2008年成人高等学校专升本招生全国统一考试高等数学_二_试题

2008河南省普通高等学校选拔优秀专科毕业生进入本科阶段学习考试高等数学试卷一、选择题 （每小题2 分，共50 分）1．函数()ln(1)f x x =-+的定义域是（ ）A ．[]2,1--B ．[]2,1-C ．[)2,1-D ．()2,1-【答案】C【解析】由1020x x ->⎧⎨+≥⎩可得21x -≤<，故选C ．2．312cos limsin 3x xx ππ→-=⎛⎫- ⎪⎝⎭（ ）A ．1B ．0CD【答案】D【解析】3312cos 2sin limlim sin cos 33x x x xx x ππππ→→-==⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．3．点0x =是函数113131xxy -=+的（ ）A ．连续点B ．跳跃间断点C ．可去间断点D ．第二类间断点【答案】 【解析】11311lim 1131xx x-→--==-+，11031lim 131xx x +→-=+，故选B ．4．下列极限存在的是（ ）A ．lim xx e →+∞B ．0sin 2lim x xx →C ．01lim cosx x+→ D ．22lim 3x x x →+∞+-【答案】B 【解析】0sin 2lim2x xx→=，其他三个都不存在，应选B ．5．当0x →时，2ln(1)x +是比1cos x -的（ ） A ．低阶无穷小 B ．高阶无穷小C ．等价无穷小D ．同阶但不等价无穷小【答案】D【解析】0x →时，22ln(1)~x x +，211cos ~2x x -，故选D ．6．设函数11(1)sin ,11()1,10arctan ,0x x x f x x x x ⎧++<-⎪+⎪=-≤≤⎨⎪>⎪⎩，则()f x （ ）A ．在1x =-处连续，在0x =处不连续B ．在0x =处连续，在1x =-处不连续C ．在1,0x =-处均连续D ．在1,0x =-处均不连续【答案】A【解析】1lim ()1x f x -→-=，1lim ()1x f x +→-=，(1)1()f f x -=⇒在1x =-处连续；0lim ()1x f x -→=，0lim ()0x f x +→=，(0)1()f f x =⇒在0x =处不连续，应选A ．7．过曲线arctan x y x e =+上的点(0,1)处的法线方程为（ ）A ．210x y -+=B ．220x y -+=C ．210x y --=D ．220x y +-=【答案】D 【解析】211x y e x'=++，02x y ='=，法线的斜率12k =-，法线方程为112y x -=-，即220x y +-=，故选D ．8．设函数()f x 在0x =处满足，()(0)3()f x f x x α=-+，且0()lim0x x xα→=，则(0)f '=（ ） A ．1- B ．1 C ．3-D ．3【解析】000()(0)3()()(0)limlim 3lim 30x x x f x f x x x f x x xαα→→→--+'===-+=--，应选C ．9．若函数()(ln )(1)x f x x x =>，则()f x '=（ ） A ．1(ln )x x - B ．1(ln )(ln )ln(ln )x x x x x -+C ．(ln )ln(ln )x x xD ．(ln )x x x【答案】B【解析】ln(ln )()(ln )x x x f x x e ==，[]11()(ln )ln(ln )(ln )ln(ln )ln x x f x x x x x x x x x ⎡⎤''==+⋅⋅⎢⎥⎣⎦1(ln )(ln )ln(ln )x x x x x -=+，故选B ．10．设函数()y y x =由参数方程33cos sin x t y t ⎧=⎨=⎩确定，则224|t d ydx π==（ ） A ．2- B ．1- C．3-D．3【答案】D【解析】223sin cos sin 3cos sin cos dy dy dt t t t dx dx dt t t t ===--，22d y dx =1d dy dx dt dx dt⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭2211cos 3cos sin x t t-=⋅- 413cos sin t t =，224|t d y dx π==，故选D ．11．下列函数中，在区间[]1,1-上满足罗尔定理条件的是（ ）A ．x y e =B ．ln ||y x =C ．21y x =-D ．21y x=【答案】C【解析】验证罗尔定理得条件，只有21y x =-满足，应选C ．12．曲线352y x x =+-的拐点是（ ）A ．0x =B ．(0,2)-C ．无拐点D ．0,2x y ==-【解析】235y x '=+，6y x ''=，令0y ''=，得0x =，当0x >时，0y ''>，当0x <时，0y ''<，故拐点为(0,2)-，应选B ．13．曲线1|1|y x =-（ ） A ．只有水平渐进线B ．既有水平渐进线，又有垂直渐近线C ．只有垂直渐近线D ．既无水平渐进线，又无垂直渐近线【答案】B 【解析】1lim 0|1|x x →∞=-，曲线有水平渐近线0y =；1lim |1|x x →∞=∞-，曲线有垂直渐近线1x =，故选B ．14．如果()f x 的一个原函数是ln x x ，那么2()x f x dx ''=⎰（ ）A ．ln x C +B ．2xC +C ．3ln x x C +D ．C x -【答案】D【解析】()(ln )1ln f x x x x '==+，21()f x x''=-，2()x f x dx dx x C ''=-=-+⎰⎰，应选D ． 15．243dxx x =-+⎰（ ）A ．13ln 21x C x -+-B ．1ln3x C x -+-C ．ln(3)ln(1)x x C ---+D ．ln(1)ln(3)x x C ---+【答案】A 【解析】211113ln 43(3)(1)23121dx dx x dx C x x x x x x x -⎛⎫==-=+ ⎪-+-----⎝⎭⎰⎰⎰，应选A ．16．设14011I dx x =+⎰，则I 的取值范围为（ ）A ．01I ≤≤B ．112I ≤≤ C ．04I π≤≤D ．14I π<<【答案】B【解析】因01x ≤≤，411121x ≤≤+，根据定积分的估值性质，有112I ≤≤，故选B ．17．下列广义积分收敛的是（ ）A ．31x dx +∞⎰B ．1ln xdx x+∞⎰C ．1⎰D ．0x e dx +∞-⎰【答案】D【解析】D 项中001x xe dx e +∞--+∞=-=⎰，故收敛．18．331xdx --=⎰（ ）A ．3021x dx -⎰B ．1331(1)(1)x dx x dx --+-⎰⎰C ．1331(1)(1)x dx x dx ----⎰⎰ D ．1331(1)(1)x dx x dx --+-⎰⎰【答案】D【解析】3131333131111(1)(1)xdx xdx xdx x dx x dx ----=-+-=-+-⎰⎰⎰⎰⎰，故选D ．19．若()f x 是可导函数，()0f x >，且满足220()sin ()ln 221cos x f t tf x dt t=-+⎰，则()f x =（ ） A ．ln(1cos )x + B ．ln(1cos )x C -++C ．ln(1cos )x -+D ．ln(1cos )x C ++【答案】A【解析】对220()sin ()ln 221cos x f t t f x dt t =-+⎰两边求导有()sin 2()()21cos f x xf x f x x'=-+，即 sin ()1cos x f x x '=-+，从而sin (1cos )()ln(1cos )1cos 1cos x d x f x dx x C x x+=-==++++⎰⎰．由初始条件(0)ln 2f =，代入得0C =，应选A ．20．若函数()f x 满足111()1()2f x x f x dx -=+-⎰，则()f x =（ ）A ．13x -B ．12x -C ．12x +D ．13x +【答案】C【解析】令11()a f x dx -=⎰，则1()12f x x a =+-，从而11111()122a f x dx x a dx a --⎛⎫==+-=- ⎪⎝⎭⎰⎰，得1a =，故1()2f x x =+，应选C ．21．若320()eI x f x dx =⎰，则I =（ ）A ．2()e xf x dx ⎰B ．0()exf x dx ⎰C ．21()2e xf x dx ⎰D ．1()2exf x dx ⎰ 【答案】C【解析】32222001()()2ee I xf x dx x f x dx ==⎰⎰，令2t x =，则220011()()22e e I tf t dt xf x dx ==⎰⎰，故选C ．22．直线24:591x y zL ++==与平面:4375x y z π-+=的位置关系是（ ）A ．斜交B ．垂直C ．L 在π内D ．L π【答案】D【解析】直线的方向向量(5,9,1)=s ，平面的法向量(4,3,7)=-n ，由0⋅=s n 得⊥s n ，而点(2,4,0)--不在平面内，故平行，应选D ．23．220x y →→=（ ）A ．2B ．3C ．1D ．不存在【答案】A【解析】22000001)2x x x y y y →→→→→→===，故选A ．24．曲面22z x y =+在点(1,2,5)处的切平面方程为（ ）A ．245x y z +-=B ．425x y z +-=C ．245x y z +-=D ．245x y z -+=【答案】A【解析】令22(,,)F x y z x y z =+-，(1,2,5)2x F =，(1,2,5)4y F =，(1,2,5)1z F =-，得切平面方程为2(1)4(2)(5)0x y z -+---=，即245x y z +-=，故选A ．25．设函数33z x y xy =-，则2zy x∂=∂∂（ ）A ．6xyB ．2233x y -C ．6xy -D ．2233y x -【答案】B【解析】323z x xy y ∂=-∂，22233z x y y x∂=-∂∂，应选B ．26．如果区域D 被分成两个子区域12,D D ，且1(,)5D f x y dxdy =⎰⎰，2(,)1D f x y dxdy =⎰⎰，则(,)Df x y dxdy =⎰⎰（ ）A ．5B ．4C ．6D ．1【答案】C【解析】根据二重积分的可加性，(,)6Df x y dxdy =⎰⎰，应选C ．27．如果L 是摆线sin 1cos x t ty t =-⎧⎨=-⎩上从点(2,0)A π到点(0,0)B 的一段弧，则曲线积分231(3)sin 3xLx y xe dx x y y dy ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭⎰（ ） A ．2(12)1e ππ--B ．22(12)1e ππ⎡⎤--⎣⎦C ．23(12)1e ππ⎡⎤--⎣⎦D ．24(12)1e ππ⎡⎤--⎣⎦【答案】C 【解析】因2P Qx y x ∂∂==∂∂，从而此积分与路径无关，取直线段0x x y =⎧⎨=⎩，x 从2π变成0，则002302221(3)sin 333()3x xx x x L x y xe dx x y y dy xe dx xde xe e πππ⎛⎫++-===- ⎪⎝⎭⎰⎰⎰23(12)1e ππ⎡⎤=--⎣⎦．28．通解为x Ce （C 为任意常数）的微分方程为 （ ）A ．0y y '+=B ．0y y '-=C ．1y y '-=D ．10y y '-+=【答案】B【解析】x y Ce =，x y Ce '=，从而0y y '-=，故选B ．29．微分方程x y y xe -'''+=的特解形式应设为*y = （ ）A ．()x x ax b e -+B ．ax b +C ．()x ax b e -+D ．2()x x ax b e -+【答案】A【解析】特征方程为20r r +=，特征根为10r =，21r =-，1-是特征方程的单根，应设*y =()x x ax b e -+，应选A ．30．下列四个级数中，发散的是（ ）A ．11!n n ∞=∑B ．1231000n n n ∞=-∑C ．12n n n∞=∑D ．211n n ∞=∑【答案】B【解析】231lim 01000500n n n →∞-=≠，故级数1231000n n n∞=-∑发散，应选B ．二、填空题 （每小题 2分，共 30分）31．0lim ()x x f x A →=的________条件是0lim ()lim ()x x x x f x f x A -+→→==．【答案】充分必要（或充要） 【解析】显然为充分必要（或充要）．32．函数sin y x x =-在区间(0,2)π内单调________，其曲线在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭内的凸凹性为________的．【答案】增加（或递增），凹【解析】1cos 0y x '=->⇒在(0,2)π内单调增加，sin y x ''=在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭内大于零，应为凹的．33．设方程22232x y z a ++=（a 为常数）所确定的隐函数为(,)z f x y =，则zx∂=∂________． 【答案】【解析】222(,,)32F x y z x y z a =++-，则6x F x =，2z F z =，故3x z F z xx F z∂=-=-∂． 34．=________．【答案】2ln(1C -++ 【解析】令t =2dx tdt =，212122ln(1)2ln(121t dt dt t t C C t t ⎛⎫==-=-++=++ ⎪++⎝⎭⎰⎰．35．331cos xdx x ππ-=+⎰________．【答案】0【解析】1cos x y x =+在区间,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是奇函数，故3301cos x dx x ππ-=+⎰．36．在空间直角坐标系中以点(0,4,1)A -，(1,3,1)B --，(2,4,0)C -为顶点的ABC ∆面积为________．【解析】(1,1,0)AB =-，(2,0,1)AC =-，110(1,1,2)201AB AC ⨯=-=----i j k，故ABC ∆的面积为1122S AB AC =⨯=37．方程221942x y x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩在直角坐标系下的图形为________．【答案】两条平行直线【解析】椭圆柱面与平面2x =-的交线，为两条平行直线．38.函数33(,)3f x y x y xy =+-的驻点________． 【答案】【解析】由22330330fx y xf y x y∂⎧=-=⎪∂⎪⎨∂⎪=-=⎪∂⎩，可得驻点为(0,0)，(1,1)．39．若21z x y e -=+(1,0)|zx ∂=∂________． 【答案】0【解析】(1,0)(,0)000|z zz x x x ∂∂=⇒=⇒=∂∂．40．440cos xydx dy yππ=⎰⎰________．【解析】44444000cos cos cos sin y xy y dx dy dy dx ydy yy yπππππ====⎰⎰⎰⎰⎰．41．直角坐标系下二重积分(,)Df x y dxdy ⎰⎰（其中D 为环域2219x y ≤+≤）化为极坐标形式为________．【答案】231(cos ,sin )d f r r rdr πθθθ⎰⎰【解析】231(,)(cos ,sin )Df x y dxdy d f r r rdr πθθθ=⎰⎰⎰⎰．42．以3312x x y C e C xe --=+为通解的二阶常系数线性齐次微分方程为________．【答案】690y y y '''++=【解析】由通解3312x x y C e C xe --=+可知，有二重特征根3-，从而微分方程为690y y y '''++=．43．等比级数()00n n aq a ∞=≠∑，当________时级数收敛；当________时级数发散． 【答案】1q <，1q ≥【解析】级数0n n aq ∞=∑是等比级数，当1q <时，级数收敛，当1q ≥时，级数发散．44．函数21()2f x x x =--展开成x 的幂级数________． 【答案】11011(1)32n n n n x ∞++=-⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦∑，11x -<< 【解析】211111111()231231612f x xx x x x x ⎛⎫==-+=-⋅-⋅ ⎪--+-+⎝⎭- 110001111(1)(1)36232n n n n n n n n n n x x x ∞∞∞++===-⎡⎤=---=+-⎢⎥⎣⎦∑∑∑，11x -<<．45．12nn n n ∞=-⎛⎫ ⎪⎝⎭∑是敛散性为________的级数． 【答案】发散 【解析】(2)2222lim lim 10n n n n n e n n -⋅--→∞→∞-⎛⎫⎛⎫=-=≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，级数发散．三、计算题（每小题5 分，共40 分）46．求252222lim 3x x x x +→∞⎛⎫+ ⎪-⎝⎭． 【答案】52e【解析】222225535552225232222255lim lim 1lim 1333x x x x x x x x x e x x x ++-+⋅⋅-→∞→∞→∞⎛⎫+⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭．47．2400lim x x x →⎰． 【答案】【解析】24300lim 2x x x x x →→→===⎰．48．已知lnsin(12)y x =-，求dy dx ． 【答案】2cot(12)x -- 【解析】lnsin(12)1cos(12)(2)2cot(12)sin(12)dy d x x x dx dx x -==⋅-⋅-=---．49．计算arctan x xdx ⎰．【答案】 【解析】2221111arctan arctan arctan 12221x xdx xdx x x dx x ⎛⎫==-- ⎪+⎝⎭⎰⎰⎰ 22111arctan (arctan )(arctan arctan )222x x x x C x x x x C =--+=-++．50．求函数cos()x z e x y =+的全微分．【答案】[]cos()sin()sin()x x e x y x y dx e x y dy +-+-+ 【解析】cos()sin()x x z e x y e x y x∂=+-+∂，sin()x z e x y y ∂=-+∂，故 []cos()sin()sin()x x z z dz dx dy e x y x y dx e x y dy x y∂∂=+=+-+-+∂∂．51． 计算2D x d y σ⎰⎰，其中D 为由2y =，y x =，1xy =所围成的区域． 【答案】1724【解析】根据积分区域的特征，应在直角坐标系下计算积分，且积分次序为先积x 后积y ，交点坐标为(2,2)，(1,1)，1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭，故222122221111117224y y Dx x d dy dx y dy y y y y σ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰．52．求微分方程sin cos x y y x e -'+=满足初始条件(0)1y =-的特解．【答案】sin (1)x y e x -=-【解析】()cos P x x =，sin ()x Q x e -=，则通解为cos cos sin sin ()xdx xdx x x y e e e dx C e x C ---⎛⎫⎰⎰=⋅+=+ ⎪⎝⎭⎰， 又(0)1y =-，所以1C =-，特解为sin (1)x y e x -=-．53．求级数031nn n x n ∞=+∑的收敛半径与收敛区间（考虑端点）． 【答案】11,33⎡⎫-⎪⎢⎣⎭【解析】1131lim lim 323n n n n n na n a n ρ++→∞→∞+==⋅=+，收敛半径113R ρ==． 当13x =时，级数为011n n ∞=+∑，该级数发散；当13x =-时，级数为0(1)1n n n ∞=-+∑，该级数收敛， 故收敛域为11,33⎡⎫-⎪⎢⎣⎭．四、应用题 （每小题7 分，共 14 分）54．过曲线2y x =上一点(1,1)M ，作切线L ，D 是由曲线2y x =，切线L 及x 轴所围成的平面图形．求：（1）平面图形D 的面积；（2）平面图形D 绕x 轴旋转一周所生成的旋转体的体积．【答案】（1）112 （2）30π【解析】（1）曲线2y x =在(1,1)M 处的切线斜率为2，过M 点的切线方程为21y x =-，切线与x 轴的交点为1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭，则平面图形D 的面积 123100111111223412A x dx x =-⋅⋅=-=⎰． （2）平面图形D 绕x 轴旋转一周所生成的旋转体的体积为12225100111()1325630V x dx x πππππ=-⋅⋅⋅=⋅-=⎰．55．一块铁皮宽24厘米，把它的两边折上去，做成一个正截面为等腰梯形的槽（图略），要使等腰梯形的面积A 最大，求腰长x 和它对底边的倾斜角α．【答案】【解析】由题意知梯形的上、下底分别为2422cos x x α-+，242(0,0)x x α->>． 故221(2422cos 242)sin 24sin 2sin sin cos 2A x x x x x x x αααααα=-++-⋅=-+， 24sin 4sin 2sin cos A x x xαααα∂=-+∂， 222224cos 2cos (cos sin )A x x x ααααα∂=-+-∂， 令0A x∂=∂，0A α∂=∂，联立解得，在定义域内唯一驻点8x =，3πα=， 故当3πα=，8x cm =时正截面面积A 最大．五、证明题 （6 分）56．证明方程0ln x x e π=-⎰在区间3(,)e e 内仅有一个实根．【解析】令0()ln x f x x e π=-+⎰，显然()f x 在3,e e ⎡⎤⎣⎦上连续，且0()0f e ==⎰，3220()360f e e e π=-+<-<⎰，由零点定理得，在3(,)e e 内至少存在一个ξ，使得()=0f ξ． 又11()f x x e'=-，在3(,)e e 内()<0f x '，所以在内单调减少．综上所述，方程0ln x x e =-⎰在区间3(,)e e 内仅有一个实根．。

2008年成人高等学校专升本招生全国统一考试高等数学（二）一、选择题：1~10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将所选项前的字母填涂在答题卡相应题号的信息点上 1．=-+∞→4312x x iml x【答案】：C【解析】：属于极限基本题，分子，分母同除x ，即得32，选C 【点评】：曾在安通系统班及强化班高数课上，极限部分有过大量相关题型练习。

A ．41-B. 0C. 32D. 12. 已知)(x f 在1=x 处可导，且3)1(='f ，则0(1)(1)lim h f h f h→+-=A. 0B. 1C. 3D. 6 【答案】：C【解析】：考核导数定义，或用洛必达法则。

选C【点评】：在安通课上导数部分，有详细讲解导数定义及洛必达法则的应用，在串讲篇有重点强调。

3. 设函数='=y nx y 则,1 A.x 1 B. x1- C. x ln D. xe 【答案】：A【解析】： 容易题。

据辅导教材51页导数公式（4）得 【点评】：在安通课上导数部分，有过详细讲解。

4. 已知)(x f 在区间（∞+∞-,）内为单调减函数，且)(x f >)1(f ，则x 的取值范围是A. (1,-∞-)B. (1,∞-)C. (∞+,1)D. (∞+∞-,) 【答案】：D【解析】： 属概念题，选 D 与)(x f >)1(f 无关【点评】：在函数部分，有过详细讲解，在串讲篇有重点强调。

5. 设函数=+=dy e y x则,2 A. ()dx e x2+ B. ()dx x e x2+B. ()dx e x1+ D. dx e x【答案】：D【解析】：属于较容易题. 据辅导教材70页微分公式 （1）,（4）。

6.⎰=+dx x )1(cosA. C x x ++sinB. C x x ++-sinC. C x x ++cosD. C x x ++-cos 【答案】：A【解析】：属于容易题. 据辅导教材135页微分公式 7.=⎰-dx x 511A. -2B. -1C. 0D. 1 【答案】： C【解析】：容易题. 据”连续奇函数在对称区间上的定积分为0”. 8. 设函数y x z 32+=，则xz∂∂= A. y x 32+ B. x 2 C. 32+x D.23233y x + 【答案】： B【解析】：属于较容易题. 对2x 求导,3y 看作常数即可得B 选项。

成人高考成考高等数学(二)(专升本)自测试卷(答案在后面)一、单选题（本大题有12小题，每小题7分，共84分）1、设函数(f(x)=x3−3x+2)，则(f(x))在区间[-2, 2] 上的最大值为：A、2B、4C、6D、82、已知函数(f(x)=e x lnx)，则该函数的定义域是：A.((0,+∞))B.((−∞,0))C.((0,1))D.((1,+∞))3、设函数f(x)=x3−3x2+2在区间[−1,3]上的最大值为M，最小值为m。

则M−m 的值是：A. 4B. 6C. 8D. 10)，则该函数的间断点是：4、设函数(f(x)=11+x2A.(x=0)B.(x=1)C.(x=−1)D.(x)无间断点5、设函数(f(x)=x3−3x+1)，则该函数在区间 [-2, 2] 上的最大值为：A、4B、3C、2D、16、设函数f(x)=x3−6x2+9x+1，则该函数的极值点为：A.x=1B.x=2C.x=3D.x=47、若函数(f(x)=ln(x2+1))，则(f(x))在(x=1)处的导数(f′(1))是：)A、(12B、1C、2)D、(238、设函数(f(x)=x3−6x2+9x+1)，则函数的极值点个数是：A. 0B. 1C. 2D. 39、设函数(f(x)=3x2−4x+5)，则该函数的对称轴为：A.(x=1))B.(x=−13)C.(x=23D.(x=2)10、在下列函数中，连续函数为：（）)（x∈R）A.(f(x)=1x3)（x∈R）B.(f(x)=√xC.$( f(x) =)$D.(f(x)=|x|)（x∈R）)，则(f′(0))的值为：11、已知函数(f(x)=1x2+1A. 0B. 1C. -1D. 不存在)，求(f′(x))。

12、设函数(f(x)=2x+3x−1)A.(2(x−1)2B.(2x2−1)C.(2(x+1)(x−1))D.(1x−1)二、填空题（本大题有3小题，每小题7分，共21分）1、设函数(f(x)=e ax+b)，其中(a,b)为常数，若(f(x))的单调递减区间为((−∞,1a))，则(a)的取值范围为______ 。

2008年河北省专接本数学二（财经类）真题试卷(总分50,考试时间90分钟)1. 选择题选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

1. 已知函数f(x)的定义域是[0，1]，则f(x+1)的定义域为( )．A. [-2，一1]B. [一1,0]C. [0，1]D. [1，2]2. 极限存在的充分必要条件是f(x)在x=a处( )．A. 连续B. 左右极限至少有一个存在C. 左右极限存在D. 左右极限存在且相等3. 设y=f(y)是由方程．xy+lny=0确定的函数，则=( )．A.B. 一y2C.D.4. 函数y=2x2一x+1在区间[-1，3]上满足拉格朗口定理的ξ=( )．A.B. 0C.D. 15. 已知某商品的收入函数为，则当Q=( )时边际收入为0．A. 3B. 4C. 5D. 66. 设函数f(x)=e-x，则=( )．A.B. 一lnx+CC.D. lnx+C7. 设则k=( )．A. 1B. 1n2C. 2ln2D.8. 设二元函数z=exy+yx2则=( )．A. e2+1B. 2e2+1C. e+1D. 209. 关于级数收敛性的正确答案是( )．A. 0<p≤1时发散B. p>1时条件收敛C. 0<p≤1时绝对收敛D. 0<p≤1时条件收敛10. 设A，B，C均为n阶方阵，下列叙述正确的是( )．A. AB=BAB. (AB)T=ATBTC. 如果行列式｜A｜≠0，AB=4C，则B=CD. 如果AB=0，则A=0或B=02. 填空题1. 已知函数在点x=0处连续，则a=__________．2. 曲线y=lnx上与直线x+y=1垂直的切线方程是__________．3. 幂级数收敛半径是__________，收敛域是__________．4. 设矩阵则矩阵A2的秩是__________．4. 解答题解答题解答时应写出推理、演算步骤。

1. 求极限2. 求不定积分∫2x(cosx－e2)dx．3. 设4. 已知直线x=a将抛物线x=y2与直线x=1围成平面图形分为面积相等的两部分，求a的值．5. 设函数z=f(u，V)有连续偏导数u=xy，求dZ．6. 求微分方程y'一y一2xex=0满足初始条件y(0)=1的特解．5. 综合题已知线性方程组1. 问a为何值时，方程组有唯一解、无解、有无穷多解．2. 当方程组有无穷多解时，求出用基础解系表示的通解．3. 某工厂按现有设备每月生产x个商品，总费用为．若将这些商品以每个11万元售出，问每月生产多少个商品时利润最大?最大利润是多少?。

2008年10月全国自考高等数学（工专）历年真题参考答案一、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1.A. AB. BC. CD. D答案：C2.下列变量在给定的变化过程中为无穷小量的是（）A. AB. BC. CD. D答案：A3.A. AB. BC. CD. D答案：C4. 下列反常积分收敛的是（）A. AB. BC. CD.D答案：D5.A. AB. BC. CD.D答案：B二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

1. 本题答案为：____答案：2.本题答案为：____答案：43.本题答案为：____答案：4.本题答案为：____答案：5.曲线y=sinx在（0，2π）内的拐点是___ 答案：6.本题答案为：____答案：7.本题答案为：____答案：08.本题答案为：____答案：9.本题答案为：____答案：10.本题答案为：____答案：三、计算题（本大题共8小题，每小题6分，共48分）1.答案：2.答案：3.答案：4.答案：5.答案：6.答案：7.答案：8.答案：四、综合题（本大题共2小题，每小题6分，共12分）1.答案：2.答案：本资料由广州自考网收集整理，更多自考资料请登录下载考试必看：自考一次通过的秘诀！。

2008年成人高考专升本高等数学真题浇钢工题库一、填空题1、钢的生产过程主要分为炼钢和浇注两大环节。

2、钢水铸造有两种方法：一是钢锭浇注法，一是连续铸钢法。

3、将高温钢水直接浇注成钢坯的工艺就是连铸铸钢。

4、连铸机按外形可分为立式连铸机、立弯式连铸机、弧形连铸机、椭圆形连铸机、水平连铸机。

我公司目前的 4 机 4 流连铸机是弧形的。

5、钢包回转台由回转部分、固定部分、润滑系统和电控系统组成。

6、中间包是钢包与结晶器之间的中间贮存容器，它有贮钢、稳流、缓冲、分流和分渣的作用，是实现多炉连浇的基础。

7、我厂中间包容量是27吨。

钢水深度为850mm。

8、连铸耐火材料三大件是指：大包套管、塞棒和浸入式水口。

9、塞棒控制是通过塞棒控制机构控制塞棒上下运动，以达到关闭和开启水口调节钢水流量的目的。

10、管式结晶器由铜管、冷却水套、底脚板和足辊等组成。

11、结晶器内腔纵断面的尺寸做成上大下小，形成一个锥度。

12、钢水在结晶器中冷却，若结晶器没有锥度或锥度偏小，就会在坯壳和结晶器之间形成间隙，称气隙。

由于气隙的存在降低了冷却效果，同时由于坯壳过早地脱离了结晶器内壁，在钢水静压力下坯壳会产生鼓肚变形。

13、结晶器倒锥度过大会增加拉坯阻力，结晶器内壁磨损快，寿命短，同时还会形成坯料的凹陷、角裂等缺陷。

14、结晶器振动的目的是为了防止连铸坯在凝固过程中与铜管粘结而发生粘挂拉裂或拉漏事故，以保证拉坯顺利进行。

15、结晶器振动形式有以下几种：同步式、负滑脱式、正弦振动、非正弦振动。

16、负滑脱是指：当结晶器下振速度大于拉坯速度时，铸坯对结晶器的相对运动向上，即逆着拉坯方向运动，这种运动称负滑脱。

17、连铸坯的表面振痕深度与结晶器振动负滑脱时间有关，负滑脱时间越短，振痕深度就越浅。

18、2012年公司挖潜创效目标，质量异议万元产值损失率为小于等于 4 元/万元19、对于二冷区为弧形的连铸机，连铸坯出二冷区必须矫直，否则铸坯无法进行切割、运输、堆垛、以及轧制等后道工序。

2008年专升本（高等数学二）真题试卷(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题1．A．B．C．D．正确答案：C解析：2．A．B．C．D．正确答案：C解析：3．A．B．C．D．正确答案：A解析：4．A．B．C．D．正确答案：B解析：5．A．B．C．D．正确答案：D解析：6．A．B．C．D．正确答案：A解析：7．A．B．C．D．正确答案：C解析：8．A．B．C．D．正确答案：B解析：9．A．B．C．D．正确答案：A解析：10．A．B．C．D．正确答案：D解析：填空题11．正确答案：解析：12．正确答案：解析：13．正确答案：cosx-xsinx解析：14．正确答案：20x3解析：15．正确答案：解析：16．正确答案：解析：17．正确答案：x3+x解析：18．正确答案：解析：19．正确答案：x2+y2≤1解析：20．正确答案：解析：解答题21．正确答案：22．正确答案：23．正确答案：24．正确答案：25．正确答案：26．正确答案：27．正确答案：28．正确答案：。

河北省2008年普通专科教育考试《数学（二）》（财经类）试卷（考试时间60分钟）（总分100分）说明：请将答案填写在答题纸的相应位置上，填在其它位置上无效。

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。

在每小题给出的四个备选项中，选出一个正确的答案，并将所选项前的字母填写在答题纸的相应位置上，填写在其它位置上无效） 1．已知函数)(x f 的定义域是[0,1]，则)1(+x f 的定义域为（ ）。

A. [-2,-1] B. [-1,0] C. [0,1] D.[1,2] 2. 极限存在的充分必要条件是在处（ ）。

A. 连续B. 左、右极限至少有一个存在C. 左、右极限都存在D. 左、右极限存在且相等 3. 设)(x f y =是由方程0ln =+y xy 确定的函数，则dxdy=（ ）。

A. 12+-xy y B. 2y - C. x y ln - D. xyy 12+-4. 函数122+-=x x y 在区间[-1,3]上满足拉格朗日中值定理的ξ=( )A. 43-B. 0C. 43D. 15. 已知某商品的收入函数为2312Q Q R -=，则当Q =（ ）时边际收入为0。

A. 3B. 4C. 5D. 66． 设函数xe xf -=)(，则dx xx f ⎰')(ln =（ ）。

A. C x +-1 B. C x +-ln C. C x +1D. C x +ln7. 设⎰=k xdx e 0223，则k =（ ）A. 1B. 2lnC. 2ln 2D. 2ln 218. 设二元函数2yx ez xy+=,则)2,1(yz ∂∂=( )A. 12+eB. 122+e C. 1+e D. 12+e9. 关于级数∑∞=--11)1(n pn n 收敛性的正确答案是（ ） A. 10≤<P 时发散 B. 1>P 时条件收敛C. 10≤<P 时绝对收敛D. 10≤<P 时条件收敛 10. 设A 、B 、C 均为n 阶方阵，下列叙述中正确的是（ ） A. BA AB = B. T T T B A AB =)( C. 如果行列式,,0AC AB A =≠则C B =D. 如果0=AB ,则0=A 或0=B二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分。

浙江省普通高校专升本考试高等数学（二）真题2008年(总分：150.00，做题时间：90分钟)一、选择题（每个小题给出的选项中，只有一项符合要求：本题共有5个小题，每小题4分，共2０分(总题数：5，分数：20.00)（分数：4.00）A.高阶无穷小B.低阶无穷小C.同阶但不是等阶无穷小D.等阶无穷小√解析：2.下列四个命题中成立的是（）.（分数：4.00）A.可积函数必是连续函数B.单调函数必是连续函数C.可导函数必是连续函数√D.连续函数必是可导函数解析：（分数：4.00）√解析：（分数：4.00）A.偶函数√B.奇函数C.周期函数D.有界函数解析：（分数：4.00）A.不存在B.仅有一条C.不一定存在D.至少有一条√解析：二、填空题:(只须在横线上直接写出答案,不必写出计算过程,每小题4分,共40分)(总题数：10，分数：40.00)（分数：4.00）填空项1:__________________ （正确答案：1）解析：（分数：4.00）填空项1:__________________ （正确答案：1/4）解析：（分数：4.00）填空项1:__________________ （正确答案：2）解析：（分数：4.00）填空项1:__________________ （正确答案：2）解析：（分数：4.00）填空项1:__________________解析：（分数：4.00）填空项1:__________________解析：（分数：4.00）填空项1:__________________解析：（分数：4.00）填空项1:__________________ （正确答案：1）解析：（分数：4.00）填空项1:__________________解析：（分数：4.00）填空项1:__________________ （正确答案：1）解析：三、计算题:(每小题6分,共60分)(总题数：10，分数：60.00)（分数：6.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：)解析：（分数：6.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：=1)解析：（分数：6.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：)解析：（分数：6.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：)解析：（分数：6.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：)解析：（分数：6.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：)解析：（分数：6.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：)解析：（分数：6.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：)解析：（分数：6.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：)解析：（分数：6.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：)解析：四、四．综合题(总题数：3，分数：30.00)（分数：10.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：)解析：（分数：10.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：)解析：（分数：10.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：)解析：。

2008年河南省普通高等学校 选拔优秀专科生进入本科阶段学习考试高等数学 试卷一. 单项选择题（每题2分，共计60分）在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案，并将其代码写在题干后面的括号内.不选、错选或多选者，该题不得分.1. 函数2)1ln()(++-=x x x f 的定义域为 （ ） A. ]1,2[-- B. ]1,2[- C. )1,2[- D. )1,2(-解：C x x x ⇒<≤-⇒⎩⎨⎧≥+>-120201.2. =⎪⎭⎫ ⎝⎛π--π→3sin cos 21lim 3x xx （ ）A.1B. 0C. 2D.3解：0033sin cos 21lim ===⎪⎭⎫ ⎝⎛π--π→x x x D x x x ⇒=⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛π-π→312323cos sin 2lim 3. 3. 点0=x 是函数131311+-=xxy 的 ( )A.连续点B. 跳跃间断点C.可去间断点D. 第二类间断点解: ,1111313lim110-=-=+--→x x x B x xx x xx ⇒===+-++→→13ln 33ln 3lim 1313lim 11000110. 4.下列极限存在的为 （ ）A.xx e +∞→lim B. x x x 2sin lim 0→ C.x x 1cos lim 0+→ D.32lim 2-++∞→x x x 解:显然只有22sin lim0=→xxx ,其他三个都不存在,应选B.5. 当0→x 时，)1ln(2x +是比x cos 1-的（ ）A ．低阶无穷小B ．高阶无穷小C ．等阶无穷小 D.同阶但不等价无穷小解: 22~)1ln(x x +,D x x x ⇒=-2~2sin2cos 122. 6.设函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤≤--<+++=0,arctan 01,11,11sin )1(1)(x x x x x x x f ，则)(x f （ ）A ．在1-=x 处连续，在0=x 处不连续B ．在0=x 处连续，在1-=x 处不连续C ．在1-=x ，0，处均连续D ．在1-=x ，0，处均不连续 解:⇒=-==+--→-→1)1(,1)(lim ,1)(lim 111f x f x f x x )(x f 在1-=x 处连续;⇒===+-→→1)0(,0)(lim ,1)(lim 001f x f x f x x )(x f 在0=x 处不连续;应选A. 7.过曲线x e x y +=arctan 上的点(0,1)处的法线方程为 （ ） A. 012=+-y x B. 022=+-y x C. 012=--y x D. 022=-+y x 解: D k f e xy x⇒-=⇒='⇒++='212)0(112法. 8.设函数)(x f 在0=x 处可导，)(3)0()(x x f x f α+-=且0)(lim0=α→xx x ，则=')0(f （ ）A. -1B.1C. -3D. 3 解：3)(lim 3)(3lim 0)0()(lim)0(000-=α+-=α+-=--='→→→xx x x x x f x f f x x x ,应选C. 9.若函数)1()(ln )(>=x x x f x，则=')(x f （ ）A. 1)(ln -x xB. )ln(ln )(ln )(ln 1x x x x x +-C. )ln(ln )(ln x x xD. x x x )(ln解：='='⇒==])ln(ln [)(ln )(ln )()ln(ln x x x y e x x f x x x x )ln(ln )(ln )(ln 1x x x x x +-,应选B.10.设函数)(x y y =由参数方程⎪⎩⎪⎨⎧==ty tx 33sin cos 确定，则=π=422x dx y d （ ）A.-2B.-1C.234-D. 234解：⇒⨯=⇒-=tt t dx y d t t dx dy sin cos 31cos 1cos sin 2222 =π=422x dx y d 234,应选D. 11.下列函数中，在区间[-1,1]上满足罗尔中值定理条件的是 （ ）A.x e y =B.||ln x y =C.21x y -=D.21x y = 解：验证罗尔中值定理的条件,只有21x y -=满足,应选C.12. 曲线253-+=x x y 的拐点是 （ ） A.0=x B.)2,0(- C.无拐点 D. 2,0-==y x 解: ⇒=⇒==''006x x y )2,0(-,应选B.13. 曲线|1|1-=x y （ ）A. 只有水平渐进线B. 既有水平渐进线又有垂直渐进线C. 只有垂直渐进线D. 既无水平渐进线又无垂直渐进线解：,0|1|1lim=-∞→x x B x x ⇒∞=-→|1|1lim 1. 14.如果)(x f 的一个原函数是x x ln ,那么=''⎰dx x f x )(2（ ） A. C x +ln B. C x +2C. C x x +ln 3D. x C -解：⇒-=''⇒+='=21)(ln 1)ln ()(xx f x x x x f C x dx dx x f x +-=-=''⎰⎰)(2,应选D.15.=+-⎰342x x dx( )A .C x x +--13ln 21 B.C x x +--31ln 21 C. C x x +---)1ln()3ln( D. C x x +---)3ln()1ln(解:C x x dx x x x x dx x x dx +--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=--=+-⎰⎰⎰13ln 21113121)1)(3(342,应选A. 16.设⎰+=1041x dxI ，则I 的取值范围为 ( )A .10≤≤I B.121≤≤I C. 40π≤≤I D.121<<I解:此题有问题,定积分是一个常数,有111214≤+≤x,根据定积分的估值性质,有121≤≤I ,但这个常数也在其它三个区间,都应该正确,但真题中答案是B. 17. 下列广义积分收敛的是 （ ） A.dx x ⎰+∞13B. ⎰+∞1ln dx xxC.⎰+∞1dx xD. dx e x ⎰+∞-0解:显然应选D. 18.=-⎰-33|1|dx x （ ）A.⎰-30|1|2dx x B.⎰⎰-+--3113)1()1(dx x dx xC. ⎰⎰----3113)1()1(dx x dx x D. ⎰⎰-+--3113)1()1(dx x dx x解：=-⎰-33|1|dx x =-+-⎰⎰-3113|1||1|dx x dx x ⎰⎰-+--3113)1()1(dx x dx x ,应选D.19.若)(x f 可导函数，0)(>x f ，且满足⎰+-=xdt ttt f x f 022cos 1sin )(22ln )(，则=)(x f（ ）A. )cos 1ln(x +B. C x ++-)cos 1ln(C. )cos 1ln(x +-D. C x ++)cos 1ln(解：对⎰+-=xdt t t t f x f 022cos 1sin )(22ln )(两边求导有:xxx f x f x f cos 1sin )(2)()(2+-=', 即有 ⎰⎰++=+-=⇒+-='xx d dx x x x f x x x f cos 1)cos 1(cos 1sin )(cos 1sin )( C x ++=)cos 1ln(,还初始条件2ln )0(=f ,代入得0=C ,应选A.20. 若函数)(x f 满足⎰--+=11)(211)(dx x f x x f ，则=)(x f （ ） A. 31-x B. 21-x C. 21+x D. 31+x解：令⎰-=11)(dx x f a ,则a x x f 211)(-+=,故有⎰⎰--⇒=⇒-=-+==111112)211()(a a dx a x dx x f a =)(x f 21+x ,应选C.21. 若⎰=edx x f x I 023)( 则=I ( )Adx x f )(0⎰2e x B dx xf )(0⎰e xC dx x f )(210⎰2e xD dx x f )(210⎰ex解: ⎰⎰⎰======22200222)()(21)()(21)()(21e e t x e x d x xf t d t tf x d x f x I ,应选C.22.直线19452zy x =+=+与平面5734=+-z y x 的位置关系为 A. 直线与平面斜交 B. 直线与平面垂直C. 直线在平面内D. 直线与平面平行解：n s n s⊥⇒-==}7,3,4{},1,9,5{ ,而点(-2,-4,0)不在平面内,为平行,应选D.23.=-+++→→11lim222200y x y x y x （ ）A. 2B.3C. 1D.不存在 解: 2222220022220)11)((lim11limy x y x y x y x y x y x y x +++++=-+++→→→→2)11(lim 220=+++=→→y x y x ,应选A.24.曲面22y x z +=在点（1，2，5）处切平面方程（ ） A ．542=-+z y x B ．524=-+z y x C ．542=-+z y x D ．542=+-z y x解:令z y x z y x F -+=22),,(,⇒-='='='1)5,2,1(,4)5,2,1(,2)5,2,1(z yx F F F ⇒=---+-0)5()2(4)1(2z y x 542=-+z y x ,也可以把点（1，2，5）代入方程验证,应选A.25.设函数33xy y x z -=，则=∂∂∂xy z2 （ ）A. xy 6B. 2233y x -C. xy 6-D. 2233x y -解: ⇒-=∂∂233xy x y z =∂∂∂xy z 22233y x -,应选B.26.如果区域D 被分成两个子区域1D 和2D 且5),(1=⎰⎰dxdy y x f D ，1),(2=⎰⎰dxdy y x f D ,则=⎰⎰dxdy y x f D),( ( )A. 5B. 4C. 6D.1 解:根据二重积分的可加性,6),(=⎰⎰dxdy y x f D,应选C.27.如果L 是摆线⎩⎨⎧-=-=ty tt x cos 1sin 从点)0,2(πA 到点)0,0(B 的一段弧，则=-++⎰dy y y x dx xe y x xL)sin 31()3(32 ( ) A.1)21(2-π-πe B. ]1)21([22-π-πe C.]1)21([32-π-πe D. ]1)21([42-π-πe解:有⇒=∂∂=∂∂2x x Qy P 此积分与路径无关,取直线段x y x x ,0⎩⎨⎧==从π2变到0,则 02020232)(333)sin 31()3(πππ-===-++⎰⎰⎰x x x x x L e xe xde dx xe dy y y x dx xe y x ]1)21([32-π-=πe ,应选C.28.以通解为x Ce y =（C 为任意常数）的微分方程为 ( ) A. 0=+'y y B. 0=-'y y C. 1='y y D. 01=+'-y y 解: 0=-'⇒='⇒=y y Ce y Ce y xx,应选B.29. 微分方程x xe y y -='+''的特解形式应设为=*y （ ）A .xeb ax x -+)( B.b ax + C.x e b ax -+)( D.xeb ax x -+)(2解:-1是单特征方程的根,x 是一次多项式,应设x e b ax x y -+=*)(,应选A. 30．下列四个级数中，发散的级数是 （ ） A.∑∞=1!1n n B. ∑∞=-1100032n n n C. ∑∞=12n n n D. ∑∞=121n n解:级数∑∞=-1100032n n n 的一般项n n 100032-的极限为05001≠,是发散的,应选B.二、填空题（每题2分，共30分）31．A x f x x =→)(lim 0的____________条件是A x f x f x x x x ==-+→→)(lim )(lim 0. 解：显然为充要(充分且必要).32. 函数x x y sin -=在区间)2,0(π单调 ，其曲线在区间⎪⎭⎫⎝⎛π2,0内的凹凸性为 的.解：⇒>-='0cos 1x y 在)2,0(π内单调增加,x y sin =''在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭内大于零,应为凹的.33.设方程a a z y x (23222=++为常数)所确定的隐函数),(y x f z = ,则=∂∂xz_____. 解：⇒='='⇒-++=x F z F a z y x F x z 6,223222zx F F x z z x 3-=''-=∂∂. 34.=+⎰xdx 1 .解:⎰⎰⎰++-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+==+=C t t dt t t tdt xdx tx )1ln(221112121 C x x ++-=)1ln(22.35.⎰ππ⋅-=+33________cos 1dx xx.解：函数x x cos 1+在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ-3,3是奇函数，所以⎰ππ⋅-=+330cos 1dx x x . 36. 在空间直角坐标系中,以)042()131()140(，，，，，，，，----C B A 为顶点的ABC ∆的面积为__ .解：}2,1,1{102011}1,0,2{},0,1,1{---=--=⨯⇒-=-=kj i AC AB AC AB ，所以ABC ∆的面积为26=. 37. 方程⎪⎩⎪⎨⎧-==+214922x yx 在空间直角坐标下的图形为__________. 解:是椭圆柱面与平面2-=x 的交线,为两条平行直线. 38.函数xy y x y x f 3),(33-+=的驻点为 .解: )1,1(),0,0(03303322⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=∂∂=-=∂∂x y yz y x xz. 39.若x y xy ey x z xtan2312++=-，则=∂∂)0,1(x z .解:⇒=∂∂⇒=00)0,(x zx f 0)0,1(=∂∂xz .40.⎰⎰ππ=440___________cos xdy yydx 解:22sin cos cos 1cos 14040040440====πππππ⎰⎰⎰⎰⎰x ydy ydx y dy ydy y dx y x. 41.直角坐标系下的二重积分⎰⎰D dxdy y x f ),((其中D 为环域9122≤+≤y x)化为极坐标形式为___________________________.解：⎰⎰⎰⎰θθθ=π3120)sin ,cos (),(rdr r r f d dxdy y x f D.42.以x xxe C eC y 3231--+=为通解的二阶常系数线性齐次微分方程为 .解:由x x xe C e C y 3231--+=为通解知,有二重特征根-3,从而9,6==q p ,微分方程为096=+'+''y y y .43.等比级数)0(0≠∑∞=a aqn n,当_______时级数收敛,当_______时级数发散.解: 级数∑∞=0n naq是等比级数, 当1||<q 时,级数收敛,当1||≥q 时,级数发散.44.函数21)(2--=x x x f 展开为x 的幂级数为__________________解: 21161113121113121)(2x x x x x x x f -⨯-+⨯-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++-=--=1100011(1)1(1),(11)362332n n n nn n n n n n x x x x +∞∞∞+===⎡⎤-=---=--<<⎢⎥⋅⎣⎦∑∑∑. 45.∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛-12n nn n 的敛散性为________的级数.解:021lim 2lim lim 2)2(2≠=⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛-=--⨯-∞→∞→∞→e n n n u nn nn n n ,级数发散.三、计算题（每小题5分，共40分）46．求2522232lim +∞→⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+x x x x .解：252)23(32252222522252231312121lim3121lim 32lim 2222⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+-⨯-∞→+∞→+∞→x x x x x x x x x x x x x x x2523252)23(32252223131lim 2121lim 22e eex x x x x x x x ==⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+=--⨯-∞→∞→.47. 求⎰+→23241limx x dtt t x .解：212lim214lim1lim3403423003242=+=⨯+===+→→→⎰x xx x x dtt t x x x x x .48.已知)21sin(ln x y -=,求dxdy . 解：[][])21sin()21cos(221)21sin()21cos()21sin()21sin(1x x x x x x x dx dy ---='---='--=)21cot(2x --=. 49. 计算不定积分⎰xdx x arctan .解：⎰⎰⎰+⨯-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=dx x x x x x xd xdx x 2222112arctan 22arctan arctan ⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=dx x x x 2211121arctan 2 C x x x x ++-=arctan 2121arctan 22. 50.求函数)cos(y x e z x +=的全微分. 解：利用微分的不变性,x x x de y x y x d e y x e d dz )cos()cos()]cos([+++=+= dx e y x y x d y x e x x )cos()()sin(++++-= dx e y x dy dx y x e x x )cos(])[sin(++++-=dy y x e dx y x y x e x x )sin()]sin()[cos(+-+-+=.51．计算⎰⎰σDd yx2，其中D 是由1,,2===xy x y y 所围成的闭区域. 解：积分区域D 如图所示:把区域看作Y 型,则有⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤≤≤=y x y y y x D 1,21|),(,故 ⎰⎰⎰⎰=y y D dx y x dy dxdy yx12212yyy yx dy y xdx dy y 122121212211⨯==⎰⎰⎰481731211121213214=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎰y y dy y . 52．求微分方程x e x y y sin cos -=+'满足初始条件1)0(-=y 的特解.解:这是一阶线性非齐次微分方程,它对应的齐次微分方程0cos =+'x y y 的通解为x Ce y sin -=,设x e x C y sin )(-=是原方程解,代入方程有x x e e x C sin sin )(--=',即有1)(='x C ,所以C x x C +=)(,故原方程的通解为x x xe Ce y sin sin --+=, 把初始条件1)0(-=y 代入得:1-=C ,故所求的特解为x e x y sin )1(--=.53．求级数∑∞=+013n nn x n 的收敛半径及收敛区间(考虑区间端点).解：这是标准的不缺项的幂级数,收敛半径ρ=1R ,而321lim 33123lim lim11=++=+⨯+==ρ∞→+∞→+∞→n n n n a a n n n n nn n , 故收敛半径31=R .当31=x 时,级数化为∑∞=+011n n ,这是调和级数,发散的;y x =→yx 11=→ 1当31-=x 时,级数化为∑∞=+-01)1(n nn ,这是交错级数,满足莱布尼兹定理的条件,收敛的;所以级数的收敛域为⎪⎭⎫⎢⎣⎡-31,31.四、应用题（每题7分，共计14分）54. 过曲线2x y =上一点)1,1(M 作切线L ，D 是由曲线2x y =，切线L 及x 轴所围成的平面图形，求（1）平面图形D 的面积;（2）该平面图形D 绕x 轴旋转一周所成的旋转体的体积. 解：平面图形D 如图所示：因x y 2=',所以切线L 的斜率2)1(='=y k , 切线L 的方程为)1(21-=-x y ,即12-=x y取x 为积分变量，且]1,0[∈x . （1）平面图形D 的面积为)(3)12(121213121102=--=--=⎰⎰x x xdx x dx x S （2）平面图形D 绕x 轴旋转一周所生成旋转体的体积为302345)12(12123151212104π=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-π-π=-π-π=⎰⎰x x x x dx x dx x V x .55.一块铁皮宽为24厘米,把它的两边折上去,做成一正截面为等腰梯形的槽(如下图),要使梯形的面积A 最大,求腰长x 和它对底边的倾斜角α.解: 梯形截面的下底长为x 224-,上底长为α+-cos 2224x x ,高为αsin x ,所以截面面积为α⋅-+α+-=sin )224cos 2224(21x x x x A ,)20,120(π<α<<<x即αα+α-α=cos sin sin 2sin 2422x x x A ,令⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=α-α+α-α=α∂∂=αα+α-α=∂∂0)sin (cos cos 2cos 240cos sin 2sin 4sin 242222x x x A x x x A得唯一驻点⎪⎩⎪⎨⎧π=α=38x .根据题意可知,截面的面积最大值一定存在,且在20,120:π<α<<<x D 内取得,又函数在D 内只有一个可能的最值点,因此可以断定3,8π=α=x 时,截面的面积最大.五、证明题（6分）56. 证明方程⎰π--=2cos 1ln dx x e xx 在区间),(3e e 内仅有一个实根. 证明：构造函数 ⎰π-+-=02cos 1ln )(dx x e xx x f ,即有22ln sin 2ln )(0+-=+-=⎰πexx xdx e x x x f ,显然函数)(x f 在区间],[3e e 连续,且有06223)(,022)(223<-<+-=>=e e e f e f ,由连续函数的零点定理知方程0)(=x f 即⎰π--=02cos 1ln dx x e xx 在区间),(3e e 有至少有一实数根. 另一方面, ex x f 11)(-='在区间),(3e e 内恒小于零,有方程0)(=x f ,即⎰π--=02cos 1ln dx x e xx 在区间),(3e e 有至多有一实数根.综上所述, 方程⎰π--=02cos 1ln dx x e xx 在区间),(3e e 内仅有一个实根.xy x =→2x 224-x α。

2008河南省普通高等学校选拔优秀专科毕业生进入本科阶段学习考试高等数学试卷一、选择题 （每小题2 分，共50 分）1．函数()ln(1)f x x =-+的定义域是（ ）A ．[]2,1--B ．[]2,1-C ．[)2,1-D ．()2,1-【答案】C【解析】由1020x x ->⎧⎨+≥⎩可得21x -≤<，故选C ．2．312cos limsin 3x xx ππ→-=⎛⎫- ⎪⎝⎭（ ）A ．1B ．0CD【答案】D【解析】3312cos 2sin limlim sin cos 33x x x xx x ππππ→→-==⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．3．点0x =是函数113131xxy -=+的（ ）A ．连续点B ．跳跃间断点C ．可去间断点D ．第二类间断点【答案】 【解析】11311lim 1131xx x-→--==-+，11031lim 131xx x +→-=+，故选B ．4．下列极限存在的是（ ）A ．lim xx e →+∞B ．0sin 2lim x xx →C ．01lim cosx x+→ D ．22lim 3x x x →+∞+-【答案】B 【解析】0sin 2lim2x xx→=，其他三个都不存在，应选B ．5．当0x →时，2ln(1)x +是比1cos x -的（ ） A ．低阶无穷小 B ．高阶无穷小C ．等价无穷小D ．同阶但不等价无穷小【答案】D【解析】0x →时，22ln(1)~x x +，211cos ~2x x -，故选D ．6．设函数11(1)sin ,11()1,10arctan ,0x x x f x x x x ⎧++<-⎪+⎪=-≤≤⎨⎪>⎪⎩，则()f x （ ）A ．在1x =-处连续，在0x =处不连续B ．在0x =处连续，在1x =-处不连续C ．在1,0x =-处均连续D ．在1,0x =-处均不连续【答案】A【解析】1lim ()1x f x -→-=，1lim ()1x f x +→-=，(1)1()f f x -=⇒在1x =-处连续；0lim ()1x f x -→=，0lim ()0x f x +→=，(0)1()f f x =⇒在0x =处不连续，应选A ．7．过曲线arctan x y x e =+上的点(0,1)处的法线方程为（ ）A ．210x y -+=B ．220x y -+=C ．210x y --=D ．220x y +-=【答案】D 【解析】211x y e x'=++，02x y ='=，法线的斜率12k =-，法线方程为112y x -=-，即220x y +-=，故选D ．8．设函数()f x 在0x =处满足，()(0)3()f x f x x α=-+，且0()lim0x x xα→=，则(0)f '=（ ） A ．1- B ．1 C ．3-D ．3【解析】000()(0)3()()(0)limlim 3lim 30x x x f x f x x x f x x xαα→→→--+'===-+=--，应选C ．9．若函数()(ln )(1)x f x x x =>，则()f x '=（ ） A ．1(ln )x x - B ．1(ln )(ln )ln(ln )x x x x x -+C ．(ln )ln(ln )x x xD ．(ln )x x x【答案】B【解析】ln(ln )()(ln )x x x f x x e ==，[]11()(ln )ln(ln )(ln )ln(ln )ln x x f x x x x x x x x x ⎡⎤''==+⋅⋅⎢⎥⎣⎦1(ln )(ln )ln(ln )x x x x x -=+，故选B ．10．设函数()y y x =由参数方程33cos sin x t y t ⎧=⎨=⎩确定，则224|t d ydx π==（ ） A ．2- B ．1- C．3-D．3【答案】D【解析】223sin cos sin 3cos sin cos dy dy dt t t t dx dx dt t t t ===--，22d y dx =1d dy dx dt dx dt⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭2211cos 3cos sin x t t-=⋅- 413cos sin t t =，224|t d y dx π==，故选D ．11．下列函数中，在区间[]1,1-上满足罗尔定理条件的是（ ）A ．x y e =B ．ln ||y x =C ．21y x =-D ．21y x=【答案】C【解析】验证罗尔定理得条件，只有21y x =-满足，应选C ．12．曲线352y x x =+-的拐点是（ ）A ．0x =B ．(0,2)-C ．无拐点D ．0,2x y ==-【解析】235y x '=+，6y x ''=，令0y ''=，得0x =，当0x >时，0y ''>，当0x <时，0y ''<，故拐点为(0,2)-，应选B ．13．曲线1|1|y x =-（ ） A ．只有水平渐进线B ．既有水平渐进线，又有垂直渐近线C ．只有垂直渐近线D ．既无水平渐进线，又无垂直渐近线【答案】B 【解析】1lim 0|1|x x →∞=-，曲线有水平渐近线0y =；1lim |1|x x →∞=∞-，曲线有垂直渐近线1x =，故选B ．14．如果()f x 的一个原函数是ln x x ，那么2()x f x dx ''=⎰（ ）A ．ln x C +B ．2xC +C ．3ln x x C +D ．C x -【答案】D【解析】()(ln )1ln f x x x x '==+，21()f x x''=-，2()x f x dx dx x C ''=-=-+⎰⎰，应选D ． 15．243dxx x =-+⎰（ ）A ．13ln 21x C x -+-B ．1ln3x C x -+-C ．ln(3)ln(1)x x C ---+D ．ln(1)ln(3)x x C ---+【答案】A 【解析】211113ln 43(3)(1)23121dx dx x dx C x x x x x x x -⎛⎫==-=+ ⎪-+-----⎝⎭⎰⎰⎰，应选A ．16．设14011I dx x =+⎰，则I 的取值范围为（ ）A ．01I ≤≤B ．112I ≤≤ C ．04I π≤≤D ．14I π<<【答案】B【解析】因01x ≤≤，411121x ≤≤+，根据定积分的估值性质，有112I ≤≤，故选B ．17．下列广义积分收敛的是（ ）A ．31x dx +∞⎰B ．1ln xdx x+∞⎰C ．1⎰D ．0x e dx +∞-⎰【答案】D【解析】D 项中001x xe dx e +∞--+∞=-=⎰，故收敛．18．331xdx --=⎰（ ）A ．3021x dx -⎰B ．1331(1)(1)x dx x dx --+-⎰⎰C ．1331(1)(1)x dx x dx ----⎰⎰ D ．1331(1)(1)x dx x dx --+-⎰⎰【答案】D【解析】3131333131111(1)(1)xdx xdx xdx x dx x dx ----=-+-=-+-⎰⎰⎰⎰⎰，故选D ．19．若()f x 是可导函数，()0f x >，且满足220()sin ()ln 221cos x f t tf x dt t=-+⎰，则()f x =（ ） A ．ln(1cos )x + B ．ln(1cos )x C -++C ．ln(1cos )x -+D ．ln(1cos )x C ++【答案】A【解析】对220()sin ()ln 221cos x f t t f x dt t =-+⎰两边求导有()sin 2()()21cos f x xf x f x x'=-+，即 sin ()1cos x f x x '=-+，从而sin (1cos )()ln(1cos )1cos 1cos x d x f x dx x C x x+=-==++++⎰⎰．由初始条件(0)ln 2f =，代入得0C =，应选A ．20．若函数()f x 满足111()1()2f x x f x dx -=+-⎰，则()f x =（ ）A ．13x -B ．12x -C ．12x +D ．13x +【答案】C【解析】令11()a f x dx -=⎰，则1()12f x x a =+-，从而11111()122a f x dx x a dx a --⎛⎫==+-=- ⎪⎝⎭⎰⎰，得1a =，故1()2f x x =+，应选C ．21．若320()eI x f x dx =⎰，则I =（ ）A ．2()e xf x dx ⎰B ．0()exf x dx ⎰C ．21()2e xf x dx ⎰D ．1()2exf x dx ⎰ 【答案】C【解析】32222001()()2ee I xf x dx x f x dx ==⎰⎰，令2t x =，则220011()()22e e I tf t dt xf x dx ==⎰⎰，故选C ．22．直线24:591x y zL ++==与平面:4375x y z π-+=的位置关系是（ ）A ．斜交B ．垂直C ．L 在π内D ．L π【答案】D【解析】直线的方向向量(5,9,1)=s ，平面的法向量(4,3,7)=-n ，由0⋅=s n 得⊥s n ，而点(2,4,0)--不在平面内，故平行，应选D ．23．220x y →→=（ ）A ．2B ．3C ．1D ．不存在【答案】A【解析】22000001)2x x x y y y →→→→→→===，故选A ．24．曲面22z x y =+在点(1,2,5)处的切平面方程为（ ）A ．245x y z +-=B ．425x y z +-=C ．245x y z +-=D ．245x y z -+=【答案】A【解析】令22(,,)F x y z x y z =+-，(1,2,5)2x F =，(1,2,5)4y F =，(1,2,5)1z F =-，得切平面方程为2(1)4(2)(5)0x y z -+---=，即245x y z +-=，故选A ．25．设函数33z x y xy =-，则2zy x∂=∂∂（ ）A ．6xyB ．2233x y -C ．6xy -D ．2233y x -【答案】B【解析】323z x xy y ∂=-∂，22233z x y y x∂=-∂∂，应选B ．26．如果区域D 被分成两个子区域12,D D ，且1(,)5D f x y dxdy =⎰⎰，2(,)1D f x y dxdy =⎰⎰，则(,)Df x y dxdy =⎰⎰（ ）A ．5B ．4C ．6D ．1【答案】C【解析】根据二重积分的可加性，(,)6Df x y dxdy =⎰⎰，应选C ．27．如果L 是摆线sin 1cos x t ty t =-⎧⎨=-⎩上从点(2,0)A π到点(0,0)B 的一段弧，则曲线积分231(3)sin 3xLx y xe dx x y y dy ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭⎰（ ） A ．2(12)1e ππ--B ．22(12)1e ππ⎡⎤--⎣⎦C ．23(12)1e ππ⎡⎤--⎣⎦D ．24(12)1e ππ⎡⎤--⎣⎦【答案】C 【解析】因2P Qx y x ∂∂==∂∂，从而此积分与路径无关，取直线段0x x y =⎧⎨=⎩，x 从2π变成0，则002302221(3)sin 333()3x xx x x L x y xe dx x y y dy xe dx xde xe e πππ⎛⎫++-===- ⎪⎝⎭⎰⎰⎰23(12)1e ππ⎡⎤=--⎣⎦．28．通解为x Ce （C 为任意常数）的微分方程为 （ ）A ．0y y '+=B ．0y y '-=C ．1y y '-=D ．10y y '-+=【答案】B【解析】x y Ce =，x y Ce '=，从而0y y '-=，故选B ．29．微分方程x y y xe -'''+=的特解形式应设为*y = （ ）A ．()x x ax b e -+B ．ax b +C ．()x ax b e -+D ．2()x x ax b e -+【答案】A【解析】特征方程为20r r +=，特征根为10r =，21r =-，1-是特征方程的单根，应设*y =()x x ax b e -+，应选A ．30．下列四个级数中，发散的是（ ）A ．11!n n ∞=∑B ．1231000n n n ∞=-∑C ．12n n n∞=∑D ．211n n ∞=∑【答案】B【解析】231lim 01000500n n n →∞-=≠，故级数1231000n n n∞=-∑发散，应选B ．二、填空题 （每小题 2分，共 30分）31．0lim ()x x f x A →=的________条件是0lim ()lim ()x x x x f x f x A -+→→==．【答案】充分必要（或充要） 【解析】显然为充分必要（或充要）．32．函数sin y x x =-在区间(0,2)π内单调________，其曲线在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭内的凸凹性为________的．【答案】增加（或递增），凹【解析】1cos 0y x '=->⇒在(0,2)π内单调增加，sin y x ''=在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭内大于零，应为凹的．33．设方程22232x y z a ++=（a 为常数）所确定的隐函数为(,)z f x y =，则zx∂=∂________． 【答案】【解析】222(,,)32F x y z x y z a =++-，则6x F x =，2z F z =，故3x z F z xx F z∂=-=-∂． 34．=________．【答案】2ln(1C -++ 【解析】令t =2dx tdt =，212122ln(1)2ln(121t dt dt t t C C t t ⎛⎫==-=-++=++ ⎪++⎝⎭⎰⎰．35．331cos xdx x ππ-=+⎰________．【答案】0【解析】1cos x y x =+在区间,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是奇函数，故3301cos x dx x ππ-=+⎰．36．在空间直角坐标系中以点(0,4,1)A -，(1,3,1)B --，(2,4,0)C -为顶点的ABC ∆面积为________．【解析】(1,1,0)AB =-，(2,0,1)AC =-，110(1,1,2)201AB AC ⨯=-=----i j k，故ABC ∆的面积为1122S AB AC =⨯=37．方程221942x y x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩在直角坐标系下的图形为________．【答案】两条平行直线【解析】椭圆柱面与平面2x =-的交线，为两条平行直线．38.函数33(,)3f x y x y xy =+-的驻点________． 【答案】【解析】由22330330fx y xf y x y∂⎧=-=⎪∂⎪⎨∂⎪=-=⎪∂⎩，可得驻点为(0,0)，(1,1)．39．若21z x y e -=+(1,0)|zx ∂=∂________． 【答案】0【解析】(1,0)(,0)000|z zz x x x ∂∂=⇒=⇒=∂∂．40．440cos xydx dy yππ=⎰⎰________．【解析】44444000cos cos cos sin y xy y dx dy dy dx ydy yy yπππππ====⎰⎰⎰⎰⎰．41．直角坐标系下二重积分(,)Df x y dxdy ⎰⎰（其中D 为环域2219x y ≤+≤）化为极坐标形式为________．【答案】231(cos ,sin )d f r r rdr πθθθ⎰⎰【解析】231(,)(cos ,sin )Df x y dxdy d f r r rdr πθθθ=⎰⎰⎰⎰．42．以3312x x y C e C xe --=+为通解的二阶常系数线性齐次微分方程为________．【答案】690y y y '''++=【解析】由通解3312x x y C e C xe --=+可知，有二重特征根3-，从而微分方程为690y y y '''++=．43．等比级数()00n n aq a ∞=≠∑，当________时级数收敛；当________时级数发散． 【答案】1q <，1q ≥【解析】级数0n n aq ∞=∑是等比级数，当1q <时，级数收敛，当1q ≥时，级数发散．44．函数21()2f x x x =--展开成x 的幂级数________． 【答案】11011(1)32n n n n x ∞++=-⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦∑，11x -<< 【解析】211111111()231231612f x xx x x x x ⎛⎫==-+=-⋅-⋅ ⎪--+-+⎝⎭- 110001111(1)(1)36232n n n n n n n n n n x x x ∞∞∞++===-⎡⎤=---=+-⎢⎥⎣⎦∑∑∑，11x -<<．45．12nn n n ∞=-⎛⎫ ⎪⎝⎭∑是敛散性为________的级数． 【答案】发散 【解析】(2)2222lim lim 10n n n n n e n n -⋅--→∞→∞-⎛⎫⎛⎫=-=≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，级数发散．三、计算题（每小题5 分，共40 分）46．求252222lim 3x x x x +→∞⎛⎫+ ⎪-⎝⎭． 【答案】52e【解析】222225535552225232222255lim lim 1lim 1333x x x x x x x x x e x x x ++-+⋅⋅-→∞→∞→∞⎛⎫+⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭．47．2400lim x x x →⎰． 【答案】【解析】24300lim 2x x x x x →→→===⎰．48．已知lnsin(12)y x =-，求dy dx ． 【答案】2cot(12)x -- 【解析】lnsin(12)1cos(12)(2)2cot(12)sin(12)dy d x x x dx dx x -==⋅-⋅-=---．49．计算arctan x xdx ⎰．【答案】 【解析】2221111arctan arctan arctan 12221x xdx xdx x x dx x ⎛⎫==-- ⎪+⎝⎭⎰⎰⎰ 22111arctan (arctan )(arctan arctan )222x x x x C x x x x C =--+=-++．50．求函数cos()x z e x y =+的全微分．【答案】[]cos()sin()sin()x x e x y x y dx e x y dy +-+-+ 【解析】cos()sin()x x z e x y e x y x∂=+-+∂，sin()x z e x y y ∂=-+∂，故 []cos()sin()sin()x x z z dz dx dy e x y x y dx e x y dy x y∂∂=+=+-+-+∂∂．51． 计算2D x d y σ⎰⎰，其中D 为由2y =，y x =，1xy =所围成的区域． 【答案】1724【解析】根据积分区域的特征，应在直角坐标系下计算积分，且积分次序为先积x 后积y ，交点坐标为(2,2)，(1,1)，1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭，故222122221111117224y y Dx x d dy dx y dy y y y y σ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰．52．求微分方程sin cos x y y x e -'+=满足初始条件(0)1y =-的特解．【答案】sin (1)x y e x -=-【解析】()cos P x x =，sin ()x Q x e -=，则通解为cos cos sin sin ()xdx xdx x x y e e e dx C e x C ---⎛⎫⎰⎰=⋅+=+ ⎪⎝⎭⎰， 又(0)1y =-，所以1C =-，特解为sin (1)x y e x -=-．53．求级数031nn n x n ∞=+∑的收敛半径与收敛区间（考虑端点）． 【答案】11,33⎡⎫-⎪⎢⎣⎭【解析】1131lim lim 323n n n n n na n a n ρ++→∞→∞+==⋅=+，收敛半径113R ρ==． 当13x =时，级数为011n n ∞=+∑，该级数发散；当13x =-时，级数为0(1)1n n n ∞=-+∑，该级数收敛， 故收敛域为11,33⎡⎫-⎪⎢⎣⎭．四、应用题 （每小题7 分，共 14 分）54．过曲线2y x =上一点(1,1)M ，作切线L ，D 是由曲线2y x =，切线L 及x 轴所围成的平面图形．求：（1）平面图形D 的面积；（2）平面图形D 绕x 轴旋转一周所生成的旋转体的体积．【答案】（1）112 （2）30π【解析】（1）曲线2y x =在(1,1)M 处的切线斜率为2，过M 点的切线方程为21y x =-，切线与x 轴的交点为1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭，则平面图形D 的面积 123100111111223412A x dx x =-⋅⋅=-=⎰． （2）平面图形D 绕x 轴旋转一周所生成的旋转体的体积为12225100111()1325630V x dx x πππππ=-⋅⋅⋅=⋅-=⎰．55．一块铁皮宽24厘米，把它的两边折上去，做成一个正截面为等腰梯形的槽（图略），要使等腰梯形的面积A 最大，求腰长x 和它对底边的倾斜角α．【答案】【解析】由题意知梯形的上、下底分别为2422cos x x α-+，242(0,0)x x α->>． 故221(2422cos 242)sin 24sin 2sin sin cos 2A x x x x x x x αααααα=-++-⋅=-+， 24sin 4sin 2sin cos A x x xαααα∂=-+∂， 222224cos 2cos (cos sin )A x x x ααααα∂=-+-∂， 令0A x∂=∂，0A α∂=∂，联立解得，在定义域内唯一驻点8x =，3πα=， 故当3πα=，8x cm =时正截面面积A 最大．五、证明题 （6 分）56．证明方程0ln x x e π=-⎰在区间3(,)e e 内仅有一个实根．【解析】令0()ln x f x x e π=-+⎰，显然()f x 在3,e e ⎡⎤⎣⎦上连续，且0()0f e ==⎰，3220()360f e e e π=-+<-<⎰，由零点定理得，在3(,)e e 内至少存在一个ξ，使得()=0f ξ． 又11()f x x e'=-，在3(,)e e 内()<0f x '，所以在内单调减少．综上所述，方程0ln x x e =-⎰在区间3(,)e e 内仅有一个实根．。

2008年成人高考专升本高等数学真题高效节能热泵热水器惠民工程推广实施细则(简稿)
一、推广产品范围及要求
（一）推广产品为电动机驱动，采用蒸气压缩制冷循环，
以空气为热源，以提供热水为目的的热水器（机）。

低温型
空气源热泵热水器（机）暂不纳入推广范围。

（二）申请推广的产品必须满足以下要求：
1、静态加热式空气源热泵热水器（机）性能系数 COP
达到3.4 W/W 及以上；一次加热式和循环加热式空气源热泵热水器（机）性能系数COP 达到3.7W/W 及以上；
2. 通过国家认可的第三方机构能效检测；
3．在中国大陆境内生产和使用；
4．在近三年内国家产品质量监督抽查市场专项检查公
告中，该品牌的空气源热泵热水器（机）无不合格。

二、推广企业条件
（一）申请高效节能空气源热泵热水器（机）推广的生
产企业必须满足以下条件：
1．为中国大陆境内注册的独立法人；
2．年推广高效节能热泵热水器（机）数量不少于 1 万
感谢您的阅读，祝您工作顺利，生活愉快!。

2008年全国成人高考专升本高等数学（一）、高等数学（二）试卷以教育部考试中心颁布的《全国各类成人高等学校招生复习考试大纲》为依据，充分考虑到成人考生不同学习背景的实际情况与成人考生的基本特点，力求贯彻《复习考试大纲》的思想与原则，与前两年试卷相比较，体现出较好地延续性和稳定性。

试卷的题型结构没有变化，仍然是选择题10个小题，共40分，填空题10个小题，共40分，解答题8个小题，共70分。

试卷的知识内容结构基本合理，知识点的分布相对均匀，重点考查高等数学中的基础知识、基本理论、基本技能和基本方法，兼顾考查各种能力，特别是考查考生运用所学过的数学知识和方法，分析问题与解决问题的能力。

试卷适当程度地降低了难度，可以说，2008年成人高考专升本高等数学（一）、（二）的考试实际上是一种达标性质的水平测试，即考查考生是否具有从专科教育毕业后进一步接受本科教育时，应当具备的基本数学知识与数学能力。

试卷主要特点如下：一、试卷知识内容比例基本上与《复习考试大纲》相吻合高等数学（一）：极限和连续：共3个小题，计12分，占总分值8%，大纲规定约13%；一元函数微分学：共9个小题，计50分，占总分值33.3%，大纲规定约25%；一元函数积分学：共6个小题，计32分，占总分值21.3%，大纲规定约25%；多元函数微积分学：共6个小题，计30分，占总分值20%，大纲规定约20%；无穷级数：共1个小题，计10分，占总分值6.7%，大纲规定约7%；常微分方程：共3个小题，计16分，占总分值10.7%，大纲规定约10%.高等数学（二）：极限和连续：共4个小题，计20分，占总分值13.3%，大纲规定约15%；一元函数微分学：共10个小题，计56分，占总分值37.3%，大纲规定约30%；一元函数积分学：共7个小题，计38分，占总分值25.3%，大纲规定约32%；多元函数微分学：共5个小题，计24分，占总分值16%，大纲规定约15%；概率论初步：共2个小题，计12分，占总分值8%，大纲规定约8%.二、强调基础，突出主线试卷强调考查高等数学中的基础知识、基本理论、基本技能和基本方法，试题所涉及到的都是高等数学中最基本的、最主要的、最突出的知识点，是学完高等数学必须掌握而且极易掌握的知识点。