姜启源编《数学建模》第四版第四章数学规划模型

天大万门数模写在开始今天第一次归纳、复习，整理思路重点，从最后两章（除了“其他模型”）开始，想可能印象比较深刻。

可实际开始总结才发现对于知识的理解和掌握还有很大差距，自己也是自学看书，非常希望各位提出宝贵意见，内容、学习方法经验上的都是~~ 整本书读下来感觉思路、数学都有很大拓展，总结起来有一下几个特点：一，“实际—>模型”的建模过程很关键，本书的模型很多虽然所谓“简单”、“假设多”，但简化分析中，还真难找到比它更合适、更合理、更巧妙的建模、假设了；二，模型求解之后的处理，许多地方似乎求解完毕可以结束，但却都未戛然而止，而是进一步“结果分析”、“解释”，目的不一，要看进程而定，有的促进了模型的改进，有的对数学结果做出了现实对应的解释（这一点建模过程中也经常做，就是做几步解释一下实际意义），也还有纯数学分析的，这些都是很重要的，在我看来，这本书中的许多模型、论文似乎到了“结果分析”这一步才刚刚开始，前面的求解似乎是家常便饭了；三，用各种各样的数学工具、技巧、思想来建模的过程，这本书读下来愈发觉得线性代数、高等数学基础的重要性，同时书中也设计到了一些（虽是浅浅涉及）新的数学知识和技巧，许多我在读的过程中只是试图了解这个思想，而推导过程未能花很多时间琢磨，但即便如此，还是让我的数学知识有了很大的拓展（作为工科专业学生）。

从上周六继续自学《数学模型》开始一周，比预期的时间长了许多，但是过程中我觉得即便如此也很难领会完整这本书的内容。

最近学习任务比较多，所以两天前快看完时到现在一直未能做个小结，从今天起每天做2章的小结，既是复习总结重点，也是请诸位同学指教、提意见交流——毕竟自己领会很有限。

也可以作为未读过、准备读这本书的同学的参考~第1章建立数学模型关键词：数学模型意义特点第1章是引入的一章，对数学模型的意义来源，做了很好的解释。

其实数学模型也是模型的一种，是我们用来研究问题、做实验的工具之一，只不过它比较“理论”、“摸不着”而已。

第4章数学规划模型在上一章中我们看到，建立优化模型要确定优化的目标和寻求的决策。

用表示决策变量，表示目标函数。

实际问题一般对决策变量的取值范围有限制，不妨记作∈Ω，Ω称为可行域。

优化问题的数学模型可表示为Ω在第3章x通常是1维或2维变量，Ω通常是1维或2维的非负域。

实际中的优化问题通常有多个决策变量，用维向量表示，目标函数是多元函数，可行域Ω比较复杂，常用一组不等式（也可以有等式）≤0 (=1,2, …,)来界定，称为约束条件。

一般地，这类模型可表述成如下形式s.t.≤这里的s. t. (subject to)是“受约束于”的意思。

显然，上述模型属于多元函数的条件极值问题的范围，然而许多实际问题归结出的这种形式的优化模型，其决策变量个数和约束条件个数一般较大，并且最优解往往在可行域的边界上取得，这样就不能简单地用微分法求解，数学规划是解决这类问题的有效方法。

需要指出的是，本章无意涉及数学规划（或运筹学）的具体计算方法，仍然着重于从数学建模的角度，介绍如何建立若干实际优化问题的模型，并且在用现成的数学软件求解后，对结果作一些分析。

4．1 奶制品的生产和销售企业内部的生产计划有各种不同的情况。

从空间层次来看，在工厂级要根据外部需求和内部设备、人力、原料等条件，以最大利润为目标制订产品的生产计划，在车间级则要根据产品生产计划、工艺流程、资源约束及费用参数等，以最小成本为目标制订生产批量计划。

从时间层次看，若在短时间内认为外部需求和内部资源等不随时间变化，可制订单阶段生产计划，否则就要制订多阶段生产计划。

本节选择几个单阶段生产计划的实例，说明如何建立这类问题的数学规划模型，并利用软件求解的输出对结果作一些分析。

例1 加工奶制品的生产计划问题一奶制品加工厂用牛奶生产两种奶制品，1桶牛奶可以在设备甲上用12小时加工成3公斤，或者在设备乙上用8小时加工成4公斤。

根据市场需求，生产的，全部能售出。

且每公斤获利24元，每公斤获利16元。

姜启源版《数学模型》第四章习题第7题一、问题重述某钢管零售商从钢管厂进货，将钢管按照顾客的要求切割后出售。

从钢管厂进货时得到的原料钢管的长度都是1850mm 。

现有一客户需要15根290mm 、28根315mm 、21根350mm 和30根455mm 的钢管。

为了简化生产过程，规定所使用的切割模式的种类不能超过4种，使用频率最高的一种切割模式按照一根原料钢管价值的1/10增加费用，使用频率次之的切割模式按照一根原料钢管价值的2/10增加费用，依次类推，且每种切割模式下的切割次数不能太多（一根钢管最多生产5根产品）。

此外，为了减少余料浪费，每种切割模式下的余料不能超过100mm 。

为了使总费用最小，应如何下料？二、基本假设1、假设所研究的每根钢管的长度均为1850mm 的钢管。

2、假设每次切割都准确无误。

3、假设切割费用短时间内不会波动为固定值。

5、假设钢管余料价值为0。

6、假设一切运作基本正常不会产生意外事件。

7、每一根钢管的费用都一样，为一常值。

三、符号说明符号 意义表示采用第i 种切割模式(i=1,2,3,4)切割的原料钢管的根数。

每一根原料钢管，在第i 种切割模式下，生产j 种产品钢管的根数(j=1,2,3,4分别表示长度为290mm,315mm,350mm,455mm 的产品钢管)。

M生产总费用，包括钢管本身(设为1)及生产过程增加的费用。

j D第j 种产品钢管的需求。

四、模型建立根据题目要求，不妨假设，于是得到目标函数：min ()4110.1i i M x i ==+∑约束条件如下：1234x x x x ≥≥≥……（4.1）需求量的约束：41,1,2,3,4i ijj i x rD j =≥=∑……（4.2）每一种切法不能超过限制1850，余料不超过100(即产品加起来不小于1750）4117501850,1,2,3,4ij j j r len i =≤≤=∑……（4.3）极限情况下，根数的范围：44411118501850j j j j i i j j D len D x len ===⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥≤≤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎢⎥∑∑∑……（4.4） 一根原料钢管最多生产5根产品：415,1,2,3,4ijj ri =≤=∑钢管根数和切割方法都为非负整数：,ij i r Z x Z ++∈∈五、模型求解model :!数学模型132页题7;sets : !定义4种切割模式，每种模式用x(i)根管材; qiegemoshi/m1..m4/:x;!定义四种长度，每种有需求;changdu/cd1..cd4/:len,demand;!定义切法矩阵，行为模式，列为需要的长度类型;links(qiegemoshi,changdu):r;endsets!目标函数，每种切割模式按切割频率增加10%的费用; min =@sum (qiegemoshi(i):x(i)*(1+i*0.1)); !假设4种切法，一种比一种切得少;@for (qiegemoshi(i)|i#lt#4:x(i)>=x(i+1)); !需求量的约束;@for (changdu(j):@sum(qiegemoshi(i):r(i,j)*x(i))>=demand(j));!整数约束;@for(qiegemoshi(i):@gin(x(i)));@for(links(i,j):@gin(r(i,j)));!每一种切法不能超过限制1850，余料不超过100(即产品加起来不小于1750）;@for(qiegemoshi(i):@sum(changdu(j):r(i,j)*len(j))>=1750);@for(qiegemoshi(i):@sum(changdu(j):r(i,j)*len(j))<=1850);!极限情况下，最多22根，最少19根;@sum(qiegemoshi:x)>=19;@sum(qiegemoshi:x)<=22;!一根原料钢管小于5根产品;@for(qiegemoshi(i):@sum(changdu(j):r(i,j))<=5);data:demand=15 28 21 30;len=290 315 350 455;enddataend在lingo11中运行，得到如下结果：Local optimal solution found.Objective value: 21.50000Objective bound: 21.50000Infeasibilities: 0.000000Extended solver steps: 155Total solver iterations: 20017Variable Value Reduced Cost X( M1) 14.00000 -0.1000000 X( M2) 4.000000 0.000000 X( M3) 1.000000 0.1000000 X( M4) 0.000000 0.2000000 LEN( CD1) 290.0000 0.000000 LEN( CD2) 315.0000 0.000000 LEN( CD3) 350.0000 0.000000 LEN( CD4) 455.0000 0.000000 DEMAND( CD1) 15.00000 0.000000 DEMAND( CD2) 28.00000 0.000000 DEMAND( CD3) 21.00000 0.000000 DEMAND( CD4) 30.00000 0.000000 QIEFA( M1, CD1) 1.000000 0.000000QIEFA( M1, CD2) 2.000000 0.000000QIEFA( M1, CD3) 0.000000 0.000000QIEFA( M1, CD4) 2.000000 0.000000QIEFA( M2, CD1) 0.000000 0.000000QIEFA( M2, CD2) 0.000000 0.000000QIEFA( M2, CD3) 5.000000 0.000000QIEFA( M2, CD4) 0.000000 0.000000QIEFA( M3, CD1) 2.000000 0.000000QIEFA( M3, CD2) 0.000000 0.000000QIEFA( M3, CD3) 1.000000 0.000000QIEFA( M3, CD4) 2.000000 0.000000QIEFA( M4, CD1) 1.000000 0.000000QIEFA( M4, CD2) 0.000000 0.000000QIEFA( M4, CD3) 3.000000 0.000000QIEFA( M4, CD4) 1.000000 0.000000即采用三种方式进行切割，具体切割方法及切割根数如下表所示，总共需要19根钢管。

《数学模型》课程教学大纲课程编码：ZB0240121课程类别：专业核心必修适用专业及层次：信息与计算科学（本科）学分：4理论学时：48实践学时：32先修课程：数学分析，高等代数，数学实验，概率论等。

一、课程的性质、目的和任务本课程是信息与计算科学专业（本科）的一门专业核心必修课.也是学生参加数学建模竞赛的基础课程.数学模型是一门重要的数学技术课，目标在于培养学生利用数学知识及相关专业知识建立数学模型分析、解决实际问题的能力，并从中培养和提高学生的创新意识、创新能力及综合应用能力.设置该课程的目的是要向学生介绍数学模型的数学理论和方法，使学生了解并初步掌握应用所学的数学知识建立数学模型的基本方法和基本过程，从而培养学生应用数学的思维、知识、方法解决实际问题的意识和能力.二、课程教学的基本要求通过本课程的学习（课堂讲授、上机实习和作业），应达到目的和要求如下：1、培养学生运用数学工具解决现实生活中实际问题的能力。

2、用数学方法解决问题的能力以及用自己的研究结果解释、指导实际问题的能力，从无到有的创新能力以及写作能力。

3、通过本课程的学习，使学生了解数学建模是利用数学知识构造刻画客观事物原型的数学模型，利用计算机解决实际问题的一种科学方法。

掌握数学建模的基本步骤，即从实际问题出发，遵循“实践一一认识一一实践”的辩证唯物主义认识规律，紧紧围绕建模的目的，运用观察力、想象力和逻辑思维，对实际问题进行抽象、简化、反复探索、逐步完善，直到构造出一个能够用于分析、研究和解决实际问题的数学模型。

会利用数学知识和计算机解决问题，并能够撰写符合要求的数学建模论文。

三、课程教学内容第一章线性规划【授课学时】2【教学内容】第一节线性规划问题第二节投资的收益和风险【教学要求】通过本章学习，掌握求解线性规划问题的方法和一般步骤、投资的收益和风险.【教学重难点】建立数学规划的步骤，常见处理约束条件的方法技巧。

第二章整数规划【授课学时】2【教学内容】第一节概论第二节0-1型整数规划第三节蒙特卡洛法【教学要求】通过本章学习，掌握整形规划和线性规划的区别和联系、整形规划问题的类型和常用的求解方法.【教学重难点】常见处理约束条件的方法技巧，整形规划问题的计算机求解。

《数学建模》教学大纲课程编码：1511101303课程名称：数学建模学时/学分：54/3先修课程：《数学分析》、《高等代数》、《数学软件与实验》、《概率论与数理统计》、《常微分方程》适用专业：数学与应用数学开课教研室：应用数学教研室一、课程性质与任务1．课程性质：本课程是数学与应用数学专业的专业基础课。

2．课程任务：本课程是研究如何将数学方法和计算机知识结合起来用于解决实际问题的一门交叉学科，是集经典数学、现代数学和实际问题为一体的一门新型课程，是应用数学解决实际问题的重要手段和途径。

通过数学建模有关的概念、特征的学习和数学建模实例的介绍，使学生较为系统地掌握利用数学工具建立数学模型的基本步骤、基本技能与常见方法，培养学生双向翻译能力，数学推导计算和简化分析能力和用数学方法和思想分析、解决实际问题的初步能力。

二、课程教学基本要求《数学建模》是一门应用性较强的新兴课程，主要培养学生应用数学理论和数学思想方法，利用计算机技术等辅助手段，分析、解决实际问题的综合能力。

由于该课程的性质、特点、内容不同于其它课程，教学形式应该是讲授与个人作业相结合，教学方法则是以启发式教学为主，学生动手实践为辅的双向教学模式。

本课程开设在第5学期，共54学时，其中课堂讲授36学时，课内实践18学时。

成绩考核形式：末考成绩（开卷考试）（70%）＋平时成绩（平时测验、作业、课堂提问、课堂讨论等）（30％)。

成绩评定采用百分制，60分为及格。

三、课程教学内容第一章 数学建模概论1．教学基本要求让学生了解数学建模相关基本概念，了解课程特点，为后继学习奠定基础。

2．要求学生掌握的基本概念、理论、技能通过本章教学使学生了解数学模型、数学建模的概念，了解数学模型的特点和分类，初步掌握数学建模的基本方法和步骤，培养学生把实际问题翻译成数学问题的能力。

3．教学重点和难点教学重点是数学建模的基本步骤。

教学难点是如何把实际问题翻译成数学问题。