14年高考真题——文科数学(辽宁卷)

2014年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁）数学（文科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）【2014年辽宁，文1，5分】已知全集,{|0},{|1}U R A x x B x x ==≤=≥，则集合U ()A B =U ð（ ）（A ）{|0}x x ≥ （B ）{|1}x x ≤ （C ）{|01}x x ≤≤ （D ）{|01}x x << 【答案】D【解析】{}10A B x x x =≥≤U 或，∴{}U ()01A B x x =<<U ð，故选D ．【点评】本题考查了集合的并集、补集运算，利用数轴进行数集的交、并、补运算是常用方法． （2）【2014年辽宁，文2，5分】设复数z 满足(2i)(2i)5z --=，则z =（ ）（A ）23i + （B ）23i - （C ）32i + （D ）32i - 【答案】A【解析】由(2i)(2i)5z --=，得：()()()52i 52i 2i 2i 2i 2i z +-===+--+，∴23i z =+，故选A ． 【点评】本题考查了复数代数形式的除法运算，是基础的计算题．（3）【2014年辽宁，文3，5分】已知132a -=，21log 3b =，121log 3c =，则（ ）（A ）a b c >> （B ）a c b >> （C ）c b a >> （D ）c a b >>【答案】D【解析】∵1030221a -<=<=，221log log 103b =<=，12221log log 3log 213c ==>=，∴c a b >>，故选D ．【点评】本题考查指数的运算性质和对数的运算性质，在涉及比较两个数的大小关系时，有时借助于0、1这样的特殊值能起到事半功倍的效果，是基础题．（4）【2014年辽宁，文4，5分】已知,m n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（ ） （A ）若//m α，//n α，则//m n （B ）若m α⊥，n α⊂，则m n ⊥（C ）若m α⊥，m n ⊥，则//n α （D ）若//m α，m n ⊥，则n α⊥ 【答案】B【解析】A ：若//m α，//n α，则m ，n 相交或平行或异面，故A 错；B ．若m α⊥，n α⊂，则m n ⊥，故B 正确；C ．若m α⊥，m n ⊥，则//n α或n α⊂，故C 错；D ．若//m α，m n ⊥，则//n α或n α⊂或n α⊥，故D 错，故选B ．【点评】本题考查空间直线与平面的位置关系，考查直线与平面的平行、垂直的判断与性质，记熟这些定理是迅速解题的关键，注意观察空间的直线与平面的模型．（5）【2014年辽宁，文5，5分】设,,a b c 是非零向量，已知命题p ：若0=g a b ，0=g b c ，则0=g a c ；命题q ：若a b P ，b c P ，则a c P ，则下列命题中真命题是（ ）（A ）p q ∨ （B ）p q ∧ （C ）()()p q ⌝∧⌝ （D ）()p q ∨⌝ 【答案】A【解析】若0=g a b ，0=g b c ，则g g a b =b c ，即()0-=g a c b ，则0g a c =不一定成立，故命题p 为假命题，若a b P ，b c P ，则a c P ，故命题q 为真命题，则p q ∨，为真命题，p q ∧，()()p q ⌝∧⌝，()p q ∨⌝都为假命题，故选A ．【点评】本题主要考查复合命题之间的判断，利用向量的有关概念和性质分别判断p ，q 的真假是解决本题的关键．（6）【2014年辽宁，文6，5分】若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD 中，其中2AB =，1BC =，则质点落在以AB 为直径的半圆内的概率是（ ）（A ）2π （B ）4π （C ）6π （D ）8πA【答案】B【解析】2112()124P A ππ⋅==⨯，故选B ． 【点评】本题主要考查几何槪型的概率的计算，求出对应的图形的面积是解决本题的关键，比较基础． （7）【2014年辽宁，文7，5分】某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）（A ）84π-（B ）82π-（C ）8π- （D ）82π-【答案】C【解析】由三视图知：几何体是正方体切去两个14圆柱，正方体的棱长为2，切去的圆柱的底面半径为1，高为2，∴几何体的体积321221284V ππ=-⨯⨯⨯⨯=-，故选C ．【点评】本题考查了由三视图求几何体的体积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解题的关键．（8）【2014年辽宁，文8，5分】已知点(2,3)A -在抛物线C ：22y px =的准线上，记C 的焦点为F ，则直线AF的斜率为（ ）（A ）43- （B ）1- （C ）34- （D ）12-【答案】C【解析】∵点(2,3)A -在抛物线C ：22y px =的准线上，∴22p =，∴()2,0F ，∴直线AF 的斜率为33224=---，故选C ．【点评】本题考查抛物线的性质，考查直线斜率的计算，考查学生的计算能力，属于基础题． （9）【2014年辽宁，文9，5分】设等差数列{}n a 的公差为d ，若数列{}12n a a 为递减数列，则（ ）（A ）0d > （B ）0d < （C ）10a d > （D ）10a d < 【答案】D【解析】∵等差数列{}n a 的公差为d ，∴1n n a a d +-=，又数列{}12na a 为递减数列，∴11112212n n a a a d a a +=<，∴10a d <，故选D ．【点评】本题考查了等差数列的通项公式、数列的单调性、指数函数的运算法则等基础知识与基本技能方法，属于中档题．（10）【2014年辽宁，文10，5分】已知()f x 为偶函数，当0x ≥时，1cos ,[0,]2()121,(,)2x x f x x x π⎧∈⎪⎪=⎨⎪-∈+∞⎪⎩，则不等式1(1)2f x -≤的解集为（ ）（A ）1247[,][,]4334U （B ）3112[,][,]4343--U （C ）1347[,][,]3434U （D ）3113[,][,]4334--U【答案】A【解析】当10,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，由()12f x =，即1cos 2x π=，则3x ππ=，即13x =，当12x >时，由()12f x =，得1212x -=，解得34x =，则当0x ≥时，不等式()12f x ≤的解为1334x ≤≤，（如图）则由()f x 为偶函数，∴当0x <时，不等式()12f x ≤的解为3143x -≤≤-，即不等式()12f x ≤的解为1334x ≤≤或3143x -≤≤-，则由31143x -≤-≤-或13134x ≤-≤，解得1243x ≤≤或4734x ≤≤，即不等式1(1)2f x -≤的解集为1243x ≤≤或4734x ≤≤，故选A ．【点评】本题主要考查不等式的解法，利用分段函数的不等式求出0x ≥时，不等式()12f x ≤的解是解决本题的关键．（11）【2014年辽宁，文11，5分】将函数3sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移2π个单位长度，所得图象对应的函数（ ）（A ）在区间7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减 （B ）在区间7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增（C ）在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减 （D ）在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增【答案】B【解析】把函数3sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移2π个单位长度，得到的图象所对应的函数解析式为：3sin 223y x ππ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦．即23sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭．由2222232k x k πππππ-+≤-≤+， 得71212k x k ππππ+≤≤+，k ∈Z ．取0k =，得71212x ππ≤≤． ∴所得图象对应的函数在区间7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，故选B ．【点评】本题考查了函数图象的平移，考查了复合函数单调性的求法，复合函数的单调性满足“同增异减”原则，是中档题．（12）【2014年辽宁，文12，5分】当[2,1]x ∈-时，不等式32430ax x x -++≥恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）（A ）[5,3]-- （B ）9[6,]8-- （C ）[6,2]-- （D ）[4,3]--【答案】C【解析】当0x =时，不等式32430ax x x -++≥对任意a ∈R 恒成立；当01x <≤时，32430ax x x -++≥可化为23143a x x x ≥--，令()23143f x x x x=--，则()()()234491189x x f x x x x x -+'=-++=-（*），当01x <≤时，()0f x '>，()f x 在(]0,1上单调递增，()()max 16f x f ==-∴6a ≥-；当20x -≤<时，32430ax x x -++≥可化为23143a x x x≤--，由（*）式可知，当21x -≤≤-时，()0f x '<，()f x 单调递减，当10x -<<时，()0f x '>，()f x 单调递增，()()min 12f x f =-=-，∴2a ≤-；综上所述，实数a 的取值范围是62a -≤≤-，即实数a 的取值范围是[6,2]--，故选C ．【点评】本题考查利用导数研究函数的最值，考查转化思想、分类与整合思想，按照自变量讨论，最后要对参数范围取交集；若按照参数讨论则取并集．第II 卷（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分 （13）【2014年辽宁，文13，5分】执行右侧的程序框图，若输入3n =，则输出T = ． 【答案】20【解析】由程序框图知：算法的功能是求()()()112123123T i =+++++++++++L L 的值， 当输入3n =时，跳出循环的i 值为4，∴输出1361020T =+++=．【点评】本题考查了当型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键．（14）【2014年辽宁，文14，5分】.已知x ，y 满足条件220240330x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则目标函数34z x y =+的最大值为 ．【答案】18【解析】由约束条件220240330x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩作出可行域如图，联立240330x y x y -+=⎧⎨--=⎩，解得23x y =⎧⎨=⎩，∴()2,3C ．化目标函数34z x y =+为直线方程的斜截式，得：344zy x =-+．由图可知，当直线344zy x =-+过点C 时，直线在y 轴上的截距最大，即z 最大．∴max 324318z =⨯+⨯=．【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．（15）【2014年辽宁，文15，5分】已知椭圆C ：22194x y +=，点M 与C 的焦点不重合，若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则||||AN BN += ．【答案】12【解析】如图：MN 的中点为Q ，易得212QF NB =，112QF AN =，∵Q 在椭圆C 上，∴1226QF QF a +==，∴||||12AN BN +=．【点评】本题考查椭圆的定义，椭圆的基本性质的应用，基本知识的考查． （16）【2014年辽宁，文16，5分】对于0c >，当非零实数,a b 满足22420a ab b c -+-=，且使|2|a b +最大时，124a b c++的最小值为 ．【答案】1-【解析】∵22420a ab b c -+-=，∴22221342416c b a ab b a b ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭，由柯西不等式得，()22222233223223242b b a b a b a b ⎡⎤⎛⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎡⎤⎢⎥-++≥-+⋅=+ ⎪⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎣⎦，故当2a b +最大时， 有344223b a b -=，∴12a b =，2c b =，∴22124224111142a b c b b b b ⎛⎫++=++=+- ⎪⎝⎭， 当2b =-时，取得最小值为1-．【点评】本题考查了柯西不等式，以及二次函数的最值问题，属于难题．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（17）【2014年辽宁，文17，12分】在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边,,a b c ，且a c >，已知2BA BC ⋅=u u u r u u u r ，1cos 3B =，3b =，求：（1）a 和c 的值； （2）cos()B C -的值．解：（1）由2BA BC =u u u r u u u r g 得cos 2ac B ⋅=．又1cos 3B =，所以6ac =．由余弦定理得22a c +=22cos b ac B +⋅．又因为3b =，所以22a c +=21326133+⨯⨯=．解22613ac a c =⎧⎨+=⎩得23a c =⎧⎨=⎩或32a c =⎧⎨=⎩．因为a c >，32a c =⎧∴⎨=⎩． （2）在ABC ∆中，2sin 1cos B B =-21221()3=-=．由正弦定理得sin sin b cB C=， 所以222sin 3sin 3c B C b⨯==42=．因为a c >，所以角C 为锐角．2cos 1sin C C =-24271()99=-=．cos()B C -cos cos sin sin B C B C =+17224239=⨯+⨯2327=． 【点评】此题考查了正弦、余弦定理，平面向量的数量积运算，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握定理是解本题的关键．（18）【2014年辽宁，文18，12分】某大学餐饮中心为了了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进行了抽喜欢甜品 不喜欢甜品 合计南方学生60 20 80 北方学生10 10 20 合计70 30 100 （1”；（2）已知在被调查的北方学生中有5名数学系的学生，其中2名喜欢甜品，现在从这5名学生中随机抽取3人，求至多有1人喜欢甜品的概率．附：21212211222112)(++++-=n n n n n n n n n χ，解：（1）由题意，()2210060102010 4.762 3.84170308020X ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，∴有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”．（2）从这5名学生中随机抽取3人，共有3510C =种情况，有2名喜欢甜品，有133C =种情况， ∴至多有1人喜欢甜品的概率710．【点评】本题考查独立性检验的应用，考查古典概型及其概率计算公式，考查学生的计算能力，属于中档题． （19）【2014年辽宁，文19，12分】如图，ABC ∆和BCD ∆所在平面互相垂直，且AB BC =2BD ==，o 120ABC DBC ∠=∠=，E 、F 、G 分别为AC 、DC 、AD 的中点． （1）求证：EF ⊥平面BCG ； （2）求三棱锥D ﹣BCG 的体积．附：椎体的体积公式13V Sh =，其中S 为底面面积，h 为高．解：（1）∵2AB BC BD ===．120ABC DBC ∠=∠=︒，∴ABC DBC ∆∆≌，∴AC DC =，∵G 为AD 的中点，∴CG AD ⊥．同理BG AD ⊥，∵CG BG G =I ，∴AD ⊥平面BGC ， ∵//EF AD ，∴EF ⊥平面BCG ．（2）在平面ABC 内，作AO CB ⊥，交CB 的延长线于O ，∵ABC ∆和BCD ∆所在平面互相垂直，∴AO ⊥平面BCD ，∵G 为AD 的中点∴G 到平面BCD 的距离h 是AO 长度的一半．在AOB ∆中，sin 603AO AB =︒=，1111sin1203322D BCG D BCD DCB V V S h BD BC --∆===⋅⋅⋅⋅︒=．【点评】本题考查线面垂直，考查三棱锥体积的计算，正确转换底面是关键．（20）【2014年辽宁，文20，12分】圆224x y +=的切线与x 轴正半轴，y 轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P （如图）． （1）求点P 的坐标；（2）焦点在x 轴上的椭圆C 过点P ，且与直线l ：3y x =+交于A 、B 两点，若PAB ∆ 的面积为2，求C 的标准方程．解：（1）解法一：设圆半径r ，P 点上下两段线段长分别为2,,4m n r =，由射影定理得：2r mn =，三角形面积22422422421111444()168168162222s m n r m n r m n r r =++=+++≥++=++，仅当2m n ==时，s 取最大值，这时(2,2)P ．解法二：2()P k χ≥0.1000.050 0.010 k2.7063.841 6.635yxP O设切点P 的坐标为()00,x y ，且00x >，00y >．则切线的斜率为00x y -，故切线方程为()0000xy y x x y -=--， 即001x x y y +=．此时，切线与x 轴正半轴，y 轴正半轴围成的三角形的面积000014482S x y x y =⋅⋅=⋅．再根据22004x y +=≥00x y ==P的坐标为．（2）设椭圆方程22221x y a b +=，11(,)A x y ，22(,)B x y．椭圆过点P 得：22221a b+=，则P到直线y x =+的距离d =．由题得：Δ122ABP S d AB =⋅⋅=，解得AB =．由弦长公式得()()()2222121212123214243AB k x x x x x x x x ⎡⎤⎡⎤=++-=+-=⎣⎦⎣⎦，即2121216()-43x x x x +=．把点P 代入方程得：22221a b +=，由22221y x x y a b ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩得2210x a +-=，整理得2102x -=，12x x ∴+=，212232b x x b-=⋅，代入上式得2424831683b b b --⋅=，即4263103b b -+=，解得23b =，26a =，或26b =，23a =（舍），所以椭圆方程为：22163x y +=．【点评】本题主要考查直线和圆相切的性质，直线和圆锥曲线的位置关系，点到直线的距离公式、弦长公式的应用，属于难题．（21）【2014年辽宁，文21，12分】已知函数()(cos )2sin 2f x x x x π=---，2()(1xg x x ππ=--．证 明：（1）存在唯一0(0,)2x π∈，使0()0f x =；（2）存在唯一1(,)2x ππ∈，使1()0g x =，且对（1）中的01x x π+<．解：（1）2ππ()π(cos )2sin 2(0)π20,()4022f x x x x f f =---∴=--<=->Q ，()f x 在π(0)2，上有零点，()π(1sin )2osx πsin (π2osx)0f x x c x c '=+-=+->Q ，()f x ∴在π(0)2，上单调递增．（2）()(21x g x x ππ=--Q ，,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()()cos 211sin x x g x x x ππ-∴=-⋅+-+cos π2π(π),(0,)1sin π2x x g x x x x -∴-=-+∈+，设cos π2()1sin πx x h x x x --=++，π(0,)2x ∈，则()g x 与()h x 的零点同．22cos sin (1sin )cos 2cos 2π(-cos )2(1sin )()1sin (1sin )π1sin 1sin ππ(1sin )x x x x x x x x x h x x x x x x x -++--+'=+-=+-=+++++()π(1sin )f x x =+，π(0,)2x ∈．由（1）知，()f x 在π(0,)2上只有一个零点0x ，且在点0x 左负右正．()h x ∴在0x 点左侧递减，在0x 点右侧递增，且(0)10h =>，π()02h =，故0()0h x <，存在唯一20(0,)x x ∈，使得()20h x =，即2(π)0g x -=，12πx x ∴=-，即1210πx x x x +=<+，01πx x ∴+>，所以()g x 在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上存在唯一零点1x ，且01πx x +>．【点评】本题考查零点的判定定理，涉及导数法证明函数的单调性，属中档题． 请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时，请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．（22）【2014年辽宁，文22，10分】（选修4-1：几何证明选讲）如图，EP 交圆于E 、C 两点，PD 切圆于D ，G 为CE 上一点且PG PD =，连接DG 并延长交圆于点A ，作弦AB 垂直EP ，垂足为F ．（1）求证：AB 为圆的直径；（2）若AC BD =，求证：AB ED =．解：（1）PD PG PDG PGD PD =∴∠=∠Q Q 为圆的切线，PDA DBA ∴∠=∠又PGD EGA DBA EGA DBA BAD EGA BAD ∠=∠∴∠=∠∴∠+∠=∠+∠Q ， 9090BDA PFA AF EP PFA BDA AB ∴∠=∠⊥∴∠=︒∴∠=︒∴Q 为直径．（2）连接,BC DC 90AB BDA ACB ∴∠=∠=︒Q 是直径，在Rt BDA Rt ACB ∆∆与中， ,AB BA AC BD ==，Rt BDA Rt ACB ∆≅∆，DAB CBA DCB DAB ∴∠=∠∠=∠Q//DAB CBA DC AB ∴∠=∠∴,90AB EP DC EP DCE ⊥∴⊥∠=︒Q ED ∴为直径， 由（1）AB ED =．【点评】本题考查圆的切线的性质，考查三角形全等的证明，考查直径所对的圆周角为直角，属于中档题． （23）【2014年辽宁，文23，10分】（选修4-4：坐标系与参数方程）将圆221x y +=上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C ． （1）写出C 的参数方程；（2）设直线:220l x y +-=与C 的交点为12,P P ，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极坐标建立极坐标系，求过线段12P P 的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程．解：（1）设11(,)x y 为圆221x y +=上任意一点，按题中要求变换后的点(,)x y ．根据题意得112x x y y =⎧⎨=⎩，所以112x x y y =⎧⎪⎨=⎪⎩．由22111x y +=得2214y x +=．故C 的参数方程为cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）． （2）由2244220x y x y ⎧+=⎨+-=⎩解得10x y =⎧⎨=⎩或02x y =⎧⎨=⎩．不妨设1(1,0)P ，2(0,2)P，则线段中点坐标1(,1)2． 所求直线的斜率为12k =，于是所求直线方程为111()22y x -=-，即2430x y -+=．化为极坐标方程为2cos 4sin 30ρθρθ-+=，即34sin 2cos ρθθ=-．【点评】本题主要考查求点的轨迹方程的方法，极坐标和直角坐标的互化，用点斜式求直线的方程，属于中档题． （24）【2014年辽宁，文24，10分】（选修4-5：不等式选讲）设函数()2|1|1f x x x =-+-，2()1681g x x x =-+，记()1f x ≤的解集为M ，()4g x ≤的解集为N ． （1）求M ；（2）当x M N ∈I 时，证明：221()[()]4x f x x f x +≤．解：（1）()2|1|1f x x x =-+-33,[1,)1,(,1)x x x x -∈+∞⎧=⎨-∈-∞⎩．当1x ≥时，()331f x x =-≤，解得413x ≤≤；当1x <时，()11f x x =-≤，解得01x ≤<．所以()1f x ≤的解集为4{|0}3M x x =≤≤．（2）2()16814g x x x =-+≤，解得13{|}44N x x =-≤≤．M N =I 3{|0}4x x ≤≤．当x M N ∈I 时，()1f x x =-． 22()[()]x f x x f x +=22(1)(1)x x x x -+-2x x =-211()42x =--，3{|0}4x x x ∈≤≤．221()[()]4x f x x f x ∴+≤．【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了分类讨论、等价转化的数学思想，属于中档题．。

第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知全集,{|0},{|1}U R A x x B x x ==≤=≥，则集合()U C A B = （ ） A ．{|0}x x ≥ B ．{|1}x x ≤ C ．{|01}x x ≤≤ D ．{|01}x x <<2．设复数z 满足(2)(2)5z i i --=，则z =（ ） A ．23i + B ．23i - C ．32i + D ．32i -3.已知132a -=，21211log ,log 33b c ==，则（ ） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．c a b >> D ．c b a >>4.已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（ ） A ．若//,//,m n αα则//m n B ．若m α⊥，n α⊂，则m n ⊥C ．若m α⊥，m n ⊥，则//n αD ．若//m α，m n ⊥，则n α⊥5.设,,a b c是非零向量，已知命题P ：若0a b ⋅= ，0b c ⋅= ，则0a c ⋅=；命题q ：若//,//a b b c ，则//a c ，则下列命题中真命题是（ ）A ．p q ∨B ．p q ∧C ．()()p q ⌝∧⌝D ．()p q ∨⌝6.若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD 中，其中AB=2，BC=1，则质点落在以AB 为直径的半圆内的概率是（ ） A ．2π B ．4π C ．6π D ．8π7. 某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A ．82π- B ．8π- C ．82π-D ．84π-8. 已知点(2,3)A -在抛物线C ：22y px =的准线上，记C 的焦点为F ，则直线AF 的斜率为（ ）A ．43-B ．1-C ．34-D ．12- 【答案】C 【解析】9. 设等差数列{}n a 的公差为d ，若数列1{2}n a a为递减数列，则（ ） A ．0d < B ．0d > C ．10a d < D ．10a d >10.已知()f x 为偶函数，当0x ≥时，1cos ,[0,]2()121,(,)2x x f x x x π⎧∈⎪⎪=⎨⎪-∈+∞⎪⎩，则不等式1(1)2f x -≤的解集为（ ） A ．1247[,][,]4334 B ．3112[,][,]4343--C ．1347[,][,]3434D ．3113[,][,]4334--11. 将函数3sin(2)3y x π=+的图象向右平移2π个单位长度，所得图象对应的函数（ ）A ．在区间7[,]1212ππ上单调递减B ．在区间7[,]1212ππ上单调递增 C ．在区间[,]63ππ-上单调递减 D ．在区间[,]63ππ-上单调递增12. 当[2,1]x ∈-时，不等式32430ax x x -++≥恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[5,3]--B ．9[6,]8-- C ．[6,2]-- D ．[4,3]--第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 执行右侧的程序框图，若输入3n =，则输出T = .14.已知x，y满足条件220240330x yx yx y+-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则目标函数34z x y=+的最大值为.15. 已知椭圆C ：22194x y +=，点M 与C 的焦点不重合，若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则||||AN BN += .16. 对于0c >，当非零实数a ，b 满足22420a ab b c -+-=，且使|2|a b +最大时，124a b c++的最小值为 .三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分12分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边a ，b ，c ，且a c >，已知2BA BC ∙= ，1cos 3B =，3b =，求：（Ⅰ）a 和c 的值； （Ⅱ）cos()B C -的值.18. （本小题满分12分）某大学餐饮中心为了了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进行了抽样调查，调查结果如下表所示：（Ⅰ）根据表中数据，问是否有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”； （Ⅱ）已知在被调查的北方学生中有5名数学系的学生，其中2名喜欢甜品，现在从这5名学生中随机抽取3人，求至多有1人喜欢甜品的概率.19. （本小题满分12分）如图，ABC ∆和BCD ∆所在平面互相垂直，且2AB BC BD ===，0120ABC DBC ∠=∠=，E 、F 、G分别为AC、DC、AD的中点. （Ⅰ）求证：EF⊥平面BCG；（Ⅱ）求三棱锥D-BCG的体积.附：椎体的体积公式13V Sh=，其中S为底面面积，h为高.20. （本小题满分12分）圆224x y +=的切线与x 轴正半轴，y 轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P （如图）.（Ⅰ）求点P 的坐标；（Ⅱ）焦点在x 轴上的椭圆C 过点P ，且与直线:l y x =A ，B 两点，若PAB ∆的面积为2，求C 的标准方程.【考点定位】1、直线方程；2、椭圆的标准方程；3、弦长公式和点到直线的距离公式． 21. （本小题满分12分）已知函数()(cos )2sin 2f x x x x π=---，2()(1xg x x ππ=--.证明：（Ⅰ）存在唯一0(0,)2x π∈，使0()0f x =；（Ⅱ）存在唯一1(,)2x ππ∈，使1()0g x =，且对（1）中的01x x π+>.22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲，连接DG并延长交圆于点A，作如图，EP交圆于E、C两点，PD切圆于D，G为CE上一点且PG PD弦AB垂直EP，垂足为F.（Ⅰ）求证：AB为圆的直径；（Ⅱ）若AC=BD，求证：AB=ED.23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程将圆221x y +=上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C. （Ⅰ）写出C 的参数方程；（Ⅱ）设直线:220l x y +-=与C 的交点为12,P P ，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极坐标建立极坐标系，求过线段12PP 的中点且与垂直的直线的极坐标方程.24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数()2|1|1f x x x =-+-，2()1681g x x x =-+，记()1f x ≤的解集为M ，()4g x ≤的解集为N.（Ⅰ）求M ；（Ⅱ）当x M N ∈ 时，证明：221()[()]4x f x x f x +≤.。

2014年辽宁高考数学文科卷1. 已知集合，，，则集合A.B.C.D.2. 设复数满足，则A.B.C.D.3.已知，，，则A. B. C. D.4.已知，表示两条不同的直线，表示平面，下列说法正确的是 A.若，，则.B.若，，则. C.若，，则.D.若，，则. 5.设，，是非零向量.已知命题：若，，则.命题：若，，则.则下列命题中真命题是 A.B.C.D.6.将一个质点随机投入如图所示的长方形中，，，则质点落在以为直径的半圆内的概率是A. B. C. D.7.某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为A.B.C.D.8.已知点在抛物线的准线上，记的焦点为，则直线的斜率为主视图左视图俯视图A. B. C. D.9.设等差数列的公差为，若数列为递减数列，则A. B. C. D.10.已知为偶函数，当时，，则不等式的解集为A. B. C. D.11.将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数A.在区间上单调递减B.在区间上单调递增C.在区间上单调递减D.在区间上单调递增12.当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是A. B. C. D.13. 执行下面的程序框图，若输入，则输出________的最大值为15.已知椭圆，点与的焦点不重合. 若关于的焦点的对称点分别为，，线段的中点在上，则________16.对于，当非零实数，满足且使最大时，的最小值为_______17. 在△中，内角的对边分别为，且.已知，，.求输入，，输出（Ⅰ）和的值； （Ⅱ）的值.18.调查结果如下表所示：（Ⅰ）根据表中数据，问是否有的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”；（Ⅱ）已知在被调查的北方学生中有名数学系的学生，其中名喜欢甜品，现在从这名学生中随机抽取人，求至多有人喜欢甜品的概率.，附：19. 如图，△和△所在平面互相垂直，且，，分别为的中点. （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）求三棱锥的体积.附：锥体的体积公式，其中为底面面积，为高.20. 圆的切线与轴正半轴，轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为.（Ⅰ）求点的坐标；（Ⅱ）焦点在轴上的椭圆过点，且与直线交于两点，若△的面积为，求的标准方程.21. 已知函数，.证明：（Ⅰ）存在唯一，使；（Ⅱ）存在唯一，使，且对（Ⅰ）中的，有.22. （选修4-1）如图，交圆于两点，切圆于，为上一点且，连接并延长交圆于点，作弦垂直，垂足为.（Ⅰ）求证：为圆的直径；（Ⅱ）若，求证：.23. （选修4-2）将圆上每一点横坐标保持不变，纵坐标变为原来的倍，得到曲线.（Ⅰ）写出的参数方程；（Ⅱ）设直线与的交点为，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段的中点且与垂直的直线的极坐标方程.24. （选修4-5）设函数，.记的解集为，的解集为.（Ⅰ）求；（Ⅱ）当时，证明：.。

2014年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）文科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分, 共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知全集,{|0},{|1}U R A x x B x x ==≤=≥，则集合()U C AB =（ ）A ．{|0}x x ≥B ．{|1}x x ≤C ．{|01}x x ≤≤D ．{|01}x x << 2. 设复数z 满足(2)(2)5z i i --=，则z =（ ）A ．23i +B ．23i -C ．32i +D ．32i - 3. 已知132a -=，21211log ,log 33b c ==，则（ ） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．c a b >> D ．c b a >> 4. 已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（ ） A ．若//,//,m n αα则//m n B ．若m α⊥，n α⊂，则m n ⊥ C ．若m α⊥，m n ⊥，则//n α D ．若//m α，m n ⊥，则n α⊥5. 设,,a b c 是非零向量，已知命题P ：若0=⋅b a ，0=⋅c b ，则0=⋅c a ；命题q ：若//,//a b b c ，则//a c ，则下列命题中真命题是（ ）A ．p q ∨B ．p q ∧C ．()()p q ⌝∧⌝D ．()p q ∨⌝ 6. 若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD 中，其中AB=2，BC=1，则质点落在以AB 为直径的半圆内的概率是（ ） A ．2π B ．4π C ．6π D ．8π7. 某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A ．84π-B ． 82π-C ．8π-D ． 82π-8. 已知点(2,3)A -在抛物线C ：22y px =的准线上，记C 的焦点为F ，则直线AF 的斜率为（ ） A ．43-B ．－1C ．34-D ．12- 9. 设等差数列{}n a 的公差为d ，若数列1{2}n a a为递减数列，则（ ） A ．0d > B ．0d < C ．10a d > D ． 10a d <10. 已知()f x 为偶函数，当0x ≥时，1cos ,[0,]2()121,(,)2x x f x x x π⎧∈⎪⎪=⎨⎪-∈+∞⎪⎩，则不等式1(1)2f x -≤的解集为（ ）A ．1247[,][,]4334B ．3112[,][,]4343--C ．1347[,][,]3434D ．3113[,][,]4334--11. 将函数3sin(2)3y x π=+的图象向右平移2π个单位长度，所得图象对应的函数（ ）A ．在区间7[,]1212ππ上单调递减B ．在区间7[,]1212ππ上单调递增 C ．在区间[,]63ππ-上单调递减 D ．在区间[,]63ππ-上单调递增12. 当[2,1]x ∈-时，不等式32430ax x x -++≥恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[5,3]--B ．9[6,]8-- C ．[6,2]-- D ．[4,3]--第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13. 执行右侧的程序框图，若输入3n =，则输出T = .14. 已知x ，y 满足条件220240330x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则目标函数34z x y=+的最大值为 .15. 已知椭圆C ：22194x y +=，点M 与C 的焦点不重合，若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则||||AN BN += .16. 对于0c >，当非零实数a ，b 满足02422=-+-c b ab a ，且使|2|a b +最大时，cb a 421++的最小值为 .三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. （本小题满分12分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边a ，b ，c ，且a c >，已知2BA BC ∙=，1cos 3B =，3b =，求：（1）a 和c 的值； （2）cos()B C -的值.18. （本小题满分12分）某大学餐饮中心为了了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进行了抽样调查，调查结果如下表所示：（1）根据表中数据，问是否有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”；（2）已知在被调查的北方学生中有5名数学系的学生，其中2名喜欢甜品，现在从这5名学生中随机抽取3人，求至多有1人喜欢甜品的概率. 附：21212211222112)(++++-=n n n n n n n n n χ，19. （本小题满分12分）如图，ABC ∆和BCD ∆所在平面互相垂直，且2AB BC BD ===，0120ABC DBC ∠=∠=，E 、F 、G 分别为AC 、DC 、AD 的中点.（1）求证：EF ⊥平面BCG ； （2）求三棱锥D-BCG 的体积. 附：椎体的体积公式13V Sh=，其中S 为底面面积，h 为高.DC20. （本小题满分12分）圆224x y +=的切线与x 轴正半轴，y 轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P （如图）. （1）求点P 的坐标；（2）焦点在x 轴上的椭圆C 过点P ，且与直线:l y x =A ，B 两点，若PAB ∆的面积为2，求C 的标准方程.21. （本小题满分12分）已知函数()(cos )2sin 2f x x x x π=---，2()(1xg x x ππ=--.证明：（1）存在唯一0(0,)2x π∈，使0()0f x =；（2）存在唯一1(,)2x ππ∈，使1()0g x =，且对（1）中的01x x π+<.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑. 22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图，EP 交圆于E 、C 两点，PD 切圆于D ，G 为CE 上一点且PG PD =，连接DG 并延长交圆于点A ，作弦AB 垂直EP ，垂足为F. （1）求证：AB 为圆的直径；A（2）若AC=BD ，求证：AB=ED.23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程将圆221x y +=上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C. （1）写出C 的参数方程；（2）设直线:220l x y +-=与C 的交点为12,P P ，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极坐标建立极坐标系，求过线段12PP 的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程.24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数()2|1|1f x x x =-+-，2()1681g x x x =-+，记()1f x ≤的解集为M ，()4g x ≤的解集为N.（1）求M ； （2）当x M N ∈时，证明：221()[()]4x f x x f x +≤.2014高考辽宁卷文科数学参考答案一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. D A C B A B C C D A B C 1.【解析】).10()∪(∞).C 1[]0∞-(∴∞)1[],0-(R ，，，=+⋃=⋃+=∞=B A B A B A 2.【解析】..3225252-25,5)-2)(2-(A i i i i i z i i z 选）（+=++=+=∴= 3.【解析】.∴).2,1(∈log ),1-2-(∈log ),121(∈2312131231-b a c c b a >>===，， 4.【解析】对A, 平行同一平面的直线不一定平行，所以A 错；对B ，直线垂直平面，则必垂直平面内任意一条直线，所以B 对；同样C,D 均错. 5.【解析】命题p 为假，命题q 为真，所以A 正确. 选A6.【解析】 421121)(2ππ=⨯⋅=A P ，所以选B.7.【解析】几何体为直棱柱，体积π-82)21π-22(2=⨯⨯==sh V ，选C. 8.【解析】.4p 2,2,)3,2-(==pA 得在准线上..43-2-2-3),0,2(,8∴2C k F F x y AF 选从而的坐标为焦点===9. 【解析】由已知得n a a 1递减，所以n n a a a a 111<+，解得.00;0011><<>d a d a 且或且..01D d a 选<∴10.【解析】依题可以画出函数)(x f y =的图象如图，直线21=y 与函数)(x f y =的四个交点横坐标从左到右依次为43,31,31,43--，因此可得，43131≤-≤x 或31143-≤-≤-x ,解得]47,34[]32,41[ ∈x ，选A. 11.【解析】；一个增区间为的周期把]6π-4π,6π-4π-[π,)6π(2sin 3)3π2sin(3=+=+=T x x y.].127π,12π[]6π-4π2π,6π-4π-2π[2πB 选后，增区间为右移=+12.【解析】xt x x f x 10≠.0≥)(0.==时，令当成立时，当 ]1,2-[∈∀x ,0≥)341-()(323x x x a x x f ++=]21,-∞-(∈∀t ,0≤34-),∞,1[∈∀t ,0≥34-∴3232t t t a t t t a +++++且)1-9)(1(981-)(,34-)(232t t t t t g t t t a t g +=++='++=则令.)∞,1[]21,-1-(),-1∞-()(递增上递减，在上递增，在在+'t g.].-2,-6[∈a ∴-6≥-2≤.0≥)1(0≤)-1(∴C a a g g 选且解得，且二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13. 20 14. 18 15. 12 16. 1-16.【解析】设2a b t +=，则2b t a =-，代入到22420a ab b c -+-=中，得()()2242220a a t a t a c --+--=，即221260a ta t c -+-=………(*)因为关于a 的二次方程(*)有实根，所以0)(1243622≥-⨯-=∆c t t ，可得c t 42≤，所以当|2|b a +取最大值时，⎪⎩⎪⎨⎧==c b c a 2或⎪⎩⎪⎨⎧-=-=cb c a 2. (1) 当⎪⎩⎪⎨⎧==cb ca 2时，0422421>++=++c c c c b a ， (2) 当⎪⎩⎪⎨⎧-=-=cb ca 2时，11)211(44224212-≥--=+--=++c c c c c b a ，当且仅当2,1,4-=-==b a c 时等号成立.综上可知，当2,1,4-=-==b a c 时，cb a 421++的最小值为1-.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.【解析】（1）由2BA BC ∙=得，2cos =B ca ，又1cos 3B =，所以6=ac .又3b =， ac b c a B 2-cos 222+=，得到13cos 2222=+=+B ca b c a ，2,3.2,3∴====>c a c a c a 所以，解得（2）322`cos 1sin 31cos 2=-=∴=B B B ，924sin ,972c -cos ,2,3,3222==+====C ab b a C c b a.2723)-cos(.2723sin sin cos cos )-cos(==+=∴C B C B C B C B 所以，18. 【解析】（1）841.376.4≈3710030702080)1020-1060(100χ22>∙=∙∙∙∙∙=面有差异”方的学生在甜品饮食方的把握认为“南方和北所以，有%95 （2）种；人，共有人中选从1035 1077611611==+p 所以，所求事件的概率种人喜欢甜品的情况有种，所以至多有学生喜欢甜品的情况有个种，只有品的情况有其中，没有学生喜欢甜19. 【解析】（1）︒====120∠∠,DBC ABC BD BC BA 且BCG⊥EF ∴∩BC ⊥EF EF ⊥BC EF⊥BC EFH,⊥BC ∴∩BC ⊥BC,⊥⊥EF ,⊥EF//AD ∴,ΔΔΔ∴面，且，即面，且根据对称性可知，上，且在设即分别是三边的中点，且，中在全等，与C CG CG H EH FH EH FH BC H CGCG DC AC G F E ACD DCAC DBC ABC ====（2）BCG,⊥Δ∴BCG ⊥面上的高底边面面BC ABC ABC21CG -21∴3120sin 22212331CG -3Δ.CD -CG -ΔΔCD -CG -的体积为所以，三棱锥的体积三棱锥上的高底边的高是它的一半即三棱锥B D V S S V V B D BC ABC B G B D BCD BCD B G B D ==︒∙∙∙=∙∙===20.【解析】(1),4,,,2=r n m P r 为点上下两段线段长分别设圆半径三角形面积由射影定理得,2mn r =16)(421442122422+++=++=n m r n m s ,168211682124224++=++≥r r n m r ).2,2(2P s n m 取最大值，这时时，仅当==（2）).,(),(122112222y x B y x A b y a x ，，设椭圆方程为=+122)2,2(22=+b a P 得：椭圆过点.233=+=d x y P 的距离到直线则324221Δ==∙∙=AB AB d S ABP ，解得由题得，由弦长公式得332]4-)[(2]4-))[(1(212212122122=+=++=x x x x x x x x k AB 136)(3,66,30313-6,316-38-48-32,34-∴01-3322,01-33213122.3164-)(22222224224222122122222222222221221=+=====+=∙∙==+=++=+++⎪⎩⎪⎨⎧=++==+=+y x a b a b bb b b b b b x x b x x b x x b x x a x b y ax x y ba P x x x x 所以，椭圆方程为舍，或解得即代入上式得整理得得由代入方程得：把点即21.【解析】（1）04-2π)2π(,02-π-)0(∴2-sin 2-)cos -(π)(2>=<==f f x x x x f 上仅有一个零点，在所以，上单调递增，在上有零点，在)2π0()()2π0()(∴0osx)2-π(sin πosx 2-)sin 1(π)()2π0()(∴x f x f c x c x x f x f >+=+='(2) π),,2π(∈,1-π2sinx 1sinx -1π)-()(x x x x g ++=1-π2sinx 1cosx -π)-()(∴x x x g ++=)2π(0,∈,π2-πsin 1cos -)-π(∴x x x x x x g ++=.h(x)g(x))2π(0,∈,π2-πsin 1cos -h(x)的零点相同与，则设x x x x x ++=π2-sin 1sin 1cos -π2-)sin (1cos )sin 1(sin sin 1cos -(x)h 22x x x x x x x x x x x +++=+++++=')2π(0,∈,)sin 1(π)()sin 1(π)sin 1(2-)cos -π(x x x x f x x x +=++=，上只有一个零点在知，由0)2π(0,)()1(x x f .(x)h ,00左负右正在点即左负右正且在点x x ' π.,),2()(π∴π,-π∴0)-π(,0)h()0(∈,0)(0)2πh(,01)0(h(x)∴101100121212202000>+>++<=+===<=>=x x x x g x x x x x x x x x g x x x x h h x x 且上存在唯一零点在所以，即即，使得，存在唯一故点右侧递增，且点左侧递减，在在ππ22.【解析】（1）PG PD D PD =' .到延长， AG ∠∠∴∠∠∠∴F DB D PD FGA PGD ADP ='==为切线 π∠∠BDA AG ∠∴π∠ADP ∠BDA ∠=++=++'FGA F DB D.,2π∠BDA ∴π2π∠BDA ∴为直径所以AB ==+(2)EC ∠AG ∠AD ∠∴A F B AC BD ===为直径中，在三角形ED EG AF ACE ∴2π∠EAD ⇒2π∠EAG ∴⊥== .,AB ED =所以 23. 【解析】（1）.],π∈[0,t sin 2cos 为参数，的参数方程：曲线t t y t x C ⎩⎨⎧== （2）02-θsin 2θcos 2θ)sin 2θ,(cos =+在直线上，则上的点设曲线P C0.3θsin ρ4-cos θ 2ρ,23-4)21-(211-∴).1,21(),2,0(),0,1(.2π0θ.1)4πθsin(2=+====+是所求直线的极坐标方程所以即的中垂线方程是垂直中点所以，，或即解得x y x y AB AB B A24. 【解析】（1）.1≤1-|1-|2)(x x x f += .1≤01;34≤≤11≥<<x x x x 时，解得当时，解得当 }.34≤≤0|{].34,0[1≤)(∴x x M x f =所以，的解集为（2）由41816)(2≤+-=x x x g ，解得4341≤≤-x .因此},4341|{≤≤-=x x N 故 }430|{≤≤=x x N M ，于是当N M x ∈时，x x f -=1)(.于是.41)1()()]()[()]([)(22≤-=⋅=+=⋅+x x x f x x f x x xf x f x x f x。

2014年辽宁省高考数学试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分）1．（5分）（2014•辽宁）已知全集U=R，A={x|x≤0}，B={x|x≥1}，则集合∁U（A ∪B）=（）A．{x|x≥0}B．{x|x≤1}C．{x|0≤x≤1}D．{x|0＜x＜1}【分析】先求A∪B，再根据补集的定义求C U（A∪B）．【解答】解：A∪B={x|x≥1或x≤0}，∴C U（A∪B）={x|0＜x＜1}，故选：D．2．（5分）（2014•辽宁）设复数z满足（z﹣2i）（2﹣i）=5，则z=（）A．2+3i B．2﹣3i C．3+2i D．3﹣2i【分析】把给出的等式两边同时乘以，然后利用复数代数形式的除法运算化简，则z可求．【解答】解：由（z﹣2i）（2﹣i）=5，得：，∴z=2+3i．故选：A．3．（5分）（2014•辽宁）已知a=，b=log2，c=log，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞b＞a D．c＞a＞b【分析】利用指数式的运算性质得到0＜a＜1，由对数的运算性质得到b＜0，c ＞1，则答案可求．【解答】解：∵0＜a=＜20=1，b=log2＜log21=0，c=log=log23＞log22=1，∴c＞a＞b．故选：D．4．（5分）（2014•辽宁）已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥nC．若m⊥α，m⊥n，则n∥αD．若m∥α，m⊥n，则n⊥α【分析】A．运用线面平行的性质，结合线线的位置关系，即可判断；B．运用线面垂直的性质，即可判断；C．运用线面垂直的性质，结合线线垂直和线面平行的位置即可判断；D．运用线面平行的性质和线面垂直的判定，即可判断．【解答】解：A．若m∥α，n∥α，则m，n相交或平行或异面，故A错；B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥n，故B正确；C．若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，故C错；D．若m∥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α或n⊥α，故D错．故选：B．5．（5分）（2014•辽宁）设，，是非零向量，已知命题p：若•=0，•=0，则•=0；命题q：若∥，∥，则∥，则下列命题中真命题是（）A．p∨q B．p∧q C．（￢p）∧（￢q）D．p∨（￢q）【分析】根据向量的有关概念和性质分别判断p，q的真假，利用复合命题之间的关系即可得到结论．【解答】解：若•=0，•=0，则•=•，即（﹣）•=0，则•=0不一定成立，故命题p为假命题，若∥，∥，则∥平行，故命题q为真命题，则p∨q，为真命题，p∧q，（￢p）∧（￢q），p∨（￢q）都为假命题，故选：A．6．（5分）（2014•辽宁）若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中，其中AB=2，BC=1，则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是（）A．B．C．D．【分析】利用几何槪型的概率公式，求出对应的图形的面积，利用面积比即可得到结论．【解答】解：∵AB=2，BC=1，∴长方体的ABCD的面积S=1×2=2，圆的半径r=1，半圆的面积S=，则由几何槪型的概率公式可得质点落在以AB为直径的半圆内的概率是，故选：B．7．（5分）（2014•辽宁）某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．8﹣B．8﹣C．8﹣πD．8﹣2π【分析】几何体是正方体切去两个圆柱，根据三视图判断正方体的棱长及切去的圆柱的底面半径和高，把数据代入正方体与圆柱的体积公式计算．【解答】解：由三视图知：几何体是正方体切去两个圆柱，正方体的棱长为2，切去的圆柱的底面半径为1，高为2，∴几何体的体积V=23﹣2××π×12×2=8﹣π．故选：C．8．（5分）（2014•辽宁）已知点A（﹣2，3）在抛物线C：y2=2px的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为（）A．﹣B．﹣1C．﹣D．﹣【分析】利用点A（﹣2，3）在抛物线C：y2=2px的准线上，确定焦点F的坐标，即可求出直线AF的斜率．【解答】解：∵点A（﹣2，3）在抛物线C：y2=2px的准线上，∴﹣=﹣2，∴F（2，0），∴直线AF的斜率为=﹣．故选：C．9．（5分）（2014•辽宁）设等差数列{a n}的公差为d，若数列{2}为递减数列，则（）A．d＞0B．d＜0C．a1d＞0D．a1d＜0【分析】由数列递减可得＜1，由指数函数的性质和等差数列的通项公式化简可得．【解答】解：∵数列{2}为递减数列，∴＜1，即＜1，∴＜1，∴a1（a n+1﹣a n）=a1d＜0故选：D．10．（5分）（2014•辽宁）已知f（x）为偶函数，当x≥0时，f（x）=，，，，，则不等式f（x﹣1）≤的解集为（）A．[，]∪[，]B．[﹣，﹣]∪[，]C．[，]∪[，]D．[﹣，﹣]∪[，]【分析】先求出当x≥0时，不等式f（x）≤的解，然后利用函数的奇偶性求出整个定义域上f（x）≤的解，即可得到结论．【解答】解：当x∈[0，]，由f（x）=，即cosπx=，则πx=，即x=，当x＞时，由f（x）=，得2x﹣1=，解得x=，则当x≥0时，不等式f（x）≤的解为≤x≤，（如图）则由f（x）为偶函数，∴当x＜0时，不等式f（x）≤的解为﹣≤x≤﹣，即不等式f（x）≤的解为≤x≤或﹣≤x≤﹣，则由≤x﹣1≤或﹣≤x﹣1≤﹣，解得≤x≤或≤x≤，即不等式f（x﹣1）≤的解集为{x|≤x≤或≤x≤}，故选：A．11．（5分）（2014•辽宁）将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（）A．在区间[，]上单调递增B．在区间[，]上单调递减C．在区间[﹣，]上单调递减D．在区间[﹣，]上单调递增【分析】直接由函数的图象平移得到平移后的图象所对应的函数解析式，然后利用复合函数的单调性的求法求出函数的增区间，取k=0即可得到函数在区间[，]上单调递增，则答案可求．【解答】解：把函数y=3sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，得到的图象所对应的函数解析式为：y=3sin[2（x﹣）+]．即y=3sin（2x﹣）．当函数递增时，由，得，．取k=0，得．∴所得图象对应的函数在区间[，]上单调递增．故选：A．12．（5分）（2014•辽宁）当x∈[﹣2，1]时，不等式ax3﹣x2+4x+3≥0恒成立，则实数a的取值范围是（）A．[﹣5，﹣3]B．[﹣6，﹣]C．[﹣6，﹣2]D．[﹣4，﹣3]【分析】分x=0，0＜x≤1，﹣2≤x＜0三种情况进行讨论，分离出参数a后转化为函数求最值即可，利用导数即可求得函数最值，注意最后要对a取交集．【解答】解：当x=0时，不等式ax3﹣x2+4x+3≥0对任意a∈R恒成立；当0＜x≤1时，ax3﹣x2+4x+3≥0可化为a≥，令f（x）=，则f′（x）==﹣（*），当0＜x≤1时，f′（x）＞0，f（x）在（0，1]上单调递增，f（x）max=f（1）=﹣6，∴a≥﹣6；当﹣2≤x＜0时，ax3﹣x2+4x+3≥0可化为a≤，由（*）式可知，当﹣2≤x＜﹣1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当﹣1＜x＜0时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，f（x）min=f（﹣1）=﹣2，∴a≤﹣2；综上所述，实数a的取值范围是﹣6≤a≤﹣2，即实数a的取值范围是[﹣6，﹣2]．故选：C．二、填空题（共4小题，每小题5分）13．（5分）（2014•辽宁）执行如图的程序框图，若输入n=3，则输出T=20．【分析】算法的功能是求T=1+（1+2）+（1+2+3）+…+（1+2+3+…+i）的值，根据条件确定跳出循环的i值，计算输出的T值．【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求T=1+（1+2）+（1+2+3）+...+（1+2+3+ (i)的值，当输入n=3时，跳出循环的i值为4，∴输出T=1+3+6++10=20．故答案为：20．14．（5分）（2014•辽宁）已知x，y满足约束条件，则目标函数z=3x+4y的最大值为18．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得，∴C（2，3）．化目标函数z=3x+4y为直线方程的斜截式，得：．由图可知，当直线过点C时，直线在y轴上的截距最大，即z最大．∴z max=3×2+4×3=18．故答案为：18．15．（5分）（2014•辽宁）已知椭圆C：+=1，点M与C的焦点不重合，若M关于C的焦点的对称点分别为A、B，线段MN的中点在C上，则|AN|+|BN|= 12．【分析】画出图形，利用中点坐标以及椭圆的定义，即可求出|AN|+|BN|的值．【解答】解：如图：MN的中点为Q，易得，，∵Q在椭圆C上，∴|QF1|+|QF2|=2a=6，∴|AN|+|BN|=12．故答案为：12．16．（5分）（2014•辽宁）对于c＞0，当非零实数a，b满足4a2﹣2ab+b2﹣c=0且使|2a+b|最大时，++的最小值为﹣1．【分析】首先把：4a2﹣2ab+b2﹣c=0，转化为=，再由柯西不等式得到|2a+b|2，分别用b表示a，c，在代入到++得到关于b的二次函数，求出最小值即可．【解答】解：∵4a2﹣2ab+b2﹣c=0，∴=由柯西不等式得，[][]≥[2（a﹣）+×2]2=|2a+b|2故当|2a+b|最大时，有∴，c=b2∴++==当b=﹣2时，取得最小值为﹣1．故答案为：﹣1三、解答题17．（12分）（2014•辽宁）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且a＞c，已知•=2，cosB=，b=3，求：（Ⅰ）a和c的值；（Ⅱ）cos（B﹣C）的值．【分析】（Ⅰ）利用平面向量的数量积运算法则化简•=2，将cosB的值代入求出ac=6，再利用余弦定理列出关系式，将b，cosB以及ac的值代入得到a2+c2=13，联立即可求出ac的值；（Ⅱ）由cosB的值，利用同角三角函数间基本关系求出sinB的值，由c，b，sinB，利用正弦定理求出sinC的值，进而求出cosC的值，原式利用两角和与差的余弦函数公式化简后，将各自的值代入计算即可求出值．【解答】解：（Ⅰ）∵•=2，cosB=，∴c•acosB=2，即ac=6①，∵b=3，∴由余弦定理得：b2=a2+c2﹣2accosB，即9=a2+c2﹣4，∴a2+c2=13②，联立①②得：a=3，c=2；（Ⅱ）在△ABC中，sinB===，由正弦定理=得：sinC=sinB=×=，∵a=b＞c，∴C为锐角，∴cosC===，则cos（B﹣C）=cosBcosC+sinBsinC=×+×=．18．（12分）（2014•辽宁）某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进行了抽样调查，调查结果如表所示：（Ⅰ）根据表中数据，问是否有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”；（Ⅱ）已知在被调查的北方学生中有5名数学系的学生，其中2名喜欢甜品，现在从这5名学生中随机抽取3人，求至多有1人喜欢甜品的概率．附：X2=【分析】（Ⅰ）根据表中数据，利用公式，即可得出结论；（Ⅱ）利用古典概型概率公式，即可求解．【解答】解：（Ⅰ）由题意，X2=≈4.762＞3.841，∴有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”；（Ⅱ）从这5名学生中随机抽取3人，共有=10种情况，有2名喜欢甜品，有=3种情况，∴至多有1人喜欢甜品的概率．19．（12分）（2014•辽宁）如图，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB=BC=BD=2．∠ABC=∠DBC=120°，E、F、G分别为AC、DC、AD的中点．（Ⅰ）求证：EF⊥平面BCG；（Ⅱ）求三棱锥D﹣BCG的体积．附：锥体的体积公式V=Sh，其中S为底面面积，h为高．【分析】（Ⅰ）先证明AD⊥平面BGC，利用EF∥AD，可得EF⊥平面BCG；（Ⅱ）在平面ABC内，作AO⊥CB，交CB的延长线于O，G到平面BCD的距离h=V G﹣BCD=，即可求三棱锥D﹣BCG的是AO长度的一半，利用V D﹣BCG体积．【解答】（Ⅰ）证明：∵AB=BC=BD=2．∠ABC=∠DBC=120°，∴△ABC≌△DBC，∴AC=DC，∵G为AD的中点，∴CG⊥AD．同理BG⊥AD，∵CG∩BG=G，∴AD⊥平面BGC，∵EF∥AD，∴EF⊥平面BCG；（Ⅱ）解：在平面ABC内，作AO⊥CB，交CB的延长线于O，∵△ABC和△BCD所在平面互相垂直，∴AO⊥平面BCD，∵G为AD的中点，∴G到平面BCD的距离h是AO长度的一半．在△AOB中，AO=ABsin60°=，∴V D=V G﹣BCD==×=．﹣BCG20．（12分）（2014•辽宁）圆x2+y2=4的切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P（如图）．（Ⅰ）求点P的坐标；（Ⅱ）焦点在x轴上的椭圆C过点P，且与直线l：y=x+交于A、B两点，若△PAB的面积为2，求C的标准方程．【分析】（Ⅰ）设切点P的坐标为（x0，y0），求得圆的切线方程，根据切线与x 轴正半轴，y轴正半轴围成的三角形的面积S=．再利用基本不等式求得S取得最小值，求得点P的坐标．（Ⅱ）设椭圆的标准方程为+=1，a＞b＞0，则+=1．把直线方程和椭圆的方程联立方程组，转化为关于x的一元二次方程，利用韦达定理、弦长公式求出弦长AB以及点P到直线的距离d，再由△PAB的面积为S=•AB•d=2，求出a2、b2的值，从而得到所求椭圆的方程．【解答】解：（Ⅰ）设切点P的坐标为（x0，y0），且x0＞0，y0＞0．则切线的斜率为﹣，故切线方程为y﹣y0=﹣（x﹣x0），即x0x+y0y=4．此时，切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成的三角形的面积S=••=．再根据+=4≥2x0•y0，可得当且仅当x0=y0=时，x0•y0取得最大值为2，即S取得最小值为=4，故此时，点P的坐标为（，）．（Ⅱ）设椭圆的标准方程为+=1，a＞b＞0，∵椭圆C过点P，∴+=1．由求得b2x2+4x+6﹣2b2=0，∴x1+x2=﹣，x1•x2=．由y1=x1+，y2=x2+，可得AB=|x2﹣x1|=•=•=．由于点P（，）到直线l：y=x+的距离d=，△PAB的面积为S=•AB•d=2，可得b4﹣9b2+18=0，解得b2=3，或b2=6，当b2=6 时，由+=1求得a2=3，不满足题意；当b2=3时，由+=1求得a2=6，满足题意，故所求的椭圆的标准方程为+=1．21．（12分）（2014•辽宁）已知函数f（x）=π（x﹣cosx）﹣2sinx﹣2，g（x）=（x﹣π）+﹣1．证明：（Ⅰ）存在唯一x0∈（0，），使f（x0）=0；（Ⅱ）存在唯一x1∈（，π），使g（x1）=0，且对（Ⅰ）中的x0，有x0+x1＞π．【分析】（Ⅰ）导数法可判f（x）在（0，）上为增函数，又可判函数有零点，故必唯一；（Ⅱ）化简可得g（x）=（π﹣x）+﹣1，换元法，令t=π﹣x，记u（t）=g（π﹣t）=﹣﹣t+1，t∈[0，]，由导数法可得函数的零点，可得不等式．【解答】解：（Ⅰ）当x∈（0，）时，f′（x）=π+πsinx﹣2cosx＞0，∴f（x）在（0，）上为增函数，又f（0）=﹣π﹣2＜0，f（）=﹣4＞0，∴存在唯一x0∈（0，），使f（x0）=0；（Ⅱ）当x∈[，π]时，化简可得g（x）=（x﹣π）+﹣1=（π﹣x）+﹣1，令t=π﹣x，记u（t）=g（π﹣t）=﹣﹣t+1，t∈[0，]，求导数可得u′（t）=，由（Ⅰ）得，当t∈（0，x0）时，u′（t）＜0，当t∈（x0，）时，u′（t）＞0，∴函数u（t）在（x0，）上为增函数，由u（）=0知，当t∈[x0，）时，u（t）＜0，∴函数u（t）在[x0，）上无零点；函数u（t）在（0，x0）上为减函数，由u（0）=1及u（x0）＜0知存在唯一t0∈（0，x0），使u（t0）=0，于是存在唯一t0∈（0，），使u（t0）=0，设x1=π﹣t0∈（，π），则g（x1）=g（π﹣t0）=u（t0）=0，∴存在唯一x1∈（，π），使g（x1）=0，∵x1=π﹣t0，t0＜x0，∴x0+x1＞π四、选考题，请考生在22-24三题中任选一题作答，多做则按所做的第一题给分选修4-1：几何证明选讲22．（10分）（2014•辽宁）如图，EP交圆于E，C两点，PD切圆于D，G为CE 上一点且PG=PD，连接DG并延长交圆于点A，作弦AB垂直EP，垂足为F．（Ⅰ）求证：AB为圆的直径；（Ⅱ）若AC=BD，求证：AB=ED．【分析】（Ⅰ）证明AB为圆的直径，只需证明∠BDA=90°；（Ⅱ）证明Rt△BDA≌Rt△ACB，再证明∠DCE为直角，即可证明AB=ED．【解答】证明：（Ⅰ）∵PG=PD，∴∠PDG=∠PGD，∵PD为切线，∴∠PDA=∠DBA，∵∠PGD=∠EGA，∴∠DBA=∠EGA，∴∠DBA+∠BAD=∠EGA+∠BAD，∴∠BDA=∠PFA，∵AF⊥EP，∴∠PFA=90°．∴∠BDA=90°，∴AB为圆的直径；（Ⅱ）连接BC，DC，则∵AB为圆的直径，∴∠BDA=∠ACB=90°，在Rt△BDA与Rt△ACB中，AB=BA，AC=BD，∴Rt△BDA≌Rt△ACB，∴∠DAB=∠CBA，∵∠DCB=∠DAB，∴∠DCB=∠CBA，∴DC∥AB，∵AB⊥EP，∴DC⊥EP，∴∠DCE为直角，∴ED为圆的直径，∵AB为圆的直径，∴AB=ED．选修4-4：坐标系与参数方程23．（2014•辽宁）将圆x2+y2=1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C．（Ⅰ）写出C的参数方程；（Ⅱ）设直线l：2x+y﹣2=0与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）在曲线C上任意取一点（x，y），再根据点（x，）在圆x2+y2=1上，求出C的方程，化为参数方程．（Ⅱ）解方程组求得P1、P2的坐标，可得线段P1P2的中点坐标．再根据与l垂直的直线的斜率为，用点斜式求得所求的直线的方程，再根据x=ρcosα、y=ρsinα 可得所求的直线的极坐标方程．【解答】解：（Ⅰ）在曲线C上任意取一点（x，y），由题意可得点（x，）在圆x2+y2=1上，∴x2+=1，即曲线C的方程为x2+=1，化为参数方程为（0≤θ＜2π，θ为参数）．（Ⅱ）由，可得，，不妨设P1（1，0）、P2（0，2），则线段P1P2的中点坐标为（，1），再根据与l垂直的直线的斜率为，故所求的直线的方程为y﹣1=（x﹣），即x ﹣2y+=0．再根据x=ρcosα、y=ρsinα 可得所求的直线的极坐标方程为ρcosα﹣2ρsinα+=0，即ρ=．选修4-5：不等式选讲24．（2014•辽宁）设函数f（x）=2|x﹣1|+x﹣1，g（x）=16x2﹣8x+1．记f（x）≤1的解集为M，g（x）≤4的解集为N．（Ⅰ）求M；（Ⅱ）当x∈M∩N时，证明：x2f（x）+x[f（x）]2≤．＜②，分别求得【分析】（Ⅰ）由所给的不等式可得①，或①、②的解集，再取并集，即得所求．（Ⅱ）由g（x）≤4，求得N，可得M∩N=[0，]．当x∈M∩N时，f（x）=1﹣x，不等式的左边化为﹣，显然它小于或等于，要证的不等式得证．＜②．【解答】解：（Ⅰ）由f（x）=2|x﹣1|+x﹣1≤1 可得①，或解①求得1≤x≤，解②求得0≤x＜1．综上，原不等式的解集为[0，]．（Ⅱ）证明：由g（x）=16x2﹣8x+1≤4，求得﹣≤x≤，∴N=[﹣，]，∴M∩N=[0，]．∵当x∈M∩N时，f（x）=1﹣x，∴x2f（x）+x[f（x）]2 =xf（x）[x+f（x）]=﹣≤，故要证的不等式成立．。

数学试卷 第1页（共18页）数学试卷 第2页（共18页）数学试卷 第3页（共18页）绝密★启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)数 学(供文科考生使用)注意事项:1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U =R ，{|0}A x x =≤，{|}B x x =≥1，则集合()U A B =ð（ ）A ．{|0}x x ≥B ．{|1}x x ≤C ．{|01}x x ≤≤D ．{|01}x x ＜＜ 2．设复数z 满足(2i)(2i)5z --=，则z =（ ）A ．23i +B ．23i -C ．32i +D ．32i - 3．已知132a -=，21log 3b =，121log 3c =，则（ ）A ．b a c ＞＞B ．a c b ＞＞C ．c b a ＞＞D ．c a b ＞＞4．已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面.下列说法正确的是（ ）A ．若m α∥，n α∥，则m n ∥B ．若m α⊥，n α⊂，则m n ⊥C ．若m α⊥，m n ⊥，则n α∥D ．若m α∥，m n ⊥，则n α⊥5．设a ，b ，c 是非零向量.已知命题p ：若a b 0=，b c 0=，则a c 0=； 命题q ：若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .则下列命题中真命题是（ ）A ．p q ∨B ．p q ∧C ．()()p q ⌝∧⌝D ．()p q ∨⌝6．若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD 中，其中2AB =，1BC =，则质点落在以AB 为直径的半圆内的概率是（ ）A ．π2B ．π4C ．π6D ．π87．某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．π84-B ．π82-C ．8π-D ．82π-8．已知点(2,3)A -在抛物线C ：22y px =的准线上，记C的焦点为F ，则直线AF 的斜率为（ ）A ．43-B ．1-C ．34-D ．12-9．设等差数列{}n a 的公差为d .若数列1{2}n aa 为递减数列，则（ ）A ．0d ＞B ．0d ＜C ．10a d ＞D ．10a d ＜10．已知()f x 为偶函数，当0x ≥时，1cos π,[0,],2()121,(,),2x x f x x x ⎧∈⎪⎪=⎨⎪-∈+∞⎪⎩则不等式1(1)2f x -≤的解集为（ ） A ．1247[,][,]4334B ．3112[,][,]4343--C ．1347[,][,]3434D ．3113[,][,]4334--11．将函数π3sin(2)3y x =+的图象向右平移π2个单位长度，所得图象对应的函数（ ） A ．在区间π7π[,]1212上单调递减 B ．在区间π7π[,]1212上单调递增C ．在区间ππ[,]63-上单调递减D ．在区间ππ[,]63-上单调递增12．当[2,1]x ∈-时，不等式32430ax x x -++≥恒成立，则实数a 的取值范围是 （ ）A ．[5,3]--B ．9[6,]8--C ．[6,2]--D ．[4,3]--第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须做答.第22题~第24题为选考题，考生根据要求做答. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13．执行右侧的程序框图，若输入3n =，则输出T =________. 14．已知x ，y 满足约束条件220240330x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪--⎩≥≥≤ 则目标函数34z x y =+的最大值为________.15．已知椭圆C ：22194x y +=，点M 与C 的焦点不重合.若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则||||AN BN +=________.16．对于0c ＞，当非零实数a ，b 满足22420a ab b c -+-=且使|2|a b +最大时，124a b c++的最小值为________. --------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------姓名________________ 准考证号_____________数学试卷 第4页（共18页）数学试卷 第5页（共18页） 数学试卷 第6页（共18页）三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a c ＞．已知2BA BC =，1cos 3B =，3b =.求：（Ⅰ）a 和c 的值； （Ⅱ）cos()B C -的值．18．（本小题满分12分）某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进行了抽样调查，调查（Ⅰ）根据表中数据，问是否有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”；（Ⅱ）已知在被调查的北方学生中有5名数学系的学生，其中2名喜欢甜品，现在从这5名学生中随机抽取3人，求至多有1人喜欢甜品的概率．19．（本小题满分12分）如图，ABC △和BCD △所在平面互相垂直，且2AB BC BD ===，120ABC DBC ∠=∠=，E ，F ，G 分别为AC ，DC ，AD 的中点.（Ⅰ）求证：EF ⊥平面BCG ； （Ⅱ）求三棱锥D BCG -的体积.附：锥体的体积公式13V Sh =，其中S 为底面面积，h 为高.20．（本小题满分12分）圆224x y +=的切线与x 轴正半轴，y 轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P （如图）. （Ⅰ）求点P 的坐标；（Ⅱ）焦点在x 轴上的椭圆C 过点P ，且与直线l ： y x =+交于A ，B 两点.若PAB △的面积为2，求C 的标准方程.21．（本小题满分12分）已知函数()π(cos )2sin 2f x x x x =---，2()(π1πxg x x =--.证明：（Ⅰ）存在唯一0π(0,)2x ∈，使0()0f x =；（Ⅱ）存在唯一1π(,π)2x ∈，使1()0g x =，且对（Ⅰ）中的0x ，有01πx x +＞.请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.做答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑. 22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，EP 交圆于E ，C 两点，PD 切圆于D ，G 为CE 上一点且PG PD =，连接DG 并延长交圆于点A ，作弦AB 垂直EP ，垂足为F . （Ⅰ）求证：AB 为圆的直径；（Ⅱ）若AC BD =，求证：AB ED =.23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参考方程将圆221x y +=上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C .（Ⅰ）写出C 的参数方程；（Ⅱ）设直线l ：220x y +-=与C 的交点为1P ，2P ，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段12P P 的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程.24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲设函数()2|1|1f x x x =-+-，2()1681g x x x =-+．记()1f x ≤的解集为M ，()4g x ≤的解集为N .（Ⅰ）求M； （Ⅱ）当x M N ∈时，证明：221()[()]4x f x x f x +≤.附：22112212211212()+n n n n n n n n n χ++-=+，数学试卷 第7页（共18页）数学试卷 第8页（共18页）2014年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数学(供文科考生使用)答案解析{|AB x x =){|0AB x =【提示】先求AB ，再根据补集的定义求()AB U ð.【考点】交、并、补集的混合运算【解析】(2i)(2z -【提示】把给出的等式两边同时乘以质，即可判断；C 运用线面垂直的性质，结合线线垂直和线面平行的位置即可判断；D 运用线面平行的性质和线面垂直的判定，即可判断.A【解析】若0a b =，0b c =，则a b b c =，即()0a c b -=，则0a c =不一定成立，故命题为假命题.若a b ∥，b c ∥，则a c ∥，故命题q 为真命题.则p q ∨，为真命题，p q ∧，【提示】根据向量的有关概念和性质分别判断【解析】等差数列数学试卷 第10页（共18页）数学试卷 第11页（共18页）数学试卷 第12页（共18页）(123i)++++++的(123i)++++++的值，根据条件44，Q 在椭圆12||||26QF QF a ∴+==，||||12AN BN ∴+=.【解析】242a ab -23232b ⎛⎫⎤=⎥⎦（Ⅰ）由2BA BC =得cos ac B .所以22a c +=2sin c Bb ⨯=27=. 【提示】（Ⅰ）利用平面向量的数量积运算法则化简2BA BC =，将cos 3B =代入求出6ac =，再利用余弦定理列出关系式，将b ，cos B 以及ac 的值代入得到2213a c +=，联数学试卷 第13页（共18页）数学试卷 第14页（共18页）数学试卷 第15页（共18页）（Ⅰ）AB BC =G 为AD 的中点，CG ∴⊥AD .CGBG G =，EF AD ∥EF ∴⊥平面（Ⅱ）在平面，∆.G 6B =11sin1203322BD BC ︒=000014482x y x y =P 的坐标为(2122d AB =，解得()(21k ⎡=+⎣2232b b -，代入上式得2231683b b -=6=，2a =，所以椭圆方程为：00轴正半轴围成的三角形的面积008S x y =.再利用基本不等式求得S 取得最小值，求得点P 的122d AB =，求出（Ⅰ）()πf x =0，π2f ⎛⎫ ⎪⎝⎭上有零点.()πf x '=上单调递增.（Ⅱ）()(g x =cos (π)1sin x x x -=-++cos 1sin x x ++cos )1sin x x -++由导数法可得函数的零点，可得不等式（Ⅰ）PD PG PDG PGD PD =∴∠=∠为切线，PDA ∴∠PGD EGA DBA EGA DBA BAD EGA BAD ∠=∠∴∠=∠∴∠+∠=∠+∠，NDA PFA ∴∠=∠.9090AF EP PFA BDA AB ⊥∴∠=︒∴∠=︒∴为圆的直径.（Ⅱ）连接BC ，DC .数学试卷 第16页（共18页） 数学试卷 第17页（共18页） 数学试卷 第18页（共18页）90AB BDA ACB ∴∠=∠=︒是直径，在Rt BDA △与Rt ACB △中，AB BA AC BD ==，，Rt BDA Rt ACB ∴△≌△，DAB CBA DCB DAB ∴∠=∠∠=∠，DCB CBA ∴∠=∠，DC AB ∴∥.AB EP DC EP DCE ⊥∴⊥∠，为直角，∴ED 为圆的直径，AB 为圆的直径，AB ED ∴=.（Ⅱ）由214220x x y ⎧+=⎪⎨⎪+-=⎩，可得10x y =⎧⎨=⎩，02x y =⎧⎨=⎩，不妨设1(1,0)P 、2(0,2)P ，则线段12P P 的中点坐标为1,12⎛⎫⎪⎝⎭，再根据与l 垂直的直线的斜率为12， 故所求的直线的方程为111y x ⎛⎫-=- ⎪，即3220x y -+=.【提示】（Ⅰ）在曲线C 上任意取一点(,)x y ，再根据点,2y x ⎛⎫⎪⎝⎭在圆22111x y+=上，求出C的方程，化为参数方程.（Ⅱ）解方程组求得1P 、2P 的坐标，可得线段12P P 的中点坐标.再根据与l 垂直的直线的斜（Ⅱ）由2()16814g x x x =-+≤，求得1344x -≤≤，13,44N ⎡⎤∴=-⎢⎥⎣⎦，M N ∴=30,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦.当x MN ∈时，()1f x x =-，22()[()]()[x ()]x f x x f x xf x f x +=+2111424x ⎛⎫=--≤ ⎪⎝⎭，故要证的不等式成立.【提示】（Ⅰ）由所给的不等式可得1331x x ≥⎧⎨-≤⎩①，或111x x <⎧⎨-≤⎩②，分别求得①、②的解集，N =30,4⎡⎢⎣N 时，f ，显然它小于或等于14，要证的不等式得证.。

数学试卷 第1页（共21页）数学试卷 第2页（共21页）数学试卷 第3页（共21页）绝密★启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)数 学(供文科考生使用)注意事项:1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知全集U =R ，{|0}A x x =≤，{|}B x x =≥1，则集合()UAB =ð（ ） A ．{|0}x x ≥ B ．{|1}x x ≤ C ．{|01}x x ≤≤ D ．{|01}x x ＜＜2．设复数z 满足(2i)(2i)5z --=，则z =（ ） A ．23i +B ．23i -C ．32i +D ．32i - 3．已知132a -=，21log 3b =，121log 3c =，则（ ） A ．b a c ＞＞B ．a c b ＞＞C ．c b a ＞＞D ．c a b ＞＞4．已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面.下列说法正确的是（ ）A ．若m α∥，n α∥，则m n ∥B ．若m α⊥，n α⊂，则m n ⊥C ．若m α⊥，m n ⊥，则n α∥D ．若m α∥，m n ⊥，则n α⊥5．设a ，b ，c 是非零向量.已知命题p ：若a b 0=，b c 0=，则a c 0=； 命题q ：若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .则下列命题中真命题是（ ）A ．p q ∨B ．p q ∧C ．()()p q ⌝∧⌝D ．()p q ∨⌝6．若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD 中，其中2AB =，1BC =，则质点落在以AB 为直径的半圆内的概率是（ ）A ．π2B ．π4C ．π6D ．π87．某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．π84-B ．π82-C ．8π-D ．82π-8．已知点(2,3)A -在抛物线C ：22ypx =的准线上，记C 的焦点为F ，则直线AF 的斜率为（ ）A ．43-B ．1-C ．34-D ．12-9．设等差数列{}n a 的公差为d .若数列1{2}na a 为递减数列，则（ ）A ．0d ＞B ．0d ＜C ．10a d ＞D ．10a d ＜10．已知()f x 为偶函数，当0x ≥时，1cos π,[0,],2()121,(,),2x x f x x x ⎧∈⎪⎪=⎨⎪-∈+∞⎪⎩则不等式1(1)2f x -≤的解集为（ ）A ．1247[,][,]4334B ．3112[,][,]4343--C ．1347[,][,]3434D ．3113[,][,]4334--11．将函数π3sin(2)3y x =+的图象向右平移π2个单位长度，所得图象对应的函数（ ）A ．在区间π7π[,]1212上单调递减B ．在区间π7π[,]1212上单调递增C ．在区间ππ[,]63-上单调递减D ．在区间ππ[,]63-上单调递增12．当[2,1]x ∈-时，不等式32430ax x x -++≥恒成立，则实数a 的取值范围是 （ ） A ．[5,3]--B ．9[6,]8--C ．[6,2]--D ．[4,3]--第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须做答.第22题~第24题为选考题，考生根据要求做答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------姓名________________ 准考证号_____________数学试卷 第4页（共21页）数学试卷 第5页（共21页）数学试卷 第6页（共21页）13．执行右侧的程序框图，若输入3n =，则输出T =________. 14．已知x ，y 满足约束条件220240330x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪--⎩≥≥≤ 则目标函数34z x y =+的最大值为________.15．已知椭圆C ：22194x y +=，点M 与C 的焦点不重合.若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则||||AN BN +=________.16．对于0c ＞，当非零实数a ，b 满足22420a ab b c -+-=且使|2|a b +最大时，124a bc++的最小值为________.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a c ＞．已知2BA BC =，1cos 3B =，3b =.求：（Ⅰ）a 和c 的值； （Ⅱ）cos()B C -的值．18．（本小题满分12分）某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进（Ⅰ）根据表中数据，问是否有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”；（Ⅱ）已知在被调查的北方学生中有5名数学系的学生，其中2名喜欢甜品，现在从这5名学生中随机抽取3人，求至多有1人喜欢甜品的概率．19．（本小题满分12分）如图，ABC △和BCD △所在平面互相垂直，且2AB BC BD ===，120ABC DBC ∠=∠=，E ，F ，G 分别为AC ，DC ，AD 的中点.（Ⅰ）求证：EF ⊥平面BCG ； （Ⅱ）求三棱锥D BCG -的体积.附：锥体的体积公式13V Sh =，其中S 为底面面积，h 为高.20．（本小题满分12分）圆224x y +=的切线与x 轴正半轴，y 轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P （如图）. （Ⅰ）求点P 的坐标；（Ⅱ）焦点在x 轴上的椭圆C 过点P ，且与直线l ：y x =+交于A ，B 两点.若PAB △的面积为2，求C 的标准方程.21．（本小题满分12分）已知函数()π(cos )2sin 2f x x x x =---，2()(π1πxg x x =--. 证明：（Ⅰ）存在唯一0π(0,)2x ∈，使0()0f x =； （Ⅱ）存在唯一1π(,π)2x ∈，使1()0gx =，且对（Ⅰ）中的0x ，有01πx x +＞.请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.做答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题附：22112212211212()+n n n n n n n n n χ++-=+，数学试卷 第7页（共21页）数学试卷 第8页（共21页）数学试卷 第9页（共21页）号下方的方框涂黑.22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，EP 交圆于E ，C 两点，PD 切圆于D ，G 为CE 上一点且PG PD =，连接DG 并延长交圆于点A ，作弦AB 垂直EP ，垂足为F . （Ⅰ）求证：AB 为圆的直径； （Ⅱ）若AC BD =，求证：AB ED =.23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参考方程 将圆221xy +=上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C .（Ⅰ）写出C 的参数方程；（Ⅱ）设直线l ：220x y +-=与C 的交点为1P ，2P ，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段12P P 的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程.24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲设函数()2|1|1f x x x =-+-，2()1681g x x x =-+．记()1f x ≤的解集为M ，()4g x ≤的解集为N .（Ⅰ）求M ； （Ⅱ）当x M N ∈时，证明：221()[()]4x f x x f x +≤.2014年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）{|AB x x =){|0AB x =【提示】先求A B ，再根据补集的定义求)AB ð.【考点】交、并、补集的混合运算【解析】(2i)(2z -【提示】把给出的等式两边同时乘以B 运用线面垂直的性质，即可判断；C 运用线面垂直的性质，结合线线垂直和线面平行的位置即可判断；D 运用线面平行的性质和线面垂直的判定，即可判断.【考点】空间中直线与直线之间的位置关系A【解析】若0a b =，0b c =，则a b b c =，即()0a c b -=，则0a c =不一定成立，故命题p 为假命题.若a b ∥，b c ∥，则a c ∥，故命题q 为真命题.则p q ∨，命题，故选A.的真假，利用复合命题之间的关系即可得到结论.数学试卷 第10页（共21页）数学试卷 第11页（共21页）数学试卷 第12页（共21页）【解析】等差数列(123)++++++的值，当输入(123i)++++++的值，距最大，即最大.max .，Q数学试卷 第13页（共21页）数学试卷 第14页（共21页）数学试卷 第15页（共21页）【解析】242a ab -不等式得，23232b ⎤⎛⎫⎤=⎥⎦（Ⅰ）由2B A B C =得2cos ac B .2c =232+2sin c B b ⨯=C 1⎛=- 2BA BC =1cos 3B =代入求出6ac =，再利用余弦定理列出关系式，将b ，cos B 以及ac 的值代入得到22（Ⅱ）利用古典概型概率公式，即可求解.【考点】独立性检验的应用，古典概型及其概率计算公式Ⅰ）AB BC =G 为AD 的中点，CG ∴.CG BG G =，BGC .EF AD ∥EF ∴⊥平面BCG （Ⅱ）在平面，∆.G 6B=11sin1203322BD BC ︒=00014482x y x y =再根据2200x y +=数学试卷 第16页（共21页）数学试卷 第17页（共21页）数学试卷 第18页（共21页）122d AB =，解得()221k ⎡=+⎣2232b b -，代入上式得2231683b b -= 或26b =，所以椭圆方程为：P 00(,)x y 切线与x 轴正半轴，y 轴正半轴围成的三角形的面积008S x y =.再利用基122d AB =，求出【考点】直线与圆锥曲线的综合问题（Ⅰ）()πf x =.()πf x '=上单调递增.（Ⅱ）()(g x =cos (π)1sin x x x --++cos 1sin x x ++cos )1sin x x -++由导数法可得函数的零点，可得不等式【考点】函数零点的判定定理 ）PD PG PDG PGD PD=∴∠=∠为切线，PDA DBA ∴∠=∠，PGD EGA DBA EGA DBA BAD EGA BAD ∠=∠∴∠=∠∴∠+∠=∠+∠，NDA PFA ∴∠=∠.9090AF EP PFA BDA AB ⊥∴∠=︒∴∠=︒∴为圆的直径.（Ⅱ）连接BC ，DC .90AB BDA ACB ∴∠=∠=︒是直径，在Rt BDA △与Rt ACB △中，AB BA AC BD ==，， Rt BDA Rt ACB ∴△≌△，DAB CBA DCB DAB ∴∠=∠∠=∠，DCB CBA ∴∠=∠，DC AB ∴∥.AB EP DC EP DCE ⊥∴⊥∠，为直角，∴ED 为圆的直径，AB 为圆的直径，AB ED ∴=.（Ⅱ）由214220x x y ⎧+=⎪⎨⎪+-=⎩，可得10x y =⎧⎨=⎩，02x y =⎧⎨=⎩，不妨设1(1,0)P 、2(0,2)P ， 则线段12P P 的中点坐标为1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭，再根据与l 垂直的直线的斜率为12， 故所求的直线的方程为111y x ⎛⎫-=- ⎪，即3220x y -+=.数学试卷 第19页（共21页） 数学试卷 第20页（共21页） 数学试卷 第21页（共21页）【提示】（Ⅰ）在曲线C 上任意取一点(,)x y ，再根据点,2y x ⎛⎫⎪⎝⎭在圆221x y +=上，求出C 的方程，化为参数方程.（Ⅱ）由2()16814g x x x =-+≤，求得1344x -≤≤，,44N ⎡⎤∴=-⎢⎥⎣⎦，M N ∴=30,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 当x MN ∈时，()1f x x =-，22()[()]()[x ()]x f x x f x xf x f x +=+2111424x ⎛⎫=--≤ ⎪⎝⎭，故要证的不等式成立.【提示】（Ⅰ）由所给的不等式可得1331x x ≥⎧⎨-≤⎩①，或111x x <⎧⎨-≤⎩②，分别求得①、②的解集，再取并集，即得所求.N =30,4⎡⎢⎣MN 时，f ，显然它小于或等于14，要证的不等式。

2014年辽宁省高考数学试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分）1．（5分）已知全集U=R，A={x|x≤0}，B={x|x≥1}，则集合∁U（A∪B）=（）A．{x|x≥0}B．{x|x≤1}C．{x|0≤x≤1}D．{x|0＜x＜1}2．（5分）设复数z满足（z﹣2i）（2﹣i）=5，则z=（）A．2+3i B．2﹣3i C．3+2i D．3﹣2i3．（5分）已知a=，b=log 2，c=log，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞b＞a D．c＞a＞b4．（5分）已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥nC．若m⊥α，m⊥n，则n∥αD．若m∥α，m⊥n，则n⊥α5．（5分）设，，是非零向量，已知命题p ：若•=0，•=0，则•=0；命题q ：若∥，∥，则∥，则下列命题中真命题是（）A．p∨q B．p∧q C．（￢p）∧（￢q）D．p∨（￢q）6．（5分）若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中，其中AB=2，BC=1，则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是（）1A ．B ．C ．D ．7．（5分）某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．8﹣B．8﹣C．8﹣πD．8﹣2π8．（5分）已知点A（﹣2，3）在抛物线C：y2=2px的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为（）A ．﹣ B．﹣1 C ．﹣ D ．﹣9．（5分）设等差数列{a n}的公差为d，若数列{2}为递减数列，则（）A．d＞0 B．d＜0 C．a1d＞0 D．a1d＜010．（5分）已知f（x）为偶函数，当x≥0时，f（x）=，2则不等式f（x﹣1）≤的解集为（）A．[，]∪[，]B．[﹣，﹣]∪[，]C．[，]∪[，]D．[﹣，﹣]∪[，]11．（5分）将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（）A．在区间[，]上单调递增B．在区间[，]上单调递减C．在区间[﹣，]上单调递减D．在区间[﹣，]上单调递增12．（5分）当x∈[﹣2，1]时，不等式ax3﹣x2+4x+3≥0恒成立，则实数a的取值范围是（）A．[﹣5，﹣3]B．[﹣6，﹣] C．[﹣6，﹣2]D．[﹣4，﹣3]二、填空题（共4小题，每小题5分）13．（5分）执行如图的程序框图，若输入n=3，则输出T=．314．（5分）已知x，y 满足约束条件，则目标函数z=3x+4y的最大值为．15．（5分）已知椭圆C：+=1，点M与C的焦点不重合，若M关于C的焦点的对称点分别为A、B，线段MN的中点在C上，则|AN|+|BN|=．16．（5分）对于c＞0，当非零实数a，b满足4a2﹣2ab+b2﹣c=0且使|2a+b|最大时，++的最小值为．三、解答题417．（12分）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且a＞c ，已知•=2，cosB=，b=3，求：（Ⅰ）a和c的值；（Ⅱ）cos（B﹣C）的值．18．（12分）某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进行了抽样调查，调查结果如表所示：喜欢甜品不喜欢甜品合计南方学生602080北方学生101020合计7030100（Ⅰ）根据表中数据，问是否有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”；（Ⅱ）已知在被调查的北方学生中有5名数学系的学生，其中2名喜欢甜品，现在从这5名学生中随机抽取3人，求至多有1人喜欢甜品的概率．附：X2=P（x2＞k）0.1000.0500.010k 2.706 3.841 6.63519．（12分）如图，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB=BC=BD=2．∠ABC=∠DBC=120°，E、F、G分别为AC、DC、AD的中点．5。

2014年辽宁省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分）把给出的等式两边同时乘以3．（5分）（2014•辽宁）已知a=，b=log2，c=log，则（）2＜c=log5．（5分）（2014•辽宁）设，，是非零向量，已知命题p：若•=0，•=0，则•=0；命题q：若∥，∥，则∥，则下列命题中真命题是（）•=0•=0，则••，即（）=0，则•∥，∥，则∥平行，故命题6．（5分）（2014•辽宁）若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中，其中AB=2，BC=1，则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是（）BS=为直径的半圆内的概率是7．（5分）（2014•辽宁）某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（）﹣﹣圆柱，根据三视图判断正方体的棱长及切去的圆柱的底面圆柱，×8．（5分）（2014•辽宁）已知点A（﹣2，3）在抛物线C：y2=2px的准线上，记C的焦点为﹣=的斜率为=．9．（5分）（2014•辽宁）设等差数列{a n}的公差为d，若数列{2}为递减数列，则（）＜}∴＜∴10．（5分）（2014•辽宁）已知f（x）为偶函数，当x≥0时，f（x）=，则不等式f（x﹣1）≤的解集为（），]∪[，]，﹣]∪[，]，]∪[，]，﹣]∪[，]的解，然后利用函数的奇偶性求出整个定义域上≤]，即x=x=，时，由，得，x=≤的解为，≤的解为﹣≤，的解为或﹣≤≤或≤，≤或≤，≤{x|≤或≤的11．（5分）（2014•辽宁）将函数y=3sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，所得图[，][，，]，[，]2x+）的图象向右平移个单位长度，）]﹣当函数递增时，由，得，]12．（5分）（2014•辽宁）当x∈[﹣2，1]时，不等式ax3﹣x2+4x+3≥0恒成立，则实数a的取，﹣]≥=﹣二、填空题（共4小题，每小题5分）13．（5分）（2014•辽宁）执行如图的程序框图，若输入n=3，则输出T=20．14．（5分）（2014•辽宁）已知x，y满足约束条件，则目标函数z=3x+4y 的最大值为18．作出可行域如图，，解得，为直线方程的斜截式，得：由图可知，当直线15．（5分）（2014•辽宁）已知椭圆C：+=1，点M与C的焦点不重合，若M关于C 的焦点的对称点分别为A、B，线段MN的中点在C上，则|AN|+|BN|=12．，易得，，16．（5分）（2014•辽宁）对于c＞0，当非零实数a，b满足4a2﹣2ab+b2﹣c=0且使|2a+b|最大时，++的最小值为﹣1．，转化为=++∴=[][]∴∴++=三、解答题17．（12分）（2014•辽宁）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且a＞c，已知•=2，cosB=，b=3，求：（Ⅰ）a和c的值；（Ⅱ）cos（B﹣C）的值．）利用平面向量的数量积运算法则化简•=2）∵=2cosB=，sinB===由正弦定理=sinB=×==，×+×．18．（12分）（2014•辽宁）某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进（Ⅰ）根据表中数据，问是否有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”；（Ⅱ）已知在被调查的北方学生中有5名数学系的学生，其中2名喜欢甜品，现在从这5名学生中随机抽取3人，求至多有1人喜欢甜品的概率．附：X2=≈人，共有名喜欢甜品，有人喜欢甜品的概率19．（12分）（2014•辽宁）如图，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB=BC=BD=2．∠ABC=∠DBC=120°，E、F、G分别为AC、DC、AD的中点．（Ⅰ）求证：EF⊥平面BCG；（Ⅱ）求三棱锥D﹣BCG的体积．附：锥体的体积公式V=Sh，其中S为底面面积，h为高．====×=20．（12分）（2014•辽宁）圆x2+y2=4的切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P（如图）．（Ⅰ）求点P的坐标；（Ⅱ）焦点在x轴上的椭圆C过点P，且与直线l：y=x+交于A、B两点，若△PAB的面积为2，求C的标准方程．．再利用基本不等式求得=1+S=则切线的斜率为﹣••==4=的坐标为（，=1，∴=1，=+|x=•．，y=x+，•时，由+=1+=121．（12分）（2014•辽宁）已知函数f（x）=π（x﹣cosx）﹣2sinx﹣2，g（x）=（x﹣π）+﹣1．证明：（Ⅰ）存在唯一x0∈（0，），使f（x0）=0；（Ⅱ）存在唯一x1∈（，π），使g（x1）=0，且对（Ⅰ）中的x0，有x0+x1＞π．，）﹣﹣t+1，，）上为增函数，）﹣，[﹣+﹣﹣]，）时，）上为增函数，））时，，，，，四、选考题，请考生在22-24三题中任选一题作答，多做则按所做的第一题给分选修4-1：几何证明选讲22．（10分）（2014•辽宁）如图，EP交圆于E，C两点，PD切圆于D，G为CE上一点且PG=PD，连接DG并延长交圆于点A，作弦AB垂直EP，垂足为F．（Ⅰ）求证：AB为圆的直径；（Ⅱ）若AC=BD，求证：AB=ED．选修4-4：坐标系与参数方程23．（2014•辽宁）将圆x2+y2=1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C．（Ⅰ）写出C的参数方程；（Ⅱ）设直线l：2x+y﹣2=0与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程．，线的斜率为，，=1=1）由，的中点坐标为（垂直的直线的斜率为1=﹣=0．选修4-5：不等式选讲24．（2014•辽宁）设函数f（x）=2|x﹣1|+x﹣1，g（x）=16x2﹣8x+1．记f（x）≤1的解集为M，g（x）≤4的解集为N．（Ⅰ）求M；（Ⅱ）当x∈M∩N时，证明：x2f（x）+x[f（x）]2≤．）由所给的不等式可得，﹣，解②，，求得﹣≤，，]，=﹣。

2014年全国普通高等学校招生统一考试文科（辽宁卷）数学答案解析1、【答案】D【解析】试题分析：由已知得，或，故．考点：集合的运算．2、【答案】A【解析】试题分析：由已知得，．考点：复数的运算．3、【答案】C【解析】试题分析：因为，，，故.考点：指数函数和对数函数的图象和性质．4、【答案】B【解析】试题分析：若则或相交或异面，故A错；若，，，由直线和平面垂直的定义知，，故B正确；若，，则或，故C错；若，，则与位置关系不确定，故D错．考点：空间直线和平面的位置关系．5、【答案】A【解析】试题分析：若，，则，故，故命题是假命题；若，则，故命题是真命题，由复合命题真假判断知，是真命题，选A．考点：1、平面向量的数量积运算；2、向量共线．6、【答案】B【解析】试题分析：将一个质点随机投入长方形ABCD中，基本事件总数有无限多个，故可考虑几何概型求概率．由已知得，以AB为直径的半圆的面积为．又长方形ABCD的面积为，故质点落在以AB为直径的半圆内的概率是，选B．考点：几何概型．7、【答案】B【解析】试题分析：由三视图还原几何体，得该几何体是棱长为2的正方体，切去底面半径为1、高为4的两个四分之一圆柱得到的几何体，故体积为，选Ｂ．考点：三视图．8、【答案】C【解析】试题分析：由已知得，抛物线的准线方程为，且过点，故，则，，则直线AF的斜率，选C．考点：1、抛物线的标准方程和简单几何性质；2、直线的斜率．9、【答案】C【解析】试题分析：由已知得，，即，，又，故，从而，选C．考点：1、等差数列的定义；2、数列的单调性．10、【答案】Ａ【解析】试题分析：先画出当时，函数的图象，又为偶函数，故将轴右侧的函数图象关于轴对称，得轴左侧的图象，如下图所示，直线与函数的四个交点横坐标从左到右依次为，由图象可知，或，解得，选A．考点：１、分段函数；2、函数的图象和性质；3、不等式的解集．11、【答案】B【解析】试题分析：将函数的图象向右平移个单位长度，得到，令，解得，故递增区间为（），当时，得递增区间为，选B．考点：1、三角函数图象变换；2、三角函数的单调性．12、【答案】C【解析】试题分析：不等式变形为．当时，，故实数a的取值范围是；当时，，记，，故函数递增，则，故；当时，，记，令，得或（舍去），当时，；当时，，故，则．综上所述，实数a的取值范围是．考点：利用导数求函数的极值和最值．13、【答案】【解析】试题分析：输入，在程序执行过程中，的值依次为；；；；，程序结束．输出．考点：程序框图．14、【答案】【解析】试题分析：画出可行域，如下图所示，将目标函数变形为，当取到最大值时，直线的纵截距最大，故将直线向上平移到过点C时，目标函数取到最大值，，得，故．考点：线性规划．15、【答案】【解析】试题分析：如图所示，由已知条件得，点分布是椭圆的左、右焦点，且，分别是线段的中点，则在和中，，，又由椭圆定义得，，故．16、【答案】【解析】试题分析：设，则，代入到中，得，即……①因为关于的二次方程①有实根，所以，可得，取最大值时，或，当时，，当时，，综上可知当时，的最小值为．考点：1、一元二次方程根的判别式；2、二次函数求值域．17、【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）由及向量数量积的定义，得，从而，故再寻求关于的等式是解题关键．由，不难想到利用余弦定理，得，进而联立求；（2）利用差角余弦公式将展开，涉及的正弦值和余弦值．由可求，因为三角形三边确定，故可利用正弦定理或余弦定理求值，代入即可求的值．（1）由得，．又．所以．由余弦定理，得．又．所以．解得或．因为．所以．（2）在中，．由正弦定理得，．因，所以为锐角．因此．于是．考点：1、平面向量数量积定义；2、正弦定理；3、余弦定理．18、【答案】（1）有的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”；（2）【解析】试题分析：（1）将列联表中的数据代入公式计算，得的值，然后与表格中的比较，若小于，则有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”；（2）从5名学生中随机抽取3人，有10种结果，构成基本事件空间，其中“至多有1人喜欢甜品”这个事件包含7个基本事件，代入古典概型的概率计算公式即可．（1）将列联表中的数据代入公式计算．得．由于．所以有的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”．（2）从5名数学系的学生任取3人的一切可能结果所组成的基本事件空间，，，．其中表示喜欢甜品的学生，．表示不喜欢甜品的学生，．由10个基本事件组成，切这些基本事件出现是等可能的．用A表示“3人中至多有1人喜欢甜品”这一事件，则．事件A是由7个基本事件组成．因而．考点：1、独立性检验；2、古典概型．19、【答案】（1）详见解析；（2）【解析】试题分析：（1）由已知得，是的中位线，故，则可转化为证明平面BCG．易证，则有，则在等腰三角形和等腰三角形中，且是中点，故，．从而平面BCG，进而平面BCG；（2）求四面体体积，为了便于计算底面积和高，往往可采取等体积转化法．由平面平面，利用面面垂直的性质，易作出面的垂线，同时求出点到面的距离，从而可求出点到平面距离，即四面体的高，进而求四面体体积．（1）证明：由已知得．因此．又为中点，所以；同理；因此平面．又．所以平面BCG．（2）在平面内．作．交延长线于．由平面平面．知平面．又为中点，因此到平面距离是长度的一半．在中，．所以．考点：1、直线和平面垂直的判定；2、面面垂直的性质；3、四面体的体积．20、【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）首先设切点，由圆的切线的性质，根据半径的斜率可求切线斜率，进而可表示切线方程为，建立目标函数．故要求面积最小值，只需确定的最大值，由结合目标函数，易求；（2）设椭圆标准方程为，点在椭圆上，代入点得①，利用弦长公式表示，利用点到直线距离公式求高，进而表示的面积，与①联立，可确定，进而确定椭圆的标准方程．（1）设切点坐标为．则切线斜率为．切线方程为．即．此时，两个坐标轴的正半轴于切线围成的三角形面积．由知当且仅当时，有最大值．即有最小值．因此点的坐标为．（2）设的标准方程为．点．由点在上知．并由得．又是方程的根，因此，由，，得．由点到直线的距离为及得．解得或．因此，（舍）或，．从而所求的方程为．考点：1、直线方程；2、椭圆的标准方程；3、弦长公式和点到直线的距离公式．21、【答案】（1）详见解析；（2）详见解析【解析】试题分析：（1）依题意，只需证明函数在区间上存在唯一零点．往往转化为利用导数判断函数单调性、极值点，从而判断函数大致图象，进而说明零点分布情况．本题当时，，故在上为增函数，再说明端点函数值异号；（2）与（1）类似，只需证明函数在区间上存在唯一零点．但是不易利用导数判断函数大致图象，考虑到结论中，故需考虑第二问与第一问的关系，利用（1）的结论，设，则，，根据第一问中的符号，从而可判断函数的单调性，进而判断函数大致图象，确定函数的零点，寻求函数的零点与零点的关系，从而证明不等式．证明：（1）当时，，所以在上为增函数．又．．所以存在唯一，使．（2）当时，化简得．令．记．．则．由（1）得，当时，；当时，．从而在上为增函数，由知，当时，，所以在上无零点．在上为减函数，由及知存在唯一，使得．于是存在唯一，使得．设．．因此存在唯一的，使得．由于，，所以．考点：１、函数的零点；2、利用导数判断函数单调性；3、利用导数求函数的最值．22、【答案】（1）详见解析；（2）详见解析【解析】试题分析：（1）要证明为圆的直径，只需证明，结合，在和中，只需证明，从而转化为证明，由弦切角定理以及很容易证明；（2）要证明，由（1）得，只需证明为圆的直径．连接，只需证明．只需证明．因为，故，根据同弧所对的圆周角相等得，故，从而．得证（1）因为．所以．由于为切线，所以．又由于，所以．由于，所以，．故为圆的直径．（2）连接．由于是直径，故．在和中，，．从而．于是．又因为，所以．又因为，所以．故．由于，所以，为直角．于是为直径．由（1）得，．考点：1、三角形全等；2、弦切角定理；3、圆的性质．23、【答案】（1）（为参数）；（2）【解析】试题分析：（1）由平面直角坐标系中的伸缩变换得变换前后对应的坐标关系．即，反解并代入圆中，得曲线C的普通方程．进而写出参数方程；（2）将直线与圆联立，求的交点的坐标，从而可确定与垂直的直线方程．再利用化直线的直角坐标方程为极坐标方程．（1）设为圆上的点，经变换为上点．依题意，得由得．即曲线的方程为．故C的参数方程为（为参数）．（2）由解得或不妨设．则线段的中点坐标为．所求直线的斜率为．于是所求直线方程为．化为极坐标方程为，即．考点：1、伸缩变换；2、曲线的参数方程；2、曲线的极坐标方程．24、【答案】（1）；（2）详见解析.【解析】试题分析：（1）不等式变形为，然后分类讨论去绝对号解不等式得不等式解集；（2）解不等式，得．故．当时，，此时．代入中为二次函数，求其最大值即可．（1）当时，由得．故；当时，由得，故．所以的解集为．（2）由得．，故．当时，，故．考点：1、绝对值不等式解法；2、二次函数最值．。

2014年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)数学(文科)第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2014辽宁，文1)已知全集U ＝R ，A ＝{x |x ≤0}，B ＝{x |x ≥1}，则集合U (A ∪B )＝( )． A ．{x |x ≥0} B ．{x |x ≤1} C ．{x |0≤x ≤1} D ．{x |0＜x ＜1} 答案：D解析：∵A ∪B ＝{x |x ≤0或x ≥1}，∴U (A ∪B )＝{x |0＜x ＜1}．故选D.2．(2014辽宁，文2)设复数z 满足(z －2i)(2－i)＝5，则z ＝( )． A ．2＋3i B ．2－3i C ．3＋2i D ．3－2i 答案：A解析：∵(z －2i)(2－i)＝5，∴52i 2i 2iz -==+-. ∴z ＝2＋3i.故选A.3．(2014辽宁，文3)已知132a -=，21log 3b =，121log 3c =，则( )． A ．a ＞b ＞c B ．a ＞c ＞b C ．c ＞b ＞a D ．c ＞a ＞b 答案：D解析：∵1030221a -<=<=，221log log 103b =<=，112211log log 132c =>=，∴c ＞a ＞b .故选D.4．(2014辽宁，文4)已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是( )． A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥n B ．若m ⊥α，n ⊂α，则m ⊥n C ．若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥α D ．若m ∥α，m ⊥n ，则n ⊥α 答案：B解析：对A ：m ，n 还可能异面、相交，故A 不正确．对C ：n 还可能在平面α内，故C 不正确．对D ：n 还可能在α内，故D 不正确．对B ：由线面垂直的定义可知正确．5．(2014辽宁，文5)设a ，b ，c 是非零向量，已知命题p ：若a·b ＝0，b·c ＝0，则a·c ＝0；命题q ：若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c.则下列命题中真命题是( )．A ．p ∨qB ．p ∧qC ．(p )∧(q )D ．p ∨(q ) 答案：A解析：对命题p 中的a 与c 可能为共线向量，故命题p 为假命题．由a ，b ，c 为非零向量，可知命题q 为真命题．故p ∨q 为真命题．故选A.6．(2014辽宁，文6)若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD 中，其中AB ＝2，BC ＝1，则质点落在以AB 为直径的半圆内的概率是( )．A ．π2 B ．π4 C ．π6 D ．π8答案：B解析：所求概率为21π1π2==214S S ⋅⨯半圆长方形，故选B. 7．(2014辽宁，文7)某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为( )．A ．π84-B ．π82- C ．8－π D ．8－2π答案：C解析：由几何体的三视图可知，原几何体为棱长是2的正方体挖去两个底面半径为1，高为2的14圆柱，故该几何体的体积是正方体的体积减去半个圆柱，即V ＝23－21π122⋅⋅＝8－π.故选C.8．(2014辽宁，文8)已知点A (－2,3)在抛物线C ：y 2＝2px 的准线上，记C 的焦点为F ，则直线AF 的斜率为( )．A ．43-B ．－1C ．34-D ．12- 答案：C解析：由已知，得准线方程为x ＝－2， ∴F 的坐标为(2,0)． 又A (－2,3)，∴直线AF 的斜率为303224k -==---.故选C.9．(2014辽宁，文9)设等差数列{a n }的公差为d .若数列{12n a a}为递减数列，则( )．A ．d ＞0B ．d ＜0C ．a 1d ＞0D ．a 1d ＜0 答案：D解析：∵{12n a a}为递减数列， ∴111111()111222212n n n n a a a a a a a a d n na a a a +===<＋＋－－.∴a 1d ＜0.故选D.10．(2014辽宁，文10)已知f (x )为偶函数，当x ≥0时，()1cos π,0,,2121,,,2x x f x x x ⎧⎡⎤∈⎪⎢⎥⎪⎣⎦=⎨⎛⎫⎪-∈+∞ ⎪⎪⎝⎭⎩则不等式1(1)2f x ≤－的解集为( )．A ．1247,,4334⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦B ．3112,,4343⎡⎤⎡⎤--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦C ．1347,,3434⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦D ．3113,,4334⎡⎤⎡⎤--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦答案：A解析：令t ＝x －1.当10,2t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，ππ0,2t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，由()12f t ≤，即1cos π2t ≤，得πππ32t ≤≤，解得1132t ≤≤. 当1,2t ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，由()12f t ≤，即1212t ≤－， 解得1324t <≤.综上，t ∈[0，＋∞)时，()12f t ≤的解集为13,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦.∵f (x )为偶函数，∴f (|x |)＝f (x )．故t ∈R 时，由()12f t ≤可得1334t ≤≤， 即3143t -≤≤-或1334t ≤≤.∴由1(1)2f x ≤－得31143x -≤≤-－或13134x ≤-≤，解得1243x ≤≤或4734x ≤≤.故选A.11．(2014辽宁，文11)将函数π3sin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移π2个单位长度，所得图象对应的函数( )．A ．在区间π7π,1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减B ．在区间π7π,1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 C ．在区间ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减D ．在区间ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增答案：B解析：由题意知，平移后的函数f (x )ππ3sin 223x ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ππ3sin 2π+3sin 233x x ⎛⎫⎛⎫=-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.令πππ2π22π+232k x k -≤+≤，k ∈Z ，解得f (x )的递减区间为5πππ,π+1212k k ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，k ∈Z .令ππ32π+22π+π232k x k ≤+≤(k ∈Z )，解得f (x )的递增区间为π7π+,π+π1212k k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，k ∈Z .从而可判断选项B 正确．12．(2014辽宁，文12)当x ∈[－2,1]时，不等式ax 3－x 2＋4x ＋3≥0恒成立，则实数a 的取值范围是( )．A ．[－5，－3]B ．96,8⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C ．[－6，－2]D ．[－4，－3] 答案：C解析：∵当x ∈[－2,1]时，不等式ax 3－x 2＋4x ＋3≥0恒成立，即当x ∈[－2,1]时，不等式ax 3≥x 2－4x －3(*)恒成立．(1)当x ＝0时，a ∈R .(2)当0＜x ≤1时，由(*)得232343143x x a x x x x--≥=--恒成立． 设()23143f x x x x =--，则()2234441898991x x x x f x x x x x x -++-(-)(+)'=-++==.当0＜x ≤1时，x －9＜0，x ＋1＞0，∴f ′(x )＞0，∴f (x )在(0,1]上单调递增．当0＜x ≤1时，可知a ≥f (x )max ＝f (1)＝－6. (3)当－2≤x ＜0时，由(*)得23143a x x x ≤--. 令f ′(x )＝0，得x ＝－1或x ＝9(舍)．∴当－2≤x ＜－1时，f ′(x )＜0，当－1＜x ＜0时，f ′(x )＞0，∴f (x )在[－2，－1)上递减，在(－1,0)上递增．∴x ∈[－2,0)时，f (x )min ＝f (－1)＝－1－4＋3＝－2.∴可知a ≤f (x )min ＝－2. 综上所述，当x ∈[－2,1]时，实数a 的取值范围为－6≤a ≤－2.故选C.第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．(2014辽宁，文13)执行下面的程序框图，若输入n ＝3，则输出T ＝__________.答案：20解析：由程序框图可知，当i ＝0≤3时，i ＝1，S ＝1，T ＝1； 当i ＝1≤3时，i ＝2，S ＝3，T ＝4； 当i ＝2≤3时，i ＝3，S ＝6，T ＝10； 当i ＝3≤3时，i ＝4，S ＝10，T ＝20； 可知i ＝4＞3，退出循环． 故输入n ＝3时，输出T ＝20.14．(2014辽宁，文14)已知x ，y 满足约束条件220,240,330,x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩则目标函数z ＝3x ＋4y的最大值为__________．答案：18解析：画出x ，y 满足约束条件的可行域如图阴影部分．由330,240,x y x y --=⎧⎨-+=⎩得2,3,x y =⎧⎨=⎩∴A 点坐标为(2,3)．作直线l 0：3x ＋4y ＝0，可知当平移l 0到l (l 过点A )时，目标函数有最大值，此时z max ＝3×2＋4×3＝18.15．(2014辽宁，文15)已知椭圆C ：22194x y +=，点M 与C 的焦点不重合，若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则|AN |＋|BN |＝__________.答案：12解析：如图，设MN 的中点为P ，则由F 1是AM 的中点，可知|AN |＝2|PF 1|.同理可得可知|BN |＝2|PF 2|.∴|AN |＋|BN |＝2(|PF 1|＋|PF 2|)．根据椭圆定义得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6， ∴|AN |＋|BN |＝12.16．(2014辽宁，文16)对于c ＞0，当非零实数a ，b 满足4a 2－2ab ＋b 2－c ＝0且使|2a ＋b |最大时，124a b c++的最小值为__________． 答案：－1解析：要求|2a ＋b |的最大值，只需求(2a ＋b )2的最大值． ∵4a 2－2ab ＋b 2－c ＝0， ∴4a 2＋b 2＝c ＋2ab ，∴(2a ＋b )2＝4a 2＋b 2＋4ab ＝c ＋2ab ＋4ab ＝c ＋6ab ≤c ＋2232a b +⎛⎫ ⎪⎝⎭，即(2a ＋b )2≤4c ，当且仅当2a ＝b 时，取得等号，即(2a ＋b )2取到最大值，即2a ＝b 时，|2a ＋b |取到最大值．把2a ＝b 代入4a 2－2ab ＋b 2－c ＝0，可得c ＝4a 2.∴2221241242111124a b c a a a a a a ⎛⎫++=++=+=+- ⎪⎝⎭. ∴当11a =-时，124a b c++取到最小值－1.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．(本小题满分12分)(2014辽宁，文17)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＞c .已知BA BC ⋅＝2，cos B ＝13，b ＝3，求： (1)a 和c 的值； (2)cos(B －C )的值．分析：(1)由数量积定义及余弦定理，可列出a ，c 的方程组，解方程组即可求出a ，c 的值．(2)由已知及正弦定理可分别求出B ，C 角的正、余弦值，再利用两角差的余弦公式可求出cos(B －C )的值．解：(1)由BA BC ⋅＝2得c ·a cos B ＝2. 又cos B ＝13，所以ac ＝6. 由余弦定理，得a 2＋c 2＝b 2＋2ac cos B . 又b ＝3，所以a 2＋c 2＝9＋2×2＝13. 解22613ac a c =⎧⎨+=⎩得a ＝2，c ＝3或a ＝3，c ＝2. 因为a ＞c ，所以a ＝3，c ＝2.(2)在△ABC 中，sin B=由正弦定理，得2sin sin 339c C B b ==⋅=. 因为a ＝b ＞c ，所以C 为锐角，因此7cos 9C ===. 于是cos(B －C )＝cos B cos C ＋sin B sin C1723393927=⨯+=. 18．(本小题满分12分)(2014辽宁，文18)某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯，在全(1)惯方面有差异”；(2)已知在被调查的北方学生中有5名数学系的学生，其中2名喜欢甜品，现在从这5名学生中随机抽取3人，求至多有1人喜欢甜品的概率．附：221122122112n n n n n n n n n χ+(-)=.分析：(1)(2)可用列举法写出基本事件总数及“3人中至多有1人喜欢甜品”的基本事件数．再由古典概型的概率公式计算即可．解：(1)将2×2列联表中的数据代入公式计算，得22112212211212n n n n n n n n n χ++++(-)=＝21006010201070308020⨯(⨯-⨯)⨯⨯⨯＝10021≈4.762.由于4.762＞3.841，所以有95%的把握认为南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异．(2)从5名数学系学生中任取3人的一切可能结果所组成的基本事件空间Ω＝{(a 1，a 2，b 1)，(a 1，a 2，b 2)，(a 1，a 2，b 3)，(a 1，b 1，b 2)，(a 1，b 2，b 3)，(a 1，b 1，b 3)，(a 2，b 1，b 2)，(a 2，b 2，b 3)，(a 2，b 1，b 3)，(b 1，b 2，b 3)}．其中a i 表示喜欢甜品的学生，i ＝1,2，b j 表示不喜欢甜品的学生，j ＝1,2,3.Ω由10个基本事件组成，且这些基本事件的出现是等可能的．用A 表示“3人中至多有1人喜欢甜品”这一事件，则A ＝{(a 1，b 1，b 2)，(a 1，b 2，b 3)，(a 1，b 1，b 3)，(a 2，b 1，b 2)，(a 2，b 2，b 3)，(a 2，b 1，b 3)，(b 1，b 2，b 3)}．事件A 是由7个基本事件组成，因而P (A )＝710. 19．(本小题满分12分)(2014辽宁，文19)如图，△ABC 和△BCD 所在平面互相垂直，且AB ＝BC ＝BD ＝2，∠ABC ＝∠DBC ＝120°，E ，F ，G 分别为AC ，DC ，AD 的中点．(1)求证：EF ⊥平面BCG ； (2)求三棱锥D －BCG 的体积． 附：锥体的体积公式13V Sh =，其中S 为底面面积，h 为高． 分析：(1)由三角形全等证出AC ＝DC ，再由等腰三角形的性质(三线合一)得线线垂直，最后由线面垂直的判定定理及推论可证得结论．(2)由面面垂直得线面垂直，从而确定出点到平面的距离，即三棱锥G －BCD 的高，由等体积法可求三棱锥D －BCG 的体积．(1)证明：由已知得△ABC ≌△DBC ，因此AC ＝DC .又G 为AD 中点，所以CG ⊥AD ； 同理BG ⊥AD ；因此AD ⊥面BGC . 又EF ∥AD ，所以EF ⊥面BCG .(2)解：在平面ABC 内，作AO ⊥CB ，交CB 延长线于O . 由平面ABC ⊥平面BCD ，知AO ⊥面BDC .又G 为AD 中点，因此G 到平面BDC 距离h 是AO 长度的一半．在△AOB 中，AO ＝AB ·sin 60°所以V D －BCG ＝V G －BCD ＝1111·sin 1203322DBC S h BD BC ∆⋅=⋅⋅⋅⋅=. 20．(本小题满分12分)(2014辽宁，文20)圆x 2＋y 2＝4的切线与x 轴正半轴、y 轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P (如图)．(1)求点P 的坐标；(2)焦点在x 轴上的椭圆C 过点P ，且与直线l ：y x =A ，B 两点．若△P AB的面积为2，求C 的标准方程．分析：(1)设出切点P 的坐标，用此坐标表示三角形的面积．又由切点P 在圆上，利用基本不等式求最值的方法，可求出点P 的坐标．(2)设出椭圆C 的标准方程，由点P 在椭圆C 上，及直线l 与C 相交于A ，B 两点且S △P AB ＝2，可求出a ，b 的值．解：(1)设切点坐标为(x 0，y 0)(x 0＞0，y 0＞0)，则切线斜率为00x y -，切线方程为0000()xy y x x y -=--， 即x 0x ＋y 0y ＝4，此时，两个坐标轴的正半轴与切线围成的三角形面积为000014482S x y x y =⋅⋅=， 由22000042x y x y +=≥知当且仅当x 0＝y 0x 0y 0有最大值，即S 有最小值，因此点P的坐标为．(2)设C 的标准方程为22221x y a b +=(a ＞b ＞0)，点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由点P 在C 上知22221a b+=，并由2222=1=x y a by x ⎧+⎪⎨⎪+⎩，得222620b x b ++-=， 又x 1，x 2是方程的根，因此122122=62=,x x b x x b ⎧+⎪⎪⎨-⎪⎪⎩由11y x =22y x =得122|AB x x b ==－.由点P 到直线l及S △P AB＝122=得b 4－9b 2＋18＝0，解得b 2＝6或3，因此b 2＝6，a 2＝3(舍)或b 2＝3，a 2＝6.从而所求C 的方程为22163x y +=. 21．(本小题满分12分)(2014辽宁，文21)已知函数f (x )＝π(x －cos x )－2sin x －2，g (x )＝2(π1πx x --，证明：(1)存在唯一x 0∈π0,2⎛⎫⎪⎝⎭，使f (x 0)＝0；(2)存在唯一x 1∈π,π2⎛⎫⎪⎝⎭，使g (x 1)＝0，且对(1)中的x 0，有x 0＋x 1＞π.分析：(1)利用求导数方法判断函数f (x )在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上的单调性，再利用函数零点的存在性定理进行判断，证出结论．(2)先化简函数g (x )在π,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的解析式，再用求导法判断函数单调性，结合函数零点的存在性定理，即可证明．证明：(1)当x ∈π0,2⎛⎫⎪⎝⎭时，f ′(x )＝π＋πsin x －2cos x ＞0， 所以f (x )在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上为增函数，又f (0)＝－π－2＜0，2ππ4022f ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，所以存在唯一x 0∈π0,2⎛⎫⎪⎝⎭，使f (x 0)＝0.(2)当x ∈π,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦时，化简得()cos 2(π)11sin πx x g x x x =-⋅+-+. 令t ＝π－x ，记()cos 2(π)11sin πt t u t g t t t =-=--++，t ∈π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 则()π1sin f t u t t ()'=(+).由(1)得，当t ∈(0，x 0)时，u ′(t )＜0， 当t ∈0π,2x ⎛⎫⎪⎝⎭时，u ′(t )＞0. 在0π,2x ⎛⎫⎪⎝⎭上u (t )为增函数， 由π02u ⎛⎫= ⎪⎝⎭知，当t ∈0π,2x ⎡⎫⎪⎢⎣⎭时，u (t )＜0，所以u (t )在0π,2x ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上无零点．在(0，x 0)上u (t )为减函数，由u (0)＝1及u (x 0)＜0知存在唯一t 0∈(0，x 0)，使u (t 0)＝0. 于是存在唯一t 0∈π0,2⎛⎫⎪⎝⎭，使u (t 0)＝0. 设x 1＝π－t 0∈π,π2⎛⎫⎪⎝⎭， 则g (x 1)＝g (π－t 0)＝u (t 0)＝0， 因此存在唯一的x 1∈π,π2⎛⎫⎪⎝⎭，使g (x 1)＝0， 由于x 1＝π－t 0，t 0＜x 0，所以x 0＋x 1＞π.请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑．22．(本小题满分10分)(2014辽宁，理22)选修4—1：几何证明选讲如图，EP 交圆于E ，C 两点，PD 切圆于D ，G 为CE 上一点且PG ＝PD ，连接DG 并延长交圆于点A ，作弦AB 垂直EP ，垂足为F .(1)求证：AB 为圆的直径；(2)若AC ＝BD ，求证：AB ＝ED .分析：(1)证明AB 是直径，即证明∠BDA ＝90°.由∠PF A ＝90°，从而寻求∠BDA ＝∠PF A 就可证明．(2)要证AB ＝DE ，即证DE 为直径，连DC ，即证∠DCE ＝90°，从而只需证明AB ∥DC 即可．证明：(1)因为PD ＝PG ，所以∠PDG ＝∠PGD .由于PD 为切线，故∠PDA ＝∠DBA .又由于∠PGD ＝∠EGA ，故∠DBA ＝∠EGA ，所以∠DBA ＋∠BAD ＝∠EGA ＋∠BAD ，从而∠BDA ＝∠PF A .由于AF ⊥EP ，所以∠PF A ＝90°.于是∠BDA ＝90°.故AB 是直径．(2)连接BC ，DC .由于AB 是直径，故∠BDA ＝∠ACB ＝90°.在Rt △BDA 与Rt △ACB 中，AB ＝BA ，AC ＝BD ，从而Rt △BDA ≌Rt △ACB .于是∠DAB ＝∠CBA .又因为∠DCB ＝∠DAB ，所以∠DCB ＝∠CBA ，故DC ∥AB .由于AB ⊥EP ，所以DC ⊥EP ，∠DCE 为直角．于是ED 为直径．由(1)得ED ＝AB .23．(本小题满分10分)(2014辽宁，理23)选修4—4：坐标系与参数方程将圆x 2＋y 2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C .(1)写出C 的参数方程；(2)设直线l ：2x ＋y －2＝0与C 的交点为P 1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程．分析：(1)利用相关点法先求出直角坐标方程，再写出参数方程．(2)先联立方程求出P 1，P 2两点的坐标，进而求出P 1P 2的中点坐标，得到与l 垂直的直线方程，再化为极坐标方程．解：(1)设(x 1，y 1)为圆上的点，在已知变换下变为C 上点(x ，y )，依题意，得11,2.x x y y =⎧⎨=⎩由22111x y +=，得2212y x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即曲线C 的方程为2214y x +=. 故C 的参数方程为cos 2sin x t y t =⎧⎨=⎩(t 为参数)． (2)由221,4220,y x x y ⎧+=⎪⎨⎪+-=⎩解得1,0,x y =⎧⎨=⎩或0,2.x y =⎧⎨=⎩ 不妨设P 1(1,0)，P 2(0,2)，则线段P 1P 2的中点坐标为1,12⎛⎫⎪⎝⎭， 所求直线斜率为12k =， 于是所求直线方程为111=22y x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 化为极坐标方程，并整理得 2ρcos θ－4ρsin θ＝－3，即34sin 2cos ρθθ=-. 24．(本小题满分10分)(2014辽宁，理24)选修4—5：不等式选讲设函数f (x )＝2|x －1|＋x －1，g (x )＝16x 2－8x ＋1.记f (x )≤1的解集为M ，g (x )≤4的解集为N .(1)求M ；(2)当x ∈M ∩N 时，证明：x 2f (x )＋x [f (x )]2≤14. 分析：(1)分类讨论去绝对值符号即可．(2)在x ∈M ∩N 的条件下，先化简x 2f (x )＋x [f (x )]2，再配方求其最大值即可． 解：(1)()[)()33,1,,1,,1,x x f x x x ⎧-∈+∞⎪=⎨-∈-∞⎪⎩ 当x ≥1时，由f (x )＝3x －3≤1得43x ≤， 故413x ≤≤； 当x ＜1时，由f (x )＝1－x ≤1得x ≥0，故0≤x ＜1.所以f (x )≤1的解集为403M x x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭. (2)证明：由g (x )＝16x 2－8x ＋1≤4， 得211644x ⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭，解得1344x -≤≤. 因此1344N x x ⎧⎫=-≤≤⎨⎬⎩⎭. 故304M N x x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭. 当x ∈M ∩N 时，f (x )＝1－x ，于是x 2f (x )＋x ·[f (x )]2＝xf (x )[x ＋f (x )]＝x·f(x)＝x(1－x)＝2111 424x⎛⎫--≤⎪⎝⎭.。

数学试卷 第1页（共36页）数学试卷 第2页（共36页）数学试卷 第3页（共36页）绝密★启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)数 学(供文科考生使用)注意事项:1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U =R ，{|0}A x x =≤，{|}B x x =≥1，则集合()U A B =ð（ ）A ．{|0}x x ≥B ．{|1}x x ≤C ．{|01}x x ≤≤D ．{|01}x x ＜＜2．设复数z 满足(2i)(2i)5z --=，则z =（ ）A ．23i +B ．23i -C ．32i +D ．32i - 3．已知132a -=，21log 3b =，121log 3c =，则（ ）A ．b a c ＞＞B ．a c b ＞＞C ．c b a ＞＞D ．c a b ＞＞4．已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面.下列说法正确的是（ ）A ．若m α∥，n α∥，则m n ∥B ．若m α⊥，n α⊂，则m n ⊥C ．若m α⊥，m n ⊥，则n α∥D ．若m α∥，m n ⊥，则n α⊥5．设a ，b ，c 是非零向量.已知命题p ：若a b 0=，b c 0=，则a c 0=； 命题q ：若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .则下列命题中真命题是（ ）A ．p q ∨B ．p q ∧C ．()()p q ⌝∧⌝D ．()p q ∨⌝6．若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD 中，其中2AB =，1BC =，则质点落在以AB 为直径的半圆内的概率是（ ）A ．π2B ．π4C ．π6D ．π87．某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．π84-B ．π82-C ．8π-D ．82π-8．已知点(2,3)A -在抛物线C ：22y px =的准线上，记C的焦点为F ，则直线AF 的斜率为（ ）A ．43-B ．1-C ．34-D ．12-9．设等差数列{}n a 的公差为d .若数列1{2}n aa 为递减数列，则（ ）A ．0d ＞B ．0d ＜C ．10a d ＞D ．10a d ＜10．已知()f x 为偶函数，当0x ≥时，1cos π,[0,],2()121,(,),2x x f x x x ⎧∈⎪⎪=⎨⎪-∈+∞⎪⎩则不等式1(1)2f x -≤的解集为（ ） A ．1247[,][,]4334B ．3112[,][,]4343--C ．1347[,][,]3434D ．3113[,][,]4334--11．将函数π3sin(2)3y x =+的图象向右平移π2个单位长度，所得图象对应的函数（ ） A ．在区间π7π[,]1212上单调递减 B ．在区间π7π[,]1212上单调递增C ．在区间ππ[,]63-上单调递减D ．在区间ππ[,]63-上单调递增12．当[2,1]x ∈-时，不等式32430ax x x -++≥恒成立，则实数a 的取值范围是 （ ）A ．[5,3]--B ．9[6,]8--C ．[6,2]--D ．[4,3]--第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须做答.第22题~第24题为选考题，考生根据要求做答. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13．执行右侧的程序框图，若输入3n =，则输出T =________. 14．已知x ，y 满足约束条件220240330x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪--⎩≥≥≤ 则目标函数34z x y =+的最大值为________.15．已知椭圆C ：22194x y +=，点M 与C 的焦点不重合. 若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则||||AN BN +=________.16．对于0c ＞，当非零实数a ，b 满足22420a ab b c -+-=且使|2|a b +最大时，124a b c++的最小值为________. --------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------姓名________________ 准考证号_____________数学试卷 第4页（共36页）数学试卷 第5页（共36页） 数学试卷 第6页（共36页）三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a c ＞．已知2BA BC =，1cos 3B =，3b =.求：（Ⅰ）a 和c 的值； （Ⅱ）cos()B C -的值．18．（本小题满分12分）某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进行了抽样调查，调查（Ⅰ）根据表中数据，问是否有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”；（Ⅱ）已知在被调查的北方学生中有5名数学系的学生，其中2名喜欢甜品，现在从这5名学生中随机抽取3人，求至多有1人喜欢甜品的概率．19．（本小题满分12分）如图，ABC △和BCD △所在平面互相垂直，且2AB BC BD ===，120ABC DBC ∠=∠=，E ，F ，G 分别为AC ，DC ，AD 的中点.（Ⅰ）求证：EF ⊥平面BCG ； （Ⅱ）求三棱锥D BCG -的体积.附：锥体的体积公式13V Sh =，其中S 为底面面积，h 为高.20．（本小题满分12分）圆224x y +=的切线与x 轴正半轴，y 轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P （如图）. （Ⅰ）求点P 的坐标；（Ⅱ）焦点在x 轴上的椭圆C 过点P ，且与直线l ： y x =A ，B 两点.若PAB △的面积为2，求C 的标准方程.21．（本小题满分12分）已知函数()π(cos )2sin 2f x x x x =---，2()(π1πxg x x =--.证明：（Ⅰ）存在唯一0π(0,)2x ∈，使0()0f x =；（Ⅱ）存在唯一1π(,π)2x ∈，使1()0g x =，且对（Ⅰ）中的0x ，有01πx x +＞.请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.做答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑. 22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，EP 交圆于E ，C 两点，PD 切圆于D ，G 为CE 上一点且PG PD =，连接DG 并延长交圆于点A ，作弦AB 垂直EP ，垂足为F . （Ⅰ）求证：AB 为圆的直径； （Ⅱ）若AC BD =，求证：AB ED =.23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参考方程将圆221x y +=上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C . （Ⅰ）写出C 的参数方程；（Ⅱ）设直线l ：220x y +-=与C 的交点为1P ，2P ，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段12P P 的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程.24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲设函数()2|1|1f x x x =-+-，2()1681g x x x =-+．记()1f x ≤的解集为M ，()4g x ≤的解集为N.（Ⅰ）求M ； （Ⅱ）当x M N ∈时，证明：221()[()]4x f x x f x +≤.附：22112212211212()+n n n n n n n n n χ++-=+，3 / 122014年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数学(供文科考生使用)答案解析{|AB x x =){|0AB x =【提示】先求AB ，再根据补集的定义求()A B U ð.【考点】交、并、补集的混合运算【解析】(2i)(2z -【提示】把给出的等式两边同时乘以【提示】A 运用线面平行的性质，结合线线的位置关系，即可判断；B 运用线面垂直的性质，即可判断；C 运用线面垂直的性质，结合线线垂直和线面平行的位置即可判断；D 运用线面平行的性质和线面垂直的判定，即可判断.【考点】空间中直线与直线之间的位置关系 5.【答案】A【解析】若0a b =，0b c =，则a b b c =，即()0a c b -=，则0a c =不一定成立，故命题p 为假命题.若a b ∥，b c ∥，则a c ∥，故命题q 为真命题.则p q ∨，为真命题，p q ∧，()()p q ⌝∧⌝，()p q ∨⌝都为假命【解析】等差数列数学试卷第10页（共36页）数学试卷第11页（共36页）数学试卷第12页（共36页）5 / 12数学试卷 第16页（共36页） 数学试卷 第17页（共36页）数学试卷 第18页（共36页）(123i)++++++的值，当输入(123i)++++++的值，根据条件确定跳出循环的在轴上的截距最大，即最大.max 324318z ∴=⨯+⨯=.，Q 在椭圆7 / 12【解析】242a ab -23232b b ⎛⎫⎤+= ⎪⎥⎦24++=2B A B C =得cos ac B .3=，所以2sin c B b ⨯=cos cos B C数学试卷 第22页（共36页） 数学试卷 第23页（共36页）数学试卷 第24页（共36页）【提示】（Ⅰ）利用平面向量的数量积运算法则化简2BA BC =，将1cos 3B =代入求出6ac =，再利用余弦22【提示】（Ⅰ）根据表中数据，利用公式，即可得出结论.（Ⅰ）AB BC =G 为AD 的中点，CG ∴⊥.CG BG G =，.EF AD ∥EF ∴⊥平面BCG .（Ⅱ）在平面的延长线于O ，∆所在平面互相垂直，.G 11sin1203322BD BC ︒=9 / 1200014482x y x y =P 的坐标为(122d AB =，解得()(21k ⎡=+⎣2232b b -，代入上式得2231683b b -=6=，2a =，所以椭圆方程为：00三角形的面积008S x y =.再利用基本不等式求得S 取得最小值，求得点P 的坐标. 122d AB =，求出【考点】直线与圆锥曲线的综合问题数学试卷 第28页（共36页） 数学试卷 第29页（共36页）数学试卷 第30页（共36页）（Ⅰ）()πf x =0，π2f ⎛⎫ ⎪⎝⎭上有零点.()πf x '=上单调递增.（Ⅱ）()(g x =cos (π)1sin x x x -=-++cos 1sin x x ++cos )1sin x x -++导数法可得函数的零点，可得不等式.11 / 12【考点】函数零点的判定定理22.【答案】证明：（Ⅰ）PD PG PDG PGD PD =∴∠=∠为切线，PD A D BA ∴∠=∠，PGD EGA DBA EGA DBA BAD EGA BAD ∠=∠∴∠=∠∴∠+∠=∠+∠，NDA PFA ∴∠=∠.9090AF EP PFA BDA AB ⊥∴∠=︒∴∠=︒∴为圆的直径.（Ⅱ）连接BC ，DC .90AB BDA ACB ∴∠=∠=︒是直径，在Rt BDA △与Rt ACB △中，AB BA AC BD ==，，Rt BDA Rt ACB ∴△≌△，DAB CBA DCB DAB ∴∠=∠∠=∠，DCB CBA ∴∠=∠，DC AB ∴∥.AB EP DC EP DCE ⊥∴⊥∠，为直角，∴ED 为圆的直径，AB 为圆的直径，AB ED ∴=.（Ⅱ）由214220x x y ⎧+=⎪⎨⎪+-=⎩，可得10x y =⎧⎨=⎩，02x y =⎧⎨=⎩，不妨设1(1,0)P 、2(0,2)P ， 则线段12P P 的中点坐标为1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭，再根据与l 垂直的直线的斜率为12， 故所求的直线的方程为11122y x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即32202x y -+=.数学试卷 第34页（共36页） 数学试卷 第35页（共36页）数学试卷 第36页（共36页） 【提示】（Ⅰ）在曲线C 上任意取一点(,)x y ，再根据点,2y x ⎛⎫ ⎪⎝⎭在圆22111x y +=上，求出C 的方程，化为参（Ⅱ）由2()16814g x x x =-+≤，求得1344x -≤≤，13,44N ⎡⎤∴=-⎢⎥⎣⎦，M N ∴=30,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 当x M N ∈时，()1f x x =-，22()[()]()[x ()]x f x x f x xf x f x +=+2111424x ⎛⎫=--≤ ⎪⎝⎭，故要证的不等式成立.【提示】（Ⅰ）由所给的不等式可得1331x x ≥⎧⎨-≤⎩①，或111x x <⎧⎨-≤⎩②，分别求得①、②的解集，再取并集，即N =30,4⎡⎢⎣N 时，f ，要证的不等式得证。

2014年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）文科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知全集,{|0},{|1}U R A x x B x x ==≤=≥，则集合()U C A B =（ ）A ．{|0}x x ≥B ．{|1}x x ≤C ．{|01}x x ≤≤D ．{|01}x x <<2.设复数z 满足(2)(2)5z i i --=，则z =（ ）A ．23i +B ．23i -C ．32i +D ．32i -3.已知132a -=，21211log ,log 33b c ==，则（ ） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．c a b >> D ．c b a >>4.已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（ ）A ．若//,//,m n αα则//m nB ．若m α⊥，n α⊂，则m n ⊥C ．若m α⊥，m n ⊥，则//n αD ．若//m α，m n ⊥，则n α⊥5.设,,a b c 是非零向量，已知命题P ：学科 网若0a b ∙=，0b c ∙=，则0a c ∙=；命题q ：若//,//a b b c ，则//a c ，则下列命题中真命题是（ ）A ．p q ∨B ．p q ∧C ．()()p q ⌝∧⌝D ．()p q ∨⌝6.若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD 中，其中AB=2，BC=1，则质点落在以AB 为直径的半圆内的概率是（ ）A ．2πB ．4πC ．6πD ．8π 7. 某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．82π-B ．8π-C ．82π-D ．84π-8. 已知点(2,3)A -在抛物线C ：22y px =的准线上，记C 的焦点为F ，则直线AF 的斜率为（ ）A ．43-B ．-1C ．34-D ．12- 9. 设等差数列{}n a 的公差为d ，若数列1{2}n a a 为递减数列，则（ ）A ．0d <B ．0d >C ．10a d <D ．10a d >10.已知()f x 为偶函数，当0x ≥时，1cos ,[0,]2()121,(,)2x x f x x x π⎧∈⎪⎪=⎨⎪-∈+∞⎪⎩，则不等式1(1)2f x -≤的解集为（ ）A ．1247[,][,]4334B ．3112[,][,]4343-- C ．1347[,][,]3434 D ．3113[,][,]4334-- 11. 将函数3sin(2)3y x π=+的图象向右平移2π个单位长度， 所得图象对应的函数（ ） A ．在区间7[,]1212ππ上单调递减 B ．在区间7[,]1212ππ上单调递增 C ．在区间[,]63ππ-上单调递减 D ．在区间[,]63ππ-上单调递增 12. 当[2,1]x ∈-时，不等式32430ax x x -++≥恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[5,3]--B ．9[6,]8-- C ．[6,2]-- D ．[4,3]-- 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 执行右侧的程序框图，若输入3n =，则输出T = .14.已知x ，y 满足条件220240330x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则目标函数34z x y =+的最大值为 .15. 已知椭圆C ：22194x y +=，点M 与C 的焦点不重合，若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则||||AN BN += .16. 对于0c >，当非零实数a ，b 满足224240a ab b c -+-=，且使|2|a b +最大时，345a b c-+的最小值为 . 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分12分）在ABC ∆中，学 科网内角A ，B ，C 的对边a ，b ，c ，且a c >，已知2BA BC ∙=，1cos 3B =，3b =，求：（1）a 和c 的值；（2）cos()B C -的值.18. （本小题满分12分）某大学餐饮中心为了了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进行了抽样调查，调查结果如下表所示：（1）根据表中数据，问是否有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”；（2）已知在被调查的北方学生中有5名数学系的学生，其中2名喜欢甜品，现在从这5名学生中随机抽取3人，求至多有1人喜欢甜品的概率.19. （本小题满分12分） 如图，ABC ∆和BCD ∆所在平面互相垂直，且2AB BC BD ===，0120ABC DBC ∠=∠=，E 、F 、G 分别为AC 、DC 、AD 的中点.（1）求证：EF ⊥平面BCG ；（2）求三棱锥D-BCG 的体积. 附：椎体的体积公式13V Sh =，其中S 为底面面积，h 为高.20. （本小题满分12分）圆224x y +=的切线与x 轴正半轴，y 轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P （如图）.（1）求点P 的坐标；（2）焦点在x 轴上的椭圆C 过点P ，且与直线:l y x =A ，B 两点，若PAB ∆的面积为2，求C 的标准方程.21. （本小题满分12分）已知函数()(cos )2sin 2f x x x x π=---，2()(1x g x x ππ=--. 证明：（1）存在唯一0(0,)2x π∈，使0()0f x =； （2）存在唯一1(,)2x ππ∈，使1()0g x =，且对（1）中的01x x π+<.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑.22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，EP 交圆于E 、C 两点，PD 切圆于D ，G 为CE 上一点且PG PD =，连接DG 并延长交圆于点A ，作弦AB 垂直EP ，垂足为F.（1）求证：AB 为圆的直径；（2）若AC=BD ，求证：AB=ED.23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程将圆221x y +=上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C.（1）写出C 的参数方程；（2）设直线:220l x y +-=与C 的交点为12,P P ，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极坐标建立极坐标系，求过线段12PP 的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程.24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数()2|1|1f x x x =-+-，2()1681g x x x =-+，记()1f x ≤的解集为M ，()4g x ≤的解集为N.（1）求M ；（2）当x M N ∈时，证明：221()[()]4x f x x f x +≤.。

2014年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）文科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知全集,{|0},{|1}U R A x x B x x ==≤=≥，则集合()A B =U U ð（ ）A ．{|0}x x ≥B ．{|1}x x ≤C ．{|01}x x ≤≤D ．{|01}x x << 2.设复数z 满足(2)(2)5z i i --=，则z =（ ）A ．23i +B ．23i -C ．32i +D ．32i - 3.已知132a -=，21211log ,log 33b c ==，则（ ） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．c b a >> D ． c a b >> 4.已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（ ）A ．若//,//,m n αα则//m nB ．若m α⊥，n α⊂，则m n ⊥C ．若m α⊥，m n ⊥，则//n αD ．若//m α，m n ⊥，则n α⊥5. 设,,a b c r r r 是非零向量，已知命题p ：若0a b •=r r ，0b c •=r r ，则0a c •=r r ；命题q ：若//,//a b b c r r r r，则//a c r r，则下列命题中真命题是（ ）A ．p q ∨B ．p q ∧C ．()()p q ⌝∧⌝D ．()p q ∨⌝6. 若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD 中，其中AB=2，BC=1，则质点落在以AB 为直径的半圆内的概率是（ ） A ．2π B ．4π C ．6π D ．8π7. 某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．84π-B ．82π-C ．8π-D ．82π-8. 已知点(2,3)A -在抛物线C ：22y px =的准线上，记C 的焦点为F ，则直线AF 的斜率为（ ） A ．43-B ．-1C ．34-D ．12- 9. 设等差数列{}n a 的公差为d ，若数列1{2}na a 为递减数列，则（ ）A ．0d >B ．0d <C ．10a d >D ． 10a d <10. 已知()f x 为偶函数，当0x ≥时，1cos ,[0,]2()121,(,)2x x f x x x π⎧∈⎪⎪=⎨⎪-∈+∞⎪⎩，则不等式1(1)2f x -≤的解集为（ ）A ．1247[,][,]4334UB ．3112[,][,]4343--UC ．1347[,][,]3434UD ．3113[,][,]4334--U11. 将函数3sin(2)3y x π=+的图象向右平移2π个单位长度，所得图象对应的函数（ ）A ．在区间7[,]1212ππ上单调递减B ．在区间7[,]1212ππ上单调递增C ．在区间[,]63ππ-上单调递减 D ．在区间[,]63ππ-上单调递增 12. 当[2,1]x ∈-时，不等式32430ax x x -++≥恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[5,3]--B ．9[6,]8-- C ．[6,2]-- D ．[4,3]--第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 执行右侧的程序框图，若输入3n =，则输出T = .14.已知x ，y 满足条件220240330x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则目标函数34z x y =+的最大值为 .15. 已知椭圆C ：22194x y +=，点M 与C 的焦点不重合，若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则||||AN BN += .16. 对于0c >，当非零实数a ，b 满足224240a ab b c -+-=，且使|2|a b +最大时，345a b c-+的最小值为 . 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分12分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边a ，b ，c ，且a c >，已知2BA BC •=u u u r u u u r ，1cos 3B =，3b =，求：（1）a 和c 的值；（2）cos()B C -的值. 18. （本小题满分12分）某大学餐饮中心为了了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进行了抽样调查，调查结果如下表所示：喜欢甜品 不喜欢甜品合计 南方学生 60 20 80 北方学生 10 10 20 合计7030100（1）根据表中数据，问是否有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”；（2）已知在被调查的北方学生中有5名数学系的学生，其中2名喜欢甜品，现在从这5名学生中随机抽取3人，求至多有1人喜欢甜品的概率.附：22112212211212()n n n n n n n n n χ++++-=，19. （本小题满分12分）如图，ABC ∆和BCD ∆所在平面互相垂直，且2AB BC BD ===，0120ABC DBC ∠=∠=，E 、F 、G 分别为AC 、DC 、AD 的中点.（1）求证：EF ⊥平面BCG ； （2）求三棱锥D-BCG 的体积. 附：椎体的体积公式13V Sh =，其中S 为底面面积，h 为高. 20. （本小题满分12分）圆224x y +=的切线与x 轴正半轴，y 轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P （如图）.（1）求点P 的坐标；（2）焦点在x 轴上的椭圆C 过点P ，且与直线:+3l y x =2()P k χ≥0.100 0.050 0.010 k2.7063.8416.635交于A ，B 两点，若PAB ∆的面积为2，求C 的标准方程.21.（本小题满分12分）已知函数()(cos )2sin 2f x x x x π=---，1sin 2()()11sin x xg x x x ππ-=-+-+.证明：（1）存在唯一0(0,)2x π∈，使0()0f x =；（2）存在唯一1(,)2x ππ∈，使1()0g x =，且对（1）中的01x x π+<.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑. 22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，EP 交圆于E 、C 两点，PD 切圆于D ，G 为CE 上一点且PG PD =，连接DG 并延长交圆于点A ，作弦AB 垂直EP ，垂足为F.（1）求证：AB 为圆的直径； （2）若AC=BD ，求证：AB=ED.23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程将圆221x y +=上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C. （1）写出C 的参数方程；（2）设直线:220l x y +-=与C 的交点为12,P P ，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极坐标建立极坐标系，求过线段12P P 的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程.24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数()2|1|1f x x x =-+-，2()1681g x x x =-+，记()1f x ≤的解集为M ，()4g x ≤的解集为N.（1）求M ；（2）当x M N ∈I 时，证明：221()[()]4x f x x f x +≤.参考答案一、选择题1.D2.A3.D4.B5.A6.B7.C8.C9.D10.A11.B12.C二、填空题13. 20 14. 1815. 1216. -1三、解答题 17.解：（Ⅰ）由2BA BC ⋅=u u u r u u u r 得cos 2c a B ⋅=，又1cos 3B =，所以6ac =由余弦定理，得2222cos a c b ac B +=+ 又3b =，所以2292213a c +=+⨯= 解22613ac a c =⎧⎨+=⎩，得2,3a c ==或3,2a c ==因为a c >，所以3,2a c ==（Ⅱ）在ABC ∆中，sin B ===由正弦定理，得2sin sin 3c C B b ===因为a b c =>，所以C 为锐角，因此7cos 9C === 于是cos()cos cos sin sin B C B C B C -=-1723393927=⋅+⋅= 18.解：（Ⅰ）将22⨯列联表中的数据代入公式计算，得222112212211212()100(60102010)100 4.7627030802021n n n n n n n n n χ++++-⨯⨯-⨯===≈⨯⨯⨯由于4.762 > 3.841，所以由95%的把握认为南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异。

-------- -------------------- -------------------- -------------------- -------------------- -------------------- -------------------- -------------------- --------⎨ + = 2绝密★启用前在2014 年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)数 学(供文科考生使用)此注意事项:1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.卷2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.写在本试卷上无效.3. 回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.4. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.上第Ⅰ卷一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只答有一项是符合题目要求的.5. 设 a ，b ，c 是非零向量.已知命题 p ：若 a b = 0 ，b c = 0 ，则 a c = 0 ；命题q ：若 a ∥b ，b ∥c ，则 a ∥c .则下列命题中真命题是（）A ． p ∨ qB ． p ∧ qC ． (⌝p ) ∧ (⌝q )D ． p ∨ (⌝q )6. 若将一个质点随机投入如图所示的长方形 ABCD 中，其中AB = 2 ， BC =1，则质点落在以 AB 为直径的半圆内的概率是（ ）A ． π2 B ． π4 C ． π6D ． π87. 某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A ． 8 - π4 B ． 8 - π2C ． 8 - πD ． 8 - 2π8. 已知点 A (-2,3) 在抛物线C ： y 2= 2 px 的准线上，记C11.将函数 y = 3sin(2x + π) 的图象向右平移 π个单位长度，所得图象对应的函数（）12.当 x ∈[-2,1] 时，不等式ax 3 - x 2 + 4x + 3≥0 恒成立，则实数a 的取值范围是 （）A ．[-5, -3]B ．[-6, - 9] 8C ．[-6, -2]D ．[-4, -3]第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题~第 21 题为必考题，每个试题考生都必须 做答.第 22 题~第 24 题为选考题，考生根据要求做答.二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13.执行右侧的程序框图，若输入n = 3 ， 则输出T = .14.已知 x ， y 满足约束条件1．已知全集U = R ， A ={x |x ≤0}， B ={x | x ≥1} ，则集合 （ ）的焦点为 F ，则直线 AF 的斜率为（ ）⎧2x + y - 2≥0 ⎪x - 2 y + 4≥0 ⎪3x - y - 3≤0 2．设复数 z 满足(z - 2i)(2 -i) = 5 ，则 z =（）9．设等差数列{a } 的公差为d .若数列{2a 1 a n} 为递减数列，则（ ）⎩n题则目标函数 z = 3x + 4y 的最大值为 .- 11 12 15．已知椭圆C ： x y1，点 M 与C 的焦点不重合.3. 已知a = 2 3， b = log 2 ， c = log 1 ，则（） ⎧1 9 43 2 3⎪cos πx , x ∈[0, 2], 110．已知 f (x ) 为偶函数，当 x ≥0 时， f (x ) = ⎨ 则不等式 f (x -1)≤ 的解 1 2 若 M 关于C 的焦点的对称点分别为 A ， B ，线段 MN⎪2x -1, x ∈( , +∞),的中点在C 上，则| AN | + | BN |= . 无⎪⎩24. 已知m ， n 表示两条不同直线，α 表示平面.下列说法正确的是（）集为（）16．对于c ＞0 ，当非零实数a ，b 满足4a 2 - 2ab + b 2 - c = 0 且使| 2a + b | 最大时， 1 + 2 + 4的最小值为 .a b c效数学试卷 第 1 页（共 6 页）数学试卷 第 2 页（共 6 页）数学试卷 第 3 页（共 6 页）U ( A B ) =姓名准考证号A ．{x | x ≥0}B ．{x | x ≤1}C ．{x | 0≤x ≤1}D ．{x | 0＜x ＜1}A ． 2 + 3iB ． 2 - 3iC ． 3 + 2iD ． 3 - 2iA ． a ＞b ＞cB ． a ＞c ＞bC ． c ＞b ＞aD ． c ＞a ＞bA ．若m ∥α ， n ∥α ，则m ∥nB ．若m ⊥α ， n ⊂ α ，则m ⊥nC ．若m ⊥α ， m ⊥n ，则n ∥αD ．若m ∥α ， m ⊥n ，则n ⊥αA ． - 43B ． -1C ． - 3 4D ． - 12A ． d ＞0B ． d ＜0C ． a 1d ＞0D ． a 1d ＜0A ．[1 , 2] [ 4 , 7]4 3 3 4 B ．[- 3 , - 1] [1 , 2]4 3 4 3 C ．[1 , 3] [ 4 , 7]3 4 3 4 D ．[- 3 , - 1] [1 , 3]4 3 3 43 A ．在区间[π , 7π] 上单调递减12 12 2 B ．在区间[π , 7π] 上单调递增12 12 C ．在区间[- π , π] 上单调递减6 3D ．在区间[- π , π] 上单调递增6 3三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分 12 分）在△ABC 中，内角 A ， B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且 a ＞c ．已知 BA BC = 2 ，cos B = 1， b = 3 .求：3 （Ⅰ） a 和c 的值； （Ⅱ） cos(B - C ) 的值．18．（本小题满分 12 分）某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进行了抽样调查，调查19．（本小题满分 12 分）如图， △ABC 和△BCD 所在平面互相垂直，且AB = BC = BD = 2 ， ∠ABC = ∠DBC =120， E ，F ，G 分别为 AC ， DC ， AD 的中点.（Ⅰ）求证： EF ⊥平面 BCG ；（Ⅱ）求三棱锥 D - BCG 的体积.附：锥体的体积公式V = 1Sh ，其中 S 为底面面积， h 为高.320．（本小题满分 12 分）圆 x 2+ y 2= 4 的切线与 x 轴正半轴， y 轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为 P （如图）. （Ⅰ）求点 P 的坐标；（Ⅱ）焦点在 x 轴上的椭圆C 过点 P ，且与直线l ：请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.做答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑. 22．（本小题满分 10 分）选修 4—1：几何证明选讲如图，EP 交圆于 E ，C 两点，PD 切圆于 D ，G 为CE 上一点且 PG = PD ，连接 DG 并延长交圆于点 A ，作弦 AB 垂直 EP ，垂足为 F . （Ⅰ）求证： AB 为圆的直径；（Ⅱ）若 AC = BD ，求证： AB = ED .23．（本小题满分 10 分）选修 4—4：坐标系与参考方程将圆 x 2+ y 2=1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的 2 倍，得曲线C . （Ⅰ）写出C 的参数方程；y = x + 3 交于 A ，B 两点.若△PAB 的面积为 2，求C（Ⅱ）设直线l ：2x + y - 2 = 0 与C 的交点为 P 1 ， P 2 ，以坐标原点为极点， x 轴正半轴的标准方程.为极轴建立极坐标系，求过线段 P 1P 2 的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程.（Ⅰ）根据表中数据，问是否有 95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”；（Ⅱ）已知在被调查的北方学生中有 5 名数学系的学生，其中 2 名喜欢甜品，现在从 这 5 名学生中随机抽取 3 人，求至多有 1 人喜欢甜品的概率．21．（本小题满分 12 分）已知函数 f (x ) = π(x - cos x ) - 2sin x - 2 ， g (x ) = (x - π) 证明：（Ⅰ）存在唯一 x ∈(0, π) ，使 f (x ) = 0 ；0 2 0+ 2x-1 .π24．（本小题满分 10 分）选修 4—5：不等式选讲设函数 f (x ) = 2 | x -1| +x -1 ，g (x ) =16x 2 - 8x +1 ．记的解集为 N .f (x ) ≤1的解集为 M ，g (x )≤4（Ⅱ）存在唯一 x 1 ∈ π( 2, π) ，使 g (x 1 ) = 0 ，且对（Ⅰ）中的 x 0 ，有 x 0 + x 1＞π .（Ⅰ）求 M ； （Ⅱ）当 x ∈ MN 时，证明： x 2 f (x ) + x [ f (x )]2≤1.4数学试卷 第 4 页（共 6 页）数学试卷 第 5 页（共 6 页）数学试卷 第 6 页（共 6 页）1- sin x 1+ sin x喜欢甜品不喜欢甜品合计 南方学生60 20 80 北方学生 10 10 20 合计7030100χ 2n (n n - n n )2附：= 11 2212 21，n 1 +n 2 + n +1n +2P (χ 2≥k )0.100 0.050 0.010 k2.7063.8416.635。