Kllmck高一数学典型例题分析：同角三角函数的基本关系式

专题47 同角三角函数的基本关系1．平方关系(1)公式：sin 2α＋cos 2α＝1.(2)语言叙述：同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1.2．商数关系(1)公式：sin αcos α＝tan_α(α≠k π＋π2，k ∈Z)．(2)语言叙述：同一个角α的正弦、余弦的商等于角α的正切．3．同角三角函数的基本关系式的变形形式(1)平方关系变形：sin 2α＝1－cos 2α，cos 2α＝1－sin 2α. (2)商的变形：sin α＝tan αcos α，cos α＝sin αtan α.题型一 直接应用同角三角函数关系求值1．若cos α＝35，且α为第四象限角，则tan α＝________.[解析]因为α为第四象限角，且cos α＝35，所以sin α＝－1－cos 2α＝－1－⎝⎛⎭⎫352＝－45，所以tan α＝sin αcos α＝－43. 2．已知α是第四象限角，cos α＝1213，则sin α等于[解析] ∵sin 2θ＋cos 2θ＝1，∴sin 2θ＝1－cos 2θ＝1－144169＝25169，又∵α是第四象限角，∴sin α<0，即sin θ＝－513.3．已知α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，tan α＝2，则cos α＝________. [解析]由已知得⎩⎪⎨⎪⎧sin αcos α＝2，①sin 2α＋cos 2α＝1，②由①得sin α＝2cos α代入②得4cos 2α＋cos 2α＝1，所以cos 2α＝15，又α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，所以cos α＜0，所以cos α＝－55. 4．已知α是第二象限角，tan α＝－12，则cos α＝________.[解析]因为sin αcos α＝－12，且sin 2α＋cos 2α＝1，又因为α是第二象限角，所以cos α＜0，所以cos α＝－255.5．若α是第四象限角，tan α＝－512，则sin α等于[解析] 因为α是第四象限角，tan α＝－512，所以sin αcos α＝－512.又sin 2α＋cos 2α＝1.所以sin α＝－513.6．已知α是第二象限角，且cos α＝－1213，则tan α的值是[解析]因为α为第二象限角，所以sin α＝1－cos 2α＝1－⎝⎛⎭⎫－12132＝513， 所以tan α＝sin αcos α＝513－1213＝－512.7．已知α是第二象限角，且tan α＝－724，则cos α＝________.[解析]因为α是第二象限角，故sin α＞0，cos α＜0，又tan α＝－724，所以sin αcos α＝－724，又sin 2α＋cos 2α＝1，解得cos α＝－2425.8．已知sin α＝－13，且α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，则tan α＝ [解析]由α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，得cos α<0，又sin α＝－13，所以cos α＝－1－⎝⎛⎭⎫－132＝－223， 所以tan α＝sin αcos α＝24.9．已知cos α＝－45，求sin α和tan α.[解析] sin 2α＝1－cos 2α＝1－⎝⎛⎭⎫－452＝⎝⎛⎭⎫352，因为cos α＝－45<0，所以α是第二或第三象限角， 当α是第二象限角时，sin α＝35，tan α＝sin αcos α＝－34；当α是第三象限角时，sin α＝－35，tan α＝sin αcos α＝34.10．已知cos α＝－817，求sin α，tan α的值．[解析] ∵cos α＝－817＜0，∴α是第二或第三象限的角．如果α是第二象限角，那么sin α＝1－cos 2α＝1－⎝⎛⎭⎫－8172＝1517，tan α＝sin αcos α＝1517－817＝－158. 如果α是第三象限角，同理可得sin α＝－1－cos 2α＝－1517，tan α＝158.11．已知sin α＝1213，并且α是第二象限角，求cos α和tan α.[解析]cos 2α＝1－sin 2α＝1－⎝⎛⎭⎫12132＝⎝⎛⎭⎫5132，又α是第二象限角， 所以cos α<0，cos α＝－513，tan α＝sin αcos α＝－125.12．若cos α＝23，则tan αsin α＝( )[解析] 由cos α＝23得|sin α|＝53，所以tan αsin α＝sin 2αcos α＝59×32＝56.13．已知sin θ＝1213，且sin θ－cos θ>1，则tan θ等于________．[解析]因为sin θ－cos θ>1，所以cos θ<0，所以cos θ＝－1－sin 2θ＝－513，所以tan θ＝sin θcos θ＝－125.14．已知sin θ＝m －3m ＋5，cos θ＝4－2mm ＋5，则m 的值为________．[解析]因为sin 2θ＋cos 2θ＝1，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫m －3m ＋52＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4－2m m ＋52＝1.整理得m 2－8m ＝0，解得m ＝0或8.15．已知sin α＋3cos α＝0，求sin α，cos α的值．[解析]∵sin α＋3cos α＝0，∴sin α＝－3cos α.又sin 2α＋cos 2α＝1，∴(－3cos α)2＋cos 2α＝1， 即10cos 2α＝1，∴cos α＝±1010.又由sin α＝－3cos α，可知sin α与cos α异号， ∴角α的终边在第二或第四象限． 当角α的终边在第二象限时，cos α＝－1010，sin α＝31010； 当角α的终边在第四象限时，cos α＝1010，sin α＝－31010. 16．已知α是第三象限角，且sin α＝－13，则3cos α＋4tan α＝[解析]因为α是第三象限角，且sin α＝－13，所以cos α＝－1－sin 2α＝－1－⎝⎛⎭⎫－132＝－223，所以tan α＝sin αcos α＝122＝24， 所以3cos α＋4tan α＝－22＋2＝－ 2.17．若sin A ＝45，且A 是三角形的一个内角，则5sin A ＋815cos A －7＝________.[解析]∵sin A ＝45>0，∴A 为锐角或钝角．当A 为锐角时，cos A ＝1－sin 2A ＝35，∴原式＝6.当A 为钝角时，cos A ＝－1－sin 2A ＝－35，∴原式＝5×45＋815×⎝⎛⎭⎫－35－7＝－34.18．在△ABC 中，2sin A ＝3cos A ，则角A ＝[解析]由题意知cos A ＞0，即A 为锐角．将2sin A ＝3cos A 两边平方得2sin 2A ＝3cos A ， ∴2cos 2A ＋3cos A －2＝0，解得cos A ＝12或cos A ＝－2(舍去)．∴A ＝π3.19．已知sin x ＋cos x ＝3－12，x ∈(0，π)，则tan x ＝ [解析]∵sin x ＋cos x ＝3－12，且x ∈(0，π)，∴1＋2sin x cos x ＝1－32，∴2sin x cos x ＝－32<0，∴x 为钝角，∴sin x －cos x ＝(sin x －cos x )2＝1＋32，结合已知解得sin x ＝32，cos x ＝－12，则tan x ＝sin xcos x ＝－ 3.20．若1＋cos αsin α＝3，则cos α－2sin α等于[解析] 若1＋cos αsin α＝3，则1＋cos α＝3sin α，又sin 2α＋cos 2α＝1，所以sin α＝35，cos α＝3sin α－1＝45，所以cos α－2sin α＝－25.21．已知cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝13，0<α<π2，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝________. [解析]∵0<α<π2，∴π4<α＋π4<3π4，∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4>0，∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝ 1－⎝⎛⎭⎫132＝223.题型二 灵活应用同角三角函数关系式求值(齐次式)1．已知sin α＋cos αsin α－cos α＝2，计算下列各式的值．①3sin α－cos α2sin α＋3cos α；②sin 2α－2sin α·cos α－cos 2α4cos 2α－3sin 2α；③sin2α－2sin αcos α＋1;④34sin 2α＋12cos 2α. [解析] 由sin α＋cos αsin α－cos α＝2，化简，得sin α＝3cos α，所以tan α＝3.①法一(换元)原式＝3×3cos α－cos α2×3cos α＋3cos α＝8cos α9cos α＝89.法二(弦化切)原式＝3tan α－12tan α＋3＝3×3－12×3＋3＝89.②原式＝tan 2α－2tan α－14－3tan 2α＝9－2×3－14－3×32＝－223.③原式＝sin 2α－2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＋1＝tan 2α－2tan αtan 2α＋1＋1＝32－2×332＋1＋1＝1310. ④原式＝34sin 2α＋12cos 2αsin 2α＋cos 2α＝34tan 2α＋12tan 2α＋1＝34×9＋129＋1＝2940.2．已知tan αtan α－1＝－1，求下列各式的值：(1)sin α－3cos αsin α＋cos α；(2)sin 2α＋sin αcos α＋2. [解析]因为tan αtan α－1＝－1，所以tan α＝12.(1)原式＝tan α－3tan α＋1＝－53.(2)原式＝sin 2α＋sin αcos αsin 2α＋cos 2α＋2＝tan 2α＋tan αtan 2α＋1＋2＝14＋1214＋1＋2＝135.3．已知tan α＝－12，则2sin αcos αsin 2α－cos 2α的值是[解析]因为tan α＝－12，所以2sin αcos αsin 2α－cos 2α＝2tan αtan 2α－1＝2×⎝⎛⎭⎫－12⎝⎛⎭⎫－122－1＝43.4．若2sin α＋cos α3sin α－2cos α＝1，则tan α的值为________．[解析]2sin α＋cos α3sin α－2cos α＝1化为2tan α＋13tan α－2＝1，所以2tan α＋1＝3tan α－2，所以tan α＝3.5．已知sin α－2cos α3sin α＋5cos α＝－5，那么tan α＝________．[解析]易知cos α≠0，由sin α－2cos α3sin α＋5cos α＝－5，得tan α－23tan α＋5＝－5，解得tan α＝－2316.6．已知sin α＋2cos α5cos α－sin α＝516，则tan α＝____________．[解析]由sin α＋2cos α5cos α－sin α＝516，得tan α＋25－tan α＝516，解之得tan α＝－13.7．已知sin α＋cos αsin α－cos α＝2，则3sin α－cos α2sin α＋3cos α＝________．[解析]由sin α＋cos αsin α－cos α＝2，化简得sin α＝3cos α，所以tan α＝3.原式＝3tan α－12tan α＋3＝89.8．已知tan 2α1＋2tan α＝13，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，求sin α＋2cos α5cos α－sin α的值． [解析]∵tan 2α1＋2tan α＝13，∴3tan 2α－2tan α－1＝0.即(3tan α＋1)(tan α－1)＝0，∴tan α＝－13或tan α＝1.∵α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴tan α<0，∴tan α＝－13，∴sin α＋2cos α5cos α－sin α＝tan α＋25－tan α＝516. 9．若tan θ＝－2，求sin θcos θ.[解析]∵sin θcos θ＝sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝sin θcos θcos 2θsin 2θ＋cos 2θcos 2θ＝tan θtan 2θ＋1，而tan θ＝－2，∴原式＝－2(－2)2＋1＝－25.10．已知tan α＝2，则4sin 2α－3sin αcos α－5cos 2α＝________. [解析]4sin 2α－3sin αcos α－5cos 2α＝4sin 2α－3sin αcos α－5cos 2αsin 2α＋cos 2α＝4tan 2α－3tan α－5tan 2α＋1＝4×4－3×2－54＋1＝55＝1. 11．已知sin α＋2cos α＝0，求2sin αcos α－cos 2α的值． [解析]由sin α＋2cos α＝0，得tan α＝－2.所以2sin αcos α－cos 2α＝2sin αcos α－cos 2αsin 2α＋cos 2α＝2tan α－1tan 2α＋1＝－4－14＋1＝－1.12．如果tan θ＝2，那么1＋sin θcos θ＝[解析]1＋sin θcos θ＝1＋sin θcos θ1＝sin 2θ＋cos 2θ＋sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝tan 2θ＋tan θ＋1tan 2θ＋1，又tan θ＝2，所以1＋sin θcos θ＝22＋2＋122＋1＝75.13．若tan α＋1tan α＝3，则sin αcos α＝________． [解析]因为tan α＋1tan α＝3，所以sin αcos α＋cos αsin α＝3，即sin 2α＋cos 2αsin αcos α＝3，所以sin αcos α＝13.14．已知sin α＋cos α＝713，α∈(0，π)，则tan α＝________.[解析]法一：(构建方程组)因为sin α＋cos α＝713，①，所以sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos α＝49169，即2sin αcos α＝－120169.因为α∈(0，π)，所以sin α＞0，cos α＜0.所以sin α－cos α＝(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1713.②由①②解得sin α＝1213，cos α＝－513，所以tan α＝sin αcos α＝－125.法二：(弦化切)同法一求出sin αcos α＝－60169，sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝－60169，tan αtan 2α＋1＝－60169，整理得60tan 2α＋169tan α＋60＝0，解得tan α＝－512或tan α＝－125.由sin α＋cos α＝713＞0知|sin α|＞|cos α|，故tan α＝－125.15．已知sin α－cos α＝－52，则tan α＋1tan α的值为 [解析]tan α＋1tan α＝sin αcos α＋cos αsin α＝1sin αcos α.∵sin αcos α＝1－(sin α－cos α)22＝－18，∴tan α＋1tan α＝－8.16．已知cos α＋2sin α＝－5，则tan α＝________.[解析]由⎩⎨⎧cos α＋2sin α＝－5，sin 2α＋cos 2α＝1，得(5sin α＋2)2＝0， ∴sin α＝－255，cos α＝－55，∴tan α＝2.题型三 sin α±cos α与sin αcos α关系的应用1．已知sin α＋cos α＝15，α∈(0，π)，求：(1)sin αcos α；(2)sin α－cos α；(3)sin 3α＋cos 3α.[解析] (1)由sin α＋cos α＝15，平方得2sin αcos α＝－2425，∴sin αcos α＝－1225.(2)∵(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1＋2425＝4925，∴sin α－cos α＝±75.又由(1)知sin αcos α<0，∴α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴sin α>0，cos α<0，∴sin α－cos α＝75. (3)∵sin 3α＋cos 3α＝(sin α＋cos α)(sin 2α－sin αcos α＋cos 2α)＝(sin α＋cos α)(1－sin αcos α)， 由(1)知sin αcos α＝－1225，且sin α＋cos α＝15，∴sin 3α＋cos 3α＝15×⎝⎛⎭⎫1＋1225＝15×3725＝37125.2．已知0<θ<π，且sin θ－cos θ＝15，求sin θ＋cos θ，tan θ的值．[解析]∵sin θ－cos θ＝15，∴(sin θ－cos θ)2＝125，解得sin θcos θ＝1225.∵0<θ<π，且sin θcos θ＝1225>0，∴sin θ>0，cos θ>0.∴sin θ＋cos θ＝(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝ 1＋2425＝75. 由⎩⎨⎧sin θ－cos θ＝15，sin θ＋cos θ＝75，得⎩⎨⎧sin θ＝45，cos θ＝35，∴tan θ＝sin θcos θ＝43.3．已知sin α·cos α＝18，且π4<α<π2，则cos α－sin α的值为[解析] (cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝34，因为π4<α<π2，所以sin α>cos α，所以cos α－sin α＝－32.4．若△ABC 的内角A 满足sin A cos A ＝13，则sin A ＋cos A 的值为[解析]因为A 为△ABC 的内角，且sin A cos A ＝13＞0，所以A 为锐角，所以sin A ＋cos A ＞0.又1＋2sin A cos A ＝1＋23，即(sin A ＋cos A )2＝53，所以sin A ＋cos A ＝153.5．已知sin θ＋cos θ＝43⎝⎛⎭⎫0<θ≤π4，则sin θ－cos θ＝ [解析]由(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝169，得2sin θcos θ＝79，则(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝29，由0<θ≤π4，知sin θ－cos θ≤0，所以sin θ－cos θ＝－23.6．已知在△ABC 中，sin A ＋cos A ＝15.(1)判断△ABC 是锐角三角形还是钝角三角形；(2)求tan A 的值．[解析] (1)由sin A ＋cos A ＝15两边平方，得1＋2sin A ·cos A ＝125，所以sin A ·cos A ＝－1225<0.因为0<A <π，⎩⎨⎧sin A >0cos A <0，所以A 为钝角，所以△ABC 是钝角三角形．(2)因为sin A ·cos A ＝－1225，所以(sin A －cos A )2＝1－2sin A ·cos A ＝1＋2425＝4925.又因为sin A >0，cos A <0，所以sin A －cos A >0，所以sin A －cos A ＝75.又因为sin A ＋cos A ＝15，所以sin A ＝45，cos A ＝－35，所以tan A ＝－43.7．已知sin θ＋cos θ＝－105，求： (1)1sin θ＋1cos θ的值；(2)tan θ的值． [解析] (1)因为sin θ＋cos θ＝－105，所以1＋2sin θcos θ＝25，即sin θcos θ＝－310， 所以1sin θ＋1cos θ＝cos θ＋sin θsin θcos θ＝2103.(2)由(1)，得sin 2θ＋cos 2θsin θcos θ＝－103，所以tan 2θ＋1tan θ＝－103，即3tan 2θ＋10tan θ＋3＝0，所以tan θ＝－3或tan θ＝－13.8．已知sin θ＋cos θ＝15，且0<θ<π.(1)求tan θ的值；(2)求sin 2 θcos 2 θ－2sin θcos θ的值．[解析] (1)因为sin θ＋cos θ＝15，①，所以(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝125，所以2sin θcos θ＝－2425<0，因为θ∈(0，π)，所以sin θ>0，cos θ<0，所以sin θ－cos θ>0，所以(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝4925，所以sin θ－cos θ＝75，②由①②得，sin θ＝45，cos θ＝－35，所以tan θ＝sin θcos θ＝－43.(2)法一：由(1)知sin θ＝45，cos θ＝－35，所以sin 2θcos 2 θ－2sin θcos θ＝⎝⎛⎭⎫452⎝⎛⎭⎫－352－2×45×⎝⎛⎭⎫－35＝1633.法二：由(1)得tan θ＝－43，所以原式＝tan 2 θ1－2tan θ＝⎝⎛⎭⎫－4321－2×⎝⎛⎭⎫－43＝1633.9．设α是第三象限角，问是否存在实数m ，使得sin α，cos α是关于x 的方程8x 2＋6mx ＋2m ＋1＝0的两个根？若存在，求出实数m ；若不存在，请说明理由．[解析]假设存在实数m 满足条件，由题设得，Δ＝36m 2－32(2m ＋1)≥0，① 因为sin α<0，cos α<0，所以sin α＋cos α＝－34m <0②，sin αcos α＝2m ＋18>0③.又sin 2α＋cos 2α＝1，所以(sin α＋cos α)2－2sin αcos α＝1. 把②③代入上式得⎝⎛⎭⎫－34m 2－2×2m ＋18＝1， 即9m 2－8m －20＝0，解得m 1＝2，m 2＝－109.因为m 1＝2不满足条件①，舍去；因为m 2＝－109不满足条件③，舍去．故满足题意的实数m 不存在．题型四 应用同角三角函数关系式化简1．化简1－sin 23π5的结果是( )A ．cos 3π5B ．sin 3π5C ．－cos 3π5D ．－sin 3π5[解析]因为3π5是第二象限角，所以cos 3π5＜0，所以1－sin 23π5＝cos 23π5＝⎪⎪⎪⎪cos 3π5＝－cos 3π5. 2．如果α是第二象限的角，下列各式中成立的是( )A ．tan α＝－sin αcos α B ．cos α＝－1－sin 2 αC ．sin α＝－1－cos 2 αD ．tan α＝cos αsin α[解析]由商数关系可知A ，D 均不正确．当α为第二象限角时，cos α＜0，s i n α＞0，故B 正确． 3．化简2sin 2α－11－2cos 2α＝________.[解析]原式＝2sin 2α－11－2(1－sin 2α)＝2sin 2α－12sin 2α－1＝1.4．化简⎝⎛⎭⎫1sin α＋1tan α(1－cos α)的结果是( )A ．sin αB ．cos αC ．1＋sin αD ．1＋cos α[解析]⎝⎛⎭⎫1sin α＋1tan α(1－cos α)＝⎝⎛⎭⎫1sin α＋cos αsin α(1－cos α)＝1－cos 2αsin α＝sin 2αsin α＝sin α.[答案] A5．化简sin 760°1－cos 2 40°；[解析]sin 760°1－cos 2 40°＝sin （2×360°＋40°）sin 2 40°＝sin 40°|sin 40°|＝sin 40°sin 40°＝1. 6．化简：1－2sin130°cos130°sin130°＋1－sin 2130°；[解析]原式＝sin 2130°－2sin130°cos130°＋cos 2130°sin130°＋cos 2130°＝|sin130°－cos130°|sin130°＋|cos130°|＝sin130°－cos130°sin130°－cos130°＝1.7．若角α的终边在直线x ＋y ＝0上，则sin α1－cos 2α＋1－sin 2αcos α＝________．[解析]因为sin α1－cos 2α＋1－sin 2αcos α＝sin α|sin α|＋|cos α|cos α，又角α的终边落在x ＋y ＝0上，故角α的终边在第二、四象限，当α在第二象限时，原式＝sin αsin α＋－cos αcos α＝0，当α在第四象限时，原式＝sin α－sin α＋cos αcos α＝0.综上所述，原式＝0.8．化简sin 2α－sin 4α，其中α是第二象限角．[解析] 因为α是第二象限角，所以sin α＞0，cos α＜0，所以sin αcos α＜0， 所以sin 2α－sin 4α＝sin 2α(1－sin 2α)＝sin 2αcos 2α＝－sin αcos α. 9．化简sin 2α＋cos 4α＋sin 2αcos 2α的结果是 [解析] 原式＝sin 2α＋cos 2α(cos 2α＋sin 2α)＝sin 2α＋cos 2α＝1. 10．化简：sin 2α＋sin 2β－sin 2αsin 2β＋cos 2αcos 2β.[解析]原式＝sin 2α(1－sin 2β)＋sin 2β＋cos 2αcos 2β＝sin 2αcos 2β＋cos 2αcos 2β＋sin 2β＝(sin 2α＋cos 2α)cos 2β＋sin 2β＝1. 11．已知sin α＝55，则sin 4α－cos 4α的值为 [解析]sin 4α－cos 4α＝(sin 2α＋cos 2α)(sin 2α－cos 2α)＝sin 2α－cos 2α＝2sin 2α－1＝－35.12．若sin α＋sin 2α＝1，则cos 2α＋cos 4α等于[解析]∵cos 2α＋cos 4α＝cos 2α(1＋cos 2α)＝(1－sin 2α)(1－sin 2α＋1)∵sin α＋sin 2α＝1，∴1－sin 2α＝sin α ∴原式＝sin α·(sin α＋1)＝sin 2α＋sin α＝1. 13．化简1－2sin1cos1的结果为( )A ．sin1－cos1B ．cos1－sin1C ．sin1＋cos1D ．－sin1－cos1[解析]易知sin1>cos1，所以1－2sin1cos1＝(sin1－cos1)2＝sin1－cos1.故选A.14．⎝⎛⎭⎫tan x ＋1tan x cos 2x 等于( ) A ．tan xB ．sin xC ．cos xD.1tan x[解析]原式＝⎝⎛⎭⎫sin x cos x ＋cos x sin x ·cos 2x ＝sin 2x ＋cos 2x sin x cos x ·cos 2x ＝1sin x cos x ·cos 2x ＝cos x sin x ＝1tan x . 15．化简：sin 2αtan α＋cos 2αtan α＋2sin αcos α.[解析]原式＝sin 2α·sin αcos α＋cos 2α·cos αsin α＋2sin αcos α＝sin 4α＋cos 4α＋2sin 2αcos 2αcos αsin α＝（sin 2α＋cos 2α）2sin αcos α＝1sin αcos α.16．已知θ是第三象限角，且sin 4θ＋cos 4θ＝59，则sin θcos θ的值为[解析]由sin 4θ＋cos 4θ＝59，得(sin 2θ＋cos 2θ)2－2sin 2θcos 2θ＝59，所以sin 2θcos 2θ＝29.因为θ是第三象限角，所以sin θ<0，cos θ<0，所以sin θcos θ＝23. 17．已知f (tan x )＝1cos 2x，则f (－3)＝________. [解析]因为f (tan x )＝1cos 2x ＝sin 2x ＋cos 2x cos 2x ＝tan 2x ＋1，所以f (x )＝x 2＋1，所以f (－3)＝4.18．若π2<α<π，化简cos α1－cos 2α＋sin α1－sin 2α1－cos 2α.[解析]因为π2<α<π，所以cos α＝－1－sin 2α，sin α＝1－cos 2α，所以原式＝cos αsin α＋sin α（－cos α）1－cos 2α＝cos αsin α－sin αcos αsin 2α＝cos αsin α－cos αsin α＝0.19．化简11＋tan 220°的结果是________．[解析]11＋tan 220°＝11＋sin 220°cos 220°＝1cos 220°＋sin 220°cos 220°＝11cos 220°＝|cos 20°|＝cos 20°.] 20．化简：1cos 2α1＋tan 2α－1＋sin α1－sin α(α为第二象限角)．[解析]∵α是第二象限角，∴cos α<0. 则原式＝1cos 2α·1＋sin2αcos 2α－(1＋sin α)21－sin 2α＝1cos 2α·cos 2αcos 2α＋sin 2α－1＋sin α|cos α|＝－cos αcos 2α＋1＋sin αcos α＝－1＋1＋sin αcos α＝sin αcos α＝tan α.21．化简sin α1－cos α·tan α－sin αtan α＋sin α.(其中α是第三象限角)[解析]原式＝sin α1－cos α·sin αcos α－sin αsin αcos α＋sin α＝sin α1－cos α·1－cos α1＋cos α＝sin α1－cos α·(1－cos α)21－cos 2α＝sin α1－cos α·1－cos α|sin α|.又因为α是第三象限角，所以sin α＜0.所以原式＝sin α1－cos α·1－cos α－sin α＝－1.22．1－2sin 10°cos 10°sin 10°－1－sin 210°的值为( )A ．1B ．－1C ．sin 10°D ．cos 10°[解析] [1－2sin 10°cos 10°sin 10°－1－sin 210°＝(cos 10°－sin 10°)2sin 10°－cos 210°＝|cos 10°－sin 10°|sin 10°－cos 10°＝cos 10°－sin 10°sin 10°－cos 10°＝－1.23．化简tan α1sin 2α－1，其中α是第二象限角． [解析]因为α是第二象限角，所以sin α＞0，cos α＜0. 故tan α1sin 2α－1＝tan α1－sin 2αsin 2α＝tan αcos 2αsin 2α＝sin αcos α⎪⎪⎪⎪cos αsin α＝sin αcos α·－cos αsin α＝－1. 24．化简下列各式：(1)sin α1＋sin α－sin α1－sin α；(2)⎝⎛⎭⎫1sin α＋1tan α(1－cos α)． [解析] (1)原式＝sin α(1－sin α)－sin α(1＋sin α)(1＋sin α)(1－sin α)＝－2sin 2α1－sin 2α＝－2sin 2αcos 2α＝－2tan 2α.(2)原式＝⎝⎛⎭⎫1sin α＋cos αsin α(1－cos α)＝1＋cos αsin α(1－cos α)＝sin 2αsin α＝sin α. 25．已知sin θ，cos θ是方程2x 2－mx ＋1＝0的两根，则sin θ1－1tan θ＋cos θ1－tan θ＝________.[解析]sin θ1－1tan θ＋cos θ1－tan θ＝sin θ1－cos θsin θ＋cos θ1－sin θcos θ＝sin 2θsin θ－cos θ＋cos 2θcos θ－sin θ＝sin 2θ－cos 2θsin θ－cos θ＝sin θ＋cos θ，又因为sin θ，cos θ是方程2x 2－mx ＋1＝0的两根，所以由根与系数的关系得sin θcos θ＝12，则(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝2，所以sin θ＋cos θ＝±2.26．化简1－cos 4α－sin 4α1－cos 6α－sin 6α.[解析]解法一：原式＝(cos 2α＋sin 2α)2－cos 4α－sin 4α(cos 2α＋sin 2α)3－cos 6α－sin 6α＝2cos 2αsin 2α3cos 2αsin 2α(cos 2α＋sin 2α)＝23.解法二：原式＝1－(cos 4α＋sin 4α)1－(cos 6α＋sin 6α)＝1－[(cos 2α＋sin 2α)2－2sin 2αcos 2α]1－(cos 2α＋sin 2α)(cos 4α－cos 2αsin 2α＋sin 4α)＝1－1＋2cos 2αsin 2α1－[(cos 2α＋sin 2α)2－3cos 2αsin 2α]＝2cos 2αsin 2α3cos 2αsin 2α＝23. 解法三：原式＝(1－cos 2α)(1＋cos 2α)－sin 4α(1－cos 2α)(1＋cos 2α＋cos 4α)－sin 6α＝sin 2α(1＋cos 2α－sin 2α)sin 2α(1＋cos 2α＋cos 4α－sin 4α)＝2cos 2α1＋cos 2α＋cos 2α－sin 2α＝2cos 2α3cos 2α＝23. 27．化简：(1)sin α1－cos α·tan α－sin αtan α＋sin α；(2)(1－tan θ)cos 2θ＋⎝⎛⎭⎫1＋1tan θsin 2θ.[解析] (1)原式＝sin α1－cos α·sin αcos α－sin αsin αcos α＋sin α＝sin α1－cos α·1－cos α1＋cos α＝sin α1－cos α·(1－cos α)21－cos 2α＝sin α1－cos α·1－cos α|sin α|＝sin α|sin α|，当sin α>0时，原式＝1；当sin α<0时，原式＝－1.(2)原式＝cos θ－sin θcos θ·cos 2θ＋sin θ＋cos θsin θ·sin 2θ＝cos 2θ－sin θcos θ＋sin 2θ＋sin θcos θ＝cos 2θ＋sin 2θ＝1.28．已知α∈⎝⎛⎭⎫π4，3π4，且1＋2sin αcos α＋1－2sin αcos αcos α＝4，则sin α－cos α2sin α＋cos α＝________. [解析]∵1＋2sin αcos α＝(sin α＋cos α)2,1－2sin αcos α＝(sin α－cos α)2，∴1＋2sin αcos α＝|sin α＋cos α|， 1－2sin αcos α＝|sin α－cos α|.又∵α∈⎝⎛⎭⎫π4，3π4，∴sin α＋cos α＞0，sin α－cos α＞0. 由题意，得(sin α＋cos α)＋(sin α－cos α)cos α＝4，∴sin α＝2cos α.∴sin α－cos α2sin α＋cos α＝2cos α－cos α4cos α＋cos α＝15.29．化简： 1－2sin α2cos α2＋1＋2sin α2cos α2⎝⎛⎭⎫0＜α＜π2. [解析]原式＝⎝⎛⎭⎫cos α2－sin α22＋⎝⎛⎭⎫cos α2＋sin α22＝⎪⎪⎪⎪cos α2－sin α2＋⎪⎪⎪⎪cos α2＋sin α2.因为α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以α2∈⎝⎛⎭⎫0，π4.所以cos α2－sin α2＞0，sin α2＋cos α2＞0， 所以上式＝cos α2－sin α2＋cos α2＋sin α2＝2cos α2.30．若1＋sin θ·sin 2θ＋cos θ·cos 2θ＝0成立，则角θ不可能是 ( )A ．第二、三、四象限角B ．第一、二、三象限角C ．第一、二、四象限角D ．第一、三、四象限角[解析] 由于1＋sin θ·sin 2θ＋cos θcos 2θ＝0，且1－sin 2θ－cos 2θ＝0，所以sin θ≤0，cos θ≤0，故选C. 31．若β∈[0,2π)，且1－cos 2β＋1－sin 2β＝sin β－cos β，则β的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫0，π2B.⎣⎡⎦⎤π2，πC.⎣⎡⎦⎤π，3π2D.⎣⎡⎭⎫3π2，2π [解析]∵1－cos 2β＋1－sin 2β＝|sin β|＋|cos β|＝sin β－cos β，∴sin β≥0且cos β≤0.又∵β∈[0,2π)，∴β∈⎣⎡⎦⎤π2，π.故选B.32．已知sin α＝13，求1－2sin αcos α（2cos 2α－1）（1－tan α）的值．[解析]1－2sin αcos α（2cos 2α－1）（1－tan α）＝（sin α－cos α）2（2cos 2α－sin 2α－cos 2α）（1－tan α）＝（cos α－sin α）2（cos α＋sin α）（cos α－sin α）（1－tan α）＝cos α－sin α（cos α＋sin α）（1－tan α） ＝1－tan α（1＋tan α）（1－tan α）＝11＋tan α，当角α是第一象限角时，cos α＝223，tan α＝sin αcos α＝24，所以原式＝11＋24＝8－227；当角α是第二象限角时，cos α＝－223，tan α＝sin αcos α＝－24，所以原式＝11－24＝8＋227.33．已知关于x 的方程2x 2－(3＋1)x ＋m ＝0的两根为sin θ和cos θ，θ∈(0,2π)，求：(1)sin θ1－1tan θ＋cos θ1－tan θ的值；(2)m 的值；(3)方程的两根及θ的值．[解析] (1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＋cos θ＝3＋12，sin θcos θ＝m2，所以sin θ1－1tan θ＋cos θ1－tan θ＝sin 2θsin θ－cos θ＋cos 2θcos θ－sin θ＝sin 2θ－cos 2θsin θ－cos θ＝sin θ＋cos θ＝3＋12.(2)由(1)，知sin θ＋cos θ＝3＋12，将上式两边平方，得1＋2sin θcos θ＝2＋32，所以sin θcos θ＝34，由(1)，知m 2＝34，所以m ＝32. (3)由(2)可知原方程为2x 2－(3＋1)x ＋32＝0，解得x 1＝32，x 2＝12. 所以⎩⎨⎧sin θ＝32，cos θ＝12或⎩⎨⎧sin θ＝12，cos θ＝32.又θ∈(0,2π)，所以θ＝π3或π6.题型五 应用同角三角函数关系式证明1．下列等式中恒成立的个数为( )①sin 21＝1－cos 21；②sin 2α＋cos 2α＝sin 23＋cos 23；③sin α＝tan αcos α⎝⎛⎭⎫α≠π2＋k π，k ∈Z . A ．1 B ．2 C ．3D ．0[解析]①②③都正确，故选C. 2．求证：sin α1－cos α·cos αtan α1＋cos α＝1.[解析]sin α1－cos α·cos αtan α1＋cos α＝sin α1－cos α·cos α·sin αcos α1＋cos α＝sin α1－cos α·sin α1＋cos α＝sin 2α1－cos 2α＝sin 2αsin 2α＝1. 3．求证：1＋tan 2α＝1cos 2α.[解析]1＋tan 2α＝1＋sin 2αcos 2α＝cos 2α＋sin 2αcos 2α＝1cos 2α. 4．求证：sin α(1＋tan α)＋cos α·⎝⎛⎭⎫1＋1tan α＝1sin α＋1cos α. [解析]左边＝sin α⎝⎛⎭⎫1＋sin αcos α＋cos α⎝⎛⎭⎫1＋cos αsin α ＝sin α＋sin 2αcos α＋cos α＋cos 2αsin α＝sin 2α＋cos 2αsin α＋sin 2α＋cos 2αcos α＝1sin α＋1cos α＝右边．即原等式成立．5．求证：tan αsin αtan α－sin α＝tan α＋sin αtan αsin α.[解析]法一：(切化弦)左边＝sin 2αsin α－sin αcos α＝sin α1－cos α，右边＝sin α＋sin αcos αsin 2α＝1＋cos αsin α.因为sin 2α＝1－cos 2α＝(1＋cos α)(1－cos α)，所以sin α1－cos α＝1＋cos αsin α，所以左边＝右边．所以原等式成立．法二：(由右至左)因为右边＝tan 2α－sin 2α(tan α－sin α)tan αsin α＝tan 2α－tan 2αcos 2α(tan α－sin α)tan αsin α＝tan 2α(1－cos 2α)(tan α－sin α)tan αsin α＝tan 2αsin 2α(tan α－sin α)tan αsin α＝tan αsin αtan α－sin α＝左边，所以原等式成立． 6．求证：2sin x cos x －1cos 2x －sin 2x ＝tan x －1tan x ＋1.[解析]证法一：∵左边＝2sin x cos x －(sin 2x ＋cos 2x )cos 2x －sin 2x ＝－(sin 2x －2sin x cos x ＋cos 2x )cos 2x －sin 2x ＝(sin x －cos x )2sin 2x －cos 2x＝(sin x －cos x )2(sin x －cos x )(sin x ＋cos x )＝sin x －cos x sin x ＋cos x ＝tan x －1tan x ＋1＝右边．∴原式成立．证法二：∵右边＝sin xcos x－1sin x cos x＋1＝sin x －cos x sin x ＋cos x ；左边＝1－2sin x cos x sin 2x －cos 2x ＝(sin x －cos x )2sin 2x －cos 2x ＝(sin x －cos x )2(sin x －cos x )·(sin x ＋cos x )＝sin x －cos x sin x ＋cos x .∴左边＝右边，原式成立．7．求证：(1)sin α－cos α＋1sin α＋cos α－1＝1＋sin αcos α；(2)2(sin 6 θ＋cos 6 θ)－3(sin 4 θ＋cos 4 θ)＋1＝0.[解析] (1)左边＝(sin α－cos α＋1)(sin α＋cos α＋1)(sin α＋cos α－1)(sin α＋cos α＋1)＝(sin α＋1)2－cos 2 α(sin α＋cos α)2－1＝(sin 2 α＋2sin α＋1)－(1－sin 2 α)sin 2 α＋cos 2 α＋2sin αcos α－1＝2sin 2 α＋2sin α1＋2sin αcos α－1＝2sin α(sin α＋1)2sin αcos α＝1＋sin α cos α＝右边，∴原等式成立．(2)左边＝2[(s i n 2 θ)3＋(cos 2θ)3]－3(sin 4 θ＋cos 4 θ)＋1＝2(sin 2 θ＋cos 2 θ)(sin 4 θ－sin 2 θcos 2 θ＋cos 4 θ)－3(sin 4 θ＋cos 4 θ)＋1＝(2sin 4 θ－2sin 2 θcos 2 θ＋2cos 4 θ)－(3sin 4 θ＋3cos 4 θ)＋1＝－(sin 4 θ＋2sin 2 θcos 2 θ＋cos 4 θ)＋1 ＝－(sin 2 θ＋cos 2 θ)2＋1＝－1＋1＝0＝右边， ∴原等式成立． 8．若3π2<α<2π，求证：1－cos α1＋cos α＋1＋cos α1－cos α＝－2sin α.[解析]∵3π2<α<2π，∴sin α<0.左边＝(1－cos α)2(1＋cos α)(1－cos α)＋(1＋cos α)2(1－cos α)(1＋cos α)＝(1－cos α)2sin 2α＋(1＋cos α)2sin 2α＝|1－cos α||sin α|＋|1＋cos α||sin α|＝－1－cos αsin α－1＋cos αsin α＝－2sin α＝右边．∴原等式成立．9．求证：1－2sin 2x cos 2x cos 22x －sin 22x ＝1－tan (720°＋2x )1＋tan (360°＋2x ).[解析] 法一：右边＝1－tan 2x1＋tan 2x＝1－sin 2xcos 2x 1＋sin 2x cos 2x＝cos 2x －sin 2x cos 2x ＋sin 2x＝(cos 2x －sin 2x )2(cos 2x ＋sin 2x )(cos 2x －sin 2x )＝cos 22x ＋sin 22x －2cos 2x sin 2xcos 22x －sin 22x ＝1－2sin 2x cos 2xcos 22x －sin 22x＝左边．所以原等式成立．法二：左边＝sin 22x ＋cos 22x －2sin 2x cos 2x cos 22x －sin 22x ＝(cos 2x －sin 2x )2(cos 2x －sin 2x )(cos 2x ＋sin 2x )＝cos 2x －sin 2xcos 2x ＋sin 2x .右边＝1－tan 2x1＋tan 2x＝1－sin 2x cos 2x 1＋sin 2x cos 2x ＝cos 2x －sin 2x cos 2x ＋sin 2x .所以原等式成立.10．求证：1＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α＝1＋tan αtan α－1.[解析]左边＝sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α＝（sin α＋cos α）2（sin α－cos α）（sin α＋cos α）＝sin α＋cos αsin α－cos α＝1＋tan αtan α－1＝右边．所以原式成立．11．已知tan 2α＝2tan 2β＋1，求证：sin 2β＝2sin 2α－1. [解析]因为tan 2α＝2tan 2β＋1，所以tan 2α＋1＝2tan 2β＋2，所以sin 2αcos 2α＋1＝2⎝⎛⎭⎫sin 2βcos 2β＋1，所以1cos 2α＝2cos 2β，所以1－sin 2β＝2(1－sin 2α)，即sin 2β＝2sin 2α－1.。

1●高考明方向1.理解同角三角函数的基本关系式：sin 2α＋cos 2α＝1，sinαcosα＝tanα. 2.能利用单位圆中的三角函数线推导出π2±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式．★备考知考情同角关系式和诱导公式中的π±α，π2±α是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度为中低档题，主要是诱导公式在三角式求值、化简的过程中与同角三角函数的关系式、2 和差角公式及倍角公式的综合应用，一般不单独命题，在考查基本运算的同时，注重考查等价转化的思想方法.一、知识梳理《名师一号》P47知识点一 同角三角函数的基本关系平方关系：;1cos sin 22=+αα商数关系：sin tan cos =ααα注意：《名师一号》P50 问题探究 问题1在利用同角三角函数的基本关系中应注意哪些技巧？利用同角三角函数基本关系式化简求值时， 涉及两个同角基本关系sin 2α＋cos 2α＝1和tanα＝sinαcosα，它们揭示同一角α的各三角函数间的关系，需要在复习中通过解题、理解、掌握．尤其是利用sin2α＋cos2α＝1及变形形式sin2α＝1－cos2α或cos2α＝1－sin2α进行开方运算时，要注意符号判断．知识点二诱导公式记忆口诀:奇变偶不变，符号看象限!注意：《名师一号》P50 问题探究问题2诱导公式的记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”中的“符号”是否与α的大小有34 关？无关，只是把α从形式上看作锐角，从而2kπ＋α(k∈Z)，π＋α，－α，π－α，π2－α，π2＋α分别是第一、三、四，二、一、二象限角．二、例题分析：（一) 求值例1．(1)《名师一号》P50 对点自测 4 （09全国卷Ⅰ文）o 585sin 的值为(A) 2-(B)2(C)2-2答案：A例1．(补充)（2）17cos 3⎛⎫-π ⎪⎝⎭的值为5 答案：12例1．(补充)（3）()tan 1665︒-的值为答案：1-注意：(补充)求任意角的三角函数值：负化正→正化主[)0,2π→主化锐例1.(4)《名师一号》P51 高频考点 例2(1)(2014·安徽卷)设函数f(x)(x ∈R)满足f(x ＋π)＝f(x)＋sinx.当0≤x<π时，f(x)＝0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π6＝( ) A.12 B.32 C ．0 D ．－126解:(1)由题意得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫17π6＋sin 17π6 ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π6＋sin 11π6＋sin 17π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋sin 5π6＋sin 11π6＋sin 17π6＝0＋12－12＋12＝12.练习:(补充)（2009重庆卷文）下列关系式中正确的是（ ）A ．000sin11cos10sin168<<B ．000sin168sin11cos10<<C ．000sin11sin168cos10<<D ．000sin168cos10sin11<<7【答案】Csin168sin(18012)sin12,cos10cos(9080)sin80︒︒︒︒︒︒︒︒=-==-=由于正弦函数sin y x =在区间[0,90]︒︒上为递增函数，因此sin11sin12sin80︒︒︒<<，即sin11sin168cos10︒︒︒<<。

同角三角函数的基本关系推导
同角三角函数是指在同一角度下的三角函数，包括正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数、余割函数。

它们之间存在一些基本的关系，在数学中具有重要的应用。

以正弦函数和余弦函数为例，它们之间的基本关系是：
sinθ + cosθ = 1
这个关系可以通过勾股定理和单位圆的概念得到。

我们可以将一个角度θ对应的单位圆上的点记作(P, Q)，其中P表示点在x轴上的坐标，Q表示点在y轴上的坐标。

此时，正弦函数和余弦函数可以分别表示为：
sinθ = Q
cosθ = P
根据勾股定理可以得到：
P + Q = 1
将正弦函数和余弦函数代入上式，得到：
sinθ + cosθ = Q + P = 1
这就是同角三角函数之间的基本关系。

同样的方法也可以推导出其他的基本关系。

在实际应用中，同角三角函数的基本关系可以用于求解各种三角函数的值，简化计算过程，提高计算精度。

同时，它们也是学习高等数学、物理等学科的基础。

- 1 -。

同角三角函数的基本关系式及诱导公式一、基本知识：（1） 同角三角函数的基本关系式： 平方关系： 商式关系： 倒数关系：（2）诱导公式：A 函数名称不变，符号看象限。

（公式一） （公式二）（公式三） （公式四）（公式五）B 函数名称要改变，符号看象限。

（公式六） （公式七）（公式八） （公式九）方法总结：运用诱导公式转化三角函数的一般步骤：用公式二或一 用公式一用公式三、四、五（或六、七、八、九）三、例题分析：例1、求值：求下列角度的三角函数值。

1. sin(－330°)=_______，2、cos4080°=_______．3、cos(210)-︒4、27tan4π5、cot(1470)-︒例1化简sin(2π-α)tan(π+α)cot(-α-π)cos(π-α)tan(3π-α)．例2、设的值为（）例3、计算=____________.（1）tan1°·tan2°·tan3°·…·tan88°·tan89°例2例5、已知函数f(x)=asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，其中a，b，α，β都是非零实数，且满足f(1997)=－1，则f(1998)=例4、已知A、B、C为△ABC的三个内角，求证：（1）cos（2A＋B＋C）=－cosA；（2）例2 若sinθcosθ= 18，θ∈(π4，π2)，求cosθ－sinθ的值．变式1 条件同例， 求cos θ+sin θ的值．变式2 已知cos θ－sin θ= － 32， 求sin θcos θ，sin θ+cos θ的值．例3 已知tan θ=3．求（1）ααααsin 3cos 5cos 2sin 4+-；（2）cos 2θ+sin θcos θ的值．例4、证明：1+2sin αcos α cos 2α－sin 2α =1+ tan α1－tan α例5、（1）化简：2cos2sin212cos2sin21αααα++-，⎪⎭⎫⎝⎛<<20πα （2）已知α是第三象限角，求ααααcos 1cos 1cos 1cos 1-+++-的值。

同角三角函数的基本关系式
•同角三角函数的关系式：
（1）；
（2）商数关系：；
（3）平方关系：。

•同角三角函数的基本关系的应用：
已知一个角的一种三角函数值，根据角的终边的位置利用同角三角函数的基本关系，可以求出这个角的其他三角函数值．
同角三角函数的基本关系的理解：
(1)在公式中，要求是同一个角，如不一定成立．
(2)上面的关系式都是对使它的两边具有意义的那些角而言的，如：基本三角关系式。

对一切α∈R成立；
Z)时成立．
(3)同角三角函数的基本关系的应用极为为广泛，它们还有如下等价形式：
(4)在应用平方关系时，常用到平方根、算术平方根和绝对值的概念，应注意“±”
的选取．间的基本变形三者通过
，可知一求二，有关
等化简都与此基本变形有广泛的联系，要熟练掌握。

同角三角函数的基本关系知识点一、同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1； (2)商数关系：sin αcos α＝tan α.二、sin α±cos α与sin αcos α的关系(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α； (sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α.常考题型归纳类型一 同角三角函数的基本关系式的简单应用已知某角的一个三角函数值，求它的其余各三角函数值时，要注意角的终边所在象限，恰当选定根号前面的正负号，而在使用sin αcos α＝tan α.时，没有选定正负号的问题。

例1.已知cos α＝－35，求sin α及tan α的值．变式练习1、已知 ，求 的值。

2、已知tan α＝－2，求sin α，cos α的值．类型二 三角恒等式的证明证明三角恒等式的过程就是通过转化和消去等式两边的差异来促成统一的过程。

证明方法通常有： （1）由等式的一边证得它的另一边； （2）综合法：其依据是等价转化思想； （3）证明左右两边都等于同一个式子； （4）比较法：证明左边-右边=0，或左边/右边=1. 例2.证明：变式练习1、求证：(1)1＋tan2α＝1cos2α；(2)2(1－sinα)(1＋cosα)＝(1－sinα＋cosα)2.(3)sinα1－cosα＝1＋cosαsinα.类型三三角函数式的化简(1)化简三角函数式的一般要求：①函数种类最少；②项数最少；③函数次数最低；④能求值的求出值；⑤尽量使分母不含三角函数；⑥尽量使分母不含根式．例3.已知sinαcosα<0，sinαtanα<0,化简变式练习1、化简tanα1sin2α－1，其中α是第二象限角．2、化简：.3、化简：类似四关于sinα，cosα的分式、齐次式的求值在已知tanα=m的条件下，求关于sinα，cosα的齐次式问题，需要注意以下两点：（1）一定是关于sinα，cosα的齐次式（或能化为齐次式）的三角函数式；（2）因为cosα≠0，所以可用cos n α(n ∈N+)除之，这样可以转为关于tan α的表达式，代入tan α=m ，从而使问题获解。

高中数学三角函数专题：同角之间的基本关系第一部分：三角函数同角之间的基本关系知识点一：同角之间的基本关系。

关系式一：1cos sin22=+αα。

关系式二：αααcos sin tan =。

推理方法一：如下图所示：根据三角函数的定义得到：||||sin AC BC A =，222||||sin ||||cos AC BC A AC AB A =⇒=，222||||cos AC BC A = 222222222||||||||||||||cos sin AC AB BC AC AB AC BC A A +=+=+⇒，根据勾股定理得：222||||||AC AB BC =+ 1||||cos sin 2222==+⇒AC AC A A 。

根据三角函数的定义得到：||||sin AC BC A =，||||||||||||||||||||cos sin ||||cos AB BC AB AC AC BC AC AB AC BC A A AC AB A =⋅==⇒=根据三角函数的定义得到：||||tan AB BC A =，AAA AB BC A A cos sin tan ||||cos sin =⇒=。

推理方法二：根据三角函数终边上任意点的定义得到：22sin yx y +=α，22cos yx x +=α2222sin y x y +=⇒α，222222222222cos sin cos y x x y x y y x x +++=+⇒+=ααα1cos sin 1222222=+⇒=++=ααyx x y 。

根据三角函数终边上任意点的定义得到：22sin yx y +=α，22cos yx x +=αx y x y xy x yy x y y x y=+⋅+=++=⇒22222222cos sin αα。

根据三角函数终边上任意点的定义得到：x y =αtan ，x y =ααcos sin αααcos sin tan =⇒。

高一数学同角三角函数的基本关系式和诱导公式试题答案及解析1.已知.(1)化简；(2)若是第三象限角，且，求的值．【答案】（1）；（2）．【解析】解题思路：(1)利用诱导公式进行化简即可；（2）先用诱导公式得出，再利用同角三角函数基本关系式及角所在象限求出，进而求出.规律总结：涉及三角函数的化简与求值问题，往往要利用三角函数基本关系式、诱导公式、两角和差的三角公式以及二倍角公式，进行恒等变形；一定要注意灵活选用公式.试题解析：（I）原式=；（II）由得，即，因为是第三象限角，所以，所以 .【考点】1.诱导公式；2.三角函数基本关系式.2.已知，则 .【答案】3【解析】因为，所以，在所求式子的分子分母同时除以得：，故应填入：３．【考点】同角三角函数的关系．3.的值为（）.A．B．C．D．【答案】B【解析】.【考点】诱导公式.4.设函数（1）求；（2）若，且，求的值．（3）画出函数在区间上的图像（完成列表并作图）。

（1）列表（2）描点，连线【答案】（1）2；（2）；（3）见解析【解析】（1）由正弦函数周期公式得，=，即可求得；（2）将代入的解析式，得到关于的方程，结合诱导公式即可求出，再利用平方关系结合的范围，求出，再利用商关系求出；（3）先由为0和算出分别等于，，在（，）分别令取，0，，求出相应的值和值，在给定的坐标系中描出点，再用平滑的曲线连起来，就得到所要作的图像．试题解析：（1），2分（2）由（1）知由得：， 4分∵∴ 6分∴． 8分（其他写法参照给分）（3）由（1）知，于是有（1）列表（2）描点，连线函数 14分【考点】正弦函数周期公式；诱导公式；同角三角函数基本关系式；五点法作图5.计算的值为 ()．A．－B．C．D．－【答案】C【解析】.【考点】诱导公式.6.已知,且∥.求值：（1）;（2）.【答案】(1);(2) .【解析】解题思路：（1）由得出关于的关系，利用求得；（2）利用,分子、父母同除以，得到的式子，再代入求值.规律总结：平面向量与三角函数结合是命题热点，主要借助平面向量平行、垂直的条件推得关于的关系式，然后利用三角函数的有关公式或性质进行变换.试题解析：(1),,.(2).【考点】平面向量平行的判定、同角三角函数基本关系式.7.已知，.（1）求；（2）求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由同角三角函数的基本关系：，，结合条件，可得，再由可知，从而；（2）由（1）可知，可将欲求值的表达式化为与只有关的，根据齐次的数学思想，可分子分母同时除以，从而可得：.试题解析：（1）∵，，∴， 2分又∵，∴， 4分∴； 6分（2） 9分12分.【考点】同角三角函数基本关系.8.的化简结果是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】是第二限角，则，所以==．【考点】诱导公式，同角三角函数的基本关系式．9.已知，且，则＝________．【答案】【解析】∵，∴，∴＝．∵，∴，，∴＝．【考点】同角三角形的基本关系．10.已知，则()A．B．C．D．或【答案】A【解析】由可得即，也就是，因为，所以，且，所以，联立方程，解得，所以，故选A．【考点】同角三角函数的基本关系式．11.都是锐角，且，，求的值．【答案】．【解析】由都是锐角，利用同角三角函数间的基本关系分别求出和的值，然后把所求式子的角变为，利用两角和与差的正弦函数公式化简，把各自的值代入即可求出值．试题解析：都是锐角，且，，．＝＝＝．【考点】1、同角三角函数间的基本关系；2、两角和与差的余弦函数．12.已知，则等于 ( )A．B．C．D．【答案】D【解析】法一：由可得即，所以，又因为，从而可得到，所以，所以；法二：因为将代入即可得到，故选D.【考点】同角三角函数的基本关系式.13.知为锐角，且2，=1，则=（）A．B．C．D．【答案】C【解析】诱导公式化简为，解得：,得,故选C.【考点】1.诱导公式；2.同角三角函数基本关系式.14.已知（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由即①由即②所以①+②可得即即，选A.【考点】1.同角三角函数的基本关系式；2.两角差的余弦公式.15.已知，且，求sinx、cosx、tanx的值【答案】，，【解析】由求的值，然后解方程组得和。

课题：同角三角函数的基本关系教学目的：1、要求学生能运用同角三角函数的基本关系求一些三角函数（式）的值，从中了解一些三角运算的基本技巧。

2、进一步巩固同角三角函数的基本关系式3、应用同角三角函数的关系式进行求值、化简、证明 教学重点：1、 同角三角函数关系式的应用2、 常见的变形方法 教学难点：应用同角三角函数关系式化简、求值及证明 学法指导：训练学生的整体思想，解题中的转化与化归的思想 教学过程设计：一、复习同角的三角函数的基本关系：练习：已知的其他三角函数值。

求α±≠≠=α),1,0(cos m m m 解：若α在第一、二象限，则若α在第三若a 在三、四象限，则二、例题分析：1、化简： 440sin 12-解：原式80cos 80cos 80sin 1)80360(sin 1222==-=+-=2、已知α=αcos 2sin ，求的值。

及αα+αα+αα-αcos sin 2sin cos 2sin 5cos 4sin 222221cot 1tan 11csc 1sin 1sec m m mm m m m -=-=-=-==ααααα22221cot 1tan 11csc 1sin 1sec m m mm m m m--=--=--=--==ααααα解：2tan cos 2sin =α∴α=α611222tan 54tan cos 2sin 5cos 4sin -=-=+α-α=α+αα-α∴5614241tan tan 2tan cos sin cos sin 2sin cos sin 2sin 222222=++=+αα+α=α+ααα+α=αα+α注意： 强调（指出）技巧：1︒分子、分母是正余弦的一次（或二次）齐次式2︒“化1法” 3、已知33cos sin =α+α，求的值。

及α-αα+αcos sin cot tan 解：将 33cos sin =α+α 两边平方，得：31cos sin -=αα3cos sin 1cot tan -=αα=α+α∴35321cos sin 21)cos (sin 2=+=αα-=α-α 315cos sin ±=α-α∴ 变形推广：已知,1225cot tan =α+αα+αα+αα-αα-αcos sin ,cot tan ,cot tan ,cot tan 3322求解：由题设： ,2144625cot tan 22-=α+α∴ 1274144625cot tan ±=-±=α-α144175)127(1225)cot )(tan cot (tan cot tan 22±=±⨯=α-αα+α=α-α172848251441931225)1144337(1225)cot tan cot )(tan cot (tan cot tan 2233=⨯=-⨯=αα-α+αα+α=α+α57251221cos sin 21cos sin ±=⨯+±=αα+±=α+α (2512cos sin 1225cos sin 1cot tan =αα∴=αα=α+α )4、已知)0(51cos sin π<θ<=α+α，求的值。

高中数学-同角三角函数基本关系式一、同角三角函数的基本关系式如下图：在单位圆中，(),P x y 是圆上一点．正弦线MP 、余弦线OM 和半径OP 三者构成直角三角形，而且1OP =，因此221x y +=，即22sin cos 1αα+=．显然，当α的终边与坐标轴重合时，这个公式也成立． 根据三角函数的定义，当()2k k παπ≠+∈Z ，有sin tan cos ααα=． 语言描述为：同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角α的正切．【要点诠释】（1）注意“同角”，这里“同角”有两层含义，一是“角相同”，二是对“任意”一个角（在使函数有意义的前提下）关系式都成立，即与角的表达形式无关，例如22sin 3cos 31ββ+=，但是22sin cos 1αβ+=就不一定成立了；（2）2sin α是()2sin α的简写，读作“sin α的平方”，不能将2sin α等效成2sin α，前者是角α的正弦的平方，后者是角2α的正弦，二者是不同的，要弄清区别并能正确书写；（3）借助于上述两个公式，已知角α的某一个三角函数值，则可以计算出另外两个三角函数值．二、同角三角函数的基本关系式的化简和求值1.利用同角三角函数的基本关系式化简三角函数式的化简就是代数式的恒等变形，使结果尽可能的简单，也就是项数尽可能的少，次数尽可能的低，函数种类尽可能的少，式子中尽量不含根号，能求值的一定要求值．同角三角函数式化简过程中常用的方法：①对于根式，可以考虑将根式内部化为完全平方式，然后去根号达到化简的目的． ②化切为弦，即把非正余弦的函数都化为正余弦函数，从而减少函数名称，达到化简目的．③对于高次三角函数式，可借助于因式分解，或构造22sin cos 1αα+=，以降低函数次数，达到化简的目的．2.弦化切问题已知角α的正切值，求由sin α和cos α构成的齐次式（可以是分式或者整式）：（1）对于分式齐次式（次数为n ），因为cos 0α≠，一般可在分子和分母中同时除以cos n α，此时把所求代数式转化成关于tan α的代数式，从而得解．例如若tan m α=，将代数式22223sin 2sin 64sin 5cos cos cos αααααα-++分子分母同时除以2cos α，得到表达式223tan 2tan 64tan 5ααα-++，然后直接代入求值即可． （2）对于整式齐次式（次数为n ），把分母“1”等价成()222sin cos n αα+，此时代数式转化为分式齐次式，然后按照（1）的处理方式处理．例如若tan m α=，则代数式224sin 2sin 3cos cos αααα-+等价于22224sin 2sin 3sin cos cos cos αααααα-++，接下来分子分母同时除以2cos α，得到表达式224tan 2tan 3tan 1ααα-++，然后再代入求值即可． 有的时候还会遇见非齐次多项式，但是通过适当处理，也许可以转化为齐次式，如已知tan m α=求解多项式3sin 53sin 2cos cos αααα-+，利用22sin cos 1αα+=，将分子分母都凑齐为三次齐次多项式()()()32222sin 5sin cos 3sin 2cos sin cos cos αααααααα-+++，接下来分子分母同时除以2cos α，得到表达式3232tan 5tan 53tan 2tan 3tan 2ααααα--+++，然后代入求值即可． 不难发现，对于上面三种情况，其实核心都是一样，关键在于对22sin cos 1αα+=这个恒等式理解和运用的是否到位．（3）同角三角函数的基本关系式的变形运用①简单变形：sin α=cos α=．②sin cos αα+、sin cos αα-、sin cos αα三者之间的关系：()2sin cos 12sin cos αααα+=+； ()2sin cos 12sin cos αααα-=-；()()22sin cos sin cos 2αααα++-=．由以上三个关系式可以看出，对于sin cos αα+、sin cos αα-、sin cos αα三者，已知其中一个，则可以不必分别求出sin α和cos α来确定另外两者，而是利用整体的思想直接求解，这种思想在以后还会经常用到，要给予足够的重视．。

1、同角三角函数基本关系式，同角三角函数基本关系可概括为平方关系，商数关系和倒数关系，如考虑sinα，cosα，tanα，cotα与secα，cscα六个函数，还可借助如下图表形象记忆：（1）对角线上两个函数的积为1（倒数关系）（2）任一顶点的函数等于与其相邻两个顶点的函数的积（商数关系）（3）阴影部分，顶角两个函数的平方和等于底角函数的平方（平方关系）由此图可得出公式的变形形式或其他同角函数关系式如：，1＋tan2α=sec2α，1＋cot2α=csc2α，sinαcscα=1，cosα·secα=1等.倒数关系: 商的关系：平方关系：tanα·cotα＝1sinα·cscα＝1cosα·secα＝1 sinα/cosα＝tanα＝secα/cscαcosα/sinα＝cotα＝cscα/secαsin2α＋cos2α＝11＋tan2α＝sec2α1＋cot2α＝csc2α（六边形记忆法：图形结构“上弦中切下割，左正右余中间1”；记忆方法“对角线上两个函数的积为1；阴影三角形上两顶点的三角函数值的平方和等于下顶点的三角函数值的平方；任意一顶点的三角函数值等于相邻两个顶点的三角函数值的乘积。

”）诱导公式（口诀:奇变偶不变，符号看象限。

）sin（－α）＝－sinαcos（－α）＝cosαtan（－α）＝－tanαcot（－α）＝－cotαsin（π/2－α）＝cosαcos（π/2－α）＝sinαtan（π/2－α）＝cotαcot（π/2－α）＝tanαsin（π/2＋α）＝cosαcos（π/2＋α）＝－sinαtan（π/2＋α）＝－cotαcot（π/2＋α）＝－tanαsin（π－α）＝sinαcos（π－α）＝－cosαtan（π－α）＝－tanαcot（π－α）＝－cotαsin（π＋α）＝－sinαcos（π＋α）＝－cosαtan（π＋α）＝tanαcot（π＋α）＝cotαsin（3π/2－α）＝－cosαcos（3π/2－α）＝－sinαtan（3π/2－α）＝cotαcot（3π/2－α）＝tanαsin（3π/2＋α）＝－cosαcos（3π/2＋α）＝sinαtan（3π/2＋α）＝－cotαcot（3π/2＋α）＝－tanαsin（2π－α）＝－sinαcos（2π－α）＝cosαtan（2π－α）＝－tanαcot（2π－α）＝－cotαsin（2kπ＋α）＝sinαcos（2kπ＋α）＝cosαtan（2kπ＋α）＝tanαcot（2kπ＋α）＝cotα(其中k∈Z)两角和与差的三角函数公式万能公式sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβsin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβcos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβcos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβtanα＋tanβtan（α＋β）＝——————1－tanα·tanβtanα－tanβtan（α－β）＝——————1＋tanα·tanβ2tan(α/2)sinα＝——————1＋tan2(α/2)1－tan2(α/2)cosα＝——————1＋tan2(α/2)2tan(α/2)tanα＝——————1－tan2(α/2)半角的正弦、余弦和正切公式三角函数的降幂公式二倍角的正弦、余弦和正切公式三倍角的正弦、余弦和正切公式sin2α＝2sinαcosαcos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α2tanαtan2α＝—————1－tan2αsin3α＝3sinα－4sin3αcos3α＝4cos3α－3cosα3tanα－tan3αtan3α＝——————1－3tan2α三角函数的和差化积公式三角函数的积化和差公式α＋βα－βsinα＋sinβ＝2sin———·cos———2 2α＋βα－βsinα－sinβ＝2cos———·sin———2 2α＋βα－βcosα＋cosβ＝2cos———·cos———2 2α＋βα－βcosα－cosβ＝－2sin———·sin———2 21sinα ·cosβ＝---[sin（α＋β）＋sin（α－β）]21cosα·sinβ＝---[sin（α＋β）－sin（α－β）]21cosα·cosβ＝---[cos（α＋β）＋cos（α－β）]21sinα·sinβ＝—---[cos（α＋β）－cos（α－β）]2公式分类公式表达式乘法与因式分解a2-b2=(a+b)(a-b) a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2) 三角不等式|a+b|≤|a|+|b| |a-b|≤|a|+|b| |a|≤b<=>-b≤a≤b|a-b|≥|a|-|b| -|a|≤a≤|a|一元二次方程的解-b+√(b2-4ac)/2a -b-b+√(b2-4ac)/2a根与系数的关系X1+X2=-b/a X1*X2=c/a 注：韦达定理判别式b2-4a=0 注：方程有相等的两实根b2-4ac>0 注：方程有一个实根b2-4ac<0 注：方程有共轭复数根三角函数公式两角和公式sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosAcos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinBtan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA) ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA)倍角公式tan2A=2tanA/(1-tan2A) ctg2A=(ctg2A-1)/2ctgacos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a半角公式sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)cos(A/2)=√((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA))ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA)) ctg(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA))和差化积2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2 cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosBctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB -ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB某些数列前n项和1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/2 1+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n2 2+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1) 12+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=n(n+1)(2n+1)/613+23+33+43+53+63+…n3=n2(n+1)2/4 1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3 正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 注：其中R 表示三角形的外接圆半径余弦定理b2=a2+c2-2accosB 注：角B是边a和边c的夹角圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2 注：（a,b）是圆心坐标圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0 注：D2+E2-4F>0抛物线标准方程y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py直棱柱侧面积S=c*h 斜棱柱侧面积S=c'*h正棱锥侧面积S=1/2c*h' 正棱台侧面积S=1/2(c+c')h'圆台侧面积S=1/2(c+c')l=pi(R+r)l 球的表面积S=4pi*r2圆柱侧面积S=c*h=2pi*h 圆锥侧面积S=1/2*c*l=pi*r*l弧长公式l=a*r a是圆心角的弧度数r >0 扇形面积公式s=1/2*l*r锥体体积公式V=1/3*S*H 圆锥体体积公式V=1/3*pi*r2h斜棱柱体积V=S'L 注：其中,S'是直截面面积，L是侧棱长柱体体积公式V=s*h 圆柱体V=pi*r2h1. 万能公式令tan(a/2)=tsina=2t/(1+t^2)cosa=(1-t^2)/(1+t^2)tana=2t/(1-t^2)2.辅助角公式asint+bcost=(a^2+b^2)^(1/2)sin(t+r)cosr=a/[(a^2+b^2)^(1/2)]sinr=b/[(a^2+b^2)^(1/2)]tanr=b/a3.三倍角公式sin(3a)=3sina-4(sina)^3cos(3a)=4(cosa)^3-3cosatan(3a)=[3tana-(tana)^3]/[1-3(tana^2)]4.积化和差sina*cosb=[sin(a+b)+sin(a-b)]/2cosa*sinb=[sin(a+b)-sin(a-b)]/2cosa*cosb=[cos(a+b)+cos(a-b)]/2sina*sinb=-[cos(a+b)-cos(a-b)]/25.积化和差sina+sinb=2sin[(a+b)/2]cos[(a-b)/2]sina-sinb=2sin[(a-b)/2]cos[(a+b)/2]cosa+cosb=2cos[(a+b)/2]cos[(a-b)/2]cosa-cosb=-2sin[(a+b)/2]sin[(a-b)/2]概念性质，系统掌握。

同角三角函数的基本关系式及诱导公式一、基本知识：（1）同角三角函数的基本关系式：平方关系：sin 2α+cos 2α=1，1tan sec 22=-αα，1cot csc 22=-αα，商式关系：sin α cos α=tan α， αααcot sin cos =， 倒数关系：tan αcot α=1，ααcos 1sec = ααsin 1csc =（2）诱导公式：函数名称不变，符号看象限。

二、例题分析：例1 化简 sin(2π-α)tan(π+α)cot(-α-π) cos(π-α)tan(3π-α)． 解 原式=（-sin α）tan α［-cot(α+π) ］ (-cos α)tan(π-α)= (-sin α)tan α(-cot α) (-cos α)(-tan α) = sin α·cos α sin α cos α=1 ． 例2 若sin θcos θ= 18 ，θ∈(π4 ，π2)，求cos θ－sin θ的值．解 (cos θ－sin θ)2=cos 2θ+sin 2θ－2sin θcos θ=1－ 14 = 34． ∵θ∈(π4 ，π2)，∴ cos θ＜sin θ． ∴cos θ－sin θ= － 32． 变式1 条件同例， 求cos θ+sin θ的值．变式2 已知cos θ－sin θ= －32 ， 求sin θcos θ，sin θ+cos θ的值．例3 已知tan θ=3．求（1）ααααsin 3cos 5cos 2sin 4+-；（2）cos 2θ+sin θcos θ的值．例4、证明：1+2sin αcos α cos 2α－sin 2α=1+ tan α 1－tan α例5、（1）化简：2cos 2sin 212cos 2sin 21αααα++-，⎪⎭⎫ ⎝⎛<<20πα （2）已知α是第三象限角，求ααααcos 1cos 1cos 1cos 1-+++-的值。

高一数学同角三角函数基本关系式及诱导公式知识点总结及例题高一数学同角三角函数基本关系式及诱导公式知识点总结及例题1( 同角三角函数的基本关系sin α平方关系:22商数关系:tan α. cos α2. 诱导公式3ππ，，tan α,2，则cos α,________. 1( 已知α??2?答案 ,55sin α解析 ?tan α,2，?,2，?sin α,2cos α. cos α1又sin2α，cos2α,1，?2，cos2α,1，?cos2α.3ππ，?，?cos α,,又?α??2??52sin α,cos α2( 若tan α,2，则的值为________( sin α，2cos α3答案2tan α,13解析原式,,tan α，2413( 已知α是第二象限的角，tan α,,，则cos α,________.25答案 ,5解析 ?α是第二象限的角，?cos α又sin2α，cos2α,1，tan α,25?cos α,,.445,π?的值是________(( sin ?cos π?tan??3?3633答案 ,4π?π,π??,π,ππ，?解析原式,sin?costan3?3?6?π?π?π,sin ??,cos ?,tan ? ,?3??6?3??sin α1,,， cos α2,??3??3×,×,,42??2π?22π,α,，则sin?α,,________.( 已知cos?3?6?3?2答案 ,2πππα,,sin?,?6,α?? 解析 sin?3??2???πππ2α??,,cos?,α?,,. ,,sin?2，??6???6??3题型分析深度剖析题型一同角三角函数基本关系式的应用1例1 已知在?ABC中，sin A，cos A5求sin Acos A的值;判断?ABC是锐角三角形还是钝角三角形;求tan A的值(1思维启迪:由sin A，cos A及sin2A，cos2A,1，可求sin A，cos A的值( 1解 ?sin A，cos A,?1?两边平方得1，2sin Acos A,，512?sin Acos A,,.512由sin Acos A,, 可知cos A ?2,1,2sin Acos A2449,1，，525又sin A>0，cos A0，7?sin A,cos A,.?43?由?，?可得sin A,，cos A,,，545sin A4?tan A,,. cos A33,5探究提高对于sin α，cos α，sin αcos α，sin α,cos α这三个式子，已知其中一个式子的值，其余二式的值可求(转化的公式为2,1?2sin αcosα;关于sin α，cos α的齐次式，往往化为关于tan α的式子(已知tan α,2，求sin2α，sin αcos α,2cos2α;已知sin α,2sin β，tan α,3tan β，求cos α.解 sin2α，sin αcos α,2cos2αsin2α，sin αcos α,2cos2α,sinα，cosαtan2α，tan α,24,.tanα，1?sin α,2sin β，tan α,3tan β，?sin2α,4sin2β，?tan2α,9tan2β，?由???得:9cos2α,4cos2β，??，?得:sin2α，9cos2α,4，36?cos2α，sin2α,1，?cos2α,cos α,.4题型二三角函数的诱导公式的应用π5π3α?,，求cos?α?的值; 例已知cos??6?3?6?73α,π?的值( 已知πππ5π思维启迪:将，α看作一个整体，观察，α与,α的关系(66先化简已知，求出cos α的值，然后化简结论并代入求值(π??5π，α，,α?,π，解 ???6??6?π5πα?. ?,α,π,??6?65π?πα,cos?π,?，α?? ?cos??6???6??π?3，α,,， ,,cos??6?35π?3α,,. 即cos??6?3?cos,cos3,cos,,cos α3?cos α.7α,π? ?sin?tan??2??,tan?7,α?? ,sin???2??πα? ,sin α?tan??2?π?sin??2,α?,sin απ?cos??2α?cos α3,sin αcos α,. sin α5探究提高熟练运用诱导公式和基本关系式，并确定相应三角函数值的符号是解题的关键(另外，切化弦是常用的规律技巧(3πα,?tan?π，α?cos?2π，α?sin?2?? ; cos?,α,3π?sin?,3π,α?sin?π,x?cos?2π,x?tan?,x，π?31π,的值( 已知f,f??3π??,xcos?2??α，π?tan αcos αsin?,2π，??2?解原式,cos?3π，α?[,sin?3π，α?] ,π?tan αcos αsin??2，α??,cos α?sin αtan αcos αcos α,?,cos α?sin αtan αcos αsin αcos α,,,,1. sin αcos αsin αsin x?cos x??,tan x??fsin x,,cos x?tan x,,sin x，31π31π31π,,,sin?,?,sin ?f??3?3?3ππ310π，,sin ,sin?3?32题型三三角函数式的化简与求值11例已知tan α,的值;2sin αcos α，cosα3π,α，tan?π,α?cos?2π,α?sin?2?化简:. cos?,α,π?sin?,π,α?思维启迪:三角函数式的化简与求值，都是按照从繁到简的形式进行转化，要认真观察式子的规律，使用恰当的公式(1解因为tan αsin2α，cos2α1所以2sin αcos α，cosα2sin αcos α，cosαtan2α，12,,2tan α，13π,α,tan α?cos?,α??sin?2?原式,cos?π,α??sin?π,α?πsin αα，?cos αtan α?cos α?sin??2?cos α,,,,1. ,cos α?sin α,sin α探究提高在三角变换中，要注意寻找式子中的角，函数式子的特点和联系，可以切化弦，约分或抵消，减少函数种类，对式子进行化简(π5α，?,,α?，已知sin??2?5παπα，,cos2?,?cos2??42?42?sin?π,α?，cos?3π，α?求的值(π5α，,, 解 ?sin??25?cos α525，又α?，?sin α,55παπα,cos2?,?cos2??42?42? sin?π,α?，cos?3π，α?παπα，,sin2?cos2??42?42,sin α,cos α,sin α2,,3sin α,cos αsin α,cos α分类讨论思想在三角函数化简中的应用典例:化简:sin?4n,14n，1π,α?，cos?π,α? ( ?4??4?π?cos??2，α?, 审题视角角中含有变量n，因而需对n的奇偶分类讨论(利用诱导公式，需将角写成符合公式的某种形式，这就需要将角中的某一部分作为一个整体来看(第节同角三角函数的基本关系式与诱导公式一、选择题 1.tan30?等于--解析:tan30?=tan=tan=-tan0?=-.故选D.2.若cos α=,α?,则tan α等于 --解析:由已知得sin α=-=-=-,?tan α==-2.故选C.3.已知sin=log81 ,且α?4,则tan的值为-?解析:sin=sin α=log8=-,又α?,得cos α==,tan=tan=-tan α=-2=.故选B.4.已知tan θ=2,则sinθ+sin θcosθ-2cosθ等于 - -解析:sinθ+sin θcos θ-2cosθ===.故选D.5.若α是三角形的内角,且sin α+cos α=,则tan α等于 - - -或-解析:将sin α+cos α=两边同时平方,整理得2sin αcos α=-,由这个结果可知角α是第二象限角,并且=1-2sinαcos α=,由于sin α-cos α>0,所以sin α-cos α=,将该式与sin α2 +cos α=联立,解得所以tan α==-.故选B.6.已知f=,则f的值为- -解析:?f==-cos α,?f=-cos= -cos=-cos= -cos=-.故选B.二、填空题7.当k?Z时,= .解析:若k为偶数,则原式===-1;若k为奇数,则原式=答案:-18.设α?==-1. ,sin α+cos α=,则tan α= .解析:将sin α+cos α=?两边平方得sin αcos α=? 由??得或又?0 ?sin α故tan α=.答案:9.若函数f=sin-2cos是奇函数,其中α为锐角, 则sin α2cosα= .解析:因为函数f=sin-2cos是奇函数,所以f=sin α-2cos α=0,所以tan α=2.由于α为锐角,故解得sin α=,cos α=.所以sin α2cos α=.答案:三、解答题10.已知函数 f=.求函数y=f的定义域;设tan α=-,求f的值.解:由cos x?0,得x?+kπ,k?Z,所以函数的定义域是,xx?+kπ,k?Z,.tan α=-,f= ===-1-tan α=.11.已知关于x的方程2x-+的值;+1)x+m=0的两个根为sin θ和cos θ,θ?,求: m的值;网]方程的两根及θ的值.?sin??cos????解:??sin?cos????+=+? m,?==sin θ+cos θ =.将?式两边平方得1+2sin θcos θ=. 所以sin θcos θ=. 由?式得=, 所以m=.同角三角函数的基本关系式及诱导公式一、基本知识:同角三角函数的基本关系式: 平方关系: 商式关系: 倒数关系:诱导公式:A函数名称不变，符号看象限。