山东省学业水平考试数学一

泰安市2023年初中学业水平考试数学试题一、选择题1.23-的倒数是（）A.23B.23- C.32D.32-2.下列运算正确的是（）A.235a b ab +=B.222()a b a b -=-C.()3235ab a b = D.()3253412a aa⋅-=-3.2023年1月17日，国家航天局公布了我国嫦娥五号月球样品的科研成果．科学家们通过对月球样品的研究，精确测定了月球的年龄是20.3亿年，数据20.3亿年用科学记数法表示为（）A.82.0310⨯年B.92.0310⨯年C.102.0310⨯年D.920.310⨯年4.小亮以四种不同的方式连接正六边形的两条对角线，得到如下四种图形，则既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A.B.C.D.5.把一块直角三角板和一把直尺如图放置，若135∠=︒，则2∠的度数等于（）A .65︒B.55︒C.45︒D.60︒6.为了解学生的身体素质状况，国家每年都会进行中小学生身体素质抽测．在今年的抽测中，某校九年级二班随机抽取了10名男生进行引体向上测试，他们的成绩（单位：个）如下：7，11，10，11，6，14，11，10，11，9．根据这组数据判断下列结论中错误．．的是（）A.这组数据的众数是11B.这组数据的中位数是10C.这组数据的平均数是10D.这组数据的方差是4.67.如图，AB 是O 的直径，D ，C 是O 上的点，115ADC ∠=︒，则BAC ∠的度数是（）A.25︒B.30︒C.35︒D.40︒8.一次函数y ax b =+与反比例函数aby x=（a ，b 为常数且均不等于0）在同一坐标系内的图象可能是（）A. B.C. D.9.如图，O 是ABC 的外接圆，半径为4，连接OB ，OC ，OA ，若40CAO ∠=︒，70ACB ∠=︒，则阴影部分的面积是（）A.4π3B.8π3C.16π3D.32π310.《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金、银各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等，两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计），问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x 两，每枚白银重y 两．根据题意得（）A.()()11910813x y y x x y =⎧⎨+-+=⎩，．B.10891311y x x y x y +=+⎧⎨+=⎩，．C.()()91110813x y y x x y =⎧⎨+-+=⎩，． D.()()91181013x yx y y x =⎧⎨+-+=⎩．11.如图，ABC 是等腰三角形，36AB AC A =∠=︒，．以点B 为圆心，任意长为半径作弧，交AB 于点F ，交BC 于点G ，分别以点F 和点G 为圆心，大于12FG 的长为半径作弧，两弧相交于点H ，作射线BH 交AC 于点D ；分别以点B 和点D 为圆心，大于12BD 的长为半径作弧，两孤相交于M 、N 两点，作直线MN 交AB 于点E ，连接DE ．下列四个结论：①AED ABC ∠=∠；②BC AE =；③12ED BC =；④当2AC =时，51AD =．其中正确结论的个数是（）A.1B.2C.3D.412.如图，在平面直角坐标系中，Rt AOB △的一条直角边OB 在x 轴上，点A 的坐标为(64)-，；Rt COD中，9030COD OD D ∠=︒=∠=︒，，连接BC ，点M 是BC 中点，连接AM ．将Rt COD 以点O 为旋转中心按顺时针方向旋转，在旋转过程中，线段AM 的最小值是（）A.3B.4C.2- D.2二、填空题13.已知关于x 的一元二次方程240x x a --=有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是_______．14.为了测量一个圆形光盘的半径，小明把直尺、光盘和三角尺按图所示放置于桌面上，并量出4cm AB =，则这张光盘的半径是_______cm ．（精确到0.1cm 173≈．）15.二次函数234y x x =--+的最大值是__________．16.在一次综合实践活动中，某学校数学兴趣小组对一电视发射塔的高度进行了测量．如图，在塔前C 处，测得该塔顶端B 的仰角为50︒，后退60m （60m CD =）到D 处有一平台，在高2m （2m DE =）的平台上的E 处，测得B 的仰角为266︒.．则该电视发射塔的高度AB 为_______m ．（精确到1m ．参考数据：tan 50 1.2tan 26.60.5︒≈︒≈，）17.如图，在ABC 中，16AC BC ==，点D 在AB 上，点E 在BC 上，点B 关于直线DE 的轴对称点为点B '，连接DB '，EB '，分别与AC 相交于F 点，G 点，若87,4AF DF B F '===，，则CG 的长度为__________．18.已知，12345678,,,OA A A A A A A A △△△都是边长为2的等边三角形，按下图所示摆放．点235,,,A A A 都在x 轴正半轴上，且2356891A A A A A A ==== ，则点2023A 的坐标是______．三、解答题19.（1）化简：2211025224x x x x x -++⎛⎫-÷ ⎪+-⎝⎭；（2）解不等式组：2731132x x x +>⎧⎪+-⎨>⎪⎩．20.2022年10月16日至10月22日，中国共产党第二十次全国代表大会在北京召开．为激励青少年争做党的事业接班人，某市团市委在党史馆组织了“红心永向党”为主题的知识竞赛，依据得分情况将获奖结果分为四个等级：A 级为特等奖，B 级为一等奖，C 级为二等奖，D 级为优秀奖．并将统计结果绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图．请根据相关信息解答下列问题：（1）本次竞赛共有______名选手获奖，扇形统计图中扇形C 的圆心角度数是______度；（2）补全条形统计图；（3）若该党史馆有一个入口，三个出口．请用树状图或列表法，求参赛选手小丽和小颖由馆内恰好从同一出口走出的概率．21.如图，一次函数122y x =-+的图象与反比例函数2ky x=的图象分别交于点A ，点B ，与y 轴，x 轴分别交于点C ，点D ，作AE y ⊥轴，垂足为点E ，4OE =．（1）求反比例函数的表达式；（2）在第二象限内，当12y y <时，直接写出x 的取值范围；（3）点P 在x 轴负半轴上，连接PA ，且PA AB ⊥，求点P 坐标．22.为进行某项数学综合与实践活动，小明到一个批发兼零售的商店购买所需工具．该商店规定一次性购买该工具达到一定数量后可以按批发价付款，否则按零售价付款．小明如果给学校九年级学生每人购买一个，只能按零售价付款，需用3600元；如果多购买60个，则可以按批发价付款，同样需用3600元，若按批发价购买60个与按零售价购买50个所付款相同，求这个学校九年级学生有多少人？23.如图，矩形ABCD 中，对角线AC BD ，相交于点O ，点F 是DC 边上的一点，连接AF ，将ADF△沿直线AF 折叠，点D 落在点G 处，连接AG 并延长交DC 于点H ，连接FG 并延长交BC 于点M ，交AB的延长线于点E ，且AC AE =．（1）求证：四边形DBEF 是平行四边形；（2）求证：FHME =．24.如图，ABC 、CDE 是两个等腰直角三角形，EF AD ⊥．（1）当AF DF =时，求AED ∠；（2）求证：EHG ADG ∽△△；（3）求证：AE ACEH HC=．25.如图1，二次函数24y ax bx =++的图象经过点(4,0),(1,0)A B --．（1）求二次函数的表达式；（2）若点P 在二次函数对称轴上，当BCP 面积为5时，求P 坐标；（3）小明认为，在第三象限抛物线上有一点D ，使90DAB ACB +=︒∠∠；请判断小明的说法是否正确，如果正确，请求出D 的坐标；如果不正确，请说明理由．泰安市2023年初中学业水平考试数学试题一、选择题1.23-的倒数是（）A.23B.23-C.32D.32-【答案】D 【解析】【分析】根据乘积是1的两个数叫做互为倒数解答．【详解】解：∵23132⎛⎫⎛⎫-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴23-的倒数是32-，故选：D ．【点睛】本题考查倒数的定义，掌握互为倒数的两个数积为1，是解题的关键．2.下列运算正确的是（）A.235a b ab +=B.222()a b a b -=-C.()3235ab a b = D.()3253412a aa⋅-=-【答案】D 【解析】【分析】A 、不能合并，本选项错误；B 、利用完全平方公式展开得到结果，即可作出判断；C 和D 、利用积的乘方及幂的乘方运算法则计算得到结果，即可作出判断．【详解】解：2a 和3b 不是同类项，不能合并，故A 选项错误，不符合题意；222()2a b a ab b -=-+，故B 选项错误，不符合题意；()3236ab a b =，故C 选项错误，不符合题意；()3253412a a a ⋅-=-，故D 选项正确，符合题意；故选：D ．【点睛】此题考查了完全平方公式，合并同类项，同底数幂的除法，积的乘方与幂的乘方，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键.3.2023年1月17日，国家航天局公布了我国嫦娥五号月球样品的科研成果．科学家们通过对月球样品的研究，精确测定了月球的年龄是20.3亿年，数据20.3亿年用科学记数法表示为（）A.82.0310⨯年B.92.0310⨯年C.102.0310⨯年D.920.310⨯年【答案】B 【解析】【分析】科学记数法的表现形式为10n a ⨯的形式，其中110a ≤<，n 为整数，确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n 是正数，当原数绝对值小于1时n 是负数；由此进行求解即可得到答案．【详解】解：20.3亿年2030000000=年92.0310=⨯年，故选B ．【点睛】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义．4.小亮以四种不同的方式连接正六边形的两条对角线，得到如下四种图形，则既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】D 【解析】【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形；根据中心对称图形的概念：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180度后与原图重合，即可得到答案．【详解】解：A 、既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故该选项不符合题意；B 、既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故该选项不符合题意；C 、既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故该选项不符合题意；D 、是轴对称图形也是中心对称图形，故该选项符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形，掌握概念是解题关键．5.把一块直角三角板和一把直尺如图放置，若135∠=︒，则2∠的度数等于（）A.65︒B.55︒C.45︒D.60︒【答案】B 【解析】【分析】如图所示，过点O 作OE ∥AB ，则OE AB CD ∥∥，由平行线的性质得到21EOC AOE ==∠∠，∠∠，进而推出1290∠+∠=︒，由此即可得到答案．【详解】解：如图所示，过点O 作OE ∥AB ，∵AB CD ，∴OE AB CD ∥∥，∴21EOC AOE ==∠∠，∠∠，∵90AOC EOC AOE =+=︒∠∠∠，∴1290∠+∠=︒，∵135∠=︒，∴290155∠=︒-=︒∠，故选B ．【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，正确作出辅助线是解题的关键．6.为了解学生的身体素质状况，国家每年都会进行中小学生身体素质抽测．在今年的抽测中，某校九年级二班随机抽取了10名男生进行引体向上测试，他们的成绩（单位：个）如下：7，11，10，11，6，14，11，10，11，9．根据这组数据判断下列结论中错误．．的是（）A.这组数据的众数是11B.这组数据的中位数是10C.这组数据的平均数是10D.这组数据的方差是4.6【答案】B【解析】【分析】根据众数的定义，中位数，平均数，方差的计算方法即可求解．【详解】解：A 、这组数据中出现次数最多的是11，故众数是11，正确，不符合题意；B 、这组数据重新排序为：6，7，9，10，10，11，11，11，11，14，故中位数是101110.52+=，错误，符合题意；C 、这组数据的平均数是71110116141110119100101010+++++++++==，故平均数是10，正确，不符合题意；D 、这组数据的平均数是10，方差是2222(107)(1011)(109) 4.610S ⎡⎤-+-++-⎣⎦== ，故方差是4.6，正确，不符合题意；故选：B ．【点睛】本题主要考查调查与统计中的相关概念和计算，掌握众数的概念，中位数，平均数，方差的计算方法是解题的关键．7.如图，AB 是O 的直径，D ，C 是O 上的点，115ADC ∠=︒，则BAC ∠的度数是（）A.25︒B.30︒C.35︒D.40︒【答案】A【解析】【分析】根据圆内接四边形对角互补和直径所对圆周角等于90度求解即可．【详解】解：∵115ADC ∠=︒，∴65B ∠=︒，∵AB 是O 的直径，∴90ACB ∠=︒，∴180906525BAC ∠=︒-︒-︒︒=，故选：A ．【点睛】本题考查圆的性质，涉及到圆内接四边形对角互补和直径所对圆周角等于90度，熟记知识点是关键．8.一次函数y ax b =+与反比例函数ab y x=（a ，b 为常数且均不等于0）在同一坐标系内的图象可能是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先根据一次函数图象确定a 、b 的符号，进而求出ab 的符号，由此可以确定反比例函数图象所在的象限，看是否一致即可．【详解】解：A 、∵一次函数图象经过第一、二、三象限，∴00a b >>，，∴0ab >，∴反比例函数ab y x=的图象见过第一、三象限，这与图形不符合，故A 不符合题意；B 、∵一次函数图象经过第一、二、四象限，∴00a b <>，，∴0ab <，∴反比例函数ab y x=的图象见过第二、四象限，这与图形不符合，故B 不符合题意；C 、∵一次函数图象经过第一、三、四象限，∴00a b ><，，∴0ab <，∴反比例函数ab y x=的图象见过第二、四象限，这与图形不符合，故C 不符合题意；D 、∵一次函数图象经过第一、二、四象限，∴00a b <>，，∴0ab <，∴反比例函数ab y x=的图象见过第二、四象限，这与图形符合，故D 符合题意；故选D ．【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数图象和性质，熟练掌握相关性质与函数图象的关系是解决本题的关键．9.如图，O 是ABC 的外接圆，半径为4，连接OB ，OC ，OA ，若40CAO ∠=︒，70ACB ∠=︒，则阴影部分的面积是（）A.4π3B.8π3C.16π3D.32π3【答案】C【解析】【分析】先根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求得180302120BOC ∠=︒-︒⨯=︒，再根据扇形的面积公式即可求解．【详解】解：∵OC OB =，OA OC =，40CAO ∠=︒，∴40OCA OAC ∠=∠=︒，OCB OBC ∠=∠，∵70ACB ∠=︒，∴704030OBC OCB ACB ACO ∠=∠=∠-∠=︒-︒=︒，∴180302120BOC ∠=︒-︒⨯=︒，∴22120116ππ4π36033S r ︒=⨯=⨯⨯=︒阴影，故选：C ．【点睛】本题考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理以及扇形的面积公式等知识，求出120BOC ∠=︒是解答的关键．10.《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金、银各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等，两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计），问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x 两，每枚白银重y 两．根据题意得（）A .()()11910813x y y x x y =⎧⎨+-+=⎩，．B.10891311y x x y x y +=+⎧⎨+=⎩，．C.()()91110813x y y x x y =⎧⎨+-+=⎩，．D.()()91181013x y x y y x =⎧⎨+-+=⎩．【答案】C【解析】【分析】根据题意可得等量关系：①9枚黄金的重量=11枚白银的重量；②（10枚白银的重量1+枚黄金的重量）-（1枚白银的重量8+枚黄金的重量）13=两，根据等量关系列出方程组即可．【详解】解：设每枚黄金重x 两，每枚白银重y 两，由题意得，()()91110813x y y x x y =⎧⎨+-+=⎩，故选C ．【点睛】本题主要考查了从实际问题中抽象出二元一次方程组，正确理解题意找到等量关系是解题的关键．11.如图，ABC 是等腰三角形，36AB AC A =∠=︒，．以点B 为圆心，任意长为半径作弧，交AB 于点F ，交BC 于点G ，分别以点F 和点G 为圆心，大于12FG 的长为半径作弧，两弧相交于点H ，作射线BH 交AC 于点D ；分别以点B 和点D 为圆心，大于12BD 的长为半径作弧，两孤相交于M 、N 两点，作直线MN 交AB 于点E ，连接DE ．下列四个结论：①AED ABC ∠=∠；②BC AE =；③12ED BC =；④当2AC =时，1AD =．其中正确结论的个数是（）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】【分析】根据等腰三角形两底角相等与36A ∠=︒，得到72ABC C ∠=∠=︒，根据角平分线定义得到36ABD CBD ∠=∠=︒，根据线段垂直平分线性质得到EB ED =，得到EBD EDB ∠=∠，推出EDB CBD ∠=∠，得到DE BC ∥，推出AED ABC ∠=∠，①正确；根据等角对等边得到AD AE =，AD BD =，根据三角形外角性质得到72BDC C ∠=︒=∠，得到BC BD =，推出BC AE =，②正确；根据AED ABC △∽△，得到ED AD AD BC AC AD DC ==+，推出512ED BC -=，③错误；根据2AC =时，512CD AD =，得到5122AD AD =-,推出51AD =-，④正确．【详解】∵ABC 中，AB AC =，36A ∠=︒，∴()1180722ABC C A ∠=∠=︒-∠=︒，由作图知，BD 平分ABC ∠，MN 垂直平分BD ，∴1362ABD CBD ABC ∠=∠=∠=︒，EB ED =，∴EBD EDB ∠=∠，∴EDB CBD ∠=∠，∴DE BC ∥，∴AED ABC ∠=∠，①正确；ADE C ∠=∠，∴AED ADE ∠=∠，∴AD AE =，∵A ABD ∠=∠，∴AD BD =，∵72BDC A ABD ∠=∠+∠=︒，∴BDC C ∠=∠，∴BC BD =，∴BC AE =，②正确；设ED x =，BC a =，则AD a =，BE x =，∴CD BE x ==，∵AED ABC △∽△，∴ED AD AD BC AC AD DC ==+，∴x a a a x =+，∴220x ax a +-=，∵0x >，∴512x a -=，即12ED BC =，③错误；当2AC =时，2CD AD =-，∵12CD AD -=，∴5122AD AD -=-,∴1AD =，④正确∴正确的有①②④，共3个．故选：C ．【点睛】本题主要考查了等腰三角形，相似三角形，解决问题的关键是熟练掌握等腰三角形判定和性质，相似三角形的判定和性质，角平分线的定义和线段垂直平分线的性质．12.如图，在平面直角坐标系中，Rt AOB △的一条直角边OB 在x 轴上，点A 的坐标为(64)-，；Rt COD中，9030COD OD D ∠=︒=∠=︒，，连接BC ，点M 是BC 中点，连接AM ．将Rt COD 以点O 为旋转中心按顺时针方向旋转，在旋转过程中，线段AM 的最小值是（）A.3B.4 C.2- D.2【答案】A【解析】【分析】如图所示，延长BA 到E ，使得AE AB =，连接OE CE ，，根据点A 的坐标为(64)-，得到8BE =，再证明AM 是BCE 的中位线，得到12AM CE =；解Rt COD 得到4OC =，进一步求出点C 在以O 为圆心，半径为4的圆上运动，则当点M 在线段OE 上时，CE 有最小值，即此时AM 有最小值，据此求出CE 的最小值，即可得到答案．【详解】解：如图所示，延长BA 到E ，使得AE AB =，连接OE CE ，，∵Rt AOB △的一条直角边OB 在x 轴上，点A 的坐标为(64)-，，∴46AB OB ==，，∴4AE AB ==，∴8BE =，∵点M 为BC 中点，点A 为BE 中点，∴AM 是BCE 的中位线，∴12AM CE =；在Rt COD 中，9030COD OD D ∠=︒=∠=︒，，∴343OC ==，∵将Rt COD 以点O 为旋转中心按顺时针方向旋转，∴点C 在以O 为圆心，半径为4的圆上运动，∴当点M 在线段OE 上时，CE 有最小值，即此时AM 有最小值，∵10OE ==，∴CE 的最小值为1046-=，∴AM 的最小值为3，故选A ．【点睛】本题主要考查了一点到圆上一点的最值问题，勾股定理，三角形中位线定理，坐标与图形，含30度角的直角三角形的性质等等，正确作出辅助线是解题的关键．二、填空题13.已知关于x 的一元二次方程240x x a --=有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是_______．【答案】4a >-##4a-<【解析】【分析】利用一元二次方程根的判别式求解即可．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程240x x a --=有两个不相等的实数根，∴()()22Δ44410b ac a =-=--⨯⋅->，∴4a >-，故答案为：4a >-．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程()200ax bx c a ++=≠，若240b ac ∆=->，则方程有两个不相等的实数根，若240b ac ∆=-=，则方程有两个相等的实数根，若24<0b ac ∆=-，则方程没有实数根．14.为了测量一个圆形光盘的半径，小明把直尺、光盘和三角尺按图所示放置于桌面上，并量出4cm AB =，则这张光盘的半径是_______cm ．（精确到0.1cm 173≈．）【答案】6.9【解析】【分析】设光盘的圆心为O ，三角尺和光盘的切点为C ，连接OC OB OA ，，，经过圆外一点A 的两条直线AC AB ，都与圆O 相切，所以OA 为BAC ∠的角平分线，1602OAC OAB BAC ∠=∠=∠=︒，同时由切线的性质得到OC AC OB AB ⊥⊥，，在Rt AOB △中，tan tan 60OB OAB AB ∠=︒=，求出43cm OB =，即为圆的半径，进而确定出圆的直径．【详解】解：设光盘的圆心为O ，三角尺和光盘的切点为C ，连接OC OB OA ，，，如下图所示：∵AC AB ，分别为圆O 的切线，∴OA 为BAC ∠的角平分线，即OC AC OB AB ⊥⊥，，又∵60CAD ∠=︒,∴1602OAC OAB BAC ∠=∠=∠=︒，在Rt AOB △中，60OAB ∠=︒，4cm AB =，∴tan tan 60OB OAB AB ∠=︒=，34OB =，∴43cm 6.9cm OB ≈=，则这张光盘的半径为6.9cm ；故答案为：6.9．【点睛】此题考查了切线的性质，切线长定理，锐角三角函数定义，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．15.二次函数234y x x =--+的最大值是__________．【答案】254【解析】【分析】利用配方法把二次函数一般式化为顶点式，即可求解．【详解】解：利用配方法，将一般式化成顶点式：234y x x =--+232524x =-++（ 二次函数开口向下，∴顶点处取最大值，即当32x =-时，最大值为254．故答案为：254．【点睛】本题考查二次函数的相关知识．将一般式化为顶点式，顶点处取到最值．其中配方法是解决问题的关键，也是易错点．16.在一次综合实践活动中，某学校数学兴趣小组对一电视发射塔的高度进行了测量．如图，在塔前C 处，测得该塔顶端B 的仰角为50︒，后退60m （60m CD =）到D 处有一平台，在高2m （2m DE =）的平台上的E 处，测得B 的仰角为266︒.．则该电视发射塔的高度AB 为_______m ．（精确到1m ．参考数据：tan 50 1.2tan 26.60.5︒≈︒≈，）【答案】55【解析】【分析】如图所示，过点E 作EF AB ⊥于F ，则四边形ADEF 是矩形，可得到2m AF DE EF AD ===，；设m BF x =，则()2m AB x =+，解Rt ABC △得到()52m 6AC x ≈+，解Rt BEF △得到2m EF x ≈，进而建立方程()522606x x =++，解方程即可得到答案．【详解】解：如图所示，过点E 作EF AB ⊥于F ，由题意得，AB AD DE AD ⊥，⊥，∴四边形ADEF 是矩形，∴2m AF DE EF AD ===，，设m BF x =，则()2m AB AF BF x =+=+，在Rt ABC △中，tan AB ACB AC ∠=，∴()252m tan tan506AB x AC x ACB +==≈+︒∠，在Rt BEF △中，tan BF BEF EF ∠=，∴2m tan tan 26.6BF x EF x BEF ==≈∠︒，∵EF AD =，∴()522606x x =++，∴53x ≈，∴255m AB x =+≈，故答案为：55．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定等等，正确理解题意作出辅助线是解题的关键．17.如图，在ABC 中，16AC BC ==，点D 在AB 上，点E 在BC 上，点B 关于直线DE 的轴对称点为点B '，连接DB '，EB '，分别与AC 相交于F 点，G 点，若87,4AF DF B F '===，，则CG 的长度为__________．【答案】4.5【解析】【分析】根据等边对等角和折叠的性质证明A B '∠=∠，进而证明AFD B FG ' ∽，则AF DF B F GF ='，然后代值计算求出 3.5GF =，则 4.5CG AC AF GF =--=．【详解】解：∵16AC BC ==，∴A B ∠=∠，由折叠的性质可得B B '∠=∠，∴A B '∠=∠，又∵AFD B FG ∠=∠'，∴AFD B FG ' ∽，∴AF DF B F GF ='，即874GF=，∴ 3.5GF =，∴ 4.5CG AC AF GF =--=，故答案为：4.5．【点睛】本题主要考查了折叠的性质，相似三角形的性质与判定，等边对等角等等，证明AFD B FG ' ∽是解题的关键．18.已知，12345678,,,OA A A A A A A A △△△都是边长为2的等边三角形，按下图所示摆放．点235,,,A A A 都在x 轴正半轴上，且2356891A A A A A A ==== ，则点2023A 的坐标是______．【答案】(2023,【解析】【分析】先确定前几个点的坐标，然后归纳规律，按规律解答即可．【详解】解：由图形可得：()()()()()()2356892,0,3,0,5,0,6,0,8,0,9,0,A A A A A A 如图：过1A 作1AB x ⊥轴，∵12,OA A∴111cos 601,sin 60OB OA A B OA =︒⨯==︒⨯=∴(1A ,同理：(((4774,,,10,,A A A ∴()()(3133131,0,3,0,3n n n A n A n A n -+-+()31n +为偶数，(3131,n A n ++为奇数；∵202336741÷= ，2023为奇数∴(20232023,A ．故答案为(2023,．【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、解直角三角形、坐标规律等知识点，先求出几个点、发现规律是解答本题的关键．三、解答题19.（1）化简：2211025224x x x x x -++⎛⎫-÷ ⎪+-⎝⎭；（2）解不等式组：2731132x x x +>⎧⎪+-⎨>⎪⎩．【答案】（1）25x x -+；（2）25x -<<【解析】【分析】（1）根据分式的混合计算法则求解即可；（2）先求出每个不等式的解集，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可．【详解】解：（1）2211025224x x x x x -++⎛⎫-÷ ⎪+-⎝⎭()()()252412222x x x x x x x ++-⎛⎫=-÷ ⎪+++-⎝⎭()()()222525x x x x x +-+=⋅++25x x -=+；（2）2731132x x x +>⎧⎪⎨+->⎪⎩①②解不等式①得：2x >-，解不等式②得：5x <，∴不等式组的解集为25x -<<【点睛】本题主要考查了分式的混合计算，解一元一次不等式组，正确计算是解题的关键．20.2022年10月16日至10月22日，中国共产党第二十次全国代表大会在北京召开．为激励青少年争做党的事业接班人，某市团市委在党史馆组织了“红心永向党”为主题的知识竞赛，依据得分情况将获奖结果分为四个等级：A 级为特等奖，B 级为一等奖，C 级为二等奖，D 级为优秀奖．并将统计结果绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图．请根据相关信息解答下列问题：（1）本次竞赛共有______名选手获奖，扇形统计图中扇形C 的圆心角度数是______度；（2）补全条形统计图；（3）若该党史馆有一个入口，三个出口．请用树状图或列表法，求参赛选手小丽和小颖由馆内恰好从同一出口走出的概率．【答案】（1）200，108（2）见解析（3）1 3【解析】【分析】（1）用A级的人数除以其人数占比即可求出获奖选手的总数，进而求出B级的人数，由此即可求出C级的人数，再用360度乘以C级的人数占比即可得到答案；（2）求出B级的人数，然后补全统计图即可；（3）先列出表格得到所有等可能性的结果数，再找到符合题意得结果数，最后依据概率计算公式求解即可．【小问1详解】解：14480200360︒÷=︒名，∴本次竞赛共有200名选手获奖，∴C级的人数为2008020025%1060--⨯-=名，∴扇形统计图中扇形C的圆心角度数是60 360108200︒⨯=度，故答案为：200，108；【小问2详解】解：B级的人数为20025%50⨯=名，补全统计图如下：【小问3详解】解：设这三个出口分别用E、F、G表示，列表如下：E F GE（E，E）（F，E）（G，E）F（E，F）（F，F）（G，F）G（E，G）（F，G）（G，G）由表格可知一共有9种等可能性的结果数，其中参赛选手小丽和小颖由馆内恰好从同一出口走出的结果数有3种，∴参赛选手小丽和小颖由馆内恰好从同一出口走出的概率3193==．【点睛】本题主要考查了扇形统计图与条形统计图信息相关联，树状图法或列表法求解概率，正确读懂统计图，画出树状图或列出表格是解题的关键．21.如图，一次函数122y x =-+的图象与反比例函数2k y x=的图象分别交于点A ，点B ，与y 轴，x 轴分别交于点C ，点D ，作AE y ⊥轴，垂足为点E ，4OE =．（1）求反比例函数的表达式；（2）在第二象限内，当12y y <时，直接写出x 的取值范围；（3）点P 在x 轴负半轴上，连接PA ，且PA AB ⊥，求点P 坐标．【答案】（1）4y x=-；（2）10x -<<；（3）()9,0-．【解析】【分析】（1）求出点A 坐标，即可求出反比例函数解析式；（2）观察图象特点，即可得出取值范围；（3）先证明三角形相似，再根据相似三角形的性质求出线段PD 长，最后由线段和差即可求出OP 的长．【小问1详解】∵4OE =，AE y ⊥轴，∴()0,4E ，点A 的纵坐标为4，∵点A 在122y x =-+图象上，∴当4y =时，422x =-+，解得：1x =-，∴点A 坐标为()1,4-，∵反比例函数2k y x =的图象过点A ，∴144k =-⨯=-，∴反比例函数的表达式为：4y x =-；【小问2详解】如图，在第二象限内，当12y y <时，10x -<<，【小问3详解】如图，过A 作AM x ⊥轴于点M ，∵AE y ⊥轴，∴90AEO EOM OMA ∠=∠=∠=︒，∴四边形AEOM 是矩形，∴4AM OE ==，1OM AE ==，∵PA AB ⊥，∴90PAD ∠=︒，即：90PAM DAM ∠+∠=︒，∵90DAM ADM ∠+∠=︒，∴PAM ADM ∠=∠，∴DAM APD ∠=∠，∴PAD AMD ∽，∴AD PD MD AD=，由22y x =-+得：0y =时，220x -+=，解得：1x =，∴点()1,0D ，∴AD ==2MD =，∴252=∴10PD =，∴点()9,0P -．【点睛】此题考查了一次函数和反比例函数的性质、求解反比例函数解析式、根据图象确定自变量x 的取值范围，相似三角形的判定等知识，注重数形结合是解答本题的关键．22.为进行某项数学综合与实践活动，小明到一个批发兼零售的商店购买所需工具．该商店规定一次性购买该工具达到一定数量后可以按批发价付款，否则按零售价付款．小明如果给学校九年级学生每人购买一个，只能按零售价付款，需用3600元；如果多购买60个，则可以按批发价付款，同样需用3600元，若按批发价购买60个与按零售价购买50个所付款相同，求这个学校九年级学生有多少人？【答案】这个学校九年级学生有300人．【解析】【分析】设零售价为x 元，批发价为y ，然后根据题意列二元一次方程组求得零售价为12元，然后用3600除以零售价即可解答．【详解】解：设零售价为x 元，批发价为y ，根据题意可得：50603600360060x y y x =⎧⎪⎨=+⎪⎩，解得：1210x y =⎧⎨=⎩，则学校九年级学生360012300÷=人．答：这个学校九年级学生有300人．【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，审清题意、列二元一次方程组求得零售价是解答本题的关键．23.如图，矩形ABCD 中，对角线AC BD ，相交于点O ，点F 是DC 边上的一点，连接AF ，将ADF △沿直线AF 折叠，点D 落在点G 处，连接AG 并延长交DC 于点H ，连接FG 并延长交BC 于点M ，交AB 的延长线于点E ，且AC AE =．（1）求证：四边形DBEF 是平行四边形；（2）求证：FH ME =．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据矩形的性质和折叠的性质证明AD AG =，AE BD =，90AGE DAB ==︒∠∠，由此即可证明Rt Rt ABD GEA △≌△得到AEG DBA ∠=∠，进而推出BD EF ∥，再由BE DF ∥，即可证明四边形DBEF 是平行四边形；（2）由（1）的结论可得BE DF =，进一步证明BE GF =，再证明FGH EBM △≌△，即可证明FHME =．【小问1详解】证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴1902AB CD AD BC ADC ABC BAD AC BD ====︒=∥，，∠∠，，由折叠的性质可得AD AG =，90AGF ADF ∠=∠=︒，∴90AGE DAB ==︒∠∠，∵AC AE =，AC BD =，∴AE BD =，∴()Rt Rt HL ABD GEA △≌△，∴AEG DBA ∠=∠，∴BD EF ∥，又∵BE DF ∥，∴四边形DBEF 是平行四边形；。

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题（每题4分，共48分）1．在平面直角坐标系中，点P （m ，1）与点Q （﹣2，n ）关于原点对称,则m n 的值是（ ）A ．﹣2B ．﹣1C ．0D ．22．下列二次根式是最简二次根式的是（ ）A ．18B ．13C ．10D ．0.33．服装店为了解某品牌外套销售情况，对各种码数销量进行统计店主最应关注的统计量是（ ） A ．平均数 B ．中位数 C ．方差 D ．众数4．如图，平面直角坐标系中，()()()8,0,8,4,0,4A B C --，反比例函数k y x=的图象分别与线段,AB BC 交于点,D E ，连接DE ．若点B 关于DE 的对称点恰好在OA 上，则k =（ ）A ．20-B ．16-C ．12-D ．8-5．下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．6．已知关于x 的方程（m +4）x 2+2x ﹣3m ＝0是一元二次方程，则m 的取值范围是（ ）A ．m ＜﹣4B ．m ≠0C ．m ≠﹣4D ．m ＞﹣47．已知如图ABC 中，点O 为BAC ∠，ACB ∠的角平分线的交点，点D 为AC 延长线上的一点，且AD AB =，CD CO =，若138∠=︒AOD ，则ABC ∠的度数是（ ）．A ．12︒B ．24︒C ．48︒D ．96︒8．如图，已知直线a ∥b ∥c ，直线m 交直线a ，b ，c 于点A ，B ，C ，直线n 交直线a ，b ，c 于点D ，E ，F ，若12AB BC =，则DE EF=（ ）A ．12B ．13C ．23D ．19．若正方形的外接圆半径为2，则其内切圆半径为（ ）A ．2B 2C 2D ．110．若⊙O 的半径为5cm ，点A 到圆心O 的距离为4cm ，那么点A 与⊙O 的位置关系是A ．点A 在圆外B ．点A 在圆上C ．点A 在圆内D ．不能确定 11．一元二次方程x 2+x ﹣1=0的两根分别为x 1，x 2，则1211x x +=（ ） A ．12 B ．1 C 5 D 512．若反比例函数2k yx （k 为常数）的图象在第二、四象限，则k 的取值范围是（ ） A ．2k <-B ．2k >-且0k ≠C ．2k >D ．2k <且0k ≠二、填空题（每题4分，共24分）13．超市经销一种水果，每千克盈利10元，每天销售500千克，经市场调查，若每千克涨价1元，日销售量减少20千克，现超市要保证每天盈利6000元，每千克应涨价为______元．14．若二次函数25(0)y ax bx a =-+≠的图像经过点(2,2)，则242017b a -+的值是_______．15． “上升数”是一个数中右边数字比左边数字大的自然数（如：34，568，2469等）．任取一个两位数，是“上升数”的概率是_________ ．16．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，以点A为圆心，AD长为半径画弧，交AB于点E，图中阴影部分的面积是______(结果保留π).17．如图，A、B、C是⊙O上三点，∠ACB＝30°，则∠AOB的度数是_____．18．某班级准备举办“迎鼠年，闹新春”的民俗知识竞答活动，计划A、B两组对抗赛方式进行，实际报名后，A组有男生3人，女生2人，B组有男生1人，女生4人，若从两组中各随机抽取1人，则抽取到的两人刚好是1男1女的概率是__________．三、解答题（共78分）19．（8分）已知△ABC，AB=AC，BD是∠ABC的角平分线，EF是BD的中垂线，且分别交BC于点E，交AB于点F，交BD于点K，连接DE，DF．（1）证明：DE//AB；（2）若CD=3，求四边形BEDF的周长．20．（8分）一个盒子中装有两个红球，一个白球和一个蓝球，这些球除颜色外都相同，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，再从中随机摸出一个球，请你用列表法和画树状图法求两次摸到的球的颜色能配成紫色的概率（说明：红色和蓝色能配成紫色）21．（8分）为了推动课堂教学改革，打造高效课堂，配合我市“两型课堂”的课题研究，莲城中学对八年级部分学生就一期来“分组合作学习”方式的支持程度进行调查，统计情况如图．试根据图中提供的信息，回答下列问题：（1）求本次被调查的八年级学生的人数，并补全条形统计图；（2）若该校八年级学生共有180人，请你估计该校八年级有多少名学生支持“分组合作学习”方式（含“非常喜欢”和“喜欢”两种情况的学生）．22．（10分）某校综合实践小组要对一幢建筑物MN 的高度进行测量.如图，该小组在一斜坡坡脚A 处测得该建筑物顶端M 的仰角为45︒，沿斜坡向上走20m 到达B 处，（即20AB m =）测得该建筑物顶端M 的仰角为30.已知斜坡的坡度3:4i =，请你计算建筑物MN 的高度（即MN 的长，结果保留根号）.23．（10分）如图，在△ABC 中，∠C =90°，AC=8cm ，BC=6cm . 点P 从点A 出发，沿AB 边以2 cm /s 的速度向点B 匀速移动；点Q 从点B 出发，沿BC 边以1 cm /s 的速度向点C 匀速移动， 当一个运动点到达终点时，另一个运动点也随之停止运动，设运动的时间为t (s).（1）当PQ ∥AC 时，求t 的值；（2）当t 为何值时，△PBQ 的面积等于245cm 2.24．（10分）如图，已知抛物线经过坐标原点O 和x 轴上另一点E ，顶点M 的坐标为()2,4．矩形ABCD 的顶点A 与点O 重合，AD 、AB 分别在x 轴、y 轴上，且AD =2，AB =1．（1）求该抛物线所对应的函数关系式；（2）将矩形ABCD 以每秒1个单位长度的速度从图1所示的位置沿x 轴的正方向匀速平行移动，同时一动点P 也以相同的速度从点A 出发向B 匀速移动，设它们运动的时间为t 秒(03)t ≤≤，直线AB 与该抛物线的交点为N (如图2所示)． ①当52t =，判断点P 是否在直线MB 上，并说明理由； ②设P 、N 、C 、D 以为顶点的多边形面积为S ，试问S 是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．25．（12分）先化简，再求值：2111x y x y xy y⎛⎫+÷ ⎪+-+⎝⎭，其中x 52，y 5 2. 26．已知，直线23y x =-+与抛物线2y ax =相交于A 、B 两点，且A 的坐标是(3,)m -（1）求a ，m 的值；（2）抛物线的表达式及其对称轴和顶点坐标．参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、A【分析】已知在平面直角坐标系中，点P (m ,1)与点Q(﹣2,n )关于原点对称，则P 和Q 两点横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数即可求得m ，n ，进而求得m n 的值．【详解】∵点P (m ,1)与点Q(﹣2,n )关于原点对称∴m=2，n=-1∴m n =-2故选：A【点睛】本题考查了直角坐标系中，关于原点对称的两个点的坐标特点，它们的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数． 2、C【解析】根据最简二次根式的定义逐项分析即可.【详解】A. ，故不是最简二次根式；B. ，故不是最简二次根式；C. ，是最简二次根式；D. ，故不是最简二次根式； 故选C.【点睛】本题考查了最简二次根式的识别，如果二次根式的被开方式中都不含分母，并且也都不含有能开的尽方的因式，象这样的二次根式叫做最简二次根式.3、D【分析】根据题意，应该关注哪种尺码销量最多.【详解】由于众数是数据中出现次数最多的数，故应该关注这组数据中的众数.故选D【点睛】本题考查了数据的选择，根据题意分析，即可完成。

2020年山东省普通高中学业水平合格考试数学试卷一、本大题共20小题，每小题3分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合A＝{1, 3, 5}，B＝{2, 3}，则A∪B＝（）A.{3}B.{1, 5}C.(1, 2, 5)∩{1, 2, 5}D.{1, 2, 3, 5}【答案】D【考点】并集及其运算【解析】进行并集的运算即可．【解答】∵A＝{1, 3, 5}，B＝{2, 3}，∴A∪B＝{1, 2, 3, 5}．2. 函数f(x)=cos(12x+π6)的最小正周期为（）A.π2B.πC.2πD.4π【答案】D【考点】三角函数的周期性及其求法【解析】根据三角函数的周期公式直接进行计算即可．【解答】由三角函数的周期公式得T=2π12=4π，3. 函数f(x)=√x−1+ln(4−x)的定义域是( )A.(1, +∞)B.[1, 4)C.(1, 4]D.(4, +∞)【答案】B【考点】函数的定义域及其求法【解析】根据函数f(x)的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，求出解集即可．【解答】解：∵函数f(x)=√x−1+ln(4−x)，∴{x−1≥0,4−x>0.解得1≤x<4.∴ 函数f(x)的定义域是[1, 4)． 故选B ．4. 下列函数中，既是偶函数又在(0, +∞)上是减函数的是（ ） A.y ＝−x 3 B.y =1C.y ＝|x|D.y =1x 2【答案】 D【考点】奇偶性与单调性的综合 【解析】结合基本初等函数的单调性及奇偶性对选项分别进行判断即可． 【解答】由幂函数的性质可知，y ＝−x 3，y =1x 为奇函数，不符合题意， y ＝|x|为偶函数且在(0, +∞)上单调递增，不符号题意， y =1x 2为偶函数且在(0, +∞)上单调递减，符合题意．5. 已知直线l 过点P(2, −1)，且与直线2x +y −l ＝0互相垂直，则直线l 的方程为（ ） A.x −2y ＝0 B.x −2y −4＝0 C.2x +y −3＝0 D.2x −y −5＝0【答案】 B【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系 【解析】根据题意设出直线l 的方程，把点P(2, −1)代入方程求出直线l 的方程． 【解答】根据直线l 与直线2x +y −l ＝0互相垂直，设直线l 为x −2y +m ＝0， 又l 过点P(2, −1)，∴ 2−2×(−1)+m ＝0， 解得m ＝−4，∴ 直线l 的方程为x −2y −4＝0．6. 已知函数f(x)={2x ,x ≤0x 32,x >0 ，则f(−1)+f(1)＝（ ）A.0B.1C.32D.2【答案】C【考点】 求函数的值 函数的求值 【解析】推导出f(−1)＝2−1=12，f(1)=132=1，由此能求出f(−1)+f(1)的值．【解答】 ∵ 函数f(x)={2x ,x ≤0x 32,x >0，∴ f(−1)＝2−1=12， f(1)=132=1，∴ f(−1)+f(1)=12+1=32．故选：C ．7. 已知向量a →与b →的夹角为π3，且|a →|＝3，|b →|＝4，则a →⋅b →=( )A.6√3B.6√2C.4√3D.6【答案】 D【考点】平面向量数量积的性质及其运算 【解析】进行数量积的运算即可． 【解答】∵ 向量a →与b →的夹角为π3，且|a →|＝3，|b →|＝4，∴ a →⋅b →=|a →||b →|cos π3=3×4×12=6．8. 某工厂抽取100件产品测其重量（单位：kg ）．其中每件产品的重量范围是[40, 42]．数据的分组依据依次为[40, 40, 5)，[40, 5, 41)，[41, 41, 5)，[41, 5, 42)，据此绘制出如图所示的频率分布直方图，则重量在[40, 41)内的产品件数为（ ）A.30B.40C.60D.80【答案】 B频率分布直方图 【解析】由频率分布直方图得重量在[40, 41)内的频率为0.4．由此能求出重量在[40, 41)内的产品件数． 【解答】由频率分布直方图得：重量在[40, 41)内的频率为：(0.1+0.7)×0.5＝0.4． ∴ 重量在[40, 41)内的产品件数为0.4×100＝40． 9.sin 110∘ cos 40∘−cos 70∘sin 40∘= ( ) A.12B.√32C.−12D.−√32【答案】 A【考点】求两角和与差的正弦 【解析】利用诱导公式以及两角和的正弦函数化简求解即可． 【解答】解：sin 110∘ cos 40∘−cos 70∘sin 40∘ =sin 70∘ cos 40∘−cos 70∘sin 40∘ =sin (70∘−40∘) =sin 30∘=12．故选A ．10. 在平行四边形ABCD 中，AB →+BD →−AC →=( ) A.DC →B.BA →C.BC →D.BD →【答案】 B【考点】向量加减法的应用 【解析】利用平面向量加法法则直接求解．在平行四边形ABCD 中，AB →+BD →−AC →=AB →+BD →+CA →=CD →=BA →．11. 某产品的销售额y （单位：万元）与月份x 的统计数据如表．用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程为y =7x +a ，则实数a =( )C.4D.10.5【答案】 B【考点】求解线性回归方程 【解析】由已知求得样本点的中心坐标，代入线性回归方程即可求得实数a ． 【解答】 x ¯=3+4+5+64=4.5，y ¯=25+30+40+454=35，∴ 样本点的中心坐标为(4.5, 35)，代入y =7x +a ，得35＝7×4.5+a ，即a =3.5．12. 下列结论正确的是（ ） A.若a <b ，则a 3<b 3 B.若a >b ，则2a <2b C.若a <b ，则a 2<b 2 D.若a >b ，则ln a >ln b【答案】 A【考点】不等式的基本性质 【解析】利用函数的单调性、不等式的性质即可判断出正误． 【解答】A ．a <b ，可得a 3<b 3，正确；B ．a >b ，可得2a >2b ，因此B 不正确；C ．a <b ，a 2与b 2大小关系不确定，因此不正确；D ．由a >b ，无法得出ln a >ln b ，因此不正确．13. 圆心为M(1, 3)，且与直线3x −4y −6＝0相切的圆的方程是（ ） A.(x −1)2+(y −3)2＝9B.(x −1)2+(y −3)2＝3C.(x+1)2+(y+3)2＝9D.(x+1)2+(y+3)2＝3【答案】A【考点】圆的切线方程圆的标准方程【解析】由题意可知，圆的半径即为圆心M到直线的距离，根据点到直线的距离公式即可求解．【解答】=3，由题意可知，圆的半径r=|3−12−6|5故所求的圆的方程为(x−1)2+(y−3)2＝9．14. 已知袋中有大小、形状完全相同的5张红色、2张蓝色卡片，从中任取3张卡片，则下列判断不正确的是（）A.事件“都是红色卡片”是随机事件B.事件“都是蓝色卡片”是不可能事件C.事件“至少有一张蓝色卡片”是必然事件D.事件“有1张红色卡片和2张蓝色卡片”是随机事件【答案】C【考点】随机事件【解析】利用随机事件的定义直接求解．【解答】袋中有大小、形状完全相同的5张红色、2张蓝色卡片，从中任取3张卡片，在A中，事件“都是红色卡片”是随机事件，故A正确；在B中，事件“都是蓝色卡片”是不可能事件，故B正确；在C中，事件“至少有一张蓝色卡片”是随机事件，故C错误；在D中，事件“有1张红色卡片和2张蓝色卡片”是随机事件，故D正确．15. 若直线(a−1)x−2y+1＝0与直线x−ay+1＝0垂直，则实数a＝（）A.−1或2B.−1C.1D.33【答案】C【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系【解析】根据题意，分析可得(a−1)+2a＝0，解可得a的值，即可得答案．【解答】根据题意，若直线(a −1)x −2y +1＝0与直线x −ay +1＝0垂直， 必有(a −1)+2a ＝0，解可得a =13；16. 将函数y ＝sin x 的图象上所有的点的横坐标缩短到原来的13倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移π12个单位，得到的图象对应的函数解析式为（ ） A.y ＝sin (3x −π4)B.y ＝sin (3x −π12) C.y ＝sin (13x −π4)D.y ＝sin (13x −π12)【答案】 A【考点】函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换 【解析】由题意利用函数y ＝A sin (ωx +φ)的图象变换规律，得出结论． 【解答】将函数y ＝sin x 的图象上所有的点的横坐标缩短到原来的13倍（纵坐标不变），可得y ＝sin 3x 的图象；再将得到的图象向右平移π12个单位，得到的图象对应的函数解析式为y ＝sin 3(x −π12)＝sin (3x −π4)，17. 3名同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为（ ） A.14B.23C.12D.34【答案】 D【考点】古典概型及其概率计算公式 【解析】求得3位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动、周六、周日都有同学参加公益活动的情况，利用古典概型概率公式求解即可． 【解答】3位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，共有23＝8种情况， 周六、周日都有同学参加公益活动，共有23−2＝8−2＝6种情况， ∴ 所求概率为68=34．18. 如图，在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，下列判断正确的是（ ）A.A 1D ⊥C 1CB.BD 1⊥ADC.A 1D ⊥ACD.BD 1 ⊥AC【答案】 D【考点】空间中直线与直线之间的位置关系 【解析】直接可以看出A ，B ，C 均不成立，用线线垂直来推线面垂直进而得到线线垂直． 【解答】因为AC ⊥BD ，AC ⊥DD 1；BD ∩DD 1＝D ； BD ⊆平面DD 1B 1B ，DD 1⊆平面DD 1B 1B ， ∴ AC ⊥平面DD 1B 1B ； BD 1⊆平面DD 1B 1B ； ∴ AC ⊥BD 1； 即D 对．19. 已知向量a →，b →不共线，若AB →=a →+2b →，BC →=−3a →+7b →，CD →=4a →−5b →，则（ ） A.A ，B ，C 三点共线 B.A ，B ，D 三点共线 C.A ，C ，D 三点共线 D.B ，C ，D 三点共线【答案】 B【考点】平行向量（共线） 【解析】BD →=BC →+CD →=(−3a →+7b →)+(4a →−5b →)=a →+2b →=AB →，从而BD →∥AB →，进而A ，B ，D 三点共线． 【解答】向量a →，b →不共线，AB →=a →+2b →，BC →=−3a →+7b →，CD →=4a →−5b →，∴ BD →=BC →+CD →=(−3a →+7b →)+(4a →−5b →)=a →+2b →=AB →， ∴ BD →∥AB →，∴ A ，B ，D 三点共线．20. 在三棱锥P−ABC中，PA，PB，PC两两垂直，且PA＝1，PB＝PC＝2，则该三棱锥的外接球体的体积为（）A.9π2B.27π2C.9πD.36π【答案】A【考点】球的体积和表面积【解析】由题意将此三棱锥放在长方体中，可得长方体的长宽高，再由长方体的对角线等于外接球的直径求出外接球的体积．【解答】由三棱锥中PA，PB，PC两两垂直，且PA＝1，PB＝2，PC＝2将此三棱锥放在长方体中，由题意知长方体的长宽高分别是：1，2，2．设外接球的半径为R，则2R=√12+22+22=3所以R=32，所以外接球的体积V=43πR3=92π，二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．某校田径队共有男运动员45人，女运动员36人．若采用分层抽样的方法在全体运动员中抽取18人进行体质测试，则抽到的女运动员人数为________．【答案】8【考点】分层抽样方法【解析】根据田径队的男女运动员数目和用分层抽样要抽取的数目，得到每个个体被抽到的概率值，利用每个个体被抽到的概率乘以女运动员的数目，得到女运动员要抽取得人数．【解答】∵某校田径队共有男运动员45人，女运动员36人，∴这支田径队共有45+36＝81人，用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为18的样本，∴每个个体被抽到的概率是1881=29，∵女运动员36人，∴ 女运动员要抽取36×29=8人，已知α为第二象限角，若sin α=35，则tan α的值为________． 【答案】−34【考点】同角三角函数间的基本关系 【解析】由条件利用同角三角函数的基本关系求得cos α 的值，从而求得tan α的值． 【解答】∵ α为第二象限角sin α=35，∴ cos α=−45，则tan α=sin αcos α=−34，已知圆锥底面半径为1，高为√3，则该圆锥的侧面积为________． 【答案】 2π【考点】柱体、锥体、台体的侧面积和表面积 【解析】由已知求得母线长，代入圆锥侧面积公式求解． 【解答】由已知可得r ＝1，ℎ=√3，则圆锥的母线长l =√12+(√3)2=2． ∴ 圆锥的侧面积S ＝πrl ＝2π．已知函数f(x)＝x 2+x +a 在区间(0, 1)内有零点，则实数a 的取值范围为________． 【答案】 (−2, 0) 【考点】函数零点的判定定理 【解析】由零点存在性定理得f(0)f(1)＝a(a +2)<0，求出即可． 【解答】函数f(x)＝x 2+x +a 在区间(0, 1)内有零点， f(0)＝a ，f(1)＝2+a ，由零点存在性定理得f(0)f(1)＝a(a +2)<0，得−2<a <0， 经验证a ＝−2，a ＝0均不成立， 故答案为：(−2, 0)若P 是圆C 1：(x −4)2+(y −5)2＝9上一动点，Q 是圆C 2：(x +2)2+(y +3)2＝4上一动点，则|PQ|的最小值是________．【答案】5【考点】圆与圆的位置关系及其判定【解析】分别找出两圆的圆心坐标，以及半径r和R，利用两点间的距离公式求出圆心间的距离d，根据大于两半径之和，得到两圆的位置是外离，又P在圆C1上，Q在圆C2上，则|PQ|的最小值为d−(r+R)，即可求出答案．【解答】圆C1：(x−4)2+(y−5)2＝9的圆心C1(4, 5)，半径r＝3，圆C2：(x+2)2+(y+3)2＝4的圆心C2(−2, −3)，半径r＝2，d＝|C1C2|=√(4+2)2+(5+3)2=10>2+3＝r+R，所以两圆的位置关系是外离，又P在圆C1上，Q在圆C2上，则|PQ|的最小值为d−(r+R)＝10−(2+3)＝5，三、解答题：本题共3小题，共25分．如图，在四棱锥P−ABCD中，四边形ABCD是平行四边形，E、F分别是AB、PC中点，求证：EF // 面PAD．【答案】证明：取PD的中点G，连接FG、AG．因为PF＝CF，PG＝DG，CD．所以FG // CD，且FG=12又因为四边形ABCD是平行四边形，且E是AB的中点．CD．所以AE // CD，且AE=12所以FG // AE，且FG＝AE，所以四边形EFGA是平行四边形，所以EF // AG．又因为EF⊄平面PAD，AG⊂平面PAD，所以EF // 平面PAD．【考点】直线与平面平行【解析】取PD的中点G，连接FG、AG，由PF＝CF，PG＝DG，所以FG // CD，且FG=12CD．又因为四边形ABCD是平行四边形，且E是AB的中点．所以AE // CD，且AE=12CD．证得四边形EFGA是平行四边形，所以EF // AG，由线面平行的判定定理即可得证．【解答】证明：取PD的中点G，连接FG、AG．因为PF＝CF，PG＝DG，所以FG // CD，且FG=12CD．又因为四边形ABCD是平行四边形，且E是AB的中点．所以AE // CD，且AE=12CD．所以FG // AE，且FG＝AE，所以四边形EFGA是平行四边形，所以EF // AG．又因为EF⊄平面PAD，AG⊂平面PAD，所以EF // 平面PAD．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且a＝6，cos B=13．（1）若sin A=35，求b的值；（2）若c＝2，求b的值及△ABC的面积S．【答案】由cos B=13可得sin B=2√23，由正弦定理可得，asin A =bsin B，所以b=a sin Bsin A =6×2√2335=20√23，由余弦定理可得，cos B=13=a2+c2−b22ac=36+4−b22×2×6，解可得，b＝4√2，S=12ac sin B=12×6×2×2√23=4√2．【考点】正弦定理余弦定理【解析】（1）先根据同角平方关系求出sin B，然后结合正弦定理即可求解，（2）结合余弦定理及三角形的面积公式即可求解．【解答】由cos B=13可得sin B=2√23，由正弦定理可得，asin A =bsin B，所以b=a sin Bsin A =6×2√2335=20√23，由余弦定理可得，cos B=13=a2+c2−b22ac=36+4−b22×2×6，解可得，b＝4√2，S=12ac sin B=12×6×2×2√23=4√2．已知函数f(x)＝ax+log3(9x+1)(a∈R)为偶函数．（1）求a的值；（2）当x∈[0, +∞)时，不等式f(x)−b≥0恒成立，求实数b的取值范围．【答案】根据题意可知f(x)＝f(−x)，即ax+log3(9x+1)＝−ax+log3(9−x+1)，整理得log39x+19−x+1=−2ax，即−2ax=log39x=2x，解得a＝1；由（1）可得f(x)＝x+log3(9x+1)，因为f(x)−b≥0对x∈[0, +∞)恒成立，即x+log3(9x+1)≥b对x∈[0, +∞)恒成立，因为函数g(x)＝x+log3(9x+1)在[0, +∞)上是增函数，所以g(x)min＝g(0)＝log32，则b≤log32．【考点】函数奇偶性的性质与判断函数恒成立问题【解析】（1）根据偶函数性质f(x)＝f(−x)，化简整理可求得a的取值；（2）根据条件可知x+log3(9x+1)≥b对x∈[0, +∞)恒成立，求出函数g(x)＝x+ log3(9x+1)在[0, +∞)上的最小值即可【解答】根据题意可知f(x)＝f(−x)，即ax+log3(9x+1)＝−ax+log3(9−x+1)，整理得log39x+19−x+1=−2ax，即−2ax=log39x=2x，解得a＝1；由（1）可得f(x)＝x+log3(9x+1)，因为f(x)−b≥0对x∈[0, +∞)恒成立，即x+log3(9x+1)≥b对x∈[0, +∞)恒成立，因为函数g(x)＝x+log3(9x+1)在[0, +∞)上是增函数，所以g(x)min＝g(0)＝log32，则b≤log32．。

2024年烟台市初中学业水平考试数学试题注意事项：1．本试卷共8页，共120分；考试时间120分钟．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号填写在试卷和答题卡规定的位置上．3．选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．4．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．5．写在试卷上或答题卡指定区域外的答案无效．6．考试过程中允许考生进行剪、拼、折叠等实验．一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，满分30分）每小题都给出标号为A，B，C，D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的．1. 下列实数中的无理数是（）A. 23B. 3.14C.D.【答案】C【解析】【分析】本题考查无理数，根据无理数的定义：无限不循环小数，叫做无理数，进行判断即可．【详解】解：A、23是有理数，不符合题意；B、3.14是有理数，不符合题意；CD4=有理数，不符合题意；故选C．2. 下列运算结果为6a的是（）A. 23a a⋅ B. 122a a÷ C. 33a a+ D. ()32a 【答案】D是【解析】【分析】本题考查了同底数幂乘法，同底数幂的除法，合并同类项，幂的乘方，解题的关键是熟练掌握以上运算法则；根据同底数幂的乘法同底数幂的除法，合并同类项，幂的乘方，运算法则计算即可 【详解】A ．23235a a a a +⋅==，故选项不符合题意； B ． 12212210a a a a −÷==，故选项不符合题意； C ．3332a a a +=，故选项不符合题意；D ．()32236a a a ×==，故选项符合题意；故选：D ．3. 下图是由8个大小相同的小正方体组成的几何体，若从标号为①②③④的小正方体中取走一个，使新几何体的左视图既是轴对称图形又是中心对称图形，则应取走（ ）A. ①B. ②C. ③D. ④【答案】A 【解析】【分析】本题考查几何体的三视图，熟练掌握三视图的画法是解题的关键．分别画出各选项得出的左视图，再判断即可．【详解】解：A 、取走①时，左视图为 ，既是轴对称图形又是中心对称图形，故选项A 符合题意；B 、取走②时，左视图为 ，既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故选项B 不符合题意；C 、取走③时，左视图为 ，既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故选项C 不符合题意；的D 、取走④时，左视图为 ，既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故选项D 不符合题意；故选：A ．4. 实数a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）A. 3b c +>B. 0a c −<C. a c >D. 22a b −<−【答案】B 【解析】【分析】本题考查了数轴，绝对值，不等式的性质，根据数轴分别判断a ，b ，c 的正负，然后判断即可，解题的关键是结合数轴判断判断a ，b ，c 的正负及知识点的应用． 【详解】由数轴可得，32a −<<−，21b −<<−，34c <<，A 、3b c +<，原选项判断错误，不符合题意，B 、0a c −<，原选项判断正确，符合题意，C 、根据数轴可知：a c <，原选项判断错误，不符合题意，D 、根据数轴可知：a b <，则22a b −>−，原选项判断错误，不符合题意，故选：B ．5. 目前全球最薄的手撕钢产自中国，厚度只有0.015毫米，约是4A 纸厚度的六分之一，已知1毫米1=百万纳米，0.015毫米等于多少纳米？将结果用科学记数法表示为（ ） A. 30.1510×纳米 B. .41510×纳米C. 51510−×纳米D. 61.510−×纳米【答案】B 【解析】【分析】本题考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法：10,110,na a n ×≤<为整数进行表示即可． 【详解】解：0.015毫米40.0151000000 1.510=×=×纳米； 故选B ．6. 射击运动队进行射击测试，甲、乙两名选手的测试成绩如下图，其成绩的方差分别记为2S 甲和2S 乙，则2S 甲和2S 乙的大小关系是（ ）A. 22S S >甲乙 B. 22S S <甲乙C. 22S S =甲乙D. 无法确定【答案】A 【解析】【分析】本题考查比较方差的大小，根据折线图，得到乙选手的成绩波动较小，即可得出结果． 【详解】解：∵方差表示数据的离散程度，方差越大，数据波动越大，方差越小，数据波动越小，由折线图可知乙选手的成绩波动较小， ∴22S S >甲乙； 故选A ．7. 某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，各组展示作图痕迹如下，其中射线OP 为AOB ∠的平分线的有（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】D 【解析】【分析】本题考查角平分线的判定，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，中垂线的性质和判定，根据作图痕迹，逐一进行判断即可．【详解】解：第一个图为尺规作角平分线的方法，OP 为AOB ∠的平分线；第二个图，由作图可知：,OC OD OA OB ==， ∴AC BD =， ∵AOD BOC ∠=∠， ∴AOD BOC ≌△△， ∴OAD OBC ∠=∠，∵AC BD =，BPD APC ∠=∠，∴BPD APC ≌， ∴AP BP =，∵,OA OBOP OP ==， ∴AOP BOP ≌△△， ∴AOP BOP ∠=∠， ∴OP 为AOB ∠的平分线；第三个图，由作图可知,ACP AOB OC CP ∠=∠=， ∴CP BO ∥，COP CPO ∠=∠， ∴CPO BOP ∴COP BOP ∠=∠， ∴OP 为AOB ∠的平分线；第四个图，由作图可知：OP CD ⊥，OC OD =， ∴OP 为AOB ∠的平分线； 故选D ．8. 如图，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别为对角线BD AC ，的三等分点，连接AE 并延长交CD 于点G ，连接EF FG ，，若AGF α∠=，则FAG ∠用含α的代数式表示为（ ）A.452α°− B.902α°− C.452α°+ D.2α【答案】B 【解析】【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形的外角性质．证明EOF DOC ∽△△，求得45OFE ∠=°，证明ABE GDE ∽，证得12DG CD CG ==，推出()SAS DEG CFG ≌，得到GE GF =，据此求解即可．【详解】解：∵正方形ABCD 中，点E ，F 分别为对角线BD AC ，的三等分点，∴OD OC =，45ODC OCD ∠=∠=°，DE CF =， ∴OE OF =，∵EOF DOC ∠=∠，OE OFOD OC=， ∴EOF DOC ∽△△， ∴45OFE OCD ∠=∠=°，∵点E ，F 分别为对角线BD AC ，的三等分点， ∴12DE BE =， ∵正方形ABCD ， ∴AB CD ∥， ∴ABE GDE ∽，∴12DG DE ABBE ==， ∴12DG CD CG ==， ∴()SAS DEG CFG ≌， ∴GE GF =，∴()111809022GEFAGF α∠=°−∠=°−， ∴1190904545222FAG GEF AFE ααα∠=°−°−−°=°−=∠−∠=， 故选：B ．9. 《周髀算经》是中国现存最早的数理天文著作．书中记载这样一道题：“今有女子不善织，日减功迟．初日织五尺，末日织一尺，今三十日织，问织几何？”意思是：现有一个不擅长织布的女子，织布的速度越来越慢，并且每天减少的数量相同．第一天织了五尺布，最后一天仅织了一尺布，30天完工，问一共织了多少布？A. 45尺B. 88尺C. 90尺D. 98尺【答案】C 【解析】【分析】本题考查了数字的变化规律，由题意可知每天减少的量一样，由数的规律求和()115302+×即可，读懂题意，找出规律是解题的关键．【详解】解：由题意得，第一天织布5尺，第30天织布1尺， ∴一共织布()11530902+×=（尺）， 故选：C ．10. 如图，水平放置的矩形ABCD 中，6cm AB =，8cm BC =，菱形EFGH 的顶点E ，G 在同一水平线上，点G 与AB 的中点重合，EF =，60E ∠=°，现将菱形EFGH 以1cm /s 的速度沿BC 方向匀速运动，当点E 运动到CD 上时停止，在这个运动过程中，菱形EFGH 与矩形ABCD 重叠部分的面积()2cmS 与运动时间()s t 之间的函数关系图象大致是（ ）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查了解直角三角形应用，菱形的性质，动点问题的函数图象，二次函数的图象的性质，先求得菱形的面积为进而分三种情形讨论，重合部分为三角形，重合部分为五边形，重合部分为菱形，分别求得面积与运动时间的函数关系式，结合选项，即可求解． 【详解】解：如图所示，设,EG HF 交于点O ，∵菱形EFGH ，60E ∠=°， ∴HG GF = 又∵60E ∠=°， ∴HFG 是等边三角形，∵EF =，60HEF ∠=°， ∴30OEF ∠=°∴22cos306EG EO EF ==×°==∴11622H EFG S EG FH =⋅=××=菱形当03x ≤≤时，重合部分为MNG ， 如图所示，依题意，MNG 为等边三角形， 运动时间为t，则cos30t NG==°，∴221sin 602S NG NG =×××°当36x <≤时，如图所示，的依题意，6EM EG t t =−=−，则)6sin 60EM EKt ==−°∴))22116622EKJ S EJ EM t t =⋅=−−∴EKJ EFGH SS S − 菱形)22666t =−+−+ ∵6EG BC =<∴当68x <≤时，S =当811x <≤时，同理可得，)268S t −当1114x <≤时，同理可得，())226814St t =−−=−综上所述，当03x ≤≤时，函数图象为开口向上的一段抛物线，当36x <≤时，函数图象为开口向下的一段抛物线，当68x <≤时，函数图象为一条线段，当811x <≤时，函数图象为开口向下的一段抛物线，当1114x <≤时，函数图象为开口向上的一段抛物线；故选：D ．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分）11. x 的取值范围为________． 【答案】1x > 【解析】【分析】本题考查代数式有意义，根据分式的分母不为0，二次根式的被开方数为非负数，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：10x −>， 解得：1x >； 故答案为：1x >． 12. 关于x 的不等式12xm x −≤−有正数解，m 的值可以是______（写出一个即可）． 【答案】0（答案不唯一） 【解析】【分析】本题考查了一元一次不等式正数解，先求出不等式的解集，根据不等式有正数解可得关于m 的一元一次不等式，即可求出m 的取值范围，进而可得m 的值，求出m 的取值范围是解题的关键． 【详解】解：不等式移项得，112x m ≤−， 系数化为1得，22x m ≤−， ∵不等式12xm x −≤−有正数解， ∴221m −≥， 解得12m ≤， ∴m 的值可以是0， 故答案为：0．13. 若一元二次方程22410x x −−=的两根为m ，n ，则2234m m n −+的值为________． 【答案】6 【解析】【分析】本题考查了根与系数的关系及利用完全平方公式求解，若12,x x 是一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根时，1212,bc x x x x a a+=−=，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题关键．根据根与系数的关系得122m n mn +==−，，2241m m −=，再把2234m m n −+变形为22224m m m n −++，然后利用整体代入的方法计算，再利用完全平方公式求解即可．【详解】解：∵一元二次方程22410x x −−=的两个根为m ，n ，∴122m n mn +==−，，2241m m −= ∴2234m m n −+22224m m m n −++= 221m n =++2()21m n mn =+−+2122()12=−×−+6=故答案为：6．14. 如图，在边长为6的正六边形ABCDEF 中，以点F 为圆心，以FB 的长为半径作 BD，剪下图中阴影部分做一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为________．【解析】【分析】本题考查正多边形的性质，求圆锥的底面半径，先求出正六边形的一个内角的度数，进而求出扇形的圆心角的度数，过点A 作AG BF ⊥，求出BF 的长，再利用圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，进行求解即可．【详解】解：∵正六边形ABCDEF ，∴()621801206BAF AFE E −⋅°∠=∠=∠==°，6ABAF EF DE ====，∴()1180120302AFB ABF ∠=∠=°−°=°，()1180120302EFD EDF ∠=∠=°−°=°， ∴12023060BFD ∠=°−×°=°，过点A 作AG BF ⊥于点G ，则：22cos3026BF FG AF ==⋅°=×=，设圆锥的底面圆的半径为r ，则：602180r ππ=×∴r =；15. 如图，在ABCD 中，120C ∠=°，8AB =，10BC =．E 为边CD 的中点，F 为边AD 上的一动点，将DEF 沿EF 翻折得D EF ′ ，连接AD ′，BD ′，则ABD ′△面积的最小值为________．【答案】16−##16−+【解析】【分析】根据平行四边形的性质得到8CD AB ==，AB CD ∥，60ABC ∠=°，由折叠性质得到4ED DE ′==，进而得到点D '在以E 为圆心，4为半径的圆上运动，如图，过E 作EM AB ⊥交AB 延长线于M ，交圆E 于D '，此时D '到边AB 的距离最短，最小值为D M ′的长，即此时ABD ′△面积的最小，过C 作CN AB ⊥于N ，根据平行线间的距离处处相等得到EM CN =，故只需利用锐角三角函数求得CN =即可求解．【详解】解：∵在ABCD 中，120BCD ∠=°，8AB =， ∴8CD AB ==，AB CD ∥，则18060ABC BCD ∠=°−∠=°，∵E 为边CD 的中点，∴142DECE CD ===， ∵DEF 沿EF 翻折得D EF ′ ，∴4ED DE ′==，∴点D '在以E 为圆心，4为半径的圆上运动，如图，过E 作EM AB ⊥交AB 延长线于M ，交圆E 于D '，此时D '到边AB 的距离最短，最小值为D M ′的长，即ABD ′△面积的最小，过C 作CN AB ⊥于N ， ∵AB CD ∥， ∴EM CN =，在Rt BCN 中，10BC =，60CBN ∠=°，∴sin 6010CN BC =⋅°=，∴4D M ME ED ′′=−=−，∴ABD ′△面积的最小值为()184162××−=，故答案为：16−．【点睛】本题考查平行四边形的性质、折叠性质、圆的有关性质以及直线与圆的位置关系、锐角三角函数等知识，综合性强的填空压轴题，得到点D '的运动路线是解答的关键． 16. 已知二次函数2y ax bx c ++的y 与x 的部分对应值如下表：x4−3− 1−1 5y5 9 5 27−下列结论：①0abc >；②关于x 的一元二次方程29ax bx c ++=有两个相等的实数根；③当41x −<<时，y 的取值范围为<<0y 5；④若点()1,m y ，()22,m y −−均在二次函数图象上，则12y y =；⑤满足()212ax b x c +++<的x 的取值范围是<2x −或3x >．其中正确结论的序号为______． 【答案】①②④ 【解析】【分析】本题考查了二次函数的图象和性质， 利用待定系数法求出a b c 、、的值即可判断①；利用根的判别式即可判断②；利用二次函数的性质可判断③；利用对称性可判断④；画出函数图形可判断⑤；掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．【详解】解：把()4,0−，()1,9−，()1,5代入2y ax bx c ++得，164095a b c a b c a b c −+=−+=++=， 解得128a b c =−=− =，∴0abc >，故①正确； ∵1a =−，2b =−，8c =， ∴228y x x =−−+，当9y =时，2289x x −−+=， ∴2210x x ++=， ∵224110∆=−××=，∴关于x 的一元二次方程29ax bx c ++=有两个相等的实数根，故②正确； ∵抛物线的对称轴为直线3112x −+==−， ∴抛物线的顶点坐标为()1,9−， 又∵0a <，∴当1x <−时，y 随x 的增大而增大，当1x >−时，y 随x 的增大而减小，当=1x −时，函数取最大值9，∵3x =−与1x =时函数值相等，等于5，∴当41x −<<时， y 的取值范围为09y <≤，故③错误；∵()212m m +−−=−，∴点()1,m y ，()22,m y −−关于对称轴=1x −对称， ∴12y y =，故④正确；由()212ax b x c +++<得22ax bx c x ++<−+，即2282x x x −−+<−+，画函数228y x x =−−+和2y x =−+图象如下：由2228y x y x x =−+=−−+ ，解得1120x y = = ，2235x y =− = ， ∴()2,0A ，()3,5B −，由图形可得，当3x <−或2x >时，2282x x x −−+<−+，即()212ax b x c +++<，故⑤错误；综上，正确的结论为①②④， 故答案为：①②④．三、解答题（本大题共8个小题，满分72分）17. 利用课本上计算器进行计算，按键顺序如下：，若m是其显示结果的的平方根，先化简：27442393m m m m m m −− +÷−−+ ，再求值． 【答案】262m m −−，25−．【解析】【分析】本题考查了分式的化简求值，先利用分式的性质和运算法则对分式化简，然后根据题意求出m 的值，把m 的值代入到化简后的结果中计算即可求解，正确化简分式和求出m 的值是解题的关键． 【详解】解：27442393mm m m m m −− +÷−−+ ()22274393m mm m m m −− =−÷−−+， ()()()()()()3743333322m m m m m m m m m +−+=−× +−+−− ， ()()()()()23743333322m m m m m m m m m +−+=−×+−+−− ， ()()()24433322m m m m m m −++×+−−，()()()()2233322m m m m m −+×+−−−， ()223m m −=−−，262m m−=−，∵2354−=，∴235−的平方根为2±， ∵420m −≠， ∴2m ≠，又∵m 为235−的平方根， ∴2m =−， ∴原式()2226225−−==−−×−．18. “山海同行，舰回烟台”．2024年4月23日，烟台舰与家乡人民共庆人民海军成立75周年．值此，某学校开展了“奋进万亿新征程，共筑强国强军梦”的主题研学活动，为了解学生参与情况，随机抽取部分学生对研学活动时长（用t 表示，单位：h ）进行调查．经过整理，将数据分成四组（A 组：02t ≤<；B 组：24t ≤<；C 组：46t ≤<；D 组：68t ≤<），并绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图．（1）请补全条形统计图；（2）扇形统计图中，a 的值为_____，D 组对应的扇形圆心角的度数为______；（3）D 组中有男、女生各两人，现从这四人中随机抽取两人进行研学宣讲，请用树状图或表格求所抽取的两人恰好是一名男生和一名女生的概率． 【答案】（1）图见解析 （2）32,28.8° （3）23【解析】【分析】本题考查条形图和扇形图的综合应用，列表法或树状图法求概率：（1）A 组人数除以所占的比例，求出总人数，进而求出C 组人数，补全条形图即可； （2）用B 组人数除以总数，求出a 的值，D 组人数所占的比例乘以360度求出圆心角的度数； （3）列出表格，再利用概率公式进行计算即可． 【小问1详解】 解：1020%50÷=， ∴C 组人数为：501016420−−−=； 补全条形图如图：【小问2详解】16%100%32%50a=×=，∴32a=，D组对应的扇形圆心角的度数为436028.850°×=°；故答案为：32,28.8°；【小问3详解】列表如下：男1 男2 女1 女2男1 男1，男2 男1，女1 男1，女2 男2 男2，男1 男2，女1 男2，女2 女1 女1，男1 女1，男2 女1，女2 女2 女2，男1 女2，男2 女2，女1共有12种等可能的结果，其中一男一女的结果有8种，∴82123P==．19. 根据收集的素材，探索完成任务．探究太阳能热水器的安装素材一太阳能热水器是利用绿色能源造福人类的一项发明．某品牌热水器主要部件太阳能板需要安装在每天都可以有太阳光照射到的地方，才能保证使用效果，否则不予安装．素材二某市位于北半球，太阳光线与水平线的夹角为α，冬至日时，1429α°≤≤°；夏至日时，4376α°≤≤°．sin140.24°≈，cos140.97°≈，tan140.25°≈sin290.48°≈，cos290.87≈°，tan290.55≈°sin430.68°≈，cos430.73°≈，tan430.93°≈sin760.97°≈，cos760.24°≈，tan76 4.01°≈素材三如图，该市甲楼位于乙楼正南方向，两楼东西两侧都无法获得太阳光照射．现准备在乙楼南面墙上安装该品牌太阳能板．已知两楼间距为54米，甲楼AB共11层，乙楼CD共15层，一层从地面起，每层楼高皆为3.3米，AE为某时刻的太阳光线．问题解决任务一确定使用数据要判断乙楼哪些楼层不能安装该品牌太阳能板，应选择________日（填冬至或夏至）时，α为________（填14°，29°，43°，76°中的一个）进行计算．任务探究安装范围利用任务一中选择的数据进行计算，确定乙楼中哪些楼层不能安装该品牌太阳能热二 水器．【答案】任务一：冬至，14°；任务二：乙楼中7层（含7层）以下不能安装该品牌太阳能热水器 【解析】【分析】本题考查解直角三角形的应用，理解题意是解答的关键． 任务一：根据题意直接求解即可；任务二：过E 作EF AB ⊥于F ，利用正切定义求得【详解】解：任务一：根据题意，要判断乙楼哪些楼层不能安装该品牌太阳能板，只需α为冬至日时的最小角度，即14α=°， 故答案为：冬至，14°；任务二：过E 作EF AB ⊥于F ，则90AFE ∠=°，54EF =米，BF DF =，在Rt AFE 中，tan AFEFα=， ∴tan14540.2513.5AF EF =⋅°≈×=（米）， ∵11 3.336.3AB =×=（米）， ∴36.313.522.8DE BF AB AF ==−=−=（米）， 22.8 3.37÷≈（层）， 答：乙楼中7层（含7层）以下不能安装该品牌太阳能热水器．20. 每年5月的第三个星期日为全国助残日，今年的主题是“科技助残，共享美好生活”，康宁公司新研发了一批便携式轮椅计划在该月销售，根据市场调查，每辆轮椅盈利200元时，每天可售出60辆；单价每降低10元，每天可多售出4辆．公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每辆轮椅的利润不低于180元，设每辆轮椅降价x 元，每天的销售利润为y 元．（1）求y 与x 的函数关系式；每辆轮椅降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少元？ （2）全国助残日当天，公司共获得销售利润12160元，请问这天售出了多少辆轮椅？【答案】（1）2220120005y x x =−++，每辆轮椅降价20元时，每天的利润最大，为12240元 （2）这天售出了64辆轮椅【解析】【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的列出函数关系式，是解题的关键：（1）根据总利润等于单件利润乘以销量，列出二次函数函数关系式，再根据二次函数的性质求最值即可；（2）令12160y =，得到关于x 的一元二次方程，进行求解即可．【小问1详解】解：由题意，得：()222006042012000105x y x x x =−+×=−++ ； ∵每辆轮椅的利润不低于180元，∴200180x −≥，∴20x ≤， ∵()22222012000251225055y x x x =−++=−−+， ∴当25x <时，y 随x 的增大而增大，∴当20x 时，每天的利润最大，为()22202512250122405−×−+=元； 答：每辆轮椅降价20元时，每天的利润最大，为12240元；【小问2详解】当12160y =时，222012*********x x −++=， 解得：121040x x ==，（不合题意，舍去）； ∴106046410+×=（辆）； 答：这天售出了64辆轮椅．21. 如图，正比例函数y x =与反比例函数k y x =的图象交于点)A a ，将正比例函数图象向下平移()0n n >个单位后，与反比例函数图象在第一、三象限交于点B ，C ，与x 轴，y 轴交于点D ，E ，且满足:3:2BE CE =．过点B 作BF x ⊥轴，垂足为点F ，G 为x 轴上一点，直线BC 与BG 关于直线BF 成轴对称，连接CG ．（1）求反比例函数的表达式；（2）求n 的值及BCG 的面积．【答案】（1）6y x= （2）1，10【解析】【分析】本题考查反比例函数与一次函数的综合应用：（1）先求出a 的值，进而求出反比例函数的解析式即可；（2）根据平移规则，得到平移后的解析式y x n =−，联立两个解析式，表示出,B C 的坐标，过点B ，C 作x 轴的平行线交y 轴于点,M N ,根据:3:2BE CE =，进而求出n 的值，进而根据对称性得出90CBG ∠=°，勾股定理求得BD ，进而求得,BG BC 的长，即可求解．【小问1详解】解：∵正比例函数y x =与反比例函数k y x =的图象交于点)A a ，∴a =∴A ，∴6k ==； ∴6y x =； 【小问2详解】∵A ∴A A x y =∴tan 1AOD ∠= ∴45AOD ∠=°∵将正比例函数图象向下平移()0n n >个单位，∴平移后的解析式为：y x n =−，如图所示，过点B ，C 作x 轴的平行线交y 轴于点,M N ，则BME ，CNE 是等腰直角三角形， 45BEM CEN ∴∠=∠=°∴BM CN ∥∴BME CNE △∽△ ∴32BM BE CN CE == 设23,B m m，则3BM m = ∴2CN m =， ∴32,C m m−−， ∵23,B m m，32,C m m −− ，在y x n =−上 ∴2332m n m m n m =− −=−−解得：11m n = =（负值舍去）∴()()3,2,2,3B C −−，∴BC 的解析式为1y x =−，BC =当0y =时，1x =，则()1,0D ，∴2BF DF ==，1OE OD ==，则DE = ∵直线BC 与BG 关于直线BF 成轴对称，BF x ⊥轴，∴2DF FG ==，BFD △和BFG 是等腰直角三角形，∴()5,0G∴BD BG ==，∵BFD △和BFG 是等腰直角三角形，45DBF GBF ∠=∠=° ∴90∠=°DBG∴111022BCG S BG BC =×=×=22. 在等腰直角ABC 中，90ACB ∠=°，AC BC =，D 为直线BC 上任意一点，连接AD ．将线段AD 绕点D 按顺时针方向旋转90°得线段ED ，连接BE ．【尝试发现】（1）如图1，当点D 在线段BC 上时，线段BE 与CD 的数量关系为________；【类比探究】（2）当点D 在线段BC 的延长线上时，先在图2中补全图形，再探究线段BE 与CD 的数量关系并证明；【联系拓广】（3）若1AC BC ==，2CD =，请直接写出sin ECD ∠的值．【答案】（1）BE =；（2）BE =，补图及证明见解析；（3）sin ECD ∠或sin ECD ∠【分析】本题考查三角形全等的判定与性质，三角函数，掌握一线三垂直全等模型是解题的关键． （1）过点E 作EM CB ⊥延长线于点M ，利用一线三垂直全等模型证明ACD DME △≌△，再证明BM EM =即可；（2）同（1）中方法证明ACD DME △≌△，再证明BM EM =即可；（3）分两种情况讨论：过点E 作EM CB ⊥延长线于点M ，求出EM ，CE 即可．【详解】解：（1）如图，过点E 作EM CB ⊥延长线于点M ，由旋转得AD DE =，90ADE ∠=°，∴90ADC EDM ∠+∠=°，∵90ACB ∠=°， ∴ACD DME ∠=∠，90ADC CAD ∠+∠=°，∴CAD EDM ∠=∠，∴ACD DME △≌△，∴CD EM =，AC DM =，∵AC BC =，∴BM DM BD AC BD BC BD CD =−=−=−=，∴BM EM =，∵EM CB ⊥，∴BE =，故答案为：BE =；（2）补全图形如图：BE =，理由如下：过点E 作EM BC ⊥交BC 于点M ，由旋转得AD DE =，90ADE ∠=°，∴90ADC EDM ∠+∠=°，∵90ACB ∠=°， ∴ACD DME ∠=∠，90ADC CAD ∠+∠=°，∴CAD EDM ∠=∠，∴ACD DME △≌△，∴CD EM =，AC DM =，∵AC BC =，∴BM BC CM DM CM CD =−=−=，∴BM EM =，∵EM CB ⊥，∴BE =；（3）如图，当D 在CB 的延长线上时，过点E 作EM CB ⊥于点M ，连接CE ，由（2）得1DM AC ==，2EM CD ==，∴3CM CD DM =+=，∴CE∴sin13EM ECD CE ∠===． 当D 在BC 的延长线上时，过点E 作EM CB ⊥于点M ，如图，连接CE ，同理可得：ACD DME △≌△，∴1DM AC ==，2MECD ==， ∴211CM =−=，∴CE =，∴sin EM ECD CE ∠=综上：sin ECD ∠sin ECD ∠23. 如图，AB 是O 的直径，ABC 内接于O ，点I 为ABC 的内心，连接CI 并延长交O 于点D ，E 是 BC上任意一点，连接AD ，BD ，BE ，CE ．（1）若25ABC ∠=°，求CEB ∠的度数；（2）找出图中所有与DI 相等的线段，并证明；（3）若CI =DI =，求ABC 的周长． 【答案】（1）115°（2）DI AD BD ==，证明见解析（3）30【解析】【分析】（1）利用圆周角定理得到90ACB ∠=°，再根据三角形的内角和定理求65CAB ∠=°，然后利用圆内接四边形的对角互补求解即可；（2）连接AI ，由三角形的内心性质得到内心，CAI BAI ∠=∠，ACI BCI ∠=∠，然后利用圆周角定理得到DAB DCB ACI ∠=∠=∠，AD BD =，利用三角形的外角性质证得DAIDIA ∠=∠，然后利用等角对等边可得结论；（3）过I 分别作IQ AB ⊥，IF AC ⊥，IP BC ⊥，垂足分别为Q 、F 、P ，根据内切圆的性质和和切线长定理得到AQ AF =，CF CP =，BQ BP =，利用解直角三角形求得2CF CP ==， 13AB =，进而可求解．【小问1详解】解：∵AB 是O 的直径，∴90ADB ACB ∠=∠=°，又25ABC ∠=°，∴902565CAB ∠=°−°=°，∵四边形ABEC 是O 内接四边形，∴180CEB CAB ∠+∠=°，∴180115CEB CAB ∠=°−∠=°；【小问2详解】解：DI AD BD ==，证明：连接AI ，∵点I 为ABC 的内心，∴CAI BAI ∠=∠，1452ACI BCI ACB ∠=∠=∠=°， ∴ AD BD=， ∴DAB DCB ACI ∠=∠=∠，AD BD =，∵DAI DAB BAI ∠=∠+∠，DIA ACI CAI ∠=∠+∠，∴DAI DIA ∠=∠，∴DI AD BD ==；【小问3详解】解：过I 分别作IQ AB ⊥，IF AC ⊥，IP BC ⊥，垂足分别为Q 、F 、P ，∵点I 为ABC 的内心，即为ABC 的内切圆的圆心．∴Q 、F 、P 分别为该内切圆与ABC 三边的切点，∴AQ AF =，CF CP =，BQ BP =，∵CI =90IFC ∠=°，45ACI ∠=°，∴cos452CF CI CP =⋅°==，∵DI AD BD ==，DI =，90ADB ∠=°，∴13AB =， ∴ABC 的周长为AB AC BC ++AB AF CF CP BP =++++2AB AQ BQ CF =+++22AB CF +21322=×+×30=．【点睛】本题考查圆周角定理、圆内接四边形的性质、三角形的内角和定理、三角形的内心性质、三角形的外角性质、等腰三角形的判定、切线长定理以及解直角三角形，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．24. 如图，抛物线21y ax bx c =++与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，OC OA =，4AB =，对称轴为直线1 : 1l x =−，将抛物线1y 绕点O 旋转180°后得到新抛物线2y ，抛物线2y 与y 轴交于点D ，顶点为E ，对称轴为直线2l ．（1）分别求抛物线1y 和2y 的表达式；（2）如图1，点F 的坐标为()6,0−，动点M 在直线1l 上，过点M 作MN x ∥轴与直线2l 交于点N ，连接FM ，DN ．求FM MN DN ++的最小值；（3）如图2，点H 的坐标为()0,2−，动点P 在抛物线2y 上，试探究是否存在点P ，使2PEH DHE ∠=∠若存在，请直接写出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）2123y x x =−−+，2223y x x =−−（2）2+ （3）存在，()3,0P 或9480,11121P −【解析】【分析】（1）先求出点A 、B 、C 坐标，再用待定系数法求出抛物线1y 的表达式，求出其顶点坐标，由旋转可知抛物线2y 的二次项系数a 微微原来的相反数，顶点坐标与抛物线1y 的顶点坐标关于原点对称，即可求解；（2）将点F 向右平移2个单位至F ′，则2FF ′=，()4,0F ′−，过点D 作直线2l 的对称点为D ，连接,,F N F D ND ′′′′，则四边形FF NM ′为平行四边形，则MF NF ′=，ND ND ′=，因此22FM MN DN NF ND F D ′′′′++=++≥+，即可求解；（3）存在，当点P 在直线2l 右侧抛物线上时，可得12∠=∠，作H 关于直线2l 的对称点H ′，则点H ′在直线PE 上，可求直线PE 的表达式为26y x =−，联立222623y x y x x =− =−− ， 解得：3x =或1x =（舍），故()3,0P ；当点P 在直线2l 左侧抛物线上时，延长EP 交y 轴于点N ，作HN 的垂直平分线交HE 于点Q ，交y 轴于点M ，过点E 作EK y ⊥轴于点K ，则QM EK ∥，可得QH QN =，可证明出NQ NE =，由QM EK ∥，得HMQ HKE △∽△，设2,HM m MQ m ==，则2MN HM m ==，24NK m =−，在Rt QMN △和Rt ENK 中，由勾股定理得()()22222241m m m +=−+，解得：511m =或1m =（舍），所以420,11N − ，可求直线PE 表达式为：2421111y x =−−，联立22242111123y x y x x =−− =−− ，解得：911x =或1x =（舍），故9480,11121P −． 【小问1详解】解：设对称轴与x 轴交于点G ，由题意得2AG BG ==，∵对称轴为直线=1x −，∴()()1,0, 3.0B A −，∴3OC OA ==，∴()0,3C ，将A 、B 、C 分别代入21y ax bx c =++， 得：09303a b c a b c c ++= −+==， 解得：123a b c =− =− =，∴2123y x x =−−+， ∴()2212314y x x x =−−+=−++，顶点为()1,4− ∵抛物线1y 绕点O 旋转180°后得到新抛物线2y ，∴抛物线2y 的1a =，顶点为()1,4−，∴2y 的表达式为：()2214y x =−−，即2223y x x =−− 【小问2详解】解：将点F 向右平移2个单位至F ′，则2FF ′=，()4,0F ′−，过点D 作直线2l 的对称点为D ，连接,,F N F D ND ′′′′，∴ND ND ′=，∵()2214y x =−−，∴直线2l 为直线1x =，∵MN x ∥轴，∴()112MN =−−=，对于抛物线2223y x x =−−，令0x =，则23y =−，∴()0,3D −，∵点D 与点D 关于直线1x =对称，∴点()2,3D ′−，∵MN x ∥轴，2FF MN ′==，∴四边形FF NM ′为平行四边形，∴MF NF ′=，∴22FM MN DN NF ND F D ′′′′++=++≥+，当点,,F N D ′′三点共线时，取得最小值，而F D ′′=∴FM MN DN ++的最小值为2+【小问3详解】解：当点P 在直线2l 右侧抛物线上时，如图：∵抛物线()2214y x =−−，∴()1,4E −∵2l y ∥轴，∴1DHE ∠=∠，∵2PEH DHE ∠=∠，∴2112PEH ∠=∠=∠+∠，∴12∠=∠，作H 关于直线2l 的对称点H ′，则点H ′在直线PE 上，∵点H 的坐标为()0,2−，直线2l ：1x =，∴()2,2H ′−， 设直线PE 的表达式为：()0y kx b k =+≠， 代入()2,2H ′−，()1,4E −,得：224k b k b +=− +=−， 解得：26k b = =−， ∴直线PE 的表达式为26y x =−，联立222623y x y x x =− =−− ，得：22326x x x −−−， 解得：3x =或1x =（舍）， ∴()3,0P ；②当点P 在直线2l 左侧抛物线上时，延长EP 交y 轴于点N ，作HN 的垂直平分线交HE 于点Q ，交y 轴于点M ，过点E 作EK y ⊥轴于点K ，则QM EK ∥，如图：∵OM 垂直平分HN ，∴QH QN =，∴QHN QNH ∠=∠， ∴2NQE NHE ∠=∠， ∵2PEH DHE ∠=∠∴H NQE PE ∠∠=，∴NQ NE =，由点()()0,2,1,4H E −−得：1,2EK KH ==， ∵QM EK ∥，∴HMQ HKE △∽△， ∴HM MQ HK KE=， ∴21HM MQ =， 设2,HM m MQ m ==， ∴2MN HM m ==，24NK m =−，Rt QMN △和Rt ENK 中，由勾股定理得2222QM MN NK KE +=+，∴()()22222241m m m +=−+， 解得：511m =或1m =（舍） ∴20221111NK =−=， ∴24241111ON =−=， ∴420,11N−， 设直线PE 表达式为：()1110y a x b a =+≠， 代入点N ，E ， 得：11144211a b b +=− =−， 解得：112114211a b =− =−∴直线PE 表达式为：2421111y x =−−， 联立22242111123y x y x x =−− =−− ，在得：2242231111x x x −−=−−， 整理得：2112090x x −+= 解得：911x =或1x =（舍）， ∴9480,11121P −， 综上所述，()3,0P 或9480,11121P − ． 【点睛】本题是一道二次函数与角度有关的综合题，考查了待定系数法求函数解析式，三角形三边关系求最值，平行四边形的判定与性质，中心对称图形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解决本题的关键．。

2024年山东省济南市九年级中考数学学业水平考试模拟试题一、单选题1．9的算术平方根是（ ） A ．﹣3B ．±3C ．3D2．如图所示，由7个相同的小正方体组合成一个立体图形，它的左视图为（ ）A ．B ．C ．D ．3．2020年6月23日，中国第55颗北斗导航卫星成功发射，顺利完成全球组网．其中支持北斗三号新信号的22纳米工艺射频基带一体化导航定位芯片，已实现规模化应用．22纳米＝0.000000022米，将0.000000022用科学记数法表示为（ ） A ．2.2×108B ．0.22×10﹣7C ．2.2×10﹣8D ．2.2×10﹣94．以下是我国部分博物馆标志的图案，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．5．化简222m n mnm n n m++--的结果是（ ） A ．m n + B ．m n -C ．2()m n m n +-D ．2()m n m n-+6．如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点都在格点上，如果将△ABC 先沿y 轴翻折，再向上平移3个单位长度，得到A B C '''V '，那么点B 的对应点B '的坐标为（ ）A ．（1，7）B ．（0，5）C ．（3，4）D ．（﹣3，2）7．反比例函数()0ky k x=≠图象的两个分支分别位于第一、三象限，则一次函数y kx k =-的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．8．如图，在莲花山滑雪场滑雪时，需从山脚处乘缆车上山，缆车索道与水平线所成的角为30︒，缆车速度为每分钟40米，缆车从山脚处A 到达山顶B 需要15分钟，则山的高度BC 为（ ）A ．B ．C ．300米D ．1200米9．如图，在ABC V 中，AB AC =．在AB ，AC 上分别截取AP ，AQ ，使AP AQ =．再分别以点P ，Q 为圆心，以大于12PQ 的长为半径作弧，两弧在BAC ∠内交于点R ，作射线AR ，交BC 于点D ．若6BD =，则BC 的长为（ ）A ．12B ．3C ．8D ．1010．新定义：在平面直角坐标系中，对于点P （m ，n ）和点P ′（m ，n ′），若满足m ≥0时，n ′=n -4；m ＜0时，n ′=-n ，则称点P ′（m ，n ′）是点P （m ，n ）的限变点．例如：点P 1（2，5）的限变点是P 1′（2，1），点P 2（-2，3）的限变点是P 2′（-2，-3）．若点P （m ，n ）在二次函数y =-x 2+4x +2的图象上，则当-1≤m ≤3时，其限变点P ′的纵坐标n '的取值范围是（ ）A ．22n '-≤≤B ．13n ≤'≤C ．12n ≤'≤D ．23n '-≤≤二、填空题11．因式分解：29a -=12．如图，随机地闭合开关S 1，S 2，S 3，S 4，S 5中的三个，能够使灯泡L 1，L 2同时发光的概率是．13．如图，正方形AMNP 的边AM 在正五边形ABCDE 的边AB 上，则PAE ∠=14．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，⊙Ocm ，弦CD 的长为3 cm ，则阴影部分的面积是 cm 2．15．秤是我国传统的计重工具．如图，可以用秤砣到秤纽的水平距离，来得出秤钩上所挂物体的重量．称重时，秤钩所挂物重为y（斤）是秤杆上秤砣到秤纽的水平距离x（厘米）的一次函数．下表中为若干次称重时所记录的一些数据：x=厘米时，对应的y为斤．其中有一个y值记录错误，请排除后，利用正确数据确定当2416．利用图形的分、合、移、补探索图形关系是我国传统数学的一种重要方法．如图1，点I、点G是矩形ABCD对角线AC上的两点，四边形EBFG和四边形HIJD是两个全等的正方形，然后按图2重新摆放，观察两图，若矩形ABCD的周长是40，面积是88，则NQ=．三、解答题17．计算：()122sin 602tan 6020213-⎛⎫--+-⎪︒-︒ ⎝⎭．18．解不等式组：3(1)25,32,2x x x x -≥-⎧⎪⎨+<⎪⎩①②并写出它的所有整数解． 19．如图，在菱形ABCD 中，E ，F 分别是边AD 和CD 上的点，且ABE CBF ∠=∠，求证：DE DF =．20．为了解本校九年级学生的体质健康情况，朱老师随机抽取32名学生进行了一次体质健康测试，规定分数在75分（包含75分）以上为良好；根据测试成绩制成统计图表．请根据上述信息解答下列问题：(1)本次调查中的样本容量是________，=a ________； (2)补全条形统计图；(3)样本数据的中位数位于________组；(4)该校九年级学生有960人，估计该校九年级学生体质健康测试成绩为良好的有多少人？ 21．四边形不具有稳定性，工程上可利用这一性质解决问题．如图是某篮球架的侧面示意图，,,BE CD GF 为长度固定的支架，支架在,,A D G 处与立柱AH 连接（AH 垂直于MN ，垂足为H ），在,B C 处与篮板连接（BC 所在直线垂直于MN ），EF 是可以调节长度的伸缩臂（旋转点F 处的螺栓改变EF 的长度，使得支架BE 绕点A 旋转，从而改变四边形ABCD 的形状，以此调节篮板的高度）．已知,208cm AD BC DH ==，测得60GAE ∠=︒时，点C 离地面的高度为288cm ．调节伸缩臂EF ，将GAE ∠由60︒调节为54︒，判断点C 离地面的高度升高还是降低了？升高（或降低）了多少？（参考数据：sin540.8,cos540.6︒≈︒≈）22．筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具，车轮缚以竹简，旋转时低则舀水，高则泻水．如图，水力驱动筒车按逆时针方向转动，竹筒把水引至A 处，水沿射线AD 方向泻至水渠DE ，水渠DE 所在直线与水面PQ 平行；设筒车为O e ，O e 与直线PQ 交于P ，Q 两点，与直线DE交于B ，C 两点，恰有2AD BD CD =⋅，连接,AB AC ．(1)求证：AD 为O e 的切线；(2)筒车的半径为3m ，,30AC BC C =∠=︒．当水面上升，A ，O ，Q 三点恰好共线时，求筒车在水面下的最大深度（精确到0.1m 1.7≈≈）．23．“中国石化”推出促销活动，一张加油卡的面值是1000元，打九折出售．使用这张加油卡加油，每一升油，油的单价降低0.30元．假设这张加油卡的面值能够一次性全部用完． (1)他实际花了多少钱购买会员卡？(2)减价后每升油的单价为y 元/升，原价为x 元/升，求y 关于x 的函数解析式（不用写出定义域）(3)油的原价是7.30元/升，求优惠后油的单价比原价便宜多少元？ 24．【发现问题】小明在学习过程中发现：周长为定值的矩形中面积最大的是正方形．那么，面积为定值的矩形中，其周长的取值范围如何呢？ 【解决问题】小明尝试从函数图象的角度进行探究： （1）建立函数模型设一矩形的面积为4，周长为m ，相邻的两边长为x 、y ，则． ()42xy x y m =+=，，即42m y y x x ==-+，，那么满足要求的（x ，y ）应该是函数 4y x =与 2m y x =-+的图象在第_____象限内的公共点坐标． （2）画出函数图象 ①画函数 (40y x x=>）的图象； ②在同一直角坐标系中直接画出y x =-的图象，则函数2my x =-+的图象可以看成是函数y x =-的图象向上平移_____个单位长度得到．（3）研究函数图象平移直线y x =-，观察两函数的图象； ①当直线平移到与函数 (40y x x=>）的图象有唯一公共点的位置时，公共点的坐标为_____，周长m 的值为_____；②在直线平移的过程中，两函数图象公共点的个数还有什么情况？请直接写出公共点的个数及对应数值m 的取值范围． 【结论运用】（4）面积为8的矩形的周长m 的取值范围为_____．25．【情境再现】甲、乙两个含45︒角的直角三角尺如图①放置，甲的直角顶点放在乙斜边上的高的垂足O 处，将甲绕点O 顺时针旋转一个锐角到图②位置．小莹用作图软件Geogebra 按图②作出示意图，并连接,AG BH ，如图③所示，AB 交HO 于E ，AC 交OG 于F ，通过证明OBE OAF △≌△，可得OE OF =． 请你证明：AG BH =．【迁移应用】延长GA 分别交,HO HB 所在直线于点P ，D ，如图④，猜想并证明DG 与BH 的位置．．关系． 【拓展延伸】小亮将图②中的甲、乙换成含30︒角的直角三角尺如图⑤，按图⑤作出示意图，并连接,HB AG ，如图⑥所示，其他条件不变，请你猜想并证明AG 与BH 的数量．．关系．26．探索发现(1)在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（﹣3，0），B（1，0），与y轴交于点C，顶点为点D，连接AD．①如图1，直线DC交直线x＝1于点E，连接OE．求证：AD∥OE；②如图2，点P（2，﹣5）为抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）上一点，过点P作PG⊥x轴，垂足为点G．直线DP交直线x＝1于点H，连接HG．求证：AD∥HG；(2)通过上述两种特殊情况的证明，你是否有所发现？请仿照（1）写出你的猜想，并在图3上画出草图．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（﹣3，0），B（1，0），顶点为点D．点M为该抛物线上一动点（不与点A，B，D重合），_______．。

日照市2023年初中学业水平考试数学试题（满分120分，时间120分钟）注意事项：1．本试题分第I 卷和第Ⅱ卷两部分，共6页．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座号等填写在答题卡规定的位置上．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．2．第I 卷每小题选出答案后，必须用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，先用橡皮擦干净，再改涂其它答案标号．3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内，在试卷上答题不得分；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案．第I 卷（选择题36分）一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将符合题目要求选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上．1. 计算：()23--的结果是（ ）A 5 B. 1 C. -1 D. -52. 窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一．下列窗花作品既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A. B. C. D.3. 芯片内部有数以亿计的晶体管，为追求更高质量的芯片和更低的电力功耗，需要设计4积更小的晶体管．目前，某品牌手机自主研发了最新型号芯片，其晶体管栅极的宽度为0.000000014米，将数据0.000000014用科学记数法表示为（ ）A. 81.410-⨯B. 71410-⨯C. 60.1410-⨯D. 91.410-⨯4. 如图所示的几何体的俯视图可能是（ ）.A. B. C. D. 5. 在数学活动课上，小明同学将含30︒角的直角三角板的一个顶点按如图方式放置在直尺上，测得123∠=︒，则2∠的度数是（ ）．A. 23︒B. 53︒C. 60︒D. 67︒6. 下列计算正确的是（ ）A. 236a a a ⋅=B. ()32628m m -=-C. 222()x y x y +=+D. 232235ab a b a b +=7. 《九章算术》是中国古代重要的数学著作，其中“盈不足术”记载：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数鸡价各几何？译文：今有人合伙买鸡，每人出9钱，会多出11钱；每人出6钱，又差16钱．问人数、买鸡的钱数各是多少？设人数为x ，可列方程为（ ）A. 911616x x +=+B. 911616x x -=-C. 911616x x +=-D. 911616x x -=+8. 日照灯塔是日照海滨港口城市的标志性建筑之一，主要为日照近海及进出日照港的船舶提供导航服务．数学小组的同学要测量灯塔的高度，如图所示，在点B 处测得灯塔最高点A 的仰角45ABD ∠=︒，再沿BD 方向前进至C 处测得最高点A 的仰角60ACD ∠=︒，15.3m BC =，则灯塔的高度AD 大约是（ ）（结果精确到1m 1.41≈ 1.73≈）A. 31mB. 36mC. 42mD. 53m9. 已知直角三角形三边,,a b c 满足c a b >>，分别以,,a b c 为边作三个正方形，把两个较小的正方形放置在最大正方形内，如图，设三个正方形无重叠部分的面积为1S ，均重叠部分的面积为2S ，则（ ）A. 12S S > B. 12S S < C. 12S S = D. 12,S S 大小无法确定10. 若关于x 的方程32122x m x x -=--解为正数，则m 的取值范围是（ ）A. 23m >- B. 43<m C. 23m >-且0m ≠ D. 43<m 且23m ≠11. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2(0)y ax bx a =+≠，满足300a b a b +>⎧⎨+<⎩，已知点(3,)m -，(2,)n ，(4,)t 在该抛物线上，则m ，n ，t 的大小关系为（ ）A. t n m <<B. m t n <<C. n t m <<D. n m t<<12. 数学家高斯推动了数学科学的发展，被数学界誉为“数学王子”，据传，他在计算1234100+++++ 时，用到了一种方法，将首尾两个数相加，进而得到100(1100)12341002⨯++++++= ．人们借助于这样的方法，得到(1)12342n n n ++++++= （n 是正整数）．有下列问题，如图，在平面直角坐标系中的一系列格点(),i i i A x y，其中的1,2,3,,,i n = ，且,i i x y 是整数．记n n n a x y =+，如1(0,0)A ，即120,(1,0)a A =，即231,(1,1)a A =-，即30,a = ，以此类推．则下列结论正确的是（ ）A. 202340a =B. 202443a =C. 2(21)26n a n -=-D. 2(21)24n a n -=-第Ⅱ卷（非选择题 84分）二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分．不需写出解答过程，请将答案直接写在答题卡相应位置上．13. 分解因式：3a b ab -=_________．14. 若点()3,1M m m +-在第四象限，则m 的取值范围是__________．15. 已知反比例函数63k y x-=（1k >且2k ≠）的图象与一次函数7y x b =-+的图象共有两个交点，且两交点横坐标的乘积120x x ⋅>，请写出一个满足条件的k 值__________．16. 如图，矩形ABCD 中，68AB AD ==，，点P 在对角线BD 上，过点P 作MN BD ⊥，交边AD BC ，于点M ，N ，过点M 作ME AD ⊥交BD 于点E ，连接EN BM DN ，，．下列结论：①EM EN =；②四边形MBND 的面积不变；③当:1:2AM MD =时，9625MPE S =△；④BM MN ND ++的最小值是20．其中所有正确结论的序号是__________．三、解答题：本题共6个小题，满分72分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17. （12122sin 45-︒--⨯；（2）先化简，再求值：2221244x x x x x x ⎛⎫---÷ ⎪--+⎝⎭，其中12x =-．18. 2023年3月22日至28日是第三十届“中国水周”，某学校组织开展主题为“节约用水，共护母亲河”的社会实践活动．A 小组在甲，乙两个小区各随机抽取30户居民，统计其3月份用水量，分别将两个小区居民的用水量()3m x 分为5组，第一组：57x ≤<，第二组：79x ≤<，第三组：911x ≤<，第四组：1113≤<x ，第五组：1315x ≤<，并对数据进行整理、描述和分析，得到如下信息：信息一：甲小区3月份用水量频数分布表用水量（x /m ）频数（户）57x ≤<479x ≤<9911x ≤<101113≤<x 51315x ≤<2信息二：甲、乙两小区3月份用水量数据的平均数和中位数如下：甲小区乙小区平均数9.09.1中位数9.2a信息三：乙小区3月份用水量在第三组的数据为：9，9.2，9.4，9.5，9.6，9.7，10，10.3，10.4，10.6．根据以上信息，回答下列问题：（1）=a __________；（2）在甲小区抽取的用户中，3月份用水量低于本小区平均用水量的户数所占百分比为1b ，在乙小区抽取的用户中，3月份用水量低于本小区平均用水量的户数所占百分比为2b ，比较1b ，2b 大小，并说明理由；（3）若甲小区共有600户居民，乙小区共有750户居民，估计两个小区3月份用水量不低于313m 的总户数；（4）因任务安排，需在B 小组和C 小组分别随机抽取1名同学加入A 小组，已知B 小组有3名男生和1名女生，C 小组有2名男生和2名女生，请用列表或画树状图的方法，求抽取的两名同学都是男生的概率．19. 如图，平行四边形ABCD 中，点E 是对角线AC 上一点，连接BE DE ，，且BE DE =．（1）求证：四边形ABCD 是菱形；（2）若10tan 2AB BAC =∠=，，求四边形ABCD 的面积．20. 要制作200个A ，B 两种规格的顶部无盖木盒，A 种规格是长、宽、高都为20cm 的正方体无盖木盒，B 种规格是长、宽、高各为20cm ，20cm ，10cm 的长方体无盖木盒，如图1．现有200张规格为40cm 40cm ⨯的木板材，对该种木板材有甲、乙两种切割方式，如图2．切割、拼接等板材损耗忽略不计．（1）设制作A 种木盒x 个，则制作B 种木盒__________个；若使用甲种方式切割木板材y 张，则使用乙种方式切割的木板材__________张；（2）该200张木板材恰好能做成200个A 和B 两种规格的无盖木盒，请分别求出A ，B 木盒的个数和使用甲，乙两种方式切割的木板材张数；的（3）包括材质等成本在内，用甲种切割方式的木板材每张成本5元，用乙种切割方式的木板材每张成本8元．根据市场调研，A 种木盒的销售单价定为a 元，B 种木盒的销售单价定为1202a ⎛⎫- ⎪⎝⎭元，两种木盒的销售单价均不能低于7元，不超过18元．在（2）的条件下，两种木盒的销售单价分别定为多少元时，这批木盒的销售利润最大，并求出最大利润．21. 在探究“四点共圆的条件”的数学活动课上，小霞小组通过探究得出：在平面内，一组对角互补的四边形的四个顶点共圆．请应用此结论．解决以下问题：如图1，ABC 中，AB AC BAC α=∠=，（60180α<<︒︒）．点D 是BC 边上一动点（点D 不与B ，C 重合），将线段AD 绕点A 顺时针旋转α到线段AE ，连接BE ．（1）求证：A ，E ，B ，D 四点共圆；（2）如图2，当AD CD =时，O 是四边形AEBD 的外接圆，求证：AC 是O 的切线；（3）已知1206BC α=︒=，，点M 是边BC 的中点，此时P 是四边形AEBD 的外接圆，直接写出圆心P 与点M 距离的最小值．22. 在平面直角坐标系xOy 内，抛物线()2520y ax ax a =-++>交y 轴于点C ，过点C 作x 轴的平行线交该抛物线于点D ．（1）求点C ，D 的坐标；（2）当13a =时，如图1，该抛物线与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），点P 为直线AD 上方抛物线上一点，将直线PD 沿直线AD 翻折，交x 轴于点(4,0)M ，求点P 的坐标；（3）坐标平面内有两点()1,1,5,1E a F a a ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，以线段EF 边向上作正方形EFGH ．①若1a =，求正方形EFGH 的边与抛物线的所有交点坐标；的为②当正方形EFGH的边与该抛物线有且仅有两个交点，且这两个交点到x轴的距离之差为52时，求a的值．日照市2023年初中学业水平考试数学试题（满分120分，时间120分钟）注意事项：1．本试题分第I 卷和第Ⅱ卷两部分，共6页．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座号等填写在答题卡规定的位置上．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．2．第I 卷每小题选出答案后，必须用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，先用橡皮擦干净，再改涂其它答案标号．3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内，在试卷上答题不得分；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案．第I 卷（选择题36分）一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将符合题目要求选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上．1. 计算：()23--的结果是（ ）A. 5B. 1C. -1D. -5【答案】A【解析】【分析】把减法化为加法，即可求解 。

2019年山东省普通高中学业水平考试数学试题(带答案)2019年山东省普通高中学业水平考试数学试题（带答案）一、选择题（共20小题，每小题3分，共60分）1.已知集合 $A=\{2,4,8\}$，$B=\{1,2,4\}$，则 $A\capB=$（）A。

{4} B。

{2} C。

{2,4} D。

{1,2,4,8}2.周期为 $\pi$ 的函数是（）A。

$y=\sin x$ B。

$y=\cos x$ C。

$y=\tan 2x$ D。

$y=\sin2x$3.在区间 $(1,2)$ 上为减函数的是（）A。

$y=x$ B。

$y=x^2$ C。

$y=\frac{1}{x}$ D。

$y=\ln x$4.若角 $\alpha$ 的终边经过点 $(-1,2)$，则 $\cos\alpha=$（）A。

$-\frac{5}{13}$ B。

$\frac{5}{13}$ C。

$-\frac{1}{13}$ D。

$\frac{1}{13}$5.把红、黄两张纸牌随机分给甲、乙两个人，每人分得一张，设事件 $P$ 为“甲分得黄牌”，设事件 $Q$ 为“乙分得黄牌”，则（）A。

$P$ 是必然事件 B。

$Q$ 是不可能事件 C。

$P$ 与$Q$ 是互斥但不对立事件 D。

$P$ 与 $Q$ 是互斥且对立事件6.在数列 $\{a_n\}$ 中，若 $a_{n+1}=3a_n$，$a_1=2$，则$a_4=$（）A。

18 B。

36 C。

54 D。

1087.采用系统抽样的方法，从编号为1～50的50件产品中随机抽取5件进行检验，则所选取的5件产品的编号可以是（）A。

1,2,3,4,5 B。

2,4,8,16,32 C。

3,13,23,33,43 D。

5,10,15,20,258.已知 $x,y\in (0,+\infty)$，且 $x+y=1$，则 $xy$ 的最大值为（）A。

1 B。

$\frac{1}{3}$ C。

$\frac{1}{4}$ D。

济南市2022年九年级学业水平考试数学试卷选择题部分共48分一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.﹣7的相反数是（）A.﹣7B.7C.17D.﹣172.如图是某几何体的三视图，该几何体是（）A .圆柱B.球C.圆锥D.正四棱柱3.神舟十三号飞船在近地点高度200000m ，远地点高度356000m 的轨道上驻留了6个月后，于2022年4月16日顺利返回．将数字356000用科学记数法表示为（）A.53.5610⨯ B.60.35610⨯ C.63.5610⨯ D.435.610⨯4.如图，//AB CD ，点E 在AB 上，EC 平分∠AED ，若∠1＝65°，则∠2的度数为（）A.45°B.50°C.57.5°D.65°5.下列绿色能源图标中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.6.实数a ，b 在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（）A.0ab >B.0a b +> C.a b< D.11+<+a b 7.某班级计划举办手抄报展览，确定了“5G 时代”、“北斗卫星”、“高铁速度”三个主题，若小明和小亮每人随机选择其中一个主题，则他们恰好选择同一个主题的概率是（）A.19B.16C.13D.238.若m －n ＝2，则代数式222m n mm m n-⋅+的值是（）A.－2B.2C.－4D.49.某学校要建一块矩形菜地供学生参加劳动实践，菜地的一边靠墙，另外三边用木栏围成，木栏总长为40m ．如图所示，设矩形一边长为xm ，另一边长为ym ，当x 在一定范围内变化时，y 随x 的变化而变化，则y 与x 满足的函数关系是（）A.正比例函数关系B.一次函数关系C.反比例函数关系D.二次函数关系10.如图，矩形ABCD 中，分别以A ，C 为圆心，以大于12AC 的长为半径作弧，两弧相交于M ，N 两点，作直线MN 分别交AD ，BC 于点E ，F ，连接AF ，若BF ＝3，AE ＝5，以下结论错误．．的是（）A .AF ＝CFB.∠FAC ＝∠EACC.AB ＝4D.AC ＝2AB11.数学活动小组到某广场测量标志性建筑AB 的高度．如图，他们在地面上C 点测得最高点A 的仰角为22°，再向前70m 至D 点，又测得最高点A 的仰角为58°，点C ，D ，B 在同一直线上，则该建筑物AB 的高度约为（）（精确到1m ．参考数据：sin 220.37︒≈，tan 220.40︒≈，sin 580.85︒≈，tan 58 1.60︒≈）A .28mB.34mC.37mD.46m12.抛物线2222y x mx m =-+-+与y 轴交于点C ，过点C 作直线l 垂直于y 轴，将抛物线在y 轴右侧的部分沿直线l 翻折，其余部分保持不变，组成图形G ，点()11,M m y -，()21,N m y +为图形G 上两点，若12y y <，则m 的取值范围是（）A.1m <-或0m > B.1122m -<< C.0m ≤< D.11m -<<非选择题部分共102分二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分，直接填写答案．）13.因式分解：244a a ++=______．14.如果小球在如图所示的地板上自由地滚动，并随机的停留在某块方砖上，那么它最终停留在阴影区域的概率是______．15.小的整数_____．16.代数式32x +与代数式21x -的值相等，则x ＝______．17.利用图形的分、和、移、补探索图形关系，是我国传统数学的一种重要方法．如图1，BD 是矩形ABCD 的对角线，将△BCD 分割成两对全等的直角三角形和一个正方形，然后按图2重新摆放，观察两图，若a ＝4，b ＝2，则矩形ABCD 的面积是______．18.规定：在平面直角坐标系中，一个点作“0”变换表示将它向右平移一个单位，一个点作“1”变换表示将它绕原点顺时针旋转90°，由数字0和1组成的序列表示一个点按照上面描述依次连续变换．例如：如图，点()0,0O 按序列“011…”作变换，表示点O 先向右平移一个单位得到()11,0O ，再将()11,0O 绕原点顺时针旋转90°得到()20,1O -，再将()20,1O -绕原点顺时针旋转90°得到()31,0O -…依次类推．点()0,1经过“011011011”变换后得到点的坐标为______．三、解答题（本大题共9个小题，共78分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）19.计算：1134sin 303-⎛⎫--︒+ ⎪⎝⎭．20.解不等式组：()1,232532.x x x x -⎧<⎪⎨⎪-≤-⎩①②，并写出它的所有整数解．21.已知：如图，在菱形ABCD 中，E ，F 是对角线AC 上两点，连接DE ，DF ，∠ADF ＝∠CDE ．求证：AE ＝CF．22.某校举办以2022年北京冬奥会为主题的知识竞赛，从七年级和八年级各随机抽取了50名学生的竞赛成绩进行整理、描述和分析，部分信息如下：a ：七年级抽取成绩的频数分布直方图如图．（数据分成5组，5060x ≤<，6070x ≤<，7080x ≤<，8090x ≤<，90100x ≤≤）b ：七年级抽取成绩在7080x ≤<这一组的是：70，72，73，73，75，75，75，76，77，77，78，78，79，79，79，79．c ：七、八年级抽取成绩的平均数、中位数如下：年级平均数中位数七年级76.5m 八年级78.279请结合以上信息完成下列问题：（1）七年级抽取成绩在6090x ≤<的人数是_______，并补全频数分布直方图；（2）表中m 的值为______；（3）七年级学生甲和八年级学生乙的竞赛成绩都是78，则______（填“甲”或“乙”）的成绩在本年级抽取成绩中排名更靠前；（4）七年级的学生共有400人，请你估计七年级竞赛成绩90分及以上的学生人数．23.已知：如图，AB 为⊙O 的直径，CD 与⊙O 相切于点C ，交AB 延长线于点D ，连接AC ，BC ，∠D ＝30°，CE 平分∠ACB 交⊙O 于点E ，过点B 作BF ⊥CE ，垂足为F ．（1）求证：CA ＝CD ；（2）若AB ＝12，求线段BF 的长．24.为增加校园绿化面积，某校计划购买甲、乙两种树苗．已知购买20棵甲种树苗和16棵乙种树苗共花费1280元，购买1棵甲种树苗比1棵乙种树苗多花费10元．（1）求甲、乙两种树苗每棵的价格分别是多少元？（2）若购买甲、乙两种树苗共100棵，且购买乙种树苗的数量不超过甲种树苗的3倍，则购买甲、乙两种树苗各多少棵时花费最少？请说明理由．25.如图，一次函数112y x =+的图象与反比例函数()0ky x x =>的图象交于点(),3A a ，与y 轴交于点B ．（1）求a ，k 的值；（2）直线CD 过点A ，与反比例函数图象交于点C ，与x 轴交于点D ，AC ＝AD ，连接C B ．①求△ABC 的面积；②点P 在反比例函数的图象上，点Q 在x 轴上，若以点A ，B ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有符合条件的点P 坐标．26.如图1，△ABC 是等边三角形，点D 在△ABC 的内部，连接AD ，将线段AD 绕点A 按逆时针方向旋转60°，得到线段AE ，连接BD ，DE ，CE ．（1）判断线段BD 与CE 的数量关系并给出证明；（2）延长ED 交直线BC 于点F ．①如图2，当点F 与点B 重合时，直接用等式表示线段AE ，BE 和CE 的数量关系为_______；②如图3，当点F 为线段BC 中点，且ED ＝EC 时，猜想∠BAD 的度数，并说明理由．27.抛物线21164y ax x =+-与x 轴交于(),0A t ，()8,0B 两点，与y 轴交于点C ，直线y ＝kx －6经过点B ．点P 在抛物线上，设点P 的横坐标为m ．（1）求抛物线的表达式和t，k的值；（2）如图1，连接AC，AP，PC，若△APC是以CP为斜边的直角三角形，求点P的坐标；（3）如图2，若点P在直线BC上方的抛物线上，过点P作PQ⊥BC，垂足为Q，求12CQ PQ的最大值．济南市2022年九年级学业水平考试数学试卷选择题部分共48分一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.﹣7的相反数是（）A.﹣7 B.7C.17D.﹣17【答案】B【分析】据相反数的性质，互为相反数的两个数和为0，采用逐一检验法求解即可．【详解】解：根据概念，﹣7的相反数是7．故选：B ．【点睛】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号：一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．2.如图是某几何体的三视图，该几何体是（）A.圆柱B.球C.圆锥D.正四棱柱【答案】A【分析】由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状．【详解】解：主视图和左视图都是长方形，那么此几何体为柱体，由俯视图为圆，可得此几何体是圆柱．故选：A ．【点睛】此题考查了由三视图判断几何体，主视图和左视图的大致轮廓为三角形的几何体为锥体．3.神舟十三号飞船在近地点高度200000m ，远地点高度356000m 的轨道上驻留了6个月后，于2022年4月16日顺利返回．将数字356000用科学记数法表示为（）A.53.5610⨯ B.60.35610⨯ C.63.5610⨯ D.435.610⨯【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可．【详解】解：356000＝3.56×105．故选：A．【点睛】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，确定a与n的值是解题的关键．AB CD，点E在AB上，EC平分∠AED，若∠1＝65°，则∠2的度数为（）4.如图，//A.45°B.50°C.57.5°D.65°【答案】B【分析】根据平行线及角平分线的性质即可求解．AB CD，【详解】解：∵//∴∠AEC=∠1（两直线平行，内错角相等），∵EC平分∠AED，∴∠A EC=∠CED=∠1，∵∠1=65°，∴∠CED=∠1=65°，∴∠2=180°-∠CED-∠1=180°-65°-65°=50°．故选：B．【点睛】本题考查了平行线的性质，解题关键根据直线平行和角平分线的性质得出角度之间的关系即可得出答案．5.下列绿色能源图标中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．【详解】解：A 、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；B 、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；C 、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；D 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意．故选：B ．【点睛】本题考查了中心对称图形以及轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．6.实数a ，b 在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（）A.0ab >B.0a b +> C.a b< D.11+<+a b 【答案】D【分析】利用数轴与实数的关系，及正负数在数轴上的表示求解．【详解】解：根据图形可以得到：320a -<<-<，01b <<，∴0ab <，故A 项错误，0a b +<，故B 项错误，a b >，故C 项错误，11+<+a b ，故D 项错误．故选：D ．【点睛】本题考查了数轴与实数的关系，理解并正确运用是解题的关键．7.某班级计划举办手抄报展览，确定了“5G 时代”、“北斗卫星”、“高铁速度”三个主题，若小明和小亮每人随机选择其中一个主题，则他们恰好选择同一个主题的概率是（）A.19B.16C.13D.23【答案】C【分析】画树状图，共有9种等可能的结果，其中小明和小刚恰好选择同一个主题结果有3种，再由概率公式求解即可．【详解】解：把“5G时代”、“北斗卫星”、“高铁速度”三个主题分别记为A、B、C，画树状图如下：共有9种等可能的结果，其中小明和小刚恰好选择同一个主题的结果有3种，∴小明和小刚恰好选择同一个主题的概率为31 93=．故选：C．【点睛】本题考查了用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．8.若m－n＝2，则代数式222m n mm m n-⋅+的值是（）A.－2B.2C.－4D.4【答案】D【分析】先因式分解，再约分得到原式＝2（m-n），然后利用整体代入的方法计算代数式的值．【详解】解：原式m n m nm+-=（）（）•2mm n+＝2（m-n），当m-n＝2时，原式＝2×2＝4．故选：D．【点睛】本题考查了分式的化简求值：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．9.某学校要建一块矩形菜地供学生参加劳动实践，菜地的一边靠墙，另外三边用木栏围成，木栏总长为40m．如图所示，设矩形一边长为xm，另一边长为ym，当x在一定范围内变化时，y随x的变化而变化，则y 与x 满足的函数关系是（）A.正比例函数关系B.一次函数关系C.反比例函数关系D.二次函数关系【答案】B 【分析】根据矩形周长找出关于x 和y 的等量关系即可解答．【详解】解：根据题意得：240x y +=，∴240y x =-+，∴y 与x 满足的函数关系是一次函数；故选：B ．【点睛】本题通过矩形的周长考查一次函数的定义，解题的关键是理清实际问题中的等量关系准确地列式．10.如图，矩形ABCD 中，分别以A ，C 为圆心，以大于12AC 的长为半径作弧，两弧相交于M ，N 两点，作直线MN 分别交AD ，BC 于点E ，F ，连接AF ，若BF ＝3，AE ＝5，以下结论错误．．的是（）A.AF ＝CFB.∠FAC ＝∠EACC.AB ＝4D.AC ＝2AB【答案】D【分析】根据作图过程可得，MN 是AC 的垂直平分线，再由矩形的性质可以证明AFO CEO △≌△，可得5,AF CE AE ===再根据勾股定理可得AB 的长，即可判定得出结论．【详解】解：A ，根据作图过程可得，MN 是AC 的垂直平分线，,AF CF ∴=故此选项不符合题意．B ，如图，由矩形的性质可以证明AFO CEO △≌△，,AE CF ∴=,FA FC = ,AE AF ∴=∵MN 是AC 的垂直平分线，,FAC EAC ∴∠∠＝故此选项不符合题意．C ，5AE ＝，5AF AE ∴=＝，在Rt ABF 中3,BF =4,AB ∴==故此选项不符合题意．D ，358,BC BF FC =+=+=AC ∴==4,AB = 2.AC AB ∴≠故此选项符合题意．故选：D ．【点睛】本题考查了作图-基本作图，线段垂直平分线的性质、矩形的性质、勾股定理，解决本题的关键是掌握基本作图方法．11.数学活动小组到某广场测量标志性建筑AB 的高度．如图，他们在地面上C 点测得最高点A 的仰角为22°，再向前70m 至D 点，又测得最高点A 的仰角为58°，点C ，D ，B 在同一直线上，则该建筑物AB 的高度约为（）（精确到1m ．参考数据：sin 220.37︒≈，tan 220.40︒≈，sin 580.85︒≈，tan 58 1.60︒≈）A.28mB.34mC.37mD.46m【答案】C 【分析】在Rt △ABD 中，解直角三角形求出58DB AB =，在Rt △ABC 中，解直角三角形可求出AB ．【详解】解：在Rt △ABD 中，tan ∠ADB ＝AB DB ，∴5tan 58 1.68AB AB DB AB =≈=︒，在Rt △ABC 中，tan ∠ACB ＝AB CB ，∴tan 220.45708AB AB ︒=≈+，解得：112373AB =≈m ，故选：C ．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握正切函数的定义是解题的关键．12.抛物线2222y x mx m =-+-+与y 轴交于点C ，过点C 作直线l 垂直于y 轴，将抛物线在y轴右侧的部分沿直线l 翻折，其余部分保持不变，组成图形G ，点()11,M m y -，()21,N m y +为图形G 上两点，若12y y <，则m 的取值范围是（）A.1m <-或0m > B.1122m -<< C.0m ≤< D.11m -<<【答案】D【分析】求出抛物线的对称轴、C 点坐标以及当x =m -1和x =m +1时的函数值，再根据m -1＜m +1，判断出M 点在N 点左侧，此时分类讨论：第一种情况，当N 点在y 轴左侧时，第二种情况，当M 点在y 轴的右侧时，第三种情况，当y 轴在M 、N 点之间时，来讨论，结合图像即可求解．【详解】抛物线解析式2222y x mx m =-+-+变形为：22()y x m =--，即抛物线对称轴为x m =，当x =m -1时，有22(1)1y m m =---=，当x =m +1时，有22(1)1y m m =-+-=，设(m -1,1)为A 点，(m +1,1)为B 点，即点A (m -1,1)与B (m +1,1)关于抛物线对称轴对称，当x =0时，有222(0)2y m m =--=-，∴C 点坐标为2(0,2)m -，当x =m 时，有22()2y m m =--=，∴抛物线顶点坐标为(,2)m ，∵直线l ⊥y 轴，∴直线l 为22y m =-，∵m -1＜m +1，∴M 点在N 点左侧，此时分情况讨论：第一种情况，当N 点在y 轴左侧时，如图，由图可知此时M 、N 点分别对应A 、B 点，即有121y y ==，∴此时不符合题意；第二种情况，当M 点在y 轴的右侧时，如图，由图可知此时M 、N 点满足12y y =，∴此时不符合题意；第三种情况，当y 轴在M 、N 点之间时，如图，或者，由图可知此时M 、N 点满足12y y ＜，∴此时符合题意；此时由图可知：101m m -+＜＜，解得11m -＜＜，综上所述：m 的取值范围为：11m -＜＜，故选：D ．【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质、翻折的性质，注重数形结合是解答本题的关键．非选择题部分共102分二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分，直接填写答案．）13.因式分解：244a a ++=______．【答案】()22a +【分析】原式利用完全平方公式分解即可．【详解】解：244a a ++=()22a +．故答案为：()22a +．【点睛】此题考查了公式法的运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．14.如果小球在如图所示的地板上自由地滚动，并随机的停留在某块方砖上，那么它最终停留在阴影区域的概率是______．【答案】49【分析】根据题意可得一共有9块方砖，其中阴影区域的有4块，再根据概率公式计算，即可求解．【详解】解：根据题意得：一共有9块方砖，其中阴影区域的有4块，∴它最终停留在阴影区域的概率是49．故答案为：49【点睛】本题考查了概率公式：熟练掌握随机事件A 的概率P （A ）=事件A 可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数；P （必然事件）=1；P （不可能事件）=0是解题的关键．15.小的整数_____．【答案】3（答案不唯一）和进行估算，再根据题意即可得出答案．2＜3＜45<，小的整数有2，3，4.故答案为：3（答案不唯一）．是解题的关键．16.代数式32x +与代数式21x -的值相等，则x ＝______．【答案】7【分析】根据题意列出分式方程，求出方程的解，得到x 的值即可．【详解】解：∵代数式32x +与代数式21x -的值相等，∴3221x x =+-，去分母()()3122x x -=+，去括号号3324x x -=+，解得7x =，检验：当7x =时，()()210x x +-≠，∴分式方程的解为7x =．故答案为：7．【点睛】本题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．17.利用图形的分、和、移、补探索图形关系，是我国传统数学的一种重要方法．如图1，BD 是矩形ABCD 的对角线，将△BCD 分割成两对全等的直角三角形和一个正方形，然后按图2重新摆放，观察两图，若a ＝4，b ＝2，则矩形ABCD 的面积是______．【答案】16【分析】设小正方形的边长为x ，利用a 、b 、x 表示矩形的面积，再用a 、b 、x 表示三角形以及正方形的面积，根据面积列出关于a 、b 、x 的关系式，解出x ，即可求出矩形面积．【详解】解：设小正方形的边长为x ，∴矩形的长为()a x +，宽为()b x +，由图1可得：()()211122222a xb x ax bx x ++=⨯+⨯+，整理得：20x ax bx ab ++-=，4a = ，2b =，2680x x ∴+-=，268x x ∴+=，∴矩形的面积为()()()()242688816a x b x x x x x ++=++=++=+=．故答案为：16．【点睛】本题主要考查列代数式，一元二次方程的应用，求出小正方形的边长是解题的关键．18.规定：在平面直角坐标系中，一个点作“0”变换表示将它向右平移一个单位，一个点作“1”变换表示将它绕原点顺时针旋转90°，由数字0和1组成的序列表示一个点按照上面描述依次连续变换．例如：如图，点()0,0O 按序列“011…”作变换，表示点O 先向右平移一个单位得到()11,0O ，再将()11,0O 绕原点顺时针旋转90°得到()20,1O -，再将()20,1O -绕原点顺时针旋转90°得到()31,0O -…依次类推．点()0,1经过“011011011”变换后得到点的坐标为______．【答案】()1,1--【分析】根据题意得出点()0,1坐标变化规律，进而得出变换后的坐标位置，进而得出答案．【详解】解：点()0,1按序列“011011011”作变换，表示点()0,1先向右平移一个单位得到()1,1，再将()1,1绕原点顺时针旋转90°得到()1,1-，再将()1,1-绕原点顺时针旋转90°得到()1,1--，然后右平移一个单位得到()0,1-，再将()0,1-绕原点顺时针旋转90°得到()1,0-，再将()1,0-绕原点顺时针旋转90°得到()0,1，然后右平移一个单位得到()1,1，再将()1,1绕原点顺时针旋转90°得到()1,1-，再将()1,1-绕原点顺时针旋转90°得到()1,1--．故答案为：()1,1--【点睛】此题主要考查了点的坐标变化规律，得出点坐标变化规律是解题关键．三、解答题（本大题共9个小题，共78分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）19.计算：1134sin 3043-⎛⎫--︒+ ⎪⎝⎭．【答案】6【分析】先根据绝对值的意义，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，算术平方根定义进行化简，然后再进行计算即可．【详解】解：1134sin 3043-⎛⎫--︒ ⎪⎝⎭11342123=-⨯++3223=-++6=【点睛】本题主要考查了实数的混合运算，熟练掌握绝对值的意义，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，算术平方根定义，是解题的关键．20.解不等式组：()1,232532.x x x x -⎧<⎪⎨⎪-≤-⎩①②，并写出它的所有整数解．【答案】13x ≤<，整数解为1，2【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，进而确定出整数解即可．【详解】解不等式①，得3x <，解不等式②，得1≥x ，在同一条数轴上表示不等式①②的解集原不等式组的解集是13x ≤<，∴整数解为1，2．【点睛】此题考查了一元一次不等式组的整数解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．21.已知：如图，在菱形ABCD 中，E ，F 是对角线AC 上两点，连接DE ，DF ，∠ADF ＝∠CDE ．求证：AE ＝CF．【答案】见解析【分析】根据菱形的性质得出DA DC =，DAC DCA ∠=∠，再利用角的等量代换得出ADE CDF ∠=∠，接着由角边角判定DAE DCF △≌△，最后由全等的性质即可得出结论．【详解】解：∵四边形ABCD 是菱形，E ，F 是对角线AC 上两点，∴DA DC =，DAC DCA ∠=∠．∵ADF CDE ∠=∠，∴ADF EDF CDE EDF ∠-∠=∠-∠，即ADE CDF ∠=∠．在DAE △和DCF 中，DA DC ADE CD DAC DC F A ⎧⎪=⎨⎪∠=∠∠∠⎩=，∴DAE DCF ASA △≌△（），∴AE CF =．【点睛】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练地掌握这些性质和判定定理，并能从题中找到合适的条件进行证明．22.某校举办以2022年北京冬奥会为主题的知识竞赛，从七年级和八年级各随机抽取了50名学生的竞赛成绩进行整理、描述和分析，部分信息如下：a ：七年级抽取成绩的频数分布直方图如图．（数据分成5组，5060x ≤<，6070x ≤<，7080x ≤<，8090x ≤<，90100x ≤≤）b ：七年级抽取成绩在7080x ≤<这一组的是：70，72，73，73，75，75，75，76，77，77，78，78，79，79，79，79．c ：七、八年级抽取成绩的平均数、中位数如下：年级平均数中位数七年级76.5m 八年级78.279请结合以上信息完成下列问题：（1）七年级抽取成绩在6090x ≤<的人数是_______，并补全频数分布直方图；（2）表中m 的值为______；（3）七年级学生甲和八年级学生乙的竞赛成绩都是78，则______（填“甲”或“乙”）的成绩在本年级抽取成绩中排名更靠前；（4）七年级的学生共有400人，请你估计七年级竞赛成绩90分及以上的学生人数．【答案】（1）38，理由见解析（2）77（3）甲（4）七年级竞赛成绩90分及以上人数约为64人【分析】（1）根据题意及频数分布直方图即可得出结果；（2）根据中位数的计算方法求解即可；（3）由七八年级中位数与甲乙学生成绩的比较即可得出结果；（4）用总人数乘以七年级竞赛成绩90分及以上的学生人数占总的人数的比例求解即可．【小问1详解】解：由题意可得：70≤x <80这组的数据有16人，∴七年级抽取成绩在60≤x <90的人数是：12+16+10=38人，故答案为：38；补全频数分布直方图如图所示；【小问2详解】解：∵4+12=16<25，4+12+16>25，∴七年级中位数在70≤x <80这组数据中，∴第25、26的数据分别为77，77，∴m =7777772+=，故答案为：77；【小问3详解】解：∵七年级学生的中位数为77<78，八年级学生的中位数为79>78，∴甲的成绩在本年级抽取成绩中排名更靠前，故答案为：甲；【小问4详解】解：84006450⨯=（人）答：七年级竞赛成绩90分及以上人数约为64人．【点睛】题目主要考查统计的相关应用，包括频数分布直方图及用部分估计总体、中位数的求法等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．23.已知：如图，AB 为⊙O 的直径，CD 与⊙O 相切于点C ，交AB 延长线于点D ，连接AC ，BC ，∠D ＝30°，CE 平分∠ACB 交⊙O 于点E ，过点B 作BF ⊥CE ，垂足为F ．（1）求证：CA ＝CD ；（2）若AB ＝12，求线段BF 的长．【答案】（1）见解析（2）【分析】（1）连接OC ，欲证明CA ＝CD ，只要证明CAD CDA ∠=∠即可．（2）因为AB 为直径，所以90ACB ∠=︒，可得出三角形CBF 为等腰直角三角形，即可求出BF ，由此即可解决问题．【小问1详解】证明：连接OC∵CD 与O 相切于点C ，∴OC CD ⊥，∴90OCD ∠=︒，∵30CDA ∠=︒，∴9060COB CDA ∠=︒-∠=︒，∵ BC所对的圆周角为CAB ∠，圆心角为COB ∠，∴1302CAB COB ∠=∠=︒，∴CAD CDA ∠=∠，∴CA CD =．【小问2详解】∵AB 为直径，∴90ACB ∠=︒，在Rt ABC 中，30CAB ∠=︒，12AB =，∴162BC AB ==，∵CE 平分ACB ∠，∴1452ECB ACB ∠=∠=︒，∵BF CE ⊥，∴90CFB ∠=︒，∴2sin 456322BF BC =⋅=⨯=︒【点睛】本题考查切线的性质，圆周角定理、解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，学会条件常用辅助线，属于中考常考题型．24.为增加校园绿化面积，某校计划购买甲、乙两种树苗．已知购买20棵甲种树苗和16棵乙种树苗共花费1280元，购买1棵甲种树苗比1棵乙种树苗多花费10元．（1）求甲、乙两种树苗每棵的价格分别是多少元？（2）若购买甲、乙两种树苗共100棵，且购买乙种树苗的数量不超过甲种树苗的3倍，则购买甲、乙两种树苗各多少棵时花费最少？请说明理由．【答案】（1）甲种树苗每棵40元，乙种树苗每棵30元（2）当购买甲种树苗25棵，乙种树苗75棵时，花费最少，理由见解析【分析】（1）设每棵甲种树苗的价格为x 元，每棵乙种树苗的价格y 元，由“购买20棵甲种树苗和16棵乙种树苗共花费1280元，购买1棵甲种树苗比1棵乙种树苗多花费10元”列出方程组，求解即可；（2）设购买甲种树苗m 棵，则购买乙种树苗()100m -棵，购买两种树苗总费用为W 元得出一次函数，根据一次函数的性质求解即可．【小问1详解】设甲种树苗每棵x 元，乙种树苗每棵y 元．由题意得，2016128010x y x y +=⎧⎨-=⎩，解得4030x y =⎧⎨=⎩，答：甲种树苗每棵40元，乙种树苗每棵30元．【小问2详解】设购买甲种树苗m 棵，则购买乙种树苗()100m -棵，购买两种树苗总费用为W 元，由题意得()4030100W m m =+-，103000W m =+，由题意得1003m m -≤，解得25m ≥，因为W 随m 的增大而增大，所以当25m =时W 取得最小值．答：当购买甲种树苗25棵，乙种树苗75棵时，花费最少．【点睛】本题考查了一次函数的应用，二元一次方程组的应用，找到正确的数量关系是本题的关键．25.如图，一次函数112y x =+的图象与反比例函数()0k y x x =>的图象交于点(),3A a ，与y 轴交于点B ．（1）求a ，k 的值；（2）直线CD 过点A ，与反比例函数图象交于点C ，与x 轴交于点D ，AC ＝AD ，连接C B ．①求△ABC 的面积；②点P 在反比例函数的图象上，点Q 在x 轴上，若以点A ，B ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有符合条件的点P 坐标．【答案】（1）4a =，12k =；（2）①8；②符合条件的点P 坐标是()6,2和()3,4．【分析】（1）将点(),3A a 代入112y x =+，求出4a =，即可得()4,3A ，将点()4,3A 代入k y x=，即可求出k ；（2）①如图，过A 作AM x ⊥轴于点M ，过C 作CN x ⊥轴于点N ，交AB 于点E ，求出()2,6C ，()2,2E ，得到CE ，进一步可求出△ABC 的面积；②设()11,P x y ，()2,0Q x ．分情况讨论：ⅰ、当四边形ABQP 为平行四边形时，ⅱ、当四边形APBQ 为平行四边形时，计算即可．【小问1详解】解：将点(),3A a 代入112y x =+，得4a =，()4,3A ，将点()4,3A 代入k y x=，得4312k =⨯=，反比例函数的解析式为12y x =．【小问2详解】解：①如图，过A 作AM x ⊥轴于点M ，过C 作CN x ⊥轴于点N ，交AB 于点E ，∴AM CN ∥，∵AC AD =，∴12AM DA CN DC ==，∴6CN =，∴1226C x ==，∴()2,6C ，∴()2,2E ，∴624CE =-=，∴114242822ABC ACE BCE S S S =+=⨯⨯+⨯⨯=△△△．②分两种情况：设()11,P x y ，()2,0Q x ．。

山东省2023年普通高中学业水平合格考试数学试题第一题：选择题1.下列数中，是整数的是（A） A. -1.5 B. 0.7 C. √2 D. π2.某校教室共有150个座位，已经有90个座位被学生占据，现在又来了80名新生，每名新生至少需要一个座位，那么至少需要增加多少个座位？（B） A. 20 B. 30 C.40 D. 50第二题：填空题3.已知两个锐角三角形的角度之和相等，那么两个三角形的角度（180°）答案：相等4.一组数相乘得1，其中只有两个数为整数，其他数均为负数，则这两个整数的乘积为（1）答案：1第三题：解答题5.某校学生家长会请了3个讲座嘉宾，要求在每个讲座厅内放置相同数量的座椅，并使得每个座椅尽可能多的坐满，已知每个讲座厅内可以放置的座椅数为30个。

请计算：–如果每个讲座厅内放置的座椅数为10个，那么最多可以坐多少位学生？–如果每个讲座厅内放置的座椅数为15个，那么最多可以坐多少位学生？解答：–如果每个讲座厅内放置的座椅数为10个，则最多可以坐的学生数为：3 * 10 = 30位学生。

–如果每个讲座厅内放置的座椅数为15个，则最多可以坐的学生数为：3 * 15 = 45位学生。

第四题：解答题6.某张纸张的长和宽的比是5:3，已知纸张的宽度为30cm，请计算纸张的长和面积。

解答：由题可知，纸张的宽度为30cm，长和宽的比为5:3，设纸张的长度为5x，则有： 5x / 30 = 5 / 3 3 * 5x = 5 * 30 15x = 150 x = 150 / 15 x = 10因此，纸张的长度为5 * 10 = 50cm，面积为30cm * 50cm = 1500cm²。

结束语以上是山东省2023年普通高中学业水平合格考试数学试题的内容，希望对您的学习有所帮助。

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2023-2024学年山东省青岛市胶州市高一下学期期末学业水平检测数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

=1−i，则z的虚部为1.已知复数z满足2z+1A. −1B. 1C. −iD. i2.在空间直角坐标系O−xyz中，点A(1,1,2)关于y轴对称点的坐标为A. (1,1,−2)B. (−1,1,2)C. (−1,1,−2)D. (1,−1,2)3.已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，能使“m⊥n”成立的一组条件是A. α//β，m⊥α，n⊥βB. α//β，m⊂α，n⊥βC. α⊥β，m⊥α，n//βD. α⊥β，m⊂α，n//β4.若{a,b,c}构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是A. a+b，a+b+c，cB. a+b，a−b，cC. b+c，b，b−cD. a，a+b，a−b5.如图，圆锥的母线长为3，底面半径为1，一只蚂蚁从点P处沿着该圆锥侧面爬行一周后回到点P处，则蚂蚁爬行的最短路线长为A. 3B. 3C. 23D. 336.正四棱台的上、下底面边长分别是2和4，高是3，则它的侧面积为A. 6B. 123C. 24D. 447.若△ABC为斜三角形，sin A=cos B，则tan A+tan B的值为( )tan CA. −2B. −1C. 0D. 18.已知AB⊂平面α，AC⊥平面α，BD⊥AB，BD与平面α所成的角为30°，BD=AC=1，AB=2，则点C与点D之间的距离为A. 7B. 13C. 5或7D. 5或13二、多选题：本题共3小题，共15分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.正方体ABCD−A1B1C1D1中，点E，F分别为AD1，AB的中点，则A. AC与EF为异面直线B. EF//平面BDD1B1C. 过点A，E，F的平面截正方体的截面为三角形D. EF⊥平面AB1C10.已知向量a在向量b上的投影向量为(32,32)，向量b=(1,3)，则向量a可以为A. (0,2)B. (2,0)C. (1,3)D. (3,1)11.已知四面体VABC的所有棱长都等于6，点P在侧面VBC内运动(包含边界)，且AP与平面VBC所成角的正切值为22，点Q是棱VB的中点，则A. 该四面体的高为26B. 该四面体的体积为62C. 点P的运动轨迹长度为23ππD. 过ACQ的平面截该四面体内最大球的截面面积为32三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

2024年山东省青岛市初中学业水平考试数学模拟试卷一、单选题(★) 1. 下列几何体中，俯视图是三角形的是（）A．B．C．D．(★★) 2. 下列函数图象中，能反映的值始终随值的增大而增大的是( ) A．B．C．D．(★★★★★) 3. 如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点F是CD 上一点，交BC于点E，连接AE，BF交于点P，连接OP．则下列结论：①；②；③；④若，则；⑤四边形OECF的面积是正方形ABCD面积的．其中正确的结论是（）A．①②④⑤B．①②③⑤C．①②③④D．①③④⑤(★) 4. 有一组数据，1，2，3，其中的平均数是（）A．1B．2C．3D．二、填空题(★★★★★) 5. 南山植物园坐落在省级南山风景名胜区群山之中，与重庆主城区夹长江面峙，是一个以森林为基础；每到春季，上山赏花的人络绎不绝，开办了植物花卉门市；将A、B、C三种花卉包装成“如沐春风”、“懵懂少女”、“粉色回忆”三种不同的礼盒进行销售；用A花卉2支、B花卉4支、C种花卉10支包装成“如沐春风”礼盒；用A花卉2支、B花卉2支、C种花卉4支包装成“懵懂少女”礼盒；用A花卉2支、B花卉3支、C花卉6支包装成“粉色回忆”礼盒，且每支B花卉的成本是每支C花卉成本的4倍，每盒“如沐春风”礼盒的总成本是每盒“懵懂少女”礼盒总成本的2倍；该商家将三种礼盒均以利润率50%进行定价销售；某周末，该门市为了加大销量，将“如沐春风”、“懵懂少女”两种礼盒打八折进行销售，且两种礼盒的销量相同，“粉色回忆”礼盒打九折销售，三种礼盒的总成本恰好为总利润的4倍，则该周末“粉色回忆”礼盒的总利润与三种礼盒的总利润的比值为 _____ ．(★★★★★) 6. 若一个四位数的千位与百位之差等于2，十位与个位之差等于4，称这个四位数是“差2倍数”，若四位数的千位与百位之差等于3，十位与个位之差等于6，称这个四位数是“差3倍数”，若数p，q分别为“差2倍数”和“差3倍数”，它们的个位数字均为3，p，q的各数位数字之和分别记为和，，若为整数，此时的最大值为______ ．(★★★) 7. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于，两点（点在轴上），与轴交于点，且，那么本抛物线的表达式为 ____ ．(★★★) 8. 如图，二次函数的图象与轴交于，两点，下列说法正确的有 ____ 个①抛物线的对称轴为直线②抛物线的顶点坐标为③，两点之间的距离为5④当时，的值随值的增大而增大(★★★) 9. 如图，在中，是直径，，过的中点作的垂线交于点和，是上一动点．连接，，，．那么的长度是 ___ ．(★★★) 10. 如图，中，是中线，分别以点A，点B为圆心，大于长为半径作弧，两孤交于点M，N．直线交于点E．连接交于点F．过点D作，交于点G．若，则的长为____________ ．(★★★) 11. 如图，在直角坐标系中，与轴相切于点为的直径，点在函数的图象上，为轴上一点，的面积为6，那么的值的8次方应该为 ____ ．(★★★★) 12. 如图，在中，，，为边上任意一点（不与点，重合），将线段绕点逆时针旋转，得到线段，为边的中点，连接，，．如图1，交于点，若，，线段的长度是 ______ ；为的中点，连接，，，点为直线上一动点（不与点，重合），连接，将沿翻折至所在平面内，得到，连接，若，当取得最小值时，线段的长度的最小值是 ______ ．(★★★★★) 13. 如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足，那么称这个四位数为“递减数”．例如：四位数4129，∵，∴4129是“递减数”；又如：四位数5324，∵，∴5324不是“递减数”．若一个“递减数”为，则这个数为 ___________ ；若一个“递减数”的前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的和能被9整除，则满足条件的数的最大值是 ___________ ．(★★★★★) 14. 如图，已知点，，两点，在抛物线上，向左或向右平移抛物线后，，的对应点分别为，，当四边形的周长最小时，抛物线的解析式为 __________ ．(★) 15. 数学语言是学习数学必不可少的一部分，请把以下文字翻译为数学语言：根号7 _____ ；π的0次方 ____ ；三次根号5 ____(★) 16. 计算（保留小数点后4位）： _______ ； ____ ；__三、解答题(★★) 17. 画长的线段，并以此为半径，点x为圆心画一个半径为的圆x．(★★★) 18. 已知：如图，∠ABC，射线BC上一点D，求作：等腰△PBD，使线段BD为等腰△PBD的底边，点P在∠ABC内部，且点P到∠ABC两边的距离相等．（不写作法，保留作图痕迹）(★★★) 19. 计算(1)解不等式组；(2)化简．(★★★★★) 20. 在平面直角坐标系中，的半径为1，对于的弦和外一点，给出如下定义：若直线，都是的切线，则称点是弦的“关联点”．(1)已知点．①如图1，若的弦，在点，，中，弦的“关联点”是______；②如图2，若点，点C是的弦的“关联点”，直接写出长；(2)已知点，线段是以点D为圆心，以1为半径的的直径，对于线段EF上任意一点S，存在的弦，使得点S是弦的“关联点”．当点S在线段上运动时，将其对应的弦长度的最大值与最小值的差记为t，直接写出t的取值范围．(★★★★★) 21. 如图1，四边形内接于，点A是的中点，．直线与相切于点A，交的延长线于点E，已知，思考并解决以下问题：(1)求证：．(2)求的值．(3)如图2，在上取一点F，使．①判断与的数量关系，并说明理由．②如图3，作于点H，于点I．若，，连接，请直接写出的值．(★★★) 22. 定义，如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”如：，则和都是“和谐分式”．(1)下列各式中，属于“和谐分式”的是：___________（填序号）；①；②③④(2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形为：__________+___________．(3)应用：先化简，并求x取什么整数时，该式的值为整数．(★★★) 23. 综合实践活动中，某小组用木板自制了一个测高仪测量树高，测高仪为正方形，，顶点A处挂了一个铅锤M.如图是测量树高的示意图，测高仪上的点D，A与树顶E在一条直线上，铅垂线交于点H.经测量，点A距地面，到树的距离，.求树的高度.(★★★) 24. 随着人们环保意识的提高和技术的飞速发展，新能源汽车已成为汽车市场的一股不可忽视的力量．为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买甲、乙两种型号的充电桩．已知甲型充电桩比乙型充电桩的单价多万元，用万元购买甲型充电桩与用万元购买乙型充电桩的数量相等．(1)甲、乙两种型号充电桩的单价各是多少？(2)该停车场计划购买甲、乙两种型号的充电桩共个，且乙型充电桩的购买数量不超过甲型充电桩购买数量的倍，则如何购买所需总费用最少？(★★★★★) 25. 数和形是数学研究客观物体的两个方面，数（代数）侧重研究物体数量方面，具有精确性、形（几何）侧重研究物体形的方面，具有直观性．数和形相互联系，可用数来反映空间形式，也可用形来说明数量关系．数形结合就是把两者结合起来考虑问题，充分利用代数、几何各自的优势，数形互化，共同解决问题．同学们，请你结合所学的数学解决下列问题．在平面直角坐标系中，若点的横坐标、纵坐标都为整数，则称这样的点为整点．设函数（实数为常数）的图象为图象．(1)求证：无论取什么实数，图象与轴总有公共点；(2)是否存在整数，使图象与轴的公共点中有整点？若存在，求所有整数的值；若不存在，请说明理由．(★★★★★) 26. 如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，，．(1)求线段的长；(2)如图2，为轴负半轴上一点，的垂直平分线交直线于，设的长为，求线段的长与的关系式；(3)如图3，在（2）的条件下，过点作于，为上一点，以为斜边作等腰，，，延长交于，连接、，若平分，，，求点的坐标．(★★★) 27. 活动·探究运用数学知识解决实际问题是我们初中生的必修课，同时也是“双减”的目标之一．青岛市某数学跨学科学习小组开展了数学跨学科学习探究，请你帮他们完成探究．探究一、地理学习（与地理跨学科学习小组共同完成）（1）该等高线地形图的等高距为米；（2）已知图上，若该图的比例尺是，则实际相距；（3）估计王家庄的实际面积可能是；A．B．C．D．E．F．G．（4）E点在点A的偏方向；探究二、化学学习（与化学跨学科学习小组共同完成）有两组没有标签的化学试剂：稀稀溶液溶液稀澄清石灰水溶液溶液还有一小瓶紫色石蕊试液；与化学小组提供的实验信息：已知紫色石蕊试液遇到酸性溶液变红，遇到碱性溶液变蓝，遇到中性不变色酸碱盐性质表格：稀稀稀澄清石灰水溶液溶液溶液溶液请你解决以下问题：（5）数学小组中的调皮鬼郑锋设计了一个小游戏：从中取样检测，如果紫色石蕊试液变红色，数学小组获胜；如果不变色，那么化学小组获胜．化学小组的叶子姐姐觉得她们小组被坑了．你来帮叶子姐姐用画树状图的方法判断，本游戏是否公平？化学小组有没有被郑锋同学坑？如果被坑了，请你帮叶子姐姐设置一个游戏规则，让她坑郑锋一把（数学小组获胜概率小，化学小组获胜概率大），并再次画树状图证明你设计的规则能帮叶子姐姐坑到郑锋．。

山东省潍坊市2024年初中学业水平考试数学（本试卷满分150分，考试时间120分钟）第Ⅰ卷（选择题 共44分）一、单项选择题（共6小题，每小题4分，共24分．每小题的四个选项中只有一项正确）1. 下列著名曲线中，既是轴对称图形也是中心对称图形的是（ ）A. B.C. D.2.2024年3月份，低空经济首次被写入《政府工作投告》．截止2023年底，全国注册通航企业690家、无人机126.7万架，运营无人机的企业达1.9万家．将126.7万用科学记数法表示为（ ）A.51.26710×B.61.26710×C.71.26710×D.4126.710×3.某厂家生产的海上浮漂的形状是中间穿孔的球体，如图1所示．该浮漂的俯视图是图2，那么它的主视图是（ ）A. B.C. D.4.中国中医科学院教授屠呦呦因其在青蒿素抗疟方面的研究获2015年诺贝尔生理学或医学奖．某科研小组用石油醚做溶剂进行提取青蒿素的实验，控制其他实验条件不变，分别研究提取时间和提取温度对青蒿素提取率的影响，其结果如图所示：由图可知，最佳的提取时间和提取温度分别为（）A.100min,50℃ B.120min,50℃ C.100min,55℃ D.120min,55℃5.一种路灯的示意图如图所示，其底部支架AB 与吊线FG 平行，灯杆CD 与底部支架AB 所成锐角15α=°．顶部支架EF 与灯杆CD 所成锐角45β=°，则EF 与FG 所成锐角的度数为（ ）A.60°B.55°C.50°D.45°6.已知关于x 的一元二次方程2210x mx n mn −−++=，其中,m n 满足23m n −=，关于该方程根的情况，下列判断正确的是（）A.无实数根B.有两个相等的实数根C.有两个不相等的实数根D.无法确定二、多项选择题（共4小题，每小题5分，共20分．在每小题的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）7. 下列命题是真命题的有（ ）A.若a b =，则ac bc=B.若a b >，则ac bc>C.两个有理数的积仍为有理数D.两个无理数的积仍为无理数8.如图，圆柱1，下列关于该圆柱的结论正确的有（ ）的A.体积为πB.母线长为1C.侧面积为D.侧面展开图的周长为2+9.如图，已知抛物线2y ax bx c ++的对称轴是直线1x =，且抛物线与x 轴的一个交点坐标是()4,0．下列结论正确的有（ ）A.0a b c −+>B.该抛物线与x 轴的另一个交点坐标是()3,0−C.若点()11,y −和()22,y 在该抛物线上，则12y y <D.对任意实数n ，不等式2an bn a b +≤+总成立10.如图，O 是ABC 的外接圆，AO BC ∥，连接CO 并延长交O 于点D ．分别以点,A C 为圆心，以大于12AC 的长为半径作弧，并使两弧交于圆外一点M ．直线OM 交BC 于点E ，连接AE ，下列结论一定正确的是（）A. AB AD= B.AB OE =C.AOD BAC ∠=∠ D.四边形AOCE 为菱形第Ⅱ卷（非选择题 共106分）三、填空题（共4小题，每小题4分，共16分．只写最后结果）11.请写出同时满足以下两个条件的一个函数：______．①y 随着x 的增大而减小；②函数图象与y 轴正半轴相交．12.如图，在直角坐标系中，等边三角形ABC 的顶点A 的坐标为()0,4，点,B C 均在x 轴上．将ABC 绕顶点A 逆时针旋转30°得到AB C ′′△，则点C ′的坐标为______．13. 小莹在做手抄报时，用到了红色、黄色、蓝色三支彩笔，这三支彩笔笔帽和笔芯颜色分别一致．完成手抄报后，她随机地将三个笔帽分别盖在三支彩笔上，每个笔帽和笔芯的颜色都不匹配的概率是______．14.将连续的正整数排成如图所示的数表．记(),i j a 为数表中第i 行第j 列位置的数字，如()1,24a =，()3,28a =，()5,422a =．若(),2024m n a =，则m =______，n =______．四、解答题（共8小题，共90分．请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15.（12132− +−−；（2）先化简，再求值：32111a a a a ++−÷ −−，其中2a =+．16.如图，在矩形ABCD 中，2AB AD >，点E F ，分别在边AB CD ，上．将ADF △沿AF 折叠，点D 的对应点G 恰好落在对角线AC 上；将CBE △沿CE 折叠，点B 的对应点H 恰好也落在对角线AC 上．连接GE FH ，．的求证：（1）AEH CFG △≌△；（2）四边形EGFH 为平行四边形．17.如图，正比例函数y x =的图象与反比例函数k y x =的图象的一个交点是(A m ．点()P n 在直线y x =上，过点P 作y 轴的平行线，交k y x =的图象于点Q ．（1）求这个反比例函数的表达式；（2）求OPQ △的面积．18.在某购物电商平台上，客户购买商家的商品后，可从“产品质量”“商家服务”“发货速度”“快递服务”等方面给予商家分值评价（分值为1分、2分、3分、4分和5分）．该平台上甲、乙两个商家以相同价格分别销售同款T 恤衫，平台为了了解他们的客户对其“商家服务”的评价情况，从甲、乙两个商家各随机抽取了一部分“商家服务”的评价分值进行统计分析．【数据描述】下图是根据样本数据制作的不完整的统计图，请回答问题（1）（2）．（1）平台从甲、乙两个商家分别抽取了多少个评价分值？请补全条形统计图；（2）求甲商家的“商家服务”评价分值的扇形统计图中圆心角α的度数．【分析与应用】样本数据的统计量如下表，请回答问题（3）（4）．（3）直接写出表中a 和b 的值，并求x 的值；（4）小亮打算从甲、乙两个商家中选择“商家服务”好的一家购买此款T 恤衫．你认为小亮应该选择哪一家？说明你的观点．19.2024年6月，某商场为了减少夏季降温和冬季供暖的能源消耗，计划在商场的屋顶和外墙建造隔热层，其建造成本P （万元）与隔热层厚度()cm x 满足函数表达式：10P x =．预计该商场每年的能源消耗费用T （万元）与隔热层厚度()cm x 满足函数表达式：()()24218x x T ++=−，其中09x ≤≤．设该商场的隔热层建造费用与未来8年能源消耗费用之和为y （万元）． （1）若148y =万元，求该商场建造的隔热层厚度；（2）已知该商场未来8年的相关规划费用为t （万元），且2t y x =+，当172192t ≤≤时，求隔热层厚度()cm x 的取值范围．20.如图，已知ABC 内接于O ，AB 是O 的直径，BAC ∠的平分线交O 于点D ，过点D 作DE AC ⊥，交AC 的延长线于点E ，连接BD CD ，．（1）求证：DE 是O 的切线；（2）若1CE =，1sin 3BAD ∠=，求O 直径． 21.在光伏发电系统运行时，太阳能板（如图1）与水平地面的夹角会对太阳辐射的接收产生直接影响．某地区工作人员对日平均太阳辐射量y （单位：121kW h 10m d −−−⋅⋅⋅⋅）和太阳能板与水平地面的夹角()090x x °≤≤进行统计，绘制了如图2所示的散点图，已知该散点图可用二次函数刻画．（1）求y 关于x 的函数表达式；（2）该地区太阳能板与水平地面夹角为多少度时，日平均太阳辐射量最大？（3）图3是该地区太阳能板安装后的示意图（此时，太阳能板与水平地面的夹角使得日平均太阳辐射量最大），AGD ∠为太阳能板AB 与水平地面GD 的夹角，CD 为支撑杆．已知2m AB =，C 是AB 的中点，CD GD ⊥．在GD 延长线上选取一点M ，在,D M 两点间选取一点E ，测得4m EM =，在,M E 两点处分别用测角仪测得太阳能板顶端A 的仰角为30°，45°，该测角仪支架的高为1m ．求支撑杆CD 的长．（精确到0.1m1.414≈1.732≈）22. 问题提出】在绿化公园时，需要安装一定数量的自动喷洒装置，定时喷水养护，某公司准备在一块边长为18m 的正方形草坪（如图1）中安装自动喷洒装置，为了既节约安装成本，又尽可能提高喷洒覆盖率，需要设计合适的安装方案．的的【说明：一个自动喷洒装置的喷洒范围是半径为()m r 的圆面．喷洒覆盖率k sρ=，s 为待喷洒区域面积，k 为待喷洒区域中的实际喷洒面积．【数学建模】这个问题可以转化为用圆面覆盖正方形面积的数学问题．【探索发现】（1）如图2，在该草坪中心位置设计安装1个喷洒半径为9m 的自动喷洒装置，该方案的喷洒覆盖率ρ=______．（2）如图3，在该草坪内设计安装4个喷洒半径均为9m 2的自动喷洒装置；如图4，设计安装9个喷洒半径均为3m 的自动喷洒装置；⋅⋅⋅⋅⋅⋅，以此类推，如图5，设计安装2n 个喷洒半径均为9m n的自动喷洒装置．与（1）中的方案相比，采用这种增加装置个数且减小喷洒半径的方案，能否提高喷洒覆盖率？请判断并给出理由．（3）如图6所示，该公司设计了用4个相同的自动喷洒装置喷洒的方案，且使得该草坪的喷洒覆盖率1ρ=．已知AE BF CG DH ===，设()m AE x =，1O 的面积为()2m y ，求y 关于x 的函数表达式，并求当y 取得最小值时r 的值．【问题解决】（4）该公司现有喷洒半径为的自动喷洒装置若干个，至少安装几个这样的喷洒装置可使该草坪的喷洒覆盖率1ρ=？（直接写出结果即可）。

2023年初中学业水平考试（中考）数学试题及答案注意事项：1．本试题共24个题，考试时间120分钟．2．请把答案写在答题卡上，选择题用2B 铅笔填涂，非选择题用0.5毫米黑色签字笔书写在答题卡的指定区域内，写在其他区域不得分．一、选择题（本大题共8个小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确选项的序号涂在答题卡的相应位置．）1.下列各数中，绝对值最小的数是（）A.5- B.12 C.1- D.2.函数5y x =-的自变量x 的取值范围是（）A.5x ≠ B.2x >且5x ≠ C.2x ≥ D.2x ≥且5x ≠3.在平面直角坐标系中，将点()3,2P -向右平移3个单位得到点P '，则点P '关于x 轴的对称点的坐标为（）A.()0,2- B.()0,2 C.()6,2- D.()6,2--4.一个几何体由大小相同的小立方块搭成，它的俯视图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置小立方块的个数，则该几何体的主视图为（）A. B. C. D.5.如果顺次连接四边形的各边中点得到的四边形是矩形，那么原来四边形的对角线一定满足的条件是（）A.互相平分 B.相等 C.互相垂直 D.互相垂直平分6.如图，将ABC 绕点A 顺时针旋转角α，得到ADE ，若点E 恰好在CB 的延长线上，则BED ∠等于（）A.2αB.23αC.αD.180α︒-7.等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于x 的方程240x x k -+=的两个根，则k 的值为（）A.3 B.4 C.3或4 D.78.一次函数y ax b =+与二次函数2y ax bx c =++在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共6个小题，只要求把最后结果填写在答题卡的相应区域内）9.计算)44-+的结果是_______．10.方程111x x x x -+=-的解是______．11.如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，点D 为AB 边的中点，连接CD ，若4BC =，3CD =，则cos DCB ∠的值为______．12.从1-，2，3-，4这四个数中任取两个不同的数分别作为a ，b 的值，得到反比例函数ab y x=，则这些反比例函数中，其图象在二、四象限的概率是______．13.如图，在菱形OABC 中，OB 是对角线，2OA OB ==，⊙O 与边AB 相切于点D ，则图中阴影部分的面积为_______．14.如图，矩形ABCD 中，5AB =，12AD =，点P 在对角线BD 上，且BP BA =，连接AP 并延长，交DC 的延长线于点Q ，连接B Q ，则B Q 的长为_______．三、解答题（把解答或证明过程写在答题卡的相应区域内．）15.计算：2020120201263|345(2)2-⎛⎫+-+︒--⋅ ⎪⎝⎭．16.先化简，再求值：21242244a a a a a a -⎛⎫-÷ ⎪+++⎝⎭，其中a 满足2230a a +-=．17.如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，点E 在AC 的延长线上，ED AB ⊥于点D ，若BC ED =，求证：CE DB =．18.某兴趣小组为了测量大楼CD 的高度，先沿着斜坡AB 走了52米到达坡顶点B 处，然后在点B 处测得大楼顶点C 的仰角为53︒，已知斜坡AB 的坡度为1:2.4i =，点A 到大楼的距离AD 为72米，求大楼的高度CD ．（参考数据：sin 5345︒≈，cos5335︒≈，tan 5343︒≈）19.某中学全校学生参加了“交通法规”知识竞赛，为了解全校学生竞赛成绩的情况，随机抽取了一部分学生的成绩，分成四组：A：6070x ≤<；B：7080x ≤<；C：8090x ≤<；D：90100x ≤≤，并绘制出如下不完整的统计图．（1）求被抽取的学生成绩在C：18090x ≤<组的有多少人；（2）所抽取学生成绩的中位数落在哪个组内；（3）若该学校有1500名学生，估计这次竞赛成绩在A：6070x ≤<组的学生有多少人．20.如图，一次函数y kx b =+的图象与反比例函数m y x=的图象相交于()1,2A ，(),1B n -两点．（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）直线AB 交x 轴于点C ，点P 是x 轴上的点，若ACP △的面积是4，求点P 的坐标．21.今年史上最长的寒假结束后，学生复学，某学校为了增强学生体质，鼓励学生在不聚集的情况下加强体育锻炼，决定让各班购买跳绳和毽子作为活动器材．已知购买2根跳绳和5个毽子共需32元；购买4根跳绳和3个毽子共需36元．（1）求购买一根跳绳和一个毽子分别需要多少元；（2）某班需要购买跳绳和毽子的总数量是54，且购买的总费用不能超过260元；若要求购买跳绳的数量多于20根，通过计算说明共有哪几种购买跳绳的方案．22.如图，在ABC 中，AB AC ，以AB 为直径的⊙O 与BC 相交于点D ，过点D 作⊙O 的切线交AC 于点E ．（1）求证：DE AC ⊥；（2）若⊙O 的半径为5，16BC =，求DE 的长．23.如图1，四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，OA OC =，OB OD CD =+．（1）过点A 作//AE DC 交BD 于点E ，求证：AE BE =；（2）如图2，将ABD △沿AB 翻折得到ABD '△．①求证：//BD CD '；②若//AD BC '，求证：22CD OD BD =⋅．图1图224.如图，抛物线26y ax bx =+-与x 轴相交于A ，B 两点，与y 轴相交于点C ，2OA =，4OB =，直线l 是抛物线的对称轴，在直线l 右侧的抛物线上有一动点D ，连接AD ，BD ，BC ，CD ．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点D 在x 轴的下方，当BCD 的面积是92时，求ABD △的面积；（3）在（2）的条件下，点M 是x 轴上一点，点N 是抛物线上一动点，是否存在点N ，使得以点B ，D ，M ，N 为顶点，以BD 为一边的四边形是平行四边形，若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．2023年初中学业水平考试（中考）数学试题及答案一、选择题1.B 【解析】55-=，1122=，11-==，∵1512>>>，∴绝对值最小的数是12；故选B．2.D 【解析】由题意，得20,50x x -≥⎧⎨-≠⎩解得2x ≥且 5.x ≠故选D．3.A 【解析】∵将点()3,2P -向右平移3个单位，∴点P '的坐标为：(0，2)，∴点P '关于x 轴的对称点的坐标为：(0，-2)．故选A．4.A 【解析】从正面看所得到的图形为A 选项中的图形．故选A ．5.C 【解析】根据题意画出图形如下：答：AC 与BD 的位置关系是互相垂直．证明：∵四边形EFGH 是矩形，∴∠FEH=90°，又∵点E、F、分别是AD、AB、各边的中点，∴EF 是三角形ABD 的中位线，∴EF∥BD，∴∠FEH=∠OMH=90°，又∵点E、H 分别是AD、CD 各边的中点，∴EH 是三角形ACD 的中位线，∴EH∥AC，∴∠OMH=∠COB=90°，即AC⊥BD．故选C．6.D 【解析】由旋转的性质，得∠BAD=α，∠ABC=∠ADE，∵∠ABC+∠ABE=180º，∴∠ADE+∠ABE=180º，∵∠ABE+∠BED+∠ADE+∠BAD=360º，∠BAD=α∴∠BED=180º-α，故选D．7.C 【解析】①当3为等腰三角形的底边，根据题意得△＝（-4）2−4k＝0，解得k＝4，此时，两腰的和=x 1+x 2=4>3，满足三角形三边的关系，所以k＝4；②当3为等腰三角形的腰，则x＝3为方程的解，把x＝3代入方程得9−12＋k＝0，解得k＝3；综上，k 的值为3或4，故选C．8.B 【解析】A、∵二次函数图象开口向上，对称轴在y 轴右侧，∴a>0，b＜0，∴一次函数图象应该过第一、三、四象限，A 错误；B、∵二次函数图象开口向上，对称轴在y 轴左侧，∴a>0，b>0，∴一次函数图象应该过第一、二、三象限，B 正确；C、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y 轴右侧，∴a<0，b>0，∴一次函数图象应该过第一、二、四象限，C 错误；D、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y 轴左侧，∴a＜0，b＜0，∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，D 错误．故选B．二、填空题（本大题共6个小题，只要求把最后结果填写在答题卡的相应区域内）9.﹣13【解析】)244431613=-=-=-.10.13x =【解析】方程两边都乘以(1)x x -，得：2(1)(1)x x x -=+，解得：13x =，检验：13x =时，2(1)09x x -=-≠，所以分式方程的解为13x =，11.23【解析】∵∠ACB=90°，BC=4，CD=3，点D 是AB 边的中点，∴DC=DB，∴∠DCB=∠B，AB=2CD=6，∴42cos DCB cos B 63BC AB ∠∠====，12.23【解析】从1-，2，3-，4中任取两个数值作为a ，b 的值，其基本事件总数有：共计12种；其中积为负值的共有：8种，∴其概率为：82123=13.π-【解析】如图，连接OD，∵AB 是切线，则OD⊥AB，在菱形OABC 中，∴2AB OA OB ===，∴△AOB 是等边三角形，∴∠AOB=∠A=60°，∴OD=2sin 60⨯︒=，∴122AOB S ∆=⨯=，∴扇形的面积为260(3)3602ππ︒⨯⨯=︒，∴阴影部分的面积为2)2ππ⨯-=；14.解析∵四边形ABCD 是矩形，5AB =，12AD =，∴∠BAD=∠BCD=90º，AB=CD=5，BC=AD=12，AB∥CD，∴13BD ==，又BP BA ==5，∴PD=8，∵AB∥DQ，∴BP AB AB PD DQ CD CQ ==+，即5558CQ =+解得CQ=3，在Rt△BCQ 中，BC=12，CQ=3，BQ ===．三、解答题15．解：202012020123|45(2)2-⎛⎫+-+︒--⋅ ⎪⎝⎭2020121(3(2222=++--⨯1312=+52=．16.解：原式=2224124()+22(2)a a a a a a a +--÷++=22284+2(2)a a a a a --÷+=22(4)(+2)+24a a a a a -⨯-=2a(a+2)=2a 2+4a.∵2230a a +-=，∴a 2+2a=3.∴原式=2（a 2+2a）=6.17.证明：∵ED AB ⊥，∴∠ADE=90°，∵90ACB ∠=︒，∴∠ACB=∠ADE，在AED ∆和ABC ∆中ACB ADE A A BC ED ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴AED ABC ∆≅∆，∴AE=AB，AC=AD，∴AE-AC=AB-AD，即EC=BD．18.解：如下图，过点B作BE⊥AD于点E，作BF⊥CD于点F，在Rt△ABE中，AB=52，∵1:2.4i=∴tan∠BAE=BEAE=12.4，∴AE=2.4BE，又∵BE2+AE2=AB2，∴BE2+(2.4BE)2=522，解得：BE=20，∴AE=2.4BE=48；∵∠BED=∠D=∠BFD=90°，∴四边形BEDF是矩形，∴FD=BE=20，BF=ED=AD-AE=72-48=24；在Rt△BCF中，tan∠CBF=CF BF，即：tan53°=CF BF=43∴CF=43BF=32，∴CD=CF+FD=32+20=52．答：大楼的高度CD为52米．19.解：（1）由图可知：B组人数为12；B组所占的百分比为20%，∴本次抽取的总人数为：1220%60÷=（人），∴抽取的学生成绩在C：8090x≤<组的人数为：606121824---=（人）；（2）∵总人数为60人，∴中位数为第30,31个人成绩的平均数，∵6121830+=<，且612244230++=>∴中位数落在C 组；（3）本次调查中竞赛成绩在A：6070x ≤<组的学生的频率为：616010=，故该学校有1500名学生中竞赛成绩在A：6070x ≤<组的学生人数有：1150015010⨯=（人）．20.解：（1）将点A（1,2）坐标代入m y x =中得：m=1×2=2，∴反比例函数的表达式为2y x =，将点B(n，-1)代入2y x=中得：21n -=，∴n=﹣2，∴B(-2，-1)，将点A（1，2）、B（-2，-1）代入y kx b =+中得：221k b k b +=⎧⎨-+=-⎩解得：11k b =⎧⎨=⎩，∴一次函数的表达式为1y x =+；（2）设点P（x，0），∵直线AB 交x 轴于点C ，∴由0=x+1得：x=﹣1，即C（-1，0），∴PC=∣x+1∣，∵ACP △的面积是4，∴11242x ⨯+⨯=∴解得：123,5x x ==-，∴满足条件的点P 坐标为（3，0）或（-5，0）．21.解：（1）设购买一根跳绳需要x 元，一个毽子需要y 元，依题意，得25324336x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得64x y =⎧⎨=⎩，答：购买一根跳绳需要6元，一个毽子需要4元；（2）设学校购进跳绳m 根，则购进毽子（54-m）根，根据题意，得：64(54)260m m +-≤，解得：m≤22，又m﹥20，且m 为整数，∴m=21或22，∴共有两种购买跳绳的方案，方案一：购买跳绳21根；方案二：购买跳绳22根．22.解：连接OD，如图：∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵OB=OD，∴∠B=∠ODB，∴∠B=∠ODB=∠C，∴OD∥AC，∵DE 是切线，∴OD⊥DE，∴AC⊥DE；（2）连接AD，如（1）图，∵AB 为直径，AB=AC，∴AD 是等腰三角形ABC 的高，也是中线，∴CD=BD=1116822BC =⨯=，∠ADC=90°，∵AB=AC=2510⨯=，由勾股定理，得：6AD ==，∵11861022ACD S DE ∆=⨯⨯=⨯⨯，∴ 4.8DE =；23.解：（1）连接CE，∵//AE DC ，∴OAE OCD ∠=∠，∵OAE OCD ∠=∠，OA OC =，AOE COD ∠=∠，∴△OAE≌△OCD，∴AE=CD，∴四边形AECD 为平行四边形，∴AE=CD，OE=OD，∵==+B OB OD CD OE E +，∴CD=BE，∴AE BE =；（2）①过A 作AE∥CD 交BD 于E，交BC 于F，连接CE，由（1）得，AE BE =，∴ABE BAE ∠=∠，由翻折的性质得D BA ABE '∠=∠，∴D BA BAE '∠=∠，∴//BD AF '，∴//BD CD '；②∵//AD BC '，//BD AF '，∴四边形AFBD '为平行四边形，∴=D AFB '∠∠，'BD AF =，∴AF BD =，∵AE BE =，∴EF=DE，∵四边形AECD 是平行四边形，∴CD=AE=BE，∵AF∥CD，∴BEF CDE ∠=∠，∵EF=DE，CD=BE，BEF CDE ∠=∠，∴△BEF≌△CDE（SAS），∴BFE CED ∠=∠，∵BFE BCD ∠=∠，∴∠CED=∠BCD，又∵∠BDC=∠CDE，∴△BCD∽△CDE，∴CD DEBD CD =，即2CD BD DE =⨯，∵DE=2OD，∴22CD OD BD =⋅．24.解：（1）∵OA=2，OB=4，∴A（-2，0），B（4，0），将A（-2，0），B（4，0）代入26y ax bx =+-得：426016460a b a b --=⎧⎨+-=⎩，解得：33,42a b ==-∴抛物线的函数表达式为233642y x x =--；（2）由（1）可得抛物线233642y x x =--的对称轴l：1x =，(0,6)C -，设直线BC：y kx m =+，可得：406k m m +=⎧⎨=-⎩解得3,62k m ==-，∴直线BC 的函数表达式为：362y x =-，如图1，过D 作DE⊥OB 交OB 于点F,交BC 于点E，设233(,6)42D d d d --，则3(,6)2E d d -，∴2334DE d d =-+，由题意可得213934242d d ⎛⎫-+⨯= ⎪⎝⎭整理得2430d d -+=解得11d =（舍去），23d =∴153,4D ⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴15,64DF AB ==∴12ABD S AB DF = 115624=⨯⨯154=；（3）存在由（1）可得抛物线233642y x x =--的对称轴l：1x =，由（2）知153,4D ⎛⎫- ⎪⎝⎭，①如图2当//ND MB=ND ，MB 时，四边形BDNM 即为平行四边形，此时MB=ND=4，点M 与点O 重合，四边形BDNM 即为平行四边形，∴由对称性可知N 点横坐标为-1，将x=-1代入233642y x x =--解得154y=-∴此时151,4N ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，四边形BDNM 即为平行四边形．②如图3当//BD MN=BD ，MN 时，四边形BDMN 为平行四边形，过点N 做NP⊥x 轴，过点D 做DF⊥x 轴，由题意可得NP=DF ∴此时N 点纵坐标为154将y=154代入233642y x x =--，得233156=424x x --，解得：x 1=∴此时1514，N ⎛⎫- ⎪⎝⎭或154，N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，四边形BDMN 为平行四边形．综上所述，151,4N ⎛⎫-- ⎪⎝⎭或1514，N ⎛⎫ ⎪⎝⎭或154，N ⎛⎫ ⎪⎝⎭．。