华东师大初中数学八年级上册全等三角形判定一(SAS、ASA、AAS)(提高)知识讲解[精选]

全等三角形判定一（SAS,ASA ，AAS ）（基础）【学习目标】1．理解和掌握全等三角形判定方法1——“边角边”，判定方法2——“角边角”，判定方法3——“角角边”；能运用它们判定两个三角形全等．2．能把证明角相等或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等．【要点梳理】要点一、全等三角形判定1——“边角边”1. 全等三角形判定1——“边角边”两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS ”）.要点诠释：如图，如果AB ＝ ''A B ，∠A ＝∠'A ，AC ＝ ''A C ，则△ABC ≌△'''A B C . 注意：这里的角，指的是两组对应边的夹角.2. 有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.如图，△ABC 与△ABD 中，AB ＝AB ，AC ＝AD ，∠B ＝∠B ，但△ABC 与△ABD 不完全重合，故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.要点二、全等三角形判定2——“角边角”全等三角形判定2——“角边角”两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA ”）. 要点诠释：如图，如果∠A ＝∠'A ，AB ＝''A B ，∠B ＝∠'B ，则△ABC ≌△'''A B C .要点三、全等三角形判定3——“角角边”1.全等三角形判定3——“角角边”两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）要点诠释：由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论.2.三个角对应相等的两个三角形不一定全等.如图，在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC和△ADE不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等.要点四、如何选择三角形证全等1.可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等；2.可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等；3.由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等；4.如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形.【典型例题】类型一、全等三角形的判定1——“边角边”1、（2016•泉州）如图，△ABC、△CDE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点E在AB上．求证：△CDA≌△CEB．【思路点拨】根据等腰直角三角形的性质得出CE=CD，BC=AC，再利用全等三角形的判定证明即可．【答案与解析】证明：∵△ABC、△CDE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，∴CE=CD，BC=AC，∴∠ACB﹣∠ACE=∠DCE﹣∠ACE，∴∠ECB=∠DCA，在△CDA与△CEB中，∴△CDA ≌△CEB ．【总结升华】本题考查了全等三角形的判定，熟记等腰直角三角形的性质是解题的关键，同时注意证明角等的方法之一：利用等式的性质，等量加等量，还是等量.2、如图，将两个一大、一小的等腰直角三角尺拼接 （A 、B 、D 三点共线，AB ＝CB ，EB ＝DB ，∠ABC ＝∠EBD ＝90°），连接AE 、CD ，试确定AE 与CD 的位置与数量关系，并证明你的结论．【答案】AE ＝CD ，并且AE ⊥CD证明：延长AE 交CD 于F ，∵△ABC 和△DBE 是等腰直角三角形∴AB ＝BC ，BD ＝BE在△ABE 和△CBD 中90AB BC ABE CBD BE BD =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴△ABE ≌△CBD （SAS ）∴AE ＝CD ，∠1＝∠2又∵∠1＋∠3＝90°，∠3＝∠4（对顶角相等）∴∠2＋∠4＝90°，即∠AFC ＝90°∴AE ⊥CD【总结升华】通过观察，我们也可以把△CBD 看作是由△ABE 绕着B 点顺时针旋转90°得到的.尝试着从变换的角度看待全等.举一反三：【变式】已知：如图，PC ⊥AC ，PB ⊥AB ，AP 平分∠BAC ，且AB ＝AC ，点Q 在PA 上，求证：QC ＝QB【答案】证明：∵ AP 平分∠BAC∴∠BAP ＝∠CAP在△ABQ 与△ACQ 中∵∴△ABQ ≌△ACQ(SAS)∴ QC ＝QB类型二、全等三角形的判定2——“角边角”【高清课堂：379110 全等三角形判定二，例5】3、已知：如图，E ，F 在AC 上，AD ∥CB 且AD ＝CB ，∠D ＝∠B ．求证：AE ＝CF ．【答案与解析】证明：∵AD ∥CB∴∠A ＝∠C在△ADF 与△CBE 中A C AD CB D B ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ADF ≌△CBE （ASA ）∴AF ＝CE ，AF ＋EF ＝CE ＋EF故得：AE ＝CF【总结升华】利用全等三角形证明线段(角)相等的一般方法和步骤如下：(1)找到以待证角(线段)为内角(边)的两个三角形；(2)证明这两个三角形全等；(3)由全等三角形的性质得出所要证的角(线段)相等．举一反三：【变式】如图，已知AE=CF ，∠AFD=∠CEB，AD∥BC，求证：△ADF≌△CBE．【答案】证明：∵AE=CF，∴AE+EF=CF+EF ，即AF=CE ；∵AD∥BC，∴∠A=∠C；在△ADF 与△CBE 中，，∴△ADF≌△CB E （ASA ）．类型三、全等三角形的判定3——“角角边”【高清课堂：379110 全等三角形的判定二，例6】4、已知：如图，AB ⊥AE ，AD ⊥AC ，∠E ＝∠B ，DE ＝CB ．求证：AD ＝AC ．【思路点拨】要证AC ＝AD ，就是证含有这两个线段的三角形△BAC ≌△EAD.【答案与解析】证明：∵AB ⊥AE ，AD ⊥AC ，∴∠CAD ＝∠BAE ＝90°∴∠CAD ＋∠DAB ＝∠BAE ＋∠DAB ，即∠BAC ＝∠EAD在△BAC 和△EAD 中BAC EAD B E CB=DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪⎩∴△BAC ≌△EAD （AAS ）∴AC ＝AD【总结升华】我们要善于把证明一对角或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等．举一反三：【变式】如图，AD 是△ABC 的中线，过C 、B 分别作AD 及AD 的延长线的垂线CF 、BE.求证：BE ＝CF.【答案】证明：∵AD 为△ABC 的中线∴BD ＝CD∵BE ⊥AD ，CF ⊥AD ，∴∠BED ＝∠CFD ＝90°，在△BED 和△CFD 中BED CFD BDE CDFBD CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩（对顶角相等） ∴△BED ≌△CFD （AAS ）∴BE ＝CF5、已知：如图，AC 与BD 交于O 点，AB ∥DC ，AB ＝DC ．（1）求证：AC 与BD 互相平分；（2）若过O 点作直线l ，分别交AB 、DC 于E 、F 两点，求证：OE ＝OF.【思路点拨】（1）证△ABO ≌△CDO ，得AO ＝OC ，BO ＝DO （2）证△AEO ≌△CFO 或△BEO ≌△DFO【答案与解析】证明：∵AB ∥DC∴∠Ａ＝∠Ｃ在△ABO 与△CDO 中A C (AOB COD ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝对顶角相等） AB=CD∴△ABO ≌△CDO （AAS ）∴AO ＝CO ，BO=DO在△AEO 和△CFO 中A C (AOE COF ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝AO=CO＝对顶角相等） ∴△AEO ≌△CFO （ASA ）∴OE ＝OF.【总结升华】证明线段相等，就是证明它们所在的两个三角形全等．利用平行线找角等是本题的关键.类型四、全等三角形判定的实际应用6、要测量河两岸相对两点A ，B 间的距离，先在过点B 的AB 的垂线上取两点C 、D ，使CD=BC ，再在过点D 的l 的垂线上取点E ，使A 、C 、E 三点在一条直线上，这时ED 的长就是A ，B 两点间的距离．你知道为什么吗？说说你的理由．【思路点拨】利用“角边角”证明△ABC 和△EDC 全等，根据全等三角形对应边相等可得AB=DE ，从而得解．【答案与解析】解：∵AB⊥l，CD⊥l，∴∠ABC=∠EDC=90°，在△ABC 和△EDC 中，，∴△ABC≌△EDC（ASA ），∴AB=DE，即ED 的长就是A ，B 两点间的距离．【总结升华】此题主要考查了全等三角形的应用，解答本题的关键是借助两个三角形全等，寻找所求线段与已知线段之间的等量关系.。

全等三角形判定一（SAS,ASA，AAS）（基础）【学习目标】1．理解和掌握全等三角形判定方法1——“边角边”，判定方法2——“角边角”，判定方法3——“角角边”；能运用它们判定两个三角形全等．2．能把证明角相等或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等．【要点梳理】要点一、全等三角形判定1——“边角边”1. 全等三角形判定1——“边角边”两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）.A'C'''AA'B，则△ABC，＝要点诠释：如图，如果AB AC ＝＝∠，∠A≌△A'B'C'. 注意：这里的角，指的是两组对应边的夹角.2. 有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.如图，△ABC与△ABD中，AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，但△ABC与△ABD不完全重合，故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.要点二、全等三角形判定2——“角边角”全等三角形判定2——“角边角”两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）.A'B'C'''B'B'AA.要点诠释：如图，如果∠，∠≌△ABC＝AB＝∠A，＝∠B，则△要点三、全等三角形判定3——“角角边”1.全等三角形判定3——“角角边”两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）要点诠释：由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论.2.三个角对应相等的两个三角形不一定全等.如图，在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC 和△ADE不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等.要点四、如何选择三角形证全等1.可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等；2.可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等；3.由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等；4.如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形.【典型例题】类型一、全等三角形的判定1——“边角边”1、（2016?泉州）如图，△ABC、△CDE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点E在AB上．求证：△CDA≌△CEB．【思路点拨】根据等腰直角三角形的性质得出CE=CD，BC=AC，再利用全等三角形的判定证明即可．【答案与解析】证明：∵△ABC、△CDE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，∴CE=CD，BC=AC，∴∠ACB﹣∠ACE=∠DCE﹣∠ACE，∴∠ECB=∠DCA，，中CEB与△CDA在△．∴△CDA≌△CEB．【总结升华】本题考查了全等三角形的判定，熟记等腰直角三角形的性质是解题的关键，同时注意证明角等的方法之一：利用等式的性质，等量加等量，还是等量.2、如图，将两个一大、一小的等腰直角三角尺拼接（A、B、D三点共线，AB＝CB，EB＝DB，∠ABC＝∠EBD＝90°），连接AE、CD，试确定AE与CD的位置与数量关系，并证明你的结论．【答案】AE＝CD，并且AE⊥CD证明：延长AE交CD于F，∵△ABC和△DBE是等腰直角三角形BE ＝，BD∴AB＝BC中和△CBD 在△ABE BCAB?????90ABE??CBD???BDBE?? SAS）≌△CBD （∴△ABE2＝∠CD，∠1AE ∴＝（对顶角相等）3＝∠4＋∠3＝90°，∠又∵∠ 1 °＝90＝90°，即∠AFC4 ∴∠2＋∠CDAE⊥∴°得到点顺时针旋转90ABE绕着B我们也可以把△【总结升华】通过观察，CBD 看作是由△. 尝试着从变换的角度看待全等的.举一反三：??上，Q，点在PAABPB，APAB，平分∠BAC，且＝ACPC【变式】已知：如图，ACQB＝求证：QC【答案】BAC 平分∠证明：∵ APCAP＝∠BAP∴∠在△ABQ与△ACQ中∵∴△ABQ≌△ACQ(SAS)∴ QC＝QB类型二、全等三角形的判定2——“角边角”】全等三角形判定二，例5【高清课堂：379110B．CB，∠D＝∠AC上，AD∥CB且AD＝3、已知：如图，E，F在 CF．求证：AE＝【答案与解析】证明：∵AD∥CB∴∠A＝∠C在△ADF与△CBE中?A??C??AD?CB???D??B?∴△ADF≌△CBE （ASA）∴AF ＝CE ，AF＋EF＝CE＋EF故得：AE＝CF【总结升华】利用全等三角形证明线段(角)相等的一般方法和步骤如下：(1)找到以待证角(线段)为内角(边)的两个三角形；(2)证明这两个三角形全等；(3)由全等三角形的性质得出所要证的角(线段)相等．举一反三：【变式】如图，已知AE=CF，∠AFD=∠CEB，AD∥BC，求证：△ADF≌△CBE．【答案】．证明：∵AE=CF，∴AE+EF=CF+EF，即AF=CE；∵AD∥BC，∴∠A=∠C；在△ADF与△CBE中，，∴△ADF≌△CBE（ASA）．类型三、全等三角形的判定3——“角角边”】全等三角形的判定二，例6【高清课堂：379110CB．B，DE＝AC⊥AE，AD⊥，∠E＝∠4、已知：如图，AB AC．求证：AD＝【思路点拨】要证AC＝AD，就是证含有这两个线段的三角形△BAC≌△EAD.【答案与解析】证明：∵AB⊥AE，AD⊥AC，∴∠CAD＝∠BAE＝90°∴∠CAD＋∠DAB＝∠BAE＋∠DAB ，即∠BAC＝∠EAD在△BAC和△EAD中?BAC??EAD???B??E??CB=DE ?∴△BAC≌△EAD（AAS）∴AC ＝AD【总结升华】我们要善于把证明一对角或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等．举一反三：【变式】如图，AD是△ABC的中线，过C、B分别作AD及AD的延长线的垂线CF、BE.CF.＝BE求证：【答案】证明：∵AD为△ABC的中线∴BD＝CD∵BE⊥AD，CF⊥AD，∴∠BED＝∠CFD＝90°，在△BED和△CFD中?BED??CFD??（对顶角相等）?BDE??CDF??BD?CD?∴△BED≌△CFD（AAS）∴BE＝CF5、已知：如图，AC与BD交于O点，AB∥DC，AB＝DC．（1）求证：AC与BD互相平分；（2）若过O点作直线l，分别交AB、DC于E、F两点，求证：OE＝OF.【思路点拨】（1）证△ABO≌△CDO，得AO＝OC，BO＝DO（2）证△AEO≌△CFO或△BEO≌△DFO 【答案与解析】证明：∵AB∥DC∴∠Ａ＝∠Ｃ在△ABO与△CDO中?A＝?C???AOB＝?COD(对顶角相等）??AB=CD?∴△ABO≌△CDO（AAS）∴AO＝CO ，BO=DO中CFO和△AEO在△．?A＝?C??AO=CO???AOE＝?COF(对顶角相等）?∴△AEO≌△CFO（ASA）∴OE＝OF.【总结升华】证明线段相等，就是证明它们所在的两个三角形全等．利用平行线找角等是本题的关键.类型四、全等三角形判定的实际应用6、要测量河两岸相对两点A，B间的距离，先在过点B的AB的垂线上取两点C、D，使CD=BC，再在过点D的l的垂线上取点E，使A、C、E三点在一条直线上，这时ED的长就是A，B两点间的距离．你知道为什么吗？说说你的理由．【思路点拨】利用“角边角”证明△ABC和△EDC全等，根据全等三角形对应边相等可得AB=DE，从而得解．【答案与解析】解：∵AB⊥l，CD⊥l，∴∠ABC=∠EDC=90°，在△ABC和△EDC中，，∴△ABC≌△EDC（ASA），∴AB=DE，即ED的长就是A，B两点间的距离．【总结升华】此题主要考查了全等三角形的应用，解答本题的关键是借助两个三角形全等，寻找所求线段与已知线段之间的等量关系.。

全等三角形判定一（SAS,ASA，AAS）（提高）【学习目标】1．理解和掌握全等三角形判定方法1——“边角边”，判定方法2——“角边角”，判定方法3——“角角边”；能运用它们判定两个三角形全等．2．能把证明角相等或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等．【要点梳理】要点一、全等三角形判定1——“边角边”1. 全等三角形判定1——“边角边”两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）.A'C'''AA'B，则△ABC，＝要点诠释：如图，如果AB AC ＝＝∠，∠A≌△A'B'C'. 注意：这里的角，指的是两组对应边的夹角.2. 有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.如图，△ABC与△ABD中，AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，但△ABC与△ABD不完全重合，故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.要点二、全等三角形判定2——“角边角”全等三角形判定2——“角边角”两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）.A'B'C'''B'B'AA.要点诠释：如图，如果∠，∠≌△ABC＝AB＝∠A，＝∠B，则△要点三、全等三角形判定3——“角角边”1.全等三角形判定3——“角角边”两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）要点诠释：由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论.2.三个角对应相等的两个三角形不一定全等.如图，在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC 和△ADE不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等.要点四、如何选择三角形证全等1.可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等；2.可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等；3.由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等；4.如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形.【典型例题】类型一、全等三角形的判定1——“边角边”1、如图，AD是△ABC的中线，求证：AB＋AC＞2AD．【思路点拨】延长AD到点E，使AD＝DE，连接CE．通过证全等将AB转化到△CEA中，同时也构造出了2AD．利用三角形两边之和大于第三边解决问题.【答案与解析】证明：如图，延长AD到点E，使AD＝DE，连接CE．在△ABD和△ECD中，AD＝DE，∠ADB＝∠EDC，BD＝CD．∴△ABD≌△ECD．∴AB＝CE．∵AC＋CE＞AE，．2AD＞AB＋AC．即2AD＝AE＞AB＋AC∴．）三角形的两（2证明边的大小关系主要有两个思路：（1）两点之间线段最短；【总结升华】，如果归到一个三角形中，边的大小关系就是显然＞2AD边之和大于第三边．要证明AB＋ACABD可利用旋转变换，把△的，因此需要转移线段，构造全等三角形是转化线段的重要手段．．若中，同时也构造出了2AD，也就把AB转化到△CEA绕点D逆时针旋转180°得到△CED 题目中有中线，倍长中线，利用旋转变换构造全等三角形是一种重要方法． BC，，AD⊥ABC中，∠B＝2∠C2、已知，如图：在△ BD．＝CD－求证：ABEC，只要再证出AB＝AEDE，则△ABD≌△AED，所以【思路点拨】在DC上取一点E，使BD＝即可．＝AE【答案与解析】DE ＝E，使BD证明：在DC上取一点AADE＝∠，∴∠ADB∵ AD⊥BC ．＝AD BD＝DE，AD在△ABD和△AED中，．SAS）ABD≌△AED（∴△C B AED．AE，∠B＝∠∴AB＝EDEAC．＝∠C＋∠B又∵∠＝2∠C＝∠AED．AE＝EC＝∠∴∠CEAC．∴．—BD—＝CDDE＝CD∴AB＝AE＝EC上升到解题思想，就是利用翻折变换，构造的全等.【总结升华】此题采用截长或补短方法，－CDBD三角形，把条件集中在基本图形里面，从而使问题加以解决．如图，要证明AB＝上，DC运动到翻折，使线段BD可利用翻折变换，－BD转化为一条线段，把△ABD沿ADCD把. 的关系，从而拉近了与∠CB－BD，并且也把∠转化为∠AEBCD从而构造出举一反三：1（AB＝E⊥AB于，并且AE＋CEBADACABCD【变式】已知，如图，在四边形中，平分∠，2.°180＝D＋∠B，求证：∠）AD．【答案】证明：在线段AE上，截取EF＝EB，连接FC，∵CE⊥AB，∴∠CEB＝∠CEF＝90°CFE中，在△CBE和△EF?EB??CEF??CEB???EC =EC?）CFE（SAS∴△CBE和△CFE ＝∠∴∠B1AD ＋＝ AB＋AD），∴2AE∵AE＝AB（2AB －＝2AE∴AD ，＋EF∵AE＝AF AB，＋AB－EB ＋EF＋－AB＝AFABEFAD＝2（AF＋）－AB＝2AF＋2EF－＝AF＋AF∴AFAD＝即中AFC在△和△ADC AD?AF??角平分线定义）(??DAC?FAC??AC?AC?）（SAS∴△AFC≌△ADCDAFC＝∠∴∠CFE. B＝∠CFE＝180°，∠∵∠AFC＋∠.°D＝180B＝180°，∠B＋∠＋∠∴∠AFC2类型二、全等三角形的判定——“角边角”，交的平分线BF请先作出∠ABC和是线段GAB上一点，ACDG相交于点E.、如图，3BF.DE，∠ABC＝2∠ADG＝AD∥BC，FAC于点；然后证明：当ADBC时，＝【思路点拨】通过已知条件证明∠DAC＝∠C，∠CBF＝∠ADG，则可证△DAE≌△BCF【答案与解析】证明：∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠C平分∠ABC ∵BF ∴∠ABC＝2∠CBF∵∠ABC＝2∠ADG∴∠CBF＝∠ADG中在△DAE与△BCF CBF??ADG???BC?AD??C?DAC???）∴△DAE≌△BCF（ASABF∴DE＝找到以待证角(1))相等的一般方法和步骤如下：【总结升华】利用全等三角形证明线段(角由全等三角形的性质得出证明这两个三角形全等；(3)边)的两个三角形；(2)((线段)为内角 )相等．所要证的角(线段举一反三： 7】【高清课堂：379110 全等三角形判定二，例．＝的交点，且MQNQMPN中，H是高MQ和NR【变式】已知：如图，在△PM.＝求证：HN【答案】的高，是△MPNNR证明：∵MQ和°，＝90 ∴∠MQN＝∠MRN4 3＝∠4＝90°，∠1 又∵∠＋∠3＝∠2＋∠21＝∠∴∠中，MPQ和△NHQ 在△2?1????NQMQ???NQH?MQP??? ASA）≌△∴△MPQNHQ（HNPM∴＝3类型三、全等三角形的判定——“角角边”4、（2016?黄陂区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，过C点作直线l，点 D，E在直线l上，连接AD，BE，∠ADC=∠CEB=90°．求证：△ADC≌△CEB．【思路点拨】先证明∠DAC=∠ECB，根据AAS证△ADC≌△CEB．【答案与解析】证明：∵∠DAC+∠DCA=∠ECB+∠DCA=90°，∴∠DAC=∠ECB，在△ADC和△CEB中，，∴△ADC≌△CEB（AAS）．【总结升华】本题考查三角形全等的判定方法，注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．举一反三：【变式】已知：如图，等腰三角形ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，直线l经过点C（点A、B都在直线l的同侧），AD⊥l，BE⊥l，垂足分别为D、E．求证：△ADC≌△CEB．【答案】证明：∵∠DAC+∠DCA=∠ECB+∠DCA=90°，∴∠DAC=∠ECB，在△ADC和△CEB中，，∴△ADC≌△CEB（AAS）．5、平面内有一等腰直角三角板（∠ACB＝90°）和一直线MN．过点C作CE⊥MN于点E，过点B 作BF⊥MN于点F．当点E与点A重合时（如图1），易证：AF＋BF＝2CE．当三角板绕点A顺时针旋转至图2的位置时，上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，之间又有怎样的数量关系，请直接写出你的猜想，不需证明．CE、BF、AF线段．【思路点拨】过B作BH⊥CE与点H，易证△ACE≌△CBH，根据全等三角形的对应边相等，即可证得AF＋BF＝2CE．【答案与解析】解：图2，AF＋BF＝2CE仍成立，证明：过B作BH⊥CE于点H，∵∠CBH＋∠BCH＝∠ACE＋∠BCH＝90°∴∠CBH＝∠ACE在△ACE与△CBH中，?ACH??CBH???AEC??CHB?90???AC?BC?∴△ACE≌△CBH．（AAS）∴CH＝AE，BF＝HE，CE＝EF，∴AF＋BF＝AE＋EF＋BF＝CH＋EF＋HE＝CE＋EF＝2EC．【总结升华】正确作出垂线，构造全等三角形是解决本题的关键.举一反三：【变式】已知Rt△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，D为AB边的中点，∠EDF＝90°，∠EDF绕D点旋转，它的两边分别交AC、CB于E、F．当∠EDF绕D点旋转到DE⊥AC于E时（如图1S??SS；当∠EDF绕D点旋转到DE和，易证）1AC不垂直时，在图2情ABCDEF△△△CEF2.况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请写出你的猜想，不需证明【答案】 2成立；解：图 2：证明图ABC?AC，DNDM?D作过点°MDN??90?DME??DNF?则和△DNB中，在△AMD DM ??DNB=90?AMD=??E B??A???BCBD?AD?FN2图∴△）DNB（AASAMD≌△DN＝∴DM 90°，NDFEDN＝∠＋∠EDN＝∵∠MDE＋∠NDF MDE＝∠∴∠ DNF中，在△DME与△?EMD??FDN?90???DM?DN???MDE??NDF?∴△DME≌△DNF（ASA）S?S∴DNFDME△△S=S=S?S.∴CEF△DEF△DECF四边形四边形DMCN1SS=，可知ABC△DMCN四边形21SS??S ∴ABC△△CEF△DEF2类型四、全等三角形判定的实际应用6、小强为了测量一幢高楼高AB，在旗杆CD与楼之间选定一点P．测得旗杆顶C视线PC与地面夹角∠DPC=36°，测楼顶A视线PA与地面夹角∠APB=54°，量得P到楼底距离PB与旗杆高度相等，等于10米，量得旗杆与楼之间距离为DB=36米，小强计算出了楼高，楼是多少米？AB高．【思路点拨】根据题意可得△CPD≌△PAB（ASA），进而利用AB=DP=DB﹣PB求出即可．【答案与解析】解：∵∠CPD=36°，∠APB=54°，∠CDP=∠ABP=90°，∴∠DCP=∠APB=54°，在△CPD和△PAB中∵，∴△CPD≌△PAB（ASA），∴DP=AB，∵DB=36，PB=10，∴AB=36﹣10=26（m），答：楼高AB是26米．【总结升华】此题主要考查了全等三角形的应用，根据题意得出△CPD≌△PAB是解题关键．。

八年级数学上册三角形的判定一、全等三角形的判定方法。

1. SSS（边边边）- 内容：三边对应相等的两个三角形全等。

- 示例：在△ABC和△DEF中，如果AB = DE，BC = EF，AC = DF，那么△ABC≌△DEF。

- 应用场景：当已知三角形三边的长度时，可直接利用SSS判定两个三角形全等。

例如，在建筑工程中，确定两个三角形结构是否完全相同，可以测量三边长度，若三边对应相等则全等。

2. SAS（边角边）- 内容：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。

- 示例：在△ABC和△DEF中，AB = DE，∠A=∠D，AC = DF，那么△ABC≌△DEF。

- 应用场景：当已知三角形的两边及其夹角时，用SAS判定全等。

比如在测量池塘两端距离时，可以构造这样的三角形关系，通过测量夹角和两边来确定全等关系，进而得出池塘两端的距离。

3. ASA（角边角）- 内容：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。

- 示例：在△ABC和△DEF中，∠A =∠D，AB = DE，∠B=∠E，那么△ABC≌△DEF。

- 应用场景：当已知三角形的两角及其夹边时，运用ASA判定。

在地图测绘中，确定两个三角形区域相似性时，如果知道两角及其夹边的信息，可以判定全等。

4. AAS（角角边）- 内容：两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。

- 示例：在△ABC和△DEF中，∠A =∠D，∠B =∠E，BC = EF，那么△ABC≌△DEF。

- 应用场景：当已知三角形的两个角和其中一个角的对边时，可使用AAS判定全等。

在光学中，光线反射形成的三角形关系，有时可以利用AAS来确定全等关系。

5. HL（斜边、直角边）（只适用于直角三角形）- 内容：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。

- 示例：在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C =∠F = 90°，AB = DE，AC = DF，那么Rt△ABC≌Rt△DEF。

全等三角形判定二（SSS ）（提高）【学习目标】1．理解和掌握全等三角形判定方法4——“边边边”；2．能把证明角相等或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等.3. 探索三角形全等的判定方法，能利用三角形全等进行证明，掌握综合法证明的格式；【要点梳理】要点一、全等三角形判定4——“边边边”全等三角形判定4——“边边边”三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS ”）.要点诠释：如图，如果''A B ＝AB ，''A C ＝AC ，''B C ＝BC ，则△ABC ≌△'''A B C .要点二、判定方法的选择1.选择哪种判定方法，要根据具体的已知条件而定，见下表：要点三、如何选择三角形证全等1.可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等；2.可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等；3.由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等；4.如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形.要点四、全等三角形证明方法全等三角形是平面几何内容的基础，这是因为全等三角形是研究特殊三角形、四边形、相似图形、圆等图形性质的有力工具，是解决与线段、角相关问题的一个出发点.运用全等三角形，可以证明线段相等、线段的和差倍分关系、角相等、两直线位置关系等常见的几何问题.可以适当总结证明方法.1． 证明线段相等的方法：(1) 证明两条线段所在的两个三角形全等.(2) 利用角平分线的性质证明角平分线上的点到角两边的距离相等.(3) 等式性质.2． 证明角相等的方法：(1) 利用平行线的性质进行证明.(2) 证明两个角所在的两个三角形全等.(3) 利用角平分线的判定进行证明.(4) 同角（等角）的余角（补角）相等.(5) 对顶角相等.3． 证明两条线段的位置关系（平行、垂直）的方法；可通过证明两个三角形全等，得到对应角相等，再利用平行线的判定或垂直定义证明.4． 辅助线的添加:(1)作公共边可构造全等三角形；(2)倍长中线法；(3)作以角平分线为对称轴的翻折变换全等三角形；(4)利用截长(或补短)法作旋转变换的全等三角形.5. 证明三角形全等的思维方法:（1）直接利用全等三角形判定和证明两条线段或两个角相等，需要我们敏捷、快速地发现两条线段和两个角所在的两个三角形及它们全等的条件.（2）如果要证明相等的两条线段或两个角所在的三角形全等的条件不充分时，则应根据图形的其它性质或先证明其他的两个三角形全等以补足条件.（3）如果现有图形中的任何两个三角形之间不存在全等关系，此时应添置辅助线，使之出现全等三角形，通过构造出全等三角形来研究平面图形的性质.【典型例题】类型一、全等三角形的判定4——“边边边”1、如图，在△ABC 和△ADE 中，AB ＝AC ，AD ＝AE ，BD ＝CE ，求证：∠BAD ＝∠CAE.【答案与解析】证明：在△ABD 和△ACE 中，AB AC AD AE BD CE =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴△ABD ≌△ACE （SSS ）∴∠BAD ＝∠CAE （全等三角形对应角相等）.【总结升华】把证明一对角或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等，综合应用全等三角形的判定和性质. 要证∠BAD＝∠CAE，先找出这两个角所在的三角形分别是△BDA和△CAE，然后证这两个三角形全等.举一反三：【变式】（2015春•兴平市期末）如图，AB=AE，AC=AD，BD=CE，△ABC≌△AED吗？试说明．【答案】证明：△ABC≌△AED，∵BD=CE，∴BD-CD=CE-CD，即BC=ED，在△ABC和△AED中，，∴△ABC≌△AED．类型二、全等三角形动态型问题【高清课堂：379111 直角三角形全等的判定，巩固练习5】2、在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线l经过顶点C，过A，B两点分别作l的垂线AE，BF，垂足分别为E，F.（1）如图1当直线l不与底边AB相交时，求证：EF＝AE＋BF.（2）将直线l绕点C顺时针旋转，使l与底边AB相交于点D，请你探究直线l在如下位置时，EF、AE、BF之间的关系，①AD＞BD；②AD＝BD；③AD＜BD.【答案与解析】证明：（1）∵AE⊥l，BF⊥l，∴∠AEC＝∠CFB＝90°，∠1＋∠2＝90°∵∠ACB＝90°，∴∠2＋∠3＝90°∴∠1＝∠3。

三角形全等的判定考点1 一般三角形全等的判定判定1：三边对应相等的两个三角形全等；（简称“边边边”或“SSS”）例1:如图，AB = AD，DC = BC，∠B与∠D相等吗？为什么？练习：如图：已知 AB=DC，AD=BC。

求证：∠A=∠C课堂练习：1、已知：如图，AD＝BC．AC＝BD．试证明：∠CAD＝∠DBC.2、如图，点A、C、F、D在同一直线上，DCAF=，DEAB=，EFBC=求证：（1）△ABC≌△DEF （2）DEAB//A DABCDA B3、如图，AC 与BD 交于点O ，CB AD =，E 、F 是BD 上两点，且CF AE =，BF DE =．求证：⑴B D ∠=∠；⑵CF AE //培优：如图，已知AC ，BD 相交于O ，且AB=DC ，AC=DB ，证明：△ABO ≌△DOC判定2：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等；（简称“边角边”或“SAS ”）（注：“角”必须是“两边的夹角”）课堂练习：例2、已知EF 是AB 上的两点，AE =BF ，AC ∥BD ，且AC =DB ，求证：CF =DE ．1、已知：如图AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE求证： （1）△ABD ≌△ACE（2）BD=CE（3）∠B= ∠C2、已知CE=CB，∠1=∠2，AC=DC，求证：△ABC≌△DEC；3、如图，ABC∆都是等边三角形，连接BE、AD交于O.∆和ECD求证：⑴BEAD=⑵︒AOB∠60=4、如图，平行四边形ABCD中，E是CA延长线上的点，F是AC延长线上的点，且AE=CF，说明：∠E=∠F培优：如图，D是ABC∆中边BC的中点，ACDAB=.ABD∠∠，且AC=求证：△AEB≌△AECDBEAO判定3：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等；（简称“角边角”或“ASA”）（注：“边”必须是“两角的夹边”）例1：已知：点D在AB上，点E在AC上，BE和CD相交于点O，AB=AC，∠B=∠C。

华东师大初二数学上册知识点伟大的成绩和辛勤劳动是成正比例的，有一分劳动就有一分收获，积累，从少到多，奇迹就可以创造出来。

学习也是一样的，需要积累，从少变多。

下面是小编给大家整理的一些初二数学的知识点，希望对大家有所帮助。

八年级数学三角证明知识点第一章三角形的证明1、等腰三角形(1)三角形全等的性质及判定全等三角形的对应边相等，对应角也相等判定：SSS、SAS、ASA、AAS、(2)等腰三角形的判定、性质及推论性质：等腰三角形的两个底角相等(等边对等角)判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形(等角对等边)推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(即“三线合一”)(3)等边三角形的性质及判定定理性质定理：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60度;等边三角形的三条边都满足“三线合一”的性质;等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴。

判定定理：有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形。

或者三个角都相等的三角形是等边三角形。

(4)含30度的直角三角形的边的性质定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30度，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

2、直角三角形(1)勾股定理及其逆定理定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。

逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。

(2)直角三角形两个锐角之间的关系定理：直角三角形两个锐角互余。

逆定理：有两个锐角互余的三角形是直角三角形。

(3)含30度的直角三角形的边的定理定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30度，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

逆定理：在直角三角形中，一条直角边是斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角是30度。

(4)命题与逆命题命题包括已知和结论两部分;逆命题是将倒是的已知和结论交换;正确的逆命题就是逆定理。

(5)直角三角形全等的判定定理定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL)3、线段的垂直平分线(1)线段垂直平分线的性质及判定性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。

专题13.3 三角形全等的判定（探索篇）【八大题型】【华东师大版】【题型1 添加条件使三角形全等】【题型2 确定全等三角形的对数】【题型3 网格中确定全等三角形】【题型4 灵活选用判定方法证明全等】【题型5 多次证全等求解或证明结论】【题型6 由全等三角形的判定与性质确定线段之间的关系】【题型7 全等三角形的动态问题】【题型8 全等三角形的应用】知识点：全等三角形的判定判定两个三角形全等常用的思路方法如下：——————————HL SAS SSS AAS SAS ASAAAS ASA AASììïïíïïïîïïìïïìïïííïíïïïïïîîïïìïíïîïî一直角边一斜边已知两边找夹角找另一边边为角的对边找任一角找夹角的另一边已知一边一角边为角的邻边找夹边的另一角找边的对角找夹边已知两角找任一角的对边【题型1 添加条件使三角形全等】【例1】（23-24八年级·山东东营·期中）1．如图，在ABC V 和CDE V 中，点B 、D 、C 在同一直线上，已知ACB E Ð=Ð，AC CE =，添加以下条件后，仍不能判定ABC CDE △≌△的是（）A ．A DCEÐ=ÐB ．AB DE ∥C ．BC DE =D ．AB CD=【变式1-1】（23-24八年级·河南信阳·期中）2．在ABC V 和A B C ¢¢¢V 中，C C ¢Ð=Ð，有下列条件：①AB A B ¢¢=；②BC B C ¢¢=；③AC A C ¢¢=；④A A ¢Ð=Ð；⑤B B ¢Ð=Ð．请你从中选择两个条件： ，使A ABC B C ¢¢¢≌△△，你判断它们全等的根据是 ．【变式1-2】（23-24八年级·江苏徐州·期中）3．如图，已知AD AE =，12Ð=Ð，要使ABD ACE ≌△△，则需要添加的条件是 ．（写一个即可）【变式1-3】（23-24八年级·湖北襄阳·期末）4．如图，点B 、E 、C 、F 四点在一条直线上，∠A =∠D ，AB //DE ，老师说：再添加一个条件就可以使△ABC ≌△DEF ．下面是课堂上三个同学的发言，甲说：添加AB =DE ；乙说：添加AC //DF ；丙说：添加BE =CF ．（1）甲、乙、丙三个同学说法正确的是________；（2）请你从正确的说法中选择一种，给出你的证明．【题型2 确定全等三角形的对数】【例2】（23-24八年级·河南信阳·期中）5．如图，在ABC V 中，,AC BC CD CE ==，连接BE AD 、相交于点O ，连接OC ，则图中共有全等三角形（ ）A ．5对B ．4对C ．3对D ．2对【变式2-1】（23-24八年级·河南南阳·期末）6．如图，AB ＝AC ，BD ⊥AC 于D ，CE ⊥AB 于E ．BD 与CE 交于O ，连接AO ，则图中共有全等的三角形的对数为（ ）A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对【变式2-2】（23-24八年级·广东深圳·期中）7．如图，AB CD ∥，BC AD ∥，BE DF =，图中全等的三角形的对数是（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7【变式2-3】（23-24八年级·重庆渝北·期末）8．如图（1），已知AB AC =，D 为BAC Ð的角平分线上一点，连接BD ，CD ；如图（2），已知AB AC =，D ，E 为BAC Ð的角平分线上两点，连接BD ，CD ，BE ，CE ；如图（3），已知AB AC =，D ，E ，F 为BAC Ð的角平分线上三点，连接BD ，CD ，BE ，CE ，BF ，CF ；¼¼，依此规律，第6个图形中有全等三角形的对数是（ ）A ．21B ．11C ．6D ．42【题型3 网格中确定全等三角形】【例3】（23-24八年级·湖北武汉·阶段练习）9．如图，方格中ABC V 的3个顶点分别在正万形的顶点（格点上），这样的三角形叫格点三角形，图中与ABC V （不含ABC V ）全等的格点三角形共有（ ）个A ．4B ．5C ．8D ．7【变式3-1】（23-24八年级·湖北武汉·阶段练习）10．如图是55´的正方形网格，ABC V 的顶点都在小正方形的顶点上，像ABC V 这样的三角形叫做格点三角形，画与ABC V 只有一条公共边且全等的格点三角形，在该网格中这样的格点三角形（不与ABC V 重合）最多可以画出 个．【变式3-2】（23-24八年级·河北廊坊·期末）11．在方格纸中，每个小方格的顶点叫做格点，以格点的连线为边的三角形叫做格点三角形，解决下列问题．（1）如图1，以点D和点E为两个顶点作格点三角形，使所作的格点三角形与△ABC全等，那么这样的格点三角形最多可以画出个；（2）如图2，∠1＋∠2＝．【变式3-3】（23-24八年级·宁夏吴忠·期中）V是格点三角形（顶点在网格线的交点上），请在下列每个方格纸上按要求12．如图，ABCV全等的格点三角形．画一个与ABCV有一条公共边AB；(1)在图①中所画三角形与ABC(2)在图②中所画三角形与ABC V 有一个公共角C ；(3)在图③中所画三角形与△ABC 有且只有一个公共顶点A ．【题型4 灵活选用判定方法证明全等】【例4】（23-24八年级·山东青岛·期中）13．如图， AC BC ^，BD AD ^，AD BC =．求证：BD AC =．以下是合作小组三名同学关于此题的讨论：小丽说：“我可以根据全等三角形的判定定理‘AAS ’证明两个三角形全等，从而得到BD AC =．”小颖说：“我可以根据直角三角形全等的判定定理‘HL ’证明两个三角形全等，从而得到BD AC =．”小雨说：“我可以根据三角形的面积相等，来证明BD AC =．”看了他们的讨论，你一定也有了自己的主意，请写出你的证明．【变式4-1】（23-24八年级·河南郑州·期末）14．下列所给的四组条件中，能作出唯一三角形的是（ ）A ．60Ð=Ð=Ð=°A B C B ．1cm AB =，4cm AC =，5cm =BC C ．5cm AB =，6m AC =，30C Ð=°D ．3cm BC =，5cm AC =，60C Ð=°【变式4-2】（23-24八年级·河南郑州·期末）15．已知ABC V 的三个内角三条边长如图所示，则甲、乙、丙三个三角形中，和ABC V 全等的图形是（ ）A ．甲和乙B ．乙和丙C ．只有乙D ．只有丙【变式4-3】（23-24八年级·河北保定·期末）16．（1）阅读下题及证明过程已知：如图，D 是ABC V 的BC 边上一点，E 是AD 上一点，EB EC =，ABE ACE =∠∠．求证：BAE CAE Ð=Ð．证明：在AEB V 和AEC △中，因为EB EC =，ABE ACE =∠∠，AE AE =，所以AEB AEC ≌V V ………………第一步所以BAE CAE Ð=Ð………………第二步上面的证明过程是否正确？若正确，请写出每一步推理的依据；若不正确，请指出错在哪一步，并写出你认为正确的证明过程．（2）如果两个锐角三角形的两组边分别相等，且其中一组等边的对角相等，那么这两个三角形全等吗？请说明理由．【题型5 多次证全等求解或证明结论】【例5】（23-24八年级·黑龙江哈尔滨·期末）17．已知：AD 是ABC V 的角平分线，且AD BC ^(1)如图1，求证：AB AC =；(2)如图2，30ABC Ð=°，点E 在AD 上，连接CE 并延长交AB 于点F ，BG 交CA 的延长线于点G ，且ABG ACF Ð=Ð，连接FG ．①求证：AFG AFC Ð=Ð；②若2:3ABG ACF S S =：V V ，且2AG =，求AC 的长．【变式5-1】（23-24八年级·河南洛阳·期末）18．已知：如图，AB AC =，BD CE =，CD 与BE 相交于点O ，连接OA ．证明：(1)OC OB =；(2)OA 平分CAB Ð．【变式5-2】（23-24八年级·广西百色·期末）19．如图，已知，AD BD ^于点D ，CB BD ^于点B ，AB CD =．(1)求证：AD CB =；(2)连接AC 交BD 于点O ，试判断OA 与OC 之间的数量关系，并说明理由．【变式5-3】（23-24八年级·重庆·期末）20．如图1，在等边三角形ABC 中，点D 在BC 上，点E 在AB 上，CE ，AD 交于点F ，CG AD ^于点G ，延长CG 交AB 于点H ，30HCE Ð=°．(1)求证：AE BD =．(2)如图2，连接BF ，若BF CE ^，求证：点F 是AG 的中点．【题型6 由全等三角形的判定与性质确定线段之间的关系】【例6】（23-24八年级·江西南昌·期末）21．如图，AD 是ABC V 的角平分线．(1)若AB AC CD =+，求证：2ACB B ÐÐ=；(2)当2ACB B ÐÐ=时，AC CD +与AB 的数量关系如何？说说你的理由．【变式6-1】（23-24八年级·广东潮州·阶段练习）22．在ABC V 中，90ACB Ð=°，AC BC =，直线MN 经过点C ，且AD MN ^于D ，BE MN ^于E ．(1)当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时，求证：①ADC CEB △△≌；②DE AD BE =+；(2)当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，5AD =，2BE =，求线段DE 的长．【变式6-2】（23-24八年级·重庆·期末）23．如图，在Rt ABC △中，90ACB Ð=°，BC AC <，过点B 作DE AC ∥，且BD BC =，点B 作BF AB ^交CD 于点F ，连接EF ．(1)如图1，若40BAC а=，且BF BE =，求CFE Ð的度数；(2)如图2，若DE AC =，求证：AB BF EF =+．【变式6-3】（23-24八年级·重庆·期末）24．在ABC V 中，ACB Ð和CAB Ð的角平分线CE AD 、相交于点G ．(1)若50B Ð=°，求AGC Ð的度数；(2)延长CE 至点N ，过点N 作BC 的平行线NM 交AB 于点M ，若EG EM =，求证：=+AC AE EN ．【题型7 全等三角形的动态问题】【例7】（23-24八年级·湖南郴州·期中）25．如图，已知ABC V 中，B C Ð=Ð，8AB =厘米，6BC =厘米，点D 为AB 的中点，如果点P 在线段BC 上以每秒2厘米的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上以每秒a 厘米的速度由C 点向A 点运动，设运动时间为(t 秒)(03)t £<．(1)用含t 的代数式表示PC 的长度．(2)若点P 、Q 的运动速度相等，经过1秒后，BPD △与CQP V 是否全等，请说明理由；(3)若点P 、Q 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度a 为多少时，能够使BPD △与CQP V 全等？【变式7-1】（23-24八年级·广东潮州·期中）26．如图，在矩形ABCD 中，10cm AB =，点E 在线段AD 上，且6cm AE =，动点P 在线段AB 上，从点A 出发以2cm/s 的速度向点B 运动，同时点Q 在线段BC 上．以cm/s v 的速度由点B 向点C 运动，当EAP V 与PBQ V 全等时，v 的值为（ ）A ．2B ．4C ．4或65D ．2或125【变式7-2】（23-24八年级·湖南郴州·期中）27．如图，在正方形ABCD 中，3cm AB =，延长BC 到点E ，使1cm CE =，连接DE ，动点P 从点A 出发，以每秒1cm 的速度沿AB BC CD DA ®®®向终点A 运动．设点P 的运动时间为t 秒，当PBC △和DCE △全等时，t 的值为 ．【变式7-3】（23-24八年级·河南郑州·期末）28．如图，在ABC V 中，AD 为高线，18AC =．点E 为AC 上一点，12CE AE =，连接BE ，交AD 于点O ，若BDO ADC ≌V V ．(1)猜想线段BO 与AC 的位置关系，并证明；(2)若动点Q 从点A 出发沿射线AE 以每秒6个单位长度的速度运动，运动的时间为t 秒．①当点Q 在线段AE 上时，是否存在t 的值，使得BOQ △的面积为27？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由；②动点P 从点O 出发沿线段OB 以每秒2个单位长度的速度向终点B 运动，P ，Q 两点同时出发，当点P 到达点B 时，P ，Q 两点同时停止运动．设运动时间为t 秒，点F 是直线BC 上一点，且CF AO =，当AOP V 与FCQ V 全等时，请直接写出t 的值．【题型8 全等三角形的应用】【例8】（23-24八年级·贵州铜仁·期末）29．某同学根据数学知识原理制作了如图所示的一个测量工具----拐尺,其中O 为AB 的中点,CA ⊥AB,BD ⊥AB,CA=BD,现要测量一透明隔离房间的深度,如何使用此测量工具,说明理由.【变式8-1】（23-24八年级·陕西西安·期中）30．如图，小刚站在河边的点A 处，在河对面（小刚的正北方向）的点B 处有一电线塔，他想知道电线塔离他有多远，于是他向正西方向走了20步到达一棵树C 处，接着再向前走了20步到达D 处，然后他左转90°直行，从点D 处开始计步，当小刚看到电线塔、树与自己现处的位置E 在一条直线时，他恰好走了74步，并且小刚一步大约0.5米．由此小刚估计出了在点A 处时他与电线塔的距离，请问他的做法是否合理？若合理，请求出在点A 处时他与电线塔的距离；若不合理，请说明理由．【变式8-2】（23-24八年级·陕西西安·期末）31．小乐与朋友们周末去游乐园乘坐海盗船游玩，想了解海盗船摆动到最高点位置时的高度．如图，当静止时海盗船位于铅垂线BD 上，转轴B 到地面的距离10m BD =，在乘坐的过程中，当海盗船静止在点A 处时，AC BD ^，此时测得点A 到铅垂线BD 的距离5m AC =，当船头从A 处摆动到A ¢处时发现船头处在最高位置处，此时，A B AB ¢^．求点A ¢到地面的距离．【变式8-3】（23-24八年级·河南郑州·期末）32．茗阳阁位于河南省信阳市浉河区茶韵路一号，建成于2007年4月29日，是信阳新建的城市文化与形象的代表建筑之一．设,A B 两点分别为茗阳阁底座的两端（其中,A B 两点均在地面上）．因为,A B 两点间的实际距离无法直接测量，某学习小组分别设计出了如下两种方案：甲：如图1，在平地上取一个可以直接到达点,A B 的点O ，连接AO 并延长到点C ，连接BO 并延长到点D ，使,CO AO DO BO ==，连接DC ，测出DC 的长即可．乙：如图2，先确定直线AB ，过点B 作BD AB ^，在点D 处用测角仪确定12Ð=Ð，射线DC 交直线AB 于点C ，最后测量BC 的长即可得线段AB 的长．(1)请用所学知识论证甲、乙两种方案的合理性；(2)如果让你参与测量，你会选择哪一种方案？请说明理由．1．D【分析】本题考查了全等三角形的判定．将各个选项依次代入题目当中，再根据全等三角形的判定方法依次判断即可．一般三角形全等的判定方法有SAS 、ASA 、AAS 、SSS ，注意没有SSA ．熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．【详解】解：A 、若添加A DCE Ð=Ð，则可根据ASA 证明ABC CDE △≌△，故A 选项不符合题意；B 、若添加AB DE ∥，则可得B EDC Ð=Ð，则可根据AAS 证明ABC CDE △≌△，故B 选项不符合题意；C 、若添加BC DE =，则可根据SAS 证明ABC CDE △≌△，故C 选项不符合题意；D 、若添加AB CD =，则成了SSA ，不能证明ABC CDE △≌△，故D 选项符合题意.故选：D2． ②③（答案不唯一） SAS【分析】本题考查了全等三角形的判定定理．根据两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等，两个角和它们所夹的边分别对应相等的两个三角形全等选择合适的条件，即可求解．【详解】解：∵C C ¢Ð=Ð，添加②BC B C ¢¢=；③AC A C ¢¢=；可利用SAS 判定A ABCBC ¢¢¢≌△△；添加③AC A C ¢¢=；④A A ¢Ð=Ð；可利用ASA 判定A ABC B C ¢¢¢≌△△；添加⑤B B ¢Ð=Ð；③AC A C ¢¢=；可利用AAS 判定A ABC B C ¢¢¢≌△△；故答案为：②③（答案不唯一）；SAS ．3．AB AC =或B C Ð=Ð或ADB E Ð=Ð（写一个即可）【分析】本题考查全等三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ．由12Ð=Ð，可得BAD CAE Ð=Ð，再根据题干中的条件，可添加角相等或边相等即可．【详解】解：添加AB AC =，Q 12Ð=Ð，BAD CAE \Ð=Ð，又Q AB AC =，AD AE =，()SAS ABD ACE \V V ≌，添加B C Ð=Ð，Q 12Ð=Ð，BAD CAE \Ð=Ð，又Q B C Ð=Ð，AD AE =，()AAS ABD ACE \V V ≌，添加ADB E Ð=Ð，Q 12Ð=Ð，BAD CAE \Ð=Ð，又Q ADB E Ð=Ð，AD AE =，()ASA ABD ACE \V V ≌，故答案为：AB AC =或B C Ð=Ð或ADB E Ð=Ð（写一个即可）．4．（1）甲、丙；（2）见详解【分析】（1）根据平行线的性质，由AB ∥DE 可得∠B ＝∠DEC ，再加上条件∠A =∠D ，只需要添加一个能得出对应边相等的条件，即可证明两个三角形全等，添加AC //DF 不能证明△ABC ≌△DEF ；（2）添加AB =DE ，再由条件AB ∥DE 可得∠B ＝∠DEC ，然后再利用ASA 判定△ABC ≌△DEF 即可．【详解】（1）解：∵AB //DE ，∴∠B ＝∠DEC ，又∵∠A =∠D ，∴添加AB =DE ，可得△ABC ≌△DEF （ASA ）；添加BE =CF ，可得BC=EF ，可得△ABC ≌△DEF （AAS ）∴说法正确的是：甲、丙，故答案为：甲、丙；（2）选“甲”，理由如下：证明：∵AB ∥DE ，∴∠B ＝∠DEC ，在△ABC 和△DEF 中A DB DEF AB DE ÐÐìïÐÐíïî＝＝＝ ∴△ABC ≌△DEF （ASA ）．【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ．注意：AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．5．A【分析】本题考查全等三角形的判定，根据题中条件，数形结合，利用两个三角形全等的判定定理逐个验证即可得到答案，熟练掌握两个三角形全等的判定定理是解决问题的关键．【详解】解：①由ACB ACB Ð=Ð，,AC BC CD CE ==，根据SAS 可得≌ACD BCE V V ；CAD CBE\Ð=Ð②由,AC BC CD CE ==可得AE BD =，由≌ACD BCE V V 可得CAD CBE Ð=Ð，则由CAD CBE Ð=Ð，AOE BOD Ð=Ð，AE BD =，根据AAS 可得AOE BOD △≌△；③由AOE BOD △≌△可得OD OE =，则由OD OE =，,OC OC CD CE ==，根据SSS 可得COE COD V V ≌；④由AOE BOD △≌△可得OA OB =，则由OA OB =，,AC BC CO CO ==，根据SSS 可得ACO BCO △≌△；⑤由≌ACD BCE V V 可得AD BE =；由,AC BC CD CE ==可得AE BD =；AB AB =；根据SSS 可得AEB BDA ≌△△；综上所述，图中共有全等三角形5对，故选：A ．6．D【分析】根据AB =AC ，BD ⊥AC 于D ，CE ⊥AB 于E ，∠CAE =∠BAD ，可证明△CAE ≌△BAD ，得出AD =AE ，∠C =∠B ，根据AAS 可证明△DCO ≌△EBO ，得出CO =BO ，利用SSS 证得△ACO ≌△ABO ，利用HL 证得△DAO ≌△EAO ，由此得出共有全等的三角形的对数为4对．【详解】解：由题意可得△CAE ≌△BAD ，△DCO ≌△EBO ，△ACO ≌△ABO ，△DAO ≌△EAO 共4对三角形全等．故选：D ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ．注意：AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．7．C【分析】根据全等三角形得判定定理，依次证明三角形全等，即可求解．【详解】解：AB CD Q P ，BC AD ∥，ABD CDB \Ð=Ð，ADB CBD Ð=Ð，在ABD △与CDB △中，ABD CDB BD DBADB CBD Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî，()ASA ABD CDB \△≌△，AD BC \=，AB CD =，在ABE V 与CDF V 中，AB CD ABE CDF BE DF =ìïÐ=Ðíï=î，()SAS ABE CDF \△≌△，AE CF ∴=，BE DF =Q ，BE EF DF EF \+=+，BF DE \=，在ADE V 与CBF V 中，AD CB DE BFAE CF =ìï=íï=î()SSS ADE CBF \△≌△，同理可得ABF CDE ≌△△，ADF CBE △≌，AEF CFE △≌△，即6对全等三角形．故选：C ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，能正确根据定理进行推论是解题的关键．8．A【分析】设第n 个图形中有(n a n 为正整数）个全等三角形，根据各图形中全等三角形对数的变化可找出变化规律“(1)(2n n n a n +=为正整数）”，再代入6n =即可求出结论．【详解】解：设第n 个图形中有(n a n 为正整数）个全等三角形．图(1)，在ABD △和ACD V 中，AB AC BAD CAD AD AD =ìïÐ=Ðíï=î，()ABD ACD SAS \V V ≌，11a \=；同理，可得：2312a ==+，36123a ==++，4101234a ==+++，¼，(1)123(2n n n a n n +\=+++¼+=为正整数），66(61)212a ´+\==．故选：A ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定以及规律型：图形的变化类，根据各图形中全等三角形对数的变化，找出变化规律“(1)(2n n n a n +=为正整数）”是解题的关键．9．D【分析】本题考查全等三角形的判定，根据全等三角形的判定方法，结合网格的特点，画出图形，即可得出结果．【详解】解：如图所示以正方形一边为三角形的边都可作两个全等的三角形，所以共有8个全等三角形，除去ABC V 外有7个与ABC V 全等的三角形．即：故选D ．10．6【分析】本题考查了全等三角形、格点三角形的定义，可以以BC 为公共边和以AB 为公共边分别画出3个三角形，以AC 为公共边不可以画出三角形，即可得出答案，采用数形结合的思想是解此题的关键．【详解】解：如图所示：，以BC 为公共边可以画出BDC V 、BEC V 、BFC △三个三角形，以AB 为公共边可以画出ABG V 、ABM V 、ABH V 三个三角形，故可以画出6个，故答案为：6．11． 4 45°##45度【分析】（1）观察图形可知：DE 与AC 是对应边，B 点的对应点在DE 上方两个，在DE 下方两个共有4个满足要求的点，也就有四个全等三角形；（2）由图可知∠1=∠3，∠2+∠3=45°，从而可得结论．【详解】解：（1）根据题意，运用SSS可得与△ABC全等的三角形有4个，线段DE的上方有两个点，下方也有两个点．故答案为：4．（2）由图可知△ABC≌△EDC，∴∠1=∠3，而∠2+∠3=45°，∴∠1+∠2=45°，故答案为：45°．【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL，做题时要做到不重不漏．12．(1)见解析(2)见解析(3)见解析【分析】（1）根据题意以及网格的特点根据轴对称画出图形即可；（2）根据题意以及网格的特点根据轴对称画出图形即可；（3）根据题意以及网格的特点画出图形即可．【详解】（1）如图①所示，△ABD即为所求；（2）如图②所示，△DEC 即为所求；（3）如图③所示，△AED 即为所求，【点睛】本题考查了作图-应用与设计作图、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．13．见解析【分析】本题目考查了三角形全等的判定方法，解题关键是熟练掌握三角形全等的判定定理是解题的关键；①根据垂线的知识可得90D C Ð=Ð=°，在结合AAS 证明AOD BOC △△≌，最后根据全等三角形的性质得出结论；②连接AB ，根据直角三角形的HL ，证明Rt Rt ABD BAC ≌△△，即可得出结论；③连接AB ，证明AOD BOC △△≌，可得AOD BOC S S =△△，再结合三角形面积计算方法即可得出结论；④连接DC ，证明AOD BOC △△≌，得A B Ð=Ð，OD OC =，在利用AAS 证明ADC BCD ≌△△，得出结论．【详解】小丽方法：AC BC ^，BD AD ^，\90D C Ð=Ð=°．\在AOD △和BOC V 中，D C AOD BOCAD BC Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î\AOD BOC △△≌()AAS \AO BO =，DO CO =．\AO CO BO DO +=+，即BD AC =．小颖方法：连接AB ．Q AC BC ^，BD AD ^，，\90D C Ð=Ð=°．在Rt ABD △和Rt BAC V 中，AD BC AB BA=ìí=î\Rt Rt ABD BAC ≌△△()HL ．\BD AC =．小雨方法：连接AB ．Q AC BC BD AD ^^，，\90D C Ð=Ð=°．\在AOD △和BOC V 中，D C AOD BOC AD BC Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，\AOD BOC △△≌()AAS ，\AOD BOCS S =△△\AOD AOB BOC AOB S S S S +=+△△△△．即ABD ABC S S =△△．又Q 12ABD S AD BD =×△，12ABC S BC AC =×V ，\1122AD BD BC AC ×=×，Q AD BC =，\ BD AC =．方法4：连接CD ，Q AC BC ^，BD AD ^，\90ADO BCO Ð=Ð=°．\在AOD △和BOC V 中，ADO BCO AOD BOCAD BC Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î\AOD BOC △△≌()AAS A B \Ð=Ð，OD OC =，ODC OCD \Ð=Ð，\ADC BCDÐ=Ð在ADC △和BCD △中，ADC BCD A BAD BC Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î\ADC BCD ≌△△()AAS ，AD BC \=．14．D【分析】本题主要考查了构成三角形的条件．熟练掌握三角形全等的判定方法，三角形三边关系，是解决问题的关键．根据三角形三边的关系对B 进行判断；根据全等三角形的判定方法对A 、C 、D 进行判断．【详解】A ．60Ð=Ð=Ð=°A B C ，不符合三角形全等判定条件，不能作出唯一三角形；B ．1cm AB =，4cm AC =，5cm =BC ，这里AB AC BC +=，不符合三角形三边关系，不能作出三角形；C ．5cm AB =，6m AC =，30C Ð=°，两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等，不能作出唯一三角形；D ．3cm BC =，5cm AC =，60C Ð=°，两边及夹角对应相等的两个三角形全等，能作出唯一三角形．故选：D ．15．B【分析】本题考查全等三角形的判定方法，掌握三角形判定方法是解题的关键．根据三角形判定方法判断即可解答．【详解】解：甲与ABC V 不符合两边对应相等，且夹角相等，∴甲和已知三角形不全等；乙与ABC V 符合两边对应相等，且夹角相等，∴根据SAS 可判定乙和与ABC V 全等；丙与ABC V 符合两角对应相等，且其中一角的对边相等，∴根据AAS 可判定丙和与ABC V 全等．故选：B ．16．（1）不正确；错在第一步，详见解析；（2）全等，详见解析【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键．（1）根据两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等，可知第一步错误，证明时先根据等腰三角形的性质及判定，可逐步推得AB AC =，再根据“边边边”判定三角形全等即可；（2）先写出已知，求证与证明，“已知，在锐角三角形ABC 和锐角三角形A B C ¢¢¢中，AB A B ¢¢=，AC A C ¢¢=，C C ¢Ð=Ð．求证：ABC A B C ¢¢¢△△≌．”过点A 作AD BC ^于点D ，过点A ¢作A D B C ¢¢¢¢^于点D ¢，先根据“角角边”证明ACD A C D ¢¢¢≌V V ，得到AD A D ¢¢=，再根据“HL ”定理证明Rt Rt ABD A B D ¢¢¢≌△△，得到B B ¢Ð=Ð，最后由“ 角角边”即可证得结果．【详解】（1）不正确；错在第一步．证明：在△BEC 中，∵BE CE =，∴EBC ECB Ð=Ð，∵ABE ACE =∠∠，ABC ACB \Ð=Ð，AB AC \=，在AEB V 和AEC △中，(SSS)AEB AEC \V V ≌，BAE CAE \Ð=Ð；（2）全等．理由如下：已知：如图，在锐角三角形ABC 和锐角三角形A B C ¢¢¢中，AB A B ¢¢=，AC A C ¢¢=，C C ¢Ð=Ð．求证：ABC A B C ¢¢¢△△≌．证明：过点A 作AD BC ^于点D ，过点A ¢作A D B C ¢¢¢¢^于点D ¢，90ADC A D C ADB A D B ¢¢¢¢¢¢\Ð=Ð=Ð=Ð=°，在ACD V 和A C D ¢¢¢△中，C C ADC AD C AC A C ¢¢¢Ð=¢¢¢ÐìïÐ=Ðíï=îQ ，(AAS)ACD A C D ¢¢¢\V V ≌，AD A D ¢¢\=，在Rt ABD △和Rt A B D ¢¢¢△中，AB A B AD A D ¢¢=¢î¢=ìíQ ，Rt Rt (HL)ABD A B D \¢¢¢≌△△，B B ¢\Ð=Ð，在ABC V 和A B C ¢¢¢V 中，C C B B AC A C Ð=ÐìïÐ=Ðíï=¢¢¢¢îQ ，(AAS)ABC A B C ¢¢¢\V V ≌．17．(1)见解析(2)①证明见解析②6【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定以及角平分线的定义.（1）用ASA 证明ABD ACD △≌△，即得AB AC =；（2）①证明BAG CAE ≌△△可得AG AE =，再用ASA 证明FAG FAE ≌△△，即得AFG AFC Ð=Ð；②过F 作FK AG ^于K ，由:2:3ABG ACF S S =△△，可得:2:3CAE ACF S S =△△，:1:3FAE ACF S S =△△，而FAG FAE ≌△△，:1:3FAG ACF S S =△△，即得:1:3AG AC =，根据2AG =，可求6AC =．【详解】（1）证明：AD Q 是ABC V 的角平分线，BAD CAD \Ð=Ð，AD BC ^Q ，ADB ADC \Ð=Ð，在ABD △和ACD V 中，BAD CAD AD ADADB ADC Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî，()ASA ABD ACD \V V ≌，AB AC \=；（2）①AB AC =Q ，30ABC Ð=°，AD BC ^，60BAD CAD \Ð=Ð=°，60BAG CAD \Ð=°=Ð，在BAG △和CAE V 中，BAG CAE AB ACABG ACE Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî，()ASA BAG CAE \V V ≌，AG AE \=，在FAG △和FAE V 中，AG AE GAF EAF AF AF =ìïÐ=Ðíï=î，()ASA FAG FAE \V V ≌，AFG AFC \Ð=Ð；②过F 作FK AG ^于K ，如图：由①知：BAG CAE ≌△△，:2:3ABG ACF S S =Q △△，:2:3CAE ACF S S \=△△，:1:3FAE ACF S S \=△△，由①知：FAG FAE ≌△△，:1:3FAG ACF S S \=△△，11:1:322AG FK AC FK æöæö\××=ç÷ç÷èøèø，:1:3AG AC \=，2AG =Q ，∴6AC =．18．(1)见解析(2)见解析【分析】本题考查全等三角形的知识，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质，等边对等角，角平分线的性质，即可．（1）根据AB AC =，BD CE =，得AE AD =，推出ADC AEB V V ≌，则ACD ABE Ð=Ð，根据AB AC =，则ACB ABC Ð=Ð，则OCB OBC Ð=Ð，即可得OC OB =；（2）由（1）得OC OB =，ACD ABE Ð=Ð，AB AC =，推出ACO ABO V V ≌，则CAO BAO Ð=Ð，即可．【详解】（1）证明如下：∵AB AC =，BD CE =，∴AE CE AD BD +=+，∴AE AD =，在ADC V 和AEB V ，AC AB CAB BAC AE AD =ìïÐ=Ðíï=î，∴ADC AEB V V ≌，∴ACD ABE Ð=Ð，∵AB AC =，∴ACB ABC Ð=Ð，∴OCB OBC Ð=Ð，∴OC OB =．（2）证明：∵OC OB ACD ABE AC AB =ìïÐ=Ðíï=î，∴ACO ABO V V ≌，∴CAO BAO Ð=Ð，即OA 平分CAB Ð．19．(1)见解析(2)OA OC =，见解析【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关判定定理是解决本题的关键．（1）根据HL 证明Rt Rt ABD CDB ≌V ，再根据全等三角形的性质即可得AD CB =；（2）根据AAS 证明AOD COB △≌△，再根据全等三角形的性质即可得OA OC =．【详解】（1）证明：如图所示，∵AD BD ^，CB BD ^∴1290Ð=Ð=°在Rt ABD △和Rt CDB △中，AB CD BD DB =ìí=î，∴()Rt Rt HL ABD CDB V V ≌∴AD CB =；（2）解：OA OC=理由如下：如图，在AOD △和COB △中，3412AD CB Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，∴()AAS AOD COB V V ≌，∴OA OC =．20．(1)见解析(2)见解析【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．（1）由ASA 可证CAE ABD ≌△△，可得AE BD =；（2）延长BF 交AC 于点Q ，由ASA 可证ABQ BCH V V ≌，可得AQ BH =，由AAS可证CFQ AGH V V ≌，可得2AG CF FG ==，可得结论．【详解】（1）∵ABC V 是等边三角形，∴AB AC BC ==，60BAC ABC ACB ==°=∠∠∠，∵CG AD ^，30HCE Ð=°，∴2CF FG =，60CFG Ð=°，∴CAF ACF CAF BAD Ð+Ð=Ð+Ð，∴ACF BAD Ð=Ð，在CAE V 和ABD △中，60ACE BAD AC AB BAC ABC Ð=Ðìï=íïÐ=Ð=°î，∴()ASA CAE ABD V V ≌，∴AE BD =；（2）如图，延长BF 交AC 于点Q ，∵BF CE ^，30ECH Ð=°，∴60FBC BCG Ð+Ð=°，∵60ABF FBC ABC Ð+Ð=Ð=°，∴ABF BCG Ð=Ð，在ABQ V 和BC H V 中，ABF BCG AB BCBAC ABC Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî，∴()ASA ABQ BCH V V ≌，∴AQ BH =，∴AB BH AC AQ -=-，∴AH CQ =，在CFQ △和AGH V 中，90CFQ AGH ACF HAG CQ AH Ð=Ð=°ìïÐ=Ðíï=î，∴()AAS CFQ AGH V V ≌，∴AG CF =，∴2AG FG =，∴点F 是AG 的中点．21．(1)见解析(2)AB AC CD =+，理由见解析【分析】（1）延长C A 至E ，使CE CD =，连接DE ，运用SAS 证明BAD EAD V V ≌，可得结论；（2）在AC 的延长线上取点F ，使CF CD =，连接DF ，根据AAS 推导BAD FAD V V ≌得到结论．【详解】（1）证明：延长C A 至E ，使CE CD =，连接DE .∵AB AC CD =+，∴AB AE =.∵AD 平分BAC Ð，∴BAD EAD ÐÐ=.在BAD V 与EAD V中，AB AE BAD EAD AD AD =ìïÐ=Ðíï=î,∴BAD EAD V V ≌.∴B E ÐÐ=.∵CD CE =，∴.CDE E ÐÐ=∵ACB CDE E ÐÐ=+Ð，∴22ACB E B ÐÐÐ==.（2）解：AB AC CD =+.理由：在AC 的延长线上取点F ，使CF CD =，连接DF .∴CDF F ÐÐ=，又∵ACB CDF F ÐÐÐ=+，∴2ACB F ÐÐ=.∵2ACB B ÐÐ=，∴B F ÐÐ=.∵AD 是ABC V 的角平分线，∴BAD CAD Ð=Ð，在BAD V 与FAD V 中，B F BAD CAD AD AD Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，∴BAD FAD V V ≌.∴AB AF AC CF AC CD ==+=+．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，三角形外角性质，等腰三角形的判定和性质．正确的作出辅助线是解题关键．22．(1)①见解析，②见解析(2)3【分析】本题主要考查了邻补角的意义，全等三角形的性质和判定等知识点，能根据已知证出符合全等的条件是解此题的关键．（1）①由已知推出90ADC BEC Ð=Ð=°，因为90ACD BCE Ð+Ð=°，90DAC ACD Ð+Ð=°，推出DAC BCE =ÐÐ，根据“AAS ”即可得到答案；②由①得到=AD CE ，CD BE =，即可求出答案；（2）与（1）证法类似可证出ACD EBC Ð=Ð，能推出ADC CEB △△≌，得到=AD CE ，CD BE =，代入已知即可得到答案．【详解】（1）证明：①AD DE ^Q ，BE DE ^，90ADC BEC \Ð=Ð=°，90ACB Ð=°Q ，90ACD BCE \Ð+Ð=°，90DAC ACD Ð+Ð=°，DAC BCE \Ð=Ð，在ADC △和CEB V 中，CDA BEC DAC ECB AC BC Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，ADC CEB \≌△△（AAS ）；②由（1）知：ADC CEB △△≌，AD CE \=，CD BE =，DC CE DE +=Q ，AD BE DE \+=；（2）解：BE EC ^Q ，AD CE ^，90ADC BEC \Ð=Ð=°，90EBC ECB \Ð+Ð=°，90ACB Ð=°Q ，90ECB ACE \Ð+Ð=°，ACD EBC \Ð=Ð，在ADC V 和CEB V 中，ACD BEC ADC BEC AC BC Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，ADC CEB \≌△△（AAS ）；，AD CE \=，CD BE =，523DE EC CD AD BE \=-=-=-=．23．(1)70°(2)见解析【分析】本题考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、平行线的性质等知识，熟练运用全等三角形的性质探究线段间的关系是解答的关键．（1）先根据平行线的性质得到40ABE A Ð=Ð=°，90CBD ACB Ð=Ð=°，再根据等腰三角形的性质求得25E Ð=°，45D Ð=°，进而利用三角形的外角性质求解即可；（2）先求得45BCD D Ð=Ð=°，在AB 上截取BG BF =，连接GF GC 、，分别证明()SAS GBC FBD V V ≌和()SAS AGC EFD V V ≌得到AG EF =，进而可得结论．【详解】（1）解：∵DE AC ∥，40A Ð=°，90ACB Ð=°，∴40ABE A Ð=Ð=°，90CBD ACB Ð=Ð=°，∵BF AB ^，∴90ABF Ð=°，∴130EBF Ð=°，∵BF BE =，∴()1180252E EBF Ð=°-Ð=°，∵BD BC =，∴()1180452D CBD Ð=°-Ð=°，∴254570CFE E D Ð=Ð+Ð=°+°=°；（2）证明：∵90ACB Ð=°，DE AC ∥，∴90CBD ACB Ð=Ð=°，∵BD BC =，∴45BCD D Ð=Ð=°，如图，在AB 上截取BG BF =，连接GF GC 、，∵BF AB ^，∴90GBC CBF Ð+Ð=°，∵90CBD CBF FBD Ð=Ð+Ð=°，∴GBC FBD Ð=Ð，在V GBC 和FBD V 中，BG BF GBC FBD BC BD =ìïÐ=Ðíï=î，∴()SAS GBC FBD V V ≌，∴45D BCG Ð=Ð=°，DF GC =，∴45ACG D Ð=°=Ð，在AGC V 和EFD V 中，GC DF ACG D AC DE =ìïÐ=Ðíï=î，∴()SAS AGC EFD V V ≌，∴AG EF =，∴AB AG BG EF BF =+=+，∴AB BF EF =+．24．(1)115AGC Ð=°；(2)证明见解析．【分析】（1）根据角平分线的定义，三角形内角和定理即可求解；。

【巩固练习】一.选择题1.如图，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC纸片，点D、E分别是边AB、AC上，将△ABC沿着DE折叠压平，A与A′重合，若∠A＝75°，则∠1＋∠2＝（）．A．150°B．210°C．105°D．75°2.（2016•济南校级一模）如图，在△ABC与△DEF中，已有条件AB=DE，还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEF，不能添加的一组条件是（）A．∠B=∠E，BC=EF B．BC=EF，AC=DFC．∠A=∠D，∠B=∠E D．∠A=∠D，BC=EF3. 下列四个命题中，属于真命题的是（）．A.互补的两角必有一条公共边B.同旁内角互补C.同位角不相等，两直线不平行D.一个角的补角大于这个角4．已知如图，AD∥BC，AB⊥BC，CD⊥DE，CD＝ED，AD＝2，BC＝3，则△ADE的面积为（）．A. 1B. 2C. 5D. 无法确定5. 如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于的12AB的长为半径画孤，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD．若△ADC的周长为10，AB=7，则△ABC的周长为（）．A.7B.14C.17D.206. 如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A＝∠ABD，若AC＝5，BC＝3，则BD的长为（）．A．1 B．1.5 C．2 D．2.57.如图，在△ABC中，∠B=36°，∠C=72°，AD平分∠BAC交BC于点D．下列结论中错误的是（）A．图中共有三个等腰三角形B．点D在AB的垂直平分线上C．AC+CD=AB D．BD=2CD8. 用尺规作图“已知底边和底边上的高线，作等腰三角形”，有下列作法：①作线段BC=a；②作线段BC的垂直平分线m，交BC于点D；③在直线m上截取DA=h，连接AB、AC．这样作法的根据是（）．A．等腰三角形三线合一B．等腰三角形两底角相等C．等腰三角形两腰相等D．等腰三角形的轴对称性二.填空题9. 如图，△ABC中，AM平分∠CAB，CM＝20cm，那么M到AB的距离是_________cm.10. 如图，△ABC中，H是高AD、BE的交点，且BH＝AC，则∠ABC＝________.11.如图，已知△ABC是等边三角形，点O是BC上任意一点，OE、OF分别与两边垂直，等边三角形的高为1，则OE＋OF的值为．12.如图所示，在△ABC中，AB＝AC，点O在△ABC内，•且∠OBC＝∠OCA，∠BOC＝110°，则∠A的度数为________．13.如图，Rt△ABC中，∠B＝90°，若点O到三角形三边的距离相等，则∠AOC＝_________.14.一个等腰三角形的一条高等于腰长的一半，则这个等腰三角形的底角的度数是.15.如图，六边形ABCDEF的六个内角都相等．若AB＝1，BC＝CD＝3，DE＝2，则这个六边形的周长等于_________．16. （2016•抚顺）如图，点B的坐标为（4，4），作BA⊥x轴，BC⊥y轴，垂足分别为A，C，点D为线段OA的中点，点P从点A出发，在线段AB、BC上沿A→B→C运动，当OP=CD时，点P的坐标为．三.解答题17．如图所示，已知在△ABC中，∠B＝60°，△ABC的角平分线AD、CE相交于点O，求证：AE＋CD＝AC．18．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝30°．点D为△ABC内一点，且DB＝DC，∠DCB＝30°．点E为BD延长线上一点，且AE＝AB．（1）求∠ADE的度数；（2）若点M在DE上，且DM＝DA，求证：ME＝DC．19．阅读下面材料：学习了三角形全等的判定方法（即“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”）和直角三角形全等的判定方法（即“HL”）后，小聪继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究．小聪将命题用符号语言表示为：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E．小聪想：要想解决问题，应该对∠B进行分类研究．∠B可分为“直角、钝角、锐角”三种情况进行探究．第一种情况：当∠B是直角时，如图1，在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E=90°，根据“HL”定理，可以知道Rt△ABC≌Rt△DEF．第二种情况：当∠B是锐角时，如图2，BC=EF，∠B=∠E＜90°，在射线EM上有点D，使DF=AC，画出符合条件的点D，则△ABC和△DEF的关系是；A．全等B．不全等C．不一定全等第三种情况：当∠B是钝角时，如图3，在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E ＞90°，求证：△ABC≌△DEF．20．已知：△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，且∠ADC＝60°．问题1：如图1，若∠ACB＝90°，AC＝m AB，BD＝n DC，则m的值为_________，n的值为__________．问题2：如图2，若∠ACB为钝角，且AB＞AC，BD＞DC．（1）求证：BD－DC＜AB－AC；（2）若点E在AD上，且DE＝DB，延长CE交AB于点F，求∠BFC的度数．【答案与解析】一.选择题1. 【答案】A；【解析】∵△A′DE是△ABC翻折变换而成，∴∠AED＝∠A′ED，∠ADE＝∠A′DE，∠A＝∠A′＝75°，∴∠AED＋∠ADE＝∠A′ED＋∠A′DE＝180°－75°＝105°，∴∠1＋∠2＝360°－2×105°＝150°．2. 【答案】D；【解析】（1）△ABC≌△DEF（SAS）；故A正确；（2）△ABC≌△DEF（SSS）；故B正确；（3）△ABC≌△DEF（ASA）；故C正确；（4）无法证明△ABC≌△DEF，故D错误.3. 【答案】C；【解析】答案A是假命题，因为互补的两角不一定有一条公共边；答案B是假命题，同旁内角不一定互补，在两直线平行的前提下，同旁内角互补；答案C是真命题；答案B是假命题，一个角的补角不一定大于这个角，也可能小于或等于这个角.4. 【答案】A；【解析】因为知道AD的长，所以只要求出AD边上的高，就可以求出△ADE的面积．过D作BC的垂线交BC于G，过E作AD的垂线交AD的延长线于F，构造出Rt△EDF≌Rt△CDG，求出GC的长，即为EF的长，然后利用三角形的面积公式解答即可.5. 【答案】C；【解析】首先根据题意可得MN是AB的垂直平分线，即可得AD=BD，又由△ADC的周长为10，求得AC+BC的长，则可求得△ABC的周长．6. 【答案】A；【解析】延长BD交AC于E，由题意，BC＝CE＝3，AE＝BE＝5－3＝2，且BD＝DE ＝1BE＝1.27. 【答案】D；【解析】解：A、在△ABC中，∠B=36°，∠C=72°，∴∠BAC=180°﹣36°﹣72°=72°，∵AD平分∠BAC，∴∠DAC=∠DAB=36°，即∠DAB=∠B，∠BAC=∠C，∠ADC=36°+36°=72°=∠C，∴△ADB、△ADC、△ABC都是等腰三角形，故本选项错误；B、∵∠DAB=∠B，∴AD=BD，∴D在AB的垂直平分线上，故本选项错误；C、在AB上截取AE=AC，连接DE，在△EAD和△CAD中∴△EAD≌△CAD，∴DE=DC，∠C=∠AED=72°，∵∠B=36°，∴∠EDB=72°﹣36°=36°=∠B，∴DE=BE，即AB=AE+BE=AC+CD，故本选项错误；D、∵CD=DE=BE，DE+BE＞BD，∴BD＜2DC，故本选项正确；故选D．8. 【答案】A；解析】易证∴△EFA≌△ABG得AF＝BG，AG＝EF．同理证得△BGC≌△DHC得GC＝DH，CH＝BG．故FH＝FA＋AG＋GC＋CH＝3＋6＋4＋3＝16，故S＝12（6＋4）×16－3×4－6×3＝50．二.填空题9. 【答案】20；【解析】过M作MD⊥AB于D，可证△ACM≌△ADM，所以DM＝CM＝20cm. 10.【答案】45°；【解析】Rt△BDH≌Rt△ADC，BD＝AD.11.【答案】1；【解析】连接AO，△ABO的面积＋△ACO的面积＝△ABC的面积，所以OE＋OF＝等边三角形的高.12．【答案】40°；【解析】∵AB＝AC，所以∠ABC＝∠ACB，又∵∠OBC＝∠OCA，∴∠ABC＋∠ACB＝2（∠OBC＋∠OCB），∵∠BOC＝110°，∴∠OBC＋∠OCB＝70°，∴∠ABC＋∠ACB＝140°，∴∠A＝180°－（∠ABC＋∠ACB）＝40°．13.【答案】135°；【解析】点O为角平分线的交点，∠AOC＝180°－12（∠BAC＋∠BCA）＝135°.14. 【答案】30°或75°或15°；【解析】根据不同边的高分类讨论.15.【答案】15；【解析】因为六边形ABCDEF的六个内角都相等为120°，每个外角都为60°，向外作三个三角形，进而得到四个等边三角形，如图，设AF＝x，EF＝y，则有x＋1＋3＝x＋y＋2＝3＋3＋2＝8所以x＝4，y＝2，六边形ABCDEF的周长＝1＋3＋3＋2＋2＋4＝15.16.【答案】（2，4）或（4，2）；【解析】①当点P在正方形的边AB上时，Rt△OCD≌Rt△OAP，∴OD=AP，∵点D 是OA中点，∴OD=AD=OA，∴AP=AB=2，∴P（4，2），②当点P在正方形的边BC 上时，同①的方法，得出CP=BC=2，∴P（2，4）．三.解答题17.【解析】证明：如图所示，在AC上取点F，使AF＝AE，连接OF，在△AEO 和△AFO 中，,12,AE AF AO AO =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ △AEO ≌△AFO （SAS ）．∴ ∠EOA ＝∠FOA ．∵ ∠B ＝60°，∴ ∠AOC ＝180°－(∠OAC ＋∠OCA)＝180°－12(∠BAC ＋∠BCA)＝180°－12(180°－60°)＝120°．∴ ∠AOE ＝∠AOF ＝∠COF ＝∠DOC ＝60°．在△COD 和△COF 中，,,,COD COF OC OC OCD OCF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴ △COD ≌△COF （ASA ）．∴ CD ＝CF ．∴ AE ＋CD ＝AF ＋CF ＝AC ．18．【解析】解：（1）如图．∵△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝30°，∴∠ABC ＝∠ACB ＝(18030)2-÷＝75°．∵DB ＝DC ，∠DCB ＝30°，∴∠DBC ＝∠DCB ＝30°．∴∠1＝∠ABC －∠DBC ＝75°－30°＝45°．∵AB ＝AC ，DB ＝DC ，∴AD 所在直线垂直平分BC ．∴AD 平分∠BAC ．∴∠2＝21∠BAC ＝3021⨯＝15°．∴∠ADE ＝∠1＋∠2 ＝45°＋15°＝60°．（2）证明：连接AM ，取BE 的中点N ，连接AN ．∵△ADM 中，DM ＝DA ，∠ADE ＝60°，∴△ADM 为等边三角形．∵△ABE 中，AB ＝AE ，N 为BE 的中点，∴BN ＝NE ，且AN ⊥BE ．∴DN ＝NM ．∴BN －DN ＝NE －NM ，即 BD ＝ME ．∵DB ＝DC ，∴ME ＝DC ．19.【解析】解：第二种情况：如图1所示：以F 为圆心，AC 长为半径画弧，交射线EM 于D 、D′；则DF=D′F=AC，△DEF≌△ABC，△D′EF 和△ABC 不全等； 故选：C ；第三种情况：证明：如图2所示：过点C 作CG⊥AB 交AB 的延长线于点G ，过点F 作DH⊥DE 交DE 的延长线于点H ，∵∠B=∠E，∴180°﹣∠B=180°﹣∠E，即∠CBG=∠FEH，在△CBG 和△FEH 中，，∴△CBG≌△FEH（AAS ），∴CG=FH，在Rt△ACG 和Rt△DFH 中，，∴Rt△ACG≌Rt△DFH（HL ），∴∠A=∠D，在△ABC 和△DEF 中，， ∴△ABC≌△DEF（AAS ）．20．【解析】证明：问题1：21，2 ； 问题2：（1）在AB 上截取AG ，使AG ＝AC ，连接GD ．（如图） ∵AD 平分∠BAC ，∴∠1＝∠2．在△AGD 和△ACD 中，AG AC 12 A D AD⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝∴△AGD ≌△ACD ．∴DG ＝DC ．∵△BGD 中，BD －DG ＜BG ，∴BD －DC ＜BG ．∵BG ＝ AB －AG ＝ AB －AC ，∴BD －DC ＜AB －AC ．（2）∵由（1）知△AGD ≌△ACD ，∴GD ＝CD ，∠4 ＝∠3＝60°．∴∠5 ＝180°－∠3－∠4＝180°－60°－60°＝60°．∴∠5 ＝∠3．在△BGD 和△ECD 中，53DB DE DG DC =⎧⎪∠∠⎨⎪=⎩＝，∴△BGD ≌△ECD ．∴∠B ＝∠6．∵△BFC 中，∠BFC ＝180°－∠B －∠7 ＝180°－∠6－∠7 ＝∠3， ∴∠BFC ＝60°．。

华东师大版八年级上册数学三角形全等的判定
判定两个三角形全等的条件有以下几种：
1. SAS判定（边-边-角）：两个三角形中，两边分别相等并且夹角相等，则可以判定两个三角形全等。

2. ASA判定（角-边-角）：两个三角形中，两角分别相等并且夹边相等，则可以判定两个三角形全等。

3. SSS判定（边-边-边）：两个三角形中，三边分别相等，则可以判定两个三角形全等。

4. RHS判定（直角边-斜边-直角边）：两个直角三角形中，其中一条直角边和斜边相等，另外一条直角边和斜边相等，则可以判定两个三角形全等。

以上是常用的三角形全等判定条件。

在题目中，通常会给出一些已知条件，要求判定两个三角形是否全等。

根据给定的已知条件，你可以使用其中一种或多种判定条件来验证两个三角形是否全等。

全等三角形判定一（SAS,ASA ，AAS ）（提高）【学习目标】1．理解和掌握全等三角形判定方法1——“边角边”，判定方法2——“角边角”，判定方法3——“角角边”；能运用它们判定两个三角形全等．2．能把证明角相等或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等． 【要点梳理】要点一、全等三角形判定1——“边角边” 1. 全等三角形判定1——“边角边”两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS ”）.要点诠释：如图，如果AB ＝ ''A B ，∠A ＝∠'A ，AC ＝ ''A C ，则△ABC ≌△'''A B C . 注意：这里的角，指的是两组对应边的夹角.2. 有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.如图，△ABC 与△ABD 中，AB ＝AB ，AC ＝AD ，∠B ＝∠B ，但△ABC 与△ABD 不完全重合，故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.要点二、全等三角形判定2——“角边角” 全等三角形判定2——“角边角”两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA ”）.要点诠释：如图，如果∠A ＝∠'A ，AB ＝''A B ，∠B ＝∠'B ，则△ABC ≌△'''A B C .要点三、全等三角形判定3——“角角边” 1.全等三角形判定3——“角角边”两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）要点诠释：由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论.2.三个角对应相等的两个三角形不一定全等.如图，在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC和△ADE不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等.要点四、如何选择三角形证全等1.可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等；2.可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等；3.由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等；4.如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形.【典型例题】类型一、全等三角形的判定1——“边角边”1、如图，AD是△ABC的中线，求证：AB＋AC＞2AD．【思路点拨】延长AD到点E，使AD＝DE，连接CE．通过证全等将AB转化到△CEA中，同时也构造出了2AD．利用三角形两边之和大于第三边解决问题.【答案与解析】证明：如图，延长AD到点E，使AD＝DE，连接CE．在△ABD和△ECD中，AD＝DE，∠ADB＝∠EDC，BD＝CD．∴△ABD≌△ECD．∴AB＝CE．∵AC＋CE＞AE，∴AC＋AB＞AE＝2AD．即AC＋AB＞2AD．【总结升华】证明边的大小关系主要有两个思路：（1）两点之间线段最短；（2）三角形的两边之和大于第三边．要证明AB＋AC＞2AD，如果归到一个三角形中，边的大小关系就是显然的，因此需要转移线段，构造全等三角形是转化线段的重要手段．可利用旋转变换，把△ABD绕点D逆时针旋转180°得到△CED，也就把AB转化到△CEA中，同时也构造出了2AD．若题目中有中线，倍长中线，利用旋转变换构造全等三角形是一种重要方法．2、已知，如图：在△ABC中，∠B＝2∠C，AD⊥BC，求证：AB＝CD－BD．【思路点拨】在DC上取一点E，使BD＝DE，则△ABD≌△AED，所以AB＝AE，只要再证出EC＝AE即可．【答案与解析】证明：在DC上取一点E，使BD＝DE∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADE在△ABD和△AED中，BD＝DE，AD＝AD．∴△ABD≌△AED（SAS）．∴AB＝AE，∠B＝∠AED．又∵∠B＝2∠C＝∠AED＝∠C＋∠EAC．∴∠C＝∠EAC．∴AE＝EC．∴AB＝AE＝EC＝CD—DE＝CD—BD．【总结升华】此题采用截长或补短方法.上升到解题思想，就是利用翻折变换，构造的全等三角形，把条件集中在基本图形里面，从而使问题加以解决．如图，要证明AB＝CD－BD，把CD－BD转化为一条线段，可利用翻折变换，把△ABD沿AD翻折，使线段BD运动到DC上，从而构造出CD－BD，并且也把∠B转化为∠AEB，从而拉近了与∠C的关系.举一反三：【变式】已知，如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，并且AE＝12（AB＋AD），求证：∠B＋∠D＝180°.【答案】证明：在线段AE上，截取EF＝EB，连接FC，∵CE⊥AB，∴∠CEB＝∠CEF＝90°在△CBE和△CFE中，AEDCBCEB CEF EC =EC EB EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪⎩∴△CBE 和△CFE （SAS ） ∴∠B ＝∠CFE ∵AE ＝12（AB ＋AD ），∴2AE ＝ AB ＋AD ∴AD ＝2AE －AB ∵AE ＝AF ＋EF ， ∴AD ＝2（AF ＋EF ）－AB ＝2AF ＋2EF －AB ＝AF ＋AF ＋EF ＋EB －AB ＝AF ＋AB －AB ， 即AD ＝AF在△AFC 和△ADC 中(AF AD FAC DAC AC AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩角平分线定义）∴△AFC ≌△ADC （SAS ） ∴∠AFC ＝∠D∵∠AFC ＋∠CFE ＝180°，∠B ＝∠CFE. ∴∠AFC ＋∠B ＝180°，∠B ＋∠D ＝180°.类型二、全等三角形的判定2——“角边角”3、如图，G 是线段AB 上一点，AC 和DG 相交于点E.请先作出∠ABC 的平分线BF ，交AC 于点F ；然后证明：当AD∥BC，AD ＝BC ，∠ABC＝2∠ADG 时，DE ＝BF.【思路点拨】通过已知条件证明∠DAC＝∠C，∠CBF＝∠ADG，则可证△DAE≌△BCF 【答案与解析】 证明： ∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠C∵BF 平分∠ABC ∴∠ABC＝2∠CBF ∵∠ABC＝2∠ADG ∴∠CBF＝∠ADG在△DAE 与△BCF 中⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠C DAC BCAD CBF ADG ∴△DAE≌△BCF（ASA ） ∴DE＝BF【总结升华】利用全等三角形证明线段(角)相等的一般方法和步骤如下：(1)找到以待证角(线段)为内角(边)的两个三角形；(2)证明这两个三角形全等；(3)由全等三角形的性质得出所要证的角(线段)相等． 举一反三：【高清课堂：379110 全等三角形判定二，例7】【变式】已知：如图，在△MPN 中，H 是高MQ 和NR 的交点，且MQ ＝NQ ．求证：HN ＝PM.【答案】证明：∵MQ 和NR 是△MPN 的高， ∴∠MQN ＝∠MRN ＝90°，又∵∠1＋∠3＝∠2＋∠4＝90°，∠3＝∠4 ∴∠1＝∠2在△MPQ 和△NHQ 中，12MQ NQ MQP NQH ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△MPQ ≌△NHQ （ASA ） ∴PM ＝HN类型三、全等三角形的判定3——“角角边”4、（2016•黄陂区模拟）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，过C 点作直线l ，点 D ，E 在直线l 上，连接AD ，BE ，∠ADC=∠CEB=90°．求证：△ADC ≌△CEB ．【思路点拨】先证明∠DAC=∠ECB ，根据AAS 证△ADC ≌△CEB ． 【答案与解析】证明：∵∠DAC+∠DCA=∠ECB+∠DCA=90°，∴∠DAC=∠ECB ， 在△ADC 和△CEB 中，，∴△ADC≌△CEB（AAS）．【总结升华】本题考查三角形全等的判定方法，注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．举一反三：【变式】已知：如图，等腰三角形ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，直线l经过点C（点A、B都在直线l的同侧），AD⊥l，BE⊥l，垂足分别为D、E．求证：△ADC≌△CEB．【答案】证明：∵∠DAC+∠DCA=∠ECB+∠DCA=90°，∴∠DAC=∠ECB，在△ADC和△CEB中，，∴△ADC≌△CEB（AAS）．5、平面内有一等腰直角三角板（∠ACB＝90°）和一直线MN．过点C作CE⊥MN 于点E，过点B作BF⊥MN于点F．当点E与点A重合时（如图1），易证：AF＋BF＝2CE．当三角板绕点A顺时针旋转至图2的位置时，上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AF、BF、CE之间又有怎样的数量关系，请直接写出你的猜想，不需证明．【思路点拨】过B作BH⊥CE与点H，易证△ACE≌△CBH，根据全等三角形的对应边相等，即可证得AF＋BF＝2CE．【答案与解析】解：图2，AF＋BF＝2CE仍成立，证明：过B作BH⊥CE于点H，∵∠CBH＋∠BCH＝∠ACE＋∠BCH＝90°∴∠CBH＝∠ACE在△ACE与△CBH中，90A C H C B H A E C C H BA CBC ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴△ACE ≌△CBH ．（AAS ）∴CH ＝AE ，BF ＝HE ，CE ＝EF ，∴AF ＋BF ＝AE ＋EF ＋BF ＝CH ＋EF ＋HE ＝CE ＋EF ＝2EC ．【总结升华】正确作出垂线，构造全等三角形是解决本题的关键. 举一反三：【变式】已知Rt △ABC 中，AC ＝BC ，∠C ＝90°，D 为AB 边的中点，∠EDF ＝90°，∠EDF 绕D 点旋转，它的两边分别交AC 、CB 于E 、F ．当∠EDF 绕D 点旋转到DE ⊥AC 于E 时（如图1），易证12DEF CEF ABC S S S +=△△△；当∠EDF 绕D 点旋转到DE 和AC 不垂直时，在图2情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请写出你的猜想，不需证明.【答案】解：图2成立； 证明图2：过点D 作DM AC DN BC ⊥⊥， 则90DME DNF MDN ∠=∠=∠=°在△AMD 和△DNB 中，AMD=DNB=90A BAD BD ∠∠︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AMD ≌△DNB （AAS ） ∴DM ＝DN图2ADBCE M NF∵∠MDE ＋∠EDN ＝∠NDF ＋∠EDN ＝90°， ∴∠ MDE ＝∠NDF 在△DME 与△DNF 中，90EMD FDN DM DNMDE NDF ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△DME ≌△DNF （ASA ） ∴DME DNF S S =△△∴DEF CEF DMCN DECF S =S =S S .+△△四边形四边形 可知ABC DMCN 1S =S 2△四边形， ∴12DEF CEF ABC S S S +=△△△ 类型四、全等三角形判定的实际应用6、小强为了测量一幢高楼高AB ，在旗杆CD 与楼之间选定一点P ．测得旗杆顶C 视线PC 与地面夹角∠DPC=36°，测楼顶A 视线PA 与地面夹角∠APB=54°，量得P 到楼底距离PB 与旗杆高度相等，等于10米，量得旗杆与楼之间距离为DB=36米，小强计算出了楼高，楼高AB 是多少米？【思路点拨】根据题意可得△CPD ≌△PAB （ASA ），进而利用AB=DP=DB ﹣PB 求出即可． 【答案与解析】解：∵∠CPD=36°，∠APB=54°，∠CDP=∠ABP=90°， ∴∠DCP=∠APB=54°， 在△CPD 和△PAB 中 ∵，∴△CPD≌△PAB（ASA ）， ∴DP=AB，∵DB=36，PB=10， ∴AB=36﹣10=26（m ）， 答：楼高AB 是26米．【总结升华】此题主要考查了全等三角形的应用，根据题意得出△CPD ≌△PAB 是解题关键．。

课题：13.２.3三角形全等的判定（SAS）[课标要求]：理解掌握运用“SAS”识别三角形全等的条件[导学目标]：1、知识与技能：知道三角形全等“边角边”的内容．2、过程与方法：会运用“SＡS”识别三角形全等，为证明线段相等或角相等创造条件。

3、情感态度与价值观：经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、 归纳获得数学结论[导学核心点]导学重点：掌握三角形全等“边角边”的内容，会运用“SＡS”判定三角的过程形全等。

导学难点：导学关键：会运用“SＡS”识别三角形全等，为证明线段相等或角相等创造条件。

[导学课时]：[导学方法]：两个全等的三角形，探索归纳法。

导学设计批注修改一、创设问题情景1．如图，AC、BD相交于O，AO、BO、CO、DO的长度如图所标，△ABO和△CDO是否能完全重合呢？为什么？（1）在上面的例子中我们已知哪些条件（从三角形的边、角关系作答），得到什么结论？（2）由（1）中的回答，你能得到什么猜想？2．上述猜想是否正确呢？不妨按上述条件画图并作如下的实验：(1)读句画图：①画∠DAE＝45°，②在AD、AE上分别取B、C，使AB＝3.1cm，AC＝2.8cm．③连结BC，得△ABC．④按上述画法再画一个△A＇B＇C＇．(2)把△A＇B＇C＇剪下来放到△ABC上，观察△A＇B＇C＇与△ABC是否能够完全重合？三、学生合作探究相等的两个三角形全等(简称“边角边”或“SAS”)几何语言：已知：如图，∴思考：如果“两边及其中一边的对角对应相等，那么这两个三角形全等吗？”画一画：三角形的两条边分别为4cm和3cm，长度为3cm的边所对的角为30度,画出这个三角形，把你画的三角形与其他同学画的三角形进行比较，由此你发现了什么？把你的发现和同伴交流。

四、知识方法小结（1）知识方面：（2）学习方法方面：五、作业布置1.如图，已知：AD ∥BC ，AD ＝CB ，AF ＝CE.求证：△AFD ≌△CEB.证明：∵AD ∥BC ，∴∠A ＝∠___（两直线平行， 相等）在△____和△_____中，AD _____,A ____,AF _____,⎧=⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△_____≌△_____（______）.２.如图，已知：AD ∥BC ，AD ＝CB ，AE ＝CF.求证：∠D ＝∠B.证明：∵AD ∥BC ，∴∠A ＝∠ （两直线平行， 相等）. ∵AE ＝CF ，∴AF ＝ .在△AFD 和△CEB 中，AD _____,A ____,AF _____,⎧=⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AFD ≌△CEB （ ）.∴ ＝ .３．如图，已知AB ＝AC ，AD ＝AE ，∠1＝∠2．求证：△ABD ≌△ACE ．４．已知：点A 、F 、E 、C 在同一条直线上， AF ＝CE ，BE ∥DF ，BE ＝DF ．求证：AB ∥CD板书设计导学反思 1、本节亮点：2、待改进处E DF A B CED F AB C。