定理如果棱锥被平行于底面的平面所截

C'B'A'D'DAC C'B'A'D'DA C9.9棱柱和棱锥(三)教学目的：1.了解棱锥、正棱锥的概念，掌握正棱锥的性质.；2.能初步利用棱锥的概念及其性质解决一些简单角与距离的问题.3.灵活运用棱锥的概念及其性质解决有关角与距离问题；4.了解棱锥的侧面积、全面积的概念，能求出有关面积. 教学重点：棱锥、正棱锥的概念及其性质. 教学难点：棱锥、正棱锥的概念及其性质. 授课类型：新授课. 课时安排：4课时.教具：多媒体、实物投影仪. 教学过程：一、复习引入：1.多面体的概念：由若干个多边形围成的空间图形叫多面体；每个多边形叫多面体的面，两个面的公共边叫多面体的棱，棱和棱的公共点叫多面体的顶点，连结不在同一面上的两个顶点的线段叫多面体的对角线．2．凸多面体：把多面体的任一个面展成平面，如果其余的面都位于这个平面的同一侧，这样的多面体叫凸多面体．如图的多面体则不是凸多面体．3．凸多面体的分类：多面体至少有四个面，按照它的面数分别叫四面体、五面体、六面体等.4．棱柱的概念：有两个面互相平行，其余每相邻两个面的交线互相平行，这样的多面体叫棱柱.两个互相平行的面叫棱柱的底面（简称底）；其余各面叫棱柱的侧面；两侧面的公共边叫棱柱的侧棱；两底面所在平面的公垂线段叫棱柱的高（公垂线段长也简称高）.5．棱柱的分类：侧棱不垂直于底面的棱柱叫斜棱柱.侧棱垂直于底面的棱柱叫直棱柱.底面的是正多边形的直棱柱叫正棱柱.棱柱的底面可以是三角形、四边形、五边形……这样的棱柱分别叫三棱柱、四棱柱、五棱柱……设集合{}A =棱柱，{}B =斜棱柱，{}C =直棱柱，{}D =正棱柱，则,B C A D C =⊂U ．6．棱柱的性质（1）棱柱的侧棱相等，侧面都是平行四边形；直棱柱侧面都是矩形；正棱柱侧面都是全等的矩形； （2）棱柱的两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的全等的多边形（3）过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形.7.平行六面体、长方体、正方体底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体．侧棱与底面垂直的平行六面体叫直平行六面体，底面是矩形的直平行六面体长方体，棱长都相等的长方体叫正方体．8．平行六面体、长方体的性质(1)平行六面体的对角线交于一点，求证：对角线,,,AC BD CA DB ''''相交于一点，且在点O 处互相平分．(2)长方体的一条对角线长的平方等于一个顶点上的三条棱长的平方和.二、讲解新课：1.棱锥的概念：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，这样的多面体叫棱锥.其中有公共顶点的三角形叫棱锥的侧面；多边形叫棱锥的底面或底；各侧面的公共顶点()S ，叫棱锥的顶点，顶点到底面所在平面的垂线段()SO ，叫棱锥的高（垂线段的长也简称高）．2．棱锥的表示：棱锥用顶点和底面各顶点的字母，或用顶点和底面一条对角线端点的字母来表示.如图棱锥可表示为S ABCDE -，或S AC -． 3．棱锥的分类：（按底面多边形的边数）分别称底面是三角形，四边形，五边形……的棱锥为三棱锥，四棱锥，五棱锥……（如图） 4．棱锥的性质：定理：如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，截面面积与底面面积比等于顶点到截面的距离与棱锥高的平方比．已知：在棱锥S AC -中，SH 是高，截面A B C D E '''''平行于底面，并与SH 交于H '， 求证：截面A B C D E '''''～底面ABCDE ，且22A B C D E ABCDE S SH S SH''''''=． 解：因为截面平行于底面，∴//A B AB ''，//B C BC ''，//C D CD ''，… ∴,A B C ABC B C D BCD ''''''∠=∠∠=∠，…又∵平面SAH 分别与截面和底面相交于A H ''和AH ， ∴//A H AH ''，得A B SA SH AB SA SH ''''==，同理B C SH BC SH '''=，… ∴A B B C SH ABBC SH'''''===L ， 因此，截面A B C D E '''''～底面ABCDE ，且2222A B C D E ABCDE S A B SH S AB SH''''''''==． 中截面：经过棱锥高的中点且平行于底面的截面，叫棱锥的中截面.5．正棱锥定义：底面是正多边形，顶点在底面上的射影是底面的中心的棱锥叫正棱锥． 性质：（1）正棱锥的各侧棱相等，各侧面是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高相等（叫正棱锥的斜高）．（2）正棱锥的高、斜高、斜高在底面上的射影组成一个直角三角形；正棱锥的高、侧棱、侧棱在底面上的射影也组成一个直角三角形． 6．正棱锥的直观图的画法在过底面中心的垂线——'z 轴上取与底面中心距离等于棱锥高的点就得到了棱锥的顶点．给出了画图的比例尺，要特别注意平行于'y 轴的线段的长度的确定．正棱锥的直观图的画法，在具体画图的关键是：①用斜二测画水平放置的底面的直观图； ②正棱锥的顶点的确定；③画直观图的四个步骤：画轴（建立空间直角坐标系）⇒画底面⇒画侧棱（正棱锥画高线）⇒成图． 三、讲解范例：例1.已知正三棱锥S ABC -的高SO h =，斜高SM l =，求经过SO 的中点O '平行于底面的截面A B C '''∆的面积.解：连结,OM OA ，在Rt SOM ∆中，22OM l h =-． ∵棱锥S ABC -是正三棱锥，∴O 是ABC ∆中心， ∴2222tan6023AB AM OM l h ==⋅=-o，222333()ABC S AB l h ∆==-， 由棱锥截面性质得：2214A B C ABC S h S h '''∆∆'==，∴2233()4A B C S l h '''∆=-． 例2．已知A B C '''∆是三棱锥S ABC -的中截面，三棱锥S A B C '''-的侧面积为25cm ，求三棱锥S ABC -的侧面积．解：∵截面//A B C '''底面SBC ，∴//A B AB ''，//B C BC ''，//C D CD ''，∴2214S A B SAB S A B S AB '''∆∆''==，同理：14S B C SBC S S '''∆∆=，14S A C SACS S '''∆∆=， ∴14S A B S B C S A C SAB SBC SAC S S S S S S '''''''''∆∆∆∆∆∆++=++，即三棱锥S ABC -的侧面积是三棱锥S A B C '''-的侧面积的4倍， 所以，三棱锥S ABC -的侧面积为220cm ．点评：一般地，平行于棱锥底面的截面截得的棱锥与原棱锥的侧面积之比也等于截得棱锥的高与原棱锥高的平方比.例3．四棱锥的高为h ，底面为菱形，侧面PAD 和侧面PDC 所成的二面角为120o，且都垂直于底面，另两个侧面与底面所成的角都为60o，求此棱锥的全面积.EDCBAPGEP D CBA 解：∵侧面PAD ⊥底面AC ，侧面PDC ⊥底面AC ， ∴PD ⊥底面AC ，ADC ∠为二面角A PD C --的平面角，即120ADC ∠=o ，∵四边形为菱形，DBC ∆，取BC 中点E ，连结,PE DE ， 则DE BC ⊥，由三垂线定理知PE BC ⊥，∴PED ∠是侧面PBC 与底面AC 所成的二面角的平面角，60PED ∠=o ，在Rt PDE ∆中，,,PD h DE PE h ===， ∴23sin3DE CD h π==， ∵,PDA PDC PBC PAB ∆≅∆∆≅∆，22PDA PBC ABCD S S S S ∆∆=++Y 全222sin1)33PD CD BC PE AD h π=⋅+⋅+=． 说明：棱锥的侧面积等于各侧面三角形的面积之和，正棱锥的侧面积等于底面周长与斜高之积的一半． 四、课堂练习：1.判断下列结论是否正确，为什么？（1）有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥， （2）正四面体是四棱锥，（3）侧棱与底面所成的角相等的棱锥是正棱锥，（4）侧棱长相等，各侧面与底面所成的角相等的棱锥是正棱锥． 答：（1）错，（2）错，（3）错，（4）对．2．在三棱锥P ABC -中，ABC ∆为正三角形，90PCA ∠=o ，D 为PA 中点，二面角P AC B --为120o，2,PC AB ==（1）求证：AC BD ⊥；（2）求BD 与底面ABC 所成的角，（3）求三棱锥P ABC-的体积．解：（1）取AC 的E ，连结,BE DE ，则//DE PC ， 由PC AC ⊥，知DE AC ⊥，由ABC ∆为正三角形，得BE AC ⊥， 又DE BE E =I ，∵AC ⊥平面DEB ，BD ⊂平面DEB ， ∴AC BD ⊥． （2）作DG BE ⊥，垂足为G ，∵AC ⊥平面DEB ，DG ⊂平面DEB ，DG AC ⊥，DG ⊥平面ABC ，BD 与底面ABC 所成的角DBG ∠， 由DE AC ⊥，BE AC ⊥知DEB ∠是二面角P AC B --的平面角，120DEB ∠=o ，∵112DE PC ==，∴DG =，又∵3BE AB ==， ∴22213213cos12013BD =+-⨯⨯⨯=o∴sin DG DBE DB ∠==，∴BD 与底面ABC 所成的角为arcsin．（3）∵D 为PA 中点，∴P 到平面ABC 的距离2h DG ==，211333P ABC ABC V S h -∆===．五、小结：棱锥、正棱锥的概念，性质；棱锥平行于底面的截面性质结论可适当推广：平行于棱锥底面的截面截得的棱锥与原棱锥的对应面积（底面，侧面）之比，等于对应线段（高、侧棱等）的平方比.计算面积时，必须计算对应边上的高，因此要寻找斜高，底面三角形的高，截面三角形的高的相互关系，这种关系应通过棱锥的性质来体现． 六、课后作业： 七、板书设计（略）. 八、课后记：。

立体几何推理及定理一空间直线和平面9.1平面公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在这个平面内公理2:如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线公理3经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面推论1:经过一条直线和这条直线外的一点,有且有一个平面推论2:经过两条相交直线,有且只有一个平面推论3:经过两条平行直线,有且只有一个平面9.2空间直线平行公理:平行于同一条直线的两条直线互相平行定理:如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同,那么这两个角相等推论:如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两组直线所成的锐角(直角)相等异面直线1如果两条异面直线所成的角是直角,我们就说这两条异面直线互相垂直. 也记作a垂直b 2.和两条异面直线都垂直相交的直线,叫做两条异面直线的公垂线3两条异面直线的公开线在这两要异面直线间的线段(公垂线段)的长度,叫做两条异面直线的距离.9.3直线与平面平行的判定和性质定义:如果一条直线和一个平面没有公共点,那么我们说这条直线和这个平面平行2直线和平面平行的判定直线和平面平行的判定定理:如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行.3直线和平面平行的性质直线和平面平行的性质定理:如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行.9.4直线与平面垂直的判定和性质1.直线和平面垂直的定义定义:如果一条直线L和一个平面α内的任意一个直线都垂直,我们就说直线L和平面α互相垂直,记作L垂直α直线和平面垂直的判定定理:如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面直线和平面垂直的性质定理:如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行.从平面外一点引这个平面的垂线,这个点和垂足间的距离叫做这个点到这个平面的距离2.一条直线和一个平面平行时,这条直线上任意一点到这个平面的距离,叫做这条直线和这个平面的距离.斜线在平面内的射影1.这一点向平面引垂线,垂足叫做这点在这个平面内的射影.这点与垂足间的经段叫做这个点到这个平面的垂线段.2.一条直线和一个平面相交但不和这个平面垂直时,这条直线就叫做这个平面的斜线.斜线和平面的交点叫做斜足.从平面外一点向平面引斜线.这点与斜线和平面的交点叫做斜足.从平面外一点向平面引斜线,这点与斜足间的线段叫做这点到这个平面的斜线段3.从斜线上斜足以外的一点向平面引垂线,过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影,垂足与斜足间的线段叫做这点到平面的斜线段在这个平面内的射影.定理:从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中1.射影相等的两条斜线段相等,射影较长的斜线段也较长2.相等的斜线段的射影相等,较长的斜线段的射影也较长3.垂线段比任何一条斜线段都短直线和平面所成的角平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角,叫做这个直线和这个平面所成的角可以证明,斜线和平面所成的角,是这条斜线和这个平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角斜线和平面所成的角,是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中最小的角三垂线定理三垂线定理:在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直三垂线定理的逆定理:在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线垂直,那么它也和这条斜线的射影垂直.9.5两个平面平行的判定和性质两个平面的位置关系如果两个平面没有公共点,我们就说这两个平面互相平行.两个平面平行的判定两个平面平行的判定定理:如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行.两个平面平行的性质定理:如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行.和两个平行平面同时垂直的直线,叫做这两个平行平面的公垂线,它夹在这两个平行平面间的部分,叫做这两个平行平面的公垂线段.两个平行平面的公垂线段都相等,我们把公垂线段的长度叫做两个平行平面的距离9.6两个平面垂直的判定和性质以二面角的棱上任意一点为端点,在两个面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条两射线所成的角叫做二面角的平面角平面角是直角的二面角叫做直二面角.两个平面垂直的判定一般地,两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直.两个平面垂直的判定定理:如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直.两个平面垂直的性质定理:如果两个平面垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面9.7棱柱棱柱的概念有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,这些面围成的几何体叫做棱柱两个互相平行的面叫做棱柱的底面,其余各面叫做棱柱的侧面;两个面的公共边叫做棱柱的棱,其中两个侧面的公共边叫做棱柱的棱柱的侧棱,侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点,不在同一个面上的两个顶点在连线叫做棱柱的对角线,两个底面的距离叫做棱柱的高.侧棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱.直于底面的棱柱叫做直棱柱底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱棱柱的性质1侧棱都相等,侧面是平行四边形;2.两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形3过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形定理:长方体一条对角线的长的平方等于一个顶点上三条棱的长的平方和.棱锥的性质定理:如果棱锥被平行于底面的平面所截,那么截面和底面相,并且它们面积的比等于截得的棱锥的高与已知棱锥的高的平方比.正棱锥有下面一些性质;1各侧棱相等,各侧面都是全等的等腰三角形,各等腰三角形底边上的高相等,它叫做正棱锥的斜高.2棱锥的高,斜高和斜高在底面内的射影组成一个直角三角形;棱锥的高,侧棱和侧棱在底面内的射影也组成一个直角三角形.9.10球1球心和截面圆心的连线垂直于截面2球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r有下面的关系:球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆,被不经过球心的截面截得的圆叫做小圆.定理:半径是R的球的体积.v=（4/3）πR3定理半径是R的球的表面积S=4πR2必修2立体几何知识点复习平面, 空间, 立体几何, 知识点立体几何复习知识点平面.1. 经过不在同一条直线上的三点确定一个面.注：两两相交且不过同一点的四条直线必在同一平面内.2. 两个平面可将平面分成3或4部分.（①两个平面平行，②两个平面相交）3. 过三条互相平行的直线可以确定1或3个平面.（①三条直线在一个平面内平行，②三条直线不在一个平面内平行）[注]：三条直线可以确定三个平面，三条直线的公共点有0或1个.4. 三个平面最多可把空间分成 8 部分.（X、Y、Z三个方向）空间直线.1. 空间直线位置分三种：相交、平行、异面. 相交直线—共面有反且有一个公共点；平行直线—共面没有公共点；异面直线—不同在任一平面内[注]：①两条异面直线在同一平面内射影一定是相交的两条直线.（×）（可能两条直线平行，也可能是点和直线等）②直线在平面外，指的位置关系：平行或相交③若直线a、b异面，a平行于平面，b与的关系是相交、平行、在平面内.④两条平行线在同一平面内的射影图形是一条直线或两条平行线或两点.⑤在平面内射影是直线的图形一定是直线.（×）（射影不一定只有直线，也可以是其他图形）⑥在同一平面内的射影长相等，则斜线长相等.（×）（并非是从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段）⑦是夹在两平行平面间的线段，若，则的位置关系为相交或平行或异面.2. 异面直线判定定理：过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线是异面直线.（不在任何一个平面内的两条直线）3. 平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行.4. 等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等（如下图）.（二面角的取值范围）（直线与直线所成角）（斜线与平面成角）（直线与平面所成角）（向量与向量所成角推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成锐角（或直角）相等.5. 两异面直线的距离：公垂线的长度.空间两条直线垂直的情况：相交（共面）垂直和异面垂直.是异面直线，则过外一点P，过点P且与都平行平面有一个或没有，但与距离相等的点在同一平面内. （或在这个做出的平面内不能叫与平行的平面）直线与平面平行、直线与平面垂直.1. 空间直线与平面位置分三种：相交、平行、在平面内.2. 直线与平面平行判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.（“线线平行，线面平行”）[注]：①直线与平面内一条直线平行，则∥. （×）（平面外一条直线）②直线与平面内一条直线相交，则与平面相交. （×）（平面外一条直线）③若直线与平面平行，则内必存在无数条直线与平行. （√）（不是任意一条直线，可利用平行的传递性证之）④两条平行线中一条平行于一个平面，那么另一条也平行于这个平面. （×）（可能在此平面内）⑤平行于同一直线的两个平面平行.（×）（两个平面可能相交）⑥平行于同一个平面的两直线平行.（×）（两直线可能相交或者异面）⑦直线与平面、所成角相等，则∥.（×）（、可能相交）3. 直线和平面平行性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.（“线面平行，线线平行”）平面平行与平面垂直.1. 空间两个平面的位置关系：相交、平行.2. 平面平行判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，哪么这两个平面平行.（“线面平行，面面平行”）推论：垂直于同一条直线的两个平面互相平行；平行于同一平面的两个平面平行.[注]：一平面间的任一直线平行于另一平面.3. 两个平面平行的性质定理：如果两个平面平行同时和第三个平面相交，那么它们交线平行.（“面面平行，线线平行”）4. 两个平面垂直性质判定一：两个平面所成的二面角是直二面角，则两个平面垂直. 两个平面垂直性质判定二：如果一个平面与一条直线垂直，那么经过这条直线的平面垂直于这个平面.（“线面垂直，面面垂直”）注：如果两个二面角的平面对应平面互相垂直，则两个二面角没有什么关系.5. 两个平面垂直性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线也垂直于另一个平面.推论：如果两个相交平面都垂直于第三平面，则它们交线垂直于第三平面.。

初一数学知识点初一数学知识点棱锥的性质
1.棱锥截面性质定理及推论定理：如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，截面面积与底面面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比。

推论1：如果棱锥被平行与底面的平面所截，则棱锥的侧棱和高被截面分成的线段比相等。

推论2：如果棱锥被平行于底面的平面所截，则截得的小棱锥与原棱锥的侧面积之比也等于它们对应高的平方比，或它们的底面积之比。

2.一些特殊棱锥的性质侧棱长都相等的棱锥，它的顶点在底面内的射影是底面多边形的外接圆的圆心(外心)，同时侧棱与底面所成的角都相等。

侧面与底面的交角都相等的棱锥，它的二面角都是锐二面角，所以顶点在底面内的射影在底多边形的内部，并且它到各边的距离相等即为底多边形的内切圆的圆心(内心)，且各侧面上的斜高相等。

如果侧面与底面所成角为α，则有S底=S侧cosα。

如图画出了射影是外心和内心的情况。

3.棱锥的侧面积及全面积、体积公式
棱锥的侧面积及全面积
S棱锥侧=S1+S2+…+Sn(其中Si，i=1，2…n为第i个侧面的面积)
S全=S棱锥侧+S底
棱锥的体积
棱锥和圆锥统称锥体，锥体的体积公式是：v=1/3sh(s为锥体的底面积，h为锥体的高)。

斜棱锥的侧面积=各侧的面积之和
正棱锥的侧面积：S正棱锥侧=1/2chˊ(c为底面周长，hˊ为斜高)。

棱锥的中截面面积：S中截面=1/4S底面。

立体几何与空间向量一．空间几何体的体积与表面积：1.简单几何体的侧面积、体积及相关性质： 棱柱、棱锥、台体的表面积：柱体、椎体、台体的侧面积：h c S h c c S ch S '=''+==21,)(21,锥侧台侧柱侧（其中c c ',分 别为上下底面周长，h 为高，h '为斜高或母线长）圆柱的表面积 ：222r rl S ππ+=； 圆锥的表面积：2r rl S ππ+=；圆台的表面积：22R Rl r rl S ππππ+++=（r,R 分别为上下底面圆的半径）； 球的表面积：24R S π=； 扇形的面积：222121360r lr R n S απ===扇形（其中l 表示弧长，r 表示半径，α表示弧度） 空间几何体的体积柱体的体积：h S V ⨯=底；锥体的体积：h S V ⨯=底31； 台体的体积：h S S S S V ⨯+⋅+=)(31下下上上 ；球体的体积：334R V π=。

2.空间几何体直观图斜二测画法要领： 横相等，竖减半，倾斜45°，面积为原来的42，平行关系不变。

3.棱锥的平行截面的性质：如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似 相似比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比； 它们面积的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的平方比；截得的棱锥的体积与原棱锥的体积的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的立方比；4.立体几何中常见模型的性质： 长方体：（1）长方体从一个顶点出发的三条棱长分别为a,b,c ，则体对角线长为222c b a ++，全面积为2ab+2abc+2ac ，体积V=abc 。

（2）已知长方体的体对角线与过同一顶点的三条棱所成的角分别为γβα,,，则有1cos cos cos 222=++γβα或2sin sin sin 222=++γβα。

（3）长方体外接球的直径是长方体的体对角线长222c b a ++。

必修二数学知识点整理一、立体几何初步。

（一）空间几何体。

1. 棱柱。

- 定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的多面体。

- 性质：侧棱都平行且相等；两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形；过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形。

- 分类：按底面多边形的边数分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等；按侧棱与底面是否垂直分为直棱柱和斜棱柱，底面是正多边形的直棱柱叫正棱柱。

2. 棱锥。

- 定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形的多面体。

- 性质：如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么截面和底面相似，并且它们面积的比等于截得的棱锥的高与已知棱锥的高的平方比。

- 分类：按底面多边形的边数分为三棱锥（四面体）、四棱锥等；底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面中心的棱锥叫正棱锥。

正棱锥的性质包括各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形等。

3. 棱台。

- 定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分。

- 性质：棱台的各侧棱延长后交于一点；棱台的上下底面是相似多边形；棱台的侧面积等于各个梯形面积之和。

4. 圆柱。

- 定义：以矩形的一边所在直线为轴旋转，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体。

- 性质：圆柱的轴截面是全等的矩形；平行于底面的截面是与底面全等的圆；圆柱的侧面展开图是矩形，其长为底面圆的周长，宽为圆柱的高。

5. 圆锥。

- 定义：以直角三角形的一条直角边所在直线为轴旋转，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体。

- 性质：圆锥的轴截面是等腰三角形；平行于底面的截面是圆；圆锥的侧面展开图是扇形，扇形的弧长等于底面圆的周长，半径等于圆锥的母线长。

6. 圆台。

- 定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分。

- 性质：圆台的轴截面是等腰梯形；平行于底面的截面是圆；圆台的侧面展开图是扇环。

7. 球。

- 定义：以半圆的直径所在直线为轴，半圆面旋转一周形成的旋转体。

例31.若平面a 、0耳相垂直，贝9((A)Q 中的任意一条直线垂直于0(C)平行于a 的直线垂直于0(B)a 中有且只有一条直线垂直于0 (D)a 内垂直于交线的直线必垂直于0例32.如图，平面a 丄平面0, aCft=l,人丘0, B",且与/所成的角为60’，A 、B 到/的距离分别为1、V3,则线段AB 的长是() (A)4(B 座(C)巫(D)V333例33.如图，正方体ABCD —A.B^iD,屮，E 是BC 的屮点，连结DiE,则二面角D\_B 、E_C 的正切三面角与面面垂盘］—. ------- .厂)判定定理(map1.二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形，叫做二面角•如图二而角a —1—p 傕贡定理］二面角的平面角：以二面角a — l — 0的棱/上任意一点o 为端点，在两个半平面弘0 内分别作棱的垂线OA 、0B,这两条射线OA 、0B 所成的角ZAOB 叫做二面角的平面角. 直二面角：平面角是直角的二面角叫做直二面角.2.两个平面互相垂直：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个一面角及平面与平面垂直平面互相垂直.即二面角a-l-0的平面角ZAOB 为90"=＞仅丄0(1)两个平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直. B|J a u a °丄0 ⑵两个平面垂直的性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的a 丄0 ,ar\/3 = l\°直线垂直于另一个平面.即 ""丄0ci ua 丄/注:找二面角的平面角的方法主要有：① 定义法：直接在二面角的棱上取一点(待殊点)，分别在两个半平面中作棱的垂线，得 岀平面角，用定义法时，要认真观察图形的特性.② 三垂线法:已知二面角其中一个而内一点到另一个而的垂线，用三垂线定理或其逆定理作出平而角.③ 垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平血与两个半平面的交线 所成的角即为平面角，由此可知，二面角的平面角所在的平面与棱垂直.④ 射影法：利用面积射影公式：cos& = £，其中&为平面角的大小，S'是射影的面积. .S 此方法不必在图中画出平面角來.S 侧二仝亜cos a)值等于()(A)还(B)百(0 2A/5 (D)逅523例34.如图所示，四边形BCDE是正方形,AB丄平面BCDE,则图中互相垂直的平面有(~)(A)4对(B)5 对(C)7 对(D) 8 对②例35. —间民房的屋顶有如图三种不同的盖法：①单向倾斜；②双向倾斜；③四向倾斜, 记三种盖法屋顶面积分别为凡、P2、P3•若屋顶斜面与水平面所成的角都是幺则() (A)P3>P2>P\(B)p3 > P?=P\ (C)P3=P2 > P] (D)P3=P2=P1例36.已知平面a、0、Y，直线I、m，且/丄加丄给出下列以个结论：①“丄八②/丄③加丄0；④0丄仅.则其屮正确的个数是() (A)0 (B)l(c)2 (D)3例37.将边长为a的正六边形ABCDEF沿AD折成二面角E—AD—C,使CE=d,则二面角E—AD—C 的大小为_________________________ .例38.将椭圆—+ ^ = 1所在平而沿y = —x折成60°的二面角，则椭圆两个焦点9 4 3F P F2 的距离|F,F2|= ________ .例39.如图，矩形4BEF和正方形ABCD有公共边AB,它们所在平面成60°的二面角,AB=CB=2a,BE=a,则FC= _____________ 。

高二数学第八节 棱锥知识精讲 人教版1.棱锥的概念有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥，这个多边形叫做棱锥的底面，其余各面叫做棱锥的侧面，相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱，各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点，顶点到底面的距离叫做棱锥的高.如图所示的棱锥，多边形ABCDE 是底面，三角形SAB 、SAC 等是侧面，SA 、SB 等是侧棱，S 是顶点SH 是高.棱锥用表示顶点和底面各顶点.如图，棱锥S —ABCDE.或者用表示顶点和底面一条对角线的端点字母来表示.如图棱锥S —BD.棱锥按底面边数分可分为：底面是三角形的棱锥叫做三棱锥，底面是四边形的棱锥叫四棱锥，……棱锥的顶点在底面上的射影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥.2.棱锥的性质.一般棱锥的性质定理：如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么截面和底面相似，并且它们面积的比等于截得棱锥的高和已知棱锥的高的平方比.中截面：过棱锥的高的中点平行于底面的截面叫做棱锥的中截面.正棱锥的性质：①各条侧棱相等；②各侧面是全等的等腰三角形；③棱锥的高、斜高和斜高在底面的射影组成一个直角三角形；棱锥的高、侧棱和侧棱在底面上的射影也组成一个直角三角形.其中各等腰三角形底边上的高相等，它叫做正棱锥的斜高.3.正棱锥的直观图画法.因为正棱锥的直观图由底面和顶点所决定，底面的画法与直棱柱的底面画法相同，顶点和底面中心的距离，等于它的高，把顶点和底面中心的连线段画在轴上，画法是画轴——画底面——画高线——成图.4.正棱锥的侧面积.棱锥的侧面展开图是由各个侧面组成的，展开图的面积就是棱锥的侧面积.定理：如果正棱锥的底面周长是c ，斜高是h ′，那么它的侧面积是S 正棱锥侧=21ch ′. 棱锥的全面积等于侧面积与底面积的和.5.棱锥的体积公式.定理1：等底面积等高的两个锥体的体积相等.定理2：如果三棱锥的底面积是S.高是h.那么它的体积是V 三棱锥=31Sh. 定理3：如果一个锥体的底面积是S.高是h ，那么它的体积是V 锥体=31Sh.注意：计算三棱锥的体积时，以任何一个面作为底面其体积公式仍然成立，正如棱柱的平行六面体一样，以任何一个面作为底面.体积公式V=Sh.这两个特殊几何体为后面讲到等体积法提供了模型.【重点难点解析】正棱锥的概念和性质以及由棱锥的高、斜高、侧棱及其射影所组成的四个直角三角形在解题中经常使用.必须重点掌握，但正棱锥的概念的记忆是本节的难点，必须准确无误.例1 下列命题中是真命题的是( ) A.底面是正方形的棱锥是正四棱锥 B.各条侧棱都相等的棱锥是正棱锥C.由一个面是多边形，其余各个面是三角形所围成的几何体是棱锥D.正四面体是正三棱锥解 解此题时概念要明确，正棱锥不仅要求底面是正多边形，而且还要求其顶点在底面的射影是底面的中心，所以A 、B 不正确，C 中的各三角形没有指明共顶点，C 也不正确，D 是真命题，所以选D.例2 三棱锥A —BCD 中，AC=BD,AD=BC,AB=CD 三个侧面与底面所成的二面角分别为α、β、γ，则cos α+cos β+cos γ=.解 如图所示，设AC=BD=a,AD=BC=b,AB=CD=c由已知所有侧面三角形和底面三角形都是全等的三角形. 记为S ，侧面在底面的射影分别为S 1、S 2、S 3则SS 1=cos α,S S2=cos β,S S 3=cos γcos α+cos β+cos γ=S S S S 321++=SS=1例3 已知三棱锥S —ABC 的底面面积是a ，三棱锥的高是h ，M 、N 、P 、Q 分别是SB 、SC 、AC 、AB 的中点，求五面体MN —PQBC 的体积解 如图，过M 作MD ∥BA 交SA 于D ，则D 是SA 的中点，连结ND ，则ND ∥AC 所求五面体MN —PQBC 的体积等于原三棱锥的体积与五面体SA —MQPN 的体积之差而V S —ABC =31ah ， V S —DMN =31·41a ·2h =241ah ，V 三棱柱DMN —APQ =S △AQP ·21h=81ah ，∴V MN —PQBC =V S —ABC -（V S-DMN +V DMN-APQ ）=31ah-(241ah+81ah) =61ah例4 棱锥被平行于底的平面分成体积相等的三部分.求这棱锥的高被分成三部分的比. 解 设棱锥的高为h ，它被截成的三部分自上而下设为h 1，h 2，h 3，则有 (h h 1)3=31,(123h h h +)3=2,(h h h 3-)3=32.所以h 1=393h,h 2=(32-1)h 1=393(32-1)h ，h 3=31833-h.所以h 1∶h 2∶h 3=1∶(32-1)∶(33-32).说明 求体积之比或面积之比常用相似比.例5 已知四棱锥S —ABCD 的底面是边长为6的正方形，SA ⊥底面ABCD ，且SA=8，M 是SA 的中点，过M 和BC 作截面交SD 于N.(1)求证：截面MB 是梯形，并求截面的面积； (2)求截面MB 与底面ABCD 的夹角α.解 (1)先证MN ∥BC 且MN ≠BC.因为BC ∥AD ，所以AD ∥截面MB ，从而 AD ∥MN ，BC ∥MN.又MN=21AD=21BC ，所以MN ≠BC.于是MN 和BC 平行但不相等，故MB 是梯形.再求截面的面积：SA ⊥平面ABCD.易证MN 和BC 都垂直于平面ABS.所以MB ⊥MN ，MB ⊥BC ，故S 截=21(MN+BC)·MB =21(3+6)1636 =913. (2)首先要找到二面角的平面角.根据上面的证明，知∠MBA 的是截面与底面所成二面角的平面角，即∠MBA=α.于是tan α=AB MA =64=32∴α=arctan 32【难题巧解点拨】例1 以四面体各面的重心为顶点构成一个新的四面体.求这两个四面体的表面积的比.解 因相似多面体全面积的比等于对应边的平方的比，故只须求出对应边的比.∵B 1D 1＝32EF ＝31BD ， ∴BD D B 11＝31.同理，AB B A 11＝AC C A 11＝AD D A 11＝BC C B 11＝CD D C 11＝31，故ABCD 和A ′B ′C ′D ′是相似多面体，其表面积的比为1∶9.例2 如图，四棱锥的高为h ，底面为菱形，侧面VDA 和侧面VDC 所成的二面角为120°，且都垂直于底面，另两个侧面与底面所成的角都是45°，求此棱锥的全面积.分析：由面面垂直的性质可证得VD ⊥底面，因为S ΔVDA ＝S ΔVDC ，∠ADC ＝120°，DB 是其平分线，而S ΔVBC ＝S ΔVAB ，所以全面积不难求得.解 由已知条件可得VD ⊥底面ABCD ，VD ⊥DA ，VD ⊥DC ，∴∠ADC ＝120°. ∵ABCD 为菱形，∴BD 是∠ADC 的平分线.ΔADB 和ΔDBC 是全等的等边三角形，取BC 的中点E ， 连DE ，BC ⊥DE ，BC ⊥VE ，∴∠VED ＝45°. 在直角ΔDEC 中，EC ＝DE ·ctg60°＝33h,BC ＝332h,VE ＝2h. ∴S 底＝BC ·DE ＝332h ·h ＝332h 2, S ΔVBC ＝S ΔVAB ＝21·332h ·2h ＝36h 2,S ΔVAD ＝S ΔVDC ＝21h ·332h ＝33h 2.∴S 全＝332h 2+362h 2+332h 2＝32(23+6)h 2 评析：本题的关键是侧面VDA 和侧面VDC 都垂直于底面，则它们的交线VD ⊥底面ABCD ，从而∠ADC ＝120°.例3 已知三棱锥各侧面与底面成60°角.底面三角形各角成等差数列，且最大边与最小边是方程3x 2-21x+13＝0的两根.求此三棱锥的侧面积和体积.解 如图，设底面三角形的边长为a 、b 、c.则由条件知∠B ＝60°，a+c ＝7,ac ＝313，得b 2＝a 2+c 2-2accosB ＝(a+c)2-2ac(1+cosB)＝72-2·313(1+21)＝36⇒b ＝6,由三角形面积公式，得21acsinB ＝pr(其中p 为半周长，r 为内切圆半径)，求得r ＝63.由于各侧面与底面成的角相等，∴顶点在底面上的射影是三角形的内心，且各侧面上的高相等，∴h ＝rtg60°＝63·3＝21，h 侧＝︒60cos r ＝33.故S 侧＝21(7+6)×33＝6133 (平方单位)，V ＝31·21acsinB ·h ＝61×313×23×21＝72133 (立方单位).例4 正三棱锥A-BCD ，底面边长为a ，侧棱为2a ，过点B 作与侧棱AC 、AD 相交的截面，在这样的截面三角形中，求(1)周长的最小值；(2)周长为最小时截面积的值，(3)用这周长最小时的截面截得的小三棱锥的体积与三棱锥体积之比.图1解 (1)沿侧棱AB 把正三棱锥的侧面剪开展成平面图.如图1，当周长最小时，EF 在直线BB ′上∵ΔABE ≌ΔB ′AF ，∴AE ＝AF ，AC ＝AD ，∴B ′B ∥CD ，∴∠1＝∠2＝∠3，∴BE ＝BC ＝a ，同理B ′F ＝B ′D ＝a.∵ΔFDB ′∽ΔADB ′，∴B D DF '＝B A B D ''，a DF ＝a a 2＝21,∴DF ＝21a,AF ＝23a.又∵ΔAEF ∽ΔACD ，∴BB ′＝a+43a+a ＝411a,∴截面三角形的周长的最小值为411a.(2)如图，∵ΔBEF 等腰，取EF 中点G ，连BG ，则BG ⊥EF.∴BG ＝22EG BE -＝22)83(a a -＝855a ∴S ΔBEF ＝21·EF ·BG ＝21·43a ·855a ＝64553a 2.(3)∵V A-BCD ＝V B-ACD ，而三棱锥B —AEF ，三棱锥B —ACD 的两个高相同，所以它们体积之比于它们的两底面积之比，即CAD B AEF B V V --＝ACD AEF S S △△＝22CD EF ＝169 评析 把曲面上的最短路线问题利用展开图转化为平面上两点间距离的问题，从而使问题得到解决，这是求曲面上最短路线的一种常用方法.本题中的四面体，其中任何一个面都可以做为底面，因而它可有四个底面和与之对应的四条高，在解决有关三棱锥体积题时，需要灵活运用这个性质.例5 在三棱锥A —BCD 中，ΔABC 和ΔBCD 都是边长为a 的正三角形，二面角A —BC —D ＝φ，问φ为何值时，三棱锥的全面积最大。

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1．棱锥的主要结构特征：
(1)有一个面是多边形；
(2)其余各面都是有一个公共顶点的三角形；棱锥中有公共顶点的各三角形叫做棱锥的侧面；各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点；相邻两侧面的公共边叫做棱锥的侧棱；多边形叫做棱锥的底面；顶点到底面的距离叫做棱锥的高．
2．棱锥按底面多边形的边数分为三棱锥、四棱锥等．如果棱锥的底面是正多边形，且它的顶点在过底面中心且与底面垂直的直线上，则这个棱锥叫做正棱锥．正棱锥各侧面都是全等的等腰三角形；等腰三角形底边上的高叫做棱锥的斜高．
3．棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面间的部分叫做棱台．原棱锥的底面与截面分别叫做棱台的下底面、上底面；其他各面叫做棱台的侧面；相邻两侧面的公共边叫做棱台的侧棱；两底面间的距离叫做棱台的高．
4．由正棱锥截得的棱台叫做正棱台．正棱台各侧面都是全等的等腰梯形，这些等腰梯形的高叫做棱台的斜高．学科&网
【例】给出两块正三角形纸片(如图所示)，要求将其中一块剪拼成一个底面为正三角形的三棱锥模型，另一块剪拼成一个底面是正三角形的三棱柱模型，请设计一种剪拼方案，分别用虚线标示在图中，并作简要说明．
【解析】如图①所示，沿正三角形三边中点连线折起，可拼得一个底面为正三角形的三棱锥．。