函数的图象

各种函数图象底数与指数函数图像:(1)由指数函数y=a^x与直线x=1相交于点(1，a)可知:在y轴右侧，图像从下到上相应的底数由小变大。

(2)由指数函数y=a^x与直线x=-1相交于点(-1，1/a)可知:在y轴左侧，图像从下到上相应的底数由大变小。

(3)指数函数的底数与图像间的关系可概括的记忆为:在y轴右边“底大图高”;在y轴左边“底大图低”。

(如右图)》。

右图给出对于不同大小a所表示的函数图形: 可以看到对数函数的图形只不过的指数函数的图形的关于直线y=x的对称图形，因为它们互为反函数。

(1) 对数函数的定义域为大于0的实数集合。

(2) 对数函数的值域为全部实数集合。

(3) 函数图像总是通过(1，0)点。

(4) a大于1时，为单调增函数，并且上凸;a大于0小于1时，函数为单调减函数，并且下凹。

(5) 显然对数函数无界。

形如y=x^a(a为常数)的函数，即以底数为自变量幂为因变量，指数为常量的函数称为幂函数。

当a取非零的有理数时是比较容易理解的，而对于a取无理数时，初学者则不大容易理解了。

因此，在初等函数里，我们不要求掌握指数为无理数的问题，只需接受它作为一个已知事实即可，因为这涉及到实数连续统的极为深刻的知识。

特性对于a的取值为非零有理数，有必要分成几种情况来讨论各自的特性: 首先我们知道如果a=p/q，且p/q为既约分数(即p、q互质)，q和p都是整数，则x^(p/q)=q次根号下(x的p次方)，如果q是奇数，函数的定义域是R，如果q是偶数，函数的定义域是[0,，?)。

当指数a是负整数时，设a=-k，则y=1/(x^k)，显然x?0，函数的定义域是(,?，0)?(0,，?)。

因此可以看到x所受到的限制来源于两点，一是有可能作为分母而不能是0，一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数，那么我们就可以知道: 排除了为0与负数两种可能，即对于x>0，则a可以是任意实数; 排除了为0这种可能，即对于x<0或x>0的所有实数，q不能是偶数; 排除了为负数这种可能，即对于x为大于或等于0的所有实数，a就不能是负数。

各种函数图象底数与指数函数图像:(1)由指数函数y=a^x与直线x=1相交于点(1，a)可知:在y轴右侧，图像从下到上相应的底数由小变大。

(2)由指数函数y=a^x与直线x=-1相交于点(-1，1/a)可知:在y轴左侧，图像从下到上相应的底数由大变小。

(3)指数函数的底数与图像间的关系可概括的记忆为:在y轴右边“底大图高”;在y轴左边“底大图低”。

(如右图)》。

右图给出对于不同大小a所表示的函数图形: 可以看到对数函数的图形只不过的指数函数的图形的关于直线y=x的对称图形，因为它们互为反函数。

(1) 对数函数的定义域为大于0的实数集合。

(2) 对数函数的值域为全部实数集合。

(3) 函数图像总是通过(1，0)点。

(4) a大于1时，为单调增函数，并且上凸;a大于0小于1时，函数为单调减函数，并且下凹。

(5) 显然对数函数无界。

形如y=x^a(a为常数)的函数，即以底数为自变量幂为因变量，指数为常量的函数称为幂函数。

当a取非零的有理数时是比较容易理解的，而对于a取无理数时，初学者则不大容易理解了。

因此，在初等函数里，我们不要求掌握指数为无理数的问题，只需接受它作为一个已知事实即可，因为这涉及到实数连续统的极为深刻的知识。

特性对于a的取值为非零有理数，有必要分成几种情况来讨论各自的特性: 首先我们知道如果a=p/q，且p/q为既约分数(即p、q互质)，q和p都是整数，则x^(p/q)=q次根号下(x的p次方)，如果q是奇数，函数的定义域是R，如果q是偶数，函数的定义域是[0,，?)。

当指数a是负整数时，设a=-k，则y=1/(x^k)，显然x?0，函数的定义域是(,?，0)?(0,，?)。

因此可以看到x所受到的限制来源于两点，一是有可能作为分母而不能是0，一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数，那么我们就可以知道: 排除了为0与负数两种可能，即对于x>0，则a可以是任意实数; 排除了为0这种可能，即对于x<0或x>0的所有实数，q不能是偶数; 排除了为负数这种可能，即对于x为大于或等于0的所有实数，a就不能是负数。

第7讲 函数的图象基础知识整合1．利用描点法作函数图象其基本步骤是列表、□01描点、连线． 首先：①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)．其次：列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线．2．利用图象变换法作函数的图象 (1)平移变换y ＝f (x )――――――――――→a >0，右移a 个单位a <0，左移|a |个单位y ＝f (x －a )；y ＝f (x )――――――――――→b >0，上移b 个单位b <0，下移|b |个单位y ＝□02f (x )＋b . (2)伸缩变换(3)对称变换y ＝f (x )――――――――――→关于x 轴对称y ＝－f (x )； y ＝f (x )――――――――――→关于y 轴对称y ＝f (－x )； y ＝f (x )――――――――――→关于原点对称y ＝□04－f (－x )． (4)翻折变换去掉y轴左边图，保留y轴右边图y＝f(x)――――――――――→y＝f(|x|)；作其关于y轴对称的图象留下x轴上方图y＝f(x)――――――――――→y＝|f(x)|.将x轴下方图翻折上去1．左右平移仅仅是相对x而言的，即发生变化的只是x本身，利用“左加右减”进行操作．如果x的系数不是1，需要把系数提出来，再进行变换．2．上下平移仅仅是相对y而言的，即发生变化的只是y本身，利用“上减下加”进行操作．但平时我们是对y＝f(x)中的f(x)进行操作，满足“上加下减”．1．(2019·昆明模拟)函数y＝x2－2|x|的图象是()答案 B解析由y＝x2－2|x|知是偶函数，故图象关于y轴对称，排除C.当x≥0时，y＝x2－2x＝(x－1)2－1.即当x＝0时，y＝0，当x＝1时，y＝－1，排除A，D，故选B.2．已知图①中的图象对应的函数为y＝f(x)，则在下列给出的四个选项中，图②中的图象对应的函数只可能是()A．y＝f(|x|) B．y＝|f(x)|C ．y ＝f (－|x |)D ．y ＝－f (|x |)答案 C解析 由图②知，图象关于y 轴对称，对应的函数是偶函数．对于A ，当x >0时，y ＝f (|x |)＝f (x )，其图象在y 轴右侧与图①的相同，不符合，故错误；对于B ，当x >0时，对应的函数是y ＝f (x )，显然B 错误；对于D ，当x <0时，y ＝－f (－x )，其图象在y 轴左侧与图①的不相同，不符合，故错误；所以C 正确．3．(2018·四川模拟)函数y ＝x 33x －1的图象大致是( )答案 C解析 因为函数的定义域是非零实数集，所以A 错误；当x <0时，y >0，所以B 错误；指数型函数远比幂函数上升的快，故当x →＋∞时，y →0，所以D 错误．故选C.4.(2019·宁夏模拟)函数f (x )＝2x ＋sin x 的部分图象可能是( )答案 A解析 函数f (x )＝2x ＋sin x 是奇函数，故其图象关于原点对称，排除B ；又当0<x <π2时，函数值为正，仅有A 满足，故选A.5．(2019·梅州模拟)函数f (x )＝x ＋ln xx 2的大致图象是( )答案 B解析 函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，当x →0时，f (x )<0，排除C ，D ；当x →＋∞时，f (x )>0，排除A ，故选B.核心考向突破考向一 函数图象的画法 例1 作出下列函数的图象：(1)y ＝|x －2|·(x ＋2)；(2)y ＝|log 2(x ＋1)|； (3)y ＝2x －1x －1；(4)y ＝x 2－2|x |－1.解 (1)函数式可化为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4，x ≥2，－x 2＋4，x <2，其图象如图(1)实线所示．(2)将函数y ＝log 2x 的图象向左平移1个单位，再将x 轴下方的部分沿x 轴翻折上去，即可得到函数y ＝|log 2(x ＋1)|的图象，如图(2)所示．(3)原函数解析式可化为y ＝2＋1x －1，故函数图象可由函数y ＝1x 的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到，如图(3)所示．(4)因为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －1，x ≥0，x 2＋2x －1，x <0，且函数为偶函数，先用描点法作出[0，＋∞)上的图象，再根据对称性作出(－∞，0)上的图象，最后得函数图象如图(4)所示．触类旁通画函数图象的一般方法(1)直接法：当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征直接画出．(2)图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序，对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响.即时训练 1.作出下列各函数的图象： (1)y ＝x －|x －1|；(2)y ＝|x 2－4x ＋3|； (3)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |；(4)y ＝|log 2x －1|.解 (1)根据绝对值的意义，可将函数式化为分段函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≥1，2x －1，x <1，可见其图象是由两条射线组成，如图(1)所示．(2)函数式可化为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3，x ≥3或x ≤1，－x 2＋4x －3，1<x <3，图象如图(2)所示．(3)作出y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的图象，保留y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的图象中x ≥0的部分，加上y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的图象中x >0部分关于y 轴的对称部分，即得y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |的图象，如图(3)实线部分．(4)先作出y ＝log 2x 的图象，再将其图象向下平移一个单位，保留x 轴上方的部分，将x 轴下方的图象翻折到x 轴上方，即得y ＝|log 2x －1|的图象，如图(4)所示．考向二 识图与辨图角度1 知式选图例2 (2018·全国卷Ⅱ)函数f (x )＝e x －e －xx 2的图象大致为( )答案 B解析 ∵x ≠0，f (－x )＝e －x －e xx 2＝－f (x )，∴f (x )为奇函数，故不选A ；∵f (1)＝e －e －1>0，∴不选D ；∵f ′(x )＝(e x ＋e －x )x 2－(e x －e －x )2xx 4＝(x －2)e x ＋(x ＋2)e －x x 3，∴当x >2时，f ′(x )>0，∴不选C.因此选B. 角度2 知图选式例3 (2018·太原模拟)函数f (x )的部分图象如图所示，则f (x )的解析式可以是( )A ．f (x )＝x ＋sin xB ．f (x )＝cos x xC ．f (x )＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －3π2D ．f (x )＝x cos x 答案 D解析 函数为奇函数，排除C ；函数f (x )＝x ＋sin x 只有一个零点，排除A ；B 选项中x ≠0，所以B 不正确，选D.触类旁通函数图象的识辨(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势. (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性. (4)从函数的周期性，判断图象的循环往复.(5)从函数的特征点，排除不合要求的图象.即时训练 2.(2018·浙江高考)函数y ＝2|x |sin2x 的图象可能是( )答案 D解析 设f (x )＝2|x |sin2x ，其定义域关于坐标原点对称，又f (－x )＝2|－x |·sin(－2x )＝－f (x )，所以y ＝f (x )是奇函数，故排除A ，B ；令f (x )＝0，所以sin2x ＝0，所以2x ＝k π(k ∈Z )，所以x ＝k π2(k ∈Z )，故排除C.故选D.3．下列四个函数中，图象如图所示的只能是( )A ．y ＝x ＋lg xB ．y ＝x －lg xC ．y ＝－x ＋lg xD ．y ＝－x －lg x答案 B解析 (特殊值法)当x ＝1时，由图象知y >0，而C ，D 中y <0，故排除C ，D ；又当x ＝110时，由图象知y >0，而A 中y ＝110＋lg 110＝－910<0，排除A.故选B.考向三 函数图象的应用例4 (1)(2019·洛阳统考)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧log 2x ，x >0，3x ，x ≤0，关于x 的方程f (x )＋x－a ＝0有且只有一个实根，则实数a 的取值范围是________．答案 (1，＋∞)解析 问题等价于函数y ＝f (x )与y ＝－x ＋a 的图象有且只有一个交点，如图，结合函数图象可知a >1.(2)(2018·天津高考)已知a >0，函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋2ax ＋a ，x ≤0，－x 2＋2ax －2a ，x >0.若关于x 的方程f (x )＝ax 恰有2个互异的实数解，则a 的取值范围是________．答案 (4,8)解析 由题可设函数g (x )＝f (x )－ax＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋ax ＋a ，x ≤0，－x 2＋ax －2a ，x >0，当x ≤0时，Δ1＝a 2－4a ，当x >0时，Δ2＝a 2－8a .根据题目条件可知a >0时，函数g (x )恰有2个不同的零点，可分以下三种情况：①当⎩⎪⎨⎪⎧Δ1＝0，Δ2＝0时，解得a ＝0，不满足条件a >0，此时无解；②当⎩⎨⎧ Δ1>0，Δ2<0时，解得4<a <8，此时函数g (x )的两个零点均为负数；③当⎩⎨⎧Δ1<0，Δ2>0时，此时无解．综上可得a 的取值范围是4<a <8.即时训练 4.如图，函数f (x )的图象为折线ACB ，则不等式f (x )≥log 2(x ＋1)的解集是( )A ．{x |－1<x ≤0}B ．{x |－1≤x ≤1}C ．{x |－1<x ≤1}D ．{x |－1<x ≤2} 答案 C解析 令g (x )＝y ＝log 2(x ＋1)，作出函数g (x )的图象如图．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，y ＝log 2(x ＋1)，得 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.∴结合图象知不等式f (x )≥log 2(x ＋1)的解集为{x |－1<x ≤1}．5．(2018·陕西模拟)已知函数y ＝|x 2－1|x －1的图象与函数y ＝kx 的图象恰有两个交点，则实数k 的取值范围是________．答案 (0,1)∪(1,2)解析 函数y ＝|x 2－1|x －1的定义域为{x |x ≠1}，所以当x >1时，y ＝x ＋1，当－1<x <1时，y ＝－x －1，当x ≤－1时，y ＝x ＋1，图象如图所示，由图象可知当0<k <2且k ≠1时两函数的图象恰有两个交点，所以实数k 的取值范围为(0,1)∪(1,2)．[特殊点法]1．(2019·北师大附中模拟)函数y ＝e cos x (－π≤x ≤π)的大致图象为( )答案 C解析 当x ＝0时，函数y 取得最大值ecos0＝e ；当x ＝π时，则y ＝e cosπ＝1e .可排除A ，B ，D ，选C.答题启示使用特殊点法排除一些不符合要求的错误选项，主要注意两点：一是选取的点要具备特殊性和代表性，能排除一些选项；二是可能要选取多个特殊点进行排除才能得到正确答案．对点训练函数y ＝x cos x ＋sin x 的图象大致为( )答案 D解析 令f (x )＝x cos x ＋sin x ，则有f (－x )＝－x cos x －sin x ＝－f (x )，∴f (x )为奇函数．∵奇函数的图象关于原点对称，而B 中的图象不关于原点对称，∴排除B ；当x ＝π2时，y ＝1，而由C 中图象知当x ＝π2时，y ≠1，∴排除C ；当x ＝π时，y ＝－π，而A 中，当x ＝π时，y >0，∴排除A.故选D.[性质检验法]2．(2018·全国卷Ⅲ)函数y ＝－x 4＋x 2＋2的图象大致为( )答案 D解析 当x ＝0时，y ＝2，排除A ，B.y ′＝－4x 3＋2x ＝－2x (2x 2－1)，当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，22时，y ′>0，排除C.故选D. 答题启示利用性质识别函数图象是辨图中的主要方法，采用的性质主要是定义域、值域，函数整体的奇偶性，函数局部的单调性等．当然，对于一些更为复杂的函数图象的判断，还可能同特殊点法结合起来使用．对点训练(2019·沧州七校联考)函数f (x )＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 的图象是( )答案 B解析 因为f (x )＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ，所以x －1x ＝(x ＋1)(x －1)x >0，解得－1<x <0或x >1，所以函数的定义域为(－1,0)∪(1，＋∞)，可排除A ，D.因为函数u ＝x －1x 在(－1,0)和(1，＋∞)上单调递增，函数y ＝ln u 在(0，＋∞)上单调递增，根据复合函数的单调性可知，函数f (x )在(－1,0)和(1，＋∞)上单调递增，故选B.[图象变换法]3．已知函数f (x －1)是定义在R 上的奇函数，且在[0，＋∞)上是增函数，则函数f (x )的图象可能是( )答案 B解析 函数f (x －1)的图象向左平移1个单位，即可得到函数f (x )的图象；因为函数f (x －1)是定义在R 上的奇函数，所以函数f (x －1)的图象关于原点对称，所以函数f (x )的图象关于点(－1,0)对称，排除A ，C ，D ，故选B.答题启示有关函数y ＝f (x )与函数y ＝af (bx ＋c )＋h 的图象问题的判断，熟练掌握图象的平移变换(左加右减，上加下减)、对称变换、伸缩变换等，便可破解此类问题．对点训练已知定义在区间[0,2]上的函数y ＝f (x )的图象如图所示，则y ＝－f (2－x )的图象为( )答案 B解析 y ＝f (x )――――――――――→作关于y 轴对称的图象y ＝f (－x ) ――――――――――→向右平移2个单位y ＝f (2－x )――――――――――→作关于x 轴对称的图象y ＝－f (2－x )．选B.。

高考中所有的函数图像大汇总 专项二 高考用到的函数图像总结高考中用到的函数图像是指：一次函数图像、反比例函数图像、二次函数图像、幂函数图像（五种）、对勾（也称对号）函数图像、指数函数图像、对数函数图像、简单的三角函数图像、简单的三次函数图像一、一次函数图像（1）函数)0(≠+=k b kx y 叫做一次函数，它的定义域是R ，值域是R ； （2）一次函数的图象是直线，这条直线不能竖直，所以一次函数又叫线性函数；（3）一次函数)0(≠+=k b kx y 中，k 叫直线的斜率，b 叫直线在y 轴上的截距； 0>k 时，函数是增函数，0<k 时，函数是减函数；注意截距不是距离的意思，截距是一个可正可负可为零的常数 （4）0=b 时该函数是奇函数且为正比例函数，直线过原点；0≠b 时，它既不是奇函数，也不是偶函数； （5）作一次函数图像时，一般先找到在坐标轴上的两个点，然后连线即可 二、反比例函数图像 （一）反比例函数的概念1．（）可写成（）的形式，注意自变量x 的指数为，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一限制条件；2．（）也可写成xy=k 的形式，用它可迅速地求出反比例函数解析式中的k ，从而得到反比例函数的解析式；3．反比例函数的自变量，故函数图象与x 轴、y 轴无交点．（二）反比例函数及其图象的性质函数解析式：（），自变量的取值范围：越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直．图像越远离坐标轴越小，图象的弯曲度越大．图像越靠近坐标轴 当时，图象的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y 随x 的增大而减小；当时，图象的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y 随x 的增大而增大．（3）对称性：图象关于原点对称，即若（a ，b ）在双曲线的一支上，则（，）在双曲线的另一支上．图象关于直线对称，即若（a ，b ）在双曲线的一支上，则（，）和（，）在双曲线的另一支上． 4．k 的几何意义如图1，设点P （a ，b ）是双曲线上任意一点，作PA ⊥x 轴于A 点，PB ⊥y 轴于B 点，则矩形PBOA的面积是（三角形PAO 和三角形PBO 的面积都是）．如图2，由双曲线的对称性可知，P 关于原点的对称点Q 也在双曲线上，作QC ⊥PA 的延长线于C ，则有三角形PQC 的面积为．图1 图2 三、二次函数图像(1)二次函数解析式的三种形式 ①一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． ②顶点式：f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)． ③零点式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)． (2)二次函数的图象和性质解析式f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0)f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a <0)图象定义域 (－∞，＋∞)(－∞，＋∞)值域⎣⎡⎭⎫4ac －b 24a ，＋∞ ⎝⎛⎦⎤－∞，4ac －b 24a单调性在x ∈⎝⎛⎦⎤－∞，－b2a 上单调递减； 在x ∈⎣⎡⎭⎫－b2a ，＋∞上单调递增 在x ∈⎝⎛⎦⎤－∞，－b2a 上单调递增； 在x ∈⎣⎡⎭⎫－b2a ，＋∞上单调递减对称性函数的图象关于x＝－b2a对称（2）我们在做题的时候，作比较详细的二次函数图像，需要作出开口方向、对称轴所在位置、与两个坐标轴的交点位置、顶点所在位置，而不能随手一条曲线，就当做二次函数的图像了。

第7讲 函数的图象1．利用描点法作函数图象 其基本步骤是列表、描点、连线．首先：①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)．其次：列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线．2．利用图象变换法作函数的图象 (1)平移变换(2)对称变换①y ＝f (x )――――→关于x 轴对称y ＝－f (x )； ②y ＝f (x )――――→关于y 轴对称y ＝f (－x )； ③y ＝f (x )――――→关于原点对称y ＝－f (－x )；④y ＝a x (a ＞0且a ≠1)――――→关于y ＝x 对称y ＝log a x (x ＞0)． (3)翻折变换①y ＝f (x )――――――――――→保留x 轴及上方图象将x 轴下方图象翻折上去y ＝|f (x )|． ②y ＝f (x )――――――――――→保留y 轴及右边图象，并作其关于y 轴对称的图象y ＝f (|x |)． (4)伸缩变换①y ＝f (x )a ＞1，横坐标缩短为原来的1a倍，纵坐标不变0＜a ＜1，横坐标伸长为原来的1a 倍，纵坐标不变→y ＝f (ax )．②y ＝f (x )a ＞1，纵坐标伸长为原来的a 倍，横坐标不变0＜a ＜1，纵坐标缩短为原来的a 倍，横坐标不变→y ＝af (x )．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)当x ∈(0，＋∞)时，函数y ＝|f (x )|与y ＝f (|x |)的图象相同．( ) (2)函数y ＝af (x )与y ＝f (ax )(a >0且a ≠1)的图象相同．( ) (3)函数y ＝f (x )与y ＝－f (x )的图象关于原点对称．( )(4)若函数y ＝f (x )满足f (1＋x )＝f (1－x )，则函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称．( ) (5)将函数y ＝f (－x )的图象向右平移1个单位得到函数y ＝f (－x －1)的图象．( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)√ (5)×(教材习题改编)下列图象是函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x <0，x －1，x ≥0的图象的是( )答案：C(教材习题改编)甲、乙二人同时从A 地赶往B 地，甲先骑自行车到两地的中点再改为跑步，乙先跑步到中点再改为骑自行车，最后两人同时到达B 地．已知甲骑车比乙骑车的速度快，且两人骑车速度均大于跑步速度．现将两人离开A 地的距离s 与所用时间t 的函数关系用图象表示，则下列给出的四个函数图象中，甲、乙的图象应该是( )A ．甲是图①，乙是图②B ．甲是图①，乙是图④C ．甲是图③，乙是图②D ．甲是图③，乙是图④ 答案：B(教材习题改编)点P 从点O 出发，按逆时针方向沿周长为l 的图形运动一周，O ，P 两点连线的距离y 与点P 走过的路程x 的函数关系如图，那么点P 所走的图形是( )答案：C(教材习题改编)已知三个函数①y ＝a x ；②y ＝log b x ；③y ＝log c x 的图象如图所示，则a 、b 、c 的大小关系为( )A ．a ＜b ＜cB ．a ＜c ＜bC ．c ＜a ＜bD ．b ＜c ＜a解析：选A ．由题图知，0＜a ＜1，b ＞1，c ＞1.又当x ＞1时，log b x ＞log c x ＞0.即1log x b＞1log x c，所以log x c ＞log x b ，所以c ＞b .即a ＜b ＜c ，故选A ． 已知函数f (x )的图象如图所示，则函数g (x )＝log2f (x )的定义域是________．答案：(2，8]作函数的图象[典例引领]作出下列函数的图象． (1)y ＝x 2－2|x |－1. (2)y ＝x ＋2x －1.(3)y ＝|log 2(x ＋1)|.【解】 (1)先化简，再作图，y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －1，x ≥0，x 2＋2x －1，x <0，图象如图所示．(2)因为y ＝x ＋2x －1＝1＋3x －1，先作出y ＝3x 的图象，将其图象向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，即得y ＝x ＋2x －1的图象，如图所示．(3)利用函数y ＝log 2x 的图象进行平移和翻折变换，图象如图实线所示．函数图象的三种画法(1)直接法：当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征描出图象的关键点直接作出．(2)转化法：含有绝对值符号的函数，可脱掉绝对值符号，转化为分段函数来画图象． (3)图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、伸缩、翻折、对称得到，可利用图象变换作出．[注意] (1)画函数的图象一定要注意定义域．(2)利用图象变换法时要注意变换顺序，对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响．[通关练习]作出下列函数的图象． (1)y ＝|x －2|·(x ＋1)； (2)y ＝2x －1x －1.解：(1)当x ≥2，即x －2≥0时， y ＝(x －2)(x ＋1)＝x 2－x －2＝⎝⎛⎭⎫x －122－94； 当x <2，即x －2<0时，y ＝－(x －2)(x ＋1)＝－x 2＋x ＋2＝－⎝⎛⎭⎫x －122＋94.所以y ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫x －122－94，x ≥2，－⎝⎛⎭⎫x －122＋94，x <2.这是分段函数，每段函数的图象可根据二次函数图象作出(如图)．(2)因为y ＝2x －1x －1＝2＋1x －1，故函数图象可由y ＝1x 的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到，如图所示．函数图象的识别(高频考点)函数图象的识别是每年高考的重点，题型为选择题，难度适中．主要命题角度有： (1)知式选图； (2)知图选式；(3)由实际问题的变化过程探究函数图象．[典例引领]角度一 知式选图(2017·高考全国卷Ⅲ)函数y ＝1＋x ＋sin xx2的部分图象大致为( )【解析】 易知函数g (x )＝x ＋sin xx 2是奇函数，其函数图象关于原点对称，所以函数y ＝1＋x ＋sin xx2的图象只需把g (x )的图象向上平移一个单位长度，结合选项知选D.【答案】 D角度二 知图选式已知函数f (x )的图象如图所示，则f (x )的解析式可以是( )A ．f (x )＝ln|x |xB ．f (x )＝e xxC ．f (x )＝1x2－1D ．f (x )＝x －1x【解析】 由函数图象可知，函数f (x )为奇函数，应排除B ，C ．若函数为f (x )＝x －1x ，则x →＋∞时，f (x )→＋∞，排除D ，故选A ．【答案】 A角度三 由实际问题的变化过程探究函数图象如图，长方形ABCD 的边AB ＝2，BC ＝1，O 是AB 的中点，点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记∠BOP ＝x .将动点P 到A ，B 两点距离之和表示为x 的函数f (x )，则y ＝f (x )的图象大致为( )【解析】 当x ∈[0，π4]时，f (x )＝tan x ＋4＋tan 2 x ，图象不会是直线段，从而排除A ，C ．当x ∈[π4，3π4]时，f (π4)＝f (3π4)＝1＋5，f (π2)＝2 2.因为 22＜1＋5，所以 f (π2)＜f (π4)＝f (3π4)，从而排除D ，故选B ．【答案】 B识别函数图象的方法技巧函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势． (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性． (4)从函数的周期性，判断图象的循环往复． (5)从函数的特殊点，排除不合要求的图象．[注意] 由实际情景探究函数图象，关键是将问题转化为熟悉的数学问题求解，要注意实际问题中的定义域问题．[通关练习]1．已知定义在区间[0，2]上的函数y ＝f (x )的图象如图所示，则y ＝－f (2－x )的图象为( )解析：选B ．由f (x )――→关于y 轴对称f (－x )――→右移2个单位f [－(x －2)]――→沿x 轴翻折－f (2－x )． 2.如图，不规则四边形ABCD 中，AB 和CD 是线段，AD 和BC 是圆弧，直线l ⊥AB 交AB 于E ，当l 从左至右移动(与线段AB 有公共点)时，把四边形ABCD 分成两部分，设AE ＝x ，左侧部分的面积为y ，则y 关于x 的图象大致是( )解析：选C ．当l 从左至右移动时，一开始面积的增加速度越来越快，过了D 点后面积保持匀速增加，图象呈直线变化，过了C 点后面积的增加速度又逐渐减慢．故选C ．函数图象的应用(高频考点)函数图象的应用是每年高考的热点，题型既有选择题，也有填空题，难度偏大．主要命题角度有：(1)研究函数的性质； (2)求解不等式；(3)求解方程根(或函数零点)问题．[典例引领]角度一 研究函数的性质已知函数f (x )＝x |x |－2x ，则下列结论正确的是( ) A ．f (x )是偶函数，递增区间是(0，＋∞) B ．f (x )是偶函数，递减区间是(－∞，1) C ．f (x )是奇函数，递减区间是(－1，1) D ．f (x )是奇函数，递增区间是(－∞，0)【解析】 将函数f (x )＝x |x |－2x 去掉绝对值得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x <0，画出函数f (x )的图象，如图，观察图象可知，函数f (x )的图象关于原点对称，故函数f (x )为奇函数，且在(－1，1)上单调递减．【答案】 C角度二 求解不等式函数f (x )是定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)的奇函数，在(0，＋∞)上单调递增，f (3)＝0，若x ·[f (x )－f (－x )]<0，则x 的取值范围为________．【解析】 函数f (x )的图象大致如图所示．因为f (x )为奇函数，且x ·[f (x )－f (－x )]<0，所以2x ·f (x )<0. 由图可知，不等式的解集为(－3，0)∪(0，3)． 【答案】 (－3，0)∪(0，3)角度三 求解方程根(或函数零点)问题(1)直线y ＝k (x ＋3)＋5(k ≠0)与曲线y ＝5x ＋17x ＋3的两个交点坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＋y 1＋y 2等于( )A ．2B ．4C ．6D ．8(2)已知函数f (x )＝|x －2|＋1，g (x )＝kx .若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是( )A ．⎝⎛⎭⎫0，12B ．⎝⎛⎭⎫12，1 C ．(1，2)D ．(2，＋∞)【解析】 (1)因为y ＝5x ＋17x ＋3＝2x ＋3＋5，其图象关于点(－3，5)对称．又直线y ＝k (x＋3)＋5过点(－3，5)，如图所示．所以A 、B 关于点(－3，5)对称，所以x 1＋x 2＝2×(－3)＝－6，y 1＋y 2＝2×5＝10.所以x 1＋x 2＋y 1＋y 2＝4.(2)先作出函数f (x )＝|x －2|＋1的图象，如图所示，当直线g (x )＝kx 与直线AB 平行时斜率为1，当直线g (x )＝kx 过A 点时斜率为12，故f (x )＝g (x )有两个不相等的实根时，k 的范围为⎝⎛⎭⎫12，1.【答案】 (1)B (2)B(1)利用函数图象研究性质的方法①根据已知或作出的函数图象，从最高点、最低点，分析函数的最值、极值． ②从图象的对称性，分析函数的奇偶性．③从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性． ④从图象与x 轴的交点情况，分析函数的零点等． (2)利用函数的图象研究不等式思路当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合求解．(3)利用函数图象研究方程根的策略构造函数，转化为两熟悉函数图象的交点个数问题，在同一坐标系中分别作出两函数的图象，数形结合求解．[通关练习]1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(1－x )＋1，－1≤x <0x 3－3x ＋2，0≤x ≤a 的值域是[0，2]，则实数a 的取值范围是( )A ．(0，1]B ．[1，3]C ．[1，2]D ．[3，2]解析：选B ．先作出函数f (x )＝log 2(1－x )＋1，－1≤x <0的图象，再研究f (x )＝x 3－3x ＋2，0≤x ≤a 的图象．令f ′(x )＝3x 2－3＝0，得x ＝1(x ＝－1舍去)，由f ′(x )>0，得x >1，由f ′(x )<0，得0<x <1.又f (0)＝f (3)＝2，f (1)＝0.所以1≤a ≤ 3.故选B ．2．(2018·广州五校联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－2x ，x ≥0，x 2－2x ，x <0，若f (3－a 2)<f (2a )，则实数a的取值范围是________．解析：如图，画出f (x )的图象，由图象易得f (x )在R 上单调递减，因为f (3－a 2)<f (2a )，所以3－a 2>2a ，解得－3<a <1.答案：(－3，1)识图的方法对于给定函数的图象，要从图象的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性，注意图象与函数解析式中参数的关系．用图的技巧借助函数图象，可以研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等性质．利用函数的图象，还可以判断方程f (x )＝g (x )的解的个数，求不等式的解集等．1．函数y ＝x sin x 在[－π，π]上的图象是( )解析：选A ．容易判断函数y ＝x sin x 为偶函数，排除D.当0<x <π2时，y ＝x sin x >0，当x＝π时，y ＝0，排除B 、C ，故选A ．2．定义一种运算：g ⊗h ＝⎩⎪⎨⎪⎧g (g ≥h )，h (g ＜h )，已知函数f (x )＝2x ⊗1，那么函数f (x －1)的大致图象是( )解析：选B ．由定义知，当x ≥0时，2x ≥1，所以f (x )＝2x ，当x ＜0时，2x ＜1，所以f (x )＝1，所以f (x )＝⎩⎨⎧2x，x ≥0，1，x ＜0，其图象易作，f (x －1)的图象可由f (x )的图象向右平移1个单位长度得到，故选B ．3．已知函数y ＝f (x )的图象如图所示，则函数y ＝log 12f (x )的图象大致是( )解析：选C ．法一：由函数y ＝f (x )的图象知，当x ∈(0，2)时，f (x )≥1，所以log 12f (x )≤0，结合选项知，选C ．法二：由函数f (x )的图象知，函数f (x )在(0，1)上是减函数，在(1，2)上是增函数，所以y ＝log 12f (x )在(0，1)上是增函数，在(1，2)上是减函数．结合各选项知，选C ．4．图中阴影部分的面积S 是关于h 的函数(0≤h ≤H )，则该函数的大致图象是( )解析：选B ．由题图知，随着h 的增大，阴影部分的面积S 逐渐减小，且减小得越来越慢，结合选项可知选B ．5．(2018·河南焦作模拟)函数f (x )＝|x |＋ax2(其中a ∈R )的图象不可能是( )解析：选C ．当a ＝0时，函数f (x )＝|x |＋ax 2＝|x |，函数的图象可以是B ；当a ＝1时，函数f (x )＝|x |＋a x 2＝|x |＋1x2，函数的图象可以类似A ；当a ＝－1时，函数f (x )＝|x |＋a x 2 ＝|x |－1x 2，x >0时，|x |－1x 2＝0只有一个实数根x ＝1，函数的图象可以是D ；所以函数的图象不可能是C ．故选C ．6．如图，定义在[－1，＋∞)上的函数f (x )的图象由一条线段及抛物线的一部分组成，则f (x )的解析式为________．解析：当x ∈[－1，0]时，设y ＝kx ＋b ，由图象得⎩⎪⎨⎪⎧－k ＋b ＝0，k ×0＋b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，b ＝1，所以y ＝x ＋1；当x ∈(0，＋∞)时，设y ＝a (x －2)2－1， 由图象得0＝a ·(4－2)2－1，解得a ＝14，所以y ＝14(x －2)2－1.综上可知，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ∈[－1，0]，14(x －2)2－1，x ∈(0，＋∞).答案：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ∈[－1，0]，14(x －2)2－1，x ∈(0，＋∞) 7．使log 2(－x )<x ＋1成立的x 的取值范围是________．解析：在同一坐标系内作出y ＝log 2(－x )，y ＝x ＋1的图象，知满足条件的x ∈(－1，0)．答案：(－1，0)8．已知函数f (x )的定义域为R ，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x －1，x ≤0，f (x －1)，x >0，若方程f (x )＝x ＋a 有两个不同实根，则实数a 的取值范围为________．解析：当x ≤0时，f (x )＝2－x －1，0<x ≤1时，－1<x －1≤0，f (x －1)＝2－(x －1)－1. 故x >0时，f (x )是周期函数，如图所示．若方程f (x )＝x ＋a 有两个不同的实数根，则函数f (x )的图象与直线y ＝x ＋a 有两个不同交点，故a <1，即a 的取值范围是(－∞，1)． 答案：(－∞，1)9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3－x 2，x ∈[－1，2]，x －3，x ∈（2，5].(1)在如图所示给定的直角坐标系内画出f (x )的图象； (2)写出f (x )的单调递增区间；(3)由图象指出当x 取什么值时f (x )有最值． 解：(1)函数f (x )的图象如图所示．(2)由图象可知，函数f (x )的单调递增区间为[－1，0]，[2，5]． (3)由图象知当x ＝2时，f (x )min ＝f (2)＝－1， 当x ＝0时，f (x )max ＝f (0)＝3.10．已知函数f (x )＝x |m －x |(x ∈R )，且f (4)＝0. (1)求实数m 的值； (2)作出函数f (x )的图象；(3)根据图象指出f (x )的单调递减区间；(4)若方程f (x )＝a 只有一个实数根，求a 的取值范围． 解：(1)因为f (4)＝0，所以4|m －4|＝0，即m ＝4.(2)f (x )＝x |x －4|＝⎩⎪⎨⎪⎧x (x －4)＝(x －2)2－4，x ≥4，－x (x －4)＝－(x －2)2＋4，x <4， f (x )的图象如图所示．(3)f (x )的单调递减区间是[2，4]．(4)从f (x )的图象可知，当a >4或a <0时，f (x )的图象与直线y ＝a 只有一个交点，方程f (x )＝a 只有一个实数根，即a 的取值范围是(－∞，0)∪(4，＋∞)．1．(2017·高考全国卷Ⅰ)函数y ＝sin 2x1－cos x的部分图象大致为()解析：选C ．由题意，令函数f (x )＝sin 2x1－cos x ，其定义域为{x |x ≠2k π，k ∈Z }，又f (－x )＝sin(－2x )1－cos(－x )＝－sin 2x1－cos x ＝－f (x )，所以f (x )＝sin 2x1－cos x 为奇函数，其图象关于原点对称，故排除B ；因为f (π2)＝sin π1－cos π2＝0，f (3π4)＝sin3π21－cos3π4＝－11＋22<0，所以排除A ；f (π)＝sin 2π1－cos π＝0，排除D.故选C ．2．(2017·高考全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝ln x ＋ln(2－x )，则( )A ．f (x )在(0，2)单调递增B ．f (x )在(0，2)单调递减C ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称D ．y ＝f (x )的图象关于点(1，0)对称解析：选C ．法一：由题意知，f (x )＝ln x ＋ln(2－x )的定义域为(0，2)，f (x )＝ln[x (2－x )]＝ln[－(x －1)2＋1]，由复合函数的单调性知，函数f (x )＝ln x ＋ln(2－x )在(0，1)单调递增，在(1，2)单调递减，所以排除A ，B ；又f (12)＝ln 12＋ln(2－12)＝ln 34，f (32)＝ln 32＋ln(2－32)＝ln 34，所以f (12)＝f (32)＝ln 34，所以排除D ，故选C ．法二：由题意知，f (x )＝ln x ＋ln(2－x )的定义域为(0，2)，f ′(x )＝1x ＋1x －2＝2(x －1)x (x －2)，由⎩⎨⎧f ′(x )>00<x <2，得0<x <1；由⎩⎨⎧f ′(x )<00<x <2，得1<x <2，所以函数f (x )＝ln x ＋ln(2－x )在(0，1)单调递增，在(1，2)单调递减，所以排除A ，B ；又f (12)＝ln 12＋ln(2－12)＝ln 34，f (32)＝ln 32＋ln(2－32)＝ln 34，所以f (12)＝f (32)＝ln 34，所以排除D ，故选C ．3.如图，半径为2的圆O 切直线MN 于点P ，射线PK 从PN 出发绕点P 按逆时针方向旋转到PM ，旋转过程中，PK 交圆O 于点Q ，设∠POQ 为x (rad)，弓形PmQ 的面积S ＝f (x )，则f (x )的图象大致是( )解析：选D.由题意知，半径为2的圆O 切直线MN 于点P ，射线PK 从PN 出发绕点P 按逆时针方向旋转到PM ，旋转过程中，弓形PmQ 的面积S ＝f (x )＝x 2π×π×22－12sin x ×22＝2x －2sin x ．因为f ′(x )＝2－2cos x ≥0恒成立且不恒为0，所以f (x )为增函数．令g (x )＝2－2cos x ，则当x ∈[0，π]时，g ′(x )＝2sin x ≥0，故函数f (x )的图象向下凹，当x ∈[π，2π]时，g ′(x )＝2sin x ≤0，故函数f (x )的图象向上凸，故选项D 中的图象满足要求，选D.4．(2018·安徽黄山模拟)函数f (x )＝⎩⎨⎧ln x (x >0)，－－x (x ≤0)与g (x )＝|x ＋a |＋1的图象上存在关于y 轴对称的点，则实数a 的取值范围是( )A ．RB ．(－∞，－e]C ．[e ，＋∞)D ．∅解析：选C ．设y ＝h (x )与y ＝f (x )的图象关于y 轴对称，则h (x )＝f (－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln(－x )，x <0，－x ，x ≥0，作出y ＝h (x )与y ＝g (x )的函数图象如图所示．因为f (x )与g (x )图象上存在关于y 轴对称的点，所以y ＝h (x )与y ＝g (x )的图象有交点，所以－a ≤－e ，即a ≥e.故选C ．5．已知函数f (x )＝2x ，x ∈R .(1)当m 取何值时方程|f (x )－2|＝m 有一个解？两个解？(2)若不等式f 2(x )＋f (x )－m >0在R 上恒成立，求m 的取值范围．解：(1)令F (x )＝|f (x )－2|＝|2x －2|，G (x )＝m ，画出F (x )的图象如图所示，由图象看出，当m ＝0或m ≥2时，函数F (x )与G (x )的图象只有一个交点，原方程有一个解；当0<m <2时，函数F (x )与G (x )的图象有两个交点，原方程有两个解．(2)令f (x )＝t (t >0)，H (t )＝t 2＋t ，因为H (t )＝⎝⎛⎭⎫t ＋122－14在区间(0，＋∞)上是增函数，所以H (t )>H (0)＝0. 因此要使t 2＋t >m 在区间(0，＋∞)上恒成立，应有m ≤0， 即所求m 的取值范围为(－∞，0]．6．已知函数f (x )的图象与函数h (x )＝x ＋1x ＋2的图象关于点A (0，1)对称．(1)求f (x )的解析式；(2)若g (x )＝f (x )＋ax ，且g (x )在区间(0，2]上为减函数，求实数a 的取值范围．解：(1)设f (x )图象上任一点P (x ，y )，则点P 关于(0，1)点的对称点P ′(－x ，2－y )在h (x )的图象上， 即2－y ＝－x －1x ＋2，所以y ＝f (x )＝x ＋1x (x ≠0)．(2)g (x )＝f (x )＋ax ＝x ＋a ＋1x ，g ′(x )＝1－a ＋1x 2. 因为g (x )在(0，2]上为减函数， 所以1－a ＋1x 2≤0在(0，2]上恒成立，即a ＋1≥x 2在(0，2]上恒成立， 所以a ＋1≥4， 即a ≥3，故实数a 的取值范围是[3，＋∞)．。