平面几何四个重要定理

平面几何的著名定理一、毕达格拉斯定理（即勾股定理）在任何一个直角三角形中，两条直角边的长的平方和等于斜边长的平方，这就叫做勾股定理。

即勾的平方加股的平方等于弦的平方二、帕普斯定理帕普斯(Pappus)定理:如图，直线l1上依次有点A,B,C，直线l2上依次有点D,E,F，设AE,BD 交于P，AF,DC交于Q，BF,EC交于R，则P,Q,R共线。

三、影射定理（与相似三角形和比例有关）直角三角形射影定理（又叫欧几里德(Euclid)定理）：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。

每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。

公式Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD是斜边BC上的高,则有射影定理如下:(1)(AD)^2;=BD·DC,(2)(AB)^2;=BD·BC ,(3)(AC)^2;=CD·BC 。

等积式 (4)ABXAC=BCXAD(可用面积来证明)四、梅涅劳斯定理梅涅劳斯（Menelaus）定理（简称梅氏定理）是由古希腊数学家梅涅劳斯首先证明的。

它指出：如果一条直线与△ABC的三边AB、BC、CA或其延长线交于F、D、E点，那么(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1。

或：设X、Y、Z分别在△ABC的BC、CA、AB所在直线上，则X、Y、Z共线的充要条件是(AZ/ZB)*(BX/XC)*(CY/YA)=1 。

证明一过点A作AG∥BC交DF的延长线于G，则AF/FB=AG/BD , CE/EA=DC/AG。

三式相乘得：(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=(AG/BD)×(BD/DC)×(DC/AG)=1证明二过点C作CP∥DF交AB于P，则BD/DC=FB/PF，CE/EA=PF/AF所以有AF/FB×BD/DC×CE/EA=AF/FB×FB/PF×PF/AF=1它的逆定理也成立：若有三点F、D、E分别在△ABC的边AB、BC、CA或其延长线上，且满足(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1，则F、D、E三点共线。

平面几何重要定理考点归纳1、勾股定理毕达哥拉斯定理2、射影定理欧几里得定理3、三角形的三条中线交于一点，并且，各中线被这个点分成2：1的两部分4、四边形两边中心的连线的两条对角线中心的连线交于一点5、间隔的连接六边形的边的中心所作出的两个三角形的重心是重合的。

6、三角形各边的垂直一平分线交于一点。

7、三角形的三条高线交于一点8、设三角形ABC的外心为O，垂心为H，从O向BC边引垂线，设垂足为L，则AH=2OL9、三角形的外心，垂心，重心在同一条直线欧拉线上。

10、九点圆或欧拉圆或费尔巴赫圆三角形中，三边中心、从各顶点向其对边所引垂线的垂足，以及垂心与各顶点连线的中点，这九个点在同一个圆上，11、欧拉定理：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心依次位于同一直线欧拉线上12、库立奇大上定理：圆内接四边形的九点圆圆周上有四点，过其中任三点作三角形，这四个三角形的九点圆圆心都在同一圆周上，我们把过这四个九点圆圆心的圆叫做圆内接四边形的九点圆。

13、内心三角形的三条内角平分线交于一点，内切圆的半径公式：r=s-as-bs-cs，s为三角形周长的一半14、旁心三角形的一个内角平分线和另外两个顶点处的外角平分线交于一点15、中线定理：巴布斯定理设三角形ABC的边BC的中点为P，则有AB2+AC2=2AP2+BP216、斯图尔特定理：P将三角形ABC的边BC内分成m：n，则有n×AB2+m×AC2=m+nAP2+mnm+nBC217、波罗摩及多定理：圆内接四边形ABCD的对角线互相垂直时，连接AB中点M和对角线交点E的直线垂直于CD18、阿波罗尼斯定理：到两定点A、B的距离之比为定比m：n值不为1的点P，位于将线段AB分成m：n的内分点C和外分点D为直径两端点的定圆周上19、托勒密定理：设四边形ABCD内接于圆，则有AB×CD+AD×BC=AC×BD20、以任意三角形ABC的边BC、CA、AB为底边，分别向外作底角都是30度的等腰△BDC、△CEA、△AFB，则△DEF是正三角形21、爱尔可斯定理1：若△ABC和△DEF都是正三角形，则由线段AD、BE、CF的中心构成的三角形也是正三角形。

B平面几何中的四个重要定理梅涅劳斯(Menelaus)定理（梅氏线）△ABC 的三边BC 、CA 、AB 或其延长线上有点P 、Q 、R ，则P 、Q 、R 共线的充要条件是1=⋅⋅RBARQA CQ PC BP 。

塞瓦(Ceva)定理（塞瓦点）△ABC 的三边BC 、CA 、AB 上有点P 、Q 、R ，则AP 、BQ 、CR 共点的充要条件是1=⋅⋅RBARQA CQ PC BP 。

托勒密(Ptolemy)定理四边形的两对边乘积之和等于其对角线乘积的充要条件是该四边形内接于一圆。

西姆松(Simson)从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是该点落在三角形的外接圆上。

例题：1、设AD 是△ABC 的边BC 上的中线，直线CF 交AD 于F 。

求证：FBAF 2ED AE =。

【分析】CEF 截△ABD→1FABFCB DC ED AE =⋅⋅（梅氏定理） 【评注】也可以添加辅助线证明：过A 、B 、D 之一作CF 的平行线。

2、过△ABC 的重心G 的直线分别交AB 、AC 于E 、F ，交CB 于D 。

求证：1FACFEA BE =+。

【分析】连结并延长AG 交BC 于M ，则M 为BC 的中点。

DEG 截△ABM→1DB MDGM AG EA BE =⋅⋅（梅氏定理）DGF 截△ACM→1DCMDGM AG FA CF =⋅⋅（梅氏定理）∴FA CF EA BE +=MDAG )DC DB (GM ⋅+⋅=MD GM 2MD 2GM ⋅⋅=1【评注】梅氏定理3、D 、E 、F 分别在△ABC 的BC 、CA 、AB 边上，λ===EACEFB AF DC BD ，AD 、BE 、CF 交成△LMN 。

求S △【分析】【评注】梅氏定理4、以△ABC 各边为底边向外作相似的等腰△BCE 、△CAF 、△ABG 。

求证：AE 、BF 、CG 相交于一点。

【分析】【评注】塞瓦定理5、已知△ABC 中，∠B=2∠C 。

1． 中线定理（巴布斯定理）设△ABC 的边BC 的中点为P ，则有)(22222BP AP AC AB +=+； 中线长：222222a c b m a -+=2． 角平分线定理：三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例．如△ABC 中，AD 平分∠BAC ，则ACAB DC BD =；（外角平分线定理） 3． 正弦定理：R Cc B b A a 2sin sin sin ===，（其中R 为三角形外接圆半径） 4． 余弦定理：C ab b a c cos 2222-+=5． 布拉美古塔（Brahmagupta ）定理： 在圆内接四边形ABCD 中，AC ⊥BD ，自对角线的交点P 向一边作垂线，其延长线必平分对边6． 托勒密（Ptolemy ）定理：圆内接四边形对角线之积等于两组对边乘积之和，即AC ·BD =AB ·CD +AD ·BC ，(逆命题成立) ．（广义托勒密定理）AB ·CD +AD ·BC ≥AC ·BD7． 蝴蝶定理：AB 是⊙O 的弦，M 是其中点，弦CD 、EF 经过点M ，CF 、DE 交AB 于P 、Q ，则有：MP =QM ．8． 欧拉（Euler ）公式：设三角形的外接圆半径为R ，内切圆半径为r ，外心与内心的距离为d ，则d 2=R 2－2Rr ．重心性质：①设G 为△ABC 的重心，连结AG 并延长交BC 于D ，则D 为BC 的中点，则1:2:=GD AG ； ②设G 为△ABC 的重心，则ABC ACG BCG ABG S S S S ∆∆∆∆===31③设G 为△ABC 的重心，过G 作DE ∥BC 交AB 于D ，交AC 于E ，过G 作PF ∥AC 交AB 于P ，交BC 于F ，过G 作HK ∥AB 交AC 于K ，交BC 于H ，则2;32=++===ABKH CA FP BC DE AB KH CA FP BC DE ④到三角形三顶点距离的平方和最小的点是重心，即222GC GB GA ++最小；⑤三角形内到三边距离之积最大的点是重心；反之亦然（即满足上述条件之一，则G 为△ABC 的重心）．11． 垂心性质：（1）三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2倍（2）垂心H 关于△ABC 的三边的对称点，均在△ABC 的外接圆上；（3）△ABC 的垂心为H ，则△ABC ，△ABH ，△BCH ，△ACH 的外接圆是等圆；（4）设O ，H 分别为△ABC 的外心和垂心， HCA BCO ABH CBO HAC BAO ∠=∠∠=∠∠=∠,,12． 内心：三角形的三条角分线的交点—内接圆圆心，即内心到三角形各边距离相等内心性质：（1）设I 为△ABC 的内心，则I 到△ABC 三边的距离相等，反之亦然（2）设I 为△ABC 的内心，则C AIB B AIC A BIC ∠+︒=∠∠+︒=∠∠+︒=∠2190,2190,219013． 外心：三角形的三条中垂线的交点——外接圆圆心，即外心到三角形各顶点距离相等；外心性质：（1）外心到三角形各顶点距离相等（2）设O 为△ABC 的外心，则A BOC ∠=∠2或A BOC ∠-︒=∠2360（3）∆=S abcR 4；（4）锐角三角形的外心到三边的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和14．其中a h 表示BC 边上的高，R 为外接圆半径，r 为内切圆半径，)(21c b a p ++= 1920·两条直线的平行和垂直(1)若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+①121212||,l l k k b b ⇔=≠;②12121l l k k ⊥⇔=-.21·点到直线的距离d =(点00(,)P x y ,直线l ：0Ax By C ++=).。

平面几何著名定理1、欧拉（Euler）线：同一三角形的垂心、重心、外心三点共线，这条直线称为三角形的欧拉线；且外心与重心的距离等于垂心与重心距离的一半2、九点圆：任意三角形三边的中点，三高的垂足及三顶点与垂心间线段的中点，共九个点共圆，这个圆称为三角形的九点圆；其圆心为三角形外心与垂心所连线段的中点，其半径等于三角形外接圆半径的一半。

3、费尔马点：已知P为锐角△ABC内一点，当∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°时，PA＋PB＋PC的值最小，这个点P称为△ABC的费尔马点。

4、海伦（Heron）公式：在△ABC 中，边BC 、CA 、AB 的长分别为a 、b 、c ，若p ＝21（a ＋b ＋c ）， 则△ABC 的面积S ＝))()((c p b p a p p ---5、塞瓦（Ceva ）定理：在△ABC 中，过△ABC 的顶点作相交于一点P 的直线，分别交边BC 、CA 、AB 与点D 、E 、F ，则1=⋅⋅FBAFEA CE DC BD ；其逆亦真6、密格尔（Miquel ）点：若AE 、AF 、ED 、FB 四条直线相交于A 、B 、C 、D 、E 、F 六点，构成四个三角形，它们是△ABF 、△AED 、△BCE 、△DCF ，则这四个三角形的外接圆共点，这个点称为密格尔点。

7、葛尔刚（Gergonne ）点:△ABC 的内切圆分别切边AB 、BC 、CA 于点D 、E 、F ，则AE 、BF 、CD 三线共点，这个点称为葛尔刚点。

8、西摩松（Simson ）线：已知P 为△ABC 外接圆周上任意一点，PD ⊥BC ，PE ⊥ACPF ⊥AB ，D 、E 、F 为垂足，则D 、E 、F 三点共线，这条直线叫做西摩松线。

9、黄金分割：把一条线段(AB)分成两条线段,使其中较大的线段(AC)是原线段(AB)与较小线段(BC)的比例中项,这样的分割称为黄金分割11、笛沙格（Desargues）定理：已知在△ABC与△A'B'C'中，AA'、BB'、CC'三线相交于点O，BC与B'C'、CA与C'A'、AB与A'B'分别相交于点X、Y、Z，则X、Y、Z三点共线；其逆亦真。

平面几何四个重要定理四个重要定理:梅涅劳斯(Menelaus)定理(梅氏成)△ ABC的三边BC、CA、AB或其延长线上有点P、Q、R,则P、Q、R共线的充妥条件是— = loPC QA RB室瓦(Ccva)定理(塞瓦点)A ABC 的三边BC、CA、AB 上有点P、Q、R,则AP、BQ、CR共点的充妥条件是BP CQ ARPC QA RBlo托勒密(Ptolemy)定理四边彩的两对边乘积之和等于其对角线乘积的充妾条件是该四边形内接于一圆。

西姆松(Simson)定理(西姆松线)从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充妄条件是该点落在三角形的外接网上。

例题：1.设AD是二ABC的边BC上的中线，直线XF交AD于F。

a. AE 2AF求'正： LC = 0ED FB【分析】CEF —— = 1 (梅氏定理)ED CB FA【评注】也叮以添加辅助线证明：过A、B、D之一作CF的平行践。

2.过^ABC的重心G的直经分别交AB、AC于E、F,交CB word于Po求证: BE CF —+ —EA FA【分析】连结异延长AG交BC于M,则M为BC的中点Oc 止BE AG DEG 裁zlABM— --------------EA GMCF AGPGF^AACM^--—FA Of 黑=1 （梅氏定理）U D罪=1 （梅氏定理）DC.BE 十CF _GM (DB + DC)_GM 2MD_[ EA+ FA AGMD 2GM MD~ 【评注】梅氏定理3.D、E、F分别在A ABC的BC、CA、AB边上，RD AF CF= 人，AD、BE、CF 交成ALMNoDC FB EA求S_LM*【分析】【评注】梅氏定理4. 以AABC各边为底边向外作相似的等膝zLBCE、ACAF.AABGo求证：AE、BF、CG相交于一点。

【分析】【评注】塞瓦定理5.已知ZiABC 中,ZB=2ZCo 求证：AC2=AB2+AB - BCo【分析】过A作BC的平行线交A ABC的外接圆于D,连结BPo 则CD=DA=AB, AC=BDo由,七勒密定理,AC - BP=AD - BC+CD - ABo【评注】托勒密定理6.已知正七边形A|A2A5A4A S A6A7O求证：+—!—o （第21届全苏数学竞赛）A | A 2 A j A j A]Aq【分析】【评注】托勒密定理7. AABC的BC边上的商AD的延长线交外接阅于P,作PE1AB于E,延长ED交AC延长残于F。

个人精心高中数学联赛竞赛平面几何四大定理及考纲Standardization of sany group #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8-HHMHGN#1、数学竞赛考纲二试1、平面几何基本要求：掌握高中数学竞赛大纲所确定的所有内容。

补充要求：面积和面积方法。

几个重要定理：梅涅劳斯定理、、、。

几个重要的极值：到三角形三顶点距离之和最小的点--。

到三角形三顶点距离的平方和最小的点--。

三角形内到三边距离之积最大的点--重心。

几何不等式。

简单的。

了解下述定理：在周长一定的n边形的集合中，正n边形的面积最大。

在周长一定的的集合中，圆的面积最大。

在面积一定的n边形的集合中，正n边形的周长最小。

在面积一定的简单闭曲线的集合中，圆的周长最小。

几何中的运动：反射、平移、旋转。

方法、方法。

平面、及应用。

2、代数在一试大纲的基础上另外要求的内容：周期函数与周期，带的函数的图像。

，三角形的一些简单的恒等式，三角不等式。

，一阶、二阶递归，法。

函数，求n次迭代，简单的函数方程。

n个变元的平均不等式，，及应用。

复数的指数形式，欧拉公式，，单位根，单位根的应用。

圆排列，有重复的排列与组合，简单的组合恒等式。

一元n次方程（多项式）根的个数，根与系数的关系，实系数方程虚根成对定理。

简单的初等数论问题，除初中大纲中所包括的内容外，还应包括，，欧几里得除法，非负最小完全剩余类，，，，，格点及其性质。

3、立体几何多面角，多面角的性质。

三面角、直三面角的基本性质。

正多面体，欧拉定理。

体积证法。

截面，会作截面、表面展开图。

4、平面解析几何直线的式，直线的，直线束及其应用。

二元一次不等式表示的区域。

三角形的。

圆锥曲线的切线和法线。

圆的幂和根轴。

5、其它。

集合的划分。

覆盖。

西姆松线的存在性及性质()。

及其逆定理。

一、平面几何1. 梅涅劳斯定理（Menelaus）定理（简称梅氏定理）是由数学家梅涅劳斯首先证明的。

它指出：如果一条直线与△ABC的三边AB、BC、CA或其延长线交于F、D、E点，那么(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1。

一．梅涅劳斯定理Menelaus （公元98年左右），希腊数学家、天文学家，梅涅劳斯定理包含在其几何著作《球论》里。

梅涅劳斯定理 设ABC ∆的三边AB CA BC ,,或它们的延长线与一条不经过其顶点的直线交于R Q P ,,三点（如图6），则1=⋅⋅RB AR QA CQ PC BP 。

梅涅劳斯定理逆定理 设R Q P ,,分别是ABC ∆的三边AB CA BC ,,上或它们延长线上三点，若有1=⋅⋅RBAR QA CQ PC BP ， 则R Q P ,,三点在同一直线上。

设P 为三角形ABC 所在平面上一点，过点P 作PA 的垂线交直线BC 于D ，作PB 的垂线交直线CA 于E ，作PC 的垂线交AB 于F 。

求证：D,E,F 共线。

若三角形的三条外角平分线皆与对边所在直线相交，则三交点共线。

3.设ABC ∆的∠A 的外角平分线与BC 的延长线交于P,∠B 的平分线与AC 交于Q,∠C 的平分线和AB 交于R.求证： R Q P ,,三点在同一直线上。

AB C P Q R S AB C S P R Q 6 图A B CPQ R 7 图4.图8，过△ABC 的三个顶点A 、B 、C 作它的外接圆的切线，分别和BC 、CA 、AB 的延长线交于P 、Q 、R ，求证：P 、Q 、R 三点共线。

注： 直线PQR 叫做△ABC 的莱莫恩（Lemoine ）线5.（戴沙格定理）设△ABC 和△C B A '''对应点的连线A A '、B B '、C C 'S ，这时如果对应边BC 和C B ''、CA 和A C ''、AB 和B A ''（或它们的延长线）相交，则它们的交点D 、E 、F 在同一直线上。

注：戴沙格定理是射影几何中的重要定理。

6（牛顿定理）设四边形ABCD 的一组对边AB 和CD 的延长线交于点E ，另一组对边 AD 和BC 的延长线交于点F ，则AC 的中点L 、BD 的中点M 及EF 的中点N ，三点共线。