【高中数学】向量与三角形的五心

三角形的五心向量结论证明1. O是RP2R的重心UJU uuir umr rOp OP, OP3 0(其中a,b,c 是PP2P3 三边)P2 PP3uu uur uur r证明：充分性：OR OF2 OP30 O是PP2F3的重心uuu uir uur r uur uur uur uuur uur若OR OP，OP3 0 ，则O R OP2 OR，以OR，OF2OP1P3 ' P2，设OP3与RP2交于点P3，则F3为RF2的中点，有即O,R, P,p四点共线，故PP2P3的中线，同理,uur uuuOP3 OP3 ，为邻边作平行四边形uurOP1uur uuur,OP2OP3，得PO, P2O亦为PP2P3的中线，所以，O为的重心。

2•在ABC中，给uurADuur uuuAB AC ,等于已知AD是ABC 中BC边的中线；————uur* △ ABC中AB AC 一定过BC的中点，通过△ABC的重心luuAPuuBP*PUG1 uuu(AB31 uuu-(BA31 uur -(PAuurAC),uurBC),P为VABC的重心uur uirPB PC)uuu uu uur uur uur urir uur uur uur uur uuu uuu uuu uurPG PA AG PB BG PC CG 3PG (AG BG CG) (PA PB PC)-G是厶ABC的重心uur uuu uuu r UU uur uuu r 亦uur uuu uuu uuu-GA GB GC = 0 AG BG CG : =0，即3PG PA PB PCG ABC的重心（P是平面上任意点）.证明（反之亦然（证略））uurPBuirPC).uur 1 uur 由此可得PG (PA3S*若O是ABC的重心，则BOC S AOC S AOB1SS ABC3uuu umrAPgBC 0 2. uuu uuirBPgAC 0则0是厶ABC 的垂心证明：由 OA '\BC 3 = 003 +CA J ,得 -0?)3 = OB \COC -OA )2 ,所以.■ .' ■''"。

三角形的五心向量结论证明1. O是RP2R的重心UJU uuir umr rOp OP, OP3 0(其中a,b,c 是PP2P3 三边)P2 PP3uu uur uur r证明：充分性：OR OF2 OP30 O是PP2F3的重心uuu uir uur r uur uur uur uuur uur若OR OP，OP3 0 ，则O R OP2 OR，以OR，OF2OP1P3 ' P2，设OP3与RP2交于点P3，则F3为RF2的中点，有即O,R, P,p四点共线，故PP2P3的中线，同理,uur uuuOP3 OP3 ，为邻边作平行四边形uurOP1uur uuur,OP2OP3，得PO, P2O亦为PP2P3的中线，所以，O为的重心。

2•在ABC中，给uurADuur uuuAB AC ,等于已知AD是ABC 中BC边的中线；————uur* △ ABC中AB AC 一定过BC的中点，通过△ABC的重心luuAPuuBP*PUG1 uuu(AB31 uuu-(BA31 uur -(PAuurAC),uurBC),P为VABC的重心uur uirPB PC)uuu uu uur uur uur urir uur uur uur uur uuu uuu uuu uurPG PA AG PB BG PC CG 3PG (AG BG CG) (PA PB PC)-G是厶ABC的重心uur uuu uuu r UU uur uuu r 亦uur uuu uuu uuu-GA GB GC = 0 AG BG CG : =0，即3PG PA PB PCG ABC的重心（P是平面上任意点）.证明（反之亦然（证略））uurPBuirPC).uur 1 uur 由此可得PG (PA3S*若O是ABC的重心，则BOC S AOC S AOB1SS ABC3uuu umrAPgBC 0 2. uuu uuirBPgAC 0则0是厶ABC 的垂心证明：由 OA '\BC 3 = 003 +CA J ,得 -0?)3 = OB \COC -OA )2 ,所以.■ .' ■''"。

平面几何竞赛之三角形的“五心”一、基本概念1、内心：与三角形所有边相切的圆叫做此三角形的内切圆，其圆心叫做此三角形的内心。

内心是三角形三条内角平分线的交点.三角形的内心在三角形内部.内心有以下常用的性质：性质1：设I 是⊿ABC 内一点，I 为⊿ABC 内心的充要条件是：I 到三角形三边的距离相等. 证明： 性质2：设I 是⊿ABC 内一点，AI 所在直线交⊿ABC 的外接圆于D ， I 为⊿ABC 内心的充要条件是:ID=DB=DC.证明：性质3：设I 是⊿ABC 内一点，I 为⊿ABC 内心的充要条件是: ∠BIC=900+21∠A ，∠AIC=900+21∠B ，∠AIB=900+21∠C. 证明：性质4：设I 是⊿ABC 内一点，I 为⊿ABC 内心的充要条件是: ⊿IBC 、⊿IAC 、⊿IAB 的外心均在⊿ABC 的外接圆上。

证明：性质5：设I 为⊿ABC 内心,BC=a ，AC=b,AB=c ，I 在BC 、AC 、AB边上的射影分别为D 、E 、F ，内切圆的半径为r ，令p=21(a+b+c),则(1)ID=IE=IF=r ，S ⊿ABC =pr=))()((c p b p a p p ---=xyz z y x )(++；海伦公式推导:(2)r=cb a S ABC++∆2;M（3）abc ·r=p ·AI ·BI ·CI.性质6:设I 为⊿ABC 内心，BC=a,AC=b ，AB=c,∠A 的平分线交BC 于K,交⊿ABC 的外接圆于D ，则IK AI =DI AD =DK DI =a c b 。

〖例1〗如图，设⊿ABC 的外接圆O 的半径为R ，内心为I,∠B=600，∠A 〈∠C ，∠A 的外角平分线交圆O 于E ，证明：(1）IO=AE ，（2)2R<IO+IA+IC<（1+3)R 。

(1994高中联赛)〖例2〗如图，在⊿ABC 中，AB=4，AC=6，BC=5，∠A 的平分线交⊿ABC 的外接圆于K ，O 、I 分别是⊿ABC 的外心和内心，求证：IO ⊥AK 。

三角形的五心在向量的结论三角形的五心是指三角形的外心、内心、垂心、重心和旁心。

这五个特殊的点在三角形中有着重要的几何性质和向量关系。

本文将通过向量的角度来探讨这五个特殊点之间的关系。

我们先来介绍一下五个特殊点。

外心是通过三角形三个顶点的垂直平分线的交点，它到三角形三个顶点的距离都相等。

内心是通过三角形三个边的角平分线的交点，它到三角形三个边的距离都相等。

垂心是通过三角形三个顶点与对边垂直的高的交点，它到三角形三个顶点的距离满足垂心定理。

重心是通过三角形三个顶点的中线的交点，它到三角形三个顶点的距离满足重心定理。

旁心是通过三角形的一条边的垂直平分线的延长线与对边的交点，它到三角形的一条边的距离相等。

现在，我们来探讨这五个特殊点之间的向量关系。

我们可以将三角形的顶点表示为向量A、B、C，那么外心O可以表示为向量O=（A+B+C）/3，内心I可以表示为向量I=（aA+bB+cC）/（a+b+c），垂心H可以表示为向量H=A+B+C，重心G可以表示为向量G=(A+B+C)/3，旁心J可以表示为向量J=(2A+B+C)/4。

根据向量的定义，我们可以得到以下结论：1. 外心O到三个顶点的向量和为零，即AO+BO+CO=0。

这是因为外心是通过三个顶点的垂直平分线的交点，所以它到三个顶点的距离相等，即向量AO=向量BO=向量CO，因此它们的和为零。

2. 内心I到三个边的向量和为零，即aIA+bIB+cIC=0。

这是因为内心是通过三个边的角平分线的交点，所以它到三个边的距离相等，即向量IA=向量IB=向量IC，因此它们的和为零。

3. 垂心H到三个顶点的向量和为零，即AH+BH+CH=0。

这是因为垂心是通过三个顶点与对边垂直的高的交点，所以它到三个顶点的距离满足垂心定理，即向量AH=向量BH=向量CH，因此它们的和为零。

4. 重心G到三个顶点的向量和为零，即AG+BG+CG=0。

这是因为重心是通过三个顶点的中线的交点，所以它到三个顶点的距离满足重心定理，即向量AG=向量BG=向量CG，因此它们的和为零。

高考数学专题突破：三角形的五心与向量一、 外心1.定义：三角形的三条边的垂直平分线交于一点,这点称为三角形的外心(外接圆圆心)．三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等，都等于三角形的外接圆半径．AB CO2.性质：① 锐角三角形的外心在三角形内；直角三角形的外心在斜边中点；钝角三角形的外心在三角形外． ②三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合。

③OA=OB=OC=R④∠BOC=2∠BAC，∠AOB=2∠ACB，∠COA=2∠CBA⑤S△ABC=abc/4R⑥||||||==(或222O O O ==)⑦C 2sin :B 2sin :A 2sin AOB sin AOC sin BOC sin S S S A OB A OC BOC =∠∠∠=∆∆∆：：：：故0OC C 2sin OB B 2sin OA A 2sin =++二、内心1.定义：三角形的三条内角平分线交于一点,这点称为三角形的内心(内切圆圆心)．三角形的内心到三边的距离相等,都等于三角形内切圆半径．IK H E F AB C M2.性质： 内切圆半径r 的计算：设三角形面积为S ，r=2S/(a+b+c)特别的，在直角三角形中,有 r =12(a +b －c )． ②∠BOC = 90 °+∠A/2 ∠BOA = 90 °+∠C/2 ∠AOC = 90 °+∠B/2③S△ABC=[(a+b+c)r]/2 (r 是内切圆半径)④O 是内心ABC ∆的充要条件是0|CB ||CA ||BC ||BA |AC |AB |=-⋅=-⋅=-⋅引进单位向量，使条件变得更简洁。

如果记CA ,BC ,AB 的单位向量为321e ,e ,e ，则刚才O 是ABC ∆内心的充要条件可以写成 0)e e (O )e e (O )e e (O 322131=+⋅=+⋅=+⋅ ⑤O 是ABC ∆内心的充要条件也可以是0OC c OB b OA a =++⑥若O 是ABC ∆的内心，则c b a S S S A OB A OC BOC ：：：：=∆∆∆ 故 0OC C sin OB B sin OA A sin 0OC c OB b OA a =++=++或;⑦||||||0AB PC BC PA CA PB P ++=⇔ ABC ∆的内心; ⑧向量()(0)||||AC AB AB AC λλ+≠ 所在直线过ABC ∆的内心(是BAC ∠的角平分线所在直线)；三、垂心2.性质：①锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的垂心在三角形外② 垂心O 关于三边的对称点，均在△ABC 的外接圆上 ③△ABC 中，有六组四点共圆，有三组(每组四个)相似的直角三角形，且AO·OD=BO ·OE=CO ·OF④ H 、A 、B 、C 四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心(并称这样的四点为一—垂心组)。

三角形的五心向量结论证明1. O 是123PP P ∆的重心⇔1230OP OP OP ++=(其中,,a b c 是123PP P ∆三边)证明：充分性: 1230OP OP OP ++=⇒O 是123PP P ∆的重心若1230OP OP OP ++=，则123OP OP OP +=-，以1OP，2OP 为邻边作平行四边形132'OPP P ，设3OP 与12PP 交于点3P '，则3P '为12PP 的中点，有'123OPOP OP +=，得'33OP OP =-，即'33,,,O P P P 四点共线，故3P P 为123PP P ∆的中线，同理，12,PO P O 亦为123PP P ∆的中线，所以，O 为的重心。

* △ABC 中AC AB +一定过BC 的中点，通过△ABC 的重心1(),31()3AP AB AC P ABC BP BA BC ⎧=+⎪⎪⇒⎨⎪=+⎪⎩为的重心， *1()3PG PA PB PC =++⇔G 为△ABC 的重心(P 是平面上任意点).证明 PG PA AG PB BG PC CG =+=+=+⇒3()()PG AG BG CG PA PB PC =+++++∵G 是△ABC 的重心∴GA GB GC ++=0⇒AG BG CG ++=0，即3PG PA PB PC =++ 由此可得1()3PG PA PB PC =++.(反之亦然(证略))*若O 是ABC ∆的重心，则ABC AOB AOC BOC S 31S S S ∆∆∆∆===P 12PP 3O PABC∆()1,2AD AB AC =+ABC ∆2.在中，给等于已知AD 是中BC 边的中线;2. 00AP BC P ABC BP AC ⎧=⎪⇒⎨=⎪⎩为的垂心* 点O 是123PP P ∆的垂心⇔122331OPOP OP OP OP OP ⋅=⋅=⋅ 证明：O 是123PP P ∆的垂心⇔312OPPP ⊥, 31232132310()0OP PP OP OP OP OP OP OP OP ⋅=⇔⋅-=⇔⋅=⋅同理123OP P P ⊥⇔3112OP OP OP OP ⋅=⋅ 故当且仅当122331OP OP OP OP OP OP ⋅=⋅=⋅.* O 是△ABC 所在平面内一点222222→→→→→→+=+=+ACOB BA OC BC OA则O 是△ABC 的垂心 证明：由，得，所以。

三角形的五心向量结论证明I.。

是时^月的重心U>函+茂+甌=6（其中。

力,C是月三边）证明：充分性：斑+而+兢=6=>。

是MEg的重心若勇+而+死=6,则op{+op2 = -dp.,以逐，死为邻边作平行四边形OPRE，设朗与交于点球，则g 为的中点，有如+死=两，得两=一两，即月,四点共线，故gP为△*吕月的中线，同理，氏0匸。

亦为△4^4的中线，所以，。

为的重心。

）,2•在AABC AD = ^ + AC等于己知AD是中BC边的中线：* AABC中而+花一定过※的中点，通过AABC的重心AP = -（AB + AC）,< 3nP为A ABCM重心BP = ^（BA + BC）,★PG=^（PA + PB + PC） = G ABC的重心（P是平面上任意点）.证明PG = PA + AG = PB+BG = PC+CG => 3PG =（AG + BG + CG）+（PA + PB+PC）•••G是△48C的重心GA + GB + GC = O => AG + BG + CG =0 :艮卩3西=旋+ 应+ 祐由此可得PG = ^（PA + PB + PC）.（反之亦然（证略））A * I»/-1 ^ABOC = =^A AOB = T^A-XBC*若。

是MBC的重心，则3"・8C = 0 “…工、2.________ => P为△人BCK垂心BP・AC = O* 点。

是的垂心<=> OP[ OR=O E O^=O^ OP1证明：。

是月的垂心<=> 死丄密，两职二0 =两（区-死） = 00死而二两函同理勇丄感。

O^ OP^OP^OR故当且仅当0P c0R,=0R10P i = 0P.0P i*。

是△奶C所在平面内一点岡 + BC = OC + BA = OB + AQ则0是左ABC的垂心*若H是Z\ABC（非直角三角形）的垂心,AP = AAB I cos B I AC I cos C | AB \ cos B \ AC |cosC_ I BC I -1 AB I cos（刀一B） * I BC \ -1 AC | cos C故tanA・用+tanB・丽+tanC・我=63.点。