启航阶段的函数表达式为s＝kt2（k≠0）；途中阶段匀速划行，函数图象为线段；冲刺阶段，龙舟先加速后匀速划行，加速期龙舟划行总路程s（m）与时间t （s）的函数表达式为s＝k（t﹣70）2+h（k≠0）．（1）求出k的值，并写出启航阶段自变量t的取值范围；（2）当t＝90s时，求该龙舟划行的总路程；（3）冲刺阶段，加速期龙舟用时1s将速度从5m/s提高到5.85m/s，之后保持匀速划行至终点．求该龙舟队完成训练总路程所需时间．26．（10分）综合与实践，问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图①，在▱ABCD中，BE⊥AD，垂足为E，F为CD的中点，连接EF，BF．独立思考：（1）试猜想EF与BF的数量关系： ；实践探究：（2）希望小组将▱ABCD沿着BF（F为CD的中点）所在直线折叠，如图②，点C的对应点为C′，连接DC′并延长交AB于点G，请判断AG与BG的数量关系，并加以证明；问题解决：（3）智慧小组突发奇想，将▱ABCD沿过点B的直线折叠，如图③，A的对应点为A'，使A ′B⊥CD于点H，折痕交AD于点M，连接A′M，交CD于点N．该小组提出一个问题：若此▱ABCD 的面积为20，边长AB＝5，，求图中阴影部分（四边形BHNM）的面积．请你解答此问题．参考答案与试题解析一、单选题（每题3分，共36分）1．（3分）中国是最早使用正负数表示具有相反意义的量的国家．如果大风车顺时针旋转66°，记作+66°，那么大风车逆时针旋转88°，记作（ ）A．﹣88°B．88°C．﹣22°D．22°【解答】解：如果大风车顺时针旋转66°，记作+66°，那么大风车逆时针旋转88°，记作﹣88°，故选：A．2．（3分）2024年的春晚节目《年锦》用东方美学风韵惊艳了观众，节目巧妙地选用了汉、唐、宋、明不同朝代寓意吉祥祝福的代表纹样，与华丽的舞美技术相融合，织出一幅跨越千载的纹样变迁图卷．下列几幅纹样是中心对称图形的是（ ）A．B．C．D．【解答】解：A、图形是中心对称图形，符合题意；B、图形不是中心对称图形，不符合题意；C、图形不是中心对称图形，不符合题意；D、图形不是中心对称图形，不符合题意，故选：A．3．（3分）2024年政府工作报告中指出：2024年城镇新增就业将达12000000人以上，将数据12000000用科学记数法表示应为（ ）A．0.12×108B．1.2×107C．12×106D．120×105【解答】解：12000000＝1.2×107．故选：B．4．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠A＝70°，则∠C的度数是（ ）A．70°B．90°C．110°D．140°【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠A+∠C＝180°，∵∠A＝70°，∴∠C＝110°，故选：C．5．（3分）如图，l1∥l2，点O在直线l2上，将三角板的直角顶点放在点O处，三角板的两条直角边分别与l1交于A，B两点，若∠1＝46°，则∠2的大小为（ ）A．34°B．44°C．46°D．54°【解答】解：∵∠1＝46°，∴∠3＝180°﹣46°﹣90°＝44°，∵l1∥l2，∴∠2＝∠3＝44°．故选：B．6．（3分）下列事件中的必然事件是（ ）A．三角形三个内角和为180°B．射击运动员射击一次，命中靶心C．天空出现九个太阳D．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯【解答】解：三角形三个内角和为180°是必然事件，所以A符合题意；射击运动员射击一次，命中靶心是随机事件，所以B不符合题意；天空出现九个太阳是不可能事件，所以C不符合题意；经过有交通信号灯的路口遇到红灯是随机事件，所以D不符合题意．故选：A．7．（3分）如图是某商场营业大厅自动扶梯的示意图．自动扶梯AB的倾斜角为37°，大厅两层之间的距离BC为6米，则自动扶梯AB的长约为（sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）（ ）A．7.5米B．8米C．9米D．10米【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6米，∵sin∠BAC＝＝sin37°≈0.6＝，∴AB≈BC＝×6＝10（米），故选：D．8．（3分）下列计算正确的是（ ）A．a2•a3＝a6B．（﹣a3）2＝﹣a6C．（2a）2＝2a2D．a3÷a2＝a【解答】解：∵a2•a3＝a5，∴此选项计算错误，故此选项不符合题意；B．∵（﹣a3）2＝a6，∴此选项计算错误，故此选项不符合题意；C．∵（2a）2＝4a2，∴此选项计算错误，故此选项不符合题意；D．∵a3÷a2＝a，∴此选项计算正确，故此选项符合题意；故选：D．9．（3分）为纪念北京奥运会成功举办，国务院批准从2009年起，将每年8月8日设置为“全民健身日”．因为为了认真发展体育运动，增强人民体质，贯彻执行《中华人民共和国体育法》，网上各种健身项目层出不穷．如图是侧抬腿运动，可以保证全身得到锻炼!已知小敏大腿根部距脚尖90cm，即OA＝90cm，当其完成图中一次动作时，脚尖划过的轨迹长度为（ ）cm．A．B．C．45πD．【解答】解；根据弧长公式L＝，n＝45°，r＝90代入公式得：L＝＝．故选：A．10．（3分）我国古代数学名著《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽”．大意是：“现请人代买一批椽，这批椽的总售价为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？”设6210文能买x株椽，则据题意可列方程为（ ）A．＝3x﹣1B．＝3（x﹣1）C．＝3x D．＝3（x﹣1）【解答】解：设6210文购买椽的数量为x株，则一株椽的价钱为，由题意得：3（x﹣1）＝，故选：B．11．（3分）如图，在∠AOB中，以点O为圆心，5为半径作弧，分别交射线OA，OB于点C，D，再分别以C，D为圆心，CO的长为半径作弧，两弧在∠AOB内部交于点E，作射线OE，若OE＝8，则C，D 两点之间的距离为（ ）A．5B．6C．D．8【解答】解：连接CE，DE，CD，设CD与OE交于点F，由作图可知，OC＝OD＝CE＝DE＝5，∴四边形OCED为菱形，∴CD⊥OE，OF＝EF＝OE＝4，CF＝DF，由勾股定理得，CF＝＝3，∴CD＝2CF＝6，即C，D两点之间的距离为6．故选：B．12．（3分）在二次函数y＝﹣x2+2x+3中，当0＜x＜3时，y的取值范围是（ ）A．0＜y＜3B．1＜y＜4C．0＜y≤4D．﹣4≤y＜0【解答】解：y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∵﹣1＜0，对称轴为x＝1，∴当x＝1时，y有最大值，最大值为4，∵3﹣1＞1﹣0，∴当x＝3时，y有最小值0，∴当0＜x＜3时，y的取值范围是0＜y≤4，故选：C．二、填空题（每题2分，共12分）13．（2分）cos60°＝ ．【解答】解：cos60°＝．故答案为：．14．（2分）因式分解：a2+3a＝　a（a+3）　．【解答】解：a2+3a＝a（a+3）．故答案为：a（a+3）．15．（2分）命题“等角的余角相等”是　真　命题．（填“真”或“假”）【解答】解：命题“等角的余角相等”是真命题．故答案为：真．16．（2分）我国人工智能市场分为“决策类人工智能”、“人工智能机器人”、“语音及语义人工智能”、“视觉人工智能”四大类型，将四个类型的图标分别制成四张卡片（卡片背面完全相同），并把四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，则抽到“视觉人工智能”的概率为 ．【解答】解：由概率的定义可知，抽到“视觉人工智能”的概率为．故答案为：．17．（2分）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，点A在反比例函数的图象上，AB⊥y轴于点B，连接OA，则△AOB的面积为　3　．【解答】解：根据题意可知：S△ABO＝|k|＝＝3，故答案为：3．18．（2分）在等腰直角三角形ABC中AC＝3，E为AC上靠近点A的三等分点．圆C半径为2，D为圆C 上一动点，连接AD，将线段AD绕点A顺时针旋转90°得到线段AD′．连接ED′，则ED′的最小值为 ．【解答】解：连接CD，BD′，BE，由题意可知，AB＝AC＝3，∠BAC＝90°，由旋转可知，AD＝AD′，∠DAD′＝90°，则∠CAD+∠BAD＝∠BAD+∠BAD′＝90°，∴∠CAD＝∠BAD′，∴△ACD≌△ABD′（SAS），∴CD＝BD′＝2，∵E为靠近点A的三等分点，∴，则，由三角形三边关系可知，（当D′在线段BE上时取等号），则ED′的最小值为，故答案为：．三、解答题（共72分）19．（6分）计算：﹣1×4+22÷（5﹣3）．【解答】解：原式＝（﹣1）×4+4÷2＝﹣4+2＝﹣2．20．（6分）先化简，再求值：（x+1）2+（2+x）（2﹣x），其中x＝1．【解答】解：（x+1）2+（2+x）（2﹣x）＝x2+2x+1+4﹣x2＝2x+5，当x＝1时，原式＝2+5＝7．21．（10分）如图在平面直角坐标系内，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（0，3），B（3，4），C（2，2）．（1）画出△ABC向左平移5个单位长度，再向下平移1个单位长度后，得到图形△A1B1C1；（2）画出△ABC关于x轴的对称图形△A2B2C2，并写出A2的坐标；（3）请在x轴上确定点P的位置，使得PA+PC最小．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；（2）如图，△A2B2C2即为所求，A2的坐标为（0，﹣3）；（3）如图，点P即为所求．22．（10分）快递业为商品走进千家万户提供了极大便利，不同的快递公司在配送速度、服务、收费和投递范围等方面各具优势．网店店主小刘打算从甲、乙两家快递公司中选择一家合作，为此，小刘收集了10家网店店主对两家快递公司的相关评价，并整理、描述、分析如下：①配送速度得分（满分10分）：甲：7，6，9，6，7，10，8，8，9，9；乙：8，8，6，7，9，7，9，8，8，9．②服务质量得分统计图（满分10分）：③配送速度和服务质量得分统计表：快递公司统计量配送速度得分服务质量得分平均数中位数众数平均数方差甲7.9m n7乙7.9887根据以上信息，回答下列问题：（1）填空：m＝　8　，n＝　9　，比较大小：s甲2　＜　s乙2（填“＞”“＝”或“＜”）；（2）综合上表中的统计量，你认为小刘应选择哪家公司？请说明理由；（3）为了从甲、乙两家公司中选出更合适的公司，你认为小刘还应收集什么信息？（列出一条即可）【解答】解：（1）将甲数据从小到大排列为：6，6，7，7，8，8，9，9，9，10，从中可以看出一共10个数据，第5个和第6个数据均为8，所以这组数据的中位数为（8+8）÷2＝8，即m＝8，其中9出现的次数最多，所以这组数据的众数为9，即n＝9，从折线统计图中可以看出，甲的服务质量得分分布于5﹣8，乙的服务质量得分分布于4﹣10，从中可以看出甲的数据波动更小，数据更稳定，即s甲2＜s乙2，故答案为：8，9，＜．（2）小刘应选择甲公司，理由如下：配送速度方面，甲乙两公司的平均分相同，中位数相同，但甲的众数高于乙公司，这说明甲在配送速度方面可能比乙公司表现的更好，服务质量方面，二者的平均相同，但甲的方差明显小于乙，说甲的服务质量更稳定，因此应该选择甲公司．（3）根据题干可知，不同的快递公司在配送速度、服务、收费和投递范围等方面各具优势，所以除了配送速度和服务质量，还应该收集两家公司的收费情况和投递范围（答案不唯一，言之有理即可）．23．（10分）如图，在△ABC中，BA＝BC，以AB为直径作⊙O，交AC于点D，连接DB，过点D作DE ⊥BC，垂足为E．（1）求证：AD＝CD；（2）求证：DE为⊙O的切线．【解答】（1）证明：∵AB为直径，∴∠ADB＝90°，∵BA＝BC，∴AD＝CD；（2）证明：连接OD，如图，∵AD＝CD，AO＝OB，∴OD为△BAC的中位线，∴OD∥BC，∴DE⊥BC，∴OD⊥DE，∵OD是半径，∴DE为⊙O的切线．24．（10分）2022年北京冬奥会和冬残奥会的吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”深受大家的喜爱．奥林匹克官方旗舰店有出售“冰墩墩”和“雪容融”的手办玩具和摆件，玩具A和摆件B是其中的两款产品，玩具A和摆件B的批发价和零售价格如下表所示．名称玩具A摆件B批发价（元/个）6050零售价（元/个）8060（1）若该旗舰店批发玩具A和摆件B一共100个，用去5650元钱，求玩具A和摆件B各批发了多少个？（2）若该旗舰店仍然批发玩具A和摆件B一共100个（批发价和零售价不变），要使得批发的玩具A 和摆件B全部售完后，所获利润不低于1400元，该旗舰店至少批发玩具A多少个？【解答】解：（1）设批发x个玩具A，y个摆件B，根据题意得：，解得：，即玩具A批发了65个，摆件B批发了35个；（2）设至少批发m个玩具A，则批发了（100﹣m）个摆件B，根据题意得：（80﹣60）m+（60﹣50）（100﹣m）≥1400，解得：x≥40，即至少批发40个玩具A．25．（10分）赛龙舟是我国传统的体育竞技项目，有着悠久的历史和广泛的群众基础．某龙舟队进行800米直道训练，全程分为启航，途中和冲刺三个阶段．图1，图2分别表示启航阶段和途中阶段龙舟划行总路程s（m）与时间t（s）的近似函数图象．启航阶段的函数表达式为s＝kt2（k≠0）；途中阶段匀速划行，函数图象为线段；冲刺阶段，龙舟先加速后匀速划行，加速期龙舟划行总路程s（m）与时间t （s）的函数表达式为s＝k（t﹣70）2+h（k≠0）．（1）求出k的值，并写出启航阶段自变量t的取值范围；（2）当t＝90s时，求该龙舟划行的总路程；（3）冲刺阶段，加速期龙舟用时1s将速度从5m/s提高到5.85m/s，之后保持匀速划行至终点．求该龙舟队完成训练总路程所需时间．【解答】解：（1）由题意，把A（20，50）代入s＝kt2得50＝400k，∴k＝．又由函数图象可得，0＜t≤20．（2）由题意，设s＝5t+b，把（20，50）代入，得50＝5×20+b，∴b＝﹣50．∴s＝5t﹣50．当t＝90时，s＝450﹣50＝400．∴当t＝90s时，龙舟划行的总路程为400m．（3）加速期：由（1）可知k＝，把（90，400）代入s＝（t−70）2+h，∴h＝350．∴函数表达式为s＝（t−70）2+350．把t＝91代入s＝（t−70）2+350，∴s＝405.125．∴（800﹣405.125）÷5.85＝67.5（s）．∴90+1+67.5＝158.5（s）．答：该龙舟队完成训练所需时间为158.5s．26．（10分）综合与实践，问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图①，在▱ABCD中，BE⊥AD，垂足为E，F为CD的中点，连接EF，BF．独立思考：（1）试猜想EF与BF的数量关系：　EF＝BF　；实践探究：（2）希望小组将▱ABCD沿着BF（F为CD的中点）所在直线折叠，如图②，点C的对应点为C′，连接DC′并延长交AB于点G，请判断AG与BG的数量关系，并加以证明；问题解决：（3）智慧小组突发奇想，将▱ABCD沿过点B的直线折叠，如图③，A的对应点为A'，使A ′B⊥CD于点H，折痕交AD于点M，连接A′M，交CD于点N．该小组提出一个问题：若此▱ABCD 的面积为20，边长AB＝5，，求图中阴影部分（四边形BHNM）的面积．请你解答此问题．【解答】解：（1）结论：EF＝BF．理由：如图①中，作FH∥AD交BE于H．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∵FH∥AD，∴DE∥FH∥CB，∵DF＝CF，∴＝＝1，∴EH＝HB，∵BE⊥AD，FH∥AD，∴FH⊥EB，∴EF＝BF．解法二：分别延长AD，BF相交于点M，类似于倍长中线法，直角三角形斜边中线性质解决问题．（2）结论：AG＝BG．理由：如图②中，连接CC′．∵△BFC′是由△BFC翻折得到，∴BF⊥CC′，FC＝FC′，∵DF＝FC，∴DF＝FC＝FC′，∴∠CC′D＝90°，∴CC′⊥GD，∴DG∥BF，∵DF∥BG，∴四边形DFBG是平行四边形，∴DF＝BG，∵AB＝CD，DF＝CD，∴BG＝AB，∴AG＝GB．（3）如图③中，过点D作DJ⊥AB于J，过点M作MT⊥AB于T．∵S平行四边形ABCD＝AB•DJ，∴DJ＝＝4，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC＝2，AB∥CD，∴AJ＝＝＝2，∵A′B⊥AB，DJ⊥AB，∴∠DJB＝∠JBH＝∠DHB＝90°，∴四边形DJBH是矩形，∴BH＝DJ＝4，∴A′H＝A′B﹣BH＝5﹣4＝1，∵tan A＝＝＝2，设AT＝x，则MT＝2x，∵∠ABM＝∠MBA′＝45°，∴MT＝TB＝2x，∴3x＝5，∴x＝，∴MT＝，∵tan A＝tan A′＝＝2，∴NH＝2，∴S△ABM＝S△A′BM＝×5×＝，∴S四边形BHNM＝S△A′BM﹣S△NHA′＝﹣×1×2＝．。

云南中考模拟考试数学试卷一、选择题：1. 下列哪个函数是奇函数？A) y = x^2B) y = x^3C) y = sin(x)D) y = cos(x)2. 解方程组：2x + 3y = 104x + 6y = 20的解为：A) x = 2, y = 2B) x = 1, y = 2C) x = 2, y = 1D) x = 1, y = 13. 函数y = 2^x 的图像关于x 轴对称，则函数y = 2^-x 的图像关于哪个轴对称？A) x 轴B) y 轴C) 原点D) 斜对角线4. 已知直角三角形的斜边长为10，其中一个直角边长为6，则另一个直角边长为：A) 4B) 8C) 9D) 125. 若loga b = 2，loga c = -1，则logb c 的值为：A) -3B) -2C) 1/3D) 3二、填空题：1. 解方程组：x + y = 5，2x - y = 3，得到的解为_______ 。

2. 已知三角形ABC，角A的余弦值为1/2，角B的正弦值为3/5，则角C的正切值为_______ 。

3. 若函数f(x) = 3x - 2 在区间[a, b] 上的最大值为5，则a + b 的值为_______ 。

4. 解方程|2x - 3| = 5，得到的解为_______ 。

5. 用两个整数表示的分数，其和为2，其积为1，则这两个整数分别为_______ 和_______ 。

三、应用题：1. 某球队的篮球比赛共赢得了80%的比赛，如果该球队共打了25场比赛，请计算它赢得了多少场比赛。

2. 某物体在水平放置的平地上从静止开始做匀减速直线运动，经过5秒后它的速度减小到原来的1/4。

求物体的加速度和初速度。

3. 一架飞机垂直上升到海拔2000米时消耗的燃油量为1500升，若海拔每上升1000米，则消耗的燃油量增加200升。

求海拔每上升1000米所消耗的平均燃油量。

4. 某公司生产一种产品，生产成本为每件200元，每件产品售价为300元。

一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列各数中，有理数是（）A. √16B. √-9C. πD. 2/32. 若a=3，b=-5，则a²+b²的值为（）A. 14B. 16C. 9D. 253. 已知等腰三角形ABC中，AB=AC，AD为底边BC上的高，则∠BAD的度数是（）A. 45°B. 60°C. 90°D. 30°4. 在直角坐标系中，点P（-2，3）关于原点的对称点坐标是（）A. （-2，-3）B. （2，3）C. （2，-3）D. （-2，-3）5. 下列函数中，是反比例函数的是（）A. y=2x+1B. y=x²C. y=1/xD. y=3x6. 若等差数列{an}中，a₁=3，d=2，则第10项a₁₀是（）A. 19B. 21C. 23D. 257. 已知一元二次方程x²-5x+6=0，其解为（）A. x₁=2，x₂=3B. x₁=3，x₂=2C. x₁=1，x₂=6D. x₁=6，x₂=18. 在△ABC中，若∠A=30°，∠B=45°，则∠C的度数是（）A. 105°B. 75°C. 60°D. 45°9. 若函数y=kx+b（k≠0）的图象经过第一、二、四象限，则k和b的取值范围是（）A. k>0，b>0B. k>0，b<0C. k<0，b>0D. k<0，b<010. 下列命题中，正确的是（）A. 等腰三角形的底角相等B. 直角三角形的两条直角边相等C. 等边三角形的三个角都是直角D. 等腰梯形的对角线相等二、填空题（每题3分，共30分）11. 若a=2，b=-3，则a²+b²的值为______。

12. 已知等腰三角形ABC中，AB=AC，AD为底边BC上的高，则∠BAC的度数是______。

数学中考综合模拟检测试题学校________ 班级________ 姓名________ 成绩________一、选择题：(本大题共10个小题,每小题3分,共30分)1. 3-的倒数是( )A. B. 13C.13- D. 3-2. 在函数y=1x-中，x的取值范围是()A. x≥1B. x≤1C. x≠1D. x＜03. 下列运算正确的是( )A. x3·x3=2x6B. (－2x2)2=－4x4C. (x3)2=x6D. x5÷x=x54. 下列图形中，既轴对称图形又是中心对称图形有()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个5. 下列各式中，计算正确的是( )A. －2－3＝－1B. -2m²+m²=-m²C. 3÷5445⨯＝3÷1＝3 D. 3a+b=3a6. 一组数据2，x，4，3，3的平均数是3，则这组数据的中位数、众数、方差分别是( )A. 3，3，0.4B. 2，3，2C. 3，2，0.4D. 3，3，27. 某商品原价100元，连续两次涨价x%后售价为120元，下面所列方程正确是( )A. 100(1+2x%)2=120B. 100(1+x2)2=120C. 100(1-x%)2=120D. 100(1+x%)2=1208. 命题：①对顶角相等;②相等的角是对顶角;③在同一平面，垂直于同一条直线的两条直线平行;④平行于同一条直线的两条直线垂直．其中真命题有A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个9. 如图，菱形ABCD的边AB=20，面积为320，∠BAD＜90°，⊙O与边AB，AD都相切，AO=10，则⊙O的半径长等于( )A. 5B. 6C. 2D. 310. 如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点D是BC的中点，将△ABD沿AD翻折得到△AED，连CE，则线段CE的长等于()A. 2B. 54C.53D.75二、填空题(共8小题;共24分)11. 计算(2+1)(2-1)的结果为_____．12. 分解因式：2a2﹣8b2=________．13. 已知某水库容量约为112000立方米，将112000用科学记数法表示为．14. 如图是我市某连续7天的最高气温与最低气温的变化图，根据图中信息可知，这7天中最大的日温差是℃．15. 如图，在平面直角坐标系中，函数y=kx(x＞0，常数k＞0)的图象经过点A(1，2)，B(m，n)，(m＞1)，过点B作y轴的垂线，垂足为C．若△ABC的面积为2，则点B的坐标为____________．16. 已知圆锥的母线长为8cm，底面圆的半径为3cm，则圆锥的侧面展开图的面积是cm2．17. 如图，在矩形ABCD 中，AB=5，BC=103，一圆弧过点B 和点C ，且与AD 相切，则图中阴影部分面积________．18. 如图，在四边形ABCD 中，AB=AD=6，AB ⊥BC ，AD ⊥CD ，∠BAD=60°，点M 、N 分别在AB 、AD 边上，若AM ：MB=AN ：ND=1：2．则 cos ∠MCN=________．三、解答题(共9小题;共72分)19. 计算：(1)|﹣6|+(﹣2)3+(7)0;(2)(a+b)(a ﹣b)﹣a(a ﹣b)20. (1)解分式方程： 2216124x x x --=+- (2)先化简，再求值： 222111x x x x x ++---，其中x 满足不等式组 1030x x -≥⎧⎨-<⎩且x 整数． 21. 已知：如图，在平行四边形ABCD 中，E 为BC 中点，AE 的延长线与DC 的延长线相交于点F ．求证：DC=CF ．22. 萧山北干初中组织外国教师(外教)进班上英语课，王明同学为了解全校学生对外教的喜爱程度，在全校随机抽取了若干名学生进行问卷调查．问卷将喜爱程度分为A(非常喜欢)、B(喜欢)、C(不太喜欢)、D(很不喜欢)四种类型，根据调查结果绘制成了两幅不完整的统计图，请结合统计图信息解答下列问题：(1)这次调查中，一共调查了名学生，图1中C类所对应的圆心角度数为 ;(2)请补全条形统计图;(3)在非常喜欢外教的5位同学(三男两女)中任意抽取两位同学作为交换生，请用列表法或画树状图求出恰好抽到一名男生和一名女生作为交换生的概率．23. 如图，已知等边△ABC，请用直尺(不带刻度)和圆规，按下列要求作图(不要求写作法，但要保留作图痕迹)：(1)作△ABC的外心O;(2)设D是AB边上一点，在图中作出一个正六边形DEFGHI，使点F，点H分别在边BC和AC上．24. 小明所在的学校加强学生的体育锻炼，准备从某体育用品商店一次购买若干个足球和篮球(每个足球的价格相同，每个篮球的价格相同)，若购买2个篮球和3个足球共需310元，购买5个篮球和2个足球共需500元．(1)每个篮球和足球各需多少元?(2)根据实际情况，需从该商店一次性购买篮球和足球功60个，要求购买篮球和足球的总费用不超过4000元，那么最多可以购买多少个篮球?25. (2011贵州安顺，23，10分)如图，已知反比例函数图像经过第二象限内的点A(－1，m)，AB⊥x轴于点B，△AOB的面积为2．若直线y=ax+b经过点A，并且经过反比例函数的图象上另一点C(n，一2)．⑴求直线y=ax+b的解析式;⑵设直线y=ax+b与x轴交于点M，求AM的长．26. 如图，在矩形ABCD中，点O在对角线AC上，以OA的长为半径的圆O与AD、AC分别交于点E、F，且∠ACB=∠DCE．(1)判断直线CE与⊙O的位置关系，并证明你的结论;(2)若tan∠ACB=22，BC=2，求⊙O的半径．27. 已知：如图，在平行四边形ABCD中，AC为对角线，E是边AD上一点，BE⊥AC交AC于点F，BE、CD的延长线交于点G，且∠ABE＝∠CAD．(1)求证：四边形ABCD是矩形;(2)如果AE＝EG，求证：AC2＝BC•BG．答案与解析一、选择题：(本大题共10个小题,每小题3分,共30分)1. 3-的倒数是( )A. B. 13 C. 13- D. 3- 【答案】C【解析】【分析】由互为倒数的两数之积为1，即可求解． 【详解】∵1313⎛⎫-⨯-= ⎪⎝⎭，∴3-的倒数是13-.故选C2. 在函数中，x 的取值范围是( )A. x≥1B. x≤1C. x≠1D. x ＜0【答案】A【解析】分析：要使二次根式有意义，则必须满足二次根式的被开方数为非负数．详解：根据题意可得：x －1≥0， 解得：x≥1， 故选A ．点睛：本题主要考查的是二次根式的性质，属于基础题型．明确二次根式的性质是解决这个问题的关键． 3. 下列运算正确的是( )A. x 3·x 3=2x 6B. (－2x 2)2=－4x 4C. (x 3)2=x 6D. x 5÷x =x 5 【答案】C【解析】试题分析：A.333+36x x =x =x ⋅,故A 错误;B.()()()222224-2x =-2x =4x ⋅,故B 错误;C.()23326x =x =x ⨯,故C 正确;D.55-14x x=x =x ÷,故D 错误.考点：幂的运算4. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形有 ( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】B【解析】【分析】 中心对称图形的定义：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180°，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形;轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．【详解】解： 只有图2和图3既是轴对称又是中心对称图形．故，选B【点睛】本题考查中心对称图形和轴对称图形，本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握中心对称图形和轴对称图形的定义，即可完成．5. 下列各式中，计算正确的是( )A. －2－3＝－1B. -2m²+m²=-m²C. 3÷5445⨯＝3÷1＝3 D. 3a+b=3a 【答案】B【解析】分析：根据有理数的计算法则以及合并同类项的法则即可得出正确答案．详解：A 、－2－3=－5，故错误;B 、原式=2m -，故正确;C 、原式=444835525⨯⨯=，故错误;D 、不是同类项，无法进行加法计算， 故本题选B ．点睛：本题主要考查的是有理数的计算法则和合并同类项的法则，属于基础题型．明确计算法则是解决这个问题的关键．6. 一组数据2，x ，4，3，3的平均数是3，则这组数据的中位数、众数、方差分别是( )A. 3，3，0.4B. 2，3，2C. 3，2，0.4D. 3，3，2 【答案】A【解析】 试题分析：依题意得：1(2433)35x ++++=，解得：x ＝3，把原数据由小到大排列为：2，3，3，3，4，所以中位数为3，众数为3，方差为：15(1＋0＋1＋0＋0)＝0.4，故答案选A.考点：中位数;众数;方差.7. 某商品原价100元，连续两次涨价x%后售价为120元，下面所列方程正确是( )A. 100(1+2x%)2=120B. 100(1+x 2)2=120C. 100(1-x%)2=120D. 100(1+x%)2=120【答案】D【解析】分析：根据涨价前的价格×(1+涨价率)涨价次数=涨价后的数量得出方程．详解：根据题意可得：()21001x%120+=，故选D ．点睛：本题主要考查的是一元二次方程的应用，属于基础题型．根据题意得出等量关系是解决这个问题的关键．8. 命题：①对顶角相等;②相等角是对顶角;③在同一平面，垂直于同一条直线的两条直线平行;④平行于同一条直线的两条直线垂直．其中真命题有A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个 【答案】B【解析】试题分析：①③正确;②相等的角不一定就是对顶角，也有可能是内错角、同位角等，④平行于同一条直线的两条直线互相平行考点：概念的掌握点评：本题难度不大，考查的是学生对于知识概念的一些掌握程度9. 如图，菱形ABCD 的边AB=20，面积为320，∠BAD ＜90°，⊙O 与边AB ，AD 都相切，AO=10，则⊙O 的半径长等于( )A. 5B. 6C. 2D. 3【答案】C【解析】 【详解】试题解析：如图作DH ⊥AB 于H ，连接BD ，延长AO 交BD 于E ．∵菱形ABCD 的边AB=20，面积为320，∴AB•DH=32O ，∴DH=16，在Rt △ADH 中，AH=22AD DH -=12， ∴HB=AB ﹣AH=8，在Rt △BDH 中，BD=2285+=DH BH ，设⊙O 与AB 相切于F ，连接AF ．∵AD=AB ，OA 平分∠DAB ，∴AE ⊥BD ，∵∠OAF+∠ABE=90°，∠ABE+∠BDH=90°，∴∠OAF=∠BDH ，∵∠AFO=∠DHB=90°，∴△AOF ∽△DBH ，∴=OA OF BD BH， ∴100885=F ， ∴OF=25．故选C ．考点：1.切线的性质;2.菱形的性质．10. 如图，△ABC 中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点D 是BC 的中点，将△ABD 沿AD 翻折得到△AED ，连CE ，则线段CE 的长等于( )A. 2B. 54C. 53D. 75【答案】D【解析】【分析】如图连接BE交AD于O，作AH⊥BC于H．首先证明AD垂直平分线段BE，△BCE是直角三角形，求出BC、BE，在Rt△BCE中，利用勾股定理即可解决问题．【详解】如图连接BE交AD于O，作AH⊥BC于H．在Rt△ABC中，∵AC=4，AB=3，∴2234+，∵CD=DB，∴AD=DC=DB=52，∵12•BC•AH=12•AB•AC，∴AH=125，∵AE=AB，DE=DB=DC，∴AD垂直平分线段BE，△BCE是直角三角形，∵12•AD•BO=12•BD•AH，∴OB=125，∴BE=2OB=245，在Rt△BCE中，2222247555 BC BE⎛⎫-=-=⎪⎝⎭.故选D．点睛：本题考查翻折变换、直角三角形的斜边中线的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用面积法求高，属于中考常考题型．二、填空题(共8小题;共24分)11. 计算22-1)的结果为_____．【答案】1【解析】利用平方差公式进行计算即可. 【详解】原式=(2)2﹣1 =2﹣1 =1， 故答案为1．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，在进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式． 12. 分解因式：2a 2﹣8b 2=________． 【答案】2(2)(2)a b a b -+ 【解析】 【分析】先提取公因式2，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解即可． 【详解】2a 2﹣8b 2=2(a 2﹣4b 2)=2(a +2b )(a ﹣2b )． 故答案为2(a +2b )(a ﹣2b )．【点睛】本题考查了提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式，熟记公式是解题的关键，难点在于要进行二次分解因式．13. 已知某水库容量约为112000立方米，将112000用科学记数法表示为 ． 【答案】1.12×105． 【解析】试题分析：科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数且为这个数的整数位数减1，,由于112000亿有6位，所以可以确定n=6﹣1=5．即112000=1.12×105． 考点：科学记数法.14. 如图是我市某连续7天的最高气温与最低气温的变化图，根据图中信息可知，这7天中最大的日温差是 ℃．【答案】11.试题解析：∵由折线统计图可知，周一的日温差=8℃+1℃=9℃;周二的日温差=7℃+1℃=8℃;周三的日温差=8℃+1℃=9℃;周四的日温差=9℃;周五的日温差=13℃﹣5℃=8℃;周六的日温差=15℃﹣71℃=8℃;周日的日温差=16℃﹣5℃=11℃，∴这7天中最大的日温差是11℃． 考点：1.有理数大小比较;2.有理数的减法． 15. 如图，在平面直角坐标系中，函数y=kx(x ＞0，常数k ＞0)的图象经过点A (1，2)，B (m ，n )，(m ＞1)，过点B 作y 轴的垂线，垂足为C ．若△ABC 的面积为2，则点B 的坐标为____________．【答案】1(4,)2B 【解析】考点：反比例函数综合题． 分析：由于函数ky x(x ＞0常数k ＞0)的图象经过点A(1，2)，把(1，2)代入解析式即可确定k=2，依题意BC=m ，BC 边上的高是2-n="2-"2m，根据三角形的面积公式得到关于m 的方程，解方程即可求出m ，然后把m 的值代入y=2x，即可求得B 的纵坐标，最后就求出点B 的坐标． 解：∵函数y=kx(x ＞0常数k ＞0)的图象经过点A(1，2)， ∴把(1，2)代入解析式得2=1k ， ∴k=2，∵B(m ，n)(m ＞1)， ∴BC=m ，当x=m 时，n=2m，∴BC边上的高是2-n=2-2m，而S△ABC=12m(2-2m)=2，∴m=3，∴把m=3代入y=2x，∴n=23，∴点B的坐标是(3，23)．故填空答案：(3，23 )．16. 已知圆锥的母线长为8cm，底面圆的半径为3cm，则圆锥的侧面展开图的面积是cm2．【答案】24π．【解析】底面半径为3cm，则底面周长=6πcm，侧面面积=12×6π×8=24πcm2．17. 如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=103，一圆弧过点B和点C，且与AD相切，则图中阴影部分面积为________．【答案】753﹣100 3【解析】设圆弧圆心为O，与AD切于E，连接OE交BC于F，连接OB、OC，设圆的半径为x，则OF=x-5，由勾股定理得，OB2=OF2+BF2，即x 2=(x-5)2+(53 )2解得，x=10， 则∠BOF=60°，∠BOC=120°， 则阴影部分面积为：矩形ABCD 的面积-(扇形BOCE 的面积-△BOC 的面积)2120101103510353602π⨯⨯=⨯-+⨯⨯1007533π=-故答案是：1007533π-. 18. 如图，在四边形ABCD 中，AB=AD=6，AB ⊥BC ，AD ⊥CD ，∠BAD=60°，点M 、N 分别在AB 、AD 边上，若AM ：MB=AN ：ND=1：2．则 cos ∠MCN=________．【答案】1314【解析】 【分析】连接AC ，通过三角形全等，求得∠BAC=30°，从而求得BC 的长，然后根据勾股定理求得CM 的长，连接MN ，过M 点作ME ⊥CN 于E ，则△MNA 是等边三角形求得MN=2，设NE=x ，表示出CE ，根据勾股定理即可求得ME ，然后求得tan ∠MCN ．【详解】∵AB=AD=6，AM ：MB=AN ：ND=1：2， ∴AM=AN=2，BM=DN=4， 连接MN ，连接AC ，∵AB ⊥BC ，AD ⊥CD ，∠BAD=60° 在Rt △ABC 与Rt △ADC 中，AB ADAC AC =⎧⎨=⎩， ∴Rt △ABC ≌Rt △ADC (HL ) ∴∠BAC=∠DAC=12∠BAD=30°，MC=NC ， ∴BC=12AC ， ∴AC 2=BC 2+AB 2，即(2BC )2=BC 2+AB 2， 3BC 2=AB 2， ∴BC=23，在Rt △BMC 中，CM=22224(23)27BM BC +=+=∵AN=AM ，∠MAN=60°， ∴△MAN 是等边三角形， ∴MN=AM=AN=2，过M 点作ME ⊥CN 于E ，设NE=x ，则CE=27-x ，∴MN 2-NE 2=MC 2-EC 2，即4-x 2=(7)2-(7-x )2， 解得：7， ∴7-7137 ∴223217MN NE -=，∴cos ∠MCN=1377131427CECM==.考点：1.全等三角形的判定与性质;2.三角形的面积;3.角平分线的性质;4.含30度角的直角三角形;勾股定理．三、解答题(共9小题;共72分)19. 计算：(1)|﹣6|+(﹣2)37)0; (2)(a+b)(a ﹣b)﹣a(a ﹣b) 【答案】(1)-1;(2)ab ﹣b 2．【解析】分析：(1)、根据绝对值、立方和零次幂的计算法则得出各式的值，然后进行求和得出答案;(2)、根据平方差公式和多项式的乘法计算法则将括号去掉，然后进行合并同类项． 详解：(1)、原式=6﹣8+1=﹣1; (2)、原式=a 2﹣b 2﹣a 2+ab=ab ﹣b 2．点睛：本题主要考查的是实数的计算以及整式的乘法，属于基础题型．在去括号的时候，如果括号前面为负号，则去掉括号后括号里面的每一项都要变号． 20. (1)解分式方程：2216124x x x --=+- (2)先化简，再求值： 222111x x xx x ++---，其中x 满足不等式组 1030x x -≥⎧⎨-<⎩且x 为整数． 【答案】(1) 原方程无解;(2)11x -,1. 【解析】分析：(1)、首先进行去分母将分式方程转化为整式方程，从而求出整式方程的解，然后对解进行检验，看是否使分式的分母为零;(2)、将分式进行通分，然后根据减法的计算法则将分式进行化简;求出不等式组的解，然后选择出合适的x 的值代入化简后的分式进行计算得出答案． 详解：(1)、解：去分母得： ， 解方程得：检验：当 时，∴是原方程增根， ∴ 原方程无解(2)、解：==解不等式组得： 1≤x ＜3 .∵x 为整数， ∴x ＝1或x ＝2. 当x ＝1时，原式无意义， ∴ 当x ＝2时，原式=1.点睛：本题主要考查的是分式的化简和解分式方程，属于基础题型．求出分式的公分母是解题的前提条件． 21. 已知：如图，在平行四边形ABCD 中，E 为BC 中点，AE 的延长线与DC 的延长线相交于点F ．求证：DC=CF ．【答案】见解析 【解析】分析：根据平行四边形的性质、中点的性质以及对顶角证明出△ABE和△FCE全等，从而得出AB=CF，根据平行四边形的性质得出AB=CD，从而得出答案．详解：证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，AB=CD，∴∠DFA=∠FAB;∵E为BC中点，∴EC=EB，∴在△ABE与△FCE中，，∴△ABE≌△FCE(AAS)，∴AB=CF，∴DC=CF．点睛：本题主要考查的是平行四边形的性质以及三角形全等的证明，属于基础题型．证明出三角形全等是解题的关键．22. 萧山北干初中组织外国教师(外教)进班上英语课，王明同学为了解全校学生对外教的喜爱程度，在全校随机抽取了若干名学生进行问卷调查．问卷将喜爱程度分为A(非常喜欢)、B(喜欢)、C(不太喜欢)、D(很不喜欢)四种类型，根据调查结果绘制成了两幅不完整的统计图，请结合统计图信息解答下列问题：(1)这次调查中，一共调查了名学生，图1中C类所对应的圆心角度数为 ;(2)请补全条形统计图;(3)在非常喜欢外教5位同学(三男两女)中任意抽取两位同学作为交换生，请用列表法或画树状图求出恰好抽到一名男生和一名女生作为交换生的概率．【答案】(1)40;54°;(2)补全条形统计图见解析;(3)树状图或列表见解析，P(一男一女)=3 5【解析】试题分析：(1)通过D类型有4人占比10%即可得到调查的人数;然后根据条形图得到C类的人数，通过占比求得相应圆心角的度数;(2)用调查的总人数减去A、B、D类的人数得到C类的人数，补全图形即可;(3)通过列表法即可求得概率.试题解析：(1)一共调查了4÷10%=40人，40-8-22-4=6，360°×640=54°，故填：40;54°;(2)补全条形统计图，如图所示：(3)列表：男1 男2 男3 女1 女2 男1 √√男2 √√男3 √√女1 √√√女2 √√√所有等可能的情况有20种情况，其中一男一女的情况有12种，则P(一男一女)=35．23.如图，已知等边△ABC，请用直尺(不带刻度)和圆规，按下列要求作图(不要求写作法，但要保留作图痕迹)：(1)作△ABC的外心O;(2)设D是AB边上一点，在图中作出一个正六边形DEFGHI，使点F，点H分别在边BC和AC上．【答案】(1)作图见解析;(2)作图见解析.【解析】试题分析：(1)根据垂直平分线的作法作出AB，AC的垂直平分线交于点O即为所求;(2)过D点作DI∥BC交AC于I，分别以D，I为圆心，DI长为半径作圆弧交AB于E，交AC于H，过E点作EF∥AC交BC于F，过H点作HG∥AB交BC于G，六边形DEFGHI即为所求正六边形．试题解析：(1)如图所示：点O即为所求．(2)如图所示：六边形DEFGHI即为所求正六边形．考点：1.作图—复杂作图;2.等边三角形的性质;3.三角形的外接圆与外心．24. 小明所在的学校加强学生的体育锻炼，准备从某体育用品商店一次购买若干个足球和篮球(每个足球的价格相同，每个篮球的价格相同)，若购买2个篮球和3个足球共需310元，购买5个篮球和2个足球共需500元．(1)每个篮球和足球各需多少元?(2)根据实际情况，需从该商店一次性购买篮球和足球功60个，要求购买篮球和足球的总费用不超过4000元，那么最多可以购买多少个篮球?【答案】(1)每个篮球80元，每个足球50元;(2)最多可以买33个篮球．【解析】试题分析：(1)设每个篮球x元，每个足球y元，根据买2个篮球和3个足球共需310元，购买5个篮球和2个足球共需500元，列出方程组，求解即可;(2)设买m个篮球，则购买(60-m)个足球，根据总价钱不超过4000元，列不等式求出x的最大整数解即可．试题解析：(1)设每个篮球x元，每个足球y元，由题意得，23310 {52500 x yx y+-+=，解得：80 {50xy==，答：每个篮球80元，每个足球50元; (2)设买m个篮球，则购买(60-m)个足球，由题意得，80，m+50(60-m)≤4000，解得：m≤3313，∵m为整数，∴m最大取33，答：最多可以买33个篮球．考点：1.一元一次不等式的应用;2.二元一次方程组的应用．25. (2011贵州安顺，23，10分)如图，已知反比例函数的图像经过第二象限内的点A(－1，m)，AB⊥x 轴于点B，△AOB的面积为2．若直线y=ax+b经过点A，并且经过反比例函数的图象上另一点C(n，一2)．⑴求直线y=ax+b的解析式;⑵设直线y=ax+b与x轴交于点M，求AM的长．【答案】(1)∵点A(-1，m)在第二象限内，∴AB = m，OB = 1，∴即：，解得，∴A (-1,4)，∵点A (-1,4)，在反比例函数的图像上，∴4 =，解得，∵反比例函数为，又∵反比例函数的图像经过C(n，)∴，解得，∴C (2,-2)，∵直线过点A (-14)，C (2,-2)∴解方程组得 ∴直线的解析式为; (2)当y = 0时，即解得，即点M (1，0) 在中，∵AB = 4，BM = BO +OM =" 1+1" = 2，由勾股定理得AM =． 【解析】试题分析：(1)根据点A 的横坐标与△AOB 的面积求出AB 的长度，从而得到点A 的坐标，然后利用待定系数法求出反比例函数解析式，再利用反比例函数解析式求出点C 的坐标，根据点A 与点C 的坐标利用待定系数法即可求出直线y=ax+b 的解析式;(2)根据直线y=ax+b 的解析式，取y=0，求出对应的x 的值，得到点M 的坐标，然后求出BM 的长度，在△ABM 中利用勾股定理即可求出AM 的长度．试题解析：(1)∵点A(-1，m )在第二象限内，∴AB=m ，OB=1，∴S △ABO =12AB•BO=2， 即：12×m×1=2， 解得m=4，∴A (-1，4)，∵点A (-1，4)，在反比例函数y ＝k x 的图象上， ∴4=1k ， 解得k=-4，∴反比例函数为y=-4x又∵反比例函数y=-4x的图象经过C(n ，-2) ∴-2=4-n ， 解得n=2，∴C (2，-2)，∵直线y=ax+b 过点A (-1，4)，C (2，-2)∴4{22a b a b-+-+＝＝， 解方程组得2{2a b -＝＝， ∴直线y=ax+b 的解析式为y=-2x+2;(2)当y=0时，即-2x+2=0，解得x=1，∴点M 的坐标是M(1，0)，在Rt △ABM 中，∵AB=4，BM=BO+OM=1+1=2，由勾股定理得AM=2222=42=25AB BM ++．26. 如图，在矩形ABCD 中，点O 在对角线AC 上，以OA 的长为半径的圆O 与AD 、AC 分别交于点E 、F ，且∠ACB =∠DCE ．(1)判断直线CE 与⊙O 的位置关系，并证明你的结论;(2)若tan ∠ACB 2，BC =2，求⊙O 的半径． 【答案】(1)相切(2)64【解析】【分析】(1)连接OE ．欲证直线CE 与⊙O 相切，只需证明∠CEO =90°，即OE ⊥CE 即可;(2)在直角三角形ABC 中，根据三角函数的定义可以求得AB 2，然后根据勾股定理求得AC 6同理知DE =1;在Rt △COE 中，利用勾股定理可以求得CO 2=OE 2+CE 2，即6-r) 2=r 2+3，从而易得r 的值;【详解】解：(1)直线CE与⊙O相切理由如下：∵四边形ABCD是矩形，∴BC∥AD，∠ACB=∠DAC;又∵∠ACB=∠DCE，∴∠DAC=∠DCE;连接OE，则∠DAC=∠AEO=∠DCE;∵∠DCE+∠DEC=90°∴∠AEO+∠DEC=90°∴∠OEC=90°，即OE⊥CE．又OE是⊙O的半径，∴直线CE与⊙O相切．(2)∵tan∠ACB=22ABBC=，BC=2，∴AB=BC•tan∠ACB2，∴AC6;又∵∠ACB=∠DCE，∴tan∠DCE=tan∠ACB 2，∴DE=DC•tan∠DCE=1;在Rt△CDE中，CE223CD DE+=连接OE，设⊙O的半径为r，则在Rt△COE中，CO2=OE2+CE2，即6-r) 2=r2+3解得：r=6 427. 已知：如图，在平行四边形ABCD中，AC为对角线，E是边AD上一点，BE⊥AC交AC于点F，BE、CD的延长线交于点G，且∠ABE＝∠CAD．(1)求证：四边形ABCD是矩形;(2)如果AE＝EG，求证：AC2＝BC•BG．【答案】(1)见解析;(2)见解析.【解析】【详解】分析：(1)、因为四边形ABCD是平行四边形，所以只要证明∠BAD=90°，即可得到四边形ABCD 是矩形;(2)、连接AG，由平行四边形的性质和矩形的性质以及结合已知条件可证明△BCG∽△ABC，再由相似三角形的性质：对应边的比值相等即可证明AC2=BC•BG．详解：(1)、解：证明：∵BE⊥AC，∴∠AFB=90°．∴∠ABE+∠BAF=90°．∵∠ABE=∠CAD．∴∠CAD+∠BAF=90°．即∠BAD=90°．∵四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是矩形;(2)、解：连接AG．∵AE=EG，∴∠EAG=∠EGA，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，∴∠ABG=∠BGC，∴∠CAD=∠BGC，∴∠AGC=∠GAC，∴CA=CG，∵AD∥BC，∴∠CAD=∠ACB，∴∠ACB=∠BGC，∵四边形ABCD是矩形，∴∠BCG=90°，∴∠BCG=∠ABC，∴△BCG∽△ABC，∴AC BCBG CG，∴AC2=BC•BG．点睛：本题考查了平行四边形的性质、矩形的判断和性质、等腰三角形的判断和性质以及相似三角形的判断和性质，题目的综合性较强，难度中等，熟记相似三角形的各种判断方法是解题的关键．。

一、选择题(每小题3分,共30分)1．下列各数中比3大比4小的无理数是( )A B C ．3.1 D ．1032．国产科幻电影《流浪地球》上映17日,票房收入突破40亿人民币,将40亿用科学记数法表示为( ) A.84010⨯B.9410⨯C.104010⨯D.110.410⨯3．如图是由四个相同的小正方形组成的立体图形,它的俯视图为( )A ．B ．C ．D ．4．下列运算正确的是( ) A.5510a aaB.76a a aC.326a a aD.236aa5. 关于x 的一元二次方程220x x m -+=无实数根,则实数m 的取值范围是( ) A.m ＜1B.m ≥1C.m ≤1D.m ＞16. 如图,在△ABC 中,AB ＝AC,∠A ＝30°,直线a ∥b,顶点C 在直线b 上,直线a 交AB 于点D,交AC 于点E,若∠1＝145°,则∠2的度数是( ) A.30°B.35°C.40°D.45°7. 从－1,2,3,－6这四个数中任取两个数,分别记作m,n,那么点(m,n) 在函数6y x =图象上的概率是 A.12B.13C.14D.188. 将抛物线y ＝x 2－6x ＋5向上平移两个单位长度,再向右平移一个单位长度后,得到的抛物线解析式是( ) A ．y ＝(x －4)2－6 B ．y ＝(x －1)2－3 C ．y ＝(x －2)2－2 D ．y ＝(x －4)2－29. 如图,在Rt △ABC 中,∠ABC ＝90°,AB ＝＝2,以AB 的中点O 为圆心,OA 的长为半径作半圆交AC于点D,则图中阴影部分的面积为( )2π2πC.πD.2π10. 已知60AOB ∠=︒,以O 为圆心,以任意长为半径作弧,交OA,OB 于点M ,N ,分别以M ,N 为圆心,以大于12MN 的长度为半径作弧,两弧在AOB ∠内交于点P ,以OP 为边作15POC ∠=︒,则BOC ∠的度数为( )．A ．15︒B ．45︒C ．15︒或30︒D ．15︒或45︒ 二、填空题(每小题3分,共15分)11. 若一个数的平方等于5,则这个数等于________.. 12. 若关于x 的分式方程2222xmm x x有增根,则m 的值为________.13. 如图,直线2y x =+与直线y ax c =+相交于点(,3)P m ,则关于x 的不等式2x +≤ax c +的解为 ．14. 如图,在△ABC 中,∠BAC ＝90°,AB ＝AC ＝10cm,点D 为△ABC 内一点,∠BAD ＝15°,AD ＝6cm,连接BD,将△ABD 绕点A 按逆时针方向旋转,使AB 与AC 重合,点D 的对应点为点E,连接DE,DE 交AC 于点F,则CF 的长为________cm.15. 如图,矩形ABCD 中,AB ＝,BC ＝12,E 为AD 中点,F 为AB 上一点,将△AEF 沿EF 折叠后,点A 恰好落到CF 上的点G 处,则折痕EF 的长是________.三、解答题(本大题共8个小题,满分75分)16．(8分)先化简,再求值：222221121x x x xx x x x⎛⎫--÷⎪---+⎝⎭,其中x是不等式组的整数解．17．(9分)某校初中部举行诗词大会预选赛,学校对参赛同学获奖情况进行统计,绘制了如下两幅不完整的统计图,请结合图中相关数据解答下列问题.(1)参加此次诗词大会预选赛的同学共有人；(2)在扇形统计图中,”三等奖”所对应的扇形的圆心角的度数为；(3)将条形统计图补充完整；(4)若获得一等奖的同学中有14来自七年级,12来自九年级,其余的来自八年级.学校决定从获得一等奖的同学中任选两名同学参加全市诗词大会比赛．请通过列表或树状图方法求所选两名同学中,恰好是一名七年级和一名九年级同学的概率．18．(9分)如图,已知反比例函数y＝(k≠0)的图象与一次函数y＝﹣x+b的图象在第一象限交于A(1,3),B(3,1)两点(1)求反比例函数和一次函数的表达式；(2)已知点P (a ,0)(a ＞0),过点P 作平行于y 轴的直线,在第一象限内交一次函数y ＝﹣x +b 的图象于点M ,交反比例函数y ＝上的图象于点N ．若PM ＞PN ,结合函数图象直接写出a 的取值范围．19．(9分)如图,⊙O 与△ABC 的AC 边相切于点C ,与AB 、BC 边分别交于点D 、E ,DE ∥OA ,CE 是⊙O 的直径． (1)求证：AB 是⊙O 的切线； (2)若BD ＝4,CE ＝6,求AC 的长．20．(9分)如图,某建筑物CD 高96米,它的前面有一座小山,其斜坡AB 的坡度为i ＝1:1．为了测量山 顶A的高度,在建筑物顶端D 处测得山顶A 和坡底B 的俯角分别为α,β．已知tan 2α=,tan 4β=,求山顶A 的高度AE(C 、B 、E 在同一水平面上)．21．(10分)某商店销售一种商品,童威经市场调查发现：该商品的周销售量y (件)是售价x (元/件)的一次函数,其售价、周销售量、周销售利润w (元)的三组对应值如下表：注：周销售利润＝周销售量×(售价－进价)(1) 求y 关于x 的函数解析式(不要求写出自变量的取值范围)(2) 该商品进价是_________元/件；当售价是________元/件时,周销售利润最大,最大利润是__________元 (3) 由于某种原因,该商品进价提高了m 元/件(m ＞0),物价部门规定该商品售价不得超过65元/件,该商店在今后的销售中,周销售量与售价仍然满足(1)中的函数关系．若周销售最大利润是1400元,求m 的值22．(10分)如图1,在Rt △ABC 中,∠ACB =90°,∠B =60°,D 为AB 的中点,∠EDF =90°,DE 交AC 于点G ,DF 经过点C ．(1)求∠ADE 的度数；(2)如图2,将图1中的∠EDF 绕点D 顺时针方向旋转角α(0°<α<60°),旋转过程中的任意两个位置分别记为∠E 1DF 1,∠E 2DF 2,DE 1交直线AC 于点P ,DF 1交直线BC 于点Q ,DE 2交直线AC 于点M ,DF 2交直线BC 于点N ,求PMQN 的值；(3)若图1中的∠B =β(60°<β<90°),(2)中的其余条件不变,请直接写出PMQN的值(用含β的式子表示)．23．(11分)如图,抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点A(－1,0),点B(3,0),与y 轴交于点C,且过点D(2,－3)．点P 、Q 是抛物线2y ax bx c =++上的动点． (1)求抛物线的解析式；(2)当点P 在直线OD 下方时,求△POD 面积的最大值．(3)直线OQ 与线段BC 相交于点E,当△OBE 与△ABC 相似时,求点Q 的坐标．图1G FED C B AQ NM PE 2F 2图2F 1E 1D CBA答案与解析一、选择题(每小题3分,共30分)1．下列各数中比3大比4小的无理数是( )A B C ．3.1 D ．103【答案】A所以3＜4,,故选项A 正确．2．国产科幻电影《流浪地球》上映17日,票房收入突破40亿人民币,将40亿用科学记数法表示为( )A.84010⨯B.9410⨯C.104010⨯D.110.410⨯【答案】B.【解析】本题考查了科学记数法,科学记数法的表示形式为a×10n 的形式,其中1≤|a|＜10,n 为整数．确定n 的值时,要看把原数变成a 时,小数点移动了多少位,n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥1时,n 是非负数；当原数的绝对值＜1时,n 是负数．因此40亿可用科学记数法表示为9410⨯,故选B.3．如图是由四个相同的小正方形组成的立体图形,它的俯视图为( )A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】俯视图是上面往下观察所得的图形,观察可知第一层一个靠左边,第二层两根,故选B. 4．下列运算正确的是( ) A.5510aa aB.76aa aC.326aa aD.236a a【答案】B【解析】A.合并同类项得5552aa a ,B.同底数幂除法底数不变指数相减,故正确,C.同底数幂乘法,底数不变指数相加,应为325aa a ,C.指数乘方运算底数不变指数相乘,且负数的偶次幂应为正数,故结果应为236a a .5. 关于x 的一元二次方程220x x m -+=无实数根,则实数m 的取值范围是( ) A.m ＜1B.m ≥1C.m ≤1D.m ＞1【答案】D.【解析】∵方程无实数根, ∴△=(-2)2-4×1·m =4-4m ＜0. 解得,m ＞1. 故选D.6. 如图,在△ABC 中,AB ＝AC,∠A ＝30°,直线a ∥b,顶点C 在直线b 上,直线a 交AB 于点D,交AC 于点E,若∠1＝145°,则∠2的度数是( ) A.30°B.35°C.40°D.45°【答案】C【解析】△ABC 中,AB ＝AC,∠A ＝30°,∴∠B ＝75°,∵∠1＝145°,∴∠FDB ＝35°过点B 作BG ∥a ∥b,∴∠FDB＝∠DBG,∠2＝∠CBG,∵∠B ＝∠ABG+∠CBG,∴∠2＝40°,故选C7. 从－1,2,3,－6这四个数中任取两个数,分别记作m,n,那么点(m,n) 在函数6y x =图象上的概率是 A.12B.13C.14D.18【答案】B【解析】从－1,2,3,－6这四个数中任取两个数,所有可能的结果有12种,每种结果的可能性相同,其中,两数乘积为6的结果有4种,当两数乘积为6时,点(m,n)必定在函数6y x =的图象上,因此P ＝41=123.故选B. 8. 将抛物线y ＝x 2－6x ＋5向上平移两个单位长度,再向右平移一个单位长度后,得到的抛物线解析式是( )A ．y ＝(x －4)2－6B ．y ＝(x －1)2－3C ．y ＝(x －2)2－2D ．y ＝(x －4)2－2 【答案】D【解析】y ＝x 2－6x ＋5＝ (x －3) 2－4,把向上平移两个单位长度,再向右平移一个单位长度后, 得y ＝ (x －3－1) 2－4＋2,即y ＝(x －4)2－2．9. 如图,在Rt △ABC 中,∠ABC ＝90°,AB ＝＝2,以AB 的中点O 为圆心,OA 的长为半径作半圆交AC 于点D,则图中阴影部分的面积为( )2π2πC.πD.2π【答案】A【解题过程】在Rt △ABC 中,连接OD,∠ABC ＝90°,AB ＝＝2,∴∠A ＝30°,∠DOB ＝60°,过点D 作DE⊥AB 于点E,∵AB ＝∴AO ＝OD ∴DE ＝32,∴S 阴影＝S △ABC －S △AOD －S 扇形BOD ＝－2π2π,故选A.10. 已知60AOB ∠=︒,以O 为圆心,以任意长为半径作弧,交OA,OB 于点M ,N ,分别以M ,N 为圆心,以大于12MN 的长度为半径作弧,两弧在AOB ∠内交于点P ,以OP 为边作15POC ∠=︒,则BOC ∠的度数为( )．A ．15︒B ．45︒C ．15︒或30︒D ．15︒或45︒ 【答案】D【解析】由题目可以得出OP 为AOB ∠的平分线,所以1302AOP BOP AOB ∠=∠=∠=︒,又因为15POC ∠=︒,考虑到点C 有可能在AOP ∠内也有可能在BOP ∠内,所以当点C 在AOP ∠内时BOC ∠45BOP POC =∠+∠=︒,当点C 在BOP ∠内时BOC ∠15BOP POC =∠-∠=︒．二、填空题(每小题3分,共15分)11. 若一个数的平方等于5,则这个数等于________.【答案】【解析】∵正数的平方根有两个,且互为相反数,故5的平方是 12. 若关于x 的分式方程2222xmm x x有增根,则m 的值为________.【答案】1【解析】解原分式方程,去分母得:x －2m ＝2m(x －2),若原分式方程有增根,则x ＝2,将其代入这个一元一次方程,得2－2m ＝2m(2－2),解之得,m ＝1.13. 如图,直线2y x =+与直线y ax c =+相交于点(,3)P m ,则关于x 的不等式2x +≤ax c +的解为．【答案】1x ≤-【解析】因为直线2y x =+与直线y ax c =+相交于点(,3)P m ,所以32m =+,解得1m =,由图象可以直接得出关于x 的不等式2x +≤ax c +的解为1x ≤-．14. 如图,在△ABC 中,∠BAC ＝90°,AB ＝AC ＝10cm,点D 为△ABC 内一点,∠BAD ＝15°,AD ＝6cm,连接BD,将△ABD 绕点A 按逆时针方向旋转,使AB 与AC 重合,点D 的对应点为点E,连接DE,DE 交AC 于点F,则CF 的长为________cm.【答案】10－【解题过程】∵∠BAC＝90°,∠BAD＝15°,∴∠DAF＝75°由旋转可知,∠ADF＝45°,过点A作AM⊥DF于点M,∴AM AD＝∴AF＝∵AC＝AB＝10,∴FC＝AC－AF＝10－15. 如图,矩形ABCD中,AB＝,BC＝12,E为AD中点,F为AB上一点,将△AEF沿EF折叠后,点A恰好落到CF上的点G处,则折痕EF的长是________.【答案】【解析】连接CE,∵点E是AD的中点,∴AE＝ED＝EG,∠EGC＝∠D,∴△EGC≌△EDC,∴GC＝AB＝,设AF＝GF＝x,∴FB＝x,在Rt△FBC中,FB2+BC2＝FC2,即(x)2+122＝(x+)2,解之,得:x＝在Rt△AFE中,EF.三、解答题(本大题共8个小题,满分75分)16．(8分)先化简,再求值：222221121x x x xx x x x⎛⎫--÷⎪---+⎝⎭,其中x是不等式组的整数解．【答案】解：原式＝[－]•＝•＝解不等式组,得1≤x＜3,则不等式组的整数解为1、2．当x=1时,原式无意义；当x＝2,∴原式＝．【解析】先化简分式,再解不等式,找出符合条件的值,最后代入求值.17．(9分)某校初中部举行诗词大会预选赛,学校对参赛同学获奖情况进行统计,绘制了如下两幅不完整的统计图,请结合图中相关数据解答下列问题.(1)参加此次诗词大会预选赛的同学共有人；(2)在扇形统计图中,”三等奖”所对应的扇形的圆心角的度数为；(3)将条形统计图补充完整；(4)若获得一等奖的同学中有14来自七年级,12来自九年级,其余的来自八年级.学校决定从获得一等奖的同学中任选两名同学参加全市诗词大会比赛．请通过列表或树状图方法求所选两名同学中,恰好是一名七年级和一名九年级同学的概率．【答案】解：(1)40(2)90°；(3)二等奖人数为：20%×40=8(人),一等奖人数为：40-8-10-18=4(人),条形统计图如下：(4)一等奖有4人,则七年级有1人,八年级1人,九年级2人,用树状图表示如下：由树状图可得,总共有12种结果,符合条件的有4种,故所选两名同学中,恰好是一名七年级和一名九年级同学的概率是4÷12=13．【解析】(1)鼓励奖人数为18,百分率为45%,所以样本容量为：18÷45%=40(人) (2)三等奖所对应的圆心角=4010×360°=90°； 18．(9分)如图,已知反比例函数y ＝(k ≠0)的图象与一次函数y ＝﹣x +b 的图象在第一象限交于A (1,3),B (3,1)两点(1)求反比例函数和一次函数的表达式；(2)已知点P (a ,0)(a ＞0),过点P 作平行于y 轴的直线,在第一象限内交一次函数y ＝﹣x +b 的图象于点M ,交反比例函数y ＝上的图象于点N ．若PM ＞PN ,结合函数图象直接写出a 的取值范围．【答案】解：(1)y＝,y＝﹣x+4；(2)由图象可得：当1＜a＜3时,PM＞PN．【解析】(1)∵反比例函数y＝(k≠0)的图象与一次函数y＝﹣x+b的图象在第一象限交于点A(1,3),∴3＝,3＝﹣1+b,∴k＝3,b＝4,∴反比例函数和一次函数的表达式分别为y＝,y＝﹣x+4；19．(9分)如图,⊙O与△ABC的AC边相切于点C,与AB、BC边分别交于点D、E,DE∥OA,CE是⊙O的直径．(1)求证：AB是⊙O的切线；(2)若BD＝4,CE＝6,求AC的长．【答案】证明：(1)连接OD,∵DE∥OA,∴∠AOC＝∠OED,∠AOD＝∠ODE,∵OD＝OE,∴∠OED＝∠ODE,∴∠AOC＝∠AOD,又∵OA＝OA,OD＝OC,∴△AOC≌△AOD(SAS),∴∠ADO＝∠ACO．∵CE是⊙O的直径,AC为⊙O的切线,∴OC⊥AC,∴∠OCA＝90°,∴∠ADO＝＝90°,∴OD⊥AB,∵OD为⊙O的半径,∴AB是⊙O的切线．(2)∵CE＝6,∴OD＝OC＝3,∵∠BDO＝90°,∴222BO BD OD=+,∵BD＝4,∴OB＝5,∴BC＝8,∵∠BDO＝∠OCA＝90°,∠B＝∠B,∴△BDO∽△BCA,∴BD OD BC AC=,∴438AC=,OEDCBA∴AC ＝6． 【解析】先连接切点和半径,再证明垂直,即可得出第一问； 利用三角形相似,即可得出第二问.20．(9分)如图,某建筑物CD 高96米,它的前面有一座小山,其斜坡AB 的坡度为i ＝1:1．为了测量山 顶A的高度,在建筑物顶端D 处测得山顶A 和坡底B 的俯角分别为α,β．已知tan 2α=,tan 4β=,求山顶A 的高度AE(C 、B 、E 在同一水平面上)．【答案】解：如图,设DA 与CB 的交点为O ． ∵96tan tan 2DC O OC OCα∠====, ∴48OC =同理,∵96tan tan 4DC DBC BC BCβ∠==== ∴24BC =．∴482424OB OC BC =-=-=．设AE x =米,则 则由i ＝1:1得BE x =,12OE x =； ∴1242x x +=, ∴16x =∴山顶A 的高度AE 为16米．【解析】利用坡比的定义,找出同角的正切值即可.21．(10分)某商店销售一种商品,童威经市场调查发现：该商品的周销售量y(件)是售价x(元/件)的一次函数,其售价、周销售量、周销售利润w(元)的三组对应值如下表：注：周销售利润＝周销售量×(售价－进价)(1) 求y关于x的函数解析式(不要求写出自变量的取值范围)(2) 该商品进价是_________元/件；当售价是________元/件时,周销售利润最大,最大利润是__________元(3) 由于某种原因,该商品进价提高了m元/件(m＞0),物价部门规定该商品售价不得超过65元/件,该商店在今后的销售中,周销售量与售价仍然满足(1)中的函数关系．若周销售最大利润是1400元,求m的值【答案】(1)设y与x的函数关系式为y＝kx＋b,依题意有,50100 6080k bk b+=⎧⎨+=⎩,解得,k＝－2,b＝200,y与x的函数关系式是y＝－2x＋200；(2)将售价50,周销售量100,周销售利润1000,带入周销售利润＝周销售量×(售价－进价)得到,1000＝100×(50－进价),即进价为40元/件；周销售利润w＝(x－40)y＝(x－40)(－2x＋200)＝－2(x－70)2＋1800,故当售价是70元/件时,周销售利润最大,最大利润是1800元,故答案为40,70,1800；(3)依题意有,w＝(－2x＋200)(x－40－m)＝－2x2＋(2m＋280)x－8000－200m＝221401260180022m x m m +⎛⎫--+-+ ⎪⎝⎭∵m ＞0, ∴对称轴140=702m x +>, ∵－2＜0, ∴抛物线开口向下, ∵x ≤65,∴w 随x 的增大而增大,∴当x ＝65时,w 有最大值(－2×65＋200)(65－40－m ), ∴(－2×65＋200)(65－40－m )＝1400, ∴m ＝5．【解析】注意进价、售价、利润之间的关系,第三问注意销售单价、销售量、销售总价之间的关系. 22．(10分)如图1,在Rt △ABC 中,∠ACB =90°,∠B =60°,D 为AB 的中点,∠EDF =90°,DE 交AC 于点G ,DF 经过点C ．(1)求∠ADE 的度数；(2)如图2,将图1中的∠EDF 绕点D 顺时针方向旋转角α(0°<α<60°),旋转过程中的任意两个位置分别记为∠E 1DF 1,∠E 2DF 2,DE 1交直线AC 于点P ,DF 1交直线BC 于点Q ,DE 2交直线AC 于点M ,DF 2交直线BC 于点N ,求PM QN的值；(3)若图1中的∠B =β(60°<β<90°),(2)中的其余条件不变,请直接写出PM QN的值(用含β的式子表示)．【答案】解：(1)∵∠ACB =90°,D 为AB 的中点, ∴CD=DB , ∴∠DCB =∠B ∵∠B =60°,∴∠DCB =∠B =∠CDB =60°.图1G FEC B Q NM PE 2F 2图2F 1E 1CB∴∠CDA =120°. ∵∠EDC =90°, ∴∠ADE =30°；（2）∵∠C =90°,∠MDN =90°, ∴∠DMC +∠CND =180°. ∵∠DMC +∠PMD =180°, ∴∠CND =∠PMD . 同理∠CPD =∠DQN . ∴△PMD ∽△QND过点D 分别做DG ⊥AC 于G ,DH ⊥BC 于H . 可知DG,DH 分别为△PMD 和△QND 的高. ∴DH DGQN PM =∵DG ⊥AC 于G,DH ⊥BC 于H , ∴DG ∥BC . 又∵D 为AB 中点,∴G 为AC 中点. ∵∠C =90°,∴四边形CGDH 为矩形,有CG =DH =AG ,Rt △AGD 中, ,3330tan tan 0===∠AG GD A . 即33=HD GD . 33=∴QN PM （3）tan(90°﹣β)(或=βtan 1. 【解析】利用旋转和三角形相似是解决本题的关键,最后要注意三角函数的定义.23．(11分)如图,抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点A(－1,0),点B(3,0),与y 轴交于点C,且过点D(2,－3)．点P 、Q 是抛物线2y ax bx c =++上的动点． (1)求抛物线的解析式；(2)当点P 在直线OD 下方时,求△POD 面积的最大值．(3)直线OQ 与线段BC 相交于点E,当△OBE 与△ABC 相似时,求点Q 的坐标．【答案】解：(1)将点A(－1,0),点B(3,0),点D(2,3)代入2y ax bx c =++得0930423a b c a b c a b c -+=⎧⎪++=⎨⎪++=-⎩,解得123a b c =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩∴抛物线的解析式为223y x x =--(2)如图,设PD 与y 轴相交于点F,OD 与抛物线相交于点G,设P 坐标为(2,23m m m --),则直线PD 的解析式为23y mx m =--,它与y 轴的交点坐标为F(0,－2m－3),则OF ＝2m+3．∴()()()21112323222ODP S OF D P m m m m ∆=⨯-=+-=-++点的横坐标点的横坐标 由于点P 在直线OD 下方,所以322m -<<．∴当()1122214b m a =-=-=⨯-时,△POD 面积的最大值2211114933242416ODP S m m ∆⎛⎫=-++=-+⨯+= ⎪⎝⎭ (3)①由223y x x =--得抛物线与y 轴的交点C(0,－3),结合A(－1,0)得直线AC 的解析式为33y x =--, ∴当OE ∥AC 时,△OBE 与△ABC 相似；此时直线OE 的解析式为3y x =-．又∵2233y x x y x ⎧=--⎨=-⎩的解为11x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,22x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴Q的坐标为1322⎛-- ⎝⎭和1322⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭． ②如图,作EN ⊥y 轴于N,由A(－1,0),B(3,0),C(0,－3)得AB ＝3－(－1)＝4,BO ＝3,BC=当BE OB BA BC=即4BE =时 ,△OBE 与△ABC 相似；此时BE＝ 又∵△OBC ∽△ONE,∴NB ＝NE ＝2,此时E 点坐标为(1,－2),直线OE 的方程为2y x =-．又∵2232y x x y x ⎧=--⎨=-⎩的解为11x y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩,22x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ∴Q的坐标为-和(． 综上所述,Q的坐标为13,22⎛-+- ⎝⎭,1322⎛-+ ⎝⎭,-,(． 【解析】(1)方法二、∵抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点A(－1,0),点B(3,0), ∴设抛物线的解析式为()()13y a x x =+-．又∵抛物线过点 D(2,－3),∴()()21233a +-=-∴1a =∴()()211323y x x x x =⨯+-=--． (2)注意平面直角坐标系中线段的表示方法,注意求三角形面积时可以构造同底等高.(3)注意相似中的对应,应进行分类讨论。

第I卷(选择题共24分)一、选择题(本大题共有8小题,每小题3分,共24分.在每小题给出的四个选项中,恰有一项是符合题目要求的,请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置．．．．．．．上)1．2-的绝对值是()A．2B．2-C．2或2-D．12或12-2．我国倡导的”一带一路”地区覆盖的总人口为4400000000人,这个数用科学记数法表示为( )A．84410⨯B．84.410⨯C．94.410⨯D．104410⨯3．化简25()a a-所得的结果是()A．7a B．7a-C．10a D．10a-4．如图是由6个完全相同的小正方体组成的几何体,其俯视图为()A．B．C．D．5．若一个三角形的两边长分别是4、9,则这个三角形的第三边的长可能是() A．3B．5C．8D．136．抽样调查某班10名同学身高(单位：厘米)如下：160,152,165,152,160,160,170,160,165,159．则这组数据的众数是()A．152B．160C．165D．1707．若关于x的一元二次方程2(6)230a x x--+=有实数根,则整数a的最大值是() A．4B．5C．6D．78．已知蓄电池的电压为定值,使用蓄电池时,电流I(单位：)A与电阻R(单位：)Ω是反比例函数关系,它的图象如图所示,如果以此蓄电池为电源的用电器的限制电流不能超过6A,那么用电器的可变电阻R应控制在()A ．2RB ．02R <C ．1RD ．01R <第II 卷 (非选择题 共126分)二、填空题(本大题共有8小题,每小题3分,共24分.不需写出解答过程,请把答案直接填写在答题卡相应位置．．．．．．．上．) 9．因式分解：2269x xy y -+= ．10．某班10名学生校服尺寸与对应人数如图所示,那么这10名学生校服尺寸的中位数为cm ．11．方程110x-=的解是 ． 12．一个多边形的内角和是720︒,这个多边形的边数是 ． 13．不等式组2x ax >⎧⎨>⎩的解为2x >,则a 的取值范围是 ．14．如图,沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平,得到一个扇形,若圆锥的底面圆的半径2r =,扇形的圆心角120θ=︒,则该圆锥母线l 的长为 ．(第14题)(第15题)(第16题)15．如图,已知123////l l l ,直线4l 、5l 被这组平行线所截,且直线4l 、5l 相交于点E ,已知1AE EF ==,3FB =,则ACBD= ． 16．已知矩形ABCD 的两边AB 与BC 的比为4:8,E 是AB 上的一点,沿CE 将EBC ∆上翻折,若B 点恰好落在边AD 上的F 点,则tan DCF ∠= ．三、解答题(本大题共有11小题,共102分.请在答题卡指定区域内作答．．．．．．．．．．,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)计算： (1) 20|5|(3)(cos302)----︒+；(2) 2()(2)a b a a b ---18．(本小题满分8分)先化简,再求值：2212(1)121x x x x x x ---+÷+++,其中x ．19. (本小题满分8分)随着北京市市政府东迁工作的逐步进行,通州古运河整治工作也逐步开展,为打造古运河风光带,现有一段长为180米的河道整治任务由A 、B 两个工程队先后接力完成,A 工程队每天整治12米,B 工程队每天整治8米,共用时20天． (1)根据题意,甲、乙两个同学分别列出了尚不完整的方程组如下： 甲：20128180x y x y +=⎧⎨+=⎩ 乙：()[]128a b a b +=⎧⎪⎨+=⎪⎩根据甲、乙两名同学所列的方程组,请你分别把未知数x ,y 表示的意义以及括号中内容填写在下面的横线上： 甲：x 表示 ,y 表示 ； 乙：( )表示 ,[]表示 ．(2)求A 、B 两工程队分别整治河道多少米？(写出完整的解答过程)20. (本小题满分8分)如图,四边形ABCD 是平行四边形,AE 过BC 中点O 且交DC 的延长线于点E ．(1)求证：AOB EOC ∆≅∆；(2)若OA OB =且45D ∠=︒,判断四边形ABEC 是什么特殊四边形？请说明理由．(第20题)21.(本小题满分8分)对垃圾进行分类投放,能有效提高对垃圾的处理和再利用,减少污染,保护环境．为了调查同学们对垃圾分类知识的了解程度,增强同学们的环保意识,普及垃圾分类及投放的相关知识,某校数学兴趣小组的同学设计了”垃圾分类知识及投放情况”问卷,并在本校随机抽取部分同学进行问卷测试,把测试成绩分成”优、良、中、差”四个等级,绘制了如下不完整的统计图：根据以上统计信息,解答下列问题：(1)求成绩是”优”的人数占抽取人数的百分比；(2)求本次随机抽取问卷测试的人数；(3)请把条形统计图补充完整；(4)若该校学生人数为3000人,请估计成绩是”优”和”良”的学生共有多少人？22.(本小题满分8分)如图1,骰子有六个面并分别标有数1,2,3,4,5,6,如图2,正六边形ABCDEF顶点处各有一个圈,跳圈游戏的规则为：游戏者掷一次骰子,骰子向上的一面上的数字是几,就沿正六边形的边顺时针方向连续跳几个边长．如：若从圈A起跳,第一次掷得3,就顺时针连续跳3个边长,落到圈D；若第二次掷得2,就从D开始顺时针连续跳2个边长,落到圈F；⋯⋯设游戏者从圈A起跳．(1)小明随机掷一次骰子,求落回到圈A的概率1P；(2)小亮随机掷两次骰子,用列表法或画树状图法求最后落回到圈A的概率2P,并指出他与小明落回到圈A的可能性一样吗？23. (本小题满分8分)如图,在港口A的南偏东37°方向的海面上,有一巡逻艇B,A、B相距20海里,这时在巡逻艇的正北方向及港口A的北偏东67°方向上,有一渔船C发生故障．得知这一情况后,巡逻艇以25海里/小时的速度前往救援,问巡逻艇能否在1小时内到达渔船C处？(参考数据：sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75,sin67°≈1213,cos67°≈513,tan67°≈125)(第23题) 24.(本小题满分10分)如图,已知AB是O的直径,点D在O上,45DAB∠=︒,//BC AD, //CD AB．(1)判断直线CD与O的位置关系,并说明理由；(2)若O的半径为1,求图中阴影部分的周长．(第24题)25. (本小题满分10分)甲、乙两地相距300千米,一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发驶向乙地,如图,线段OA表示货车离甲地距离y(千米)与时间x(小时)之间的函数关系；折线OBCDA 表示轿车离甲地距离y(千米)与时间x(小时)之间的函数关系．请根据图象解答下列问题：(1)当轿车刚到乙地时,此时货车距离乙地千米；(2)当轿车与货车相遇时,求此时x的值；(3)在两车行驶过程中,当轿车与货车相距20千米时,求x的值．(第25题)26. (本小题满分12分)如图,抛物线y＝ax2+32x+c交x轴于A,B两点,交y轴于点C．直线y=−12+2经过点A,C．(1)求抛物线的解析式；(2)点P在抛物线在第一象限内的图象上,过点P作x轴的垂线,垂足为D,交直线AC于点E,连接PC,设点P的横坐标为m．①当△PCE是等腰三角形时,求m的值；②过点C作直线PD的垂线,垂足为F．点F关于直线PC的对称点为F′,当点F′落在坐标轴上时,请直接写出点P的坐标．(第26题)27. (本小题满分12分)如图1,在正方形ABCD和正方形AEFG中,边AE在边AB上,AB＝2AE＝4．将正方形AEFG绕点A按逆时针方向旋转α(0°≤α≤60°)．(1)如图2,当α＞0°时,求证：△DAG≌△BAE；(2)在旋转的过程中,设BE的延长线交直线DG于点P．①如果存在某时刻使得BF＝BC,请求出此时DP的长；②若正方形AEFG绕点A按逆时针方向旋转了60°,求旋转过程中点P运动的路线长．(第27题)答案与解析第I 卷 (选择题 共24分)一、选择题(本大题共有8小题,每小题3分,共24分.在每小题给出的四个选项中,恰有一项是符合题目要求的,请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置．．．．．．．上) 1．2-的绝对值是( ) A ．2B ．2-C ．2或2-D ．12或12- 【解答】2-的绝对值是：2． 故选：A ．2．我国倡导的”一带一路”地区覆盖的总人口为4400000000人,这个数用科学记数法表示为()A ．84410⨯B ．84.410⨯C ．94.410⨯D ．104410⨯【解答】4 400 000 000用科学记数法表示为：94.410⨯, 故选：C ．3．化简25()a a -所得的结果是( ) A ．7aB ．7a -C ．10aD ．10a -【解答】257()a a a -=-, 故选：B ．4．如图是由6个完全相同的小正方体组成的几何体,其俯视图为( )A ．B ．C ．D ．【解答】从上面看第一排是三个小正方形,第二排右边是一个小正方形, 故选：B ．5．若一个三角形的两边长分别是4、9,则这个三角形的第三边的长可能是( ) A ．3B ．5C ．8D ．13【解答】设第三边长为xcm ,则9494x -<<+, 513x <<,故选：C ．6．抽样调查某班10名同学身高(单位：厘米)如下：160,152,165,152,160,160,170,160,165,159．则这组数据的众数是( ) A ．152B ．160C ．165D ．170【解答】数据160出现了4次为最多, 故众数是160, 故选：B ．7．若关于x 的一元二次方程2(6)230a x x --+=有实数根,则整数a 的最大值是( ) A ．4B ．5C ．6D ．7【解答】根据题意得60a -≠且△2(2)4(6)30a =---, 解得193a且6a ≠, 所以整数a 的最大值为5． 故选：B ．8．已知蓄电池的电压为定值,使用蓄电池时,电流I (单位：)A 与电阻R (单位：)Ω是反比例函数关系,它的图象如图所示,如果以此蓄电池为电源的用电器的限制电流不能超过6A ,那么用电器的可变电阻R 应控制在( )A ．2RB ．02R <C ．1RD ．01R <【解答】设反比例函数关系式为：k I R=, 把(2,3)代入得：236k =⨯=,∴反比例函数关系式为：6I R=, 当6I 时,则66R,1R ,故选：C ．第II 卷 (非选择题 共126分)二、填空题(本大题共有8小题,每小题3分,共24分.不需写出解答过程,请把答案直接填写在答题卡相应位置．．．．．．．上．) 9．因式分2269x xy y -+= 2(3)x y - ． 【解答】原式2223(3)x x y y =-+2(3)x y =-, 故答案为：2(3)x y -10．某班10名学生校服尺寸与对应人数如图所示,那么这10名学生校服尺寸的中位数为 170 cm ．【解答】某班10名学生校服尺寸分别是160cm 、165cm 、165cm 、165cm 、170cm 、170cm 、175cm 、175cm 、180cm 、180cm ,∴这10名学生校服尺寸的中位数为：(170170)2+÷ 3402=÷170()cm =答：这10名学生校服尺寸的中位数为170cm ． 故答案为：170． 11．方程110x-=的解是 1x = ． 【解答】10x -=, 1x ∴=经检验,1x =是原分式方程的解． 故答案为：1x =．12．一个多边形的内角和是720︒,这个多边形的边数是 6 ． 【解答】多边形的内角和公式为(2)180n -︒, (2)180720n ∴-⨯︒=︒,解得6n =,∴这个多边形的边数是6．故答案为：6．13．不等式组2x ax >⎧⎨>⎩的解为2x >,则a 的取值范围是 2a ．【解答】由不等式组2x ax >⎧⎨>⎩的解为2x >,可得2a ．故答案为：2a14．如图,沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平,得到一个扇形,若圆锥的底面圆的半径2r =,扇形的圆心角120θ=︒,则该圆锥母线l 的长为 6 ．【解答】根据题意得12022180lππ⨯=, 解德6l =,即该圆锥母线l 的长为6． 故答案为6．15．如图,已知123////l l l ,直线4l 、5l 被这组平行线所截,且直线4l 、5l 相交于点E ,已知1AE EF ==,3FB =,则AC BD =14．【解答】12//l l ,1AE EF ==,∴1AC AEFG EF==, FG AC ∴=； 23//l l ,∴14FG EF BD EB ==, ∴14AC FG BD BD ==, 故答案为14． 16．已知矩形ABCD 的两边AB 与BC 的比为4:8,E 是AB 上的一点,沿CE 将EBC ∆上翻折,若B 点恰好落在边AD 上的F 点,则tan DCF ∠【解答】矩形ABCD 的两边AB 与BC 的比为4:8,∴设4AB CD x ==,8BC AD x ==,沿CE 将EBC ∆上翻折, 8CF BC x ∴==,DF ∴=,tan DFDCF DC∴∠==,三、解答题(本大题共有11小题,共102分.请在答题卡指定区域内作答．．．．．．．．．．,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)计算： (1) 20|5|(3)(cos302)----︒+；(2) 2()(2)a b a a b ---【解答】(1)原式591=-- 5=-；(2)原式22222a ab b a ab =-+-+ 2b =．18．(本小题满分8分)先化简,再求值：2212(1)121x x x x x x ---+÷+++,其中x ． 【解答】原式22211(1)12x x x x x --++=+-(2)112x x x x -+=- (1)x x =-+ 2x x =--当x 时,原式2=-19. (本小题满分8分)随着北京市市政府东迁工作的逐步进行,通州古运河整治工作也逐步开展,为打造古运河风光带,现有一段长为180米的河道整治任务由A 、B 两个工程队先后接力完成,A 工程队每天整治12米,B 工程队每天整治8米,共用时20天． (1)根据题意,甲、乙两个同学分别列出了尚不完整的方程组如下： 甲：20128180x y x y +=⎧⎨+=⎩ 乙：()[]128a b a b +=⎧⎪⎨+=⎪⎩根据甲、乙两名同学所列的方程组,请你分别把未知数x ,y 表示的意义以及括号中内容填写在下面的横线上： 甲：x 表示 ,y 表示 ； 乙：( )表示 ,[]表示 ．(2)求A 、B 两工程队分别整治河道多少米？(写出完整的解答过程) 【解答】(1)根据甲、乙两名同学所列的方程组：甲：x 表示A 工程队工作天数,y 表示B 工程队工作天数； 乙：表示河道总长度180米,[]表示两队总工作天数20天． 故答案为：A 工程队工作天数,B 工程队工作天数,180,20； (2)设A 工程队整治河道x 米,B 工程队整治河道y 米 根据题意,列方程组18020128x y x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩,由②24⨯得：23480x y +=③ 由①2⨯得：22360x y +=④由③-④得：120y=,y=代入到①得：60120x=,∴工程队整治河道60米,B工程队整治河道120米．A20.(本小题满分8分)如图,四边形ABCD是平行四边形,AE过BC中点O且交DC的延长线于点E．(1)求证：AOB EOC∆≅∆；(2)若OA OB∠=︒,判断四边形ABEC是什么特殊四边形？请说明理由．D=且45(第20题)【解答】证明：(1)四边形ABCD是平行四边形∠=∠∴,B D//AB CD∴∠=∠B BCEO是BC中点,BO CO∴=∠=∠∠=∠,AOB COEBO CO=,B BCE∴∆≅∆AOB COE(2)四边形ABEC是正方形理由如下：∆≅∆AOB COEBO CO=∴=,AO EO∴四边形ABEC是平行四边形=,BC AE∴=,且四边形ABEC是平行四边形OA OB∴四边形ABEC是矩形=∠=︒=∠,AO BOD B45∴∠=︒AOBB BAO∴∠=∠=︒,9045即BC AE⊥,且四边形ABEC是矩形∴四边形ABEC是正方形21.(本小题满分8分)对垃圾进行分类投放,能有效提高对垃圾的处理和再利用,减少污染,保护环境．为了调查同学们对垃圾分类知识的了解程度,增强同学们的环保意识,普及垃圾分类及投放的相关知识,某校数学兴趣小组的同学设计了”垃圾分类知识及投放情况”问卷,并在本校随机抽取部分同学进行问卷测试,把测试成绩分成”优、良、中、差”四个等级,绘制了如下不完整的统计图：根据以上统计信息,解答下列问题：(1)求成绩是”优”的人数占抽取人数的百分比；(2)求本次随机抽取问卷测试的人数；(3)请把条形统计图补充完整；(4)若该校学生人数为3000人,请估计成绩是”优”和”良”的学生共有多少人？【解答】(1)成绩是”优”的人数占抽取人数的百分比是7220% 360=；(2)本次随机抽取问卷测试的人数是4020%200÷=(人)；(3)成绩是”中”的人数是200(407030)60-++=(人)．条形统计图补充如下：(4)407030006050200+⨯=(人)． 答：成绩是”优”和”良”的学生共有6050人．22. (本小题满分8分)如图1,骰子有六个面并分别标有数1,2,3,4,5,6,如图2,正六边形ABCDEF 顶点处各有一个圈,跳圈游戏的规则为：游戏者掷一次骰子,骰子向上的一面上的数字是几,就沿正六边形的边顺时针方向连续跳几个边长．如：若从圈A 起跳,第一次掷得3,就顺时针连续跳3个边长,落到圈D ；若第二次掷得2,就从D 开始顺时针连续跳2个边长,落到圈F ；⋯⋯ 设游戏者从圈A 起跳．(1)小明随机掷一次骰子,求落回到圈A 的概率1P ；(2)小亮随机掷两次骰子,用列表法或画树状图法求最后落回到圈A 的概率2P ,并指出他与小明落回到圈A 的可能性一样吗？【解答】(1)共有6种等可能结果,其中落回到圈A 的只有1种情况,∴落回到圈A 的概率116P =； (2)列表如下：由上表可知,一共有36种等可能的结果,落回到圈A的有(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),(6,6),∴最后落回到圈A的概率261 366P==,∴小亮与小明落回到圈A的可能性一样．23. (本小题满分8分)如图,在港口A的南偏东37°方向的海面上,有一巡逻艇B,A、B相距20海里,这时在巡逻艇的正北方向及港口A的北偏东67°方向上,有一渔船C发生故障．得知这一情况后,巡逻艇以25海里/小时的速度前往救援,问巡逻艇能否在1小时内到达渔船C处？(参考数据：sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75,sin67°≈1213,cos67°≈513,tan67°≈125)(第23题)【解答】过点A作AH⊥BC,垂足为点H．由题意,得∠ACH＝67°,∠B＝37°,AB＝20．在Rt△ABH中,∵sin B=AHAB,∴AH＝AB•sin∠B＝20×sin37°≈12,∵cos B=BHAB,∴BH＝AB•cos∠B＝20×cos37°≈16,在Rt△ACH中,∵tan∠ACH=tan∠ACH=AH CHAHCH,∴CH=AHtan∠ACH=12tan67°≈5,∵BC＝BH+CH,∴BC≈16+5＝21．∵21÷25＜1,所以,巡逻艇能在1小时内到达渔船C处．24.(本小题满分10分)如图,已知AB是O的直径,点D在O上,45DAB∠=︒,//BC AD, //CD AB．(1)判断直线CD与O的位置关系,并说明理由；(2)若O的半径为1,求图中阴影部分的周长．(第24题)【解答】(1)直线CD与O相切．理由如下：如图,连接OD,OA OD=,45DAB∠=︒,45ODA∴∠=︒,90AOD∴∠=︒,//CD AB,90ODC AOD∴∠=∠=︒,即OD CD⊥,又点D在O上,∴直线CD与O相切；(2)O的半径为1,AB是O的直径,2AB ∴=,//BC AD ,//CD AB ,∴四边形ABCD 是平行四边形,2CD AB ∴==,由(1)知：AOD ∆是等腰直角三角形, 1OA OD ==,BC AD ∴==∴图中阴影部分的周长90121802CD BC ππ⨯=++=． 25. (本小题满分10分)甲、乙两地相距300千米,一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发驶向乙地,如图,线段OA 表示货车离甲地距离y (千米)与时间x (小时)之间的函数关系；折线OBCDA 表示轿车离甲地距离y (千米)与时间x (小时)之间的函数关系．请根据图象解答下列问题： (1)当轿车刚到乙地时,此时货车距离乙地 千米； (2)当轿车与货车相遇时,求此时x 的值；(3)在两车行驶过程中,当轿车与货车相距20千米时,求x 的值．(第25题)【解答】(1)根据图象信息：货车的速度300605V ==货, 轿车到达乙地的时间为货车出发后4.5小时,∴轿车到达乙地时,货车行驶的路程为：4.560270⨯=(千米),此时,货车距乙地的路程为：30027030-=(千米)． 所以轿车到达乙地后,货车距乙地30千米． 故答案为：30；(2)设CD 段函数解析式为(0)(2.5 4.5)y kx b k x =+≠． (2.5,80)C ,(4.5,300)D 在其图象上,2.5804.5300k b k b +=⎧⎨+=⎩,解得110195k b =⎧⎨=-⎩, CD ∴段函数解析式：110195(2.5 4.5)y x x =-；易得:60OA y x =,11019560y x y x =-⎧⎨=⎩,解得 3.9234x y =⎧⎨=⎩, ∴当 3.9x =时,轿车与货车相遇；(3)当 2.5x =时,150y =货,两车相距150807020=-=>, 由题意60(110195)20x x --=或1101956020x x --=, 解得 3.5x =或4.3小时．答：在两车行驶过程中,当轿车与货车相距20千米时,x 的值为3.5或4.3小时．26. (本小题满分12分)如图,抛物线y ＝ax 2+32x +c 交x 轴于A ,B 两点,交y 轴于点C ．直线y =−12+2经过点A ,C ．(1)求抛物线的解析式；(2)点P 在抛物线在第一象限内的图象上,过点P 作x 轴的垂线,垂足为D ,交直线AC 于点E ,连接PC ,设点P 的横坐标为m ．①当△PCE 是等腰三角形时,求m 的值；②过点C 作直线PD 的垂线,垂足为F ．点F 关于直线PC 的对称点为F ′,当点F ′落在坐标轴上时,请直接写出点P 的坐标．(第26题)【解答】(1)∵直线y =−12x +2经过A ,C , ∴A (4,0),C (0,2),∵抛物线y ＝ax 2+32x +c 交x 轴于点B ,交y 轴于点C ,∴{c =20=a ×42+32×4+c , ∴a =−12,c ＝2,∴抛物线的解析式为y =−12x 2+32x +2；(2)∵点P 在抛物线在第一象限内的图象上,点P 的横坐标为m ,∴0＜m ＜4,P (m ,−12m 2+32m +2),①∵PD ⊥x 轴,交直线y =−12x +2于点E ,∴E (m ,−12m +2),∴PE ＝(−12m 2+32m +2)﹣(−12m +2)=−12m 2+2m ,∵PD ∥CO ,∴CE CA =OD OA ,∴CE =2√5m 4=√52m , 当PE ＝CE 时,−12m 2+2m =√52m ,解得,m 1＝4−√5,m 2＝0(舍去)；当PC ＝CE 时,PD +ED ＝2CO ,即(−12m 2+32m +2)+(−12m +2)＝2×2,∴−12m 2+m ＝0,解得,m 1＝2,m 2＝0(舍去)；当PC ＝PE 时,取CE 中点G ,则G (12m ,−14m +2),PG ⊥AC , ∴∠GEP ＝∠OCA ,∴Rt △PGE ∽Rt △AOC ,∴PE GE =AC OC =2, ∴(−12m 2+32m +2)﹣(−14m +2)＝2(m −12m ),−12m 2+34m ＝0,解得,m 1=32,m 2＝0(舍去),综上,当△PCE 是等腰三角形时,m 的值为m ＝4−√5,2,32； ②P (1,3),P (√13,3√13−92),理由如下, 当点F '落在坐标轴上时,存在两种情形：如图2﹣1,当点F '落在y 轴上时,点P (m ,−12m 2+32m +2)在直线y ＝x +2上,∴−12m 2+32m +2＝m +2,解得,m 1＝1,m 2＝0(舍去),∴P (1,3)；如图2﹣2,当点F '落在x 轴上时,△COF '∽△F 'DP ,∴F′D CO =PF′CF′=PD OF′, ∴F′D CO =PF CF ,∵PF ＝2﹣(−12m 2+32m +2)=12m (m ﹣3),∴F 'D =CO×PF CF=m ﹣3, ∴OF '＝OD ﹣FD ＝m ﹣(m ﹣3)＝3,在△CBF '中,CF '=√CO 2+OF 2=√13,∴m =√13,P (√13,3√13−92), 综上所述,当点F ′落在坐标轴上时,点P 的坐标为(1,3)或(√13,3√13−92)． 27. (本小题满分12分)如图1,在正方形ABCD 和正方形AEFG 中,边AE 在边AB 上,AB ＝2AE ＝4．将正方形AEFG 绕点A 按逆时针方向旋转α(0°≤α≤60°)．(1)如图2,当α＞0°时,求证：△DAG ≌△BAE ；(2)在旋转的过程中,设BE 的延长线交直线DG 于点P ．①如果存在某时刻使得BF ＝BC ,请求出此时DP 的长；②若正方形AEFG 绕点A 按逆时针方向旋转了60°,求旋转过程中点P 运动的路线长．(第27题)【解答】(1)证明：在正方形ABCD和正方形AEFG中,AD＝AB,AG＝AE,∠BAD＝∠EAG ＝90°,∵∠BAE+∠EAD＝∠BAD,∠DAG+∠EAD＝∠EAG,∴∠BAE＝∠DAG,在△DAG和△BAE中,{AD=AB∠DAG=∠BAE AG=AE,∴△DAG≌△BAE(SAS)；∴BE＝DG；(2)①∵AB＝2AE＝4,∴AE＝2,由勾股定理得,AF=√2AE＝2√2,∵BF＝BC＝4,∴AB＝BF＝4,∴△ABF是等边三角形,∵AE＝EF,∴直线BE是AF的垂直平分线,设BE的延长线交AF于点O,交AD于点H,如图3所示：则OE＝OA=AE√2=2√2=√2,∴OB=√AB2−OA2=√42−(√2)2=√14,∵cos∠ABO=OBAB=√144,cos∠ABH=ABBH=4BH,∴4BH =√144,∴BH =8√147, AH =√BH 2−AB 2=(8√147)2−42=4√77,∴DH ＝AD ﹣AH ＝4−4√77, ∵∠DHP ＝∠BHA ,∠BAH ＝∠DPH ＝90°, ∴△BAH ∽△DPH , ∴ABDP =BH DH , 即：4DP =8√1474−4√77, ∴DP =√14−√2；②∵△DAG ≌△BAE ,∴∠ABE ＝∠ADG ,∵∠BPD ＝∠BAD ＝90°, ∴点P 的运动轨迹为以BD 为直径的AP ̂, BD =√2AB ＝4√2,∵正方形AEFG 绕点A 按逆时针方向旋转了60°, ∴∠BAE ＝60°,∵AB ＝2AE ,∴∠BEA ＝90°,∠ABE ＝30°,∴B 、E 、F 三点共线,同理D 、F 、G 三点共线,∴P 与F 重合,∴∠ABP ＝30°,∴AP̂所对的圆心角为60°, ∴旋转过程中点P 运动的路线长为：60×π×4√2360=2√2π3．。