第3章 三角函数,解三角形 第6节

正弦定理和余弦定理及其应用【选题明细表】知识点、方法题号利用正、余弦定理解三角形1,2,7与三角形面积有关的计算6,8三角形形状的判断3几何计算问题12,13实际问题与综合问题4,5,9,10,11,14基础巩固(时间:30分钟)1.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a=,c=2,cos A=,则b等于(　D　)(A)(B)(C)2(D)3解析:由余弦定理得5=b2+4-2×b×2×,解得b=3（b=-舍去）,选D.2.在△ABC中,B=,BC边上的高等于BC,则sin A等于(　D　)(A)(B)(C)(D)解析: 如图,设BC边上的高为AD,因为B=,所以∠BAD=.所以BD=AD,又AD=BC,所以DC=2AD,所以sin∠BAC=sin(∠BAD+∠DAC)=sin 45°cos∠DAC+cos45°sin∠DAC=×+×=.故选D.3.(2018·杭州模拟)在△ABC中,cos =,则△ABC一定是(　A　)(A)等腰三角形 (B)直角三角形(C)等腰直角三角形(D)无法确定解析:由cos =得2cos2-1=cos A=cos B,所以A=B,故选A.4.(2018·通辽模拟)海面上有A,B,C三个灯塔,AB=10n mile,从A望C和B成60°视角,从B望C和A成75°视角,则BC等于(　D　)(A)10n mile(B)n mile(C)5n mile (D)5n mile解析:由题意可知,∠CAB=60°,∠CBA=75°,所以∠C=45°,由正弦定理得=,所以BC=5.5.(2018·南宁模拟)在△ABC中,若sin2A≤sin2B+sin2C-sin Bsin C,则A的取值范围是(　C　)(A)(0,］(B)［,π)(C)(0,］(D)［,π)解析:由正弦定理角化边,得a2≤b2+c2-bc.所以b2+c2-a2≥bc,所以cos A=≥,所以0<A≤.6.(2018·淄博一模)南宋时期的数学家秦九韶独立发现的计算三角形面积的“三斜求积术”,与著名的海伦公式等价,其求法是“以小斜幂并大斜幂减中斜幂,余半之,自乘于上,以小斜幂乘大斜幂减小,余四约之,为实.一为从隅,开平方得积.”若把以上这段文字写成公式,即S=.现有周长为2+的△ABC满足:sin A∶sin B∶sin C=(-1)∶∶(+1).试用“三斜求积术”求得△ABC 的面积为(　A　)(A)(B)(C)(D)解析:因为sin A∶sin B∶sin C=(-1)∶∶(+1),由正弦定理得a∶b∶c=(-1)∶∶(+1).因为a+b+c=2+,所以a=-1,b=,c=+1.所以ac=2-1=1.c2+a2-b2=1.所以S==.故选A.7.(2017·全国Ⅲ卷)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知C=60°,b=,c=3,则A= .解析:由正弦定理=得=,所以sin B=,又b<c,所以B<C,所以B=45°,A=180°-60°-45°=75°.答案:75°8.(2017·浙江卷)已知△ABC,AB=AC=4,BC=2.点D为AB延长线上一点,BD=2,连接CD,则△BDC的面积是 ,cos∠BDC= . 解析:依题意作出图形,如图所示.则sin∠DBC=sin∠ABC.由题意知AB=AC=4,BC=BD=2,则cos∠ABC=,sin∠ABC=.所以S△BDC=BC·BD·sin∠DBC=×2×2×=.因为cos∠DBC=-cos∠ABC=-==,所以CD=.由余弦定理,得cos∠BDC==.答案:　能力提升(时间:15分钟)9.(2018·宁波模拟)在△ABC中,a,b,c分别是内角A,B,C所对的边,且cos 2B+3cos (A+C)+2=0,b=,则c∶sin C等于(　D　)(A)3∶1(B)∶1(C)∶1(D)2∶1解析:由cos 2B+3cos (A+C)+2=0,得2cos2B-3cos B+1=0,解得cosB=1(舍去)或cos B=,所以sin B=,所以由正弦定理知c∶sin C=b∶sin B=2∶1.10.(2018·石家庄一模)在△ABC中,AB=2,C=,则AC+BC的最大值为(　D　)(A)(B)2(C)3(D)4解析:由正弦定理可得,====4.因为A+B=.所以AC+BC=4sin B+4sin A=4sin B+4sin(-B)=4sin B+4(cos B+sin B)=2cos B+10sin B=4sin(B+θ)(tan θ=),因为0<B<,故AC+BC的最大值为4.11. (2018·内蒙古赤峰模拟)如图,航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内,已知飞机的飞行高度为10 000 m,速度为50 m/s.某一时刻飞机看山顶的俯角为15°,经过420 s后看山顶的俯角为45°,则山顶的海拔高度为 m.(取≈1.4,≈1.7)解析: 如图,作CD垂直于AB的延长线于点D,由题意知∠A=15°,∠DBC=45°,所以∠ACB=30°,AB=50×420=21 000(m).又在△ABC中,=,所以BC=×sin 15°=10 500(-)(m).因为CD⊥AD,所以CD=BC·sin ∠DBC=10 500(-)×=10 500(-1)≈7 350(m).故山顶的海拔高度h=10 000-7 350=2 650(m).答案:2 65012. (2018·四川泸州二珍)如图,在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.a=b(sin C+cos C).若A=,D为△ABC外一点,DB=2,DC=1,则四边形ABDC面积的最大值为 .解析:因为a=b(sin C+cos C),所以由正弦定理得sin A=sin∠ABC(sin C+cos C).即sin(∠ABC+C)=sin∠ABC(sin C+cos C),所以cos∠ABCsin C=sin∠ABCsin C.因为C∈(0,π),所以sin C≠0,所以tan∠ABC=1.又∠ABC∈(0,π),所以∠ABC=.在△BCD中,因为DB=2,DC=1,所以BC2=12+22-2×2×1·cos D=5-4cos D.又因为A=,∠ABC=,所以△ABC为等腰直角三角形.所以S△ABC=BC2=-cos D.又因为S△BCD=·BD·CD·sin D=sin D.所以S四边形ABDC=-cos D+sin D=+sin(D-).所以当D=时,S四边形ABDC最大.最大值为+.答案:+13. (2018·福建宁德一检)如图,△ABC中,D为AB边上一点,BC=1, B=.(1)若△BCD的面积为,求CD的长;(2)若A=,=,求的值.解:(1)BC=1,B=,S△BCD=BC·BD·sin B=×1×BD×=,BD=.在△BCD中,由余弦定理得CD2=BC2+BD2-2BC·BD·cos B=1+2-2×1××=1,所以CD=1.(2)在△ACD中,由正弦定理得=,所以sin ∠ACD===,在△BCD中,由正弦定理得=,所以sin ∠DCB===,所以==×=.14.(2018·江西联考)已知函数f(x)=2sin 2x-2sin 2(x-),x∈R. (1)求函数y=f(x)的对称中心;(2)已知在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且f（+）=,△ABC的外接圆半径为,求△ABC周长的最大值.解:由f(x)=1-cos 2x-（1-cos[2（x-）］=cos(2x-)-cos 2x=cos2x+sin 2x-cos 2x=sin 2x-cos 2x=sin(2x-).(1)令2x-=kπ(k∈Z),则x=+(k∈Z),所以函数y=f(x)的对称中心为(+,0),k∈Z.(2)由f(+)=得sin（B+）=⇒sin B+cos B=⇒asin B+acos B=b+c,由正弦定理得sin Asin B+sin Acos B=sin B+sin C⇒sin AsinB=sin B+cos Asin B,又因为sin B≠0,所以sin A-cos A=1⇒sin(A-)=.由0<A<π得-<A-<,所以A-=,即A=.又△ABC的外接圆的半径为,所以a=2sin A=3.由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A=b2+c2-bc=(b+c)2-3bc≥(b+c)2-(b+c)2=.即b+c≤6,当且仅当b=c时取等号,所以△ABC周长的最大值为9.。

[练案25]第六讲 正弦定理、余弦定理A 组基础巩固一、单择题1．在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝3，BC ＝7，则∠BAC ＝( C ) A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6[解析] 因为在△ABC 中，设AB ＝c ＝5，AC ＝b ＝3，BC ＝a ＝7，所以由余弦定理得cos ∠BAC ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝9＋25－4930＝－12，因为∠BAC 为△ABC 的内角，所以∠BAC ＝2π3.故选C.2．已知△ABC 中，A ＝π6，B ＝π4，a ＝1，则b 等于( D )A ．2B ．1C ． 3D ． 2[解析] 由正弦定理a sin A ＝bsin B，得1sin π6＝b sinπ4，所以112＝b 22，所以b ＝ 2. 3．已知△ABC 中，A ︰B ︰C ＝1︰1︰4，则a ︰b ︰c ＝( A ) A ．1︰1︰ 3 B ．2︰2︰ 3 C ．1︰1︰2D ．1︰1︰4[解析] △ABC 中，A ︰B ︰C ＝1︰1︰4，所以A ＝π6，B ＝π6，C ＝23π，a ︰b ︰c ＝sin A︰sin B ︰sin C ＝12︰12︰32＝1︰1︰ 3.4．(2018·全国卷Ⅲ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若△ABC 的面积为a 2＋b 2－c 24，则C ＝( C )A ．π2B ．π3C ．π4D ．π6[解析] 由题可知S △ABC ＝12ab sin C ＝a 2＋b 2－c 24，所以a 2＋b 2－c 2＝2ab sin C ，由余弦定理a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C ，所以sin C ＝cos C ．因为C ∈(0，π)，所以C ＝π4.故选C.5．(2020·某某武邑中学调研)黑板上有一道有解的解三角形的习题，一位同学不小心把其中一部分擦去了，现在只能看到：在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知a ＝2，…，解得b ＝6，根据以上信息，你认为下面哪个选项可以作为这个习题的其余已知条件( B )A ．A ＝30°，B ＝45° B ．C ＝75°，A ＝45° C ．B ＝60°，c ＝3D ．c ＝1，cos C ＝13[解析] 由C ＝75°，A ＝45°可知B ＝60°，又asin A ＝b sin B ，∴b ＝a sin B sin A ＝2sin 60°sin 45°＝322＝6，符合题意，故选B.6．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin A sin B ＝ac，(b ＋c ＋a )(b ＋c －a )＝3bc ，则△ABC 的形状是( C )A ．直角三角形B ．等腰非等边三角形C ．等边三角形D ．钝角三角形[解析] ∵sin A sin B ＝a c ，∴a b ＝ac，∴b ＝c .又(b ＋c ＋a )(b ＋c －a )＝3bc ，∴b 2＋c 2－a 2＝bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12.∵A ∈(0，π)，∴A ＝π3.∴△ABC 是等边三角形，故选C.二、多选题7．在△ABC 中，a ＝4，b ＝8，A ＝30°，则此三角形的边角情况可能是( ACD ) A ．B ＝90° B ．C ＝120° C ．c ＝4 3 D ．C ＝60°[解析] ∵asin A ＝b sin B ，∴sin B ＝b sin A a＝1，∴B ＝90°，C ＝60°，c ＝4 3.故选A 、C 、D.8．(2020·某某某某期中)下列关于正弦定理的叙述中正确的是( ACD )A ．在△ABC 中，a ︰b ︰c ＝sin A ︰sinB ︰sinC B ．在△ABC 中，若sin 2A ＝sin 2B ，则A ＝BC ．在△ABC 中，若sin A >sin B ，则A >B ；若A >B ，则sin A >sin BD ．在△ABC 中，a sin A ＝b ＋csin B ＋sin C[解析] 对于A ，在△ABC 中，由正弦定理可得a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ，所以a ︰b ︰c ＝sin A ︰sin B ︰sin C ，故A 正确；对于B ，若sin 2A ＝sin 2B ，则2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π，可得A ＝B 或A ＋B ＝π2，故B 错误；对于C ，若sin A >sin B ，根据正弦定理a＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，得a >b ，再根据大边对大角可得A >B .若A >B ，则a >b ，由正弦定理a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，得sin A >sin B ，故C 正确；对于D ，由a sin A ＝b sin B ＝csin C，再根据比例式的性质可知D 正确．故选A 、C 、D.三、填空题9．(2015·某某卷)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝3，sin B ＝12，C ＝π6，则b ＝__1__. [解析] ∵sin B ＝12且B ∈(0，π)，∴B ＝π6或5π6，又C ＝π6，∴B ＝π6，A ＝π－B －C ＝2π3.又a ＝3，由a sin A ＝b sin B ，得3sin 2π3＝bsinπ6，∴b ＝1.10．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，已知b cos C ＋c cos B ＝2b ，则ab＝__2__ [解析] 解法一：由正弦定理sin B cos C ＋sin C cos B ＝2sin B ，即sin (B ＋C )＝sin A ＝2sin B ，有a b ＝sin Asin B＝2.解法二：由余弦定理得b ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·a 2＋c 2－b 22ac ＝2b ，化简得a ＝2b ，因此，ab＝2.解法三：由三角形射影定理，知b cos C ＋c cos B ＝a ，所以a ＝2b ，所以ab＝2.故填2. 11．(2017·某某节选)已知△ABC ，AB ＝AC ＝4，BC ＝2.点D 为AB 延长线上一点，BD ＝2，连接CD ，则△BDC 的面积是152.[解析] 取BC 中点E ，由题意，AE ⊥BC .△ABE 中，cos ∠ABC ＝BE AB ＝14，所以cos ∠DBC ＝－14，sin ∠DBC ＝1－116＝154，所以S △BCD ＝12×BD ×BC ×sin ∠DBC ＝152.故填152. 12．(2019·某某)在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝4，BC ＝3，点D 在线段AC 上．若∠BDC ＝45°，则BD ＝1225，cos ∠ABD ＝7210.[解析] 在Rt △ABC 中，易得AC ＝5，sin C ＝AB AC ＝45.在△BCD 中，由正弦定理得BD ＝BCsin ∠BDC×sin ∠BCD ＝322×45＝1225，sin ∠DBC ＝sin [π－(∠BCD ＋∠BDC )]＝sin (∠BCD ＋∠BDC )＝sin ∠BCD cos ∠BDC ＋cos ∠BCD ·sin ∠BDC ＝45×22＋35×22＝7210.又∠ABD ＋∠DBC ＝π2，所以cos ∠ABD ＝sin ∠DBC ＝7210. 三、解答题13．(2019·)在△ABC 中，a ＝3，b －c ＝2，cos B ＝－12.(1)求b ，c 的值； (2)求sin (B ＋C )的值．[解析] (1)由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得b 2＝32＋c 2－2×3×c ×(－12)．因为b ＝c ＋2，所以(c ＋2)2＝32＋c 2－2×3×c ×(－12)．解得c ＝5. 所以b ＝7.(2)由cos B ＝－12得sin B ＝32.由正弦定理得sin A ＝a b sin B ＝3314.在△ABC 中，B ＋C ＝π－A . 所以sin (B ＋C )＝sin A ＝3314.14．(2019·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设(sin B －sin C )2＝sin 2A －sinB sinC .(1)求A ；(2)若2a ＋b ＝2c ，求sin C .[解析] 由已知得sin 2B ＋sin 2C －sin 2A ＝sinB sinC ，故由正弦定理得b 2＋c 2－a 2＝bc .由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12.因为0°<A <180°，所以A ＝60°.(2)由(1)知B ＝120°－C ，由题设及正弦定理得2sin A ＋sin (120°－C )＝2sin C ，即62＋32cos C ＋12sin C ＝2sin C ，可得cos (C ＋60°)＝－22. 由于0°<C <120°，所以sin (C ＋60°)＝22，故 sin C ＝sin (C ＋60°－60°)＝sin (C ＋60°)cos 60°－cos (C ＋60°)sin 60° ＝6＋24. B 组能力提升1．(2020·某某省级示X 性高中联合体联考)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若3sin A ＝2sin C ，b ＝5，cos C ＝－13，则a ＝(C)A ．3B ．4C ．6D ．8[解析] 由3sin A ＝2sin C 及正弦定理，得3a ＝2c ，设a ＝2k (k >0)，则c ＝3k .由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝25－5k 220k ＝－13，解得k ＝3或k ＝－53(舍去)，从而a ＝6.故选C.2．(2020·某某某某七中一诊)设a ，b ，c 分别是△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，已知(b ＋c )sin (A ＋C )＝(a ＋c )·(sin A －sin C )，则A ＝(C)A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°[解析] 依题意，知(b ＋c )sin B ＝(a ＋c )(sin A －sin C )，由正弦定理，得(b ＋c )b ＝(a ＋c )·(a －c )，即b 2＋c 2－a 2＝－bc .由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－bc 2bc ＝－12，所以A ＝120°.故选C.3．(2020·某某四校摸底调研)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin Asin B ＋sin C ＋ba ＋c＝1，则C ＝(B)A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6[解析] 由正弦定理及sin A sin B ＋sin C ＋b a ＋c ＝1，得a b ＋c ＋b a ＋c＝1，整理可得a 2＋b 2－c2＝ab ，由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，又C ∈(0，π)，所以C ＝π3.故选B.4．(2020·某某某某部分重点中学第一次联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2a cos B ＝c ，sin A sin B (2－cos C )＝sin 2C 2＋12，则△ABC 为(B)A ．等边三角形B ．等腰直角三角形C ．锐角非等边三角形D ．钝角三角形[解析] 由2a cos B ＝c 及正弦定理，得2sin A cos B ＝sin C ．在△ABC 中，因为sin C＝sin (A ＋B )，所以2sin A cos B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ，整理得sin (A －B )＝0，又A ，B ∈(0，π)，所以A ＝B .因为sin A sin B (2－cosC )＝sin 2C 2＋12，所以sin A sin B [2－(1－2sin 2C 2)]＝sin 2C 2＋12，即sin A sin B (1＋2sin 2C 2)＝12(1＋2sin 2C 2)，所以sin A sin B ＝12.又A＝B ，且A ，B ∈(0，π)，所以A ＝B ＝π4，所以C ＝π－A －B ＝π2，所以△ABC 是等腰直角三角形．故选B.5．(2019·某某)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c . (1)若a ＝3c ，b ＝2，cos B ＝23，求c 的值；(2)若sin A a ＝cos B 2b ，求sin (B ＋π2)的值．[解析] (1)因为a ＝3c ，b ＝2，cos B ＝23，由余弦定理cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac，得23＝3c 2＋c 2－222×3c ×c ，即c 2＝13.所以c ＝33. (2)因为sin A a ＝cos B2b，由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得cos B 2b ＝sin Bb，所以cos B ＝2sin B .从而cos 2B ＝(2sin B )2，即cos 2B ＝4(1－cos 2B )， 故cos 2B ＝45.因为sin B >0，所以cos B ＝2sin B >0，从而cos B ＝255. 因此sin (B ＋π2)＝cos B ＝255.。

第六节 解三角形2019考纲考题考情1．正弦定理asin A＝b sin B ＝csin C＝2R 其中2R 为△ABC 外接圆直径。

变式：a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C 。

a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C 。

2．余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ；b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ； c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 。

变式：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ；cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ；cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab。

sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C －2sin B sin C cos A 。

3．解三角形(1)已知三边a，b ，c 。

运用余弦定理可求三角A ，B ，C 。

(2)已知两边a ，b 及夹角C 。

运用余弦定理可求第三边c 。

(3)已知两边a ，b 及一边对角A 。

先用正弦定理，求sin B ，sin B ＝b sin Aa。

①A 为锐角时，若a <b sin A ，无解；若a ＝b sin A ，一解；若b sin A <a <b ，两解；若a ≥b ，一解。

②A 为直角或钝角时，若a ≤b ，无解；若a >b ，一解。

(4)已知一边a 及两角A ，B (或B ，C )用正弦定理，先求出一边，后求另一边。

4．三角形常用面积公式(1)S ＝12a ·h a (h a 表示a 边上的高)。

(2)S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A ＝abc 4R 。

(3)S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为内切圆半径)。

在△ABC 中，常有以下结论： 1．∠A ＋∠B ＋∠C ＝π。

2．任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。

3．sin(A ＋B )＝sin C ；cos(A ＋B )＝－cos C ；tan(A ＋B )＝－tan C ；sin A ＋B2＝cos C 2；cos A ＋B 2＝sin C2。

第6讲 正弦定理和余弦定理1.正弦定理、余弦定理在△ABC 中，若角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，R 为△ABC 外接圆的半径，则2.在△ABC 中，已知a ，b 和A 时，三角形解的情况3.三角形中常用的面积公式 (1)S ＝12ah (h 表示边a 上的高)．(2)S ＝12bc sin A ＝□0112ac sin B ＝□0212ab sin C . (3)S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为三角形的内切圆半径)．1.概念辨析(1)正弦定理和余弦定理对任意三角形都成立．( ) (2)在△ABC 中，若sin A >sin B ，则A >B .( )(3)在△ABC 的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素．( ) (4)当b 2＋c 2－a 2>0时，三角形ABC 为锐角三角形．( ) 答案 (1)√ (2)√ (3)× (4)× 2.小题热身(1)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝5，c ＝2，cos A ＝23，则b＝( )A. 2B. 3 C ．2 D ．3 答案 D解析 由余弦定理得5＝b 2＋4－2×b ×2×23，解得b ＝3或b ＝－13(舍去)，故选D.(2)已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A cos B ＝ba ＝2，则该三角形的形状是( )A.直角三角形 B ．等腰三角形 C.等边三角形 D ．钝角三角形答案 A解析 因为cos A cos B ＝b a ，由正弦定理得cos A cos B ＝sin B sin A ，所以sin2A ＝sin2B .由ba＝2，可知a ≠b ，所以A ≠B .又A ，B ∈(0，π)，所以2A ＝180°－2B ，即A ＋B ＝90°，所以C ＝90°，于是△ABC 是直角三角形．(3)在△ABC 中，a ＝32，b ＝23，cos C ＝13，则△ABC 的面积为________．答案 4 3解析 ∵cos C ＝13，0<C <π，∴sin C ＝223，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×32×23×223＝4 3.(4)在△ABC 中，a ＝4，b ＝5，c ＝6，则sin2Asin C ＝________.答案 1解析因为a＝4，b＝5，c＝6，所以cos A＝b2＋c2－a22bc＝52＋62－422×5×6＝34，所以sin2Asin C＝2sin A cos Asin C＝2a cos Ac＝2×4×346＝1.题型一利用正、余弦定理解三角形角度1 用正弦定理解三角形1.(1)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝3，sin B＝12，C＝π6，则b＝________；(2)(2017·全国卷Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知C＝60°，b ＝6，c＝3，则A＝________.答案(1)1 (2)75°解析(1)因为sin B＝12且B∈(0，π)，所以B＝π6或B＝5π6，又C＝π6，所以B＝π6，A＝π－B－C＝2π3，又a＝3，由正弦定理得asin A＝bsin B，即3sin2π3＝bsinπ6，解得b＝1.(2) 如图，由正弦定理，得3sin60°＝6sin B，∴sin B ＝22. 又c ＞b ，∴B ＝45°，∴A ＝180°－60°－45°＝75°. 角度2 用余弦定理解三角形2.(1)在△ABC 中，若b ＝1，c ＝3，A ＝π6，则cos5B ＝( )A.－32B.12C.12或－1 D ．－32或0 (2)在△ABC 中，AB ＝3，BC ＝13，AC ＝4，则边AC 上的高为( ) A.322 B.332 C.32D ．3 3 答案 (1)A (2)B解析 (1)因为b ＝1，c ＝3，A ＝π6，所以由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝1＋3－2×1×3×32＝1， 所以a ＝1.由a ＝b ＝1，得B ＝A ＝π6，所以cos5B ＝cos 5π6＝－cos π6＝－32.(2)由题意得cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC＝32＋42－1322×3×4＝12， ∴sin A ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝32， ∴边AC 上的高h ＝AB sin A ＝332. 角度3 综合利用正、余弦定理解三角形3.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2a cos C －c ＝2b . (1)求角A 的大小；(2)若c ＝2，角B 的平分线BD ＝3，求a .解 (1)∵2a cos C －c ＝2b ，由正弦定理得2sin A cos C －sin C ＝2sin B,2sin A cos C －sin C ＝2sin(A ＋C )＝2sin A cos C ＋2cos A sin C ，∴－sin C ＝2cos A sin C ，∵sin C ≠0，∴cos A ＝－12，又A ∈(0，π)，∴A ＝2π3.(2)在△ABD 中，由正弦定理得，AB sin ∠ADB ＝BDsin A，∴sin ∠ADB ＝AB sin A BD ＝22. 又∠ADB ∈(0，π)，A ＝2π3，∴∠ADB ＝π4，∴∠ABC ＝π6，∠ACB ＝π6，AC ＝AB ＝2，由余弦定理，得BC 2＝AB 2＋AC2－2AB ·AC ·cos A ＝(2)2＋(2)2－2×2×2cos 2π3＝6，∴a ＝ 6.用正弦、余弦定理解三角形的基本题型及解题方法(1)已知两角和一边①用三角形内角和定理求第三个角． ②用正弦定理求另外两条边． (2)已知两边及其中一边所对的角 ①用正弦定理(适用于优先求角的题) 以知a ，b ，A 解三角形为例： a ．根据正弦定理，经讨论求B ；b ．求出B 后，由A ＋B ＋C ＝180°，求出C ；c ．再根据正弦定理a sin A ＝csin C ，求出边c .②用余弦定理(适用于优先求边的题) 以知a ，b ，A 解三角形为例：列出以边c 为元的一元二次方程c 2－(2b cos A )c ＋(b 2－a 2)＝0，根据一元二次方程的解法，求边c ，然后应用正弦定理或余弦定理，求出B ，C .(3)已知两边和它们的夹角 ①用余弦定理求第三边．②用余弦定理的变形或正弦定理求另外两角． (4)已知三边可以连续用余弦定理求出两角，常常是分别求较小两边所对的角，再由A ＋B ＋C ＝180°，求出第三个角.1.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝62b ，A ＝2B ，则cos B 等于( ) A.66 B.65 C.64 D.63答案 C解析因为a＝62b，A＝2B，所以由正弦定理可得62bsin2B＝bsin B，所以622sin B cos B＝1sin B，所以cos B＝64.2.(2018·和平区模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a2－b2＝3 bc，且sin C＝23sin B，则角A的大小为________．答案π6解析由sin C＝23·sin B得c＝23b.∴a2－b2＝3bc＝3·23b2，即a2＝7b2.则cos A＝b2＋c2－a22bc＝b2＋12b2－7b243b2＝32.又A∈(0，π)．∴A＝π6.3．如图，在△ABC中，B＝45°，D是BC边上一点，AD＝5，AC＝7，DC＝3，则AB＝________.答案562解析在△ACD中，由余弦定理可得cos C＝49＋9－252×7×3＝1114，则sin C＝5314.在△ABC中，由正弦定理可得ABsin C＝ACsin B，则AB＝AC sin Csin B＝7×531422＝562.题型二利用正、余弦定理判定三角形的形状1.(2018·武汉调研)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cb<cos A ，则△ABC 为( )A.钝角三角形 B ．直角三角形 C.锐角三角形 D ．等边三角形答案 A解析 因为c b<cos A ，所以c <b cos A ， 由正弦定理得sin C <sin B cos A ，又A ＋B ＋C ＝π，所以sin C ＝sin(A ＋B )． 所以sin A cos B ＋cos A sin B <sin B cos A ， 所以sin A cos B <0，又sin A >0，所以cos B <0，B 为钝角，所以△ABC 是钝角三角形. 2.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin A sin B ＝ac，(b ＋c ＋a )(b ＋c －a )＝3bc ，则△ABC 的形状为( )A.直角三角形 B ．等腰非等边三角形 C.等边三角形 D ．钝角三角形答案 C解析 ∵sin A sin B ＝a c ，∴a b ＝ac ，∴b ＝c .又(b ＋c ＋a )(b ＋c －a )＝3bc ， ∴b 2＋c 2－a 2＝bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12.∵A ∈(0，π)，∴A ＝π3，∴△ABC 是等边三角形．条件探究1 把举例说明2中△ABC 满足的条件改为“a cos A ＝b cos B ”，判断△ABC 的形状．解 因为a cos A ＝b cos B ， 所以sin A cos A ＝sin B cos B ， 所以sin2A ＝sin2B ，又因为0<2A <2π，0<2B <2π，0<A ＋B <π， 所以2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π， 即A ＝B 或A ＋B ＝π2，所以△ABC 是等腰三角形或直角三角形．条件探究2 把举例说明2中△ABC 满足的条件改为“cos 2B 2＝a ＋c 2c”，判断△ABC 的形状．解 因为cos 2B 2＝a ＋c 2c， 所以12(1＋cos B )＝a ＋c 2c ，在△ABC 中，由余弦定理得 12＋12·a 2＋c 2－b 22ac ＝a ＋c 2c. 化简得2ac ＋a 2＋c 2－b 2＝2a (a ＋c )， 则c 2＝a 2＋b 2，所以△ABC 为直角三角形.1.应用余弦定理判断三角形形状的方法 在△ABC 中，c 是最大的边．若c 2<a 2＋b 2，则△ABC 是锐角三角形； 若c 2＝a 2＋b 2，则△ABC 是直角三角形； 若c 2＞a 2＋b 2，则△ABC 是钝角三角形． 2．判断三角形形状的常用技巧 若已知条件中既有边又有角，则(1)化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状． (2)化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，从而判断三角形的形状．此时要注意应用A ＋B ＋C ＝π这个结论.1.若△ABC 的三个内角满足sin A ∶sin B ∶sin C ＝5∶11∶13，则△ABC ( ) A.一定是锐角三角形 B.一定是直角三角形 C.一定是钝角三角形D.可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形 答案 C解析 由正弦定理得，a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝5∶11∶13，设a ＝5t ，b ＝11t ，c ＝13t (t >0)，则cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝5t2＋11t 2－13t 22×5t ×11t<0，所以C 是钝角，△ABC 是钝角三角形.2.设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )A.锐角三角形 B ．直角三角形 C.钝角三角形 D ．不确定答案 B解析 根据正弦定理，由b cos C ＋c cos B ＝a sin A 得sin B ·cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ，即sin(B ＋C )＝sin 2A ，又因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin(B ＋C )＝sin A ，所以sin A ＝1，由0<A <π，得A ＝π2.所以△ABC 是直角三角形.题型 三 与三角形面积有关的问题(2017·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知△ABC 的面积为a 23sin A. (1)求sin B sin C ；(2)若6cos B cos C ＝1，a ＝3，求△ABC 的周长． 解 (1)由题设得12ac sin B ＝a 23sin A ，即12c sin B ＝a 3sin A .由正弦定理得12sin C sin B ＝sin A3sin A .故sin B sin C ＝23.(2)由题设及(1)得cos B cos C －sin B sin C ＝－12，即cos(B ＋C )＝－12.所以B ＋C ＝2π3，故A ＝π3.由题意得12bc sin A ＝a23sin A ，a ＝3，所以bc ＝8.由余弦定理得b 2＋c 2－bc ＝9，即(b ＋c )2－3bc ＝9.由bc ＝8，得b ＋c ＝33. 故△ABC 的周长为3＋33.1.求三角形面积的方法(1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积，代入公式求面积．(2)若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积，总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键．2．已知三角形的面积求边、角的方法(1)若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解． (2)若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解.(2018·洛阳三模)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b sin B ＋(c －b )sin C ＝a sin A .(1)求角A 的大小；(2)若sin B sin C ＝38，且△ABC 的面积为23，求a .解 (1)由b sin B ＋(c －b )sin C ＝a sin A 及正弦定理得b 2＋(c －b )c ＝a 2，即b 2＋c 2－bc ＝a 2， 所以b 2＋c 2－a 22bc ＝cos A ＝12，所以A ＝π3.(2)由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C ，可得b ＝a sin B sin A ，c ＝a sin Csin A，所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12·a sin B sin A ·a sin Csin A·sin A＝a 2sin B sin C2sin A＝2 3.又sin B sin C ＝38，sin A ＝32，∴38a 2＝23，解得a ＝4.高频考点 用正弦、余弦定理进行边、角之间的转化考点分析 在综合运用正、余弦定理解决较为复杂的与解三角形有关的问题时，常利用边、角之间的转化与化归的方法解决．[典例1] (2018·枣庄二模)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且(a 2＋b 2－c 2)·(a cos B ＋b cos A )＝abc ，若a ＋b ＝2，则c 的取值范围为( )A ．(0,2)B ．[1,2) C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，2D ．(1,2]答案 B解析 由正、余弦定理，得2cos C (sin A cos B ＋sin B cos A )＝sin C .即 2cos C sin(A ＋B )＝sin C .所以2cos C sin C ＝sin C ，因为sin C ≠0，所以cos C ＝12.又C ∈(0，π)，所以C ＝π3.因为c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝(a ＋b )2－3ab ，且 (a ＋b )2≥4ab ，所以ab ≤1. 所以c 2≥1，即c ≥1，又c <a ＋b ＝2. 所以1≤c <2.[典例2] (2017·全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2b cos B ＝a cos C ＋c cos A ，则B ＝________.答案π3解析 解法一：由2b cos B ＝a cos C ＋c cos A 及正弦定理，得11 2sin B cos B ＝sin A cos C ＋sin C cos A .∴2sin B cos B ＝sin(A ＋C )．又A ＋B ＋C ＝π，∴A ＋C ＝π－B .∴2sin B cos B ＝sin(π－B )＝sin B .又sin B ≠0，∴cos B ＝12.∴B ＝π3. 解法二：∵在△ABC 中，a cos C ＋c cos A ＝b ， ∴条件等式变为2b cos B ＝b ，∴cos B ＝12. 又0<B <π，∴B ＝π3. [典例3] (2018·东北三省四市教研联合体模拟)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b ＝2，且2b cos B ＝a cos C ＋c cos A .(1)求B 的大小；(2)求△ABC 面积的最大值．解 (1)由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝Csin C可得 2sin B cos B ＝sin A cos C ＋sin C cos A ＝sin B ，∵sin B >0，故cos B ＝12，∵0<B <π，∴B ＝π3. (2)由b ＝2，B ＝π3及余弦定理可得ac ＝a 2＋c 2－4， 由基本不等式可得ac ＝a 2＋c 2－4≥2ac －4，ac ≤4，而且仅当a ＝c ＝2时，S △ABC ＝12ac sin B 取得最大值12×4×32＝3，故△ABC 的面积的最大值为 3.方法指导 1.两种主要方法1全部化为角的关系，用三角恒等变换及三角函数的性质解答.2全部化为边的关系，用因式分解、配方等方法变形.2.基本原则1若出现边的一次式一般采用正弦定理；2若出现边的二次式一般采用余弦定理.。

正弦定理和余弦定理及其应用【选题明细表】知识点、方法题号利用正、余弦定理解三角形1,2,7与三角形面积有关的计算6,8三角形形状的判断 3几何计算问题12,13实际问题与综合问题4,5,9,10,11,14基础巩固(时间:30分钟)1.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a= ,c=2,cos A= ,则b等于(D)(A) (B) (C)2 (D)3解析:由余弦定理得5=b2+4-2×b×2× ,解得b=3（b=- 舍去）,选D.2.在△ABC中,B= ,BC边上的高等于BC,则sin A等于(D)(A) (B) (C) (D)解析: 如图,设BC边上的高为AD,因为B= ,所以∠BAD= .所以BD=AD,又AD= BC,所以DC=2AD,所以sin∠BAC=sin(∠BAD+∠DAC)=sin 45°cos∠DAC+cos 45°sin∠DAC= ×+ ×= .故选D.3.(2018·杭州模拟)在△ABC中,cos = ,则△ABC一定是(A)(A)等腰三角形(B)直角三角形(C)等腰直角三角形(D)无法确定解析:由cos = 得2cos2 -1=cos A=cos B,所以A=B,故选A.4.(2018·通辽模拟)海面上有A,B,C三个灯塔,AB=10n mile,从A望C 和B成60°视角,从B望C和A成75°视角,则BC等于(D)(A)10 n mile (B) n mile(C)5 n mile (D)5 n mile解析:由题意可知,∠CAB=60°,∠CBA=75°,所以∠C=45°,由正弦定理得= ,所以BC=5 .5.(2018·南宁模拟)在△ABC中,若sin2A≤sin2B+sin2C-sin B sin C,则A的取值范围是(C)(A)(0, ］(B)［,π)(C)(0, ］(D)［,π)解析:由正弦定理角化边,得a2≤b2+c2-bc.所以b2+c2-a2≥bc,所以cos A= ≥,所以0<A≤.6.(2018·淄博一模)南宋时期的数学家秦九韶独立发现的计算三角形面积的“三斜求积术”,与著名的海伦公式等价,其求法是“以小斜幂并大斜幂减中斜幂,余半之,自乘于上,以小斜幂乘大斜幂减小,余四约之,为实.一为从隅,开平方得积.”若把以上这段文字写成公式,即S= .现有周长为2 + 的△ABC满足:sin A∶sin B∶sin C=( -1)∶∶( +1).试用“三斜求积术”求得△ABC的面积为(A)(A) (B) (C) (D)解析:因为sin A∶sin B∶sin C=( -1)∶∶( +1),由正弦定理得a∶b∶c=( -1)∶∶( +1).因为a+b+c=2 + ,所以a= -1,b= ,c= +1.所以ac=2-1=1.c2+a2-b2=1.所以S= = .故选A.7.(2017·全国Ⅲ卷)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.已知C=60°,b=,c=3,则A=.解析:由正弦定理= 得= ,所以sin B= ,又b<c,所以B<C,所以B=45°,A=180°-60°-45°=75°.答案:75°8.(2017·浙江卷)已知△ABC,AB=AC=4,BC=2. 点D 为AB 延长线上一点,BD=2,连接CD,则△BDC的面积是,cos∠BDC=. 解析:依题意作出图形,如图所示.则sin∠DBC=sin∠ABC.由题意知AB=AC=4,BC=BD=2,则cos∠ABC= ,sin∠ABC= .所以S△BDC= BC·BD·sin∠DBC= ×2×2×= .因为cos∠DBC=-cos∠ABC=-== ,所以CD= .由余弦定理,得cos∠BDC= = .答案:能力提升(时间:15分钟)9.(2018·宁波模拟)在△ABC中,a,b,c分别是内角A,B,C所对的边,且cos 2B+3cos (A+C)+2=0,b= ,则c∶sin C等于(D)(A)3∶1 (B) ∶1(C) ∶1 (D)2∶1解析:由cos 2B+3cos (A+C)+2=0,得2cos2B-3cos B+1=0,解得cosB=1(舍去)或cos B= ,所以sin B= ,所以由正弦定理知c∶sin C=b∶sin B=2∶1.10.(2018·石家庄一模)在△ABC中,AB=2,C= ,则AC+ BC的最大值为(D)(A) (B)2 (C)3 (D)4解析:由正弦定理可得,= = = =4.因为A+B= .所以AC+ BC=4sin B+4 sin A=4sin B+4 sin( -B)=4sin B+4 ( cos B+ sin B)=2 cos B+10sin B=4 sin(B+θ)(tan θ= ),因为0<B< ,故AC+ BC的最大值为4 .11. (2018·内蒙古赤峰模拟)如图,航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内,已知飞机的飞行高度为10 000 m,速度为50 m/s.某一时刻飞机看山顶的俯角为15°,经过420 s后看山顶的俯角为45°,则山顶的海拔高度为m.(取≈1.4, ≈1.7)解析: 如图,作CD垂直于AB的延长线于点D,由题意知∠A=15°,∠DBC=45°,所以∠ACB=30°,AB=50×420=21 000(m).又在△ABC中, = ,所以BC= ×sin15°=10 500( - )(m).因为CD⊥AD,所以CD=BC·sin∠DBC=10 500( - )×=10 500( -1)≈7 350(m).故山顶的海拔高度h=10 000-7 350=2 650(m).答案:2 65012. (2018·四川泸州二珍)如图,在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.a=b(sin C+cos C).若A= ,D为△ABC外一点,DB=2,DC=1,则四边形ABDC面积的最大值为.解析:因为a=b(sin C+cos C),所以由正弦定理得sin A=sin∠ABC(sin C+cos C). 即sin(∠ABC+C)=sin∠ABC(sin C+cos C),所以cos∠ABCsin C=sin∠ABCsin C.因为C∈(0,π),所以sin C≠0,所以tan∠ABC=1.又∠ABC∈(0,π),所以∠ABC= .在△BCD中,因为DB=2,DC=1,所以BC2=12+22-2×2×1·cos D=5-4cos D.又因为A= ,∠ABC= ,所以△ABC为等腰直角三角形.所以S△ABC= BC2= -cos D.又因为S△BCD= ·BD·CD·sin D=sin D.所以S四边形ABDC= -cos D+sin D= + sin(D- ).所以当D= 时,S四边形ABDC最大.最大值为+ .答案: +13. (2018·福建宁德一检)如图,△ABC中,D为AB边上一点,BC=1, B= .(1)若△BCD的面积为,求CD的长;(2)若A= , = ,求的值.解:(1)BC=1,B= ,S△BCD= BC·BD·sin B= ×1×BD×= ,BD= .在△BCD中,由余弦定理得CD2=BC2+BD2-2BC·BD·cos B=1+2-2×1××=1,所以CD=1.(2)在△ACD中,由正弦定理得= ,所以sin ∠ACD= = = ,在△BCD中,由正弦定理得= ,所以sin ∠DCB= = = ,所以= = ×= .14.(2018·江西联考)已知函数f(x)=2sin 2x-2sin 2(x- ),x∈R.(1)求函数y=f(x)的对称中心;(2)已知在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,且f（+ ）= ,△ABC的外接圆半径为,求△ABC周长的最大值.解:由f(x)=1-cos 2x-（1-cos[2（x- ）］=cos(2x- )-cos 2x= cos2x+ sin 2x-cos 2x= sin 2x- cos 2x=sin(2x- ).(1)令2x- =kπ(k∈Z),则x= + (k∈Z),所以函数y=f(x)的对称中心为( + ,0),k∈Z.(2)由f( + )= 得sin（B+ ）= ⇒sin B+ cos B= ⇒asin B+acos B=b+c,由正弦定理得sin A sin B+sin A cos B=sin B+sin C⇒sin A sin B=sinEarlybirdB+cos Asin B,又因为sin B≠0,所以sin A-cos A=1⇒sin(A- )= .由0<A<π得- <A- < ,所以A- = ,即A= .又△ABC的外接圆的半径为,所以a=2 sin A=3.由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A=b2+c2-bc=(b+c)2-3bc≥(b+c)2- (b+c)2= . 即b+c≤6,当且仅当b=c时取等号,所以△ABC周长的最大值为9.。

[课堂练通考点]1.sin (180°＋2α)1＋cos 2α·cos 2αcos (90°＋α)等于( )A ．－sin αB ．－cos αC ．sin αD ．cos α解析：选D 原式＝(－sin 2α)·cos 2α(1＋cos 2α)·(－sin α)＝2sin α·cos α·cos 2α2cos 2α·sin α＝cos α.2．化简：若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，且3cos 2α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α，则sin 2α的值为( )A.118 B ．－118 C.1718D ．－1718解析：选D cos 2α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α代入原式，得6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α，∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝16，∴sin 2α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α－1＝－1718.3.(创新题)设函数f (x )＝sin x ＋cos x ，f ′(x )是f (x )的导数，若f (x )＝2f ′(x )，则sin 2x －sin 2xcos 2x＝________. 解析：f ′(x )＝cos x －sin x ，由f (x )＝2f ′(x )得sin x ＋cos x ＝2cos x －2sin x ， ∴cos x ＝3sin x ，于是sin 2x －sin 2x cos 2x ＝sin 2x －2sin x cos x cos 2x＝sin 2x －6sin 2x 9sin 2x ＝－59. 答案：－594．若锐角α、β满足(1＋3tan α)(1＋3tan β)＝4，则α＋β＝________. 解析：由(1＋3tan α)(1＋3tan β)＝4， 可得tan α＋tan β1－tan αtan β＝3，即tan(α＋β)＝ 3.又α＋β∈(0，π)，所以α＋β＝π3. 答案：π35．(2013·揭阳二模)已知函数f (x )＝1－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4cos x .(1)求函数f (x )的定义域；(2)设α是第四象限的角，且tan α＝－43，求f (α)的值． 解：(1)函数f (x )要有意义，需满足cos x ≠0，解得x ≠π2＋k π，k ∈Z ，即f (x )的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠π2＋k π，k ∈Z . (2)∵f (x )＝1－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4cos x＝1－2⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin 2x －22cos 2x cos x ＝1＋cos 2x －sin 2xcos x＝2cos 2x －2sin x cos x cos x＝2(cos x －sin x )，由tan α＝－43得sin α＝－43cos α，又sin2α＋cos2α＝1，∴cos2α＝925.∵α是第四象限的角，∴cos α＝35，sin α＝－45，∴f(α)＝2(cos α－sin α)＝145.[课下提升考能]第Ⅰ卷：夯基保分卷1．已知tan α＝4，则1＋cos 2α＋8sin2αsin 2α的值为()A．4 3 B.65 4C．4 D.23 3解析：选B 1＋cos 2α＋8sin2αsin 2α＝2cos2α＋8sin2α2sin αcos α，∵tan α＝4，∴cos α≠0，分子分母都除以cos2α得1＋cos 2α＋8sin2αsin 2α＝2＋8tan2α2tan α＝654.2．计算tan⎝⎛⎭⎪⎫π4＋α·cos 2α2cos2⎝⎛⎭⎪⎫π4－α的值为()A．－2 B．2 C．－1 D．1解析：选D tan⎝⎛⎭⎪⎫π4＋α·cos 2α2cos2⎝⎛⎭⎪⎫π4－α＝sin⎝⎛⎭⎪⎫π4＋α·cos 2α2sin2⎝⎛⎭⎪⎫π4＋αcos⎝⎛⎭⎪⎫π4＋α＝cos 2α2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝cos 2αsin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝cos 2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2α＝cos 2αcos 2α＝1. 3．化简sin 235°－12cos 10°cos 80°等于( )A ．－2B ．－12C ．－1D ．1解析：选C sin 235°－12cos 10°cos 80°＝1－cos 70°2－12cos 10°sin 10°＝－12cos 70°12sin 20°＝－1.4．定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab c d ＝ad －bc .若cos α＝17，⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α sin βcos α cos β＝3314，0<β<α<π2，则β等于( )A.π12B.π6C.π4D.π3解析：选D 依题意有sin αcos β－cos αsin β＝sin(α－β)＝3314， 又0<β<α<π2，∴0<α－β<π2，故cos(α－β)＝1－sin 2α－β＝1314， 而cos α＝17，∴sin α＝437， 于是sin β＝sin[α－(α－β)] ＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝437×1314－17×3314＝32. 故β＝π3. 5．若sin x ＋cos xsin x －cos x＝3，tan(x －y )＝2，则tan(y －2x )＝________.解析：由sin x ＋cos xsin x －cos x＝3，得tan x ＋1tan x －1＝3，即tan x ＝2.又tan(y －x )＝－tan(x －y )＝－2， 所以tan(y －2x )＝tan (y －x )－tan x1＋tan (y －x )tan x＝－2－21－4＝43. 答案：436．(2014·湖南师大附中月考)计算： tan 12°－3(4cos 212°－2)sin 12°＝________. 解析：原式＝sin 12°cos 12°－32(2cos 212°－1)sin 12°＝sin 12°－3cos 12°2sin 12°cos 12° cos 24°＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin 12°－32cos 12°sin 24°cos 24°＝2sin (12°－60°)12sin 48°＝－4.答案：－47．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋7π4＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －3π4，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期和最小值；(2)已知cos(β－α)＝45，cos(β＋α)＝－45，0＜α＜β≤π2，求证：[f (β)]2－2＝0. 解：(1)∵f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＋2π＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4－π2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4，∴T ＝2π，f (x )的最小值为－2.(2)证明：由已知得cos βcos α＋sin βsin α＝45， cos βcos α－sin βsin α＝－45. 两式相加得2cos βcos α＝0. ∵0＜α＜β≤π2，∴β＝π2.∴[f (β)]2－2＝4sin 2π4－2＝0.8．已知0<α<π2<β<π，tan α2＝12，cos(β－α)＝210. (1)求sin α的值； (2)求β的值． 解：(1)∵tan α2＝12，∴tan α＝2tan α21－tan 2α2＝2×121－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝43，由⎩⎪⎨⎪⎧sin αcos α＝43，sin 2α＋cos 2α＝1，解得sin α＝45⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α＝－45舍去.(2)由(1)知cos α＝1－sin 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝35， 又0<α<π2<β<π，∴β－α∈(0，π)， 而cos(β－α)＝210，∴sin(β－α)＝1－cos 2(β－α)＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫2102＝7210， 于是sin β＝sin[α＋(β－α)] ＝sin αcos(β－α)＋cos αsin(β－α) ＝45×210＋35×7210＝22. 又β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴β＝3π4.第Ⅱ卷：提能增分卷1．已知，0<α<π2<β<π，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝13，sin(α＋β)＝45. (1)求sin 2β的值； (2)求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4的值．解：(1)法一：∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝cos π4cos β＋sin π4sin β＝22cos β＋22sin β＝13，∴cos β＋sin β＝23，∴1＋sin 2β＝29，∴sin 2β＝－79. 法二：sin 2β＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2β＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4－1＝－79. (2)∵0<α<π2<β<π，∴π4<β－π4<34π，π2<α＋β<3π2， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4>0，cos(α＋β)<0.∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝13，sin(α＋β)＝45，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝223，cos(α＋β)＝－35.∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤(α＋β)－⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝cos(α＋β)· cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＋sin(α＋β)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝－35×13＋45×223＝82－315.2．已知函数f (x )＝3cos(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，－π2<φ<0的最小正周期为π，且其图像经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，0.(1)求函数f (x )的解析式；(2)若函数g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6，α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且g (α)＝1，g (β)＝324，求g (α－β)的值．解：(1)依题意函数f (x )的最小正周期T ＝2πω＝π，解得ω＝2， 所以f (x )＝3cos(2x ＋φ)．因为函数f (x )的图像经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，0，所以3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×5π12＋φ＝0，则2×5π12＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ， 即φ＝k π－π3，k ∈Z . 由－π2<φ<0得φ＝－π3. 故f (x )＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.(2)依题意有g (x )＝3cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2×⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋π6－π3＝3cos x ， 由g (α)＝3cos α＝1，得cos α＝13， 同理g (β)＝3cos β＝324，得cos β＝24. 而α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以sin α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝223，sin β＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫242＝144，所以g (α－β)＝3cos(α－β)＝3(cos αcos β＋sin αsin β)＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫13×24＋223×144＝2＋474.3．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋3cos 2x －m ，若f (x )的最大值为1.(1)求m 的值，并求f (x )的单调递增区间；(2)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若f (B )＝3－1，且3a ＝b ＋c ，试判断三角形的形状．解：(1)f (x )＝2sin 2x ·cos π3＋3cos 2x －m ＝sin 2x ＋3cos 2x －m ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－m .又f (x )max ＝2－m ，所以2－m ＝1，得m ＝1. 由－π2＋2k π≤2x ＋π3≤π2＋2k π(k ∈Z ) 得到k π－5π12≤x ≤k π＋π12(k ∈Z )，所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－5π12，k π＋π12(k ∈Z )． (2)由f (B )＝3－1， 得2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B ＋π3－1＝3－1，所以B ＝π6.又3a ＝b ＋c ，则3sin A ＝sin B ＋sin C ， 3sin A ＝12＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－A ，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π6＝12，所以A ＝π3，C ＝π2，故△ABC 为直角三角形．。