2004年全国高考数学试题汇编——三角、向量(二)

2004年高考数学典型试题评析(立体几何)
2004年高考数学典型试题评析(立体几何)
一、试题详解
1、三棱柱ABC—A1B1C1 内接于球O，其中AB1=6,BC1=24, 则球O 的表面积等于
A、504π
B、216π
C、108π
D、54π
答案：C
试题分析：此题是求三棱柱内接于球的表面积，基本思想是采用体积差方法，一个棱柱的体积 = 三角形的面积*高，求球的表面积减去三棱柱的体积即可。

2、某空间三条相互垂直的弦长分别为6，2对角线和4，若把这个四面体切割成两个正八面体，则其中较大正八面体的表面积为
A、96π
B、192π
C、288π
D、384π
答案：D
试题分析：这个问题是考查四面体切割成两个正八面体的表面积，可以使用体积的方法求得这两个正八面体的表面积，给出三条相互垂直的弦长度和两个对角线长度后，可以求得这两个正八面体的表面积。

3、一个三棱台ABC—A1B1C1，其三角形ABC内切圆半径为4，AA1=12，BB1＝20，则CC1的长度
A、8
B、12
C、16
D、20
答案：A
试题分析：这个问题是求三棱台中一个边长，通过其他已知条件可以利用余弦定理求出CC1的长度。

二、综合评析
以上三道题目均是立体几何中的典型题，其中包括体积差及余弦定理的应用，能有效的考察考生的理解能力和计算能力，有助于检验考生在球体几何中的掌握情况。

2004年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修Ⅱ）参考答案一、选择题1—12 D C A D A B C A B A B C二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上. 13．28 14．21- 15．43 16．2 三、解答题17．本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，二倍角公式以及三角函数式的恒等变形等 基础知识和基本技能.满分12分. 解：αααααααπα2cos 2cos sin 2)cos (sin 2212cos 2sin )4sin(++=+++ .)cos (sin cos 4)cos (sin 2ααααα++= 当α为第二象限角，且415sin =α时 41cos ,0cos sin -=≠+ααα， 所以12cos 2sin )4sin(+++ααπα=.2cos 42-=α18．本小题主要考查函数的导数计算，利用导数讨论函数的性质，判断函数的最大值、最小 值以及综合运算能力.满分12分.解：,2111)(x x x f -+=' 令 ,02111=-+x x 化简为,022=-+x x 解得.1),(221=-=x x 舍去当)(,0)(,10x f x f x >'<≤时单调递增；当)(,0)(,21x f x f x <'≤<时单调递减.所以412ln )1(-=f 为函数)(x f 的极大值. 又因为 ),2()1(,013ln )2(,0)0(f f f f >>-==所以 0)0(=f 为函数)(x f 在[0，2]上的最小值，412ln )1(-=f 为函数)(x f 在[0，2]上的最大值.19．本小题主要考查离散型随机变量的分布列、数学期望等概念，以及运用概率统计知识解 决实际问题的能力.满分12分.解：（Ⅰ）ξ的可能值为－300，－100，100，300.P （ξ=－300）=0.23=0.008, P （ξ=－100）=3×0.22×0.8=0.096,P （ξ=100）=3×0.2×0.82=0.384, P （ξ=300）=0.83=0.512,所以ξ的概率分布为ξ－300 －100 100 300 P 0.008 0.096 0.384 0.512根据ξ的概率分布，可得ξ的期望E ξ=（－300）×0.008+（－100）×0.096+100×0.384+300×0.512=180.（Ⅱ）这名同学总得分不为负分的概率为P （ξ≥0）=0.384+0.512=0.896.20．本小题主要考查棱锥的体积、二面角、异面直线所成的角等知识和空间想象能力、分析 问题能力.满分12分.解：（Ⅰ）如图1，取AD 的中点E ，连结PE ，则PE ⊥AD.作PO ⊥平面在ABCD ，垂足为O ，连结OE.根据三垂线定理的逆定理得OE ⊥AD ，所以∠PEO 为侧面PAD 与底面所成的二面角的平面角，由已知条件可知∠PEO=60°，PE=6，所以PO=33，四棱锥P —ABCD 的体积V P —ABCD =.963334831=⨯⨯⨯ （Ⅱ）解法一：如图1，以O 为原点建立空间直角坐标系.通过计算可得P （0，0，33），A （23，－3，0），B （23，5，0），D （－23，－3，0）所以).0,8,34(),33,3,32(--=--=BD PA因为,002424=++-=⋅BD PA 所以PA ⊥BD.解法二：如图2，连结AO ，延长AO 交BD 于点F.通过计算可得EO=3，AE=23，又知AD=43，AB=8，得.ABAD AE EO = 所以 Rt △AEO ∽Rt △BAD.得∠EAO=∠ABD.所以∠EAO+∠ADF=90° 所以 AF ⊥BD.因为 直线AF 为直线PA 在平面ABCD 内的射影，所以PA ⊥BD.21．本小题主要考查点到直线距离公式，双曲线的基本性质以及综合运算能力.满分12分. 解：直线l 的方程为1=+by a x ，即 .0=-+ab ay bx 由点到直线的距离公式，且1>a ，得到点（1，0）到直线l 的距离221)1(b a a b d +-=，同理得到点（－1，0）到直线l 的距离222)1(b a a b d ++=.222221c ab b a ab d d s =+=+= 由,542,54c c ab c s ≥≥得 即 .25222c a c a ≥- 于是得 .025254,2152422≤+-≥-e e e e 即 解不等式，得 .5452≤≤e 由于,01>>e 所以e 的取值范围是 .525≤≤e 22．本小题主要考查函数的导数，三角函数的性质，等差数列与等比数列的概念和性质，以 及综合运用的能力.满分14分.（Ⅰ）证明：.sin 2)cos sin ()sin (cos )(x e x x e x x e x f x x x ----=+-++-='由,0)(='x f 得.0sin 2=--x e x解出n n x ,π=为整数，从而Λ,3,2,1,==n n x n π.)1()(πn n n e x f --=.)()(1π-+-=e x f x f n n 所以数列)}({n x f 是公比π--=e q 的等比数列，且首项.)(1q x f = （Ⅱ）解：)()()(2211n n n x f x x f x x f x S +++=Λ),21(1-+++=n nq q q Λπ),11()21(),2(122n nn n n n n n nq qq q nq q q q qS S nq q q q qS ---=-+++=-+++=-πππΛΛ 从而).11(1n nn nq q q q q S ----=π nS S S n +++Λ21 .)1()1()1(2)1()11()1(11)1()1()21()1()1()1()1(2232222222121222q q q q n q q q nq q q q n q q q q n q q qnq q q n q q q q n q q q n n n nn n n -+----=----------=+++--+++---=+--πππππππππΛΛ 因为0lim .1||=<=∞→-n n q e q π，所以 .)1()1(lim 2221+-=-=+++∞→ππππe e q q n S S S n n Λ。

1．(2004年“天津耀华、东北育才、大连育明、哈尔滨三中”四校联考数学第17题，本题满分12分)已知定义在R 上的函数)0,0,0(cos sin )(>>>+=b a x b x a x f ωωω周期为.3)4(,2)(,=≤ππf x f（1）写出f (x )的表达式；（2）写出函数f (x )的单调递增区间；（3）说明f (x )的图象如何由函数y=2sin x 的图象经过变换得到.2．(2004年江苏省盐城市高三第三次调研考试数学第17题，本题满分12分)已知55,8,,011AC AB AD DB CD AB ===⋅=．（1）求AB AC -；（2）设∠BAC=θ，且已知cos(θ+x)= 4/5，4x ππ-<<-，求sinx ．3．(2004年山东省潍坊市高三统一考试数学第17题，本题满分12分)已知A 、B 、C 的坐标分别为A （3，0），B （0，3），C （ααsin ,cos ），).23,2(ππα∈（I ）若|,|||=求角α的值；（II ）若αααtan 12sin sin 2,12++-=⋅求BC AC 的值.4．（北京西城区2004年4月抽样测试——高三数学第16题，本题满分14分） 在△ABC 中，三个内角是A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，其中c =10，且.34cos cos ==a b B A （I ）求证：△ABC 是直角三角形；（II ）设圆O 过A 、B 、C 三点，点P 位于劣弧AC 上，∠PAB=60°.求四边形ABCP 的面积.5．（北京东城区2004年4月高三年级综合练习数学第16题，本题满分13分）在△ABC 中，若.sin sin )cos (cos sin B A B A C +=+（Ⅰ）求∠C 的度数；（Ⅱ）在△ABC 中，若角C 所对的边c=1，试求内切圆半径r 的取值范围.6．(2004年黄冈市高三模拟第18题)（本小题满分12分）已知△ABC 中， 三个内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若△ABC 的面积为S ，且2S=（a+b ）2－c 2，求tanC 的值。

2004年高考数学试卷1.集合类题目：主要考察几何的交。

在做集合有关问题时，无论是集合的交或者并，都要注意“不重不漏”。

（很简单）2.三角函数类题目：主要考察三角函数周期的问题。

在做这一类题目时，一般将所给函数化为sin(),cos(),tan(),y A x a y A x a y A x a ϖϕϖϕϖϕ=++=++=++的形式，再利用正弦，余弦，正切函数的周期来解决问题。

（可作为中等偏下填空题）3.排列组合问题（经常与概率问题一起考察）这道题目正过来考虑比较复杂，我们可以反向考虑，其反面情况就是4人中只有男生和女生，由题目可知4个都是女生不可能，那反面情况就剩下4个都是男生，这只有一种选法。

可以容易算出7人选出4人一共有4735C =种，故总共有34种选法。

（中档填空题）4.几何题：本题考查球体体积计算公式34=3V r π，关键就是求r,根据简单的空间想象，构造直角三角形很容易求出r （简单题填空题）5.圆锥曲线题：考查双曲线和抛物线的准线方程，双曲线的离心率等问题。

在此我们回顾一下三类圆锥曲线各自的准线方程与离心率的求法。

椭圆方程22221x y a b +=，其准线方程为2,a x c =±离心率为c e a =，（其中222(,,0)c a b a b c =->. 双曲线方程2222-1x y a b =，其准线方程为2,a x c =±离心率为ce a=，（其中222+(,,0)c a b a b c =>. 抛物线方程22,y px =其准线方程为.2p x =- 22,x py =其准线方程为.2p y =-根据上面知识点很容易列出关系式。

（中档填空题）6.条形图题：明白横轴，纵轴所代表的含义，很容易做出（简单填空题）7.排列组合题：该题可以转化为排列组合题。

可以将42)x x +（写成(2)(2)(2)(2)x x x x x x x x ++++结合3x 可知四个括号中必须在两个括号中选取含有x 的项，另外两个就要选取含有x 的项。

2004年高考试题全国卷Ⅳ理科数学（必修+选修Ⅱ）第I 卷参考公式： 如果事件A 、B 互斥，那么P （A+B ）=P （A ）+P （B ） 如果事件A 、B 相互独立，那么P （A ·B ）=P （A ）·P （B ）如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率P n (k)=C kn P k (1－P)n －k一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1．已知集合},2|{},2,1,0{M a a x x N M ∈===，则集合N M ⋂= （ ）A ．{0}B ．{0，1}C ．{1，2}D ．{0，2} 2．函数)(2R x e y x∈=的反函数为（ ）A ．)0(ln 2>=x x yB ．)0)(2ln(>=x x yC ．)0(ln 21>=x x y D ．)0(2ln 21>=x x y 3．过点（－1，3）且垂直于直线032=+-y x 的直线方程为（ ）A ．012=-+y xB ．052=-+y xC ．052=-+y xD ．072=+-y x 4．)1)31(2ii +-=（ ）A ．i +3B ．i --3C ．i -3D ．i +-3 5．不等式03)2(<-+x x x 的解集为（ ）A ．}30,2|{<<-<x x x 或B ．}3,22|{><<-x x x 或C ．}0,2|{>-<x x x 或D ．}3,0|{<<x x x 或6．等差数列}{n a 中，78,24201918321=++-=++a a a a a a ，则此数列前20项和等于 （ ）A ．160B ．180C ．200D ．220 7．对于直线m 、n 和平面α，下面命题中的真命题是（ ）A ．如果m n m ,,αα⊄⊂、n 是异面直线，那么α//n ；B ．如果m n m ,,αα⊄⊂、n 是异面直线，那么α与n 相交C ．如果m n m ,//,αα⊂、n 共面，那么n m //；D ．如果m n m ,//,//αα、n 共面，那么n m //8．已知椭圆的中心在原点，离心率21=e ，且它的一个焦点与抛物线x y 42-=的焦点重合， 则此椭圆方程为（ ）球的表面积公式S=42R π其中R 表示球的半径， 球的体积公式V=334R π 其中R 表示球的半径A ．13422=+y x B ．16822=+y x C ．1222=+y x D ．1422=+y x 9．从5位男教师和4位女教师中选出3位教师，派到3个班担任班主任（每班1位班主任），要求这3位班主任中男、女教师都要有，则不同的选派方案共有（ ）A ．210种B ．420种C ．630种D ．840种10．已知球的表面积为20π，球面上有A 、B 、C 三点.如果AB=AC=2，BC=32，则球心 到平面ABC 的距离为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．211．△ABC 中，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边.如果a 、b 、c 成等差数列，∠B=30°，△ABC 的面积为23，那么b = （ ）A ．231+ B ．31+C ．232+ D ．32+12．设函数))((R x x f ∈为奇函数，),2()()2(,21)1(f x f x f f +=+=则=)5(f （ ）A ．0B ．1C ．25 D ．5第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上. 13．8)1(xx -展开式中5x 的系数为 .14．向量a 、b 满足（a －b ）·（2a +b ）=－4，且|a |=2，|b |=4，则a 与b夹角的余弦值等于 .15．函数)(2cos 21cos )(R x x x x f ∈-=的最大值等于 . 16．设y x ,满足约束条件：⎪⎩⎪⎨⎧≥≤≤+,0,,1y x y y x 则y x z +=2的最大值是 .三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）已知α为第二象限角，且 sin α=,415求12cos 2sin )4sin(+++ααπα的值. 18．（本小题满分12分）求函数241)1ln()(x x x f -+=在[0，2]上的最大值和最小值.C19．（本小题满分12分） 某同学参加科普知识竞赛，需回答三个问题.竞赛规则规定：每题回答正确得100分，回答不正确得－100分.假设这名同学每题回答正确的概率均为0.8，且各题回答正确与否相互之间没有影响. （Ⅰ）求这名同学回答这三个问题的总得分ξ的概率分布和数学期望； （Ⅱ）求这名同学总得分不为负分（即ξ≥0）的概率. 20．（本小题满分12分）如图，四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 为矩形，AB=8，AD=43，侧面PAD 为等边三角形，并且与底面所成二面角为60°.（Ⅰ）求四棱锥P —ABCD 的体积； （Ⅱ）证明PA ⊥BD. 21．（本小题满分12分）双曲线)0,1(12222>>=-b a by a x 的焦点距为2c ，直线l 过点（a ，0）和（0，b ），且点（1，0）到直线l 的距离与点（－1，0）到直线l 的距离之和.54c s ≥求双曲线的离心率e 的取值范围. 22．（本小题满分14分）已知函数0)(),sin (cos )(='+=-x f x x ex f x将满足的所有正数x 从小到大排成数列}.{n x（Ⅰ）证明数列{}{n x f }为等比数列；（Ⅱ）记n S 是数列{}{n n x f x }的前n 项和，求.lim 21nS S S nn +++∞→2004年高考试题全国卷4理科数学（必修+选修Ⅱ）参考答案一、选择题1—12 D C A D A B C A B A B C二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上. 13．28 14．21-15．43 16．2三、解答题17．本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，二倍角公式以及三角函数式的恒等变形等 基础知识和基本技能.满分12分.解：αααααααπα2cos 2cos sin 2)cos (sin 2212cos 2sin )4sin(++=+++.)cos (sin cos 4)cos (sin 2ααααα++= 当α为第二象限角，且415sin =α时41cos ,0cos sin -=≠+ααα， 所以12cos 2sin )4sin(+++ααπα=.2cos 42-=α 18．本小题主要考查函数的导数计算，利用导数讨论函数的性质，判断函数的最大值、最小值以及综合运算能力.满分12分. 解：,2111)(x x x f -+=' 令 ,02111=-+x x 化简为,022=-+x x 解得.1),(221=-=x x 舍去当)(,0)(,10x f x f x >'<≤时单调增加； 当)(,0)(,21x f x f x <'≤<时单调减少. 所以412ln )1(-=f 为函数)(x f 的极大值. 又因为 ),2()1(,013ln )2(,0)0(f f f f >>-==所以 0)0(=f 为函数)(x f 在[0，2]上的最小值，412ln )1(-=f 为函数)(x f 在[0，2]上的最大值.19．本小题主要考查离散型随机变量的分布列、数学期望等概念，以及运用概率统计知识解 决实际问题的能力.满分12分. 解：（Ⅰ）ξ的可能值为－300，－100，100，300.P （ξ=－300）=0.23=0.008, P （ξ=－100）=3×0.22×0.8=0.096, P （ξ=100）=3×0.2×0.82=0.384, P （ξ=300）=0.83=0.512,图2Cy所以ξ的概率分布为根据ξ的概率分布，可得ξ的期望E ξ=（－300）×0.08+（－100）×0.096+100×0.384+300×0.512=180.（Ⅱ）这名同学总得分不为负分的概率为P （ξ≥0）=0.384+0.512=0.896.20．本小题主要考查棱锥的体积、二面角、异面直线所成的角等知识和空间想象能力、分析问题能力.满分12分. 解：（Ⅰ）如图1，取AD 的中点E ，连结PE ，则PE ⊥AD.作PO ⊥平面在ABCD ，垂足为O ，连结OE. 根据三垂线定理的逆定理得OE ⊥AD ， 所以∠PEO 为侧面PAD 与底面所成的二面角的平面角， 由已知条件可知∠PEO=60°，PE=6， 所以PO=33，四棱锥P —ABCD 的体积 V P —ABCD =.963334831=⨯⨯⨯ （Ⅱ）解法一：如图1，以O 为原点建立空间直角坐标系.通过计算可得P （0，0，33），A （23，－3，0），B （23，5，0），D （－23，－3，0） 所以).0,8,34(),33,3,32(--=--=BD PA 因为,002424=++-=⋅BD PA 所以PA ⊥BD.解法二：如图2，连结AO ，延长AO 交BD 于点F.通过计算可得EO=3，AE=23知AD=43，AB=8，得.ABADAE EO = 所以 Rt △AEO ∽Rt △BAD. 得∠EAO=∠ABD.所以∠EAO+∠ADF=90° 所以 AF ⊥BD.因为 直线AF 为直线PA 在平面ABCD 内的身影，所以PA ⊥BD.21．本小题主要考查点到直线距离公式，双曲线的基本性质以及综合运算能力.满分12分. 解：直线l 的方程为1=+bya x ，即 .0=-+ab ay bx 由点到直线的距离公式，且1>a ，得到点（1，0）到直线l 的距离221)1(ba ab d +-=，同理得到点（－1，0）到直线l 的距离222)1(ba ab d ++=.222221cabb a ab d d s =+=+= 由,542,54c c ab c s ≥≥得 即 .25222c a c a ≥- 于是得 .025254,2152422≤+-≥-e e e e 即解不等式，得.5452≤≤e 由于,01>>e 所以e 的取值范围是.525≤≤e 22．本小题主要考查函数的导数，三角函数的性质，等差数列与等比数列的概念和性质，以及综合运用的能力.满分14分. （Ⅰ）证明：.sin 2)cos sin ()sin (cos )(x e x x e x x ex f x x x----=+-++-='由,0)(='x f 得.0sin 2=--x e x解出n n x ,π=为整数，从而,3,2,1,==n n x n π .)1()(πn n n e x f --=.)()(1π-+-=e x f x f n n所以数列)}({n x f 是公比π--=eq 的等比数列，且首项.)(1q x f =（Ⅱ）解：)()()(2211n n n x f x x f x x f x S +++= ),21(1-+++=n nq q q π),11()21(),2(122n nnn n n n n nq qq q nq qq q qS S nq q q q qS ---=-+++=-+++=-πππ 而).11(1n nn nq qq q q S ----=πnS S S n+++ 21.)1()1()1(2)1()11()1(11)1()1()21()1()1()1()1(2232222222121222q q q q n q q qnq qq q n q q q q n q q q nq q q n q qq q n q q qn n n nn n n -+----=----------=+++--+++---=+--πππππππππ因为0lim .1||=<=∞→-n n q eq π，所以.)1()1(lim 2221+-=-=+++∞→ππππe e q q n S S S n n。

04高考解析几何一）选择题1. （2004.江苏）若双曲线18222=-by x 的一条准线与抛物线x y 82=的准线重合，则双曲线离心率为( A )(A)2 (B)22 (C) 4 (D)242．(2004.全国理)椭圆1422=+y x 的两个焦点为F 1、F 2，过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则||2PF =（ C ）A ．23 B ．3C ．27 D ．43．(2004.全国理)设抛物线y 2=8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是（ C ）A ．[－21，21] B ．[－2，2]C ．[－1，1]D ．[－4，4]4．（2004.湖北理）与直线042=+-y x 的平行的抛物线2x y =的切线方程是 （ D ） A ．032=+-y x B ．032=--y xC ．012=+-y xD ．012=--y x5．（2004.湖北理）已知椭圆191622=+y x 的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在椭圆上，若P 、F 1、F 2是一个直角三角形的三个顶点，则点P 到x 轴的距离为 （ D ）A ．59 B ．3 C ．779D ．496．（2004. 福建理）已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，过F 1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，若△ABF 2是真正三角形，则这个椭圆的离心率是（ A ）A ．3332 B ．32 C ．22 D ．237．（2004. 福建理）如图，B 地在A 地的正东方向4 km 处，C地在B 地的北偏东30°方向2 km 处，河流 的没岸PQ （曲线）上任意一点到A 的距离 比到B 的距离远2 km.现要在曲线PQ 上选一处M 建一座码头，向B 、C 两地转运 货物.经测算，从M 到B 、M 到C 修建公 路的费用分别是a 万元/km 、2a 万元/km ，那么修建这两条公路的总费用最低是（ B ） A ．(27－2)a 万元 B ．5a 万元C ．(27+1) a 万元D ．(23+3) a 万元8．（2004. 重庆理）圆222430x y x y +-++=的圆心到直线1x y -=的距离为 （ D ）A ．2B ．2C ．1 D9．（2004. 重庆理）已知双曲线22221,(0,0)x y a b a b -=>>的左，右焦点分别为12,F F ,点P 在双曲线的右支上，且12||4||PF PF =,则此双曲线的离心率e 的最大值为： （ B ）A ．43B ．53C ．2D ．739．（2004. 辽宁卷）已知点)0,2(-A 、)0,3(B ，动点2),(x PB PA y x P =⋅满足，则点P 的轨迹是DA ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线10．（2004. 辽宁卷）已知点)0,2(1-F 、)0,2(2F ，动点P 满足2||||12=-PF PF . 当点P 的纵坐标是21时， 点P 到坐标原点的距离是AA ．26 B ．23 C ．3 D ．211．（2004.湖南理）如果双曲线1121322=-y x 上一点P 到右焦点的距离等于13，那么点P 到右准线的距离是（ A ）A ．513 B ．13 C ．5 D ．13512、(2004. 四川理）已知圆C 与圆(x-1)2+y 2=1关于直线y=-x 对称，则圆C 的方程为( C ) A (x+1)2+y 2=1 B x 2+y 2=1 C x 2+(y+1)2=1 D x 2+(y-1)2=113、(2004. 四川理）在坐标平面内，与点A(1,2)的距离为1，且与点B(3,1)的距离为2的直线共有( B )A 1条B 2条C 3条D 4条14．(7) (2004. 天津卷)若)1,2(-P 为圆25)1(22=+-y x 的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是(A) (A)03=--y x (B)032=-+y x(C)01=-+y x (D)052=--y x15、（2004. 人教版理科）圆0422=-+x y x 在点)3,1(P 处的切线方程为（ ） A 、023=-+y x B 、043=-+y x C 、043=+-y x D 、023=+-y x16、（2004. 人教版理科）设双曲线的焦点在x 轴上，两条渐近线为x y 21±=，则该双曲线的离心率=e （ ）A 、5B 、 5C 、25 D 、45 17） (2004. 天津卷)设P 是双曲线19222=-y ax 上一点，双曲线的一条渐近线方程为023=-y x ，1F 、2F 分别是双曲线的左、右焦点。

2004年全国高考数学试题汇编——三角、向量(三)1．（2004年湖北高考数学·理工第4题，文史第7题）已知c b a ,,为非零的平面向量. 甲：则乙,:,c b c a b a =⋅=⋅ （ ）A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 2．（2004年江苏高考数学第16题）平面向量a ，b 中，已知a =(4，-3)，b =1，且a ·b =5，则向量b =__________. 3．(2004年浙江高考数学·文史第4题)已知向量),cos ,(sin ),4,3(αα==b a 且∥，则αtan = (A)43(B)43-(C)34 (D)34-4．（2004年福建高考数学·理工第8题，文史第8题）已知a 、b 是非零向量且满足(a －2b) ⊥a ，(b －2a ) ⊥b ，则a 与b 的夹角是（ ）A ．6πB ．3πC ．32πD ．65π 5．（2004年浙江高考数学·理工第14题）6．（2004年浙江高考数学·文史第14题）7．（2004年湖北高考数学文史第13题）tan2010°的值为 . 8．（2004年福建高考数学·理工第2题，文史第2题）tan15°+cot15°的值是 （ ）A ．2B ．2+3C ．4D ．3349．（2004年辽宁高考数学第1题）若θθθ则角且,02sin ,0cos <>的终边所在象限是A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 10．（2004年江苏高考数学第2题）函数y=2cos 2x+1(x ∈R )的最小正周期为 （ ）A ．2πB ．πC ．π2D ．π411． (2004年浙江高考数学·文史第8题)“21sin =A ”“A=30º”的 （ ）(A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件(C) 充分必要条件 (D) 既不充分也必要条件 12．（2004年浙江高考数学·理工第8题）在ΔABC 中,“A>30º”是“sinA>21”的 （ ）(A) 充分而不必要条件(B) 必要而不充分条件(C) 充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件13．（2004年辽宁高考数学第7题）已知函数1)2sin()(--=ππx x f ，则下列命题正确的是A ．)(x f 是周期为1的奇函数B ．)(x f 是周期为2的偶函数C ．)(x f 是周期为1的非奇非偶函数D ．)(x f 是周期为2的非奇非偶函数14．（2004年辽宁高考数学第11题）若函数)sin()(ϕω+=x x f 的图象（部分）如图所示，则ϕω和的取值是 A ．3,1πϕω==B ．3,1πϕω-==C ．6,21πϕω==D ．6,21πϕω-==15．（2004年湖北高考数学·理工第12题，文史第12题）设)(t f y =是某港口水的深度y （米）关于时间t （时）的函数，其中240≤≤t .下表经长期观察，函数)(t f y =的图象可以近似地看成函数)sin(ϕω++=t A k y 的图象.下面的函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的函数是（ ）A ．]24,0[,6sin 312∈+=t t y πB ．]24,0[),6sin(312∈++=t t y ππC ．]24,0[,12sin312∈+=t t y πD ．]24,0[),212sin(312t t y ππ++=16．（2004年福建高考数学·文史第11题）定义在R 上的偶函数f(x)满足f(x)=f(x +2)，当x ∈[3，4]时，f(x)= x －2，则 （ ）A ．f (sin21)<f (cos 21) B ．f (sin3π)>f (cos 3π)C ．f (sin1)<f (cos1)D ．f (sin 23)>f (cos 23)17．（2004年福建高考数学·理工第11题）定义在R 上的偶函数f(x)满足f(x)=f(x +2)，当x ∈[3，5]时，f(x)=2－|x －4|，则（ ） A ．f (sin6π)<f (cos 6π) B ．f (sin1)>f (cos1)C ．f (cos 32π)<f (sin 32π)D ．f (cos2)>f (sin2)18．（2004年江苏高考数学第17题）已知0<α<2π，tan 2α+cot 2α=25，求sin(3πα-)的值.19．（2004年湖北高考数学·理工第17题，文史第17题，本小题满分12分）已知)32sin(],,2[,0cos 2cos sin sin 622παππααααα+∈=-+求的值.20．（2004年浙江高考数学·理工第17题，文史第18题，本题满分12分） 在ΔABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且31cos =A . （Ⅰ）求A CB 2cos 2sin 2++的值； ▲（Ⅱ）若3=a ，求bc 的最大值.（此问高二和高三学生做）21．（2004年湖北高考数学·理工第19题，文史第19题，本小题满分12分）如图，在Rt △ABC 中，已知BC=a ，若长为2a 的线段PQ 以点A 为中点，问与的夹角θ取何值时⋅的值最大？并求出这个最大值.22．（2004年福建高考数学·理工第17题，文史第17题，本小题满分12分）设函数f(x)=a ·b ，其中向量a =(2cos x ，1)，b =(cos x ， 3sin2x )，x ∈R.（Ⅰ）若f(x)=1－3且x ∈[－3π，3π]，求x ； （Ⅱ）若函数y=2sin2x 的图象按向量c=(m ，n)(|m|<2π)平移后得到函数y=f(x)的图象，求实数m 、n 的值.23．（2004年辽宁高考数学第18题，本小题满分12分）设全集U=R（1）解关于x 的不等式);(01|1|R a a x ∈>-+- （2）记A 为（1）中不等式的解集，集合}0)3cos(3)3sin(|{=-+-=ππππx x x B ，若（ ∪A ）∩B 恰有3个元素，求a 的取值范围.参考答案1．B 2．)53,54(- 3．A 4．B 5．25- 6．– 4 7．33 8．C 9．D 10．B 11．B 12．B 13．B 14．C 15．A 16．C 17．D 18．（2004年江苏高考数学第17题）本小题主要考查三角函数的基本公式和三角函数的恒等变换等基本知识，以及推理能力和运算能力.满分12分.解：由已知54sin ,25sin 22cot2tan===+αααα得..53sin 1cos ,202=-=∴<<ααπα从而 3s i n c o s 3c o s s i n )3s i n (παπαπα⋅-⋅=-)334(10123532154-=⨯-⨯=. 19．（2004年湖北高考数学·理工第17题，文史第17题）本小题考三角函数的基本公式以及三角函数式的恒等变形等基础知识和基本运算技能，满分12分. 解法一：由已知得：0)cos sin 2)(cos 2sin 3(=-+αααα 0cos sin 20cos 2sin 3=-=+⇔αααα或 由已知条件可知).,2(,2,0cos ππαπαα∈≠≠即所以 .32tan ,0tan -=∴<αα于是3sin2cos 3cos2sin )32sin(παπαπα+=+.tan 1tan 123tan 1tan sin cos sin cos 23sin cos cos sin )sin (cos 23cos sin 22222222222αααααααααααααααα+-⨯++=+-⨯++=-+= 代入上式得将32tan -=α..3265136)32(1)32(123)32(1)32()32sin(222即为所求+-=-+--⨯+-+--=+πα解法二：由已知条件可知所以原式可化为则,2,0cos παα≠≠..32tan .0tan ),,2(.0)1tan 2)(2tan 3(.02tan tan 62下同解法一又即-=∴<∴∈=-+=-+ααππααααα20． (2004年浙江高考数学·理工第17题，本题满分12分)解: (Ⅰ)A CB 2cos 2sin2++ =)1cos 2()]cos(1[212-++-A C B=)1cos 2()cos 1(212-++A A=)192()311(21-++= 91-(Ⅱ) ∵31cos 2222==-+A bc a c b ∴2222232a bc a cb bc -≥-+=, 又∵3=a∴.49≤bc 当且仅当 b=c=23时,bc=49,故bc 的最大值是49.21．（2004年湖北高考数学·理工第19题，文史第19题）本小题主要考查向量的概念，平面向量的运算法则，考查运用向量及函数知识的能力，满分12分.)()(,,,.0,:AC AQ AB AP CQ BP -⋅-=⋅∴-=-=-==⋅∴⊥ 解法一 .cos 2121)(222222θa a BCPQ a a a a +-=⋅+-=⋅+-=-⋅--=⋅+⋅--=⋅+⋅-⋅-⋅=.0.,)(0,1cos 其最大值为最大时方向相同与即故当CQ BP BC PQ ⋅==θθ解法二：以直角顶点A 为坐标原点，两直角边所在直线为坐标轴建立如图所示的平面直角坐标系..)()())(().2,2(),,(),,(),,().,(),,(.||,2||),,0(),0,(),0,0(,||||22by cx y x b y y x c x y x b c b y x y c x y x Q y x P a BC a PQ b C c B A b AC c AB -++-=--+--=⋅∴--=-=---=-=∴--====则的坐标为设点且则设.0,,)(0,1cos .cos .cos .cos 2222其最大值为最大时方向相同与即故当a a CQ BP a by cx abycx ⋅==+-=⋅∴=-∴-==θθθθθ 22．（2004年福建高考数学·理工第17题，文史第17题）本小题主要考查平面向量的概念和计算，三角函数的恒等变换及其图象变换的基本技能，考查运算能力.满分12分.解：（Ⅰ）依题设，f(x)=2cos 2x +3sin2x =1+2sin(2x +6π). 由1+2sin(2x +6π)=1－3，得sin(2 x +6π)=－23. ∵-3π≤x ≤3π，∴-2π≤2x +6π≤65π，∴2x +6π=-3π， 即x =-4π.（Ⅱ）函数y=2sin2x 的图象按向量c=(m ，n)平移后得到函数y=2sin2(x －m)+n 的图象，即函数y=f(x)的图象. 由（Ⅰ）得 f(x)=2sin2(x +12π)+1. ∵|m|<2π，∴m=-12π，n=1.23．（2004年辽宁高考数学第18题，本小题满分12分）本小题主要考查集合的有关概念，含绝对值的不等式，简单三角函数式的化简和已知三角函数值求角等基础知识，考查简单的分类讨论方法，以及分析问题和推理计算能力. 满分12分.解：（1）由.1|1|01|1|a x a x ->->-+-得 当1>a 时，解集是R ；当1≤a 时，解集是}.2|{a x a x x -><或……………………3分 （2）当1>a 时，（ ∪A ）=φ；当1≤a 时， ∪A=}.2|{a x a x -≤≤……………………5分 因)3cos(3)3sin(ππππ-+-x x .sin 2]3sin )3cos(3cos)3[sin(2x x x πππππππ=-+-=由.,),(,0sin Z B Z k x Z k k x x =∈=∈==所以即得πππ…………8分当（ ∪A ）∩B 怡有3个元素时，a 就满足⎪⎩⎪⎨⎧≤<-<-≤<.01,322,1a a a 解得.01≤<-a …12分※ 此专题汇编到此结束，祝广大高一学子期末考试顺利！！！试题整理者：陈斌E-mail：cqsbcqsb@注：（1）平面向量与解析几何综合的解答题将放在“2004年全国高考数学试题汇编——解析几何”中；（2）2004年全国高考数学试卷共计27套——全国卷8套（四川、吉林、黑龙江、云南等地区文理2套，山东、山西、河南、河北、江西、安徽等地区文理2套，陕西、广西、海南、西藏、内蒙古等地区文理2套，甘肃、贵州、宁夏、青海、新疆等地区文理2套）；单独命题的11个省市的高考数学试卷共计19套（北京文理2套，天津文理2套，上海文理2套，重庆文理2套，湖南文理2套，湖北文理2套，浙江文理2套，福建文理2套，江苏1套，广东1套，辽宁1套）。

2004年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．参考公式： 如果事件A 、B 互斥，那么)()()(B P A P B A P +=+如果事件A 、B 相互独立，那么)()()(B P A P B A P ⋅=⋅如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率：()(1)k k n kn n P k C P P -=-球是表面积公式24R S π=其中R 表示球的半径 球的体积公式334R V π=其中R 表示球的半径第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}2|4M x x =<，{}2|230N x x x =--<，则集合M N ⊃＝A ．{}|2x x <-B ．{}|3x x >C ．{}|12x x -<<D ．{}|23x x <<2．222lim 45x x x x x →∞+-+-＝A ．12B ．1C ．25D ．143．设复数12ω=-+，则1ω+＝ A ．ω-B ．2ωC ．1ω-D ．21ω4．已知圆C 与圆22(1)1x y -+=关于直线y x =-对称，则圆C 的方程为A ．22(1)1x y ++= B ．221x y += C ．22(1)1x y ++= D ．22(1)1x y +-=5．已知函数tan(2)y x ϕ=+的图像过点(,0)12π，则ϕ可以是A ．6π-B ．6πC ．12π-D ．12π6．函数x y e =-的图像A ．与x y e =的图像关于y 轴对称B ．与x y e =的图像关于坐标原点对称C ．与x y e -=的图像关于y 轴对称D ．与x y e -=的图像关于坐标原点对称7．已知球O 的半径为1，,,A B C 三点都在球面上，且每两点间的球面距离均为2π，则球心O 到平面ABC 的距离为A ．13B C ．23D 8．在坐标平面内，与点(1,2)A 的距离为1，且与点(3,1)B 的距离为2的直线共有A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条9．已知平面上直线l 的方向向量43(,)55e =- ，点(0,0)O 和(1,2)A -在l 上的射影分别是O '和A '，则O A e λ''= ，其中λ＝A ．115B ．115-C ．2D ．－210．函数cos sin y x x x =-在下面哪个区间内是增函数A ．3(,)22ππB ．(,2)ππC ．35(,)22ππ D ．(2,3)ππ11．函数42sin cos y x x =+的最小正周期为A ．4π B ．2π C ．π D ．2π12．在由数字1，2，3，4，5组成的所有没有重复数字的5位数中，大于23145且小于43521的数共有A ．56个B ．57个C ．58个D ．60个第Ⅱ卷（非选择题共90分）注意事项：用钢笔或圆珠笔直接答在答题卡上．二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上．13．从装有3个红球，2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有ξ个红球，则随机变量ξ的分布为14．设,x y 满足约束条件：0,,21,x x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪-≤⎩则32z x y =+的最大值是 ．15．设中心在原点的椭圆与双曲线22221x y -=有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该椭圆的方程是 ． 16．下面关于四棱柱的四个命题：①若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；②若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱； ③若两个侧面两两全等，则该四棱柱为直四棱柱；④若四棱柱的四条对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱．其中，真命题的编号是 ．（写出所有正确结论的编号）三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）已知锐角△ABC 中，3sin()5A B +=，1sin()5A B -=． （1）求证：tan 2tan A B =；（2）设3AB =，求AB 边上的高． 18．（本小题满分12分）已知8支球队中有3支弱队，以抽签方式将这8支球队分为A ，B 两组，每组4支．求： （1）A ，B 两组中有一组恰有两支弱队的概率； （2）A 组中至少有两支弱队的概率． 19．（本小题满分12分）数列{}n a 的前n 项和记为n S ，已知11a =，12(1,2,3,)n n n a S n n++== ，证明： （1）数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列； （2）14n n S a +=．20．（本小题满分12分）如图，直三棱柱111ABC A B C -中，90ACB ∠=，1AC =，CB =11AA =，侧面11AA B B 的两条对角线交点为D ，11B C 的中点为M ．（1）求证：CD ⊥平面BDM ；（2）求面1B BD 与面CBD 所成二面角的大小． 21．（本小题满分12分）给定抛物线2:4C y x =，F 是C 的焦点，过点F 的直线l 与C 相交于A ，B 两点．（1）设l 的斜率为1，求OA 与OB的夹角的大小；（2）设FB AF λ=，若[]4,9λ∈，求l 在y 轴上截距的变化范围．22．（本小题满分14分）已知函数()ln(1)f x x x =+-，()ln g x x x =． （1）求函数()f x 的最大值；（2）设0a b <<，证明：0()()2()()ln 22a bg a g b g b a +<+-<-．数学试题参考答案A BC DM B 1C 1A 1一、选择题，本题考查基础知识，基本概念和基本运算能力二、填空题．本题考查基础知识,基本概念和基本运算技巧 13． 14． 15． 16． 三、解答题 17．2004年普通高等学校招生全国统一考试数学参考答案（理）（选修Ⅱ）1.C2.A3.C4.C5.A6.D7.B8.B9.D 10.B 11.B 12.C13．0.1，0.6，0.3 14．5 15．1222=+y x 16．②④ 选择题和填空题详解1.已知集合M ＝{x|x 2＜4}，N ＝{x|x 2－2x －3＜0}，则集合M ∩N ＝A.{x|x ＜－2}B.{x|x ＞3}C.{x|－1＜x ＜2}D.{x|2＜x ＜3} 解：{}{}{}21,31,22<<-=∴<<-=<<-=x x N M x x N x x M ．答案：C2.542lim 221-+-+→x x x x x ＝ A.21 B.1 C.52 D.41 解：215121)5()2(lim )1)(5()1)(2(lim 542lim 11221=++=++=-+-+=-+-+→→→x x x x x x x x x x x x x答案：A3.设复数ω＝－21＋23i ，则1＋ω＝ A.–ω B.ω2 C.ω-1 D.21ω解： 1＋ω＝21＋23i ，i i 2321)2321(1+=---=-=-=-ωωωωω∴1＋ω＝ω-1答案：C4.已知圆C 与圆(x －1)2＋y 2＝1关于直线y ＝－x 对称，则圆C 的方程为A.(x ＋1)2＋y 2＝1B.x 2＋y 2＝1C.x 2＋(y ＋1)2＝1D.x 2＋(y －1)2＝1 解：圆(x －1)2＋y 2＝1的圆心（1，0）关于直线y ＝－x 的对称点为（0，－1）， 此即为圆C 的圆心；又圆C 的半径即为圆(x －1)2＋y 2＝1的半径1， ∴圆C 的方程为x 2＋(y ＋1)2＝1. 答案：C5.已知函数y ＝tan(2x ＋φ)的图象过点(12π,0)，则可以是 A.－6π B.6π C.－12π D.12π 解：由已知得0)6tan(=+ϕπ，∴φ的一个值为－6π．答案：A6.函数y ＝－e x 的图象A.与y ＝e x 的图象关于y 轴对称B.与y ＝e x 的图象关于坐标原点对称C.与y ＝e －x 的图象关于y 轴对称D.与y ＝e －x 的图象关于坐标原点对称解：函数y ＝－e x 的图象与y ＝e x 的图象关于x 轴对称，函数y ＝e －x 的图象与y ＝e x 的图象关于y轴对称．在同一平面直角坐标系中画出函数y ＝－e x 与y ＝e －x 的图象，可知这两个函数的图象关于坐标原点对称． 答案：D7.已知球O 的半径为1，A 、B 、C 三点都在球面上，且每两点间的球面距离为2π，则球心O 到平面ABC 的距离为 A.31 B.33 C.32 D.36 解：球心O 与A 、B 、C 三点构成正三棱锥O-ABC ，如下图所示：已知OA=OB=OC=R 球=1，∠AOB =∠BOC =∠AOC =2π，由此可得AO ⊥面BOC ， 2)2(43,1121=⨯⨯=∆∆ABC BOC S S ， 333131=⨯=⨯=∆∆--h h S AO S V V ABC BOC ABC O BOC A ，得，即由． 答案：B8.在坐标平面内，与点A(1,2)距离为1，且与点B(3,1)距离为2的直线共有 A.1条 B.2条 C.3条 D.4条解：画出以点A 为圆心、半径为1的圆A ；再画出以点B 为圆心、半径为2的圆B ，可知两圆相交．与点A 距离为1、且与点B 距离为2的直线应为圆A 与圆B 的公切线， ∵圆A 与圆B 相交，∴圆A 与圆B 的公切线有2条． 答案：B9.已知平面上直线L 的方向向量e ＝(－54,53)，点O(0,0)和A(1,－2)在L 上的射影分别是O 1和A 1，则11A O ＝λe ，其中λ＝ A.511 B.－511 C.2 D.－2 解：．综上，．，即，的符号为负；与积的几何意义可知，由题意及两个向量数量。

2004年高考试题全国卷Ⅱ（文）参考公式： 如果事件A 、B 互斥，那么P （A+B ）=P （A ）+P （B ） 如果事件A 、B 相互独立，那么P （A ·B ）=P （A ）·P （B ）如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率P n (k)=C kn P k (1－P)n －k一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分 .1．设集合U={1，2，3，4，5}，A={1，2，3}，B={2，5}，则A ∩（U C B ）= （ ）A ．{2}B ．{2，3}C ．{3}D ． {1，3} 2．已知函数=-=+-=)(,21)(,11lg )(a f a f x x x f 则若 （ ）A ．21B ．－21 C ．2D ．－23．已知,a b 均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|3a b +|= （ ）A ．7B ．10C ．13D ．4 4．函数1(1)y x =≥的反函数是（ ）A ．)1(222<+-=x x x y B ．)1(222≥+-=x x x yC ．)1(22<-=x x x yD ．)1(22≥-=x x x y 5．73)12(xx -的展开式中常数项是（ ）A ．14B ．－14C ．42D ．－42 6．设)2,0(πα∈若,53sin =α则)4cos(2πα+= （ ）A ．57B ．51C ．27D ．47．椭圆1422=+y x 的两个焦点为F 1、F 2，过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则||2PF =A ．23 B ．3C ．27 D ．4球的表面积公式S=42R π其中R 表示球的半径， 球的体积公式 V=334R π， 其中R 表示球的半径8．设抛物线x y 82=的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是（ ）A ．]21,21[-B ．[－2，2]C ．[－1，1]D ．[－4，4]9．为了得到函数)62sin(π-=x y 的图象，可以将函数x y 2cos =的图象（ ）A ．向右平移6π个单位长度 B ．向右平移3π个单位长度C ．向左平移6π个单位长度D ．向左平移3π个单位长度10．已知正四面体ABCD 的表面积为S ，其四个面的中心分别为E 、F 、G 、H ，设四面体EFGH 的表面积为T ，则ST等于（ ）A ．91B ．94 C ．41 D ．31 11．从1，2，……，9这九个数中，随机抽取3个不同的数，则这3个数的和为偶数的概率是 （ ）A ．95B ．94 C ．2111 D ．2110 12．已知ca bc ab a c c b b a ++=+=+=+则,2,2,1222222的最小值为 （ ）A ．3－21 B ．21－3 C ．－21－3 D ．21+3 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上. 13．不等式x +x 3≥0的解集是 .14．已知等比数列{,384,3,}103==a a a n 中则该数列的通项n a = .15．由动点P 向圆x 2+y 2=1引两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，∠APB=60°，则动点P 的轨迹方程为 .16．已知a 、b 为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a 、b 在α上的射影有可能是 .①两条平行直线； ②两条互相垂直的直线；③同一条直线 ；④一条直线及其外一点，在一面结论中，正确结论的编号是 （写出所有正确结论的编号）.三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）等差数列{n a }的前n 项和记为S n .已知.50,302010==a a （Ⅰ）求通项n a ； （Ⅱ）若S n =242，求n.18．（本小题满分12分）求函数xxx x x x f 2sin 2cos sin cos sin )(2244-++=的最小正周期、最大值和最小值.19．（本小题满分12分）已知13)(23+-+=x x ax x f 在R 上是减函数，求a 的取值范围. 20．（本小题满分12分）从10位同学（其中6女，4男）中随机选出3位参加测验.每位女同学能通过测验的概率均为54，每位男同学能通过测验的概率均为53.试求： （I ）选出的3位同学中，至少有一位男同学的概率；（II ）10位同学中的女同学甲和男同学乙同时被选中且通过测验的概率. 21．（本小题满分12分）如图，已知四棱锥 P —ABCD ，PB ⊥AD ，侧面PAD 为边长等于2的正三角形，底面ABCD 为菱形，侧面PAD 与底面ABCD 所成的二面角为120°.（I ）求点P 到平面ABCD 的距离；（II ）求面APB 与面CPB 所成二面角的大小.22．（本小题满分14分）设双曲线C ：1:)0(1222=+>=-y x l a y ax 与直线相交于两个不同的点A 、B.（I ）求双曲线C 的离心率e 的取值范围： （II ）设直线l 与y 轴的交点为P ，且.125=求a 的值.2004年高考试题全国卷1文科数学（必修+选修I ）(河南、河北、山东、山西)参考答案一、选择题DBCBABCCBACB二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上. 13．{x |x ≥0} 14．3·2n －3 15．422=+y x 16．①②④三、解答题17．本小题主要考查等差数列的通项公式、求和公式，考查运算能力.满分12分.解：（Ⅰ）由,50,30,)1(20101==-+=a a d n a a n 得方程组 ⎩⎨⎧=+=+.5019,30911d a d a ……4分 解得.2,121==d a 所以 .102+=n a n ……7分（Ⅱ）由242,2)1(1=-+=n n S d n n na S 得方程 .24222)1(12=⨯-+n n n ……10分 解得).(2211舍去或-==n n ………12分18．本小题主要考查三角函数基本公式和简单的变形，以及三角函数的有关性质.满分12分.解：xx xx x x x f cos sin 22cos sin )cos (sin )(22222--+=.212sin 41)cos sin 1(21)cos sin 1(2cos sin 122+=+=--=x x x x x x x所以函数)(x f 的最小正周期是π，最大值是,43最小值是.41…………12分 19．本小题主要考查导数的概念和计算，应用导数研究函数单调性的基本方法，考查综合运用数学知识解决问题的能力.满分12分.解：函数f (x )的导数：.163)(2-+='x ax x f ………………3分 （Ⅰ）当0)(<'x f （R x ∈）时，)(x f 是减函数.)(01632R x x ax ∈<-+ .3012360-<⇔<+=∆<⇔a a a 且所以，当))((,0)(,3R x x f x f a ∈<'-<知由时是减函数；………………9分………………6分（II ）当3-=a 时，133)(23+-+-=x x x x f =,98)31(33+--x 由函数3x y =在R 上的单调性，可知 当3-=a 时，R x x f ∈)((）是减函数；（Ⅲ）当3->a 时，在R 上存在一个区间，其上有,0)(>'x f所以，当3->a 时，函数))((R x x f ∈不是减函数. 综上，所求a 的取值范围是（].3,-∞-………………12分20．本小题主要考查组合，概率等基本概念，独立事件和互斥事件的概率以及运用概率知识 解决实际问题的能力，满分12分. 解：（Ⅰ）随机选出的3位同学中，至少有一位男同学的概率为1－6531036=C C ；………………6分（Ⅱ）甲、乙被选中且能通过测验的概率为.1254535431018=⨯⨯C C ；………………12分21．本小题主要考查棱锥，二面角和线面关系等基本知识，同时考查空间想象能力和推理、运算能力.满分12分. （I ）解：如图，作PO ⊥平面ABCD ，垂足为点O.连结OB 、OA 、OD 、OB 与AD 交于点E ，连结PE. ∵AD ⊥PB ，∴AD ⊥OB ，∵PA=PD ，∴OA=OD ，于是OB 平分AD ，点E 为AD 的中点，所以PE ⊥AD. 由此知∠PEB 为面PAD 与面ABCD所成二面角的平面角，………………4分 ∴∠PEB=120°，∠PEO=60°由已知可求得PE=3∴PO=PE ·sin60°=23233=⨯， 即点P 到平面ABCD 的距离为23.………………6分 （II ）解法一：如图建立直角坐标系，其中O 为坐标原点，x 轴平行于DA.)43,433,0(),0,233,0(),23,0,0(的坐标为中点G PB B P .连结AG.又知).0,233,2(),0,23,1(-C A 由此得到：,0).0,0,2(),23,233,0(),43,43,1(=⋅=⋅-=-=--=GA 于是有所以θ,.⊥⋅⊥等于所求二面角的平面角，…………10分 于是,772cos -==θ 所以所求二面角的大小为772arccos-π.…………12分 解法二：如图，取PB 的中点G ，PC 的中点F ，连结EG 、AG 、GF ，则AG ⊥PB ，FG//BC ，FG=21BC. ∵AD ⊥PB ，∴BC ⊥PB ，FG ⊥PB ，∴∠AGF 是所求二面角的平面角.……9分 ∵AD ⊥面POB ，∴AD ⊥EG.又∵PE=BE ，∴EG ⊥PB ，且∠PEG=60°. 在Rt △PEG 中，EG=PE ·cos60°=23. 在Rt △PEG 中，EG=21AD=1. 于是tan ∠GAE=AE EG=23， 又∠AGF=π－∠GAE. 所以所求二面角的大小为π－arctan23.…………12分 22．（本小题主要考查直线和双曲线的概念和性质，平面向量的运算等解析几何的基本思想和综合解题能力.满分14分. 解：（I ）由C 与t 相交于两个不同的点，故知方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=-.1,1222y x y ax 有两个不同的实数解.消去y 并整理得 （1－a 2）x 2+2a 2x －2a 2=0. ① ……2分.120.0)1(84.012242≠<<⎪⎩⎪⎨⎧>-+≠-a a a a a a 且解得所以双曲线的离心率分的取值范围为即离心率且且6).,2()2,26(226,120.11122+∞≠>∴≠<<+=+=e e e a a a a a e（II ）设)1,0(),,(),,(12211P y x B y x A.125).1,(125)1,(,125212211x x y x y x =-=-∴=由此得 ……8分 由于x 1，x 2都是方程①的根，且1－a 2≠0，分所以由得消去所以14.1317,06028912,,.12125,1212172222222222 =>=----=--=a a a a x a a x a a x。

2004年高考试题全国卷Ⅱ理科数学（必修＋选修Ⅱ）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． （1）已知集合M ＝{x |x 2＜4}，N ＝{x |x 2－2x －3＜0}，则集合M ∩N ＝（A ）{x |x ＜－2} （B ）{x |x ＞3} （C ）{x |－1＜x ＜2} （D ）{x |2＜x ＜3}（2）542lim 221-+-+→x x x x n ＝（A ）21 （B ）1 （C ）52 （D ）41 （3）设复数ω＝－21＋23i ，则1＋ω＝（A ）–ω （B ）ω2 （C ）ω1-（D ）21ω（4）已知圆C 与圆(x －1)2＋y 2＝1关于直线y ＝－x 对称，则圆C 的方程为（A ）(x ＋1)2＋y 2＝1 （B ）x 2＋y 2＝1 （C ）x 2＋(y ＋1)2＝1 （D ）x 2＋(y －1)2＝1 （5）已知函数y ＝tan(2x ＋φ)的图象过点(12π,0)，则φ可以是 （A ）－6π （B ）6π （C ）－12π （D ）12π（6）函数y ＝－e x 的图象（A ）与y ＝e x 的图象关于y 轴对称 （B ）与y ＝e x 的图象关于坐标原点对称（C ）与y ＝e －x 的图象关于y 轴对称 （D ）与y ＝e －x 的图象关于坐标原点对称 （7）已知球O 的半径为1，A 、B 、C 三点都在球面上，且每两点间的球面距离为2π，则球心O 到平面ABC 的距离为 （A ）31 （B ）33 （C ）32 （D ）36（8）在坐标平面内，与点A (1，2)距离为1，且与点B (3，1)距离为2的直线共有（A ）1条 （B ）2条 （C ）3条 （D ）4条 （9）已知平面上直线l 的方向向量)53,54(-=e，点O (0,0)和A (1,-2)在l 上的射影分别是O 1和A 1，则11A O ＝λe ，其中λ＝ （A ）511 （B ）－511 （C ）2 （D ）－2 （10）函数y ＝x cos x －sin x 在下面哪个区间内是增函数（A ）(2π，23π) （B ）(π，2π) （C ）(23π，25π) （D ）(2π，3π)（11）函数y ＝sin 4x ＋cos 2x 的最小正周期为（A ）4π （B ）2π（C ）π （D ）2π （12）在由数字1，2，3，4，5组成的所有没有重复数字的5位数中，大于23145且小于43521的数共有（A ）56个 （B ）57个 （C ）58个 （D ）60个二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．（13）从装有3个红球，2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有ξ个红球，则随机变量ξ的概率分布为ξ0 1 2 P（14）设x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥≥，y x y ，x ，x 120则z ＝3x ＋2y 的最大值是 ．（15）设中心在原点的椭圆与双曲线2x 2－2y 2＝1有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该椭圆的方程是 ．（16）下面是关于四棱柱的四个命题：①若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；②若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；③若四个侧面两两全等，则该四棱柱为直四棱柱；④若四棱柱的四条对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱，其中，真命题的编号是 (写出所有真命题的编号)． 三、解答题：本大题共6个小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （17） (本小题满分12分)已知锐角三角形ABC 中，sin(A ＋B )＝53，sin(A －B )＝51． (Ⅰ)求证：tan A ＝2tan B ；(Ⅱ)设AB ＝3，求AB 边上的高． （18）(本小题满分12分)已知8个球队中有3个弱队，以抽签方式将这8个球队分为A 、B 两组，每组4个．求 (Ⅰ)A 、B 两组中有一组恰有两个弱队的概率； (Ⅱ)A 组中至少有两个弱队的概率． （19）(本小题满分12分)数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝nn 2+S n （n ＝1，2，3，…）．证明： (Ⅰ)数列{nS n}是等比数列； (Ⅱ)S n ＋1＝4a n ．（20）(本小题满分12分) ．如图，直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90o ，AC ＝1，CB ＝2，侧棱AA 1＝1，侧面AA 1B 1B 的两条对角线交点为D ，B 1C 1的中点为M ． (Ⅰ)求证：CD ⊥平面BDM ；(Ⅱ)求面B 1BD 与面CBD 所成二面角的大小．（21）(本小题满分12分) 给定抛物线C ：y 2＝4x ，F 是C 的焦点，过点F 的直线l 与C 相交于A 、B 两点．(Ⅰ)设l 的斜率为1，求与夹角的大小；(Ⅱ)设＝AF λ，若λ∈[4，9]，求l 在y 轴上截距的变化范围． (22)(本小题满分14分)已知函数f (x )＝ln(1＋x )－x ，g (x )＝x ln x ．(1)求函数f (x )的最大值；(2)设0＜a ＜b ，证明：0＜g (a )＋g (b )－2g (2ba +)＜(b －a )ln2．2004年高考试题全国卷2 理科数学（必修＋选修Ⅱ）答案：一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．（1）C （2）A （3）C （4）C （5）A （6）D （7）B （8）B （9）D （10）B （11）B （12）C 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分． （13）0.1，0.6，0.3 （14）5 （15）21x 2＋y 2＝1 （16）②④ 17．(I)证明：∵sin(A+B)=53,sin(A-B)=51∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+51sin cos cos sin 53sin cos cos sin B A B A B A B A ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⇒51sin cos 52cos sin B A B A ⇒2tan tan =B A ，∴B A tan 2tan =. (II)解：∵2π<A+B<π, 53)sin(=+B A , ∴54)cos(-=+B A , 43)tan(-=+B A即43tan tan 1tan tan -=-+B A B A ,将B A tan 2tan =代入上式并整理得01tan 4tan 22=--B B 解得262tan ±=B ,因为B 为锐角，所以262tan +=B ,∴B A tan 2tan = 设AB 上的高为CD ，则AB=AD+DB=623tan tan +=+CDB CD A CD ，由AB=3得CD=2+6 故AB 边上的高为2+618．(I) 解：有一组恰有两支弱队的概率72482523=C C C (II)解：A 组中至少有两支弱队的概率21481533482523=+C C C C C C 19．（I ）证： 由a 1=1,a n+1=nn 2+S n (n=1,2,3，…)， 知a 2=112+S 1=3a 1,224212==a S , 111=S ,∴21212=S S又a n+1=S n+1-S n (n=1,2,3，…),则S n+1-S n =nn 2+S n (n=1,2,3，…)，∴nS n+1=2(n+1)S n , 211=++nS n S n n (n=1,2,3，…).故数列{nSn }是首项为1，公比为2的等比数列 （II ）解：由（I ）知，)2(14111≥-∙=+-+n n Sn S n n ，于是S n+1=4(n+1)·11--n S n =4a n (n 2≥)又a 2=3S 1=3,则S 2=a 1+a 2=4=4a 1,因此对于任意正整数n ≥1都有S n+1=4a n .20．解法一：(I)如图，连结CA 1、AC 1、CM ，则CA 1=2， ∵CB=CA 1=2，∴△CBA 1为等腰三角形， 又知D 为其底边A 1B 的中点，∴CD ⊥A 1B ，BA'C'∵A 1C 1=1，C 1B 1=2，∴A 1B 1=3， 又BB 1=1，∴A 1B=2，∵△A 1CB 为直角三角形，D 为A 1B 的中点，CD=21A 1B=1，CD=CC 1又DM=21AC 1=22，DM=C 1M ，∴△CDN ≌△CC 1M ，∠CDM=∠CC 1M=90°,即CD ⊥DM ， 因为A 1B 、DM 为平面BDM 内两条相交直线，所以CD ⊥平面BDM(II)设F 、G 分别为BC 、BD 的中点，连结B 1G 、FG 、B 1F ， 则FG ∥CD ，FG=21CD ∴FG=21，FG ⊥BD.由侧面矩形BB 1A 1A 的对角线的交点为D,知BD=B 1D=21A 1B=1， 所以△BB 1D 是边长为1的正三角形，于是B 1G ⊥BD ，B 1G=23， ∴∠B 1GF 是所求二面角的平面角又B 1F 2=B 1B 2+BF 2=1+(22)2=23.∴cos ∠B 1GF=2123223)21()23(222121221=∙∙-+=∙-+FGG B F B FG G B 即所求二面角的大小为π解法二：如图以C 为原点建立坐标系(I):B(2,0,0),B 1(2,1,0),A 1(0,1,1),D(22,21,21), M(22,1,0),=CD (22,21,21),=B A 1(2,-1,-1), =DM (0,21,-21),,0,01=∙=∙DM CD B A CD∴CD ⊥A 1B,CD ⊥DM.因为A 1B 、DM 为平面BDM 内两条相交直线， 所以CD ⊥平面BDM(II):设BD 中点为G ，连结B 1G ，则G ),41,41,423(=(-22,21,21)，=G B 1),41,43,42(--∴01=∙G B BD ，∴BD ⊥B 1G ，又CD ⊥BD ，∴与G B 1的夹角θ等于所求二面角的平面角，cos .3311-==θ 所以所求二面角的大小为π21．解：（I ）C 的焦点为F(1,0)，直线l 的斜率为1，所以l 的方程为y=x-1. 将y=x-1代入方程y 2=4x ，并整理得x 2-6x+1=0.设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)，则有x 1+x 2=6,x 1x 2=1，OB OA ∙=(x 1,y 1)·(x 2,y 2)=x 1x 2+y 1y 2=2x 1x 2-(x 1+x 2)+1=-3. 41]16)(4[||||21212122222121=+++=+∙+=∙x x x x x x y x y x OB OAcos<OB OA ,.41413-= 所以OA 与OB 夹角的大小为π-arccos41413. 解：(II)由题设知AF FB λ=得：(x 2-1,y 2)=λ(1-x 1,-y 1)，即⎩⎨⎧-=-=-)2()1()1(11212 y y x x λλ由 (2)得y 22=λ2y 12, ∵y 12=4x 1,y 22=4x 2,∴x 2=λ2x 1(3) 联立(1)(3)解得x 2=λ.依题意有λ>0. ∴B(λ,2λ)或B(λ,-2λ)，又F(1,0),得直线l 的方程为(λ-1)y=2λ(x-1)或(λ-1)y=-2λ(x-1)当λ∈[4,9]时，l 在y 轴上的截距为12-λλ或由12-λλ=1212-++λλ，可知12-λλ在[4，9]上是递减的， ∴≤4312-λλ34≤，-≤34-12-λλ4≤直线l 在y 轴上截距的变化范围是]34,43[]43,34[ --22．(I)解：函数f(x)的定义域是(-1,∞),'f (x)=111-+x.令'f (x)=0，解得x=0，当-1<x<0时, 'f (x)>0,当x>0时,'f (x)<0，又f(0)=0，故当且仅当x=0时，f(x)取得最大值，最大值是0(II)证法一：g(a)+g(b)-2g(2b a +)=alna+blnb-(a+b)ln 2b a +=a ba bb b a a +++2ln 2ln . 由(I)的结论知ln(1+x)-x<0(x>-1,且x ≠0)，由题设0<a<b,得021,02<-<->-bba a ab ,因此a a b a a b b a a 2)21l n (2ln-->-+-=+,bba b b a b a b 2)21ln(2ln -->-+-=+. 所以a b a b b b a a +++2ln 2ln >-022=---ba ab .又,22b b a b a a +<+ a b a b b b a a +++2ln 2ln <a .2ln )(2ln )(2ln 2ln a b ba b a b b a b b b b a -<+-=+++ 综上0<g(a)+g(b)-2g(2ba +)<(b-a)ln2.(II)证法二：g(x)=xlnx,1ln )('+=x x g ,设F(x)= g(a)+g(x)-2g(2xa +),则.2ln ln )]'2([2)(')('xa x x a g x g x F +==+-=当0<x<a 时,0)('<x F 因此F(x)在(0,a)内为减函数当x>a 时,0)('>x F 因此F(x)在(a,+∞)上为增函数从而，当x=a 时，F(x)有极小值F(a)因为F(a)=0,b>a,所以F(b)>0,即0<g(a)+g(b)-2g(2ba +).设G(x)=F(x)-(x-a)ln2,则).ln(ln 2ln 2ln ln )('x a x xa x x G +-=-+-=当x>0时,0)('<x G ,因此G(x)在(0,+∞)上为减函数，因为G(a)=0,b>a,所以G(b)<0.即g(a)+g(b)-2g(2ba +)<(b-a)ln2.。

两个平行截面将长方体分成三部分，其体积分别记为111D FD AEA V V -=，11112D FCF A EBE V V -=，C F C B E B V V 11113-=。

若1:4:1::321=V V V ，则截面11EFD A 的面积为A. 104B. 38C. 134D. 164． 5． ①m α⎬⊂⎭ ② //m β⎬⎭③ ,m m n n αβ⊂⎫⇒⎬⊂⎭异面 ④ //m m αββα⊥⎫⇒⊥⎬⎭其中假命题有：（ ） A ．0个 B ．1个C ．2个D ．3个6．（2004年重庆高考·理工第8题）设P 是60的二面角l αβ--内一点，,PA PB αβ⊥⊥平面平面,A,B 为垂足，4,2,PA PB ==则AB 的长为（ ）A ．B ．C ．D ． 7．（2004年重庆高考·文史第12题）如图，棱长为5的正方体无论从哪一个面看，都有两个直通的边长为1的正方形孔，则这个有孔正方体的表面积（含孔内各面）是 （ ） A ．258B ．234C ．222D ．2108．（2004年重庆高考·理工第12题）若三棱锥A-BCD 的侧面ABC 内一动点P 到底面BCD 的距离与到棱AB 的距离相等，则动点P 的轨迹与△ABC 组成图形可能是（ ）（C ） （D ）9．（2004年重庆高考·文史第16题）毛泽东在《送瘟神》中写到：“坐地日行八万里”。

又知地球的体积大约是火星的8倍，则火星的大圆周长约为______________万里. 10．（2004年湖南高考·理工第4题，文史第5题）把正方形ABCD 沿对角线AC 折起，当A 、B C 、D 四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD 与平面ABC 所成的角的大小为 （ ） A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°11．（2004年湖南高考·理工第10题，文史第10题）从正方体的八个顶点中任取三个点为顶点作三角形，其中直角三角形的个数为（ ） A ．56B ．52C ．48D ．4012. （2004年天津高考理工第19题，本小题满分12分）如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F。

2004年全国高考数学试题汇编——三角、向量(一)1[2004年全国高考(山东山西河南河北江西安徽卷)理科数学第3题，文科数学第3题]．已知a 、b 均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a +3b |= （ ）A ．7B ．10C ．13D ．42[2004年全国高考(四川云南吉林黑龙江)文科数学第9题]．已知向量a 、b 满足：|a |=1，|b |=2，|a －b |=2，则|a +b |= （ ）A ．1B ．2C ．5D ．63[2004年全国高考(甘肃贵州青海宁夏新疆)理科数学第14题，文科数学第15题]．向量a 、b 满足（a －b ）·（2a+b ）=－4，且|a |=2，|b |=4，则a 与b 夹角的余弦值等于 .▲4[2004年全国高考(四川云南吉林黑龙江)理科数学第9题]．已知平面上直线l 的方向向量e =),53,54(-点O （0，0）和A （1，－2）在l 上的射影分别是O ′和A ′，则λ='A O e ，其中λ= （ ）A ．511 B ．511-C ．2D ．－25[2004年全国高考(四川云南吉林黑龙江)理科数学第5题，文科数学第5题]．已知函数)2tan(ϕ+=x y 的图象过点)0,12(π，则ϕ可以是（ ）A ．6π-B ．6πC ．12π-D ．12π 6（2004年北京高考数学·文史类第9题）．函数f x x x ()sin cos =的最小正周期是_________ . 7（2004年北京高考数学·理工第9题）．函数f x x x x ()cos sin cos =-223的最小正周期是___________ 8[2004年全国高考(陕西广西海南西藏内蒙古)理科数学第2题，文科数学第2题]．函数2sin x y =的最小正周期是（ ）A ．2πB ．πC ．π2D ．π49[2004年全国高考(甘肃贵州青海宁夏新疆)文科数学第14题]．已知函数)0(sin 21>+=A Ax y π的最小正周期为3π，则A= .10[2004年全国高考(四川云南吉林黑龙江)理科数学第11题，文科数学第11题]．函数x x y 24cos sin +=的最小正周期为 （ ）A ．4π B ．2π C ．πD ．2π11[2004年全国高考(甘肃贵州青海宁夏新疆)文科数学第10题]．函数))(6cos()3sin(2R x x x y ∈+--=ππ的最小值等于（ ）A ．－3B ．－2C ．－1D ．－512[2004年全国高考(甘肃贵州青海宁夏新疆)理科数学第15题]．函数)(2cos 21cos )(R x x x x f ∈-=的最大值等于 . 13 [2004年全国高考(陕西广西海南西藏内蒙古)文科数学第15题] ．函数)(cos 21sin R x x x y ∈-=的最大值为 . 14[2004年全国高考(陕西广西海南西藏内蒙古)理科数学第14题]．函数x x y cos 3sin +=在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上的最小值为 .15[2004年全国高考(山东山西河南河北江西安徽卷)文科数学第6题]．设)2,0(πα∈若,53sin =α则)4cos(2πα+= （ ）A ．57B ．51C ．27D ．416[2004年全国高考(山东山西河南河北江西安徽卷)理科数学第9题]．为了得到函数)62sin(π-=x y 的图象，可以将函数x y 2cos =的图象（ ）A ．向右平移6π个单位长度 B ．向右平移3π个单位长度C ．向左平移6π个单位长度D ．向左平移3π个单位长度17[2004年全国高考(陕西广西海南西藏内蒙古)理科数学第10题，文科数学第11题]．在△ABC 中，AB=3，BC=13，AC=4，则边AC 上的高为（ ）A ．223 B ．233 C ．23 D ．3318[2004年全国高考(甘肃贵州青海宁夏新疆)理科数学第11题，文科数学第12题]．△ABC 中，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边.如果a 、b 、c 成等差数列，∠B=30°，△ABC 的面积为23，那么b = （ ）A ．231+ B ．31+C ．232+ D ．32+▲19[2004年全国高考(四川云南吉林黑龙江)理科数学第10题]．函数x x x y sin cos -=在下面哪个区间内是增函数（ ）A ．)23,2(ππ B ．)2,(ππ C ．)25,23(ππ D ．)3,2(ππ20[2004年全国高考(山东山西河南河北江西安徽卷)理科数学第17题，文科数学第18题，本小题满分12分]．求函数xxx x x x f 2sin 2cos sin cos sin )(2244-++=的最小正周期、最大值和最小值.21[2004年全国高考(四川云南吉林黑龙江)理科数学第17题，文科数学第18题，本小题满分12分]．已知锐角三角形ABC 中，.51)sin(,53)sin(=-=+B A B A （Ⅰ）求证：B A tan 2tan =；（Ⅱ）设AB=3，求AB 边上的高.22．[2004年全国高考(陕西广西海南西藏内蒙古)理科数学第17题，文科数学第18题，本小题满分12分]已知α为锐角，且21tan =α，求ααααα2cos 2sin sin cos 2sin -的值. 23．[2004年全国高考(甘肃贵州青海宁夏新疆)理科数学第17题，文科数学第17题，本小题满分12分]已知α为第二象限角，且 sin α=,415求12cos 2sin )4sin(+++ααπα的值. 24（2004年北京高考数学·理工第15题，文史第15题）．在∆ABC 中，sincos A A +=22，AC =2，AB =3，求tan A 的值和∆ABC 的面积. 参考答案1．C 2．D 3．21-4．D 5．A 6．π 7．π 8．C 9．2310．B 11．C 12． 43 13．2514．1 15．B 16．B 17．B 18．B 19．.B20[2004年全国高考(山东山西河南河北江西安徽卷)理科数学第17题，文科数学第18题]．本小题主要考查三角函数基本公式和简单的变形，以及三角函娄的有关性质.满分12分.解：xx xx x x x f cos sin 22cos sin )cos (sin )(22222--+=212sin 41)cos sin 1(21)cos sin 1(2cos sin 122+=+=--=x x x x x x x所以函数f (x )的最小正周期是π，最大值是43，最小值是41.21[2004年全国高考(四川云南吉林黑龙江)理科数学第17题，文科数学第18题]．本小题主要考查三角函数概念，两角和、差的三角函数值以及应用、分析和计算能力， 满分12分.（Ⅰ）证明：,51)sin(,53)sin(=-=+B A B A .2tan tan 51sin cos ,52cos sin .51sin cos cos sin ,53sin cos cos sin =⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+∴B A B A B A B A B A B A B A 所以.tan 2tan B A =（Ⅱ）解：ππ<+<B A 2，,43)tan(,53)sin(-=+∴=+B A B A 即43tan tan 1tan tan -=-+B A B A ，将B A tan 2tan =代入上式并整理得 .01tan 4tan 22=--B B 解得262tan ±=B ，舍去负值得262tan +=B ， .62tan 2tan +==∴B A 设AB 边上的高为CD.则AB=AD+DB=.623tan tan +=+CDB CD A CD 由AB=3，得CD=2+6. 所以AB 边上的高等于2+6.22．[2004年全国高考(陕西广西海南西藏内蒙古)理科数学第17题，文科数学第18题]本小题主要考查同角三角函数的基本关系式、二倍角公式等基础知识以及三角恒等变形的能力.满分12分. 解：原式,2cos cos sin 22cos sin ααααα=因为 ,02cos ,0sin ,21tan ≠=≠=ααα时所以 αc o s 21=原式. 因为α为锐角，由,52cos 21tan ==αα得所以 原式.45=23．[2004年全国高考(甘肃贵州青海宁夏新疆)理科数学第17题，文科数学第17题]本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，二倍角公式以及三角函数式的恒等变形等 基础知识和基本技能.满分12分.解：αααααααπα2cos 2cos sin 2)cos (sin 2212cos 2sin )4sin(++=+++.)cos (sin cos 4)cos (sin 2ααααα++=当α为第二象限角，且415sin =α时 41c o s ,0c o s s i n-=≠+ααα， 所以12cos 2sin )4sin(+++ααπα=.2cos 42-=α24（2004年北京高考数学·理工第15题，文史第15题）本小题主要考查三角恒等变形、三角形面积公式等基本知识，考查运算能力。

04高考三角一）选择题1. （2004.江苏）函数y=2cos 2x+1(x ∈R )的最小正周期为 ( )(A)2π(B)π (C)π2 (D)π42．(2004.全国理)为了得到函数)62sin(π-=x y 的图象，可以将函数x y 2cos =的图象 （ ）A ．向右平移6π个单位长度 B ．向右平移3π个单位长度C ．向左平移6π个单位长度D ．向左平移3π个单位长度3、（2004.上海理）三角方程2sin(2π-x)=1的解集为 ( ) (A){x│x=2k π+3π,k∈Z}. (B) {x│x=2k π+35π,k∈Z}.(C) {x│x=2k π±3π,k∈Z}. (D) {x│x=k π+(-1)K,k∈Z}.4．（2004.湖北理）设)(t f y =是某港口水的深度y （米）关于时间t （时）的函数，其中240≤≤t .下表是能近似表示表中数据间对应关系的函数是 （ ） A ．]24,0[,6sin 312∈+=t t y πB ．]24,0[),6sin(312∈++=t t y ππC ．]24,0[,12sin312∈+=t t y πD ．]24,0[),212sin(312t t y ππ++=5．（2004. 福建理）tan15°+cot15°的值是 （ ）A ．2B ．2+3C ．4D ．334 6．（2004. 重庆理）sin163sin 223sin 253sin313+=（ ）A ．12-B ．12C ．2-D ．27．（2004. 辽宁卷）若θθθ则角且,02sin ,0cos <>的终边所在象限是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限8．（2004. 辽宁卷）已知函数1)2sin()(--=ππx x f ，则下列命题正确的是( )A ．)(x f 是周期为1的奇函数B ．)(x f 是周期为2的偶函数C ．)(x f 是周期为1的非奇非偶函数D ．)(x f 是周期为2的非奇非偶函数9．（2004. 辽宁卷）若函数)sin()(ϕω+=x x f 的图象（部分）如图所示，则ϕω和的取值是（ ）A ．3,1πϕω== B ．3,1πϕω-==C ．6,21πϕω==D ．6,21πϕω-==10、（2004. 人教版理科）函数2sinxy =的最小正周期是（ ） A 、2πB 、 πC 、π2D 、π4 11、（2004. 人教版理科）在△ABC 中，AB=3，BC=13，AC=4，则边AC 上的高为（ ）A 、223B 、233 C 、23 D 、3312、(2004. 四川理）已知函数y=tan(2x+φ)的图象过点(0,12π)，则φ的值可以是( )A -6π B 6π C 12π- D 12π13、(2004. 四川理）函数y=xcosx-sinx 在下面哪个区间内是增函数（ ） A (23,2ππ) B (π,2π) C (25,23ππ) D (2π,3π)14、(2004. 四川理）函数y=sin 4x+cos 2x 的最小正周期为（ ） A 4π B 2π C π D 2π15. (2004. 天津卷)函数],0[)(26sin(2ππ∈-=x x y )为增函数的区间是( )(A)]3,0[π(B)]127,`12[ππ (C)]65,3[ππ (D)],65[ππ`16．（04.上海）下列函数中，周期为1的奇函数是 （ ） （A ）x y π2sin 21-= （B ）)32(sin ππ+=x y （C ）x tgy 2π= （D ）x x y ππcos sin =二）填空题17．（04. 上海春季高考）在ABC ∆中，c b a 、、分别是A ∠、B ∠、C ∠所对的边。

2004年普通高等学校夏季招生考试数学(理工农医类)全国卷Ⅱ(新课程)一、选择题 ( 本大题共 12 题, 共计 60 分)1、(5分)（1－i）2·i等于……………………………………………………………………………（）A.2－2iB.2+2iC.－2D.22、(5分)已知函数f（x）=lg，若f（a）=b，则f（－a）等于…………………………………（）A.bB.－bC.D.－3、(5分)已知a、b均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a+3b|等于…………………………（）A.B.C.D. 44、(5分)函数y=+1（x≥1）的反函数是………………………………………………………（）A.y=x2－2x+2（x＜1）B.y=x2－2x+2（x≥1）C.y=x2－2x（x＜1）D.y=x2－2x（x≥1）5、(5分)（2x3－）7的展开式中常数项是………………………………………………………（）A.14B.－14C.42D.－426、(5分)设A、B、I均为非空集合，且满足A B I，则下列各式中错误的是…………………（）A.（I A）∪B=IB.（I A）∪（I B）=IC.A∩（I B）=D.（I A）∩（I B）=I B7、(5分)椭圆+y2=1的两个焦点为F1、F2，过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则||等于…………………………………………………………………………………（）A.B.C.D.48、(5分)设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是………………………………………………………………………………（）A.［－，］B.［－2，2］C.［－1，1］D.［－4，4］9、(5分)为了得到函数y=sin（2x－）的图象，可以将函数y=cos2x的图象…………………（）A.向右平移个单位长度B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度D.向左平移个单位长度10、(5分)已知正四面体ABCD的表面积为S，其四个面的中心分别为E、F、G、H.设四面体EFGH的表面积为T，则等于………………………………………………………………………（）A.B.C.D.11、(5分)从数字1，2，3，4，5中，随机抽取3个数字（允许重复）组成一个三位数，其各位数字之和等于9的概率为……………………………………………………………………………（）A.B.C.D.12、(5分)已知a2+b2=1,b2+c2=2,c2+a2=2，则ab+bc+ca的最小值为…………………………………（）A.－B.－C.－－D.+二、填空题 ( 本大题共 4 题, 共计 16 分)1、(4分)13.不等式|x+2|≥|x|的解集是 .2、(4分)14.由动点P向圆x2+y2=1引两条切线PA、PB，切点分别为A、B，∠APB=60°，则动点P的轨迹方程为 .3、(4分)15.已知数列{a n}满足a1=1,a n=a1+2a2+3a3+…+（n－1）a n－1（n≥2），则{a n}的通项a n=4、(4分)16.已知a、b为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a、b在α上的射影有可能是①两条平行直线②两条互相垂直的直线③同一条直线④一条直线及其外一点在上面结论中，正确结论的编号是（写出所有正确结论的编号）.三、解答题 ( 本大题共 6 题, 共计 74 分)1、(12分)17.求函数f（x）=的最小正周期、最大值和最小值.2、(12分)18.一接待中心有A、B、C、D四部热线电话.已知某一时刻电话A、B占线的概率均为0.5，电话C、D占线的概率均为0.4，各部电话是否占线相互之间没有影响.假设该时刻有ξ部电话占线，试求随机变量ξ的概率分布和它的期望.3、(12分)19.已知a∈R，求函数f（x）=x2e ax的单调区间.4、(12分)20.如图，已知四棱锥P—ABCD，PB⊥AD，侧面PAD为边长等于2的正三角形，底面ABCD为菱形，侧面PAD 与底面ABCD所成的二面角为120°.（Ⅰ）求点P到平面ABCD的距离；（Ⅱ）求面APB与面CPB所成二面角的大小.5、(12分)21.设双曲线C:－y2=1（a＞0）与直线l:x+y=1相交于两个不同的点A、B.（Ⅰ）求双曲线C的离心率e的取值范围；（Ⅱ）设直线l与y轴的交点为P，且=，求a的值.6、(14分)22.已知数列{a n}中a1=1，且a2k=a2k－1+（－1）k,a2k+1=a2k+3k,其中k=1,2,3,….（Ⅰ）求a3,a5;（Ⅱ）求{a n}的通项公式.。

2004年高考试题全国卷Ⅱ理科数学（必修＋选修Ⅱ）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． （1）已知集合M ＝{x |x 2＜4}，N ＝{x |x 2－2x －3＜0}，则集合M ∩N ＝（A ）{x |x ＜－2} （B ）{x |x ＞3} （C ）{x |－1＜x ＜2} （D ）{x |2＜x ＜3}（2）542lim 221-+-+→x x x x n ＝（A ）21 （B ）1 （C ）52 （D ）41 （3）设复数ω＝－21＋23i ，则1＋ω＝（A ）–ω （B ）ω2 （C ）ω1-（D ）21ω （4）已知圆C 与圆(x －1)2＋y 2＝1关于直线y ＝－x 对称，则圆C 的方程为（A ）(x ＋1)2＋y 2＝1 （B ）x 2＋y 2＝1 （C ）x 2＋(y ＋1)2＝1 （D ）x 2＋(y －1)2＝1 （5）已知函数y ＝tan(2x ＋φ)的图象过点(12π,0)，则φ可以是 （A ）－6π （B ）6π （C ）－12π （D ）12π（6）函数y ＝－e x 的图象（A ）与y ＝e x 的图象关于y 轴对称 （B ）与y ＝e x 的图象关于坐标原点对称（C ）与y ＝e －x 的图象关于y 轴对称 （D ）与y ＝e －x 的图象关于坐标原点对称 （7）已知球O 的半径为1，A 、B 、C 三点都在球面上，且每两点间的球面距离为2π，则球心O 到平面ABC 的距离为 （A ）31 （B ）33 （C ）32 （D ）36 （8）在坐标平面内，与点A (1，2)距离为1，且与点B (3，1)距离为2的直线共有（A ）1条 （B ）2条 （C ）3条 （D ）4条 （9）已知平面上直线l 的方向向量)53,54(-=e，点O (0,0)和A (1,-2)在l 上的射影分别是O 1和A 1，则11A O ＝λe ，其中λ＝ （A ）511 （B ）－511 （C ）2 （D ）－2 （10）函数y ＝x cos x －sin x 在下面哪个区间内是增函数（A ）(2π，23π) （B ）(π，2π) （C ）(23π，25π) （D ）(2π，3π)（11）函数y ＝sin 4x ＋cos 2x 的最小正周期为（A ）4π （B ）2π（C ）π （D ）2π （12）在由数字1，2，3，4，5组成的所有没有重复数字的5位数中，大于23145且小于43521的数共有（A ）56个 （B ）57个 （C ）58个 （D ）60个二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．（13）从装有3个红球，2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有ξ个红球，则随机变量ξ的概率分布为ξ0 1 2 P（14）设x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥≥，y x y ，x ，x 120则z ＝3x ＋2y 的最大值是 ．（15）设中心在原点的椭圆与双曲线2x 2－2y 2＝1有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该椭圆的方程是 ．（16）下面是关于四棱柱的四个命题：①若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；②若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；③若四个侧面两两全等，则该四棱柱为直四棱柱；④若四棱柱的四条对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱，其中，真命题的编号是 (写出所有真命题的编号)． 三、解答题：本大题共6个小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （17） (本小题满分12分)已知锐角三角形ABC 中，sin(A ＋B )＝53，sin(A －B )＝51． (Ⅰ)求证：tan A ＝2tan B ；(Ⅱ)设AB ＝3，求AB 边上的高． （18）(本小题满分12分)已知8个球队中有3个弱队，以抽签方式将这8个球队分为A 、B 两组，每组4个．求 (Ⅰ)A 、B 两组中有一组恰有两个弱队的概率； (Ⅱ)A 组中至少有两个弱队的概率． （19）(本小题满分12分)数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝nn 2+S n （n ＝1，2，3，…）．证明： (Ⅰ)数列{nS n}是等比数列； (Ⅱ)S n ＋1＝4a n ．（20）(本小题满分12分) ．如图，直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90o ，AC ＝1，CB ＝2，侧棱AA 1＝1，侧面AA 1B 1B 的两条对角线交点为D ，B 1C 1的中点为M ． (Ⅰ)求证：CD ⊥平面BDM ；(Ⅱ)求面B 1BD 与面CBD 所成二面角的大小．（21）(本小题满分12分) 给定抛物线C ：y 2＝4x ，F 是C 的焦点，过点F 的直线l 与C 相交于A 、B 两点．(Ⅰ)设l 的斜率为1，求与夹角的大小；(Ⅱ)设＝AF λ，若λ∈[4，9]，求l 在y 轴上截距的变化范围． (22)(本小题满分14分)已知函数f (x )＝ln(1＋x )－x ，g (x )＝x ln x ．(1)求函数f (x )的最大值；(2)设0＜a ＜b ，证明：0＜g (a )＋g (b )－2g (2ba +)＜(b －a )ln2．2004年高考试题全国卷2 理科数学（必修＋选修Ⅱ）答案：一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．（1）C （2）A （3）C （4）C （5）A （6）D （7）B （8）B （9）D （10）B （11）B （12）C 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分． （13）0.1，0.6，0.3 （14）5 （15）21x 2＋y 2＝1 （16）②④ 17．(I)证明：∵sin(A+B)=53,sin(A-B)=51∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+51sin cos cos sin 53sin cos cos sin B A B A B A B A ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⇒51sin cos 52cos sin B A B A ⇒2tan tan =B A ，∴B A tan 2tan =. (II)解：∵2π<A+B<π, 53)sin(=+B A , ∴54)cos(-=+B A , 43)tan(-=+B A即43tan tan 1tan tan -=-+B A B A ,将B A tan 2tan =代入上式并整理得01tan 4tan 22=--B B 解得262tan ±=B ,因为B 为锐角，所以262tan +=B ,∴B A tan 2tan = =2+6设AB 上的高为CD ，则AB=AD+DB=623tan tan +=+CDB CD A CD ，由AB=3得CD=2+6 故AB 边上的高为2+618．(I) 解：有一组恰有两支弱队的概率762482523=C C C(II)解：A 组中至少有两支弱队的概率21481533482523=+C C C C C C 19．（I ）证： 由a 1=1,a n+1=nn 2+S n (n=1,2,3，…)， 知a 2=112+S 1=3a 1,224212==a S , 111=S ,∴21212=S S又a n+1=S n+1-S n (n=1,2,3，…),则S n+1-S n =nn 2+S n (n=1,2,3，…)，∴nS n+1=2(n+1)S n , 211=++nS n S n n (n=1,2,3，…).故数列{nSn }是首项为1，公比为2的等比数列 （II ）解：由（I ）知，)2(14111≥-∙=+-+n n Sn S n n ，于是S n+1=4(n+1)·11--n S n =4a n (n 2≥)又a 2=3S 1=3,则S 2=a 1+a 2=4=4a 1,因此对于任意正整数n ≥1都有S n+1=4a n .20．解法一：(I)如图，连结CA 1、AC 1、CM ，则CA 1=2， ∵CB=CA 1=2，∴△CBA 1为等腰三角形，BA'C'又知D 为其底边A 1B 的中点，∴CD ⊥A 1B ， ∵A 1C 1=1，C 1B 1=2，∴A 1B 1=3， 又BB 1=1，∴A 1B=2，∵△A 1CB 为直角三角形，D 为A 1B 的中点，CD=21A 1B=1，CD=CC 1 又DM=21AC 1=22，DM=C 1M ，∴△CDN ≌△CC 1M ，∠CDM=∠CC 1M=90°,即CD ⊥DM ， 因为A 1B 、DM 为平面BDM 内两条相交直线，所以CD ⊥平面BDM(II)设F 、G 分别为BC 、BD 的中点，连结B 1G 、FG 、B 1F ， 则FG ∥CD ，FG=21CD ∴FG=21，FG ⊥BD.由侧面矩形BB 1A 1A 的对角线的交点为D,知BD=B 1D=21A 1B=1，所以△BB 1D 是边长为1的正三角形，于是B 1G ⊥BD ，B 1G=23，∴∠B 1GF 是所求二面角的平面角 又B 1F 2=B 1B 2+BF 2=1+(22)2=23.∴cos ∠B 1GF=332123223)21()23(222121221-=∙∙-+=∙-+FGG B F B FG G B即所求二面角的大小为π-arccos33 解法二：如图以C 为原点建立坐标系 (I):B(2,0,0),B 1(2,1,0),A 1(0,1,1),D(22,21,21), M(22,1,0),=CD (22,21,21),=B A 1(2,-1,-1), =(0,21,-21),,0,01=∙=∙DM CD B A CD∴CD ⊥A 1B,CD ⊥DM.因为A 1B 、DM 为平面BDM 内两条相交直线， 所以CD ⊥平面BDM(II):设BD 中点为G ，连结B 1G ，则G ),41,41,423(=BD (-22,21,21)，=G B 1),41,43,42(--∴01=∙G B BD ，∴BD ⊥B 1G ，又CD ⊥BD ，∴CD 与G B 1的夹角θ等于所求二面角的平面角， cos .331-==θ 所以所求二面角的大小为π-arccos33 21．解：（I ）C 的焦点为F(1,0)，直线l 的斜率为1，所以l 的方程为y=x-1. 将y=x-1代入方程y 2=4x ，并整理得x 2-6x+1=0.设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)，则有x 1+x 2=6,x 1x 2=1，∙=(x 1,y 1)·(x 2,y 2)=x 1x 2+y 1y 2=2x 1x 2-(x 1+x 2)+1=-3.41]16)(4[||||21212122222121=+++=+∙+=∙x x x x x x y x y xcos<,.41413-= 所以OA 与OB 夹角的大小为π-arccos41413.解：(II)由题设知AF FB λ=得：(x 2-1,y 2)=λ(1-x 1,-y 1)，即⎩⎨⎧-=-=-)2()1()1(11212 y y x x λλ由 (2)得y 22=λ2y 12, ∵y 12=4x 1,y 22=4x 2,∴x 2=λ2x 1 (3)联立(1)(3)解得x 2=λ.依题意有λ>0. ∴B(λ,2λ)或B(λ,-2λ)，又F(1,0),得直线l 的方程为(λ-1)y=2λ(x-1)或(λ-1)y=-2λ(x-1) 当λ∈[4,9]时，l 在y 轴上的截距为12-λλ或-12-λλ由12-λλ=1212-++λλ，可知12-λλ在[4，9]上是递减的， ∴≤4312-λλ34≤，-≤34-12-λλ43-≤ 直线l 在y 轴上截距的变化范围是]34,43[]43,34[ --22．(I)解：函数f(x)的定义域是(-1,∞),'f (x)=111-+x.令'f (x)=0，解得x=0，当-1<x<0时, 'f (x)>0,当x>0时,'f (x)<0，又f(0)=0，故当且仅当x=0时，f(x)取得最大值，最大值是0(II)证法一：g(a)+g(b)-2g(2b a +)=alna+blnb-(a+b)ln 2b a +=a ba bb b a a +++2ln 2ln .由(I)的结论知ln(1+x)-x<0(x>-1,且x ≠0)，由题设0<a<b,得021,02<-<->-bba a ab ,因此a a b a a b b a a 2)21l n (2ln-->-+-=+,bba b b a b a b 2)21ln(2ln -->-+-=+. 所以a b a b b b a a +++2ln 2ln >-022=---ba ab . 又,22b b a b a a +<+ a b a b b b a a +++2ln 2ln <a .2ln )(2ln )(2ln 2ln a b ba ba b b a b b b b a -<+-=+++ 综上0<g(a)+g(b)-2g(2ba +)<(b-a)ln2.(II)证法二：g(x)=xlnx,1ln )('+=x x g ,设F(x)= g(a)+g(x)-2g(2xa +),则.2ln ln )]'2([2)(')('xa x x a g x g x F +==+-=当0<x<a 时,0)('<x F 因此F(x)在(0,a)内为减函数当x>a 时,0)('>x F 因此F(x)在(a,+∞)上为增函数从而，当x=a 时，F(x)有极小值F(a)因为F(a)=0,b>a,所以F(b)>0,即0<g(a)+g(b)-2g(2ba +).设G(x)=F(x)-(x-a)ln2,则).ln(ln 2ln 2ln ln )('x a x xa x x G +-=-+-=当x>0时,0)('<x G ,因此G(x)在(0,+∞)上为减函数，因为G(a)=0,b>a,所以G(b)<0.即g(a)+g(b)-2g(2ba +)<(b-a)ln2.。

2004--2010年高考题（三角函数全国卷）一、选择题1．（2010年全国卷Ⅰ文1）已知= 300cos ( )A ．23-； B ．21- ； C ．21 ； D ．232．（2010年全国卷Ⅱ文3）已知32sin =α，则=-)2cos(απ ( ) A ．35-； B ．91- ； C ．91 ； D ．353．（2010年全国卷Ⅰ理2）已知k =-)80cos( ，那么= 100tan ( )A ．k k 21- ；B ．k k 21-- ； C ．21k k - ； D ．21k k --4．（2010年全国卷Ⅱ理7） 为了得到函数)32sin(π-=x y 的图象，只需把函数)62sin(π+=x y 的图象( )A ．向左平移4π个单位长度 ； B ．向右平移4π个单位长度 ； C ．向左平移2π个单位长度； D ．向右平移2π个单位长度5．（2009年全国卷Ⅰ理8）如果函数)2cos(3ϕ+=x y 的图象关于点)0,34(π中心对称，那么||ϕ的最小值为（ ）A ．4π ； B ．6π ； C ．3π ； D ．2π 6．（2009年全国卷Ⅱ理3文4）已知ABC ∆中，512cot -=A ，则=A cos （ ）A ．1312 ；B ．135 ；C ．135- ；D ．1312-7．（2009年全国卷Ⅱ理8）若将函数)4tan(πω+=x y (0>ω)的图象向右平移6π个单位长度后，与函数)6tan(πω+=x y 的图象重合，则ω的最小值为( )A ．61 ；B ．41 ；C ．31 ；D ．218．（2009年全国卷Ⅰ文4）已知4tan =α，31cot =β，则=+)tan(βα( ) A ．117； B ．117- ； C ．137 ； D ．137-9．（2009年全国卷Ⅰ文10）如果函数)2cos(3ϕ+=x y 的图象关于点)0,34(π中心对称，那么||ϕ的最小值为（ ）A ．4π ； B ．6π ； C ．3π ； D ．2π11．（2009年全国卷Ⅱ文9）若将函数)4tan(πω+=x y (0>ω)的图象向右平移6π个单位长度后，与函数)6tan(πω+=x y 的图象重合，则ω的最小值为( )A ．61 ；B ．41 ；C ．31 ；D ．2112．（2008年全国卷Ⅰ文6）1)cos (sin 2--=x x y 是 ( )A ．最小正周期为π2的偶函数B ．最小正周期为π2的奇函数C ．最小正周期为π的偶函数D ．最小正周期为π的奇函数 13．（2008年全国卷Ⅰ文9）为了得到函数)3cos(π+=x y 的图象，只需将函数x y sin =的图像（ ）A ．向左平移6π个长度单位B ．向右平移6π个长度单位C ．向左平移65π个长度单位D ．向右平移65π个长度单位14．（2008年全国卷Ⅰ理8）为了得到函数)32cos(π+=x y 的图象，只需将函数x y 2sin =的图像（ ）A ．向左平移125π个长度单位B ．向右平移125π个长度单位C ．向左平移65π个长度单位D ．向右平移65π个长度单位15．（2008年全国卷Ⅱ文1）若0sin <α，且0tan >α，则α是（ ）A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角 16．（2008年全国卷Ⅱ理8） 若动直线a x =与函数x x f sin )(=和x x g cos )(=的图象分别交于M 、N 两点，则||MN 的最大值为（ ）A ． 1B ．2C ．3D ．2 17．（2008年全国卷Ⅱ文10）函数x x y cos sin -=的最大值为（ ） A ． 1 B ．2 C ．3 D ．218．（2008年全国卷Ⅱ文11）设AB C ∆是等腰三角形， 120=∠ABC ，则以A 、B 为焦点且过点C 的双曲线的离心率为，（ ） A ．221+ B ． 231+ C ． 21+ D ． 31+ 19．（2007年全国卷Ⅰ理1）α是第四象限角，125tan -=α，则αs i n 等于（ ） A ．51 ； B ． 51- ； C ． 135 ； D ． 135-20．（2007年全国卷Ⅰ文2）α是第四象限角，1312cos =α，则αsin 等于（ ）A ．135 ；B ． 135- ；C ． 125 ；D ． 125-21．（2007年全国卷Ⅰ文10）函数x y 2cos 2=的一个单调增区间是（ ）A ．)4,4(ππ-； B ． )2,0(π ； C ． )43,4(ππ ； D ． ),2(ππ22．（2007年全国卷Ⅰ理12）函数2cos 2cos )(22xx x f -=的一个单调增区间是( )A ．)32,3(ππ ；B ． )2,6(ππ ；C ． )3,0(π ； D ． )6,6(ππ-23．（2007年全国卷Ⅱ理1） 210sin 等于（ ）A ．23 ； B ． 23- ； C ． 21 ； D ． 21-24．（2007年全国卷Ⅱ文1） 330cos 等于（ ）A ．21 ； B ． 21- ； C ． 23 ； D ． 23-25．（2007年全国卷Ⅱ理2文3）函数|sin |x y =的一个单调增区间是（ ）A ．)4,4(ππ-； B ． )43,4(ππ ； C ． )23,(ππ ； D ． )2,23(ππ26．（2006年全国卷Ⅰ理5文6）函数)4tan()(π+=x x f 的单调增区间为（ ）A ．)2,2(ππππ+-k k ，Z k ∈ ； B ． ))1(,(ππ+k k ，Z k ∈ ；C ．)4,43(ππππ+-k k ，Z k ∈ ；D ． )43,4(ππππ+-k k ，Z k ∈27．（2006年全国卷Ⅰ理6文8）ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．若a 、b 、c 成等比数列，且a c 2=，则=B cos （ ）A ．41 ； B ． 43 ； C ． 42 ； D ． 32 28．（2006年全国卷Ⅱ理2文3）函数x x y 2cos 2sin =的最小正周期是（ ）A ．π2 ；B ． π4 ；C ．4π ； D ． 2π29．（2006年全国卷Ⅱ理10文10）若x x f 2cos 3)(s in -=，则=)(cos x f （ ）A ．x 2cos 3- ；B ． x 2sin 3- ；C ． x 2cos 3+ ；D ． x 2sin 3+30．（2005年全国卷Ⅲ文理1）已知α为第三象限的角，则2α所在的象限是（ ） A ．第一或第二象限 ； B ．第二或第三象限； C ．第一或第三象限 ； D ．第二或第四象限31．（2005年全国卷Ⅲ文理7）设0≤π2<x ，且x x x c o s s i n 2s i n 1-=-，则（ ） A ．0≤x ≤π ；B ．4π≤x ≤47π ；C ． 4π≤x ≤45π ；D ．2π≤x ≤23π32．（2005年全国卷Ⅲ文理8）αααα2cos cos 2cos 12sin 22⋅+等于（ ）A ．αtan ；B ． α2tan ；C ． 1 ；D ．21 33．（2005年全国卷Ⅱ文理1）函数|cos sin |)(x x x f +=的最小正周期是（ ）A ．4π ； B ． 2π； C ． π ； D ． π2 34．（2005年全国卷Ⅱ文理4）已知函数x y ωtan =在)2,2(ππ-是减函数，则（ ）A ．ω<0≤1 ；B ． 1-≤0<ω ；C ． ω≥1 ；D ． ω≤1-35．（2005年全国卷Ⅱ理7）锐角三角形的内角A 、B 满足B AA tan 2sin 1tan =-， 则有（ ）A ．0cos 2sin =-B A ； B ．0cos 2sin =+B A ；C ．0sin 2sin =-B A ；D ．0sin 2sin =+B A36．（2005年全国卷Ⅰ文理7）当20π<<x 时，函数xxx x f 2sin sin 82cos 1)(2++=的最小值为（ ）A ．2 ；B ． 32 ；C ． 4 ；D ． 3437．（2005年全国卷Ⅰ文理11）在ABC ∆中，已知C BA sin 2tan =+，下列四个 论断中正确的是（ ）① 1cot tan =⋅B A ② B A sin sin 0+<≤2 ③ 1cos sin 22=+B A ④ C B A 222sin cos cos =+A ．①③ ；B ． ②④ ；C ． ①④ ；D ． ②③38．（2004年全国卷Ⅰ文理6）设)2,0(πα∈，若53sin =α，则)4cos(2πα+等于( )A ．57 ；B ． 51 ；C ． 57- ； D ． 51-39．（2004年全国卷Ⅰ文理9）为了得到函数)62sin(π-=x y 的图象，可以将函数x y 2cos =的图象（ ）A ．向右平移6π个单位长度 ； B ．向右平移3π个单位长度 ； C ．向左平移6π个单位长度； D ．向左平移3π个单位长度40．（2004年全国卷Ⅱ文理5）已知函数)2tan(ϕ+=x y 的图象过点)0,12(π，则ϕ可以是（ ）A ．6π- ；B ． 6π ；C ． 12π- ； D ． 12π41．（2004年全国卷Ⅱ文理10）函数x x x y sin cos -=在下面那个区间内是增函数（ ） A ．)23,2(ππ ； B ．)2,(ππ ； C ．)25,23(ππ ； D ．)3,2(ππ42．（2004年全国卷Ⅱ文理11）函数x x y 24cos sin +=的最小正周期为（ ）A ．4π ； B ．2π； C ．π ； D ．π243．（2004年全国卷Ⅲ文理2）函数|2sin|xy =的最小正周期是（ ） A ．2π； B ．π ； C ．π2 ； D ．π4 44．（2004年全国卷Ⅲ文理10）在ABC ∆中，3=AB ，13=BC ，4=AC ，则边AC 上的高为（ ）A ．223 ；B ．323 ； C ．23 ； D ．3345．（2004年全国卷Ⅳ文10）函数)6cos()3sin(2x x y +--=ππ（R x ∈）的最小值等于（ ）A ．3- ；B ．2- ；C ．1- ；D ．5-46．（2004年全国卷Ⅳ理11）ABC ∆中，a 、b 、c 分别为A ∠、B ∠、C ∠的对边．如果a 、b 、c 成等差数列， 30=∠B ，ABC ∆的面积为23，那们b 等于（ ）A ．231+ ； B ．31+ ； C ．232+ ； D ．32+二、填空题 1．（2010年全国卷Ⅰ文14） 已知α为第三象限的角，53sin =α，则=α2tan 2．（2010年全国卷Ⅱ文13） 已知α是第二象限的角，21tan -=α，则=αcos 3．（2010年全国卷Ⅰ理14）已知α为第三象限的角，53cos -=α，则=+)24tan(απ4．（2010年全国卷Ⅱ理13）已知α是第二象限的角，34)2tan(-=+απ，则=αtan5．（2009年全国卷Ⅰ理16）若24ππ<<x ，则x x y 3tan 2tan =的最大值为 6．（2008年全国卷Ⅰ文15）在ABC ∆中， 90=∠A ，43tan =B ，若以A 、B 为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离心率=e设α为第四象限的角，若513sin 3sin =αα，则=α2tan 8．（2004年全国卷Ⅲ理14）函数x x y cos 3sin +=在区间]2,0[π上的最小值为9．（2004年全国卷Ⅲ文15）函数x x y cos 21sin -=（R x ∈）的最大值为_____10．（2004年全国卷Ⅳ文14）已知函数Ax y π+=sin 21（0>A ）的最小正周期为π3，则=A __________三、解答题 1．（2010年全国卷Ⅰ文18理17）已知ABC ∆的内角A 、B 及其对边a 、b 满足B b A a b a cot cot +=+，求内角C ．2．（2010年全国卷Ⅱ文理17）ABC ∆中，D 为边BC 上的一点，33=BD ，135sin =B ，53cos =∠ADC ，求AD ．5．（2009年全国卷Ⅰ理17文18） 在ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，已知b c a 222=-，且C A C A sin cos 3cos sin =，求b ． 6．（2009年全国卷Ⅱ理17文18）设ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，23cos )cos(=+-B C A ，ac b =2，求B ．9．（2008年全国卷Ⅰ文17）设ABC ∆的内角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，且3cos =B a ，4sin =A b ．（Ⅰ）求边长a ；（Ⅱ）若ABC ∆的面积10=S ，求ABC ∆的周长l ．设ABC ∆的内角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，且c A b B a 53cos cos =-．（Ⅰ）求B A cot tan 的值； （Ⅱ）若)tan(B A -的最大值．11．（2008年全国卷Ⅱ文17）在ABC ∆中，135cos -=A ，53cos =B ． （Ⅰ）求C sin 的值；（Ⅱ）设5=BC ，求ABC ∆的面积．12．（2008年全国卷Ⅱ理17）在ABC ∆中，135cos -=B ，54cos =C ． （Ⅰ）求A sin 的值； （Ⅱ）设ABC ∆的面积233=∆ABC S ，求BC 的长．13．（2007年全国卷Ⅰ文理17）设锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，A b a sin 2=． （Ⅰ）求角B 的大小； （Ⅱ）（理）求C A sin cos +的取值范围． （文）若33=a ， 5=c ，求b ．14．（2007年全国卷Ⅱ理17文18）在AB C ∆中，已知内角3π=A ，边32=BC ．设内角x B =，周长为y ．（Ⅰ）求函数)(x f y =的解析式和定义域； （Ⅱ）求y 的最大值．15．（2006年全国卷Ⅰ理17文18）ABC ∆的三个内角为A 、B 、C ，求当A 为何值时，2cos 2cos CB A ++取得最大值，并求出这个最大值．16．（2006年全国卷Ⅱ文17）已知ABC ∆中， 45=∠B ，10=AC ，552cos =C ． （Ⅰ）求BC 边的长；（Ⅱ）记AB 的的中点为D ，求中线CD 的长．17．（2006年全国卷Ⅱ理17）已知向量)1,(sin θ=，)cos ,1(θ=，22πθπ<<-．（Ⅰ）若⊥，求θ； （Ⅱ）求||b a +的最大值．18．（2005年全国卷Ⅲ文17）已知函数x x x f 2sin sin 2)(2+=，]2,0[π∈x ，求 使)(x f 为正值的x 的集合．19．（2005年全国卷Ⅲ理19）在ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知a 、b 、c 成等比数列，且43cos =B ．（1）求C A cot cot +的值；（2）设23=⋅，求c a +的值．20．（2005年全国卷Ⅱ文17）已知α为第二象限的角，53sin =α，β为第一象限的角，135cos =β，求)2tan(βα-的值．21．（2005年全国卷Ⅰ文理17）设函数)2sin()(ϕ+=x x f （0<<-ϕπ）)(x f y =图像的一条对称轴是8π=x ．（1）求ϕ；（2）求函数)(x f y =的单调增区间；（3）（理）证明直线025=+-c y x 与函数)(x f y =的图像不相切． （文）画出函数)(x f y =在区间],0[π上的图象．22．（2004年全国卷Ⅰ理17）求函数xxx x x x f 2sin 2cos sin cos sin )(2244-++=的最小正周期、最大值和最小值．23．（2004年全国卷Ⅱ理17）已知锐角三角形ABC 中，53)sin(=+B A ， 51)sin(=-B A （Ⅰ）求证B A tan 2tan =；（Ⅱ）设3=AB ，求AB 边上的高．24．（2004年全国卷Ⅲ理17）已知α为锐角，且21tan =α，求ααααα2c o s 2s i n s i n c o s 2s i n -的值． 25．（2004年全国卷Ⅳ文理17）已知α为第二象限角，且415sin =α，求12cos 2sin )4sin(+++ααπα的值．。

2004年全国高考数学试题汇编——三角、向量(二)1．(2004年广东高考数学第1题)已知平面向量a =（3，1），b =（x ，–3），且a b ⊥，则x=（ ）A ．－3B ．－1C ．1D ．3 2. （2004年天津高考数学·理工第3题，文史第4题）若平面向量与向量)2,1(-=的夹角是︒180，且53||=，则= A. )6,3(-B. )6,3(-C. )3,6(-D. )3,6(-3. （2004年天津高考数学·文史第14题）已知向量)1,1(=，)3,2(-=，若k 2-与垂直，则实数k 等于 。

4．(2004年上海高考·文史第6题)已知点A(-1,5)和向量={2,3},若=3,则点B 的坐标为 . 5．(2004年上海高考·理工第6题)已知点A(1, －2),若向量AB 与a ={2,3}同向 =213,则点B 的坐标为 . 6．(2004年重庆高考数学·理工第6题，文史第6题)若向量 a 与b 的夹角为60，||4,(2).(3)72b a b a b =+-=- ,则向量a 的模为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．127．（2004年湖南高考数学·理工第13题）已知向量a =)sin ,(cos θθ，向量b =)1,3(-，则|2a －b |的最大值是 . 8．（2004年湖南高考数学·文史第8题）已知向量)sin ,(cos θθ=,向量)1,3(-=则|2|-的最大值，最小值分别是（ ）A ．0,24B ．24,4C ．16，0D ．4，09．(2004年上海高考·理工第1题，文史第1题)若tan α=21,则tan (α+4π)= . 10．(2004年重庆高考数学·理工第5题，文史第5题)sin163sin 223sin 253sin313+= （ ）A ．12-B ．12C ．D 11．(2004年上海高考·理工第14题，文史第14题)三角方程2sin(2π－x )=1的解集为（ ）A ．{x │x =2kπ+3π,k ∈Z}.B ．{x │x =2kπ+35π,k ∈Z}. C ．{x │x =2kπ±3π,k ∈Z}.D ．{x │x =kπ+(－1)K ,k ∈Z}.12. （2004年天津高考数学·理工第9题，文史第10题）函数]),0[)(26sin(2ππ∈-=x x y 为增函数的区间是A. ]3,0[πB. ]127,12[ππC. ]65,3[ππD. ],65[ππ13．(2004年上海高考·理工第5题，文史第5题)设奇函数f(x)的定义域为[－5,5].若当x ∈[0,5]时,f(x)的图象如右图,则不等式f(x)<0的 解是 .14. （2004年天津高考数学·理工第12题，文史第12题）定义在R 上的函数)(x f 既是偶函数又是周期函数，若)(x f 的最小正周期是π，且当]2,0[π∈x 时，x x f sin )(=，则)35(πf 的值为 A. 21-B.21C. 23-D.23 15．(2004年广东高考数学第5题)函数f(x)22sin sin 44f x x x ππ=+--（）（）（）是 （ ）A ．周期为π的偶函数B ．周期为π的奇函数C ． 周期为2π的偶函数D ．.周期为2π的奇函数16．(2004年广东高考数学第9题)当04x π<<时,函数22cos ()cos sin sin xf x x x x=-的最小值是 （ ）A ． 4B ．12C ．2D ．1417．(2004年广东高考数学第11题)若tan 4f x x π=+（）（），则（ ）A ． 1f -（）>f (0)>f (1)B ． f （0）>f(1)>f(-1)C ． 1f （）>f(0)>f(-1) D ． f （0）>f(-1)>f(1)18. （2004年天津高考数学·理工第17题，文史第17题，本小题满分12分）已知21)4tan(=+απ，（1）求αtan 的值；（2）求αα2cos 1cos 2sin 2+-a 的值。

2004年全国高考试题分类汇编立体几何部分免费教育资源网一、选择题1.（全国卷Ⅰ文科、理科第10题）已知正四面体ABCD 的表面积为S ，其四个面的中心分别为E 、F 、G 、H ，设四面体EFGH 的表面积为T ，则ST等于 （ ）（A ）91 （B ）94（C ）41 （D ）312.（全国卷Ⅱ文第第6题）正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1，则侧棱与底面所成的角为 （ ）（A ）75°（B ）60°（C ）45°（D ）30°3.（全国卷Ⅱ文科第10题、理科第第7题）已知球O 的半径为1，A 、B 、C 三点都在球面上，且每两点间的球面距离为2π，则球心O 到平面ABC 的距离为 （ ） （A ）31 （B ）33 （C ）32 （D ）36 4.(全国卷Ⅲ文、理科第10题) 正三棱锥的底面边长为2,侧面均为直角三角形,则此三棱锥的体积为 （A ）232 （B ）2 （C ）32 （D ）234 5.(全国卷文科IV 第3题)正三棱柱侧面的一条对角线长为2，且与底面成45°角，则此三棱柱的体积为 （ ）（A ）26（B ）6（C ）66 （D ）36 6.(全国卷文科IV 第11题)已知球的表面积为20π，球面上有A 、B 、C 三点.如果AB=AC=BC=23，则球心到平面ABC 的距离为（ ）（A ）1（B ）2（C ）3（D ）27.(全国卷理科IV 第7题)对于直线m 、n 和平面α，下面命题中的真命题是（ ） （A ）如果m n m ,,αα⊄⊂、n 是异面直线，那么α//n （B ）如果m n m ,,αα⊄⊂、n 是异面直线，那么α与n 相交（C ）如果m n m ,//,αα⊂、n 共面，那么n m //（D ）如果m n m ,//,//αα、n 共面，那么n m //8.(全国卷理科IV 文科第11题、理科第10题)已知球的表面积为20π，球面上有A 、B 、C 三点.如果AB=AC=2，BC=32，则球心到平面ABC 的距离为（ ）（A ）1（B ）2（C ）3（D ）29.（北京卷文科、理科第3题）设m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：① 若m ⊥α，n ∥α，则m ⊥n ；② 若α∥β，β∥γ，m ⊥α，则m ⊥γ； ③ 若m ∥α，n ∥α，则m ∥n ； ④ 若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β.其中正确命题的序号是 （ ） （A ）①和② （B ）②和③ （C ）③和④ （D ）①和④10.（天津卷文科第8题） 如图，定点A 和B 都在平面α内，定点α∉P ，α⊥PB ，C 是α内异于A 和B 的动点，且AC PC ⊥.那么，动点C 在平面α内的轨迹是 （ ）（A ） 一条线段，但要去掉两个点 （B ） 一个圆，但要去掉两个点 （C ） 一个椭圆，但要去掉两个点 （D ） 半圆，但要去掉两个点11.（天津卷理科第6题）如图，在棱长为2的正方体1111D C B A ABCD -中，O 是底面ABCD 的中心，E 、F 分别是1CC 、AD 的中点，那么异面直线OE 和1FD 所成的角的余弦值等于 （ ）（A ）510（B ）515 （C ）54 （D ）32 12.（天津卷文科第11题、理科第10题）如图，在长方体1111D C B A ABCD -中，6=AB ，4=AD ，31=AA .分别过BC 、11D A 的两个平行截面将长方体分成三部分，其体积分别记为111D FD AEA V V -=，11112D FCF A EBE V V -=，C F C B E B V V 11113-=.若1:4:1::321=V V V ，则截面11EFD A 的面积为 （ ）（A ） 104 （B ） 38 （C ） 134 （D ） 1613．（上海卷文科、理科13）、在下列关于直线l 、m 与平面α、β的命题中,真命题是( )（A ）若l ⊂β且α⊥β,则l ⊥α. （B ） 若l ⊥β且α∥β,则l ⊥α. （C ） 若l ⊥β且α⊥β,则l ∥α. （D ） 若α∩β=m 且l ∥m,则l ∥α. 14.（重庆卷文科第8题）不同直线,m n 和不同平面,αβ，给出下列命题 （ ）① ////m m αββα⎫⇒⎬⊂⎭ ② //////m n n m ββ⎫⇒⎬⎭③ ,m m n n αβ⊂⎫⇒⎬⊂⎭异面 ④ //m m αββα⊥⎫⇒⊥⎬⎭其中假命题有：（ ）（A ）0个 （B ）1个 （C ）2个 （D ）3个15.（重庆卷理科第8题）设P 是60的二面角l αβ--内一点，,PA PB αβ⊥⊥平面平面,A,B 为垂足，4,2,PA PB ==则AB 的长为（ ）（A ） （B ） （C ） （D ）16.（重庆卷文科第12题） 如图，棱长为5的正方体无论从哪一个面看，都有两个直通的边长为1的正方形孔，则这个有孔正方体的表面积（含孔内各面）是（ ）（A ）258（B ）234（C ）222 （D ）21017.（福建卷文科第6题、理科第5题）已知m 、n 是不重合的直线，α、β是不重合的平面，有下列命题：①若m ⊂α，n ∥α，则m ∥n ； ②若m ∥α，m ∥β，则α∥β；③若α∩β=n ，m ∥n ，则m ∥α且m ∥β； ④若m ⊥α，m ⊥β，则α∥β. 其中真命题的个数是（ ）（A ）0（B ）1（C ）2（D ）318.（福建卷文科、理科第10题）如图，A 、B 、C 是表面积为48π的球面上三点，AB=2，BC=4，∠ABC=60º，O 为球心，则直线OA 与截面ABC 所成的角是（ ） （A ）arcsin 63（B ）arccos 63（C ）arcsin 33（D ）arccos 3319.（湖北卷文科第6题）四面体ABCD 四个面的重心分别为E 、F 、G 、H ，则四面体EFGH 的表面积与四面体ABCD 的表面积的比值是（ ）（A ）271（B ）161 （C ）91 （D ）81 20.（湖北卷理科第11题)已知平面α与β所成的二面角为80°，P 为α、β外一定点，过点P 的一条直线与α、β所成的角都是30°，则这样的直线有且仅有 （ ） （A ）1条 （B ）2条 （C ）3条 （D ）4条21.（湖南卷文科第5题、理第4题）把正方形ABCD 沿对角线AC 折起，当以A 、B 、C 、D 四点为顶点的正棱锥体积最大时，直线BD 和平面ABC 所成的角的在小为 （ ） （A ）90︒ （B ）60︒ （C ）45︒ （D ）30︒22.(湖南卷第10题) 从正方体的八个顶点中任取三个点为顶点作三角形,其中直角三角形的个数为（ ）（A ）56 （B ） 52 （C ）48 （D ）4023.（江苏卷第4题）一平面截一球得到直径是6cm 的圆面，球心到这个平面的距离是4cm ，则该球的体积是 ( )（A ）33π100cm （B ） 33π208cm （C ） 33π500cm （D ） 33π3416cm24.（辽宁卷第3题）已知α、β是不同的两个平面，直线βα⊂⊂b a 直线,，命题b a p 与:无公共点；命题βα//:q . 则q p 是的 （ ） （A ）充分而不必要的条件 （B ）必要而不充分的条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要的条件25.（辽宁卷第10题）设A 、B 、C 、D 是球面上的四个点，且在同一平面内，AB=BC=CD=DA=3，球心到该平面的距离是球半径的一半，则球的体积是 （ ）（A ）π68（B ）π664（C ）π224（D ）π27226．（浙江卷文科、理科第10题）如图，在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中已知AB=1，D 在棱BB 1上，且BD=1，若AD 与平面AA 1C 1C 所成的角为α，则α= （ ） （A ）3π （B ）4π （C ）410arcsin （D ）46arcsin27．（广东卷第7题）在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体,则截去8个三棱锥后,剩下的凸多面体的体积是 ( )（A ）23 （B ） 76 （C ） 45 （D ） 56二、填空题1.（全国卷Ⅰ文科、理科第16题）已知a 、b 为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a 、b 在α上的射影有可能是 .①两条平行直线 ②两条互相垂直的直线 ③同一条直线④一条直线及其外一点在上面结论中，正确结论的编号是 （写出所有正确结论的编号）. 2．（全国卷II 文科、理科第16题）下面是关于四棱柱的四个命题：①若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；②若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱； ③若四个侧面两两全等，则该四棱柱为直四棱柱；④若四棱柱的四条对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱. 其中，真命题的编号是＿＿＿＿(写出所有真命题的编号)3．(全国卷Ⅲ文14、理科第第13题)用平面α截半径为R 的球,如果球心到平面α的距离为2R,那么截得小圆的面积与球的表面积的比值为 .4．（北京卷文科第12题、理科第11题) 某地球仪上北纬30°纬线的长度为12πcm,该地球仪的半径是 cm, 表面积是 cm 2.5．（重庆卷文科第16题）毛泽东在《送瘟神》中写到：“坐地日行八万里”.又知地球的体积大约是火星的8倍，则火星的大圆周长约为______________万里.6．（福建卷文科、理科第16题）图1，将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器（图2）.当这个正六棱柱容器的底面边长为 时，其容积最大.7．（辽宁卷文科第16题）如图，四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 为正方形，侧棱与底面边长均为2a ，且︒=∠=∠6011AB A AD A ，则侧棱AA 1和截面B 1D 1DB 的距离是 .8．（浙江卷文科第15题）已知平面α⊥β， βα⋂=l ，P 是空间一点，且P 到α、β的距离分别是1、2，则点P 到l 的距离为 .9．（浙江卷理科第16题）已知平面α和平面交于直线l ，P 是空间一点，PA ⊥α，垂足为A ，PB ⊥β，垂足为B ，且PA=1，PB=2，若点A 在β内的射影与点B 在α内的射影重合，则点P 到l 的距离为 .10广东卷第15题）由图(1)有面积关系: PA B PAB S PA PB S PA PB''∆∆''⋅=⋅，则由(2) 有体积关系: .P A B C P ABC V V '''--=三、解答题1．（全国卷Ⅰ文科第21题、理科第20题）如图，已知四棱锥 P —ABCD ，PB ⊥AD ，侧面PAD 为边长等于2的正三角形，底面ABCD 为菱形，侧面PAD 与底面ABCD 所成的二面角为120°.（I ）求点P 到平面ABCD 的距离；（II ）求面APB 与面CPB 所成二面角的大小.2．（全国卷II 文科、理科第20题）如图，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，∠ACB=90°，AC=1，CB=2，侧棱AA 1=1，侧面AA 1B 1B 的两条对角线交点为D ，B 1C 1的中点为M. （Ⅰ）求证CD ⊥平面BDM ；（Ⅱ）求面B 1BD 与面CBD 所成二面角的大小.3．(全国卷Ⅲ文、理科第21题)三棱锥P─ABC 中,侧面PAC 与底面ABC 垂直,PA=PB=PC=3. (Ⅰ)求证AB ⊥BC;(Ⅱ)设AB=BC=32,求侧面PBC 与侧面PAC 所成二面角的大小.4．(全国卷IV 文科第第21题、理科第20题）如图，四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 为矩形，AB=8，AD=43，侧面PAD 为等边三角形，并且与底面所成二面角为60°.（Ⅰ）求四棱锥P —ABCD 的体积； （Ⅱ）证明PA ⊥BD.5．（北京卷文科第16题)如图,在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中,AB=2,AA 1=2,由顶点B 沿棱柱 侧面经过棱AA 1到顶点C 1的最短路线与AA 1的交点记为M. 求: (Ⅰ)三棱柱的侧面展开图的对角线长;(Ⅱ)该最短路线的长及AMMA 1的值; (Ⅲ)平面C 1MB 与平面ABC 所成二面角(锐角)的大小.6．（北京卷理科第16题）如图，在正三棱柱ABC=A 1B 1C 1中，AB=3，AA 1=4，M 为AA 1的中点，P 是BC 上一点，且由P 沿棱柱侧面经过棱CC 1到M 的最短路线长为29，设这条最短路线与CC 1的交点为N ，求：（I ）该三棱柱的侧面展开图的对角线长； （II ）PC 和NC 的长；（III ）平面NMP 与平面ABC 所成二面角（锐角）的大小（用反三角函数表示）.7．（天津卷文科第19题19）如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是正方形，侧棱⊥PD 底面ABCD ，DC PD =，E 是PC 的中点.（1）证明//PA 平面EDB ；（2）求EB 与底面ABCD 所成的角的正切值.8．（天津卷理科第19题） 如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD=DC ，E 是PC 的中点，作EF ⊥PB 交PB 于点F.（1）证明PA//平面EDB ； （2）证明PB ⊥平面EFD ； （3）求二面角C —PB —D 的大小.9．（上海卷文科、理科第21题）如图,P-ABC 是底面边长为1的正三棱锥,D 、E 、F 分别为棱长PA 、PB 、PC 上的点, 截面DEF ∥底面ABC, 且棱台DEF-ABC 与棱锥P-ABC 的棱长和相等.(棱长和是指多面体中所有棱的长度之和)(1) 证明：P-ABC 为正四面体； (2)若PD=21PA, 求二面角D-BC-A 的大小；(结果用反三角函数值表示) (3)设棱台DEF-ABC 的体积为V , 是否存在体积为V 且各棱长均相等的直平行六面体,使得它与棱台DEF-ABC 有相同的棱长和? 若存在,请具体构造出这样的一个直平行六面体,并给出证明；若不存在,请说明理由.10．（重庆卷文科第19题）如图，四棱锥P-ABCD 的底面是正方形，,PA ABCD ⊥底面,//,AE PD EF CD AM EF ⊥=（1） 证明MF 是异面直线AB 与PC 的公垂线； （2）若3PA AB =,求二面角E —AB .11．（重庆卷理科第19题）如图，四棱锥P-ABCD 的底面是正方形，,,//,PA ABCD AE PD EF CD AM EF ⊥⊥=底面（1）明MF 是异面直线AB 与PC 的公垂线；（2）若3PA AB ,求直线AC 与平面EAM 所成角的正弦值.12．（福建卷文科19题）在三棱锥S —ABC 中，△ABC 是边长为4的正三角形，平面SAC ⊥平面ABC ，SA=SC=22，M 为AB 的中点.（Ⅰ）证明：AC ⊥SB ；（Ⅱ）求二面角N —CM —B 的大小； （Ⅲ）求点B 到平面SCM 的距离.13. （福建卷理科第19题）在三棱锥S-ABC 中，△ABC 是边长为4的正三角形，平面SAC ⊥平面ABC ，SA=SC=23，M 、N 分别为AB 、SB 的中点. （Ⅰ）证明：AC ⊥SB ；（Ⅱ）求二面角N-CM-B 的大小； （Ⅲ）求点B 到平面CMN 的距离.14．（湖北卷文科第18题） 如图，在棱长为1的正方体 ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AC 与BD 交于点E ，CB 与CB 1交于点F. （I ）求证：A 1C ⊥平BDC 1；（II ）求二面角B —EF —C 的大小（结果用反三角函数值表示）.15．（湖北卷理科第18题）如图，在棱长为1的正方体ABCD －A 1、B 1、C 1、D 1中，点E 是棱BC 的中点，点F 是棱CD 上的动点. （Ⅰ）试确定点F 的位置，使得D 1E ⊥平面AB 1F ；（Ⅱ）当D 1E ⊥平面AB 1F 时，求二面角C 1―EF ―A 的大小（结果用反三角函数值表示）.16．（湖南卷文科第18题）如图，在底面是菱形的四棱锥P-ABCD 中，∠ABC=60º，PA=AC=a ，PB=PD=2a ，点E 是PD 的中点.（Ⅰ）证明：PA ⊥平面ABCD ，PB ∥平面EAC ；（Ⅱ）求以AC 为棱，EAC 与DAC 为面的二面角θ的正切值.17．（湖南卷理科第19题) 如图,在底面是菱形的四棱锥P —ABCD 中,,2,,60a PD PB a AC PA ABC ====︒=∠ 点E 在PD 上,且PE:ED= 2: 1.(Ⅰ)证明 PA ⊥平面ABCD;(Ⅱ)求以AC 为棱,EAC 与DAC 为面的二面角θ的大小:(Ⅲ)在棱PC 上是否存在一点F, 使BF ∥平面AEC?证明你的结论.18．（江苏卷第18题）在棱长为4的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，O 是正方形A 1B 1C 1D 1的中心，点P 在棱CC 1上，且CC 1=4CP.(Ⅰ)求直线AP 与平面BCC 1B 1所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）； (Ⅱ)设O 点在平面D 1AP 上的射影是H ，求证：D 1H ⊥AP ； (Ⅲ)求点P 到平面ABD 1的距离.19．（辽宁卷第17题）已知四棱锥P —ABCD ，底面ABCD 是菱形，⊥︒=∠PD DAB ,60平面ABCD ，PD=AD ，点E 为AB 中点，点F 为PD 中点.（1）证明平面PED ⊥平面PAB ；（2）求二面角P —AB —F 的平面角的余弦值.20．（浙江卷文科19）如图，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，AB=2，AF=1，M 是线段EF 的中点.（Ⅰ）求证AM ∥平面BDE ； （Ⅱ）求证AM ⊥平面BDF ； （Ⅲ）求二面角A —DF —B 的大小；· B 1PAC DA 1C 1D 1BO H·所在的平面互相垂直，AB=2，AF=1，M是线段EF的中点.（Ⅰ）求证AM∥平面BDE；（Ⅱ）求二面角A—DF—B的大小；（Ⅲ）试在线段AC上确定一点P，使得PF与所成角是60 .22．(广东卷第18题）如右下图,在长方体ABCD—A1B1C1D1中,已知AB= 4, AD =3, AA1= 2. E、F分别(1) 求二面角C—DE—C1的正切值;(2) 求直线EC1与FD1所成的余弦值.。