上海市七宝中学2020-2021学年高一下学期期中数学试题

七宝中学2022学年第二学期高一年级数学期中一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1.角度大小为7弧度的角是第________象限角2.已知向量()1,2a =-，()0,1b =，则2a b -的坐标为__________.3.cos57cos12sin 57sin12+的值为__________.4.若2,3a b a b ==⋅= ，则a 与b的夹角为__________.5.函数sin 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，,32x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦的最大值为______6.已知2弧度的圆心角所对的弧长为4厘米，则此圆心角所夹的扇形面积为_____2cm .7.函数()πtan π4f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的定义域为______．8.在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若2cos cos a c Cb B -=，则cos B 的值为____________.9.已知点M 在直线BC 上，点A 在直线BC 外，若AB AC AB AC+=-，且4AB =uu u r ，2AC = ，则AM的最小值为______.10.已知函数π()|cos|2f x x =（04045x ≤≤），其图像的最高点从左到右依次记为123 nA A A A ，，，，，其图像与x 轴的交点从左到右依次记为123 nB B B B ，，，，，则11121222222323332022202320232023A B B A B A A B A B B A B A A B B A A B ⋅+⋅+⋅+⋅++⋅=____.11.函数2sin 6y x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在区间(,2)ππ内不存在零点，则正实数ω的取值范围是________．12.设函数()66sin cos 55kx kx f x =+，其中k 是一个正整数，若对任意实数a ，均有(){}(){}1f x a x a f x x R <<+=∈，则k 的最小值为______．二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）13.如果角θ的终边经过点3,221⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，则tan θ=（）A.12B.32C.D.3-14.ABC 中，“A B >”是“cos2cos2A B <”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C .充要条件D.既不充分也不必要条件15.函数()sin()(0,02f x x πωϕωϕ=+><<在区间5,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图像如图所示，将该函数图像上各点的横坐标缩短到原来的一半（纵坐标不变），再向右平移(0)θθ>个单位长度后，所得到的图像关于点7,024π⎛⎫⎪⎝⎭对称，则θ的最小值为（）A.76πB.6π C.8π D.724π16.在△ABC 中，D 为BC 中点，E 为AD 中点，则以下结论：①存在△ABC ，使得0AB CE ⋅= ；②存在三角形△ABC ，使得CE ∥()CB CA +uu r uu r，则（）A .①成立，②成立B.①成立，②不成立C.①不成立，②成立D.①不成立，②不成立三、解答题（本大题共有5题，满分78分）17.已知函数()cos cos 2(R)f x x x x x =-∈.（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）设π0,3α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且6()5f α=，求sin 2α的值.18.在ABC 中，内角A B C ，，的对边分别为a ，b ，c ，已知22232a cb ac +=+．（1）求cos B 的值；（2）若32BA BC →→⋅=，2b ac =，求ABC 的周长．19.如图，有一条宽为60m 的笔直的河道（假设河道足够长），规划在河道内围出一块直角三角形区域（图中ABC ）养殖观赏鱼，AB AC ⊥，顶点A 到河两岸的距离12,,,AE h AD h C B ==两点分别在两岸12,l l 上，设ABD α∠=.（1）若30α=︒，求养殖区域面积的最大值；（2）现拟沿着养殖区域ABC 三边搭建观赏长廊（宽度忽略不计），若130m h =，求观赏长廊总长()f α的最小值.20.已知O 为坐标原点，对于函数()sin cos f x a x b x =+，称向量()OM a b =，为函数()f x 的伴随向量，同时称函数()f x 为向量OM的伴随函数.（1）设函数()3π)sin(π)2g x x x =---，试求()g x 的伴随向量OM ；（2）记向量(ON = 的伴随函数为()f x ，求当()85f x =且ππ36x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，时cos x 的值；（3）由（1）中函数()g x 的图象（纵坐标不变）横坐标伸长为原来的2倍，再把整个图象向右平移2π3个单位长度得到()h x 的图象，已知()23A -，，()26B ，，问在()y h x =的图象上是否存在一点P ，使得AP BP ⊥.若存在，求出P 点坐标；若不存在，说明理由.21.已知向量(sin 2,cos 2)m x x = ，12n = ，函数()f x m n =⋅ .（1）求函数()f x 的解析式和单调递增区间；（2）若在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，1()12,,22f A b a ⎡⎤==∈⎢⎥⎣⎦，,试判断这个三角形解的个数，并说明理由；（3）若π2π,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，关于x 的方程π((1)sin 6f x x λλ+++=恰有三个不同的实根1x ，2x ，3x ，求实数λ的取值范围及123x x x ++的值．七宝中学2022学年第二学期高一年级数学期中一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1.角度大小为7弧度的角是第________象限角【答案】一【解析】【分析】把弧度化为度数并结合终边相同角的定义变形判断．【详解】7弧度180736041.190π︒=⨯-︒≈︒<︒，所以第一象限．故答案为：一．2.已知向量()1,2a =- ，()0,1b = ，则2a b -的坐标为__________.【答案】(1,0)-【解析】【分析】运用向量坐标加、减、数乘运算求解即可.【详解】因为(1,2)a =-，(0,1)b =r ，所以2(1,2)2(0,1)(1,0)a b -=--=-.故答案为：(1,0)-.3.cos57cos12sin 57sin12+ 的值为__________.【答案】2【解析】【分析】由两角差的余弦公式化简求值.【详解】2c )os57cos12sin 57sin 2cos(5712cos 4125=+︒-︒=︒=.故答案为:22.4.若2,3a b a b ==⋅= ，则a 与b的夹角为__________.【答案】30︒【解析】【分析】根据数量积的定义结合已知计算即可.【详解】解：因为2,3a b a b ==⋅=，所以3cos ,2a b a b a b⋅==，又因0,180a b ︒︒≤≤，所以a 与b 的夹角为30︒.故答案为：30︒.5.函数sin 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，,32x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦的最大值为______【答案】1【解析】【分析】求出3x π+的范围，然后由正弦函数性质得最大值．【详解】,32x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则50,36x ππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以当32x ππ+=，即6x π=时，max 1y =．故答案为：1．6.已知2弧度的圆心角所对的弧长为4厘米，则此圆心角所夹的扇形面积为_____2cm .【答案】4【解析】【分析】运用扇形的弧长公式求得扇形的半径，再运用扇形的面积公式计算即可.【详解】由题意知，2α=，4l =，所以扇形的半径42cm 2lr α===，所以扇形的面积211424cm 22S lr ==⨯⨯=.故答案为：4.7.函数()πtan π4f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的定义域为______．【答案】3,Z 4x x k k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭【解析】【分析】利用整体代入法求得()f x 的定义域.【详解】令ππππ42x k -≠+，Z k ∈，可得34x k ≠+，Z k ∈，故函数()f x 的定义域为3,Z 4x x k k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭．故答案为：3,Z 4x x k k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭8.在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若2cos cos a c Cb B-=，则cos B 的值为____________.【答案】12##0.5【解析】【分析】利用正弦定理将边化角，再利用两角和的正弦公式计算可得.【详解】在ABC 中2cos cos a c Cb B-=，∴()2cos cos a c B b C -=，由正弦定理可得()2sin sin cos sin cos A C B B C -=，即()2sin cos sin cos sin cos sin sin A B C B B C B C A =+=+=，因为()0,πA ∈，sin 0A ≠，可得1cos 2B =.故答案为：129.已知点M 在直线BC 上，点A 在直线BC 外，若AB AC AB AC +=- ，且4AB =uu u r，2AC =，则AM 的最小值为______.【答案】5【解析】【分析】根据条件可得出0AB AC ⋅=从而得出AB AC ⊥，进而得出BC ，根据题意知，当AM BC ⊥时，AM 最小，从而得出可得出AM的最小值．【详解】根据题意，当AM BC ⊥时，AM最小；由AB AC AB AC +=- ，222222AB AC AB AC AB AC AB AC ∴++⋅=+-⋅ ，∴0AB AC ⋅=，即AB AC ⊥，∴BC ==，∴当AMBC ⊥时，由面积法得24AM =⨯ ，5AM = ，所以AM 的最小值为5.故答案为：45510.已知函数π()|cos|2f x x =（04045x ≤≤），其图像的最高点从左到右依次记为123 n A A A A ，，，，，其图像与x 轴的交点从左到右依次记为123 n B B B B ，，，，，则11121222222323332022202320232023A B B A B A A B A B B A B A A B B A A B ⋅+⋅+⋅+⋅++⋅=____.【答案】8088-【解析】【分析】由函数可得2T =,分别写出各点坐标,进一步得到向量坐标,求数量积时会发现每一个数量积均为2-,整理后即可得到结果.【详解】由题可知，2T =，1A (,2A (,3A 为(，…，2023A (，1B ()1,0,2B ()3,0,3B ()5,0，…，2023B ()4045,0，所以(112233202320231,A B A B A B A B =====，(12233420222023B A B A B A B A =====，所以11121222222323332022202320232023 (132)A B B A B A A B A B B A B A A B B A A B ⋅=⋅=⋅=⋅==⋅=-=-，所以()11121222222323332022202320232023+ (2022228088)A B B A B A A B A B B A B A A B B A A B ⋅+⋅⋅+⋅++⋅=⨯⨯-=-.故答案为：8088-.11.函数2sin 6y x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭在区间(,2)ππ内不存在零点，则正实数ω的取值范围是________．【答案】55110,,12612⎛⎤⎡⎤⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦【解析】【分析】由题意利用正弦函数的零点，可得26πωππ+ ，或6πωππ+ ，226πωππ+ ，由此求得正实数ω的取值范围．【详解】解： 函数2sin()6y x πω=+在区间(,2)ππ内不存在零点且0ω>，所以22Tππ≥-，即22ππω≥，所以01ω<≤，因为(,2)x ππ∈，所以,2666x πππωωπωπ⎛⎫+∈++ ⎪⎝⎭，26πωππ∴+ 或6226πωπππωππ⎧+⎪⎪⎨⎪+⎪⎩，解得512ω≤或511612ω≤≤，因为0ω>，所以5012ω<≤或511612ω≤≤，故正实数ω的取值范围为55110,,12612⎛⎤⎡⎤⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦，故答案为：55110,,12612⎛⎤⎡⎤⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦．12.设函数()66sincos 55kx kxf x =+，其中k 是一个正整数，若对任意实数a ，均有(){}(){}1f x a x a f x x R <<+=∈，则k 的最小值为______．【答案】8【解析】【分析】首先化简函数，()224224345(sin cos sin cos cos cos 555555858kx kx kx kx kx kx kx f x =+-⋅+=+，根据题意最小正周期1T <，可得52k π>，即可得解.【详解】()66224224sin cos (sin cos )(sin sin cos cos )55555555kx kx kx kx kx kx kx kx f x =+=+-⋅+22222(sin cos )3sin cos 5555kx kx kx kx =+-⋅2323451sin cos 45858kx kx =-=+，若对任意实数a ，均有(){}(){}1f x a x a f x x R <<+=∈，则最小正周期1T <，即2145k π<，即52k π>，由Z k ∈，所以8k ≥，所以则k 的最小值为8.故答案为：8二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）13.如果角θ的终边经过点3,221⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，则tan θ=（）A.12B.32C.D.33-【答案】D 【解析】【分析】由三角函数的定义可求得tan θ的值.【详解】由三角函数的定义可得132tan 332θ==-.故选：D.【点睛】本题考查利用三角函数的定义求值，考查计算能力，属于基础题.14.ABC 中，“A B >”是“cos2cos2A B <”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】cos2cos2A B <等价于sin sin A B >，由正弦定理以及充分必要条件的定义判断即可.【详解】在三角形中，因为cos2cos2A B <，所以2212sin 12sin A B -<-，即sin sin A B>若A B >，则a b >，即2sin 2sin R A R B >，sin sin A B >若sin sin A B >，由正弦定理sin sin a bA B=，得a b >，根据大边对大角，可知A B >所以“A B >”是“cos2cos2A B <”的充要条件故选：C15.函数()sin()(0,02f x x πωϕωϕ=+><<在区间5,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图像如图所示，将该函数图像上各点的横坐标缩短到原来的一半（纵坐标不变），再向右平移(0)θθ>个单位长度后，所得到的图像关于点7,024π⎛⎫⎪⎝⎭对称，则θ的最小值为（）A.76π B.6π C.8π D.724π【答案】C 【解析】【分析】由周期求出ω，代点求出ϕ的值，可得函数的()f x 的解析式，再根据函数的对称性求出θ的值，进而可得结论．【详解】由函数()sin()(0,0)2f x x πωϕωϕ=+><<的图象可得2566T w ππππ⎛⎫==--= ⎪⎝⎭，2w ∴=又函数过点,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭，得sin 03πϕ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，又02πϕ<<，可知3πϕ=．故函数()f x 的解析式为()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．把()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象各点的横坐标缩小到原来的一半（纵坐标不变），再向右平移(0)θθ>个单位长度后，得到()sin 443g x x πθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的图象，∵所得图象关于点7,024π⎛⎫⎪⎝⎭对称，7sin 440243πθπ⎛⎫∴⨯-+= ⎪⎝⎭，即sin 402θ3π⎛⎫-= ⎪⎝⎭即cos 40θ=，解得：84k ππθ=+，Z k ∈，由0θ>，可得当0k =时，θ的最小值为8π．故选：C16.在△ABC 中，D 为BC 中点，E 为AD 中点，则以下结论：①存在△ABC ，使得0AB CE ⋅= ；②存在三角形△ABC ，使得CE ∥()CB CA +uu r uu r，则（）A.①成立，②成立B.①成立，②不成立C.①不成立，②成立D.①不成立，②不成立【答案】B 【解析】【分析】建立坐标系，设出坐标，利用坐标关系表示出即可判断.【详解】不妨设(2,2)A x y ，(1,0)B -，(1,0)C ，(0,0)D ，(,)E x y ，①(12,2)AB x y =---uu u r ，(1,)CE x y =-uur ，若0AB CE ⋅=，∴2(21)(1)20x x y -+--=，∴2(21)(1)2x x y -+-=，满足条件的(,)x y 明显存在，∴①成立；②F 为AB 中点，()2CB CA CF +=uu r uu r uu u r，CF 与AD 交点即重心G ，∵G 为AD 三等分点，E 为AD 中点，∴CE 与CG不共线，即②不成立；故选：B三、解答题（本大题共有5题，满分78分）17.已知函数()cos cos 2(R)f x x x x x =-∈.（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）设π0,3α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且6()5f α=，求sin 2α的值.【答案】（1）π（2）43310+【解析】【分析】（1）利用二倍角公式及辅助角公式化简函数()f x 并运用三角函数周期公式求解即可.（2）由α范围可得π26α-的范围，进而由同角三角函数的平方关系可求得πcos 26α⎛⎫- ⎪⎝⎭的值，再利用配凑角及两角和的正弦公式可求得sin 2α的值.【小问1详解】因为()πcos cos 22cos 22sin 26f x x x x x x x ⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭，所以2ππ2T ==.即()f x 的最小正周期为π.【小问2详解】因为()π62sin 265f αα⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，所以π3sin 265α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，又因为π0,3α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以πππ2662α-<-<，所以π4cos 265α⎛⎫-== ⎪⎝⎭，所以ππ3π1π433sin 2sin 2sin 2cos 266262610αααα⎡⎤+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-+-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.18.在ABC 中，内角A B C ，，的对边分别为a ，b ，c ，已知22232a cb ac +=+．（1）求cos B 的值；（2）若32BA BC →→⋅=，2b ac =，求ABC 的周长．【答案】（1）3cos 4B =；（2）3.【解析】【分析】（1）直接利用余弦定理求解；（2）化简32BA BC →→⋅=得2ac =，求出b =，3a c +=，即得解.【小问1详解】解：由已知得：22232a cb ac +-=由余弦定理得2223cos 24b ac B ac +-==.【小问2详解】解：BA BC →→⋅33cos 42ac B ac ===，解得2ac =，所以22b ac ==，b =，由余弦定理知2222cos b a c ac B =+-，于是()()22222cos 7a c ac ac B a c =+--=+-，解得3a c +=，故ABC 的周长为3+.19.如图，有一条宽为60m 的笔直的河道（假设河道足够长），规划在河道内围出一块直角三角形区域（图中ABC ）养殖观赏鱼，AB AC ⊥，顶点A 到河两岸的距离12,,,AE h AD h C B ==两点分别在两岸12,l l 上，设ABD α∠=.（1）若30α=︒，求养殖区域面积的最大值；（2）现拟沿着养殖区域ABC 三边搭建观赏长廊（宽度忽略不计），若130m h =，求观赏长廊总长()f α的最小值.【答案】（1）2；（2）1)m .【解析】【分析】（1）由题可得12ABC S h =，再利用基本不等式即得；（2）由题可知sin cos 1()30sin cos f ααααα++⎛⎫= ⎪⎝⎭，利用同角关系式可转化为601y t =-，然后利用函数的单调性即求.【小问1详解】当30α=︒时，21212,sin cos h h AB h AC h αα====，所以1212ABC S AB AC h =⋅= ，又因为1260h h +=≥（当且仅当1230h h ==时等号成立），所以12900h h ≤，于是12ABC S h =≤ ，因此，养殖区域面积的最大值为2.【小问2详解】由题意，3030,sin cos AB AC αα==，所以30sin cos BC αα===，所以ABC 的周长111sin cos 1()3030sin cos sin cos sin cos f ααααααααα++⎛⎫⎛⎫=++=⎪⎝⎭⎝⎭，其中0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.设sin cos t αα=+，则sin cos (1,4t πααα⎛⎫=+=+∈ ⎪⎝⎭，所以21sin cos 2t αα-=.所以216030112t y t t +=⋅=--，t ∈于是当t =时，min 1)y ==，即min ()1)f α=，因此，观赏长廊总长的最小值为1)m +.20.已知O 为坐标原点，对于函数()sin cos f x a x b x =+，称向量()OM a b =，为函数()f x 的伴随向量，同时称函数()f x 为向量OM的伴随函数.（1）设函数()3π)sin(π)2g x x x =---，试求()g x 的伴随向量OM ；（2）记向量(ON = 的伴随函数为()f x ，求当()85f x =且ππ36x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，时cos x 的值；（3）由（1）中函数()g x 的图象（纵坐标不变）横坐标伸长为原来的2倍，再把整个图象向右平移2π3个单位长度得到()h x 的图象，已知()23A -，，()26B ，，问在()y h x =的图象上是否存在一点P ，使得AP BP ⊥.若存在，求出P 点坐标；若不存在，说明理由.【答案】（1）()OM =（2）43310+（3）存在点()0,2P ，使得AP BP ⊥.【解析】【分析】（1）利用诱导公式求出()cos g x x x =+，从而得到()g x 的伴随向量；（2）根据向量得到()f x ，利用利用凑角法得到cos x ；（3）先求出()h x ，再设出P 点坐标，利用向量垂直关系得到方程，变形整理后得到2219252cos 224x x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，根据等式左右两边的取值范围，得到当且仅当0x =时，2192cos 22x ⎛⎫- ⎪⎝⎭和2254x -同时等于254，此时()0,2P .【小问1详解】()3π)sin(π)cos2g x x x x x =---=+，故()OM = ；【小问2详解】由题意得：()π8sin 2sin 35f x x x x ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭，故π4sin 35x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，由于ππ36x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，，所以ππ23x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭0，，所以π3cos 35x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以ππππππcos cos cos cos sin sin333333x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭3143525210⨯+⨯=.【小问3详解】()πcos 2cos 3g x x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，所以()12cos 2h x x =，假设存在点1,2cos 2P x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，使得AP BP ⊥ ，则2211112,2cos 32,2cos 644cos 18cos 1802222AP BP x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⋅=+-⋅--=-+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即2219252cos 224x x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，因为122cos 22x -≤≤，所以131952cos 2222x -≤-≤-，所以225191692cos 4224x ⎛⎫≤-≤⎪⎝⎭，又因为2252544x -≤，所以当且仅当0x =时，2192cos 22x ⎛⎫- ⎪⎝⎭和2254x -同时等于254，此时()0,2P ，故在函数()y h x =的图象上存在点()0,2P ，使得AP BP ⊥.21.已知向量(sin 2,cos 2)m x x =，12n = ，函数()f x m n =⋅ .（1）求函数()f x 的解析式和单调递增区间；（2）若在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，1()12,,22f A b a ⎡⎤==∈⎢⎥⎣⎦，,试判断这个三角形解的个数，并说明理由；（3）若π2π,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，关于x 的方程π((1)sin 6f x x λλ+++=恰有三个不同的实根1x ，2x ，3x ，求实数λ的取值范围及123x x x ++的值．【答案】（1）π()sin(26f x x =+，增区间是ππ[π,π36],Z k k k -+∈；（2）答案见解析；（3）13λ+≤<时，原方程有三个解123,,x x x ，且123π3ππ22x x x ++=+=．【解析】【分析】（1）由数量积的坐标表示计算出()f x 并由两角和的正弦公共化简；（2）由正弦定理求得sin B ，再利用a 的范围得出三角形解的个数；（3）化简方程得sin 1x =或1sin 2x λ-=，由此可得1122λ-≤<时原方程有三解，从而求得三解的和．【小问1详解】由题意1π()2cos 2sin(2)226f x m n x x x =⋅=+=+ ，由πππ2π22π262k x k -≤+≤+，得ππππ36k x k -≤≤+，所以增区间是ππ[π,π36],Z k k k -+∈；【小问2详解】π()sin(216f A A =+=，又0πA <<，即ππ13π2666A <+<，所以ππ262A +=，π6A =，由正弦定理sin sin a b A B =，π2sin116sin [2]2B a a ==∈，当1a =时，sin 1B =，0πB <<，因此π2B =，只有一解；112a <<时，1sin 1B a =>，无解；2a =时，a b =，A B =，三角形只有一解，12a <<时，11sin [,1)2B a =∈，又a b <，因此A B <，所以B 有两解，可能为锐角也可能为钝角．综上，112a <<时，三角形无解，1a =或2a =时三角形只有一解，12a <<时，三角形有两解；【小问3详解】方程π((1)sin 6f x x λλ+++=为πsin(2)(1)sin 2x x λλ+++=，即cos 2(1)sin x x λλ++=，22sin (1)sin 10x x λλ-++-=，(sin 1)(2sin 1)0x x λ--+=，sin 1x =或1sin 2x λ-=，因为π2π,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以πsin 12x x =⇒=，记1π2x =，原方程有三个解，则112λ-≠，ππ[,)62x ∈-时，sin y x =递增，π2π(,]23x ∈时，sin y x =递减，2π3sin 32=，π1sin()62-=-，πsin 12=，所以31122λ-≤<，即13λ+≤<时，1sin 2x λ-=有两解，记两解为23,x x ，则23πx x +=，13λ+≤<时，原方程有三个解123,,x x x ，且123π3ππ22x x x ++=+=．。

2019-2020学年上海市闵行区七宝中学高一（下）期中数学试卷试题数：21，总分：01.（填空题，3分）若cosα=- √32，则cos2α=___ ．2.（填空题，3分）已知sinα= 13，α∈（π2，π），则cosα=___ ．3.（填空题，3分）已知{a n}是等比数列，首项为3，公比为12，则前4项的和为___ ．4.（填空题，3分）若tanα=3，则sin2α=___ ．5.（填空题，3分）等差数列{a n}的前n项和为S n，a4=1，则S7=___ ．6.（填空题，3分）已知扇形的圆心角为2π3，半径为5，则扇形的面积S=___ ．7.（填空题，3分）在数列{a n}中，a2=5，a n+1-a n=2n（n∈N*），则数列{a n}的通项a n=___ ．8.（填空题，3分）我国南宋著名数学家秦九韶发现了从三角形三边求三角形面积的“三斜公式”，设△ABC内角A、B、C的对边分别为a、b、c，面积为S，则“三斜求积”公式为S=√1 4[a2c2−(a2+c2−b22)2]，若c2sinA=4sinC，B= π3，则用“三斜求积”公式求得△ABC的面积为___ ．9.（填空题，3分）函数y=sin(2x+π3)的图象向右平移π3个单位后与函数f（x）的图象重合，则下列结论中正确的是___ ．① f（x）的一个周期为-2π；② f（x）的图象关于x=- 7π12对称；③ x= 7π6是f（x）的一个零点；④ f（x）在(−π12，5π12)单调递减．10.（填空题，3分）已知函数f（x）=3sinx+4cosx，x1，x2∈[0，π]，则f（x1）-f（x2）的最大值是___ ．11.（填空题，3分）在锐角△ABC中，内角A，B，C对的边分别为a，b，c．若a2+b（b- √3 a）=1，c=1，则√3 a-b的取值范围为___ ．12.（填空题，3分）已知数列{a n}满足a1=4，a n=2a n-1+2n（n≥2，n∈N*），若不等式2n2-n-3＜（5-λ）a n对任意n∈N*恒成立，则实数λ的取值范围是___ ．13.（单选题，3分）函数y=2sin πx6，x∈R的最小正周期为（）A.12B.6C. π12D. π614.（单选题，3分）已知k∈Z，下列各组角中，终边相同的是（）A.2kπ与kπB.2kπ+π与4kπ±πC.kπ+ π6与2kπ± π6D. kπ2与kπ± π215.（单选题，3分）已知函数f（x）= √3sinωx+cosωx（ω＞0）在[0，π]上有两个零点，则ω的取值范围为（）A.（116，176）B.[ 116，176）C.（53，83）D.[ 53，83）16.（单选题，3分）有一个三人报数游戏：首先A报数字1，然后B报下两个数字2，3，接下来C报下三个数字4，5，6，然后轮到A报下四个数字7，8，9，10，依次循环，直到报出10000，则A报出的第2020个数字为（）A.5979B.5980C.5981D.以上都不对17.（问答题，0分）在△ABC中，三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且a2+c2-b2=ac．（1）求B；（2）若a+c=6，三角形的面积S△ABC=2 √3，求b．18.（问答题，0分）已知S n为{a n}的前n项和，{b n}是等比数列且各项均为正数，且S n=3 2n2+12n，b1=2，b2+b3= 32．（1）求{a n}和{b n}的通项公式；（2）记c n=a n•b n，求数列{c n}的前n项和T n．，现要在其中圈19.（问答题，0分）如图，有一块扇形草地OMN，已知半径为R，∠MON= π2̂上，且线段AB平行于线段出一块矩形场地ABCD作为儿童乐园使用，其中点A、B在弧MNMN．̂的一个三等分点，求矩形ABCD的面积S；（1）若点A为弧MN̂上何处时，矩形ABCD的面积S最大？最大值为多少？（2）设∠AOB=θ，求A在MN20.（问答题，0分）设正项数列{a n}的前n项和为S n，首项为1，q为非零正常数，数列{lg（a n）}是公差为lgq的等差数列．（1）求数列{S n}的通项公式；}是递增数列；（2）求证：数列{S nS n+1（3）是否存在正常数c，使得{lg（c-S n）}为等差数列？若存在，求出c的值和此时q的取值范围；若不存在，说明理由．21.（问答题，0分）数列{a n}满足a n a n+1a n+2=a n+a n+1+a n+2（a n a n+1≠1，n∈N*），且a1=1，）的形式表示．a2=2，若a n=Asin（ωx+φ）+c（A≠0，ω＞0，|φ|＜π2（1）求a3的值；（2）证明3为数列{a n}的一个周期，并用正整数k表示ω；（3）求{a n}的通项公式．2019-2020学年上海市闵行区七宝中学高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析试题数：21，总分：01.（填空题，3分）若cosα=- √32，则cos2α=___ ．【正确答案】：[1] 12【解析】：由已知利用二倍角的余弦函数公式即可计算求值得解．【解答】：解：∵cosα=- √32，∴cos2α=2cos2α-1=2× (−√32)2-1= 12．故答案为：12．【点评】：本题主要考查了二倍角的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．2.（填空题，3分）已知sinα= 13，α∈（π2，π），则cosα=___ ．【正确答案】：[1]- 2√23【解析】：由sinα的值，及α的范围，判断出cosα为负数，利用同角三角函数间基本关系求出cosα的值即可．【解答】：解：∵sinα= 13，α∈（π2，π），∴cosα＜0，则cosα=- √1−sin2α =- 2√23，故答案为：- 2√23【点评】：此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．3.（填空题，3分）已知{a n}是等比数列，首项为3，公比为12，则前4项的和为___ ．【正确答案】：[1] 458【解析】：利用等比数列前n 项和公式能求出等比数列前4项的和．【解答】：解：{a n }是等比数列，首项为3，公比为 12， 则前4项的和为S 4= 3(1−124)1−12= 458 ．故答案为： 458 ．【点评】：本题考查等比数列的前4项和的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4.（填空题，3分）若tanα=3，则sin2α=___ ． 【正确答案】：[1] 35【解析】：利用同角三角函数的基本关系以及二倍角的正弦公式，把要求的式子化为 2tanα1+tan 2α ，把已知条件代入运算求得结果．【解答】：解：∵tanα=3， ∴sin2α=2sinαcosα= 2sinαcosαsin 2α+cos 2α = 2tanα1+tan 2α = 2×31+32 = 35． 故答案为： 35 ．【点评】：本题主要考查同角三角函数的基本关系的应用，二倍角的正弦公式的应用，属于基础题．5.（填空题，3分）等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 4=1，则S 7=___ ． 【正确答案】：[1]7【解析】：先由等差数列的性质可得a 1+a 7=2a 4，再根据等差数列的求和公式代入即可．【解答】：解：根据题意，等差数列{a n }中，a 1+a 7=2a 4， 则S 7=a 1+a 72×7=7a 4=7， 故答案为7．【点评】：本题考查等差数列的前n 项和公式，以及等差数列的性质应用，属于基础题． 6.（填空题，3分）已知扇形的圆心角为 2π3 ，半径为5，则扇形的面积S=___ ． 【正确答案】：[1]25π3【解析】：利用S= 12lr=12αr2，即可求得结论．【解答】：解：∵扇形的圆心角为2π3，半径为5，∴S= 12lr=12αr2 = 12×2π3×25 = 25π3故答案为：25π3【点评】：本题考查扇形面积的计算，考查学生的计算能力，属于基础题．7.（填空题，3分）在数列{a n}中，a2=5，a n+1-a n=2n（n∈N*），则数列{a n}的通项a n=___ ．【正确答案】：[1]2n+1【解析】：直接利用递推关系式和累加法求出数列的通项公式．【解答】：解：由题意可得：{a n−a n−1=2n−1a n−1−a n−2=2n−2…a2−a1=2，利用累加法，得：a n−a1=2(2n−1−1)2−1=2n−2，a1=3，于是：a n=2n+1．故答案为：2n+1【点评】：本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，累加法在求数列通项公式中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．8.（填空题，3分）我国南宋著名数学家秦九韶发现了从三角形三边求三角形面积的“三斜公式”，设△ABC内角A、B、C的对边分别为a、b、c，面积为S，则“三斜求积”公式为S=√1 4[a2c2−(a2+c2−b22)2]，若c2sinA=4sinC，B= π3，则用“三斜求积”公式求得△ABC的面积为___ ．【正确答案】：[1] √3【解析】：根据已知利用正弦定理可得ac=4，根据余弦定理可得a2+c2-b2=4，利用三斜公式即可求解．【解答】：解：根据正弦定理，由c2sinA=4sinC，得ac=4，则由B= π3，得：a2+c2-b2=4，则△ABC的面积S= √14(16−4) = √3．故答案为：√3．【点评】：本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．9.（填空题，3分）函数y=sin(2x+π3)的图象向右平移π3个单位后与函数f（x）的图象重合，则下列结论中正确的是___ ．① f（x）的一个周期为-2π；② f（x）的图象关于x=- 7π12对称；③ x= 7π6是f（x）的一个零点；④ f（x）在(−π12，5π12)单调递减．【正确答案】：[1] ① ② ③【解析】：推导出f（x）=sin[2（x- π3）+ π3]=sin（2x- π3），由此能求出结果．【解答】：解：∵函数y=sin（2x+ π3）的图象向右平移π3个单位后与函数f（x）的图象重合，∴f（x）=sin[2（x- π3）+ π3]=sin（2x- π3），∴f（x）的一个周期为-2π，故① 正确；y=f（x）的对称轴满足：2x- π3=kπ+ π2，k∈Z，∴当k=-2时，y=f（x）的图象关于x=- 7π12对称，故② 正确；由f（x）=sin（2x- π3）=0，得x= π6+ kπ2，∴x= 7π6是f（x）的一个零点，故③ 正确；当x∈（- π12，5π12）时，2x- π3∈（- π2，π2），∴f（x）在（- π12，5π12）上单调递增，故④ 错误．故答案为：① ② ③ ．【点评】：本题考查命题真假的判断，考查三角函数的平移变换、三角函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，属于中档题．10.（填空题，3分）已知函数f（x）=3sinx+4cosx，x1，x2∈[0，π]，则f（x1）-f（x2）的最大值是___ ．【正确答案】：[1]9【解析】：本题先将函数f（x）转化成正弦函数的形式，然后结合正弦函数的图象判断出函数f（x）在区间[0，π]上的最大值和最小值，从而得出结果．【解答】：解：由题意，可知：f（x）=3sinx+4cosx=5•（35 sinx+ 45cosx）=5sin（x+θ），其中s inθ= 45，cosθ= 35．∵sinθ= 45，可知sin π4= √22≤45≤1=sinπ2，∴ π4≤θ≤π2对于函数f（x）=5sin（x+θ），可知：sinx向左平移θ个单位得到sin（x+θ），再将sin（x+θ）的图象沿y轴伸长到原来的5倍得到5sin（x+θ）．由题意，可知求f（x1）-f（x2）的最大值就是求函数f（x）=5sin（x+θ）在区间[0，π]上的最大值与最小值之差．又函数f（x）=5sin（x+θ）在区间[0，π]上的图象如下：由图象可知，在区间[0，π]上，当x= π2−θ时，f（x）取最大值5，当x=π时，f（x）取最小值5sin（π+θ）=-5sinθ=-4．∴在区间[0，π]上，f（x1）-f（x2）的最大值是5-（-4）=9．故答案为：9．【点评】：本题考查了三角函数的转化以及函数图象的变换知识，本题要特别注意细节点不能粗心大意．属中档题．11.（填空题，3分）在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 对的边分别为a ，b ，c ．若a 2+b （b- √3 a ）=1，c=1，则 √3 a-b 的取值范围为___ ． 【正确答案】：[1]（1， √3 ）【解析】：先根据余弦定理求得角C ，结合正弦定理把 √3 a-b 转化为2（ √3 sinA-sinB ），再结合AB 之间的关系求出角A 的范围，与正弦函数相结合即可求得结论．【解答】：解：因为在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 对的边分别为a ，b ，c ． ∵a 2+b （b- √3 a ）=1，c=1⇒a 2+b 2- √3 ab=c 2⇒2cosC= √3 ⇒cosC= √32 ⇒C=30°， ∴ csinC = asinA = bsinB = 1sin30° =2； ∴a=2sinA ，b=2sinB ；∴ √3 a-b=2（ √3 sinA-sinB ）=2[ √3 sinA-sin （150°-A ）]=2[ √3 sinA-（ 12 cosA+ √32 sinA ）]=2（ √32sinA- 12cosA ）=2sin （A-30°）； ∵0°＜A ＜90°，0°＜B ＜90°，A+B=150°； ∴60°＜A ＜90°；∴30°＜A-30°＜60°⇒2sin （A-30°）∈（1， √3 ）； 故 √3 a-b∈（1， √3 ）； 故答案为：（1， √3 ）．【点评】：本题主要考查了正弦定理和余弦定理的运用．考查了学生对三角函数基础知识的综合运用．12.（填空题，3分）已知数列{a n }满足a 1=4，a n =2a n-1+2n （n≥2，n∈N *），若不等式2n 2-n-3＜（5-λ）a n 对任意n∈N*恒成立，则实数λ的取值范围是___ ． 【正确答案】：[1] (−∞，378) 【解析】：首先利用构造新数列法的应用求出数列的通项公式，进一步利用函数的恒成立问题的应用和函数的导数的应用求出结果．【解答】：解：数列{a n }满足a 1=4，a n =2a n-1+2n （n≥2，n ∈N *），则： a n 2n −a n−12n−1=1 （常数），所以数列{ a n2n }是以 421=2 为首项，1为公差的等差数列． 所以 an 2n =2+(n −1)=n +1 ，整理得 a n =(n +1)•2n ，不等式2n 2-n-3＜（5-λ）a n 对任意n∈N *恒成立，所以5−λ＞(n+1)(2n−3)(n+1)•2n = 2n−32n，所以λ＜5−2n−32n对任意的n∈N*恒成立，所以设f（n）= 2n−32n ，故f′(n)=2−(2n−3)ln22n，当n=1，2时，f′（n）＞0，当n≥3时，f′（n）＜0，所以f（2）= 14，f（3）= 38．所以λ＜5−38=378．故答案为：（- ∞，378）．【点评】：本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，恒成立问题的应用，函数的导数的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．13.（单选题，3分）函数y=2sin πx6，x∈R的最小正周期为（）A.12B.6C. π12D. π6【正确答案】：A【解析】：由题意利用函数y=Asin（ωx+φ）的周期为2πω，得出结论．【解答】：解：函数y=2sin πx6，x∈R的最小正周期为2ππ6=12，故选：A．【点评】：本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的周期性，利用了函数y=Asin（ωx+φ）的周期为2πω，属于基础题．14.（单选题，3分）已知k∈Z，下列各组角中，终边相同的是（）A.2kπ与kπB.2kπ+π与4kπ±πC.kπ+ π6与2kπ± π6D. kπ2与kπ± π2【正确答案】：B【解析】：分别写出选项中所表示的终边所在的角的集合，逐一核对即可．【解答】：解：2kπ（k∈Z）表示终边在x轴非负半轴上的角的集合，kπ（k∈Z）表示终边在x 轴上的角的集合，两组角终边不同；2kπ+π与4kπ±π（k∈Z）都表示终边在x轴非正半轴上的角的集合，两组角终边相同；kπ+ π6（k∈Z）表示终边与π6和7π6终边相同的角的集合，2kπ± π6（k∈Z）表示终边与π6和- π6终边相同的角的集合，两组角终边不同；kπ2（k∈Z）表示终边在坐标轴上的角的集合，kπ± π2（k∈Z）表示终边在y轴上的角的集合，两组角终边不同；故选：B．【点评】：本题考查了终边相同的角的概念，属于基础题．15.（单选题，3分）已知函数f（x）= √3sinωx+cosωx（ω＞0）在[0，π]上有两个零点，则ω的取值范围为（）A.（116，176）B.[ 116，176）C.（53，83）D.[ 53，83）【正确答案】：B【解析】：利用辅助角公式化积，由x的范围得到ωx+π6∈[ π6，ωπ+π6]，再由函数f（x）在[0，π]上有两个零点，可得2π≤ωπ+ π6＜3π，由此求得ω的取值范围．【解答】：解：f（x）= √3sinωx+cosωx= 2sin(ωx+π6)，∵x∈[0，π]，∴ ωx+π6∈[ π6，ωπ+π6]，要使函数f（x）在[0，π]上有两个零点，则2π≤ωπ+ π6＜3π，解得：116≤ω＜176．∴ω的取值范围为[ 116，176）．故选：B．【点评】：本题考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．属于中档题．16.（单选题，3分）有一个三人报数游戏：首先A报数字1，然后B报下两个数字2，3，接下来C报下三个数字4，5，6，然后轮到A报下四个数字7，8，9，10，依次循环，直到报出10000，则A报出的第2020个数字为（）A.5979B.5980C.5981D.以上都不对【正确答案】：B【解析】：首先分析出A第n次报数的个数为3n-2，进一步求出3人以公报的次数，进一步利用前n项和公式的应用求出结果．【解答】：解：由题意可得：A第n次报数的个数为3n-2，则A第n次报完数后共报的个数为T n=n[1+(3n−2)]2=n(3n−1)2．再代入正整数n，使得T n≥2020，解得：n的最小值为37，得T37=2035．而A第37次报时，3人总共报了36×3+1=109次，当A第109次报完数3人总的报数个数为S n=1+2+3+⋯+109=109×(109+1)2=5995．即A报出的第2035个数字为5995，故A报出的第2020个数字为5980．故选：B．【点评】：本题考查的知识要点：数列的通项公式，数列的前n项和公式，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．17.（问答题，0分）在△ABC中，三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且a2+c2-b2=ac．（1）求B；（2）若a+c=6，三角形的面积S△ABC=2 √3，求b．【正确答案】：【解析】：（1）由已知结合余弦定理可求cosB，进而可求B；（2）由已知结合三角形的面积公式可求ac，进而可求．【解答】：解：（1）因为a2+c2-b2=ac．由余弦定理可得，cosB= a 2+c2−b22ac= 12，因为B为三角形的内角，所以B=π3；（2）∵a+c=6，三角形的面积S△ABC= 12acsin13π = √34ac =2 √3，∴ac=8，∵a2+c2-b2=ac，∴（a+c）2-b2=3ac，∴36-b2=24，∴b=2 √3【点评】：本题主要考查了余弦定理，三角形的面积公式的简单应用，属于中档试题．18.（问答题，0分）已知S n为{a n}的前n项和，{b n}是等比数列且各项均为正数，且S n=3 2n2+12n，b1=2，b2+b3= 32．（1）求{a n}和{b n}的通项公式；（2）记c n=a n•b n，求数列{c n}的前n项和T n．【正确答案】：【解析】：（1）先由a n=S n-S n-1求得a n，再检验n=1时是否适合，从而求得a n．设等比数列{b n}的公比为q，由题意列出q的方程，求得q，进而求得b n；（2）由（1）求得c n，再利用错位相减法求其前n项和T n．【解答】：解：（1）∵S n = 32n 2+12 n ，∴当n≥2时，有a n =S n -S n-1= 32n 2+12 n-3(n−1)22−12(n −1) =3n-1，又当n=1时，有S 1= 32+12=2=a 1也适合，∴a n =3n-1．设等比数列{b n }的公比为q ，由题意得： {q ＞0b 1=2b 1(q +q 2)=32，解得q= 12 ，故 b n =(12)n−2；（2）由（1）得c n =（3n-1）•（ 12）n-2，∴T n =2×（ 12 ）-1+5×（ 12 ）0+8×（ 12 ）1+…+（3n-1）×（ 12）n-2 ① ， 又 12T n =2×（ 12 ）0+5×（ 12 ）1+8×（ 12 ）2+…+（3n-1）×（ 12 ）n-1 ② ，由 ① - ② 得： 12T n =4+3[1+ 12 +（ 12 ）2+…+（ 12 ）n-2]-（3n-1）×（ 12 ）n-1=4+3× 1−(12)n−11−12 +（1-3n ）×（ 12 ）n-1=10-（3n+5）•（ 12 ）n-1 ∴ T n =20−3n+52n−2．【点评】：本题主要考查数列通项公式的求法及错位相减法在数列求和中的应用，属于基础题． 19.（问答题，0分）如图，有一块扇形草地OMN ，已知半径为R ，∠MON= π2 ，现要在其中圈出一块矩形场地ABCD 作为儿童乐园使用，其中点A 、B 在弧 MN ̂ 上，且线段AB 平行于线段MN ．（1）若点A 为弧 MN̂ 的一个三等分点，求矩形ABCD 的面积S ； （2）设∠AOB=θ，求A 在 MN̂ 上何处时，矩形ABCD 的面积S 最大？最大值为多少？【正确答案】：【解析】：（1）作OH⊥AB 于点H ，交线段CD 于点E ，连接OA 、OB ，求出AB ，EH ，可得矩形ABCD 的面积S ；（2）设∠AOB=θ（0＜θ＜ π2 ），求出AB ，EH ，可得矩形ABCD 的面积S ，再求最大值．【解答】：解：（1）如图，作OH⊥AB 于点H ，交线段CD 于点E ，连接OA 、OB ， ∴∠AOB= π6 ，∴AB=2Rsin π12 ，OH=Rcos π12 ， OE=DE= 12 AB=Rsin π12 ，∴EH=OH -OE=R （cos π12 -sin π12 ）， S=AB •EH=2R 2（sin π12 cos π12 -sin 2 π12 ）= √3−12R 2，（2）设∠AOB=θ（0＜θ＜ π2 ），则AB=2Rsin θ2 ，OH=Rcos θ2 ，oe= 12 AB=Rcos θ2 ，OE= 12 AB=Rsin θ2 ， ∴EH=OH -OE=R （cos θ2 -sin θ2 ），S=AB•EH=R 2（2sin θ2 cos θ2 -2sin 2 θ2 ）=R 2（sinθ+cosθ-1）=R 2[ √2 sin （θ+ π4 ）-1]， ∵0＜θ＜ π2 ， ∴ π4＜θ+ π4＜ 3π4 ， ∴θ+ π4 = π2 即θ= π4 时，S max =（ √2 -1）R 2，此时A 在弧MN 的四等分点处． 答：当A 在弧MN 的四等分点处时，S max =（ √2 -1）R 2．【点评】：本题考查扇形的面积公式，考查三角函数的性质，比较基础．20.（问答题，0分）设正项数列{a n }的前n 项和为S n ，首项为1，q 为非零正常数，数列{lg （a n ）}是公差为lgq 的等差数列． （1）求数列{S n }的通项公式；（2）求证：数列 {S nSn+1} 是递增数列；（3）是否存在正常数c ，使得{lg （c-S n ）}为等差数列？若存在，求出c 的值和此时q 的取值范围；若不存在，说明理由．【正确答案】：【解析】：（1）根据题意得a 1=1，根据题意可得lg （a n ）=lg （a 1）+（n-1）lgq=lg1+（n-1）lgq=lgq n-1，即a n =q n-1，分当q=1时，当q≠1时，两种情况写出S n （2）当q=1时，S n =n ， S nSn+1=1- 1n+1 随着n 的增大而增大，当q ＞0，q≠1时， S nSn+1- Sn+1S n+2=1−q n 1−q n+1 - 1−q n+11−q n+2 = −q n (1−q )2(1−q n+1)(1−q n+2) ＜0，可得数列 {S nS n+1} 是递增数列； （3）假设存在正常数c 使得{lg （c-S n ）}为等差数列，若{lg （c-S n ）}为等差数列，可得q≠1，lg （c- 11−q + q n1−q ）=lg q n1−q =nlgq-lg （1-q ）为等差数列， 即可求出c= 11−q（0＜q ＜1）．【解答】：解：（1）根据题意得a 1=1， 因为数列{lg （a n ）}是公差为lgq 的等差数列，所以lg （a n ）=lg （a 1）+（n-1）lgq=lg1+（n-1）lgq=lgq n-1， 所以a n =q n-1， 当q=1时，S n =n ， 当q≠1时，S n = 1×(1−q n )1−q = 1−q n1−q ，所以 S n ={nq =11−q n1−qq ＞0且q ≠1．（2）证明：当q=1时，S n =n ， 所以 S nSn+1= n n+1 =1- 1n+1 随着n 的增大而增大，当q ＞0，q≠1时， S n = 1−q n1−q ，S n S n+1= 1−q n1−q n+1 ，由S nS n+1 - S n+1S n+2= 1−q n1−q n+1- 1−q n+11−q n+2= −q n(1−q)2(1−q n+1)(1−q n+2)＜0，可得数列{S nS n+1}是递增数列；（3）假设存在正常数c使得{lg（c-S n）}为等差数列，所以C n=lg（c-S n）=lg（c- 1−q n1−q），数列{C n}是等差数列，即C1=lg（C-1），C2=lg（c- 1−q21−q）=lg（c-1-q），C3=lg（c- 1−q31−q）=lg（c-1-q2-q），（c-1-q）2=（c-1）（c-1-q2-q），解得c= 11−q，因此c＞0，所以0＜q＜1，此时C n=lg（11−q - 1−q n1−a）=lg q n1−q，因为C n+1-C n=lg q n+11−q -lg q n1−q=lgq，所以数列{C n}是等差数列，因此存在正常数c= 11−q，使得{lg（c-S n）}为等差数列，且0＜q＜1．【点评】：本题考查了等差数列，等比数列的性质、考查了推理能力与计算能力，属于基础题．21.（问答题，0分）数列{a n}满足a n a n+1a n+2=a n+a n+1+a n+2（a n a n+1≠1，n∈N*），且a1=1，a2=2，若a n=Asin（ωx+φ）+c（A≠0，ω＞0，|φ|＜π2）的形式表示．（1）求a3的值；（2）证明3为数列{a n}的一个周期，并用正整数k表示ω；（3）求{a n}的通项公式．【正确答案】：【解析】：（1）代值计算即可，（2）分别令n=1，2，3，即可证明，根据周期公式即可求出，（3）分别由a1=1，a2=2，a3=3，可得1=Asin（2π3+φ）+c，2=-Asin（π3+φ）+c，3=Asinφ+c，解得即可求出．【解答】：解：（1）当a 1=1，a 2=2，a 1a 2a 3=a 1+a 2+a 3，解得a 3=3； （2）当n=2时，6a 4=2+3+a 4，解得a 4=1， 当n=3时，3a 5=1+3+a 5，解得a 5=2， …，可得a n+3=a n ，当a 1=1，a 2=2，a 3=3； 故3为数列{a n }的一个周期， 则2kπω=3，k∈N*，则 ω=2kπ3(k ∈N ∗) ；（3）由（2）可得a n =Asin （ 2π3 n+φ）+c ，则1=Asin （ 2π3 +φ）+c ，2=-Asin （ π3 +φ）+c ，3=Asinφ+c ， 即1=A• √32 cosφ-A• 12 sinφ+c ， ① 2=-A• √32 cosφ-A• 12 sinφ+c ， ② 由 ① + ② ，可得3=-Asinφ+2c ， ∴c=2，Asinφ=1，① - ② ，可得-1=A• √3 cosφ， 则tanφ=- √3 ， ∵|φ|＜ π2 ， ∴φ=- π3 ， ∴A=-2√33， 故 a n =−2√33sin (2π3n −π3)+2 ．【点评】：本题考查了数列的递推公式和三角函数的解析式，考查了运算能力和转化能力，属于中档题．。

6.1.1任意角及其度量（1）任意角一、单选题1．（2020·上海市奉贤区奉城高级中学高一期末）下列各组角中，两个角终边不相同的一组是（ ） A ．43-与677B ．900与1260-C ．120-与960D ．150与6302．（2020·上海高一课时练习）若α是第二象限角，则2α是（ ） A ．第一象限角B ．第一象限角或第二象限角C ．第一象限角或第三象限角D ．第一象限角或第四象限角3．（2020·上海市七宝中学高一期中）已知k ∈Z ，下列各组角中，终边相同的是（ ） A ．2k π与k π B ．2k ππ+与4k ππ±C ．6k ππ+与26k ππ±D ．2k π与2k ππ±4．（2020·上海高一课时练习）与角240︒终边相同的角的集合是（ ）A ．5,3k k Z ααππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭B ．52,3k k Z ααππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭C ．4,3k k Z ααππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭D ．42,3k k Z ααππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭5．（2020·上海高一课时练习）终边在y 轴上的角的集合不能表示成( )A ．2,2k k Z πθθπ⎧⎫=±∈⎨⎬⎩⎭B ．1,22k k Z πθθπ⎧⎫=±∈⎨⎬⎩⎭C ．,2k k Z πθθπ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭D ．,2k k Z πθθπ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭6．（2019·上海市宜川中学高一期中）已知下列四组角的表达式(各式中k Z ∈)()123k ±ππ与3±k ππ；()22k±ππ与22k +ππ；()32k -ππ与2k ππ+；()42k ±ππ与k π， 其中表示具有相同终边的角的组数是（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3二、填空题7．（2021·上海市行知中学高一期末）如果α是第三象限角，则3α的终边一定不在第_________象限.8．（2018·上海浦东新区·华师大二附中高一期末）2020是第______象限角.9．（2020·上海浦东新区·华师大二附中高一月考）已知2020θ=︒，则θ的终边在第________象限10．（2020·上海黄浦区·高一期末）大于360-︒且终边与角75︒重合的负角是________.11．（2020·上海市洋泾中学高一期末）与4π角终边重合的角的集合是________ 12．（2020·上海高一课时练习）在[0,2]π中与274π终边相同的角为________. 13．（2020·上海高一课时练习）若α是第三象限角，则2α是第______象限的角. 14．（2020·上海高一课时练习）终边在第一、第三象限平分线上的角α的集合可表示为____________.15．（2020·上海高一课时练习）四个角的大小分别为170°，480-︒，1500-︒，870°，其中终边在第二象限的角有_________.16．（2020·上海高一课时练习）与8弧度终边相同的所有角是__________；它们是第________象限角，其中最小的正角为________；最大的负角为_________.17．（2020·上海高一课时练习）终边在第二、四象限角平分线上的角的集合：______________． 18．（2017·上海市金山中学高一月考）1200的角属于第_________象限.三、解答题19．（2020·上海高一课时练习）在平面直角坐标系中，用阴影部分表示下列角的集合：（1）222,63A k k k Z ππαπαπ⎧⎫=++∈⎨⎬⎩⎭； （2）,63B k k k Z ππαπαπ⎧⎫=+<+∈⎨⎬⎩⎭.20．（2020·上海高一课时练习）在下列角的集合中，找出终边位于4π-到4π之间的所有角：（1）3,4A k k Z πααπ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭； （2）{}|360130,︒︒==⋅+∈B k k Z ββ.21．（2020·上海高一课时练习）如图，圆周上点A 依逆时针方向做匀速圆周运动，已知点A在1min 内转过的角度为()0180θθ︒︒<<，2min 到达第三象限，15min 回到原来位置，求θ.22．（2020·上海高一课时练习）已知0360α︒︒<<，且角α的7倍角的终边与角α的终边重合，求角α.23．（2020·上海高一课时练习）写出终边与x 轴负半轴重合的角的集合，并求在360~720-︒︒之间的角.6.1.1任意角及其度量（1）任意角一、单选题1．（2020·上海市奉贤区奉城高级中学高一期末）下列各组角中，两个角终边不相同的一组是（ ） A ．43-与677 B ．900与1260-C ．120-与960D ．150与630【答案】D【分析】由终边相同的角的性质逐项判断即可得解.【详解】对于A ，因为433602677-+⨯=，所以43-与677终边相同； 对于B ，因为90036061260-⨯=-，所以900与1260-终边相同； 对于C ，因为1203603960-+⨯=，所以120-与960终边相同； 对于D ，若150360630k +⨯=，解得43k Z =∉，所以150与630终边不同.故选：D.2．（2020·上海高一课时练习）若α是第二象限角，则2α是（ ） A ．第一象限角B ．第一象限角或第二象限角C ．第一象限角或第三象限角D ．第一象限角或第四象限角【答案】C【分析】根据α是第二象限角，得22,2k k k Z ππαππ+<<+∈，,422k k k Z παπππ+<<+∈，即可得解.【详解】由题若α是第二象限角，22,2k k k Z ππαππ+<<+∈，,422k k k Z παπππ+<<+∈，当k 为偶数时，2α终边在第一象限，当k 为奇数时，2α终边在第三象限， 则2α是第一象限角或第三象限角.故选：C 【点睛】此题考查根据角的终边所在象限判断其半角所在象限，关键在于熟练掌握任意角的概念.3．（2020·上海市七宝中学高一期中）已知k ∈Z ，下列各组角中，终边相同的是（ ） A ．2k π与k π B ．2k ππ+与4k ππ±C ．6k ππ+与26k ππ±D ．2k π与2k ππ±【答案】B【分析】利用终边相同的角的概念，对选项进行分析即可解得.【详解】A 不是终边相同的角，2k π终边在x 轴的正半轴上，k π终边在x 轴轴上；B 是终边相同的角；C 不是终边相同的角 6k ππ+终边落在直线y x=上， 26k ππ±终边落在,0y x =≥,0y x x =≥两条射线上； D 不是终边相同的角，2k π终边落在坐标轴上，2k ππ±终边落在y 轴上.故选：B【点睛】本题考查了终边相同的角的概念，属于简单题目，解题时可以应用排除法，对k 取值进行比较验证.4．（2020·上海高一课时练习）与角240︒终边相同的角的集合是（ ）A ．5,3k k Z ααππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭B ．52,3k k Z ααππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭C ．4,3k k Z ααππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭D ．42,3k k Z ααππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭【答案】D【分析】利用终边相同的角的定义，结合42403π︒=，即可求解. 【详解】42403π︒=，∴与角240︒终边相同的角的集合是42,3k k Z ααππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭，故选：D【点睛】本题考查终边相同的角的定义，属于简单题.5．（2020·上海高一课时练习）终边在y 轴上的角的集合不能表示成( )A ．2,2k k Z πθθπ⎧⎫=±∈⎨⎬⎩⎭B ．1,22k k Z πθθπ⎧⎫=±∈⎨⎬⎩⎭C ．,2k k Z πθθπ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭D ．,2k k Z πθθπ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭【答案】B【分析】分别写出终边落在y 轴正半轴和负半轴上的角的集合，然后进行分析运算即可得解. 【详解】终边落在y 轴正半轴上的角的集合为：2,(21),22k k Z k k Z ππθθπθθπ⎧⎫⎧⎫=+∈==+-∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，终边落在y 轴负半轴上的角的集合为：2,(21),22k k Z k k Z ππθθπθθπ⎧⎫⎧⎫=-∈==-+∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，故终边在y 轴上的角的集合可表示成为2,2k k Z πθθπ⎧⎫=±∈⎨⎬⎩⎭， 故A 选项可以表示；将2,2k k Z πθθπ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭与(21),2k k Z πθθπ⎧⎫=-+∈⎨⎬⎩⎭取并集为： ,2k k Z πθθπ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭，故C 选项可以表示；将(21),2k k Z πθθπ⎧⎫=+-∈⎨⎬⎩⎭与2,2k k Z πθθπ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭取并集为： ,2k k Z πθθπ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭，故终边在y 轴上的角的集合可表示成为,2k k Z πθθπ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭，故D选项可以表示；对于B 选项，当1k =时，0θ=或θπ=，显然不是终边落在y 轴上的角； 综上，B 选项不能表示，满足题意.故选：B .【点睛】本题考查轴线角的定义，侧重对基础知识的理解的应用，考查逻辑思维能力和分析运算能力，属于常考题.6．（2019·上海市宜川中学高一期中）已知下列四组角的表达式(各式中k Z ∈)()123k ±ππ与3±k ππ；()22k±ππ与22k +ππ；()32k -ππ与2k ππ+；()42k ±ππ与k π， 其中表示具有相同终边的角的组数是（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】B【分析】利用特值排除（1），利用终边判断（2），（3），（4） 【详解】对（1），当41,33k k πππ=+=，不存在23k ππ±与之对应，不正确；对（2），2k ππ±表示终边在y 轴上的角，2+2k ππ表示终边在坐标轴y 轴正半轴的角；不正确；对（3），+22k k ππππ-，表示终边在y 轴上的角，正确对（4），2k ππ±表示 终边在x 轴负半轴的角；k π表示终边在x 轴上的角, 不正确；故选B 【点睛】本题考查终边相同的角的判断，是基础题 二、填空题7．（2021·上海市行知中学高一期末）如果α是第三象限角，则3α的终边一定不在第_________象限. 【答案】二【分析】根据α是第三象限角，求得3α的范围，分别令3k m =，31k m =+，32,()k m m Z 可判断3α终边所在象限，即可得答案. 【详解】由题意得：360180360270,()k k k Z α⋅︒+︒<<⋅︒+︒∈，所以1206012090,()3k k k Z α⋅︒+︒<<⋅︒+︒∈，当3,()km mZ 时，3606036090,()3m m m Z α⋅︒+︒<<⋅︒+︒∈，则3α的终边在第一象限；当31,()k m mZ 时，360180360210,()3m m m Z α⋅︒+︒<<⋅︒+︒∈，则3α的终边在第三象限； 当32,()km mZ 时，360300360330,()3m m m Z α⋅︒+︒<<⋅︒+︒∈，则3α的终边在第四象限，所以3α的终边一定不在第二象限，故答案为：二 8．（2018·上海浦东新区·华师大二附中高一期末）2020是第______象限角. 【答案】三【分析】把2020︒写成360k α+︒,)0,360,k Z α⎡∈∈⎣，然后判断α所在的象限，则答案可求． 【详解】20205360220︒=⨯︒+︒，2020∴︒与220︒角的终边相同，为第三象限角．故答案为三．【点睛】本题考查了象限角，考查了终边相同的角，是基础题．9．（2020·上海浦东新区·华师大二附中高一月考）已知2020θ=︒，则θ的终边在第________象限 【答案】三【分析】利用终边相同的角的公式{}360,S k k Z ββα==+⋅∈化简可得. 【详解】2020θ=︒,2020=5360+220θ∴=︒⨯220在第三象限，2020θ=︒在第三象限.故答案为：三 【点睛】本题考查终边相同的角所在的象限.所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合：{}360,S k k Z ββα==+⋅∈或{}2,S k k Z ββαπ==+∈．10．（2020·上海黄浦区·高一期末）大于360-︒且终边与角75︒重合的负角是________. 【答案】285-︒【分析】根据终边相同的角的概念进行判断.【详解】大于360-︒且终边与角75︒重合的负角是285-︒.故答案为：285-︒【点睛】本题考查终边相同的角，属于基础题.11．（2020·上海市洋泾中学高一期末）与4π角终边重合的角的集合是________ 【答案】{|2,}4ππ=+∈x x k k Z【分析】根据终边相同的角的定义求解.【详解】由终边相同的角的定义得： 与4π角终边重合的角是2,4x k k Z ππ=+∈， 所以与4π角终边重合的角的集合是{|2,}4ππ=+∈x x k k Z . 故答案为：{|2,}4ππ=+∈x x k k Z 【点睛】本题主要考查终边相同的角的定义，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.12．（2020·上海高一课时练习）在[0,2]π中与274π终边相同的角为________. 【答案】34π 【分析】将274π终边相同的角表示为272,4k k Z βππ=+∈，解不等式即可得解. 【详解】与274π终边相同的角为272,4k k Z βππ=+∈， 令272719022,,,488k k Z k k Z πππ≤+≤∈-≤≤-∈，所以3k =-， 273644πβππ=-=，所以在[0,2]π中与274π终边相同的角为34π.故答案为：34π【点睛】此题考查终边相同的角的表示方法，关键在于熟练掌握终边相同的角的表示方法，根据题意建立不等式求解.13．（2020·上海高一课时练习）若α是第三象限角，则2α是第______象限的角. 【答案】二或四【分析】根据α是第三象限角，得到3222k k ππαππ+<<+，k Z ∈，再得到3224k k παπππ+<<+，k Z ∈，然后讨论k 的奇偶可得答案. 【详解】因为α是第三象限角，所以3222k k ππαππ+<<+，k Z ∈， 所以3224k k παπππ+<<+，k Z ∈， 当k 为偶数时，2α为第二象限角，当k 为奇数时，2α为第四象限角. 故答案为：二或四.【点睛】本题考查了象限角，考查了由角的象限判断半角的象限，属于基础题.14．（2020·上海高一课时练习）终边在第一、第三象限平分线上的角α的集合可表示为____________. 【答案】,4k k Z πααπ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭【分析】先分析角α为锐角时的情况，再根据角α终边的周期性求解即可.【详解】当角α为锐角时，易得4πα=，又第一、第三象限平分线上的角终边以π为周期，故角α的集合可表示为,4k k Z πααπ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭. 故答案为：,4k k Z πααπ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭【点睛】本题主要考查了终边相同的角的弧度制表达，属于基础题.15．（2020·上海高一课时练习）四个角的大小分别为170°，480-︒，1500-︒，870°，其中终边在第二象限的角有_________.【答案】170°，870°【分析】将各角写成终边相同的角的集合,即360,k k Z α+⋅︒∈的形式并判断.【详解】170︒是第二象限的角；480720240-︒=-︒+︒是第三象限角；150********-︒=-︒⨯+︒是第四象限角；8703602150︒=︒⨯+︒是第二象限角.故答案为：170°，870°【点睛】本题考查了将角表示成终边相同的角的集合并判断终边是第几象限的角，属于容易题.16．（2020·上海高一课时练习）与8弧度终边相同的所有角是__________；它们是第________象限角，其中最小的正角为________；最大的负角为_________.【答案】{|28,}=+∈k k Z ααπ 二 82π- 84π-【分析】直接根据角度终边定义得到答案.【详解】与8弧度终边相同的所有角是{}|28,k k Z ααπ=+∈，它们是第二象限角， 当1k =-时，最小的正角为82π-；当2k =-时，最大的负角为84π-.故答案为：{|28,}=+∈k k Z ααπ；二；82π-；84π-.【点睛】本题考查了终边相同的角，属于简单题.17．（2020·上海高一课时练习）终边在第二、四象限角平分线上的角的集合：______________． 【答案】3,4k k Z ααππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭【分析】当角的终边在第二象限的平分线上时，则324k παπ=+，k Z ∈，当角的终边在第四象限的平分线上时，则724k αππ=+，k Z ∈，问题得以解决． 【详解】解：设角的终边在第二象限和第四象限的平分线上的角为α， 当角的终边在第二象限的平分线上时，则324k παπ=+，k Z ∈， 当角的终边在第四象限的平分线上时，则724k αππ=+，k Z ∈， 综上，324k παπ=+，k Z ∈ 或724k παπ=+，k Z ∈，即34k παπ=+，k Z ∈， 故答案为：3,4k k Z ααππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭． 【点睛】本题主要考查终边相同的角的概念及表示方法，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．18．（2017·上海市金山中学高一月考）1200的角属于第_________象限.【答案】二【解析】00001200=3360+120,120⨯在第二象限,所以1200的角属于第二象限三、解答题19．（2020·上海高一课时练习）在平面直角坐标系中，用阴影部分表示下列角的集合：（1）222,63A k k k Z ππαπαπ⎧⎫=++∈⎨⎬⎩⎭； （2）,63B k k k Z ππαπαπ⎧⎫=+<+∈⎨⎬⎩⎭. 【分析】（1）在平面直角坐标系中，先画出22,263ππαπαπ=+=+k k 的终边，再由角的范围画出.（2）在平面直角坐标系中，先画出,63ππαπαπ=+=+k k 的终边，再由角的范围画出.【详解】（1）如图：（2）如图：【点睛】本题主要考查终边相同的角，还考查了数形结合的思想方法，属于基础题.20．（2020·上海高一课时练习）在下列角的集合中，找出终边位于4π-到4π之间的所有角：（1）3,4A k k Z πααπ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭； （2）{}|360130,︒︒==⋅+∈B k k Z ββ. 【答案】（1）1395371115,,,,,,,44444444----ππππππππ；（2）590-︒，230-︒，130°，490° 【分析】（1）分别令4,3,22,3k =---，可得结果；（2）分别令2,1,0,1k =--，可得结果；【详解】（1）由于3,4A k k Z πααπ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭， 当4k =-时，134πα=-；当3k =-时，94πα=-； 当2k =-时，54πα=-；当1k =-时，4πα=-； 当0k =时，34πα=；当1k =时，74πα=； 当2k =时，114πα=；当3k =时，154πα=； ∴该集合中终边位于4π-到4π之间的角为1395371115,,,,,,,44444444----ππππππππ. （2）由于{}|360130,︒︒==⋅+∈B k k Z ββ，当2k =-时，590β=-；当1k =-时，230β=-；当0k =时，130β=；当1k =时，490β=；∴该集合中终边位于4π-到4π之间的角为590,230,130,490--.【点睛】本题主要考查终边相同的角的集合，利用k 的取值求出对应范围内终边相同的角，属于基础题.21．（2020·上海高一课时练习）如图，圆周上点A 依逆时针方向做匀速圆周运动，已知点A在1min 内转过的角度为()0180θθ︒︒<<，2min 到达第三象限，15min 回到原来位置，求θ.【答案】θ为96°或120°【分析】由题意结合任意角的概念、象限角的定义及终边相同的角的概念可转化条件为0180180227015360()k k Z θθθ︒︒︒︒︒⎧<<⎪<<⎨⎪=⨯∈⎩，即可得解. 【详解】由题意得0180180227015360()k k Z θθθ︒︒︒︒︒⎧<<⎪<<⎨⎪=⨯∈⎩，解得24,︒=⋅∈k k Z θ，且90135︒︒<<θ，所以满足题意的θ为96°或120°.【点睛】本题考查了任意角、象限角及终边相同的角的概念的应用，考查了运算求解能力，关键是合理转化题目条件，属于基础题.22．（2020·上海高一课时练习）已知0360α︒︒<<，且角α的7倍角的终边与角α的终边重合，求角α.【答案】60°，120°，180°，240°，300°【分析】根据终边相同角的性质，结合已知列出等式，再根据角α的取值范围进行求解即可.【详解】因为角α的7倍角的终边与角α的终边重合，所以有7360,k k Z αα︒=+⋅∈，解得60,k k Z α︒=⋅∈，而0360α︒︒<<，所以603600,k k Z ︒︒︒<<⋅∈，解得06,k k Z <<∈，即1,2,3,4,5k =，当1k =时，60α︒=；当2k =时，120α︒=；当3k =时，180α︒=；当4k =时，240α︒=；当5k =时，300α︒=，所以角α的值为：60°，120°，180°，240°，300°.【点睛】本题考查了终边相同角的性质，考查了数学运算能力，属于基础题.23．（2020·上海高一课时练习）写出终边与x 轴负半轴重合的角的集合，并求在360~720-︒︒之间的角.【答案】{}|360180,︒︒=⋅+∈k k Z αα；180-︒，180°，540°【分析】根据终边与x 轴负半轴重合的角的性质，结合所给的范围进行求角即可.【详解】因为在0~360︒︒范围内，终边与x 轴负半轴重合的角为180︒，因此与180︒角终边相同的角构成集合{}|360180,︒︒=⋅+∈k k Z αα；当360720α-︒<<︒时，有360360180720,k k Z ︒︒-︒<⋅+<︒∈， 解得：33,22k k Z -<<∈，因此1,0,1k =-， 当1k =-时，180α︒=-；当0k =时，180α︒=；当1k =时，540α︒=，所以终边与x 轴负半轴重合的角的集合是{}|360180,︒︒=⋅+∈k k Z αα；在360~720-︒︒之间的角为180-︒，180°，540°.【点睛】本题考查了终边与x 轴负半轴重合的角的性质，考查了数学运算能力，属于基础题.。

上海市数学高一下学期理数期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）(2020·漳州模拟) 已知为等差数列，其公差为-2，且是与的等比中项，为的前n项和，，则的值为（）A . -100B . -90C . 90D . 1102. （2分）不等式(x-5)(6-x)>0的解集是（）A .B .C . (5,6)D .3. （2分） (2016高二上·杭州期中) 直线x﹣y﹣1=0的倾斜角是（）A .B .C .D .4. （2分） (2019高一下·丽水期末) 经过点且与直线平行的直线方程是（）A .B .C .D .5. （2分） (2019高二上·菏泽期中) 若，则（）A .B .C .D .6. （2分） (2018高一上·陆川期末) 已知角在第三象限，且，则（）A .B .C .D .7. （2分） (2017高三上·綦江期末) 等差数列{an}中，a1=2，a5=a4+2，则a3=（）A . 4B . 10C . 8D . 68. （2分） (2017高二下·南昌期末) 设x，y∈R，a＞1，b＞1，若ax=by=2.2a+b=8，则的最大值为（）C . 4D . log239. （2分） (2019高三上·德州期中) 中华人民共和国国歌有个字，小节，奏唱需要秒，某校周一举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为和，第一排和最后一排的距离为米（如图所示），旗杆底部与第一排在同一个水平面上．要使国歌结束时国旗刚好升到旗杆顶部，升旗手升旗的速度应为（）（米/秒）A .B .C .D .10. （2分）在等差数列{an}中，若a4+a6+a8+a10+a12=120，则2a10﹣a12的值为（）A . 20B . 2211. （2分）已知，则的最小值是（）A .B . 4C .D . 512. （2分）若锐角△ABC中，C=2B，则的取值范围是（）A . （0，2）B . （， 2）C . （，）D . （， 2）二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2018高二上·睢宁月考) 直线l过点且与直线垂直，则直线l的方程是________．14. （1分） (2016高二上·嘉定期中) 已知等比数列{an}中，a1=3，a4=81，则该数列的通项an=________．15. （1分）已知cosx= ，且tanx＞0，则cos（﹣2x）=________．16. （1分）过点（1，2）且与直线平行的直线方程是________.三、解答题 (共6题；共47分)17. （5分） (2015高二上·菏泽期末) 已知{an}是各项均为正数的等比数列，{bn}是等差数列，且a1=b1=1，b2+b3=2a3 ， a5﹣3b2=7．（1）求{an}和{bn}的通项公式；（2）设cn=anbn，n∈N*，求数列{cn}的前n项和．18. （2分） (2019高一上·柳江期中) “2019年”是一个重要的时间节点——中华人民共和国成立70周年，和全面建成小康社会的关键之年.70年披荆斩棘，70年砥砺奋进，70年风雨兼程，70年沧桑巨变，勤劳勇敢的中国人用自己的双手创造了一项项辉煌的成绩，取得了举世瞩目的成就.趁此良机，李明在天猫网店销售“新中国成立70周年纪念册”，每本纪念册进价4元，物流费、管理费共为元/本，预计当每本纪念册的售价为元（时，月销售量为千本.（I）求月利润（千元）与每本纪念册的售价X的函数关系式，并注明定义域：（II）当为何值时，月利润最大？并求出最大月利润.19. （10分）(2020·贵州模拟) 已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边经过单位圆上一点 .（1）求的值；（2）若角满足，求的值．20. （10分）(2017·泉州模拟) 在数列{an}中，a1=1，an+1=（n+1）an+（n+1）!．（Ⅰ）求证：数列是等差数列，并求{an}的通项公式；（Ⅱ）求{an}的前n项和Sn ．21. （10分）正方形中心为G（﹣1，0），一边所在直线的斜率为3，且此正方形的面积为14.4，求此正方形各边所在的直线方程．22. （10分） (2018高二下·台州期中) 设是数列的前项之积，且满足， .（1）求证：数列是等比数列，并写出数列的通项公式；（2）设是数列是前项之和，证明： .参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共47分) 17-1、17-2、18-1、19-1、19-2、20-1、21-1、22-1、22-2、。

七宝中学高一数学期中考试一、填空题 1. 角α 的终边经过点 P (4a ,3a ), a < 0 ，那么sin α = .2. cos θ cot θ < 0 ，那么角θ 所在的象限为.2022.043.函数 y = sin x cos x + 3 cos 2x 的最小正周期T = .4. 化简cos ⎛ π -α ⎫⋅ cos(β - 2π ) + cos(π -α + β ) 的结果为 . 2 ⎪ tan(α + π ) - cot(π - β )⎝ ⎭ 5.假设 f (cos x ) = cos 2x + sin x , x ∈[0,π ] ，那么 f ⎛ sin π ⎫的值为.6 ⎪ ⎝ ⎭ 6. cot θ = 1，那么sin 2 θ + 2sin θ cos θ - cos 2 θ + 2 的值为.2 7.扇形的圆心角为 π ，其内切圆的面积 S 与扇形的面积 S 的比值 S1 =.3 1 2S π8.将函数 y = cos x , x ∈ R 的图像向右平移 3的三倍，得到的函数解析式为 .个单位，然后保持每个点的纵坐标不变，把横坐标变为原来9. 如 图 为 第 七 届 国 际 数 学 教 育 大 会 会 徽 团 图 案 ， 它 由 一 串 直 角 三 角 形 演 化 而 成 ， 其 中OA 1 = A 1 A 2 = = A 8 A 9 = = 1，OA 1 ⊥ A 1 A 2 ,OA 2 ⊥ A 2 A 3 , 那么 t an(∠A 1OA 2 + ∠A 4OA 5 ) = .10. ABC 中，假设 cos A = sin B = cos C，那么 ABC为 ab cOA 8 ⊥ A 8 A 9 ，它可以形成近似的等角螺线，三角形.11.假设函数 f(x )= a s i ⎛n x + π ⎫ + b s ⎛i x n - π ⎫ab ≠, 为 偶 函 数 ， 那么 有 序 实 数 对 (a , b ) 可 以 是 4 ⎪ 4 ⎪ ⎝ ⎭⎝ ⎭.〔写出你认为正确的一组数字即可〕12. sin α + sin β = 6，那么cos α + cos β 的取值范围是.513.给出函数 f ( x )= π s i n x + | 2 s i xn ， 有以下四个结论： ① 该函数的值域为 [0, 3] ； ② 当且仅当 πx = 2 k π + ( k ∈ Z )时，函数取得最大值 3；③函数的单增区间为[k π , k π + 2 ](k ∈ Z ) ；④当且仅当21 < m < 3时，方程 f (x ) = m 在0 ≤ x ≤ 2π 上有两个不同的解；其中正确结论的序号为.22⎪14. 假设 x , y ∈ ⎡- π , π ⎧x 2 - cos x - 3m = 0 ⎤ , x ≠ 3y ，且⎪ ， m ∈ R ，那么 tan(x + 3y - π ) = .⎢ 6 6 ⎥ ⎨ 2 1 3⎣ ⎦ 3y ⎩- cos 3y = m 3二、选择题15. “ α = β 〞是“ tan α = tan β 〞成立的何种条件〔 〕A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件16. 函数 y = sin x 与函数 y = tan x 在 x ∈[-2π , 2π ] 的交点个数为〔〕 A. 3 个B. 5 个C. 7 个D. 9 个⎧a a ≥ b 17. 定义 Max {a , b } = ⎨ ⎩b a < b ，那么以下关于函数 y = Max {sin x , cos x } 的性质描述错误的选项为〔 〕A. 周期为2πB. 对称轴为 x = k π + π, k ∈ Z4⎡ ⎤ ⎡ 5 ⎤C. 值域为 ⎢- 2 ,1⎥D. 单调递增区间为 ⎢⎣2k π + 4 π , 2k π + 2π ⎥⎦ , k ∈ Z⎣ ⎦18. 对于函数 y = c o s x ，假设存在实数 x 1, x 2 ,，满足 0 ≤ x 1 < x 2 < < x n ≤ 4π ，且| f (x )- f x ( +) | f |x (- f )x +( )+| f x | - (f x ) = ， n ≥ 2, n ∈ N * ，那么n 的最小值为〔 〕1223n -1nA. 3B. 4C. 5D. 6三、解答题19. α ∈(0,π ) ，且sin α + cos α = 1； 3〔1〕求sin α - cos α 的值； 〔2〕求cos 2α 的值.20.在三角形 ABC 中， a 、b 、c 是它的三条边，且满足 a 2+ c 2- 3ac = b 2；, x n〔1〕求角B 的大小；〔2〕假设b = 6 - 2，求ABC 的面积S 的最大值及取得最大值时角A 的大小221.如图，在宽为20 的草坪内修建两个关于DE 对称的直角三角形花坛，其中∠ABC 为直角，∠BCD =θ,BD=10；〔1〕求两个直角三角形花坛的周长y 关于θ的函数关系式；〔2〕当θ为多少时，周长y 取得最小值，并求此最小值.⎛1 3 ⎫π22.阅读问题：点A , ，将OA 绕坐标原点逆时针旋转至OB ，求点B 的坐标；2 2 ⎪ 2⎝⎭3 α ⎛π ⎫ 1 解：如图，点 A 在角α 的终边上，且OA = 1，那么cos α = 1, sin α=3π，点 B 在角 +的终边上，且2 2 2OB = 1，于是点 B 的坐标满足：x = cos ⎛α + π ⎫ = - sin α = - ， y = sin α + = cos α = ，即 B 2 ⎪ 2 B 2 ⎪2⎛ B - ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ 1 ⎫, ⎪ ；⎝ 2 2 ⎭〔1〕将OA 绕原点顺时针旋转 π并延长至点C 使OC = 4OA ，求点C 坐标；2〔2〕假设将OA 绕坐标原点旋转θ 并延长至ON ，使ON = r ⋅OA (r > 0) ，求点 N 的坐标〔用含有 r 、θ 的数学式子表示〕；〔3〕定义 P (x , y ),Q (x , y ) 的中点为⎛ x 1 + x 2 , y 1 + y 2 ⎫，将OA 逆时针旋转 β 角，并延长至OD ，使1 12 22 2 ⎪⎝ ⎭OD = 2⋅ OA ，且 DA 的中点 M 也在单位圆上，求cos β 的值.23. 函数 f (x ) = sin ⎛ 2ωx + 2π ⎫ - 2sin 2 ⎛ωx - π ⎫ ,ω > 0 ；3 ⎪4 ⎪ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭1〔1〕当ω = 时，求函数 f (x ) 的单调递增区间；2〔2〕对于 x ∈(a , a + π ]， a 为任意实数，关于 x 的方程 f (x ) = -1恰好有两个不等实根，求实数ω 的值；⎡ π ⎤〔3〕在〔2〕的条件下，假设不等式| f (x ) + t |< 1在 x ∈ ⎢⎣0, 3 ⎥⎦恒成立，求实数t 的取值范围.33 3 ⎪ ⎛ π ⎫ 2π参考答案一、填空题1. - 35 2. 三、四3. π4. sin(α - β )3 -1 5.26. 17 57. 238. y = cos ⎛ 1x - π ⎫⎝ ⎭9. 310. 等腰直角三角形11. (1, -1)12. ⎡- 8 , 8 ⎤13. ①②③④14. -⎣⎢ 5 5 ⎥⎦二、选择题15. A 16. B 17. D18. C三、解答题 19. 〔1〕17； 〔2〕 -1739 π5π 120. 〔1〕 B =； 〔2〕 A =6 , S =12 421. 〔1〕 y = 20⎛ 1+ sin θ + cos θ ⎫； 〔2〕θ = π ， y = 40 + 40sin θ cos θ ⎪ 4 min ⎝ ⎭⎛ ⎛ π ⎫ ⎛ π ⎫ ⎫1 22. 〔1〕 C (2 3, -2) ； 〔2〕 N r cos3 +θ ⎪ , r sin 3 +θ ⎪ ⎪ ； 〔3〕 cos β =-⎝⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎭ 4 23. 〔1〕 f (x ) = sin ⎛ x + π ⎫ -1，增区间 ⎡2k π - 5π , 2k π + π ⎤ ；3 ⎪ ⎢⎣ 6 6 ⎥⎦⎝ ⎭〔2〕 f (x ) = sin 2ωx + -1，= π ， ω = 2 ； 〔3〕 t ∈∅3 ⎪ 2ω 2⎝ ⎭32。

2020-2021学年上海七宝实验中学高一数学文联考试卷含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 有下列四种变换方式：①向左平移，再将横坐标变为原来的；②横坐标变为原来的，再向左平移；③横坐标变为原来的，再向左平移；④向左平移，再将横坐标变为原来的；其中能将正弦曲线y=sinx 的图象变为的图象的是（ ）A ．①和②B ．①和③ C ．②和③ D ．②和④参考答案：A2. 已知，则的表达式是（ ）A 、B 、C 、D 、参考答案： A3. 容量为100的样本数据，按从小到大的顺序分为8组，如下表：第三组的频数和频率分别是 ( )A ．和0.14B ．和C ．14和0.14 D．0.14和14参考答案： D略 4. 设是平面内的两条不同直线；是平面内的两条相交直线，则的一个充分而不必要条件是 ( ） A ．B ．C ．D ．参考答案：B5. .函数的部分图像如图所示，如果，且，则等于（ ）A. B. C. D. 1参考答案：D试题分析：观察图象可知，其在的对称轴为，由已知=，选.考点：正弦型函数的图象和性质6. 为了得到函数的图象，只需把y=2sinx 的图象上所有的点（ ）A ．向右平移，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变） B ．向左平移，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）C．向右平移，再把所得各点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变）D．向左平移，再把所得各点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变）参考答案：D【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律即可得解．【解答】解：把y=2sinx的图象上所有的点向左平移，可得函数解析式为y=2sin（x+），再把所得各点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），可得图象对应的解析式为：．故选：D．【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律的应用，三角函数平移时一定要遵循左加右减上加下减的原则，属于基础题．7. 函数y=sin（x+）的一个单调增区间是（）A．[﹣π，0] B．[0， ] C．[，] D．[，π]参考答案：B8. 若函数f（x）=是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围是（）A．[4，8）B．（1，8）C．（4，8）D．（1，+∞）参考答案：A【考点】函数单调性的性质．【分析】欲使函数f（x）在R上递增，须有f（x）在（﹣∞，1），[1，+∞）上递增，且满足（4﹣）?1+2≤a1，联立解不等式组即可．【解答】解：因为函数f（x）是R上的增函数，所以有??4≤a＜8，故选A．9. 某校现有高一学生210人，高二学生270人，高三学生300人，用分层抽样的方法从这三个年级的学生中随机抽取n名学生进行问卷调查，如果已知从高一学生中抽取的人数为7，那么从高三学生中抽取的人数应为（）A.10 B 9 C. 8D 7参考答案：A略10. 已知函数f（x）是R上的增函数，A（0，﹣1），B（3，1）是其图象上的两点，那么|f（x+1）|＜1的解集的补集是（）A．（﹣1，2）B．（1，4）C．（﹣∞，﹣1）∪[4，+∞）D．（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）参考答案：D【考点】函数单调性的性质．【分析】因为A（0，﹣1），B（3，1）是函数f（x）图象上的两点，可知f（0）=﹣1，f（3）=1，所以不等式|f（x+1）|＜1可以变形为﹣1＜f（x+1）＜1，即f（0）＜f（x+1）＜f（3），再根据函数f（x）是R上的增函数，去函数符号，得0＜x+1＜3，解出x的范围就是不等式|f（x+1）|＜1的解集M，最后求M在R中的补集即可．【解答】解：不等式|f（x+1）|＜1可变形为﹣1＜f（x+1）＜1，∵A（0，﹣1），B（3，1）是函数f（x）图象上的两点，∴f（0）=﹣1，f（3）=1，∴﹣1＜f（x+1）＜1等价于不等式f（0）＜f（x+1）＜f（3），又∵函数f（x）是R上的增函数，∴f（0）＜f（x+1）＜f（3）等价于0＜x+1＜3，解得﹣1＜x＜2，∴不等式|f（x+1）|＜1的解集M=（﹣1，2），∴其补集C R M=（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）．故选D．【点评】本题主要考查利用函数的单调性解不等式，以及集合的补集运算，求补集时注意：若集合不包括端点时，补集中一定包括端点．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若指数函数y=f（x）的图象过点（1，2），则f（2）= ．参考答案：4【考点】指数函数的单调性与特殊点．【专题】计算题；函数思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】设函数f（x）=a x，a＞0 且a≠1，把点（1，2），求得a的值，可得函数的解析式，代值计算即可．【解答】解：设函数f（x）=a x，a＞0 且a≠1，把点（1，2），代入可得 a1=2，求得a=2，∴f（x）=2x，∴f（2）=22=4故答案为：4．【点评】本题主要考查用待定系数法求函数的解析式，求函数的值，属于基础题．12. 直线恒过定点，若则的最小值为 .参考答案：813. “”是“”的__________条件．参考答案：必要非充分【分析】不等式“”的充要条件为0<x<1,根据小范围推大范围得到最终结果.【详解】不等式“”的充要条件为0<x<1,根据小范围可以推导大范围，得到“”是“”的必要非充分. 故答案为：必要非充分.【点睛】这个题目考查了充分必要条件的判断，判断充要条件的方法是：①若p?q为真命题且q?p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p?q为假命题且q?p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p?q为真命题且q?p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p?q 为假命题且q?p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．14. 若实数x，y满足不等式组，则z=2x﹣4y的最小值是_________ ．参考答案：15. 函数的值域为_____________；参考答案：略16. （5分）已知两个球的表面积之比为1：9，则这两个球的半径之比为．参考答案：1：3考点：球的体积和表面积．专题：计算题；球．分析：运用球的表面积公式S=4πr2，计算即可得到所求值．解答：设两个球的半径分别为r，r'．则由球的表面积公式可得，4πr2：4πr'2=1：9，即有r2：r'2=1：9，则有r：r'=1：3．故答案为：1：3．点评：本题考查球的表面积公式的运用，考查运算能力，属于基础题．17. 若不等式，对任意恒成立，则实数的取值范围是 .参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。

2019-2020学年上海市七宝中学高一下学期期中数学试题一、单选题 1．函数2sin 6xy π=，x ∈R 的最小正周期是（ ） A ．12 B ．6C ．12πD ．6π 【答案】A【解析】直接应用正弦型函数的最小正周期公式进行求解即可. 【详解】函数2sin6xy π=的最小正周期为：2126T ππ==.故选：A 【点睛】本题考查了正弦型函数最小正周期公式的应用，属于基础题. 2．已知k ∈Z ，下列各组角中，终边相同的是（ ） A ．2k π与k π B ．2k ππ+与4k ππ±C ．6k ππ+与26k ππ±D ．2k π与2k ππ±【答案】B【解析】利用终边相同的角的概念，对选项进行分析即可解得. 【详解】A 不是终边相同的角，2k π终边在x 轴的正半轴上，k π终边在x 轴轴上；B 是终边相同的角；C 不是终边相同的角 6k ππ+终边落在直线y x=上， 26k ππ±终边落在,03y x x =≥,0y x x =≥两条射线上； D 不是终边相同的角，2k π终边落在坐标轴上，2k ππ±终边落在y 轴上.故选：B 【点睛】本题考查了终边相同的角的概念，属于简单题目，解题时可以应用排除法，对k 取值进行比较验证.3．已知函数()()3sin cos 0f x x x ωωω=+>在[]0,π上由两个零点，则ω的取值范围为（ ） A ．1117,66⎛⎫⎪⎝⎭B ．1117,66⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．58,33⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．58,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】B【解析】先化简()π3sin cos 2sin 6f x x x x ωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，再令t =π6x ω+，求出t范围，根据2sin y t =在t ∈[,]66ππωπ+上有两个零点，作图分析，求得ω的取值范围. 【详解】()π3sin cos 2sin 6f x x x x ωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，由[0,]x π∈，又0>ω，则可令t =π[,]666x ππωωπ+∈+， 又函数2sin y t =在t ∈[,]66ππωπ+上有两个零点，作图分析：则236πωπππ≤+<，解得ω∈1117,66⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 故选：B. 【点睛】本题考查了辅助角公式，换元法的运用，三角函数的图象与性质，属于中档题. 4．有一个三人报数游戏：首先A 报数字1，然后B 报两个数字2、3，接下来C 报三个数字4、5、6，然后轮到A 报四个数字7、8、9、10，依次循环，直到报出10000，则A 报出的第2020个数字为（ ） A ．5979 B ．5980C ．5981D ．以上都不对【答案】B【解析】首先分析出A 第n 次报数的个数，得到A 第n 次报完数后总共报数的个数，计算出A 是第0n 次报数中会报到第2020个数字，再计算当A 第0n 次报数时，3人总的报数次数m ，再推算出此时报数的最后一个数m S ，再推出A 报出的第2020个数字. 【详解】由题可得A 第n *()n N ∈次报数的个数为32n -，则A 第n 次报完数后总共报数的个数为[1(32)](31)22n n n n n T +--==，再代入正整数n ，使2020,n T n ≥的最小值为37，得372035T =， 而A 第37次报时，3人总共报数为3631109⨯+=次， 当A 第109次报完数3人总的报数个数为109(1091)12310959952m S +=++++==，即A 报出的第2035个数字为5995， 故A 报出的第2020个数字为5980. 故选：B. 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式和前n 项和公式，主要考查了学生的观察分析能力，逻辑推理能力，难度较大.二、填空题5．若cos α=，则cos2=α______. 【答案】12【解析】直接使用二倍角余弦公式代入求值即可.. 【详解】因为cos α=， 所以221cos 22cos 12()122αα=-=⨯--=. 故答案为：12【点睛】本题考查了二倍角余弦公式的应用，考查了代入思想，考查了数学运算能力. 6．已知1sin 3x =，,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则cos x =______.【答案】3-【解析】根据三角函数的符号以及三角函数的基本关系式，即可求解. 【详解】 因为,2x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭，可得cos 0x <，根据三角函数的基本关系式，可得cos 3x ==-.故答案为：3-. 【点睛】本题主要考查了三角函数的基本关系式的化简、求值，其中解答中熟记三角函数的基本关系式，以及三角函数的符号是解答的关键，着重考查运算与求解能力. 7．已知{}n a 是等比数列，首项是3，公比是12，则前4项和为______. 【答案】458【解析】由等比数列的求和公式求解即可. 【详解】由等比数列的求和公式得4413[1()]115452=6(1)611616812S -=-=⨯=-. 故答案为：458. 【点睛】本题主要考查等比数列的求和，意在考查学生对该知识的理解掌握水平. 8．若tan 3θ=，则sin 2θ=__________. 【答案】35【解析】 由正弦函数的倍角公式和三角函数的基本关系式，得22222222sin cos 2sin cos 2tan cos sin 22sin cos cos sin cos sin 1tan cos θθθθθθθθθθθθθθθ====+++， 又因为tan 3θ=，则222tan 2331tan 135θθ⨯==++，即3sin 25θ=. 9．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，41a =，则7S =______. 【答案】7【解析】利用等差数列前n 项和公式和等差中项的性质，即可求出7s . 【详解】 解：()1747727722a a a S +⨯⨯===.故答案为：7. 【点睛】本题考查等差数列前n 项和公式和等差中项的性质，属于基础题. 10．已知扇形的圆心角为23π，半径为5，则扇形的面积为______. 【答案】253π【解析】利用弧长公式先求解弧长，再利用扇形的面积公式求解. 【详解】因为扇形的圆心角为23π，半径为5，所以扇形的弧长210533l ππ=⨯=，所以面积11102552233S lr ππ==⨯⨯=. 故答案为：253π. 【点睛】本题主要考查扇形的弧长公式与面积公式，侧重考查数学运算的核心素养，属于基础题..11．在数列{}n a 中，2a 5=，()nn 1n a a 2n N*+-=∈，则数列{}n a 的通项n a =______．【答案】n 21+【解析】由递推关系累加求和即可求解. 【详解】由题意可得：n 1n n 1n 2n 1n 221a a 2a a 2a a 2-----⎧-=⎪-=⎪⎨⋯⎪⎪-=⎩，利用累加法， 得：()n 1nn 1221a a 2221---==--，1a 3=，于是：nn a 21=+．故答案为n 21+ 【点睛】本题考查利用累加法求数列通项公式，是基础题.12．我国南宋著名数学家秦九韶发现了从三角形三边求三角形面积的“三斜公式”，设ABC ∆的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，面积为S ，则“三斜公式”为S =若2sin 4sin c A C =，3B π=，则用“三斜公式”求得ABC ∆的面积为__________．【解析】由已知利用正弦定理可求ac 的值，可求a 2+c 2﹣b 2＝4，代入“三斜求积”公式即可计算得解． 【详解】根据正弦定理：由a 2sin C ＝4sin A ，可得：ac ＝4， 由余弦定理可得，b 2= a 2+c 2﹣2accos3π，可得：a 2+c 2﹣b 2＝4，可得：S ===．【点睛】本题主要考查了正余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题． 13．函数sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移3π个单位后与函数()f x 的图象重合，则下列结论正确的是______.①()f x 的一个周期为2π-； ②()f x 的图象关于712x π=-对称； ③76x π=是()f x 的一个零点； ④()f x 在5,1212ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递减；【答案】①②③【解析】先由图像的平移变换推导出()f x 的解析式，再分析函数的周期、零点、对称性、单调性，判断是否正确． 【详解】解：函数sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移π3个单位后与函数()f x 的图象重合，()sin 2sin 2333f x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫∴=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，()f x ∴的一个周期为2π-，故①正确； ()y f x =的对称轴满足：232x k ππ-=π+，k Z ∈， ∴当2k =-时，()y f x =的图象关于7πx 12=-对称，故②正确； 由()sin 203f x x π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，23x k ππ-=得26k x ππ=+， 76x π∴=是()f x 的一个零点，故③正确； 当5,1212x ππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，2,322x πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭， ()f x ∴在5,1212ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增，故④错误． 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查命题真假的判断，考查三角函数的平移变换、三角函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．14．已知函数()3sin 4cos f x x x =+，[]12,0,x x ∈π，则()()12f x f x -的最大值是________． 【答案】9【解析】先将函数()f x 转化成正弦函数的形式，然后结合正弦函数的图象判断出函数()f x 在区间[]0,π上的最大值和最小值，从而得出结果．【详解】由题意可得：()()343sin 4cos 5sin cos 5sin 55f x x x x x x ϕ⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭，其中4sin 5ϕ=，3cos 5ϕ=，且0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭． 由[0,]x π∈，[,]x ϕϕπϕ+∈+，3,2ππϕπ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭， 4()5sin()5sin 545min f x πϕϕ∴=+=-=-⨯=-，()5sin 52max f x π==， 当12,[0,]x x π∈时，()()()12()5)49(max min f x f x f x f x -=-=--=． 故答案为：9 【点睛】本题考查了三角函数的恒等变化，以及正弦函数图象的性质，正弦函数的最值，把函数化简()()5sin f x x ϕ=+是解题的关键，属于中档题．15．在锐角ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别是,,a b c ，若()21a b b +=，1c =b -的取值范围是______.【答案】(【解析】根据()21a b b +=，结合余弦定理可得6C π=，再根据正弦定理将b -化简成关于A 的三角函数表达式，再根据锐角ABC 求得A 的取值范围，结合三角函数的性质求解值域即可. 【详解】因为()21a b b +=，1c =，故222c a b =+.所以222cos 2a b c C ab +-===.又锐角ABC ，故6C π=. 由正弦定理，12sin sin sin sin 6a b c A B C π====，)52sin 2sin 6b A B A A π⎤⎛⎫-=-=-- ⎪⎥⎝⎭⎦112cos2sin cos2sin22226A A A A A Aπ⎫⎛⎫⎛⎫=--=-=-⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎭⎝⎭.又锐角ABC，故262AAππππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<--<⎪⎩，解得32Aππ<<，即663Aπππ<-<.(2sin6b Aπ⎛⎫-=-∈⎪⎝⎭.故答案为：(【点睛】本题主要考查了正余弦定理在解三角形中的应用、边角互化求取值范围的问题，需要将所给的边的表达式利用正弦定理转换为角的表达式，同时结合角度的范围求解.属于中档题.16．已知数列{}n a满足14a=，()*1222,nn na a n n N-=+≥∈，若不等式()2235nn n aλ--<-对任意*n N∈恒成立，则实数λ的取值范围是______.【答案】37(,)8-∞【解析】由数列递推公式，求得(1)2nna n=+⋅，把不等式()2235nn n aλ--<-对任意*n N∈恒成立，转化为2352nnλ-<-对任意*n N∈恒成立，设()232nnf n-=，求得()f n的单调性与最值，即可求解.【详解】由题意，数列{}n a满足14a=，()*1222,nn na a n n N-=+≥∈，则11122n nn na a--=+（常数），所以数列2nna⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1422=为首项，以1为公差的等差数列，所以2(1)112nnan n=+-⨯=+，整理得(1)2nna n=+⋅，不等式()2235nn n aλ--<-对任意*n N∈恒成立，即223235(1)22n nn n nnλ---->=+⋅对任意*n N∈恒成立，即2352nn λ-<-对任意*n N ∈恒成立， 设()232n n f n -=，则()()112(1)323251222n n n n n n f n f n +++---++-=-=， 当1,2n =时，()()10f n f n +->，此时数列为递增数列；当3,n n N +≥∈时，()()10f n f n +-<，此时数列为递减数列，又由()()132,348f f ==，所以337588λ<-=，即实数λ的取值范围是37(,)8-∞. 故答案为：37(,)8-∞. 【点睛】本题主要考查了利用数列的递推公式求解数列的通项公式，以及恒成立问题的求解和数列的单调性的判定及应用，着重考查转化思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.三、解答题17．在△ABC 中，三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且222a c b ac +-=． （1）求B ；（2）若6a c +=，三角形的面积ABC S ∆=b ．【答案】（1）3B π=；（2）b =【解析】(1)由余弦定理222cos 2a c b B ac+-=，已知222a c b ac +-=即可求B ；(2)根据1sin 2ABC S ac B ∆=，可得ac ，已知6a c +=、222a c b ac +-=即可求b 【详解】(1)由余弦定理知：222cos 2a c b B ac+-=，而222a c b ac +-=∴1cos 2B =，而(0,)B π∈，故3B π=(2)由1sin 2ABC S ac B ∆==，有8ac =，且6a c +=∵222a c b ac +-=知：22()3362412b a c ac =+-=-=∴b =【点睛】本题考查了余弦定理，及三角形面积公式；根据余弦定理边角关系求角，由三角形面积公式求两边之积，结合已知求出第三边，属于简单题18．已知n S 为{}n a 的前n 项和，{}n b 是等比数列且各项均为正数，且23122n S n n =+，12b =，2332b b +=． （1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）记n n n c a b =⋅，求数列{}n c 的前n 项和n T ．【答案】（1）31n a n =-，212n n b -⎛⎫= ⎪⎝⎭；（2）235202n n n T -+=-． 【解析】(1)由11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，再合并1n =、2n ≥即可得{}n a 通项公式；由已知条件及等比数列通项公式求公比q ，即可得{}n b 的通项公式；(2)由114[3()()]22n n n n n c a b n =⋅=⋅-，分别求出113(),()22n nn n k n h =⋅=的前n 项和，即可得数列{}n c 的前n 项和n T 【详解】(1)当1n =时，1131222a S ==+= 当2n ≥时，131(21)3122n n n a S S n n -=-=-+=- 而13112a =⨯-=∴31n a n =-*(1,)n n N ≥∈{}n b 是等比数列且各项均为正数，令公比为q (0)q >∵12b =，2332b b += ∴232()2q q +=，解得12q =∴21()2n n b -=*(1,)n n N ≥∈(2) 记1114(31)()4[3()()]222nnnn n n c a b n n =⋅=-=⋅-若令113(),()22nnn n k n h =⋅=数列{}n k 的前n 项和为n K ，则23111112()3()...()32222n n K n =⨯+⨯+⨯++⨯① ∴2341111111()2()3()...(1)()()622222n n n K n n +=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯② 故，①-②得：234111111111()()()...()()1(2)()62222222n n n n K n n ++=+++++-⨯=-+⋅ 数列{}n h 的前n 项和为n H ，则11()2nn H =-综上，有211354[63(2)()1()]20222nnn n n T n -+=-+-+=- 【点睛】本题考查了已知前n 项和求通项公式、等比公式法求通项公式，以及应用分组求和、错位相减法求前n 项和，进而合并各组的和19．如图，学校门口有一块扇形空地OMN ，已知半径为常数R ，2MON π∠=，现由于防疫期间，学校要在其中圈出一块矩形场地ABCD 作为体温检测室使用，其中点A 、B 在弧MN 上，且线段AB 平行于线段MN ．（1）当点A 为弧MN 的一个三等分点，求矩形ABCD 的面积；（2）设AOB θ∠=，当A 在何处时，矩形ABCD 的面积最大？最大值为多少？ 【答案】（1）231S -=；（2）点A 在弧的四等分点处时，2max (21)S R =． 【解析】(1)补全四分之一圆，由圆的中心对称性，结合相应辅助线及余弦定理确定AB 、BC 与半径R 的数量关系，即可求面积；(2)应用(1)的思路，结合余弦定理及辅助角公式得到关于θ的三角函数形式，由函数的最大值即可得矩形ABCD 的面积最大值 【详解】(1) 由线段AB 平行于线段MN ，A 为弧MN 的一个三等分点，知：AB 所对的圆心角为30°，由余弦定理有222(1cos30)AB R =-︒，即622AB R -=而DC AB = 将扇形所在的圆O 补全，延长AD 、BC 分别交⊙O 于E 、F ，延长MO 、NO 分别交DE 、CF 于G 、H ，并连接OF 、OB ，如下图示可知：由圆的对称性，有DCHG 为正方形，2BF CHAD BC -==且150BOF ∠=︒ ∴222(1cos150)BF R =-︒，即62BF R +=，故2AD BC R == ∴231ABCD S AB BC R -=⋅=(2) AOB θ∠=时，222(1cos )AB R θ=-；此时，BOF πθ∠=-，即222(1cos )BF R θ=+∴2(1cos 1cos )AD BC R θθ==+-，(0,)2πθ∈∴2[2)1]4ABCD S AB BC R πθ=⋅=+-当且仅当sin()14πθ+=，4πθ=时，即A 在弧的四等分点处，矩形ABCD 的面积最大，2max (21)S R = 【点睛】本题考查了余弦定理及辅助角公式，其中将扇形所在圆补全，应用圆的对称性找到相关线段的数量关系，并结合余弦定理求边长，进而得到面积；利用辅助角公式得到关于已知角的三角函数，面积的最值转化为函数的最值20．设正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，首项为1，q 为非零正常数，数列{lg()}n a 是公差为lg q 的等差数列． （1）求数列{}n S 的通项公式；（2）求证：数列1{}nn S S +是递增数列； （3）是否存在正常数c ，使得{lg()}n c S -为等差数列？若存在，求出c 的值和此时q 的取值范围；若不存在，说明理由．【答案】（1）11011nn n q S q q q q =⎧⎪=-⎨>≠⎪-⎩且；（2）证明见详解；（3）当1q ≥时，不存在正常数c ，使得{lg()}n c S -为等差数列；当01q <<时，存在正常数c ，使得{lg()}n c S -为等差数列，此时11c q=-． 【解析】（1）由等差数列的通项公式，结合对数的运算性质求出数列{}n a 的通项公式，最后根据q 是否为1，进行分类讨论，结合等比数列前n 项和公式进行求解即可. （2）结合（1）写出数列的通项公式，利用作差法比较，结合指数列函数的单调性进行证明即可.（3）假设存在正常数c ，使得{lg()}n c S -为等差数列，根据等差数列的通项公式，结合对数的运算性质进行求解即可. 【详解】（1）因为数列{lg()}n a 是公差为lg q 的等差数列， 所以1lg()lg (1)lg (1)lg n a a n q n q =+-=-， 所以1n n a q-=.当1q =时，1n S na n ==，当1q ≠且0q >时，11n n q S q-=-，所以,11,011n n n q S q q q q =⎧⎪=-⎨>≠⎪-⎩且，（2）由（1）知，当1q ≠且0q >时，11nn q S q -=-，设1n n n S b S += ， 所以数列1{}n n S S +的通项公式为：111111111nn n n n n n q Sq qb q S q q+++---===---， 11122121221111()()()()111111111(1)(((1))())n n n n n n n n n n n n n n n q q q q q q q q q q q q q q b b +++++++++++------=----------==，当1q >时，1nq > ，11n q+>，21n q+>，2(1)0q ->，所以221(1)0(1)(1)n n n q q q q ++->--. 当01q <<时, 1n q < ，11n q +<，21n q+<，2(1)0q ->，所以221(1)0(1)(1)n n n q q q q ++->--. 即10n n b b +->，所以1n n b b +>， 因此数列1{}nn S S +是递增数列. （3）假设存在正常数c ，使得{lg()}n c S -为等差数列,所以1lg()lg()1nn n q C c S c q -=-=--，数列{}n C 是等差数列， 即1lg(1)C c =-，221lg()lg(1)1q C c c q q -=-=---， 3231lg()lg(1)1q C c c q q q -=-=----，22(1)(1)(1)c q c c q q --=----，解得：11c q=-，因此0c >，所以 01q <<. 此时11lg lg 111n nn q q C q q q ⎛⎫-=-= ⎪---⎝⎭， 因为11lg lg lg 11n nn n q q C C q q q++-=-=--， 所以数列{}n C 是等差数列.因此存在正常数11c q=-，使得{lg()}n c S -为等差数列，且01q <<. 【点睛】本题考查了等差数列、等比数列的定义和通项公式，考查了等比数列前n 项和公式，指数函数单调性的应用，作差法比较证明数列的单调性，对数的运算性质，属于难题.21．数列{}n a 满足1212n n n n n n a a a a a a ++++=++()*11,n n a a n N +≠∈，且11a =，22a =.规定的{}n a 通项公式只能用()sin A x c ωϕ++0,0,2A πωϕ⎛⎫≠>< ⎪⎝⎭的形式表示. （1）求3a 的值；（2）证明3为数列{}n a 的一个周期，并用正整数k 表示ω； （3）求{}n a 的通项公式.【答案】（1）33a =（2）证明见解析；()*2N 3k k πω=∈.（3）22333n a n ππ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭ 【解析】（1）代入1n =计算即可.（2）分别令n ＝1，2，3，即可证明，根据周期公式即可求出. （3）分别由a 1＝1，a 2＝2，a 3＝3，可得1＝A sin （23π+φ）+c ，2＝﹣A sin （3π+φ）+c ，3＝A sin φ+c ，解得即可求出 【详解】解：（1）当a 1＝1，a 2＝2，a 1a 2a 3＝a 1+a 2+a 3，解得a 3＝3； （2）当n ＝2时，6a 4＝2+3+a 4，解得a 4＝1， 当n ＝3时，3a 5＝1+3+a 5，解得a 5＝2， …，可得a n +3＝a n ，当a 1＝1，a 2＝2，a 3＝3； 故3为数列{a n }的一个周期， 则2k πω＝3，k ∈N ，则()*2N 3k k πω=∈； （3）由（2）可得a n ＝A sin （23πn +φ）+c ，则1＝A sin （23π+φ）+c ，2＝﹣A sin （3π+φ）+c ，3＝A sin φ+c ，即1＝A φ﹣A •12sin φ+c ，①2＝﹣A φ﹣A •12sin φ+c ，②由①+②，可得3＝﹣A sin φ+2c ， ∴c ＝2，A sin φ＝1，①﹣②，可得﹣1＝A φ，则tan φ ∵|φ|＜2π， ∴φ＝﹣3π，∴A ＝﹣3，故22333n a n ππ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭． 【点睛】本题考查了数列的递推公式和三角函数的解析式，考查了运算能力和转化能力，属于中档题．。

上海市闵行区七宝中学【最新】高一下学期期末数学试题学校:姓名：班级：考号：一、填空题1 .方程cosx = sin*的解集为O2 .设｛%｝为等差数列，若41 +% +〃9 =)，则生+/= 5 .设数列｛叫的前〃项和S“，若％= —1, 5”一0(〃 tN) 则｛%｝的通项 公式为. 6 .利用数学归纳法证明不等式“1 + ! + : +...+J 二的过程中, 2 32“-1 2、 7由“n = k"变到"〃 =% + 1”时，左边增加了 项.7.若/(工)=25吊工-1在区间［4可(〃,〃£1<且。

</?)上至少含有30个零点，则/?一。

的最小值为.38.设数列｛“〃｝的通项公式为% =01丫卜 J 〃>310.对于正项数列｛4｝‘定义"〃=--——J ------------------- 为｛4｝的“光阴”值，6 +2/+3% + ♦♦・ + ”%则 lim (% +%+・•・ + q J =9.已知数列｛4｝中，其前〃项和为S”，为2飞〃为正奇数则与 2〃-1, 〃为正偶数34的值域是112 114 .数列｛/｝的前〃项和为S 〃，若数列｛册｝的各项按如下规律排列：：，一，一，—, 2 3 3 4u — 1 3…，—■,…有如下运算和结论：n 8②数列％ , % +4，〃4+〃5+4，% +4 +% +/o ，…是等比数列:③数列4，4 +%，2%+% + 4，%+/+"9+60,…的前〃项和为［=汇三：④若存在正整数k ，使 演<10, 5A +I >10,则4 =?.其中正确的结论是 ________________________________________________ .（将你认为正确的结论序号 都填上） 二、单选题15 .已知伍”｝、鱼｝都是公差不为0的等差数歹ij,且也户 2 , S“ = q +的+…+ a”, n2S则lim —的值为（）nb 2/iA. 2B. -1C. 1D.不存在16.设伍”｝是公比为4（0<卜|<1）的无穷等比数列，若｛"”｝的前四项之和等于第五项起以后所有项之和，则数列｛%“-J 是（）A.公比为!的等比数列2 B.公比为立的等比数列2 C.公比为它或-它的等比数列2 211D.公比为正或一正的等比数列17.函数y = sin （2x + 0（O<8<1）图象的一条对称轴在（。

2021学年七宝中学高一第二学期期中数学试卷一、填空题（本大题共12题，满分54分）只要求直接填写结果，第1~6题每个空格填对得4分，第7~12题每个空格填对得5分，否则一律得零分.1.函数sin(2)1y x =-+的严格单调递增区间为_____________.2.函数sin 2cos 26y x x π=⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的最小正周期是_________.3.若cos cos 2θθθ-可化为2sin(2),θϕπϕπ+-<<，则ϕ=_______.4.已知向量(2,1),10,a a b a b =⋅=+=，则b = ________.5.在ABC 中，已知,3,23A AB AC π===，则ABC 的外接圆半径R =________.6.已知(1,2),(3,4)a b =-=，则a 在b 方向上的投影为_____________.7.在ABC 中，cos sin A B >，则ABC 的形状为____________.8.函数sin 2cos 2y x a x =+的图像关于直线6x π=-对称，则实数a 的值为__________．9.在△ABC 中，2C π∠=，2AC BC ==，M 为AC 的中点，P 在线段AB 上，则MP CP ⋅ 的最小值为________10.已知两个函数32(),()(1)1,01x f x g x a x a x -==-+≠-的图象相交于,A B 两点，若动点P 满足||2PA PB += ，则||OP(O 为坐标原点)的最小值为________.11.对于函数2()2sin f x x x =，有以下4个结论：①函数()y f x =的图象是中心对称图形；②任取x ∈R ，()2f x x ≤恒成立；③函数()y f x =的图象与x 轴有无穷多个交点，且任意两相邻交点的距离相等；④函数()y f x =与直线2y x =的图象有无穷多个交点，且任意两相邻交点间的距离相等.其中正确的结论序号为_______________.12.非零向量,,a b c 满足()()0c a c b -⋅-= ，则||||||a b a b c ++-的最小值为_______.二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上填选项，选对得5分，否则一律得零分.13.已知m R ∈，则ma mb = 是a b =的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件14.若两个函数的图象经过若干次平移后能够重合，则称这两个函数为“同形”函数，给出下列四个函数：1()cos f x x x =+，2()f x x =+，3()cos sin f x x x =-，4()sin f x x =，则“同形”函数是（）A.1()f x 与2()f x B.2()f x 与4()f x C.2()f x 与3()f x D.1()f x 与4()f x 15.在ABC 中，已知30,18A b =︒=，设(0)a x x =>以下说法错误的是（）A.若ABC 有两解，(9,18)x ∈B.若ABC 有唯一解，[18,)x ∈+∞C.若ABC 无解，(0,9)x ∈ D.当10x =，ABC 外接圆半径为1016.若O 是ABC 外接圆圆心， A B C 、、是ABC 的内角，若cos cos 2sin sin B C AB AC mAO C B+= ，则实数m 的值为（）A.1B.sin AC.cos AD.tan A三、解答题（本大题共有5题，满分76分，解答下列各题必须写出必要的步骤，答题务必写在答题纸上规定位置）17.已知两个不平行的向量 a b、的夹角为θ，且||1 ||4a b == ，.（1）若2a b + 与3+a kb平行，求k 的值；（2）若,3x R πθ=∈，当||xa b - 的最小时，求向量b 与xa b - 的夹角.19.已知(sin ,cos ) (cos sin 2cos )a x xb x x x =-=--,,，函数()(),R f x a a b x =⋅+∈ .（1）求函数()y f x =的最小正周期及对称轴方程；（2）将函数()y f x =按照c 的方向平移后得到的函数是奇函数，求||c 最小时的c .21.某市为表彰在脱贫攻坚工作中做出突出贡献的先进单位，制作了一批奖杯，奖杯的剖面图形如图所示，其中扇形OAB 的半径为10，60,,PBA QAB AQ QP PB OM QP ∠=∠=︒==⊥交QP 于M ，交AB 于C ，且OC AB ⊥，设AOC θ∠=，（1）用θ表示OM 的长度；（2）若按此方案设计，工艺制造厂发现，当OM 最长时，该奖杯比较美观的长度以及θ的大小．22.如图所示：点O 是ABC 所在平面上一点，并且满足()AO mAB nAC m n R =+∈、，已知6260AB AC BAC ==∠= ，，.（1）若实数13m n ==，求证：O 是ABC 的重心；（2）若O 是ABC 的外心，求m n 、的值；（3）如果O 是BAC ∠的平分线上某点，则当3m n+达到最小值时，求||AO .24.已知函数()sin()(0 0)f x x ωϕωϕπ=+><<,的最小正周期为π，且直线2x π=-是其图象的一条对称轴.将函数()y f x =的图象向右平移4π个单位，再将所得的图象上每一点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍所得的图象对应函数记作()y g x =，令函数()()()F x f x g x λ=+.（1）求函数()y g x =的函数解析式；（2）求函数()y F x =的最大值及相对应的x 的值；（3）若函数()()()F x f x g x λ=+在(0,)n π内恰有2021个零点，其中常数R λ∈，,1n N n ∈≥，求常数λ与n 的值.2021学年七宝中学高一第二学期期中数学试卷一、填空题（本大题共12题，满分54分）只要求直接填写结果，第1~6题每个空格填对得4分，第7~12题每个空格填对得5分，否则一律得零分.1.函数sin(2)1y x =-+的严格单调递增区间为_____________.【1题答案】【答案】3[,](Z)44k k k ππππ++∈【解析】【分析】根据正弦型函数的单调性进行求解即可.【详解】当3222(Z)22k x k k ππππ+≤≤+∈时，即3(Z)44k x k k ππππ+≤≤+∈时，函数单调递增，所以函数sin(2)1y x =-+的严格单调递增区间为3[,](Z)44k k k ππππ++∈，故答案为：3[,](Z)44k k k ππππ++∈2.函数sin 2cos 26y x x π=⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的最小正周期是_________.【2题答案】【答案】π【解析】【分析】利用两角和差的正弦公式将函数化简，再结合正弦函数的性质计算可得；【详解】解：sin 2cos 26y x x π=⎛⎫-+ ⎪⎝⎭sin 2coscos 2sin cos 266x x x ππ=-+12cos 2cos 222x x x =-+31sin 2cos 222x x =+sin 26x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭所以函数的最小正周期22T ππ==故答案为：π．3.若cos cos 2θθθ-可化为2sin(2),θϕπϕπ+-<<，则ϕ=_______.【3题答案】【答案】6π-【解析】【分析】根据二倍角公式、辅助角公式进行求解即可.【详解】1cos cos 22cos 2sin 2cos 2)22θθθθθθθ-=-=-，令3cos ,21sin ,2ϕϕ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，因为πϕπ-<<，所以由3cos ,62561,sin ,662πϕϕπϕππϕϕ⎧⎧=±=⎪⎪⎪⎪⇒⇒=-⎨⎨⎪⎪=--=-⎪⎪⎩⎩，即31cos cos 22cos 2sin 2cos 2)2sin(2226πθθθθθθθθ-=-=-=-，故答案为：6π-4.已知向量(2,1),10,a a b a b =⋅=+=，则b = ________.【4题答案】【答案】5【解析】【分析】由a b += ，得到22250a a b b +⋅+= ，结合题意，即可求解.【详解】由题意，向量(),2,110a a b =⋅= ，可得25a = ，又由a b += ，则22222521050a b a a b b b +=+⋅+=+⨯+= ，可得225b = ，所以5b = .故答案为：55.在ABC 中，已知,3,23A AB AC π===，则ABC 的外接圆半径R =________.【5题答案】【答案】3【解析】【分析】运用余弦定理和正弦定理进行求解即可.【详解】由余弦定理可知：2222cos BC AB AC AB AC A BC =+-⋅⋅⇒=，根据正弦定理可得ABC的外接圆半径11212sin 23BC R A =⋅=⨯，故答案为：2136.已知(1,2),(3,4)a b =-=，则a 在b 方向上的投影为_____________.【6题答案】【答案】1-【解析】【分析】根据平面向量几何意义进行求解即可.【详解】因为cos ,a b a b a b ⋅〈〉==-⋅所以a 在b方向上的投影为cos ,(1a a b ⋅〈〉=-=- ，故答案为：1-7.在ABC 中，cos sin A B >，则ABC 的形状为____________.【7题答案】【答案】钝角三角形【解析】【分析】根据正弦函数、余弦函数的性质，结合诱导公式进行求解即可.【详解】在ABC 中，因为cos sin 0A B >>，所以(0,2A π∈，当(0,2B π∈时，由cos sin cos cos()222A B A B A B A B πππ>⇒>-⇒<-⇒+<22C C πππ⇒-<⇒>，此时ABC 是钝角三角形；当2B π=时，cos 1A >显然不成立；当(,)2B ππ∈时，cos sin sin()cos()2222A B B B A B B A B A πππππ>=-=-⇒<-⇒->⇒>+，所以B 为锐角，此时ABC 是钝角三角形，综上所述：ABC 是钝角三角形，故答案为：钝角三角形8.函数sin 2cos 2y x a x =+的图像关于直线6x π=-对称，则实数a 的值为__________．【8题答案】【答案】33-【解析】【分析】由条件可得31sin cos 3322a a ππ⎛⎫⎛⎫-+-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解出即可.【详解】因为函数sin 2cos 2y x a x =+的图像关于直线6x π=-对称所以31sin cos 3322a a ππ⎛⎫⎛⎫-+-=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭化简可得2310a ++=，解得a =故答案为：33-9.在△ABC 中，2C π∠=，2AC BC ==，M 为AC 的中点，P 在线段AB 上，则MP CP ⋅ 的最小值为________【9题答案】【答案】78【解析】【分析】以线段AB 的中点为坐标原点，线段AB 所在直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，直接利用数量积的坐标运算求最值即可.【详解】如图：以线段AB 的中点为坐标原点，线段AB 所在直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，则(,,0,22M C ⎛ ⎪⎝⎭，设(),0P x，x ≤≤，则(22222,112222MP CP x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅=-+=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，当24x =时，()2min714248MP CP⎛⎫⋅=-⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭故答案为：78.10.已知两个函数32(),()(1)1,01x f x g x a x a x -==-+≠-的图象相交于,A B 两点，若动点P 满足||2PA PB += ，则||OP(O 为坐标原点)的最小值为________.【10题答案】【答案】1-##1-+【解析】【分析】根据两个函数的对称性，结合圆的性质进行求解即可.【详解】因为1212(1)(1)21111x x f x f x x x +---++-=+=+---，所以函数2()1x f x x -=-关于点(1,1)C 对称，因为33(1)(1)(11)1(11)12g x g x a x a x ++-=+-++--+=，所以函数3()(1)1g x a x =-+也关于点(1,1)C 对称，因为两个函数32(),()(1)1,01x f x g x a x a x -==-+≠-的图象相交于,A B 两点，所以,A B 两点关于点(1,1)C 对称，即(1,1)C 是线段AB 的中点，由||2221PA PB PC PC +=⇒=⇒=，所以动点P 是以(1,1)C 为圆心，1为半径的圆，min ||111OP OC =-=-=-，1-.11.对于函数2()2sin f x x x =，有以下4个结论：①函数()y f x =的图象是中心对称图形；②任取x ∈R ，()2f x x ≤恒成立；③函数()y f x =的图象与x 轴有无穷多个交点，且任意两相邻交点的距离相等；④函数()y f x =与直线2y x =的图象有无穷多个交点，且任意两相邻交点间的距离相等.其中正确的结论序号为_______________.【11题答案】【答案】①③【解析】【分析】根据函数的奇偶性、正弦函数的性质，结合特例法逐一判断即可.【详解】①：因为2()2sin ()f x x x f x -=-=-，所以该函数是奇函数，它的图象关于原点对称，是中心对称图形，因此本结论正确；②：因为21sin 10>>，所以2(1)2sin 12f -=->-，因此(1)2f -≤-不成立，所以本结论不正确；③：令()0y f x ==，即22sin 00x x x =⇒=，或sin 0x =，当0x =，显然成立，当sin 0x =时，(Z)x n n π=∈，显然函数()y f x =的图象与x 轴有无穷多个交点，且任意两相邻交点的距离相等，因此本结论正确；④：2()2sin 20f x x x x x ==⇒=，或2sin 1x =，当0x =，显然成立，当2sin 1x =时，(Z)2x k k ππ=+∈，022ππ-=，322πππ-=，显然任意两相邻交点间的距离相等不正确，因此本结论不正确；故答案为：①③12.非零向量,,a b c 满足()()0c a c b -⋅-= ，则||||||a b a b c ++-的最小值为_______.【12题答案】【答案】2【解析】【分析】根据向量三角式，结合一元二次不等式解集的性质进行求解即可.【详解】由22()()0()00c a c b c a b c a b c a b c a b -⋅-=⇒-+⋅+⋅=⇒-+⋅+⋅≤，因此有2a b a bc ++-≤==，于是有||||2||a b a b c ++-≥ ，故答案为：2【点睛】关键点睛：应用a b a b ⋅≤⋅是解题的关键.二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上填选项，选对得5分，否则一律得零分.13.已知m R ∈，则ma mb = 是a b =的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件【13题答案】【答案】B 【解析】【分析】根据共线向量的性质和向量数乘的性质，结合充分性和必要性的定义进行判断即可.【详解】当0m =时，显然0ma mb == 成立，但是a b =不一定成立，当a b =成立时，显然ma mb = 成立，因此ma mb = 是a b =的必要非充分条件，故选：B14.若两个函数的图象经过若干次平移后能够重合，则称这两个函数为“同形”函数，给出下列四个函数：1()cos f x x x =+，2()f x x =+，3()cos sin f x x x =-，4()sin f x x =，则“同形”函数是（）A.1()f x 与2()f x B.2()f x 与4()f x C.2()f x 与3()f x D.1()f x 与4()f x 【14题答案】【答案】C 【解析】【分析】根据辅助角公式，结合正弦型函数图象的平移性质逐一判断即可.【详解】1()cos 2sin()6f x x x x π=+=+，35()cos sin )4f x x x x π=-=-，因为正弦型函数的图象经过若干次平移后，振幅不改变，所以只有2()f x 与3()f x 的振幅相同，故只有这两个函数是“同形”函数，故选：C15.在ABC 中，已知30,18A b =︒=，设(0)a x x =>以下说法错误的是（）A.若ABC 有两解，(9,18)x ∈B.若ABC 有唯一解，[18,)x ∈+∞C.若ABC 无解，(0,9)x ∈D.当10x =，ABC 外接圆半径为10【15题答案】【答案】B【解析】【分析】首先计算sin b A ⋅，再根据正弦定理判断三角形解的个数的公式，即可判断选项.【详解】1sin 301892b ⋅=⨯= ，若ABC 有两解，则918<<a ，即(9,18)x ∈，故A 正确；若ABC 有唯一解，则sin 309a b =⋅= ，或18a >，即9x =或18x >，故B 错误；若ABC 无解，则09a <<，即(0,9)x ∈，故C 正确；当10x =时，根据正弦定理102201sin 2a R A ===，得10R =，故D 正确.故选：B16.若O 是ABC 外接圆圆心， A B C 、、是ABC 的内角，若cos cos 2sin sin B C AB AC mAO C B+= ，则实数m 的值为（）A.1B.sin AC.cos AD.tan A【16题答案】【答案】B【解析】【分析】根据三角形外心的性质、正弦定理、两角和的余弦公式，结合平面向量数量积的运算性质和定义进行求解即可.【详解】设AB 的中点为D ， A B C 、、所对的边为 a b c 、、，因为O 是ABC 外接圆圆心，所以⊥DO AB ，于是有2211()22AO AB AD DO AB AB DO AB c ⋅=+⋅=+⋅= ，由2cos cos cos cos 22sin sin sin sin B C B C AB AC mAO AB AC AB mAO AB C B C B +=⇒+⋅=⋅ 22cos cos cos cos cos cos sin sin sin sin B C B C b c b c A mc A m C B C B c ⇒+⋅⋅=⇒+⋅⋅=cos cos sin cos sin sin sin B C B A m C B C ⇒+⋅⋅=cos cos cos cos cos sin sin cos cos sin sin sin sin B C A C A C A C A m A C C C-++⇒=+=，故选：B【点睛】关键点睛：对已知向量等式同时乘以AB是解题的关键.三、解答题（本大题共有5题，满分76分，解答下列各题必须写出必要的步骤，答题务必写在答题纸上规定位置）17.已知两个不平行的向量 a b 、的夹角为θ，且||1 ||4a b == ，.（1）若2a b + 与3+a kb 平行，求k 的值；（2）若,3x R πθ=∈，当||xa b - 的最小时，求向量b 与xa b - 的夹角.【17题答案】【答案】（1）6；（2）3arccos3π-.【解析】【分析】（1）根据平行向量的性质进行求解即可；（2）根据平面向量模的运算公式，结合平面向量夹角公式进行求解即可.【小问1详解】因为2a b + 与3+a kb 平行，所以2(3+)23+a b a kb a b a k b λλλ+=⇒+= ，因为向量 a b、是两个不平行的向量，所以有113326k k λλλ⎧==⎧⎪⇒⎨⎨=⎩⎪=⎩，所以k 的值6；【小问2详解】||xa b -== 当2x =时，||xa b -=，221(2)2214482b a b a b b ⋅-=⋅-=⨯⨯⨯-=- ，向量b 与2a b -的夹角的余弦值为：(2)332b a b b a b ⋅-==-⋅- ，所以向量b 与2a b - 的夹角为3arccos 3π-.19.已知(sin ,cos ) (cos sin 2cos )a x x b x x x =-=-- ,,，函数()(),R f x a a b x =⋅+∈ .（1）求函数()y f x =的最小正周期及对称轴方程；（2）将函数()y f x =按照c 的方向平移后得到的函数是奇函数，求||c 最小时的c .【19题答案】【答案】（1）函数()y f x =的最小正周期为π，该函数的对称轴为(Z)28k x k ππ=-∈；（2）,28c π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ .【解析】【分析】（1）根据平面向量数量积和加法的坐标表示公式，结合辅助角公式、余弦型函数的最小正周期公式、对称轴方程进行求解即可.（2）根据正弦型函数图象的平移性质、奇偶性，结合平面向量模的公式进行求解即可.【小问1详解】因为(sin ,cos ),(cos ,sin 2cos )a x x b x x x =-=--，所以(sin cos ,sin 3cos )a b x x x x +=-- ，而(sin ,cos )a x x =- ，所以221cos2()()sin sin cos sin cos 3cos 2sin 212x f x a a b x x x x x x x +=⋅+=--+=⋅-+ ，即())24f x x π=++，函数()y f x =的最小正周期为：22ππ=，令2(Z)(Z)428k x k k x k ππππ+=∈⇒=-∈，即该函数的对称轴为(Z)28k x k ππ=-∈；【小问2详解】设00(,)c x y = ，将函数()y f x =按照c 的方向平移后得到的函数是00()()y g x f x x y ==-+，而())24f x x π=++，所以00()224g x x x y π=-+++，因为00()224g x x x y π=-+++奇函数，所以有000(Z)2(Z)28422(0)0m x m x m m y g πππππ⎧⎧=--∈-+=+∈⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪=-=⎩⎩，即||c = 因为m ∈Z ，所以当0m =时，||c 有最小值，即,28c π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭.21.某市为表彰在脱贫攻坚工作中做出突出贡献的先进单位，制作了一批奖杯，奖杯的剖面图形如图所示，其中扇形OAB 的半径为10，60,,PBA QAB AQ QP PB OM QP ∠=∠=︒==⊥交QP 于M ，交AB 于C ，且OC AB ⊥，设AOC θ∠=，（1）用θ表示OM 的长度；（2）若按此方案设计，工艺制造厂发现，当OM 最长时，该奖杯比较美观的长度以及θ的大小．【21题答案】【答案】（1）10cos OM θθ=+；（2）arccos7θ=，【解析】【分析】（1）利用直角三角形的性质求出AB ，OC 的长度，设AQ QP BP x ===，作⊥QE AB 交AB 于E ，PF AB ⊥交AB 于F ，利用图形求出10sin x θ=，进而可以求解；（2）利用（1）的结论以及三角函数的性质即可求解．【详解】解：（1）20sin θ=AB ，10cos OC θ=，设AQ QP BP x ===，作⊥QE AB 交AB 于E ，PF AB ⊥交AB 于F ，∵60PBA QAB ∠=∠=︒，∴12AE BF x ==，32CM PF x ==，EF QP x ==，∴2AB x =，则20sin 2AB x θ==，即10sin x θ=，310cos 10cos2OM OC CM x θθθ=+=+=+；（2）10cos )OM θθθϕ=+=+，其中cosϕ=sin ϕ=，当sin()1θϕ+=，27cos cos()cos()cos sin()sin sin 7θθϕϕθϕϕθϕϕϕ=+-=+++==，因此，当arccos7θ=时，OM 最长为22.如图所示：点O 是ABC 所在平面上一点，并且满足()AO mAB nAC m n R =+∈、，已知6260AB AC BAC ==∠= ，，.（1）若实数13m n ==，求证：O 是ABC 的重心；（2）若O 是ABC 的外心，求m n 、的值；（3）如果O 是BAC ∠的平分线上某点，则当3m n +达到最小值时，求||AO .【22题答案】【答案】（1）证明过程见解析；（2）15,39m n =-=；（3）.【解析】【分析】（1）运用平面向量加法的几何意义，结合共线向量的性质和三角形重心的性质进行证明即可；（2）根据三角形外心的性质，结合平面向量数量积的运算性质和定义进行求解即可；（3）根据三角形内心的性质，结合平面向量数量积的运算性质和定义进行求解即可.【小问1详解】当实数13m n ==时，设BC 的中点为D ，由1111()()23333AO AB AC AO AO OB AO OC AO OB OC OD =+⇒=+++⇒=+= ，即2AO OD = ，所以O 是ABC 的重心；【小问2详解】设BA 的中点为E ，显然BA OE ⊥，2211()1822AO AB AE EO AB AB EO AB AB ⋅=+⋅=+⋅== ，由21183662632AO mAB nAC AO AB mAB nAC AB m n m n =+⇒⋅=+⋅⇒=+⋅⨯⨯⇒+= ，设AC 的中点为F ，显然CA OF ⊥，2211()222AO AC AF FC AC AC FO AC AC ⋅=+⋅=+⋅== ，由2126243212AO mAB nAC AO AC mAB AC nAC m n m n =+⇒⋅=⋅+⇒=⋅⨯⨯+⇒+= ，即6315,32139m n m n m n +=⎧⇒=-=⎨+=⎩；【小问3详解】因为O 是BAC ∠的平分线上某点，所以()()(0)62AB AC AB AC AO AB ACλλλ=+=+> ，所以由11,62AO mAB nAC m n λλ=+⇒== ，由31626m n λλ+=+≥，当且仅当166λλ=时取等号，即6λ=时取等号，所以3AO AB AC AO =+⇒==，AO ⇒= .【点睛】关键点睛：运用三角形重心、外心、内心的性质是解题的关键.24.已知函数()sin()(0 0)f x x ωϕωϕπ=+><<,的最小正周期为π，且直线2x π=-是其图象的一条对称轴.将函数()y f x =的图象向右平移4π个单位，再将所得的图象上每一点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍所得的图象对应函数记作()y g x =，令函数()()()F x f x g x λ=+.（1）求函数()y g x =的函数解析式；（2）求函数()y F x =的最大值及相对应的x 的值；（3）若函数()()()F x f x g x λ=+在(0,)n π内恰有2021个零点，其中常数R λ∈，,1n N n ∈≥，求常数λ与n 的值.【24题答案】【答案】（1）()sin y g x x ==；（2）答案见解析；（3）1,1347n λ=-=.【解析】【分析】（1）根据正弦型函数的最小正周期公式和对称轴方程，结合正弦型函数图象的变换性质进行求解即可；（2）根据二倍角的余弦公式，根据二次函数的性质分类讨论进行求解即可；（3）利用换元法，结合正弦函数的性质和一元二次方程根的分布分类讨论进行求解即可.【小问1详解】因为函数()sin()(0)f x x ωϕω=+>的最小正周期为π，所以有22ππωω=⇒=，即()sin(2)f x x ϕ=+，又因为直线2x π=-是()sin(2)f x x ϕ=+图象的一条对称轴，所以有32()(Z)(Z)222k k k k πππϕπϕπ⨯-+=+∈⇒=+∈，因为0ϕπ<<，所以令1k =-，则2ϕπ=，即()sin(2)cos 22f x x x π=+=，因为函数()y f x =的图象向右平移4π个单位，再将所得的图象上每一点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍所得的图象对应函数记作()y g x =，所以()sin y g x x ==；【小问2详解】2()()()cos 2sin 12sin sin F x f x g x x x x xλλλ=+=+=-+22()2(sin )148F x x λλ⇒=--++，当114λ-≤≤时，即44λ-≤≤时，2max ()18F x λ=+，此时sin 4x λ=，即2arcsin (Z)4x k k λπ=+∈或2arcsin (Z)4x k k λππ=+-∈；当14λ>时，即4λ>时，max ()121F x λλ=-+=-，此时sin 1x =，即2(Z)2x k k ππ=+∈；当14λ<-时，即4<-λ时，max ()121F x λλ=--=--，此时sin 1x =-，即32(Z)2x k k ππ=+∈，综上所述：当44λ-≤≤时，2max()18F x λ=+，此时2arcsin (Z)4x k k λπ=+∈或2arcsin (Z)4x k k λππ=+-∈；当4λ>时，max ()121F x λλ=-+=-，此时2(Z)2x k k ππ=+∈；当4<-λ时，max()121F x λλ=--=--，此时32(Z)2x k k ππ=+∈；【小问3详解】2()()()cos 2sin 12sin sin 0F x f x g x x x x x λλλ=+=+=-+=，设sin ,[1,1]x t t =∈-，则22120210t t t t λλ-+=⇒--=，该方程的判别式280λ∆=+>，所以该方程有实根，设为12,t t ，12102t t =-<，显然两根为异号，若1201,01t t <<<<时，则方程12sin ,sin x t x t ==在(0,)n π内都有偶数个根，所以方程212sin sin 0x x λ-+=有偶数个根，不符合题意；若11t =，则212t =-，此时1λ=，当(0,2)x π∈时，1sin x t =只有一个根，2sin x t =有两个根，所以212sin sin 0x x λ-+=有三个根，由于202136732=⨯+，所以212sin sin 0x x λ-+=在(0,1346)x π∈内有36732019⨯=个根，由于方程1sin x t =在(1346,1347)x ππ∈内只有一个根，2sin x t =没有实根，所以方程212sin sin 0x x λ-+=在(0,1347)x π∈时有2020个实根，不符合题意；若11t =-，则212t =，此时1λ=-，当(0,2)x π∈时，1sin x t =只有一个根，2sin x t =有两个根，所以212sin sin 0x x λ-+=有三个根，由于202136732=⨯+，所以212sin sin 0x x λ-+=在(0,1346)x π∈内有36732019⨯=个根，由于方程1sin x t =在(1346,1347)x ππ∈内没有实根根，2sin x t =有两个实根，所以方程212sin sin 0x x λ-+=在(0,1347)x π∈时有2021个实根，符合题意；若两个根有一个绝对值大于1，则另一个根绝对值大于零且小于1，有偶数个根，不符合题意，综上所述：1,1347n λ=-=.【点睛】关键点睛：利用换元法，根据一元二次方程实根的分布结合正弦函数的性质分类讨论是解题的关键.。

2019-2020学年上海市闵行区七宝中学高一第二学期期中数学试卷一、填空题（共12小题）.1．若cosα＝﹣，则cos2α＝．2．已知sinα＝，α∈（，π），则cosα＝．3．已知{a n}是等比数列，首项为3，公比为，则前4项的和为．4．若tanα＝3，则sin2α＝．5．等差数列{a n}的前n项和为S n，a4＝1，则S7＝．6．已知扇形的圆心角为，半径为5，则扇形的面积S＝．7．在数列{a n}中，a2＝5，a n+1﹣a n＝2n（n∈N*），则数列{a n}的通项a n＝．8．我国南宋著名数学家秦九韶发现了从三角形三边求三角形面积的“三斜公式”，设△ABC 内角A、B、C的对边分别为a、b、c，面积为S，则“三斜求积”公式为S＝，若c2sin A＝4sin C，B＝，则用“三斜求积”公式求得△ABC的面积为．9．函数的图象向右平移个单位后与函数f（x）的图象重合，则下列结论中正确的是．①f（x）的一个周期为﹣2π；②f（x）的图象关于x＝﹣对称；③x＝是f（x）的一个零点；④f（x）在单调递减．10．已知函数f（x）＝3sin x+4cos x，x1，x2∈[0，π]，则f（x1）﹣f（x2）的最大值是．11．在锐角△ABC中，内角A，B，C对的边分别为a，b，c．若a2+b（b﹣a）＝1，c ＝1，则a﹣b的取值范围为．12．已知数列{a n}满足a1＝4，a n＝2a n﹣1+2n（n≥2，n∈N*），若不等式2n2﹣n﹣3＜（5﹣λ）a n对任意n∈N*恒成立，则实数λ的取值范围是．二.选择题13．函数y＝2sin，x∈R的最小正周期为（）A．12B．6C．D．14．已知k∈Z，下列各组角中，终边相同的是（）A．2kπ与kπB．2kπ+π与4kπ±πC．kπ+与2kπ±D．与kπ±15．已知函数f（x）＝sinωx+cosωx（ω＞0）在[0，π]上有两个零点，则ω的取值范围为（）A．（，）B．[，）C．（，）D．[）16．有一个三人报数游戏：首先A报数字1，然后B报下两个数字2，3，接下来C报下三个数字4，5，6，然后轮到A报下四个数字7，8，9，10，依次循环，直到报出10000，则A报出的第2020个数字为（）A．5979B．5980C．5981D．以上都不对三.解答题17．在△ABC中，三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且a2+c2﹣b2＝ac．（1）求B；（2）若a+c＝6，三角形的面积S△ABC＝2，求b．18．已知S n为{a n}的前n项和，{b n}是等比数列且各项均为正数，且S n＝n，b1＝2，b2+b3＝．（1）求{a n}和{b n}的通项公式；（2）记c n＝a n•b n，求数列{c n}的前n项和T n．19．如图，有一块扇形草地OMN，已知半径为R，∠MON＝，现要在其中圈出一块矩形场地ABCD作为儿童乐园使用，其中点A、B在弧上，且线段AB平行于线段MN．（1）若点A为弧的一个三等分点，求矩形ABCD的面积S；（2）设∠AOB＝θ，求A在上何处时，矩形ABCD的面积S最大？最大值为多少？20．设正项数列{a n}的前n项和为S n，首项为1，q为非零正常数，数列{lg（a n）}是公差为lgq的等差数列．（1）求数列{S n}的通项公式；（2）求证：数列是递增数列；（3）是否存在正常数c，使得{lg（c﹣S n）}为等差数列？若存在，求出c的值和此时q 的取值范围；若不存在，说明理由．21．数列{a n}满足a n a n+1a n+2＝a n+a n+1+a n+2（a n a n+1≠1，n∈N*），且a1＝1，a2＝2，若a n＝A sin（ωx+φ）+c（A≠0，ω＞0，|φ|＜）的形式表示．（1）求a3的值；（2）证明3为数列{a n}的一个周期，并用正整数k表示ω；（3）求{a n}的通项公式．参考答案一.填空题（共12小题）.1．若cosα＝﹣，则cos2α＝．【分析】由已知利用二倍角的余弦函数公式即可计算求值得解．解：∵cosα＝﹣，∴cos2α＝2cos2α﹣1＝2×﹣1＝．故答案为：．2．已知sinα＝，α∈（，π），则cosα＝﹣．【分析】由sinα的值，及α的范围，判断出cosα为负数，利用同角三角函数间基本关系求出cosα的值即可．解：∵sinα＝，α∈（，π），∴cosα＜0，则cosα＝﹣＝﹣，故答案为：﹣3．已知{a n}是等比数列，首项为3，公比为，则前4项的和为．【分析】利用等比数列前n项和公式能求出等比数列前4项的和．解：{a n}是等比数列，首项为3，公比为，则前4项的和为S4＝＝．故答案为：．4．若tanα＝3，则sin2α＝．【分析】利用同角三角函数的基本关系以及二倍角的正弦公式，把要求的式子化为，把已知条件代入运算求得结果．解：∵tanα＝3，∴sin2α＝2sinαcosα＝＝＝＝．故答案为：．5．等差数列{a n}的前n项和为S n，a4＝1，则S7＝7．【分析】先由等差数列的性质可得a1+a7＝2a4，再根据等差数列的求和公式代入即可．解：根据题意，等差数列{a n}中，a1+a7＝2a4，则S7＝×7＝7a4＝7，故答案为7．6．已知扇形的圆心角为，半径为5，则扇形的面积S＝．【分析】利用S＝，即可求得结论．解：∵扇形的圆心角为，半径为5，∴S＝＝＝故答案为：7．在数列{a n}中，a2＝5，a n+1﹣a n＝2n（n∈N*），则数列{a n}的通项a n＝2n+1．【分析】直接利用递推关系式和累加法求出数列的通项公式．解：由题意可得：，利用累加法，得：，a1＝3，于是：．故答案为：2n+18．我国南宋著名数学家秦九韶发现了从三角形三边求三角形面积的“三斜公式”，设△ABC内角A、B、C的对边分别为a、b、c，面积为S，则“三斜求积”公式为S＝，若c2sin A＝4sin C，B＝，则用“三斜求积”公式求得△ABC的面积为．【分析】根据已知利用正弦定理可得ac＝4，根据余弦定理可得a2+c2﹣b2＝4，利用三斜公式即可求解．解：根据正弦定理，由c2sin A＝4sin C，得ac＝4，则由B＝，得：a2+c2﹣b2＝4，则△ABC的面积S＝＝．故答案为：．9．函数的图象向右平移个单位后与函数f（x）的图象重合，则下列结论中正确的是①②③．①f（x）的一个周期为﹣2π；②f（x）的图象关于x＝﹣对称；③x＝是f（x）的一个零点；④f（x）在单调递减．【分析】推导出f（x）＝sin[2（x﹣）+]＝sin（2x﹣），由此能求出结果．解：∵函数y＝sin（2x+）的图象向右平移个单位后与函数f（x）的图象重合，∴f（x）＝sin[2（x﹣）+]＝sin（2x﹣），∴f（x）的一个周期为﹣2π，故①正确；y＝f（x）的对称轴满足：2x﹣＝kπ+，k∈Z，∴当k＝﹣2时，y＝f（x）的图象关于x＝﹣对称，故②正确；由f（x）＝sin（2x﹣）＝0，得x＝+，∴x＝是f（x）的一个零点，故③正确；当x∈（﹣，）时，2x﹣∈（﹣，），∴f（x）在（﹣，）上单调递增，故④错误．故答案为：①②③．10．已知函数f（x）＝3sin x+4cos x，x1，x2∈[0，π]，则f（x1）﹣f（x2）的最大值是9．【分析】本题先将函数f（x）转化成正弦函数的形式，然后结合正弦函数的图象判断出函数f（x）在区间[0，π]上的最大值和最小值，从而得出结果．解：由题意，可知：f（x）＝3sin x+4cos x＝5•（sin x+cos x）＝5sin（x+θ），其中sinθ＝，cosθ＝．∵sinθ＝，可知sin＝，∴对于函数f（x）＝5sin（x+θ），可知：sin x向左平移θ个单位得到sin（x+θ），再将sin（x+θ）的图象沿y轴伸长到原来的5倍得到5sin（x+θ）．由题意，可知求f（x1）﹣f（x2）的最大值就是求函数f（x）＝5sin（x+θ）在区间[0，π]上的最大值与最小值之差．又函数f（x）＝5sin（x+θ）在区间[0，π]上的图象如下：由图象可知，在区间[0，π]上，当x＝时，f（x）取最大值5，当x＝π时，f（x）取最小值5sin（π+θ）＝﹣5sinθ＝﹣4．∴在区间[0，π]上，f（x1）﹣f（x2）的最大值是5﹣（﹣4）＝9．故答案为：9．11．在锐角△ABC中，内角A，B，C对的边分别为a，b，c．若a2+b（b﹣a）＝1，c ＝1，则a﹣b的取值范围为（1，）．【分析】先根据余弦定理求得角C，结合正弦定理把a﹣b转化为2（sin A﹣sin B），再结合AB之间的关系求出角A的范围，与正弦函数相结合即可求得结论．解：因为在锐角△ABC中，内角A，B，C对的边分别为a，b，c．∵a2+b（b﹣a）＝1，c＝1⇒a2+b2﹣ab＝c2⇒2cos C＝⇒cos C＝⇒C＝30°，∴＝＝＝＝2；∴a＝2sin A，b＝2sin B；∴a﹣b＝2（sin A﹣sin B）＝2[sin A﹣sin（150°﹣A）]＝2[sin A﹣（cos A+sin A）]＝2（sin A﹣cos A）＝2sin（A﹣30°）；∵0°＜A＜90°，0°＜B＜90°，A+B＝150°；∴60°＜A＜90°；∴30°＜A﹣30°＜60°⇒2sin（A﹣30°）∈（1，）；故a﹣b∈（1，）；故答案为：（1，）．12．已知数列{a n}满足a1＝4，a n＝2a n﹣1+2n（n≥2，n∈N*），若不等式2n2﹣n﹣3＜（5﹣λ）a n对任意n∈N*恒成立，则实数λ的取值范围是．【分析】首先利用构造新数列法的应用求出数列的通项公式，进一步利用函数的恒成立问题的应用和函数的导数的应用求出结果．解：数列{a n}满足a1＝4，a n＝2a n﹣1+2n（n≥2，n∈N*），则：（常数），所以数列{}是以为首项，1为公差的等差数列．所以，整理得，不等式2n2﹣n﹣3＜（5﹣λ）a n对任意n∈N*恒成立，所以＝，所以对任意的n∈N*恒成立，所以设f（n）＝，故，当n＝1，2时，f′（n）＞0，当n≥3时，f′（n）＜0，所以f（2）＝，f（3）＝．所以．故答案为：（﹣）．二.选择题13．函数y＝2sin，x∈R的最小正周期为（）A．12B．6C．D．【分析】由题意利用函数y＝A sin（ωx+φ）的周期为，得出结论．解：函数y＝2sin，x∈R的最小正周期为＝12，故选：A．14．已知k∈Z，下列各组角中，终边相同的是（）A．2kπ与kπB．2kπ+π与4kπ±πC．kπ+与2kπ±D．与kπ±【分析】分别写出选项中所表示的终边所在的角的集合，逐一核对即可．解：2kπ（k∈Z）表示终边在x轴非负半轴上的角的集合，kπ（k∈Z）表示终边在x轴上的角的集合，两组角终边不同；2kπ+π与4kπ±π（k∈Z）都表示终边在x轴非正半轴上的角的集合，两组角终边相同；kπ+（k∈Z）表示终边与和终边相同的角的集合，2kπ±（k∈Z）表示终边与和﹣终边相同的角的集合，两组角终边不同；（k∈Z）表示终边在坐标轴上的角的集合，kπ±（k∈Z）表示终边在y轴上的角的集合，两组角终边不同；故选：B．15．已知函数f（x）＝sinωx+cosωx（ω＞0）在[0，π]上有两个零点，则ω的取值范围为（）A．（，）B．[，）C．（，）D．[）【分析】利用辅助角公式化积，由x的范围得到∈[，]，再由函数f（x）在[0，π]上有两个零点，可得2π≤ωπ+＜3π，由此求得ω的取值范围．解：f（x）＝sinωx+cosωx＝，∵x∈[0，π]，∴∈[，]，要使函数f（x）在[0，π]上有两个零点，则2π≤ωπ+＜3π，解得：≤ω＜．∴ω的取值范围为[，）．故选：B．16．有一个三人报数游戏：首先A报数字1，然后B报下两个数字2，3，接下来C报下三个数字4，5，6，然后轮到A报下四个数字7，8，9，10，依次循环，直到报出10000，则A报出的第2020个数字为（）A．5979B．5980C．5981D．以上都不对【分析】首先分析出A第n次报数的个数为3n﹣2，进一步求出3人以公报的次数，进一步利用前n项和公式的应用求出结果．解：由题意可得：A第n次报数的个数为3n﹣2，则A第n次报完数后共报的个数为．再代入正整数n，使得T n≥2020，解得：n的最小值为37，得T37＝2035．而A第37次报时，3人总共报了36×3+1＝109次，当A第109次报完数3人总的报数个数为．即A报出的第2035个数字为5995，故A报出的第2020个数字为5980．故选：B．三.解答题17．在△ABC中，三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且a2+c2﹣b2＝ac．（1）求B；（2）若a+c＝6，三角形的面积S△ABC＝2，求b．【分析】（1）由已知结合余弦定理可求cos B，进而可求B；（2）由已知结合三角形的面积公式可求ac，进而可求．解：（1）因为a2+c2﹣b2＝ac．由余弦定理可得，cos B＝＝，因为B为三角形的内角，所以；（2）∵a+c＝6，三角形的面积S△ABC＝＝＝2，∴ac＝8，∵a2+c2﹣b2＝ac，∴（a+c）2﹣b2＝3ac，∴36﹣b2＝24，∴b＝218．已知S n为{a n}的前n项和，{b n}是等比数列且各项均为正数，且S n＝n，b1＝2，b2+b3＝．（1）求{a n}和{b n}的通项公式；（2）记c n＝a n•b n，求数列{c n}的前n项和T n．【分析】（1）先由a n＝S n﹣S n﹣1求得a n，再检验n＝1时是否适合，从而求得a n．设等比数列{b n}的公比为q，由题意列出q的方程，求得q，进而求得b n；（2）由（1）求得c n，再利用错位相减法求其前n项和T n．解：（1）∵S n＝n，∴当n≥2时，有a n＝S n﹣S n﹣1＝n﹣＝3n﹣1，又当n＝1时，有S1＝＝2＝a1也适合，∴a n＝3n ﹣1．设等比数列{b n}的公比为q，由题意得：，解得q＝，故；（2）由（1）得c n＝（3n﹣1）•（）n﹣2，∴T n＝2×（）﹣1+5×（）0+8×（）1+…+（3n﹣1）×（）n﹣2①，又＝2×（）0+5×（）1+8×（）2+…+（3n﹣1）×（）n﹣1②，由①﹣②得：＝4+3[1++（）2+…+（）n﹣2]﹣（3n﹣1）×（）n﹣1＝4+3×+（1﹣3n）×（）n﹣1＝10﹣（3n+5）•（）n﹣1∴．19．如图，有一块扇形草地OMN，已知半径为R，∠MON＝，现要在其中圈出一块矩形场地ABCD作为儿童乐园使用，其中点A、B在弧上，且线段AB平行于线段MN．（1）若点A为弧的一个三等分点，求矩形ABCD的面积S；（2）设∠AOB＝θ，求A在上何处时，矩形ABCD的面积S最大？最大值为多少？【分析】（1）作OH⊥AB于点H，交线段CD于点E，连接OA、OB，求出AB，EH，可得矩形ABCD的面积S；（2）设∠AOB＝θ（0＜θ＜），求出AB，EH，可得矩形ABCD的面积S，再求最大值．解：（1）如图，作OH⊥AB于点H，交线段CD于点E，连接OA、OB，∴∠AOB＝，∴AB＝2R sin，OH＝R cos，OE＝DE＝AB＝R sin，∴EH＝OH﹣OE＝R（cos﹣sin），S＝AB•EH＝2R2（sin cos﹣sin2）＝，（2）设∠AOB＝θ（0＜θ＜），则AB＝2R sin，OH＝R cos，oe＝AB＝R cos，OE＝AB＝R sin，∴EH＝OH﹣OE＝R（cos﹣sin），S＝AB•EH＝R2（2sin cos﹣2sin2）＝R2（sinθ+cosθ﹣1）＝R2[sin（θ+）﹣1]，∵0＜θ＜，∴＜θ+＜，∴θ+＝即θ＝时，S max＝（﹣1）R2，此时A在弧MN的四等分点处．答：当A在弧MN的四等分点处时，S max＝（﹣1）R2．20．设正项数列{a n}的前n项和为S n，首项为1，q为非零正常数，数列{lg（a n）}是公差为lgq的等差数列．（1）求数列{S n}的通项公式；（2）求证：数列是递增数列；（3）是否存在正常数c，使得{lg（c﹣S n）}为等差数列？若存在，求出c的值和此时q 的取值范围；若不存在，说明理由．【分析】（1）根据题意得a1＝1，根据题意可得lg（a n）＝lg（a1）+（n﹣1）lgq＝lg1+（n﹣1）lgq＝lgq n﹣1，即a n＝q n﹣1，分当q＝1时，当q≠1时，两种情况写出S n（2）当q＝1时，S n＝n，＝1﹣随着n的增大而增大，当q＞0，q≠1时，﹣＝﹣＝＜0，可得数列是递增数列；（3）假设存在正常数c使得{lg（c﹣S n）}为等差数列，若{lg（c﹣S n）}为等差数列，可得q≠1，lg（c﹣+）＝lg＝nlgq﹣lg（1﹣q）为等差数列，即可求出c＝（0＜q＜1）．解：（1）根据题意得a1＝1，因为数列{lg（a n）}是公差为lgq的等差数列，所以lg（a n）＝lg（a1）+（n﹣1）lgq＝lg1+（n﹣1）lgq＝lgq n﹣1，所以a n＝q n﹣1，当q＝1时，S n＝n，当q≠1时，S n＝＝，所以．（2）证明：当q＝1时，S n＝n，所以＝＝1﹣随着n的增大而增大，当q＞0，q≠1时，S n＝，＝，由﹣＝﹣＝＜0，可得数列是递增数列；（3）假设存在正常数c使得{lg（c﹣S n）}为等差数列，当q＝1时，S n＝n，q≠1，S n＝，{lg（c﹣S n）}为等差数列，可得q≠1，lg（c﹣+）＝lg＝nlgq﹣lg（1﹣q）为等差数列，则有c＝（0＜q＜1）．21．数列{a n}满足a n a n+1a n+2＝a n+a n+1+a n+2（a n a n+1≠1，n∈N*），且a1＝1，a2＝2，若a n＝A sin（ωx+φ）+c（A≠0，ω＞0，|φ|＜）的形式表示．（1）求a3的值；（2）证明3为数列{a n}的一个周期，并用正整数k表示ω；（3）求{a n}的通项公式．【分析】（1）代值计算即可，（2）分别令n＝1，2，3，即可证明，根据周期公式即可求出，（3）分别由a1＝1，a2＝2，a3＝3，可得1＝A sin（+φ）+c，2＝﹣A sin（+φ）+c，3＝A sinφ+c，解得即可求出．解：（1）当a1＝1，a2＝2，a1a2a3＝a1+a2+a3，解得a3＝3；（2）当n＝2时，6a4＝2+3+a4，解得a4＝1，当n＝3时，3a5＝1+3+a5，解得a5＝2，…，可得a n+3＝a n，当a1＝1，a2＝2，a3＝3；故3为数列{a n}的一个周期，则＝3，k∈N*，则；（3）由（2）可得a n＝A sin（n+φ）+c，则1＝A sin（+φ）+c，2＝﹣A sin（+φ）+c，3＝A sinφ+c，即1＝A•cosφ﹣A•sinφ+c，①2＝﹣A•cosφ﹣A•sinφ+c，②由①+②，可得3＝﹣A sinφ+2c，∴c＝2，A sinφ＝1，①﹣②，可得﹣1＝A•cosφ，则tanφ＝﹣，∵|φ|＜，∴φ＝﹣，∴A＝﹣，故．。

上海市高一年级第二学期期中数学试卷一、填空题1. 已知角α的顶点在坐标原点，始边在x 轴的正半轴上，其终边上有一点(5,12)P -，sec α=____________.2. 求值：3arccos 2⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭=____________. 3. 已知扇形的圆心角为2弧度，面积为9cm 2，则该扇形的弧长为____________cm. 4. 若3sin 5α=，且,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则tan α=____________. 5. 函数22sin 6y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的最小正周期为____________. 6. 若1cos cos sin sin 3x y x y +=，则cos(22)x y -=____________. 7. 函数sin arcsin y x x =+的值域是____________. 8. 关于x 的方程2cos sin 0x x a ++=在0,2x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦上有解，则a 的取值范围是____________.9. 设函数22(sin 1)()sin 1x f x x +=+的最大值为M ，最小值为m ，则M m +=____________.10. 已知sin 3sin 6παα⎛⎫=+⎪⎝⎭，则tan 12πα⎛⎫+⎪⎝⎭=____________. 11. 已知ABC V ，若存在111A B C V ，满足111cos cos cos 1sin sin sin A B CA B C ===，则称111A B C V 是ABC V 的一个“对偶”三角形，若等腰ABC V 存在“对偶”三角形，则其底角的弧度数为____________. 12. 已知函数cos()y k kx =在区间,43ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，则实数k 的取值范围为____________.二、选择题13. 方程tan 2x =的解集是（ ） A. {}|2arctan 2,x x k k Z π=+∈ B. {}|2arctan 2,x x k k Z π=±∈C. {}|arctan 2,x x k k Z π=+∈D. {}|(1)arctan 2,k x x k k Z π=+-⋅∈14. 已知函数sin()(0,0)y A x m A ωϕω=++>>的最大值为4，最小值为0，最小正周期为2π，直线3x π=是其图像的一条对称轴，则符合条件的函数解析式是（ ）A. 4sin 46y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B. 2sin 223y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭C. 2sin 423y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭B. 2sin 426y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭15. 函数2sin 2,[0,]6y x x ππ⎛⎫=-∈⎪⎝⎭的递增区间是（ ）A. 0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦B. 7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. 5,36ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. ,3ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦16. 已知,,αβγ是某三角形的三个内角，给出下列四组数据： ①sin ,sin ,sin αβγ；②222sin ,sin ,sin αβγ；③222cos ,cos ,cos 222αβγ；④tan,tan,tan222αβγ分别以每组数据作为三条线段的长，其中一定能构成三角形的有（ ） A. 1组B. 2组C. 3组D. 4组三、解答题17. 设0,,,362πππαβ⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且,αβ满足5cos 82ααββ⎧+=⎪+=（1）求cos 6πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值；（2）求cos()αβ+的值18. 如图，等腰三角形ABC 中，B C ∠=∠，D 在BC 上，BAD ∠大小为α，CAD ∠大小为β. （1）若,43ππαβ==，求BDDC； （2）若1,23BD DC πβα==+，求B ∠19. 某景区欲建两条圆形观景步道12,M M （宽度忽略不计），如图所示，已知AB AC ⊥，60AB AC AD ===（单位：米），要求圆M 与,AB AD 分别相切于点,B D ，圆2M 与,AC AD 分别相切于点,C D . （1）若3BAD π∠=，求圆12,M M 的半径（结果精确到0.1米）（2）若观景步道12,M M 的造价分别为每米0.8千元与每米0.9千元，则当BAD ∠多大时，总造价最低？最低总造价是多少？（结果分别精确到0.1°和0.1千元）20. 在ABCV 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c . 已知)cos cos B BC C --4cos cos B C =.（1）求角A 的大小；（2）若2a =，求ABC V 面积的取值范围；（3）若sin sin B p C =，试确定实数p 的取值范围，使ABC V 是锐角三角形.21. 已知集合P 是满足下述性质的函数()f x 的全体：存在非零常数M ，对于任意的x R ∈，都有()()f x M Mf x +=-成立.（1）设函数(),()sin f x x g x x π==，试判断(),()f x g x 是否为集合P 中函数，并说明理由； （2）当1M =时，试说明函数()f x 的一个性质，并加以说明； （3）若函数()sin h x x P ω=∈，求实数ω的取值范围参考答案一、填空题 1.135 2.56π 3. 64. 34-5. π6. 79-7. sin1,sin144ππ⎡⎤--+⎢⎥⎣⎦8. 5,14⎡⎤--⎢⎥⎣⎦9. 210. 4-+11.4π12. 30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦二、选择题 13. C 14. D15. C16. B三、解答题17. （1）35； （2）10-18. （1）3 （2）6π19. （1）1r =260(2r =； （2）54.1°；867.120. （1）3π； （2）(； （3）1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭21. （1）(),()f x P g x P ∈∈； （2）周期为2； （3）,k k Z ωπ=∈上海市高一下学期期中考试数学试卷一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1. 已知角α的终边经过点(3P ，则与α终边相同的角的集合是 .2. 方程()lg 3lg 1x x -+=的解为x = .3.关于x 的方程12xa aπ+=-只有正实数解，则a 的取值范围是 . 4.若()11tan ,tan 32ααβ=+=，则tan β= .5．已知1sin 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则2cos 23πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭. 6.将函数sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象上所有点向右平移6π个单位，再将图象上所有点的横坐标变为原来的12倍（纵坐标不变），则所得的图象的函数解析式为 . 7.若3sin cos 0αα+=，则21cos 2sin cos ααα+ .8.已知,A B 分别是函数()()2sin 0f x x x ωω=>在y 轴右侧图象上的第一个最高点和第一个最低点，且2AOB π∠=，则该函数的最小正周期是 .9.在ABC ∆中，内角A,B,C 的对边分别是,,a b c ，已知ABC ∆的面积为31512,cos 4b c A -==-，则a 的值为 .10.已知函数()()sin cos 0,f x x x x R ωωω=+>∈，若函数()f x 在区间(),ωω-内单调递增，且函数()y f x =的图象关于直线x ω=对称，则ω的值为 .二、选择题：11．若sin 0α>，且tan 0α<，则角α的终边位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D.第四象限 12．下列结论错误的是 A.若02πα<<，则sin tan αα<B.若α是第二象限角，则2α为第一象限或第三象限角 C.若角α的终边经过点()()3,40P k k k ≠，则 4sin 5α=D.若扇形的周长为6，半径为2，则其中心角的大小为1弧度13．函数2312sin 4y x π⎛⎫=--⎪⎝⎭是 A.最小正周期为π的奇函数 B. 最小正周期为π的偶函数 C. 最小正周期为2π的奇函数 D. 最小正周期为2π的偶函数 14．已知函数()()sin f x A x ωϕ=+（,,A ωϕ为正常数）的最小正周期为π，当23x π=时，函数()f x 取得最小值，则下列结论正确的是A.()()()220f f f <-<B. ()()()022f f f <<-C. ()()()202f f f -<<D. ()()()202f f f <<- 三、解答题： 15. 已知tan 2.α=（1）求tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值； （2）求2sin 2sin sin cos cos 21ααααα+--的值.16. 已知,,a b c 分别是ABC ∆内角A,B,C 的对边，且2sin 2sin sin .B A C = （1）若a b =，求cos B ；（2）设90,B =o，且a =ABC ∆的面积.17. 已知实数x 满足2411033903x x ---+=，且()22log log 2x f x =⋅ （1）求实数x 的取值范围；（2）求()f x 的最大值和最小值，并求此时x 的值.18.已知函数()22sin sin 6f x x x πωω⎛⎫=--⎪⎝⎭，,x R ω∈为常数，且112ω<<，函数()f x 的图象关于直线X π=对称.（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）在ABC ∆中，角A,B,C 的对边分别为,,a b c ，若311,54a f A ⎛⎫== ⎪⎝⎭，求ABC ∆的S 最大值.四．附加题19.甲、乙两人解关于x 的方程2log log 20x x b c ++=，甲写错了常数b ，得两根11,48，乙写错了常数c ，得两根1,642，求这个方程真正的根.20. 已知函数()()sin2xf x x R π=∈，任取t R ∈，若函数()f x 在区间[],1t t +上的最大值为()M t ，最小值为()m t ，记()()()g t M t m t =-（1）求函数()f x 的最小正周期及对称轴方程； （2）当[]2,0t ∈-时，求函数()g t 的解析式； （3）设函数()(),28x kh x xH x x x k k -==-+-，其中k 为参数，且满足关于t 的不等式()40g t -≤有解，若对任意[)14,x ∈+∞，存在(]2,4x ∈-∞，使得()()21h x H x =成立，求实数k 的取值范围.上海高一第二学期期中考试数学试卷一. 填空题1. 已知角θ的终边在射线2y x =(0)x ≤上，则sin cos θθ+=2. 若32ππα<<1111cos22222α++=3. 函数2cos(3)5y x π=+的最小正周期为4. 在△ABC 中，若sin sin()1cos()cos 22A B B A ππ-=--，则△ABC 为 三角形（填“锐角”、“直角”或“钝角”） 5. 若3cos()5αβ+=，4cos()5αβ-=，则tan tan αβ= 6. 已知2sin 5x =-3()2x ππ<<，则x = （用反正弦表示） 7. 函数22sin 3sin 1y x x =-+，5[,]66x ππ∈的值域为8. 将函数cos2sin 2y x x =-的图像向左平移m 个单位后，所得图像关于原点对称，则实数m 的最小值为9. 若函数sin3cos3y x a x =+的图像关于9x π=-对称，则a =10. 若函数()sin f x x =和()cos()3g x x π=-定义域均是[,]ππ-，则它们的图像上存在个点关于y 轴对称11. 已知k 是正整数，且12017k ≤≤，则满足方程sin1sin 2sin k ︒︒︒++⋅⋅⋅+=sin1sin 2sin k ︒︒︒⋅⋅⋅⋅⋅⋅的k 有 个12. 已知函数()sin()f x A x B ωϕ=++，其中A 、B 、ω、ϕ均为实数，且0A >，0ω>，||2πϕ<，写出满足(1)2f =，1(2)2f =，(3)1f =-，(4)2f =的一个函数()f x = （写出一个即可）二. 选择题 13. 已知02πα-<<，则点(cot ,cos )αα在（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 14. 下列函数中，既是偶函数又在(0,)π上单调递增的是（ ） A. tan ||y x = B. cos()y x =- C. sin()2y x π=- D. 3cos()2y x π=+ 15. 将函数sin(2)3y x π=-图像上的点(,)4P t π向左平移s (0)s >个单位长度得到点P '，若 点P '位于函数sin 2y x =的图像上，则（ ） A. 12t =，s 的最小值为6πB. t =，s 的最小值为6πC. 12t =，s 的最小值为3πD. 2t =，s 的最小值为3π16. 若α、[,]22ππβ∈-，且sin sin 0ααββ->，则下列结论中正确的是（ ）A. αβ>B. 0αβ+>C. αβ<D. 22αβ>三. 简答题 17.求证：sin(2)sin 2cos()sin sin αββαβαα+-+=.18.已知tan 2θ=-(,)42ππθ∈. （1）求tan θ的值；（2）求22cos sin 12sin()4θθπθ--+的值.19. 写出函数222sin cos y x x x x =+的值域、单调递增区间、对称轴方程、对称点坐标（只需写出答案即可），并用五点法作出该函数在一个周期内的图像.20. 已知集合{()|()(2)(1)}A f x f x f x f x =++=+，()sin()3xg x π=.（1）求证：()g x A ∈；（2）()g x 是周期函数，据此猜想A 中的元素一定是周期函数，判断该猜想是否正确，并证明你的结论； （3）()g x 是奇函数，据此猜想A 中的元素一定是奇函数，判断该猜想是否正确，并证明你的结论.21. 已知函数()sin()f x x ωϕ=+(0,0)ωϕπ><<的最小正周期为π，其图像的一个对称 中心为(,0)4π，将函数()f x 图像上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将所得图像向右平移2π个单位长度后得到函数()g x 的图像. （1）求函数()f x 与()g x 的解析式；（2）求实数a 与正整数n ，使得()()()F x f x ag x =+在(0,)n π内恰有2017个零点.参考答案一. 填空题1. sin 2α3. 23π4. 直角5. 176. 2arcsin5π+ 7. 1[,0]8- 8. 8π9. 3 10. 211. 11 12. 21()3sin()332f x x ππ=-+ 二. 选择题13. B 14. C 15. A 16. D三. 简答题 17. 略.18.（1）2； （2）3. 19. 值域：[2,2]-；递增区间：5[,]1212k k ππππ-+，k Z ∈；对称轴：526k x ππ=+，k Z ∈； 对称中心：(,0)23k ππ+，k Z ∈；作图：略. 20.（1）略； （2）是； （3）不是，反例：()cos()3f x x π=.21.（1）()cos2f x x =，()sin g x x =； （2）1a =，1345n =.上海市高一下学期数学期中考试试卷一、填空题1.幂函数()x f 的图像经过点()4273，，则()x f 的解析式是 . 2.若角α的终边上一点)0)(4,3≠-a a a P （，则cos α= . 3.若扇形的圆心角为3π，则扇形的内切圆的面积与扇形面积之比为 . 4.已知点(tan ,cos )P αα在第三象限，则角α的终边在第 象限.5.已知(()sin 5πα-=α在第二象限角，则 tan α= . 6.已知3sin 5α=，α在第二象限，则tan 2α= .7.求值：tan tan(60)tan(60)θθθθ+︒-︒-= . 8.已知3sin(2)65x π+=，[,]42x ππ∈，则cos 2x = . 9.在ABC ∆中，222sin sin sin sin sin B A C A C +≥+，则角B 的最小值是 . 10.ABC ∆的内角C B A 、、所对的边分别为c b a 、、，已知A c C a cos 2cos 3=，31tan =A ，则B = .11.已知函数()1()2xf x =，()12log g x x =，记函数()()()⎩⎨⎧=x f x g x h ()()()()x g x f x g x f ＞≤，则函数()()5-+=x x h x F 所有零点的和为 .12. 如果满足︒=45B ，10=AC ，k BC =的ABC ∆恰有一个，则实数k 的取值范围是 .二、选择题13. 2πθ=“”是“x x cos )sin(=+θ”成立的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件的值等于（ ）A. 2cosB. 21cos C. 2cos - D.21cos - 15.ABC ∆中，三边长分别为x 、y 、z ，且222x y z +=，则ABC ∆的形状为（ ）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 无法判断16. 设函数()x x x f x a b c =+-，其中0,0＞＞＞＞b a a c ，若a b c 、、是ABC ∆的三条边长，则下列结论中正确的是（ ）①存在x R +∈，使xa 、xb 、xc 不能构成一个三角形的三条边 ②对一切()1,∞-∈x ，都有()0＞x f③若ABC ∆为钝角三角形，则存在()2,1∈x ，使()0=x fA.①②B. ①③C.②③D. ①②③三、解答题17.已知α为第二象限角，化简212sin(5)cos()33sin()1sin ()22πααπαππα+-----+．18.已知113cos ,cos()714ααβ=-=，且02πβα＜＜＜，求：（1）tan 2α；（2）βcos ． 19.如图，D C 、是两个小区所在地，D C 、到一条公路AB 的垂直距离分别为km DB km CA 2,1==，AB 两端之间的距离为km 6.（1）某移动公司将在AB 之间找一点P ，在P 处建造一个信号塔，使得P 对C A 、的张角与P 对D B 、的张角相等，试确定点P 的位置；（2）环保部门将在AB 之间找一点Q ，在Q 处建造一个垃圾处理厂，使得Q 对D C 、所张角最大，试确定点Q 的位置.20.若函数()x f 定义域为R ，且对任意实数12,x x ，有1212()()()f x x f x f x ++＜，则称()x f 为“V 形函数”，若函数()x g 定义域为R ，函数()0＞x g 对任意R x ∈恒成立，且对任意实数12,x x ，有[][][]1212lg (lg ()lg ()g x x g x g x ++＜，则称为“对数V 形函数” .（1）试判断函数()2f x x =是否为“V 形函数”，并说明理由；（2）若()1()2xg x a =+是“对数V 形函数”，求实数a 的取值范围；（3）若()x f 是“V 形函数”，且满足对任意R x ∈，有()2＞x f ，问()x f 是否为“对数V 形函数”？证明你的结论．21.（1）若直角三角形两直角边长之和为12，求其周长p 的最小值；（2）若三角形有一个内角为7cos 9α=，周长为定值p ，求面积S 的最大值； （3）为了研究边长c 、、b a 满足3489≥≥≥≥≥≥c b a 的三角形其面积是否存在最大值，现有解法如下：S ∆=（其中)(21c b a p ++=， 三角形面积的海伦公式）， ∴216)()()()S a b c a b c a b c a b c =+++--+-++（ ()()2222[][]a b c c a b =+---42222222()()c a b c a b =-++--()222222[]4c a ba b=--++，而2222[()]0c a b --+≤，281a ≤，264b ≤，则36≤S ，但是，其中等号成立的条件是222,9,8c a b a b =+==，于是2145c =与43≤≤c 矛盾，所以，此三角形的面积不存在最大值．以上解答是否正确？若不正确，请你给出正确的答案．试卷答案一、填空题1. ()34f x x=2. 35± 3.2:3 4. 二 5. 12- 6. 39. 3π 10.34π11. 512. (0,10]{k ∈U二、选择题13. A 14. C 15. A 16. D三、解答题17.【解析】原式sin cos 1cos sin αααα-==--18. 【解析】（1）1cos tan 7αα=⇒=22tan tan 21tan 14847ααα===--- （2）[]cos cos ()βααβ=--cos cos()sin sin()ααβααβ=-+-11317147142=⨯+⨯= 19.【解析】（1）张角相等，∴2:1::==DB CA PB AP ，∴4,2==PB AP (2)设AQ =x ，∴6QB x =-，∴tan C x =，6tan 2x D -=，tan tan tan tan()1tan tan C D C D C D θ+=+=-2662x x x +=-+，设6+=x t ，)6,0(∈x ，2tan 1874tt t θ=-+，(6,12)t ∈， ∴1tan 7418t tθ=∈+-(,(3,)-∞+∞U，(arctan 3,θπ∈-， 当且仅当74=t 时，等号成立，此时674-=x ，即674-=AQ20.【解析】（1）()()21212f x x x x +=+，221212()()f x f x x x +=+，当1x 、2x 同号时，()2221212x x x x +>+，不满足1212()()()f x x f x f x ++＜，∴不是“V 形函数”（2）1()()02xg x a =+＞恒成立，∴0≥a ，根据题意，1212()()()g x x g x g x +⋅＜恒成立， 即1212111()()][()]222x x x x a a a ++++＜[，去括号整理得12111[()()]22x x a >-+，∴1a ≥（3）1122()()()f x f f x x x +<+，∵()12f x >，∴1()11f x ->，同理2()11f x ->， ∴12[()1][()1]1f x f x -->，去括号整理得1212()()()()f x f x f x f x +＞，∴1212()()()f x x f x f x +＜，[][][]1212lg ()lg ()lg ()f x x f x f x ++＜，是“对数V 形函数”21.【解析】（1）设两直角边为b a 、=≥=∴12P a b =++2612+（2）设夹α的两边为b a 、，则第三边b a p --，∴222()7cos 29a b p a b ab α+---==，∴223218189369ab ap bp p p =+-≥，∴0)38)(34(≥--p ab p ab ，∵0)34＜（p ab -，∴038≤-p ab ，即2964ab p ≤，22119sin 2296432S ab p p α=≤⨯=，即面积最大值为232p （3）不正确，∵海伦公式三边可互换， ∴22222222216[()]44S a c b c b c b =--++≤，即2164166416S S ≤⨯⨯≤，，此时22280a b c =+=，a =16上海市高一第二学期期中考试试卷数学一、填空题（共10题，每题5分，满分50分）1、已知)cos ,(tan ααP 在第三象限，则角α的终边在第_____象限2、若扇形的弧长为cm 4，面积为24cm ，则该扇形的圆心角的弧度数是_____3、已知534sin =⎪⎭⎫⎝⎛-x π，则x 2sin 的值为______ 4、若要将函数⎪⎭⎫⎝⎛+=32sin πx y 的图像向右平移)0(>m m 个单位，从而得到函数x y 2sin =的图像，则m 的最小值为_____5、已知α是第三象限的角，若2tan =α，则)cos(2sin απαπ--⎪⎭⎫⎝⎛+=______ 6、若函数x a x x f 2cos 2sin 3)(+=的图像关于直线8π-=x 对称，则实数a =_____7、已知等腰三角形的顶角大小为⎪⎭⎫⎝⎛-257arccos ，则该三角形底角的正弦值为_____ 8、已知函数)0,0,0(),sin()(πϕωϕω≤≤>>+=A x A x f 的部分图像如图所示，则)(x f y =的解析式是)(x f =_________9、给出函数|cos 2|cos )(x x x f +=，有以下四个结论：①该函数的值域为]3,0[；②当且仅当)(Z k k x ∈=π时，该函数取得最大值；③该函数的单调递增区间为)(,2Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππ；④当且仅当31<<m 时，方程m x f =)(在π20<<x 上有两个不同的根，且这两个根的和为π2。

七宝中学高一下期中数学试卷2020.5一、填空题1．若cos α=，则cos2α= ． 2．已知1sin ,,32x x ππ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，则cos x = ．3．已知{}n a 是等比数列，首项为3，公比为12，则前4项的和为 ． 4．若tan 3α=，则sin2α= ．5．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，41a =，则7S = ． 6．已知扇形的圆心角为23π，半径为5，则扇形的面积为 ． 7．在数列{}n a 中，()215,2n n n a a a n *+=-=∈N ，则数列{}n a 的通项n a = ． 8．我国南宋著名数学家秦九韶发现了从三角形三边求三角形面积的“三斜公式”，设A BC △内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，面积为S ，则“三斜求积”公式为S =若2sin 4sin ,3c A C B π==，则用“三斜求积”公式求得A BC △的面积为 ．9．函数sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像向右平移3π个单位后与函数()f x 的图像重合，则下列结论中正确的是 ．①()f x 的一个周期为2π-；②()f x 的图像关于712x π=-对称； ③76x π=是()f x 的一个零点；④()f x 在5,1212ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递减 10．已知函数[]12()3sin 4cos ,,0,f x x x x x π=+∈，则()()12f x f x -的最大值是 ．11．在锐角A BC △中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若()21,1a b b c +==，则b -的取值范围为 ．12．已知数列{}n a 满足()114,222,n n n a a a n n *-==+∈N ≥，若不等式()2235n n n a λ--<-对任意n *∈N 恒成立，则实数λ的取值范围是 ．二、选择题 13．函数2sin,6xy x π=∈R 的最小正周期为（ ）A ．12B ．6C ．12π D ．6π 14．已知k ∈Z ，下列各组角中，终边相同的是（ ）A ．2k π与k πB ．2k ππ+与4k ππ±C ．6k ππ+与26k ππ±D ．2k π与2k ππ±15．已知函数()()cos 0f x x x ωωω=+>在[]0,π上有两个零点，则ω的取值范围为（ ）A ．1117,66⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1117,66⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．58,33⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．58,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭16．有一个三人报数游戏：首先A 报数字1，然后B 报下两个数字2,3，接下来C 报下三个数字4,5,6，然后轮到A 报下四个数字7,8,9,10，依次循环，直到报出10000，则A 报出的第2020个数字为（ ）A ．5979B ．5980C ．5981D ．以上都不对三、解答题17．在A BC △中，三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且222a c b ac +-=． （1）求B ；（2）若6a c +=，三角形的面积A BC S =△b ．18．已知n S 为{}n a 的前n 项和，{}n b 是等比数列且各项均为正数，且2123313,2,222n S n n b b b =+=+=．（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）记n n n c a b =⋅，求数列{}n c 的前n 项和n T ．19．如图，学校门口有一块扇形空地OMN ，已知半径为常数R ，2M ON π∠=，现由于防疫期间，学校要在其中圈出一块矩形场地ABCD 作为体温检测室使用，其中点,A B 在弧M N 上，且线段AB 平行于线段M N ．（1）当点A 为弧M N 的一个三等分点，求矩形ABCD 的面积；（2）设AOB θ∠=，当A 在何处时，矩形ABCD 的面积最大？最大值为多少？20．设正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，首项为1，q 为非零正常数，数列(){}lg n a 是公差为lg q 的等差数列．（1）求数列{}n S 的通项公式； （2）求证：数列1n n S S +⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递增数列；（3）是否存在正常数c ，使得(){}lg n c S -为等差数列？若存在，求出c 的值和此时q 的取值范围；若不存在，说明理由．21．数列{}n a 满足()121211,n n n n n n n n a a a a a a a a n *+++++=++≠∈N ，且121,2a a ==．若()sin 0,0,2n a A n c A πωϕωϕ⎛⎫=++≠>< ⎪⎝⎭．（1）求3a 的值；（2）证明3为数列{}n a 的一个周期，并用正整数k 表示ω； （3）求{}n a 的通项公式．参考答案一、填空题1．12 2． 3．458 4．355．7 6．253π 7．21n +8 9．①②③ 10．9 11．( 12．37,8⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【第10题解析】()5sin()f x x ϕ=+，其中4arctan 3ϕ=，当[0,]x π∈时，()[4,5]f x ∈-， 12max [()()]5(4)9f x f x -=--=．【第11题解析】由题意及余弦定理，可知222222cos c a b a b ab C =+=+-，∴cos C =6C π=，再由正弦定理知2sin sin sin a b c A B C===，∴2sin ,2sin a A b B ==， 2sin 2sin()cos 2sin6b A B A A C A A A π⎛⎫-=-=-+=-=- ⎪⎝⎭，由A BC △为锐角三角形及6C π=，可得0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭且50,62B A ππ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭，∴,32A ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，,663A πππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，1sin 62A π⎛⎛⎫-∈ ⎪ ⎝⎭⎝⎭(b -∈ 【第12题解析】111222122n n n n n n n na a a a ---÷=+−−−→=+，∴2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为2，公差为1的等差数列，∴()12nn a n =+⋅，分离参数，得()223512n n n n λ--<-+⋅，记()()22312nn n g n n --=+⋅，分析单调性可知（可借助计算器的表格功能研究），()()max 338g n g ==，∴358λ->，378λ<．二、选择题13．A 14．B 15．B 16．B【第15题解析】()2sin()6f x x πω=+，令6t x πω=+，,66t πππω⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦，0sin 0()y t t k k π=⇒=⇒=∈Z ，要满足题意，则{},()66t t k k πππωπ⎡⎤+=∈⎢⎥⎣⎦Z I 有且仅有两个元素，∴236πππωπ+<≤，解得1117,66ω⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，选B ．【第16题解析】由题意，A 依次所报的数字的个数为1、4、7、……，构成数列32n a n =-， 记其前n 项和为n S ，则232n n n S -=，3619262020S =<，3720352020S =>，前n 次报数完毕后，最末的那个数字为(1)2n n +，当前108次报数完毕时，最末的那个数字为5886，此时A 累计报数1926个，第109次报数由A 完成，5886(20201926)5980+-=即为所求，选B ．三、解答题17．（1）∵222a c b ac +-= ∴2221cos 22a cb B ac +-==由()0,B π∈可得3B π=．（2）由（1）知3B π=，则1sin 2A BC S acB ==V 8ac = 又6a c +=，()22222cos 312b a c ac B a c ac =+-=+-=解得b =18．（1）由题意当1n =时，1131222a S ==+=； 当2n ≥时，()()221313111312222n n n a S S n n n n n -⎛⎫⎡⎤=-=+--+-=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦；所以31n a n =-设{}n b 的公比为q ，则211132,2b b q b q =+=，解得12q =或32q =-（舍去） 所以1211222n n n b --⎛⎫⎛⎫=⨯= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭（2）由（1）得2312n n n c --=，则1012258312222n n n T ---=++++L 两边同乘12，得012112583122222n n n T --=++++L 上面两式相减，得101211112333316311022222222n n n n n n n T -------=++++-=--L所以235202n n n T -+=-19．（1）作OH AB ⊥于点H ，交线段CD 于点E ，连接,OA OB则6A OB π∠=，∴2sin,cos1212A B R OH R ππ==1sin 212OE DE A B R π===∴cos sin 1212EH OH OE R ππ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭∴2222sin cos 2sin 121212S A B EH R πππ⎛⎫=⋅=-=⎪⎝⎭（2）由AOB θ∠=得2sin ,cos 22A B R OH R θθ==1sin 22OE DE A B R θ===∴cos sin 22EH OH OE R θθ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭∴()22222sin cos 2sin sin cos 112224S A B EH R R R θθθπθθθ⎤⎛⎫⎛⎫=⋅=-=+-=+- ⎪ ⎪⎥⎝⎭⎝⎭⎦∵0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴3,444πππθ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭∴当42ππθ+=即4πθ=时，)2max 1S R =，此时A 在弧M N 的四等分点处．20．（1）由数列(){}lg n a 是公差为lg q 的等差数列得1lg lg lg n n a a q +-=，n *∈N解得10n na q a +=>，又11a =，所以1n n a q -=，11011nn n q S q q q q =⎧⎪=-⎨>≠⎪-⎩且（2）当1q =时，111,11n n S n n S n n *+==-∈++N ，显然是递增数列； 当01q q >≠且时，1111n n n n S q S q ++-=-，从而有12121212111(1)11(1)(1)n n n n n n n n n n n S S q q q q S S q q q q ++++++++----=-=---- 当01q <<时，上式为正；当1q >时，上式为正 所以121,n n n n S Sn S S *+++>∈N ，即是递增数列． （3）若存在正常数c ，使得(){}lg n c S -为等差数列， 则()()()21lg lg 2lg n n n c S c S c S ++-+-=-对n *∈N 恒成立 即()()()2210n n n c S c S c S ++----=对n *∈N 恒成立，且0n c S ->当1q =时，()()()()()()22212110n n n c S c S c S c n c n c n ++----=------=-<，故上述不等式不成立，即不存在正常数c ，使得(){}lg n c S -为等差数列；当1q ≠时，由于 ()()()()221221111111110n n n n n n n c S c S c S q q q c c c q q q q c q ++++----⎛⎫⎛⎫⎛⎫---=---- ⎪⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭=---=⎡⎤⎣⎦，要使等式成立，只有()11=0c q --，即101c q=>-，由此得01q <<，此时n c S -=01n q q >-． 故存在正常数c ，使得(){}lg n c S -为等差数列．综上可知，当1q ≥时，不存在正常数c ，使得(){}lg n c S -为等差数列；当01q <<时，存在正常数c ，使得(){}lg n c S -为等差数列． 21．（1）由题意，令1n =得123123a a a a a a =++ 又121,2a a ==，所以33a =（2）由1212n n n n n n a a a a a a ++++=++可得123123n n n n n n a a a a a a ++++++=++两式相减，()3123n n n n n n a a a a a a ++++-=-，那么3n n a a +=，则3为数列{}n a 的一个周期 所以()()sin 3sin A n c A n c ωϕωϕ+++=++⎡⎤⎣⎦即()()sin 3sin n n ωωϕωϕ++=+⎡⎤⎣⎦对n *∈N 恒成立所以()2323k k k πωπω*=⇒=∈N （3）因为2sin 3n k a A n c πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭过点()1,1、()2,2、()3,3，所以()2,2为2sin 3n k a A n c πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的一个对称中心，因此2c =当()31k m m =+∈N 时，2sin 23n a A n πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭则有122sin 2134sin 223a A a A πϕπϕ⎧⎛⎫=++= ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=++= ⎪⎪⎝⎭⎩解得3A πϕ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩； 当()32k m m =+∈N 时，4sin 23n a A n πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭则有124sin 2138sin 223a A a A πϕπϕ⎧⎛⎫=++= ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=++= ⎪⎪⎝⎭⎩解得3A πϕ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩； 当()3k m m =∈N 时，sin 2n a A ϕ=+ 则有12sin 21sin 22a A a A ϕϕ=+=⎧⎨=+=⎩此方程无解；综上：2233n a n ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭或4233n a n ππ⎛⎫++ ⎪⎝⎭。

2020-2021学年上海市闵行区七宝中学高一(下)期中数学复习卷一、单选题（本大题共4小题，共20.0分）1.已知α为三角形的一个内角，且sinα+cosα=15,则tanα=()A. −34B. −43C. −34或−43D. ±432.在△ABC中，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，若a=b=√33c，则∠A，∠B，∠C的度数之比为()A. 1：1：5B. 1：1：4C. 1：1：3D. 1：1：23.12.已知函数对任意实数都有且，则实数的值等于()A. −1B.C. 5或1D. −5或−14.将函数后得到函数()A. B. C. D.二、单空题（本大题共12小题，共54.0分）5.若sinθ=35且sin2θ<0，则tanθ=______．6.《九章算术》是我国古代数学经典名著，其中有这样一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”其意为：今有−圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该木材，锯口深一寸，锯道长−尺．问这块圆柱形木材的直径是多少？现有长为1丈的圆柱形木材部分镶嵌在墙体中，截面图如图所示(阴影部分为镶嵌在墙体内的部分).已知弦AR =1尺，弓形高CD =1寸，估算该木材镶嵌在墙体中的体积约为______立方寸．(结果保留整数) 注：l 丈=10尺=100寸，π≈3.14，sin22.5°≈513．7. tan π12=______．8. sin(α+π4)=513，则cos(π4−α)的值为______ ．9. 已知P 为曲线C ：{x =3cosθy =4sinθ(θ为参数，0≤θ≤π)上一点，O 为坐标原点，若直线OP 的倾斜角为π4，则P 点的坐标为______．10. 在△ABC 中，a =2，b =√7，c =3，那么角B 等于______ ．11. 设a =√1−cos50°2 , b =2tan13°1+tan 213∘ , c =12cos6°−√32sin6°，将a ，b ，c 用“<”号连接起来为______． 12. 下列命题正确的是 (填上你认为正确的所有命题的代号) ______ ．①函数y =−sin(kπ+x)，(k ∈Z)是奇函数； ②函数y =2sin(2x +π3)的图象关于点(π12,0)对称； ③若α、β是第一象限的角，且α>β，则sinα>sinβ ④△ABC 中，cosA >cosB 等价转化为A <B ．13. 函数f(x)=√x 2−2x −3的单调减区间是______．14. 方程sinx +√3cosx =1在闭区间[0,2π]上的所有解的和等于______ ．15. (1)设x ，y 满足约束条件{x +3y ≤3x −y ≤1y ≥0则z =x +y 的取值范围是 ．(2)设θ为第二象限角，若tan(θ+π4)=12，则sin θ+cos θ= ．(3)在区间[0,2]上随机地取一个数x ，则事件“−1≤log 12(x +12)≤1”发生的概率为 ．(4)已知函数f (x )=x 3−2x +e x −e −x ，其中e 是自然对数的底数，若f (a −1)+f (2a 2)≤0，则实数a 的取值范围是 ．16. 设函数f(x)=sin(πx +π4)时，若x ∈(2020,a)时，f(x)存在零点和极值点，则整数a 的最小值为______．三、解答题（本大题共5小题，共76.0分）17. (1)已知tan(π4+α)=2.求sin2α+cos 2α的值；(2)已知A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)是以坐标原点O 为圆心的单位圆上的两点，劣弧AB ⏜所对的圆心角为α，若sinα+cosα=717，求x 1x 2+y 1y 2的值．18. 已知α，β为锐角，cosα=35，cos(α+β)=−√55． (Ⅰ)求sin2α的值； (Ⅱ)tan(α−β)的值．19. (本题满分13分)如图，某巡逻艇在处发现北偏东相距海里的处有一艘走私船，正沿东偏南的方向以海里/小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以海里/小时的速度沿着正东方向直线追去，小时后，巡逻艇到达处，走私船到达处，此时走私船发现了巡逻艇，立即改变航向，以原速向正东方向逃窜，巡逻艇立即加速以海里/小时的速度沿着直线追击．(Ⅰ)当走私船发现了巡逻艇时，两船相距多少海里⋅(Ⅱ)问巡逻艇应该沿什么方向去追，才能最快追上走私船⋅20.△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知m⃗⃗⃗ =(sinA−sinB,sin(A+B))，n⃗=(a−c,a+b)，且m⃗⃗⃗ //n⃗，(Ⅰ)若a=3c，且△ABC的面积S=3√3，求b；(Ⅱ)求2sin2A+cos(A−C)的范围．21.已知函数f(x)=sin(2x+π3).求函数f(x)的对称轴，并求函数f(x)在区间[0,π2]内的值域．【答案与解析】1.答案：B解析：解：∵sinα+cosα=15，且sin2α+cos2α=1，∴(sinα+cosα)2=sin2α+cos2α+2sinαcosα=1+sin2α=125，∴sin2α=2sinαcosα=−2425<0，即cosα<0，∴90°<α<135°，又sin2α=2tanα1+tan2α，∴2tanα1+tan2α=−2425，即(4tanα+3)(3tanα+4)=0，解得：tanα=−34(舍去)或tanα=−43，则tanα=−43．故选：B．把已知的等式左右两边平方，再利用同角三角函数间的基本关系及二倍角的正弦函数公式化简，求出sin2α的值，再利用万能公式sin2α=2tanα1+tan2α列出关于tanα的方程，求出方程的解即可得到tanα的值．此题考查了同角三角函数间的基本关系，二倍角的正弦函数公式，以及万能公式，熟练掌握公式及基本关系是解本题的关键．2.答案：B解析：解：假设c=3，可求a=b=√3，由余弦定理可得：cosC=a 2+b2−c22ab=2×√3×√3=−12，可求C=120°，A=B=30°，所以：A：B：C=1：1：4．故选：B．设c=3，可求a=b=√3，由余弦定理可得cosC=−12，可求C=120°，A=B=30°，从而得解．本题主要考查了余弦定理中的求角公式的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．3.答案：D解析：本题考查的是三角函数的最值问题以及函数的周期性。

2020-2021学年上海市闵行区七宝中学高一（上）期中数学试卷试题数：21.满分：1501.（填空题.4分）满足{a}⊂M⊂{a .b.c.d}的集合M 的个数是___ ．2.（填空题.4分）已知集合A=[-1.2）.全集U=[-2.2].则 A =___ ．3.（填空题.4分）设a 是实数.集合M={x|x 2+x-6=0}.N={y|ay+2=0}.若N⊆M .则a 的取值集合是 ___ ．4.（填空题.4分）设α：1≤x ＜4.β：x ＜m.若α是β的充分条件.则m 的范围是___ ．5.（填空题.4分）已知关于x 的不等式x 2-ax-b ＜0的解集为{x|2＜x ＜3}.则不等式bx 2-ax-1＜0的解集为___ ．6.（填空题.4分）设a 2x =2.a ＞0.则a 3x +a −3xa x +a −x=___ ． 7.（填空题.5分）设实数x.y 满足3≤xy 2≤8.4≤ x 2y≤9.则 x 3y4 的最大值是___ ． 8.（填空题.5分）计算（lg50）2+lg2×lg502+（lg2）2=___ ．9.（填空题.5分）已知实数a.b.c 满足a+b+c=0.且a ＞b ＞c.则 ca 的范围是___ ．10.（填空题.5分）若集合A={x|x 2-（a+2）x+2-a ＜0.x∈Z}中有且只有一个元素.则正实数a 的取值范围是___ ．11.（填空题.5分）已知a.b 为正实数.且a+b=2.则a 2+2a +b 2b+1的最小值为___ ． 12.（填空题.5分）集合M={6666.-11135.2333.10.99111.-1.-198.1000.0.π}有10个元素.设M 的所有非空子集为M i （i=1.2.….1023）.每一个M i 中所有元素乘积为m i （i=1.2.….1023）.则m 1+m 2+m 3+…+m 1023=___ ．13.（单选题.5分）设a ＞0．下列计算中正确的是（ ） A.a 23×a 32=a B.a 23 ÷a 32 =a C.a -4×a 4=0 D.（a 23） 32=a14.（单选题.5分）已知log 189=a.18b =5．则log 3645等于（ ） A. a+b2+a B. a+b 2−aC. a+b2aD. a+ba215.（单选题.5分）已知三个不等式：ab＞0.bc-ad＞0. ca - db＞0（其中a、b、c、d均为实数）.用其中两个不等式作为条件.余下的一个不等式作为结论组成一个命题.可组成的正确命题的个数是（）A.0B.1C.2D.316.（单选题.5分）设实数a1.a2.b1.b2均不为0.则“ a1a2=b1b2成立”是“关于x的不等式a1x+b1＞0与a2x+b2＞0的解集相同”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.非充分非必要条件17.（问答题.14分）解不等式（1）|2x-3|＞3x-2；（2）1|2x−3|＞1；（3）1x−4≤1- x4−x．18.（问答题.14分）证明不等式．（1）已知a.b.c是正数.求证：√(1−a)(1−b)≥1+ √ab；（2）已知a.b.c是非负实数.求证：a3+b3+c3≥3abc．19.（问答题.14分）某森林出现火灾.火势正以每分钟100m2的速度顺风蔓延.消防站接到警报立即派消防队员前去.在火灾发生后5分钟到达救火现场.已知消防队员在现场平均每人每分钟灭火50m2.所消耗的灭火材料、劳务津贴等费用为每人每分钟125元.另附加每次救火所损耗的车辆、器械和装备等费用平均每人100元.而烧毁一平方米森林损失费为60元．（1）设派x名消防队员前去救火.用t分钟将火扑灭.试建立t与x的函数关系式；（2）问应该派多少名消防队员前去救火.才能使总损失最少？（总损失=灭火材料、劳务津贴等费用+车辆、器械和装备费用+森林损失费）20.（问答题.16分）已知集合A={a1.a2.….a k（k≥2）}.其中a i∈Z（i=1.2.….k）.由A中的元素构成两个相应的集合：S={（a.b）|a∈A.b∈A.a+b∈A}.T={（a.b）|a∈A.b∈A.a-b∈A}．其中（a.b）是有序数对.集合S和T中的元素个数分别为m和n．若对于任意的a∈A.总有-a∉A.则称集合A 具有性质P．（Ⅰ）检验集合{0.1.2.3}与{-1.2.3}是否具有性质P并对其中具有性质P的集合.写出相应的集合S和T；（Ⅱ）对任何具有性质P的集合A.证明：n≤k(k−1)2；（Ⅲ）判断m和n的大小关系.并证明你的结论．21.（问答题.18分）对平面直角坐标系的第一象限内的任意两点作如下定义：若ab ＞cd.那么称点（a.b）是点（c.d）的“上位点”.同时点（c.d）是点（a.b）的“下位点”．（1）试写出点（3.5）的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标；（2）已知点（a.b）是点（c.d）的“上位点”.判断点P（a+c.b+d）是否既是点（c.d）的“上位点”.又是点（a.b）的“下位点”.并证明你的结论；（3）设正整数n满足以下条件：对任意元素m∈{t|0＜t＜2020.t∈Z}.总存在正整数k.使得点（n.k）既是点（2020.m）的“下位点”.又是点（2021.m+1）的“上位点”.求正整数n的最小值．2020-2021学年上海市闵行区七宝中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析试题数：21.满分：1501.（填空题.4分）满足{a}⊂M⊂{a.b.c.d}的集合M的个数是___ ．【正确答案】：[1]6【解析】：由题意利用子集、真子集的定义.求得满足条件的M的个数．【解答】：解：∵{a}⊂M⊂{a.b.c.d}.故M中至少含有2个元素.其中一个元素是a.至多含有3个元素.若M中含有2个元素.则M共有C31 =3个.若M中含有3个元素.则M共有C32 =3个.故满足条件的M共有3+3=6个.故答案为：6．【点评】：本题主要考查子集、真子集的定义.属于基础题．2.（填空题.4分）已知集合A=[-1.2）.全集U=[-2.2].则A =___ ．【正确答案】：[1][-2.-1）∪{2}【解析】：根据题意.由补集的定义直接计算可得答案．【解答】：解：根据题意.集合A=[-1.2）.全集U=[-2.2].则A =[-2.-1）∪{2}.故答案为：[-2.-1）∪{2}．【点评】：本题考查补集的计算.关键是掌握补集的定义.属于基础题．3.（填空题.4分）设a是实数.集合M={x|x2+x-6=0}.N={y|ay+2=0}.若N⊆M.则a的取值集合是 ___ ．}【正确答案】：[1]{0.-1. 23【解析】：可以求出M={-3.2}.根据N⊆M.然后讨论a是否为0：a=0显然满足题意；a≠0时.可得出- 2a=-3或2.然后解出a即可．【解答】：解：由题意解得M={-3.2}.∵N⊆M.① a=0时.N=∅.符合题意；② a≠0时.N={- 2a }.∴- 2a=-3或2.解得a= 23或-1.∴A={0.-1. 23}.∴A的取值集合为{0.-1. 23}．故答案为：{0.-1. 23}．【点评】：本题考查了集合的表示.子集的含义.分类讨论的思想方法.考查了计算能力.属于基础题．4.（填空题.4分）设α：1≤x＜4.β：x＜m.若α是β的充分条件.则m的范围是___ ．【正确答案】：[1][4.+∞）【解析】：根据充分必要条件的定义以及集合的包含关系求出m的范围即可．【解答】：解：α：1≤x＜4.β：x＜m.若α是β的充分条件.则m≥4.故答案为：[4.+∞）．【点评】：本题考查了充分必要条件.考查集合的包含关系.是一道基础题．5.（填空题.4分）已知关于x的不等式x2-ax-b＜0的解集为{x|2＜x＜3}.则不等式bx2-ax-1＜0的解集为___ ．【正确答案】：[1]{x|x＜- 12 .或x＞- 13}【解析】：由已知中不等式x2-ax-b＜0的解集是{x|2＜x＜3}.我们根据一元二次不等式的解集与一元二次方程根之间的关系.结合韦达定理.我们易构造关于a.b的方程.解方程求出a.b的值.解不等式即可求出答案．【解答】：解：∵不等式x2-ax-b＜0的解集是{x|2＜x＜3}.∴2.3为方程x2-ax-b=0的两个根则2+3=a=52•3=-b=6.得b=-6则不等式bx 2-ax-1＜0可化为 -6x 2-5x-1＜0 解得x ＜- 12 .或x ＞- 13故不等式的解集为：{x|x ＜- 12 .或x ＞- 13 } 故答案为：{x|x ＜- 12 .或x ＞- 13 }【点评】：本题考查的知识点是一元二次不等式的应用.其中根据一元二次不等式的解集与一元二次方程根之间的关系.结合韦达定理.构造关于a.b 的方程.解方程求出a.b 的值.是解答本题的关键．6.（填空题.4分）设a 2x =2.a ＞0.则a 3x +a −3xa x +a −x=___ ． 【正确答案】：[1] 32【解析】：根据立方和公式即可求出．【解答】：解：a 2x =2.a ＞0. 则a x =2 12 .原式=(a x +a −x )(a 2x −1+a −2x )a x +a −x =a 2x -1+a -2x =2-1+ 12 = 32 .故答案为： 32 ．【点评】：本题考查了指数幂的运算.考查了运算能力.属于基础题． 7.（填空题.5分）设实数x.y 满足3≤xy 2≤8.4≤ x 2y ≤9.则 x 3y 4 的最大值是___ ． 【正确答案】：[1]27【解析】：首先分析题目由实数x.y 满足条件3≤xy 2≤8.4≤ x 2y ≤9．求 x 3y 4 的最大值的问题．根据不等式的等价转换思想可得到： (x 2y )2∈[16，81] . 1xy 2∈[18，13] .代入 x 3y 4 求解最大值即可得到答案．【解答】：解：因为实数x.y 满足3≤xy 2≤8.4≤ x 2y ≤9.则有： (x 2y )2∈[16，81] . 1xy 2∈[18，13] .再根据x 3y4=(x2y)2•1xy2∈[2，27] .即当且仅当x=3.y=1取得等号.即有x 3y4的最大值是27．故答案为：27．【点评】：此题主要考查不等式的基本性质和等价转化思想.等价转换思想在考试中应用不是很广泛.但是对于特殊题目能使解答更简便.也需要注意.属于中档题．8.（填空题.5分）计算（lg50）2+lg2×lg502+（lg2）2=___ ．【正确答案】：[1]4【解析】：把中间项的真数的指数2拿到前面后构成完全平方式.进一步运用对数式的运算性质可求解；【解答】：解：（lg50）2+lg2×lg502+（lg2）2=lg250+2lg2×lg50+lg22=（lg50+lg2）2=（lg100）2=22=4.故答案为：4．【点评】：本题考查了对数的运算性质.考查了运算能力.属于基础题．9.（填空题.5分）已知实数a.b.c满足a+b+c=0.且a＞b＞c.则ca的范围是___ ．【正确答案】：[1] (−2，−12)【解析】：根据条件可得a＞0，ca ＞−2和c＜0. −2＜ac＜0 .从而求出ca的范围．【解答】：解：∵a+b+c=0.且a＞b＞c. ∴a+a+c=2a+c＞0.∴ a＞0，ca＞−2 . 同理a+c+c=a+2c＜0.∴a＜-2c.∴ c＜0，−2＜ac ＜0，ca＜−12.∴ −2＜ca ＜−12．∴ c a 的范围为(−2，−12)．故答案为：(−2，−12)．【点评】：本题考查了不等式的基本性质.属基础题．10.（填空题.5分）若集合A={x|x 2-（a+2）x+2-a ＜0.x∈Z}中有且只有一个元素.则正实数a 的取值范围是___ ．【正确答案】：[1] (12，23]【解析】：因为集合A 中的条件是含参数的一元二次不等式.首先想到的是十字相乘法.但此题行不通；应该把此不等式等价转化为f （x ）＜g （x ）的形式.然后数形结合来解答.需要注意的是尽可能让其中一个函数不含参数．【解答】：解：∵x 2-（a+2）x+2-a ＜0 且a ＞0 ∴x 2-2x+2＜a （x+1）令f （x ）=x 2-2x+2；g （x ）=a （x+1） ∴A={x|f （x ）＜g （x ）.x∈Z}∴y=f （x ）是一个二次函数.图象是确定的一条抛物线； 而y=g （x ）一次函数.图象是过一定点（-1.0）的动直线． 又∵x∈Z .a ＞0．数形结合.可得： 12＜a ≤23 ． 故答案为：（ 12 . 23 ]【点评】：此题主要考查集合A 的几何意义的灵活运用.利用数形结合的数学思想来解决参数取值范围问题．11.（填空题.5分）已知a.b 为正实数.且a+b=2.则 a 2+2a + b 2b+1 的最小值为___ ．【正确答案】：[1]6+2√23【解析】：由a.b为正实数.且a+b=2.变形为：a 2+2a+b2b+1=a+ 2a+ b2−1+1b+1= 2a+ 1b+1+1= 13（a+b+1）（2a + 1b+1）+1.利用基本不等式的性质即可得出．另解：由a.b为正实数.且a+b=2.变形可得a 2+2a+b2b+1= 2a+a+b-1+ 1b+1= 2a+13−a+1=f（a）.0＜a＜2．利用导数研究其单调性极值与最值即可得出．【解答】：解：∵a.b为正实数.且a+b=2.∴ a2+2a +b2b+1=a+ 2a+ b2−1+1b+1= 2a+a+b-1+ 1b+1= 2a+ 1b+1+1= 13（a+b+1）（2a+ 1b+1）+1= 13（3+ 2(b+1)a+ ab+1）+1≥ 13（3+2 √2）+1= 6+2√23．当且仅当a=6-3 √2 .b=3 √2 -4时取等号．另解：∵a.b为正实数.且a+b=2.∴ a2+2a +b2b+1=a+ 2a+ b2−1+1b+1= 2a+a+b-1+ 1b+1= 2a+13−a+1=f（a）.0＜a＜2．f′（a）= −2a2 + 1(a−3)2= −(a−6−3√2)(a−6+3√2)(a2−3a)2.令f′（a）＞0.解得6−3√2＜a＜2 .此时函数f（a）单调递增；令f′（a）＜0.解得0＜a＜6−3√2 .此时函数f（a）单调递减．∴当且仅当a=6-3 √2时函数f（a）取得极小值即最小值.f(6−3√2) = 6+2√23．故答案为：6+2√23．【点评】：本题考查了利用导数研究其单调性极值与最值.考查了推理能力与计算能力.属于中档题．12.（填空题.5分）集合M={6666.-11135.2333.10.99111.-1.-198.1000.0.π}有10个元素.设M 的所有非空子集为M i（i=1.2.….1023）.每一个M i中所有元素乘积为m i（i=1.2.….1023）.则m1+m2+m3+…+m1023=___ ．【正确答案】：[1]-1【解析】：这1023个子集分成以下几种情况：① 含0的子集有512个.这些子集均满足m i=0；② 不含0.含-1且还含有其它元素的子集有255个. ③ 不含0.不含-1但含有其它元素的子集有255个. ④ 只含-1的子集一个{-1}.满足m i=-1；根据② ③ 中的集合是一一对应的.且满足m i对应成相反数.可得答案．【解答】：解：∵M的所有非空子集为M i（i=1.2.….1023）.这1023个子集分成以下几种情况：① 含0的子集有512个.这些子集均满足m i=0；② 不含0.含-1且还含有其它元素的子集有255个.③ 不含0.不含-1但含有其它元素的子集有255个.④ 只含-1的子集一个{-1}.满足m i=-1；其中② ③ 中的集合是一一对应的.且满足m i对应成相反数.故m1+m2+m3+…+m1023=512×0+255×0-1=-1.故答案为：-1【点评】：本题考查的知识点是元素与集合关系的判断.分类讨论思想.难度较大．13.（单选题.5分）设a＞0．下列计算中正确的是（）A.a 23 ×a 32 =aB.a 23 ÷a 32 =aC.a-4×a4=0D.（a 23）32 =a【正确答案】：D【解析】：由题意利用分数指数幂的运算法则计算各个式子.从而得出结论．【解答】：解：∵ a 23• a32 = a23+32 = a136 .故A错误；：∵ a 23 ÷ a32 = a23−32 = a−56 .故B错误；∵a-4×a4=a-4+4=a0=1.故C错误；∵（a 23）32 = a23•32 =a1=a.故D正确.故选：D．【点评】：本题主要考查分数指数幂的运算法则应用.属于基础题．14.（单选题.5分）已知log189=a.18b=5．则log3645等于（）A. a+b2+aB. a+b2−aC. a+b2aD. a+ba2【正确答案】：B【解析】：利用对数的换底公式即可得出 log 32 . log 35 ．对 log 3645 再利用对数的换底公式即可得出．【解答】：解：∵18b =5.∴ b =log 185 = log 352+log 32 .又 a =log 39log 318=22+log 32 .联立解得 {log 32=2−2a a log 35=2b a ． ∴ log 3645 = log 39×5log 34×9 = 2+log 352+2log 32 = 2+2b a 2+2×2−2a a = a+b 2−a． 故选：B ．【点评】：熟练掌握对数的换底公式和对数的运算法则是解题的关键．15.（单选题.5分）已知三个不等式：ab ＞0.bc-ad ＞0. c a - d b ＞0（其中a 、b 、c 、d 均为实数）.用其中两个不等式作为条件.余下的一个不等式作为结论组成一个命题.可组成的正确命题的个数是（ ）A.0B.1C.2D.3【正确答案】：D【解析】： ① 由ab ＞0.bc-ad ＞0可得出 c a - d b ＞0． ② bc -ad ＞0.两端同除以ab.得 c a - d b ＞0． ③ {bc −ad ＞0c a −d b ＞0⇒{bc −ad ＞0bc−ad ab＞0⇒ ab ＞0．这三个都是正确命题．【解答】：解：由ab ＞0.bc-ad ＞0可得出 c a - d b ＞0．bc-ad ＞0.两端同除以ab.得 c a - d b ＞0．同样由 c a - d b ＞0.ab ＞0可得bc-ad ＞0. {bc −ad ＞0c a −d b ＞0⇒{bc −ad ＞0bc−ad ab＞0⇒ ab ＞0． 故选：D ．【点评】：本题考查基本不等式的性质和应用.解题时要认真审题.仔细求解．16.（单选题.5分）设实数a 1.a 2.b 1.b 2均不为0.则“ a 1a 2=b1b 2 成立”是“关于x 的不等式a 1x+b 1＞0与a 2x+b 2＞0的解集相同”的（ ）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.非充分非必要条件【正确答案】：B【解析】：根据充分条件和必要条件的定义结合不等式的性质进行判断即可．【解答】：解：若a1a2=b1b2=m.（m≠0）.则a1=ma2.b1=mb2.∴不等式a1x+b1＞0等价为m（a2x+b2）＞0.若m＞0.则m（a2x+b2）＞0.等价为a2x+b2＞0.此时两个不等式的解集相同.若m＜0.m（a2x+b2）＞0.等价为a2x+b2＜0.此时两个不等式的解集不相同．即充分性不成立．若关于x的不等式a1x+b1＞0与a2x+b2＞0的解集相同.即a1a2＞0.∵a1.a2.b1.b2均不为0.∴若a1.a2＞0.则不等式的解为x＞−b1a1．x＞−b2a2.则−b1a1 = −b2a2.即a1a2=b1b2成立.若a1.a2＜0.则不等式的解为x＜−b1a1．x＜−b2a2.则−b1a1 = −b2a2.即a1a2=b1b2成立.即必要性成立.故“ a1a2=b1b2成立”是“关于x的不等式a1x+b1＞0与a2x+b2＞0的解集相同”的必要不充分条件.故选：B．【点评】：本题主要考查充分条件和必要条件的判断.利用不等式的解法与系数之间的关系是解决本题的关键.比较基础．17.（问答题.14分）解不等式（1）|2x-3|＞3x-2；（2） 1|2x−3| ＞1；（3） 1x−4 ≤1- x 4−x ．【正确答案】：【解析】：（1）根据|2x-3|＞3x-2.直接去绝对值后.解不等式即可；（2）由 1|2x−3| ＞1.可得|2x-3|＜1且2x-3≠0.然后解不等式即可；（3）将 1x−4 ≤1- x 4−x .转化为 5−2x x−4≤0 .然后解不等式即可．【解答】：解：（1）∵|2x -3|＞3x-2.∴ {x ≥322x −3＞3x −2 或 {x ＜32−2x +3＞3x −2. ∴x∈∅或x ＜1.∴不等式的解集为{x|x ＜1}．（2）∵ 1|2x−3| ＞1.∴|2x -3|＜1且2x-3≠0.∴-1＜2x-3＜1且 x ≠32 .∴1＜x ＜2且 x ≠32 .∴不等式解集为{x|1＜x ＜2且 x ≠32 }．（3）∵ 1x−4 ≤1- x 4−x .∴ 1x−4≤4−2x 4−x . ∴ 5−2x x−4≤0 .∴ {(5−2x )(x −4)≤0x −4≠0. ∴x∈ (−∞，52]∪(4，+∞)∴不等式的解集为 (−∞，52]∪(4，+∞)【点评】：本题考查了绝对值不等式和分式不等式的解法.考查了转化思想.属基础题．18.（问答题.14分）证明不等式．（1）已知a.b.c 是正数.求证： √(1−a )(1−b ) ≥1+ √ab ；（2）已知a.b.c 是非负实数.求证：a 3+b 3+c 3≥3abc ．【正确答案】：【解析】：（1）由已知可得a+b ≥2√ab .得到1+ab+a+b≥1+2 √ab+ab .左边因式分解.右边化为完全平方式.开方得结论；（2）把a3+b3、a3+c3、b3+c3展开立方和公式.相加后再由基本不等式证明．【解答】：证明：（1）∵a.b是正数.∴a+b ≥2√ab .则1+ab+a+b≥1+2 √ab+ab .即（1+a）（1+b）≥1+ab+2 √ab .得√(1−a)(1−b)≥1+ √ab（当且仅当a=b时等号成立）；（2）∵a.b.c是非负实数.∴a3+b3=（a+b）（a2-ab+b2）≥（a+b）ab.a3+c3=（a+c）（a2-ac+c2）≥（a+c）ac.b3+c3=（b+c）（b2-bc+c2）≥（b+c）bc.当且仅当a=b=c时等号成立.三式相加得2（a3+b3+c3）≥a2b+bc2+ab2+ac2+b2c+a2c=（a2+c2）b+（b2+c2）a+（b2+a2）c≥2abc+2abc+2abc=6abc.∴a3+b3+c3≥3abc（当且仅当a=b=c时等号成立）．【点评】：本题考查不等式的证明.考查基本不等式的应用.考查逻辑思维能力与推理论证能力.是中档题．19.（问答题.14分）某森林出现火灾.火势正以每分钟100m2的速度顺风蔓延.消防站接到警报立即派消防队员前去.在火灾发生后5分钟到达救火现场.已知消防队员在现场平均每人每分钟灭火50m2.所消耗的灭火材料、劳务津贴等费用为每人每分钟125元.另附加每次救火所损耗的车辆、器械和装备等费用平均每人100元.而烧毁一平方米森林损失费为60元．（1）设派x名消防队员前去救火.用t分钟将火扑灭.试建立t与x的函数关系式；（2）问应该派多少名消防队员前去救火.才能使总损失最少？（总损失=灭火材料、劳务津贴等费用+车辆、器械和装备费用+森林损失费）【正确答案】：【解析】：（1）设派x名消防员前去救火.用t分钟将火扑灭.总损失为y元.则t=5×10050x−100= 10x−2；（2）总损失为灭火材料、劳务津贴|车辆、器械、装备费与森林损失费的总和.利用基本不等式即可求出最值．【解答】：解：（1）由题意. t=5×10050x−100=10x−2．（2）设总损失为y.则y=灭火材料、劳务津贴+车辆、器械和装备费+森林损失费. y=125tx+100x+60×（500+100t）= 125•x•10x−2+100x+30000+60000x−2= 31450+100(x−2)+62500x−2≥31450+2√100×62500=36450．当且仅当100(x−2)=62500x−2.即x=27时.y有最小值36450．【点评】：本题考查阅读理解、建模、解模的能力、以及利用基本不等式求最值能力．20.（问答题.16分）已知集合A={a1.a2.….a k（k≥2）}.其中a i∈Z（i=1.2.….k）.由A中的元素构成两个相应的集合：S={（a.b）|a∈A.b∈A.a+b∈A}.T={（a.b）|a∈A.b∈A.a-b∈A}．其中（a.b）是有序数对.集合S和T中的元素个数分别为m和n．若对于任意的a∈A.总有-a∉A.则称集合A 具有性质P．（Ⅰ）检验集合{0.1.2.3}与{-1.2.3}是否具有性质P并对其中具有性质P的集合.写出相应的集合S和T；（Ⅱ）对任何具有性质P的集合A.证明：n≤k(k−1)2；（Ⅲ）判断m和n的大小关系.并证明你的结论．【正确答案】：【解析】：（I）利用性质P的定义判断出具有性质P的集合.利用集合S.T的定义写出S.T．（II）据具有性质P的集合满足a∈A.总有-a∉A.得到0∉A得到（a i.a i）∉T；当（a i.a j）∈T时.（a j.a i）∉T.求出T中的元素个数．（III）对应S中的元素据S.T的定义得到也是T中的元素.反之对于T中的元素也是s中的元素.得到两个集合中的元素相同．【解答】：（I）解：集合{0.1.2.3}不具有性质P．集合{-1.2.3}具有性质P.其相应的集合S和T是S={（-1.3）.（3.-1）}.T={（2.-1）.（2.3）}．（II）证明：首先.由A中元素构成的有序数对（a i.a j）共有k2个．因为0∉A.所以（a i.a i）∉T（i=1.2.k）；又因为当a∈A时.-a∉A时.-a∉A.所以当（a i.a j）∈T时.（a j.a i）∉T（i.j=1.2.k）．从而.集合T中元素的个数最多为12(k2−k)=k(k−1)2.即n≤k(k−1)2．（III）解：m=n.证明如下：（1）对于（a.b）∈S.根据定义.a∈A.b∈A.且a+b∈A.从而（a+b.b）∈T．如果（a.b）与（c.d）是S的不同元素.那么a=c与b=d中至少有一个不成立.从而a+b=c+d与b=d中也至少有一个不成立．故（a+b.b）与（c+d.d）也是T的不同元素．可见.S中元素的个数不多于T中元素的个数.即m≤n.（2）对于（a.b）∈T.根据定义.a∈A.b∈A.且a-b∈A.从而（a-b.b）∈S．如果（a.b）与（c.d）是T的不同元素.那么a=c与b=d中至少有一个不成立.从而a-b=c-d与b=d中也至少有一个不成立.故（a-b.b）与（c-d.d）也是S的不同元素．可见.T中元素的个数不多于S中元素的个数.即n≤m.由（1）（2）可知.m=n．【点评】：本题考查利用题中的新定义解题；新定义题是近几年常考的题型.要重视．21.（问答题.18分）对平面直角坐标系的第一象限内的任意两点作如下定义：若ab ＞cd.那么称点（a.b）是点（c.d）的“上位点”.同时点（c.d）是点（a.b）的“下位点”．（1）试写出点（3.5）的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标；（2）已知点（a.b ）是点（c.d ）的“上位点”.判断点P （a+c.b+d ）是否既是点（c.d ）的“上位点”.又是点（a.b ）的“下位点”.并证明你的结论；（3）设正整数n 满足以下条件：对任意元素m∈{t|0＜t ＜2020.t∈Z}.总存在正整数k.使得点（n.k ）既是点（2020.m ）的“下位点”.又是点（2021.m+1）的“上位点”.求正整数n 的最小值．【正确答案】：【解析】：（1）由新定义“上位点”和“下位点”.可得其中一个满足条件的点；（2）P （a+c.b+d ）既是（c.d ）的“上位点”.又是（a.b ）的“下位点”．由作差法和不等式的性质.即可得到结论；（3）由新定义“上位点”和“下位点”.可得2021m+1 ＜ n k ＜ 2020m 在m∈{t|0＜t ＜2020.t∈Z}恒成立.推得n≥ 40412020−m 对任意m≤2019均成立.结合（2）中的结论.即可得到n 的最小值．【解答】：解：（1）（3.5）的一个“上位点”是（2.1）.一个“下位点”是（1.2）；（2）P （a+c.b+d ）既是（c.d ）的“上位点”.又是（a.b ）的“下位点”．理由：因为 a b ＞ c d 可得ad-bc ＞0.a+c b+d - c d = ad+cd−bc−cd d (b+d ) = ad−bc d (b+d ) ＞0. a+c b+d - a b = ab+bc−ab−ad b (b+d ) = bc−ad b (b+d ) ＜0. 所以P （a+c.b+d ）既是（c.d ）的“上位点”.又是（a.b ）的“下位点”；（3）若正整数n 满足条件： 2021m+1 ＜ n k ＜ 2020m 在m∈{t|0＜t ＜2020.t∈Z}恒成立.由上式可得 {mn ＜2020k (m +1)n ＞2021k .因为m.n.k∈N*.所以 {0＜mn +1≤2020k 0＜2021k ≤(m +1)n −1. 所以2021（mn+1）≤2020（mn+n-1）.所以n≥ 40412020−m对任意m≤2019均成立. 所以n≥ 40412020−2019 =4041．由（2）中的结论：点（a.b ）是点（c.d ）的“上位点”.所以P （a+c.b+d ）既是点（c.d ）的“上位点”.又是点（a.b ）的“下位点”.可得当k=2m+1.n=4041时满足条件.n的最小值为4041．【点评】：本题考查新定义“上位点”和“下位点”的理解和运用.以及不等式的性质和恒成立问题解法.考查转化思想和运算能力、推理能力.属于中档题．。

2020-2021下海七宝第三中学高一数学下期中试题附答案一、选择题1．在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，1AC 与平面11BB C C 所成的角为30o ，则该长方体的体积为（ ）A ．8B ．62C ．82D ．832．已知a ，b 是两条异面直线，且a b ⊥r r，直线c 与直线a 成30°角，则c 与b 所成的角的大小范围是( ) A ．[]60,90︒︒B ．[]30,90︒︒C ．[]30,60︒︒D ．[]45,90︒︒3．水平放置的ABC V 的斜二测直观图如图所示，若112A C ＝，111A B C △的面积为22，则AB 的长为（ ）A ．2B ．217C ．2D ．84．设圆C ：223x y +=，直线l ：360x y +-=，点()00,P x y l ∈，若存在点Q C ∈，使得60OPQ ∠=︒（O 为坐标原点），则0x 的取值范围是( ) A ．1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．60,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[]0,1D ．16,25⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 5．已知平面//α平面β，直线m αÜ，直线n βÜ，点A m ∈,点B n ∈，记点A 、B 之间的距离为a ,点A 到直线n 的距离为b ,直线m 和n 的距离为c ,则 A ．b a c ≤≤B ．a c b ≤≤C ． c a b ≤≤D ．c b a ≤≤6．已知圆()()22:341C x y -+-=和两点(),A m m -，(),B m m -()0m >，若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=︒，则m 的最大值为（ ）A ．42B ．32C ．322D ．227．用一个平面去截正方体，则截面不可能是（ ）A ．直角三角形B ．等边三角形C ．正方形D ．正六边形8．椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点分别是1F 、2F ，以2F 为圆心的圆过椭圆的中心，且与椭圆交于点P ，若直线1PF 恰好与圆2F 相切于点P ，则椭圆的离心率为（ ） A ．312+ B ．31-C ．22D ．512- 9．，为两个不同的平面，，为两条不同的直线，下列命题中正确的是（ ）①若，，则； ②若，，则； ③若，，，则④若，，，则.A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④10．已知AB 是圆22620x y x y +-+=内过点(2,1)E 的最短弦，则||AB 等于（ ）A ．3B ．22C ．23D ．2511．如图，平面四边形ABCD 中，1AB AD CD ===，2BD =，BD CD ⊥，将其沿对角线BD 折成四面体A BCD '-，使平面A BD '⊥平面BCD ，若四面体A BCD '-的顶点在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）A ．3πB ．3π C ．4πD ．3π 12．如图是一个几何体的三视图（侧视图中的弧线是半圆），则该几何体的表面积是（ ）A ．20＋3πB ．24＋3πC ．20＋4πD ．24＋4π二、填空题13．如图，在长方形ABCD 中，2AB =，1BC =，E 为DC 的中点，F 为线段EC （端点除外）上一动点，现将AFD V 沿AF 折起，使平面ABD ⊥平面ABC ，在平面ABD 内过点D 作DK AB ⊥，K 为垂足，设AK t =，则t 的取值范围是__________．14．如图，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，M 为B 1C 1中点，连接A 1B ，D 1M ，则异面直线A 1B 和D 1M 所成角的余弦值为________________________．15．如图，在圆柱O 1 O 2 内有一个球O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱O 1O 2 的体积为V 1 ,球O 的体积为V 2，则12V V 的值是_____16．已知在直角梯形ABCD 中，AB AD ⊥，CD AD ⊥，224AB AD CD ===，将直角梯形ABCD 沿AC 折叠，使平面BAC ⊥平面DAC ，则三棱锥D ABC -外接球的体积为__________．17．若圆1C ：220x y ax by c ++++=与圆2C ：224x y +=关于直线21y x =-对称，则c =______.18．已知平面α，β，γ是空间中三个不同的平面，直线l ，m 是空间中两条不同的直线，若α⊥γ，γ∩α＝m ，γ∩β＝l ，l⊥m，则 ①m⊥β；②l⊥α；③β⊥γ；④α⊥β.由上述条件可推出的结论有________(请将你认为正确的结论的序号都填上)． 19．在一个密闭的容积为1的透明正方体容器内装有部分液体，如果任意转动该正方体，液面的形状都不可能是三角形，那么液体体积的取值范围是 ．20．在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，且三棱锥的最长的棱长为2，则此三棱锥的外接球体积为_____________.三、解答题21．如图，正方形ABCD 所在平面与三角形CDE 所在平面相交于CD ，AE ⊥平面CDE ，且1AE =,2AB =.(Ⅰ)求证：AB ⊥平面ADE ； (Ⅱ)求凸多面体ABCDE 的体积.22．已知圆22:(2)(3)4C x y -+-=外有一点()41-,，过点P 作直线l ．(1)当直线l 与圆C 相切时，求直线l 的方程；(2)当直线l 的倾斜角为135︒时，求直线l 被圆C 所截得的弦长．23．已知圆22:2410C x y x y ++-+=，O 为坐标原点，动点P 在圆外，过点P 作圆C 的切线，设切点为M .（1）若点P 运动到()13，处，求此时切线l 的方程；（2）求满足PM PO =的点P 的轨迹方程. 24．在直角坐标系中，射线OA: x －y=0（x≥0），OB: x+2y=0（x≥0），过点P(1,0)作直线分别交射线OA 、OB 于A 、B 两点. （1）当AB 中点为P 时，求直线AB 的方程； （2）当AB 中点在直线12y x =上时，求直线AB 的方程. 25．如图，在四棱锥P ABCD -中，CB ⊥平面PBD ，AD ⊥平面PBD ，PH BD ⊥于H ，10CD =，8BC AD ==.（1）求证：CD PH ⊥； （2）若13BH BD =，12PH BD =，在线段PD 上是否存在一点M ，使得HM ⊥平面PAD ，且直线HA 与平面PAD 所成角的正弦值为3525.若存在，求PM 的长；若不存在，请说明理由.26．如图，在ABC V 中AC BC ⊥且点O 为AB 的中点，矩形ABEF 所在的平面与平面ABC 互相垂直.（1）设EC 的中点为M ，求证：//OM 平面ACF ； （2）求证：AC ⊥平面CBE【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】 【分析】首先画出长方体1111ABCD A B C D -，利用题中条件，得到130AC B ∠=o，根据2AB =，求得123BC =，可以确定122CC =，之后利用长方体的体积公式求出长方体的体积. 【详解】在长方体1111ABCD A B C D -中，连接1BC ，根据线面角的定义可知130AC B ∠=o，因为2AB =，所以123BC =，从而求得122CC =， 所以该长方体的体积为222282V =⨯⨯=，故选C. 【点睛】该题考查的是长方体的体积的求解问题，在解题的过程中，需要明确长方体的体积公式为长宽高的乘积，而题中的条件只有两个值，所以利用题中的条件求解另一条边的长就显得尤为重要，此时就需要明确线面角的定义，从而得到量之间的关系，从而求得结果.2．A解析：A 【解析】 【分析】将异面直线所成的角转化为平面角，然后由题意，找出与直线a 垂直的直线b 的平行线，与直线c 平行线的夹角. 【详解】在直线a 上任取一点O ，过O 做//c c '，则,a c '确定一平面α，过O 点做直线b 的平行线b '，所有平行线b '在过O 与直线a 垂直的平面β内， 若存在平行线1b '不在β内，则1b '与b '相交又确定不同于β的平面， 这与过一点有且仅有一个平面与一条直线垂直矛盾，所以b '都在平面β内， 且,l αβαβ⊥=I ，在直线c '上任取不同于O 的一点P ，做PP l '⊥于P '，则PP β'⊥，POP '∠为是c '与β所成的角为60︒， 若b l '⊥，则,b b c α'''⊥⊥，若b '不垂直l 且不与l 重合， 过P '做P A b ''⊥，垂足为A ，连PA ，则b '⊥平面PP A '， 所以b PA '⊥，即1,cos 2OA OP OA PA AOP OP OP '⊥∠=<=， 60AOP ∠>︒，综上b '与c '所成角的范围为[60,90]︒︒，所以直线b 与c 所成角的范围为[]60,90︒︒. 故选：A.【点睛】本题考查异面直线所成角，空间角转化为平面角是解题的关键，利用垂直关系比较角的大小，属于中档题.3．B解析：B 【解析】 【分析】依题意由111A B C △的面积为114B C =，所以8BC =，2AC =，根据勾股定理即可求AB ． 【详解】依题意，因为111A B C △的面积为所以11111sin 452AC B C ︒=⨯⋅=111222B C ⨯⨯⨯，解得114B C =， 所以8BC =，2AC =，又因为AC BC ⊥，由勾股定理得：AB ====故选B ． 【点睛】本题考查直观图还原几何图形，属于简单题. 利用斜二测画法作直观图，主要注意两点：一是与x 轴平行的线段仍然与x '轴平行且相等；二是与y 轴平行的线段仍然与y '轴平行且长度减半.4．B解析：B 【解析】 【分析】圆O 外有一点P ，圆上有一动点Q ，OPQ ∠在PQ 与圆相切时取得最大值．如果OP 变长，那么OPQ ∠可以获得的最大值将变小．因为sin QOOPQ PO∠=，QO 为定值，即半径，PO 变大，则sin OPQ ∠变小，由于(0,)2OPQ π∠∈，所以OPQ ∠也随之变小．可以得知，当60OPQ ∠=︒，且PQ 与圆相切时，2PO =，而当2PO >时，Q 在圆上任意移动，60OPQ ∠<︒恒成立．因此，P 的取值范围就是2PO …，即满足2PO …，就能保证一定存在点Q ，使得60OPQ ∠=︒，否则，这样的点Q 是不存在的． 【详解】由分析可得：22200PO x y =+又因为P 在直线l 上，所以00(36)x y =--要使得圆C 上存在点Q ，使得60OPQ ∠=︒，则2PO …故2222000103634PO x y y y ==+-+… 解得0825y 剟，0605x 剟即0x 的取值范围是6[0,]5， 故选：B ． 【点睛】解题的关键是充分利用几何知识，判断出2PO …，从而得到不等式求出参数的取值范围．5．D解析：D 【解析】 【分析】根据平面与平面平行的判断性质,判断c 最小,再根据点到直线距离和点到直线上任意点距离判断a 最大. 【详解】由于平面//α平面β,直线m 和n 又分别是两平面的直线,则c 即是平面之间的最短距离. 而由于两直线不一定在同一平面内,则b 一定大于或等于c ,判断a 和b 时, 因为B 是上n 任意一点,则a 大于或等于b . 故选D. 【点睛】本题主要考查面面平行的性质以及空间距离的性质，考查了空间想象能力，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.6．B解析：B 【解析】 【分析】根据使得90APB ∠=︒的点P 在以AB 为直径的圆上,再分析轨迹圆与圆C 的关系即可. 【详解】由题, 使得90APB ∠=︒的点P 在以AB 为直径的圆上,又两点(),A m m -,(),B m m -,所以圆心为()0,0.=.故P 的轨迹方程为2222x y m +=.又由题意知,当圆()()22:341C x y -+-=内切于222x y m +=时m 取最大值.16==,故m =故选：B 【点睛】本题主要考查了圆与圆的位置关系,重点是根据90APB ∠=︒求出点P 的轨迹.属于中等题型.7．A解析：A 【解析】 【分析】【详解】 画出截面图形如图 显然A 正三角形C 正方形： D 正六边形可以画出三角形但不是直角三角形； 故选A ．用一个平面去截正方体，则截面的情况为：①截面为三角形时，可以是锐角三角形、等腰三角形、等边三角形，但不可能是钝角三角形、直角三角形；②截面为四边形时，可以是梯形（等腰梯形）、平行四边形、菱形、矩形，但不可能是直角梯形；③截面为五边形时，不可能是正五边形； ④截面为六边形时，可以是正六边形． 故可选A ．8．B解析：B 【解析】 【分析】根据椭圆的定义可知12||||2PF PF a +=，又1PF 恰好与圆2F 相切于点P ，可知2||PF c =且12PF PF ⊥，即可列出方程求椭圆的离心率. 【详解】由1PF 恰好与圆2F 相切于点P ，可知2||PF c =，且 12PF PF ⊥， 又12||||2PF PF a +=，可知1||2PF a c =-， 在12Rt PF F ∆中，222(2)4a c c c -+=， 即2222a ac c -= 所以2220,(0,1)e e e +-=∈，解得212e -==， 故选：B 【点睛】本题主要考查了椭圆的定义，椭圆的简单几何性质，圆的切线的性质，属于中档题.9．B解析：B 【解析】 【分析】在①中，由面面平行的性质定理得m ∥β；在②中，m 与n 平行或异面；在③中，m 与β相交、平行或m ⊂β；在④中，由n ⊥α，m ⊥α，得m ∥n ，由n ⊥β，得m ⊥β． 【详解】由α，β为两个不同的平面，m ，n 为两条不同的直线，知：在①中，若α∥β，m ⊂α，则由面面平行的性质定理得m ∥β，故①正确； 在②中，若m ∥α，n ⊂α，则m 与n 平行或异面，故②错误；在③中，若α⊥β，α∩β＝n ，m ⊥n ，则m 与β相交、平行或m ⊂β，故③错误； 在④中，若n ⊥α，m ⊥α，则m ∥n ， 由n ⊥β，得m ⊥β，故④正确． 故选：B ． 【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力，考查化归与转化思想，是中档题．10．D解析：D 【解析】 【分析】求出圆的标准方程，确定最短弦的条件，利用弦长公式进行求解即可． 【详解】圆的标准方程为（x ﹣3）2+（y +1）2＝10，则圆心坐标为C （3，﹣1），半径为过E 的最短弦满足E 恰好为C 在弦上垂足，则CE ==，则|AB |==，故选D ．【点睛】本题主要考查圆的标准方程的求解，以及直线和圆相交的弦长问题,属于中档题．11．A解析：A【解析】【分析】设BC 的中点是E ，连接DE ，由四面体A′­BCD 的特征可知，DE 即为球体的半径.【详解】设BC 的中点是E ，连接DE ，A′E，因为AB ＝AD ＝1，BD ＝2 由勾股定理得：BA⊥AD 又因为BD⊥CD，即三角形BCD 为直角三角形所以DE 为球体的半径32DE = 234()32S ππ== 故选A【点睛】 求解球体的表面积、体积的问题，其实质是求球体的半径，解题的关键是构造关于球体半径R 的方程式，构造常用的方法是构造直角三角形，再利用勾股定理建立关于半径R 的方程.12．A解析：A【解析】【分析】【详解】由几何体的三视图分析可知，该几何体上部为边长为2的正方体，下部为底面半径为1、高为2的半圆柱体，故该几何体的表面积是20＋3π，故选A.考点：1、几何体的三视图；2、几何体的表面积. 二、填空题13．【解析】当位于的中点点与中点重合随点到点由得平面则又则因为所以故综上的取值范围为点睛:立体几何中折叠问题要注重折叠前后垂直关系的变化不变的垂直关系是解决问题的关键条件 解析：1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭ 【解析】当F 位于DC 的中点，点D 与AB 中点重合，1t =．随F 点到C 点，由CB AB ⊥，CB DK ⊥，得CB ⊥平面ADB ，则CB BD ⊥．又2CD =，1BC =，则3BD =．因为1AD =，2AB =，所以AD BD ⊥，故12t =． 综上，t 的取值范围为1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭． 点睛:立体几何中折叠问题,要注重折叠前后垂直关系的变化,不变的垂直关系是解决问题的关键条件.14．【解析】【分析】连接取的中点连接可知且是以为腰的等腰三角形然后利用锐角三角函数可求出的值作为所求的答案【详解】如下图所示：连接取的中点连接在正方体中则四边形为平行四边形所以则异面直线和所成的角为或其解析：105. 【解析】【分析】 连接1CD 、CM ，取1CD 的中点N ，连接MN ，可知11//A B CD ，且1CD M ∆是以1CD 为腰的等腰三角形，然后利用锐角三角函数可求出1cos CD M ∠的值作为所求的答案．【详解】如下图所示：连接1CD 、CM ，取1CD 的中点N ，连接MN ，在正方体1111ABCD A B C D -中，11//A D BC ，则四边形11A BCD 为平行四边形，所以11//A B C D ，则异面直线1A B 和1D M 所成的角为1CD M ∠或其补角，易知1111190B C D BC C CDD ∠=∠=∠=o，由勾股定理可得12CM D M ==，1CDN Q 为1CD 的中点，则1MN CD ⊥，在1Rt D MN ∆中，111cos D N CD M D M ∠==， 因此，异面直线1A B 和1D M【点睛】 本题考查异面直线所成角的余弦值的计算，求解异面直线所成的角一般利用平移直线法求解，遵循“一作、二证、三计算”，在计算时，一般利用锐角三角函数的定义或余弦定理求解，考查计算能力，属于中等题．15．【解析】设球半径为则故答案为点睛:空间几何体体积问题的常见类型及解题策略：①若给定的几何体是可直接用公式求解的柱体锥体或台体则可直接利用公式进行求解；②若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出则常 解析：32【解析】设球半径为r ，则213223423V r r V r π⨯==π．故答案为32． 点睛:空间几何体体积问题的常见类型及解题策略：①若给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解；②若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．16．【解析】结合题意画出折叠后得到的三棱锥如图所示由条件可得在底面中取AB 的中点OAC 的中点E 连OCOE 则∵∴∵平面平面∴平面∴又∴∴∴点O 为三棱锥外接球的球心球半径为2∴答案：点睛：（1）本题是一道关 解析：323π 【解析】结合题意画出折叠后得到的三棱锥D ABC -如图所示，由条件可得在底面ACB ∆中，90,ACB AC BC ∠=︒==AB 的中点O ，AC 的中点E ，连OC,OE 。