广东省2020年高考数学试题分类汇(2)简易逻辑

1.集合与简易逻辑(2007年高考广东卷第1小题)已知集合1{10{0}1M x x N x x=+>=>-，，则M N =（C ）A ．{11}x x -<≤B ．{1}x x >C ．{11}x x -<<D ．{1}x x -≥(2008年高考广东卷第1小题)第二十九届夏季奥林匹克运动会将于2008年8月8日在北京举行，若集合A={参加北京奥运会比赛的运动员}，集合B={参加北京奥运会比赛的男运动员}，集合C={参加北京奥运会比赛的女运动员}，则下列关系正确的是（D ） A. A B ⊆B. B C ⊆C. B ∪C = AD. A∩B = C(2009年高考广东卷第1小题).已知全集U=R ，则正确表示集合M= {－1，0，1} 和N= { x |x 2+x=0} 关系的韦恩（Venn ）图是【答案】B【解析】由N= { x |x 2+x=0}{1,0}-得N M ⊂,选B.(2010年高考广东卷第1小题)若集合A =｛0，1，2，3｝，B =｛1，2，4｝，则集合A B =( A.)A ．｛0，1，2，3，4｝B ．｛1，2，3，4｝C ．｛1，2｝D ．｛0｝(2010年高考广东卷第8小题) “x >0”是>0”成立的( A.)A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．非充分非必要条件D ．充要条件(2011年高考广东卷第2小题)已知集{}{}22(,),1,(,),1A x y x y x y B x y x y x y =+==+=为实数，且为实数，且，则A B 的元素个数为(C)A ．4 B.3 C.2 D. 1(2012年高考广东卷第2小题)2．设集合{}1,2,3,4,5,6U =,{}1,3,5M =，则U C M =(A)A ．{}2,4,6B ．{}1,3,5C ．{}1,2,4D ．U (2013年高考广东卷第1题)1．已知集合{}220,S x x x x R=+=∈，{}220,T x x x x R=-=∈，则ST =（ A ）A.{0}B.{0,2}C.{-2,0}D. {-2,0,2}(2014年高考广东卷第1小题)已知集合{}{}5,3,2,0,4,3,2==N M ,则N M （ B ）A. {}2,0B. {}3,2C. {}4,3D. {}5,3(2014年高考广东卷第7小题)在ABC ∆中，角A,B,C 所对应的边分别为,,,c b a 则“b a ≤”是“B A sin sin ≤”的（ A ）A.充分必要条件B.充分非必要条件C.必要非充分条件D.非充分非必要条件。

专题2 集合与简易逻辑用语研究发现，课标全国卷的试卷结构和题型具有一定的稳定性和延续性，每个题型考查的知识点、考查方法、考查角度、思维方法等相对固定，掌握了全国卷的各种题型，就把握了全国卷命题的灵魂，基于此，潜心研究全国Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ卷及高考数学考试说明，精心分类汇总至少最近三年全国卷的所有题型（按年份先理后文排列），对把握全国卷命题的方向，指导我们的高考有效复习，走出题海，快速提升成绩，会起到事半功倍的效果。

集合与简易逻辑用语——近3年集合考了18道，每年每卷都是1题，简易逻辑用语近3年未考，在2015年和2017年各考了1题，集合都是以子、交、并、补的运算为主，多以解不等式等交汇，难度较低，基本上是每年的送分题，相信命题小组对集合题进行大幅度变化的决心不大。

简易逻辑用语这个考点包含的小考点较多，并且容易与函数、不等式、数列、三角函数、立体几何等交汇，热点就是“充要条件”，难点是“否定”与“否命题”，冷点是“全称”与“特称”，思想是“逆否”，要注意，这类问题可分为两大类，一类只涉及形式的变换，比较简单，另一类涉及命题的真假判断，较为复杂。

1.（2018年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅰ卷数学（理2））已知集合A={x|x2﹣x﹣2＞0}，则∁R A=（）A．{x|﹣1＜x＜2}B．{x|﹣1≤x≤2}C．{x|x＜﹣1}∪{x|x＞2}D．{x|x≤﹣1}∪{x|x≥2}【考点】补集及其运算．【专题】计算题；转化思想；综合法；集合；不等式．【分析】通过求解不等式，得到集合A，然后求解补集即可．【解答】解：集合A={x|x2﹣x﹣2＞0}，可得A={x|x＜﹣1或x＞2}，则：∁R A={x|﹣1≤x≤2}．故选：B．【点评】本题考查不等式的解法，补集的运算，是基本知识的考查．2.（2017年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅰ卷数学（理1））已知集合A={x|x＜1}，B={x|3x＜1}，则（）A．A∩B={x|x＜0} B．A∪B=RC．A∪B={x|x＞1}D．A∩B=∅【考点】交集及其运算．【专题】计算题；集合思想；定义法；集合．【分析】先分别求出集合A和B，再求出A∩B和A∪B，由此能求出结果．【解答】解：∵集合A={x|x＜1}，B={x|3x＜1}={x|x＜0}，∴A∩B={x|x＜0}，故A正确，D错误；A∪B={x|x＜1}，故B和C都错误．故选：A．【点评】本题考查交集和并集求法及应用，是基础题，解题时要认真审题，注意交集、并集定义的合理运用．3.（2016年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅰ卷数学（理1））设集合A={x|x2﹣4x+3＜0}，B={x|2x﹣3＞0}，则A∩B=（）A．（﹣3，﹣）B．（﹣3，）C．（1，）D．（，3）【考点】交集及其运算．【专题】计算题；定义法；集合．【分析】解不等式求出集合A，B，结合交集的定义，可得答案．【解答】解：∵集合A={x|x2﹣4x+3＜0}=（1，3），B={x|2x﹣3＞0}=（，+∞），∴A∩B=（，3），故选：D．【点评】本题考查的知识点是集合的交集及其运算，难度不大，属于基础题．4.（2018年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理2））已知集合A={（x，y）|x2+y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为（）A．9 B．8 C．5 D．4【考点】集合中元素个数的最值．【专题】分类讨论；定义法；集合．【分析】分别令x=﹣1，0，1，进行求解即可．【解答】解：当x=﹣1时，y2≤2，得y=﹣1，0，1，当x=0时，y2≤3，得y=﹣1，0，1，当x=1时，y2≤2，得y=﹣1，0，1，即集合A中元素有9个，故选：A．【点评】本题主要考查集合元素个数的判断，利用分类讨论的思想是解决本题的关键．5.（2017年普通高等学校招生统一考试新课标2卷数学（理2））设集合A={1，2，4}，B={x|x2﹣4x+m=0}．若A∩B={1}，则B=（）A．{1，﹣3}B．{1，0}C．{1，3}D．{1，5}【考点】交集及其运算．【专题】方程思想；定义法；集合．【分析】由交集的定义可得1∈A且1∈B，代入二次方程，求得m，再解二次方程可得集合B．【解答】解：集合A={1，2，4}，B={x|x2﹣4x+m=0}．若A∩B={1}，则1∈A且1∈B，可得1﹣4+m=0，解得m=3，即有B={x|x2﹣4x+3=0}={1，3}．故选：C．【点评】本题考查集合的运算，主要是交集的求法，同时考查二次方程的解法，运用定义法是解题的关键，属于基础题．6. （2016年普通高等学校招生统一考试新课标2卷数学（理2））已知集合A={1，2，3}，B={x|（x+1）（x﹣2）＜0，x∈Z}，则A∪B等于（）A．{1}B．{1，2}C．{0，1，2，3}D．{﹣1，0，1，2，3}【考点】并集及其运算．【专题】计算题；转化思想；定义法；集合．【分析】先求出集合A，B，由此利用并集的定义能求出A∪B的值．【解答】解：∵集合A={1，2，3}，B={x|（x+1）（x﹣2）＜0，x∈Z}={0，1}，∴A∪B={0，1，2，3}．故选：C．【点评】本题考查并集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意并集定义的合理运用．7.（2018年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅲ卷数学（理1））已知集合A={x|x﹣1≥0}，B={0，1，2}，则A∩B=（）A．{0}B．{1}C．{1，2}D．{0，1，2}【考点】1E：交集及其运算．【专题】37：集合思想；4A：数学模型法；5J：集合．【分析】求解不等式化简集合A，再由交集的运算性质得答案．【解答】解：∵A={x|x﹣1≥0}={x|x≥1}，B={0，1，2}，∴A∩B={x|x≥1}∩{0，1，2}={1，2}．故选：C．【点评】本题考查了交集及其运算，是基础题．8. （2017年普通高等学校招生统一考试新课标3卷数学（理1））已知集合A={（x，y）|x2+y2=1}，B={（x，y）|y=x}，则A∩B中元素的个数为（）A．3 B．2 C．1 D．0【考点】1E：交集及其运算．【专题】5J：集合．【分析】解不等式组求出元素的个数即可．【解答】解：由，解得：或，∴A∩B的元素的个数是2个，故选：B．【点评】本题考查了集合的运算，是一道基础题．9. （2016年普通高等学校招生统一考试新课标3卷数学（理1））设集合S={x|（x﹣2）（x﹣3）≥0}，T={x|x＞0}，则S∩T=（）A．[2，3]B．（﹣∞，2]∪[3，+∞）C．[3，+∞）D．（0，2]∪[3，+∞）【考点】1E：交集及其运算．【专题】37：集合思想；4O：定义法；5J：集合．【分析】求出S中不等式的解集确定出S，找出S与T的交集即可．【解答】解：由S中不等式解得：x≤2或x≥3，即S=（﹣∞，2]∪[3，+∞），∵T=（0，+∞），∴S∩T=（0，2]∪[3，+∞），故选：D．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．10.（2018年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅰ卷数学（文1））已知集合A={0，2}，B={﹣2，﹣1，0，1，2}，则A∩B=（）A．{0，2}B．{1，2}C．{0}D．{﹣2，﹣1，0，1，2}【考点】1E：交集及其运算．【专题】11：计算题；49：综合法；5J：集合．【分析】直接利用集合的交集的运算法则求解即可．【解答】解：集合A={0，2}，B={﹣2，﹣1，0，1，2}，则A∩B={0，2}．故选：A．【点评】本题考查集合的基本运算，交集的求法，是基本知识的考查．11.（2017年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅰ卷数学（文1））已知集合A={x|x＜2}，B={x|3﹣2x＞0}，则（）A．A∩B={x|x＜} B．A∩B=∅C．A∪B={x|x＜}D．A∪B=R【考点】1E：交集及其运算．【专题】11：计算题；37：集合思想；5J：集合．【分析】解不等式求出集合B，结合集合交集和并集的定义，可得结论．【解答】解：∵集合A={x|x＜2}，B={x|3﹣2x＞0}={x|x＜}，∴A∩B={x|x＜}，故A正确，B错误；A∪B={x||x＜2}，故C，D错误；故选：A．【点评】本题考查的知识点集合的交集和并集运算，难度不大，属于基础题．12. （2016年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅰ卷数学（文1））设集合A={1，3，5，7}，B={x|2≤x≤5}，则A∩B=（）A．{1，3}B．{3，5}C．{5，7}D．{1，7}【考点】1E：交集及其运算．【专题】11：计算题；29：规律型；5J：集合．【分析】直接利用交集的运算法则化简求解即可．【解答】解：集合A={1，3，5，7}，B={x|2≤x≤5}，则A∩B={3，5}．故选：B．【点评】本题考查交集的求法，考查计算能力．13.（2018年普通高等学校招生统一考试新课标2卷数学（文2））已知集合A={1，3，5，7}，B={2，3，4，5}，则A∩B=（）A．{3}B．{5}C．{3，5}D．{1，2，3，4，5，7}【考点】1E：交集及其运算．【专题】11：计算题；37：集合思想；4O：定义法；5J：集合．【分析】利用交集定义直接求解．【解答】解：∵集合A={1，3，5，7}，B={2，3，4，5}，∴A∩B={3，5}．故选：C．【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．14.（2017年普通高等学校招生统一考试新课标2卷数学（文1））设集合A={1，2，3}，B={2，3，4}，则A∪B=（）A．{1，2，3，4}B．{1，2，3}C．{2，3，4}D．{1，3，4}【考点】1D：并集及其运算．【专题】11：计算题；49：综合法．【分析】集合A={1，2，3}，B={2，3，4}，求A∪B，可用并集的定义直接求出两集合的并集．【解答】解：∵A={1，2，3}，B={2，3，4}，∴A∪B={1，2，3，4}故选：A．【点评】本题考查并集及其运算，解题的关系是正确理解并集的定义及求并集的运算规则，是集合中的基本概念型题．15.（2016年普通高等学校招生统一考试新课标2卷数学（文1））已知集合A={1，2，3}，B={x|x2＜9}，则A∩B=（）A．{﹣2，﹣1，0，1，2，3}B．{﹣2，﹣1，0，1，2}C．{1，2，3}D．{1，2}【考点】1E：交集及其运算．【专题】11：计算题；35：转化思想；4O：定义法；5J：集合．【分析】先求出集合A和B，由此利用交集的定义能求出A∩B的值．【解答】解：∵集合A={1，2，3}，B={x|x2＜9}={x|﹣3＜x＜3}，∴A∩B={1，2}．故选：D．【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．16.（2018年普通高等学校招生统一考试新课标3卷数学（文1））已知集合A={x|x﹣1≥0}，B={0，1，2}，则A∩B=（）A．{0}B．{1}C．{1，2}D．{0，1，2}【考点】1E：交集及其运算．【专题】37：集合思想；4A：数学模型法；5J：集合．【分析】求解不等式化简集合A，再由交集的运算性质得答案．【解答】解：∵A={x|x﹣1≥0}={x|x≥1}，B={0，1，2}，∴A∩B={x|x≥1}∩{0，1，2}={1，2}．故选：C．【点评】本题考查了交集及其运算，是基础题17.（2017年普通高等学校招生统一考试新课标3卷数学（文1））已知集合A={1，2，3，4}，B={2，4，6，8}，则A∩B中元素的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】1E：交集及其运算【专题】11：计算题；37：集合思想；4O：定义法；5J：集合．【分析】利用交集定义先求出A∩B，由此能求出A∩B中元素的个数．【解答】解：∵集合A={1，2，3，4}，B={2，4，6，8}，∴A∩B={2，4}，∴A∩B中元素的个数为2．故选：B．【点评】本题考查交集中元素个数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．18.（2016年普通高等学校招生统一考试新课标3卷数学（文1））设集合A={0，2，4，6，8，10}，B={4，8}，则∁A B=（）A．{4，8}B．{0，2，6}C．{0，2，6，10} D．{0，2，4，6，8，10}【考点】1H：交、并、补集的混合运算．【专题】11：计算题；29：规律型；5J：集合．【分析】根据全集A求出B的补集即可．【解答】解：集合A={0，2，4，6，8，10}，B={4，8}，则∁A B={0，2，6，10}．故选：C．【点评】本题考查集合的基本运算，是基础题．19. （2015年普通高等学校招生统一考试新课标3卷数学（理3））设命题p：∃n∈N，n2＞2n，则￢p为（）A．∀n∈N，n2＞2n B．∃n∈N，n2≤2nC．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2=2n【考点】2J：命题的否定．【专题】5L：简易逻辑．【分析】根据特称命题的否定是全称命题即可得到结论．【解答】解：命题的否定是：∀n∈N，n2≤2n，故选：C．【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．20. （2017年普通高等学校招生统一考试新课标1卷数学（理3））设有下面四个命题p1：若复数z满足∈R，则z∈R；p2：若复数z满足z2∈R，则z∈R；p 3：若复数z1，z2满足z1z2∈R，则z1=；p4：若复数z∈R，则∈R．其中的真命题为（）A．p1，p3B．p1，p4C．p2，p3D．p2，p4【考点】2K：命题的真假判断与应用；A1：虚数单位i、复数；A5：复数的运算．【专题】2A：探究型；5L：简易逻辑；5N：数系的扩充和复数．【分析】根据复数的分类，有复数性质，逐一分析给定四个命题的真假，可得答案．【解答】解：若复数z满足∈R，则z∈R，故命题p1为真命题；p2：复数z=i满足z2=﹣1∈R，则z∉R，故命题p2为假命题；p 3：若复数z1=i，z2=2i满足z1z2∈R，但z1≠，故命题p3为假命题；p4：若复数z∈R，则=z∈R，故命题p4为真命题．故选：B．【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了复数的运算，复数的分类，复数的运算性质，难度不大，属于基础题．。

2020年广东省高考数学试卷（理科）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．（5分）（2010•广东）若集合A={x|﹣2＜x＜1}，B={x|0＜x＜2}，则集合A∩B=（）A ．{x|﹣1＜x＜1}B．{x|﹣2＜x＜1}C．{x|﹣2＜x＜2}D．{x|0＜x＜1}2．（5分）（2010•广东）若复数z1=1+i，z2=3﹣i，则z1•z2=（）A．4+2i B．2+i C．2+2i D．33．（5分）（2010•广东）若函数f（x）=3x+3﹣x与g（x）=3x﹣3﹣x的定义域均为R，则（）A．f（x）与g（x）均为偶函数B．f（x）为奇函数，g（x）为偶函数C．f（x）与g（x）均为奇函数D．f（x）为偶函数，g（x）为奇函数4．（5分）（2010•广东）已知数列{a n}为等比数列，S n是它的前n项和，若a2•a3=2a1且a4与2a7的等差中项为，则S5=（）A．35 B．33 C．31 D．295．（5分）（2010•广东）“”是“一元二次方程x2+x+m=0有实数解”的（）A．充分非必要条件B．充分必要条件C．必要非充分条件D．非充分非必要条件6．（5分）（2010•广东）如图，△ABC为三角形，AA′∥BB′∥CC′，CC′⊥平面ABC 且3AA′=BB′=CC′=AB，则多面体△ABC﹣A′B′C′的正视图（也称主视图）是（）A．B．C．D．7．（5分）（2010•广东）sin7°cos37°﹣sin83°cos53°的值为（）A．﹣B．C．D．﹣8．（5分）（2010•广东）为了迎接2010年广州亚运会，某大楼安装5个彩灯，它们闪亮的顺序不固定．每个彩灯闪亮只能是红、橙、黄、绿、蓝中的一种颜色，且这5个彩灯闪亮的颜色各不相同，记这5个彩灯有序地闪亮一次为一个闪烁．在每个闪烁中，每秒钟有且只有一个彩灯闪亮，而相邻两个闪烁的时间间隔均为5秒．如果要实现所有不同的闪烁，那么需要的时间至少是（）A1205秒B1200秒C1195秒D1190秒．．．．二、填空题（共7小题，满分30分）9．（5分）（2011•上海）函数f（x）=lg（x﹣2）的定义域是_________．10．（5分）（2010•广东）若向量，，，满足条件，则x=_________．11．（5分）（2010•广东）已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若a=1，b=，A+C=2B，则sinC=_________．12．（5分）（2010•广东）若圆心在x轴上、半径为的圆O位于y轴左侧，且与直线x+y=0相切，则圆O的方程是_________．13．（5分）（2010•广东）某城市缺水问题比较突出，为了制定节水管理办法，对全市居民某年的月均用水量进行了抽样调查，其中4位居民的月均用水量分别为x1，…，x4（单位：吨）．根据如图所示的程序框图，若分别为1，1.5，1.5，2，则输出的结果s为_________．14．（5分）（2010•广东）如图，AB，CD是半径为a的圆O的两条弦，他们相交于AB的中点P，，∠OAP=30°，则CP=_________．15．（2010•广东）在极坐标系（ρ，θ）（0≤θ＜2π）中，曲线ρ=2sinθ与ρcosθ=﹣1的交点的极坐标为_________．三、解答题（共6小题，满分80分）16．（14分）（2010•广东）已知函数f（x）=Asin（3x+ρ）（A＞0，x∈（﹣∞，+∞），0＜ρ＜π）在时取得最大值4．（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）的解析式；（3）若，求sinα．17．（12分）（2010•广东）某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的重量（单位：克），重量的分组区间为（490，495]，（495，500]，…，（510，515]，由此得到样本的频率分布直方图，如图所示．（1）根据频率分布直方图，求重量超过505克的产品数量．（2）在上述抽取的40件产品中任取2件，设Y为重量超过505克的产品数量，求Y的分布列．（3）从流水线上任取5件产品，求恰有2件产品合格的重量超过505克的概率．18．（14分）（2010•广东）如图，是半径为a的半圆，AC为直径，点E为的中点，点B和点C为线段AD的三等分点，平面AEC外一点F满足，．（1）证明：EB⊥FD；（2）已知点Q，R为线段FE，FB上的点，，，求平面BED与平面RQD所成二面角的正弦值．19．（12分）（2010•广东）某营养师要求为某个儿童预订午餐和晚餐．已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C．另外，该儿童这两餐需要的营状中至少含64个单位的碳水化合物和42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C．如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐？20．（14分）（2010•广东）已知双曲线的左、右顶点分别为A1，A2，点P（x1，y1），Q（x1，﹣y1）是双曲线上不同的两个动点．（1）求直线A1P与A2Q交点的轨迹E的方程；（2）若过点H（0，h）（h＞1）的两条直线l1和l2与轨迹E都只有一个交点，且l1⊥l2，求h的值．21．（14分）（2010•广东）设A（x1，y1），B（x2，y2）是平面直角坐标系xOy上的两点，现定义由点A到点B的一种折线距离ρ（A，B）为ρ（A，B）=|x2﹣x1|+|y2﹣y1|对于平面xOy上给定的不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2），（1）若点C（x，y）是平面xOy上的点，试证明ρ（A，C）+ρ（C，B）≥ρ（A，B）；（2）在平面xOy上是否存在点C（x，y），同时满足①ρ（A，C）+ρ（C，B）=ρ（A，B）②ρ（A，C）=ρ（C，B）若存在，请求出所有符合条件的点，请予以证明．参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．D 2．A3．D 4. C5. 解：由x2+x+m=0知，⇔．（或由△≥0得1﹣4m≥0，∴．），反之“一元二次方程x2+x+m=0有实数解”必有，未必有，因此“”是“一元二次方程x2+x+m=0有实数解”的充分非必要条件．故选A．6. 解：△ABC为三角形，AA′∥BB′∥CC′，CC′⊥平面ABC，且3AA′=BB′=CC′=AB，则多面体△ABC﹣A′B′C′的正视图中，CC′必为虚线，排除B，C，3AA′=BB′说明右侧高于左侧，排除A．故选D7. 解：sin7°cos37°﹣sin83°cos53°=cos83°cos37°﹣sin83°sin37°=cos（83°+37°）=cos120°=﹣，8. 解：由题意知共有5！=120个不同的闪烁，每个闪烁时间为5秒，共5×120=600秒；每两个闪烁之间的间隔为5秒，共5×（120﹣1）=595秒．那么需要的时间至少是600+595=1195秒．故选C二、填空题（共7小题，满分30分）9．（2，+∞10．211. 1．12．（x+2）2+y2=213. 解：程序运行过程中，各变量值变化情况如下表：第一（i=1）步：s1=s1+x i=0+1=1第二（i=2）步：s1=s1+x i=1+1.5=2.5第三（i=3）步：s1=s1+x i=2.5+1.5=4第四（i=4）步：s1=s1+x i=4+2=6，s=×6=第五（i=5）步：i=5＞4，输出s=故答案为：14. 解：因为点P是AB的中点，由垂径定理知，OP⊥AB．在Rt△OPA中，．由相交弦定理知，BP•AP=CP•DP，即，所以．故填：15. 解：两条曲线的普通方程分别为x2+y2=2y，x=﹣1．解得由得点（﹣1，1），极坐标为．故填：三、解答题（共6小题，满分80分）16．解：（1）由周期计算公式，可得T=（2）由f（x）的最大值是4知，A=4，即sin（）=1∵0＜ρ＜π，∴∴，∴∴f（x）=4sin（3x+）（3）f（）=4sin[3（）+]=，即sin[3（）+]=，，，，17. 解：（1）重量超过505克的产品数量是40×（0.05×5+0.01×5）=12件；（2）Y的所有可能取值为0，1，2；，，，Y的分布列为（3）从流水线上任取5件产品，恰有2件产品合格的重量超过505克的概率服从二项分布∴从流水线上任取5件产品，恰有2件产品合格的重量超过505克的概率为=18. 1）证明：连接CF，因为是半径为a的半圆，AC为直径，点E为的中点，所以EB⊥AC．在RT△BCE中，．在△BDF中，，△BDF为等腰三角形，且点C是底边BD的中点，故CF⊥BD．在△CEF中，，所以△CEF为Rt△，且CF⊥EC．因为CF⊥BD，CF⊥EC，且CE∩BD=C，所以CF⊥平面BED，而EB⊂平面BED，∴CF⊥EB．因为EB⊥AC，EB⊥CF，且AC∩CF=C，所以EB⊥平面BDF，而FD⊂平面BDF，∴EB⊥FD．（2）解：设平面BED与平面RQD的交线为DG．由，，知QR∥EB．而EB⊂平面BDE，∴QR∥平面BDE，而平面BDE∩平面RQD=DG，∴QR∥DG∥EB．由（1）知，BE⊥平面BDF，∴DG⊥平面BDF，而DR，DB⊂平面BDF，∴DG⊥DR，DG⊥DB，∴∠RDB是平面BED与平面RQD所成二面角的平面角．在Rt△BCF中，，，．在△BDR中，由知，，由余弦定理得，=由正弦定理得，，即，．故平面BED与平面RQD所成二面角的正弦值为．19. 解：设为该儿童分别预订x个单位的午餐和y个单位的晚餐，设费用为F，则F=2.5x+4y，由题意知约束条件为：画出可行域如下图：变换目标函数：20. 解：（1）由A1，A2为双曲线的左右顶点知，，则，，两式相乘得，因为点P（x1，y1）在双曲线上，所以，即，所以，即，故直线A1P与A2Q交点的轨迹E的方程为．（x≠，x≠0）（2）设l1：y=kx+h（k＞0），则由l1⊥l2知，．将l1：y=kx+h代入得，即（1+2k2）x2+4khx+2h2﹣2=0，若l1与椭圆相切，则△=16k2h2﹣4（1+2k2）（2h2﹣2）=0，即1+2k2=h2；同理若l2与椭圆相切，则．由l1与l2与轨迹E都只有一个交点包含以下四种情况：[1]直线l1与l2都与椭圆相切，即1+2k2=h2，且，消去h2得，即k2=1，从而h2=1+2k2=3，即；[2]直线l1过点，而l2与椭圆相切，此时，，解得；[3]直线l2过点，而l1与椭圆相切，此时，1+2k2=h2，解得；[4]直线l 1过点，而直线l2过点，此时，，∴．综上所述，h的值为．21. （1）证明：由绝对值不等式知，ρ（A，C）+ρ（C，B）=|x﹣x1|+|x2﹣x|+|y﹣y1|+|y2﹣y≥|（x﹣x1）+（x2﹣x）|+|（y﹣y1）+（y2﹣y）|=|x2﹣x1|+|y2﹣y1|=ρ（A，B）当且仅当（x﹣x1）•（x2﹣x）≥0，且（y﹣y1）•（y2﹣y）≥0时等号成立．（2）解：由ρ（A，C）+ρ（C，B）=ρ（A，B）得（x﹣x1）•（x2﹣x）≥0且（y﹣y1）•（y2﹣y）≥0 （Ⅰ）由ρ（A，C）=ρ（C，B）得|x﹣x1|+|y﹣y1|=|x2﹣x|+|y2﹣y|（Ⅱ）因为A（x1，y1），B（x2，y2）是不同的两点，则：1°若x1=x2且y1≠y2，不妨设y1＜y2，由（Ⅰ）得x=x1=x2，且y1≤y≤y2，由（Ⅱ）得，此时，点C是线段AB的中点，即只有点满足条件；2°若x1≠x2且y1=y2，同理可得：只有AB的中点满足条件；3°若x1≠x2且y1≠y2，不妨设x1＜x2且y1＜y2，由（Ⅰ）得x1≤x≤x2且y1≤y≤y2，由（Ⅱ）得，此时，所有符合条件的点C的轨迹是一条线段，即：过AB的中点，斜率为﹣1的直线夹在矩形AA1BB1之间的部分，其中A（x1，y1），A1（x2，y1），B（x2，y2），B1（x1，y2）．。

2020高考真题分类汇编：集合与简易逻辑1.【2020高考真题浙江理1】设集合A={x|1＜x ＜4}，集合B ={x|2x -2x-3≤0}, 则A ∩（C R B ）=A .(1,4)B .(3,4) C.(1,3) D .(1,2)∪（3,4） 【答案】B 2.【2020高考真题新课标理1】已知集合{1,2,3,4,5}A =,{(,),,}B x y x A y A x y A =∈∈-∈；,则B 中所含元素的个数为（ ）()A 3 ()B 6 ()C 8 ()D 10【答案】D3.【2020高考真题陕西理1】集合{|lg 0}M x x =>，2{|4}N x x =≤，则M N =（ ）A. (1,2)B. [1,2)C. (1,2]D. [1,2] 【答案】C.4.【2020高考真题山东理2】已知全集{}0,1,2,3,4U =，集合{}{}1,2,3,2,4A B ==，则U C AB 为（A ）{}1,2,4 （B ）{}2,3,4 （C ）{}0,2,4 （D ）{}0,2,3,4 【答案】C5.【2020高考真题辽宁理1】已知全集U=｛0,1,2,3,4,5,6,7,8,9｝，集合A=｛0,1,3,5,8｝，集合B=｛2,4,5,6,8｝，则)()(B C A C U U 为(A){5,8} (B){7,9} (C){0,1,3} (D){2,4,6} 【答案】B【点评】本题主要考查集合的交集、补集运算，属于容易题。

采用解析二能够更快地得到答案。

6.【2020高考真题辽宁理4】已知命题p ：∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)≥0，则⌝p 是(A) ∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)≤0(B) ∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)≤0 (C) ∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)<0 (D) ∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)<0 【答案】C【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，属于容易题。

2020年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题（广东卷，解析版）本试卷共4页，21小题，满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4．作答选做题时．请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。

漏涂、错涂、多涂的．答案无效。

5．考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

参考公式：锥体的体积公式V =13sh ，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若集合A={x|-2＜x ＜1},B=A={x|0＜x ＜2},则集合A ∩B=A.{x|-1＜x ＜1}B.{x|-2＜x ＜1}C.{x|-2＜x ＜2}D.{x|0＜x ＜1} 1． 答案：D【命题意图】本题考查了集合的运算，考查了学生的计算能力。

【解析】本题考查了集合的运算。

结合数轴易得}10|{<<=x x B A I ．2.若复数z 1=1+i,z 2=3-i,则z1`z1= A.4+2i B.2+i C.2+2i D.3+i 2．答案：A【命题意图】本题考查复数的乘法运算，考查了学生的计算能力。

【解析】本题考查复数的乘法运算，考查了学生的计算能力。

计算得212(1)(3)3342z z i i i i i i •=+•-=-+-=+．3.若函数f(x)=3x+3x-与g(x)=33xx--的定义域均为R ，则 A ．f(x)与g(x)均为偶函数 B ．f(x)为奇函数，g(x)为偶函数 C ．f(x)与g(x)均为奇函数 D ．f(x)为偶函数．g(x)为奇函数3．答案：B4．已知数列{n a }为等比数列，ns 5是它的前n 项和,若2a *3a =2a ．，且4a 与27a 的等差中项为54，则5s = A ．35 B ．33 C ．3l D ．29 4．答案：C5. “14m <”是“一元二次方程20x x m ++=有实数解”的 A.充分非必要条件 B.充分必要条件 C.必要非充分条件 D.非充分非必要条件 5．答案：A 【命题意图】本题是在知识的文汇处命题，考查了充要条件的相关知识及一元二次方程有解的条件【解析】本题考查充要条件的相关知识及一元二次方程有解的条件。

高考数学模拟试题分类汇编：集合与简易逻辑一、选择题1、(某某省某某执信中学、某某纪念中学、某某外国语学校三校期末联考)设全集U=R ，A={x∈N ︱1≤x ≤10}，B={ x ∈R ︱x 2+ x －6=0}，则下图中阴影表示的集合为（ ） A ．{2} B ．{3} C ．{－3，2}D ．{－2，3} 答案：A 2、(某某省启东中学2008年高三综合测试一)当x ∈R ，下列四个集合中是空集的是（ ） A. {x|x 2-3x+2=0} B. {x|x 2＜x} C. {x|x 2-2x+3=0} C. {x|sinx+cosx=65} 答案：C3、(某某省启东中学2008年高三综合测试一)若命题“p 或q ”是真命题，“p 且q ”是假命题，则（ ）A.命题p 和命题q 都是假命题B.命题p 和命题q 都是真命题C.命题p 和命题“非q ”的真值不同D. 命题p 和命题q 的真值不同 答案：D4、(某某省启东中学2008年高三综合测试一)设M ，P 是两个非空集合，定义M 与P 的差集为M-P={x|x ∈M 且x ∉p},则M-（M-P ）等于（ ） A. P B. M P C. MP D. M答案：B5、(某某省启东中学高三综合测试二)定义集合A*B ＝｛x |x ∈A,且x ∉B ｝,若A ＝｛1，3，5，7｝，B ＝｛2，3，5｝，则A*B 的子集个数为A.1B.2C.3D.4 答案：D6、(某某省启东中学高三综合测试二)已知集合{}4,3,2,1=A ，集合{}2,1-=B ，设映射B A f →:，如果集合B 中的元素都是A 中元素的f 下的象，那么这样的映射f 有A ．16个B ．14个C ．12个D ．8个答案：B7、(某某省启东中学高三综合测试二)若A.、B 均是非空集合，则A ∩B ≠φ是A ⊆B 的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.即不充分也不必要条件 答案：B8、(某某省启东中学高三综合测试三)已知0<a<1，集合A={x||x －a|<1}, B={x|log a x>1}，若A ∩B=A ．(a －1,a)B ．(a,a+1)C ．(0,a)D ．(0,a+1)答案：C 9、(某某省启东中学高三综合测试四)已知集合}4,3,2,1{=I , }1{=A ,}4,2{=B , 则A ( I B )=（）A ．}1{B ．}3,1{C ．}3{D ．}3,2,1{ 答案：B10、(某某省皖南八校2008届高三第一次联考)已知条件p ：2|1|>+x ，条件q ：a x >，且p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，则a 的取值X 围可以是（）A ．1≥a ；B ．1≤a ；C ．1-≥a ；D ．3-≤a ；答案：A11、(某某省巴蜀联盟2008届高三年级第二次联考)已知集合A={x|x-m<0}，B={y|y=x 2+2x ，x ∈N}，若A∩B=Φ，则实数m 的X 围为A ．m≤-1B ．m<-1C ．m≤0D ．m<0答案：C12、(某某长安二中2008届高三第一学期第二次月考)已知集合M =},23|{2R a a a x x ∈+-=，N =},|{2R b b b x x ∈-=，则N M ,的关系是A ．M ≠⊆NB ．M ≠⊇NC ．M =ND ．不确定答案：C13、(某某省某某市新都一中高2008级一诊适应性测试)设集合M ＝{θ|θ＝k π4，k ∈Z }，N ＝{x |c os2x ＝0，x ∈R }，P ＝{α|si n 2α＝1，α∈R }，则下列关系式中成立的是（ ）A ．P ≠⊂N ≠⊂MB ．P ＝N ≠⊂MC ．P ≠⊂N ＝MD ．P ＝N ＝M 答案：A14、(某某省某某市一诊)已知集合P ＝{a,b,c},Q ＝{－1,0,1}，映射f:P →Q 中满足f(b)＝0的映射个数共有 A 、2个B 、4个C 、6个D 、9个答案：D a 的象有C 31种，c 的象有C 31种，满足f(b)＝0的映射个数为C 31C 31＝9.选D 15、(某某省某某市新都一中高2008级12月月考)集合{|1}P x y x ==-，集合{|1}Q y y x ==-，则P 与Q 的关系是( )A 、P ＝QB 、PQC 、P ≠⊂QD 、P ∩Q ＝∅本题主要考查集合的基本概念和运算解析：P ＝{x|x ≥1}，Q ＝{y|y ≥0}，故P 是Q 的真子集. 答案：C16、(某某省某某市2008届高三第一次模拟考试)已知集合P={x |5x －a ≤0}，Q={x |6x －b >0}，a ,b ∈N, 且A ∩B ∩N={2，3，4}，则整数对(a , b )的个数为（ ） A. 20B. 30C. 42D. 56 答案：B17、(某某省某某市2008届高三第二次教学质量检测)设全集U R =，集合2{2}M x x x x R ==-∈，，{12}N x x x R =+∈，，则()U M N 等于( )A.{2}B.{|1223}x x x -<<<≤，或C.{|1223}x x x -≤<<≤，或D.{|321}x x x x ≤≠≠-，且， 答案：C18、(市某某区2008年高三数学一模)已知集合2M x x，103x N x x ⎧+⎫=<⎨⎬-⎩⎭，则集合N M 等于A ．{}2-<x x B ．{}3>x xC ．{}21<<-x xD ．{}32<<x x答案：C19、(市某某区2008年高三数学一模)已知aR 且0a ，则“11<a”是 “a >1的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案：B20、(市崇文区2008年高三统一练习一)如果全集U=R ，A=⋂=≤<A B x x 则},4,3{},42|{（U B ）（ ） A ．（2，3）∪（3，4） B ．（2，4） C ．（2，3）∪（3，4]D ．（2，4]答案：A21、(市东城区2008年高三综合练习二)设命题42:2>>x x p 是的充要条件，命题b a cbc a q >>则若,:22，则 （ ） A ．“p 或q ”为真B ．“p 且q ”为真C ．p 真q 假D ．p ，q 均为假命题答案：A22、(市丰台区2008年4月高三统一练习一)设集合{}25, log (3)A a =+，集合{, }B a b =，若{2}AB =, 则A B 等于（A ）{}1,2,5 （B ）{}1,2,5- （C ）{}2,5,7 （D ）{}7,2,5- 答案：A23、(市丰台区2008年4月高三统一练习一)设集合{} 0 1 2 3 4 5, , , , , S A A A A A A =，在S 上定义运算“⊕”为：i j k A A A ⊕=，其中k 为i + j 被4除的余数 , ,0,1,2,3,4,5i j =.则满足关系式20()x x A A ⊕⊕=的 ()x x S ∈的个数为 （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 答案：C24、(市海淀区2008年高三统一练习一)若集合{}21,A m =，集合{}2,4B =，则“2m =”是“{}4AB =”的（）（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件答案：A25、(市十一学校2008届高三数学练习题)已知A 、B 、C 分别为ΔABC 的三个内角，那么“sin cos A B >”是“ΔABC 为锐角三角形”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案：B26、(市西城区2008年4月高三抽样测试)若集合2{|540}A x x x =-+<，{|||1}B x x a =-<，则“(23)a ∈，”是“B A ⊆”的（ ）A. 充分但不必要条件B. 必要但不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件 答案：A27、(市西城区2008年5月高三抽样测试)设A ，B 是全集I 的两个子集，且A B ⊆，则下列结论一定正确的是（ ）A ．I AB = B ．I A B =C ．()I B A =D ．()II A B =答案：C28、(某某省博兴二中高三第三次月考)若集合()()1,,,2,A B =+∞=-∞全集,U R =则()UA B 是A ．(,1)(2,)-∞+∞B ．(,1)[2,)-∞+∞C ．(,1][2,)-∞+∞D ．(,1](2,)-∞+∞ 答案：C29、(某某省某某市高2008届毕业班摸底测试)已知集合U={1，2，3，4，5，6}，集合A={2，3}，集合B={3，5}，则A ∩(U B) =（ ） A ．{2} B ．{2，3，5} C ．{1，4，6}D ．{5}答案：A30、东北区三省四市2008年第一次联合考试)设集合{}{}1,12>=>=x x P x x M ，则下列关系中正确的是A ．M ＝PB ．P P M =C ．M P M =D ．P P M =答案：B31、(东北三校2008年高三第一次联考)若,,R y x ∈则“()324log 2=-+y x xy ”是“0258622=++-+y x y x ”成立的 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案：B32、(东北师大附中高2008届第四次摸底考试)已知命题p ：1≤∈x cos R x ，有对任意，则（ ）A ．1≥∈⌝x cos R x p ，使：存在B ．1≥∈⌝x cos R x p ，有：对任意C ．1>∈⌝x cos R x p ，使：存在D ．1>∈⌝x cos R x p ，有：对任意 答案：C33、(某某省某某一中2007～2008学年上学期期末考试卷)设M 为非空的数集，M ≠⊂{1，2，3}，且M 中至少含有一个奇数元素，则这样的集合M 共有（ ） A ．6个B ．5个C ．4个D ．3个答案：B34、(某某省某某一中高2008届第一次模拟检测)集合{}{}2160,2,P x x Q x x n n Z =-<==∈，则P Q =（ ）A ．{}2,2-B ．{}2,2,4,4--C ．{}2,0,2-D ．{}2,2,0,4,4--答案：C35、(某某省某某一中高2008届第一次模拟检测)已知a ﹑b 均为非零向量，:p 0,a b ⋅>:q a b p q 与的夹角为锐角，则是成立的（ ）Ａ．充要条件Ｂ．充分而不必要的条件 Ｃ．必要而不充分的条件Ｄ．既不充分也不必要的条件答案：C36、(某某省师大附中2008年高三上期期末考试)已知命题p : :对任意的,sin 1x R x ∈≤有，则p ⌝是（ ）A ．存在,sin 1x R x ∈≥有B ．对任意的,sin 1x R x ∈≥有C ．存在,sin 1x R x ∈>有D ．对任意的,sin 1x R x ∈>有 答案：C37、(某某省仙游一中2008届高三第二次高考模拟测试)设2:x x f →是集合A 到B 的映射，如果B={1，2}，则A ∩B 只可能是( ) A.φ或{1} B.{1} C.φ或{2} D.φ或{1}或{2} 答案：A38、(某某省仙游一中2008届高三第二次高考模拟测试)已知α、β是不同的两个平面，直线α⊂a ，直线β⊂b ，命题p ：a 与b 没有公共点；命题q ：βα//，则p 是q 的( )A.充分不必要的条件B.必要不充分的条件C.充要条件D.既不充分也不必要的条件B 答案：B39、(某某省某某一中2008年上期期末考试)已知命题p ：不等式12x x m -++>的解集为R ；命题q ：(52)()log m f x x -=为减函数. 则p 是q 成立的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案：B40、(某某省河西五市2008年高三第一次联考)已知集合M ＝{x|x ＜3}，N ＝{x |122x>}，则M ∩N 等于（ ）A ∅B {x |－1＜x ＜3}C {x |0＜x ＜3}D {x |1＜x ＜3}答案：B41、(某某省河西五市2008年高三第一次联考)在ABC ∆中，“0>⋅AC AB ”是“ABC ∆为锐角三角形”的（ ） A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既非充分又非必要条件答案：B42、(某某省某某一中2008届高三上期期末考试)已知集合},3sin|{Z n n x x A ∈==π，则集合A 的真子集的个数为（ ）A ．3B ．7C ．15D ．31答案：B43、(某某省某某一中2008届高三上期期末考试)"0102""0)1)(2(">->->--x x x x 或是的（ ） A ．充要条件B ．充分非必要条件C ．必要非充分条件D ．非充分非必要条件答案：D44、(某某省2008届六校第二次联考)已知{}{}2230,A x x x B x x a =--<=<, 若A ⊆/B ,则实数a 的取值X 围是( )A. (1,)-+∞B. [3,)+∞C. (3,)+∞D. (,3]-∞ 答案：B45、(某某省2008届六校第二次联考)命题“ax 2－2ax + 3 > 0恒成立”是假命题, 则实数a 的取值X 围是( )A. a < 0或a ≥3B. a ≤0或a ≥3C. a < 0或a >3D. 0<a <3答案：A46、（某某省某某市2008年高三教学质量检测一）已知I 为实数集，2{|20},{|1}M x x x N x y x =-<==-，则I ()M N = （ ）． A ．{|01}x x <<B ．{|02}x x <<C ．{|1}x x <D ．∅ 答案：A 47、（某某省某某市2008年高三教学质量检测一）“2a =”是“函数()f x x a =-在区间[2,)+∞上为增函数”的（ ）.A ．充分条件不必要B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案：A48、(某某省某某市2008届高三第三次调研考试)设集合{1,2}A =,则满足{1,2,3}A B ⋃=的集合B 的个数是（ ）.A ．1B ．3C ．4D ．8解析：{1,2}A =，{1,2,3}A B ⋃=，则集合B 中必含有元素3，即此题可转化为求集合{1,2}A =的子集个数问题，所以满足题目条件的集合B 共有224=个。

2020届广东省普通高等学校招生全国统一考试模拟（二）数学（文）试题一、单选题1．已知集合{}5217A x x =-<+<，{}24B x x =-<<，则A B =（ ）A ．{}34x x -<< B ．{}24x x -<< C ．{}33x x -<< D ．{}23x x -<<答案：D求出集合A ，B ，由此能求出A B ．解： 解：集合{|5217}{|33}A x x x x =-<+<=-<<，{|24}B x x =-<<， {|23}A B x x ∴⋂=-<<．故选：D ． 点评：本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．2．已知复数()z i a i =-（i 为虚数单位，a ∈R ），若z =，则a =（ ） A ．4 B ．2C ．2±D ．2-答案：C先利用复数的乘法化简复数为()1z i a i ai =-=+，再由z ==. 解：因为复数()1z i a i ai =-=+，所以z == 解得2a =± 故选：C 点评：本题主要考查复数的运算和复数的模的应用，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 3．小青和她的父母到照相馆排成一排拍照，则小青不站在两边的概率为（ ）A ．13B ．23C ．16D ．12答案：A先求小青不站在两边的站法有多少种，再求三个人全排列的站法，两者之比即可求解. 解：解：小青只能站中间1种站法，其父母站两边有222A =，所以小青不站在两边的站法有212⨯=种站法，三个人全排列有336A =种站法，所以小青不站在两边的概率为2163P ==. 故选：A. 点评：考查用分步计数原理解古典概型问题；基础题.4．若x ，y 满足约束条件30,30,10,x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪+≥⎩则2z y x =-的最大值是（ ）A ．9B ．7C ．3D ．6答案：D由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数的答案． 解：解：由x ，y 满足约束条件303010x y x y x +-⎧⎪--⎨⎪+⎩，作出可行域如图，联立3010x y x +-=⎧⎨+=⎩，解得(1,4)A -，化目标函数2z y x =-为直线方程的斜截式：2y x z =+．由图可知，当直线2y x z =+过A 时，直线在y 轴上的截距最大，z 有最大值为42(1)6-⨯-=；故选：D ．点评：本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，属于中档题．5．《周髀算经》是我国古老的天文学和数学著作，其书中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测影子的长度），夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降是连续的九个节气，其晷长依次成等差数列，经记录测算，这九个节气的所有晷长之和为49.5尺，夏至、大暑、处暑三个节气晷长之和为10.5尺，则立秋的晷长为（ ） A ．1.5尺 B ．2.5尺C ．3.5尺D ．4.5尺答案：D设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，根据题意列出方程组求解即可. 解：∵夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降是连续的九个节气，其晷长依次成等差数列{}n a ，设其首项为1a ，公差为d ，根据题意9131115= 1.510.49.593649.5365.5110S a a a a a d d a d +==⎧⎧⎧⇒⇒⎨⎨⎨++==⎩+=⎩⎩， ∴立秋的晷长为4 1.53 4.5a =+=. 故选：D 点评：本题考查等差数列的通项公式、求和公式，属于基础题.6．一个底面半径为2的圆锥，其内部有一个底面半径为1的内接圆柱，若其内接圆柱的体积为3π，则该圆锥的体积为（ ）A ．23πB ．233π C ．433π D ．833π 答案：D由题意画出图形，由圆柱的体积求得圆柱的高，再由相似三角形对应边成比例求得圆锥的高，则圆锥体积可求. 解：作出该几何体的轴截面图如图，2BC =，1BD =，设内接圆柱的高为h ， 由213h ππ⨯⨯=，得3h =∵CAB CED △∽△， ∴ED CD AB CB =312=， 得23AB =∴该圆锥的体积为2183233π⨯⨯⨯=. 故选：D. 点评：本题主要考查圆锥的内接圆柱的体积，还考查了数形结合的思想方法，属于基础题. 7．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在[)0,+∞上单调递减，()30f -=，则不等式()10f x ->的解集为（ ） A ．()3,3- B ．()2,4-C ．()(),22,-∞-+∞ D ．()4,2-根据题意，由函数的奇偶性与单调性的性质以及(3)0f -=分析可得：(1)0f x ->等价于|1|3x -<，解可得x 的取值范围，即可得答案． 解：解：根据题意，函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在[0，)+∞上单调递减， 又由(3)0f -=，则()(1)0(1)(3)(|1|)3|1|3f x f x f f x f x ->⇒->-⇒->⇒-<， 解可得：24x -<<，即不等式的解集为(2,4)-； 故选：B ． 点评：本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，涉及绝对值不等式的解法，属于基础题．8．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点为F ，过点F 分别作双曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为A ，B .若0FA FB ⋅=，则该双曲线的离心率为（ ） A ．5 B ．2C ．3D ．2答案：D由题意画出图形，可得渐近线的倾斜角，得到1ba=，则离心率可求. 解： 如图，由0FA FB ⋅=，得90AOB ∠=︒， 即45AOF ∠=︒，∴tan 451ba=︒=，即a b =. 则212c b e a a ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭. 故选：D.本题考查双曲线的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，考查双曲线离心率的求法，是基础题.9．已知数列{}n a 满足11nn na a a +=+（n *∈N ），且11a =，设1n n n b a a +=，记数列{}n b 的前n 项和为n S ，则2019S =（ ） A ．20182019B ．20192020C ．2019D ．12019答案：B 根据11n n n a a a +=+，变形为11111n n n na a a a ++==+，利用等差数列的定义得到1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，从而得到1n a n=，然后由()11111n b n n n n ==-++，用裂项相消法求解. 解： 因为11nn na a a +=+， 所以11111n n n na a a a ++==+ 所以1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项，以1为公差的等差数列，所以()1111nn n a =+-⨯=， 所以1n a n=， 所以()11111n b n n n n ==-++，所以201911111112019 (11223202020202020)S n =-+-++-=-=， 故选：B 点评：本题主要考查等差数列的定义以及裂项相消法求和，还考查了运算求解的能力，属于中档题.10．把函数()2sin f x x =的图象向右平移3π个单位长度，再把所得的函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变）得到函数()g x 的图象，关于()g x 的说法有：①函数()g x 的图象关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称；②函数()g x 的图象的一条对称轴是12x π=-；③函数()g x 在,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦()[]0,g x π∈上单调递增，则以上说法正确的个数是（ ） A ．4个 B ．3个C ．2个D ．1个答案：C通过平移变换与伸缩变换求得函数()g x 的解析式.由03g π⎛⎫≠ ⎪⎝⎭判断①错误；由212g π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭求得最小值判断②正确；由x 的范围求得函数值域判断③正确；由x 的范围可知函数()g x 在[]0,π上不单调判断④错误. 解：把函数()2sin f x x =的图象向右平移3π个单位长度，得2sin 3y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 再把所得的函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变）得到函数()g x 的图象，则()2sin 23g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭.①∵22sin 0333g πππ⎛⎫⎛⎫=-=≠⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴函数()g x 的图象不关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称，故①错误； ②∵2sin 21263g πππ⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴函数()g x 的图象的一条对称轴是12x π=-，故②正确；③当,32x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，22,333x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，则2sin 223x π⎛⎫⎤-∈ ⎪⎦⎝⎭，即函数()g x在,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故③正确；④当[]0,x π∈时，52,333x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，可知函数()g x 在[]0,π上不单调，故④错误. ∴正确命题的个数为2. 故选：C. 点评：本题考查命题的真假判断与应用，考查()sin y A ωx φ=+型函数的图象与性质，是中档题.11．已知椭圆C 的焦点为()1,0F c -，()2,0F c ，P 是椭圆C 上一点，若椭圆C 的离心率为2，且112PF F F ⊥，12PF F △的面积为2，则椭圆C 的方程为（ ） A ．2212x y +=B ．22132x y +=C ．22142x y +=D ．2214x y +=答案：A利用椭圆的离心率以及三角形的面积，求出a 、b ；即可得到椭圆方程． 解：解：椭圆C 的焦点为1(,0)F c -，2(,0)F c ，P 是椭圆C 上一点．若椭圆C的离心率为2，且112PF F F ⊥，△12PF F的面积为2，可得：22222122c a b c a a b c ⎧=⎪⎪⎪⎪⨯⨯=⎨⎪=+⎪⎪⎪⎩a =1b =，所以椭圆方程为：2212x y +=．故选：A ． 点评：本题考查椭圆的简单性质的应用、椭圆方程的求法，是基本知识的考查，属于基础题． 12．已知函数()21cos 12f x ax x =+-（a R ∈），若函数()f x 有唯一零点，则a 的取值范围为（ ）A ．(),0-∞B ．()[),01,-∞+∞C ．(][),01,-∞⋃+∞D ．(][),11,-∞-+∞答案：B根据函数的奇偶性变换得到22sin 2x a x ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，设2sin 2x k x =，利用其几何意义根据图象得到范围. 解：()21cos 12f x ax x =+-，易知函数为偶函数，且()00f =，故考虑0x >的情况即可，当0x >时，()21cos 102f x ax x =+-=，即()222sin 21cos 2x x a x x ⎛⎫ ⎪-== ⎪⎪⎝⎭， 设2sin 2xk x=，表示函数2sin 2xy =上的点到原点的斜率，根据图象知： cos 2xy '=，当0x =时，max1y '=，故1k <，故22sin 201x x ⎛⎫ ⎪≤< ⎪ ⎪⎝⎭， ()222sin 21cos 2x x a x x ⎛⎫ ⎪-== ⎪⎪⎝⎭无解，故()[),01,a ∞∞∈-+.故选：B.点评：本题考查了利用导数解决函数的零点问题，将题目转化为函数2sin 2xy =上的点到原点的斜率是解题的关键.二、填空题13．记等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若214a =，378S =，则公比q =______. 答案：12或2 由214a =，378S =，可得：11174448q q ++=，化简解出即可得出．解： 解：由214a =，378S =， ∴11174448q q ++=，化为：22520q q -+=． 解得12q =或2． 故答案为：12或2． 点评：本题考查了等比数列的通项公式求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14．已知向量()1,3a =，1b =，且向量a 与b 的夹角为3π，则2a b -=______. 答案：2根据向量a 的坐标即可求出||2a =，进而求出a b 的值，进而得出()22a b -的值，从而得出2a b -． 解：解：因为()1,3a =，1b =，且向量a 与b 的夹角为3π (2||12a =+，∴·1a b =，∴()2222444444a b a a b b -=-+=-+=，∴22a b -=．故答案为：2． 点评：本题考查了根据向量的坐标求向量的长度的方法，向量数量积的计算公式，考查了计算能力，属于基础题．15．对于任意实数a ，b ，定义{},,min ,,,a ab a b b a b ≤⎧=⎨>⎩函数()2f x ex e =-+，()xg x e =，()()(){}min ,h x f x g x =，若函数()()Q x h x k =-有两个零点，则k 的取值范围为______. 答案：()0,e根据题意得到()h x 解析式为,1()2,1x e x h x ex e x ⎧=⎨-+>⎩，作出其图象，数形结合即可；解：解：因为()2f x ex e =-+单调递减，()xg x e =单调递增，且f （1）e g ==（1），故(){()h x min f x =，,1()}2,1x e x g x ex e x ⎧=⎨-+>⎩，作出函数()h x 的图象如下：函数()()Q x h x k =-有两个零点等价于函数()h x 与直线y k =图象有2个交点， 由图可知，(0,)k e ∈； 故答案为：(0,)e ． 点评：本题主要考查函数与方程的应用，将方程转化为函数图象的交点问题是解决本题的关键．要注意使用数形结合的数学思想，属于中档题．16．如图，在矩形ABCD中，已知22AB AD a==，E是AB的中点，将ADE沿直线DE翻折成1A DE△，连接1A C.若当三棱锥1A CDE-的体积取得最大值时，三棱锥1A CDE-外接球的体积为823π，则a=______.22，球心在平面DEBC的投影为DC中点G ，根据勾股定理解得R a=，代入体积公式计算得到答案.解：三棱锥1A CDE-的底面积为定值2S a=，故当高最大值，体积最大，易知1A DE△为等腰直角三角形，取DE中点为F，连接1A F，故1A F DE⊥，当平面1A DE⊥平面DEBC2，易知DEC为等腰直角三角形，球心在平面DEBC的投影为DC中点G，且DEC的外接圆半径为r a=，设OG h=，1222FG EC a==故2222222222R h aR a a h⎧=+⎪⎪⎛⎫⎛⎫⎨=+-⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩，解得R a=，0h=，348233V Rπ==，故2R=，即2a=2.点评：本题考查了三棱锥体积的最值问题，三棱锥的外接球问题，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.三、解答题17．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知2222cos cos 2A a b C c B ⎛-=⋅+⋅ ⎝.（1）求角A 的大小；（2）若62c =，且AB 边上的高等于13AB ，求sin C 的值. 答案：（1）4A π=；（2）310sin C =（1）先根据二倍角余弦公式化简，再根据正弦定理化边为角，即得结果； （2）根据AB 边上的高可得,AD BD 以及BC ，再根据正弦定理求sin C 的值. 解：（1）依题意得1cos 22cos cos 2A a b C c B +⎛=⋅+⋅ ⎝， 2cos cos cos a A b C c B ⋅=⋅+⋅2cos sin cos sin cos A A B C C B =⋅+⋅，()2cos sin A A B C =+2cos sin A A A =.()0,A π∈，sin 0A ∴≠.2cos1A∴=，即2 cos2A=.()0,Aπ∈，4Aπ=.（2）设AB边上的高为CD，在Rt CDA△易得22AD CD==，则42BD=.在Rt CDB△中，根据勾股定理，得22210BC CD BD=+=.在ABC 中，根据正弦定理sin sinAB BCC A=，得262sin3102sin10210AB ACBC⨯⋅===.点评：本题考查二倍角余弦公式、正弦定理，考查基本分析求解能力，属基础题.18．如图，四棱锥P ABCD-中，四边形ABCD是边长为4的菱形，PA PC=，BD PA⊥，E是BC上一点，且1BE=，设AC BD O=.（1）证明：PO⊥平面ABCD；（2）若60BAD∠=︒，PA PE⊥，求三棱锥P AOE-的体积.答案：（1）证明见解析；（2）32.（1）由已知可先证BD⊥平面PAC，得到BD PO⊥，再由PO AC⊥，进一步得到PO⊥平面ABCD；（2）根据条件，解三角形求出三棱锥P AOE-的高PO，底面积AOES，再利用棱锥的体积公式求出三棱锥P AOE-的体积解：（1）证明：四边形ABCD是菱形，BD AC∴⊥，O是AC的中点.BD PA⊥，PA AC A=，BD∴⊥平面PAC.PO ⊂平面PAC ，BD PO ∴⊥.PA PC =，O 是AC 的中点，PO AC ∴⊥. AC ⊂平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，ACBD O =，PO ∴⊥平面ABCD .（2）解：由四边形ABCD 是菱形，60BAD ∠=︒， 得ABD △和BCD 都是等边三角形4BD AB ∴==.O 是BD 的中点，2BO ∴=.在Rt ABO △中，2223AO AB BO =-=.在Rt PAO △中，222212PA AO PO PO =+=+. 取BC 的中点F ，连接DF ，则DF BC ⊥.∴在Rt BDF △中，2223DF BD BF =-=1BE =，E ∴是BF 的中点.又O 是BD 的中点，132OE DF ∴==在Rt POE 中，22223PE OE PO PO =+=+.在ABE △中，由余弦定得2222cos12021AE AB BE AB BE =+-⋅︒=.PA PE ⊥，222PA PE AE ∴+=.2212321PO PO ∴+++=.3PO ∴=.AOEABC ABE COE SS S S =--△△△1113344sin12041sin12033222=⨯⨯⨯︒-⨯⨯⨯︒-⨯=， 1133333322P AOE AOE V S PO -∴=⋅=⨯=△.点评：本题考查直线与平面垂直的判定，棱锥的体积的计算，解三角形，余弦定理，三角形的面积公式，考查空间想象能力与思维能力，运算能力，属于中档题.19．为了提高生产效益，某企业引进了一批新的生产设备，为了解设备生产产品的质量情况，分别从新、旧设备所生产的产品中，各随机抽取100件产品进行质量检测，所有15,45以内，规定质量指标值大于30的产品为优质品，质量指产品质量指标值均在(]15,30的产品为合格品，旧设备所生产的产品质量指标值如频率分布直方图所标值在(]示，新设备所生产的产品质量指标值如频数分布表所示.质量指标值频数(]15,202(]20,258(]25,3020(]30,3530(]35,4025(]40,4515合计100（1）请分别估计新、旧设备所生产的产品的优质品率.（2）优质品率是衡量一台设备性能高低的重要指标，优质品率越高说明设备的性能越高，根据已知图表数据填写下面列联表（单位：件），并判断是否有95%的把握认为“产品质量高于新设备有关”.附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++. （3）已知每件产品的纯利润y （单位：元）与产品质量指标值t 的关系式为2,3045,1,1530,t y t <≤⎧=⎨<≤⎩若每台新设备每天可以生产1000件产品，买一台新设备需要80万元，请估计至少需要生产多少天方可以收回设备成本.答案：（1）70%，55%；（2）列联表见解析，有95%的把握认为产品质量高与新设备有关；（3）471天方.（1）根据旧设备所生产的产品质量指标值的频率分布直方图中后3组的频率之和即为旧设备所生产的产品的优质品率，根据新设备所生产的产品质量指标值的频数分布表即可估计新设备所生产的产品的优质品率；（2）根据题目所给的数据填写22⨯列联表，计算K 的观测值2K ，对照题目中的表格，得出统计结论；（3）根据新设备所生产的产品的优质品率，分别计算1000件产品中优质品的件数和合格品的件数，得到每天的纯利润，从而计算出至少需要生产多少天方可以收回设备成本． 解： 解：（1）估计新设备所生产的产品的优质品率为：3025150.770%100++==，估计旧设备所生产的产品的优质品率为：()50.060.030.020.5555%⨯++==. （2）由列联表可得，()2220030554570 4.8 3.84175125100100K ⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯， ∴有95%的把握认为产品质量高与新设备有关.（3）新设备所生产的产品的优质品率为0.7∴每台新设备每天所生产的1000件产品中，估计有10000.7700⨯=件优质品，有1000700300-=件合格品.∴估计每台新设备一天所生产的产品的纯利润为700230011700⨯+⨯=（元）.8000001700471÷≈（天）， ∴估计至少需要生产471天方可以收回设备成本.点评：本题考查了独立性检验的应用问题，考查了频率分布直方图，也考查了计算能力的应用问题，属于中档题．20．已知曲线C 上每一点到直线l ：2y =-的距离比它到点()0,1F 的距离大1. （1）求曲线C 的方程；（2）曲线C 任意一点处的切线m （不含x 轴）与直线2y =相交于点M ，与直线l 相交于点N ，证明：22FM FN -为定值，并求此定值.答案：（1）24x y =；（2）证明见解析，22FM FN -为定值0.（1）利用抛物线的定义可得曲线C 是顶点在原点，y 轴为对称轴，(0,1)F 为焦点的抛物线，从而求出曲线C 的方程；（2）依题意，切线m 的斜率存在且不等于0，设切线m 的方程为：(0)y ax b a =+≠，与抛物线方程联立，利用△0=得到2b a =-，故切线m 的方程可写为2y ax a =-，进而求出点M ，N 的坐标，用坐标表达出FM 和FN ，即可证得22||||FM FN -为定值． 解：解：（1）由题意可知，曲线C 上每一点到直线1y =-的距离等于该点到点()0,1F 的距离，∴曲线C 是顶点在原点，y 轴为对称轴，()0,1F 为焦点的抛物线. ∴曲线C 的轨迹方程为：24x y =.（2）依题设，切线m 的斜率存在且不等于零，设切线m 的方程为y ax b =+（0a ≠），代入24x y =得()24x ax b =+，即2440x ax b --=.由0∆=得()24160a b +=，化简整理得2b a =-.故切线m 的方程可写为2y ax a =-.分别令2y =，2y =-得M ，N 的坐标为2,2M a a ⎛⎫+⎪⎝⎭，2,2N a a ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭， 2,1FM a a ⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭，2,3FN a a ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭.222222190FM FN a a a a ⎛⎫⎛⎫∴-=++--+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.即22FM FN -为定值0. 点评：本题主要考查了抛物线的定义，以及直线与抛物线的位置关系，属于中档题．21．已知函数()xf x ae ex a =--（a e <），其中e 为自然对数的底数.（1）若2a =，求函数()f x 在点()()1,1f 处的切线方程； （2）若函数()f x 的极小值为1-，求a 的值. 答案：（1）2y ex =-；（2）1a =.（1）求导计算()1f e '=，()12f e =-，得到切线方程.（2）考虑0a ≤和0a e <<两种情况，求导得到函数单调区间，得到ln 10e a a -+=，构造函数，根据单调性计算得到答案. 解： （1）2a =，()22x f x e ex ∴=--，()2xf x e e '∴=-，()12f e e e '∴=-=，()1222f e e e =--=-，∴函数()f x 在点()()1,1f 处的切线方程为：()()21y e e x --=-，即2y ex =-.（2）函数()f x 的定义域为(),-∞+∞，()xf x ae e '=-，当0a ≤时，()0f x '<对于(),x ∈-∞+∞恒成立，()f x ∴在(),-∞+∞单调递减，()f x ∴在(),-∞+∞上无极值.当0a e <<时，令()0f x '>，得lne x a>. ∴当ln ,e x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，当,ln e x a ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '<.()f x ∴在,ln e a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭单调递减，在ln ,e a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增，∴当lnex a=时，()f x 取得极小值1-. ln ln ln 1e a e e f ae e a a a ⎛⎫∴=--=- ⎪⎝⎭，即ln 10e a a -+=.令()ln 1m x e x x =-+（0x e <<），则()1e e xm x x x-'=-=. 0x e <<，()0m x '∴>，()m x ∴在()0,e 上单调递增.又()10m =，1a.点评：本题考查了求切线方程，根据函数极值求参数，意在考查学生的计算能力和转化能力.22．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的方程为221124x y +=，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l ()cos 40a a πθ⎛⎫- ⎪⎝=>⎭. （1）求直线l 的直角坐标方程；（2）已知P 是曲线C 上的一动点，过点P 作直线1l 交直线于点A ，且直线1l 与直线l的夹角为45°，若PA 的最大值为6，求a 的值.答案：（1）0x y a +-=（2）2a =（1cos 4a πθ⎛⎫- ⎪⎭=⎝展开，结合cos x ρθ=，sin y ρθ=可得直线l 的直角坐标方程；（2）依题意可知曲线C的参数方程为2sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数），设(),2sin P αα，写出点P 到直线l 的距离，利用三角函数求其最大值，可得PA 的最大值，结合已知列式求解a 即可.解：（1cos 4a πθ⎛⎫- ⎪⎭=⎝cos cos sin sin 44a ππθθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 即cos sin a ρθρθ+=.∵cos x ρθ=，sin y ρθ=，∴直线l 的直角坐标方程为x y a +=，即0x y a +-=.（2）依题意可知曲线C的参数方程为2sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数）.设(),2sin P αα，则点P 到直线l 的距离为：d ==∵0a >， ∴当sin 13πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时，max d =.又过点P 作直线1l 交直线于点A ，且直线1l 与直线l 的夹角为45， ∴cos 45d PA =，即PA =. ∴PAmax 6=6=.∵2a >，∴解得2a =.点评：本题第一问考查直线的极坐标方程与直角坐标方程的互化，第二问考查了利用椭圆的参数方程求最值，属于中档题.23．已知函数()|1||3|f x x x =-++.（1）解不等式：()6f x ≤；（2）若a ，b ，c 均为正数，且()min a b c f x ++=，证明：()()()222491113a b c +++++≥. 答案：（1）2{|}4x x -≤≤（2）见解析（1）由()()()()22,3134,3122,1x x f x x x x x x ⎧--<-⎪=-++=-≤≤⎨⎪+>⎩，再分3x <-，31x -≤≤，x >1求解.（2）由（1）得到 4a b c ++=，构造()()()1117a b c +++++=，两边平方展开，再利用基本不等式求解.解：（1）函数()()()()22,3134,3122,1x x f x x x x x x ⎧--<-⎪=-++=-≤≤⎨⎪+>⎩. 当3x <-时，226x --≤，解得4x ≥-，故43x -≤-＜.当31x -≤≤时，4≤6，恒成立.当1x >时，226x +≤，解得2x ≤，故12x ≤＜，所以不等式的解集为2{|}4x x -≤≤.（2）由（1）知：()min 4f x =，所以：4a b c ++=，所以()()()1117a b c +++++=，所以()()()211149a b c +++++=⎡⎤⎣⎦，所以()()()()()()()()()22211121121121149a b c a b a c b c ++++++++++++++=()()()2223111a b c ⎡⎤≤+++++⎣⎦. 当且仅当43a b c ===时，等号成立. 所以()()()222491113a b c +++++≥. 点评： 本题主要考查绝对值不等式的解法，基本不等式的应用，还考查了转化求解问题的能力，属于中档题.。

（山东省德州市2019届高三期末联考数学（理科）试题）6.设且，则是的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要【答案】D【解析】【分析】由题意看命题“ab＞1”与“”能否互推，然后根据必要条件、充分条件和充要条件的定义进行判断．【详解】若“ab＞1”当a＝﹣2，b＝﹣1时，不能得到“”，若“”，例如当a＝1，b＝﹣1时，不能得到“ab＞1“，故“ab＞1”是“”的既不充分也不必要条件，故选：D．【点睛】本小题主要考查了充分必要条件，考查了对不等关系的分析，属于基础题．（辽宁省实验中学、大连八中、大连二十四中、鞍山一中、东北育才学校2019届高三上学期期末考试数学（文）试题）3.设，则“”是“函数在定义域上是奇函数”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】注意到当时，函数是奇函数，故是函数为奇函数的充分不必要条件.【详解】当时，，，函数为奇函数；当时，，，函数为奇函数.故当时，函数是奇函数，所以是函数为奇函数的充分不必要条件.故选A.【点睛】本小题主要考查充要条件的判断，考查函数奇偶性的定义以及判断，属于基础题.（四川省绵阳市2019届高三第二次（1月）诊断性考试数学理试题）4.“a＝b＝1”是“直线ax－y+1＝0与直线x－by－1＝0平行”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】a＝b＝1时，两条直线平行成立，但由ax－y+1＝0与直线x－by－1＝0平行，可得ab＝1，不一定是a＝b＝1．【详解】a＝b＝1时，两条直线ax－y+1＝0与直线x－by－1＝0平行，反之由ax－y+1＝0与直线x－by－1＝0平行，可得：ab＝1，显然不一定是a＝b＝1，所以，必要性不成立，∴“a＝b＝1”是“直线ax－y+1＝0与直线x－by－1＝0平行”的充分不必要条件．故选：A．【点睛】本题考查了直线平行的判定与性质定理、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．（湖南省长沙市2019届上学期高三统一检测理科数学试题）3.在等比数列中，“，是方程的两根”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】结合充分、必要条件判定，即可。

高考试卷分类汇编集合与简易逻辑一、选择题•（安徽理）集合A -R|y=lgx,x 1, B =「-2, -1,1,2?则下列结论正确的是（）•AnB-「-2,—1? •G R A）U B=（」：,0）•A[JB =（0, =）•（e R A）n B・._2,-1解：A m y R y0 ?, 6 A） = { y | y 岂0}，又B—-2,-1,1,2}••• （e R A）PlB J—2,-1 ?,选。

.（安徽理文）a ：0是方程ax2 2x ^0至少有一个负数根的（）•必要不充分条件•充分不必要条件•充分必要条件•既不充分也不必要条件2 1解：当,=2…4a_0，得a_1时方程有根。

<时，X1X2 0，方程有负根，又时，方程根为ax = -1，所以选•（安徽文）若A为位全体正实数的集合，B_-2,-1,1,2?则下列结论正确的是（）APl B = ：-2，-1 f •G R A） U B =（-〜0）•AUB =（0,二）•（e R A）n^f.-2^1 /解：e R A是全体非正数的集合即负数和，所以（€R A）p]B =「-2,-1•（北京理）已知全集U = R，集合A，x| -2 < x< 3 , B=「x|x ：：：-1或x - 4，那么集合A「| $B 等于（）•'x| -2 < x 4• x | x < 3或x > 4』•「x| -2 < x ：-1 • 1x|—1W x < 3?解: U [, ], AR e u B = 'x| -1 < x < 3?•（北京理）“函数f（x）（x・R）存在反函数”是“函数f（x）在R上为增函数”的（）•充分而不必要条件•必要而不充分条件•充分必要条件•既不充分也不必要条件解：函数f（x）（x・R）存在反函数，至少还有可能函数f（x）在R上为减函数，充分条件不成立；而必有条件显然成立。

2020年广东省高考数学试题和答卷分析华南师范大学数学科学学院(510631)王先义刘秀湘2020年高考数学全国I卷以立德树人为根本任务,全面贯彻德智体美劳全面发展的教育方针,坚持以素养为导向,能力为重的命题原则,融合数学应用、数学探究和数学文化,在考查数学基础知识时,注重对数学思想方法、数学关键能力及数学核心素养的考查,体现了高考数学科学选拔和育人导向的作用.尽管因疫情原因使备考受到影响,但大部分考生能够正常发挥,基础知识掌握较好.本文就2020年高考数学试卷试题分析、考生主观题答卷典型错误和教学备考及建议三个方面进行分析,希望有助于中学数学教学及高考备考.一、试题分析2020年高考数学全国I卷命题严格依据课程标准和考试大纲进行命题,体现了数学学科的基础性、综合性、创新性和综合性.在考查基础知识的同时,注重对数学素养和数学思想方法的考查,展现数学的科学价值和人文价值.1.突出理性思维,考查关键能力理性思维在数学素养中起着最本质、最核心的作用.数学科高考突出理性思维,将数学关键能力与“理性思维、数学应用、数学探究、数学文化”蕴含的学科素养统一在理性思维的主线上,在数学应用、数学探究等方面突出体现了理性思维和关键能力的考查.如理科12题以基本初等函数中的指数和对数函数及其运算法则为知识背景,条件简洁大方,要求考生能够深入思考条件的结构特征,从而构造函数模型,综合考查学生的观察、运算、推理判断与灵活运用知识的综合能力.文科16题主要考查数列的递推公式、数列的部分和以及数学分类讨论思想,在数学运算中渗透了等差数列求和公式的应用;试题在递推结构上进行创新,使考生不能直接套用公式进行求解,需要考生通过观察和思考,分析奇偶项的符号特征.理科16题给出常见的三棱锥的平面展开图,要求考生能够同时结合三棱锥的平面展开图和立体模型进行思考,并运用解三角形的知识进行求解,综合考查学生的观察、空间想象和运算能力.理科19题以实际生活的比赛为背景,题干条件通俗易懂,设问简约明了,但问题复杂多样,要求学生面对实际问题进行深入分析,逐一分类讨论,综合考查学生数学逻辑推理能力和应用意识.这些试题在考查学生基础知识的同时,打破以往的高考解题的套路,对试题的条件和结构进行大胆创新,旨在于引导考生在解决问题时应先根据问题情境观察、比较、分析、综合、抽象与概括,从而寻得解决之道,突出理性思维,考查学生的关键能力.2.坚持探索创新,科学调控难度2020年的全国I试卷在基础内容上全面考查,主干内容考查保持稳定,在试卷难度设计上进行了探索创新,科学调控试卷难度,体现了“低起点”、“多层次”和“高落差”三个特点.首先,选择题、填空题的起点低、入口宽.选择、填空题主要考查基础知识的掌握情况,没有多个知识点的交汇或设置陷阱,考生仅需要运用相关知识进行简单的计算或观察即可得出答案.即使作为选择题的压轴题,文科12题也是一道“纯”立体几何问题,分析题意后即可转化为“已知正三棱锥的底面边长和高,求侧棱长”的问题,思维转化比较顺畅,并不要求多个模块知识的综合交汇.理科16题是填空题的压轴题,将三棱锥与其展开图相结合来设置问题,立意很新颖,内容却常规,对于全体考生都比较熟悉.其次,试题设计重视思维的层次性.文科18题以解三角形问题为载体,深入考查正弦定理、余弦定理及三角恒等变换等知识,对考生数学运算能力的要求较高;第(1)问设置求三角形的面积的问题,问题通俗简单,考生既能利用余弦定理求出三角形面积,也能用正弦定理结合三角恒等变换求出三角形面积,不同层次的考生都能尝试作答.理科18题借助圆锥与多面体相结合的图形考查线面垂直和二面角余弦值的问题,不同层次的考生都能作答,但证明过程的严谨性和思路的简洁性区分了不同层次的考生.由于图形结构的新颖,部分考生建系时原点与坐标轴的选择不当,导致关键点、向量的坐标计算复杂;另外,部分学生对这类问题缺乏整体的解决方案,不知道求解第(2)问时可以直接利用之前的结论.如果注意到圆锥和三棱锥的高度对称性,考生建系时能使图形中的关键点落在坐标平面内,那么解答过程不仅思路简单,而且可以降低运算的难度,节约时间成本.总体来说,空间想象能力、逻辑推理能力和运算能力较高的考生在此题解答中得到较好的展现.再次,试题在思维的灵活性、深刻性,方法的综合性、探究性和创造性等方面体现区分度,不同的解题策略和计算的准确度会产生解题时间成本上的巨大的“落差”.考生作答时应“三思后行”,结合题干信息,对各种解决策略进行前瞻性的预判,选择解题问题的最佳策略,从而赢得时间.文科18题第(2)问考生既可以利用三角形的内角和消元得到关于角C (或A )的三角方程,利用三角恒等变换公式直接求出角C (或A ),也可以结合平方关系、商数关系等转化为角C 的正切方程等,实际上,此题借助题中∠B 的三角函数值巧妙转化,则sin A +√3sin C =√22可以利用正弦定理转化为a +√3c =√2b ,极大地简化运算.文科18题第(2)问求三棱锥的体积时,将体积表达式进行化归转化,即V P −ABV =V B −ACP ,避免计算P O ,提高运算效率.理科19题第(2)问注意圆锥和三棱锥的高度的对称性,选取O 为坐标原点,建立合适的空间直角坐标系,使得P,E 在坐标轴上,BC 平行于轴,这样可以快速写出各个点的坐标,计算出法向量,同时结合第(1)问的结论,降低计算量.文科21题(理科20题)第(2)问属于高中数学圆锥曲线中的定点问题,考查高中数学的基本知识、基本技能、基本思想方法.另外,该题考查的问题经典,思路简单,但是运算量大,运算的准确度要求高,主元选择和消参的技巧性强,是一道“入门容易成佛难”的试题.理科21题是以含参函数的性质研究为载体,设计了一道可以多角度思考的问题,学生可以根据自己的水平和能力找到不同的解决方法和途径,大部分学生都选择做差或者分离参数的方法转化为求函数的最值,不同方法使求导和函数性态分析难度相差较大,对考生的逻辑推理和运算能力要求较高.3.坚持立德树人,倡导五育并举2020年高考数学试卷结合学科特点和学科知识,基于“五育并举”的教育方针高度进行整体设计,响应德、智、体、美、劳全面发展的教育方针.文、理科试卷的第3题以世界奇迹“古埃及胡夫金字塔”为例,抽象出正四棱锥模型,将立体几何的基本知识与世界文化遗产有机融合,该题在考查学生立体几何图形时,也引导学生欣赏自然之美,将美育教育融入数学教育.文、理科第5题以课外学习小组的实验研究为背景,考查学生对统计知识和函数模型的应用,展示了其它学科与数学学科的交叉与联系,体现了数学应用的基础性和广泛性.理科19题以3人羽毛球比赛为背景,通过约定赛制及可能存在的比赛结果设置问题,将概率问题融入常见的羽毛球比赛中,考查考生古典概率模型、事件的关系和运算、事件独立性等知识,考查考生的逻辑思维能力,引导学生会用数学的眼光观察世界,会用数学的思维分析世界,会用数学的语言表达世界.文科第17题以社会生产劳动实践为情境,以工业生产中的总厂分配分配加工业务为主题,以两分厂的A 级品概率和厂家的决策问题设问,考查考生应用所学的概率统计知识分析和处理现实社会中实际数据的能力,试题来源于劳动,体现了数学与生活的密切关联,培养学生的劳动态度和劳动精神.这些试题情境来源于社会生活的不同领域,美育教育有助于培养学生良好的审美素养,促进学生形成积极的人生态度,发展学生的创造力;体育教育能帮助学生形成健康意识,注重增强体质,健全自身人格,锻炼精神意志;劳动教育有助于培养学生的劳动态度和劳动精神,对塑造正确的世界观、人生观和价值观具有重要的意义.二、考生填空、解答题答卷典型错误及分析(一)文科卷题考生的典型错误原因分析号答案为8.误将最优解(1,0)当作(1,1)代入.13答案为7.误将最优解(1,0)当作(0,1)代入.题答案为14.可行域判断错误,认为最优解在(0,2)处取得.其他错误答案.可行域判断错误或如错解直线交点.答案为1.审题不清,误将“垂直”当作“平行”处理,即a //b ,则m =1.14答案为−1或2.取b 向量的横坐标或纵坐标为0,即m +1=0或2m −4=0.题答案为−3.计算出错,即a ·b (m +1)−(2m −4)==−m −3=0,则m =−3.其他错误答案.(1)向量数量积的坐标计算公式错误;(2)求解m 出错.答案为y −2x ,2x ,2x −y.方程表示不完整,有缺失项.答案为y =2k.做题粗心,错误使用自变量变量符号使用k 指代x .答案为f (x )=2x.方程与函数概念混淆.答案为y =2x =0.对直线方程的概念理解不清.答案为y =2x (x >0).对变量取值范围理解有误,将曲线中的x 取值范围直接套用到其切线y =2x 上.答案为(1,2).审题不清,误以为题目为求切点坐标.15题答为y −y 0=2(x −1),y −y 0=2(x −x 0),y =2x +b.不会计算或者完整计算切点坐标.答案为y =2x +1或y =2x −5.切点求解错误,误认为ln 1=1,所以x 0=1,y 0=ln x 0+x 0+1=3,即由直线方程为y =2x +1或者在代入点斜式时将切点的横纵坐标代反,即y =2x −5.答案为y =2x −2.直线方程点斜式记忆错误,将x 0=1后直接代入错误的点斜式方程y =k (x −x 0)得y =2x −2.其他斜率为2的错误直线方程.(1)求导出错;(2)计算切点出错;(3)直线方程化简出错等.16答案为1,2,3,4,2020.盲猜答案.题其他错误答案.在分奇、偶项计算时错误.第一问:概念理解错误用频率估计概率出错,如P 甲=100×14=52,P 乙=100×128=257.对题干中信息和表格中的数据意义理解出错,不知道如何用频率来估计概率.第一问:计算错误40100=125,28100=125,28100=910.分数化简约分出错.17题第二问:审题不清x 甲=90×40+50×20+20×20−50×20−100×25=1500.x 乙=90×28+50×17+20×34−50×21−100×20=1000.审题不清,没有求平均利润,以总利润大小为标准判断,但与题目的设问不符.第二问:平均数计算错误(1)x =40×90+50×20+20×20−20×50100=40;(2)x =28×90+17×50+34×20−21×50100=30;(3)x =40×90+50×20+20×2080−50×2020−25×100100=−125;(4)x =28×90+17×50+34×2029−50×2121−20×100100=−23.(1)计算利润时没有减掉成本;(2)直接用平均加工费判断;(3)平均利润概念不清,计算平均利润时,总频数用错.第二问:计算错误(1)1500100=150,1000100=100;(2)1100×(90−25)×40+(50−25)×20+(20−25)×20−(50+25)×20=15.四则混合运算计算出错,漏括号等.第一问:公式出错(1)b 2=a 2+c 2−ac ·cos B ;(2)b =a 2+c 2−2ac ·cos B ;(3)b =a +c −2ac ·cos B ;(4)sin B =a 2+c 2−b 22ac等等.余弦定理公式错误.第一问:公式错误S =12ab sin A =12ab sin B =12ac cos B.三角形的面积公式记错.第一问:特殊角的三角函数值错误(1)cos 150◦=12;(2)cos 150◦=−12;(3)sin 150◦=√32;(4)sin 90◦=√22等等.特殊值的三角函数值记错.第一问:计算错误(1)28=(√3c )2+c 2−2√3c 2·(−√32),得c 2=28.(2)4c 2−282√3c 2=−√32,得c 2=72.(3)(2√7)2=14.计算错误,多项式的四则运算错误或者无理数的平方计算错误.第一问:第(1)问已知条件是B =150◦,应该用关于B 的余弦定理,学生误用关于A 或C 的余弦定理导致解题受阻.解题思路错误.18题第二问:审题不清第(2)问误用第(1)问的条件.题干、题设条件关系不清楚.第二问:将条件sin A +√3sin C =√22抄错成sin A +√3sin C =√32.数据抄错,解题习惯不好.第二问:对sin A +√3sin C =√22直接用正弦定理得到a +√3c =√22.公式运用错误.第二问:公式错误或者不熟悉(1)sin A +√3sin C =2sin (A +π6);(2)12sin A +√32sin C =sin (A +C );(3)sin [π−(B +C )]=sin (B −C );(4)化简到√32sin C +12cos C =√22不知道怎么处理.(1)辅助角公式(或正弦的和角公式)记错;(2)诱导公式记错;(3)不会逆用和角公式化简或者辅助角公式化简等.第二问:合并同类项错误由12cos C −√32sin C +√3sin C =√22得(1)12cos C −√32sin C =√22;(2)12cos C −3√32sin C =√22;(3)12cos C +3√32sin C =√22;(4)12cos C +2√3−√32sin C =√22.在进行代数式的计算时,合并同类项出错.第二问:角的范围与三角函数值由sin (C +π6)=√22,C +π6=π4或C +π6=3π4,解得C =π12或7π12.思维不严谨,本题中0<C <π6,考生没有考虑角的范围,导致答案出错.第二问:思路错误由sin (A +C )=sin B =12得方程组sin A cos C +cos A sin C =12,sin A +√3sin C =√22,sin 2A +cos 2A =1,sin 2C +cos 2C =1.方程组无法求解.考生对三角恒等变换不熟练,陷入四元二次方程组的“死胡同”,而未能求解出sin C 的值.第一问:逻辑完全混乱,没有明确的思路,证明完全错误.相关知识完全没掌握.第一问:仅直接写出P A ⊥P C ,P A =P B ,∆P AC =∆P BC,OD ⊥面ABC ,OP ⊥面ABC 等部分相关条件.对面面垂直的方法和判定定理不熟悉.第一问:逻辑不严谨没有P A =P B 等条件直接推导出∆P AC =∆P BC .逻辑推理不严密,跳步严重.第一问:没证明P B ⊥P C .直接写出结果,缺少∆P AC =∆P BC ,三棱锥P -ABC 为正三棱锥或者P C 2+P B 2=BC 2等依据.19题第一问:(1)未说明P C ⊥AB ;(2)未从P O ⊥面ABC 推出P O ⊥AB ;(3)没从AB ⊥面P OC 推出AB ⊥P C .线面垂直定义和线面垂直判定定理不熟,逻辑推理不严密.第一问:没有完整、充分的说明“一条线垂直面内两相交直线”条件就直接写出“线面垂直”的结论.线面垂直判定定理不熟,逻辑推理不严密.第二问:求圆锥底面半径所需两个方程不全或出错(1)没法准确得出方程rl =√3;(2)没法准确得出方程l 2−r 2=2.缺乏方程思想,对圆锥相关性质不熟悉.第二问:解方程求r 的计算出错或者无法求解.运算能力较差,高次方程不懂得换元降次或者十字相乘法不熟.第二问:锥体体积公式少乘“13”或三角形面积公式少乘“12”.锥体体积公式和三角形面积公式不熟悉.第二问:高P O 算错.相关公式不熟或未找出计算方法.一问:求解不等式或方程错误(1)令f ′(x )=0,得x =1;(2)令f ′(x )>0,得x >e ;(3)令f ′(x )=e x −1>0,得x <0.极值点求错或不等式e x −1>0,e x −1<0不会解或解错.第一问:x <0,f (x )单调递减;x >0,f (x )单调递增.单调区间没有写成区间形式,第一问:直接说f (x )在x ∈(0,+∞)单调递增;f (x )在x ∈(−∞,0)单调递减.单调性分析不完整.第一问:x <0,f (x )<0,f ′(x )在(−∞,0)上单调递减;x >0,f (x )>0,f ′(x )在(0,+∞)上单调递增;f (x )与f ′(x )关系混淆.第一问:f ′(x )=e x −1,f (x )在(0,+∞)单调递增,f (x )在(−∞,0)单调递减.未能用f ′(x )与0的关系分析单调性.第一问:设x 1<x 2<0,则f (x 1)−f (x 2)>0.方法不当,试图单调性的定义法证明单调性.第二问:直接令最小值f (ln a )<0,解得a >1e.没有讨论a 在其它范围所对应零点的个数,思维不严谨.20题第二问:f ′(x )=e x −a,y =f (x )有两个零点,等价于y =e x 与y =a 有两交点.将f (x )零点与f ′(x )零点混淆.第二问:f (x )有两零点,则∆>0.将二次函数零点个数判断错误迁移.第二问:x <ln a,f (x )递减;x >ln a,f (x )递增,f (x )最小为f (ln a )<0,则有两个零点.没有在x =ln a 左右两端找到令f (x 0)>0的x 0,缺乏用零点存在定理“卡点”的严谨性.第二问:(1)a 0时f ′(x )>0,f (x )在R 上递增(没有描述零点个数情况).(2)a 0时,f (x )只有一个零点(零点个数情况描述错误).对于简单的特殊情况未能准确说清零点个数.第二问:局部分参法a >0,不会计算过定点(−2,0)与y =e x相切的切线斜率k .不会求过曲线外一点求已知曲线的切线方程.第二问:局部分参法求得切线斜率k =1e ,a >1e时,有两个零点(其它范围没有分析零点个数).没有分类讨论斜率a 在不同范围内,零点个数的不同情况,缺乏对答案完备性的分析.第二问:完全分参法由f (x )=e x −a (x +2)=0得a =e xx +2.没有考虑x =−2,以致后续对g (x )=e xx +2图像分析错误.第二问:完全分参法后函数求导错误g ′(x )=e x (x +3)(x +2)2.求导的四则运算法则不熟悉.第二问:完全分参法x ∈(−∞,−2),x ∈(−2,−1),g (x )单调递增,x ∈(−1,+∞),g (x )单调递减.单调性判断错误.第一问:圆M 的圆心M (a,b )满足的方程组(a +√2)2+(b −√2)2=r 2(a −√2)2+(b +√2)2=r 2没有解出a =b 或者解出a 与b 是错误关系.计算能力不足,不能对三元二次方程组进行消元求解.第一问:A,B,G 的坐标出错或−→AG,−−→GB 的坐标表示出错(1)写成A (−c,0),B (c,0);(2)写成A (−x,0),B (x,0)或者A (x 1,0),B (x 2,0);(3)写成A (−a,0),B (a,0),G (1,0)或−→AG =(1+a,0),−−→GB =(a −1,0)等.(1)没看清题意,误将椭圆顶点看做焦点;(2)向量坐标表示等概念理解不清楚,向量加、减和点乘的坐标运算法则错误;(3)书写粗心导致计算错误.第一问:−→AG ·−−→GB =8的转化或计算出错(1)|AG |=|GB |=a 或−→AG ·−−→GB =a 2=8或−→AG ·−−→GB =2a =8;(2)−→AG ·−−→GB =2c =8;(3)√a 2+1·√a 2+1=8;(4)得a 2−1=8,所以a 2=7得|−→AG |·|−−→GB |cos ∠AGB =8或∠AGB =120◦.(1)向量数量积的坐标运算法则不熟悉;(2)把AG,GB 的长度看成a ,认为−→AG ·−−→GB =a 2或−→AG ·−−→GB =a +a ;(3)向量的数量积的公式错误,认为−→AG ·−−→GB = −→AG −−→GB ,向量夹角概念不清楚,认为−→AG 与−−→GB 的夹角是∠AGB ,或认为−→AG 与−−→GB 的夹角是60◦.21题第一问:方程写成x 23+y 2=1.求出a =3,忘记平方.第二问:联立CD :x =my +n 或y =kx +t,x 29+y 2=1,消元整理过程出错,或韦达定理出错.代数运算容易出错.第二问:直线P A,P B 的方程出错(1)设l P A :y =k (x +3),l P B :y =k (x −3);(2)设l P A :y =k 1x +b 1,l P B :y =k 2x +b 2;(3)设l P A :y =y 03(x −3),l P B :y =y 09(x +3);(4)设l P A :y =9y 0(x +3),l P B :y =3y 0(x −3).(1)对直线方程的表达方式不熟悉,习惯性书写导致出错.(2)两条直线斜率不一样,习惯性书写时不区分.(3)没有利用已知点,机械设方程,增加了方程的未知量的个数;(4)斜率计算出错,或对斜率公式掌握不牢.第二问:C,D 点坐标出错.不会应用韦达定理求根,或运算出错.第二问:定点求错或无法求出定点.字母运算、转化能力不足.第二问:没有讨论特殊情况:设CD :x =my +n 漏掉y =0的情况;设CD :y =kx +t 漏掉斜率不存在的情况.做题不细心,解题思路不严谨.第一问:曲线方程正确但描述不完整只回答圆或半径为1的圆或圆心在原点的圆或没有回答问题.不知道描述一条曲线不能仅仅说明形状,还应该包含这条曲线的关键要素.第一问:转化参数方程时得错误曲线y =x tan t或x 2+y 2=t 2或x 2+y 2=1并回答曲线是“直线”或“椭圆、双曲线”等.(1)不知道如何消参或对参数的理解错误,转化过程并没有消去参数t ;(2)认为cos t 是cos 乘t ;(3)对于常见曲线方程的形式不能给出正确判断,即对直线、椭圆和双曲线的方程表达形式不熟悉.第二问:方程C 1:x =cos 4ty =sin 4t (t 为参数)不会消参,只代入k =4或者尝试用x −y =cos 2t −sin 2t 消参或者消参得x +y =1.对三角恒等式的运用不熟练,不能观察出√x =cos 2t,√y =sin 2t ,然后根据三角恒等关系消元.第二问:联立√x +√y =1,4x −16y +3=0,消元后无法求解方程.(1)看到根号就懵了,不懂得如何解方程组,对代入消元解方程组的方法思想没有掌握;(2)对于含根的方程不知道如何处理,不能根据式子结构利用一元二次方程的方法求解.第二问:求得方程组的解为x =14y =12或x =√22y =√22或 x =16936y =76等.(1)十字相乘时符号错误;(2)平方变成开方;(3)y 忘记平方;(4)没有验算的意识.22题第二问:直接联立C 1与C 2,化简得到方程4cos 4t −16sin 4t +3=0后不能对方程继续处理.不知道可以把cos 4t 看成(cos 2t )2,并利用cos 2t +sin 2t =1化成一个一元二次方程.第二问:x =cos 4t =cos 22t +12,y =sin 4t =1−cos 22t 2.指数幂运算不过关或者二倍角公式使用错误,应化简为x =cos 4t =(cos 22t +12)2,y =sin 4t =(1−cos 22t 2)2.第二问:(1)直线的方程写成4x −6y +3=0或者4x +16y +3=0或者2x −16y +3=0;(2)√x +√y =1变形得到x 2+y 2+2√xy =1或者x 2+y 2=1.(1)粗心,符号或者系数抄错;(2)完全平方公式不熟练.第一问:图像错误(1)描点的位置不准确;(2)直线的位置不对;(3)直线化成曲线;(4)图像不完整;(5)平移图像画得不规范;(6)图像平移的方向错.(1)点的坐标计算错误或者将点(−13,−83)错误地点在了(−13,−53)或(−13,−113);(2)将y =−x −3画成了像单调递增的函数图像,对于一次函数的单调性理解有误;(3)将直线画成了各种曲线,对各种函数图像记忆混淆;(4)没有写出完整的解析式,导致分段函数的部分段图像没有画完整;(5)(6)将f (x )的图像向右平移得到f(x+1)的图像,对于函数图像的平移方向的判断掌握不熟.第一问:分段函数出错(1)分段函数定义域不全;(2)分段函数解析式错误.(1)−x−3,x<−13;5x−1,−13<x<1;x+3,x>1;忽略端点;(2)去绝对值时候的运算错误,导致解析式求错.第二问:分类讨论中错误(1)分类讨论分类不完整;(2)每一类讨论最后交集求错;(3)分类讨论中错用大括号,并集写成交集;(1)分类的临界点没有找完整;(2)在分类讨论时,对条件和结论的关系没有厘清;(3)粗心导致数字计算和大小比较错误.23题第二问:集合运算的问题(1)解集的形式错误;(2)并集符号的使用错误;(3)元素和集合的关系表达错误.(1)解集写成x<76;(2)解集写成x −43∪−43<x<76;(3)x∈∅写成x=∅.第二问:计算出错(1)合并同类项错误;(2)解不等式错误;(3)绝对值计算错误.(1)多项式的运算能力偏弱;(2)−6x>7解成x>−76;(3)取绝对值时,绝对值符号里面式子的正负判断失误.第二问:求交点用错分段函数解析式.函数图像和解析式的对应能力偏弱.第一问:解不等式错用了放缩.错误利用绝对值不等式放缩,从而能解出不正确的结果.例如:要解不等式|3x+1|+|3x+4|>2|x−1|−2|x|,但因为2|x−1|−2|x| 2,错误的将原式等价于解|3x+1|+|3x+4|>2.(二)理科卷题考生的典型错误原因分析号13答案为14.计算错误.题答案为−112或−7.用代点法的时候代入错误的点.14答案为3.向量模的运算错误,求出向量的模的平方之后忘记开方.题答案为1或√2或2.看到单位向量且认为是等边三角形或者等腰直角三角形.答案为√3或2或3或13.计算错误.案为√2或√22.误认为是a=b.15题答案为√10.把直线AB的斜率误认为是渐近线的斜率.答案为12.离心率公式记忆错误,误认为离心率是a/c.答案为−12或12.余弦定理公式错误,公式右边系数记错.16题答案为√22或√32或−√32.胡乱猜测角的大小,写出相应的三角函数值.答案为60◦或120◦或45◦等等.(1)审题不准;(2)胡乱猜测角的大小.答案为14.运算错误.第一问:由a1为a2,a3的等差中项得2a1=a3−a2,a12=a2·a3,a2=a1+d等.等差中项和等比中项概念不清导致混淆第一问:由q2+q−2=0解得q=−1,q=2,q=−1±√52.方程求解错误,对一元二次方程的系数看错或者求根公式错误.第一问:由q2+q−2=0,解得q=1,q=−2.没有舍去q=1.审题不准,没看清题干条件.17题第二问:当n为奇(偶)数时,S n=1×(−2)0+2×(−2)2+4×(−2)4···+(n−1)×(−2)n−1.概念不清,没理解前n项和的概念.第二问:用错位相减法得3S n=(−2)0+(−2)1+(−2)2+···+(−2)n−1+n·(−2)n.正负号出错.第二问:由q=−2,得a n=−2n−1,所以S n=1+2·−2+3·−22+···+n·−2n−1.表达有误,平时书写习惯不好.第二问:3S n=(−2)0+(−2)1+(−2)2+···+(−2)n−1−n·(−2)n,得3S n=1+(−2)·[1−(−2)]1−(−2)−n·(−2)n或者3S n=(−2)·[1−(−2)]1−(−2)−n·(−2)n.对等比数列求和公式不熟,如弄错项数.第二问:由3S n=1+(−2)[1−(−2)]3−n·(−2)n得S n=19−(3n−1)(−2)9或者S n=13+−2+2·(−2)+n(−2)9.指数运算能力欠缺,合并同类项正负号出错.第二问:由3S n=1−(−2)n3−n·(−2)n得S n=1−(3n+1)·(−2)n.误将除以3当成乘以3进行运算.第二问:由1⃝−2⃝得S n=19−(3n+1)(−2)n9或者得出错误答案.跳步太多,导致失分.第一问:表达不严谨,对于两问中边长数值的设定,没有“不妨设”或者“不失一般性假设”等关键字眼.不清楚上述表达的内涵,书写不严谨.第一问:各类数据计算错误率很高(1)设等边三角形边长AB=a或AB=1时,其它边长计算出错.(2)通过向量坐标计算法向量时出错.(1)带字母结构的运算能力较差;(2)含根号结构的化简处理能力欠缺.第一问:无任何合理证明即认定P A⊥P B和P A⊥P C关键证明步骤缺失.缺乏证明线线垂直的平几思路.第一问:直接利用线线垂直或者面面垂直直接得到线面垂直,如由P A⊥BC直接得P A⊥面P BC.对线面垂直的判定定理不清楚.18题第一问:用法向量知识证明线面垂直时,利用−→P A·m=0得−→P A//m.对线面垂直的向量判定原理不清晰.第二问:建系出错,没有保证三个方向互相垂直,如分别以−→CA,−−→CB为x,y轴建系.空间想象能力弱导致寻找垂直关系困难第二问:书写点的坐标和所建立的坐标系不一致对坐标系中各坐标轴所对应的方向感较差.第二问:利用等体积法计算二面角的平面角余弦值时,不能清晰指出平面角的位置或者等量关系,求面积和体积时运算出错.空间想象能力欠缺,运算能力薄弱.第二问:利用两个法向量求夹角余弦值时运算出错.向量积的坐标运算法则或利用法向量求二面角的公式错误.第二问:缺乏最终结论,直接将两个法向量的夹角余弦值作为答案.对二面角的平面角和法向量的夹角之间的关系不清楚.19题第一问:无任何文字说明,直接写结果,如116,124等.数学语言书写表达习惯未养成.。

第2部分：简易逻辑(1)【江西省新钢中学2020届咼三第一次考试】在厶ABC中，设命题p : a bsin B si nC 命题q: △ ABC是等边三角形，那么命题p是命题q的c sin A全国各地市2020年模拟试题分类解析汇编A.充分不必要条件 B .必要不充分条件C .充分必要条件 D.既不充分又不必要条件【答案】Ca b c a b c【解析】：p:-a b c q: △ ABC是等边三角形sinB sinC sin A b c a【2020浙江宁波市期末文】已知a, b R,则“ a b ”是“ a b ... ab ”的()2(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件【答案】B【解析】若a,b一正一负，a则得不到b .. ab，但若a b —ab，必有a b，故选22B。

【2020金华十校高三上学期期末联考文】已知a R，则“ a 2”是“ a2 2a ”成立的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】本题主要考查充要条件的概念和一元二次不等式的解法•属于基础知识、基本运算的考查•2 2a 2可以推出a 2a ；a 2a可以推出a 2或a 0不一定推出a 2。

“ a 2”是2a 2a ”充分不必要条件【2020三明市普通高中高三上学期联考文】下列选项叙述错误的是A.命题“若x 1，则x2 3x 2 0 ”的逆否命题是“若x2 3x 2 0，则x 1 ”B.若命题P : x R, x2 x 1 0，贝U p : x R,x2 x 1 0C.若p q为真命题，则p , q均为真命题2D.“ x 2 ”是“ x 3x 2 0 ”的充分不必要条件【答案】C【解析】本题主要考查命题及其判断真假的方法、全称命题、特称命题及其否定、充要条件的概念•属于基础知识、基本概念的考查•A,B,D正确，若p q为真命题，贝U p，q中至少有一个真即可，C错误。

简易逻辑(二）高考题回顾（2020浙江理）已知,a b 是实数，则“0a >且0b >”是“0a b +>且0ab >”的 条件2.（2020浙江文）“0x >”是“0x ≠”的 条件3.（2020安徽卷文）“”是“且”的 条件4.（2020江西卷文）下列命题是真命题的为（1）．若11x y =,则x y =（2)．若21x =,则1x =(3)．若x y =,则x y = (4)．若x y <,则 22x y <5.（2020天津卷文）设””是“则“x x x R x ==∈31,的 条件6.（2020四川卷文）已知a ，b ，c ，d 为实数，且c ＞d .则“a ＞b ”是“a －c ＞b －d ”的 条件7.（2020辽宁卷文）下列4个命题111:(0,),()()23x xp x ∃∈+∞< 2:(0,1),p x ∃∈㏒1/2x>㏒1/3x 31p :(0,),()2x x ∀∈+∞>㏒1/2x 411:(0,),()32x p x ∀∈<㏒1/3x其中的真命题是 8.（2020天津卷理）命题“存在0x ∈R ，02x ≤0”的否定是9.（2020年上海卷理）”“22≤≤-a 是“实系数一元二次方程012=++ax x 有虚根”的条件10.（2020重庆卷文）命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是11、（2020江苏）命题“若b a >，则122->ba”的否命题为__________.12、（2020年山东卷）设p ：x 2－x －20>0,q ：212--x x <0,则p 是q 的 条件005简易逻辑(二）高考题回顾参考答案1．充分必要；解析 对于“0a >且0b >”可以推出“0a b +>且0ab >”，反之也是成立的 2.。

充分而不必要；【命题意图】本小题主要考查了命题的基本关系，题中的设问通过对不等关系的分析，考查了命题的概念和对于命题概念的理解程度．解析 对于“0x >”⇒“0x ≠”；反之不一定成立，因此“0x >”是“0x ≠”的充分而不必要条件．3. 必要不充分，解析 易得a b c d >>且时必有a c b d +>+.若a c b d +>+时，则可能有a d c b >>且，4、（1）；5、解析 由11x y =得x y =,而由21x =得1x =±,由x y =,而x y <得不到22x y <6、充分不必要解析 因为1,1,0,3-==x x x 解得，显然条件的集合小，结论表示的集合大，由集合的包含关系，我们不难得到结论。

A ．B ．10π97C ．D ．4π338．的展开式中x 3y 3的系数为25()()x x y xy ++A ．5B ．10C ．15三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第每个试题考生都必须作答。

第已知A 、B 分别为椭圆E ：（a >1）的左、右顶点，G 为E 的上顶点，2221x y a+=，P 为直线x =6上的动点，PA 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为8AG GB ⋅=D ．（1）求E 的方程；（2）证明：直线CD 过定点.21．（12分）已知函数.2()e x f x ax x =+-（1）当a =1时，讨论f （x ）的单调性；（2）当x ≥0时，f （x ）≥x 3+1，求a 的取值范围.12（二）选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答。

如果多做，则按所做的第一题计分。

22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数．以坐标原点为极点，轴正xOy 1C cos ,sin kkx t y t⎧=⎪⎨=⎪⎩(t )x 半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．2C 4cos 16sin 30ρθρθ-+=（1）当时，是什么曲线？1k =1C （2）当时，求与的公共点的直角坐标．4k =1C 2C 23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）已知函数．()|31|2|1|f x x x =+--（1）画出的图像；()y f x =（2）求不等式的解集．()(1)f x f x >+则.25cos ,|||5⋅==n m n m n m |所以二面角的余弦值为.B PC E --25519．解：（1）甲连胜四场的概率为．116（2）根据赛制，至少需要进行四场比赛，至多需要进行五场比赛．比赛四场结束，共有三种情况：甲连胜四场的概率为；116乙连胜四场的概率为；116丙上场后连胜三场的概率为．18所以需要进行第五场比赛的概率为．11131161684---=（3）丙最终获胜，有两种情况：比赛四场结束且丙最终获胜的概率为．18比赛五场结束且丙最终获胜，则从第二场开始的四场比赛按照丙的胜、负、轮空结果有三种情况：胜胜负胜，胜负空胜，负空胜胜，概率分别为，，．1161818因此丙最终获胜的概率为．111178168816+++=20．解：（1）由题设得A （–a ，0），B （a ，0），G （0，1）.则，=（a ，–1）.由=8得a 2–1=8，即a =3.(,1)AG a = GB AG GB ⋅所以E 的方程为+y 2=1．29x （2）设C （x 1，y 1），D （x 2，y 2），P （6，t ）.若t ≠0，设直线CD 的方程为x =my +n ，由题意可知–3<n <3.由于直线PA 的方程为y =（x +3），所以y 1=（x 1+3）.9t9t直线PB 的方程为y =（x –3），所以y 2=（x 2–3）.3t 3t可得3y 1（x 2–3）=y 2（x 1+3）.由于，故，可得，222219x y +=2222(3)(3)9x x y +-=-121227(3)(3)y y x x =-++即①221212(27)(3)()(3)0.m y y m n y y n ++++++=将代入得x my n =+2219x y +=222(9)290.m y mny n +++-=所以，．12229mn y y m +=-+212299n y y m -=+代入①式得2222(27)(9)2(3)(3)(9)0.m n m n mn n m +--++++=解得n =–3（含去），n =.32故直线CD 的方程为，即直线CD 过定点（，0）．3=2x my +32若t =0，则直线CD 的方程为y =0，过点（，0）.32综上，直线CD 过定点（，0）.3221．解：（1）当a =1时，f （x ）=e x +x 2–x ，则=e x +2x –1．()f x '故当x ∈（–∞，0）时，<0；当x ∈（0，+∞）时，>0．所以f （x ）在（–∞，()f x '()f x '0）单调递减，在（0，+∞）单调递增．（2）等价于.31()12f x x ≥+321(1)e 12x x ax x --++≤设函数，则321()(1)e (0)2xg x x ax x x -=-++≥32213()(121)e 22xg x x ax x x ax -'=--++-+-21[(23)42]e 2xx x a x a -=--+++.1(21)(2)e 2x x x a x -=----（i ）若2a +1≤0，即，则当x ∈（0，2）时，>0.所以g （x ）在（0，2）单调递12a ≤-()g x '增，而g （0）=1，故当x ∈（0，2）时，g （x ）>1，不合题意.（ii ）若0<2a +1<2，即，则当x ∈(0，2a +1)∪(2，+∞)时，g'(x )<0；当x ∈1122a -<<(2a +1，2)时，g'(x )>0.所以g (x )在(0，2a +1)，(2，+∞)单调递减，在(2a +1，2)单调递增.由于g (0)=1，所以g (x )≤1当且仅当g (2)=(7−4a )e −2≤1，即a ≥.27e4-所以当时，g (x )≤1.27e 142a -≤<（iii ）若2a +1≥2，即，则g (x )≤.12a ≥31(1)e 2xx x -++由于，故由（ii ）可得≤1.27e 10[,)42-∈31(1)e 2x x x -++故当时，g (x )≤1.12a ≥综上，a 的取值范围是.27e [,)4-+∞22．解：（1）当k =1时，消去参数t 得，故曲线是圆心为坐标原点，1cos ,:sin ,x t C y t =⎧⎨=⎩221x y +=1C 半径为1的圆．（2）当k =4时，消去参数t 得的直角坐标方程为．414cos ,:sin ,x t C y t ⎧=⎪⎨=⎪⎩1C 1x y +=的直角坐标方程为．2C 41630x y -+=由解得．1,41630x y x y ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩1414x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩故与的公共点的直角坐标为．1C 2C 11(,)4423．解：（1）由题设知13,,31()51,1,33, 1.x x f x x x x x ⎧--≤-⎪⎪⎪=--<≤⎨⎪⎪+>⎪⎩的图像如图所示．()y f x =（2）函数的图像向左平移()y f x =的图像与()y f x =(y f x =+。

2020年高考数学真题汇编答案及解析(本栏目内容，学生用书中以活页形式单独装订成册！)一、选择题(每小题6分，共36分)1．集合A＝{1,2，a}，B＝{2,3，a2}，C＝{1,2,3,4}，a∈R，则集合(A∩B)∩C不可能是( )A．{2} B．{1,2}C．{2,3} D．{3}【解析】若a＝－1，(A∩B)∩C＝{1,2}；若a＝3，则(A∩B)∩C＝{2,3}若a≠－1且a≠3，则(A∩B)∩C＝{2}，故选D.【答案】 D2．(2020全国卷Ⅰ)设集合A＝{4,5,7,9}，B＝{3,4,7,8,9}，全集U＝A∪B，则集合∁U(A∩B)中的元素共有( )A．3个B．4个C．5个D．6个【解析】A∩B＝{4,7,9}，A∪B＝{3,4,5,7,8,9}，∁U(A∩B)＝{3,5,8}，故选A.【答案】 A3．(2020年广东卷)已知全集U＝R，集合M＝{x|－2≤x－1≤2}和N＝{x|x＝2k－1，k＝1,2，…}的关系的韦恩(Venn)图如右图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有( )A．3个B．2个C．1个D．无穷多个【解析】M＝{x|－1≤x≤3}，M∩N＝{1,3}，有2个．【答案】 B4．给出以下集合：①M＝{x|x2＋2x＋a＝0，a∈R}；②N＝{x|－x2＋x－2＞0}；③P＝{x|y＝lg(－x)}∩{y|y＝lg(－x)}；④Q＝{y|y＝x2}∩{y|y＝x－4}，其中一定是空集的有( )A．0个B．1个C．2个D．3个【解析】在集合M中，当Δ＝4－4a≥0时，方程有解，集合不是空集；而Q＝{y|y＝x2}∩{y|y＝x－4}＝{y|y≥0}∩{y|y∈R}＝{y|y≥0}，所以不是空集；在P中，P＝{x|y＝lg(－x)}∩{y|y＝lg(－x)}＝{x|x＜0}∩R＝{x|x＜0}，不是空集；在N中，由于不等式－x2＋x－2＞0⇔x2－x＋2＜0，Δ＝－7＜0，故无解，因此，只有1个一定是空集，所以选B.【答案】 B5．如右图所示的韦恩图中，A，B是非空集合，定义集合A#B为阴影部分所表示的集合．若x，y∈R，A={x|y= }，B={y|y=3x，x＞0}，则A#B=( )A．{x|0＜x＜2} B．{x|1＜x≤2}C．{x|0≤x≤1或x≥2} D．{x|0≤x≤1或x＞2}【解析】依据定义，A#B就是将A∪B除去A∩B后剩余的元素所构成的集合．对于集合A，求的是函数y＝2x－x2的定义域，解得：A＝{x|0≤x≤2}；对于集合B，求的是函数y＝3x(x＞0)的值域，解得B＝{y|y＞1}，依据定义得：A#B＝{x|0≤x≤1或x＞2}．【答案】 D6．定义一种集合运算A⊗B＝{x|x∈(A∪B)，且x∉(A∩B)}，设M＝{x||x|＜2}，N＝{x|x2－4x＋3＜0}，则M⊗N所表示的集合是( )A．(－∞，－2]∪[1,2)∪(3，＋∞)B．(－2,1]∪[2,3)C．(－2,1)∪(2,3)D．(－∞，－2]∪(3，＋∞)【解析】M＝{x|－2＜x＜2}，N＝{x|1＜x＜3}，所以M∩N ＝{x|1＜x＜2}，M∪N＝{x|－2＜x＜3}，故M⊗N＝(－2,1]∪[2,3)．【答案】 B二、填空题(每小题6分，共18分)7．已知集合A＝{x∈R|ax2＋2x＋1＝0，a∈R}只有一个元素，则a的值为________．。

2020年高考数学真题分类汇编专题03：逻辑与推理数学考试注意事项：1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写2、提前xx 分钟收取答题卡第Ⅰ卷客观题第Ⅰ卷的注释(共7题；共14分)1．（2分）设a∈R，则“ a>1”是“ a2>a”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【解答】求解二次不等式a2>a可得：a>1或a<0，据此可知：a>1是a2>a的充分不必要条件.故答案为：A.【分析】首先求解二次不等式，然后结合不等式的解集即可确定充分性和必要性是否成立即可. 2．（2分）已知α,β∈R，则“存在k∈Z使得α=kπ+(−1)kβ”是“ sinα=sinβ”的（）．A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【解答】(1)当存在k∈Z使得α=kπ+(−1)kβ时，若k为偶数，则sinα=sin(kπ+β)=sinβ；若k为奇数，则sinα=sin(kπ−β)=sin[(k−1)π+π−β]=sin(π−β)=sinβ；(2)当sinα= sinβ时，α=β+2mπ或α+β=π+2mπ，m∈Z，即α=kπ+(−1)kβ(k=2m)或α= kπ+(−1)kβ(k=2m+1)，亦即存在k∈Z使得α=kπ+(−1)kβ．所以，“存在k∈Z使得α=kπ+(−1)kβ”是“ sinα=sinβ”的充要条件.故答案为：C.【分析】根据充分条件，必要条件的定义，以及诱导公式分类讨论即可判断.3．（2分）已知空间中不过同一点的三条直线m，n，l，则“m，n，l在同一平面”是“m，n，l两两相交”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【解答】解：空间中不过同一点的三条直线m，n，l，若m，n，l在同一平面，则m，n，l 相交或m，n，l有两个平行，另一直线与之相交，或三条直线两两平行．故m，n，l在同一平面”是“m，n，l两两相交”的必要不充分条件，故答案为：B．【分析】由m，n，l在同一平面，则m，n，l相交或m，n，l有两个平行，另一直线与之相交，或三条直线两两平行，根据充分条件，必要条件的定义即可判断．4．（2分）如图，将钢琴上的12个键依次记为a1，a2，…，a12.设1≤i<j<k≤12．若k–j=3且j–i=4，则称a i，a j，a k为原位大三和弦；若k–j=4且j–i=3，则称a i，a j，a k为原位小三和弦．用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为（）A．5B．8C．10D．15【答案】C【解析】【解答】根据题意可知，原位大三和弦满足：k−j=3,j−i=4．∴ i=1,j=5,k=8；i=2,j=6,k=9；i=3,j=7,k=10；i=4,j=8,k=11；i= 5,j=9,k=12．原位小三和弦满足：k−j=4,j−i=3．∴ i=1,j=4,k=8；i=2,j=5,k=9；i=3,j=6,k=10；i=4,j=7,k=11；i= 5,j=8,k=12．故个数之和为10．故答案为：C．【分析】根据原位大三和弦满足k−j=3,j−i=4，原位小三和弦满足k−j=4,j−i=3，从i =1 开始，利用列举法即可解出．5．（2分）0-1周期序列在通信技术中有着重要应用.若序列 a 1a 2⋯a n ⋯ 满足 a i ∈{0,1}(i =1,2,⋯) ，且存在正整数m ，使得 a i+m =a i (i =1,2,⋯) 成立，则称其为0-1周期序列，并称满足 a i+m =a i (i =1,2,⋯) 的最小正整数m 为这个序列的周期.对于周期为m 的0-1序列 a 1a 2⋯a n ⋯ ，C(k)=1m ∑a i a i+k m i=1(k =1,2,⋯,m −1)是描述其性质的重要指标，下列周期为5的0-1序列中，满足 C(k)≤15(k =1,2,3,4) 的序列是（ ）A ． 11010⋯B ．11011⋯C ．10001⋯D ．11001⋯【答案】C【解析】【解答】由 a i+m =a i 知，序列 a i 的周期为m ，由已知， m =5 ，C(k)=15∑a i a i+k 5i=1,k =1,2,3,4对于A ，C(1)=15∑a i a i+15i=1=15(a 1a 2+a 2a 3+a 3a 4+a 4a 5+a 5a 6)=15(1+0+0+0+0)=15≤15C(2)=15∑a i a i+25i=1=15(a 1a 3+a 2a 4+a 3a 5+a 4a 6+a 5a 7)=15(0+1+0+1+0)=25，不满足； 对于B ，C(1)=15∑a i a i+15i=1=15(a 1a 2+a 2a 3+a 3a 4+a 4a 5+a 5a 6)=15(1+0+0+1+1)=35，不满足； 对于D ，C(1)=15∑a i a i+15i=1=15(a 1a 2+a 2a 3+a 3a 4+a 4a 5+a 5a 6)=15(1+0+0+0+1)=25，不满足； 故答案为：C【分析】分别为4个选项中k=1 , 2, 3 , 4进行讨论, 若有-一个不满足条件，就排除 ；由题意可得周期都是5 ,每个答案中都给了一个周期的排列,若需要下个周期的排列， 继续写出，如C 答案中的排列为10001 10001 10001.6．（2分）基本再生数R 0与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：I(t)=e rt描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0 =1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28，T=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69) （）A．1.2天B．1.8天C．2.5天D．3.5天【答案】B【解析】【解答】因为R0=3.28，T=6，R0=1+rT，所以r=3.28−16=0.38，所以I(t)=e rt=e0.38t，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为t1天，则e0.38(t+t1)=2e0.38t，所以e0.38t1=2，所以0.38t1=ln2，所以t1=ln20.38≈0.690.38≈1.8天.故答案为：B.【分析】根据题意可得I(t)=e rt=e0.38t，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为t1天，根据e0.38(t+t1)=2e0.38t，解得t1即可得结果.7．（2分）2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（πDay）．历史上，求圆周率π的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似．数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数n充分大时，计算单位圆的内接正6n边形的周长和外切正6n边形（各边均与圆相切的正6n边形）的周长，将它们的算术平均数作为2π的近似值．按照阿尔·卡西的方法，π的近似值的表达式是（）．A．3n(sin30°n+tan 30°n)B．6n(sin30°n+tan30°n)C．3n(sin60°n+tan 60°n)D．6n(sin60°n+tan60°n)【答案】A【解析】【解答】单位圆内接正6n边形的每条边所对应的圆周角为360°n×6=60°n，每条边长为2sin 30°n，所以，单位圆的内接正6n边形的周长为12nsin30°n，单位圆的外切正6n边形的每条边长为2tan30°n ，其周长为12ntan30°n，∴2π=12nsin30°n+12ntan30°n2=6n(sin30°n+tan30°n)，则π=3n(sin30°n+tan 30°n).故答案为：A.【分析】计算出单位圆内接正6n边形和外切正6n边形的周长，利用它们的算术平均数作为2π的近似值可得出结果.(共1题；共1分)8．（1分）设有下列四个命题：p1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.p2：过空间中任意三点有且仅有一个平面.p3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行.p4：若直线l ⊂平面α，直线m∴平面α，则m∴l.则下述命题中所有真命题的序号是.①p1∧p4②p1∧p2③¬p2∨p3④¬p3∨¬p4【答案】①③④【解析】【解答】对于命题p1，可设l1与l2相交，这两条直线确定的平面为α；若l3与l1相交，则交点A在平面α内，同理，l3与l2的交点B也在平面α内，所以，AB⊂α，即l3⊂α，命题p1为真命题；对于命题p2，若三点共线，则过这三个点的平面有无数个，命题p2为假命题；对于命题p3，空间中两条直线相交、平行或异面，命题p3为假命题；对于命题p4，若直线m⊥平面α，则m垂直于平面α内所有直线，∵直线l⊂平面α，∴直线m⊥直线l，命题p4为真命题.综上可知，p1∧p4为真命题，p1∧p2为假命题，¬p2∨p3为真命题，¬p3∨¬p4为真命题.故答案为：①③④.【分析】利用两交线直线确定一个平面可判断命题p1的真假；利用三点共线可判断命题p2的真假；利用异面直线可判断命题p3的真假，利用线面垂直的定义可判断命题p4的真假.再利用复合命题的真假可得出结论.试题分析部分1、试卷总体分布分析2、试卷题量分布分析3、试卷难度结构分析4、试卷知识点分析。