2016年上海七宝中学高三数学第一次三模(2016.05) (1)

上海市2016届高三数学3月月考试题 文（无答案）考生注意：1.本试卷共4页，23道试题，满分150分，考试时刻120分钟.2.本考试分设试卷和答题纸. 作答必需涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一概不得分.一、填空题（本大题共有14题，满分56分．）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每一个空格填对4分，不然一概得零分．1.已知集合{}{}032,lg 2<--===x x x B x y x A ，则A B =_______________.2.复数(1i)(1i)a ++是实数，则实数a =_______________.3. 方程22log (x 1)2log (x 1)-=-+的解集为_________.4.已知圆锥的轴与母线的夹角为3π，母线长为3，则过圆锥极点的轴截面面积的最大值为_________. 5.已知0y x π<<<，且tan tan 2x y ⋅=，1sin sin 3x y ⋅=，则x y -= .6. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若7=42S ,则237a a a ++= .7.圆22(2)4C x y -+=：, 直线1:3l y x =，2:1l y kx =-，若12,l l 被圆C 所截得的弦的长度之比为1:2，则k 的值为_________.8．设正三棱柱的所有极点都在一个球面上，且该正三棱柱的底面边长为3，侧棱长为2，则该球的表面积为_________.9. 已知4()ln()f x x a x=+-，若对任意的R m ∈，均存在00x >使得0()f x m =，则实数a 的取值范围是 ．10.直线=(1)(0)y k x k +>与抛物线2=4y x 相交于,A B 两点，且,A B 两点在抛物线的准线上的射影别离是,M N ，若2BN AM =，则k 的值是 ．11.若,x y 知足不等式组2,,2,x y y x x +≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩则2z x y =+的最大值为 ．12.某几何体的三视图及部份数据如图所示，则此几何体的表面积是 ．13. 已知ABC ∆，若存在111A B C ∆，知足111cos cos cos 1sin sin sin A B CA B C ===,则称111A B C ∆是ABC ∆的 一个“友好”三角形.在知足下述条件的三角形中，存在“友好”三角形的是____：（请写出符合要求的条件的序号）①90,60,30A B C === ；②75,60,45A B C ===； ③75,75,30A B C ===. 14. 已知函数2()1x f x x -=-与()1g x mx m =+-的图像相交于A 、B 两点。

一、选择题1．有五条线段长度分别为1,3,5,7,9，从这5条线段中任取3条，则所取3条线段能构成一个三角形的概率（）A．110B．310C．12D．7102．从分别写有1，2，3，4的4张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数不小于第二张卡片上的数的概率为A．25B．35C．38D．583．我国魏晋时期的数学家刘徽，创立了用圆内接正多边形面积无限逼近圆面积的方法，称为“割圆术”，为圆周率的研究提供了科学的方法.在半径为1的圆内任取一点，则该点取自圆内接正十二边形外的概率为A．3B．31π-C．3πD．31π-4．某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台整点报时，则他等待的时间不多于15分钟的概率为（）A．13B．14C．15D．165．执行如图所示的程序框图，则输出s的值为（）A．34B．56C．1324D．771206．执行如图所示的程序框图，如果输入4n=，则输出的结果是（）A．32B．116C．2512D．137607．若执行如图所示的程序框图，输出S的值为511，则输入n的值是（）A．7B．6C．5D．48．如图给出的是计算1111246102+++⋅⋅⋅+的值的一个程序框图，其中判断框中应填入的是（）A ．102i >B ．102i ≤C ．100i >D ．100i ≤9．如图1为某省2019年1~4月快递业务量统计图，图2是该省2019年1~4月快递业务收入统计图，下列对统计图理解错误的是( )A ．2019年1~4月的业务量，3月最高，2月最低，差值接近2000万件B ．2019年1~4月的业务量同比增长率超过50%，在3月最高C ．从两图来看2019年1~4月中的同一个月快递业务量与收入的同比增长率并不完全一致D ．从1~4月来看，该省在2019年快递业务收入同比增长率逐月增长 10．有线性相关关系的变量有观测数据，已知它们之间的线性回归方程是，若，则（ ） A ．B ．C ．D ．11．已知变量,x y 之间的线性回归方程为0.47.6=-+y x ，且变量,x y 之间的一组相关数据如表所示，则下列说法错误的是（ ）A ．变量,x y 之间呈现负相关关系B ．m 的值等于5C ．变量,x y 之间的相关系数0.4=-rD ．由表格数据知，该回归直线必过点()9,412．从存放号码分别为1，2，⋯，10的卡片的盒子中，有放回地取100次，每次取一张卡片并记下号码，统计结果如下：则取到号码为奇数的频率是（ ） A ．0.53B ．0.5C ．0.47D ．0.37二、填空题13．住在同一城市的甲、乙两位合伙人,约定在当天下午4.00-5：00间在某个咖啡馆相见商谈合作事宜，他们约好当其中一人先到后最多等对方10分钟,若等不到则可以离去,则这两人能相见的概率为__________．14．重庆一中高一，高二，高三的模联社团的人数分别为25，15，10，现采用分层抽样的方法从中抽取部分学生参加模联会议，已知在高二年级和高三年级中共抽取5名同学，若从这5名同学中再随机抽取2名同学承担文件翻译工作，则抽取的两名同学来自同一年级的概率为__________.15．设{}{}1,3,5,7,2,4,6a b ∈∈，则函数()log a bf x x =是增函数的概率为__________．16．如图是一个算法流程图，则输出的S 的值为______．17．将二进制数110 101（2）转为七进制数，结果为________．18．一个算法的程序框图如图所示，则该算法运行后输出的结果为________.19．已知x ，y 的取值如下表： x 2 3 4 5 y2.23.85.56.5从散点图分析，y 与x 线性相关，且回归方程为y ＝1.46x ＋a ，则实数a 的值为________．20．已知某人连续5次射击的环数分别是8，9，10，x ，8，若这组数据的平均数是9，则这组数据的方差为 ． 三、解答题21．某舆情机构为了解人们对某事件的关注度，随机抽取了100人进行调查，其中对该事件关注的女性占23，而男性有10人表示对该事件没有关注.关注没关注合计男 55 女 合计（1）根据以上数据补全22⨯列联表；（2）能否有90%的把握认为“对事件是否关注与性别有关”？（3）已知在被调查的女性中有10名大学生，这其中有6名对此事关注.现在从这10名女大学生中随机抽取3人，求至少有2人对此事关注的概率. 附表：20()P K k ≥0.150 0.100 0.050 0.025 0.0100k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++22．某校高三课外兴趣小组为了解高三同学高考结束后是否打算观看2019年足球世界杯比赛的情况，从全校高三年级1500名男生、1000名女生中按分层抽样的方式抽取125名学生进行问卷调查，情况如下表:打算观看 不打算观看女生 20b男生c25（1）求出表中数据b ，c ；（2）判断是否有99%的把握认为观看2019年足球世界杯比赛与性别有关；（3）为了计算“从10人中选出9人参加比赛”的情况有多少种，我们可以发现它与“从10人中选出1人不参加比赛”的情况有多少种是一致的．现有问题：在打算观看2019年足球世界杯比赛的同学中有5名男生、2名女生来自高三（5）班，现从中推选5人接受校园电视台采访，请根据上述方法，求被推选出的5人中恰有四名男生、一名女生的概率．()20P K k ≥0.10 0.05 0.025 0.01 0.005 0K2.7063.8415.0246.6357.879附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++. 23．如图所示，已知底角为45°的等腰梯形ABCD ，底边BC 长为7 cm ，腰长为22cm ，当一条垂直于底边BC (垂足为F )的直线l 从B 点开始由左至右移动(与梯形ABCD 有公共点)时，直线l 把梯形分成两部分，令BF ＝x (0≤x ≤7)，左边部分的面积为y ，求y 与x 之间的函数关系式，画出程序框图，并写出程序．24．给出求满足不等式122010n ++⋅⋅⋅+>的最小正整数n 的一种算法，并作出程序框图. 25．某地政府拟在该地一水库上建造一座水电站，用泄流水量发电．下图是根据该水库历年的日泄流量的水文资料画成的日泄流量X （单位：万立方米）的频率分布直方图（不完整），已知[)0,120X ∈，历年中日泄流量在区间[30，60） 的年平均天数为156，一年按364天计．（Ⅰ）请把频率分布直方图补充完整；（Ⅱ）该水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每30万立方米的日泄流量才够运行一台发电机，如6090X ≤<时才够运行两台发电机，若运行一台发电机，每天可获利润为4000元，若不运行，则该台发电机每天亏损500元，以各段的频率作为相应段的概率，以水电站日利润的期望值为决策依据，问：为使水电站日利润的期望值最大，该水电站应安装多少台发电机？26．某花圃为提高某品种花苗质量，开展技术创新活动，在A ，B 实验地分别用甲、乙方法培育该品种花苗．为观测其生长情况，分别在A ，B 试验地随机抽选各50株，对每株进行综合评分，将每株所得的综合评分制成如图所示的频率分布直方图．记综合评分为80及以上的花苗为优质花苗．（1）求图中a 的值，并求综合评分的平均数；（2）若优质花苗数中甲乙两种培育法的比列为1：3，填写下面的列联表，并判断是否有99%的把握认为优质花苗与培育方法有关．优质花苗 非优质花苗 合计甲培育法 乙培育法 合计附：下面的临界值表仅供参考．（参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．）【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】列出所有的基本事件，并找出事件“所取三条线段能构成一个三角形”所包含的基本事件，再利用古典概型的概率公式计算出所求事件的概率． 【详解】所有的基本事件有：()1,3,5、()1,3,7、()1,3,9、()1,5,7、()1,5,9、()1,7,9、()3,5,7、()3,5,9、()3,7,9、()5,7,9，共10个，其中，事件“所取三条线段能构成一个三角形”所包含的基本事件有：()3,5,7、()3,7,9、()5,7,9，共3个，由古典概型的概率公式可知，事件“所取三条线段能构成一个三角形”的概率为310， 故选：B ． 【点睛】本题考查古典概型的概率计算，解题的关键就是列举基本事件，常见的列举方法有：枚举法和树状图法，列举时应遵循不重不漏的基本原则，考查计算能力，属于中等题．2．D解析：D 【分析】直接列举出所有的抽取情况，再列举出符合题意的事件数，即可计算出概率。

2015年七宝中学高三第一学期期中考试理科数学一、填空题1、设集合2{|}M x x x ==，{|lg 0}N x x =≤,则M N =_________。

[0,1]2、已知11(1,)P a 、22(2,)P a 、…(,)nn P n a …是直线上的一列点,且122, 1.2aa =-=-，则这个数列{}n a 的通项公式是___________。

*0.8 2.8()n a n n N =-∈3、设02πθ<<，向量(sin2,cos )a θθ=，(cos ,1)b θ=，若//a b ,则tan θ=___ .124、函数12log (32)y x =-___________.2(,1]35、已知单位向量1e 与2e 的夹角为α，且1cos 3α=,向量1232a e e =-与123b e e =-的夹角为β，则cos β=__________。

226、函数213,(10)x y x -=-≤≤的反函数是___________。

131()log 1(1)3f x x x -=+≤≤7、方程lg(42)lg 2lg 3x x+=+的解是___________。

0x =或1x = 8、,a b 是不等的两正数，若11lim 2n n n nn a b a b ++→∞-=+，则b 的取值范围是___________.(0,2)9、数列{}na 中，已知*111212,(),2n n a a a a a n N +==++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+∈，则{}n a 的前n 项和n S =___________。

132()2n n S -=⋅10、若向量a 与b 夹角为3π，||4b =，(2)(3)72a b a b +-=-，则||a =________.611、若三数,1,a c 成等差,且22,1,a c 成等比，则22lim()nn a c a c →∞++值为___________.0或112、已知菱形ABCD 的边长为2，120BAD ∠=，点,E F 分别在边,BC DC 上，3BC BE =，DC DF λ=,若1AE AF ⋅=，则λ的值为___________.213、已知()f x 是定义在[4,4]-上的奇函数，1()(2)3g x f x =-+，当[2,0)(0,2]x ∈-时，||1(),(0)021x g x g ==-，则方程12()log (1)g x x =+的解的个数为___________。

上海市七宝中学高三数学5月（三模）试题 文 沪教版一、填空题（本题满分56分）本大题共有14题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． １．i 为虚数单位，复数11i-的虚部是＿＿＿＿． 2．若抛物线2:2C y px =的焦点在直线20x y +-=上，则C 的准线方程为_____．3．设函数2log , 0,()4, 0,x x x f x x >⎧=⎨⎩≤ 若函数()()g x f x k =-存在两个零点，则实数k 的取4.5．若θ67人有 够自理”，-1代表“生活不能自理”.则随机访问该小区一位80岁以下的老龄人，该老人生活能够自理的概率是_____（用分数作答）.8．平面α的斜线AB 交α于点B ，过定点A 的动直线l 与AB 垂直，且交α于点C ，则动点C 的轨迹是_________.9．已知函数()2xf x =,点P(,a b )在函数1(0)y x x=>图象上，那么()()f a f b ⋅ 的最小值是____________.10．在平面上，12AB AB ⊥，12||1,||2MB MB ==,12AP AB AB =+.若||1MP <，则||MA 的取值范围是_____. 11．函数()(21)(2)xxf x a -=--的图象关于1x =对称，则()f x 的最大值为___.12．对于任意正整数，定义“n 的双阶乘n!!”如下：对于n 是偶数时，开始 结束输入n 输出n i =0n 是奇数n =3n +1i<3i =i +12n n =是否n!!=n·(n －2)·(n －4)……6×4×2；对于n 是奇数时，n!!=n·(n －2)·(n －4)……5×3×1．现有如下四个命题：①(2013!!)·(2014!!)=2014!；②2014!!=21007·1007!；③2014!!的个位数是0；④2015!!的个位数是5．正确的命题是________13．已知关于t 的一元二次方程),(0)(2)2(2R y x i y x xy t i t ∈=-++++.当方程有实根时，则点),(y x 的轨迹方程为______. 14. 已知向量序列：12,,,n a a a 满足如下条件：1||4||2a d ==，121a d ⋅=-且1n n a a d --=（2,3,4,n =）.若10k a a ⋅=，则k =___；12||,||,,||n a a a 中第___项最小.二、选择题（本题满分20分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得 5分，否则一律得零分． 15．下列函数中周期为π且图象关于直线3x π=对称的函数是（ ）（Ａ） （Ａ）2sin()23x y π=+ （Ｂ）2sin(2)6y x π=-（Ｃ）2sin(2)6y x π=+（Ｄ）2sin()23x y π=- 16．若,x y 满足约束条件,1,3 3.x y y x x y +⎧⎪+⎨⎪+⎩≤3≤≥则函数2z x y =-的最大值是 （ ）（A ）1- （B ）0 （C ）3 （D ）617．棱长为2的正方体被一平面截成两个几何体，其中一个几何体的三视图如图所示，那么该几何体的体积是 （ ）（A ）143 （B ）4 （C ）103（D ）318．若直线4ax by +=和圆224x y +=没有公共点，则过点(,)P a b 的直线l 与椭圆22194x y +=的公共点（ ） （A ）至少有一个 （B ）有两个 （C ）只有一个 （D ）不存在三、解答题解答题：（本题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的规定侧视图俯视图主视图区域（对应的题号）内写出必要的步骤． 19．（本题12分）圆形广场的有南北两个大门在中轴线上，东、西各有一栋建筑物与北门的距离分别为30米和40米，且以北门为顶点（视大门和建筑物为点）的角为060，求广场的直径（保留两位小数）.20．（本题14分）本题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.设底面直径和高都是4的圆柱的内切球为O . （1）求球O 的体积和表面积；（2）AB 是与底面距离为1的平面和球的截面圆M内的一条弦，其长为AB 两点间的球面距离.21．（本题14分）本题共有3小题，第1小题满分3 分，第2小题满分5分，第3小题满分6分.设椭圆()222210y x a b a b+=>>两顶点(,0),(,0)A b B b -焦距为2，过点(4,0)P 的直线l 与椭圆交于,C D 两点． （1）求椭圆的方程；（2）求线段,C D 中点Q 的轨迹方程；（3）若直线AC 的斜率为1，在椭圆上求一点M ，使三角形22．（本题16分）本题共有3小题，第1小题满分3 分，第2小题满分5分，第3小题满分8分.数列}{n a 满足12)1(1-=-++n a a n n n ，其中11a =，n S 是n a 的前n 和. （1）求23456,,,,a a a a a ； （2）求n a ； （3）求n S .23．（本题18分）本题共有3小题，第1小题满分4 分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.已知函数()(1|1|)f x a x =--，a 为常数，且1a >.DCBA（1）求()f x 的最大值；（2）证明函数()f x 的图象关于直线1x =对称； （3）当2a =时，讨论方程(())f f x m =解的个数.文科答案 1、12；2、x=-2；3、(0,1]；4、5；5、12k πθπ=+或5()12k k Z πθπ=+∈； 6、4；7、287/300；8、直线；9、4；10、||MA ∈；11、1/4； 12、．①②③④；13、22(1)(1)2x y -+-=；14、9；3. BDBB 19．设南、北门分别为点A 、B ，东、西建筑物分别为点C 、D.在BCD 中，2220304023040cos601300CD =+-⋅⋅⋅=，CD =分由于AB 为BCD 的外接圆直径，所以sin 60CD AB ===41.63≈. 所以广场直径约为41.63米. 12分DCBA20． （1）3432233V π=⋅π⋅=球，…… 3分 24216S =π⋅=π表面积 …… 6分 （2）23AOB π∠=， …… 12分 所以AB 两点间的球面距离为43π. …… 14分21．（1）椭圆方程为22154y x +=. …… 3分 （2）设11(,)C x y ，22(,)D x y ，(,)Q x y ，则2211154y x +=①，2222154y x +=②①-②得 21212121()()5()()4y y y y x x x x -⋅+=--⋅+， …… 5分因21212121,4y y y y y y x x x x x x-+==--+， 所以544y y x x ⋅=--，即2252040x x y -+= （01x ≤≤）. ……8分 用代入法求解酌情给分。

2016届高三数学摸底考数学试题一、填空题：（本大题共14小题，每小题4分，满分56分）1 已知集合{}2≤=x x A ,⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤-+=015x x xB ,则A B = .解析:{}12<≤-x x .2 若函数)(x f y =与2x y e +=的图像关于直线x y =对称,则=)(x f .解析:由2x y e +=得2ln x y +=,从而ln 2x y =-,所以2x y e+=的反函数()ln 2,(0)f x x x =->.3.已知命题1|211:|≤+-x p ，命题)0(012:22><-+-m m x x q ，若p 是q 的充分不必要条件，则实数m 的范围是 .4、),2(+∞ 4 已知z 和31z i+-都是纯虚数,那么=z .解析:3i . 5. 若实数,x y 满足1xy =，则222x y +的最小值为 .【解析】：2222x y x +≥⋅=6 若抛物线22y px =的焦点恰好是双曲线222x y -=的右焦点,则_______p =.解析:4. 7设{}n a 为等差数列,若π=++951a a a ,则28tan()a a +的值为 .解析:8. 设无穷等比数列{}n a 的公比为q ，若()134lim n n a a a a →∞=+++，则q = .【解析】：223111011a a q a q q q q q ==⇒+-=⇒=--，∵01q <<，∴q =9．设正四面体ABCD 的棱长为a ，P 是棱AB 上的任意一点，且P 到面BCD ACD ,的距离分别为21,d d ，则=+21d d ___ ．a 36．10，设R y x ∈,，且满足55sin 201416sin cos 1007x x y y y ⎧+=⎪⎨+=-⎪⎩，则cos(2)x y += 1 ．11. 为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则 选择的3天恰好为连续3天的概率是 （结果用最简分数表示）. 【解析】：3108115P C == 12. 设常数a 使方程sin x x a +=在闭区间[0,2]π上恰有三个解123,,x x x ，则123x x x ++= .【解析】：化简得2sin()3x a π+=，根据下图，当且仅当a =即12370233x x x πππ++=++=13.设函数()1f x x x=-．对任意[)1,x ∈+∞，()()0f mx mf x +<恒成立，则实数m 的取值范围是 (,1)-∞- ．14 设函数()122014122014,()f x x x x x x x x =+++++++-+-++-∈R ,下列四个命题中真命题的序号是 .(1)()f x 是偶函数； (2)不等式()20132014f x <⨯的解集为∅； (3)()f x 在()0,+∞上是增函数； (4)方程2(56)(2)f a a f a -+=-有无数个实根. 解析:(1)(2)(4).提示:特殊到一般,分别画出()11()f x x x x =++-∈R 和()1212()f x x x x x x =++++-+-∈R 的草图,就可以类比猜想出()f x 的图像,根据图像数形结合不难得出结论. 二、选择题:(每题5分,共20分) 15、已知:p “,,a b c 成等比数列”，:q “ac b =”，那么p 成立是q 成立的（ D ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ． 既不充分又非必要条件16 某金店用一杆不准确的天平(两边臂不等长)称黄金,某顾客要购买10g 黄金,售货员先将5g 的砝码放在左盘,将黄金放于右盘使之平衡后给顾客；然后又将5g 的砝码放入右盘,将另一黄金放于左盘使之平衡后又给顾客,则顾客实际所得黄金 ( A ).A 大于10g .B 小于10g .C 大于等于10g .D 小于等于10g解答:设两边的臂长分别是12,l l ,二次称得的黄金重量分别是1212,()m m m m ≠.则有杠杆原理得112122125255l m l m m m l l =⎧⇒⋅=⎨=⎩,从而1212210m m m m +>=.17、一同学在电脑中打出如下若干个圆：○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●…，若依此规律继续下去，得到一系列的圆，则在前2 012个圆中共有●的个数是（ A ）A ．61B ．62C ．63D ．6418 设函数()xxxf x a b c =+-,其中0,0c a c b >>>>.若,,a b c 是ABC ∆的三条边长,则下列结论中正确的是 ( D ) ①对一切(),1x ∈-∞都有()0f x >；②存在x R +∈,使,,xxxxa b c 不能构成一个三角形的三条边长； ③若ABC ∆为钝角三角形,则存在()1,2x ∈,使()0f x =..A ①② .B ①③ .C ②③ .D ①②③三、解答题:(本大题共74分)19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分如图，直三棱柱111ABC A B C -的底面ABC 是等腰直角三角形，1AB AC ==，侧棱1AA ⊥底面ABC ，且12AA =，E 是BC 的中点，F 是1A C 上的点．（1）求异面直线AE 与1A C 所成角θ的大小（结果用反三角函数表示）；（2）若1EF A C ⊥，求线段CF 的长．19.（本题12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分． 解：（1）取11B C 的中点1E ，连11A E ，则11//A E AE ，即11CA E ∠即为异面直线AE 与1A C 所成的角θ．…………（2分） 连1E C .在11Rt E C C ∆中，由1122E C =12CC =知1132422AC =+=在11Rt A C C ∆中，由111AC =，12CC =知15AC =……（4分） 在11A E C ∆中，222232((5)(1022cos 210252θ+-===⋅⋅∴10θ=6分） （2）以A 为原点，建立如图空间直角坐标系，设CF 的长为x 则各点的坐标为，11(,,0)22E ，525(0,1)F x x ，1(0,0,2)A ，(0,1,0)C ……（2分）∴11525(,)22EF x =-，1(0,1,2)AC =- 由1EF A C ⊥知10EF AC ⋅=…………（4分） 即1525202x -=，解得5x =∴线段CF 的长为510…………（6分）20. (本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.设常数0a ≥，函数2()2x x af x a+=-.(1) 若4a =，求函数()y f x =的反函数1()y fx -=；(2) 根据a 的不同取值，讨论函数()y f x =的奇偶性，并说明理由.【解析】：（1）∵4a =，∴24()24x x f x y +==-，∴4421x y y +=-，∴244log 1y x y +=-， ∴1244()log 1x y f x x -+==-，(,1)(1,)x ∈-∞-⋃+∞ （2）若()f x 为偶函数，则()()f x f x =-，∴2222x x x x a aa a--++=--，整理得(22)0xxa --=，∴0a =，此时为偶函数若()f x 为奇函数，则()()f x f x =--，∴2222x x x x a aa a--++=---，整理得210a -=，∵0a ≥，∴1a =，此时为奇函数当(0,1)(1,)a ∈⋃+∞时，此时()f x 既非奇函数也非偶函数21(本小题14分)设ABC ∆三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c . 已知,cos cos 3C a A b B π==.(1)求角A 的大小；(2)如图,在ABC ∆的外角ACD ∠内取一点P ,使得2PC =.过点P 分别作直线,CA CD 的垂线,PM PN PCA α∠=,求PM PN +的最大值及此时α的取值.解析:(1)由cos cos a A b B =及正弦定理可得 sin cos sin cos A A B B =,即sin 2sin 2A B =,又(0,),(0,)A B ππ∈∈, 所以有A B =或2A B π+=.又因为3C π=,得23A B π+=,与2A B π+=矛盾,所以A B =,因此3A π=. (2)由题设,得在Rt PMC ∆中,sin 2sin PM PC PCM α=⋅∠=；在Rt PNC ∆中,sin 2sin[()]2sin()33PN PC PCN πππαα=⋅∠=-+=+；所以,2sin 2sin()23sin()36PM PN ππααα+=++=+因为2(0,)3πα∈,所以5(,)666πππα+∈,从而有1sin()(,1]62πα+∈, 即23sin()(3,23]6πα+∈. 于是,当623πππαα+=⇒=时,PM ＋PN PM PN +取得最大值23.22.(1)如图，曲线y x =下有一系列正三角形，求第n 个正三角形的边长n L .(2)若不等式1(1)2(1)n n a n n +-⋅⋅--＜对于任意的正整数n 恒成立,实数a 的取值范围是?解：（1）ABDCMNPα（2）当n 为奇数,21a n n ⋅+＜,所以12a n +＜恒成立,减函数,所以2a ≤; 当n 为偶数,21a n n -⋅-＜,所以12a n -+＞恒成立,减函数,所以32a -＞;综上: 322a -≤＜.23．（本题满分18分）第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分已知点P 是椭圆C 上任一点，点P 到直线12l x =-：的距离为1d ，到点(10)F -，的距离为2d ，且2122d d =．直线l 与椭圆C 交于不同两点A 、B (A ，B 都在x 轴上方)，且180OFA OFB ∠+∠=︒． （1）求椭圆C 的方程；（2）当A 为椭圆与y 轴正半轴的交点时，求直线l 方程；（3）对于动直线l ，是否存在一个定点，无论OFA ∠如何变化，直线l 总经过此定点？若存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由．31211333(.y x A b y x⎧=⎪∴=⎨=⎪⎩由得{}2233,,n b 即是以为首项为公差的等差数列22233323(1),.n b n n n n =+-=故即第个正三角形的边长为312312(),n n n nnn n A S b S b -=-2233111114242,nn n n n n b S b b S b +++→=-=-22312111423()().n n n n n n b b b b b b +++∴-=+→-=解：（1）设(,)P x y，则12|2|,d x d =+=2分）21d d == 化简得：2212x y += ∴椭圆C 的方程为：2212x y +=…………（4分） （2）(0,1),(1,0)A F -1010(1)AF k -∴==--， 180OFA OFB ∠+∠=1BF k ∴=-，:1(1)1BF y x x =-+=--…………（3分） 代入2212x y +=得：2340x x +=，40,3x x ∴==-或，代入1y x =--得 403()113x x y y ⎧=-⎪=⎧⎪⎨⎨=-⎩⎪=⎪⎩舍，或，41(,)33B ∴-…………（5分） 11113,:14220()3AB k AB y x -==∴=+--，…………（6分） （3）解法一：由于180OFA OFB ∠+∠=，0AF BF k k +=。

2015-2016学年上海市闵行区七宝中学高三年级上学期期中考试数学试卷一、填空题1、设集合2{|}M x x x ==，{|lg 0}N x x =≤，则M N =U __________； 【答案】[]0,1【解析】{}2{|}0,1M x x x ===，(]{|lg 0}0,1N x x =≤=，所以{}(][]0,10,10,1M N ==U U .2、已知11(1,)P a 、22(2,)P a 、…、(,)n n P n a 、… 是直线上的一列点，且12a =-，2 1.2a =-， 则这个数列{}n a 的通项公式是__________； 【答案】()*0.8 2.8n a n n N =-∈【解析】本题主要考查数列的通项公式.依题意，11(1,)P a 、22(2,)P a 、L 、(,)n n P n a 、L 是直线上的一列点，则数列{}n a 为等差数列，数列的公差210.8d a a =-=，故数列通项公式为()110.8 2.8n a a n d n =+-=-.n a 下角标为正自然数，所以*n N ∈.数列{}n a 的通项公式：()*0.8 2.8n a n n N =-∈. 3、设02πθ<<，向量(sin 2,cos )a θθ=r ，(cos ,1)b θ=r，若a r ∥b r ，则tan θ=__________；【答案】12【解析】本题主要考查平面向量的基本定理及坐标表示.因为a r ∥b r，所以sin 2cos *cos θθθ=，即22sin cos cos θθθ=，又因为02πθ<<，所以tan θ=12.4、函数y =__________；【答案】2,13⎛⎤⎥⎝⎦【解析】要使函数有意义：要满足12log (32)0x -≥.所以0321x <-≤，计算可得：213x <≤，即定义域为2,13⎛⎤⎥⎝⎦.5、已知单位向量1e u r 与2e u u r 的夹角为α，且1cos 3α=，向量1232a e e =-r u r u u r 与123b e e =-r u r u u r 的夹角为β，则cos β=__________；【答案】3【解析】本题主要考查平面向量的数量积.已知单位向量1e u r 与2e u u r 的夹角为α，且1cos 3α=，()()2212121121221323936299cos 299283a b e e e e e e e e e e α=--=--+=-+=-⨯+=r r u r u u r u r u u r u r u r u u r u r u u r u u r g g g g ()2212132941293a e e =-=+-⨯=u r u u r()22121391683b e e =-=+-⨯=u r u u r所以，3a =，b =，综上所述，cos a b a b β===r r g r r g .6、函数213x y -=(10)x -≤≤的反函数是__________；【答案】113y x ⎫=≤≤⎪⎭【解析】本题考查反函数的求法，考查能力的基础题. 函数213xy -=可得231log x y -=，即23log 1x y =+.因为10x -≤≤，所以x =综上所述，函数213xy -=(10)x -≤≤的反函数是113y x ⎫=<≤⎪⎭7、方程lg(42)lg 2lg3xx+=+的解是__________； 【答案】{}0,1【解析】本题主要考查指数方程和对数方程的求解，要求熟练掌握相应的运算法则. 因为()lg 42lg 2lg3x x +=+，所以()()lg 42lg 23x x +=⋅. 即4223x x +=⋅⇒43220x x -⋅+=⇒()()21220x x --= 解得0x =或1x = 故方程解集为{}0,18、,a b 是不等的两正数，若11lim2n n n nn a b a b ++→∞-=+，则b 的取值范围是__________； 【答案】()0,2【解析】本题主要考查极限及其运算.,a b 是不等的两正数，若11lim 2n n nnn a b a b ++→∞-=+. ①当a b >时，b lim 0nn a →∞⎛⎫= ⎪⎝⎭，则11lim lim 1nn n n nn n n b a b a b a a a b b a ++→∞→∞⎛⎫- ⎪-⎝⎭==+⎛⎫+ ⎪⎝⎭，得到2a =，即()0,2b ∈.②当a b <时，则11lim 2n n nnn a b b a b ++→∞-=-=+，而0b >，不合题意，舍去. 综上所述，b 的取值范围是()0,2.9、数列{}n a 中，已知12a =，数列前n 项和为n S ，112n n a S +=，*n N ∈，则n S =__________； 【答案】n 1322-⎛⎫⎪⎝⎭g【解析】由题意可得112n n a S += 当2n ≥时，112n n a S -=两式相减得()111122n n n n n a a S S a +--=-=⇒132n n a a +=()2n ≥21112a a ==数列n a 是从第二项开始的等比数列，公比为32所以111233132...223212n n n n S a a a a --⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭=++++=+= ⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭g 10、若向量a r 与b r 夹角为60︒，||4b =r ，(2)(3)72a b a b +-=-r r r r ，则||a =r __________；【答案】6【解析】cos60=2a b a b a ⋅=⋅⋅or r r r r()()22223=629672a b a b a b a b a a +⋅---⋅=--=-r r r r r r r r r r，解得||6a =r ，||4a =-r舍去。

七宝中学高三三模数学试卷2019.05注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上填写自己的准考证号、姓名、试室号和座位号。

用2B 型铅笔把答题卡上试室号、座位号对应的信息点涂黑。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 型铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4．考生必须保持答题卡整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一. 填空题1. 已知复数z 满足(1i)2z +=（i 是虚数单位），则||z =2. 不等式1021x x -≤+的解为 3. 函数()y f x =的值域是[1,1]-，则函数2(1)y f x =+的值域为4. 求值：1220192019201920192019124(2)C C C -+-⋅⋅⋅+-= 5. 将圆锥的侧面展开后得到一个半径为2的半圆，则此圆锥的体积为 6. 若实数集合{31,65}A x y =与{5,403}B xy =仅有一个公共元素，则集合A B 中所有元素之积的值为7. 已知函数1()2x f x a -=-（0a >且1a ≠）的反函数为1()f x -，若1()y f x -=在[0,1]上 的最大值和最小值互为相反数，则a 的值为8. 一名信息员维护甲乙两公司的5G 网络，一天内甲公司需要维护和乙公司需要维护相互独 立，它们需要维护的概率分别为0.4和0.3，则至少有一个公司不需要维护的概率为 9. 已知正方形ABCD 中心为O 且其边长为1，则()()OD OA BA BC -⋅+的值为10. 已知数列{}n a 满足：11a =，且1(1)30n n n a na ++--=，若对任意的[2,2]a ∈-，不等式221n a t at ≤+-恒成立，则实数t 的范围为 11. 如图，正方体ABCD EFGH -棱长为1，点M 在正方 体的表面EFGH 上，定义每一点均在正方体表面上的一条 路线为一条路径，已知点M 到A 的最短路径长(,)l M G ， 则(,)l M G 的最大值为12. 已知21|lg |10()1020x x f x x xx ⎧≤≤⎪=⎨⎪--≤⎩，若1111a b -≤≤⎧⎨-≤≤⎩，且方程2[()]()0f x af x b -+=有5的取值范围为二. 选择题13. “2p <”是“关于x 的实系数方程210x px ++=没有实数根”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 非充要条件14. 已知函数()cos |sin |f x x x =-，那么下列命题中假命题是（ ） A. ()f x 是偶函数 B. ()f x 在[,0]π-上恰有一个零点 C. ()f x 是周期函数 D. ()f x 在[,0]π-上是增函数15. 已知点00(,)P x y 是曲线C 上的动点，若抛物线2:4C y x =上存在不同的两点A 、B 满足PA 、PB 的中点均在C 上，则A 、B 两点的纵坐标是以下方程的解（ ）A. 22000280y y y x y -+-=B. 22000280y x y x y -+-=C. 22000280y y y y x -+-=D. 22000280y x y x y ++-=16. 已知实数x 、y 满足：22(2)1x y +-=，ω=）A. B. [1,2] C. (0,2] D. 2三. 解答题17. 如图，直三棱柱111ABC A B C -的底面ABC 是等腰直角三角形，1AB AC ==，侧棱1AA ⊥底面ABC ，且12AA =，E 是BC 的中点.（1）求直三棱柱111ABC A B C -的全面积； （2）求异面直线AE 与1A C 所成角θ的大小. （结果用反三角函数表示）18. 设函数()f x 在[1,)+∞上有定义，实数a 和b 满足1a b ≤<，若()f x 在区间(,]a b 上不存在最小值，则称()f x 在(,]a b 上具有性质P .（1）当2()f x x cx =+，且()f x 在区间(1,2]上具有性质P 时，求常数c 的取值范围； （2）已知(1)()1f x f x +=+（1x ≥），且当12x ≤<时，()1f x x =-，判别()f x 在区间(1,4]上是否具有性质P ，试说明理由.19. 如图，射线OA 和OB 均为笔直的公路，扇形OPQ 区域（含边界）是一蔬菜种植园，其 中P 、Q 分别在射线OA 和OB 上，经测量得，扇形OPQ 区域的圆心角（即POQ ∠）为23π半径为1千米，为了方便菜农经营，打算在扇形OPQ 区域外修建一条公路MN ，分别与射 线OA 和OB 交于M 、N 两点，并要求MN 与扇形弧PQ 相切于点S ，设POS α∠=（单位：弧度），假设所有公路的宽度均忽略不计.（1）试将公路MN 的长度表示为α的函数，并写出α的取值范围； （2）试确定α的值，使得公路MN 的长度最小，并求出其最小值.20. 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1x y C a b+=（1a b >>）的左右两个焦点分别是1F 、2F ，P 在椭圆C 上运动.（1）若对12F PF ∠有最大值为120°，求出a 、b 的关系式；（2）若点P 是在椭圆上位于第一象限的点，过点1F 作直线1F P 的垂线1l ，过2F 作直线2F P 的垂线2l ，若直线1l 、2l 的交点Q 在椭圆C 上，求点P 的坐标；（3）若设22b =，在（2）成立的条件下，试求出P 、Q 两点间距离的最小值()f x 的函数，并求出()f x 的值域.21. 已知正整数数列{}n a 满足：1a a =，2a b =，2120181n n n a a a +++=+（1n ≥）.（1）已知52a =，61009a =，试求a 、b 的值； （2）若1a =，求证：22017||2n n na a +-≤； （3）求ab +的取值范围.参考答案一. 填空题1.2. 1(,1]2- 3. [2,2]- 4. 1-5.6. 07. 8. 0.88 9. 1 10. 2t ≥或2t ≤-11.12. [0,5二. 选择题13. A 14. D 15. A 16. B三. 解答题17.（1）15+（2）arccos10. 18.（1）2c ≥-；（2）具有性质P ，理由略.19.（1）MN =，62ππα<<；（2）min MN =，3πα=.20.（1）；（2）；（3）.21.（1）2a =，1009b =；（2）证明略；（3）1011或2019.。

第1页七宝中学高三摸底考试数学试卷2017.02一. 填空题1. 不等式11x>的解是 2.已知直线120l y -+=，2:350l x -=，则直线1l 和2l 的夹角为3. 函数3sin 2()2cos 1xf x x -=的最大值是4.i 为虚数单位，1cos 2sin 2z i θθ=-对应的点在第二象限，则θ是第象限的角 5. 已知一组数据47、48、51、54、55，则该组数据的方差是6. 从二项式11(1)x +的展开式中取一项，系数为奇数的概率是7. 命题“对任意[0,]4x π∈，tan x m <恒成立”是假命题，则实数m 取值范围是 8. 函数2()log (43)a f x x x =-+(0,1)a a >≠在[,)x m ∈+∞上存在反函数，则m 的取值范围是9. 若平面向量a 、b 满足||2a =，(2)12a b b +⋅=，则||b 的取值范围为10.已知数列{}n a ，11a =，11()3n n n a a ++=，*n N ∈，则12321lim()n n a a a a -→∞+++⋅⋅⋅+= 11. 已知函数()a f x x x =+(0)a >，若对任意的m 、n 、1[,1]3p ∈，长为()f m 、()f n 、()f p 的三条线段均可以构成三角形，则正实数a 的取值范围是12. 已知数列{}n a 满足：对任意的*n N ∈均有122n n a ka k +=+-，其中k 为不等于0与1的常数，若{272,32,2,8,88,888}i a ∈---，i =2、3、4、5，则满足条件的1a 所有可能值的和为二. 选择题13. 已知实数m 、n ，则“0mn >”是“方程221mx ny +=代表的曲线是椭圆”的（）A. 充分非必要条件B. 必要非充要条件C. 充要条件D.既非充分也非必要条件14. 将半径为R 的半圆形铁皮制作成一个无盖圆锥形容器（不计损耗），则其容积为（）3R3R3R3R 15. 已知数列{}n a 通项公式为1(1)n a n n =+，其前m 项和为910，则双曲线2211x y m m -=+ 的渐近线方程是（） A.910y x =± B. 109y x =±C. y x =D.y x =第2页16. 已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则下列一定成立的是（）A.若30a >，则20160a >B. 若40a >，则20170a >C. 若30a >，则20170S >D.若40a >，则20160S >三. 解答题17. 如图，用一平面去截球O ，所得截面面积为16π，球心O 到截面的距离为3，1O 为截面小圆圆心，AB 为截面小圆的直径；（1）计算球O 的表面积和体积；（2）若C 是截面小圆上一点，30ABC ︒∠=，M 、N 分别是线段1AO 和1OO 的中点，求异面直线AC 与MN 所成的角；（结果用反三角表示）18. △ABC 中，角A 、B 、C 所对边分别为a 、b 、c ，5cos 13A =，10tan cot 223B B +=， 21c =；（1）求sin C 的值；（2）求△ABC 的面积； 19. 已知函数2()43f x x x a =-++，a R ∈；（1）若函数()y f x =在[1,1]-上存在零点，求a 的取值范围；（2）设函数()52g x bx b =+-，b R ∈，当3a =时，若对任意的1[1,4]x ∈，总存在 2[1,4]x ∈，使得12()()g x f x =，求b 的取值范围；20. 已知抛物线2:2y px Γ=上一点(3,)M m 到焦点的距离为4，动直线y kx =(0)k ≠交 抛物线Γ于坐标原点O 和点A ，交抛物线Γ的准线于点B ，若动点P 满足OP BA =，动 点P 的轨迹C 的方程为(,)0F x y =；（1）求出抛物线Γ的标准方程；（2）求动点P 的轨迹方程(,)0F x y =；（不用指明范围）（3）以下给出曲线C 的四个方面的性质，请你选择其中的三个方面进行研究：①对称性； ②图形范围；③渐近线；④0y >时，写出由(,)0F x y =确定的函数()y f x =的单调区 间，不需证明；21. 已知无穷数列{}n a ，满足21||n n n a a a ++=-，*n N ∈；（1）若11a =，22a =，求数列前10项和；（2）若11a =，2a x =，x Z ∈，且数列{}n a 前2017项中有100项是0，求x 的可能值；（3）求证：在数列{}n a 中，存在*k N ∈，使得01k a ≤<； 参考答案一. 填空题第3页 1. (0,1) 2. 3π 3. 5 4. 一、三 5. 10 6. 237. (,1]-∞ 8. (3,)+∞ 9. [2,6] 10.98 11. 15(,)153 12. 24203二. 选择题13. C 14. A 15. C 16. C三. 解答题17.（1）100S π=，5003V π=；（2）2arccos 5； 18.（1）63sin 65C =；（2）126S =； 19.（1）[8,0]-；（2）1[1,]2-； 20.（1）24y x =；（2）244(1)1y x x =++-；（3）①关于x 轴对称；②(1,)x ∈+∞， (,4][4,)y ∈-∞-+∞；③渐近线1x =；④在(1,2]上递减，在[2,)+∞上递增； 21.（1）9；（2）1141-、1140-、1144、1145；（3）略；。

一、填空题（本大题共14小题，每题4分，满分56分．）1.函数y =的定义域为______________.【答案】(0,1] 【解析】考点：对数不等式的解法．2.已知{}2,M y y x x R ==∈，{}222,,N x x y x y R =+=∈，则M N =_____.【答案】⎢⎣【解析】试题分析：因02≥=x y ,而2222≤-=y x ,故22≤≤-x ,所以]2,0[=N M .考点：集合的交集运算．3.在41(1)(1)x x++的展开式中2x 项的系数为______________. 【答案】10 【解析】试题分析：在4)1(+x 的展开式中2x 项的系数为624=C ,3x 项的系数为434=C ；故展开式中的2x 项的系数为1046=+.考点：二项式定理及通项公式的运用．4.已知地球的半径为R ，在北纬045东经030有一座城市A ，在北纬045西经060有一座城市B ， 则坐飞机从城市A 飞到B 的最短距离是______________.（飞机的飞行高度忽略不计） 【答案】3R π【解析】试题分析：已知纬圆所在的纬度为045,则纬圆的半径为R 22,纬圆周的两点B A ,的弦长为R R AB =⋅=222,所以点B A ,所在的球的大圆面上弧所对的圆心角为3π,则大圆的弧长为R 3π. 考点：球面距离及计算．【易错点晴】球面距离的定义是经过球心的大圆上的劣弧的长.解答本题的关键是求出经过B A ,大圆的圆心角AOB ∠,为此先求045纬圆上这两点B A ,连线段的长AB ,即纬圆上的弦长AB .求的长时借助纬度的概念,求出了球心与纬圆面之间的距离=d R 22与纬圆的半径相等.由经度的定义可知0190=∠B AO ,所以R R AB =⋅=222,这样AOB ∆就是等边三角形,所以点B A ,所在的球的大圆面上弧所对的圆心角为3π,则大圆的弧长为R 3π,即球面距离是R 3π.5.已知一随机变量ξ的分布列如下表，则随机变量ξ的方差D ξ=______________.【答案】11 【解析】考点：数学期望和方差的计算． 6.在极坐标系中，点(2,),(2,)2A B ππ，C 为曲线2cos ρθ=的对称中心，则三角形ABC 面积等于________. 【答案】3 【解析】试题分析：将点B A ,化为直角坐标为)2,0(),0,2(B A -,极坐标方程化为直角坐标为0222=-+x y x ,所以圆心为)0,1(C ,所以ABC ∆的面积为32321=⨯⨯=S . 考点：极坐标方程及运用．7.高三（1）班班委会由4名男生和3名女生组成，现从中任选3人参加上海市某社区敬老服务工作，则选出的人中至少有一名女生的概率是______________.（结果用最简分数表示） 【答案】3135【解析】考点：古典概型的计算公式及排列数组合数公式的运用．8.在复数范围内，若方程22012690x x ++=的一个根为α，则α=______________.【解析】试题分析：由于方程的两个根为20122362012946⨯-⨯⨯±-=ix ,所以α的模为10065033201220123201222012620122)36201294()6(||22==⨯=⨯-⨯⨯+-=α. 考点：复数的模及计算．9.将(f x sin cos x x 的图象按(,0)(0)n a a =->平移，所得图象对应的函数为偶函数，则a 的 最小值为______________. 【答案】56π 【解析】试题分析：因为(f x sin cos xx )6cos(sin cos 3π+=-=x x x ,所以按向量平移后所得的函数为)6cos()(π++=a x x g ,由题设可得1)60cos()0(±=++=πa g ,即ππk a =+6,也即6ππ-=k a ,所以a 的最小值为56π.考点：行列式的计算及三角函数的图象和性质．10.已知()y f x =是定义在R 上的增函数，且()y f x =的图象关于点(6,0)对称，若实数,x y 满足不等式22(6)(836)0f x x f y y -+-+≤，则22x y +的取值范围是______________. 【答案】[16,36] 【解析】考点：函数的单调性和圆的方程的等知识的综合运用．11.函数()f x 对任意12,[,]x x m n ∈都有1212()()f x f x x x -≤-，则称()f x 为在区间[,]m n 上的 可控函数，区间[,]m n 称为函数()f x 的“可控”区间，写出函数2()21f x x x =++的一个“可控”区间 是________. 【答案】1[,0]2-的子集都可以 【解析】试题分析：因为)](1)(2[)()(212121x x x x x f x f -++=-,由可控函数的定义可得1|1)(2|21≤++x x ,即0121≤+≤-x x ,所以区间[,]m n 应为]0,21[-的一个子区间.考点：定义新概念和综合运用所学知识．【易错点晴】本题以函数的形式为背景，考查的是不等式的有关知识及推理判断的能力.结论的开放性和不确定性是本题的一大特色.解答时应充分依据题设条件,合理有效地利用好可控函数及可控区间等新信息和新定义,并以此为基础进行推理论证,从而写出满足题设条件的答案.解答本题时,借助绝对值不等式的性质进行巧妙推证,从而探寻出符合题设条件的一可控区间的区间.12.椭圆22221(0)43x y a a b+=>的左焦点为F ，直线x m =与椭圆相交于点,A B ，当FAB ∆的周长最大时，FAB ∆的面积是______________.【答案】acb S 23=【解析】试题分析:设椭圆的右焦点为/F ,因为//BF AF =,所以/2AF AB ≤,当且仅当B F A ,,/三点共线时取等号,此时FAB ∆周长为a AF AF AB AF L 8222/=+≤+=取到最大值,这时a b b ac AB 22233412=⋅-=，三角形的面积为a cb S 23=． 考点：椭圆的定义和几何性质．13.用符号(]x 表示小于x 的最大整数，如(]3,( 1.2]2π=-=-，有下列命题：①若函数()(],f x x x x R =-∈，则()f x 的值域为[1,0)-；②若(1,4)x ∈，则方程1(]5x x -=有三个根；③若数 列{}n a 是等差数列，则数列{}(]n a 也是等差数列；④若57,{,3,}32x y ∈，则(](]2x y ∙=的概率为29P =.则下列正确命题的序号是______________. 【答案】①②④ 【解析】考点：函数的性质及分析问题解决问题的能力．【易错点晴】本题以符号函数为背景，考查的是函数与方程、等差数列和等比数列、概率等许多有关知识和运算求解及推理判断的能力.定义新概念运用新信息是解答本题的一大特色.解答时应充分依据题设条件,对题设中提供的几个命题进行分析推断最后作出真假命题的判断.对于命题,举出一个反例,进行了推断从而说明它是假命题.运用反例是否定一个命题是真命题的有效方式和方法.14.设()cos 2()cxf x ax bx x R =++∈，,,a b c R ∈且为常数，若存在一公差大于0的等差数列{}n x （*n N ∈），使得{()}n f x 为一公比大于1的等比数列，请写出满足条件的一组,,a b c 的值________. 【答案】0,0,0a b c ≠=>（答案不唯一，一组即可） 【解析】试题分析：由题设可取1,0,1===c b a ,此时xx x f 2cos )(+=,存在数列25,23,2πππ,满足题设,应填答案1,0,1===c b a .考点：函数与等差等比数列以及分析探究的能力．二、选择题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）15.若直线l 的一个法向量(3,1)n =，则直线l 的一个方向向量d 和倾斜角α分别为（ ） A ．(1,3);arctan 3d α== B ．(1,3);arctan(3)d α=-=- C ．(1,3);arctan 3d απ==- D ．(1,3);arctan 3d απ=-=- 【答案】D 【解析】试题分析：由题设可知直线l 的一个方向向量是)3,1(-=,其斜率3-=k ,即3tan -=α,故3arctan -=πα,应选D.考点：直线的法向量和反正切函数．16.在ABC ∆中，“cos cos cos 0A B C ∙∙<”是“ABC ∆为钝角三角形”的（ ）A ．充分必要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】试题分析：由题设条件可知C B A cos ,cos ,cos 中必有一个是负数,即三个内角中必有一个是钝角,所以是钝角三角形,是充分条件;反之,若三角形是钝角三角形,则C B A cos ,cos ,cos 的积必为负数,即是必要条件,应选答案A. 考点：解三角形．【易错点晴】本题以解三角形的问题的形式为背景，考查的是充分必要条件的有关知识及推理判断的能力. 解答好本题的关键是搞清楚钝角三角形的概念是什么?其外延是什么?其实钝角三角形的概念是有一个内角是钝角即可了.解答这个问题的过程中常常会出现三个内角都是钝角的错误,将锐角三角形的概念和钝角三角形的概念混淆在一起,从而误判得出不正确的答案.17.定义域是一切实数的函数()y f x =，其图象是连续不断的，且存在常数()R λλ∈使得()()0f x f x λλ++=对任意实数x 都成立，则称()f x 是一个“λ—半随函数”.有下列关于“λ—半随函数”的结论：①()0f x =是常数函数中唯一一个“λ—半随函数”；② “12—半随函数”至少有一个 零点；③2()f x x =是一个“λ—半随函数”；其中正确结论的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．0个 【答案】A 【解析】试题分析：由“λ—半随函数”的定义可知①③是不正确的,理由是对于①λ不唯一,对于③λ是不存在的；是正确的,由于0)(21)21(=-=+x f x f 至少有一根,因此应选答案A. 考点：函数及新定义的概念的灵活运用．18.已知数据123,,,,n x x x x 是上海普通职工n （3n ≥，*n N ∈）个人的年收入，设这n 个数据的中位数为x ，平均数为y ，方差为z ，如果再加上世界首富的年收入1n x +，则这1n +个数据中，下列 说法正确的是（ ）A ．年收入平均数大大增大，中位数一定变大，方差可能不变；B ．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差变大；C ．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差也不变；D ．年收入平均数可能不变，中位数可能不变，方差可能不变. 【答案】B 【解析】试题分析：由题设可知选择支中的A,C,D 都是不正确的，所以应选B.考点：中位数平均数方差等概念的理解和计算．三、解答题（本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 19.（本题满分12分，其中第1小题6分，第2小题6分）在直三棱柱111ABC A B C -中，1AB AC ==，090BAC ∠=，且异面直线1A B 与11B C 所成的角等于060， 设1AA a =. （1）求a 的值；（2）求直线11B C 到平面1A BC 的距离.【答案】(1)1； ． 【解析】∴1A BC ∆为等边三角形，由1AB AC ==，090BAC ∠=BC ⇒=，∴11A B a =⇒=⇒=.（2）易知11//B C 平面1A BC ，又D 是11B C 上的任意一点，所以点D 到平面1A BC 的距离等于点1B 到平面1A BC 的距离.设其为d ，连接1B C ，则由三棱锥11B A BC -的体积等于三棱锥11C A B B -的体积，求d ，11A B B ∆的面积12S =，1A BC ∆的面积'2S =∙=又1CA A A ⊥，CA AB ⊥，∴CA ⊥平面11A B C ，所以'1133S AC S d d ∙∙=∙∙⇒=11B C 到平面1A BC . 考点：空间的直线与平面的位置关系及几何体的体积公式．20.（本小题满分14分，其中第1小题6分，第2小题8分）某海域有,A B 两个岛屿，B 岛在A 岛正东4海里处，经多年观察研究发现，某种鱼群洄游的路线是曲线C ，曾有渔船在距A 岛、B 岛距离和为8海里处发出过鱼群。

2024年上海市七宝中学高三数学高考三模试卷本卷满分150分，考试时间120分钟．一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1．已知集合}0{2|M x x =+≥，{|10}N x x =-<，则M N ⋂=．2．已知复数23z i(i)=+（i 为虚数单位），则z 的实部为．3．函数tan()6πy x =-+的最小正周期为．4．记样本数据10，18，8，4，16，24，6，8，32的中位数为a ，平均数为b ，则a b -=．5．若1nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中第3项与第5项的系数相等，则该展开式中41x 的系数为．6．已知函数()3,13,1x x x f x x -⎧≥=⎨<⎩，则()3log 2f 的值为7．数列{}n a 满足22n n a a +-=，若11a =，44a =，则数列{}n a 的前20项的和为．8．已知数列{}n a 满足1n n a a +<，点(21,)n n P n a +在双曲线22126x y -=上，则1lim n n n P P +∞+→=．9．两本相同的图画书和两本不同的音乐书全部分给三个小朋友，每人至少一本，且两本图画书不分给同一个小朋友，则不同的分法共有种.10．用(),f X Γ表示点X 与曲线Γ上任意一点距离的最小值．已知22:1O x y +=e 及()221:44O x y -+= ，设P 为O 上的动点，则()1,f P O 的最大值为．11．中国古代建筑的主要受力构件是梁，其截面的基本形式是矩形．如图，将一根截面为圆形的木材加工制成截面为矩形的梁，设与承载重力的方向垂直的宽度为x ，与承载重力的方向平行的高度为y ，记矩形截面抵抗矩216W xy =．根据力学原理，截面抵抗矩越大，梁的抗弯曲能力越强，则宽x 与高y 的最佳之比应为．12．空间中A B 、两点间的距离为8，设123P P P 的面积为S ，令||i i i P A P B λ=⋅ ，若3123ii λ==∑，则S 的取值范围为．二、选择题（本大题满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）13．已知0a b <<，那么下列不等式成立的是（）A ．11a b<B ．2ab b <C ．b a a b>D ．1a bb+>14．上海百联集团对旗下若干门店的营业额与三个影响因素分别作了相关性分析，绘制了如下的散点图，则下述大小关系正确的为（）．A ．123r r r >>B ．231>>r r r C ．132r r r >>D ．321r r r >>15．已知函数()22ln f x x x =+的图像在()()11,A x f x ，()()22,B x f x 两个不同点处的切线相互平行，则下面等式可能成立的是（）A ．122x x +=B ．12103x x +=C ．122x x =D ．12103x x =16．已知OA 是圆柱1OO 下底面的一条半径，1OA =，110OO =，P 为该圆柱侧面上一动点，PB 垂直下底面于点B ，若PB AOB =∠，则对于下述结论：①动点P 的轨迹为椭圆；②动点P 的轨迹长度为；以下说法正确的为（）．A ．①②都正确B ．①正确，②错误C ．①错误，②正确D ．①②都错误三、解答题（本大题满分78分，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分）17．已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 2sin c A =．(1)求sin C 的值；(2)若3c =，求ABC 面积S 的最大值．18．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，平面11ACC A ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，四边形11ACC A 是边长为2的正方形.(1)证明：BC ⊥平面11ABB A ；(2)若直线1A C 与平面11ABB A 所成的角为30°，求二面角1B A C A --的余弦值．19．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -顶点处有一质点Q ，点Q 每次会随机地沿一条棱向相邻的某个顶点移动，且向每个顶点移动的概率相同，从一个顶点沿一条棱移动到相邻顶点称为移动一次，若质点Q 的初始位置位于点A 处，记点Q 移动n 次后仍在底面ABCD 上的概率为n P ．(1)求2P ；(2)证明：数列12n P ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是等比数列；若10132024n P >，求n 的最大值．20．将离心率相等的所有椭圆称为“一簇椭圆系”．已知椭圆22:12+=x E y 的左、右顶点分别为,A B ，上顶点为D ．(1)若椭圆22:12x y F s +=与椭圆E 在“一簇椭圆系”中，求常数s 的值；(2)设椭圆22:(01)2x G y λλ+=<<，过A 作斜率为1k 的直线1l 与椭圆G 有且只有一个公共点，过D 作斜率为2k 的直线2l 与椭圆G 有且只有一个公共点，求当λ为何值时，12k k +取得最小值，并求其最小值；(3)若椭圆22:1(2)2x y H t t+=>与椭圆E 在“一簇椭圆系”中，椭圆H 上的任意一点记为()00,C x y ，试判断ABC 的垂心M 是否都在椭圆E 上，并说明理由．21．设0t >，函数()y f x =的定义域为R ．若对满足21x x t ->的任意12x x 、，均有21()()f x f x t ->，则称函数()y f x =具有“()P t 性质”．(1)在下述条件下，分别判断函数()y f x =是否具有(2)P 性质，并说明理由；①3()2f x x =；②()10sin 2f x x =；(2)已知3()f x ax =，且函数()y f x =具有(1)P 性质，求实数a 的取值范围；(3)证明：“函数()y f x x =-为增函数”是“对任意0t >，函数()y f x =均具有()P t 性质”的充要条件．1．{|21}x x -≤<【分析】求出集合M 、N ，再根据交集的定义可得．【详解】由题意，{|2}M x x =≥-，{|1}N x x =<，{|21}M N x x ∴⋂=-≤<．故答案为：{|21}x x -≤<2．3-【分析】利用复数的运算法则，化简为i(,R)a b a b ∈+的形式，即a 为实部.【详解】2i(23i)2i 3i -32i z =+=+=+.所以复数的实部为3-.故答案为：3-3．π【分析】利用函数tan()y x ωϕ=+的最小正周期计算公式即可求解.【详解】因为tan y x =的最小正周期为π,所以函数tan()y x ωϕ=+的最小正周期为π||ω，所以函数tan()6πy x =-+的最小正周期为ππ|1|=-,故答案为：π.4．4-【分析】先将样本数据按从小到大进行排列，再根据样本数据的中位数、平均数概念和公式进行计算即可.【详解】将样本数据按从小到大的顺序排列，得4，6，8，8，10，16，18，24，32，所以中位数10a =，由平均数的计算公式得()146881016182432149b =++++++++=，所以10144a b -=-=-.故答案为：4-.5．6【分析】求得二项式的展开式的通项公式，由题意可得24C C n n =，可求得6n =，可求41x 项的系数.【详解】1nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式为211(0,1,C ,C r n r r n rr r n n T n x r x x --+===，g g L g ，因为二项展开式中第3项与第5项的系数相等，所以24C C n n =，所以6n =，令624r -=-，解得=5r ，所以该展开式中的41x系数为56C 6=.故答案为：6.6．12##0.5【分析】根据题意，结合指数幂与对数的运算法则，准确计算，即可求解.【详解】由函数()3,13,1x x x f x x -⎧≥=⎨<⎩，因为30log 21<<，所以()133log 2log 231log 2332f --===.故答案为：12.7．210【分析】数列{}n a 的奇数项、偶数项都是等差数列，结合等差数列求和公式、分组求和法即可得解.【详解】数列{}n a 满足22n n a a +-=，若11a =，44a =，则242422a a =-=-=，所以数列{}n a 的奇数项、偶数项分别构成以1，2为首项，公差均为2的等差数列所以数列{}n a 的前20项的和为()()122013192420a a a a a a a a a +++=+++++++ 1091091012102221022⨯⨯=⨯+⨯+⨯+⨯=.故答案为：210.8．4【分析】根据向量法，当n →+∞时，1n n P P + 与渐近线平行，且1n n P P +在x 轴的投影为2，渐近线倾斜角为60α=︒，则12lim cos n n n P P ∞α+→+=，即可求出.【详解】作出示意图如图所示：当n →+∞时，1n n P P + 与渐近线平行，1n n P P +在x 轴的投影为2，不妨取渐近线y x ==，令其倾斜角为α，则tan α=所以60α=︒，所以122lim 4cos cos 60n n n P P ∞α+→+===︒.故答案为：4.9．15【分析】按照分组的结果分类讨论，利用分类加法原理求解即可.【详解】不妨记两本相同的图书为元素1,1，两本不同的音乐书为元素3,4，根据题意，分类讨论：若分组情况为13,1,4时，此时分配给三个小朋友的方法有33A 6=种情况；若分组情况为14,1,3时，此时分配给三个小朋友的方法有33A 6=种情况；若分组情况为34,1,1时，此时分配给三个小朋友的方法有13C 3=种情况；综上，不同的分法共有66315++=种.故答案为：1510．3【分析】由圆心距与半径的关系可得到两圆相离，再由题意与圆的知识即可求解．【详解】如图所示，22:1O x y +=e 得到圆心1(0,0),1O r =；()221:44O x y -+= 得到圆心12(4,0),2O r =；由于112||4OO r r =>+，所以两圆相离，因为P 为O 上的动点，()11,2f P O PO =- ，所以要使()1,f P O 取得最大值，只需1||PO 最大即可，因为1max 1||||15PO OO =+=，则()1,f P O 的最大值为3.故答案为：3.11．22122【分析】根据题意可知()()223211,066W x d x x d x x d =-=-+<<，利用导数判断单调性和最值，进而可得结果.【详解】设圆的直径为d ，则222x y d +=，即222y d x =-，由题意可得：()()223211,066W x d x x d x x d =-=-+<<，则()221306W x d '=-+=，令0W '>时，解得303x <<；令0W '<时，解得33d x d >>；可知W 在30,3d ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭单调递增，在3,3d d ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭单调递减，则3x =时，W 取最大值．此时221633y d d d -=．所以323263x y d =2.12．(0,123【分析】根据公式221·()()4a b a b a b ⎡⎤=+--⎣⎦ 对向量进行处理，再结合不等式得出2221231616160PM P M P M -+-+-= ，即可推出点123,,P P P 在以M 为球心4为半径的球面上，从可求得答案.【详解】由题意可知221=()()4i i i i i i i P A PB P A PB P A PB λ⎡⎤=⋅+--⎣⎦ ，设,A B 中点为M ，则2i i i P A P B P M += ，i i P A P B BA -=，所以2221(2)164i i i PM BA PM λ⎡⎤=-=-⎢⎥⎣⎦ ，由3123i i λ==∑，得3122223λλλ++=，则3123222λλλ=++³当且仅当312222λλλ==时等号成立，则12321λλλ++£，即1230λλλ++≤，即2221231616160PM P M P M -+-+-≤ ，则2221231616160PM P M P M -+-+-= ，即216,4i iPM PM ==，即点123,,P P P 在以M 为球心4为半径的球面上，先说明圆的内接三角形为正三角形时，面积最大；设ABC 为半径为r 的圆的内接三角形，则211sin 2sin 2sin sin 2sin sin sin 22ABC S ab C r A r B C r A B C ==⋅⋅⋅= 32sin sin sin 23A B C r ++⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，当且仅当sin sin sin A B C ==时等号成立，即ABC 2，由于点123,,P P P 在以M 为球心4为半径的球面上，故123P P P 的面积S 可以无限小，max 33164S =⨯=即S 的取值范围为(，故答案为：(.【点睛】关键点睛：解答本题的关键要利用221·()()4a b a b a b ⎡⎤=+--⎣⎦ 以及均值不等式推出2221231616160PM P M P M -+-+-= ，从而推出点123,,P P P 在以M 为球心4为半径的球面，即可求解.13．D【分析】利用特值或不等式的性质可得答案.【详解】对于A ，210-<-<，而112->-，A 不成立；对于B ，210-<-<，而()()()2211-⨯->-，B 不成立；对于C ，22b a b a a b ab--=，因为0a b <<，所以220,ab a b >>，0b a a b -<，即b a a b <，C 不成立；对于D ，1a b a b b +-=，因为0a b <<，所以0a b >，即1a bb+>，D 成立.故选：D 14．C【分析】根据散点图判断两变量的线性相关性，再根据线性相关性与相关系数的关系判断即可.【详解】由散点图可知，图一两个变量成正相关，且线性相关性较强，故10r >，图二、图三两个变量都成负相关，且图二的线性相关性更强，故20r <，30r <，23r r >，故320r r >>，所以132r r r >>.故选：C.15．B【分析】函数在两点处的切线平行，转化为函数在两点处的导数相等，得到12,x x 的关系，在结合不等式求12x x +的取值范围即可.【详解】因为()22ln f x x x =+，0x >.所以()22f x x x='+，0x >.由因为()f x 在()()11,A x f x ，()()22,B x f x 两个不同点处的切线相互平行，所以()()12f x f x =''⇒12122222x x x x +=+，又12x x ≠，所以121=x x ，故CD 错误；因为120,0x x >>且12x x ≠，所以122x x +>=，故A 不成立；当121,33x x ==时，12103x x +=.故B 成立.故选：B 16．C【分析】把侧面展开，建立坐标系，可得P 的轨迹.【详解】以A为原点将圆柱侧面和底面展开如下图，设(),P x y ，所以AB x =,PB y =,由题意，PB AOB =∠AB x ==，所以当x ＞0时=x y ，同理0x ＜时=x y -，所以点P 的轨迹在展开图中为两条互相垂直的线段，在圆柱面上不是椭圆，，故轨迹长为.故选:C.【点睛】关键点点睛：关键是通过展开把几何体内的动点转化成平面中的动点问题，然后找动点横纵坐标的关系.17．【分析】（1）由正弦定理即可得sin C =（2）由余弦定理结合重要不等式可得ab 取值范围，再由三角形的面积公式1sin 2ABC S ab C = 可求出面积的最大值.【详解】（12sin c A =，2sin sin A C A =，因为(0,π)A C ∈，，所以sin 0A ≠，即sin C =（2）由（1）可知sin 2C =，所以π3C =或2π3C =.在ABC 中，由余弦定理得2222cos AB AC BC AC BC C =+-⨯，当π3C =时，3c =，222219222b a ab b a ab ab ab ab =+-⋅=+-≥-=，当且仅当3a b ==时取等号，即9ab ≤，故ABC 的面积1sin 2=△ABC S ab C ab .当2π3C =时，3c =，2222192232b a ab b a ab ab ab ab =++⋅=++≥+=，当且仅当a b ==3ab ≤，故ABC 的面积1sin 244ABC S ab C ==≤.综上所述，ABC 18．(1)证明见解析【分析】（1）先证明1AA ⊥平面ABC ，从而得到1AA BC ⊥，进而即可证明BC ⊥平面11ABB A ；（2）结合（1）及题意可得1BA C ∠为直线1A C 与平面11ABB A 所成的角，即130BAC ∠=︒，从而得到1A C =，BC =AB =．（方法一）过点A 作1AD A B ⊥，垂足为D ，过点D 作1DE A C ⊥，垂足为E ，连结AE ，先证明BC AD ⊥，AD ⊥平面1A BC ，再1A C ⊥平面ADE ，从而证明1AE A C ⊥，从而可得AED ∠是二面角1B A C A --的平面角，进而即可求出二面角1B A C A --的余弦值；（方法二）取AC 的中点O ，连结BO ，先证明BO ⊥平面11ACC A ，再取11A C 的中点1O ，以{}1,,OB OC OO为基底，建立空间直角坐标系O xyz -，再根据向量夹角公式即可求解．【详解】（1）因为四边形11ACC A 是正方形，所以1AA AC ⊥，又平面11ACC A ⊥平面ABC ，1AA ⊂平面11ACC A ，平面11ACC A 平面ABC AC =，所以1AA ⊥平面ABC ，因为BC ⊂平面ABC ，所以1AA BC ⊥，又因为AB BC ⊥，AB ，1AA ⊂平面11ABB A ，1AB AA A ⋂=，所以BC ⊥平面11ABB A ．（2）由（1）知，1BA C ∠为直线1A C 与平面11ABB A 所成的角，即130BAC ∠=︒，又正方形11ACC A 的边长为2，所以1A C =，BC =AB =（方法一）过点A 作1AD A B ⊥，垂足为D ，过点D 作1DE A C ⊥，垂足为E ，连结AE ，因为BC ⊥平面11ABB A ，AD ⊂平面11ABB A ，所以BC AD ⊥，又BC ，1A B ⊂平面1A BC ，1BC A B B ⋂=，所以AD ⊥平面1A BC ，又1AC ⊂平面1ABC ，则1AD A C ⊥，又AD ，DE ⊂平面ADE ，AD DE D ⋂=，所以1A C ⊥平面ADE ，又AE ⊂平面ADE ，所以1AE A C ⊥，所以AED ∠是二面角1B A C A --的平面角，在直角ADE V中，AE =AD =所以sin AD AED AE ∠==cos AED ∠=即二面角1B A C A --（方法二）取AC 的中点O ，连结BO ，因为AB BC =，所以BO AC ⊥，又因为平面11ACC A ⊥平面ABC ，平面11ACC A 平面ABC AC =，BO ⊂平面ABC ，所以BO ⊥平面11ACC A ，取11A C 的中点1O ，则1OO AC ⊥，以{}1,,OB OC OO为基底，建立空间直角坐标系O xyz -，所以()1,0,0B ，()0,1,0C ，()10,1,2A -，所以()1,1,0BC =- ，()10,2,2AC =-，设平面1A BC 的法向量为(),,n x y z =，则1n BC n A C ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩ ，即10220n BC x y n A C y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⊥=-=⎪⎩ ，取1x =，则()1,1,1n = ，取平面1A AC 的法向量()1,0,0OB =，设二面角1B A C A --的大小为θ，则cosn OBn OBθ⋅=⨯因为二面角1B AC A--为锐角，所以cos3θ=，即二面角1B AC A--19．(1)59(2)证明见解析；6【分析】（1）每个顶点相邻的顶点有3个，其中2个在同一底面，据此计算概率即可；（2）根据题意先得出递推关系()121133n n nP P P+=+-，再化简变形即可得数列12nP⎧-⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列；求等比数列12nP⎧-⎫⎨⎬⎩⎭的通项，进而得到11232n nP=+⨯，再解不等式即可.【详解】（1）依题意，每一个顶点有3个相邻的顶点，其中两个在同一底面，所以当点Q在下底面时，随机移动一次仍在下底面的概率为23，当点Q在上底面时，随机移动一次回到下底面的概率为13，所以123P=，22211533339P=⨯+⨯=.（2）()1211113333n n n nP P P P+=+-=+，所以11111123632n n nP P P+⎛⎫-=-=-⎪⎝⎭，又因为123P=，所以1121102326P-=-=≠，所以数列12nP⎧-⎫⎨⎬⎩⎭是以16为首项，13为公比的等比数列；1111126323nn nP-⎛⎫-=⨯=⎪⨯⎝⎭，11232n nP=+⨯，若10132024nP>，则1110132322024n+>⨯，所以31012n<，又63729=，732187=，Nn*∈，所以6n≤，n的最大值为6.20．(1)4s=或1s=；(2)12λ=(3)垂心M在椭圆E上，理由见解析【分析】（1）求得椭圆E的离心率，分类讨论可求得s；（2）可得直线12,l l的方程分别为1(y k x=，21y k x=+，分别与椭圆联立方程，利用判别式为0,可得1k=2k=，进而可求12k k+取得最小值；（3）不妨设()00,C x y为椭圆H上的任意一点，此时2200124x y+=，ABC∆的垂心M的坐标为(,)M Mx y，连接,CM AM1=-，可得(,2)M MC x y，利用2212MMx y+=可得结论.【详解】（1）因为椭圆E的离心率e=2s>，解得4s=；当02s<<2=，解得1s=．则4s=或1s=；（2）易得((0,1)A D，所以直线12,l l的方程分别为1(y k x=，21y k x=+，联立122(12y k xx y⎧=⎪⎨+=⎪⎩，消去y并整理得2211(12)4220k x k xλ+++-=，因为直线1l与椭圆G相切，所以10∆=，因为01λ<<，即1k=联立22212y k xx yλ=+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y并整理得2222(12)4220k x k xλ+++-=，因为直线2l与椭圆G相切，所以20∆=，因为01λ<<，即2k=，则1212k k=，所以12k k+≥，当且仅当12k k=时，等号成立，此时12λ=．故当12λ=时，12k k+取得最小值，．（3）易知椭圆22:124x y H +=不妨设()00,C x y 为椭圆H 上的任意一点，此时2200124x y +=，（1）不妨设ABC 的垂心M 的坐标为(,)M M x y ，连接,CM AM ，因为(2,0),(2,0)A B ，又CM AB ⊥，所以0M x x =，因为02,M x x AM BC =≠⊥00122MM x x =-+-，因为0M x x =，所以2002M x y y =-，（2），联立（1）（2），解得02M y y =，因为点(,2)M M C x y 在椭圆上，所以2212MM x y +=．故ABC 的垂心M 在椭圆E 上．【点睛】知识点点睛：垂心是三角形三条高线的交点，通常有两种方法进行求解，其一是向量法，即两个互相垂直的向量的数量积为零；其二是利用直线的斜率公式，即两条互相垂直的直线的斜率之积为1-．21．(1)①是，②不是，理由见解析(2)4a ≥(3)证明见解析【分析】（1）根据函数()y f x =具有(2)P 性质的条件判断①；举反例可判断②；（2）原问题等价于当1m >时，314am >恒成立，即34a m >恒成立，得4a ≥；（3）利用函数的单调性以及不等式的性质判断充分性，利用反证法判断必要性.【详解】（1）①是，对任意212x x ->，21213()()()322f x f x x x -=->>，符合定义；②不是，令21213ππ,,π>222x x x x ==-=，21()()10sin 310sin 2f x f x ππ=0-=-<，故不符合题意.（2）显然0a >，设210x x m -=>，则33223212111()()(33)f x f x ax ax a mx m x m -=-=++，当12m x =-时，取21()()f x f x -最小值34am ，原问题等价于当1m >时，314am >恒成立，即34a m >恒成立，得4a ≥；（3）证明：充分性：若函数()y f x x =-为增函数，则对任意21x x >均有2211()()f x x f x x -≥-，即2121()()f x f x x x -≥-，因此，对任意0t >，若21x x t ->，则21()()f x f x t ->，函数()y f x =具有()P t 性质，充分性得证；必要性：若对任意0t >，函数()y f x =均具有()P t 性质，假设函数()y f x x =-不是增函数，则存在21x x >，满足2211()()f x x f x x -<-，即2121()()f x f x x x -<-，取21210()()2f x f x x x t -+-=，则显然21021()()f x f x t x x -<<-，即对于0t ，存在210x x t ->，但是210()()f x f x t -<，与“对任意0t >，函数()y f x =均具有()P t 性质”矛盾，因此假设不成立，即函数()y f x x =-为增函数，必要性得证．【点睛】新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.。

七宝中学2018-2019 学年度第一学期高三数学9 月摸底考试卷一、填空题 ( 本大题共有12 题 , 满分 54 分 , 此中 16 题每题 4 分 ,7-12每题6分)1. 已知会合 A x | x23x 4 0 ， B x | mx 1 0， m R ，且 A B A ,则全部知足条件的 m 构成的会合为____________.2. 设a，b R ,则“ b tan a ”是“ a arctanb ”的__________条件.3.z 2z 9 4i( i 为虚数单位 ), 则z _______.4.若△ ABC中 , a b 4, ∠C=30° , 则△ ABC面积的最大值是 _________.5.设直线 l 过点P(-4,0),且与直线 m :3x y 13100 的夹角为 arccos, 则直线l的方程是10___________.a 96.设常数 a＞0，x睁开式中 x6的系数为4,则 lim a a2a a n________.x n7.已知 y f x 是定义在R上的奇函数 , 且当x＞0时, f x 111, 则此函数的值域为4x2x____________.8. 已知函数f x log 8 x 8a在 2，上是增函数 , 则实数 a 的取值范围是 ________.x9. 奇函数y f x 知足对随意x R 都有 f 2 x f 2 x 0 ,且 f 19 ,则f 2016 f 2017 f 2018 的值为____________.10. 平面直角坐标系中 , 给出点A(1,0),B(4,0),若直线x my 10 上存在点P,使得PA 2 PB，则实数 m 的取值范围是____________.11.以下命题 :mx y 1D=0 是该方程组有解的必需①对于 x 、y 的二元一次方程组my的系数队列式 3mx 2m 3非充足条件；②已知 E 、F 、G 、H 是空间四点 , 命题甲 : E 、F 、G 、H 四点不共面 , 命题乙 : 直线 EF 和 GH不想交，则甲建立是乙建立的充足非必需条件；③“ a ＜2 ”是“对随意的实数x ，x 1 x 1 a 恒建立”的充要条件；④“ p0 或 p 4 ”是“对于 x 的方程px p 有且仅有一个实根”的充要条件。

上海市七宝中学2018-2019学年高三上学期第三次月考试卷数学含答案 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1． 已知是虚数单位，若复数)(3i a i +-（R a ∈）的实部与虚部相等，则=a （ ）A ．1-B ．2-C ．D ． 2． 已知全集R U =，集合{|||1,}A x x x R =≤∈，集合{|21,}x B x x R =≤∈，则集合U A C B 为（ ）A.]1,1[-B.]1,0[C.]1,0(D.)0,1[- 【命题意图】本题考查集合的运算等基础知识，意在考查运算求解能力. 3． 给出函数()f x ，()g x 如下表，则(())f g x 的值域为（ ）A ．{}4,2B ．{}1,3C ．{}1,2,3,4D ．以上情况都有可能4． 过点),2(a M -，)4,(a N 的直线的斜率为21-，则=||MN （ ） A ．10 B ．180 C ．36 D ．565． 设n S 是等差数列{}n a 的前项和，若5359a a =，则95S S =（ ）A ．1B ．2C ．3D ．46． 已知向量=（1，2），=（x ，﹣4），若∥，则x=（ ） A ． 4 B ． ﹣4 C ． 2 D ． ﹣27． 已知函数22()32f x x ax a =+-，其中(0,3]a ∈，()0f x ≤对任意的[]1,1x ∈-都成立，在1和两数间插入2015个数，使之与1，构成等比数列，设插入的这2015个数的成绩为T ，则T =（ ） A ．20152B ．20153C ．201523D ．2015228． 正方体1111D ABC A B C D - 中，,E F 分别为1,AB B C 的中点，则EF 与平面ABCD 所成角的正 切值为（ ）A ．B 2 C. 12 D 29．已知，则tan2α=（ ）A．B．C．D．10．在ABC ∆中，若60A ∠=，45B ∠=，BC =AC =（ ）A ．B ． C. D11．已知双曲线的方程为﹣=1，则双曲线的离心率为（ ）A ．B ．C ．或 D ．或12．若函数f （x ）=log a （2x 2+x ）（a ＞0且a ≠1）在区间（0，）内恒有f （x ）＞0，则f （x ）的单调递增区间为（ ）A ．（﹣∞，）B ．（﹣，+∞）C ．（0，+∞）D ．（﹣∞，﹣）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在横线上）13．设x R ∈，记不超过x 的最大整数为[]x ，令{}[]x x x =-.现有下列四个命题: ①对任意的x ，都有1[]x x x -<≤恒成立； ②若(1,3)x ∈，则方程{}22sincos []1x x +=的实数解为6π-；③若3n n a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦（n N *∈），则数列{}n a 的前3n 项之和为23122n n -；④当0100x ≤≤时，函数{}22()sin []sin 1f x x x =+-的零点个数为m ，函数{}()[]13xg x x x =⋅--的 零点个数为n ，则100m n +=.其中的真命题有_____________.（写出所有真命题的编号）【命题意图】本题涉及函数、函数的零点、数列的推导与归纳，同时又是新定义题，应熟悉理解新定义，将问题转化为已知去解决，属于中档题。

2015-2016学年上海市闵行区七宝中学高二（上）期末数学试卷一、填空题（共12题，每题4分，共48分）1．（4分）线性方程组的增广矩阵是．2．（4分）方程x2+y2﹣x+y+m=0表示一个圆，则m的取值范围是．3．（4分）三阶行列式（x∈R）中元素4的代数余子式的值记为f （x），则函数f（x）的最小值为．4．（4分）直线l的斜率k为，则直线l的倾斜角为．5．（4分）设某抛物线y2=mx（m＞0）的准线与直线x=1的距离为3，则该抛物线的方程为．6．（4分）设曲线C定义为到点（﹣1，﹣1）和（1，1）距离之和为4的动点的轨迹．若将曲线C绕坐标原点逆时针旋转45°，则此时曲线C的方程为．7．（4分）已知点A的坐标为（4，3），F为抛物线y2=4x的焦点，若点P在抛物线上移动，则当|PA|+|PF|取最小值时点P的坐标为．8．（4分）若直线y=kx+1（k＞0）与双曲线x2﹣=1有且只有一个交点，则k 的值是．9．（4分）设m，n∈R，若直线l：mx+ny﹣1=0与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，且l与圆x2+y2=4相交所得弦的长为2，O为坐标原点，则△AOB面积的最小值为．10．（4分）若函数f（x）=+1 （a＞0，a≠1）的图象过定点P，点Q在曲线x2﹣y﹣2=0上运动，则线段PQ中点M轨迹方程是．11．（4分）（理）已知椭圆C：=1，过椭圆C上一点P（1，）作倾斜角互补的两条直线PA、PB，分别交椭圆C于A、B两点，则直线AB的斜率为．12．（4分）定义变换T将平面内的点P（x，y）（x≥0，y≥0）变换到平面内的点．若曲线经变换T后得到曲线C1，曲线C1经变换T后得到曲线C2…，依此类推，曲线C n﹣1经变换T后得到曲线C n，当n∈N*时，记曲线C n与x、y轴正半轴的交点为A n（a n，0）和B n（0，b n）．某同学研究后认为曲线C n具有如下性质：①对任意的n∈N*，曲线C n都关于原点对称；②对任意的n∈N*，曲线C n恒过点（0，2）；③对任意的n∈N*，曲线C n均在矩形OA n D n B n（含边界）的内部，其中D n的坐标为D n（a n，b n）；④记矩形OA n D n B n的面积为S n，则其中所有正确结论的序号是．二、选择题（共4题，每题4分，总分16分）13．（4分）方程对应的曲线是（）A．B．C．D．14．（4分）如图给出了一个程序框图，其作用是输入x的值，输出相应的y值．若要使输入的x值与输出的y值相等，则这样的x值有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个15．（4分）设双曲线nx2﹣（n+1）y2=1（n∈N*）上动点P到定点Q（1，0）的距离的最小值为d n，则的值为（）A．B．C．0 D．116．（4分）设直线l与抛物线x2=4y相交于A，B两点，与圆x2+（y﹣5）2=r2（r ＞0）相切于点M，且M为线段AB中点，若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是（）A．（1，3） B．（1，4） C．（2，3） D．（2，4）三、解答题（共5题，总分56分）17．（10分）已知等比数列{a n}的首项a1=1，公比为q，试就q的不同取值情况，讨论二元一次方程组何时无解，何时有无穷多解？18．（10分）我边防局接到情报，在海礁AB所在直线l的一侧点M处有走私团伙在进行交易活动，边防局迅速派出快艇前去搜捕．如图，已知快艇出发位置在l的另一侧码头P处，PA=8公里，PB=10公里，∠APB=60°．（1）是否存在点M，使快艇沿航线P→A→M或P→B→M的路程相等．如存在，则建立适当的直角坐标系，求出点M的轨迹方程，且画出轨迹的大致图形；如不存在，请说明理由．（2）问走私船在怎样的区域上时，路线P→A→M比路线P→B→M的路程短，请说明理由．19．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），直线l：y=x﹣1，设圆C的半径为1，圆心在l上．（1）若圆心C也在直线y=5﹣x上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；（2）若圆C上存在点M，使MA=2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围．20．（12分）如图，平面上定点F到定直线l的距离|FM|=2，P为该平面上的动点，过P作直线l的垂线，垂足为Q，且．（1）试建立适当的平面直角坐标系，求动点P的轨迹C的方程；（2）过点F的直线交轨迹C于A、B两点，交直线l于点N，已知为定值．21．（12分）已知F1，F2是椭圆的两个焦点，O为坐标原点，点在椭圆上，线段PF2与y轴的交点M满足，⊙O是以F1F2为直径的圆，一直线L：y=kx+m与⊙O相切，并与椭圆交于不同的两点A，B （1）求椭圆的标准方程．（2）当，且满足时，求△AOB的面积S的取值范围．2015-2016学年上海市闵行区七宝中学高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（共12题，每题4分，共48分）1．（4分）线性方程组的增广矩阵是．【解答】解：由线性方程组：，则=，∴其增广矩阵为：，故答案为：．2．（4分）方程x2+y2﹣x+y+m=0表示一个圆，则m的取值范围是（﹣∞，）．【解答】解：若方程x2+y2﹣x+y+m=0表示一个圆，则满足1+1﹣4m＞0，即m＜，故答案为：（﹣∞，）．3．（4分）三阶行列式（x∈R）中元素4的代数余子式的值记为f （x），则函数f（x）的最小值为﹣6．【解答】解：由题意，f（x）==﹣sin2x+6cosx=cos2x+6cosx﹣1=（cosx+3）2﹣10，∵﹣1≤cosx≤1，∴cosx=﹣1时，函数f（x）的最小值为﹣6．故答案为：﹣6．4．（4分）直线l的斜率k为，则直线l的倾斜角为π﹣arctan．【解答】解：设直线l的倾斜角为θ，θ∈[0，π）．∵k=tanθ=﹣，∴θ=π﹣arctan．故答案为：π﹣arctan．5．（4分）设某抛物线y2=mx（m＞0）的准线与直线x=1的距离为3，则该抛物线的方程为y2=8x．【解答】解：当m＞0时，准线方程为x=﹣=﹣2，∴m=8，此时抛物线方程为y2=8x．故答案为：y2=8x．6．（4分）设曲线C定义为到点（﹣1，﹣1）和（1，1）距离之和为4的动点的轨迹．若将曲线C绕坐标原点逆时针旋转45°，则此时曲线C的方程为．【解答】解：点（﹣1，﹣1）和（1，1）绕坐标原点逆时针旋转45°后，得到的点的坐标为A（0，﹣）和B（0，），由题意知，动点P到A和B的距离之和为4，∴动点P的轨迹是以A（0，﹣）和B（0，）为焦点坐标，以4为长轴的椭圆，其方程为．故答案：．7．（4分）已知点A的坐标为（4，3），F为抛物线y2=4x的焦点，若点P在抛物线上移动，则当|PA|+|PF|取最小值时点P的坐标为（，3）．【解答】解：设点P在准线上的射影为D，由抛物线的定义可知|PF|=|PD|，∴要求|PA|+|PF|的最小值，即求|PA|+|PD|的最小值，只有当D，P，A三点共线时|PA|+|PD|最小，令y=3，可得x=，∴当|PA|+|PF|取最小值时点P的坐标为（，3）．故答案为（，3）．8．（4分）若直线y=kx+1（k＞0）与双曲线x2﹣=1有且只有一个交点，则k的值是或．【解答】解：已知直线y=kx+1①与双曲线x2﹣=1②只有一个交点，即方程只要一个根把方程①代入②，整理得方程（2﹣k2）x2﹣2kx﹣3=0③恰有一根，（1）当k=时，方程③变为﹣2x﹣3=0，得x=﹣，成立．（2）当k=﹣时，方程③变为2x﹣3=0，得x=，成立．（3）当k≠时△=4k2+12（2﹣k2）=0，k=±∵k＞0，∴k=或．故答案为：或．9．（4分）设m，n∈R，若直线l：mx+ny﹣1=0与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，且l与圆x2+y2=4相交所得弦的长为2，O为坐标原点，则△AOB面积的最小值为3．【解答】解：由圆x2+y2=4的方程，得到圆心坐标为（0，0），半径r=2，∵直线l与圆x2+y2=4相交所得弦CD=2，∴圆心到直线l的距离d==，∴圆心到直线l：mx+ny﹣1=0的距离d==，整理得：m2+n2=，令直线l解析式中y=0，解得：x=，∴A（，0），即OA=，令x=0，解得：y=，∴B（0，），即OB=，∵m2+n2≥2|mn|，当且仅当|m|=|n|时取等号，∴|mn|≤，又△AOB为直角三角形，∴S=OA•OB=≥=3，当且仅当|m|2=|n|2=时取等号，△ABC则△AOB面积的最小值为3．故答案为：3．10．（4分）若函数f（x）=+1 （a＞0，a≠1）的图象过定点P，点Q在曲线x2﹣y﹣2=0上运动，则线段PQ中点M轨迹方程是y=2x2﹣2x．【解答】解：当3x﹣2=1，即x=1时，f（x）=log a1+1=1，所以f（x）= 1 （a＞0，a≠1）的图象过定点P（1，1），设Q（q，q2﹣2），中点M（x，y）x=，q=2x﹣1，y====2x2﹣2x．故线段PQ中点M轨迹方程是y=2x2﹣2x．故答案为：y=2x2﹣2x．11．（4分）（理）已知椭圆C：=1，过椭圆C上一点P（1，）作倾斜角互补的两条直线PA、PB，分别交椭圆C于A、B两点，则直线AB的斜率为．【解答】解：由题意知，两直线PA，PB的斜率必存在，设PB的斜率为k，（k＞0），则PB的直线方程为，由，得，设B（x B，y B），则，=，设A（x A，y A），同理可得，则x A﹣x B=，y A﹣y B=k（x A﹣1）﹣k（x B﹣1）=4，∴AB的斜率k===．故答案为：．12．（4分）定义变换T将平面内的点P（x，y）（x≥0，y≥0）变换到平面内的点．若曲线经变换T后得到曲线C1，曲线C1经变换T后得到曲线C2…，依此类推，曲线C n﹣1经变换T后得到曲线C n，当n∈N*时，记曲线C n与x、y轴正半轴的交点为A n（a n，0）和B n（0，b n）．某同学研究后认为曲线C n具有如下性质：①对任意的n∈N*，曲线C n都关于原点对称；②对任意的n∈N*，曲线C n恒过点（0，2）；③对任意的n∈N*，曲线C n均在矩形OA n D n B n（含边界）的内部，其中D n的坐标为D n（a n，b n）；④记矩形OA n D n B n的面积为S n，则其中所有正确结论的序号是③④．【解答】解：由于，故曲线C0与x、y轴正半轴的交点为A（4，0）和B（0，2）．由于变换T将平面内的点P（x，y）（x≥0，y≥0）变换到平面内的点．则由题意知，故，则，显然曲线C n不关于原点对称；曲线C n不过点（0，2）；曲线C n均在矩形OA n D n B n（含边界）的内部，其中D n的坐标为D n（a n，b n）；故①②错误，③正确．记矩形OA n D n B n的面积为S n，则故=1，故④正确．故答案为：③④二、选择题（共4题，每题4分，总分16分）13．（4分）方程对应的曲线是（）A．B．C．D．【解答】解：由题意，，且∴x2+y2=4（x≥0，y≥0）图象为以原点为圆心，2 为半径，在第一象限的部分（包括与坐标轴的交点）故选：D．14．（4分）如图给出了一个程序框图，其作用是输入x的值，输出相应的y值．若要使输入的x值与输出的y值相等，则这样的x值有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：由题意得该程序的功能是计算并输出分段函数y=的值又∵输入的x值与输出的y值相等当x≤2时，x=x2，解得x=0，或x=1当2＜x≤5时，x=2x﹣4，解得x=4当x＞5时，x=，解得x=±1（舍去）故满足条件的x值共有3个故选：C．15．（4分）设双曲线nx2﹣（n+1）y2=1（n∈N*）上动点P到定点Q（1，0）的距离的最小值为d n，则的值为（）A．B．C．0 D．1【解答】解：设动点P（x，y），则nx2﹣（n+1）y2=1，∴y2=，∵Q（1，0），∴|PQ|===，∴=（）min===．故选：A．16．（4分）设直线l与抛物线x2=4y相交于A，B两点，与圆x2+（y﹣5）2=r2（r ＞0）相切于点M，且M为线段AB中点，若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是（）A．（1，3） B．（1，4） C．（2，3） D．（2，4）【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），斜率存在时，设斜率为k，则x12=4y1，x22=4y2，，相减，得（x1+x2）（x1﹣x2）=4（y1﹣y2），当l的斜率存在且不为0时，利用点差法可得2k=x0，因为直线与圆相切，所以，所以y0=3，即M的轨迹是直线y=3．将y=3代入x2=4y，得x2=12，∴﹣2＜x0＜2．∵M在圆上，∴x02+（y0﹣5）2=r2（r＞0），∴r2=∵直线l恰有4条，∴x0≠0，∴4＜r2＜16，故2＜r＜4时，直线l有2条；斜率为0时，直线l有2条；所以直线l恰有4条，2＜r＜4，故选：D．三、解答题（共5题，总分56分）17．（10分）已知等比数列{a n}的首项a1=1，公比为q，试就q的不同取值情况，讨论二元一次方程组何时无解，何时有无穷多解？【解答】解：解方程组，消y得到（a1a4﹣a2a3）x=3a4+2a3，∵等比数列{a n}的公比为q，∴a1a4﹣a2a3=0，当3a4+2a3=0时，即q=﹣时，方程组有无穷多解．18．（10分）我边防局接到情报，在海礁AB所在直线l的一侧点M处有走私团伙在进行交易活动，边防局迅速派出快艇前去搜捕．如图，已知快艇出发位置在l的另一侧码头P处，PA=8公里，PB=10公里，∠APB=60°．（1）是否存在点M，使快艇沿航线P→A→M或P→B→M的路程相等．如存在，则建立适当的直角坐标系，求出点M的轨迹方程，且画出轨迹的大致图形；如不存在，请说明理由．（2）问走私船在怎样的区域上时，路线P→A→M比路线P→B→M的路程短，请说明理由．【解答】解：（1）建立如图所示的坐标系，|MA|﹣|MB|=2，∴M的轨迹是双曲线的右支，|AB|==2，∴，∴M的轨迹方程是=1（x＞1，y＞0）；（2）走私船在直线l的左侧，且在（1）中曲线的左侧的区域时，路线P→A→M 最短．理由：设AM的延长线与（1）中曲线交于点N，则PA+AN=PB+BN，PA+AM=PA+AN﹣MN=PB+BN﹣MN＜PB+BM．19．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），直线l：y=x﹣1，设圆C的半径为1，圆心在l上．（1）若圆心C也在直线y=5﹣x上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；（2）若圆C上存在点M，使MA=2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围．【解答】解：（1）由题设，圆心C在y=x﹣1上，也在直线y=5﹣x上，解得x=3，y=2，∴C（3，2），∴圆C：（x﹣3）2+（y﹣2）2=1；由题意，当斜率存在时，过A点切线方程可设为y=kx+3，即kx﹣y+3=0，则=1，解得：k=0或k=﹣，对应的直线方程为y=3或y=﹣x+3；当斜率不存在时，直线x=0不与圆相切，故所求切线方程为y=3或y=﹣x+3，即y﹣3=0或3x+4y﹣12=0；（2）设点C（a，a﹣1），M（x0，y0），则∵MA=2MO，A（0，3），O（0，0），∴x02+（y0﹣3）2=4（x02+y02），即x02+y02=3﹣2y0，又点M在圆C上，∴+=1，∴M点为x02+y02=3﹣2y0与+=1的交点，若存在这样的点M，则x02+y02=3﹣2y0与+=1有交点，即两圆的圆心距d满足：1≤d≤3，∴1≤≤3，即1≤2a2﹣4a+4≤9，解得1﹣≤a≤1+，即a的取值范围是[1﹣，1+]．20．（12分）如图，平面上定点F到定直线l的距离|FM|=2，P为该平面上的动点，过P作直线l的垂线，垂足为Q，且．（1）试建立适当的平面直角坐标系，求动点P的轨迹C的方程；（2）过点F的直线交轨迹C于A、B两点，交直线l于点N，已知为定值．【解答】解：（1）方法一：如图，以线段FM的中点为原点O，以线段FM所在的直线为y轴建立直角坐标系xOy．则，F（0，1）．设动点P的坐标为（x，y），则动点Q的坐标为（x，﹣1），，由•，得x2=4y．方法二：由．所以，动点P的轨迹C是抛物线，以线段FM的中点为原点O，以线段FM所在的直线为y轴建立直角坐标系xOy，可得轨迹C的方程为：x2=4y．（2）由已知，，得λ1•λ2＜0．于是，，①过A、B两点分别作准线l的垂线，垂足分别为A1、B1，则有==，②由①、②得λ1+λ2=0．21．（12分）已知F1，F2是椭圆的两个焦点，O为坐标原点，点在椭圆上，线段PF2与y轴的交点M满足，⊙O是以F1F2为直径的圆，一直线L：y=kx+m与⊙O相切，并与椭圆交于不同的两点A，B （1）求椭圆的标准方程．（2）当，且满足时，求△AOB的面积S的取值范围．【解答】解：（1）∵=，∴点M是线段PF2的中点，∴OM是△PF1F2的中位线，又∵OM⊥F1F2，∴PF1⊥F1F2，∴，解得a2=2，b2=1，c2=1，∴椭圆的标准方程为．（2）∵圆O与直线l相切，∴，即m2=k2+1，联立，消去y，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0，∵直线l与椭圆交于两个不同点，∴△=（4km）2﹣4（1+2k2）（2m2﹣2）＞0，∴k2＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，x1•x2=，∴y1y2=（kx1+m）（kx2+m）==，=x1x2+y1y2=，∴，∴，S=S△ABO====，设u=k4+k2，则，S=，u∈[]，∵S关于u在[，2]单调递增，S（）=，S（2）=，∴．。

2016年虹口区高考模拟试卷 理科数学2016.5考生注意：1.本试卷共4页，23道试题，满分150分，考试时间120分钟。

2。

本考试分设试卷和答题纸. 作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分。

一、填空题（本大题满分56分）本大题共14题,只要求在答题纸相应题号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1．设集合103x M xx ⎧+⎫=≥⎨⎬-⎩⎭，{}21xN x =≥，则M N ⋂=__________.2．在ABC ∆中，3tan ,4A =- 则sin 2A =_________.3.已知复数()z i z z =为虚数单位，表示的共轭复数，则z z ⋅=_________.4。

若等比数列{}n a 的公比1q q <满足，且24344,3,a a a a =+=则12lim()n n a a a →∞+++=___________.5.若函数()()()f x x a x a R =-∈存在反函数1()f x -,则1(1)(4)f f -+-= _________.6 .在数学解题中,时常会碰到形如“1x yxy+-”的式子，它与“两角和的正切公式”的结构 类似.若a ，b 是非零实数，且满足sincos855tan 15cos sin55a b a b πππππ+=-，则b a =________.7. 若一个球的半径与它的内接圆锥的底面半径之比为5,3且内接圆锥的轴截面为锐角三角形，则该球的体积与它的内接圆锥的体积之比等于________.8．某小区有排成一排的8个车位，现有5辆不同型号的轿车需要停放,则这5辆轿车停入车位后，剩余3个车位连在一起的概率为________(结果用最简分数表示）.9．若双曲线2221y x b-=的一个焦点到其渐近线的距离为，则该双曲线的焦距等于________.10．若复数z 满足34(z z i i +=-为虚数单位)，则z 的最小值为_______.11．在极坐标系中，圆2sin ρθ=被直线1sin()32πρθ+=截得的弦长为 ． 12．过抛物线28x y =的焦点F 的直线与其相交于A ，B 两点，O 为坐标原点．若6,AF = 则OAB ∆的面积为 ．13．若关于x 的方程21x x a x -=有三个不同实根,则实数a 的取值范围为_______.14．在平面直角坐标系中,定义11111,()(,)(,)n n nn n n n n n n n nx x y n N P x y P x y y x y +*++++=-⎧∈⎨=+⎩为点到点的一个变换，我们把它称为点变换.已知1222(1,0)(,)P P x y ，，333(,)P x y ，是经过点变换得到的一组无穷点列，设112,n n n n n a P P P P +++=⋅则满足不等式122016n a a a +++>的最小正整数n 的值为________.二、选择题（本大题共4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应题号上,将所选答案的代号涂黑,选对得 5分，否则一律零分。