第一章第二节概率的定义课件

当 n ＝ k 时，称n个元素的全排列．共有n！种。
例如：从3个元素取 出2个的排列总数有6种
P32 6
pnk n(n 1)(n 2)
(n k 1) n! (n k)!
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选讲部分
(4) 不同元素的重复排列
从n个不同的元索中，有放回地取k个元素进行的排
列，共有 nk 种（元素允许重复 1 k n）。
nH
1061 2048 6019 12012
f (H ) n的增大 1 .
2
f
0.5181 0.5069 0.5016 0.5005
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一、事件的频率
从上表中可以看出,出现 正面向上的频率 fnA
虽然随 n的不同而变动 ,但总的趋势是随着试验次 数的增加而逐渐稳定在0.5 这个数值上.
i 1
i 1
An 两两互斥 P( Ai ) P( Ai )
i 1
i 1
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三、概率的性质
性质3 若A, B为两个任意的随机事件，则 P( A B) P( A) P( AB).
证明 A ( A B) AB,又(A B) AB P( A) P( A B) P( AB) P(A B) P(A) P(AB)
性质4 若A, B为两个随机事件,A B,则
P( A) P(B), P(B A) P(B) P( A).
性质5 设 A 是 A的对立事件，则 P(A) 1 P(A).
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三、概率的性质
性质6 ( 加法公式) 对于任意两事件 A, B 有
P( A B) P( A) P(B) P( AB).
=
nA n

上公式一般情况下不成立。如 A、B 互斥， P(A)=0.5,P(B)=0.3,左= P(B)=0.3，右=-0.2 二、古典概型
在概率计算中，比较常见的是所谓古典概型概率计算。为 此，首先定义等概完备事件组的概念。
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5
定义 3：若事件 A1, A2 ,..., An满足 (1)事件 A1, A2 ,..., An发生的概率相等（等可能性）； (2)在每次试验中，事件 A1, A2 ,..., An至少有一个发生（完备性）； (3)在每次试验中，事件 A1, A2 ,..., An只能发生其中之一（互斥性）, 称事件 A1, A2 ,..., An构成等概完备事件组，也称等概基本事件组。
（2） p nCn2 (n 1)! nn
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11
【例5】从5双不同号码的鞋子中任意抽取4只，问这4只至
少有2只配对的概率是多少？
解：法一. n=C140 210 ,m=C52C5 1C422*2130
故所求概率p=13/21。
法二.4只全不配对方法有m= C542*2*2*280
即4只全不配对的概率为8/21，所以至少有2只配对的概率
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13
几何概型介绍: 例1：设某公交车每10分钟到站一辆，乘客到达车站的时 刻是任意的，求某乘客到站候车不超过5分钟的概率？ 解：设乘客所乘车在a时刻到达，则这辆汽车的前一辆车 在(a-10)时刻到达，乘客在时间段(a-10,a]的任意时刻x都 可能到达车站，而若候车不超过5分钟，则x必满足:
P(A) 1 P(A)
例：设事件 A、B，若 A B，则P(B) P( A) 证明 将 B 写成B A (B A) A B A，由于右边两事件互 斥，所以P(B) P(A) P(B A) P(A)。

17
古典概型问题中，样本空间的构造必须 保证其中的每个样本点发生的可能性都相同。
练习1.4.1 抛一枚均匀硬币三次，计算P { 恰好出现一次正面 }。 提示：这里有两种构造样本空间的形式， ① 以随机试验的全部结果构造 S1 = { HHH，HHT，HTH，HTT，THH， THT，TTH，TTT } 因此 P (A ) = 3/8 ； ② 以正面出现的次数构造 S2 = { 0，1，2，3 } 因此 P (A ) = 1/4 。
概率P (B – A) 的值。பைடு நூலகம்
解。分析：由减法公式， P (B – A ) = P (B ) – P (AB ) 只需要计算出概率 P (AB ) 。
(1) A、B互不相容即 AB = ，得到 P (B – A ) = 0.5；
(2) A B 等价于 AB = A，得到 P (B – A ) = 0.2；
频率的这种稳定性表明了随机现象也具有规律性， 称为是统计规律(大量试验下体现出来的规律)。
4
概率的频率定义
自然地，可以采用一个随机事件的频率的稳定值 去描述它在一次试验中发生的可能性大小，即用频率 的极限来作为概率的定义。
然而实际上，我们不可能对每一个随机事件都去 做大量的试验后得到它的频率，并且有些随机事件也 无法去定义它们的频率。
16
例:有三个子女的家庭,设每个孩子是男是女的概率 相等,则至少有一个男孩的概率是多少?
解:设A表示事件至少有一个男孩,以H表示某个孩子 是男孩
N(S)={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT,TTT} N(A)={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT}
P( A) N ( A) 7 N(S) 8
i 1

等于( A. 1
3
C)．
B.
1 12
C.
11
2
4
1
D.16
5.中央电视台“幸运52”栏目中的“百宝箱”
互动环节，是一种竞猜游戏，游戏规则如
下：在20个商标中，有5个商标牌的背面
注明了一定的奖金额，其余商标的背面是
一张苦脸，若翻到它就不得奖。参加这个
游戏的观众有三次翻牌的机会。某观众前
两次翻牌均得若干奖金，如果翻过的牌不
能再翻，那么这位观众第三次翻牌获奖的
概率是A1（
）．
1
16
15
A. 6
B.
5
3
20
C.
3
20
1
41
D.
4
6、有100张卡片（从1号到100 号），从中任取1张，取到的卡号 是7的倍数的概率为（ 7 ）。
7.一张圆桌旁有四个座5位0 ,A先 坐在如图所示的座位上,B.C.D 三人随机坐到其他
A
三个座位上.则A与 圆桌
会出现的数字为1，2，3， 4，5，6 ，六种等可能的 结果，每种结果各占总结果 的1
6
问题3.从分别标1，2，3，4， 5的5根纸签中随机抽取一根， 抽出的签上的标号有几种可 能？
会出现抽到பைடு நூலகம்标号为1，2，3，
4，5，5种等可能的结果，
每种结果占总结果数的 1 5
概率的定义：
111
数值 2，6 ，5 反映了实验中相应 随机事件发生的可能性大小．对 于一个事件Ａ，我们把刻画其可 能性大小的数值，称为随机事件 Ａ发生的概率，记为Ｐ（Ａ）．
（1）共有多少种不同的结果？
（2）摸出2个黑球有多种不同的结果？

（4） A BA BA AB
（5）
n
n
n
n
Ai Ai ,
Ai Ai ,
i 1
i 1
i 1
i 1
Ai Ai ,
Ai Ai .
i 1
i 1
i 1
i 1
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例2: 设A，B，C为三个事件，试用A，B，C表 示下列事件： （1）A发生且B与C至少有一个发生； （2）A与B都发生而C不发生； （3）A，B，C恰有一个发生； （4）A，B，C中不多于一个发生； （5）A，B，C不都发生； （6）A，B，C中至少有两个发生。
例1 : 从一批产品中任取8件，观察其中的正品件数， 则这一试验的样本空间为：
={0，1，2，3，4，5，6，7，8}
引入下列随机事件: A={正品件数不超过3}={0，1，2，3} B={取到2件至3件正品}={2，3} C={取到2件至5件正品}={2，3，4，5}
D={取到的正品数不少于2且不多于5}={2，3，4，5}
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样本空间：
随机试验E的全体基本事件组成的集合。记为。
随机事件中有两个极端情况：
•每次试验中都必然发生的事件，称为必然事件 。
•每次试验中都不发生的事件，称为不可能事件 。
基本事件是样本空间的单点集。 复合事件是由多个样本点组成
不可能事件不含任何样本点，它就是空集 。
或A1A2 … An ，也可简记为 n 。A i
i1
在可列无穷的场合，用
i1
A
i
表示事件“A1、A2
、
…诸
事件同时发生。”
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40 AB
事件A发生但事件B不发生,称为事件A与事件B的差 事件。显然有：

上表所列的答案是出乎很多人意料的, 因为”一个 班级至少有两个人生日相同”的概率, 并不如大多 数人直觉中想象的那样小, 而是相当大. 这个例子告 诉我们, “直觉”有时并不可靠, 这就说明研究随机 现象统计规律的重要性.
4. 求概率的几何方法
例四. 设有N件产品,其中D件次品,从中任取n件,求 其中恰有k(k≤D)件次品的概率.
解 : 样本空间就是从 N个产品中取 n件的不同 方式, 样本点数就是方式数
n CN
所求事件是 n个产品中有 k件次品 , 这个事件可以 通过两个步骤完成 :
k (1)从D件次品里取 k件, 方式数为 C D
n k (2)从N D个正品中取 n k件, 方式数为C N D
概率的定义并没有告诉人们如何去求概率, 也没有 说一个特定的样本空间对应一个特定的概率, 只 是告诉人们以任何方式定义的概率必须满足的条 件.
概率的求法, 根据问题的特点, 分别采取以下 的不同途径进行:
• 频率方法
• 古典方法
• 几何方法
2. 求概率的频率方法
事实上, 人们很早就开始了这方面的思考. 例如, “频 率”早就被引入来描述事件发生的频繁程度. 为了研究女婴出生的可能性, 统计学家克 拉梅(1893-1985) 利用瑞典1935年的官 方资料, 测得女婴出生的频率在0.482左 右摆动, 从而得出女婴出生的概率为 0.482.
分房模型在统计物理学里也有应用. 在那里将本例 中的“人”理解成“粒子”, “房间”理解成不同 的“能级”.
例七.(生日问题) 某班级有n个人 (n≤365), 问至少 有两个人的生日在同一天的概率有多大? 解: 假定一年按365天计算, 把365天当作365个“房间”,
那么问题类比于例五. 这时, 事件“n个人生日全不相同”就相当于例五中 的(2):“恰有n个房间, 其中各住一人”. 令A={n个人中至少有两个人的生日在同一天}, 则其 对立事件是{n个人的生日全不相同}. 根据例五(2)知

A 1 “: 至少有一人命中目标 A 2 “: 恰有一人命中目标” A 3 “: 恰有两人命中目标” A 4 “: 最多有一人命中目标 A 5 “: 三人均命中目标” A 6 “: 三人均未命中目标”
”:
ABC
: ABCABCABC
: AC BABC ABC
”: BCACAB
:
ABC
:
ABC
21
小结
i1
i1
13
3. 积（交）事件 : 事件A与事件B同时发生，记
作 AB 或AB。
推广：n个事件A1, A2,…, An同时发生，记作
n
n
A1A2…An或 A i 或 A i
i1
i1
14
4. 差事件： A－B称为A与B的差事件, 表示事件 A发生而事件B不发生
15
5. 互不相容事件（也称互斥的事件）： 即事件 A与事件B不能同时发生。AB＝ 。
3
第一章 概率论的基本概念
§1.1 随机事件及其运算 §1.2 概率的定义及其性质 §1.3 古典概型与几何概型 §1.4 条件概率 §1.5 独立性
4
§1.1 随机事件及其运算
1.1.1 随机现象
自然界的现象按照发生的可能性（或者必然 性）分为两类：
一类是确定性现象，特点是条件完全决定结果 一类是随机现象，特点是条件不能完全决定结 果 在一定条件下，可能出现这样的结果，也可 能出现那样的结果，我们预先无法断言，这类现象 成为随机现象。
概率论与数理统计
1
概率论与数理统计是研究什么的？
随机现象：不确定性与统计规律性 概率论——从数量上研究随机现象的统计规律性的
科学。
数理统计——从应用角度研究处理随机性数据，建 立有效的统计方法，进行统计推理。

2
练习2
2.在一个不透明的袋子中装有黑球 m 个、白球 n 个、红球 3 个，除颜
B 色外无其他差别，任意摸出一个球是红球的概率是( )
A. 3 m n
B. 3 mn3
C. m n mn3
D. m n 3
解析：任意摸出一个球共有(m n 3)种等可能的结果，
其中是红球的结果有 3 种，所以 P（红球） 3 . mn3
概率
学习目标
1.借助生活中实例了解概率的意义，渗透随机观念，能计算 一些简单随机事件的概率
2.在合作探究学习过程中，体验数学的价值与学习的乐趣.感受辩证思想
3.经历猜想试验——收集数据——分析结果的探索过程，丰富对随机现象的体 验，体会概率是描述不确定现象规律的数学模型
01 新课导入
新课导入
在相同条件下，某一随机事件可能发生也可能不发生.那么，它发生 的可能性究竟有多大？能否用数值刻画可能性的大小呢？下面我们 讨论这个问题.
② P(点数为奇数) 1 2
③ P(点数大于2且小于5) 1 3
例2
如图是一个质地均匀的转盘，转盘分成7个大小相同的扇形，颜色 分为红、绿、黄三种颜色.指针的位置固定，转动的转盘停止后，其 中的某个扇形会恰好停在指针所值的位置（指针指向两个扇形的交 线时，当做指向右边的扇形）.求下列事件的的概率：
解：A区域的方格共有8个，标号3表示在这8个方格中有3个方格 各埋藏有1颗地雷.因此，点击A区域的任一方格，遇到地雷的概率
是3 8
例3
小王在游戏开始时随机地点击一个方格，点击后出现了如图所示的情 况.我们把与标号3的方格相邻的方格记为A区域（画线部分），A区域 外的部分记为B区域.数字3表示在A区域有3颗地雷.下一步应该点击A区 域还是B区域？

称这种试验为等可能概型(或古典概型)。
*
例1：一袋中有8个球，其中3个为红球，5个为黄球，设摸到每一球的可能性相等，从袋中不放回摸两球， 记A={恰是一红一黄}，求P(A)． 解：
（注：当L>m或L<0时，记 ）
例2：有N件产品，其中D件是次品，从中不放 回的取n件， 记Ak＝{恰有k件次品}，求P(Ak)． 解：
*
第四章 随机变量的数字特征 4.1 数学期望 4.2 方差 4.3 协方差及相关系数 4.4 矩、协方差矩阵 第五章 大数定律和中心极限定理 5.1 大数定律 5.2 中心极限定理 第六章 数理统计的基本概念 6.1 总体和样本 6.2 常用的分布
*
第七章 参数估计 7.1 参数的点估计 7.2 估计量的评选标准 7.3 区间估计 第八章 假设检验 8.1 假设检验 8.2 正态总体均值的假设检验 8.3 正态总体方差的假设检验 8.4 置信区间与假设检验之间的关系 8.5 样本容量的选取 8.6 分布拟合检验 8.7 秩和检验 第九章 方差分析及回归分析 9.1 单因素试验的方差分析 9.2 双因素试验的方差分析 9.3 一元线性回归 9.4 多元线性回归
解： 设 Ai={ 这人第i次通过考核 }，i=1,2,3 A={ 这人通过考核 }，
亦可：
*
例：从52张牌中任取2张，采用(1)放回抽样，（2）不放 回抽样，求恰是“一红一黑”的概率。
利用乘法公式
与 不相容
（1）若为放回抽样：
（2）若为不放回抽样：
解： 设 Ai={第i次取到红牌}，i=1,2 B={取2张恰是一红一黑}
①
②
①
1 2 N
①
②
1 2 N
……

k 1
3.积事件： 事件A B={x|x A 且 x B}称A与B的
积，即事件A与BA同时发生. A B 可简记为AB.
类似地,
事件
SAK
为可列B 个事件A1,
A2,
...的积事件.
k 1
(2)A B
A B
(3)A B
S
9
4.差事件:
事件A-B={x|xA且xB} 称为A与B的差. 当且仅当 A发生, B不发生时事件A-B发生. 即:
A - B A AB
显然: A-A=, A- =A, A-S=
s
A B
(4)A B
10
5.事件的互不相容(互斥): 若A B ,则称A与B是互不相容的,或互斥的,即
A与B不能同时发生.
B
A B
A
11
6. 对立事件(逆事件)：
若A B S且A B ，则称A与B互为逆事件，也称
P(A1 A2 …)=P(A1)+P(A2)+… (可列可加性)
25
2.概率的性质：
性质1. P() 0.
性质2. 若 A1, A2, , An是两两互不相容的事件, 则 P(A1 A2 An)
P(A1) P(A2) P(An). (有限可加性)
性质3. 若A B,则有 P(B A) P(B) P(A);
2. 频率的基本性质：
(1) 0 f（n A） 1；（非负性）
(2) fn(S) 1;
（规范性）
（3）若A1，A2， , Ak两两互不相容,则
fn ( A1 A2 Ak ) fn ( A1 ) fn ( A2 ) fn ( Ak ).(有限可加性）
3. 频率的特性: 波动性和稳定性.

03
概率极限定理
大数定律
大数定律
在独立重复试验中，随着试验次数的增 加，某事件发生的频率趋于该事件发生 的概率。
VS
举例
抛硬币试验，随着抛硬币次数增加，正面 朝上的频率趋于0.5。
中心极限定理
中心极限定理
无论随机变量的分布是什么，当样本量足够大时，样本均值的分布趋近于正态分 布。
举例
人的身高、体重等很多统计量都服从正态分布，这是因为人的数量足够多，样本 均值趋近于正态分布。
强大数定律
强大数定律
设$X_n(n=1,2,ldots)$为独立同分布随机变量序列，存在常 数序列$a_n(n=1,2,ldots)$，使得$a_nX_n$有概率1收敛， 则称强大数定律成立。
举例
在股票市场中，长期来看，股票的平均收益率趋近于某个常 数，这就是强大数定律的一个应用。
04
贝叶斯定理与决策理论
生物进化研究
生物进化研究中，概率被用来解释物种的起源、演化和灭绝。
THANK YOU
条件概率
条件概率的定义
在事件B已经发生的条件下， 事件A发生的概率称为条件 概率，记作P(A∣B)。
条件概率的性质
条件概率满足非负性、规范 性和可列可加性。
条件概率与独立性
如果事件A和事件B是独立的 ，则P(A∣B)=P(A)。
02
随机变量及其分布
随机变量的定义
随机变量
在概率论中，随机变量是一个函数，其定义域是样本 空间，值域是实数集或其子集。
贝叶斯决策理论的应用
贝叶斯决策理论在经济学、金融学、管理学等领域有着广泛的应用，它可以帮助决策者理解和预测不 确定环境下的决策结果。
贝叶斯更新
贝叶斯更新的定义

6.一次有奖销售活动中，共发行奖券 1000张，凡购满100元商品者得奖券 一张，这次有奖销售设一等奖1名，奖 金500元，二等奖2名，奖金各200元， 三等奖10名，奖金各50元，四等奖100 名，奖金各10元. (1)求出奖金总额，并与95折销售相比， 说明哪一种销售方法向消费者让利较多；
(2)某人购买100元的商品，他中 一等奖的概率是多少？中二等奖 的概率是多少？中三等奖的概率 是多少？中四等奖的概率是多少？ (3)某人购买1000元的商品，他中 奖的概率是多少？
3.从装有3个红球和2个白球的袋中任取 3个，那么取到的“至少有1个是红球” 与“没有红球”的概率分别为 与 4.某产品出现次品的概率0.05，任意抽 取这种产品800件，那么大约有 件 是次品. 5.设有甲、乙两把不相同的锁，甲锁配
有2把钥匙，乙锁配有1把钥匙，设事 件A为“从这3把钥匙中任选2把，打 开甲、乙两把锁”，则P（A）＝
么 0<P(A)<1。
一副象棋，正面朝下，任 意取其中一只，取到“马” 的概率是多少？
[Ｐ（取到“马”）1= ]
8
问题：“石头、剪刀、布”是个广为流传的游戏， 游戏时甲乙双方每次做“石头”、“剪刀”、“布” 种手势中的一种，规定“石头”胜“剪刀”，“剪刀 胜“布”，“布”胜“石头”，同种手势不分胜负须 继续比赛．假定甲乙两人每次都是等可能地做这 三种手势，那么一次比赛时两人做同种手势（即 不分胜负）的概率是多少？请先用树状图的方法 解决，再用重复实验的方法，计算平均多少次中 有一次会出现不分胜负的情况，比较以上两个结 果，看能否互相验证。
THANKS
FOR WATT文档·教学课件
所以P（同种手势）＝ 3 ＝ 1
9
3
从壹角、伍角、壹圆3枚硬币 中任取2枚，其面值和大于壹 圆，这个事件发生的概率是多 少？请画出树状图。