专题01 任意角的概念与弧度制-高人一筹之高一数学特色专题训练(必修四)【解析版】

1.1任意角的概念与弧度制知识梳理1.任意角(1)角的定义①静态定义：具有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的边.②动态定义：一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形叫做角，所旋转射线的端点叫做角的顶点，开始位置的射线叫做角的始边，终止位置的射线叫做角的终边.(2)在平面内，一条射线绕它的端点旋转有顺时针和逆时针两个相反的方向.习惯上规定：按照逆时针方向旋转而成的角叫做正角；按照顺时针方向旋转而成的角叫做负角；当射线没有旋转时，也把它看成一个角，称为零角；旋转生成的角又常称为转角.这样就形成了任意大小的角即任意角.(3)角的记法：用一个希腊字母表示；用三个大写的英文字母表示(字母前面要写“∠”).(4)角的分类：按旋转方向分为正角、零角、负角；按终边所在位置分为象限角和象限界角.2.终边相同的角(1)规定：将角的始边与x轴的正半轴重合，角的顶点与原点重合，这样就把角放在直角坐标系中.这样给定一个角，就有唯一的一条终边与之对应，但是，对于直角坐标系内任意一条射线，以它为终边的角有无数个.(2)所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z}.即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和的形式.3.象限角和象限界角(1)象限角：在平面直角坐标系xOy中，总是将角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴正半轴重合，如果角的终边在第几象限，就把这个角叫做第几象限的角.(2)象限界角：如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限，我们把它称为象限界角.(3)表示第一象限角的集合：{α|k·360°＜α＜k·360°+90°,k∈Z}；第二象限角的集合：{α|k·360°+90°＜α＜k·360°+180°,k∈Z}；第三象限角的集合：{α|k·360°+180°＜α＜k·360°+270°,k∈Z};第四象限角的集合：{α|k·360°+270°＜α＜k·360°+360°,k∈Z}；终边落在x轴的正半轴上的角的集合：{α|α=k·360°,k∈Z}；终边落在x轴的负半轴上的角的集合：{α|α=k·360°+180°,k∈Z}；终边落在x轴上的角的集合：{α|α=k·180°,k∈Z}；终边落在y轴的正半轴上的角的集合:{α|α=k·360°+90°,k∈Z}；终边落在y轴的负半轴上的角的集合：{α|α=k·360°+270°,k∈Z}；终边落在y轴上的角的集合：{α|α=k·180°+90°,k∈Z}；终边落在坐标轴上的角的集合：{α|α=k·90°,k∈Z}.象限角与象限界角的表示形式并不唯一，还有其他的表示形式.例如：终边落在y轴的负半轴上的角的集合也可以表示为{x|x=k·360°-90°,k∈Z}.4.弧度制(1)定义：以弧度为单位度量角大小的制度叫弧度制.(2)度量方法：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角的大小叫做1弧度的角.(3)记法：弧度单位用符号“rad”表示或用弧度两个字表示.在用弧度制表示角的大小时，通常单位省略不写.5.弧度制与角度制的换算(1)换算公式：α(rad)=(πα180)°，n°=180πn (rad). 角度0° 15° 30° 45° 60° 75° 90° 120° 135° 150° 弧度 0 12π 6π 4π 3π 125π 2π 32π 43π 65π 角度 180° 210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° 360° 弧度 π67π 45π 34π 23π 35π 47π 611π 2π 6.弧度制下的公式如图1-1-1所示，l 、r 、α分别是弧长、半径、弧所对圆心角的弧度数.图1-1-1(1)弧度数公式：|α|=rl ； (2)弧长公式：l=|α|r；(3)扇形面积公式：S=21lr=21|α|r 2. 知识导学1.课前复习初中学习过的角的定义、特点、范围.2.学习过程中一定要努力突破单一按角度制思考问题的习惯，力求通过弧度制来认识任意角.要实现这一目标，可以多做角度与弧度的互化练习，熟记常用特殊角的弧度数.疑难突破1.当角α与角β的终边相同时，α与β相等吗？为什么与角α终边相同的角的集合可以写成S={β|β=α+k·360°,k∈Z }?剖析:角的定义有两种：静态定义和动态定义.难点是受思维定势的影响，往往会先想到用角的静态定义来考虑这个问题，那样就会陷入迷茫.突破这个难点的途径是用角的动态定义来分析.若α、β的终边相同，则它们的关系为将角α终边旋转(逆时针或顺时针)k(k∈Z )周即得β，所以α、β的数量关系为：β=k·360°+α(k∈Z )，即α、β的大小相差360°的整数k 倍.所以α与β不一定相等.例如：β与30°角的终边相同，但是β不一定等于30°.将30°角的终边按逆时针旋转1周即得角β=1·360°+30°=390°；按逆时针旋转2周即得角β=2·360°+30°=750°；按逆时针旋转3周即得角β=3·360°+30°=1 110°；按逆时针旋转4周即得角β=4·360°+30°=1 470°；…；所以390°，750°，1 110°，1 470°，…都与30°角的终边相同.将30°角的终边按顺时针旋转1周即得角β=(-1)·360°+30°=-330°；按顺时针旋转2周即得角β=(-2)·360°+30°=-690°；按顺时针旋转3周即得角β=(-3)·360°+30°=-1 050°；按顺时针旋转4周即得角β=(-4)·360°+30°=-1 410°；…；所以-330°，-690°，-1 050°，-1 410°…都与30°角的终边相同.由以上可看出β与30°角的终边相同，但是β不一定等于30°，它们的数量关系是β=k·360°+30°(k∈Z ).因此所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z }，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和.理解集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z }要注意以下几点：(1)上式中角α为任意角，它说明终边相同的角有无数个，它们相差360°的整数倍；(2)k∈Z 这一条件必不可少；(3)k·360°与α之间是“+”.如k·360°-30°应看成k·360°+(-30°)，即与-30°角终边相同的角；(4)终边相同的角不一定相等，但是相等的角，终边一定相同；(5)终边相同的角有无数多个，它们相差360°的整数倍.在求终边相同的角的问题中关键是找到一个与其终边相同的某一角(一般找0°—360°的角)，然后用集合和符号语言表示出来.2.第一象限角、小于90°的角、0°—90°的角、锐角这四种角有什么差别？剖析:受初中所学角的影响，看到这四种角，往往就说它们相同.其原因是虽然已经将角扩充到了任意角，但是解决问题时，考虑的角还是仅仅停留在锐角、直角、钝角即初中所学角的范围内，没有按任意角来看待.其突破方法是把握住其各自的取值范围.这四种角的范围用集合表示，分别是：锐角{α|0°＜α＜90°},0°—90°的角{α|0°≤α≤90°}，小于90°的角{α|α＜90°}，第一象限角是{α|k·360°＜α＜k·360°+90°,k∈Z }.所以锐角一定是第一象限角，而第一象限角不都是锐角，小于90°的角包括锐角、零角、负角.如果用弧度制表示角，角的表示形式变为实数，其大小关系会更加明显.3.为什么β=k·360°+23π(k∈Z )这种写法是错误的？ 剖析:很多同学这样写，但是并不认为是错误的，并且屡错屡犯，很难改正.突破口是正确认识角度制和弧度制.弧度制和角度制一样，都是度量角大小的方法，只是单位不同.在同一道题目中，用了弧度制后，就不能再用角度制；同样，用了角度制后，也不能再用弧度制，即角度制和弧度制不能混用.就像长度单位米和千米一样，不能写出1米+1千米这样的式子，这样会容易引起混乱.就如同人的穿着打扮全身要上下协调一样，写成β=k·360°+23π(k∈Z )，就像一个人上身穿着羽绒服，脚上穿着凉鞋一样，这种打扮显然是不合适的.所以角度制与弧度制必须分开使用，不能在同一问题中混合使用.弧度制与角度制相比有一定的优点.其一是在进位上，角度制在度、分、秒上都是60进位制，不便于计算，而弧度制是十进位制，给运算带来方便；其二是在弧长公式与扇形面积公式的表达上，弧度制下的公式远比角度制下的公式简单，运算起来方便.因此在今后表示角的时候，常常用弧度制表示.。

任意角和弧度制及任意角的三角函数1、任意角 （1）角概念的推广①按旋转方向不同分为正角、负角、零角； ②按终边位置不同分为象限角和轴线角。

（2）终边相同的角终边与角α相同的角可写成α+k ·360o(k ∈Z)。

（3）象限角及其集合表示注：终边在x 轴上的角的集合为{α|α=k π, k ∈Z };终边在y 轴上的角的集合为{α|α=k π+2π, k ∈Z };终边在坐标轴上的角的集合为{α|α=2k π, k ∈Z } 2、弧度制 （1）1弧度的角长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad 表示。

（2）角α的弧度数如果半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ,那么角α的弧度数的绝对值是|α|=l /r. （3）角度与弧度的换算①10=π/180rad;②1rad=（180/π）0. （4）弧长、扇形面积的公式设扇形的弧长为l ，圆心角大小为α(rad)，半径为r 。

又l =r α,则扇形的面积为S=12l r=12r 2α3、任意角的三角函数三角函数正弦余弦正切定义设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x,y),那么y叫做α的正弦，记作sinαx叫做α的余弦，记作cosαy/x叫做α的正切，记作tanα各象限符号Ⅰ+ + + Ⅱ+ - - Ⅲ- - + Ⅳ- + - 口诀一全正，二正弦，三正切，四余弦终边相同角三角函数值(k∈Z)（公式一）sin(α+k·2π)=sinαcos(α+k·2π)=cosαtan(α+k·2π)=tanα三角函数线有向线段MP为正弦线有向线段OM为余弦线有向线段AT为正切线注：根据三角函数的定义，y=sinx在各象限的符号与此象限点的纵坐标符号相同；y=cosx在各象限的符号与此象限点的横坐标符号相同；y=tanx在各象限的符号与此象限点的纵坐标与横坐标商的符号相同。

4、同角三角函数的基本关系（1）平方关系：sin2α+cos2α=1;（2）商数关系：sintan cosααα=题型分析1、三角函数的定义※相关链接※（1）已知角α终边上上点P 的坐标，则可先求出点P 到原点的距离r ，然后用三角函数的定义求解；（2）已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义来求相关问题，若直线的倾斜角为特殊角，也可直接写出角的α值。

第一章三角函数1.1 任意角和弧度制1．任意角（1）角的概念角可以看成平面内一条____________绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．我们规定：按____________方向旋转形成的角叫做正角，按____________方向旋转形成的角叫做负角．如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个____________．（2）象限角：角的顶点与____________重合,角的始边与x轴的____________重合,那么角的终边在第几象限,就认为这个角是第几象限角．具体表示如下：象限角角的表示第一象限的角{α|k·360°<α<k·360°+90°,k∈Z}第二象限的角{α|k·360°+90°<α<k·360°+180°,k∈Z}第三象限的角{α|k·360°+180°<α<k·360°+270°,k∈Z}第四象限的角{α|k·360°–90°<α<k·360°,k∈Z}（3）轴线角：若角的终边在坐标轴上．．．．．,就认为这个角不属于任何一个象限．具体表示如下：轴线角角的表示终边在x轴非负半轴上的角{α|α=2kπ,k∈Z}终边在x轴非正半轴上的角{α|α=(2k–1)π,k∈Z}终边在y轴非负半轴上的角{α|α=2kπ+,k∈Z}终边在y轴非正半轴上的角{α|α=2kπ–,k∈Z}终边在x轴上的角{α|α=kπ,k∈Z}终边在y 轴上的角 {α|α=k π+,k ∈Z } 终边在坐标轴上的角{α|α=,k ∈Z }（4）终边相同的角：所有与角α终边相同的角连同角α在内,可构成一个集合S ={β|β=α+k ·360°,k ∈Z }={β|β=α+2k π,k ∈Z }． 2．弧度制（1）定义：把长度等于___________的弧所对的圆心角叫作1弧度的角,记作___________,这种用弧度作单位来度量角的单位制叫作弧度制． （2）角α的弧度数公式：|α|=lr(弧长用l 表示)． （3）角度与弧度的换算：①1°=___________ rad;②1 rad=___________°． （4）弧长公式：弧长l =___________． （5）扇形面积公式：S =___________．K 知识参考答案：1．（1）射线 逆时针 顺时针 零角（2）原点 非负半轴 2．（1）半径 1 rad （3）①180π ②180π （4）|α|r （5）12l ·r =12|α|·r 2K —重点 1．理解并掌握正角、负角、零角的概念； 2．掌握终边相同的角的表示方法及判定方法；3．了解弧度制，能进行弧度与角度的互化；4．由圆周角找出弧度制与角度制的联系，记住常见特殊角对应的弧度数．K —难点1．把终边相同的角用集合表示出来；2．可以从六十进制与十进制区别角度制与弧度制；3．掌握弧度制中扇形的弧长公式和面积公式，能用公式进行简单的弧长及面积运算．K—易错注意从六十进制与十进制区别角度制与弧度制．1．任意角角的概念：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．角的表示：如图，（1）始边：射线的起始位置OA；（2）终边：射线的终止位置OB；（3）顶点：射线的端点O；（4）记法：图中的角可记为“角α”或“∠α”或“∠AOB”．【例1】自行车大链轮有36齿，小链轮有24齿，当大链轮转过一周时，小链轮转过的角度是_____________度．【答案】–540°【解析】因为大链轮转过一周时，小链轮转36齿．而小链轮有24齿，故小链轮转363242周，一周为360°，而大链轮和小链轮转动的方向相反，故小链轮转过的角度为–360°×32=540°，故答案为：–540°．【名师点睛】（1）在画图时，常用带箭头的弧来表示旋转的方向．（2）为了简单起见，在不引起混淆的前提下，“角α”或“∠α”可以简记成“α”．（3）当角的始边相同时，若角相等，则终边相同；但当角的始边相同时，若终边也相同，则角不一定相等．2．角的分类在平面内，一条射线绕它的端点旋转有两个相反的方向一一顺时针方向和逆时针方向．习惯上规定：名称定义图形正角 一条射线按逆时针方向旋转形成的角负角一条射线按顺时针方向旋转形成的角零角一条射线没有作任何旋转这样，我们就把角的概念推广到了任意角，包括正角、负角和零角． 【例2】时针走过2时40分，则分针转过的角度是A ．80°B ．–80°C ．960°D ．–960°【答案】D 【解析】∵40÷60=23，∴360°×23=240°，由于时针都是顺时针旋转，∴时针走过2小时40分，分针转过的角的度数为–2×360°–240°=–960°，故选D ．【名师点睛】（1）正确理解正角、负角、零角的定义，关键是抓住角的终边的位置是由角的始边所对应的射线按照逆时针方向旋转、顺时针方向旋转还是没有旋转得到的．（2）高中阶段所说的角实际上是初中所学概念“由一点出发的两条射线组成的图形叫做角”的推广．对于角的形成过程，既要知道旋转量又要知道旋转方向． （3）角的概念推广后，角度的范国不再限于0°~360°．（4）正常情况下，如果果以零时为起始位置，那么钟表的时针或分针在旋转时所形成的角总是负角．3．象限角、轴线角、终边相同的角（1）在平面直角坐标系中，如果角的顶点在在原点，角的始边与x 轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，便称此角为第几象限角．（2）轴线角：若角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何一个象限．（3）终边相同的角：所有与角α终边相同的角连同角α在内,可构成一个集合S ={β|β=α+k ·360°,k ∈Z }={β|β=α+2k π,k ∈Z }．（4）确定角nα（n ∈N ）终边所在象限的方法： 已知角终边所在的象限，确定nα（n ∈N ）终边所在象限的常用方法有以下两种：一是分类讨论法．利用已知条件写出α的范围（用k 表示），由此确定nα的范围，然后对k 进行分类讨论，从而确定nα所在象限． 二是几何法．先把各象限均分为n 等份，再从x 轴的正方向的上方起，逆时针依次将各区域标上一、二、三、四，一、二、三、四，…则α原来是第几象限角，标号为几的区域即nα终边所在的区域． 【例3】已知α锐角，那么2α是A ．小于180°的正角B ．第一象限角C ．第二象限角D ．第一或二象限角【答案】A【解析】∵α锐角，∴0°<α<90°，∴0°<2α<180°，故选A ． 【例4】与π12终边相同的角的集合是____________．4．弧度制与角度制中先定义1度角的大小一样，我们也要先定义1弧度的角：定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad 表示，读作弧度． （1）正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是零． 这样就在角的集合与实数集之间建立了一一对应关系．（2）如果半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，那么角α的弧度数的绝对值是rl=||α．即α的值就是弧长中有多少个半径．这里，α的正负由角α的终边的旋转方向决定． （3）角度与弧度的换算：1°=180π rad≈0.01745 r ad ，1 rad=(180π)°≈57.30°=57°18′． 特别地，3602︒=π弧度，180︒=π弧度．【例5】–300°化为弧度是A ．–4π3B ．–5π3C ．–5π4D ．–7π6【答案】B【解析】–300°=–π300180⨯ rad=–5π3rad ，故选B ． 【名师点睛】（1）把弧度作为单位表示角的大小时，“弧度”两字可以省略不写，但把度(°)作为单位表示角时，度(°)一定不能省略；（2）正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数,零角的弧度数为零； （3）在一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用． （4）特殊角的度数与弧度数的对应表：度] 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180°270° 360° 弧度6π4π3π 2π 32π43π65ππ32π2π5．弧长及扇形面积公式（1）弧长公式：弧长l =|α|r ． （2）扇形面积公式：S =12l ·r =12|α|·r 2． 【例6】已知扇形面积为3π8，半径是1，则扇形的圆心角是 A ．3π16B ．3π8C ．3π4D ．3π2【答案】C【解析】因为扇形面积为3π8，半径是1，S =12l ·r ，所以扇形的弧长为3π4，因为l =|α|r ，所以扇形的圆心角为3π4．故选C ． 【名师点睛】在应用弧长公式l =|α|r 及扇形面积公式S =12l ·r 时，要注意α的单位是“弧度”，而不是“度”，如果已知角是以“度”为单位的，则必须先把它化成以“弧度”为单位后再代入计算．1．下列角中，终边与123°相同的角是A ．237°B ．–123°C ．483°D ．–483°2．若α=–835°，则角α的终边在A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．在0到2π范围内，与角4π3-终边相同的角是 A ．π6 B ．π3 C ．2π3D ．4π34．有小于360°的正角，这个角的5倍角的终边与该角的终边重合，这个角的大小是A ．90°B ．180°C ．270°D ．90°，180°或270°5．手表时针走过1小时，时针转过的角度A ．60°B ．–60°C ．30°D ．–30°6．经过2小时，钟表上的时针旋转了A ．60°B ．–60°C ．30°D ．–30°7．2018°的终边在A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限8．45°=A ．6πB ．4πC ．3π D ．2π 9．–150°的弧度数是A ．–56πB ．43πC ．–23π D ．–34π10．半径为π cm ，圆心角为150°的扇形的弧长为A ．216πB ．213πC ．223πD ．256π11．已知集合{α|2k π+π4≤α≤2k π+π2，k ∈Z }，则角α的终边落在阴影处（包括边界）的区域是 A ． B ．C ．D ．12．下列说法中正确的是A ．120°角与420°角的终边相同B ．若α是锐角．则2α是第二象限的角C ．–240°角与480°角都是第三象限的角D ．60°角与–420°角的终边关于x 轴对称 13．下列命题中正确的是A ．终边在x 轴负半轴上的角是零角B ．第二象限角一定是钝角C ．第四象限角一定是负角D ．若β=α+k •360°（k ∈Z ），则α与β终边相同 14．若角α满足α=45°+k •180°，k ∈Z ，则角α的终边落在A ．第一或第二象限B ．第一或第三象限C ．第二或第四象限D ．第三或第四象限15．若一段圆弧的长度等于该圆内接正三角形的边长，则这段弧所对圆心角弧度为A．π3B．2π3C．3D．216．–53π的角化为角度制的结果为___________，–135°的角化为弧度制的结果为___________．17．你在忙着答题，秒针在忙着“转圈”，现在经过了2分钟，则秒针转过的角的弧度数是___________．18．如图，已知扇形AOB的面积是4 cm2，它的周长是10 cm，则扇形的圆心角α（0<α<2π）的弧度数是___________．19．已知角α=390°（1）角α的终边在第几象限；（2）写出与角α终边相同的角的集合；（3）在–360°～720°范围内，写出与α终边相同的角．20．已知角β的终边在直线y=–x上．（1）写出角β的集合S；（2）写出S中适合不等式–360°<β<360°的元素．21．已知α=–1090°．（1）把α写成β+k •360°（k ∈Z ，0°≤β<360°）的形式，并指出它是第几象限角（2）写出与α终边相同的角θ构成的集合S ，并把S 中适合不等式–360°≤θ<360°的元素θ写出来．22．已知α=3π． （1）写出所有与α终边相同的角；（2）写出在（–4π，2π）内与α终边相同的角； （3）若角β与α终边相同，则2β是第几象限的角？23．已知α=1690°，（1）把α表示成2k π+β的形式（k ∈Z ，β∈[0，2π））． （2）求θ，使θ与α的终边相同，且θ∈（–4π，–2π）．1 2 3 4 5 6 7 8 9 10C C CD D B C B A D11 12 13 14 15B D D B C1．【答案】C【解析】终边与123°相同的角的集合为{α|α=123°+k•360°，k∈Z}．取k=1，得α=483°．故选C．2．【答案】C【解析】因为–835°=–2×360°–115°，由角的定义得–115°的终边在第三象限，所以角α的终边在第三象限，故选C．3．【答案】C【解析】与角4π3-终边相同的角是2kπ+（4π3-），k∈Z．令k=1，可得与角4π3-终边相同的角是2π3，故选C．4．【答案】D【解析】设这个角为α，则5α=k•360°+α，k∈Z，解得α=k•90°，又∵0°<α<360°，∴α=90°，180°或270°．故选D．5．【答案】D【解析】由于时针顺时针旋转，故时针转过的角度为负数．–112×360°=–30°，故选D．6．【答案】B【解析】钟表上的时针旋转一周是–360°，其中每小时旋转–36012︒=–30°，所以经过2小时应旋转–60°．故选B ．9．【答案】A 【解析】∵1°=180πrad ，∴–150×180π=–56π．故选A ． 10．【答案】D【解析】150°=56π，所以扇形的弧长l =256r απ=（cm ）．故选D ．11．【答案】B【解析】对于集合A ={α|2k π+π4≤α≤2k π+π2，k ∈Z }，当k =0时，表示B ={α|π4≤α≤π2}；当k ∈Z ，表示与集合B 终边相同的角，故选B ． 12．【答案】D【解析】A ，420°=360°+60°，∴420°与60°角的终边相同，A 不正确；B ，若α是锐角，则0°<α<90°，0°<2α<180°．则2α不一定是第二象限的角，B 不正确；C ，480°=360°+120°，∴480°与120°角的终边相同，是第二象限的角，C 不正确；D ，–420°=–360°–60°，∴–420°与–60°角的终边相同，∴60°角与–420°角的终边关于x 轴对称，D 正确．故选D ． 13．【答案】D【解析】A ，终边在x 轴负半轴上的角是零角，例如–180°，不是零角，所以A 不正确；B ，第二象限角不一定是钝角，例如：460°是第二象限角，但是不是钝角，所以B 不正确；C ，第四象限角不一定是负角，也可以是正角，例如：300°是第四象限角，是正角，所以C 不正确；D ，若β=α+k •360°（k ∈Z ），则α与β终边相同，满足终边相同角的表示方法，正确．故选D ． 14．【答案】B【解析】α=45°+k •180°，k ∈Z ；当k 为偶数时，α为第一象限角，特别地，如当k =0时，α=45°；当k 为奇数时，α为第三象限角，特别地，如当k =1时，α=225°．∴角α的终边落在第一或第三象限．故选B ．15．【答案】C【解析】不妨设等边△ABC 的外接圆的半径为2，如图，取BC 的中点D ，连接OD ，OC ，则∠OCB =30°．由垂径定理的推论可知，OD ⊥BC ，在Rt △OCD 中，OD =12OC =1，∴CD =3，∴边长BC =23．设该圆弧所对圆心角的弧度数为θ，则由弧长公式可得2θ=23，∴θ=3．故选C ．16．【答案】–300°；34-π【解析】–53π=51803π︒-⨯π=–300°；–135°=–135°×31804π=-π︒．故答案为：–300°；34-π． 17．【答案】–4π【解析】由于经过2分钟，秒针转过2圈，一个周角为2π，又由顺时针旋转得到的角是负角，故秒针转过的角的弧度数是–4π，故答案为：–4π． 18．【答案】12【解析】设半径为r ，由题意可得：2r +αr =10，212r α=4，0<α<2π．化为2α2–17α+8=0．解得α=12．故答案为：12． 19．【解析】（1）∵390°=360°+30°，30°是第一象限角，∴角α的终边在第一象限；（2）所有和角α终边相同的角的集合为{β|β=k •360°+30°，k ∈Z }； （3）∵β=k •360°+30°， ∴当k =–1时，β=–330°， 当k =0时，β=30°， 当k =1时，β=390°，∴在–360°～720°范围内，与α终边相同的角是–330°，30°，390°．20．【解析】（1）直线y =–x 过原点，它是第二、四象限角的平分线所在的直线，故在0°～360°范围内终边在直线y =–x 上的角有两个：135°，315°． 因此，终边在直线y =–x 上的角的集合S ={β|β=135°+k •360°，k ∈Z }∪{β|β=315°+k •360°，k ∈Z } ={β|β=135°+2k •180°，k ∈Z }∪{β|β=135°+（2k +1）•180°，k ∈Z } ={β|β=135°+n •180°，n ∈Z }． （2）由于–360°<β<360°，即–360°<135°+n •180°<360°，n ∈Z ． 解得–114<n <54，n ∈Z ．所以n =–2，–1，0，1．所以集合S 中适合不等式–360°<β<360°的元素为： 135°–2×180°=–225°； 135°–1×180°=–45°； 135°+0×180°=135°； 135°+1×180°=315°．22．【解析】（1）所有与α终边相同的角可表示为{θ|θ=2k π+3π，k ∈Z }． （2）由（1）令–4π<2k π+3π<2π（k ∈Z ）， 则有–2–16<k <1–16． 又∵k ∈Z ，∴取k =–2，–1，0． 故在（–4π，2π）内与α终边相同的角是–113π、–53π、3π． （3）由（1）有β=2k π+3π（k ∈Z ），则2β=k π+6π（k ∈Z ）， 当k 为偶数时，2β在第一象限，当k 为奇数时，2β在第三象限． ∴2β是第一、三象限的角．。

姓名，年级：时间：同步单元专练(1）任意角的概念与弧度1、已知α为第三象限角，则2α所在的象限是（ ）A.第一或第二象限B.第二或第三象限C.第一或第三象限D 。

第二或第四象限2、200︒是（ ）A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角 D 。

第四象限角3、若α是第四象限角,则180α︒-是( )A 。

第一象限角B 。

第二象限角C 。

第三象限角 D.第四象限角 4、α的终边经过点()0,3M -,则α( )A 。

是第三象限角B 。

是第四象限角C 。

既是第三象限角又是第四象限角D 。

不是任何象限角5、如果角α与角45γ+︒的终边重合，角β与角45γ-︒的终边重合，那么角α与角β的关系为（ ）A 。

0αβ+=︒B. 90αβ-=︒C 。

()2?180k k Z αβ+=︒∈D. ()2?18090k k Z αβ-=︒+︒∈6、若角α与β的终边相同，则角αβ-的终边（ ）A.在x 轴的非负半轴上B 。

在x 轴的非正半轴上C.在y轴的非正半轴上D。

在y轴的非负半轴上7、已知α是第三象限角，则α-是第______象限角（)A.四B.三C.二D.一8、若角α满足45180,,k k Zα=︒+⋅︒∈则角α的终边落在( ）A。

第一或第三象限B。

第一或第二象限C.第二或第四象限D。

第三或第四象限9、已知252α=︒，则角α的终边位于（）A.第一象限B。

第二象限C。

第三象限D。

第四象限10、在0360~︒范围内,与85318-︒'终边相同的角为( )A。

13618︒'B. 13642︒'C. 22618︒'D。

22642︒'11、设α是第二象限角, 且325sin,cos,33m mm mαα--==++则m的值为( )A.109-或2B. 10 9C。

109或2D。

2-12、若tansin cos0,0sinθθθθ⋅<>,则角θ是( )A。

第一象限角B。

任意角和弧度制【学习目标】1.理解任意角的概念.掌握象限角、终边相同的角、终边在坐标轴上的角及区间角的表示方法。

2.了解弧度制的意义；掌握角的不同度量方法，能对弧度制和角度制进行正确的换算.3.掌握弧度制下扇形的弧长和面积的计算公式，并能结合具体问题进行正确地运算。

【要点梳理】要点一：任意角的概念1.角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形. 正角:按逆时针方向旋转所形成的角. 负角:按顺时针方向旋转所形成的角.零角:如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角. 要点诠释：角的概念是通过角的终边的运动来推广的，既有旋转方向，又有旋转大小，同时没有旋转也是一个角，从而得到正角、负角和零角的定义.2.终边相同的角、象限角终边相同的角为{}|2k k Z βββπα∈=+∈，角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合.那么，角的终边(除端点外)在第几象限，我们就说这个角是第几象限角.要点诠释：(1)终边相同的前提是：原点，始边均相同；(2)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同； (3)终边相同的角有无数多个，它们相差360︒的整数倍. 3．常用的象限角α是第一象限角，所以()1|222k k k Z απαππ⎧⎫<<+∈⎨⎬⎩⎭α是第二象限角，所以()⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<+Z k k k ππαππα222|α是第三象限角，所以()⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<+Z k k k ππαππα2322|α是第四象限角，所以()⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<+Z k k k ππαππα22232|要点二：弧度制 1．弧度制的定义长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1rad ，或1弧度，或1(单位可以省略不写).2．角度与弧度的换算弧度与角度互换公式： 180rad π︒=1rad=0180π⎛⎫⎪⎝⎭≈57.30°=57°18′，1°=180π≈0.01745(rad) 3．弧长公式：r l ||α=(α是圆心角的弧度数)， 扇形面积公式：2||2121r r l S α==. 要点诠释：(1)角有正负零角之分，它的弧度数也应该有正负零之分，如2ππ--，等等，一般地, 正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0,角的正负主要由角的旋转方向来决定.(2)角α的弧度数的绝对值是：rl=α，其中，l 是圆心角所对的弧长，r 是半径. 【典型例题】类型一：终边相同的角的集合例1．在与10030°角终边相同的角中，求满足下列条件的角。

考点同步(1)任意角的概念与弧度1、设α角属于第二象限,且coscos22αα=-,则2α角属于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 2、已知α为第三象限角,则2α所在的象限是( )A.第一或第二象限B.第二或第三象限C.第一或第三象限D.第二或第四象限 3、200︒是( )A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角 4、若α是第四象限角,则180α︒-是( )A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角 5、集合{}|9036,A k k Z αα==⋅︒-︒∈,{}|180180B ββ=-︒<<︒,则A B ⋂等于( ) A. {}36,54-︒︒ B. {}126,144-︒︒C. {}126,36,54,144-︒-︒︒︒D. {}126,54-︒︒6、α的终边经过点()0,3M -,则α( ) A.是第三象限角 B.是第四象限角C.既是第三象限角又是第四象限角D.不是任何象限角7、如果角α与角45γ+︒的终边重合,角β与角45γ-︒的终边重合,那么角α与角β的关系为( )A. 0αβ+=︒B. 90αβ-=︒C. ()2?180k k Z αβ+=︒∈D. ()2?18090k k Z αβ-=︒+︒∈8、若角α与β的终边相同,则角αβ-的终边( ) A.在x 轴的非负半轴上 B.在x 轴的非正半轴上 C.在y 轴的非正半轴上 D.在y 轴的非负半轴上9、已知α是第三象限角,则α-是第______象限角( )A.四B.三C.二D.一 10、已知集合(){}|221,A k k k Z απαπ=≤≤+∈,{}|44B αα=-≤≤,则A B ⋂等于( ) A. ∅B. {}|44αα-≤≤C. {}|0ααπ≤≤D. {|4ααπ-≤≤-或0}απ≤≤11、已知一扇形的中心角是α,所在圆的半径是R ,若扇形的周长是一定值(0)C C >,则该扇形的最大面积为__________.12、已知扇形的周长是6,圆心角是弧度1,则该扇形的面积为__________.13、一个圆的一段圆弧长度等于其内接正三角形的边长 , 则该圆弧所对圆心角的弧度数为__________.14、设一扇形的弧长为4cm ,面积为24cm ,则这个扇形的圆心角的弧度数是______. 15、按照要求回答问题.1. 160-︒= rad ;2.310rad π=__________度; 3. 5rad = 度.16、两个圆心角相同的扇形面积之比为1:2,则这两个扇形的周长之比为__________. 17、自行车大链轮有48齿,小链轮有20齿,当大链轮转过一周时,小链轮转过的角度是__________.18、已知扇形周长为20?cm ,则扇形面积的最大值是 .答案以及解析1答案及解析： 答案：C 解析：2答案及解析： 答案：D解析：由3π2ππ2π2k k α+<<+,Z k ∈得3πππ24πk k α+<<+,对k 分奇偶数讨论:当2k n =,Z n ∈时,2α为第二象限角;当21k n =+,Z k ∈时,2α为第四象限角.3答案及解析： 答案：C解析：200︒是第三象限角4答案及解析： 答案：A解析：∵36090360180k k α⋅︒+︒<<⋅︒+︒,36018036090k k α-⋅︒-︒<-<-⋅︒-︒, 36018036090k k α-⋅︒-︒-<-⋅︒+︒,∴180α︒-是第一象限角5答案及解析： 答案：C解析：由1809036180()k k Z -︒<⋅︒-︒<︒∈得14490216()k k Z -︒<⋅︒<︒∈,∴144216()9090k k Z -<<∈,∴1,0,1,2k =-,∴{}126,36,54,144A B ⋂=-︒-︒︒︒,故选C6答案及解析： 答案：D解析：因为点()0,3M -在y 轴负半轴上,因而α的终边不在任何象限上.7答案及解析： 答案：D 解析：选D .由条件知()451?3601,k k Z αγ=+︒+︒∈()452?3602.k k Z βγ=-︒+︒∈将两式相减消去γ,得()12?36090,k k αβ-=-︒+︒ 即()2?18090.k k Z αβ-=︒+︒∈8答案及解析： 答案：A 解析：选.A 由已知可得()·360,k k Z αβ=+︒∈ ∴()·360,k k Z αβ-=︒∈∴αβ-的终边在x 轴的非负半轴上.9答案及解析： 答案：C解析：选C .∵α是第三象限角,∴360180360270,k k k Z α⋅︒+︒<<⋅︒+︒∈ 则360270360180,k k k Z α-⋅︒-︒<-<-⋅︒-︒∈. ∴α-是第二象限角10答案及解析： 答案：D解析：k 的取值为1,0-,A B ⋂为{|4ααπ-≤≤-或0}απ≤≤,k 若为其他情况则为空集.11答案及解析：答案：216C解析：因为扇形的半径为R ,周长为C ,所以扇形的弧长为2C R -,故扇形的面积2221(2)()()2244C C C S C R R R R R =-=-+=--+,当4C R =,即22C R Rα-==时,扇形的面积最大,最大面积为216C .12答案及解析： 答案：2解析：设扇形的弧长为l ,所在圆的半径为r ,则26,l r l r +==,解得2l r ==,所以该扇形的面积为122S lr ==.13答案及解析：解析：设圆的半径为r ,,,其所对圆心角的弧度数为α==14答案及解析： 答案：2解析：设扇形半径为r ,圆心角为α,依题意得及l r α=,扇形的面积21122S lr ar ==得, 2r =,2α=,即这个扇形的圆心角的弧度数是2.15答案及解析： 答案：1. 89π- 2.54; 3.900π解析：1. 16081601809ππ-︒=-⨯=-. 2.33180541010rad π=⨯︒=︒. 3. 18090055rad ππ⎛⎫⎛⎫=⨯︒=︒ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.16答案及解析：答案：解析：设两扇形的圆心角为α,半径分别为12,r r ,扇形面积分别为12,S S ,周长分别为12,C C ,由题意知, 211222112122r S S r αα⋅==⋅,得12r r =故1111222222C r r r C r r r αα⋅+===⋅+.17答案及解析：答案：864°解析：大链轮转一周,小链轮转4820周,即小链轮转过的角度为4836086420⨯︒=︒.18答案及解析： 答案：225cm解析：设扇形半径为r ,弧长为l ,则周长为220r l +=,面积为()2112021022S lr r r r r ==-=-,当5r =时, S 有最大值25.。

美博教育任意角与弧度制知识梳理:一、任意角和弧度制1、角的概念的推广定义：一条射线OA 由原来的位置，绕着它的端点O 按一定的方向旋转到另一位置OB ，就形成了角α，记作：角α或α∠ 可以简记成α。

2、角的分类：由于用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了。

可以将角分为正角、零角和负角。

正角：按照逆时针方向转定的角。

零角：没有发生任何旋转的角。

负角：按照顺时针方向旋转的角。

3、 “象限角”为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角，角的顶点合于坐标原点，角的始边合于x 轴的正半轴。

角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限，称为轴线角。

4、常用的角的集合表示方法1、终边相同的角：（1）终边相同的角都可以表示成一个0?到360?的角与)(Z k k ∈个周角的和。

（2）所有与?终边相同的角连同?在内可以构成一个集合即：任何一个与角?终边相同的角，都可以表示成角?与整数个周角的和注意：1、Z ∈k2、α是任意角3、终边相同的角不一定相等，但相等的角的终边一定相同。

终边相同的角有无数个，它们相差360°的整数倍。

4、一般的，终边相同的角的表达形式不唯一。

例1、（1）若θ角的终边与58π角的终边相同，则在[]π2,0上终边与4θ的角终边相同的角为 。

若θ角的终边与8π/5的终边相同则有：θ=2kπ+8π/5 (k 为整数)所以有：θ/4=(2kπ+8π/5)/4=kπ/2+2π/5当：0≤kπ/2+2π/5≤2π有：k=0 时，有2π/5 与θ/4角的终边相同的角k=1 时，有9π/10 与θ/4角的终边相同的角（2）若βα和是终边相同的角。

那么βα-在例2、求所有与所给角终边相同的角的集合，并求出其中的最小正角，最大负角：（1）ο210-； （2）731484'-ο．例3、求θ，使θ与ο900-角的终边相同，且[]οο1260180，-∈θ． 2、终边在坐标轴上的点：终边在x 轴上的角的集合： {}Z k k ∈⨯=,180|οββ终边在y 轴上的角的集合：{}Z k k ∈+⨯=,90180|οοββ终边在坐标轴上的角的集合：{}Z k k ∈⨯=,90|οββ3、终边共线且反向的角：终边在y =x 轴上的角的集合：{}Z k k ∈+⨯=,45180|οοββ终边在x y -=轴上的角的集合：{}Z k k ∈-⨯=,45180|οοββ4、终边互相对称的角：若角α与角β的终边关于x 轴对称，则角α与角β的关系：βα-=k ο360若角α与角β的终边关于y 轴对称，则角α与角β的关系：βα-+=οο180360k 若角α与角β的终边在一条直线上，则角α与角β的关系：βα+=k ο180角α与角β的终边互相垂直，则角α与角β的关系：οο90360±+=βαk例1、若θα+⋅=ο360k ，),(360Z m k m ∈-⋅=θβο则角α与角β的中变得位置关系是（ ）。

1.1 任意角、弧度知识梳理一、角的概念的推广1.定义:角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.旋转开始时的射线叫做角α的始边，旋转终止时的射线叫做角α的终边，射线的端点叫做角α的顶点.2.角的分类:正角、零角、负角.3.象限角如果把角放在直角坐标系内来讨论，使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x 轴的正半轴重合，那么角的终边落在第几象限，就说这个角是第几象限角.α是第一象限角时，可表示为{α|2kπ<α<2kπ+2π,k ∈Z }； α是第二象限角时，可表示为{α|2kπ+2π<α<2kπ+π,k ∈Z }； α是第三象限角时，可表示为{α|2kπ+π<α<2kπ+23π,k ∈Z }； α是第四象限角时，可表示为{α|2kπ+23π<α<2kπ+2π,k ∈Z }. 4.轴线角(象限界角)当角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x 轴的正半轴重合，如果角的终边落在坐标轴上，就称该角为轴线角，也叫象限界角.终边落在x 轴正半轴上的角的集合可记作:{α|α=2kπ,k ∈Z }；终边落在x 轴负半轴上的角的集合可记作:{α|α=2kπ+π,k ∈Z }；终边落在y 轴正半轴上的角的集合可记作:{α|α=2kπ+2π,k ∈Z }； 终边落在y 轴负半轴上的角的集合可记作:{α|α=2kπ+23π,k ∈Z }； 终边落在坐标轴上的角可表示为{α|α=2πk ,k ∈Z }. 5.终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S={β|β=α+2kπ,k ∈Z }.二、弧度制1.角度制:规定周角的3601为1度的角，这种计量角的度量方法称为角度制. 2.弧度的定义:规定圆弧上弧长等于半径的弧所对的圆心角为1弧度的角，即3601周角=1°，π21周角=1弧度. 3.弧度与角度的换算360°=2π rad ，180°=π rad ，1°=180πrad≈0.017 45 rad ，1 rad=(π180)°≈57.30°=57°18′.4.弧长公式:l=|α|·r(其中r 为扇形的半径，α为扇形圆心角的弧度数).5.扇形的面积公式:S 扇形=21l·r=21|α|r 2(其中r 为扇形的半径，α为扇形圆心角的弧度数). 知识导学要理解任意角概念，可创设情境“转体720°，逆(顺)时针旋转”，从而知晓角有大于360°角、零角和旋转方向不同所形成的角等，引入正角、负角和零角的概念；角的概念得到推广以后，将角放入平面直角坐标系，引入象限角、象限界角的概念及象限角的判定方法；列出几个终边相同的角，画出终边所在的位置，找出它们的关系，探索具有相同终边的角的表示；再通过创设情境,引入弧度制度量角的大小,通过探究理解并掌握弧度制的定义,领会定义的合理性.根据弧度制的定义推导并运用弧长公式和扇形面积公式，以具体的实例学习角度制与弧度制的互化,能正确使用计算器.疑难突破1.弧度制与角度制相比，具有哪些优点？剖析:(1)用角度制来度量角时，人们总是十进制、六十进制并用的.例如α=66°32′2″，其中66、32、2都是十进数，而度、分、秒之间的关系是六十进(退)位的.于是，为了找出与角对应的实数(我们学的实数都是十进制)，需要经过一番计算，这就太不方便了.但在用弧度表示角时，只用十进制，所以容易找到与角对应的实数.(2)弧度制下的弧长公式l=|α|r 、扇形面积公式S=21|α|r 2，与角度制下的弧长公式l=180r n π、扇形面积公式S=3602r n π比较，不但具有更简洁的形式，而且在计算弧长和扇形面积时，也更为方便.2.为何说三角函数看成是以实数为自变量的函数时，角的集合与实数集R 是一一对应关系？ 剖析:在用弧度制或角度制度量角的前提下，角的集合与实数集R 建立了一种一一对应关系:每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的角度数或弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(角的角度数或弧度数等于这个实数)与它对应.于是，有了角的集合与实数集R 的一一对应关系，就可以把三角函数看成是以实数为自变量的函数.要注意角度制是60进位制,类似22°30′这样的角,应该把它化为十进制22.5°，它与实数22.5对应，但弧度制不存在这个问题 ，因为弧度制是十进制的实数.。

教材习题点拨练习A1．(1)假；(2)假；(3)真；(4)假；(5)真；(6)假．2．(1)120°；(2)30°；(3)－120°；(4)210°.图略．3．(1)855°＝2×360°＋135°；(2)－750°＝－2×360°－30°.图略．4．(1)－45°＝－1×360°＋315°，315°，第四象限角；(2)760°＝2×360°＋40°，40°，第一象限角；(3)－480°＝－2×360°＋240°，240°，第三象限角．5．由题意知∠AOB＝270°，∠BOC＝－360°，因此，∠AOC＝∠AOB＋∠BOC＝270°＋(－360°)＝－90°.6．(1)S＝{β|β＝k·360°＋100°}，－260°，100°，460°；(2)S＝{β|β＝k·360°－120°}，－120°，240°，600°；(3)S＝{β|β＝k·360°－380°20′}，－20°20′，339°40′，699°40′.练习B1．终边在y轴正半轴上的角的集合是S1＝{α|α＝k·360°＋90°，k∈Z}；终边在y轴负半轴上的角的集合是S2＝{α|α＝k·360°＋270°，k∈Z}；终边在y轴上的角的集合是S3＝{α|α＝k·180°＋90°，k∈Z}；2．终边在直线y＝x上的角的集合是S1＝{α|α＝k·180°＋45°，k∈Z}；终边在直线y＝－x上的角的集合是S2＝{α|α＝k·180°＋135°，k∈Z}．3．角的终边落在坐标轴上(提示：对k取值0,1,2,3,4，…，得出周期性)．4．终边在第二象限的角的集合是：S1＝{α|k·360°＋90°＜α＜k·360°＋180°，k∈Z}；终边在第三象限的角的集合是：S2＝{α|k·360°＋180°＜α＜k·360°＋270°，k∈Z}；终边在第四象限的角的集合是：S3＝{α|k·360°＋270°＜α＜(k＋1)·360°，k∈Z}或{α|k·360°－90°＜α＜k·360°，k∈Z}．5．星期一；100＝7×14＋2，星期三．练习A1．相等．由公式α＝lr可知，此比值即为圆心角的弧度数，与圆的大小无关．2．(1)－4π3；(2)－5π4；(3)π15；(4)6π；(5)π8；(6)7π8⎝⎛⎭⎫提示1°＝π180 rad . 3．(1)15°；(2)300°；(3)54°；(4)22.5°；(5)－270°；(6)－150°⎝⎛⎭⎫提示：1 rad ＝⎝⎛⎭⎫180π°. 4．略．5．l ＝αr ＝2×0.5＝1(m)，l ＝αr ＝3×0.5＝1.5(m)．练习B1．由已知得圆心角为60°，60×π180＝π3rad. 2．时针每小时转－30°，－30°×4＝－120°，－2π3；分针每小时转－360°，－360°×4＝－1 440°，－8π.3．α＝l r ＝144120＝1.2 rad ，约等于68.75°. 4．(1)因为圆心角为1 rad 的扇形面积为πR 22π＝R 22，所以圆心角为α弧度的扇形面积为S ＝α·R 22＝12R 2α.(2)S ＝12R 2α＝12×52×2＝25(cm 2)，即所求扇形的面积为25 cm 2. 5．(1)23π6＝11π6＋2π，第四象限角； (2)－1 500°＝－25π3＝5π3－10π，第四象限角； (3)－18π7＝10π7－4π，第三象限角； (4)672°3′＝6 241π3 600＋2π，第四象限角． 6．记n 是角的弧度数．(1)给变量n 和圆周率π的近似值赋值；(2)计算180π，得出的结果赋给变量a ；(3)计算na ，得出的结果赋值给变量α.α就是这个角的度数．习题1－1A1．α1为第一象限角；α2为第二象限角；α3为第三象限角；α4为第四象限角． 2．19π6＝2π＋7π6，是第三象限角； －25π6＝－4π－π6，是第四象限角． 与19π6终边相同的角的集合是 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪α＝7π6＋2k π，k ∈Z ；与－25π6终边相同的角的集合是 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪α＝－π6＋2k π，k ∈Z . 3．(1)－64°＝－1645π＝74π45－2π； (2)400°＝20π9＝2π9＋2π； (3)－722°30′＝－28972π＝143π72－6π. 4．360°32＝11.25°；11.25°×π180＝π16. 5．112100×180°π≈64°. 习题1－1B1．第一象限角的集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪2k π＜α＜2k π＋π2，k ∈Z ； 第二象限角的集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪2k π＋π2＜α＜2k π＋π，k ∈Z ； 第三象限角的集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎪⎪α2k π＋π＜α＜2k π＋3π2，k ∈Z ； 第四象限角的集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪ 2k π＋3π2＜α＜2k π＋2π，k ∈Z 或⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪2k π－π2＜α＜2k π，k ∈Z . 2．200°×π180＝109π，r ＝l α＝50×910π＝14.3(m)． 3．略．4．(1)2π×300＝600π；(2)每秒钟转过的弧度数为2π×300×160＝10π，l ＝αr ＝10π×1.22＝6π(m)．5．1×π180×6 370＝111(km)．。

1.1.1 角的概念的推广1．任意角(1)角的定义．①静态定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的边．②动态定义：一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形叫做角，旋转射线的端点叫做角的顶点，开始位置的射线叫做角的始边，终止位置的射线叫做角的终边．在画图时，常用带箭头的弧来表示旋转的方向和旋转的绝对量，旋转生成的角，又常叫做转角．(2)角的记法．用一个希腊字母表示；用三个大写的英文字母表示(字母前面要写“∠”)．(3)角的分类．引入正角、负角的概念以后，角的减法运算可以转化为角的加法运算，即α－β可以化为α＋(－β)．这就是说，各角和的旋转量等于各角旋转量的和．归纳总结(1)掌握角的概念应注意角的三要素：顶点、始边、终边．(2)高中阶段所说的角实际上是初中平面几何中“角是从一点出发的两条射线所组成的图形”的概念的推广，这里重点强调“角是由一条射线绕着它的端点旋转而成的”这一运动的观点．(3)角不仅有大小而且有正负，角的概念的推广重在“旋转”两字．其旋转方向决定了角的正负，由此确定了角的分类．2．终边相同的角设α表示任意角，所有与α终边相同的角，包括α本身构成一个集合，这个集合可记为S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和的形式．归纳总结 (1)α为任意角．(2)k·360°－α，k∈Z可理解为k·360°＋(－α)，k∈Z．(3)相等的角终边一定相同，终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无数个，它们相差360°的整数倍．(4)k∈Z这一条件不可少．(5)零角的始边和终边相同，但始边和终边相同的角并不一定是零角．自主思考1已知介于两个角之间的角的集合叫做区间角，如{x|60°<x<120°}．介于某两角终边之间的角的集合叫做区域角，如何表示两条终边之间的区域角？提示：(1)若角的终边落在一个扇形区域内，写区域角时，首先依逆时针方向由小到大写出一个区间角，再在它的两端加上k·360°，k∈Z即可．(2)若角的终边落在两个对称的扇形区域内，写区域角时，可以先写出终边落在一个扇形区域内的一个区间角，在此区间角的两端分别加上k·180°，k∈Z即可．例如，求终边落在如图阴影内(包括边界)的角的集合，可先求落在第一象限内的区间角{α|45°≤α≤60°}，故终边落在如图阴影内(包括边界)的角的集合为{α|k·180°+45°≤α≤k·180°+60°，k∈Z}．3．第几象限的角(1)在平面直角坐标系xOy中，平面内任意一个角都可以通过移动，使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴正半轴重合，这时，角的终边在第几象限，就把这个角叫做第几象限的角．(2)如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限．自主思考2 第一象限的角、小于90°的角、0°～90°的角、锐角有何差别？提示：锐角是0°<α<90°的角；0°～90°的角是0°≤α<90°的角；小于90°的角是α<90°的角，包括锐角以及所有负角和零角；第一象限的角是{α|k·360°<α<k·360°＋90°，k∈Z}所表示的角，其中有正角、负角．锐角、0°～90°的角、小于90°的角、第一象限的角的关系用Venn图表示如图所示．自主思考3各象限角与终边在坐标轴上的角的集合如何表示？提示：(1)象限角的集合．(2)。

必修四§1.1任意角和弧度制第一课时：§1.1.1任意角1. 下列命题中正确的是( )A ．终边在y 轴非负半轴上的角是直角B ．第二象限角一定是钝角C ．第四象限角一定是负角 D.若β＝α＋ｋ·360°（ｋ∈Ｚ），则α与β终边相同2.将-885化为360k α+⋅ (0360α≤<k ,∈Z )的形式是 ( ) A.-165(2)360+-⨯ B.195(3)360+-⨯ C.195(2)360+-⨯ D.165(3)360+-⨯3．在［360°，1440°］中与－21°16′终边相同的角有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．终边落在X 轴上的角的集合是（ ）A.{ α|α=k ·360°,K ∈Z }B.{ α|α=(2k+1)·180°,K ∈Z }C.{ α|α=k ·180°,K ∈Z }D.{ α|α=k ·180°+90°,K ∈Z }5．角α＝45°＋ｋ·180°，ｋ∈Ｚ的终边落在 ( )A ．第一或第三象限B ．第一或第二象限C ．第二或第四象限D ．第三或第四象限6.设,,,,那么( ) A ．B C A B ．B A C C ．D (A ∩C) D ．C ∩D=B7.下列各组角中终边相同的是( )A. +90与Z B.与ZC. +30与+30Z D.与+60Z 8.若角和的终边关于y 轴对称,则有 ( ) A. B.Z C.Z D.Zo {90A =小于的角｝{B =锐角｝{C ＝第一象限的角｝00{900}D =小于而不小于的角180k ⋅90k ⋅k ,∈(21)180k +⋅(41)180k ±⋅k ,∈180k ⋅360k ⋅k ,∈60k ⋅180k ⋅k ,∈αβ90αβ+=90αβ+=360k +⋅k ,∈360k αβ+=⋅k ,∈180αβ+=360k +⋅k ,∈9.若β是第四象限角,则180β-是第 象限角。

高中数学第一章三角函数第1节任意角和弧度制（第1课时）任意角教案（含解析）新人教A版必修4[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P2～P5的内容，回答下列问题．(1)阅读教材P2“思考”的内容，你的手表慢了5分钟，你是怎样将它校准的？假如你的手表快了1.25个小时，你应当如何将它校准？在你调整的过程中，分针转动的方向有什么区别？提示：当手表慢了5分钟时，通常将分针顺时针旋转进行调整；当手表快了1.25小时时，通常将分针逆时针旋转进行调整．故在调整的过程中两种情形分针的转动方向相反．(2)体操中有“转体720°”(即“转体2周”)，“转体1 080°”(即“转体3周”)这样的动作名称，而旋转的方向也有顺时针与逆时针的不同；又如图是两个齿轮旋转的示意图，被动轮随着主动轮的旋转而旋转，而且被动轮与主动轮有相反的旋转方向．这样，OA 绕O旋转所成的角与O′B绕O′旋转所成的角就会有不同的方向．利用我们以前学过的0°～360°范围的角，还能描述以上现象吗？提示：要准确地描述这些现象，不仅要知道角形成的结果，而且要知道角形成的过程，即必须既要知道旋转量，又要知道旋转方向．故利用0°～360°范围的角，无法描述以上现象．(3)阅读教材P3“探究”的内容，请思考：对于直角坐标系内任一条射线OB，以它为终边的角是否唯一？如果不唯一，那么这些终边相同的角有什么关系？提示：不唯一．它们之间相差360°的整数倍，即相差k·360°(k∈Z)．2．归纳总结，核心必记(1)角的有关概念有关概念描述定义角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形图示其中O为顶点，OA为始边，OB为终边记法角α或∠α，或简记为α①②按角的终边位置(ⅰ)角的终边在第几象限，则此角称为第几象限角；(ⅱ)角的终边在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限．(3)终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．[问题思考](1)你能说出角的三要素吗？提示：角的三要素是顶点、终边、始边．(2)如果一个角的终边与其始边重合，这个角一定是零角吗？提示：不一定，零角的终边与始边重合，但终边与始边重合的角不一定是零角，如360°，－360°等．(3)一条射线绕端点旋转，旋转的圈数越多，则这个角越大，这样说对吗？提示：不对，如果一条射线绕端点按顺时针方向旋转，则它形成负角，旋转的圈数越多，则这个角越小．(4)在坐标系中，将y轴的正半轴绕坐标原点顺时针旋转到x轴的正半轴形成的角为90°，这种说法是否正确？提示：不正确，在坐标系中，将y轴的正半轴绕坐标原点旋转到x轴的正半轴时，是按顺时针方向旋转的，故它形成的角为－90°.(5)当角的始边和终边确定后，这个角就被确定了吗？提示：不是的．虽然始、终边确定了，但旋转的方向和旋转量的大小并没有确定，所以角也就不能确定．(6)初中我们学过对顶角相等．依据现在的知识试判断一下图中角α，β是否相等？提示：不相等．角α为逆时针方向形成的角，α为正角；角β为顺时针方向形成的角，β为负角．[课前反思](1)角的概念：；(2)角的分类：；(3)终边相同的角： .终边相同的角及区域角的表示知识点1[思考1] 终边相同的角一定是相等的角吗？它们之间有什么关系？如何把这一类角表示出来？名师指津：不一定．相等的角的终边一定相同，但终边相同的角不一定相等，它们相差360°的整数倍．可以用集合{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}表示．[思考2] 区域角是指终边落在坐标系的某个区域的角，区域角如何表示？名师指津：区域角可以看作是某一范围内的终边相同角的集合．故可把区域的起始、终止边界表示出来，然后组成集合即可．讲一讲1．(1)写出与α＝－1 910°终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－720°≤β＜360°的元素β写出来．(2)分别写出终边在下列各图所示的直线上的角的集合．(3)写出终边落在图中阴影部分(包括边界)的角的集合．[尝试解答] (1)与角α＝－1 910°终边相同的角的集合为{β|β＝－1 910°＋k ·360°，k ∈Z }．∵－720°≤β＜360°，∴－720°≤－1 910°＋k ·360°＜360°，31136≤k ＜61136. 故k ＝4,5,6，k ＝4时，β＝－1 910°＋4×360°＝－470°.k ＝5时，β＝－1 910°＋5×360°＝－110°.k ＝6时，β＝－1 910°＋6×360°＝250°.(2)①在0°～360°范围内，终边在直线y ＝0上的角有两个，即0°和180°，因此，所有与0°角终边相同的角构成集合S 1＝{β|β＝0°＋k ·360°，k ∈Z }，而所有与180°角终边相同的角构成集合S 2＝{β|β＝180°＋k ·360°，k ∈Z }，于是，终边在直线y ＝0上的角的集合为S ＝S 1∪S 2＝{β|β＝k ·180°，k ∈Z }．②由图形易知，在0°～360°范围内，终边在直线y ＝－x 上的角有两个，即135°和315°，因此，终边在直线y ＝－x 上的角的集合为S ＝{β|β＝135°＋k ·360°，k ∈Z }∪{β|β＝315°＋k ·360°，k ∈Z }＝{β|β＝135°＋k ·180°，k ∈Z }．③终边在直线y ＝x 上的角的集合为{β|β＝45°＋k ·180°，k ∈Z }，结合②知所求角的集合为S ＝{β|β＝45°＋k ·180°，k ∈Z }∪{β|β＝135°＋k ·180°，k ∈Z }＝{β|β＝45°＋2k ·90°，k ∈Z }∪{β|β＝45°＋(2k ＋1)·90°，k ∈Z }＝{β|β＝45°＋k ·90°，k ∈Z }．(3)终边落在OA 位置上的角的集合为{α|α＝90°＋45°＋k ·360°，k ∈Z }＝{α|α＝135°＋k ·360°，k ∈Z }，终边落在OB 位置上的角的集合为{β|β＝－30°＋k ·360°，k ∈Z }．故阴影部分角的集合可表示为{α|－30°＋k·360°≤α≤135°＋k·360°，k∈Z}．类题·通法(1)在0°～360°范围内找与给定角终边相同的角的方法①把任意角化为α＋k·360°(k∈Z且0°≤α＜360°)的形式，关键是确定k.可以用观察法(α的绝对值较小)，也可用除法．②要求适合某种条件且与已知角终边相同的角，其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出k的值．(2)区域角的写法可分三步①按逆时针方向找到区域的起始和终止边界；②由小到大分别标出起始、终止边界对应的一个角α，β，写出所有与α，β终边相同的角；③用不等式表示区域内的角，组成集合．练一练1．已知角α＝2 018°.(1)把α改写成k·360°＋β(k∈Z,0°≤β<360°)的形式；(2)求θ，使θ与α终边相同，且－360°≤θ<720°.解：(1)由2 018°除以360°，得商为5，余数为218°，∴取k＝5，β＝218°，α＝5×360°＋218°.(2)与2 018°角终边相同的角为k·360°＋2 018°(k∈Z)．令－360°≤k·360°＋2 018°<720°，k∈Z，∴k取－6，－5，－4，将k的值代入k·360°＋2 018°中，得角θ的值为－142°，218°，578°.象限角的判断知识点2[思考1] 若α为第一象限角，则α的顶点、始边、终边各有什么特点？提示：若α为第一象限角，则α的顶点为坐标原点、始边与x轴的正半轴重合，终边处在第一象限．[思考2] 如何判定象限角？提示：(1)根据图形判定；(2)根据终边相同的角的概念判定．讲一讲2．已知角的顶点与坐标原点重合，始边落在x轴的非负半轴上，作出下列各角，并指出它们是第几象限角．(1)－75°；(2)855°；(3)－510°.[尝试解答] 作出各角，其对应的终边如图所示：(1)由图①可知：－75°是第四象限角．(2)由图②可知：855°是第二象限角．(3)由图③可知：－510°是第三象限角．类题·通法给定角α所处象限的判定方法法一：第一步，将α写成α＝k ·360°＋β(k ∈Z,0°≤β＜360°)的形式．第二步，判断β的终边所在的象限．第三步，根据β的终边所在的象限，即可确定α的终边所在的象限．法二：在坐标系中画出相应的角，观察终边的位置，角的终边落在第几象限，此角就是第几象限角．练一练2．(1)已知下列各角：①－120°；②－240°；③180°；④495°.其中是第二象限角的是( )A ．①②B ．①③C ．②③D ．②④(2)若β是第四象限角，则180°－β是第________象限角．解析：(1)－120°角是第三象限角；－240°角是第二象限角；180°角不在任何一个象限内；495°＝360°＋135°，所以495°角是第二象限角．(2)因为β是第四象限角，所以取β＝－20°，则180°－β＝200°，为第三象限角． 答案：(1)D (2)三知识点3nα或αn 所在象限的判定 讲一讲3．若α是第二象限角，则2α，α2分别是第几象限的角？ [尝试解答] (1)∵α是第二象限角，∴90°＋k ·360°<α<180°＋k ·360°(k ∈Z )，∴180°＋k ·720°<2α<360°＋k ·720°，∴2α是第三或第四象限的角，或角的终边在y 轴的非正半轴上．(2)∵α是第二象限角，∴90°＋k ·360°<α<180°＋k ·360°(k ∈Z )，∴45°＋k ·180°<α2<90°＋k ·180°(k ∈Z )． 法一：①当k ＝2n (n ∈Z )时，45°＋n ·360°<α2<90°＋n ·360°(n ∈Z )，即α2是第一象限角；②当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，225°＋n ·360°<α2<270°＋n ·360°(n ∈Z )， 即α2是第三象限角． 故α2是第一或第三象限角． 法二：∵45°＋k ·180°表示终边为一、三象限角平分线的角，90°＋k ·180°(k ∈Z )表示终边为y 轴的角，∴45°＋k ·180°<α2<90°＋k ·180°(k ∈Z )表示如图中阴影部分图形．即α2是第一或第三象限角． 类题·通法(1)nα所在象限的判断方法确定nα终边所在的象限，先求出nα的范围，再直接转化为终边相同的角即可．(2)αn 所在象限的判断方法已知角α所在象限，要确定角αn 所在象限，有两种方法：①用不等式表示出角αn 的范围，然后对n 的取值分情况讨论：被n 整除；被n 除余1；被n 除余2；…；被n 除余n －1.从而得出结论．②作出各个象限的从原点出发的n 等分射线，它们与坐标轴把周角分成4n 个区域．从x 轴非负半轴起，按逆时针方向把这4n 个区域依次循环标上1,2,3,4.α的终边在第几象限，则标号为几的区域，就是αn 的终边所落在的区域．如此，αn所在的象限就可以由标号区域所在的象限直观地看出．练一练 3．若角α是第一象限角，则－α，2α，α3分别是第几象限角？ 解：∵α是第一象限角，∴k ·360°<α<k ·360°＋90°(k ∈Z )．(1)－k ·360°－90°<－α<－k ·360°(k ∈Z )，∴－α所在区域与(－90°，0°)范围相同，故－α是第四象限角．(2)2k ·360°<2α<2k ·360°＋180°(k ∈Z )，∴2α所在区域与(0°，180°)范围相同，故2α是第一、二象限角或终边落在y 轴非负半轴上的角．(3)法一(分类讨论)：k ·120°<α3<k ·120°＋30°(k ∈Z )． 当k ＝3n (n ∈Z )时， n ·360°<α3<n ·360°＋30°，∴α3是第一象限角； 当k ＝3n ＋1(n ∈Z )时，n ·360°＋120°<α3<n ·360°＋150°，∴α3是第二象限角； 当k ＝3n ＋2(n ∈Z )时，n ·360°＋240°<α3<n ·360°＋270°，∴α3是第三象限角． 综上可知，α3是第一、第二或第三象限角． 法二(几何法)：如图，先将各象限分成3等份，再从x 轴的正向的上方起，依次将各区域标上1,2,3,4，则标有1的区域即为α3角的终边落在的区域，故α3为第一、第二或第三象限角．[课堂归纳·感悟提升]1．本节课的重点是象限角的判断、终边相同角及区域角的表示，难点是nα及αn 所在象限的判定．2．本节课要重点掌握以下规律方法(1)求终边相同的角及区域角的表示，见讲1；(2)象限角及nα、αn所处象限的判断，见讲2和讲3.3．本节课的易错点有以下几点(1)对于角的理解，要明确该角是按顺时针方向还是逆时针方向旋转形成的，按逆时针方向旋转形成的角为正角，按顺时针方向旋转形成的角为负角．(2)把任意角化为α＋k·360°(k∈Z，且0°≤α＜360°)的形式，关键是确定k，可以用观察法(α的绝对值较小)，也可以用除法．(3)已知角的终边范围，求角的集合时，先写出边界对应的角，再写出0°～360°内符合条件的角的范围，最后都加上k·360°，得到所求．课下能力提升(一)[学业水平达标练]题组1 终边相同的角及区域角的表示1．与－457°角的终边相同的角的集合是( )A．{α|α＝457°＋k·360°，k∈Z}B．{α|α＝97°＋k·360°，k∈Z}C．{α|α＝263°＋k·360°，k∈Z}D．{α|α＝－263°＋k·360°，k∈Z}解析：选C 由于－457°＝－1×360°－97°＝－2×360°＋263°，故与－457°角终边相同的角的集合是{α|α＝－457°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝263°＋k·360°，k ∈Z}．2．若A＝{α|α＝k·360°，k∈Z}，B＝{α|α＝k·180°，k∈Z}，C＝{α|α＝k·90°，k∈Z}，则下列关系中正确的是( )A．A＝B＝C B．A＝B∩CC．A∪B＝C D．A⊆B⊆C解析：选D ∵90°∈C,90°∉B,90°∉A，∴选项A，C错误；又∵180°∈C,180°∈B,180°∉A，∴选项B错误．故选D.3．若α＝n·360°＋θ，β＝m·360°－θ，m，n∈Z，则α，β终边的位置关系是( )A．重合 B．关于原点对称C．关于x轴对称 D．关于y轴对称解析：选C 由α＝n·360°＋θ，n∈Z可知α与θ是终边相同的角，由β＝m·360°－θ，m∈Z可知β与－θ是终边相同的角．因为θ与－θ两角终边关于x轴对称，所以α与β两角终边关于x轴对称．4.已知角α的终边在图中阴影所表示的范围内(不包括边界)，那么α∈________.解析：在0°～360°范围内，终边落在阴影内的角α满足30°<α<150°或210°<α<330°，所以所有满足题意的角α的集合为{α|k·360°＋30°<α<k·360°＋150°，k∈Z}∪{α|k·360°＋210°<α<k·360°＋330°，k∈Z}＝{α|2k·180°＋30°<α<2k·180°＋150°，k∈Z}∪{α|(2k＋1)180°＋30°<α<(2k＋1)·180°＋150°，k∈Z}＝{α|n·180°＋30°<α<n·180°＋150°，n∈Z}．答案：{α|n·180°＋30°<α<n·180°＋150°，n∈Z}5．(1)写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中适合不等式－360°≤α＜720°的元素α写出来：①60°；②－21°.(2)试写出终边在直线y＝－x上的角的集合S，并把S中适合不等式－180°≤α＜180°的元素α写出来．解：(1)①S＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}，其中适合不等式－360°≤α＜720°的元素α为：－300°，60°，420°；②S＝{α|α＝－21°＋k·360°，k∈Z}，其中适合不等式－360°≤α＜720°的元素α为：－21°，339°，699°.(2)终边在直线y＝－x上的角的集合S＝{α|α＝k·360°＋135°，k∈Z}∪{α|α＝k·360°＋315°，k∈Z}＝{α|α＝k·180°＋135°，k∈Z}，其中适合不等式－180°≤α＜180°的元素α为：－45°，135°.题组2 象限角的判断6．－1 120°角所在象限是( )A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限解析：选D 由题意，得－1 120°＝－4×360°＋320°，而320°在第四象限，所以－1 120°角也在第四象限．7．下列叙述正确的是( )A．三角形的内角必是第一、二象限角B．始边相同而终边不同的角一定不相等C．第四象限角一定是负角D．钝角比第三象限角小解析：选B 90°的角是三角形的内角，它不是第一、二象限角，故A 错；280°的角是第四象限角，它是正角，故C 错；－100°的角是第三象限角，它比钝角小，故D 错．8．若α是第四象限角，则180°＋α一定是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角解析：选B ∵α是第四象限角，∴k ·360°－90°<α<k ·360°.∴k ·360°＋90°<180°＋α<k ·360°＋180°.∴180°＋α在第二象限，故选B.题组3 nα或αn 所在象限的判定9．已知角2α的终边在x 轴上方，那么α是( )A ．第一象限角B ．第一或第二象限角C ．第一或第三象限角D ．第一或第四象限角解析：选C 由条件知k ·360°<2α<k ·360°＋180°，(k ∈Z )，∴k ·180°<α<k ·180°＋90°(k ∈Z )，当k 为偶数时，α在第一象限，当k 为奇数时，α在第三象限．10.若角α是第三象限角，则角α2的终边所在的区域是如图所示的区域(不含边界)( )A ．③⑦B ．④⑧C ．②⑤⑧D ．①③⑤⑦解析：选A ∵α是第三象限角，∴k ·360°＋180°<α<k ·360°＋270°(k ∈Z )，∴k ·180°＋90°<α2<k ·180°＋135°(k ∈Z )． 当k ＝2n (n ∈Z )时，n ·360°＋90°<α2<n ·360°＋135°，对应区域③；当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，n ·360°＋270°<α2<n ·360°＋315°，对应区域⑦.∴角α2的终边所在的区域为③⑦. [能力提升综合练]1．已知集合A ＝{α|α小于90°}，B ＝{α|α为第一象限角}，则A ∩B ＝( )A ．{α|α为锐角}B ．{α|α小于90°}C ．{α|α为第一象限角}D ．以上都不对解析：选D 小于90°的角包括锐角及所有负角，第一象限角指终边落在第一象限的角，所以A ∩B 是指锐角及第一象限的所有负角的集合，故选D.2．下列叙述正确的是( )A ．第一或第二象限的角都可作为三角形的内角B ．始边相同而终边不同的角一定不相等C ．若α是第一象限角，则2α是第二象限角D ．钝角比第三象限角小解析：选B －330°角是第一象限角，但不能作为三角形的内角，故A 错；若α是第一象限角，则k ·360°<α<k ·360°＋90°(k ∈Z )，所以2k ·360°<2α<2k ·360°＋180°(k ∈Z )，所以2α不一定是第二象限角，故C 错；－135°是第三象限角，135°是钝角，而135°>－135°，故D 错．3．终边与坐标轴重合的角的集合是( )A ．{α|α＝k ·360°，k ∈Z }B ．{α|α＝k ·180°，k ∈Z }C ．{α|α＝k ·90°，k ∈Z }D ．{α|α＝k ·180°＋90°，k ∈Z }解析：选C 终边在x 轴上的角的集合M ＝{α|α＝k ·180°，k ∈Z }，终边在y 轴上的角的集合P ＝{α|α＝k ·180°＋90°，k ∈Z }，则终边与坐标轴重合的角的集合S ＝M ∪P ＝{α|α＝k ·180°，k ∈Z }∪{α|α＝k ·180°＋90°，k ∈Z }＝{α|α＝2k ·90°，k ∈Z }∪{α|α＝(2k ＋1)·90°，k ∈Z }＝{α|α＝n ·90°，n ∈Z }，故选C.4．角α与角β的终边关于y 轴对称，则α与β的关系为( )A ．α＋β＝k ·360°，k ∈ZB ．α＋β＝k ·360°＋180°，k ∈ZC ．α－β＝k ·360°＋180°，k ∈ZD ．α－β＝k ·360°，k ∈Z解析：选B 法一：特殊值法：令α＝30°，β＝150°，则α＋β＝180°.法二：直接法：∵角α与角β的终边关于y 轴对称，∴β＝180°－α＋k ·360°，k ∈Z ，即α＋β＝k ·360°＋180°，k ∈Z .5．如果将钟表拨快10分钟，则时针所转成的角度是________度，分针所转成的角度是________度．解析：将钟表拨快10分钟，则时针按顺时针方向转了10×360°12×60＝5°，所转成的角度是－5°；分针按顺时针方向转了10×360°60＝60°，所转成的角度是－60°.答案：－5 －606．若角α满足180°<α<360°，角5α与α有相同的始边，且又有相同的终边，则角α＝________.解析：∵角5α与α具有相同的始边与终边，∴5α＝k·360°＋α，k∈Z.得 4α＝k·360°，当k＝3时，α＝270°.答案：270°7．写出终边在如下列各图所示阴影部分内的角的集合．解：先写出边界角，再按逆时针顺序写出区域角，则得(1){α|30°＋k·360°≤α≤150°＋k·360°，k∈Z}；(2){α|150°＋k·360°≤α≤390°＋k·360°，k∈Z}．8．已知α，β都是锐角，且α＋β的终边与－280°角的终边相同，α－β的终边与670°角的终边相同，求角α，β的大小．解：由题意可知，α＋β＝－280°＋k·360°，k∈Z.∵α，β都是锐角，∴0°<α＋β<180°.取k＝1，得α＋β＝80°.①∵α－β＝670°＋k·360°，k∈Z，α，β都是锐角，∴－90°<α－β<90°.取k＝－2，得α－β＝－50°.②由①②，得α＝15°，β＝65°.。

任意角和弧度制1.理解1弧度的角、弧度制的定义.2.掌握角度与弧度的换算公式3.熟记特殊角的弧度数 (一)角的概念： 1 任意角正角：按顺时针方向形成的角 负角：按逆时针方向形成的角 2 象限角定义：角的顶在原点始边与x 轴重合，终边在第几象限此角就是第几象限角。

与角α有相同终边所有角表示为：α+2kπ（k 为任意整数） （1）在直角坐标系内讨论角：注意：若角的终边在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限，它叫象限界角。

（2）①与α角终边相同的角的集合：},2|{},360|{0Z k k Z k k ∈+=∈+=απββαββ或 （3）区间角的表示： ①象限角：象限角 象限角的集合表示第一象限角的集合 o o o {|360<<36090,x k k k α⋅⋅+∈Z } 第二象限角的集合 o o o o {|36090<<360180,x k k k α⋅+⋅+∈Z }第三象限角的集合o o o o {|360180<<360270,x k k k α⋅+⋅+∈Z } 第四象限角的集合o o o o {|360270<<360360,x k k k α⋅+⋅+∈Z }②写出图中所表示的区间角： 由α的终边所在的象限， 来判断2α所在的象限，来判断3α所在的象限 (二)弧度制1 弧度角的规定.它的单位是 读作弧度如图：∠1∠2周角=2π 定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角。

与圆的半径无关以弧度为单位来度量角的制度叫弧度制。

（1）正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0 （2）角α的弧度数的绝对值 rl=α（l 为弧长，r 为半径） （3）用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但数量相同（都是0） 弧度制与角度制的换算公式：弧度制=角度制*π/180o角度制=弧度制*180πo rC 2 1 r 2ro A AB2π=360o弧度数α与弧长L 与半径R 的关系：α（可用来求弧长与半径） （4）弧长公式：α；扇形面积公式：221R S α=弧长公式：180rn l π=，扇形面积公式：3602R n S π=扇（初中）2 弧度制与角度制的换算：因为周角的弧度数是2π，角度是360°，所以有radrad radrad 01745.018011802360≈===πππ把上面的关系反过来写1803602==rad rad ππ815730.57)180(1'=≈=rad rad π360~0之间的一些特殊角的度数与弧度数的互化必需熟练掌握.度 0° 30°45°60°90°120° 135° 150° 180° 270° 360°弧度6π4π 3π 2π π32 π43 π65 ππ23 2π类型一：角的概念问题1. 终边相同的角的表示例1 若角α是第三象限的角，则角α-的终边在第象限. 答案：二.解析：因为α是第三象限的角，故o oo o 360270<<360180,k k k α-⋅---⋅-∈Z ，则o 360k ⋅o oo 270<<360180,k k α--⋅-∈Z ，故α-的终边在第二象限.练习：与o610角终边相同的角可表示为. 【答案：oo360250(k k ⋅+∈Z ）】2. 象限角的表示例2 已知角α是第二象限角，问（1）角2α是第几象限的角？（2）角2α终边的位置. 思路：先根据已知条件得出角的范围，再通过讨论k 值来确定象限角.解析：（1）因为α是第二象限的角，故oooo36090<<360180(k k k α⋅+⋅+∈Z )，故︒︒︒︒+⋅<<-⋅45180245180k k αo 180k ⋅o oo45<<18090(2k k α+⋅+∈Z ).当k 为偶数时，2α在第一象限；当k 为奇数时，2α在第三象限，故2α为第一或第三象限角.（2）由oooo36090<<360180(k k k α⋅+⋅+∈Z )，得o o o 2360180<2<2360k k α⋅+⋅+ o 360(k ∈Z )，故角2α终边在下半平面.点评：已知α所在象限，求(n nα∈N *)所在象限的问题，一般都要分几种情况进行讨论.结论：类型二：弧度制与弧长公式 1.角度制与弧度制的互化例3 把下列各角的度数化为弧度数： 解 因为1801π=rad ，所以练习：把下列各角的弧度数化为度数： 解 因为 π rad ＝180，所以例4 （1）设o 750α=，用弧度制表示α，并指出它所在的象限；（2）设35βπ=，用角度制表示β，并在o 720-～o0内找出与它有相同终边的所有角. 导思：（1）角度与弧度应如何进行互化？（2）确定角为第几象限角的依据是什么？（3）怎样找终边相同的角？依据是什么？解析：（1）257502218066ππαππ=⨯==⨯+，故α在第一象限. （2）o o 31803()10855πππ=⨯=，与它终边相同的角可表示为o o 360180(k k ⋅+∈Z ），由o 720-≤o o o 360180<0k ⋅+，得332<1010k --≤，故2k =-或1k =-，即在o 720-～o 0范围内与β有相同终边的所有角是o612-和o252-.点评：角度与弧度进行互化，关键是对转化公式的理解和应用；判断一个角所在的象限，关键是在[0,2]π内找到与该角终边相同的角.练习：（1）设o 570α=-，用弧度制表示α，并指出它所在的象限；（2）设73βπ=，用角度制表示β，并在o 720-～o 0内找出与它有相同终边的所有角. 解析：（1）195(570)2218066ππαππ=⨯-=-=-⨯+，故α在第二象限. （2）o o 71807()()42033πππ-=⨯-=-，故在o 720-～o 0范围内与β有相同终边的角是o 60-.2.求弧长与扇形面积例5 已知一扇形中心角为α，所在圆半径为R .α第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 2α 第一、三象限第一、三象限第二、四象限第二、四象限（1）若3πα=，10R =，求扇形的弧长及该弧所在弓形的面积；（2）若扇形的周长为一定值(>0)C C ，当α为何值时，该扇形面积最大，并求此最大值. 导思：（1）扇形的弧长公式是什么？（2）怎样由扇形面积来求弓形的面积？（3）如何用扇形的周长C 表示扇形面积？（4）怎样求最大值？能用二次函数来求吗？能用基本不等式来求吗？解析：（1）设弧长为l ，弓形面积为S 弓，则10(3l π=)， 故110110232S S S π∆=-=⨯⨯-⨯弓扇2310sin 50()(332ππ⨯=-2). （2）解法一：由扇形周长2C R l =+，得2l C R =-，故211=(2)22S Rl R C R R =-=-扇221()2416C C RC R +=--+.当4C R =时，S 扇有最大值且最大值为216C .此时22Cl C R =-=，故422l C R Cα==⋅=.故当2α=时，该扇形有最大面积. 解法二：由扇形周长22C R l R R α=+=+，得2CR a=+，故211=22S R αα=⋅扇2()2C α=+22221142442164C C C ααααα⋅=⋅++++≤， 当且仅当24α=，即2a =时，扇形面积最大为216C .点评：在应用扇形弧长和面积公式时，如果圆心角用角度表示，则应先化为弧度；注意不要把弓形面积与扇形面积相混淆.练习：设扇形的周长为8，面积为42，则扇形的圆心角的弧度数是.解：1(82)42S r r =-=，即2440r r -+=，解得2r =，故4l =，从而422l r α===. 1、下列角中终边与330°相同的角是（ ）A ．30°B ．-30°C ．630°D ．-630° 答案：B2、－1120°角所在象限是 （ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 答案：D3、把－1485°转化为α＋k ·360°（0°≤α＜360°, k ∈Z ）的形式是 （ ） A ．45°－4×360°B ．－45°－4×360°C ．－45°－5×360°D ．315°－5×360° 答案：D4、写出-720°到720°之间与-1068°终边相同的角的集合．答案：{}372,12,348,708--5、终边在第二象限的角的集合可以表示为： （ ） A ．｛α∣90°<α<180°｝B ．｛α∣90°＋k ·180°<α<180°＋k ·180°，k ∈Z ｝C ．｛α∣－270°＋k ·180°<α<－180°＋k ·180°，k ∈Z ｝D ．｛α∣－270°＋k ·360°<α<－180°＋k ·360°，k ∈Z ｝ 答案：D6、已知{第一象限角}，{锐角}，{小于90°的角}，那么A 、B 、C 关系是（ ） A ．∩C B ．B ∪ C ．⊂ D ．答案：B7、下列结论正确的是（ ）Α．三角形的内角必是一、二象限内的角 B ．第一象限的角必是锐角 C ．不相等的角终边一定不同D ．{}Z k k ∈±⋅=,90360|αα={}Z k k ∈+⋅=,90180| αα答案：D8、若α是第四象限的角，则α- 180是 ．A ．第一象限的角B ．第二象限的角C ．第三象限的角D ．第四象限的角答案：C9、与1991°终边相同的最小正角是,绝对值最小的角是． 答案：191与169-；10、若角α的终边为第二象限的角平分线，则α的集合为．答案：{}Z k k ∈+⋅=,135360|αα基础巩固一、选择题1．已知α＝－3，则角α 的终边所在的象限是( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限[答案] C[解析] 1＝()°，则α＝－3＝－()°≈－171.9°，∴α是第三象限角． 2．与－终边相同的角的集合是( ) A ． B ． C ．D ．[答案] D[解析]与－终边相同的角α＝2kπ－，k∈Z，∴α＝(2k－6)π＋6π－＝(2k－6)π＋，(k∈Z)．3．已知集合A＝{α|2kπ≤α≤(2k＋1)π，k∈Z}，B＝{α|－4≤α≤4}，则A∩B＝()A．∅B．{α|0≤α≤π|C．{α|－4≤α≤4|D．{α|－4≤α≤－π或0≤α≤π}[答案] D[解析]k≤－2或k≥1时A∩B＝∅；k＝－1时A∩B＝[－4，－π]；k＝0时，A∩B＝[0，π]；故A∩B＝[－4，－π]∪[0，π]．故选D.4．一条弧所对的圆心角是2，它所对的弦长为2，则这条弧的长是()A．B．C．D．[答案] C[解析]所在圆的半径为r＝，弧长为2×＝.5．某扇形的面积为12，它的周长为4 ，那么该扇形的圆心角等于()A．2°B．2C．4°D．4[答案] B[解析]设扇形的半径为r，弧长为l，由题意得错误!，解得错误!.∴该扇形圆心角α＝＝2()，故选B.6．如图中，圆的半径为5，圆内阴影部分的面积是()A．B．C．D．[答案] A[解析]40°＝40×＝，30°＝30×＝，∴S＝r2·＋r2·＝.二、填空题7．若两个角的差是1°，它们的和是1弧度，则这两个角的弧度数分别是．[答案]、[解析]设两角为α、β则错误!，∴α＝错误!、β＝错误!.8．正n边形的一个内角的弧度数等于．[答案]π[解析]∵正n边形的内角和为(n－2)π，∴一个内角的弧度数是.三、解答题9．已知α1＝－570°、α2＝750°，β1＝，β2＝－.(1)将α1、α2用弧度制表示出来，并指出它们各自所在象限；(2)将β1、β2用角度制表示出来，并在－720°～0°范围内找出与β1、β2有相同终边的角．[解析](1)∵－570°＝－＝－＝－4π＋，∴－570°与终边相同，在第二象限，∴α1在第二象限．∵750°＝＝＝4π＋，∴750°与终边相同，在第一象限，∴α2在第一象限．(2)∵β1＝＝(×180)°＝108°，与其终边相同的角为108°＋k·360°，k∈Z，∴在－720°～0°范围内与β1有相同终边的角是－612°和－252°.同理，β2＝－420°且在－720°～0°范围内与β2有相同终边的角是－60°.能力提升一、选择题1．扇形的一条弦长等于半径，则这条弦所对的圆心角是弧度．()A．πB．C．D．[答案] C[解析]∵圆心角所对的弦长等于半径，∴该圆心角所在的三角形为正三角形，∴圆心角是弧度．2．在直角坐标系中，若角α与角β终边关于原点对称，则必有()A．α＝－βB．α＝－2kπ±β(k∈Z)C．α＝π＋βD．α＝2kπ＋π＋β(k∈Z)[答案] D[解析]将α旋转π的奇数倍得β.3．在半径为3的圆中，60°的圆心角所对的弧的长度为()A．B．πC．D．[答案] B[解析]由弧长公式得，l＝|α＝×3＝π()．4．下列各组角中，终边相同的角是()A．(2k＋1)π与(4k±1)π，k∈Z B．与kπ＋，k∈ZC．kπ＋与2kπ±，k∈Z D．kπ±与，k∈Z[答案] A[解析]2k＋1与4k±1都表示的是奇数，故选A.二、填空题5．把－写成θ＋2kπ(k∈Z)的形式，使|θ|最小的θ的值是．[答案]－[解析]－＝－－2π＝－4π，∴使|θ|最小的θ的值是－.6．用弧度表示终边落在y轴右侧的角的集合为.[答案]{θ|－＋2kπ<θ<＋2kπ，k∈Z}[解析]y轴对应的角可用－，表示，所以y轴右侧角的集合为{θ|－＋2kπ<θ<＋2kπ，k∈Z}．三、解答题7．x正半轴上一点A绕原点依逆时针方向做匀速圆周运动，已知点A每分钟转过θ角(0<θ≤π)，经过2到达第三象限，经过14回到原来的位置，那么θ是多少弧度？[解析]因为0<θ≤π，所以0<2θ≤2π.又因为2θ在第三象限，所以π<2θ<.因为14θ＝2kπ，k∈Z，所以2θ＝，k∈Z.当k分别取4、5时，2θ分别为、，它们都在内．因此θ＝或θ＝.8．设集合A＝{α|α＝kπ，k∈Z}，B＝{β|β＝kπ，≤10，k∈Z}，求与A∩B的角终边相同的角的集合．[解析]设α0∈A∩B，则α0∈A且α0∈B，所以α0＝k1π，α0＝k2π，所以k1π＝k2π，即k1＝k2.因为2|≤10，k2∈Z，且k1∈Z，所以k1＝0，±10.因此A∩B＝{0，－15π，15π}，故与A∩B的角的终边相同的角的集合为{γ|γ＝2kπ或γ＝(2k＋1)π，k∈Z}＝{γ|γ＝nπ，n∈Z}．9．已知扇形的周长为8.(1)若这个扇形的面积为32，求圆心角的大小；(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的弧度数和弦长.[解析](1)设扇形的圆心角为θ，扇形所在圆的半径为x()，依题意有错误!，解得θ＝错误!或6，即圆心角的大小为弧度或6弧度． (2)由于扇形的圆心角θ＝，于是扇形面积S ＝x 2·＝4x －x 2＝－(x －2)2＋4. 故当x ＝2时，S 取到最大值．此时圆心角θ＝＝2(弧度)，弦长＝2·21＝41()．即扇形的面积取得最大值时圆心角为2弧度，弦长为41. 备选题目：1.某蒸汽机上的飞轮直径为20cm ，每分钟按顺时针．．．方向旋转180转，则飞轮每秒钟．．．转过的弧度数是；轮周上的一点每秒钟．．．经过的弧长为. 答案：6π- ，60cm π2 . 已知(0,2π)α∈，且sin 0<α，cos 0>α，则角α的取值范围是（ ） （A ）π(0,)2（B ）π(,π)2（C ）3π(π,)2（D ）3π(,2π)2答案：D3. 下列各角中，与角π3-终边相同的角是 （A ）2π3 （B ）4π3 （C ）5π3（D ）7π3答案：C4. 已知)2,0[πα∈，与角3π-终边相同的角是 （A ）3π （B ）32π （C ）34π（D ）35π答案：D5. 若0sin >α ，且0cos <α ，则角α是A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角 答案：B6 .如图，现要在一块半径为1m 圆心角为3π的扇形金属板AOB 上，剪出一个平行四边形MNPQ ，使点P 在弧AB 上，点Q 在OA 上，点,M N 在OB 上，记MNPQ Y 的面积为S ，则S 的最大值为A.23m B.232m C.233m D.236m O MNABPQ答案：D7 .若(,)22ππ∈-θ，且tan 1>θ，则θ的取值范围是_． 答案：(,)42ππ8 ．已知B A ,是圆O 上两点,2=∠AOB 弧度,2=OA ,则劣弧AB 长度是 . 答案：4。

高中数学必修四第一章：三角函数1.1任意角和弧度制考点1：任意角的概念考点2：终边相同的角考点3：象限角与轴线角1.1.2弧度制考点1：弧度制考点2：弧度制与角度制考点3：用弧度表示有关角考点4：扇形的弧长与面积1.2任意角的三角函数1.2.1任意角的三角函数考点1：任意角的三角函数的定义考点2：三角函数值的符号考点3：诱导公式（一）考点4：三角函数式的化简与证明考点5：三角函数线考点6：三角函数的定义域与值域1.2.2同角三角函数的基本关系考点1：同角三角函数的基本关系考点2：三角函数式的化简考点3：利用sinα，cosα，sinαcos α之间的关系求值考点4：三角函数恒等式的证明1.3三角函数的诱导公式考点1：诱导公式考点2：运用诱导公式化简、求值考点3：诱导公式的综合运用1.4三角函数的图像与性质1.4.1正弦函数、余弦函数的图像1.4.2正弦函数。

余弦函数的性质考点1：函数的周期性考点2:正弦函数与余弦函数的图像考点3：正弦函数与余弦函数的定义域和值域考点4：正弦函数与余弦函数的奇偶性考点5：正弦函数与余弦函数的单调性考点6：正弦函数与余弦函数的对称性1.4.3正切函数的性质与图像考点1：正切函数的图像考点2：正切函数的性质考点3：正切函数的综合问题1.5函数y=Asin（ωx+φ）的综合应用考点1：用“五点法”作函数y=Asin（ωx+φ）的图像考点2：用变换作图法作函数y=Asin（ωx+φ）的图像考点3：由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图像确定其解析式考点4：简谐运动的有关概念考点5：函数y=Asin（ωx+φ）的综合应用1.6三角函数模型的简单应用考点1：利用三角函数定义建立三角函数模型考点2：用拟合法建立三角函数模型考点3：三角函数模型应用的综合问题考法整合：考法1：任意角三角函数定义的灵活运用考法2：山脚函数图像的对称性考法3：三角函数的值域与最值问题考法4：利用图像解题第二章：平面向量2.1平面向量的事件背景及基本概念考点1：平面向量的概念考点2：平行向量（共线向量）、相等向量与相反向量考点3：平面向量的应用2.2平面向量的线性运算2.2.1向量加法运算及其几何意义2.2.2向量减法运算及其集合意义考点1：向量的加法考点2：向量的减法考点3：向量的化简考点4：响亮的加减法应用2.2.3向量数乘运算及其集合意义考点1：向量的数乘运算考点2：向量的线性运算考点3：向量的共线问题考点4：利用向量解决平面几个问题2.3平面向量的基本定理及坐标表示2.3.1平面向量的基本定理考点1：平面向量的基本定理考点2：平面向量基本定理的应用考点3：两个平面向量的夹角2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示2.3.3平面向量的坐标运算2.3.4平面向量共线的坐标表示考点1：平面向量的坐标表示考点2：平面向量的坐标运算考点3：平面向量贡献的坐标表示考点4：线段的定比分点考点5：平面向量坐标表示的应用2.4平面向量的数量积2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义考点1：平面向量的数量积考点2：数量积的性质及其运算律考点3：两向量的夹角考点4：数量积的应用2.4.2平面向量数量积的坐标表示。

年 级 高一 学 科 数学版 本人教新课标B 版课程标题 必修4 第一章第1节任意角的概念与弧度制编稿老师 蔡秀梅 一校 林卉二校黄楠审核孙永涛一、 学习目标：1. 推广角的概念，了解象限角与终边相同的角的概念，并能指出它们的联系。

2. 了解弧度制，能进行弧度与角度的互化。

二、重点、难点重点：了解弧度制，能进行弧度与角度的互化。

难点：弧度的概念，用集合表示终边相同的角。

三、考点分析：1. 了解任意角的概念和弧度制。

2. 理解弧度与角度的互化。

一、任意角1. 任意角是由角的终边按照一定方向旋转而定义的，由于旋转有逆时针和顺时针两种方向，因此旋转所得到的角也有正负之分. 如果角的终边没有做任何旋转，则称该角为零角。

注意：一般情况下，角的始边与x 轴的正半轴重合，顶点在坐标原点。

2. 正确理解直角坐标系中的角 象限角：是指始边与x 轴的正半轴重合，顶点在坐标原点，而终边落在某个象限内的角。

注意：终边落在坐标轴上的角叫轴线角，它不属于任何象限角。

3. 终边相同的角：具有同一终边的角的集合。

与角α终边相同的角可用集合表示为｛β∣360,Z k k βα=+⋅∈ ｝或｛β∣2π,Z k k βα=+∈｝。

二、弧度制1. 等于半径长的圆弧所对的圆心角叫1弧度的角。

2. 如果半径为r 的圆心角α所对的弧长为l ，那么，角α的弧度数的绝对值是rl=α。

3. 弧度制和角度制的相互转化：180π= rad1801()5718πrad '=≈ ，π10.01745180rad rad =≈ 。

知识点一：任意角例1. 设A ={小于90的角}，B ={第一象限的角}，则A B = （ ）A. {锐角}B. {小于90的角}C. {第一象限的角}D. 以上都不对思路分析：小于90的角由锐角、零角、负角组成，而第一象限的角包含有锐角及其他终边在第一象限的角。

解题过程：由分析，A B 由锐角和终边在第一象限的负角组成，所以述A 、B 、C 都不对。