七级数学下册.平方差公式(第课时)导学案(无答案)(新版)北师大版-课件

2019-2020学年七年级数学下册 1.5 平方差公式（第1课时）导学案（新版）北师大版【学习目标】课标要求：1.知识与技能：经历探索平方差公式的过程，会推导平方差公式，并能运用公式进行简单的计算，进一步发展符号感和推理能力.2.过程与方法：通过创设问题情境，让学生在数学活动中建立平方差公式模型，感受数学公式的意义和作用.在平方差公式的推导过程中，培养学生观察、发现、归纳、概括、猜想能力和有条理的表达能力.3.情感与态度：在探究学习中体会数学的现实意义，培养学习数学的信心.目标达成：1.会推导平方差公式，并能运用公式进行简单的计算，进一步发展符号感和推理能力.2.获得成就感，激发学习数学的兴趣.学习流程：【课前展示】活动内容：回顾整式乘法中多项式与多项式相乘1、多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.符号表示：（m+b)(n+a)= mn+ma+bn+ba2、两项式乘以两项式，结果可能是两项吗？请你举例说明活动目的：平方差公式是多项式乘法运算中一个重要的公式，它的得出可以直接利用多项式乘以多项式法则，设计这一环节的目的，是在复习上节课知识的基础上，为本节课的学习做好知识准备.实际教学效果：在复习过程中，学生从知识和心理等方面，做好探究新知识的准备，从而为本节课平方差的探究学习奠定了基础.第2题是上节课的预习作业的一部分，可以让学生将举的例子写在黑板上，与下一环节结合使用.【自学导航】活动内容：1.提出问题计算下列各题（1）（x+2）（x－2）；（2）（1+3a）（1－3a）（3） （x +5y ）（x －5y ）；（4）（2y +z ）（2y －z ）观察以上算式及其运算结果，你有什么发现？活动目的：在上一环节的基础上，引入形式特殊的多项式乘以多项式，使学生在计算过程中发现规律，体会规律的一般性，提出自己的猜想，并尝试用数学语言进行描述.实际教学效果：问题提出后，学生能够主动地去寻找解决问题的方法.利用多项式与多项式的乘法法则展开后，中间两项是同类项，且系数互为相反数，所以和为零，只剩下这两个数的平方差了.观察学生所列的以及这四个算式的特征，初步得到猜想，总结规律. 验证猜想 类比活动一中归纳的规律，学生自己再举一些类似的多项式相乘的情形，并计算验证自己的猜想.活动目的：在“活动1”中，学生通过计算能够初步感受结果的“平方差”形式，但仅仅这样就总结、得到结论，部分学生难免心存疑惑，因此让学生再次举例验证.学生经过思考、讨论、交流，进一步熟悉平方差公式的本质特征，掌握运用平方差公式必须具备的条件.这样就让学生经历从特殊到一般的探究结论的过程，从而验证猜想，得到规律.实际教学效果：预习作业中学生举例主要是从结果为两项的角度出发，这里的举例学生需要同时考虑公式两边的特征.在这一活动中让学生充分经历“观察——猜想——验证”的过程，学生举的例子可能涉及以下形式：1、 （－x+y ）（－x －y ）2、 （ab+c ）（ab －c ）3、 )221(y x -)221(y x - 教师安排学生合作学习，分组验证，经历平方差公式推导归纳的过程，从而突出了本节课的重点，得到平方差公式：(a+b)(a −b)＝a 2−b 2两数和与两数差的积，等于它们的平方差.【合作探究】判断下面计算是否正确（1）)121(+x )121(-x =1212-x （ ） （2）（3x －y ）（－3x +y ）=9x 2－y2 （ ） （3）（m+n ）（－m －n ）=m 2－n 2 （ ）活动目的：通过判断题的设计，让学生进一步加深对平方差公式形式的理解.实际教学效果：学生在平方差公式的基础上，结合判断题的题样，重新审视平方差公式，进一步理解如何确定平方差公式中的a 和b.活动内容：例1 利用平方差公式计算：1、 （5+6x ）（5－6x ）； （2）（x －2y ）（x +2y ）（3） （－m +n ）（－m －n ）巩固练习利用平方差公式计算：（1） （a +2）（a －2）； （2）（3a +2b ）（3a －2b ）活动目的：在深刻理解公式的基础上，借助例题训练学生正确应用公式计算，体会公式在简化运算中的作用，并通过巩固练习，进一步强化技能.实际教学效果：此环节的设计注意层次的递进，符合学生的认知过程.在计算过程中，让学生分析公式中的a 和b ，相对应本题中的哪部分，有意识地培养他们有条理的思考和语言表达能力.活动内容：例2 利用平方差公式计算：（1） )41(y x --)41(y x +- ； （2）（ab +8）（ab －8）巩固练习利用平方差公式计算：（1）1()3x y -1()3x y +； （2）（－mn +3）（－mn －3） 活动目的：例2是对例1内容的拓展与延伸，使学生从不同的角度来认识平方差公式，从符合平方差公式运算的不同形式的多项式相乘中，确定平方差公式中的a 和b ，巩固平方差公式，进一步体字母a 、b 可以是数，也可以是整式，加深对字母含义广泛性的理解.实际教学效果：例2中的第1题和巩固练习中的第1题，学生在确定公式中a 和b 时，有一定难度，教师应引导学生仔细观察题目，分析题目当中谁相当于公式当中的a 与b ，同时提醒学生，不要漏掉负号和括号，帮助学生突破难点.【展示提升】典例分析 知识迁移想一想（a −b ）（－a −b ）=？你是怎样做的？练一练计算 1、（5m －n ）（－5m －n ）2、（a+b ）（a －b ）（a 2+b 2）活动目的：“想一想”目的，是让学生体会平方差公式和多项式乘法之间的关系，可以利用整式乘法解决，也可以利用平方差公式，体会新、旧知识之间的联系，并通过“练一练”，进一步感受平方差公式在简化计算中的优越性.实际教学效果：学生在处理“想一想”时，部分学生可能没看出可应用平方差公式，从而采用多项式乘多项式计算，教师应给与肯定.通过不同方法在黑板的展示，让学生自己经历选择方法的过程，加深对平方差公式的理解和应用.【强化训练】活动内容： 利用平方差公式计算：1、（－x －1）（1－x ）2、（0.3x +2y ）（0.3x －2y ）3、)21(-x )21(+x )41(2+x活动目的：为学生提供自我检测的机会，教师针对学生反馈情况，及时调整授课，查漏补缺.【归纳总结 】1.平方差公式：（a+b ）（a －b ）=a 2－b 2公式的结构特点：左边是两个二项式的乘积，即两数和与这两数差的积；右边是两数的平方差.2．应用平方差公式的注意事项：1）注意平方差公式的适用范围2）字母a 、b 可以是数，也可以是整式3）注意计算过程中的符号和括号活动目的：通过课堂小结对课堂知识点的回顾，让学生分享自己在学习过程中，遇到的挫折以及积累的经验，提出自己存在的困惑，大家一起解决，从而达到巩固所学知识目的.【板书设计】4平方差公式（第1课时）(a+b)(a−b)＝a2−b2两数和与两数差的积，等于它们的平方差. 【教学反思】。

2019年七年级数学下册 1.5 平方差公式（第1课时）导学案（新版）北师大版一、学习目标：知识与技能：经历探索平方差公式的过程，了解公式的几何背景，并能运用平方差公式，进行简单的计算，以及实际问题的解决。

过程与方法：感受数学公式的意义和作用.培养学生观察、发现、归纳、概括、猜想能力和有条理的表达能力.情感态度价值观：让学生感受到数学既来源于生活实际，又是解决生活中许多问题的工具，从而促使学生热爱数学二、学习重难点：学习重点：能运用平方差公式，进行简单的计算学习难点：理解平方差公式的推导过程和结构特点.三、学习方法：先学后教，再练。

四、学习过程：(一) 课前研究：计算下列各题（x+2）（x-2）= （1+3a）（1-3a）=（x+3）（x-3）= （x+5y）（x-5y）=（x+4）（x-4）= （y+3z）（y-3z）=提问1：通过计算你们能发现什么规律？提问2：再换一个例子验证一下你的发现对吗？可与同学交流结论：两数_________ 与这两数的_________，等于他们的_________，这个公式称为平方差公式提问3：平方差公式有怎样的结构特征? 以小组为单位讨论并发言（1）公式左边是两个二项式相乘，两个二项式中第一项_________，第二项_________，（2）公式右边是两项_________，即相同项_________与相反项的_________之差。

尝试用字母表示出这个公式: （a+b）（a-b）=_________（二）应用新知：例1、请判断下列式子符合平方差公式的结构吗？如果符合，请说出哪部分相当于第一项和第二项（5x-2）（a-3）（2a+3b）（2a-3b）（5x+1）（a+3）（-3x+2y）（-3x-2y）（-1-3y）（-1+3y）（-3a-2b）（-2b+3a）（-3x-2y）（-3y-2x）（1+3x）（-3x+1）（-x-y）（x-y）例2、利用平方差公式计算：（1）（5+6x）（5-6x）（2）（x-2y）（x+2y）解（1）原式=（2）原式==25- =-可归纳公式中：同号为a，异号为b针对练习：（1）（( (2)（ab+8）（ab-8）例3、想一想（a-b）（-a-b）=？可以用平方差公式吗？怎么做？课堂练习 p21随堂练习（三）小结梳理：先让学生说说本节课的收获．一起归纳：1．平方差公式；2．公式的结构特征；3．如何运用公式（四）后测达标：(1) ( x+2y) ( -x+2y) =__________________(2) (3m-5n)(5n+3m)=__________________(3) ( -1 + x) (-1- x ) = __________________(4) (-2b- 5) (2b -5) =___________________（五）拓展延伸：计算：(1)(x＋y－z)(x＋y＋z)； (2)(a－b＋c)(a＋b＋c) （六）作业P21知识技能1练习拓广2。

1.5 平方差公式第1课时 平方差公式本课学习目标:1、会推导平方差公式，并且懂得运用平方差公式进行简单计算。

2、经历探索特殊形式的多项式乘法的过程，发展学符号感和推理能力，逐渐掌握平方差公式。

3、通过合作学习，体会合作的重要性，体验数学活动充满着探索性和创造性。

学习重点：平方差公式的推导和运用。

学习难点：平方差公式的应用。

本课时学习安排：课前预习：（独立完成）自主学习，个体质疑1、叙述多项式乘以多项式的法则？2、运用多项式乘以多项式法则计算：（1）()()11-+x x （2）()()22-+a a（3）()()1212-+y y （4）()()y x y x -+课中学习：活动一：（独立完成）小组合作，碰撞激疑观察上面的计算你发现什么规律了吗？你能直接写出 ()()b a b a -+的结果吗？（请仔细观察等式的左，右两边）平方差公式： 用字母表示： 课后练习：课本P21页习题 1.9第1、2题活动二: （小组合作）合作探究，师生析疑2计算：（1）97103⨯ （利用平方差公式） （2） 31263225262⨯-（3）()()()()y x y x x y y x +--+-33 （4）()()()()12121212842++++3、已知()()()()ax x x B x ax x x A +---=+-+-+=22,123112，且B A 2+的值与x 无关，求a 和B A 2+的值？课后巩固：（独立完成）当堂检测，过关解疑1、填空：（1）()()=+-y x y x 2323（2）()()2232294a b b a b -+=-（3）=⨯549951100 2、计算：（1）()()a a +-11 （2）()()()22ba b a b a ++-（3）()xy m m xy 5.03321--⎪⎭⎫⎝⎛- （4）()()()n m n m n m 24222--+-。

1.5.1 平方差公式一、预习与质疑（课前学习区）（一）预习内容：P20-P21（二）预习时刻：10分钟（三）预习目标：一、经历探讨平方差公式的进程，进一步进展符号感和推理能力二、会推导平方差公式，并能运用公式进行简单的计算和推理（四）学习建议：1．教学重点：运用平方差公式进行简单的计算和推理2．教学难点：明白得明白得平方差公式及其探讨进程（五）预习检测：计算：（多项式乘多项式）(1)3(23)(5)2a b++(2) (2)(53)x y x b--(3) (-2x-y)2(4) (x+y)(x2-xy+y2)活动一：探讨发觉：一、探讨平方差公式计算以下各题，并用自己的语言表达你的发觉(1) (x+2)(x-2) (2) (1+3a)(1-3a)(3) x+5y)(x-5y) (4) (y+3z)(y-3z)你的发觉：__________________________________________________________________ 再举例验证你的发觉：例：归纳：平方差公式：(a+b)(a-b)=__________________语言表达：_____________________________________________________________ （六）生成问题：通过预习和做检测题你还有哪些疑惑请写在下面。

二、落实与整合（课中学习区）活动二：典例讲解分析下面式子，你能认出那一部份是两数．．和？那一部份是这两数．．．的差？两个数别离是什么？结果应该是哪个数的平方减去哪个数的平方吗？(1) (5+6x)(5-6x)(2) (x-2y)(x+2y) (3) (-m+n)(-m-n) 此刻你能计算了吗？例1 利用平方差公式计算(1) (5+6x)(5-6x)(2) (x-2y)(x+2y)(3) (8)(8)ab ab +-(4) (-m+n)(-m-n)例2 利用平方差公式计算 (1) 11()()44x y x y ---+ (2) 2()()3m n m n n +-+三、检测与反馈（课堂完成）利用平方差公式计算(1) (a+2)(a-2)(2) (3a+2b)(3a-2b)(3) (mn-3n)(mn+3n)(4) (–x-1)(-x+1)(5) (-4k+3)(-4k-3)(6) 11(2)(2)44x y x y ---+(7) (-2b- 5) (2b -5)(8) x 2+(y-x)(y+x)(9) (a n +b)(a n -b)(10) (a+1)(a-1)(a 2+1)四、课后合作区1.学案整理：整理“课中学习去”后，交给学习小组内的同窗互检。

平方差公式教材分析《平方差公式》是义务教育课程标准实验教科书《数学》〔北师大版〕七年级下册的教学内容。

教材在上册中安排了《有理数及运算》、《字母表示数》等内容。

在本节内容前面又安排了平方差公式产生的背景，使学生经历过实际问题“符号化〞的过程，有了一定的符号感，为探索“平方差公式〞奠定了根底。

学生分析学生在前面的学习中，已经学习了整式的有关内容，并经历了用字母表示数量关系的过程，有了一定的符号感。

经过一个学期的培养，学生已经具备了小组合作、交流的能力。

本节课的教学能培养学生的推理能力，使学生通过大胆而又合情合理的推理，有条理地表达自己的思考过程。

教学目标1、经历探索平方差公式的过程，进一步开展符号感和推理能力。

2、会推导平方差公式，并能运用公式进行简单的计算。

3、认识平方差公式及其几何背景。

4、在合作、交流和讨论中开掘知识，并体验学习的乐趣。

教学重点：体会公式的发现的推导过程，理解公式的本质，并会运用公式进行简单的计算。

教学难点：从广泛意义上理解公式中的字母含义。

课前准备1、为每位学生准备一张正方形纸片(边长为15cm)。

2、教师准备两张正方形(一大一小)纸板和三块矩形纸板。

3、多媒体课件。

教学流程一、创设问题情境，引导学生观察、设想。

教师发给每个学生一张正方形纸片(边长15cm)并用多媒体课件(或用正方形纸板)显示正方形。

师：在一块45的红色正方形纸板上，因为工作的需要，中间挖去一块边长为15的正方形(如图)，请问剩下红色局部的面积有多少平方厘米？453015(刚开始小的正方形可以随意摆放在红色正方形的任何位置。

)小组讨论：1．可以用大正方形面积减去小正方形面积得到。

2．可以把剩下红色局部切割成几个矩形来计算。

师：从今天的问题来看，用哪一种方法比拟好？你们小组能列出算式吗？或许有学生能迅速列出算式，得出答案是1800平方厘米。

师：为了容易理解，我现在把小正方形放在大正方形的角落(如图)。

(同时也要求学生在他们手上的正方形纸的角落上画一个小正方形，可规定连长为3cm。

1.5平方差公式（1） 【学习目标】1、经历探索平方差公式的过程，进一步发展符号感和推理能力2、会推导平方差公式，并能运用公式进行简单的计算和推理 重点：运用平方差公式进行简单的计算和推理难点：理解理解平方差公式及其探索过程。

【预习导学】1、幂的运算有哪些?① ； 。

② ； 。

③ ； 。

④ ； 。

⑤ ； 。

⑥ ； 。

2、整式的乘法（1）单项式乘以单项式： 。

（2）单项式乘以多项式： 。

（3）多项式乘以多项式： 。

3、计算下列各题：（1）()()22-+x x（2）)31)(31(a a -+（3）)5)(5(y x y x -+（4）)2)(2(z y z y -+①思考：观察以上算式及运算结果，你有什么发现？用自已的语言叙述你的发现。

②结合上述规律，请你直接写出结果))((b a b a -+= 。

【新课导读】一、、平方差公式（1）符号语言： 。

（2）文字语言： 。

（3）平方差公式的推导根据是什么？ 。

（4）平方差公式的结构特点是什么？把你自己的发现写下来。

二、平方差公式的应用1、判断下列多项式相乘，哪几个能用平方差公式计算 （1）)21)(21(a a +- （2）)431)(431(+-+y y （3）)24)(23(b a b a -+（4）))((b a b a --+ （5）))((n m n m +-- （6）)2)(2(q p q p ---2、例题1、利用平方差公式计算：（1）)65)(65(x x -+ （2）)2)(2(y x y x +- （3）))((n m n m --+-课堂线练习：利用平方差公式计算（1）)5)(5(+-x x （2）)63)(63(+-x x （3）)35)(35(---m m3、例题2：利用平方差公式计算：（1）)41)(41(y x y x +--- （2）)8)(8(-+ab ab课堂练习：课本P21随堂练习三、心得总结1、平方差公式中的两个字母b a ,可以表示什么？2、利用平方差公式计算需要注意的地方有哪些？3、平方差公式的变化形式有哪些？四、基础巩固1、下列多项式的乘法运算能用平方差公式运算的是（ ）A.))((m n n m --B.))((n m n m -+-C.))((n m n m ---D.))((n m n m --2、下列各式中，运算结果为2236y x -的是（ ）A.)9)(4(y x y x -+B.)6)(6(x y x y --+-C. )6)(6(x y x y -+-D. )6)(6(x y x y ---3、y x 54-需要乘下列哪个式子，才能使用平方差公式进行计算（ ）A.y x 54--B.y x 54+-C.2)54(y x - D.y x 54-4、=-+)2)(2(a a ；)(3(--a )=29a -；+x 31( ）（ +22914)2x y y -= 5、若,3,2b y x a y x =-=+则22y x -的值为 。

平方差公式学习目标1、记住平方差公式。

2、会平方差公式解决相关问题。

学习重难点1、平方差公式。

2、平方差公式解决相关问题。

学法指导讲练结合法多媒体演示法探究法尝试指导法学习过程独立尝试学案导案1、沿直线裁一刀，将不规则的右图重新拼接成一个矩形，并用代数式表示出你新拼图形的面积。

2、计算下列各式的积(1)()()11-+xx(2)()()22-+mm= =(3)()()1212-+xx (4)()()yxyx55-+= =观察以上算式的结构，你发现了什么规律？①上面四个算式中每个因式都是项。

②它们都是两个数的与的。

(填“和”“差”“积”)根据大家作出的结果，你能猜想（a+b）（a－b）的结果是多少吗？为了验证大家猜想的结果，我们再计算：（a+b）（a－b）= = 。

得出：()()=-+baba。

其中a、b表示任意数，也可以表示任意的单项式、多项式，这个公式叫做整式乘法的公式。

用语言叙述为。

认真阅读课本第20、21页，完成：①完成想一想②看懂例题的解题过程③完成第21页的随堂练习时间10分钟。

合作探究对比左边的公式，熟记平方差公式的表示方法。

自我挑战1、判断正误：(1)(4x+3b)(4x-3b)＝4x 2-3b2；( )(2)(4x +3b)(4x-3b)＝16x2-9 ( )2、判断下列式子是否可用平方差公式(1)(-a+b)(a+b)（） (2) (-2a+b)(-2a-b)（）(3)(-a+b)(a-b)（） (4) (a+b)(a-c) （）3、参照平方差公式“（a+b）（a－b）= a2－b2”填空(1) (t+s)(t-s)= (2) (3m+2n)(3m-2n)= (3) (1+n)(1-n)= (4) (10+5)(10-5)＝堂清试题2、用平方差公式计算：① (3x +2)(3x-2) ②（b+2a）（2a-b）③（-x +2y）（-x-2y）④（-m+n）(m+n）⑤ (-0.3x+y)(y+0.3x) ⑥ (-21a-b)(21a-b)自我总结1、本节内容较容易理解，但是做题过程中常出现错误。