2011年高考试题(山东卷)word版(有答案)：数学理

2013年山东卷理 【选择题】【1】．复数z 满足(3)(2i)5z --=（z 为虚数单位），则z 的共轭复数z 为 A. 2i + B.2i - C. 5i + D. 5i -【2】．已知集合{}0,1,2=A ，则集合{},=-∈∈B x y x A y A 中元素的个数是 A.1 B. 3 C. 5 D. 9【3】．已知函数()f x 为奇函数，且当0>x 时，21(),=+f x x x则(1)-=f A. -2 B. 0 C. 1 D.2【4】．已知三棱柱111-ABC A B C 的侧棱与底面垂直，体积为94P 为底面111A B C 的中心，则PA 与平面ABC 所成角的大小为 A.512π B. 3π C. 4π D. 6π【5】．将函数sin(2)ϕ=+y x 的图像沿x 轴向左平移8π个单位后，得到一个偶函数的图像，则ϕ的一个可能取值为 A.34π B. 4π C. 0 D. 4π- 【6】．在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组220210,380，--≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩x y x y x y 所表示的区域上一动点，则直线OM的斜率的最小值为A. 2B. 1C. 13-D. 12- 【7】．给定两个命题,.p q若⌝p 是q 的必要不充分条件，则p 是⌝q 的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 【8】．函数cos sin =+y x x x 的图像大致为【9】．过点(3,1)作圆22(1)1-+=x y 的两条切线，切点分别为,A B ，则直线AB 的方程为A. 230+-=x yB.230--=x yC.430--=x yD.430+-=x y【10】．用0，1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为 A.243 B.252 C. 261 D.279【11】．抛物线211:(0)2=>C y x p p的焦点与双曲线222:13-=x C y 的右焦点的连线交1C 于第一象限的点.M 若1C 在点M 处的切线平行于2C 的一条渐近线，则=p【12】．设正实数,,x y z 满足22340.-+-=xxy y z 则当xy z 取得最大值时，212+-x y z的最大值为 A. 0 B. 1 C. 94D.3 【填空题】【13】．执行下图所示的程序框图，若输入ε的值为0.25，则输出的n 的值为_______.【14】．在区间[-3,3]上随机取一个数x ，使得121x x +--≥成立的概率为______.【15】．已知向量AB 与AC 的夹角为0120，且||3,|| 2.AB AC ==若λ=+AP AB AC ，且⊥AP BC ，则实数λ的值为____________.【16】．定义“正对数”：0,01,lnln ,1.+<<⎧=⎨≥⎩x x x x 现有四个命题：①若0,0>>a b ，则ln ()ln ++=b a b a ； ②若0,0>>a b ，则ln()ln ln +++=+ab a b ；③若0,0>>a b ，则ln ()ln ln +++≥-a a b b； ④若0,0>>a b ，则ln()ln ln ln 2++++≤++a b a b .其中的真命题有__________.（写出所有真命题的编号） 【解答题】【17】． (本小题满分12分)设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且76,2,cos .9+===a c b B . （1）求,a c 的值； （2）求sin()-A B 的值.【18】． (本小题满分12分)如下图所示，在三棱锥-P ABQ 中，PB ⊥平面ABQ ，==BA BP BQ ，,,,D C E F 分别是,,,AQ BQ AP BP 的中点，2=AQ BD ，PD 与EQ 交于点G ，PC 与FQ 交于点H ，连接GH .（1）求证：//AB GH ；（2）求二面角--D GH E 的余弦值。

2012年山东省高考数学试题（附答案和解释）（理科Word版）2012年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理科数学本试卷分第I卷和第II卷两部分，共4页。

满分150分。

考试用时120分钟，考试结束，务必将试卷和答题卡一并上交。

注意事项： 1.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、县区和科类填写在答题卡上和试卷规定的位置上。

2.第I 卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上。

3.第II卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。

不按以上要求作答的答案无效。

4.填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

参考公式：锥体的体积公式：V= Sh，其中S是锥体的底面积，h是锥体的高。

如果事件A，B互斥，那么P（A+B）=P（A）+P(B)；如果事件A,B独立，那么P（AB）=P（A）•P（B）。

第I卷（共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1 若复数x满足z(2-i)=11+7i(i为虚数单位)，则z为 A 3+5i B 3-5i C -3+5i D -3-5i 解析： .答案选A。

另解：设，则根据复数相等可知，解得，于是。

2 已知全集 ={0,1,2,3,4}，集合A={1,2,3,}，B={2,4} ，则（CuA） B为 A {1,2,4} B {2,3,4} C {0,2,4} D {0,2,3,4} 解析：。

答案选C。

3 设a＞0 a≠1 ，则“函数f(x)= ax在R上是减函数”，是“函数g(x)=(2-a) 在R上是增函数”的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件解析：p：“函数f(x)= ax在R上是减函数”等价于；q：“函数g(x)=(2-a) 在R 上是增函数”等价于，即且a≠1，故p是q成立的充分不必要条件. 答案选A。

【选择题】【1】．若12iiz +=，则复数z -=（ ）.(A)2i -- (B)2i -+ (C)2i - (D)2i + 【2】．若集合{}1213A x x =-+≤≤，20,x B x x -⎧⎫=⎨⎬⎩⎭≤则AB ∩=（ ）. (A){}10x x -<≤ (B){}01x x <≤ (C){}02x x ≤≤ (D){}01x x ≤≤ 【3】．若()f x =()f x 的定义域为（ ）.(A)1,02⎛⎫-⎪⎝⎭ (B)1,02⎛⎤- ⎥⎝⎦ (C)1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭(D)()0,+∞ 【4】．若()224ln f x x x x =--,则()f x '＞0的解集为（ ）.(A)()0,+∞ (B)()()1,02,-+∞∪(C)()2,+∞ (D)()1,0-【5】．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足：n m m n S S S ++=，且1a =1，那么10a =（ ）.(A)1 (B)9 (C)10 (D)55【6】．变量X 与Y 相对应的一组数据为（10,1）,（11.3,2）,（11.8,3）,（12.5,4）,(13,5)；变量U 与V 相对应的一组数据为（10,５）,（11.3,4）,（11.8,3）,（12.5,2）,(13,1). 1r 表示变量Y 与X 之间的线性相关系数，2r 表示变量V 与U 之间的线性相关系数，则（ ）. (A)210r r << (B)210r r << (C)210r r << (D)21r r =【7】．观察下列各式：55=3125, 65=15625, 75=78125，…，则20115的末四位数字为（ ）.(A)3125 (B)5625 (C)0625 (D)8125【8】．已知1α，2α，3α是三个相互平行的平面．平面1α，2α之间的距离为1d ，平面2α，3α之间的距离为2d ．直线l 与1α，2α，3α分别相交于1P ，2P ，3P ，那么“12PP =23P P ”是“12d d =”的（ ）.(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 【9】．若曲线1C ：2220x y x +-=与曲线2C ：()0y y mx m --=有四个不同的交点，则实数m 的取值范围是（ ）.(A) (-0)∪(0(C) [3-，3] (D) (-∞，3-3，+∞) 【10】．如图1，一个直径为1的小圆沿着直径为2的大圆内壁的逆时针方向滚动，M 和N 是小圆的一条固定直径的两个端点.那么，当小圆这样滚过大圆内壁的一周，点,M N 在大圆内所绘出的图形大致是（ ）.【填空题】 【11】．已知2==a b ,(2)+a b ·-（）a b =-2，则a 与b 的夹角为 . 【12】．小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于12，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于14，则去打篮球；否则，在家看书，则小波周末不在家看书的概率为 .【13】．下图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是.【14】．若椭圆22221x y a b+=的焦点在x 轴上，过点（1，12）作圆22+=1x y 的切线，切点分别为,,A B 直线AB图1恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是 .【15】．（坐标系与参数方程选做题）若曲线的极坐标方程为=2sin 4cos ,ρθθ+以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为 . 【16】．（不等式选做题）对于实数x y ，,若11,21x y --≤≤,则21x y -+的最大值为 .【解答题】【17】．某饮料公司招聘了一名员工，现对其进行一项测试，以便确定工资级别．公司准备了两种不同的饮料共8杯，其颜色完全相同，并且其中4杯为A 饮料，另外4杯为B 饮料，公司要求此员工一一品尝后，从8杯饮料中选出4杯A 饮料．若4杯都选对，则月工资定为3500元；若4杯选对3杯，则月工资定为2800元；否则月工资定为2100元．令X 表示此人选对A 饮料的杯数，假设此人对A 和B 两种饮料没有鉴别能力. （1）求X 的分布列； （2）求此员工月工资的期望．【18】．在△ABC 中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ,已知sin cos 1sin 2CC C +=- . （1）求sin C 的值； （2）若224()8ab a b +=+-，求边c 的值.【19】．已知两个等比数列{}n a ，{}n b ，满足1a a =(0)a >，111b a -=，222b a -=，333b a -=.（1）若1a =，求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n a 唯一，求a 的值.【20】．设3211()232f x x x ax =-++. （1）若()f x 在2(,)3+∞上存在单调递增区间，求a 的取值范围. （2）当02a <<时，()f x 在[1,4]上的最小值为163-，求()f x 在该区间上的最大值. 【21】．000(,)()P x y x a ≠±是双曲线E ：22221(0,0)x y a b a b-=>>上一点，,M N 分别是双曲线E 的左、右顶点，直线,PM PN 的斜率之积为15． （1）求双曲线的离心率；（2）过双曲线E 的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于,A B 两点，O 为坐标原点，C 为双曲线上一点，满足OC OA OB λ=+，求λ的值．【22】．（1）如图1，对于任一给定的四面体1234A A A A ，找出依次排列的四个相互平行的1234,,,αααα，使得(1,2,3,4),i i A i α∈=且其中每相邻两个平面间的距离都相等；（2）给定依次排列的四个相互平行的平面1234,,,αααα，其中每相邻两个平面间的距离都为1，若一个正四面体1234A A A A 的四个顶点满足：(1,2,3,4),i i A i α∈= 求该正四面体1234A A A A 的体积.图1【参考答案】 【1】．D提示：i i i i i i i++-====--22122221z ，故2i z =+.故选（D ）. 【2】．B提示：{}{}{}11,02,01A x x B x x AB x x =-=<=<≤≤≤∩≤.故选（B ）. 【3】．A提示：∵()12log 210,0211x x +>∴<+<.1,02x ⎛⎫∴∈-⎪⎝⎭.故选（A ）. 【4】．C提示：()242'220,0x x f x x x x--=-->>.∵()()0,210. 2.x x x x >∴-+>∴>故选（C ）. 【5】．A 提示：∵212122,1S a a S a =+=∴=.∵31233,1S S S a =+=∴=.∵4134S S S =+=,41a ∴=，故101a =.故选（A ）.【6】．C提示：第一组变量正相关，第二组变量负相关. 故选（C ） 【7】．D 提示：设()5,x f x =则()()4625,53125,f f ==()615625,f =()778125,f =()8390625f =,…,故周期为4，因此201150243,=⨯+则()2011f =***8125.故选（D ）.【8】．C提示：由题意知，如果平面距离相等，根据两个三角形全等可知3221P P P P =；如果3221P P P P =，同样是根据两个三角形全等可知21d d =.故选（C ）.【9】．B 提示：曲线0222=-+x y x 表示以(1,0)为圆心，以1为半径的圆，曲线()0=--m mx y y 表示0,0=--=m mx y y 或．0=y 与圆有两个交点，故0=--m mx y （过定点(1,0)-）也应该与圆有两个交点，由直线与圆相切对应3333=-=m m 和，故m 的取值范围应是0,33⎛⎫⎛- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭∪．故选（B ）. 【10】．Ａ提示：如图2所示，设小圆的半径为r ，大圆的半径为2r ，显然对任意角θ，有022MA r r M A θθ=⋅==，这说明M 点总在水平直线运动，故N 点也在竖直直线上运动. 故选（A ）.【11】．3π提示：根据已知条件(2)+a b ·-（）a b =-2，去括号得 222422cos 242,θ+⋅-=+⨯⨯-⨯=-a a b b 解得1cos ,23θθπ==. 【12】．1613 提示：不在家看书的概率=2211134216⎛⎫⎛⎫π⨯+π-⨯π⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==π看电影+打篮球所有情况. 【13】．10提示：0,1,s n ==代入到解析式当中，0(1)10;s =+-+=2,0123;n s ==++=3,3(1)35;n s ==+-+=4,51410,n s ==++=此时9s >,输出．【14】．14522=+y x 提示：当斜率存在时，设过点（1，21）的直线方程为：21)1(+-=x k y ，根据直线与圆相切，圆心（0,0）到直线的距离等于半径1可以得到34k =-,将直线与圆的方程联立可以得到切点的坐标为（54,53）；当斜率不存在时，直线方程为1x =，根据两点34(1,0),(,)55A B 可以得到直线AB 的方程为220x y +-=,则与y 轴的交点即为上顶点坐标(2,0),2b =即，与x 轴的交点即为椭圆的右焦点， 1.c =即则222 5.a b c =+=故椭圆方程为221.54x y += 【15】．02422=--+y x y x图2提示：(1)根据已知θθρcos 4sin 2+==222=24,24,yxy x x y ρρρ⋅+⋅=+=+化简可得所以解析式为02422=--+y x y x .【16】．5解绝对值不等式可得: 2x 0≤≤，13y ≤≤，故113x +≤≤,y -6≤-2≤-2,两式相加,得1()x y ++-5≤-2≤1,因此21x y -+的最大值为5.【17】．解：（1）选对A 饮料的杯数分别为0,1,2,3,4,X X X X X =====其概率分布分别为：()044448C C 10C 70P ==，()134448C C 161C 70P ==，()224448C C 362C 70P ==，()314448C C 163C 70P ==，()044448C C 14C 70P ==.即（2）令Y 表示新录用员工的月工资，则Y 的所有可能取值为2100，2800，3500，则()13500(4),70P Y P X ====()82800(3),35P Y P X ====()532100(2).70P Y P X ===≤116533500280021002280.707070Y E =⨯+⨯+⨯=所以新录用员工月工资的期望为2280元.【18】．解：（1）已知2sin 1cos sin CC C -=+,2sin 2sin 2cos 2sin 2cos 2cos2sin 22222CC C C C C C -+=-+∴. 整理即有：22sincos 2sin sin 0,sin 2cos 2sin 102222222C C C C C C C ⎛⎫-+=-+= ⎪⎝⎭. 又C 为△ABC 中的角，所以sin02C≠. 所以222111sin cos ,sin cos ,2sin cos cos sin .22222422224C C C C C C C C ⎛⎫-=-=-++= ⎪⎝⎭ 所以32sincos ,224C C =所以3sin .4C = （2）由1sincos 0,222C C -=>得,4222C C πππ<<<<π即.则由3sin ,4C C ==得cos 由()2248ab a b +=+-，得()()22220,2, 2.a b a b -+-===解得由余弦定理得2222cos 8 1.ca b ab C c =+-=+=所以【19】．解：（1）设{}n a 的公比为q ，则112,b a =+=222,b aq q =+=+22333,b aq q =+=+由123,,b b b 成等比数列，得()()22223,q q +=+即2420,qq -+=解得12q =22q =所以{}n a的通项公式为((112,2.n n n n a a --==或（2）设{}n a 的公比为q ，则由()()()22213aq a aq +=++，得24310aq aq a -+-=， （*） 由0a >，得2440a a =+>Δ，故方程（*）有两个不同的实数根. 由{}n a 唯一，知方程（*）必有一根为0，代入（*）得31=a .【20】．解：（1）由()'22112()224fx x x a x a =-++=--++，当2,3x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭时，()'f x 的最大值为'22239f a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；令220,9a +>得19a >-.所以，当19a >-时，()x f 在⎪⎭⎫⎝⎛+∞,32内存在单调递增区间. （2）令()0,f x '=得两根121122x x == 所以12()(,),(,)f x x x -∞+∞在上单调递减，在12(,)x x 上单调递增.当02a <<时，有1214,x x <<<所以()f x 在[1，4]上的最大值为2()f x .又27(4)(1)60,(4)(1)2f f a f f -=-+<<即， 所以()f x 在[1，4]上的最小值为4016(4)833f a =-=-. 得21,2a x ==，从而()f x 在[1，4]上的最大值为10(2).3f = 【21】．解：（1）点000(,)()P x y x a ≠±在双曲线22221x y a b -=上，有2200221x y a b-=.由题意又有00001,5y y x a x a ⋅=-+可得2222225,6,c a b c a b b e a ==+===则 （2）联立2222255,410350,,x y b x cx b y x c ⎧-=-+=⎨=-⎩得设1122(,),(,)A x y B x y ，则122125,235.4c x x b x x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（*）设31233312,(,),,.x x x OC x y OC OA OB y y y λλλ=+⎧==+⎨=+⎩即又C 为双曲线上一点，即2223355,x y b -=有2221212()5()5x x y y b λλ+-+=，化简得22222211221212(5)(5)2(5)5x y x y x x y y b λλ-+-+-=.又1122(,),(,)A x y B x y 在双曲线上，所以222222112255,55x y b x y b -=-=由（*）式又有2212121212121255()()45()510x x y y x x x c x c x x c x x c b -=---=-++-=.得240,0, 4.λλλλ+===-解得或【22】．解：（1）如图2所示，取14A A 的三等分点23,,P P 13A A 的中点M ，24A A 的中点N ，过三点22,,A P M作平面2α，过三点33,,A P N 作平面3α，因为22A P //3NP ，33A P //2MP ，所以平面2α//平面3α，再过点14,A A 分别作平面14,αα与平面2α平行，那么四个平面1234,,,αααα依次相互平行，由线段14A A 被平行平面1234,,,αααα截得的线段相等知，其中每相邻两个平面间的距离相等，故1234,,,αααα为所求平面.（2）解法一：当（1）中的四面体为正四面体，若所得的四个平行平面， 每相邻两平面之间的距离为1，则正四面体1234A A A A 就是满足题意的正四面体.设正四面体的棱长为a ，以△234A A A 的中心O 为坐标原点，以直线4A O 为y 轴，直线1OA 为z 轴建立如图2的右手直角坐标系，1234),(,,0),(,,0),(0,,0)326263a a A a A a A A a --则 令23,P P 为14A A 的三等分点，N 为24A A的中点，有3(0,,),(,,0).99412a P a N ---所以334536331(,,),(,,0)(,0).444a P Na a NA a a A N a =--==-，设平面33A PN 的法向量为(,,),x y z =n 有330,0,P N NA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n即90,30.x x ⎧-+=⎪⎨=⎪⎩所以(1,=n因为1234,,,αααα相邻平面之间的距离为1，所以点4A 到平面33A P N 的距离为图2|()1(0(|1a -⨯++⨯=.解得a=1234A A A A 满足条件.所以所求正四面体的体积23113312VSh a a ==== 解法二：如图3，现将此正四面体1234A A A A 置于一个正方体1111ABCD A BC D -中（或者说，在正四面体的四个面外侧各镶嵌一个直角三棱锥，得到一个正方体），11,E F 分别是1111,A B C D 的中点，11EE D D 和11BB F F 是两个平行平面，若其距离为1，则四面体1234A A A A 即为满足条件的正四面体.图4是正方体的上底面，现设正方体的棱长为a ，若11,A M MN ==，则有1111,22a A E D E ===. 据1111111A D A E A M D E ⨯=⨯，得a =于是正四面体的棱长d==其体积333114633V a a a =-⨯==（即等于一个棱长为a 的正方体割去四个直角正三棱锥后的体积）【End 】图3 图4。

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语文英语数学(文) 数学(理) 文综理综新课标(宁、吉、本地下本地下本地下本地下本地下本地下黑、晋、豫、载迅雷高载迅雷高载迅雷高载迅雷高载迅雷高载迅雷高新) 速下载速下载速下载速下载速下载速下载全国卷语文英语数学(文) 数学(理) 文综理综(冀、桂、本地下本地下本地下本地下本地下本地下云、贵、甘、载迅雷高载迅雷高载迅雷高载迅雷高载迅雷高载迅雷高青、内蒙速下载速下载速下载速下载速下载速下载古、藏))语文英语数学(文) 数学(理) 文综理综本地下本地下本地下本地下本地下本地下北京卷载迅雷高载迅雷高载迅雷高载迅雷高载迅雷高载迅雷高速下载速下载速下载速下载速下载速下载语文英语数学(文) 数学(理) 理综文综本地下本地下本地下本地下载迅雷高载迅雷高载迅雷高载迅雷高速下载速下载速下载速下载上海卷物理化学生物历史地理政治本地下本地下本地下本地下本地下载迅雷高载迅雷高载迅雷高载迅雷高载迅雷高速下载速下载速下载速下载速下载语文英语文科数学理科数学文综理综本地下本地下本地下本地下辽宁卷载迅雷高载迅雷高载迅雷高载迅雷高同新课标同新课标速下载速下载速下载速下载语文英语数学(文) 数学(理) 文综理综本地下本地下本地下陕西卷同新课标载迅雷高载迅雷高载迅雷高同新课标同新课标速下载速下载速下载语文英语数学(文) 数学(理) 文综理综重庆卷本地下本地下本地下本地下本地下本地下载迅雷高载迅雷高载迅雷高载迅雷高载迅雷高载迅雷高速下载速下载速下载速下载速下载速下载语文英语数学(文) 数学(理) 文综理综本地下本地下本地下本地下本地下本地下福建卷载迅雷高载迅雷高载迅雷高载迅雷高载迅雷高载迅雷高速下载速下载速下载速下载速下载速下载语文英语数学(文) 数学(理) 文综理综本地下本地下本地下本地下湖南卷载迅雷高载迅雷高载迅雷高载迅雷高同新课标同新课标速下载速下载速下载速下载语文英语数学(文) 数学(理) 文综理综本地下本地下本地下本地下本地下本地下四川卷载迅雷高载迅雷高载迅雷高载迅雷高载迅雷高载迅雷高速下载速下载速下载速下载速下载速下载语文英语数学(文) 数学(理) 文综理综本地下本地下本地下本地下本地下本地下广东卷载迅雷高载迅雷高载迅雷高载迅雷高载迅雷高载迅雷高速下载速下载速下载速下载速下载速下载语文英语数学(文) 数学(理) 文综理综本地下本地下本地下本地下江西卷载迅雷高载迅雷高载迅雷高载迅雷高同新课标同新课标速下载速下载速下载速下载语文英语数学物理化学生物本地下本地下本地下本地下本地下本地下载迅雷高载迅雷高载迅雷高载迅雷高载迅雷高载迅雷高速下载速下载速下载速下载速下载速下载江苏卷历史地理政治本地下本地下本地下载迅雷高载迅雷高载迅雷高速下载速下载速下载语文英语数学(文) 数学(理) 文综理综本地下本地下本地下本地下湖北卷载迅雷高载迅雷高载迅雷高载迅雷高同全国卷同全国卷速下载速下载速下载速下载语文英语数学(文) 数学(理) 文综理综本地下本地下本地下本地下本地下本地下浙江卷载迅雷高载迅雷高载迅雷高载迅雷高载迅雷高载迅雷高速下载速下载速下载速下载速下载速下载自选模块本地下载迅雷高速下载语文英语数学(文) 数学(理) 文综理综本地下本地下本地下本地下本地下本地下载迅雷高载迅雷高载迅雷高载迅雷高载迅雷高载迅雷高速下载速下载速下载速下载速下载速下载山东卷基本能力本地下载迅雷高速下载语文英语数学(文) 数学(理) 文综理综本地下本地下本地下本地下本地下本地下天津卷载迅雷高载迅雷高载迅雷高载迅雷高载迅雷高载迅雷高速下载速下载速下载速下载速下载速下载语文英语数学(文) 数学(理) 文综理综本地下本地下本地下本地下本地下本地下安徽卷载迅雷高载迅雷高载迅雷高载迅雷高载迅雷高载迅雷高速下载速下载速下载速下载速下载速下载语文英语数学(文) 数学(理) 物理化学本地下本地下同新课标同新课标同新课标同新课标载迅雷高载迅雷高速下载速下载海南卷生物历史地理政治本地下本地下本地下本地下载迅雷高载迅雷高载迅雷高载迅雷高速下载速下载速下载速下载2010年各地高考试题及答案(word版)2009年各地高考试题及答案(word版)2008年各地高考试题及答案(word版)2007年各地高考试题及答案(word版)2006年各地高考试题及答案(word版) 本地下载迅雷高速下载2005年各地高考试题及答案(word版) 本地下载迅雷高速下载 1990-2004年全国高考语文试题及答案(word版) 本地下载迅雷高速下载 1994-2004年全国高考英语试卷及答案(word版) 本地下载迅雷高速下载 1988-2004年全国高考数学试卷及答案(word版) 本地下载迅雷高速下载 1990-2004年全国高考化学试题及答案(word版) 本地下载迅雷高速下载 2002-2004年全国高考物理试题及答案(word版) 本地下载迅雷高速下载 1952-1999年全国高考试卷及答案-语文(pdf 版) 本地下载迅雷高速下载 1952-1999年全国高考试卷及答案-数学(pdf版) 本地下载迅雷高速下载 1952-1999年全国高考试卷及答案-物理(pdf版) 本地下载迅雷高速下载 1952-1999年全国高考试卷及答案-化学(pdf版) 本地下载迅雷高速下载 1950-1999年全国高考试卷及答案-英语(pdf版) 本地下载迅雷高速下载1952-1993年全国高考试卷及答案-生物(pdf版) 本地下载迅雷高速下载 1951-1999年全国高考试卷及答案-政治(pdf版) 本地下载迅雷高速下载 1952-1999年全国高考试卷及答案-历史(pdf版) 本地下载迅雷高速下载 1952-1993年全国高考试卷及答案-地理(pdf版) 本地下载迅雷高速下载更多教学资源请登陆中国校长网教学资源频道。

2011年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)数学I参考公式：（1）样本数据12,,,n x x x 的方差2211()n i i s x x n ==-∑,其中11n i i x x n ==∑（2）直柱体的侧面积S ch =，其中c 为底面周长，h 是高 （3）柱体的体积公式V Sh =，其中S 为底面面积，h 是高试卷总分200 试卷时间 150一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填在题中横线上)1.已知集合A ＝{-1,1,2,4}，B ＝{-1,0,2}，则A∩B＝________.【答案】{-1,2}【解析】由交集的定义知A∩B＝{-1,1,2,4}∩{-1,0,2}＝{-1,2}. 【失分警示】把“∩”，“∪”意义混淆，导致求解结果错误. 【评析】本题主要考查“∩”的含义的理解及运算能力，正确识读“∩”符号的含义是解答本题的关键，属容易题. 2.函数的单调增区间是________.注 意 事 项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷共4页，均为非选择题（第1题～第20题，共20题）。

本卷满分为160分，考试时间为120分钟。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

2．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。

3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。

4．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。

5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。

h ttp://【答案】1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【解析】要使有意义，则2x+1>0，即x>-12，而y ＝为(0，+∞)上的增函数，当x>-12时，u ＝2x+1也为R 上的增函数，故原函数的单调增区间是1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭. 【失分警示】忽视2x+1>0这一约束条件是失分的主要原因. 【评析】本题主要考查复合函数单调性的判断方法及定义域的求解，考查学生逻辑推理及运算求解能力，属中等难度试题.3.设复数z 满足i(z+1)＝-3+2i(i 为虚数单位)，则z 的实部是________. 【答案】1【解析】解法一：∵i(z+1)＝-3+2i ， ∴z＝32i i -+-1＝-(-3i-2)-1＝1+3i ， 故z 的实部是1.解法二：令z ＝a+bi(a ，b∈R)，由i(z+1)＝-3+2i 得i[(a+1)+bi]＝-3+2i ， -b+(a+1)i ＝-3+2i ，∴b＝3，a ＝1， 故z 的实部是1.【失分警示】误区一：误认为i 2＝1；误区二：忽视复数相等的条件，运算失误导致求解结果错误.【评析】本题考查复数的有关概念及运算，将复数问题实数化是解决此类问题的关键，属容易题.4.根据如图所示的伪代码，当输入a ，b 分别为2,3时，最后输出的m 的值为________.【答案】3【解析】由已知可知，m 为a ，b 中的最大值，故最后输出的m 值为3.【失分警示】读不懂程序语句，导致求解结果错误.【评析】本题主要考查程序语句，对程序中条件语句的正确理解是解答本题的关键，属容易题.5.从1,2,3,4这四个数中一次随机地取两个数，则其中一个数是另一个数的两倍的概率是________.【答案】13【解析】从1,2,3,4这四个数中一次随机地取两个数的种数为24C ＝6(种)，其中一个数是另一个数的两倍的数对为1,2和2,4.故符合条件的概率为26＝13.【失分警示】把24C 误认为24A 是导致本题失分的主要原因.【评析】本题主要考查组合知识和古典概型，考查学生逻辑能力和分析问题、解决问题的能力，属容易题.6.某老师从星期一到星期五收到的信件数分别为10,6,8,5,6，则该组数据的方差s 2＝________.【答案】165【解析】记星期一到星期五收到的信件数分别为x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，则X ＝∴s 2＝15[(x 1-X )2+(x 2-X )2+(x 3-X )2+(x 4-X )2+(x 5-X )2]＝15[(10-7)2+(6-7)2+(8-7)2+(5-7)2+(6-7)2]＝165.【失分警示】误区一：X 求解错误.误区二：方差公式记忆错误导致s 2求解结果错误.【评析】本题主要考查方差的公式，考查学生的运算求解能力.公式记忆准确，运算无误是解答本题的关键，属中等难度试题.7.已知tan 4x π⎛⎫+⎪⎝⎭＝2，则tan tan 2x x的值为________. 【答案】49【解析】【失分警示】两角和或差的正切公式记忆错误是学生丢分的主要原因.【评析】本题主要考查两角和或差的正切公式的应用，考查学生的运算求解能力，本题中由tan 4⎛⎫+ ⎪⎝⎭x π＝2正确求得tanx ＝13是解答本题的关键，属中等难度试题.8.在平面直角坐标系xOy 中，过坐标原点的一条直线与函数f(x)＝2x的图象交于P ，Q 两点，则线段PQ 长的最小值是________. 【答案】4【解析】假设直线与函数f(x)＝2x的图象在第一象限内的交点为P ，在第三象限内的交点为Q ，由题意知线段PQ 的长为OP 长的2倍. 假设P 点的坐标为002,x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则|PQ|＝2|OP|＝≥4.当且仅当20x ＝204x ，即x 0＝2时，取“＝”.【失分警示】误区一：将线段PQ 的长误认为是|PQ|2. 误区二：将|OP|最小值误认为是所求线段PQ 长的最小值.【评析】本题考查两点间距离公式及均值定理等相关知识，考查学生分析问题、解决问题的能力，将最值问题转化为均值定理来求解是解答本题的关键，属中等难度试题.9.函数f(x)＝Asin(ωx+φ)(A，ω，φ为常数，A>0，ω>0)的部分图象如图所示，则f(0)的值是________.【答案】62【解析】由图可知A ＝2，，∴T＝π.又2πω＝T ，∴ω＝2ππ＝2. 根据函数图象的对应关系得2×3π+φ＝kπ(k∈Z)，∴φ＝kπ-23π(k∈Z).取φ＝3π，则f(x)223x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭，∴f(0)＝23π6【失分警示】误区一：误将2π作为函数的周期，导致求ω出错. 误区二：不能根据题意正确求得φ的值，进而导致函数解析式求错，从而求错f(0)的值. 【评析】本题主要考查y ＝Asin(ωx+φ)的图象与性质以及三角函数周期公式T ＝2πω(ω>0)的求法，属理解层次，由图象准确确定φ的值是解答本题的关键.10.已知1e ，2e 是夹角为23π的两个单位向量，a ＝1e -22e ，b ＝k 1e +2e .若a ·b＝0，则实数k 的值为________. 【答案】54【解析】由题意a ·b ＝0即有(1e -22e )·(k 1e +2e )＝0，∴k 21e +(1-2k) 1e ·2e -222e ＝0.又|1e |＝|2e |＝1，〈1e ，2e 〉＝23π，∴k -2+(1-2k)·cos23π＝0， ∴k -2＝122k -，∴k＝54. 【失分警示】误区一：向量内积的定义理解不到位； 误区二：运算失误，例如将cos23π误认为是12导致求解结果错误.【评析】本题主要考查向量内积的运算，考查学生的运算求解能力.属中等难度试题.11.已知实数a≠0，函数f(x)＝若f(1-a)＝f(1+a)，则a 的值为________. 【答案】-34【解析】分类讨论：(1)当a>0时，1-a<1,1+a>1. 这时f(1-a)＝2(1-a)+a ＝2-a ； f(1+a)＝-(1+a)-2a ＝-1-3a.由f(1-a)＝f(1+a)得2-a ＝-1-3a ，解得a ＝-32， 不符合题意，舍去.(2)当a<0时，1-a>1,1+a<1， 这时f(1-a)＝-(1-a)-2a ＝-1-a ； f(1+a)＝2(1+a)+a ＝2+3a ，由f(1-a)＝f(1+a)得-1-a ＝2+3a ，解得a ＝-34.综合(1)，(2)知a 的值为-34【失分警示】由f(1-a)＝f(1+a)，误认为函数f(x)的周期为1，导致求解结果错误. 【评析】本题主要考查分段函数的相关知识，能根据题目要求对a 进行分类讨论是解答此题的关键，属中等难度试题.12.在平面直角坐标系xOy 中，已知P 是函数f(x)＝e x(x>0)的图象上的动点，该图象在点P 处的切线l 交y 轴于点M.过点P 作l 的垂线交y 轴于点N.设线段MN 的中点的纵坐标为t ，则t 的最大值是________. 【答案】2e +12e【解析】设P(x 0，0x e)(x 0>0), f ′(x)＝(e x )′＝e x，∴点P 处的切线l ，其斜率为f ′(x 0)＝0x e ，过点P 作l 的垂线l′，其斜率为-0x1e .∴直线l 的方程为，令x ＝0得直线l′的方程为，令x ＝0得由题意令∴当x0<1时，g ′(x0)>0，函数g(x0)为增函数.当x0>1时，g ′(x0)<0，函数g(x0)为减函数.∴g(x0)在x0＝1处取极大值，亦即x0>0时t的最大值.【失分警示】误区一：导数的几何意义掌握不到位，不能求出y M，y N.误区二：求得函数关系t＝g(x0)后，不能利用导数求t的最值.【评析】本题考查导数的几何意义、直线方程、导数的应用等相关知识，知识点较多，难度偏大，考查学生的运算求解能力、分析问题解决问题的综合能力.13.设1＝a1≤a2≤…≤a7，其中a1，a3，a5，a7成公比为q的等比数列，a2，a4，a6成公差为1的等差数列，则q的最小值是________.33【解析】∵a1，a3，a5，a7成公比为q的等比数列，又a1＝1，∴a3＝q，a5＝q2，a7＝q3，又a2，a4，a6成公差为1的等差数列，∴a4＝a2+1，a6＝a2+2.由1＝a1≤a2≤a3≤…≤a7，即有解得33≤q≤3，故q 的最小值为33.【失分警示】不理解题意，无法获得相应的不等关系是学生失分的主要原因.【评析】本题主要考查等差、等比数列的通项公式，考查学生的逻辑思维能力和分析问题、解决问题的能力，属中等难度试题. 14.设集合，B ＝{(x ，y)|2m≤x+y≤2m+1，x ，y∈R}.若A∩B≠∅，则实数m 的取值范围是________.【答案】【解析】由A≠∅可知m 2≥2m ，解得m≤0或m≥12.由题意知，若A∩B≠∅， 则有(1)当2m+1<2，即m<12时，圆心(2,0)到直线x+y ＝2m+1的距离为d 1＝≤|m|，化简得2m 2-4m+1≤0， 解得1-22≤m≤1+22，所以1-22≤m<12.(2)当2m≤2≤2m+1，即12≤m≤1时，A∩B≠∅恒成立.(3)当2m>2，即m>1时，圆心(2,0)到直线x+y ＝2m 的距离为d 2＝≤|m|，化简得m 2-4m+2≤0， 解得2-2≤m≤2+2， 所以1<m≤2+2.综上可知：满足题意的m 的取值范围为.【失分警示】读不懂题意，分析不彻底是解答本题失分的主要原因.【评析】本题主要考查圆与直线的位置关系，考查学生综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力.能根据圆心与直线的位置关系分类讨论是解答本题的关键，本题属较难题目.二、解答题(本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.(本小题满分14分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.(Ⅰ)若sin 6A π⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝2cos A ，求A 的值；(Ⅱ)若cos A ＝13，b ＝3c ，求sin C 的值. 【解析】(Ⅰ)由题设知sin Acos 6π+cos Asin 6π＝2cos A.从而sin A ＝3cos A ，所以cosA≠0，tan A ＝3.因为0<A<π，所以A ＝3π.(Ⅱ)由cos A ＝13，b ＝3c 及a 2＝b 2+c 2-2bccos A ，得a 2＝b 2-c 2.故△ABC 是直角三角形，且B ＝2π.所以sin C ＝cos A ＝13.【失分警示】由余弦定理及b ＝3c ，求得a ＝22c 后，方向不明确，思维受阻.事实上有两个方向均可，一是注意到a 2+c 2＝9c 2＝(3c)2＝b 2，出现直角三角形，二是利用正弦定理，并由a ＝22c>c ，直接求解.当然方法二要注意到a>c ，角C 不可能是钝角，不需要分类讨论. 【评析】本题考查同角三角函数的关系，两角和公式，正弦定理，余弦定理，对运算能力有较高要求，对解题程序设计能力考查较为深入，不同的思路运算量差别较大.16.(本小题满分14分)如图，在四棱锥P-ABCD 中，平面PAD⊥平面ABCD ，AB ＝AD ，∠BAD＝60°，E ，F 分别是AP ，AD 的中点.求证：(Ⅰ)直线EF∥平面PCD ； (Ⅱ)平面BEF⊥平面PAD.【解析】(Ⅰ)在△PAD 中，因为E ，F 分别为AP ，AD 的中点，所以EF∥PD.又因为EF⊄平面PCD，PD⊂平面PCD，所以直线EF∥平面PCD.(Ⅱ)连结BD.因为AB＝AD，∠BAD＝60°，所以△ABD为正三角形.因为F是AD的中点，所以BF⊥AD.因为平面PAD⊥平面ABCD，BF⊂平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以BF⊥平面PAD.又因为BF⊂平面BEF，所以平面BEF⊥平面PAD.【失分警示】证明过程中关键步骤省略或遗漏常导致无谓失分，此外学生对如何证面与面垂直认识模糊、思路不清也是失分的原因之一.【评析】本题考查直线与平面、平面与平面的位置关系的判定、性质，对考生的文字或符号表达能力、空间想象能力、推理论证能力均有较高要求，难度中等偏难.17.(本小题满分14分)请你设计一个包装盒.如图所示，ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒.E，F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点.设AE＝FB＝x(cm).(Ⅰ)某广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大，试问x应取何值？(Ⅱ)某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.【解析】设包装盒的高为h(cm)，底面边长为a(cm).由已知得a＝2x，h＝6022x-＝2 (30-x)，0<x<30.(Ⅰ)S＝4ah＝8x(30-x)＝-8(x-15)2+1 800，所以当x＝15时，S取得最大值.(Ⅱ)V＝a 2h ＝22(-x 3+30x 2)，V′＝62x(20-x). 由V′＝0得x ＝0(舍)或x ＝20.当x∈(0,20)时，V′>0；当x∈(20,30)时，V′<0.所以当x ＝20时，V 取得极大值，也是最大值.此时h a ＝12.即包装盒的高与底面边长的比值为12. 【失分警示】应用问题的难点是建立适当的数学模型.对变量取值范围的限制不准确常常导致失分.对实际问题求最值时，也易犯经验主义错误，想当然地认为正方体时取最值.【评析】本题考查函数的概念、导数求法等基础知识，考查数学建模能力、空间想象能力、数学阅读能力、运算能力及解决实际问题的能力等，要求高，难度较大，易错点颇多.18.(本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，M ，N 分别是椭圆24x +22y ＝1的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P ，A 两点，其中点P 在第一象限.过P 作x 轴的垂线，垂足为C.连结AC ，并延长交椭圆于点B.设直线PA 的斜率为k.(Ⅰ)若直线PA 平分线段MN ，求k 的值；(Ⅱ)当k ＝2时，求点P 到直线AB 的距离d ；(Ⅲ)对任意的k>0，求证：PA⊥PB.【解析】(Ⅰ)由题设知，a ＝2，b ＝2，故M(-2,0)，N(0，-2)，所以线段MN 中点的坐标为21,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭.由于直线PA 平分线段MN ，故直线PA 过线段MN 的中点，又直线PA 过坐标原点，所以k ＝221--＝22.(Ⅱ)直线PA 的方程为y ＝2x ，代入椭圆方程得24x +242x ＝1，解得x ＝±23，因此P 24,33⎛⎫ ⎪⎝⎭，A 24,33⎛⎫-- ⎪⎝⎭.于是C 2,03⎛⎫- ⎪⎝⎭，直线AC 的斜率为＝1，故直线AB 的方程为x-y-23＝0.因此，.(Ⅲ)解法一：将直线PA 的方程y ＝kx 代入24x +22y ＝1，解得x ＝±.记μ＝，则P(μ，μk)，A(-μ，-μk).于是C(μ，0).故直线AB 的斜率为，其方程为y ＝2k (x-μ)，代入椭圆方程得(2+k 2)x 2-2μk 2x-μ2(3k 2+2)＝0，解得或x ＝-μ.因此.于是直线PB 的斜率因此k 1k ＝-1，所以PA⊥PB. 解法二：设P(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则x 1>0，x 2>0，x 1≠x 2，A(-x 1，-y 1)，C(x 1,0).设直线PB ，AB 的斜率分别为k 1，k 2.因为C 在直线AB 上，所以从而k 1k+1＝2k 1k 2+1＝2因此k 1k ＝-1，所以PA⊥PB.【失分警示】第(Ⅰ)小问常见错误是联解直线AP 与直线MN 的方程组.求出交点坐标(用k 表示)，再由中点坐标公式构建关于k 的方程求k.运算复杂，步骤较多，易造成计算错误或耗时失分.处理第(Ⅱ)小问思维受阻后，如果利用第(Ⅲ)小问的结论通过面积法求点P 到直线AB 的距离，事实上并不太容易，需要联解方程组,当然利用k PB ＝-12可较快求出B 点坐标.【评析】本题主要考查椭圆的标准方程及几何性质、直线方程、直线的垂直关系、点到直线的距离等基础知识，是解析几何的经典题型.对考生的运算能力有较高的要求，对考生的心理素质的要求也较高，属难题.19.(本小题满分16分)已知a ，b 是实数，函数f(x)＝x 3+ax ，g(x)＝x 2+bx, f ′(x)和g′(x)分别是f(x)和g(x)的导函数.若f ′(x)g′(x)≥0在区间I 上恒成立，则称f(x)和g(x)在区间I 上单调性一致.(Ⅰ)设a>0.若f(x)和g(x)在区间[-1，+∞)上单调性一致，求b 的取值范围；(Ⅱ)设a<0且a≠b.若f(x)和g(x)在以a ，b 为端点的开区间上单调性一致，求|a-b|的最大值.【解析】f ′(x)＝3x 2+a ，g′(x)＝2x+b.(Ⅰ)由题意知f ′(x)g′(x)≥0在[-1，+∞)上恒成立.因为a>0，故3x 2+a>0，进而2x+b≥0，即b≥-2x 在区间[-1，+∞)上恒成立，所以b≥2.因此b 的取值范围是[2，+∞).(Ⅱ)令f ′(x)＝0，解得x 3a -若b>0，由a<0得0∈(a，b).又因为f ′(0)g′(0)＝ab<0，所以函数f(x)和g(x)在(a ，b)上不是单调性一致的.因此b≤0.现设b≤0.当x∈(-∞，0)时，g′(x)<0；当x∈,3a ⎛-∞-- ⎝时， f ′(x)>0.因此， 当x∈,3a ⎛-∞-- ⎝时， f ′(x)g′(x)<0. 故由题设得a≥3a -b≥3a -从而-13≤a<0，于是-13≤b≤0.因此|a-b|≤13，且当a ＝-13，b ＝0时等号成立. 又当a ＝-13，b ＝0时，f ′(x)g′(x)＝6x 219x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，从而当x∈1,03⎛⎫- ⎪⎝⎭时f ′(x)g ′(x)>0，故函数f(x)和g(x)在1,03⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调性一致.因此|a-b|的最大值为13.【失分警示】当a<0时，由于f ′(x)的符号不确定，容易误认为先对a进行分类讨论，其次再对b进行分类讨论时，分类标准难以确定，导致分类混乱，也是常见的失分原因. 【评析】本题考查函数的概念、性质及导数等基础知识，对数形结合思想、函数与方程思想均有考查，对分类讨论思想的考查要求很高，要求考生具备较强的综合思维能力和运算能力，属难题.20.(本小题满分16分)设M为部分正整数组成的集合，数列{a n}的首项a1＝1，前n项的和为S n，已知对任意的整数k∈M，当整数n>k时，S n+k+S n-k＝2(S n+S k)都成立.(Ⅰ)设M＝{1}，a2＝2，求a5的值；(Ⅱ)设M＝{3,4}，求数列{a n}的通项公式.【解析】(Ⅰ)由题设知，当n≥2时，S n+1+S n-1＝2(S n+S1)，即(S n+1-S n)-(S n-S n-1)＝2S1.从而a n+1-a n ＝2a1＝2.又a2＝2，故当n≥2时，a n＝a2+2(n-2)＝2n-2.所以a5的值为8.(Ⅱ)由题设知，当k∈M＝{3,4}且n>k时，S n+k+S n-k＝2S n+2S k且S n+1+k+S n+1-k＝2S n+1+2S k，两式相减得a n+1+k+a n+1-k＝2a n+1，即a n+1+k-a n+1＝a n+1-a n+1-k.所以当n≥8时，a n-6，a n-3，a n，a n+3，a n+6成等差数列，且a n-6，a n-2，a n+2，a n+6也成等差数列.从而当n≥8时，2a n＝a n+3+a n-3＝a n+6+a n-6，(*)且a n+6+a n-6＝a n+2+a n-2.所以当n≥8时，2a n＝a n+2+a n-2，即a n+2-a n＝a n-a n-2.于是当n≥9时，a n-3，a n-1，a n+1，a n+3成等差数列，从而a n+3+a n-3＝a n+1+a n-1，故由(*)式知2a n＝a n+1+a n-1，即a n+1-a n＝a n-a n-1.当n≥9时，设d＝a n-a n-1.当2≤m≤8时，m+6≥8，从而由(*)式知2a m+6＝a m+a m+12，故2a m+7＝a m+1+a m+13.从而2(a m+7-a m+6)＝a m+1-a m+(a m+13-a m+12)，于是a m+1-a m＝2d-d＝d.因此，a n+1-a n＝d对任意n≥2都成立.又由S n+k+S n-k-2S n＝2S k(k∈{3,4})可知(S n+k-S n)-(S n-S n-k)＝2S k，故9d＝2S3且16d＝2S4.解得a4＝72d，从而a2＝32d，a1＝2d.因此，数列{a n}为等差数列.由a1＝1知d＝2.所以数列{a n}的通项公式为a n＝2n-1.【失分警示】使用S n与a n之间的关系式时，易忽略n≥2的条件.此外，对题意的理解困难导致思维受阻也是本题的失分之处.【评析】本题考查数列的概念，数列的通项与前n项和之间的关系，以及等差数列、等比数列的基础知识，对考生的分析探究能力、运算能力、逻辑推理能力均有较高要求.数学II （附加题）21.【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在答题卡指定．．．．．．．．．．．．．．．区域内作答．．．．．，若多做，则按作答的前两题评分。

选择题1．已知集合P =｛x ︱x 2≤1｝，M =｛a ｝.若P ∪M =P ,则a 的取值范围是（ ）. （A ）(－∞, －1] （B ）[1, +∞） （C ）[－1，1] （D ）（－∞，－1] ∪[1，+∞） 2．复数i 212i-=+（ ）.（A ）i （B ）－i（C ）43i 55-- （D ）43i 55-+ 3．在极坐标系中，圆ρ=－2sin θ的圆心的极坐标是（ ）.（A ）(1,)2π （B ）π(1,)2-（C ） (1,0) （D ）(1，π)4．执行如下图所示的程序框图，输出的s 值为（ ）. （A ）－3 （B ）－12（C ）13（D ）25．如下图，AD ，AE ，BC 分别与圆O 切于点D ，E ，F ，延长AF 与圆O 交于另一点G .给出下列三个结论： ①AD+AE=AB+BC+CA ； ②AF ·AG =AD ·AE ； ③△AFB ～△ADG 其中正确结论的序号是（ ）. （A ）①② （B ）②③ （C ）①③ （D ）①②③6．根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间（单位：分钟）为,()x A f x x A <=≥（A ，c 为常数）.已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A 件产品用时15分钟，那么c 和A 的值分别是（ ）. （A ）75，25 （B ）75，16 （C ）60，25 （D ）60，16 7．某四面体的三视图如下图所示，该四面体四个面的面积中，最大的是（ ）.（A ）8（B）（C ）10（D）8．设()0,0A ,()4,0B ，()4,4C t +,()(),4D t t ∈R .记()N t 为平行四边形ABCD 内部（不含边界）的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则函数()N t 的值域为（ ）. （A ）{}9,10,11 （B ）{}9,10,12（C ）{}9,11,12（D ）{}10,11,12填空题9．在ABC △中，若b =5，π4B ∠=，tan A =2，则sin A =____________；a =_______________. 10．已知向量a =1），b =（0，－1），c =（k.若a －2b 与c 共线，则k =___________________. 11．在等比数列{a n }中，a 1=12，a 4=－4，则公比q =_____________；12...n a a a +++=___________. 12．用数字2,3组成四位数，且数字2,3至少都出现一次，这样的四位数共有__________个.（用数字作答）13．已知函数32,2()(1),2x f x x x x ⎧⎪=⎨⎪-<⎩≥，．若关于x 的方程f (x )=k 有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是_______.14．曲线C 是平面内与两个定点F 1（－1，0）和F 2（1，0）的距离的积等于常数)1(2>a a 的点的轨迹.给出下列三个结论： ① 曲线C 过坐标原点；② 曲线C 关于坐标原点对称；③若点P 在曲线C 上，则△F 1PF 2的面积不大于21a 2. 其中，所有正确结论的序号是 . 解答题15．已知函数π()4cos sin()16f x x x =+-.（Ⅰ）求()f x 的最小正周期;（Ⅱ）求()f x 在区间ππ,64⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值. 16．如下图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面A B C D ，底面ABCD 是菱形，2,60A B B A D =∠=. (Ⅰ)求证：BD ⊥平面;PAC （Ⅱ）若,PA AB =求PB 与AC 所成角的余弦值；（Ⅲ）当平面PBC 与平面PDC 垂直时，求PA 的长.17．以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数.乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X 表示.（Ⅰ）如果X =8,求乙组同学植树棵数的平均数和方差；（Ⅱ）如果X =9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数Y 的分布列和数学期望.（注：方差()()()2222121n s x x x x x x n ⎡⎤=-+-++-⎢⎥⎣⎦，其中x 为1x ，2x ，…… n x 的平均数）18．已知函数2()()e x kf x x k =-.（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）若对于任意的(0,)x ∈+∞，都有()f x ≤1e，求k 的取值范围. 19．已知椭圆22:14x G y +=.过点（m ,0）作圆221x y +=的切线l 交椭圆G 于A ，B 两点.（I ）求椭圆G 的焦点坐标和离心率；（II ）将AB 表示为m 的函数，并求AB 的最大值.20．若数列12,:,...,(2)n n A a a a n ≥满足11(1,2, (1)k k a a k n +-==-，则称n A 为E 数列，记()n S A =12n a a a +++．（Ⅰ）写出一个满足150a a ==，且5()S A >0的E 数列5A ；（Ⅱ）若112a =，n =2000，证明：E 数列n A 是递增数列的充要条件是n a =2011；（Ⅲ）对任意给定的整数n （n ≥2），是否存在首项为0的E 数列n A ，使得()n S A =0？如果存在，写出一个满足条件的E 数列n A ；如果不存在，说明理由..0)(,01==n A S a参考答案1.C提示：本题应先确定集合P 从而得出a 的取值范围. 2.A 提示：i 2(i 2)(12i)5ii 12i (12i)(12i)5---===++-. 3.B提示：把极坐标转化为普通方程为22(1)1x y ++=，求出圆心为(0,1)-，再化为极坐标π(1,)2-. 4.D提示：i 0=，211213s -==+； i 1=，11131213s -==-+；i 2=，1123112s --==--+， i 3=，31231s --==-+；当i 4=时，跳出循环. 5.A提示：由切线长定理易知,CE CF BF BD ==，所以AD AE AB BC CA +=++，①正确由切割线定理2A D A F A G =⋅，所以A F A G A DA E ⋅=⋅，②正确；因为AFD ADG ∠=∠，所以A FB A D G ∠≠∠，因此AFB △与ADG △不相似，③不正确.6.D提示：由题意可知4A <30=15=，解得60c =，16A =. 7.C提示：根据三视图还原几何体如下图所示.10PAC s =△， 8PAB s =△，PBC s =△，6ABC s =△.8.C提示：平行四边形ABCD 的边AB 在x 轴上，CD 在直线y =4上.设y =k (k =1,2,3)与AD 的交点为Ａk ，与BC 的交点为B k ，则所求的整点均在线段A k B k 上（不含四边形边界）.因为|A k B k |=|AB |=4，所以线段A k B k 上的整点有3个或4个.所以N （t ）∈[9,12]，不难求出44 C123123331,23123424424t t t t t A A A t B B B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，，，+4，，+4，，+4，,因此，当t 是4的倍数时，A 1，A 2，A 3，B 1，B 2，B 3均是整点，N （t ）=9；当t 是2的倍数时，只A 2，B 2是整点，N （t ）=11；当t 是上述两种情形以外时，A 1，A 2，A 3，B 1，B 2，B 3均不是整点，此时N （t ）=12.综上，N （t ）的值域为{9,11,12}.提示：由tan 2A =，得到sin A =sin sin a b A B =得到a = 10.1提示：2-a b=与(k =c共线，所以3k =，因此1k =.11.－2 2121--n 提示：3341142a a q q =⋅=⋅=-，所以2q =-；12n a a a +++=2112422n -+++++=1(12)212n --=1122n --.12.14提示：用数字2,3组成四位数共有16个，减去都是2或3的两个数，所以共有14个. 13.（0，1）提示：在坐标系中画出函数图像，若关于x 的方程()f x k =有两个不同的实数根，则实数k 的取值范围是(0,1). 14.②③提示：由题意可知212PFPF a ⋅=2a .若要化简曲线方程比较困难.而①曲线C 经过原点，把(0,0)代人得出1a =，不合题意；②图像关于原点对称，把(,)x y2a =方程依然成立，所以图像关于原点对称；③12212121sin 22F F Pa s PF PF F PF =⋅∠△≤. 15．解：（Ⅰ）因为π()4cos sin()16f x x x =+-1)cos 21sin 23(cos 4-+=x x x1cos 22sin 32-+=x xx x 2cos 2sin 3+=π2sin(2)6x =+.所以)(x f 的最小正周期为π.（Ⅱ）因为ππππ2π,2.64663x x --+≤≤所以≤≤ 于是，当πππ2,626x x +==即时，)(x f 取得最大值2；当πππ2,,()666x x f x +=-=-即时取得最小值－1.16．证明：（Ⅰ）因为四边形ABCD 是菱形， 所以AC ⊥BD .又因为P A ⊥平面ABCD . 所以P A ⊥BD .所以BD ⊥平面P AC . （Ⅱ）设AC ∩BD =O . 因为∠BAD =60°，P A =PB =2,所以BO =1，AO =CO =3.如下图，以O 为坐标原点，建立空间直角坐标系O －xyz ，则P （0，－3，2），A （0，－3，0），B （1，0，0），C （0，3，0）. 所以).0,32,0(),2,3,1(=-= 设PB 与AC 所成角为θ，则cos 4||||2PB AC PB AC θ⋅===⋅.（Ⅲ）由（Ⅱ）知).0,3,1(-=BC 设P （0，－3，t ）（t >0）， 则),3,1(t --=.设平面PBC 的法向量(,,)x y z =m , 则0,0BC BP ⋅=⋅=m m .所以0,0.x x tz ⎧-+=⎪⎨--+=⎪⎩ 令,3=y 则.6,3t z x ==所以)6,3,3(t=m .同理，平面PDC 的法向量)6,3,3(t-=n .因为平面PCB ⊥平面PDC , 所以⋅m n =0，即03662=+-t. 解得6=t .所以P A =6.17.解（1）当X =8时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是：8，8，9，10，所以平均数为8891035;44x +++==方差为.1611])43510()4359()4358()4358[(4122222=-+-+-+-=s （Ⅱ）当X =9时，由茎叶图可知，甲组同学的植树棵树是：9，9，11，11；乙组同学的植树棵数是：9，8，9，10.分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，共有4×4=16种可能的结果，这两名同学的植树总棵数Y 的可能取值为17，18，19，20，21.事件“Y =17”等价于“甲组选出的同学植树9棵，乙组选出的同学植树8棵”，所以该事件有2种可能的结果，因此P （Y =17）=.81162= 同理可得;41)18(==Y P ;41)19(==Y P .81)21(;41)20(====Y P Y P 所以随机变量Y 的分布列为：EY =17×81+18×41+19×41+20×41+21×81 =19.18.解：（Ⅰ）221()()e .xk f x x k k'=-令()0f x '=，得k x ±=.当k >0时，)()(x f x f '与的情况如下:所以，)(x f 的单调递增区间是(k -∞-,)和),(+∞k ；单调递减区间是),(k k -.当k <0时，)()(x f x f '与的情况如下:所以，)(x f 的单调递减区间是（,k -∞）和(,)k -+∞；单调递增区间是),(k k -（Ⅱ）当k >0时，因为11(1)e ek kf k ++=>，所以不会有1(0,),().e x f x ∀∈+∞≤当k <0时，由（Ⅰ）知)(x f 在（0，+∞）上的最大值是24().e k f k -= 所以1(0,),()e x f x ∀∈+∞≤等价于241().e ek f k -=≤ 解得102k -<≤. 故当1(0,),()ex f x ∀∈+∞≤时，k 的取值范围是).0,21[- 19.解：（Ⅰ）由已知得,1,2==b a所以c ==所以椭圆G 的焦点坐标为)0,3(),0,3(-.离心率为.23==a c e（Ⅱ）由题意知，||1m ≥.当1=m 时，切线l 的方程为1=x ，点A ，B 的坐标分别为),23,1(),23,1(-此时3||=AB .当m =－1时，同理可得3||=AB .当1||>m 时，设切线l 的方程为()y k x m =-．由2222222(),(14)844014y k x m k x k mx k m x y =-⎧⎪+-+-=⎨+=⎪⎩得．， 设A ，B 两点的坐标分别为),)(,(2211y x y x ，则2222122214144,418k m k x x k mk x x +-=+=+. 又由l 与圆.1,11||,1222222+==+=+k k m k km y x 即得相切所以212212)()(||y y x x AB -+-=]41)44(4)41(64)[1(2222242k m k k m k k +--++=2.3||342+=m m由于当1m =±时，,3||=AB 所以),1[]1,(,3||34||2+∞--∞∈+=m m m AB .因为||2,||||AB m m ==+ 且当3±=m 时，|AB |=2，所以|AB |的最大值为2.20.解：（Ⅰ）0，1，2，1，0是一个满足条件的E 数列A 5.（答案不唯一，0，1，0，1，0也是一个满足条件的E 数列A 5） （Ⅱ）必要性：因为E 数列A n 是递增数列，所以)1999,,2,1(11 ==-+k a a k k . 所以A n 是首项为12，公差为1的等差数列. 所以a 2000=12+（2000－1）×1=2011. 充分性，由于a 2000－a 1999≤1，a 1999－a 1998≤1…… a 2－a 1≤1所以a 2000－a 1≤1999，即a 2000≤a 1+1999.又因为a 1=12，a 2000=2011,所以a 2000=a 1+1999.故110(1,2,,1999),k k n a a k A +-=>=即是递增数列.综上，结论得证.（Ⅲ）令1(1,2,,1), 1.k k k k c a a k n c +=-=-=±则 因为211a a c =+，a 3=a 1+c 1+c 2，…… 1121,n n a a c c c -=++++所以13211)3()2()1()(-++-+-+-+=n n c c n c n c n na A S)].1()2)(1()1)(1[(2)1(121--++--+----=n c n c n c n n 因为).1,,1(1,1-=-±=n k c c k k 为偶数所以所以121(1)(1)(1)(2)(1)n c n c n c ---+--++-为偶数, 所以要使2)1(,0)(-=n n A S n 必须使为偶数, 即4整除(1),441(*)n n n m n m m -==+∈N 亦即或.当4143424(*),0,1,n k k k n m m E A a a a ---=∈===-N 时数列的项满足14=k a ， ),,2,1(m k =时，有;0)(,01==n A S a当41(*),n n m m E A =+∈N 时数列的项满足，4143420,1,k k k a a a ---===- 44111(1,2,,),0,0,()0;k m n a k m a a S A +=====时有当4243(),(1)n m n m m n n =+=+∈-N 或时不能被4整除，此时不存在E 数列A n ， 使得.0)(,01==n A S a。

选择题1.有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下：[11.5，15.5） 2 [15.5, 19.5) 4 [19.5, 23.5) 9 [23.5, 27.5) 18 [27.5, 31.5) 11 [31.5, 35.5) 12 [35.5, 39.5) 7 [39.5, 43.5) 3 根据样本的频率分布估计，数据落在[31.5,43.5）的概率约是（ ）（A ）16 （B ）13 （C ）12 （D ）232．复数1i i-+=（ ）（A ）2i - （B ）1i 2（C ）0 （D ）2i3.123,,l l l 是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（ ）（A ）122313,l l l l l l ⊥⊥⇒∥ (B) 122313,l l l l l l ⊥⇒⊥∥ （C ）123123,l l l l l l ⇒∥∥,共面 (D) 123123,,,l l l l l l ⇒共点,共面 4.如下图，正六边形ABCDEF 中，BA CD EF ++=（ ） （A ）0 （B ）BE （C ）AD （D ）CF5.函数()f x 在点0x x =处有定义是()f x 在点0x x =处连续的（ ） （A ）充分而不必要的条件 （B ）必要而不充分的条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要的条件6.在ABC △中，222sin sin sin sin sin A B C B C +-≤，则A 的取值范围是（ ）（A ）(0,]6π（B ）[,)6ππ （C ）0]3π（， （D ）[,)3ππ 7.已知()f x 是R 上的奇函数,且当0x >时，1()()12xf x =+，则()f x 的反函数的图像大致是（ ）8. 数列{}n a 的首项为3，{}n b 为等差数列且n b *1()n n a a n +=-∈N ，若3102,12b b =-=，则8a = （ ）（A ）0 （B ）3 （C ）8 （D ） 119.某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车，某天需送往A 地至少72吨的货物，派用的每辆车需满载且只运送一次，派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车需配1名工人；运送一次可得利润350元，该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润z =（ ）（A ） 4650元 （B ）4700元 (C) 4900元 （D ）5000元10.在抛物线25(0)y x ax a =+-≠上取横坐标为1x =-4,2x =2的两点，经过两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆225536x y +=相切，则抛物线顶点的坐标为（ ）（A ） (-2,-9) （B ）(0,-5) (C) (2,-9) （D ）(1,-6)11.已知定义在[0，+∞ ]上的函数()f x 满足()f x =3(2)f x +，当[0,2)x ∈时，()f x =22x x -+，设()f x 在[22,2)n n -上的最大值为*()n a n ∈N ,且{}n a 的前n 项和为n S ，则lim n n S →∞=（ ）（A ）3 （B ）52 (C) 2 （D ）3212.在集合{}1,2,3,4,5中任取一个偶数a 和一个奇数b 构成以原点为起点的向量(,)a b =α.从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形，记所有作成的平行四边形的个数为n ，其中面积不超过4的平行四边形的个数为m ，则mn=（ ） （A ）415 （B ）13 (C) 25 （D ）23填空题13.计算1(lg lg 25)4-÷12100-= .14.双曲线2216436x y -=上一点P 到双曲线右焦点的距离是4，那么点P 到左准线的距离是 .15.如下图，半径为R 的球O 中有一内接圆柱.当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与该圆柱的侧面积之差是_________.16.函数()f x 的定义域为A ，若12,x x A ∈且()()12f x f x =时总有12x x =，则称()f x 为单函数.例如，函数()()21f x x x =+∈R 是单函数.下列命题： ①函数()()2f x x x =∈R 是单函数；②若()f x 为单函数，12,x x A ∈且12x x ≠，则()()12f x f x ≠； ③若:f A B →为单函数，则对于任意b B ∈,它至多有一个原象； ④函数()f x 在某区间上具有单调性，则()f x 一定是单函数. 其中的真命题是_________.（写出所有真命题的编号） 解答题17.已知函数7()sin()4f x x π=++3cos()4x π-,x ∈R . （1）求()f x 的最小正周期和最小值;（2）已知44cos(),cos(),0.552βαβααβπ-=+=-＜＜≤求证：2[()]20f β-=.18.本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多.某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元（不足1小时的部分按1小时计算）.有甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游（各租一车一次）.设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为41，12；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别是12，41；两人租车时间都不会超过四小时.（1）求甲乙两人所付的租车费用相同的概率.（2）设甲乙两人所付的租车费用之和为随机变量ξ， 求ξ的分布列及数学期望E ξ. 19.如下图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=︒，11AB AC AA ===，D 是棱1CC 上的一点，P 是AD 的延长线与11AC 的延长线的交点，且11PB BDA ∥平面. （1）求证：1CD C D =；（2）求二面角11A A D B --的平面角的余弦值; （3）求点C 到平面1B DP 的距离.20.设d 为非零实数，122111[C 2C (1)C C ]()n n n n n n n n n a d d n d n d n n--*=++⋅⋅⋅+-+∈N .（1）写出123,,a a a 并判断{}n a 是否为等比数列.若是，给出证明；若不是，说明理由；（2）设*()n n b nda n =∈N ,求数列{}n b 的前n 项和n S .21.椭圆有两顶点(1,0),(1,0)A B -，过其焦点(0,1)F 的直线l 与椭圆交与,C D 两点，并与x 轴交于点P .直线AC 与直线BD 交于点Q ,如下图.（1）当CD =322时，求直线l 的方程； （2）当点P 异于,A B 两点时，求证:OP OQ 为定值22．已知函数21(),().32f x x h x x =+= （1）设函数()()(),()F x f x h x F x =-求的单调区间与极值；（2）设a ∈R ，解关于x 的方程42233log [(1)]log ()log (4)24f x h a x h x --=---;（3）试比较(100)(100)f h - 1001()k h k =∑与16的大小.参考答案1.B ．提示：样本落在区间[31.5,43.5)的频数为22，所以221663P ==. 2.A ．提示：1i i i 2i i-+=--=-.3.B ．提示： A 答案还有异面或者相交，C,D 不一定 4.D ．提示：BA CD EF BA AF EF BF EF CE EF CF ++=++=+=+=. 5. B ．提示：连续必定有定义，有定义不一定连续. 6.C ．提示：由正弦定理得2222222221b c a a b c bc b c a bc bc+-+-+-≤，化简得≥，即≥，1cos 023A A π<所以≥，即≤.7.A ．提示：由反函数的性质知原函数的值域为反函数的定义域，原函数的定义域为反函数的值域. 当10,0()1,122xx y ><<<<时所以，故选A . 8. B ．提示：由已知知128,28,n n n b n a a n +=--=- 由叠加法21328781()()()642024603a a a a a a a a -+-++-=-+-+-++++===，可得.9.C ．提示：由题意，设派甲，乙分别有,x y 辆车，则利润450350z x y =+，得约束条件08071210672219.x y x y x y x y ⎧⎪⎪⎪+⎨⎪+⎪+⎪⎩≤≤，≤≤，≤，≥，≤画出可行域，由方程组=122=19x y x y +⎧⎨+⎩，得点75x y =⎧⎨=⎩，，代入目标函数得4900z =.10. A ．提示：由已知的割线的坐标(4,114),(2,21),2a a k a ---=-,设直线方程为(2)y a x b =-+，则yxOA 4A 5A 6A 3A 2A 142531223651(2)b a =+-.又2564(2,9)(2)y x ax b a y a x b⎧=+-=-=--⎨=-+⎩，解得，，故顶点坐标为. 11.D ．提示:当[0,2)x ∈时，2()2f x x x =-+的最大值为1．设222n x n -<≤，则02(1)2x n +-<≤． 由()3(2)f x f x =+得:23()3(2)3(22)3(23)f x f x f x f x =+=+⨯=+⨯113[2(1)]3n n f x n --=⋅⋅⋅=+-≤．由此得1*3()n n a n -=∈N ，即{}n a 是以11a =为首项，13为公比的等比数列． 所以13lim 1213n n S →∞==-．故选D ． 12.B ．提示:如下图，依题意构成以原点为起点的向量共有6个：1(2,1)OA =，2(2,3)OA =，3(2,5)OA =，4(4,1)OA =，5(4,3)OA =，6(4,5)OA =.从这6个向量中任取两个向量为邻边作平行四边形，可作成26C 15=个平行四边形，即15n =．其中面积不超过4的平行四边形的个数，等价于面积不超过2的△i j OA A (1,6,)i j i j ≠≤≤的个数．经过简单计算知△14OA A ，△15OA A ，△26OA A 的面积均为1，△12OA A 与△23OA A 的面积均为2，其余三角形面积均大于2，即5m =．由此得51=153m n =．故选B ．13.20-．提示：12111(lg lg 25)100lg20410010--÷=÷=-. 14.16．提示:由2222564,36,104c a b c a b e a ===+===可得，故． 由P 到双曲线右焦点的距离是4得P 到双曲线左焦点的距离是2420a +=．设点P 到左准线的距离为d ，则由双曲线第二定义得205,164e d d ===故． 15.22R π．提示: 设圆柱的高为h 2，则底面半径为22h R -，则圆柱的侧面积为222222222()224()422h R h S R h h h R h R +-=π-⋅=π-π⋅=π≤．当且仅当222=h R h -，即222=h R 时取等号，故圆柱侧面积的最大值为22R π． 此时球的表面积与该圆柱的侧面积之差是222422R R R π-π=π． 16.②③．提示: 对于①，取11x =，21x =-，满足12()()f x f x =，但12x x ≠，故①假；对于②，此命题的逆否命题为单函数的定义，故②真；对于③，任给b B ∈，假设它有两个原象1x ，2x （12x x ≠），则12()()f x f x b ==. 由单函数的定义得12x x =，这与12x x ≠矛盾，故③真；对于④，函数2()f x x =在区间(0,)+∞上具有单调性，但()f x 在R 上不是单函数. 故④假. 17.7733()sin coscos sin cos cos sin sin 44442sin 2cos 2sin()4f x x x x x x x x ππππ=+++=-π=-解：（1），2,()2T f x ∴=π的最小值为-. 4cos()cos cos sin sin 54cos()cos cos sin sin 5cos cos 0.0cos 0.22βααβαββααβαβαβαβββ-=+=+=-=-=ππ<<⇒=⇒=（2）由已知得，，两式相加得≤ 2()2[()]20f f ββ∴=⇒-=.18．解:（1）由题意得，甲，乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率分别为11,44.记甲，乙两人所付的租车费用相同为事件A ，则1111115()42244416P A =⨯+⨯+⨯=.故甲，乙两人所付的租车费用相同的概率为516. （2）设甲，乙两人所付的费用之和为ξ，ξ可能的取值为0,2,4,6,8111(0),42811115(2),4422161111115(4),4424241611113(6),442416111(8).4416P P P P P ξξξξξ==⨯===⨯+⨯===⨯+⨯+⨯===⨯+⨯===⨯=甲，乙两人所付的租车费用之和ξ的分布列为ξ0 2 4 6 8P18 516 516316 116155317024688161616162E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=所以.19．如下图，以1A 为原点，11111,,A B AC A A 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系1A xyz -，则1(0,0,0)A，1(1,0,0)B ，1(0,1,0)C ，(1,0,1)B ．（1） 证明：设1C D x =，11,1PC C D xAC AC CD x∴==-1∥PC . 由此可得(0,1,),(0,1,0),1xD x P x+- ∴1(1,0,1)A B =，1(0,1,),A D x =1(1,1,0)1xB P x=-+-． 设平面1BA D 的一个法向量为1(,,)a b c =n ，则11110,0.A B a c A D b cx ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩n n 令1c =-，则1(1,,1)x =-n ．∵1PB ∥平面1BA D .111(1)(1)(1)001xB P x x⋅∴=⨯-+⨯++-⨯=-n ， 由此可得11,2x CD C D ==故. （2）解：由（1）知，平面1BA D 的一个法向量11(1,,1)2=-n ．又2(1,0,0)=n 为平面1AA D 的一个法向量．∴12121212cos ,3||||312⋅<>===⋅⨯n n n n n n ． 故二面角11A A D B --的平面角的余弦值为23．（3）解：11(1,2,0),(0,1,),2PB PD =-=- 设平面1B DP 的一个法向量为3111(,,)a b c =n ，则311113120,0.2PB a b c PD b ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩n n 331311(1,,1).21(0,0,),21.31,DC DC C B DP d c ==∴===又点到平面的距离令可得n n n20．解：（1）由已知可得2123(1)(1).a d a d d a d d ==+=+，，当1121C C ,k k n n k n k n --=≥，≥时，因此11111110C C C (1)n n n k k k k k k n n n n k k k k k a d d d d d d n -----=======+∑∑∑.由此可见，当d 1≠-时， {}n a 是以d 为首项，1d +为公比的等比数列；当=1d -时，11,0(2)n a a n =-=≥，此时{}n a 不是等比数列. 1212121(1),(1).[(1)2(1)3(1)(1)]n n n n n n a d d b nd d S d d d d n d ---=+=+=++++++++(2)由（1）可知从而①当=1d -时，21n S d ==.当d 1≠-时，①式两边同乘1d +得2123(1)[(1)2(1)3(1)(1)]n n d S d d d d n d +=++++++++②221(1(1))[](1).1(1)1(1)(1).n n n n n d dS d d n d d S dn d -⋅-+=-++-+=+-+②①可得：化简得1(1)(1).n n S dn d =+-+综上，21．解：因椭圆焦点在y 轴上，设椭圆的标准方程为22221(0),y x a b a b+=>>由已知得1,1,2b c a ===所以，则椭圆方程为2212y x +=.直线l 垂直于x 轴时与题意不符.设直线l 的方程为1(0),y k x k -=-为l 的斜率.222212211221221,1.2(2)210.22(,),(,),1.2y kx y x k x kx k x x kC x yD x y x x k =+⎧⎪⎨+=⎪⎩++-=⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩由题得则化简得，设则2221212222(1)(1)[()4]2k CD k x x x x k +=++-=+. 由已知得2222(1)3222k k +=+，解得 2.k =± l 所以直线的方程为2121y x y x =+=-+或.（2）直线l 垂直于x 轴时与题意不符.设l 的方程为1(0)01y k x k k -=-≠≠±（且）， 所以P 点坐标为1k（-,0）. 122112212222(,),(,),1.2k x x kC x yD x y x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，设则直线11(1)1y AC y x x =++的方程为, 直线22(1)1y y x x =--的方程为BD , 将两直线方程联立,消去2112(1)11(1)y x x y x y x ++=--得.因为121,1x x -<<,所以2111y x x y +-与异号 222212212(1)1=1(1)y x x x y x ++--（）=22222212221211()112k k k k k k k k -+--++=--++-+++. 又2212121222(1)1()121k k y y k x x k x x k k +-=+++=-++,1211111111=.11k x k y y k x k x k x k x k Q k y -+-∴+-++-∴=--+0与异号，与同号，，解得因此点坐标为（-,）. 01(,0)(,) 1..OP OQ k y k OP OQ =--=故为定值22．解：（1）由21()32F x x x =+-（0x ≥）知，1221()32F x x -'=-.9==.16F x x '令（）0，得 9()0;169()0169[()169[()16991()()=.16168x F x x F x x F x x F x F x x F '∈<'∈+∞>∈∈+∞=当（0，）时，当（，）时，故当0，）时，是减函数，当，）时，是增函数.在处有极小值且（2）原方程可化为422log (1)log (4)log (),x h x h a x -+-=- 即2221log (1)log (4)log 2x x a x ---=- 10,40,0,(1)(4).x x a x x x a x ->->->--=-⎧⎪⎪⇔⎨⎪⎪⎩214,,(3)5x x a a x ⎧<<⎪⇔<⎨⎪=--+⎩ 如下图，①1435a x a <=--当≤时，原方程有一解; ②1,24535a x a <<=±-当时，原方程有二解； ③当5a =时，原方程有一解3x =；④15.a a >≤或时，原方程无解 （3）由已知得10010011()k k h k k ===∑∑.设数列{}n a 的*1()(,=),6n n f n h n n n S S -∈N （前项和）且 从而有111a S ==.当2100k ≤≤时，14341166k k k k k a S S k k -+-=-=--． 又1[(43)(41)1]6k a k k k k k -=----221(43)(41)(1)6(43)(41)1k k k k k k k k ----=⋅-+--1106(43)(41)1k k k k =⋅>-+--． 即对任意100k 2≤≤，有k a k >，又因为111a ==，所以10010011k k k a k ==>∑∑.故1001()1(100)(100).6k h h k f =->∑。

2011年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷)数学（理工农医类）本试卷共4页，三大题21小题。

满分150分，考试时间120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置。

2. 选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷上无效。

3. 填空题和解答题用0.5毫米黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷上无效。

4. 考试结束，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的。

1.复数1z i =+，z 为z 的共轭复数，则1z z z --= (A) -2i (B) -i (C) i (D) 2i2. 函数()20y x x =≥的反函数为(A)()24xy x R =∈ (B)()204xy x =≥(C)()24y xx R =∈ (D)()240y xx =≥3.下面四个条件中，使a b >成立的充分而不必要的条件是 (A) 1a b >+ (B) 1a b >- (C)22a b > (D) 33a b >4.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，公差22,24k k d S S +=-=，则k= (A) 8 (B) 7 (C) 6 (D) 55.设函数()()cos 0f x x ωω=>，将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于 (A)13(B) 3 (C) 6 (D) 96.已知直二面角l αβ--，点,,A AC l C α∈⊥为垂足，,,B BD l D β∈⊥为垂足，若2,1A B A C B D ===，则D 到平面ABC 的距离等于(A)22(B)33(C)63(D) 17.某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4为朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有(A) 4种 (B) 10种 (C) 18种 (D) 20种8.曲线21x y e =+在点()0,2处的切线与直线0y =和y x =围成的三角形的面积为 (A)13(B)12(C)23(D) 19.设()f x 是周期为2的奇函数，当01x ≤≤时，()()21f x x x =-，则52f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭(A) 12-(B) 14-(C)14(D)1210.已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，直线24y x =-与C 交于A 、B 两点，则cos A F B ∠= (A)45(B)35(C) 35-(D) 45-11.已知平面α截一球面得圆M ，过圆心M 且与α成60 二面角的平面β截该球面得圆N ，若该球面的半径为4.圆M 的面积为4π，则圆N 的面积为 (A) 7π (B) 9π (C) 11π (D) 13π12. 设向量,,a b c 满足11,,,602a b a b a c b c ===---=，则c 的最大值等于(A) 2 (B) 3 (C) 2 (D) 1二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上,一题两空的题,其答案按先后次序填写. 13. ()201x-的二项展开式中，x 的系数与9x 的系数之差为 .14. 已知,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，5sin 5α=，则tan 2α= . 15. 已知12F F 、分别为双曲线22:1927xyC -=的左、右焦点，点A C ∈，点M 的坐标为()2,0，AM 为12F A F ∠的角平分线，则 2AF = .16. 已知点E 、F 分别在正方体1111ABC D A B C D - 的棱11BB C C 、上，且12B E E B =,12C F FC =,则面AEF 与面ABC 所成的二面角的正切值等于 .三、解答题：本大题共6小题，共70分。

精心整理2011年成人高等学校招生全国统一考试数 学（文史财经类）专科一、选择题：本大题共17小题，每小题5分，共85分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将所选项的字母填涂在答题卡相应题号的信息点上。

(1) 函数 y= √4—x2 的定义域是（A （C ∪[2,+ ∞](2) （A 2(3) (4) ，3 （A (5) 已知集合A={1,2,3,4}, B={x|—1<x<3},则A ∩B=(A) {0,1,2} （B ）{1,2} （C ）{1,2,3} (D){—1,0,1,2}(6) 二次函数 y = x2+ 4x + 1(A) 有最小值 —3 （B ）有最大值 —3(C）有最小值—6 （D）有最大值—6(7) 不等式| x —2 | < 3的解集中包含的整数共有(A)8个（B）7个（C）6个（D）5个(8) 已知函数y=f(x)是奇函数，且f (-5) = 3,则f（5）=（A）5 （B）3 （C）-3 (D) -5(9) 若（A(10)（11（A(12)（A（（8项（14）设圆x2+y2+4x-8y+4=0的圆心与坐标原点间的距离为d，则(A)4<d<5 (B)5<d<6 (C)2<d<3 (D)3<d<4(15) 下列函数中，既是偶函数，又在区间（0,3）为减函数的是（A）y=cos x (B)y=log2 x (C)y=x2- 4 (D) y= (1)3(16)一位篮球运动员投篮两次，两投全中的概率为0.375，两投一中的概率为0.5，则他两投全不中的概率为（A）0.6875 （B）0.625 （C）0.5 （D）0.125（17）A,B是抛物线y2=8x 上两点，且此抛物线的焦点在线段ＡＢ上，已知Ａ，Ｂ两点的横坐标之和为１０，则｜ＡＢ｜＝(21)（22（23=840.（I）求数列{am }的首项a1及通项公式：（II）数列{am}的前多少项的和等于84？（24）（本小题满分12分）设椭圆x22+ y2 =1 在y 轴正半轴上的顶点为M，右焦点为F，延长线段MF与椭圆交于N。

绝密★使用完毕前2011年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）（北京卷）本试卷共5页，150分。

考试时间长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知集合P=｛x ︱x 2≤1｝,M=｛a ｝.若P ∪M=P,则a 的取值范围是 （A ）(-∞, -1] （B ）[1, +∞） （C ）[-1，1] （D ）（-∞，-1] ∪[1，+∞）（2）复数212i i-=+ （A ）i （B ）-i （C ）4355i -- （D ）4355i -+（3）在极坐标系中，圆ρ=-2sin θ的圆心的极坐标系是(A) (1,)2π (B) (1,)2π- (C) (1,0)(D)(1，π)（4）执行如图所示的程序框图，输出的s 值为 （A ）-3 （B ）-12（C ）13（D ）2（5）如图，AD ，AE ，BC 分别与圆O 切于点D ，E ，F ，延长AF 与圆O 交于另一点G 。

给出下列三个结论：○1AD+AE=AB+BC+CA ；○2AF·AG=AD·AE③△AFB ～△ADG其中正确结论的序号是（A）①②（B）②③（C）①③（D）①②③（6）根据统计，一名工作组装第4件某产品所用的时间（单位：分钟）为（A，C为常数）。

已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品用时15分钟，那么C和A的值分别是（A）75，25 （B）75，16 （C）60，25 （D）60，16(7)某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中，最大的是(A) 8 (B) 62 (C)10 (D) 82（8）设()0,0A ,()4,0B ，()4,4C t +,()(),4D t t R ∈.记()N t 为平行四边形ABCD 内部（不含边界）的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则函数()N t 的值域为（A ）{}9,10,11 （B ）{}9,10,12 （C ）{}9,11,12 （D ）{}10,11,12第二部分 （非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

【选择题】【1】．i 是虚数单位，复数i1i31--=（ ）. (A)2+i(B)2i -(C)12i -+ (D)12i --【2】．设R ∈y x ,，则“x ≥2且y ≥2”是“22y x +≥4”的（ ）.（A ） 充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ） 充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 【3】．阅读下面的程序框图，运行相应的程序，则输出i 的值为（ ）. （A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6【4】．已知{}n a 为等差数列，其公差为-2，且937a a a 与是的等比中项，{}n n a S 为的前n 项和，*n ∈N ，则10S 的值为（ ）.（A ）—110（B ）—90 （C ）90（D ）110【5】．在622⎪⎪⎭⎫⎝⎛-x x 的二项展开式中，2x 的系数为（ ）. （A ）415- （B ）415 （C ）83- （D ）83 【6】．如下图，在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且AB AD =，2,2AB BC BD ==，则C sin 的值为（ ）. （A ）33 (B) 63 (C) 36 (D) 66【7】．已知4.3log 25=a ，6.3log 45=b ，3.0log 351⎪⎭⎫ ⎝⎛=c ，则（ ）.（A ）c b a >>（B ）c a b >>（C ）b c a >> （D ）b a c >>【8】．对实数a 与b ，定义新运算“⊗”：,1,,1.aab a b b a b -≤⎧⊗=⎨->⎩ 设函数)()2()(22x x x x f -⊗-=R ∈x ,，若函数()y f x c =-的图像与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是（ ）.（A ）(]3,21,2⎛⎫-∞-⋃- ⎪⎝⎭ （B ）(]3,21,4⎛⎫-∞-⋃-- ⎪⎝⎭（C ）111,,44⎛⎫⎛⎫-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ （D ）311,,44⎛⎫⎡⎫--⋃+∞ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭【填空题】【9】．一支田径队有男运动员48人，女运动员36人.若用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为21的样本，则抽取男运动员的人数为___________.【10】．一个几何体的三视图如下图所示（单位：m ），则该几何体的体积为__________3m .【11】．已知抛物线C 的参数方程为28,8x t y t ⎧=⎨=⎩，（t 为参数）．若斜率为1的直线经过抛物线C 的焦点，且与圆()2224(0)x y r r -+=>相切，则r =________.【12】．如下图，已知圆中两条弦AB 与CD 相交于点F ，E 是AB 延长线上一点，且::4:2:1.DF CF AF FB BE ===若CE 与圆相切，则线段CE 的长为__________.【13】．已知集合|4||3| |{-++∈=x x x A R ≤19},|46,(0,)B x x t t t ⎧⎫=∈=+-∈+∞⎨⎬⎩⎭R ，则集合A B ⋂=________.【14】．已知直角梯形ABCD 中，P BC AD ADC BC AD ,1,2,90,//==︒=∠是腰DC 上的动点，则|3|PB PA +的最小值为______. 【解答题】【15】．已知函数π()tan(2).4f x x =+（Ⅰ）求()f x 的定义域与最小正周期； （Ⅱ）设π0,4α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，若()2cos 2,2f αα=求α的大小. 【16】．学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖.（每次游戏结束后将球放回原箱） （Ⅰ）求在一次游戏中，（i ）摸出3个白球的概率； （ii ）获奖的概率；（Ⅱ）求在两次游戏中获奖次数X 的分布列及数学期望()E X .【17】．如下图，在三棱柱111ABC A B C -中，H 是正方形11AA B B 的中心，1AA =1C H ⊥平面11AA B B ，且1C H=（Ⅰ）求异面直线AC 与11A B 所成角的余弦值； （Ⅱ）求二面角111B C A A --的正弦值；（Ⅲ）设N 为棱11B C 的中点，点M 在平面11AA B B 内，且MN ⊥平面111A B C ，求线段BM 的长.【18】．在平面直角坐标系xOy 中，点(,)P a b (0)a b >>为动点，12,F F 分别为椭圆22221x y a b +=的左、右焦点．已知△12F PF 为等腰三角形． （Ⅰ）求椭圆的离心率e ；（Ⅱ）设直线2PF 与椭圆相交于,A B 两点，M 是直线2PF 上的点，满足2AM BM ⋅=-， 求点M 的轨迹方程. 【19】．已知0a >，函数2()ln ,0.f x x ax x =->（()f x 的图像连续不断）（Ⅰ）求()f x 的单调区间； （Ⅱ）当18a =时，证明：存在0(2,)x ∈+∞，使03()()2f x f =； （Ⅲ）若存在均属于区间[]1,3的,αβ，且βα-≥1，使()()f f αβ=，证明ln 3ln 25-≤a ≤ln 23. 【20】．已知数列{}n a 与{}n b 满足1123(1)0,2nn n n n n n b a a b a b ++++-++==，*n ∈N ，且122,4a a ==.（Ⅰ）求345,,a a a 的值；（Ⅱ）设121-2++=n n n a a c ，n ∈*N ，证明{}n c 是等比数列；（Ⅲ）设242,,kk S a a a k =++⋅⋅⋅+∈*N 证明：417()6nk k kS n a =<∈∑*N .【参考答案】 【1】．B 提示：i 22i24)i 1)(i 1()i 1)(i 31(i 1i 31-=-=+-+-=--.故选（B ）. 【2】．A提示：充分性显然成立，而存在反例43122≥+，可知必要性不成立.故选（A ）. 【3】．B提示：根据条件执行4次，过程如下： 当1=i 时，2a =，不合题意； 当2=i 时，5=a ，不合题意； 当3=i 时，16=a ，不合题意； 当4=i 时，65=a ，适合题意. 故应选（B ）. 【4】．D提示：⎩⎨⎧-=⋅=，，29327d a a a 解得201=a ，则110291010110=⨯⨯+=d a S . 【5】．C提示：6326166C ((1)C 2rr r r r r r r T x ---+==-，令23=-r ，则,1=r 故2x 的系数为1463C (1)28--⨯=-. 【6】．D提 示：设x AB =，则,332,x BD x AD ==可求31co s =A ,那么322s i n =A ,又A C BC AB sin sin 43==,求得66sin =C .【7】．C提示：首先确定16.3log 04<<，则5<b ，而310log 3.0log 33551=⎪⎭⎫⎝⎛=c ，又1310log 4.3log 4.3log 332>>>，从而5>>c a ，故选（C ）. 【8】．B提示：解1)()2(22≤---x x x ，得1-≤x ≤32，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-<-≤≤--=.231,,231,2)(22x x x x x x x f 或如下图,由图像可看出函数c y =与函数有两个交点时，c 的取值范围为(]3,21,4⎛⎫-∞-⋃-- ⎪⎝⎭.故应选（B ）.【9】．12提示：男女比例为：4:3，则样本中抽取男运动员的人数为127421=⨯. 【10】．π6+提示：根据所给的几何体的三视图，可以想到这个几何体是一个复合体.底座是一个长、宽、高分别为3,2,1的长方体，上面是一个半径为1的圆锥，且底面是长方体的上地面的内切圆,可得π63π31123+=⨯⨯+⨯⨯=V .【11】．2提示：抛物线方程为x y 82=，那么直线方程为2-=x y ，由相切可得：22|24|==-r .【12】．27提示：设,x BE =则,2,4x FB x AF ==圆的相交弦定理得FC DF FB AF ⋅=⋅,解得.21=x 由切割线定理知，2,CE EB EA =⋅解得27=CE . 【13】．2|{-x ≤x ≤5} 提示：|)4()3(|-++x x ≤|3||4|x x ++-≤9，即|12|-x ≤9，可得4|{-∈=R x A ≤x ≤5}，而x x B |{=≥2}-,所以A B ⋂=2|{-x ≤x ≤5}.【14】．5提示：建立直角坐标系如下图所示，则),0,2(A 设),0(),,0(a C y P ，),1(a B ，那么),1(),,2(y a PB y PA -=-=，)43,5(3y a -=+，从而22)43(25|3|y a PB PA -+=+≥25，当且仅当a y 43=时，取等号.【15】．解（Ⅰ）因为由ππ2π,42x k k +≠+∈Z, 得ππ,82k x k ≠+∈Z . 所以()f x 的定义域为ππ{|,}82k x x k ∈≠+∈R Z . ()f x 的最小正周期为π.2（Ⅱ）由()2cos 2,2f αα=得πtan()2cos 2,4αα+= 即22πsin()42(cos sin ),πcos()4αααα+=-+ 整理得sin cos 2(cos sin )(cos sin ).cos sin αααααααα+=+--因为π(0,)4α∈，所以sin cos 0.αα+≠因此21(cos sin ),2αα-=即1sin 2.2α= 由π(0,)4α∈，得π2(0,)2α∈.所以π2,6α=即π.12α=【16】．解：（Ⅰ）（i ）设“在1次游戏中摸出i 个白球”为事件(0,1,2,3),i A i =则213232253C C 1().C C 5P A =⋅= （ii ）设“在1次游戏中获奖”为事件B ，则23B A A =，又2112133222222225353C C C C C 1(),C C C C 2P A =⋅+⋅= 且23A A ，互斥，所以23117()()().2510P B P A P A =+=+= （Ⅱ）由题意可知X 的所有可能取值为0，1，2.212279(0)(1),101007721(1)C (1),101050749(2)().10100P X P X P X ==-===⨯-====XX的数学期望()012.100501005E X =⨯+⨯+⨯=【17】．解：如下图所示，建立空间直角坐标系，点B为坐标原点.依题意得111A B C ,(0,0,0),A B C ,（Ⅰ）易得11(2,2,5),(22,0,0)AC AB =--=-，于是111111cos,3||||3AC A B AC A B AC A B ⋅===⋅⨯所以异面直线AC 与11A B （Ⅱ）易知111(0,22,0),(2,AA AC ==-设平面11AAC 的法向量(,,)x y z=m ，则11100.AC AA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，m m即0,0.⎧+=⎪⎨=⎪⎩不妨令x =可得=m ，同样地，设平面111A B C 的法向量(,,)x y z =n ，则11110,0.AC A B ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n即0,0.⎧+=⎪⎨-=⎪⎩不妨令y =可得=n于是2cos,,||||7⋅===⋅m n m n mn从而sin ,=m n 所以二面角111A AC B --（Ⅲ）由N 为棱11B C 的中点，得N 设(,,0)M a b ，则2(,,222MNa b =--. 由MN ⊥平面111A B C ，得11110,0.MN A BMN AC ⋅=⎧⎨⋅=⎩即)(0,()(()(0.222a ab ⎧-⨯-=⎪⎪⎨⎪-⨯+-⨯+=⎪⎩解得4a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩故M因此2(24BM=，所以线段BM 的长为10||BM = 【18】．解：（Ⅰ）设12(,0),(,0)(0)F c F c c ->.由题意，可得212||||,PF F F =即2.c = 整理得22()10,1cc c aa a +-==-得（舍），或1.2c a =所以1.2e = （Ⅱ）由（Ⅰ）知2,,a c b ==可得椭圆方程为2223412,x y c +=直线2PF方程为).y x c =-,A B 两点的坐标满足方程组2223412,).x y c y x c ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩消去y 并整理，得2580.x cx -=解得1280,.5x x c ==所以方程组的解21128,0,5,.x c x y y ⎧=⎪=⎧⎪⎪⎨⎨=⎪⎪⎩=⎪⎩不妨设8(),(0,)5A c B 设点M的坐标为833(,),(,),(,)55xy AMx c y c BM x y =--=则，由),.3y x c c x y =-=-得于是838(,),55AM y x y x =--().BM x=由2,AM BM ⋅=- 即38)()255y x x y x -⋅+=-，化简得218150.x --=将22105,0.16x y c x y c x +===>得所以0.x >因此，点M 的轨迹方程是218150(0).xx --=>【19】．（Ⅰ）解：2112()2,(0,)ax f x ax x x x-'=-=∈+∞. 令()0,f x '=解得2x a=当x 变化时，(),()f x f x '的变化情况如下表：所以，()f x 的单调递增区间是()f x 的单调递减区间是).+∞ （Ⅱ）证明：当211,()ln .88a f x x x ==-时 由（Ⅰ）知()f x 在（0，2）内单调递增，在(2,)+∞内单调递减. 令3()()().2g x f x f =-由于()f x 在（0，2）内单调递增， 故3(2)(),2f fg >即(2)>0.取23419e e 2,()0232x g x -''=>=<则，所以存在00(2,),()0,x x g x '∈=使 即存在003(2,),()().2x f x f ∈+∞=使（说明：x '的取法不唯一，只要满足2,()0x g x ''><且即可）.（Ⅲ）证明：由()()f f αβ=及（I ）的结论知αβ<<， 从而()[,]f x αβ在上的最小值为().f α又由βα-≥1，,[1,3],αβ∈知1≤α≤2≤β≤3.故(2)()(1),ln 24,(2)()(3).ln 24ln39.f f f a a f f f a a αβ≥≥-≥-⎧⎧⎨⎨≥≥-≥-⎩⎩即 从而ln 3ln 25-≤a ≤ln 2.3【20】．（Ⅰ）解：由*3(1),,2nn b n +-=∈N 可得1,n n b n ⎧=⎨⎩为奇数，2,为偶数.又1120,n n n n n b a a b a +++++=123123234434553;5;4.n a a a a a a n a a a a n a a a a =-=-=当=1时,++2=0,由=2,=4,可得当=2时,2++=0,可得当=3时,++2=0,可得（Ⅱ）证明：对任意*,n ∈N2122120,n n n a a a -+++= ① 2212220,n n n a a a ++++= ② 21222320.n n n a a a +++++= ③②-③，得223.nn a a += ④将④代入①，可得21232121()n n n n a a a a ++-++=-+，即*1()n n c c n +=-∈N ,又1131,0,n c a a c =+=-≠故因此11,n nc c +=-所以{}n c 是等比数列. （Ⅲ）证明：由（Ⅱ）可得2121(1)k k k a a -++=-，于是，对任意*k k ∈N 且≥2，有133********,()1,1,(1)() 1.k k k a a a a a a a a --+=--+=-+=--+=-将以上各式相加，得121(1)(1),kk a a k -+-=--即121(1)(1)k k a k +-=-+，此式当k =1时也成立. 由④式得12(1)(3).k k a k +=-+从而22468424()()(),kk k S a a a a a a k -=++++++=-2124 3.k k k S S a k -=-=+所以，对任意*,n n ∈N≥2，44342414114342414()nnk m m m mk m k m m m mS S S S S a a a a a ---==---=+++∑∑ 12221232()2222123nm m m m mm m m m =+-+=--++++∑ 123()2(21)(22)(22)nm m m m m ==++++∑2253232(21)(22)(23)nm m m n n ==++⨯+++∑21533(21)(21)(22)(23)n m m m n n =<++-+++∑ (151111113()())]3235572121(22)(23)n n n n =+⨯-+-++-+-+++ 155137.36221(22)(23)6n n n =+-⨯+<+++ 对于n =1，不等式显然成立. 【End 】。

【选择题】 【1】．设复数z 满足()1i 2z +=，其中i 为虚数单位，则z =( )（A ）1i +（B ）1i -（C ）2+2i（D ）22i -【2】．已知集合(){,A x y = ∣,x y 为实数，且}221xy +=，(){,B x y =,x y 为实数，且}y x =，则A B 的元素个数为( )（A ）0（B ）1（C ）2（D ）3【3】．若向量a,b,c 满足a ∥b 且⊥a c ，则()+2c a b =( )（A ）4（B ）3（C ）2 （D ）0【4】．设函数()f x 和()g x 分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是( )（A ）()()f x g x +是偶函数 （B ）()()f x g x -是奇函数（C ）()()f x g x +是偶函数（D ）()()f x g x -是奇函数【5】．已知在平面直角坐标系xOy 上的区域D由不等式组02x y x ⎧⎪⎨⎪⎩≤≤，02x y x ⎧≤≤⎪≤⎨⎪≤⎩给定.若(,)M x y 为D 上的动点，点A的坐标为，则z OM OA =⋅的最大值为( )（A） （B）（C ）4（D ）3【6】．甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要在赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军，若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为( )（A ）12 （B ）35 （C ）23（D ）34【7】．如图1-3，某几何体的正视图（主视图）是平行四边形，侧视图（左视图）和俯视图都是矩形，则几何体的体积为 （A）（B） （ C）（D）【8】．设S 是整数集Z 的非空子集，如果,,a b S ∀∈有ab S ∈，则称S 关于数的乘法是封闭的.若,T V 是Z 的两个不相交的非空子集，T U =Z ,且,,,a b c T ∀∈有;,,,abc T x y z V ∈∀∈有xyz V ∈，则下列结论恒成立的是 （A ）,T V 中至少有一个关于乘法是封闭的 （B ）,T V 中至多有一个关于乘法是封闭的 （C ）,T V 中有且只有一个关于乘法是封闭的（D ）,T V 中每一个关于乘法都是封闭的【填空题】 【9】．不等式13x x +--≥0的解集是 .【10】．72x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，4x 的系数是 （用数字作答）【11】．等差数列n a 前9项的和等于前4项的和．若141,0,k a a a =+=则k =____________．【12】．函数()3231f x x x =-+在x =____________处取得极小值.【13】．某数学老师身高176cm ，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173cm 、170cm 和182cm ．因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为_____cm ．【14】．（坐标系与参数方程选做题）已知两曲线参数方程分别为,(0π)sin x y θθθ⎧=⎪<⎨=⎪⎩≤ 和25,()4x t t y t⎧=⎪∈⎨⎪=⎩R ，它们的交点坐标为___________． 【15】．（几何证明选讲选做题）如图，过圆O 外一点P 分别作圆的切线和割线交圆于A ,B ，且PB =7，图3C 是圆上一点使得BC =5，∠BAC =∠APB , 则AB = .【解答题】【16】．已知函数1π()2sin(),.36f x x x =-∈R （1）求5π()4f 的值； （2）设ππ106,0,,(3),(32π),22135f f αβαβ⎡⎤∈+=+=⎢⎥⎣⎦求cos()αβ+的值．【17】．为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽出取14件和5件，测量产品中的微量元素,x y 的含量（单位：毫克）．下表是乙厂的5件产品的测量数据：（1）已知甲厂生产的产品共有98件，求乙厂生产的产品数量；（2）当产品中的微量元素,x y 满足x ≥175，且y ≥75时,该产品为优等品.用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量；（3）从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数ξ的分布列及其均值（即数学期望）.【18】．如图．在椎体P -ABCD 中，ABCD 是边长为1的棱形，且∠DAB =60︒，PA PD ==PB =2,,E F 分别是,BC PC 的中点．（1） 证明：AD ⊥平面DEF ; （2） 求二面角P -AD -B 的余弦值．【19】．设圆C 与两圆2222(4,(4x y x y +=+=中的一个内切，另一个外切.（1）求C 的圆心轨迹L 的方程;（2）已知点MF ，且P 为L 上动点，求MP FP -的最大值及此时点P 的坐标． 【20】．设b>0,数列{}n a 满足1a b =，()11222n n n nba a n a n --=+-≥.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）证明：对于一切正整数n ，11 1.2n n n b a +++≤【21】．在平面直角坐标系xOy 上，给定抛物线L :214y x =，实数,p q 满足240p q -≥，1,2x x 是方程20xpx q -+=的两根，记{}12(,)max ,p q x x ϕ=.（1）过点20001(,)(0)4A p p p ≠作L 的切线交y 轴于点B ．证明：对线段AB 上任一点(),Q p q 有0(,);2p p q ϕ=（2）设(),Ma b 是定点，其中,a b 满足240a b ->,0a ≠．过(),M a b 作L 的两条切线12,l l ，切点分别为22112211(,),(,)44E p p E p p '，12,l l 与y 轴分别交于,F F '.线段EF 上异于两端点的点集记为X ．证明：(),M a b X ∈⇔12P P >⇔(,)a b ϕ12p =;（3）设()()215,|1,144D x y y x y x ⎧⎫=-+-⎨⎬⎩⎭≤≥．当点(),p q 取遍D 时，求(,)p q ϕ的最小值 （记为min ϕ）和最大值（记为max ϕ）．【参考答案】【1】．B提示：由(1i)2z +=，得22(1i)1i 1(1i)(1)zi i -===-+-+. 【2】．C提示：由221x y y x ⎧+=⎨=⎩，得22x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或22x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩所以A B的元素为,2222⎛⎛-- ⎝⎭⎝⎭.【3】．D 提示：因为a ∥b ，所以λ=b a ，故2(12)λ++a b =a ，又因为⊥a c ，所以(2)+=c a b (12)0λ+a c =. 【4】．A提示：设()()|()|F x f x g x =+,则()()|()|F x f x g x -=-+-()|()|()f x g x f x =+-=+|()|g x()F x =，所以()F x 是偶函数.【5】．C提示：由不等式组得平面区域D的四个顶点坐标为1234(0,0),(0,2),A A A A ，将它们分别代入2z OM OA x y =∙=+，得12340,2,4,3z z z z ====.【6】．D提示:只打一局时必须甲队赢，概率为12，打两局时必须乙队先赢第一局，甲队赢第二局，概率为111224⨯=，所以甲队获得冠军的概率为113244+=. 【7】．B提示：由三视图可知，该几何体是底面边长为3的正方形，高为h 方形的面积为339S =⨯=，故几何体的体积为3V Sh ===.【8】．A提示：用特殊值法进行求解：（1）当T 和V 有一个为有限集时，不妨设T 为有限集，例如{0,1,2}T =，显然T 关于乘法是封闭的，此时{,3,2,1,3,4,}V =---，有(1)(2)2V -⨯-=∉，所以V 关于乘法是不封闭的；（2）当T 和V 都是无限集时，例如，{,5,3,1,1,3,5,}T =---，{,4,2,0,2,4,}V =--,此情形下，T 和V 都关于乘法都是封闭的 .再如{1,2,3,}T =---，{0,1,2,3,}V =，此情形下,T 关于乘法是不封闭的，但V 关于乘法是封闭的.综上所述，,T V 中至少有一个关于乘法是封闭的. 【9】．[1,)+∞ 提示：13x x +--≥0 ⇒1x +≥3x -⇒2(1)x +≥2(3)x -⇒x ≥1.【10】．84提示：72()x x x-的通项7821772()(2)r rr r r r r T x C x C x x--+=-=-，由824r -=，得2r =，则227(2)84C -=.【11】．10 提示：方法1：由94S S =，得9364d d +=+,求得16d =-,则4111(1)()13()066k a a k +=+-⨯-++⨯-=，解得10k =.方法2：由94S S =得567890a a a a a ++++=，即750a =，70a =，即104720a a a +==，即10k =. 【12】．2提示：2()363(2)f x x x x x '=-=-，令()0f x '=得0x =或2x =，显然当0x <时，()0f x '>； 当02x <<时()0f x '<；当2x >时，()0f x '>.函数32()31f x x x =-+在2x =处取得极小值.【13】．185提示:设父亲的身高为x cm ，儿子的身高为y cm ，则根据上述数据可得到如下表格：则173,176x y ==，3132221()()00361033()iii ii x x y y b x x ==--++⨯===++-∑∑，3a y bx =-=， 所以线性回归方程为3y x =+，所以当182x =时，185y =，即他孙子的预测身高为185 cm ．【14】．⎛ ⎝⎭提示：将参数方程化为普通方程分别为：2215x y += (0)y ≥ 与 254x y = .联立方程组，可解得1,x y ==【15】提示：∵ AP 为切线，∴PAB ACB ∠=∠. 又∵B A C AP B ∠=∠,PAB ∴∆～ACB ∆, PB ABBA BC∴=, AB ∴===【16】．解：（1）5π15πππ2sin 2sin 43464f ⎛⎫⎛⎫=⨯-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）由π1ππ1032sin 32sin 232613f ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=⨯+-== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得135sin =α. 由()()1ππ632π2sin 32π2sin 2cos 3625f ββββ⎛⎫⎛⎫+=⨯+-=+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得53cos =β. 又π,0,2αβ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故1312sin 1cos 2=-=αα，54cos 1sin 2=-=ββ. ()651654135531312sin sin cos cos cos =⨯-⨯=-=+βαβαβα.【17】．解：（1）设乙厂生产的产品数量为n ，则有9814,5n =解得n =35，故乙厂生产的产品数量为35件.（2）样本中只有编号为2，5的产品为优等品，所以可估计乙厂生产的产品中的优等品率为2,5故乙厂生产有大约235145⨯=（件）优等品， （3）ξ的可能取值为0，1，2，且21123323222555331(0),(1),(2)10510C C C C P P P C C C ξξξ⨯=========. 所以ξ的分布列为故012.105105E ξξ=⨯+⨯+⨯=的均值为 【18】．证法1：（1） 如图1，连接BD .∵∠DAB =60°，ABCD是边长为1的菱形.∴△ABD ，△CBD 均为边长为1的正三角形. ∵E 为BC 的中点，∴BC DE ⊥.又∵AD ∥BC ， ∴AD DE ⊥.取AD 的中点G ，连结,PG BG .图1 ∵PA PD G ==为AD 的中点，∴PG AD ⊥.∵1AB AD ==，G 为AD 的中点，∴BG AD ⊥. 而PGBG G =∴AD ⊥平面PBG .∴AD PB ⊥.∵,E F 分别是,BC PC 的中点.∴EF ∥PB . ∴AD EF ⊥. 由AD DE ⊥，AD EF ⊥、EFDE E =， 知AD ⊥平面 DEF .(2) 由（1）的证明知PG AD ⊥，BG AD ⊥.又∵PG ⊂平面PAD ，BG ⊂平面BAD . 平面PAD 平面BAD AD =.∴∠PGB 为二面角P -AD -B 的平面角.在Rt△PAG 中，2722=-=AG PA PG , 在Rt△ABG 中，3sin 60BGAB =⋅=∴222cos 2PG BG PB PBG PG BG+-∠=⋅ .734+-==. 证法2：(1) 连接BD ，∵∠DAB =60°，ABCD 是边长为1的菱形.∴△ABD ，△CBD 均为边长为1的正三角形. ∵E 为BC 的中点，∴BC ⊥DE .又∵AD ∥BC ， ∴AD ⊥DE .以D 为原点，,DA DE 的方向分别为x 轴，y 轴的正向，建立如图2所示的空间直角坐标系.图2则有D （0，0，0），C （0,23,21-），(1,0,0)A . 取AD 的中点G ，连PG ，GB . 由 GB ∥DE ， AD ⊥BG ，可得 B（12），G （0,0,21）. ∵PA =PD ∴PG ⊥AD ， ∴可设P （z y ,,21）.于是，31(0,,),(,,)22PB y z DP y z =--=（或用1(,,),2PA y z =--）∴222||()42PB y z =-+= ① 2221||24PD y z =++= ②解得 P （1,23,21-）.又C （0,23,21-），∴F （21,0,0）. (1,0,0),DA = ∴13(0,0,),(0,22DFDE ==∵0,0DA DF DA DE ⋅=⋅=，∴DA ⊥DF ，DA ⊥DE . ∴AD ⊥平面DEF. (2） 由（1）得1(,22DP =-，(1,0,0)DA = ， 设面PAD 的法向量为(,,)xy z =n ,由于1022DP x y z ⋅=-+=n ，且0DA x ⋅==n ， 所以取(0,1,).2=--n 又∵面ABD 的法向量(0,0,1)=m ，∴cos ,||||⋅<>=mn m n m n=7-. 【19】．（1）解：设C 的圆心的坐标为(,)x y，由题设条件知|4,-=化简得L 的方程为22 1.4x y -= （2）解：过,M F 的直线l 的方程为2(y x =-，将其代入L 的方程得215840.x-+=解得1212x x l L T T ==故与的交点为 因1T 在线段MF 外，2T 在线段MF 内，如图.故11||||||2,MT FT MF -==22|||||| 2.MT FT MF -<=若P 不在直线MF 上，则在MFP ∆中有|||||| 2.MP FP MF -<=故||||MP FP -只在1T 点取得最大值2，此时点P的坐标为55⎛- ⎝⎭.【20】．（1）解：由1111112211210,0,,.22n n n n n n n n nba a n n n a b a a n a nba a b b a -----+--=>=>==++-知令11,nn n A A a b==，当1122,n n n A A b b -=+≥时2112111222n n n n A b bb b----=++++21211222.n n n n b b b b---=++++①当2b ≠时，12(1)2,2(2)1nn n n n b b b A b b b⎛⎫- ⎪-⎝⎭==--②当2,.2n n b A ==时(2),2,22, 2.n n nn nb b b a b b ⎧-≠⎪=-⎨⎪=⎩. （2）证明：当2b ≠时，（欲证1111(2)21,(1)2222n n n n n nn n n n n nb b b b b a nb b b ++++--=++--≤只需证≤）11111212(2)(2)(22)2n nn n n n n n n b bb b b b ++++----+=++++-112222*********n n n n n n n n n b b b b b +-+---+=+++++++21212222()222n n n nn n n n b b bb b bb --=+++++++12(222)222n n n n n n b n b n b +>+++=⋅=⋅，11(2) 1.22n n n n nn nb b b a b ++-∴=<+-当112,2 1.2n n n b b a ++===+时综上所述11 1.2n n n b a +++≤【21】．解：（1）由题214y x =，则2xy '= ， 从而过A 点的切线方程为20001()42py p x p -=-，即200124p y x p =-.由于点(,)p q 在线段上，则200124p q p p =-，从而由20x px q -+=得22001024p x px p p -+-=，即00()022p p x x p ⎛⎫--+= ⎪⎝⎭，即0012,22p p x x p ==-. 如图1，①当00p >时，有00p p ≤≤，0021,22p px p x =-=≤此时01(,)2p p q x ϕ==； ②当00p <时，有00p p ≤≤，000121222p p px p x x =-=-=-≤≤，此时01(,)2p p q x ϕ== . 综上，0(,)2p p q ϕ=. （2）21,l l 的方程分别为2222114121,4121p x p y p x p y -=-=. 求得21,l l 交点),(b a M 的坐标)4,2(2121p p p p +. 由于0,042≠>-a b a ,即2212121240242p p p p p p +-⎛⎫⎛⎫-⋅=> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭图1故有21p p ≠.1）先证: 21),(p p X b a M >⇔∈. 充分条件：12(,)M a b Xp p ∈⇒>.设X b a M ∈),(. 如图2. 当01>p 时,211211212020p p p p p p p p >⇒<+<⇒<+<. 当01<p 时, 212112110202p p p p p p p p >⇒<+<⇒<+<.必要条件：12(,)M a b Xp p ∈⇐>.设21p p >,则201111211212<+<⇒<<-⇒<p p p p p p p . 当01>p 时, 12120p p p <+<;当01<p 时，02211<+<p p p , 注意到),(b a M 在1l 上,故X b a M ∈),(.2）再证：1||(,)(,).2p M a b X a b ϕ∈⇔=充分条件：1||(,)(,)2p M a b X a b ϕ∈⇒=.因为,),(X b a M ∈由（1）中的结论可知有1||(,)2p a b ϕ=.即充分条件成立. 必要条件：1||(,)(,)2p M a b X a b ϕ∈⇐=. 由(１)知点M 在直线EF 上，方程20x ax b -+=的两根112p x =或2x =12p a -， 同理点M 在直线E F ''上，方程20x ax b -+=的两根212p x =或222p x a =-， 若1(,)||2p a b ϕ=，则1||2p 不比1||2p a -,2||2p ,2||2pa -小.又因为21p p ≠，所以12||||p p >.又12||||(,)p p M a b X >⇒∈，所以1(,)||2p a b ϕ=⇒(,)M a b X ∈. 综上，.2||),(||||),(121p b a p p X b a M =⇔>⇔∈ϕ （3）联立1y x =-，215(1)44y x =+-得交点(0,1),(2,1)-，图2可知0p ≤≤2，过点(,)p q 作抛物线L 的切线，设切点为2001(,)4x x ，则20001142x qx x p -=-，得200240x px q -+=，解得0x p =+又q ≥215(1)44p +-，即24p q -42p -≤，∴0x≤pt =， ∴0x ≤221152(1)222t t t -++=--+，0max max ||2x ϕ=，又0x ≤52，∴max 54ϕ=；q ≤1p -，∴0x ≥|2|2p p p +=+-=，∴0min min ||12x ϕ==. 【End 】。

2011年普通高等学校招生全国统一考试上海卷（理科）填空题 1．函数1()2f x x =-的反函数1()f x -= . 2．若全集U R =，集合{}|1}{|0A x x x x =≥≤，则U A =ð .3．设m 为常数.若点()0,5F 是双曲线2219y x m -=的一个焦点，则m = .4．不等式13x x+≤的解为 . 5．在极坐标系中，直线()2cos sin 2ρθθ+=与直线cos 1ρθ=的夹角大小为 （结果用反三角函数值表示）.6．在相距2千米的A ，B 两点处测量目标点C .若75,60CAB CBA ∠=∠=，则A ，C 两点之间的距离是 千米.7．若圆锥的侧面积为2π，底面积为π，则该圆锥的体积为 . 8．函数sin cos 26y x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最大值为 . 9．马老师从课本上抄录一个随机变量ξ的概率分布律如下表：请小牛同学计算ξ的数学期望。

尽管“！”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能肯定这两个“？”处的数值相同.据此，小牛给出了正确答案E ξ= . 10．行列式a bc d（{},,,1,1,2a b c d ∈-）所有可能的值中，最大的是 . 11．在正三角形ABC 中，D 是边BC 上的点.若3,1AB BD ==，则AB AD ⋅= .12．随机抽取的9个同学中，至少有2个同学在同一月份出生的概率是 （默认每个月的天数相同，结果精确到0.001）.13．设()g x 是定义在R 上、以1为周期的函数，若函数()()f x x g x =+在区间[]3,4上的值域为[]2,5-，则()f x 在区间[]10,10-上的值域为 .14．已知点()0,0O ，()00,1Q 和()03,1R ，记00Q R 的中点为1P .取01Q P 和10PR 中的一条，记其端点为1Q ，1R ，使之满足()()11220OQ OR --<；记11Q R 的中点为2P ，取12Q P 和21P R 中的一条，记其端点为2Q ，2R ，使之满足()()22220OQ OR --<.依次下去，得到12,,,,n P P P ，则0lim n n Q P →∞= .选择题15．若,a b R ∈，且0ab >，则下列不等式中，恒成立的是（ ）.（A ）222a b ab +> （B ）a b +≥ （C ）11a b +>（D ）2b a a b +≥ 16．下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0,)+∞上单调递减的函数为（ ）. （A ）1lny x= （B ）3y x = （C ）2xy = （D ）cos y x = 17．设12345,,,,A A A A A 是空间中给定的5个不同点，则使12345MA MA MA MA MA 0++++=成立的点M 的个数为（ ）.（A ） 0 （B ）1 （C ）5 （D ）10 18．设{}n a 是各项为正数的无穷数列，i A 是边长为1,i i a a +的矩形的面积()1,2,i =，则{}n A 为等比数列的充要条件是（ ）. （A ）{}n a 是等比数列 （B ）1321,,,,n a a a -或242,,,,n a a a 是等比数列 （C ）1321,,,,n a a a -和242,,,,n a a a 均是等比数列（D ）1321,,,,n a a a -和242,,,,n a a a 均是等比数列，且公比相同解答题19．已知复数1z 满足1(2)(1i)1i z -+=-（i 为虚数单位），复数2z 的虚部为2，且12z z ⋅是实数，求2z .20．已知函数()23xxf x a b =⋅+⋅，其中常数,a b 满足0ab ≠.（1）若0ab >，判断函数()f x 的单调性；（2）若0ab <，求(1)()f x f x +>时的x 的取值范围.21．如下图，已知1111ABCD A BC D -是底面边长为1的正四棱柱.1O 为11AC 与11B D 的交点. （1）设1AB 与底面1111A B C D 所成角的大小为α，二面角111A B D A --的大小为β.求证：tan βα=； （2）若点C 到平面11AB D 的距离为43，求正四棱柱1111ABCD A BC D -的高.22．已知数列{}n a 和{}n b 的通项公式分别是36n a n =+，27n b n =+()*n N ∈，将集合{}{}**|,|,nnx x a n x x b n N N =∈=∈中的元素从小到大依次排列，构成数列12,,,,n c c c .（1）写出1234,,,c c c c ；（2）求证：在数列{}n c 中、但不在数列{}n b 中的项恰为242,,,,n a a a ；（3）求数列{}n c 的通项公式.23．已知平面上的线段l 及点P .任取l 上一点Q ，线段PQ 长度的最小值称为点P 到线段l 的距离，记作(),d P l .（1）求点()1,1P 到线段():3035l x y x --=≤≤的距离(),d P l ；（2）设l 是长为2的线段，求点的集合{}|(,)1D P d P l =≤所表示的图形面积；（3）写出到两条线段12,l l 距离相等的点的集合{}12|(,)(,)P d P l d P l Ω==，其中12,l AB l CD ==，,,,A B C D 是下列三组点中的一组.对于下列三种情形，只需选做一种，满分分别是①2分，②6分，③8分；若选择了多于一种的情形，则按照序号较小的解答计分.①()()()()1,3,1,0,1,3,1,0A B C D --. ②()()()()1,3,1,0,1,3,1,2A B C D ---. ③()()()()0,1,0,0,0,0,2,0A B C D .参考答案填空题 1.12x+ 提示：12y x =-，反解得12x y=+，所以反函数11()2f x x -=+. 2.{}|01x x <<提示：U A =ð{}|01x x <<. 3.16提示：5,c =则295,m +=所以16m =. 4.0x <或12x ≥提示：原不等式等价于210,x x -+≤解得102x x <或≥.5. 提示：直线(2cos sin )2ρθθ+=的直角坐标方程为22,x y +=直线cos 1ρθ=的直角坐标方程为1;x =夹角的余弦值为cos θ=夹角大小为提示：45,ACB ∠=由正弦定理得,sin 60sin 45AC AB=AC =千米.提示：由底面积为π，可得底面半径为1，则底面周长为2π，圆锥母线长为2，高为3.8.24+提示：1sin 223y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭最大值为12. 9.2提示：设问号处为 x ,叹号处为y .则21x y +=.所以123422E x y x x y ξ=⋅++=+=. 10.6提示：行列式的值为()22126ad bc -⨯--⨯=≤,所以最大值是6. 11.152提示：以BC 中点O 为原点，OC 为x 轴正方向建立坐标系，则3,02B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，A ⎛ ⎝⎭，1,02D ⎛⎫- ⎪⎝⎭.所以3,2AB ⎛=- ⎝⎭，1,2AD ⎛=- ⎝⎭，32715442AB AD ⋅=+=. 12.0.985提示：设至少有2个同学在同一月份出生为事件A ，则9129P ()1()10.98512P A P A =-=-≈.13.[]15,11-提示：对于任意整数n ，[]3,4x n n ∈++时，()()()f x x g x x n g x n n =+=-+-+。

2011年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)理科数学本试卷分第I卷和第□卷两部分，共4页，满分150分。

考试用时120分钟。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1、答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、准考证号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。

2、第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上。

3、第n卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

4、填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

参考公式：柱体的体积公式：V =Sh，其中S是柱体的底面积，h是柱体的高。

圆柱的侧面积公式：S二cl，其中c是圆柱的地面周长，丨是圆柱的母线长。

4 3球的体积公式：V R ,其中R是球的半径。

3球的表面积公式：错误！未找到引用源。

，其中R是球的半径。

nZ X i Y - nx y 用最小二乘法求线性回归方程系数公式：错误！未找到引用源。

=号w = y-bX.2 2 X j _nxi d如果事件A、B互斥，那么P(A B)二P(A)+P(B);如果事件A、B独立，那么P(AB) = P(A)：P(B)。

第I卷(共60分)一、选择题：本大题共12小题。

每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、设集合M = ：x | x2 x - 6 ：： 0』，N = \x |1 乞x 乞3.',则M N 二(A) [1,2) (B) [1,2] (C) (2,3] (D) [2,3]2、复数z= — (i为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为(A) 第一象限(B)第二象限3、若点(a,9 )在函数y = 3的图象上，贝U(A) 0 (B) 丁(C) 1(C)第三象限(D)第四象限a"tan 的值为6(D) 34、不等式x -5 x 3 _10的解集是(C) -二，-5| 〔7, ：： (D) 16,二5、 对于函数y=f(x),x^R ，“y=|f (x)的图象关于y 轴对称”是“ y=f(x)是奇函数”的(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充要条件(D)既不充分也不必要条件6、 若函数f(x) =sin 「x (门、0)在区间 0,上单调递增，在区间 ，一 上单调递减，则-■=_ 3.[3 23 2 (A) 3 (B) 2(C)-(D)-237、 某产品的广告费用 x 与销售额y 的统计数据如下表：广告费用x (万兀)4 235销售额y (万兀)49263954图象在区间10,6 1上与x 轴的交点的个数为 (A) 6(B) 7(C) 8(D) 911、右图是长和宽分别相等的两个矩形，给定下列三个命题：① 存在三棱柱，其正(主)视图、俯视图如右图；② 存在四棱柱，其正(主)视图、俯视图如右图；③ 存在圆柱，其正(主)视图、俯视图如右图。

【选择题】【1】．若,a b ∈R ，i 为虚数单位，且(i)i i a b +=+，则（ ）. （A ）1,1a b == （B ）1,1a b =-= （C ）1,1a b =-=-（D ）1,1a b ==-【2】．设集合{}{}21,2,,M N a ==则 “1a =”是“N M ⊆”的（ ）.（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分又不必要条件【3】．设下图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）. （A ）9122π+（B ）9182π+（C ）942π+（D ）3618π+【4】．通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：由()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++算得，()22110403020207.860506050K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯． 附表：参照附表，得到的正确结论是（ ）. （A ）在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关” （B ）在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关” （C ）有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”（D ）有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”【5】．设双曲线()222109x y a a -=>的渐近线方程为320x y ±=，则a 的值为（ ）.（A ）4 （B ）3（C ）2（D ）1【6】．由直线,,033x x y ππ=-==与曲线cos y x =所围成的封闭图形的面积为（ ）.（A ）12 （B ）1（C （D【7】．设1m >，在约束条件,,1y x y mx x y ⎧⎪⎨⎪+⎩≥≤≤下，目标函数z x my =+的最大值小于2，则m 的取值范围为（ ）. （A ）（1，1+（B ）（1++∞）（C ）（1,3）（D ）（3，+∞）【8】．设直线x t =与函数2()f x x =，()lng x x =的图像分别交于点,M N ,则当MN达到最小时t 的值为（ ）.（A ）1（B ）12（C ）2．2【填空题】【9】．（选做题）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos ,1sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数）.在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，曲线2C 的方程为()cos sin 10ρθθ-+=，则1C 与2C 的交点个数为 .【10】．（选做题）设,x y ∈R ,且0xy ≠，则222211()(4)x y y x++的最小值为 . 【11】．（选做题）如下图，,A E 是半圆周上的两个三等分点，直径BC =4，AD BC ⊥,垂足为D , BE与AD 相交于点F ，则AF 的长为 .【12】．（必做题）设n S 是等差数列{}n a ()n *∈N 的前n 项和，且141,7a a ==，则5S = ．【13】．（必做题）若执行如下图所示的框图，输入11x =，232,3,2x x x ===,则输出的数等于 .【14】．（必做题）在边长为1的正三角形ABC 中, 设2,3,BC BD CA CE ==则AD BE ⋅=__________________．【15】．（必做题）如下图，EFGH 是以O 为圆心、半径为1的圆的内接正方形.将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A 表示事件“豆子落在正方形EFGH 内”， B 表示事件“豆子落在扇形OHE （阴影部分）内”，则（1）()P A = _____________;（2）(|)P B A = .【16】．（必做题）对于*n ∈N ,将n 表示为12101212222kk k k n a a a a ---=⨯+⨯+⨯++⨯+02k a ⨯，当0i =时，1i a =,当1≤i ≤k 时, i a 为0或1．记()I n 为上述表示中i a 为0的个数（例如：0210112,4120202=⨯=⨯+⨯+⨯,故(1)0I =, (4)2I =）,则（1）(12)I =________________；（2） 127()12=I n n =∑________________.【解答题】 【17】．在△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足sin cos c A a C =．（1）求角C 的大小； （2）求cos()4A B π-+的最大值，并求取得最大值时角,A B 的大小.【18】．某商店试销某种商品20天，获得如下数据：试销结束后（假设该商品的日销售量的分布规律不变），设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存量少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率. （1）求当天商品不进货的概率；（2）记X 为第二天开始营业时该商品的件数，求X 的分布列和数学期型.【19】．如图1，在圆锥PO 中，已知PO =O 的直径2AB =,C 是AB 的中点，D 为AC 的中点．（1）证明：平面POD ⊥平面PAC ; （2）求二面角B PA C --的余弦值.【20】．如下图，长方体物体E 在雨中沿面P （面积为S ）的垂直方向作匀速移动，速度为v （v ＞0），图1雨速沿E 移动方向的分速度为()cc ∈R .E 移动时单位时间内的淋雨量包括两部分：（1）P 或P 的平行面（只有一个面淋雨）的淋雨量，假设其值与v c -×S成正比，比例系数为110；（2）其它面的淋雨量之和，其值为12，记y 为E 移动过程中的总淋雨量，当移动距离100d =，面积S =32时.（1）写出y 的表达式（2）设0＜v ≤10,0＜c ≤5，试根据c 的不同取值范围，确定移动速度v ，使总淋雨量y 最少.【21】．如下图，椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为，x 轴被曲线22:C y x b =- 截得的线段长等于1C 的长半轴长. （1）求1C ，2C 的方程；（2）设2C 与y 轴的焦点为M ，过坐标原点O 的直线l 与2C 相交于点,,A B 直线,,MA MB 分别与1C 相交与,D E ．（i ）证明：MD ME ⊥;（ii ）记△MAB ,△MDE 的面积分别为12,S S ．问：是否存在直线l ,使得121732S S =?请说明理由.【22】．已知函数3()f x x =，()g x x =（1）求函数()()()h x f x g x =-的零点个数.并说明理由；（2）设数列{}n a （*n ∈N ）满足1(0)a a a =>，1()()n n f a g a +=，证明：存在常数M ,使得对于任意的*n ∈N ，都有n a ≤ M ．【参考答案】 【1】．D提示：由(i)i i a b +=+得1i i a b -+=+，则1,1a b ==-.故选（D ）. 【2】．A 提示：当1a=时，{}1N =，则N M ⊆，满足充分性；当N M ⊆时，则21a =或22a =，推不出1a =，不满足必要性.故选（A ）. 【3】．B提示：由已知可得该几何体由一球和一四棱柱组成，四棱柱的底面是边长为3的正方形，高为2，体积为23318⨯⨯=，球的体积为3439()322⨯π⨯=π，所以该几何体的体积为9182π+.故选（B ）.【4】．C 提示：2 6.635K ＞，所以有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”.故选（C ）.【5】．C提示：令22209x y a -=，则有30x ay ±=，所以2a =.故选（C ）. 【6】．D提示：33002cos 2sin S xdx x ππ===⎰故选（D ）.【7】．A提示：画出可行域，利用图解法求解，当且仅当直线z x my =+过点1(,)11mm m ++时有最大值2121m z m +=+＜，又1m ＞，解得11m ＜＜故选（A ）.【8】．D 提示：将t x =代入2(),()ln f x x g x x ==中，得到点NM ,的坐标分别为2(,)t t ，(,ln )t t ，从而2ln (0),MN t t t =-＞对其求导，可知当且仅当22=t 时取到最小.故选（D ）. 【9】．2提示：首先将曲线1C 和2C 的方程化为圆1C :()1122=-+y x ，和直线2C ：01=+-y x ，可以用代数法（0>Δ）或几何法（=<=01d r ）得到两曲线1C 与2C 相交.故有2个交点.【10】．9提示：22222222111()(4)144x y x y y x x y ++=+++≥59+=，当且仅当222214x y x y=时取等号.【11】．3提示：如图，连结EC ，AB ，OA ，由,A E 是半圆周上的两个三等分点可知：30EBC ∠=,且△ABO是正三角形，所以2,1EC BE BD ===，且3AF BF ==.故填3. 【12】．25 提示：因为11=a ，74=a ，所以2=d ，则25245515=⋅⨯+=d a S .故填25. 【13】．23提示：①当1=i，计算()1021=-+=x x S ；②当2=i ，计算()2211S x x =+-=； ③当3=i ，计算()2312S x x =+-=；④当34>=i ，计算32=S ，输出32=S .故填32. 【14】．14-提示：设,,BC AB ==a b 则1,2AD AB BD =+=+b a 121,333BE BC CE BC CA =+=+=-a b 且 1cos1202⋅==-a b ，所以=⋅121()()233+⋅-b a a b =2211113324-+⋅=-a b a b .故填14-. 【15】．（1）()2P A =π;（2）()41=A B P提示：（1）是几何概型：()2πS P A S ==正圆；（2）是条件概率：()41=A B P .【16】．（1）2；（2）1093提示：（1）由题意知32101212120202=⨯+⨯+⨯+⨯，所以(12)2I =；（2）在2进制的(2)k k ≥位数中，没有0的有1个，有1个0的有11C k -个，有2个0的有21C k -个，…，有m 个0的有1C m k -个，…，有1k -个0的有11C 1k k --=个. 故对所有2进制为k 位数的数n ，在所求式中的()2I n 的和为：0112211111112+C 2C 2C 23.k k k k k k ------⋅⋅+⋅++⋅= 又712721=-恰为2进制的最大7位数，所以1277()1122231093I n k n k -===+=∑∑.【17】．解：（1）由正弦定理得sin sin sin cos .C A A C =因为0A π＜＜，所以sin 0A ＞.所以sin cos .CC =又cos 0C ≠，所以tan 1C =，则4C π=.（2）由（1）知34B A π=-，所以cos()cos()4A B A A π-+=-π-=πcos 2sin()6A A A +=+.因为304A π＜＜，所以11.6612A πππ+＜＜从而当62A ππ+=，即3A π=时，2sin()6A π+取最大值2.综上所述，cos()4A B π-+的最大值为2，此时5,.312A B ππ==【18】．（1）P （“当天商店不进货”）=P （“当天商品销售量为0件”）+P （“当天商品销售量为1件”）=153.202010+= （2）由题意知，X 的可能取值为2，3.(2)P X ==P （“当天商品销售量为1件”）=51.204= (3)P X ==P （“当天商品销售量为0件”）+P （“当天商品销售量为2件”）+P （“当天商品销售量为3件”）1953.2020204=++= 故X 的分布列为：所以X 的数学期望为23.444EX =⨯+⨯=【19】．解法1：（1）如图2，连结OC ，因为OA OC =，D 是AC 的中点，所以AC OD ⊥.又PO ⊥底面⊙O ，AC ⊂底面⊙O ，所以AC PO ⊥，因为OD ，PO 是平面POD 内的两条相交直线，所以AC ⊥平面POD ，而AC ⊂平面PAC ，所以平面POD ⊥平面PAC .（2）在平面POD 中，过O 作OH PD ⊥于H ，由（1）知，平面POD ⊥平面PAC .所以OH ⊥平面PAC ，又PA ⊂平面PAC ，所以PA OH ⊥. 在平面PAO 中，过O 作OG PA ⊥于G ，连结HG ， 则有PA ⊥平面OGH ，从而PA HG ⊥. 故OGH ∠为二面角B PA C --的平面角.在Rt △ODA中，sin 452OD OA =⋅︒=在Rt △POD中，==O H =在Rt △POA中，OG ===在Rt △OHG中，sin OH OGH OG ∠===所以cos 5OGH∠=== 故二面角B PAC --的余弦值为解法2：（1）如图3所示，以O 为坐标原点，,,OB OC OP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则(0,0,0),(1,0,0),(1,0,0),(0,1,0),O A B C P -，11(,,0)22D -， 设1111(,,)x y z =n 是平面POD 的一个法向量，则由110,0OD OP ⋅=⋅=n n，得111110,220.x y ⎧-+=⎪=所以1110,,z x y ==取11,y =得1(1,1,0).=n图2设2222(,,)x y z =n 是平面PAC 的一个法向量，则由220,0PA PC ⋅=⋅=n n ，得22220,0.x y ⎧-=⎪⎨=⎪⎩所以22222,.1,x y ===取z得2(=n .因为()()121,1,00,⋅=⋅=n n所以12.⊥n n 从而平面POD ⊥平面PAC .（2）因为y 轴⊥平面PAB ，所以平面PAB 的一个法向量为3(0,1,0).=n由（1）知，平面PAC的一个法向量为2(=n .设向量23和n n 的夹角为θ，则2323cos ||||θ⋅===⋅n n n n由图3可知，二面角B PA C --的平面角与θ相等，所以二面角B PAC --的余弦值为5【20】．解：（1）由题意知，E 移动时单位时间内的淋雨量为31||202v c -+， 故100315(||)(3||10)202y v c v c v v=-+=-+. （2）由（1）知，当0v <≤c 时，55(310)(3310)15;c y c v v v+=-+=- 当c v <≤10时，55(103)(3310)15.c y v c v v -=-+=+ 故(310)15,0,5(103)15,10.c v c vy c c v v 5+⎧-<⎪⎪=⎨-⎪+<⎪⎩≤≤1）当0c <≤103时，y 是关于v 的减函数， 故当min 310,20.2c v y ==-时 2）当103c <≤5时，在(]0,c 上，y 是关于v 的减函数；在(],10c 上，y 是关于v 的增函数， 故当min 50,.v c y c==时 图3【21】．解：（1）由题意知.1,2,2,2,23======b a a b b a ac e 解得又从而 故12,C C 的方程分别为.1,14222-==+x y y x（2）（i ）由题意知，直线l 的斜率存在，设为k ，则直线l 的方程为kx y =.由2,1,y kx y x =⎧⎨=-⎩得210.x kx --= 设()()1122,,A x y B x y ，，则12x x ，是上述方程的两个实根，于是 .1,2121-==+x x k x x又点M 的坐标为()0,1-，所以2121212212122111)()1)(1(11x x x x k x x k x x kx kx x y x y k k MBMA +++=++=+⋅+=⋅ .11122-=-++-=k k故,MA MB ⊥即.MD ME ⊥（ii ）设直线MA 的斜率为1k ，则直线MA 的方程为1121,1,1,y k x y k x y x =-⎧=-⎨=-⎩由解得121,01 1.x k x y y k =⎧=⎧⎨⎨=-=-⎩⎩，或， 则点A 的坐标为)1,(211-k k .又直线MB 的斜率为11k -， 同理可得点B 的坐标为).11,1(211--k k于是211111111|||||||22||k S MA MB k k k +=⋅=-=.由1221,440y k x x y =-⎧⎨+-=⎩，得.08)41(1221=-+x k x k解得12121218,140,141.14k x k x y k y k ⎧=⎪+=⎧⎪⎨⎨=--⎩⎪=⎪+⎩或， 则点D 的坐标为2112211841(,).1414k k k k -++ 又直线ME 的斜率为11k -，同理可得点E 的坐标为).44,48(2121211k k k k +-+- 于是2112221132(1)||1||||2(14)(4)k k S MD ME k k +⋅=⋅=++. 因此21122114(417).64S k S k =++ 由题意知，21211417(417),6432k k ++=解得214,k =或211.4k =又由点,A B 的坐标可知，2121111111,1k k k k k k k -==-+所以3.2k =± 故满足条件的直线l 存在，且有两条，其方程分别为.2323x y x y -==和【22】．解：（1）由3(),[0,)h x x x x =-∈+∞，而(0)0,(1)1h h ==-<且，(2)60,0()h x h x =>=则为的一个零点，且()h x 在（1，2）内有零点.因此()h x 至少有两个零点.1221()31,2h x x x -'=--记1221()31,2x x x ϕ-=--则321()6.4x x x ϕ-'=+当(0,),()0,()(0,)x x x ϕϕ'∈+∞>+∞时因此在内单调递增，则()(0,)x ϕ+∞在内至多只有一个零点.又因为(1)0,0,()x ϕϕϕ><则在内有零点， 所以()(0,)x ϕ+∞在内有且只有一个零点，记此零点为111,(0,),()()0x x x x x ϕϕ∈<=则当时；当1(,)x x ∈+∞时，1()()0.x x ϕϕ>=所以，当1(0,),()x x h x ∈时单调递减，而1(0)0,()(0,]h h x x =则在内无零点；当1(0,),()x x h x ∈时单调递减，而1(0)0,()(0,]h h x x =则在内无零点； 当1(,),()x x h x ∈+∞时单调递增，则1()(,)h x x +∞在内至多只有一个零点. 从而()h x 在(0,)+∞内至多只有一个零点. 综上所述，()h x 有且只有两个零点.（2）记()h x 的正零点为0,x 即300x x =（i ）当0a x <时，由1,a a =即10.a x <而332100,a a x x =+<=因此20.a x <由此猜测：0n a x <.下面用数学归纳法证明.①当1n=时10,a x <显然成立.②假设当nk =（k ≥1）时，0k a x <成立，则当1n k =+时，由33100k k a a x x +=<=知，10.k a x +<因此，当1n k =+时，10k a x +<成立.故对任意的*0,k n a x ∈<N成立.（ii ）当a ≥0x 时，由（1）知，0()(,)h x x +∞在内单调递增，则()h a ≥0()0h x =，即3a ≥a从而321a a a ==3,a 即2a ≤a .由此猜测：n a ≤a ，下面用数学归纳法证明， ①当1n=时，1a ≤a 显然成立.②假设当n k =（k ≥1）时，k a ≤a 成立，则当1n k =+时，由31k k a a +=+a +3a 知，1k a +≤a .因此，当1n k=+时，1k a +≤a 成立.故对任意的*,n n a ∈N≤a 成立.综上所述，存在常数0max{,}M x a =，使得对于任意的*,n ∈N 都有n a ≤.M【End】。

高考数学（理）真题专题汇编：推理与证明一、选择题1.【来源】2017年高考真题——理科数学（全国Ⅱ卷）甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（ ）A ．乙可以知道四人的成绩B ．丁可以知道四人的成绩C ．乙、丁可以知道对方的成绩D ．乙、丁可以知道自己的成绩 2.【来源】2014年高考真题理科数学（山东卷）用反证法证明命题：“已知,a b 为实数，则方程20x ax b ++=至少有一个实根”时，要做的假设是（A ）方程20x ax b ++=没有实根（B ）方程20x ax b ++=至多有一个实根 （C ）方程20x ax b ++=至多有两个实根（D ）方程20x ax b ++=恰好有两个实根3.【来源】2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科） 设整数4n ≥,集合{}1,2,3,,X n =.令集合(){},,|,,,,,S x y z x y z X x y z y z x z x y =∈<<<<<<且三条件恰有一个成立若(),,x y z 和(),,z w x 都在S 中,则下列选项正确的是( )A . (),,y z w S ∈,(),,x y w S ∉B ．(),,y z w S ∈,(),,x y w S ∈C ．(),,y z w S ∉,(),,x y w S ∈D ．(),,y z w S ∉,(),,x y w S ∈4.【来源】辽宁省大连24中2012届高三模拟考试理科数学 有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面，则平行于平面内所有直线：已知直线bα平面，直线a α⊂平面，直线b ∥平面α，则b ∥a ”的结论显然是错误的，这是因为 A ．大前提错误 B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．非以上错误5.【来源】2012年高考真题——理科数学（江西卷）观察下列各式：221,3,a b a b +=+=3344554,7,11,a b a b a b +=+=+=则1010a b+=A．28 B．76 C．123 D．1996.【来源】2012年高考真题——理科数学（湖北卷）我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径. “开立圆术”相当于给出了已知球的体积V，求其直径d的一个近似公式316 9d V≈.人们还用过一些类似的近似公式. 根据π =3.14159判断，下列近似公式中最精确的一个是A．316 9d V≈ B．32d V≈ C．3300 157d V≈ D．321 11d V≈7.【来源】2012年高考真题——理科数学（全国卷）正方形ABCD的边长为1，点E在边AB上，点F在边BC上，AE＝BF＝73.动点P从E出发沿直线喜爱那个F运动，每当碰到正方形的方向的边时反弹，反弹时反射等于入射角，当点P第一次碰到E时，P与正方形的边碰撞的次数为（A）16（B）14（C）12(D)108.【来源】2011年高考数学理（江西）如右图，一个直径为1的小圆沿着直径为2的大圆内壁的逆时针方向滚动，M和N是小圆的一条固定直径的两个端点。

2007年普通高等学校招生全国统一考试(全国Ⅱ卷)数学（理）试题（必修+选修Ⅱ）第Ⅰ卷（选择题）本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．参考公式：如果事件A、B互斥，那么球的表面积公式P（A+B）=P（A）+P（B）S=4如果事件A、B相互独立，那么其中R表示球的半径，P（A·B）=P（A）·P（B）球的体积公式如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么V=，n次独立重复试验中恰好发生k次的概率其中R表示球的半径P n(k)=C P k(1－P)n－k一、选择题1．（）A．B．C．D．2．函数的一个单调增区间是（）A．B．C．D．3．设复数满足，则（）A．B．C．D．4．下列四个数中最大的是（）A．B．C．D．5．在中，已知是边上一点，若，则（）A．B．C．D．6．不等式的解集是（）A．B．C．D．7．已知正三棱柱的侧棱长与底面边长相等，则与侧面所成角的正弦值等于（）A．B．C．D．8．已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（）A．3 B．2 C．1 D．9．把函数的图像按向量平移，得到的图像，则（）A．B．C．D．10．从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有（）A．40种B．60种C．100种D．120种11．设分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线上存在点，使且，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．12．设为抛物线的焦点，为该抛物线上三点，若，则（）A．9 B．6 C．4 D．3第Ⅱ卷（非选择题）本卷共10题，共90分二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．的展开式中常数项为．（用数字作答）14．在某项测量中，测量结果服从正态分布．若在内取值的概率为0.4，则在内取值的概率为．15．一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm的球面上．如果正四棱柱的底面边长为1cm，那么该棱柱的表面积为cm．16．已知数列的通项，其前项和为，则 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分） 在中，已知内角，边．设内角，周长为．（1）求函数的解析式和定义域；（2）求的最大值．18．（本小题满分12分）从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取1件，假设事件：“取出的2件产品中至多有1件是二等品”的概率． （1）求从该批产品中任取1件是二等品的概率；（2）若该批产品共100件，从中任意抽取2件，表示取出的2件产品中二等品的件数，求的分布列．19．（本小题满分12分） 如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧棱底面分别为的中点． （1）证明平面； （2）设，求二面角的大小．20．（本小题满分12分） 在直角坐标系中，以为圆心的圆与直线相切．（1）求圆的方程； （2）圆与轴相交于两点，圆内的动点使成等比数列，求的取值范围．AEBCFSD21．（本小题满分12分）设数列的首项．（1）求的通项公式；（2）设，证明，其中为正整数．22．（本小题满分12分）已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）设，如果过点可作曲线的三条切线，证明：．答案解析一、选择题 1.答案：D 解析：sin2100 =，选D 。

2011年普通高等学校全国统一考试（山东卷）理科数学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的的四个选项中，只有一个项是符合题目要求的。

（1）设集合2{60}M x x x =+-<，{13}N x x =≤≤，则M N =A.[1,2)B. [1,2]C. (2,3]D. [2,3] 解析：{32}M x x =-<<，[1,2)M N = ，答案应选A 。

（2）复数2(2iz i i-=+为虚数单位）在复平面内对应的点所在的象限为 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限解析：22(2)34255i i iz i ---===+对应的点为34(,)55-在第四象限，答案应选D.（3）若点(,9)a 在函数3xy =的图象上，则tan6a π的值为A.0B.3C. 1D.解析：2393a ==，2a =，tantan 63a ππ== D. （4）不等式5310x x -++≥的解集是A.[5,7]-B. [4,6]C. (,5][7,)-∞-+∞D. (,4][6,)-∞-+∞ 解析：当5x >时，原不等式可化为2210x -≥，解得6x ≥；当35x -≤≤时，原不等式可化为810≥，不成立；当3x <-时，原不等式可化为2210x -+≥，解得4x -≤.综上可知6x ≥，或4x -≤，答案应选D 。

另解1：可以作出函数53y x x =-++的图象，令5310x x -++=可得4x -=或6x =，观察图像可得6x ≥，或4x -≤可使5310x x -++≥成立，答案应选D 。

另解2：利用绝对值的几何意义，53x x -++表示实数轴上的点x 到点3x =-与5x =的距离之和，要使点x 到点3x =-与5x =的距离之和等于10，只需4x -=或6x =，于是当6x ≥，或4x -≤可使5310x x -++≥成立，答案应选D 。