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第八章平面连杆机构设计-精选文档

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第8章平面连杆机构及其设计

第8章平面连杆机构及其设计

B
1
2 3
A
4C
曲柄滑块机构
B
1
2 3
A
4C
摆动导杆机构
导杆机构 转动导杆机构
应用实例:
6E
C
3
2
B 设计：潘存云 4
1
A 5
D
小型刨床
D
3
B2
C
C2
设计：潘存云
4
C1
1
A
牛头刨床
3 选不同的构件为机架
B
1
2 3
A
4C
曲柄滑块机构
B
1
Байду номын сангаас
2 3
A
4C
摇块机构
B
1
2 3
摇块 机构
应应用用实实例例
A
4C
l2
C'
l2l3
l1≤ l2, l1≤ l3, AB为最短杆
l1≤ l4 B' l1
l A 1 设计：潘存云
l l - l 4 4 1
C''
l3
D
曲柄存在的条件：
1. 最长杆与最短杆的长度之和应≤其他两杆长度之和 称为杆长条件。
2. 组成该周转副的两杆中必有一杆为最短杆。
此时，铰链A为周转副。
若取BC为机架，则结论相同，可知铰链B也是周转副。
且θ越大，数K。值越大，急回性质越明显。 设计新机械时，往往先给定K值，于是: 180 K 1
K 1
• 在曲柄摇杆机构中，当曲柄等速回转情况下，通 常把摇杆往复摆动速度快慢不同的运动称为急回 运动。
• 曲柄摇杆机构的急回运动程度可以用从动件空回 行程平均速度v2和工作行程平均速度v1的比值K 来衡量，称为行程速度变化系数。

机械设计基础第八章平面连杆机构及其设计

机械设计基础第八章平面连杆机构及其设计

b)曲柄转过 2 180
摇杆上C点摆过：C2C1
所用时间：
t2
2 1
180 1
1 2 t1 t2
c)设两过程的平均速度为V1、V2：
V1
C1C2 t1
;V2
C2C1 t2
t1 t2
V2 V1 回程速度大于正行程速度。
注意！ 急回作用具有方向性,当原动件的回转方向改变时,急回的行 程也随之改变。
B1
r
A
C1 B2
B
e
l
C C2
D
思考：对心曲柄滑块机构 有曲柄的条件？
第四十页，编辑于星期日：十五点 八分。
二、急回运动特性(Quick return property)
1. 概念
✓极 位 — — 输 出 构 件 的 极 限 位 置
✓摆 角 φ — — 两极限位置所夹的锐角
✓极位夹角 ——当输出构件在两极位时，原动件所处两个位置之间所
第二页，编辑于星期日：十五点 八分。
第三页，编辑于星期日：十五点 八分。
二、连杆机构的特点
优点：
①连杆机构为低副机构，运动副为面接触，压强小，承载能力大， 耐冲击；
② 运动副元素的几何形状多为平面或圆柱面，便于加工制造；
③在原动件运动规律不变情况下，通过改变各构件的相对长度可以 使从动件得到不同的运动规律； ④可以连杆曲线可以满足不同运动轨迹的设计要求。
2
C
柄滑块机构
A
4
3
B
偏置 (offset)曲 1 柄滑块机构 A
2
C
4
3
功能： 连 续 转 动
往复移动
第十八页，编辑于星期日：十五点 八分。
应

第8章-平面连杆机构及其设计

第8章-平面连杆机构及其设计

B1
C1
B2
C2
min=00
min=00
B
A
C
B1
C１
min=00
C2
B2
min=00
F
v
死点位置——机构传动角γ=0 0 时的位置。
注意：曲柄摇杆机构和曲柄滑块机构， 曲柄主动时无死点位置。
克服死点的措施：
1）利用从动件和飞轮的惯性；
2）对从动件施加额外的力；
3）错位排列；
G
G’
C
A
B
D
C1
C2
错位不连续
杆组装配模式应始终保持一致
错序不连续
C1
A
B3
D
C1
C2
B4
B1
B2
C3
例：已知连杆三位置，设计四杆机构。
B1
C1
B2
C2
C3
B3
A
D
出现运动错位不连续。
措施？
另选铰链B、C位置。
C1’
AB1
DC1
若AB主动：
AB2
DC2
AB3
DC3
AB1
DC1’
DC1
AB1
若DC主动：
D
a
b
c
d
2
1
C2
B2
C1
B1
最小传动角 出现在曲柄与机架共线时。
重叠共线时：
拉直共线时：
讨论：标出下列机构在图示位置的压力角α、传动角γ；及最小传动角γmin。
注意：曲柄滑块机构曲柄主动时，γmin在曲柄与导路垂直的位置（两位置之一）。
max
min
a
B
b
A

第8章 平面连杆机构及其设计

第8章 平面连杆机构及其设计
（1）改变构件的形状和运动尺寸 （改变杆的相对长度，使转动副变为移动副）
C B A 1
3
2

曲柄滑块机构
4
偏置曲柄滑块机构 （ e > 0)
对心曲柄滑块机构
(e = 0)
含两个移动副的四杆机构
对心曲柄滑块机构 变连杆 为滑块 双滑块机构
连杆尺寸 为无穷大 正弦机构
从动件3的位移与原 动件1的转角成正比：
C B C2 C1
B1 A D
B2
曲柄滑块机构的死点位置
出现死点位置的条件：
（1）用有极限位置的构件作原动件； （2）当原动件处于极限位置时，连杆与从动件共线。 判断下列机构中有没有死点位置。
传动机构中使机构通过死点的措施： 措施一：采用将两个以上的并列机构错位组合的方法，即使当其 中一个机构处于死点位置时，另一个并列机构不处于死点位置。
对心曲柄滑块机构 e0，没有急回运动
偏置曲柄滑块机构 e0，有急回运动
摆动导杆机构的急回运动
1 q=
A
2 w1
B
D
摆动导杆机构
有急回特性的机构：部分曲柄摇杆机构、偏置曲柄滑块机构、 摆动导杆机构、具有曲柄的多杆机构
无急回特性的机构：正弦机构、对心曲柄滑块机构、平行四 边形机构
机构急回的作用：节省空回时间，提高工作效率。 注意：急回具有方向性
2.含一个移动副四杆运动链中转动副为整转副的 充分必要条件（曲柄滑块有曲柄的条件）
a b e
b-a≥e b≥ a+e
当 e=0时 b ≥ a
2.行程速度变化系数
曲柄摇杆机构急回
（1）. 机构极位（极限位 置）：曲柄回转一周，与连 杆两次共线，此时摇杆分别 处于两个位置，称为机构极 位。 （2）. 极位夹角：机构在两 个极位时，原动件所处两个 位置之间所夹的θ称为极位夹 角。 实际上，极位夹角不一定是 锐角。一般K≤2，q为锐角。 （3）. 急回运动： 摇杆C点平均速度 v2 ＞ v1 t1 ＞ t2

精品课件!《机械原理》_第八章 平面连杆机构及其设计精选全文

精品课件!《机械原理》_第八章 平面连杆机构及其设计精选全文

1. 运动特性
曲柄存在条件 杆长条件 最短杆条件
急回特性 极位夹角 行程速比系数
2. 传力特性
压力角和传动角 死点
小结
平面四杆机构的基本知识
要求：
正确理解和掌握平面机构 工作特性的有关概念；
用有关工作特性检验机构 的运动和传力性能；
运用有关概念设计性能优 良的机构。
§8-4 平面四杆机构的设计
即要求连杆能占据一系列预定位置（又称刚体导引问题）。
小型电炉炉门的开闭机构
3. 实现给定的运动轨迹 即要求在机构的运动过程中，连杆上某些点的轨迹能满足预定的 轨迹要求。 鹤式起重机 搅拌机构
连杆机构的设计方法： 图解法、解析法、图谱法和实验法。
平面四杆机构的设计
二. 用图解法设计四杆机构 （一）. 按连杆预定的位置设计 ➢图解设计问题—作图求解各铰链中心的位置问题
第八章 平面连杆机构及其设计
§8-1 连杆机构及其传动特点 §8-2 连杆机构的类型和应用 §8-3 平面四杆机构的基本知识 §8-4 平面四杆机构的设计 §8-5 多杆机构
§8-1 连杆机构及其传动特点
1.应用举例 例 铰链四杆机构
C
2
B
B
31
1
4
A
此类机构的共同特点：
DA
机构的原动件1和从动件3运动都需要经过连杆2来传动， 故 此类机构统称为连杆机构。
α e A max
C'
平面四杆机构的基本知识
4.死点
以摇杆CD为主动件，则当连杆与从动件曲柄共线时，机构 的传动角γ＝0°，这时主动件CD通过连杆作用于从动件AB上的 力恰好通过其回转中心，出现了不能使构件AB转动的“顶死”现 象，机构的这种位置称为“死点”

第八章 平面连杆机构及其设计2019

第八章 平面连杆机构及其设计2019
连杆机构 由若干刚性构件用低副联接而成的机构，又称为低副机构。
平面连杆机构 连杆机构
空间连杆机构
4
2.平面连杆机构的特点
优点： （1）承受载荷大，便于润滑 （2）制造方便，易获得较高的精度 （3）两构件之间的接触靠几何封闭实现 （4）较好实现多种运动规律和轨迹要求
5
缺点： （1）惯性力不易平衡，常应用于中低速场合
（2）解析法
65
2.函数机构设计
设计方法：图解法、解析法、数值比较法 （1）解析法
66
a as cio n s(( 0 0 )) b b sc io ns cd si n(c c0 os ( 0 ))
b 2 a 2 c 2 d 2 2 c d c o s (0 ) 2 a d c o s (0 )
39
（2）急回运动
在曲柄等速回转情况下，摇杆往复摆动速度快慢 不同的运动。
（3）行程速比系数
从动件快速行程平均速度 K 从动件慢速行程平均速度
为衡量摇杆急回作用的程度，通常把从动件往复摆 动平均速度的比值（大于1）称为行程速比系数，并用K 来表示。
40
K 3 3 tt1 2 1 2// 1 1 1 21 18 80 0
（1）周转副和摆转副
周转副
连架杆 曲柄 周转副
机架
连杆 曲柄摇杆机构
摆转副 连架杆
摇杆 摆转副
31
(2)周转副存在条件
adbc
abdc acdb
铰链四杆机构
AB整周转动
ac
ab
B1C1D和B2C2D成立
ad
结论：
（1）构成周转副的两个构件中，必有一个是最短杆。
32

机械设计_第8章平面连杆机构及其设计

机械设计_第8章平面连杆机构及其设计
CC 3334
22
B
自卸卡车举升机构
湖南理工学院专用
作者： 潘存云教授
(3)选不同的构件为机架
B
1
2 3
A
4C
曲柄滑块机构
B
1
2 3
B
1
2 3
A
4C
摇块机构
A1 B
42
A
4C
导杆机构
C3
A
44A
1 B
2 作者：潘存云教授
3C
直动滑杆机构 手摇唧筒
这种通过选择不同构件作为机架以获得不同机构的
方法称为： 机构的倒置
作者：潘存云教授
料斗
湖南理工学院专用
作者： 潘存云教授
平行四边形机构在共线位置出现运 动不确定。采用两组机构错开排列。
B’
F’
C’
A’
E’
D’
G’
作者：潘存云教授
火车轮
A
E
D
G
B
F
C
反平行四边形机构 --车门开闭机构
作者：潘存云教授
反向
湖南理工学院专用
作者：潘存云教授
作者： 潘存云教授
（3）双摇杆机构 特征：两个摇杆 应用举例：铸造翻箱机构 、风扇摇头机构
§8－3 有关平面四杆机构的一些基本知识
1.平面四杆机构有曲柄的条件
平面四杆机构具有整转副→可能存在曲柄。
设a<d,连架杆若能整周回转，必有两次与机架共线
三角形任意两边之和大于第三边
则由△B’C’D可得： a+d ≤ b + c
则由△B”C”D可得： b≤(d – a)+ c → a+b ≤ c + d

第8章 平面连杆机构及其设计

第8章 平面连杆机构及其设计

（a）等效曲柄滑块机构 （b）曲柄滑块机构 （c）等效曲柄摇杆机构 （d) 曲柄摇杆机构
特点：偏心轮机构结构简单，容易加工；偏心轮轴颈的强度和 刚度大，且易于安装整体式连杆，工作时轮滑条件和受力情况 好；广泛用于曲柄长度要求较短、冲击在和较重载荷的机械中。
53
8-2 平面四杆机构的类型和应用
应用举例：蒸汽机换气阀传动机构、冲压机传动机构等。
第8章 平面连杆机构及其设计
第8章 平面连杆机构及其设计
1
第8章 平面连杆机构及其设计
案例导入
案例分析：如图所示为缝纫机踏板机构，为其 机构运动简图和结构示意图。缝纫机传动路线为:操 作者踩踏踏板使摇杆1（原动件）往复摆动→连杆2 驱→曲柄3（从动件）→带动带轮使机头主轴连续转 动。
缝纫机踏板机构
特殊情况：
等腰梯形机构
（两摇杆长相等） 实例：汽车车轮的转向机构
（3）功能：将一种摆动转换为另一种摆动。
36
8-2 平面四杆机构的类型和应用
想一想 练一练 请根据下列机构的运动情 况，判断其属于哪类铰链四杆 机构？
水排以鼓风炼铁
飞机起落架
37
8-2 平面四杆机构的类型和应用
二、平面四杆机构的演化：
54
8-2 平面四杆机构的类型和应用
◎铰链四杆机构中两个转动副转化为移动副
– 双滑块机构是具有两个移动副的四杆机构。可以认为是 由铰链四杆机构中的两杆长度趋于无穷大而演化成的。 – 按照两个移动副所处位置的不同，可将双滑块机构分成 四种型式。
55
8-2 平面四杆机构的类型和应用
1、曲柄移动导杆机构
3、扩大转动副尺寸
偏心轮机构
51
8-2 平面四杆机构的类型和应用

机械原理第八章 平面连杆机构及其设计 孙恒版

机械原理第八章 平面连杆机构及其设计 孙恒版

当 ∠BCD ≤ 90°时，γ＝∠BCD 当 ∠BCD ＞ 90°时，γ＝180°- ∠BCD
当∠BCD最小或最大时，即在主动曲柄与机架共线的 位置，都有可能出现γmin
平面连杆机构的运动和动力特性
根据余弦定律， 1.当 ∠B1C1D ≤ 90°（φ = 0）时，
min
2 l 2 l32 (l 4 l1 ) 2 arccos 2l 2 l3
题6-3图
欲设计一个铰链四杆机构，机构的输入运动为单向连续转动，确 定在下列情况下，应取哪一个构件为机架？①输出运动为往复摆动； ②输出运动也为单向连续转动。
解：①当输出运动为往复摆动时，机构应为曲柄摇杆机构， 此时应取四杆中最短杆的相邻杆，即b或d作为机架。 ②当输出运动也为单向连续转动时，机构应为双曲柄机构， 此时应取四杆中的最短杆，即a作为机架。
平面连杆机构的类型、特点和分类
小型刨床
（转动导杆机构）
牛头刨床
（摆动导杆机构）
(3) 扩大转动副
曲柄滑块机构
将转动副B加大，直至把 转动副A包括进去，成为 几何中心是B，转动中心 为A的偏心圆盘。
偏心轮机构
(4) 变换构件的形态
平面连杆机构的类型、特点和分类
曲柄摇块机构
摆动导杆机构
将低副两运动副元素的包容关系进行逆换，不影响两 构件之间的相对运动。
▲组成该周转副的两杆中必有一杆为 最短杆。
曲柄存在的条件: ▲最长杆与最短杆的长度之和 此时，铰链A、B均 为周转副。 当满足杆长条件时，其最短杆上的转动副都是周转副。 ≤其他两杆长度之和 ▲连架杆之一或机架为最短杆。
思考与测验
1、铰链四杆机构存在曲柄的必要条件是最短杆与最长杆长度之和 其 他两杆之和 A <=； B >=； C > 。 2、铰链四杆机构存在曲柄的必要条件是最短杆与最长杆长度之和小于或等于 其他两杆之和，而充分条件是取 为机架。 A 最短杆或最短杆相邻边； B 最长杆； C 最短杆的对边。 3、铰链四杆机构中，若最短杆与最长杆长度之和小于其余两杆长度之和， 当以 为 机架时，有两个曲柄。 A 最短杆相邻边； B 最短杆； C 最短杆对边。 4、在题6-3图的四杆闭运动链中，已知

第8章平面连杆机构及其设计

第8章平面连杆机构及其设计
徐州工程学院
二、特点(Characteristics) 1、优点(Advantage) ： 1）运动副都是低副，低副两元素为面接触，所以耐磨损， 承载大； 2）低副两元素几何形状简单，是圆柱面或平面，所以制 造简单，容易获得较高的制造精度； 3）可以实现不同的运动规律和特定轨迹要求。如：
实现特定运动规律的牛头刨床（图c）； 实现特定轨迹要求的椭圆仪（图d）。
(Evolution of Planar Four-bar Linkage)
1、四杆机构演化的目的： 满足运动方面的要求、改善受力状况、满足结构设 计上的要求。 2、四杆机构的演化方法： 1）改变构件的形状和运动尺寸
摇杆3做成滑块 ββ做成导轨
具有曲线导 轨的曲柄滑 块机构
图8－13 a ）
图8－13 b ）
徐州工程学院
图8－13 a ）
摇杆长→∞, ββ →直线 摇杆3 →滑块， 转动副D →移动副 偏置(eccentric or e≠0
offset)
对心(in-line) e=0 图8－14 曲柄滑块机构
曲柄滑块机构(slider-crank mechanism)常用在冲床、 内燃机、空压机等机械中。
徐州工程学院
70≤LCD≤90
二、急回运动和行程速比系数(Quick-return Motion and
Coefficient of Travel Speed Ratio)
1、曲柄摇杆机构 图8-26所示为曲柄摇杆机构， 主动曲柄AB以ω1方向转动。 在曲柄转动一周过程中，有 两次与连杆BC共线（AB1C1重叠 共线、AB2C2拉直共线），这时 摇杆CD的位置CD1、CD2分别位 于其左、右极限位置。
a为最短杆
2）组成该转动副的两杆中必有一杆是最短杆。 上述条件表明：如各杆长动 徐州工程学院 副（C 、D）则为摆转副。
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双摇杆机构
Байду номын сангаас
2、 平面四杆机构的演变型式
（1）改变构件的形状和运动尺寸 （2）改变运动副的尺寸 （3）选用不同的构件为机架 （4）运动副元素的逆换
移动副可认为是转动中心在无穷远处的转动副演化而来。
2、 平面四杆机构的演变型式
（1）改变构件的形状和运动尺寸 （2）改变运动副的尺寸 （3）选用不同的构件为机架 （4）运动副元素的逆换
第八章 平面连杆机构及其设计
——用低副连接而成的平面机构。
§8－1 连杆机构及其传动特点
连杆机构是一种应用十分广泛的机构。 连杆机构型式的例子。 例1 铰链四杆机构 例2 曲柄滑块机构 例3 导杆机构 应用实例：契贝谢夫四足机构
特点： 1）其原动件的运动都要经过一个不直接与机架 相联的中间构件才能传动从动件，中间构件称为连杆。 这些机构统称为连杆机构。 2）这些机构中的运动副一般均为低副。故连杆 机构也称低副机构。
3)可实现多种形式的运动变换和运动规律。当原动件的运动规律不变，可
用改变各构件的相对长度来使从动件得到不同的运动规律。
4) 具有丰富的连杆曲线形状。连杆上各点的轨迹是各种不同形状的曲线(称为连杆
曲线)，其形状还随着各构件相对长度的改变而改变，从而可以得到形式众多的连杆曲线，可满足不同 轨迹的设计要求。
（2）铰链四杆机构的类型
1）曲柄摇杆机构 两个连架杆中一为曲柄，另一为摇杆 2）双曲柄机构 两个连架杆均为曲柄 若相对两杆平行且长度相等则称其为平行四边形机构。 若双曲柄机构中两相对杆的长度分别相等，但不平行则 称其为逆平行四边形机构。
3）双摇杆机构 两个连架杆均为摇杆
曲柄摇杆机构
双曲柄机构
平行四边形机构及应用
缺点： ①由于连杆机构的运动必须经过中间构件进行传递，因而传递路 线较长，易产生较大的误差积累，同时，也使机械效率降低。 ②连杆机构不宜用于高速运动在连杆机构运动过程中，连杆及滑块的质心都在作变
速运动，所产生的惯性力难于用一般平衡方法加以消除，因而会增加机构的动载荷。
③ 虽然可以利用连杆机构来满足一些运动规律和运动轨迹的设计 要求，但其设计却是十分繁难的，且一般只能近似地得以满足。
取最短构件任一相邻构件为机架
取最短构件对面的构件为机架
——双摇杆机构
曲柄滑块机构有曲柄的条件
B
1
A
e
a
B
2
b
C
E
C
1
2
△ △
AC1E：b-a>e AC2E：a+b>e
即有曲柄的条件:b>a+e e=0, b>a
2、急回运动和行程速比系数
某些机构（如曲柄摇杆机构）中，原动件作匀速转动，从动 件作往复运动的机构，从动件正行程和反行程的平均速度不 相等。——急回运动
2、 平面四杆机构的演变型式
（1）改变构件的形状和运动尺寸 （2）改变运动副的尺寸 （3）选用不同的构件为机架 （4）运动副元素的逆换 1 2 3
4
构件4为机架——曲柄滑块 构件1为机架——转动导杆 构件2为机架——曲柄摇块
构件3为机架——移动导杆
2、 平面四杆机构的演变型式
（1）改变构件的形状和运动尺寸 （2）改变运动副的尺寸 （3）选用不同的构件为机架 （4）运动副元素的逆换
（1）连架杆或机架为运动链中的最短杆。
（2）最短杆与最长杆的长度之和小于等于其它两杆长度之和。 （杆长之和的条件）
平面四杆机构的类型判别 （1）最短构件与最长构件的长度之和大于其他两构件长度之 和，所有运动副均为摆动副，均为——双摇杆机构。 （2）最短构件与最长构件的长度之和小于等于其他两构件 长度之和，最短构件上两个转动副均为整转副。 取最短构件为机架 ——双曲柄机构 ——曲柄摇杆机构
A
B1
曲柄为从动件，当机构处于曲柄和连 杆共线的两个位置时，原动件通过连 杆作用于曲柄的力通过曲柄转动中心， 不产生转矩。
γ =0 ,α=90
B2 P C1 D
机构停在死点位置，不能起动。 运转时，靠惯性冲过死点。
C2
克服死点的方法
• 采用两组以上相同机构组合并以互相错开 排列的方法使用,如机车车轮驱动机构； • 采用安装飞轮加大惯性的方法。安装飞轮 加大惯性，借其惯性作用使机构闯过死点 位置,如缝纫机踏板机构中的大带轮（即兼 有飞轮的作用）。
连杆机构的传动特点
1) 运动副一般均为低副。低副两运动副元素为面接触，压强较小，故的载荷；且有利于
润滑，磨损较小；此外，运动副元素的几何形状较简单，便于加工制造。
2) 构件多呈现为杆的形状（故常简称构件为杆）可以很方便地用来
达到增力、扩大行程和实现远距离传动等目的。此外，构件的几何形状也较简单，便于加工制造。
急回作用的意义及其方向性
• 机械中常被用来节省空回行程的时间，以 提高劳动生产率。例如在牛头刨床中采用 摆动导杆机构就有这种目的。
• 急回作用有方向性，当原动件的回转方向 改变，急回的行程也跟着改变。故在牛头 刨床等设备上都用明显的标志标出了原动 件的正确回转方向。
3、压力角和传动角
4、死点位置
§8－2 平面四杆机构的类型和应用
1、平面四杆机构的基本型式
(1)铰链四杆机构：构件之间都是用转动副联接它是平面四杆机构
的基本型式，其他型式的四杆机构可认为是它的演化型式。
C
机架——固定不动的构件。 连架杆——与机架相联接的构件。 分为：曲柄——能整周转动
2 B 1 A
3
4
D
摇杆——不能整周转动 连杆——不直接和机架相联的构件
（若1能绕A整周相对转动，则存在两个特殊位置） a+d≤b+c b<c+d-a即a+b≤c+d (1) (2)
c<b+d-a即a+c≤b+d
(3)
a+d≤b+c
a+b≤c+d a+c≤b+d
(1)
(2) (3)
(1)+(2)得2a+b+d≤2c+b+d即a≤c (1)+(3)得 a≤b (2)+(3)得 a≤d 由此可见，铰链四杆机构曲柄存在的条件是：
3.平面四杆机构的应用
（1）基本型式的四杆机构的应用 （2）演化型式的四杆机构的应用
3.平面四杆机构的应用
（1）基本型式的四杆机构的应用 （2）演化型式的四杆机构的应用
§8－3 平面四杆机构的基本知识
1、 平面四杆机构有曲柄存在的条件
C B a1 A b 2 3 c d 4 D B1 b a A C1 B2 d 4 c D A a B2 d 4 C2 b c D