信号与系统第四章-傅里叶变换的性质

信号与系统重点概念公式总结Last updated on the afternoon of January 3, 2021信号与系统重点概念及公式总结：第一章：概论1.信号：信号是消息的表现形式。

（消息是信号的具体内容）2.系统：由若干相互作用和相互依赖的事物组合而成的具有特定功能的整体。

第二章：信号的复数表示：1.复数的两种表示方法：设C 为复数，a 、b 为实数。

常数形式的复数C=a+jba 为实部，b 为虚部；或C=|C|e j φ，其中，22||b a C +=为复数的模，tan φ=b/a ，φ为复数的辐角。

（复平面）2.欧拉公式：wt j wt e jwt sin cos +=（前加-，后变减） 第三章：正交函数集及信号在其上的分解1.正交函数集的定义：设函数集合)}(),(),({21t f t f t f F n =如果满足：n i K dt t f j i dt t f t f i T T i T T j i 2,1)(0)()(21212==≠=⎰⎰则称集合F 为正交函数集如果n i K i ,2,11==，则称F 为标准正交函数集。

如果F 中的函数为复数函数条件变为：ni K dt t f t f j i dt t f t f i T T i i T T j i 2,1)()(0)()(2121**==⋅≠=⋅⎰⎰其中)(*t f i 为)(t f i 的复共轭。

2.正交函数集的物理意义：一个正交函数集可以类比成一个坐标系统；正交函数集中的每个函数均类比成该坐标系统中的一个轴；在该坐标系统中，一个函数可以类比成一个点；点向这个坐标系统的投影（体现为该函数与构成坐标系的函数间的点积）就是该函数在这个坐标系统中的坐标。

3.正交函数集完备的概念和物理意义：如果值空间中的任一元素均可以由某正交集中的元素准确的线性表出，我们就称该正交集是完备的，否则称该正交集是不完备的。

如果在正交函数集()()()()t g n ,t g ,t g ,t g 321之外，不存在函数x （t ）()∞<<⎰2120t t dt t x ，满足等式：()()⎰=210t t i dt t g t x ，则此函数集称为完备正交函数集。

傅里叶变换的性质本质就是信号的时域运算关系在傅里叶变换域中的体现，也是求解信号傅里叶变换的基本手段。

傅里叶变换具有唯一性。

傅氏变换的性质揭示了信号的时域特性和频域特性之间的确定的内在联系。

讨论傅里叶变换的性质，目的在于：1. 了解特性的内在联系2. 用性质求3. 了解在通信系统领域中的实用这些性质在内容和形式上具有某种程度的对称性。

§3.7.1对称性质1．性质2．意义例3-7-1例3-7-2例3-7-3§3.7.2 线性1．性质2．说明§3.7.3 奇偶虚实性奇偶虚实性实际上在§3.4的“傅里叶变换的特殊形式”中已经介绍过。

1.证明：由定义可以得到2.若，则证明：设f(t)是实函数（为虚函数或复函数情况相似，略）显然§3.7.4 尺度变换性质1. 性质：2. 证明：综合上述两种情况3．意义(1) 0<a<1 时域扩展，频带压缩。

脉冲持续时间增加a倍，信号变化减缓，信号在频域的频带压缩a倍。

因此高频分量减少，幅度上升a倍。

(2) a>1 时域压缩，频域扩展a倍。

持续时间短，变化加快。

信号在频域高频分量增加，频带展宽，各分量的幅度下降a倍。

此例说明：信号的持续时间与信号占有频带成反比，有时为加速信号的传递，要将信号持续时间压缩，则要以展开频带为代价。

§3.7.5 时移特性性质幅度频谱无变化，只影响相位频谱，例3-7-8求下图所示函数的傅里叶变换。

解：由对称关系求，又因为得幅频、相频特性分别如下图所示。

幅度频谱无变化，只影响相位频谱§3.7.6 时移+尺度变换1.性质：2. 证明：(仿的证明过程)当时，设，则例3-7-9方法一：先标度变换，再时延方法二：先时延再标度变换§3.7.7 频移特性1．性质2．证明3．说明4．应用通信中调制与解调，频分复用§3.7.8 频移特性1．性质2．证明3．说明4．应用通信中调制与解调，频分复用§3.7.9 时域微分性质2. 证明即3. 特别注意如果f(t)中有确定的直流分量，应先取出直流分量单独求傅里变换，余下部分再用微分性质。

《信号与系统》知识要点第一章 信号与系统1、周期信号的判断 （1）连续信号思路：两个周期信号()x t 和()y t 的周期分别为1T 和2T ，如果1122T N T N =为有理数（不可约）,则所其和信号()()x t y t +为周期信号，且周期为1T 和2T 的最小公倍数，即2112T N T N T ==。

（2）离散信号思路:离散余弦信号0cos n ω(或0sin n ω）不一定是周期的，当 ①2πω为整数时,周期02N πω=；②122N N πω=为有理数（不可约）时，周期1N N =; ③2πω为无理数时，为非周期序列注意：和信号周期的判断同连续信号的情况。

2、能量信号与功率信号的判断 （1）定义连续信号 离散信号信号能量： 2|()|k E f k ∞=-∞=∑信号功率: def2221lim ()d T T T P f t t T →∞-=⎰ /22/21lim|()|N N k N P f k N →∞=-=∑(2）判断方法能量信号： P=0E <∞， 功率信号： P E=<∞∞， （3）一般规律①一般周期信号为功率信号；②时限信号（仅在有限时间区间不为零的非周期信号）为能量信号；③还有一些非周期信号,也是非能量信号。

⎰∞∞-=t t f E d )(2def3 ① ②4、信号的基本运算1) 两信号的相加和相乘 2) 信号的时间变化a) 反转: ()()f t f t →- b) 平移： 0()()f t f t t →± c) 尺度变换: ()()f t f at →3) 信号的微分和积分注意:带跳变点的分段信号的导数，必含有冲激函数，其跳变幅度就是冲激函数的强度.正跳变对应着正冲激；负跳变对应着负冲激。

5、阶跃函数和冲激函数 (1)单位阶跃信号00()10t u t t <⎧=⎨>⎩0t =是()u t 的跳变点。

(2）单位冲激信号定义：性质：()1()00t dt t t δδ∞-∞⎧=⎪⎨⎪=≠⎩⎰ t1）取样性 11()()(0)()()()f t t dt f t t f t dt f t δδ∞-∞∞-∞=-=⎰⎰()()(0)()f t t f t δδ=000()()()()f t t t f t t t δδ-=-2)偶函数 ()()t t δδ=-3）尺度变换 ()1()at t aδδ=4)微积分性质 d ()()d u t t tδ= ()d ()t u t δττ-∞=⎰（3)冲激偶 ()t δ'性质： ()()(0)()(0)()f t t f t f t δδδ'''=-()()d (0)f t t t f δ∞-∞''=-⎰()d ()tt t t δδ-∞'=⎰()()t t δδ''-=- ()d 0t t δ∞-∞'=⎰（4）斜升函数 ()()()d tr t t t εεττ-∞==⎰（5）门函数 ()()()22G t t t τττεε=+--6、系统的特性 （重点：线性和时不变性的判断） （1）线性1）定义：若同时满足叠加性与均匀性，则称满足线性性质。