高考数学一轮复习阶段回扣练(五)平面向量习题理新人教A版

方法强化练——平面向量(建议用时：90分钟)一、选择题1．(2014·福建质检)已知向量a ＝(m 2,4)，b ＝(1,1)，则“m ＝－2”是“a ∥b ”的( )．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析 依题意，当m ＝－2时，a ＝(4,4)，b ＝(1,1)，所以a ＝4b ，即a ∥b ，即由m ＝－2可以推出a ∥b ；当a ∥b 时，m 2＝4，得，m ＝±2，所以不能推得m ＝－2，即“m ＝－2”是“a ∥b ”的充分不必要条件． 答案 A2．(2013·德州一模)已知向量a ＝(2,3)，b ＝(k,1)，若a ＋2b 与a －b 平行，则k 的值是( )． A ．－6 B ．－23C.23D ．14解析 由题意得a ＋2b ＝(2＋2k,5)，且a －b ＝(2－k,2)，又因为a ＋2b 和a －b 平行，则2(2＋2k )－5(2－k )＝0，解得k ＝23.答案 C3．(2013·浙江五校联考)已知|a |＝|b |＝|a －2b |＝1，则|a ＋2b |＝( )．A ．9B ．3C ．1D ．2解析 由|a |＝|b |＝|a －2b |＝1，得a 2－4a ·b ＋4b 2＝1， ∴4a ·b ＝4，∴|a ＋2b |2＝a 2＋4a ·b ＋4b 2＝5＋4＝9， ∴|a ＋2b |＝3. 答案 B4．(2014·郑州一模)已知平面向量a ＝(－2，m )，b ＝(1，3)，且(a －b )⊥b ，则实数m 的值为( )．A ．－2 3B ．2 3C ．4 3D ．6 3解析 因为(a －b )⊥b ，所以(a －b )·b ＝a ·b －b 2＝0，即－2＋3m －4＝0，解得m ＝2 3. 答案 B5．(2014·长春一模)已知|a |＝1，|b |＝6，a ·(b －a )＝2，则向量a 与b 的夹角为( )．A.π2B.π3C.π4D.π6解析 a ·(b －a )＝a ·b －a 2＝2，所以a ·b ＝3， 所以cos<a ，b >＝a ·b |a ||b |＝31×6＝12.所以<a ，b >＝π3.答案 B6．(2013·潮州二模)已知向量a ＝(1，－cos θ)，b ＝(1,2cos θ)且a ⊥b ，则cos 2θ等于( )． A ．－1 B ．0 C.12D.22解析 a ⊥b ⇒a ·b ＝0，即1－2cos 2θ＝0，∴cos 2θ＝0. 答案 B7．(2014·成都期末测试)已知O 是△ABC 所在平面内一点，D 为BC 边中点，且2OA →＋OB →＋OC →＝0，则有( )．A.AO →＝2OD →B.AO →＝OD →C.AO →＝3OD → D ．2AO →＝OD →解析 由2OA →＋OB →＋OC →＝0，得OB →＋OC →＝－2OA →＝2AO →，即OB →＋OC →＝2OD →＝2AO →，所以OD →＝AO →，即O 为AD 的中点． 答案 B8．(2013·潍坊一模)平面上有四个互异点A ，B ，C ，D ，已知(DB →＋DC →－2DA →)·(AB →－AC →)＝0，则△ABC 的形状是( )．A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．无法确定解析 由(DB →＋DC →－2DA →)·(AB →－AC →)＝0， 得[(DB →－DA →)＋(DC →－DA →)]·(AB →－AC →)＝0， 所以(AB →＋AC →)·(AB →－AC →)＝0. 所以|AB →|2－|AC →|2＝0，∴|AB →|＝|AC →|， 故△ABC 是等腰三角形． 答案 B9．(2013·兰州一模)在△ABC 中，G 是△ABC 的重心，AB ，AC 的边长分别为2,1，∠BAC ＝60°.则AG →·BG →＝( )．A ．－89B ．－109C.5－39D ．－5－39解析 由AB ＝2，AC ＝1，∠BAC ＝60°，所以BC ＝3，∠ACB ＝90°，将直角三角形放入直角坐标系中，如图所示，则A (0,1)，B (－3，0)，所以重心G ⎝⎛⎭⎫－33，13，所以AG →＝⎝⎛⎭⎫－33，－23，BG →＝⎝⎛⎭⎫233，13，所以AG →·BG →＝⎝⎛⎭⎫－33，－23·⎝⎛⎭⎫233，13＝－89.答案 A10．(2014·皖南八校第三次联考)已知正方形ABCD (字母顺序是A →B →C →D )的边长为1，点E 是AB 边上的动点(可以与A 或B 重合)，则DE →·CD →的最大值是 ( )．A ．1 B.12 C ．0D ．－1解析 建立直角坐标系如图所示，设E (x,0)，x ∈[0,1]，则D (0,1)，C (1,1)，B (1,0)，所以DE →·CD →＝(x ，－1)·(－1,0)＝－x ，当x ＝0时取得最大值0.答案 C 二、填空题11．(2013·济南模拟)若a ＝(1，－2)，b ＝(x,1)，且a ⊥b ，则x ＝________.解析 由a ⊥b ，得a ·b ＝x －2＝0，∴x ＝2. 答案 212．(2013·昆明期末考试)已知向量a ＝(1,1)，b ＝(2,0)，则向量a ，b 的夹角为________．解析 a ＝(1,1)，b ＝(2,0)，∴|a |＝2，|b |＝2， ∴cos<a ，b >＝a ·b |a ||b |＝222＝22，∴<a ，b >＝π4. 答案 π413．(2014·杭州质检)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，BC ＝1，D 为斜边AB 的中点，则AB →·CD →＝________.解析 AB →·CD →＝AB →·(AD →－AC →)＝AB →·AD →－AB →·AC →＝2×1－2×3cos 30°＝－1. 答案 －114．(2014·湖南长郡中学、衡阳八中联考)已知G 1，G 2分别为△A 1B 1C 1与△A 2B 2C 2的重心，且A 1A 2→＝e 1，B 1B 2→＝e 2，C 1C 2→＝e 3，则G 1G 2→＝________(用e 1，e 2，e 3表示)．解析 由A 1A 2→＝A 1G 1→＋G 1G 2→＋G 2A 2→＝e 1 ①，B 1B 2→＝B 1G 1→＋G 1G 2→＋G 2B 2→＝e 2 ②，C 1C 2→＝C 1G 1→＋G 1G 2→＋G 2C 2→＝e 3 ③，且G 1，G 2分别为△A 1B 1C 1与△A 2B 2C 2的重心，所以A 1G 1→＋B 1G 1→＋C 1G 1＝0，G 2A 2→＋G 2B 2→＋G 2C 2→＝0，将①②③相加得G 1G 2→＝13(e 1＋e 2＋e 3)．答案 13(e 1＋e 2＋e 3)三、解答题15．(2013·漯河调研)在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知向量a ＝(2,1)，A (1,0)，B (cos θ，t )．(1)若a ∥AB →，且|AB →|＝5|OA →|，求向量OB →的坐标； (2)若a ∥AB →，求y ＝cos 2θ－cos θ＋t 2的最小值． 解 (1)∵AB →＝(cos θ－1，t )，又a ∥AB →，∴2t －cos θ＋1＝0.∴cos θ－1＝2t .① 又∵|AB →|＝5|OA →|，∴(cos θ－1)2＋t 2＝5.② 由①②得，5t 2＝5，∴t 2＝1.∴t ＝±1.当t ＝1时，cos θ＝3(舍去)，当t ＝－1时，cos θ＝－1， ∴B (－1，－1)，∴OB →＝(－1，－1)． (2)由(1)可知t ＝cos θ－12，∴y ＝cos 2θ－cos θ＋(cos θ－1)24＝54cos 2θ－32cos θ＋14＝54⎝⎛⎭⎫cos 2θ－65cos θ＋14 ＝54⎝⎛⎭⎫cos θ－352－15， ∴当cos θ＝35时，y min ＝－15.16．设向量a ＝(3sin x ，sin x )，b ＝(cos x ，sin x )，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2. (1)若|a |＝|b |，求x 的值；(2)设函数f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值． 解 (1)由|a |2＝(3sin x )2＋(sin x )2＝4sin 2 x ， |b |2＝(cos x )2＋(sin x )2＝1，及|a |＝|b |，得4sin 2 x ＝1. 又x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，从而sin x ＝12，所以x ＝π6. (2)f (x )＝a ·b ＝3sin x ·cos x ＋sin 2 x ＝32sin 2x －12cos 2x ＋12＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋12， 当x ＝π3∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6取最大值1.所以f (x )的最大值为32.17．(2013·银川调研)已知点G 是△ABO 的重心，M 是AB 边的中点．(1)求GA →＋GB →＋GO →；(2)若PQ 过△ABO 的重心G ，且OA →＝a ，OB →＝b ，OP →＝m a ，OQ →＝n b ，求证：1m ＋1n ＝3.(1)解 ∵GA →＋GB →＝2GM →，又2GM →＝－GO →， ∴GA →＋GB →＋GO →＝－GO →＋GO →＝0. (2)证明 显然OM →＝12(a ＋b )．因为G 是△ABO 的重心，所以OG →＝23OM →＝13(a ＋b )．由P ，G ，Q 三点共线，得PG →∥GQ →， 所以，有且只有一个实数λ，使PG →＝λGQ →. 而PG →＝OG →－OP →＝13(a ＋b )－m a ＝⎝⎛⎭⎫13－m a ＋13b ， GQ →＝OQ →－OG →＝n b －13(a ＋b )＝－13a ＋⎝⎛⎭⎫n －13b ， 所以⎝⎛⎭⎫13－m a ＋13b ＝λ⎣⎡⎦⎤－13a ＋⎝⎛⎭⎫n －13b . 又因为a ，b 不共线，所以⎩⎨⎧13－m ＝－13λ，13＝λ⎝⎛⎭⎫n －13，消去λ，整理得3mn ＝m ＋n ，故1m ＋1n＝3.18．(2014·太原模拟)已知f (x )＝a ·b ，其中a ＝(2cos x ，－3sin 2x )，b ＝(cos x,1)(x ∈R )．(1)求f (x )的周期和单调递减区间；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，f (A )＝－1，a ＝7，AB →·AC →＝3，求边长b 和c 的值(b ＞c )．解 (1)由题意知，f (x )＝2cos 2x －3sin 2x ＝1＋cos 2x －3sin 2x ＝1＋2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3， ∴f (x )的最小正周期T ＝π，∵y ＝cos x 在[2k π，2k π＋π](k ∈Z )上单调递减，∴令2k π≤2x ＋π3≤2k π＋π(k ∈Z )，得k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z )．∴f (x )的单调递减区间⎣⎡⎦⎤k π－π6，k π＋π3，k ∈Z . (2)∵f (A )＝1＋2cos ⎝⎛⎭⎫2A ＋π3＝－1， ∴cos ⎝⎛⎭⎫2A ＋π3＝－1. 又π3＜2A ＋π3＜7π3，∴2A ＋π3＝π.∴A ＝π3. ∵AB →·AC →＝3，即bc ＝6，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－ 2bc cos A ＝(b ＋c )2－3bc,7＝(b ＋c )2－18，b ＋c ＝5， 又b ＞c ，∴b ＝3，c ＝2.。

真题操练集训→ →1．设 D 为△ ABC 所在平面内一点， BC ＝3CD ，则 ()→→→14A. AD ＝－ 3AB ＋ 3AC→→→14B. AD ＝ 3AB － 3AC→→→41C.AD ＝ 3AB ＋ 3AC→→→41D.AD ＝ 3AB － 3AC 答案： A→ → → →→ →→ →→→→→114114分析： AD ＝AC ＋ CD ＝ AC ＋ 3BC ＝ AC ＋3( AC － AB ) ＝ 3AC － 3AB ＝－ 3AB ＋ 3AC . 应选 A.→ →2．设 D ， E ，F 分别为△ ABC 的三边 BC ，CA ， AB 的中点，则 EB ＋ FC ＝()→→1A. ADB. 2AD→ →C.BCD. 21BC→ → 1 → → 1 → →1→ → →答案： A分析： ＋ ＋＋ ) ＝ ，应选 A.＝ ( ) ＋ ( ＋ )＝(EBFC 2 AB CB2 AC BC 2 AB AC AD→ 1 → → → → 3．已知， ， 为圆 O 上的三点，若 ＝ ( ＋ ) ，则 与 的夹角为 ________．A B CAO 2 AB AC AB AC 答案： 90°→→ →1分析：∵ AO ＝ 2( AB ＋ AC ) ， ∴点 O 是△ ABC 边 BC 的中点，→ →∴BC 为直径，依据圆的几何性质有〈AB ， AC 〉＝ 90°.课外拓展阅读专题一平面向量与三角形问题的综合→ →→17已知 P 是△ ABC 内一点，且 AP ＝ 3AB ＋ 18AC ，△ PBC 的面积是 2 015 ，则△ PAB 的面积是________．△PBC ，△ PAB 分别与△ ABC 共底边于 BC ， AB ，由平面几何知识，将每组共底边的三角形面积之比转变为共底边上的对应高的比，即可得出头积关系，从而计算出△PAB 的面积．设 S △ ABC ＝S ， S △ PBC ＝S 1＝ 2 015 ，S △ PAB ＝ S 2.解法一： ( 适合切入，从“三点共线”打破) 如下图，→延伸 AP 交 BC 于 D ，由平面几何知识，得 S 1 | PD |S＝→ .| AD |由 A ， P ， D 三点共线，可得→→→7→1 ＋ μ ( μ ∈ R) ．①AD ＝ μ AP ＝ μ 183 AB AC由 B ， D ， C 三点共线，可得→→ →AD ＝ λ AB ＋ (1 －λ ) AC ( λ∈ R) ．②16，λ ＝ 3μ ，λ ＝13 联立①和②，有7解得181－λ ＝ 18μ ，μ ＝13.→→→ → → → →185则AD ＝ μ AP ＝13AP ， PD ＝AD － AP ＝ 13AP ，→|PD | 5那么＝，→18| AD |18于是 S ＝ 5 S 1.→|PE |7同理，延伸 CP 交 AB 于 E ，计算可得→＝ 18，| CE |因此2＝7 .S18S77 18 77于是 S 2＝ 18S ＝ 18×5 S 1＝ 5S 1 ＝ 5×2 015 ＝ 2 821.解法二： ( 奇妙结构，引出向量“投影”取胜) 如下图，→→ →→结构一个单位向量e ( 此中e ⊥BC ) ，那么 BP ， BA 在单位向量e方向上的投影长度|e · BP |→与 | e ·BA | 分别是△ PBC ，△ ABC 的公共底边上的高，→ →1则 S ＝ 2| BC | ·|e · BA |→ → →1＝ 2| BC || e || BA ||cos 〈 e ， BA 〉 |→ →1＝ 2| BC | ·|BA |sin ∠ ABC ；→ → → →→→17因为 BP ＝ BA ＋AP ＝ BA ＋ 3AB ＋ 18AC→→→ →17＝BA ＋ 3AB ＋ 18( AB ＋ BC )→→57＝ 18BA ＋ 18BC ，→→1因此 S 1＝ 2| BC | e ·BP→＝ 1| BC | e · 5 → 7 →218BA ＋ 18BC1 →→＝ 2| BC | e · 5BA18→→→15＝BA |cos 〈 e ，BA 〉 | 2| BC | 185 1→ →＝ BC || BA |sin ∠ ABC18 2|5＝ 18S .→7设 i 为与向量 AB 垂直的单位向量，同理，能够推出 S 2＝ 18S .于是 2＝ 7 7 18 7 7＝ × 1＝ 1＝ ×2 015 ＝ 2 821.S18S18 5 S 5S5解法三： ( 划归转变，牵手三角形“重心”巧解)→→→17由AP ＝ 3AB ＋ 18AC ，→ → →可得 5PA ＋ 6PB ＋ 7PC ＝ 0.→→→→→→令PA ′ ＝ 5PA ， PB ′ ＝6PB ， PC ′＝ 7PC ，连结 A ′ B ′， B ′ C ′， C ′ A ′，如下图，→ → →于是 PA ′ ＋PB ′ ＋ PC ′ ＝ 0.即 P 是△ A ′B ′ C ′的重心，S △PA ′B ′＝S △ PB ′ C ′ ，依据已知条件，得→ →1S 1＝2| PB || PC |sin ∠ BPC1 1→ 1→＝ ′′ sin ∠BPC2 6PB7PC1→→＝421| PB ′ || PC ′ |sin ∠ BPC 21 ＝S △ PB ′ C ′ ，42因此 S △ PB ′ C ′ ＝ 42S 1，同理可得 S △PA ′B ′＝30S 2.42于是 S 2＝ 30S 1＝ 2 821. 故填 2 821.2 821温馨提示在找寻三个三角形面积之间的关系时，能够从多方面思虑：①能够从“三点共线”打破，运用三点共线向量式求解，思想起点低，思路直接，如解法一；②能够从向量“投影”得出关系，结构出一此中介性协助元素单位向量e ，i ，如解法二；→→→→ →→17③能够转变条件形式， 将 AP ＝ 3AB ＋ 18AC 转变成 5PA ＋ 6PB ＋ 7PC ＝0，利用三角形“重心”性质引出巧解，如解法三．专题二用几何法求解向量填空题利用向量加法的几何意义或向量减法的几何意义，能够将一些向量问题转变为几何问题，利用数形联合的方法，迅速获得答案，防止繁琐的运算和因为运算而产生的错误．已知 a ， b 是两个非零向量，且 | a| ＝ |b| ＝|a － b| ，则 a 与 a ＋ b 的夹角是 ________．→ →令 OA ＝ a ，OB ＝ b ，以 OA ， OB 为邻边作平行四边形 OACB ，则 OC ＝ a ＋ b ，BA ＝ a －b ，又 |a| ＝|b| ＝ |a － b| ，因此△ OAB 是正三角形，由向量加法的几何意义，可知是∠的均分线，因此a 与 a ＋b的夹角是π.OCAOB6π6已知两个非零向量，b 知足|a＋b|＝|a－b|，则下边结论正确的选项是________．a①a∥b；②a⊥b；③|a| ＝|b| ；④a＋ b＝a－ b.依据向量加法、减法的几何意义可知，|a ＋b| 与 |a － b| 分别为以向量 a， b 为邻边的平行四边形的两条对角线的长，因为|a ＋b| ＝ |a －b|. 因此该平行四边形为矩形，因此a⊥b.②。

2014届高考数学（理）一轮复习单元测试第五章平面向量一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．)1 ．【山东省诸城市2013届高三12月月考理】若向量(1,2),(4,)a x b y =-=r r相互垂直，则93x y +的最小值为 A ．6B ．23C ．32D ．122、.【北京市海淀区2013届高三上学期期末理】向量(3,4),(,2)x ==a b , 若||⋅=a b a ,则实数x 的值为A.1-B.12-C.13- D.1 3、（2013年高考湖北理）已知点()1,1A -.()1,2B .()2,1C --.()3,4D ,则向量AB u u u r 在CDu u ur 方向上的投影为 （ ）A ．322 B ．3152C ．322-D ．3152-4、【北京市石景山区2013届高三上学期期末理】AC 为平行四边形ABCD 的一条对角线，(2,4),(1,3),AB AC AD 则===u u u r u u u r u u u r（ ） A ．(2,4) B ．(3,7) C ．(1,1)D ．(1,1)--5.【贵州省遵义四中2013届高三第四次月考理】已知向量(2,1)a =r ，(1,)b k =r ，且a r 与br的夹角为锐角，则实数k 的取值范围是（ ） （A ）()2,-+∞（B ）11(2,)(,)22-+∞U （C ）(,2)-∞- （D ）(2,2)-6.【山东省青岛一中2013届高三1月调研理】已知两点(1,0),(1,3),A B O 为坐标原点，点C 在第二象限，且ο120=∠AOC ，设2,(),OC OA OB λλλ=-+∈R u u u r u u u r u u u r则等于A ．1-B ．２C ．1D ．2-7、若20AB BC AB ⋅+=u u u ur u u u r u u u r ，则ABC ∆必定是（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形8、（2013高考湖南理）已知,a b 是单位向量,0a b =g.若向量c 满足1,c a b c --=则的取值范围是（ ）A ．2-1,2+1⎡⎤⎣⎦，B ．2-1,2+2⎡⎤⎣⎦，C ．1,2+1⎡⎤⎣⎦，D ．1,2+2⎡⎤⎣⎦，9.如图，正方形ABCD 中，点E ，F 分别是DC ，BC 的中点，那么=EF u u u r（A ）1122AB AD u u ur u u u r +（B ）1122AB AD -u u ur u u u r - （C ）1122AB AD -u u ur u u u r + （D ）1122AB AD u u ur u u u r -10、（广东省广州市2013届高三4月综合测试（二））对于任意向量a 、b 、c ,下列命题中正确的是（ ）A ．=ga b a b B ．+=+a b a bC ．()()=gg a b c a b cD ．2=g a a a11、（2013年考安徽数学理）在平面直角坐标系中,O 是坐标原点,两定点,A B 满足2,OA OB OA OB ===u u u r u u u r u u u r u u u r g 则点集{}|,1,,P OP OA OB R λμλμλμ=++≤∈u u u r u u u r u u u r所表示的区域的面积是 （ ）A ．22B ．23C ．42D ．4312 ．（2013年高考重庆数学理）在平面上,12AB AB ⊥u u u r u u u u r ,121OB OB ==u u u r u u u u r ,12AP AB AB =+u u u r u u u r u u u u r .若12OP <u u u r ,则OA u u u r 的取值范围是 （ ）A ．50,2⎛⎤ ⎥ ⎝B ．57,22⎛⎤⎥C ．5,22⎛⎤⎥D ．7,22⎛⎤⎥二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上) 13、（2013年新课标Ⅱ卷数学（理）））已知正方形ABCD 的边长为2,E 为CD 的中点,则AE BD =u u u r u u u rg _______.14．（2013年上海市春季高考）已知向量(1 )a k =r，,(9 6)b k =-r ，.若//a b r r ,则实数 k = __________EDBA15、【天津市新华中学2013届高三第三次月考理】 已知向量,a b r r 夹角为45︒，且 1,210a a b =-=r r r ；则b =r___ ___.16．【北京市朝阳区2013届高三上学期期末理】在直角三角形ABC 中，90ACB ∠=︒，2AC BC ==，点P 是斜边AB 上的一个三等分点，则CP CB CP CA ⋅+⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r．三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17、(本小题满分10分) 【北京北师特学校2013届高三第二次月考 理】已知(1,2)a =r,)2,3(-=b ,当k 为何值时，ka +r b 与3a -r b 平行？平行时它们是同向还是反向？18、(本小题满分12分) （江苏泰州市2013届高三期末）已知向量a=(cos λθ,cos(10)λθ-),b=(sin(10)λθ-,sin λθ),,R λθ∈(1)求22a b +r r 的值（2）若a b ⊥r r，求θ（3）20πθ=，求证：a b r rP19、(本小题满分12分) （2013届闸北区二模）已知)sin ,(cos θθ=a 和)cos ,sin 2(θθ-=b ，)2,(ππθ∈，且528||=+b a ，求θsin 与⎪⎭⎫⎝⎛+82cos πθ的值．20、(本小题满分12分) （上海市浦东区2013年高考二模）已知向量()1,1,m =u r 向量n r 与向量m u r 的夹角为34π,且1m n ⋅=-u r r .(1)求向量n r;(2)若向量n r 与(1,0)q =r 共线,向量22cos ,cos 2C p A ⎛⎫= ⎪⎝⎭u r ,其中A 、C 为ABC ∆的内角,且A 、B 、C 依次成等差数列,求n p +r u r的取值范围.21．(本小题满分12分) 【 山东省滨州市滨城区一中2013届高三11月质检数学理】 在边长为1的等边三角形ABC 中，设−→−−→−=BD BC 2,−→−−→−=CE CA 3 (1)用向量−→−−→−AC AB ,作为基底表示向量−→−BE （2）求−→−−→−•BE AD22．(本小题满分12分)【云南省玉溪一中2013届高三第三次月考 理】已知定点(1,0)A 和定直线1x =-上的两个动点E 、F ，满足AF AE ⊥，动点P 满足OP FO OA EP //,//（其中o 为坐标原点）. (1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)过点(0,2)B 的直线l 与（1）中轨迹C 相交于两个不同的点M 、N ，若0<⋅AN AM ，求直线l 的斜率的取值范围.参考答案 1、【答案】A【解析】因为a b ⊥r r ，所以0a b =r rg ，即4(1)20x y -+=，所以22x y +=。

2021年高考数学一轮复习第五章平面向量5.4平面向量应用举例真题演练集训理新人教A 版1．[xx·四川卷]在平面内，定点A ，B ，C ，D 满足|DA →|＝|DB →|＝|DC →|，DA →·DB →＝DB →·DC →＝DC →·DA →＝－2，动点P ，M 满足|AP →|＝1，PM →＝MC →，则|BM →|2的最大值是( )A.434B.494C.37＋634D.37＋2334答案：B解析：由|DA →|＝|DB →|＝|DC →|知，D 为△ABC 的外心．由DA →·DB →＝DB →·DC →＝DC →·DA →知，D 为△ABC 的内心，所以△ABC 为正三角形，易知其边长为2 3.取AC 的中点E ，因为M 是PC 的中点，所以EM ＝12AP ＝12，所以|BM →|max ＝|BE |＋12＝72，则|BM →|2max ＝494，故选B. 2．[xx·福建卷]已知AB →⊥AC →，|AB →|＝1t，|AC →|＝t .若点P 是△ABC 所在平面内的一点，且AP →＝AB →|AB →|＋4AC→|AC →|，则PB →·PC →的最大值等于( )A ．13B ．15C ．19D ．21答案：A解析：∵ AB →⊥AC →，故以A 为原点，AB ，AC 所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系．不妨设B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1t ，C (t,0)，则AP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1t 1t＋4t ，0t＝(4,1)， 故点P 的坐标为(4,1)． PB →·PC →＝⎝⎛⎭⎪⎫－4，1t －1·(t －4，－1)＝－4t －1t ＋17＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫4t ＋1t ＋17≤－24＋17＝13.当且仅当4t ＝1t ，即t ＝12时(负值舍去)取得最大值13.3．[xx·天津卷]在等腰梯形ABCD 中，已知AB ∥DC ，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°.动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且BE →＝λBC →，DF →＝19λDC →，则AE →·AF →的最小值为________．答案：2918解析：在等腰梯形ABCD 中，由AB ∥DC ，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°，可得AD ＝DC ＝1. 建立平面直角坐标系如图所示，则A (0,0)，B (2,0)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32－(2,0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32， DC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32－⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32＝(1,0)．∵ BE →＝λBC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12λ，32λ，∴ E ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12λ，32λ.∵ DF →＝19λDC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫19λ，0，∴ F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋19λ，32.∴ AE →·AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12λ，32λ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋19λ，32＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12λ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋19λ＋34λ＝1718＋29λ＋12λ≥1718＋229λ·12λ＝2918， 当且仅当29λ＝12λ，即λ＝23时等号成立，符合题意．∴ AE →·AF →的最小值为2918.4．[xx·江苏卷]如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点，BA →·CA →＝4，BF →·CF →＝－1，则BE →·CE →的值是________．答案：78解析：解法一：以D 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴，线段BC 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系，设B (－a,0)，C (a,0)，A (b ，c )，则E ⎝ ⎛⎭⎪⎫23b ，23c ，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫13b ，13c ，BA →＝(b ＋a ，c )，CA →＝(b －a ，c )，BF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b3＋a ，c 3，CF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b 3－a ，c 3，BE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23b ＋a ，23c ，CE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23b －a ，23c ，由BA →·CA →＝b 2－a 2＋c 2＝4， BF →·CF →＝b 29－a 2＋c 29＝－1，解得b 2＋c 2＝458，a 2＝138，则BE →·CE →＝49(b 2＋c 2)－a 2＝78.解法二：设BD →＝a ，DF →＝b ，则BA →·CA →＝(a ＋3b )·(－a ＋3b )＝9|b |2－|a |2＝4，BF →·CF →＝(a ＋b )·(－a ＋b )＝|b |2－|a |2＝－1，解得|a |2＝138，|b |2＝58， 则BE →·CE →＝(a ＋2b )·(－a＋2b )＝4|b |2－|a |2＝78.课外拓展阅读巧解平面向量高考题的5种方法向量是既有大小又有方向的量，具有几何和代数形式的“双重性”，常作为工具来解决其他知识模块的问题．在历年高考中都会对该部分内容进行考查，解决这些问题多可利用平面向量的有关知识进行解决．基于平面向量的双重性，一般可以从两个角度进行思考：一是利用其“形”的特征，将其转化为平面几何的有关知识进行解决；二是利用其“数”的特征，通过坐标转化为代数中的有关问题进行解决．下面对辽宁省的一道高考试题采用5种不同的求解方法进行解答．[典例] 若a ，b ，c 均为单位向量，且a·b ＝0，(a －c )·(b －c )≤0，则|a ＋b －c |的最大值为( )A.2－1 B ．1 C. 2D ．2解法一：目标不等式法 [思路分析][解析]因为|a|＝|b|＝|c|＝1，a·b＝0，所以|a＋b|2＝a2＋b2＋2a·b＝2，故|a＋b|＝2.展开(a－c)·(b－c)≤0，得a·b－(a＋b)·c＋c2≤0，即0－(a＋b)·c＋1≤0，整理，得(a＋b)·c≥1.而|a＋b－c|2＝(a＋b)2－2(a＋b)·c＋c2＝3－2(a＋b)·c，所以3－2(a＋b)·c≤3－2×1＝1.所以|a＋b－c|2≤1，即|a＋b－c|≤1.[答案] B解法二：向量基底法[思路分析][解析]取向量a，b作为平面向量的一组基底，设c＝m a＋n b. 由|c|＝1，即|m a＋n b|＝1，可得(m a)2＋(n b)2＋2mn a·b＝1，由题意知，|a|＝|b|＝1，a·b＝0.整理，得m2＋n2＝1.而a－c＝(1－m)a－n b，b－c＝－m a＋(1－n)b，故由(a－c)·(b－c)≤0，得[(1－m)a－n b]·[－m a＋(1－n)b]≤0，展开，得m (m －1)a 2＋n (n －1)b 2≤0， 即m 2－m ＋n 2－n ≤0. 又m 2＋n 2＝1，故m ＋n ≥1. 而a ＋b －c ＝(1－m )a ＋(1－n )b ，故(a ＋b －c )2＝[(1－m )a ＋(1－n )b ]＝(1－m )2a 2＋2(1－m )(1－n )a ·b ＋(1－n )2b 2＝(1－m )2＋(1－n )2＝m 2＋n 2－2(m ＋n )＋2 ＝3－2(m ＋n )．又m ＋n ≥1，所以3－2(m ＋n )≤1. 故|a ＋b －c|2≤1，即|a ＋b －c|≤1. [答案] B 解法三：坐标法 [思路分析][解析] 因为|a|＝|b|＝1，a·b ＝0， 所以〈a ，b 〉＝π2.设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ， 因为a⊥b ，所以OA ⊥OB .分别以OA ，OB 所在的直线为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则a＝(1,0)，b＝(0,1)，则A(1,0)，B(0,1)．设C(x，y)，则c＝(x，y)，且x2＋y2＝1.则a－c＝(1－x，－y)，b－c＝(－x,1－y)，故由(a－c)·(b－c)≤0，得(1－x)×(－x)＋(－y)×(1－y)≤0，整理，得1－x－y≤0，即x＋y≥1.而a＋b－c＝(1－x,1－y)，则|a＋b－c|＝1－x2＋1－y2＝3－2x＋y.因为x＋y≥1，所以3－2(x＋y)≤1，即|a＋b－c|≤1.所以|a＋b－c|的最大值为1.[答案] B解法四：三角函数法[思路分析][解析] 因为|a|＝|b|＝1，a·b ＝0， 所以〈a ，b 〉＝π2.设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ， 因为a⊥b ，所以OA ⊥OB .分别以OA ，OB 所在的直线为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则a ＝(1,0)，b ＝(0,1)， 则A (1,0)，B (0,1)． 因为|c |＝1，设∠COA ＝θ，所以C 点的坐标为(cos θ，sin θ)．则a －c ＝(1－cos θ，－sin θ)，b －c ＝(－cos θ，1－sin θ)，故由(a －c )·(b －c )≤0，得(1－cos θ)×(－cos θ)＋(－sin θ)×(1－sin θ)≤0，整理，得sin θ＋cos θ≥1.而a ＋b －c ＝(1－cos θ，1－sin θ)， 则|a ＋b －c |＝1－cos θ2＋1－sin θ2＝3－2sin θ＋cos θ. 因为sin θ＋cos θ≥1，所以3－2(sin θ＋cos θ)≤1，即|a ＋b －c |≤1. 所以|a ＋b －c |的最大值为1. [答案] B解法五：数形结合法 [思路分析][解析] 设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ， 因为|a|＝|b|＝|c|＝1，所以点A ，B ，C 在以O 为圆心、1为半径的圆上．易知CA →＝a －c ，CB →＝b －c ，|c |＝|OC →|. 由(a －c )·(b －c )≤0，可知CA →·CB →≤0，则π2≤∠BCA <π(因为A ，B ，C 在以O 为圆心的圆上，所以A ，B ，C 三点不能共线，即∠BCA ≠π)，故点C 在劣弧AB 上． 由a·b ＝0，得OA ⊥OB ，设OD →＝a ＋b ，如图所示，因为a ＋b －c ＝OD →－OC →＝CD →，所以|a ＋b －c |＝|CD →|，即|a ＋b －c |为点D 与劣弧AB 上一点C 的距离，显然，当点C 与A 或B 点重合时，CD 最长且为1，即|a ＋b －c |的最大值为1. [答案] B。

第五章平面向量【知识网络】向量是沟通代数与几何的重要工具，它在日常生活、生产实践以及其他相关学科中有着广泛的应用．学习和理解向量有关知识时，建议：1.注意比较与分析．向量的有关概念与我们学习过的有关知识既有联系又有区别，如：平行、相等、乘积等等．留心比较分析，可防止学习过的有关知识对现学知识的负面影响．2.能画图时尽可能多画草图．数离形时少直观，形离数时欠入微．向量具有数与形的双重特征，加减法以三角形法则、平行四边形法则为背景，平行、垂直都对应着一个方程，数形结合考察问题，常常事半功倍．3.学会联想与化归．向量知识是从日常生活、生产实践中抽象出来的，求解向量综合题，常需要适当联想，并将应用问题数学化，复杂问题熟悉化、简单化．第29课 向量的基本运算【考点指津】1. 理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量、相等向量等概念．2．掌握向量的加法与减法，会正确运用三角形法则、平行四边形法则．3掌握向量加法的交换律、结合律，并会用它们进行向量化简与计算．4．理解向量的减法运算可以转化为向量的加法运算．【知识在线】1．（2a ＋8b ）－（4a －2b ）=2．在△ABC 中，BC → =a ， CA → =b ，则AB → =3．设a 表示向东3km ，b 表示向北偏东30º走3km ，则a ＋b 表示的意义为4．画出不共线的任意三个向量，作图验证a －b －c =a －（b ＋c ）．5．向量a 、b 满足|a |=8，|b |=10，求|a ＋b |的最大值、最小值．【讲练平台】例1 化简以下各式：①AB → +BC → +CA → ；②AB → －AC → ＋BD → －CD → ；③OA → －OD → ＋AD → ；④NQ → ＋QP → ＋MN → －MP → ．结果为０的个数为 （ ）Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．３ Ｄ．４分析 题设条件中多处涉及首尾相接的两个向量求和以及同起点的两个向量相减，对此，我们可以运用向量加减的定义进行合并，当最终形式出现两相反向量之和或相等向量之差时，结果为０．答 Ｄ．点评 本题巩固了向量加减的定义及向量加法的交换律、结合律等基础知识．求解时需将杂乱的向量运算式有序化处理，必要时也可化减为加，减低出错律．注意：AB → = －BA → ，+CB → =AB → ．变题 作图验证 A 1A 2→ ＋A 2A 3→ ＋A 3A 4→ ＋…＋A n －1A n → =A 1A n → （n ≥2，n ∈N ）．例2 如图，在ΔABC 中，D 、E 为边AB的两个三等分点，CA → =3a ，CB → =2b ，求CD → ，CE → ．分析 本题中的已知向量都集中体现在三角形中．为此，可充分利用向量加减法的三角形法则实施求解．如已知CA → 、CB → 可求AB → ，根据AD → 、AE → 、AB → 均为共线向量，故又可求得AD → 、DE → 、．由CA → 、AD → 又可求CD → ，由DE → 、CD → 又可求CE → ．解 AB → =AC → +CB → = －3a +2b ，因D 、E 为AB → 的两个三等分点， 故AD → =31AB → =－a ＋32b =DE → ， CD → =CA → ＋AD → =3a －a ＋32b =2a ＋32b ， CE → =CD → ＋DE → =2a ＋32b －a ＋32b=a ＋34b ． 点评 三角形中两边对应向量已知，可求第三边所对应的向量．值得注意的是，向量的方向不能搞错．当向量运算转化成基底向量的代数式运算时，其运算过程可仿照多项式的加减运算进行．例3 已知A 、B 、C 、P 为平面内四点，求证：A 、B 、C 三点在一条直线上的充要条件是存在一对实数m 、n ，使PC → =mPA → +nPB → ，且m+n=1．分析 A 、B 、C 三点共线的一个充要条件是存在 实数λ，使得AC → =λAB → ．很显然，题设条件中向量表达式并未涉及AC → 、AB → ，对此，我们不妨利用 PC → =PA → ＋AC → 来转化，以便进一步分析求证．证明 充分性，由PC → =mPA → ＋nPB → ， m ＋n=1， 得PA → ＋AC → =mPA → ＋n （PA → ＋AB → ）=（m ＋n ）PA → ＋nAB → =PA → ＋nAB → ，∴AC → =nAB → ．A B D E∴A 、B 、C 三点共线．必要性:由A 、B 、C 三点共线知，存在常数λ，使得AC → =λAB → ，即 AP → +PC → =λ（AP → +PB → ）．PC → =（λ－1）AP → ＋λPB → =（1－λ）PA → ＋λPB → ，m=1－λ，n=λ，m ＋n=1，PC → =mPA → ＋nPB → ．点评 逆向应用向量加法运算法则，使得本题的这种证法比其他证法更简便，值得一提的是，一个向量拆成两个向量的和，一定要强化目标意识．变题 在ΔABC 所在平面上有一点P ，满足PA → ＋PB → ＋PC → =AB → ，试确定点 P 的位置．答：P 在 AC 边上，且 P 为 AC 的一个三等分点（距 A 点较近）例4 （1）若点 O 是三角形ABC 的重心，求证：OA → ＋OB → ＋OC → =0；（2）若 O 为正方形ABCD 的中心，求证：OA → ＋OB → ＋OC → ＋OD → =0；（3）若O 为正五边形ABCDE 的中心，求证：OA → ＋OB → ＋OC → ＋OD → ＋OE → =0．若 O 为正n 边形A 1A 2A 3…A n 的中心，OA 1→ ＋OA 2→ ＋OA 3→ ＋…＋OA n → =0 还成立吗？说明理由．分析 本题四问构成一个题链，条件相似，结论相似，求证方法可望相似．正三角形、正方形性质特殊，我们十分熟悉，求证方法多，不容易发现那一种方更有利于推广，我们选定正五边形来研究．看着结论，联想一个相似的并且已经解决的问题，本课例1的变题A 1A 2→ ＋A 2A 3→ ＋A 3A 4→＋…＋A n －1A n → +A n A 1→ =0 ，这里的向量首尾相接，我们能不能将OA → 、OB → 、OC → 、OD → 、OE → 也转化成首尾相接的形式呢？运用向量相等的定义试试看．解 证（3）以 A 为起点作AB ′→ =OB → ，以 B ′为起点作B ′C ′→ =OC → ，以C ′为起点作C ′D ′→ =OD → ，以D ′为起点作D ′E ′→ =OE → ．∵∠AOB=72º，A BC D EB CD (E)O∴∠OAB ′=108º．同理∠AB ′C ′=∠B ′C ′D ′=∠C ′D ′E ′=108º，故∠D ′E ′A=108º．|OA → |=|AB ′→ |=∣B ′C ′→ |=|C ′D ′→ |=|D ′E ′→ |，故 E ′与 O 重合，OAB ′C ′D ′为正五边形．OA → ＋OB → ＋OC → ＋OD → ＋OE → =OA → ＋AB ′→ ＋B ′C ′→ ＋C ′D ′→ ＋D ′E ′→ =0．正三角形，正方形、正n 边形可类似获证．点评 本题不仅揭示了正多边形的一类共同性质，而且巩固了“以退为进”的数学思想．面对一般的问题，我们经常先考虑其特殊的情况；面对陌生的问题，经常去联想熟悉的模型．注意退是为了进，退到特殊简单情形后，要在求解中悟出一般的规律．如退到正方形情况，发现OA → ＋OB → 与OC → ＋OD → 正好互为相反向量，结论成立．这一方法却不具一般性．【知能集成】1． 基础知识：向量加减的代数形式运算与几何形式运算．2． 基本技能：向量运算中的合二为一与拆一为二．3． 基本思想：向量表达式运算与几何式运算的相互结合思想，联想熟悉的类似的模型，化归转化思想．【训练反馈】1．下列各式正确的是： （ ）A ．∣a －b ∣≤∣a ∣+∣b ∣B ． a +b ∣>∣a ∣+∣b ∣C ．∣a +b ∣>∣a －b ∣D ．∣ a －b ∣=∣a ∣－∣b ∣2．下面式子中不能化简成AD → 的是 （ ）A ．OC → －OA → ＋C D →B ．PB → －DA → －BP →C ．AB → －DC → ＋BC →D ．（AD → －BM → ）＋（BC → －MC → ）3．正方形ABCD 的边长为1，AB → =a ，BC → =b ，AC → =c ，则a ＋b ＋c 、a －b ＋c 、－a －b ＋ c 的摸分别等于 ．4．设a 、b 为已知向量，若3x ＋4y =a ，2x －3y =b ， 则 x = ．y= ．5． 已知 e 1、e 2 不共线，AB → =2e 1＋k e 2，CB → =e 1＋3e 2，C D → =2e 1－e 2，且A 、B 、D 三点在同一条直线上，求实数k ．6．在正六边形ABCDEF 中，O 为中心，若OA → =a ，OE → =b ，用a 、b 表示向量OB → ，OC → ，OD → ，结果分别为 （ ）A ．－b ，－b －a ，－aB ． b ，－a ，b －aC ．－b ，a ，a －bD ．－b ，－a ，a ＋b7． 试用向量方法证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形．8．已知P 为△ABO 所在平面内的一点，满足OP →，则P 在 （ ） A ．∠AOB 的平分线所在直线上 B ． 线段AB 的中垂线上C ． AB 边所在的直线上D ． AB 边的中线上．9．设O 是平面正多边形A 1A 2A 3…A n 的中心，P为任意点，求证：PA 1→ ＋PA 2→ ＋PA 3→ ＋…＋PA n → =nPO → ．10．如图设O 为△ABC 内一点，PQ ∥BC ，且PQ → ∶BC → =2∶3， OA → =a ，OB → =b ，OC → =c ， 则 OP → ，OQ → ．11．P 为△ABC 所在平面内一点，PA → ＋PB → ＋PC → =0 ，则P 为△ABC 的 （ ）A ．重心B ．垂心C ． 内心D ．外心 12．在四边形ABCD 中，E 为AD 的中点，F 为BC 的中点．求证：EF → =21（AB → ＋DC → ）．第30课 向量的坐标运算【考点指津】1． 理解平面向量的坐标表示法，知道平面向量和一对有序实数一一对应．2． 掌握平面向量的和、差、实数与向量积的坐标运算，能利用向量的坐标运算解题．3． 掌握平面向量平行的充要条件的坐标表示，并利用它解决向量平行（共线）的有关问题，弄清向量平行和直线平行的区别．BAC O P Q【知识在线】1． 若向量a 的起点坐标为 （－2，1），终点坐标为（2，－1），则向量a 的坐标为2．若O 为坐标原点，向量a =（－3，4），则与a 共线的单位向量为3．已知a =（－1，2），b =（1，－2），则a ＋b 与a －b 的坐标分别为 （ ）A ．（0，0），（－2，4）B ．（0，0），（2，－4）C ．（－2，4），（2，－4）D ．（1，－1），（－3，3）4．若向量a =（x －2，3），与向量b =（1，y ＋2）相等，则 （ ）A. x=I ，y=3， B ． x=3，y=1C ． x=1，y=－5D ． x=5，y=－15．已知A （0，0），B （3，1），C （4，3），D （1，2），M 、N 分别为DC 、AB 的中点．（1） 求证四边形ABCD 为平行四边形；（2） 试判断AM → 、CN → 是否共线？为什么？【讲练平台】例1 已知a =（1，2），b =（－3，2），当k 为何值时，k a +b 与a －3b 平行？分析 已知a 、b 的坐标，可求a －3b 的坐标，k a ＋b 的坐标也可用含k 的表达式表示．运用两向量平行的充要条件x 1y 2－x 2y 1=0可求k 值．解 由已知a =（1，2），b =（－3，2）， 得a －3b =（10，－4）， k a ＋b =（k －3，2k ＋2）．因（k a ＋b ）∥（a －3b ），故10（2k ＋2）＋4（k －3）=0．得k=－31． 点评 坐标形式给出的两个向量，其横坐标之和即为和向量的横坐标；其纵坐标之和即为和向量的纵坐标．实数与向量的积其横、纵坐标分别等于实数与该向量的横、纵坐标的积．向量的平行用坐标形式表达即为一个方程．例2 已知向量a =（21，23），b =（－1，2），c =（2，－4）．求向量d ，使2a ，－b ＋21c 及4（c －a ）与d 四个向量适当平移后，能形成一个顺次首尾相接的封闭向量链．分析 四个向量适当平移后，形成一个顺次首尾相接的封闭向量链，说明这四个向量之和为0．即四个向量的纵横坐标之和均为0．据此列出关于向量d （x ，y ）的方程组，不难求得x 、y ．简解 设向量d 的坐标为（x ，y ），由2a ＋（－b ＋21c ）＋4（c －a ）＋d =0， 可解得d =（－9，23）．点评 数学语言常有多种表达方式，学会转化与变通是求解的关键．本题以几何特征语言形式出现，最终落足点要变式成方程的语言来求解，这一思想方法在求解向量问题时经常用到．例3 已知平面上三点P （2，1），Q （3，－1），R （－1，3）．若点S 与这三点可以为一个平行四边形的四个顶点，求S 的坐标．分析 平行四边形对边对应向量相等或相反，由此可求得S 点的坐标．但由于题设四点构成四边形的四个顶点，那一组边是对边不明显，需要分类讨论．简解 设S 的坐标为（x ，y ）．（1）当PQ → 与RS → 是一组对边时，若PQ → =RS → ，则（3，－1）－（2，1）=（x ＋1，y －3），即 （1，－2）=（x ＋1，y －3），得S 点坐标为（0，1）．若PQ → =SR → ，则S 点坐标为（－2，5）．（2）当PR → 与SQ → 是一组对边时，若PR → =SQ → ，则S 点的坐标为（6，－3）．若PR → =QS → ，则S 点的坐标为（0，1）．（3）当PS → 与RQ → 是一组对边时，若PS → =RQ → ，则S 点的坐标为（6，－3）．若PS → =QR → ，则S 点的坐标为（－2，5）．综上所述，S 点坐标可以为（0，1），（6，－3），（－2，5）．点评 本题求解需运用分类讨论思想．上述解法思路自然、条理清晰，但很显然不是最简方案，如何数形结合，避免重复劳动，读者不妨思考．例4 向量PA → =（k ，12），PB → =（4，5），PC → =（10，k ），当k 为何值时，A 、B 、C 三点共线．分析 三点共线问题前一课已涉及，A 、B 、C 三点共线的充要条件是AB → =λBC → ，本题所不同的是向量用坐标形式给出，对此，我们可以将坐标代入运算．解 AB → =PB → －PA → =（4－k ，－7），BC → = PC → －PB → =（6，k －5）．当A 、B 、C 三点共线时，存在实数λ，使得AB → =λBC → ，将坐标代入，得4－k=6λ，且 －7=λ（k －5），故（4－k ）（k －5）=－42．解得k=11，或k=－2．点评 向量的几何运算与向量的坐标运算，可以从不同角度去求解（证）同一个问题．只不过两套工具各有适用范围，即便两套工具都适用，也可能繁简不一，应用时要注意前瞻性选择．变题 求证：互不重合的三点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），C （x 3，y 3）共线的充要条件是（x 2－x 1）（y 3－y 1）=（x 3－x 1）（y 2－y 1）．证明 必要性（略）．充分性 若（x 2－x 1）（y 3－y 1）=（x 3－x 1）（y 2－y 1），由A 、B 、C 互不重合，得（x 2－x 1）、（y 3－y 1）、（x 3－x 1）、（y 2－y 1）中至少有一个不为零，不妨设x 3－x 1≠0．令x 2－x 1=λ（x 3－x 1），若λ=0，则x 2－x 1=0，此时y 2≠y 1（否则A 、B 重合）．而已知等式不成立，故λ≠0．于是（x 3－x 1）（y 2－y 1）=λ（x 3－x 1）（y 3－y 1）．因x 3－x 1≠0 ，故 （y 2－y 1）=λ（y 3－y 1）．于是（x 2－x 1，y 2－y 1）=λ（x 3－x 1，y 3－y 1），即 AB → =λAC → ，且AC → ≠0 ．又因AB → 与AC → 有相同起点，所以A 、B 、C 三点共线．【知能集成】基础知识：坐标形式的向量的加减运算，实数与向量坐标的积．基本技能：向量平行的充要条件及向量相等的充要条件用坐标形式描述和应用．基本思想：将向量等式转化成方程的思想；对几何图形的分类讨论思想．【训练反馈】1．若a =（2，3），b =（4，y －1），且a ∥b ，则y= （ ）A ．6B ．5C ．7D ． 82．已知点B 的坐标为（m ，n ），AB → 的坐标为（i ，j ），则点A 的坐标为 （ ）A ．（m －i ，n －j ）B ．（i －m ，j －n ）C ．（m ＋i ，n ＋j ）D ．（m ＋n ，i ＋j ）3．若A （－1，－1），B （1，3），C （x ，5）三点共线，则x= ．4．已知a =（5，4），b =（3，2），则与2a －3b 平行的单位向量为5．有下列说法① 已知向量PA → =（x ，y ），则A 点坐标为（x ，y ）；② 位置不同的向量，其坐标有可能相同；③ 已知i =（1，0），j =（0，1），a =（3，4），a =3i －4j ；④ 设a =（m ，n ），b =（p ，q ），则a =b 的充要条件为m=p ，且n=q ．其中正确的说法是 （ ）A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④6．下列各向量组中，不能作为表示平面内所有向量的基底的一组是 （ ）A ．a =（－1，2），b =（0，5）B ．a =（1，2），b =（2，1）C ．a =（2，－1）b =（3，4）D ．a =（－2，1），b =（4，－2）7．设a =（－1，2），b =（－1，1），c =（3，－2），用a 、b 作基底，可将向量c 表示为c =p a＋q b ，则 （ ）A ．p=4， q=1B ．p=1， q=－4C ．p=0 ， q=4D ．p=1， q=48．设i =（1，0），j =（0，1），在平行四边形ABCD 中，AC → =4i ＋2j ，BD → =2i ＋6j ，则AB → 的坐标为 ．9．已知3sin β=sin （2α＋β），α≠k π＋2 ，β≠k π，k ∈z ，a =（2，tan （α+β）），b =（1，tan α），求证：a ∥b ．10．已知A （4，0），B （4，4），C （2，6），求AC 与OB 的交点P 的坐标（x ，y ）．11．已知点O （0，0），A （1，2），B （4，5），且OP → =OA → ＋tAB → ．（1） 当t 变化时，点P 是否在一条定直线上运动？（2） 当t 取何值时，点P 在y 轴上？（3） OABP 能否成为平行四边形？若能求出相应的t 值；若不能，请说明理由．第31课 平面向量的数量积【考点指津】1． 掌握平面向量的数量积及其几何意义．2． 了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题．3． 掌握向量垂直的条件．【知识在线】1．若∣a ∣=4，∣b ∣=3，a ·b =－6，则a 与b 的夹角等于 （ ）A ．150ºB 120ºC ．60ºD ．30 º2．若a =（－2，1），b =（1，3），则2a 2－a ·b = （ ）A ，15B ．11．C ．9D ．63．已知向量 i =（1，0），j =（0，1），则与向量2i ＋j 垂直的一个向量为 （ ）A ． 2i －jB ． i －2jC ． i ＋jD ． i －j4．已知a =（1，2），b =（1，1），c =b －k a ，且c ⊥a ，则C 点坐标为5．已知∣a ∣=3，∣b ∣=4，且a 与b 夹角为60º，∣k a －2b ∣=13，求k 的值【讲练平台】例1 （1）在直角三角形ABC 中，∠C=90º，AB=5，AC=4，求AB → ·BC →（2）若a =（3，－4），b =（2，1），试求（a －2b ）·（2a ＋3b ）分析 （1）中两向量AB → 、BC → 的模及夹角容易求得，故可用公式a ·b =|a ||b |cos θ求解．（2）中向量a 、b 坐标已知，可求a 2、b 2、a ·b ，也可求a －2b 与2a ＋3b 的坐标，进而用（x 1，y 1）·（x 2，y 2）=x 1x 2＋y 1y 2求解．解（1） 在△ABC 中，∠C=90º，AB=5，AC=4，故BC=3，且cos ∠ABC=53，AB → 与BC → 的夹角θ=π－∠ABC ， ∴AB → ·BC → =－∣AB → ∣∣BC → ∣cos ∠ABC=－5×3×53=－9．（2）解法一 a －2b =（3，－4）－2（2，1）=（－1，－6），2a －3b =2（3，－4）＋3（2，1）=（12，－5），（a －2b ）·（2a ＋3b ）=（－1）×12＋（－6）×（－5）=18．解法二 （a －2b ）·（2a ＋3b ）=2a 2－a ·b －6b 2=2[32＋（－4）2]－[3×2＋（－4）×1]－6（22＋12）=18．点评 向量的数量积有两种计算方法，一是依据模与夹角来计算，二是依据坐标来计算．具体应用时可根据已知条件的特征来选择．值得注意的是，向量的夹角与向量的方向相关，（1）中∠ABC 并非AB → 与BC → 的夹角．从第（2）问的解法二可以看到，向量数量积的运算律，类似于多项式乘法法则，但并不是所有乘法法则都可以推广到向量数量积的运算．如：a ·（b ＋c ）=a ·b ＋b ·c ，而（a ·b ）c ≠a （b ·c ）．例2．已知O 为三角形ABC 所在平面内一点，且满足OA 2+BC 2=OB 2+CA 2，试用向量方法证明AB ⊥OC ．分析 要证AB → ⊥OC → ，即证AB → ·OC → =0，题设中不涉及AB → ，我们用AB → =AO → +OB → 代换，于是只需证AO → ·OC → =BO → ·OC → ．至此，我们可以尝试将已知等式转化成只含有OA → 、OB → 、OC → 的形式．证明 由已知得OA → 2+BC → 2=OB → 2+CA → 2，即OA → 2+（BO → +OC → ）2=OB → 2+（CO → +OA → ）2，整理得AO → ·OC → =BO → ·OC → ，即 OC → ·（BO → +OA → ）=0，故 OC → ·AB → =0．所以 AB → ⊥OC → ．点评 用向量方法证明垂直问题，通常转化为证两个向量的数量积为0．本题已知式与求证式中向量的表达形式不统一，针对差异进行有目标的化归，是求解的关键所在．例3．设OA → =a =（3＋1，3－1），OB → =b =（3，3），试求∠AOB 及ΔAOB 的面积．分析 已知a 、b 可以求|a |、|b |及a ·b ，进而求得∠AOB （即a 与b 的夹角），在求到三角形的两边及夹角后，可用公式：S=21∣a ∣∣b ∣sin θ求面积． 解 设∠AOB=θ，ΔAOB 的面积为S ，由已知得：∣OA → ∣=∣a ∣=22)13()13(-++=22，∣OB → ∣=∣b ∣=23，∴cos θ=b a b a •=()()3222313313⋅-++=22．∴θ=4π． 又S=21∣a ∣∣b ∣sin θ=21·222322••=23， 即∠AOB=4π，ΔAOB 的面积为23． 点评 向量的数量积公式a ·b =∣a ∣∣b ∣cos θ不仅可以用来求数量积，也可以用来求模与夹角．要注意该公式与三角形的面积公式的区别．此外，本题的解题方法可适用于更一般的情况（见变题）．变题 设ΔABC 的面积为S ，AB → =a ，AC → =b ，求证S=21()()22b a b a •-•例4．已知a 与b 都是非零向量，且a +3b 与7a -5b 垂直，a -4b 与7a -2b 垂直，求a 与b 的夹角．分析 要求夹角θ，必需求出cos θ；求cos θ需求出a ·b 与∣a ∣∣b ∣的比值（不一定要求出∣a ∣、∣b ∣的具体值）．由已知的两个向量的垂直关系，可以得到∣a ∣∣b ∣与a ·b 的关系．解 ∵（a +3b ）⊥（7a -5b ），（a -4b ）⊥（7a -2b ），∴ （a +3b ）·（7a -5b ）=0，（a-4b ）·（7a -2b ）=0．即 7a 2+16a ·b -15b 2=0，7a 2-30a ·b +8b 2=0．两式相减，得 b 2=2a ·b ．故 a 2=b 2 ， 即 ∣a ∣=∣b ∣．∴cos θ=b a b a •=21222=b b ． ∴θ=60º ， a 与b 的夹角为60º ．点评 从基本量思想考虑，似乎没有具体的a 与b ，无法求出a 与b 的夹角，其实不然，cos θ是一个a ·b 与∣a ∣∣b ∣的比值，并不需要具体分别求出．类似于本题的条件表明，向量的数量积公式、向量的垂直关系都揭示了一种数量积与模的关系，就此意义而言，它们的本质是一致的相通的，可以相互转化和利用．在本题求解过程中注意，b 2=2a ·b 不能得出b =2a ，同样a 2=b 2也不能得到a =±b ．【知能集成】基础知识：向量数量积的两种计算公式，向量垂直的充要条件．基本技能：求向量数量积、模及向量的夹角，向量垂直问题的论证与求解．基本思想：向量表达式的数量积与多项式乘法进行类比的思想，将线的垂直这一图形特征转化成方程解决的思想．求向量夹角时的设而不求的思想．【训练反馈】1． 已知a =5，a 与b 的夹角的正切值为43，a ·b =12，则b 的模为（ ） A ．4 B ．3 C ．31 D ．512 2．已知a =2，向量a 在单位向量e 方向上的投影为－3，则向量a 与e 向量的夹角为（ ）A ．30ºB ．60ºC ．120ºD ．150º3．已知a =（1，－2），b =（5，8），c =（2，3），则a ·（b ·c ）为 （ ）A ．34B ．（34，－68）C ．－68D ．（－34，68）4．边长为2的正三角形ABC 中，设AB → =c ，BC → =a ，CA → =b ，则a ·b ＋b ·c ＋c ·a 等于（ ）A ． －3B ． 0C ． 1D ． 35．已知a =（1，2），b =（x ，1），当（a ＋2b ）⊥（2a －b ）时，实数x 的值为 ．6．已知m =（－5，3），n =（－1，2），当（λm ＋n ）⊥（2n ＋m ）时，实数λ的值为 ．7．已知|a |=|b |=1，a 与b 夹角为90º，c =2a ＋3b ，d =k a －4b ，且c ⊥d ，则k=8．已知A 、B 、C 、D 是平面上给定的四个点，则AB → ·CD → ＋AC → ·DB → ＋AD → ·BC → = ．9．已知a ＋b =（2，－8），a －b =（－8，16），则a 与b 夹角的余弦值为 ．10．设两向量e 1、e 2满足| e 1|=2，| e 2|=1， e 1、e 2的夹角为60º，若向量2t e 1＋7e 2与向量e 1＋t e 2的夹角为钝角，求实数t 的取值范围．11．设向量a =（cos23º，cos67º），b =（cos68º，cos32º），u =a ＋t b (t ∈R)．（1） 求a ·b ；（2） 求u 的模的最小值．12．设a =（1＋cos α，sin α）， b =（1－cos β，sin β）， c =（1，0）， α∈（0，π），β∈（π，2π），a 与c 的夹角为θ1，b 与c 的夹角为θ2，且θ1－θ2=6π，求sin 4βα-的值．第32课 线段的定比分点、平移【考点指津】1． 掌握线段的定比分点和中点坐标公式，并且熟练运用．2． 掌握平移公式，并能运用平移公式化简函数解析式．3． 理解公式的推导过程，必要时能回到定义去，用向量运算的相关知识，解决定比分点问题和平移问题．【知识在线】1．若P 分AB → 所成的比为43，则A 分BP → 的比为 （ ） A ．73 B ．－73 C ．－37 D ．37 2．设点P 在线段AB 的延长线上，P 分AB → 所成的比为λ，则 （ ）A ．λ＜－1B ．－1＜λ＜0C ．0＜λ＜1D ．λ＞13．按向量a 将点（2，3）平移到（0，1），则按向量a 将点（7，1）平移到点 （ ）A ．（9，－3）B ．（9，3）C ．（5，－1）D ．（－5，－3）4．若函数y=f （1－2x ）的图象，按向量a 平移后，得到函数y=f （－2x ）的图象，则向量a = ．5．设三个向量OA → =（－1，2），OB → =（2，－4），OC → 的终点在同一条直线上（O 为坐标原点）．（1） 若点C 内分AB → 所成的比为23，求C 点坐标； （2） 若点C 外分AB → 所成的比为－23，求C 点坐标． 【讲练平台】例1 已知P （1，1），A （2，3），B （8，－3），且C 、D 顺次为AB 的三等分点（C 靠近A ），求PC → 和PD → 的坐标．分析 已知A 、B 两点坐标，可求AB 的两个三等分点C 、D 的坐标，进而结合已知P 点坐标，可求PC → ，PD → ．解 解法一 由题知，点C 、D 分AB 所成的比分别为λ1=21，λ2=2 ，设C （x ，y ），则()⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=+-•+==+•+=.12113213,42118212y x 即C （4，1），同理可得D （6，－1）．故PC=（4，1）－（1，1）=（3，0），PD=（6，－1）－（1，1）=（5，－2）．解法二 因A 、B 、C 、D 四点共线，由已知得 31=，AD → =23 AB → ， 故PC → =PA → ＋AC → =（2－1，3－1）＋31（8－2，－3－3）=（3，0）， PD → =PA → ＋AD → =（2－1，3－1）＋23 （8－2，－3－3）=（5，－2）．点评 定比分点公式涉及起点坐标、终点坐标、分点坐标、定比七个量，它们之间固有的联系有两个方程，故已知其中五个量能求其余两个量，若是只考察其中一个方程（如横坐标关系式），只须已知其中三个，可求第四个．对此，我们不仅要考察公式的原形，还需掌握公式的变形．本题的解法二，回归到最基础的向量加减来处理定比分点问题，运算量小，出错率低． 例2 将函数123--=x x y 的图象按向量a 平移后得到函数xk y =的图形，求a 和实数k ． 分析 平移前后的函数表达式已知，可以通过恒等变形，求得整体结构一致，再比较变量x 、y 的变化，确定平移公式，得向量a ，而k 则可通过比较系数法求得．解 212145123+--=--=x x x y 令 x ′ = x －21， y ′=y －21． 原函数解析式变形为y ′=－x '45， ∴ a =（－,21－21）， k=－45． 点评 图形的平移变换，实质是图形上任意一点的变换，求解平移变换问题至关重要的是确定关于点的坐标的平移公式．面对较为复杂的函数表达式，为了画出其图形，并讨论其性质，常采纳平移变换化繁为简．变题 通过平移变换，化简dcx b ax y ++= （ad －bc ≠o ， c ≠o ），并作出图形． 提示：d cx b ax y ++==()c a cd x ad bc c ++-21， 令 ⎪⎩⎪⎨⎧-='+='c a y y c d x x 并记()ad bc c-21=k ≠0， 则原方程化简为x k y '='． 因此，原函数的图象按向量a =⎪⎭⎫ ⎝⎛-c a c d ,平移后得x k y '='的图象，故其图象是以⎪⎭⎫ ⎝⎛-c a c d ,为中心的，以x=c a y c d =-,为渐近线的双曲线． 例3．将函数1372sin 2+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=πx y 的图象，按向量a 平移后得到的函数图象关于原点对称．这样的向量是否唯一？若唯一，求出向量a ；若不唯一，求a 模的最小值．分析 正弦函数是周期函数，其图象关于原点对称时，表达式不唯一．就本题而言，平移后的函数解析式可以是y=2sin2x ， 也可以是y=2sin （2x ＋π），y=2sin （2x －π）等等．因此，向量a 不唯一．要求∣a ∣的最小值，首先必需确定平移后函数表达式的一般式，并在此基础上建立关于∣a ∣的目标函数．解 向量a 不唯一．平移后的图象对应解析式可以为y=2sin （2x ＋k π）， k ∈Z 考察原函数表达式1372sin 2+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=πx y ， 可令⎪⎩⎪⎨⎧-='-=+'1672y y x k x ππ （k ∈Z ）即 ⎪⎩⎪⎨⎧-='--='1267y y k x x ππ，∴ a =（－267ππk -，－1）， ( k ∈Z)， | a |()221267-+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=ππk （k ∈Z ）． ∴ 当k=2 时，∣a ∣取最小值，最小值为3612π+ ．点评 常见向量平移变换应用于三角函数式化简，多数问题思路单一，结论唯一．本题突破常规，开放性的设计，要求解题者具有更深刻的思维能力．例4． 设A （1，1），B （5，5），且P 在直线AB 上，若AB → =λAP → ，AP → =λPB → ，P 点是否可能落在线段AB 的延长线上 ？若能，求出P 点坐标；若不能；说明理由．分析 由AB → =λAP → 知，要使P 落在线段AB 的延长线上，只需λ∈（0，1）．为此，我们设法将两个已知向量等式转化成关于λ的方程，解出λ，检验λ∈（0，1）是否成立．解 AB → =（5，5）－（1，1）=（4，4），设P （x ，y ），则AB → =λAP → =λ2 PB → ．（4，4）=λ2（5－x ，5－y ）=λ（x －1，y －1），⎩⎨⎧=-=-45452222y x λλλλ 且()()⎩⎨⎧-=-=1414y x λλ 依据两个方程组的第一个方程，消去x ，得5λ2－λ（4＋λ）=4，即λ2－λ－1=0，∴ λ=251±． 数形结合知，在AB → =λAP → 时，要P 落在线段AB 的延长线上，则需λ∈（0，1），所求两个λ的值均不符合题意，故P 不可能落在AB 延长线上．【知能集成】基础知识：向量的平移公式，定比分点定义、公式及中点坐标公式．基本技能：求平移公式，求点关于向量平移后的坐标，求函数图象关于向量平移后对应的函数解析式．运用定比分点公式，求端点、分点坐标及定比．基本思想：①回到定义去，回避定比分点公式的繁琐运算．②用基本量思想看定比分点公式．③运用整体分析、比较观点，确定平移公式．【训练反馈】1．点（4，3）关于点（5，－3）的对称点坐标是 （ ）A ．（4，－3）B ．（6，－9）C ．（29，0） D ．（ 12 ，3） 2．点A （0，m ）按向量a 平移后得到点B （m ，0），则向量a 的坐标是 （ ）A ．（m ， m ）B ．（m ， －m ）C ．（－m ， m ）D ．（－m ， －m ）3． 按向量a 可把点（2，0）平移到点（－1，2），则点（－1，2）按向量a 平移后得到的点是（ ）A ．（2，0）B ．（－3，2）C ．（2，4）D ．（－4，4）4．将函数462sin 3+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=πx y 的图象，按向量a 平移后得到的图象对应函数y=f （x ）是奇函数，则a 可以是 （ ）A ． （－6π，－4）B ． （－12π，4）C ． （6π，4） D ． （－12π，－4） 5．已知点P （2，3），分P 1P 2所成的比为2，且点P 2（1，2），则点P 1的坐标为（ ）A ．（4，5）B ．（0，1）C ．（3，4）D ．（5，6）6．将函数y=x 2＋mx ＋n 图象的顶点P 按向量a 平移到原点O ，则a = ．7． 函数 的图象按向量a =（2，1）平移后得到函数xy 1=的图象． 8．已知A （2，2），B （－3，4），C （4，－1），则ΔABC 的重心坐标为 ．9．若∣P 1P 2∣=5 cm ，点P 在线段P 1P 2的反向延长线上，且∣P 1P ∣=1 cm ，则P 分P 1P 2所成的比为 ．10． 已知O 为原点，m ∈R 且m ≠0，OA=（m ，2m ），OB=（2，2），求点B 关于直线OA 的对称点C 的坐标．11． 已知关于x 的一次函数y=ax+b 的图象C 按向量p =（1，2）平移后，得到的图象仍然是C ，问这样的一次函数是否唯一？若唯一，求出该函数的解析式；若不唯一，说明这类函数的表达式的共同特征．12．已知A 、B 、C 三点在一条直线上，且OA → －3OB → ＋2OC → =0 ，求点A 分BC → 所成的比λ．第33课 平面向量的应用【考点指津】1． 在阅读、理解具有实际意义的文字材料的基础上，能准确、清晰、有条理地用向量的语言表述问题．2． 能从实际问题中提炼、概括抽象出数学模型．3． 能综合运用所学向量知识及有关数学思想方法，求出数学模型的解．4． 能结合实际意义，正确表述问题的解．5． 能用向量知识简捷地处理其它数学分支相关问题．【知识在线】1．下列各个量：①物体的位移；②汽车的速度；③物体的质量；④某液体的温度．其中能称为向量的有 ．2．已知三个力F 1=（1，3），F 2（－2，1），F 3=（x ，y ），某物体在这三个力的同时作用下保持平衡，则力F 3= ．3．设某人向东走3 km 后，又改变方向向北偏东30º走3 km ，该人行走的路程是 ，他的位移是 ．4．用向量方法证明勾股定理．5．一条东西方向的河流，水流速度为2 km/h ，方向正东．一船从南岸出发，向北岸横渡，船速为4 km/h ，试求船的实际航行速度，并画出图形（角度可用反三角函数表示）．【讲练平台】例1 某一天，一船从南岸出发，向北岸横渡．根据测量，这一天水流速度3km/h ， 方向正东，风向北偏西30º，受风力影响，静水中船的飘行速度大小也为3 km/h ，若要使该船由南向北沿垂直于河岸的方向以2 3 km/h ．的速度横渡，求船本身的速度大小及方向．VV 2 V 1分析 撇开题设情境，提炼出四个速度，即水流速度v 1，风的速度v 2，船本身的速度v 3，船的实际航行速度v ，并且有v 1＋v 2＋v 2=v ，在这一等式中，v 1、v 2、v 已知，v 3可求．略解：设水的速度为v 1 ，风的速度v 2，v 1＋v 2=a ，易求得a 的方向是北偏东 30º，a 的大小为 3 km/h ．设船的实际航行速度v ，方向南向北，大小 2 3 km/h ．．船本身的速度v 3，则a +v 3=v ，即 v 3=v -a ， 数形结合知，v 3方向是北偏西60º，大小为 3 km/h ．．点评 这是一个与“知识在线”第5题相似的问题，熟悉的情境以及简单情况下的解题经验为本题求解奠定了基础．四种速度融为一体，我们采纳分步合成，步步为营的策略．每一次合成只相当于求解了一个简单题．例2 已知O 为ΔABC 所在平面内一点，满足|OA → |2＋| BC → |2=|CA →|2＋|OB →|2=|OC →|2＋|AB →|2．试证明O 是ΔABC 的垂心．分析 已知等式是关于线段长度平方和的等式，OA → 与BC → 、OB →与CA →、OC →与AB → 都不是同一个直角三角形中的线段，用纯平面几何知识证明相当困难．但线段长度平方和即向量模的平方，要证O 是ΔABC 的垂心，只需证得OA → ⊥BC → ，OB →⊥CA →，联想向量的数量积，只需证OA → ·BC → =OB →·CA →=0．|OA → |2＋| BC → |2=|CA →|2＋|OB →|2 ，得a 2＋（c －b ）2=b 2＋（a －c ）2 ， c ·b =a ·c ，即（b －a ）·c =0．OC →·AB →=0， 故 AB →⊥OC →．同理 CA →⊥OB →，BC → ⊥OA → ．故O 是ΔABC 的垂心．点评 向量知识的应用领域很宽泛，中学数学所涉及的平几、立几、解几、函数、方程、数列、不等式等等，都可以与向量综合，求解这类问题的关键在于揭去伪装，合理转化．例3．如图所示，对于同一高度（足够高）的两个定滑轮A 、B ，用一条足够长的绳子跨过它们，并在两端分别挂有质量为m 1和m 2的物体（m 1≠m 2），另在两滑轮中间的一段绳子的O 点处悬挂质量为m 的另一物体，已知m 1∶m 2=OB ∶OA，且系统保持平衡（滑轮半径、绳子质量均忽略不计）．求证：（1） ∠AOB 为定值；（2） 212m m m ＞2． 分析 依据题意，我们可以作出物体的受力图，引用平衡条件可列出方程组，在方程组的变形中，探索∠AOB 的大小，在求出∠AOB 后，再向第2问结论努力．解（1）设两绳子AO 、BO 对物体m 的拉力分别为F 1、F 2，物体m 向下的重力为F ，由系统平衡条件知F 1+F 2+F =0．如图，设∠BAO=α，∠ABO=β，根据平行四边形法则，得F 2cos β+F 1cos （π－α）=0，F 2sin β+F 1sin （π－α）＋F=0．即 m 2cos β－m1 cos α=0 ， ①m 2sin β＋m 1 sin α=m ． ②在ΔAOB 中，由正弦定理，得OB ∶OA= sin α∶sin β，将m 1∶m 2= sin α∶sin β代入①，得sin βcos β= sin αcos α，即sin2β= sin2α．∵m 1≠m 2 ，∴OA ≠OB ． ∴α≠β，2α＋2β=180º．∴α＋β=90º， 即∠AOB=90º．（２）由α＋β=90º，得 cos βcos α＝sin βsin α．将①②平方相加，得m 2=m 12＋m 22 ．由m 2－2m 1m 2=m 12＋m 22－2m 1m 2=（m 1－m 2）2>0 ，得m 2>2m 1m 2． ∴ 212m m m ＞2． 点评 向量在物理中的应用最常见的是力学问题，物体处于平衡状态即所受各力的合力为０，亦即向量之和为零向量，运用三角形法则、平行四边形法则及解斜三角形的基础知识可望得到问题的解．本题所列方程组，是根据物体水平方向、竖直方向所受各力的合力分。

§5.2 平面向量基本定理及坐标表示2014高考会这样考 1.考查平面向量基本定理的应用；2.考查向量的坐标表示和向量共线的应用．复习备考要这样做 1.理解平面向量基本定理的意义、作用；2.运用定理表示向量，然后再进行向量运算． 1． 平面向量基本定理如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.其中，不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 2． 平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)，|a |＝x 21＋y 21.(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． ②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，|AB →|＝x 2－x 12＋y 2－y 12.3． 平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0.a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0. [难点正本 疑点清源] 1． 基底的不唯一性只要两个向量不共线，就可以作为平面的一组基底，对基底的选取不唯一，平面内任意向量a 都可被这个平面的一组基底e 1，e 2线性表示，且在基底确定后，这样的表示是唯一的．2． 向量坐标与点的坐标的区别在平面直角坐标系中，以原点为起点的向量OA →＝a ，点A 的位置被向量a 唯一确定，此时点A 的坐标与a 的坐标统一为(x ，y )，但应注意其表示形式的区别，如点A (x ，y )，向量a ＝OA →＝(x ，y )．当平面向量OA →平行移动到O 1A 1→时，向量不变即O 1A 1→＝OA →＝(x ，y )，但O 1A 1→的起点O 1和终点A 1的坐标都发生了变化．1． 在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，若AC →＝λAE →＋μAF →，其中λ，μ∈R ，则λ＋μ＝________.答案 43解析 因为AC →＝AB →＋AD →，又AE →＝AD →＋12AB →，AF →＝AB →＋12AD →，所以AC →＝λAE →＋μAF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫λ＋12μAD →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12λ＋μAB →，得到λ＋12μ＝1，12λ＋μ＝1，两式相加得λ＋μ＝43.2． 在▱ABCD 中，AC 为一条对角线，AB →＝(2,4)，AC →＝(1,3)，则向量BD →的坐标为__________．答案 (－3，－5)解析 ∵AB →＋BC →＝AC →，∴BC →＝AC →－AB →＝(－1，－1)， ∴BD →＝AD →－AB →＝BC →－AB →＝(－3，－5)．3． 已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)，若k a ＋b 与b 平行，则k ＝________.答案 0解析 由k a ＋b 与b 平行得－3(2k ＋2)＝2(k －3)，∴k ＝0. 4． 若向量a ＝(1,1)，b ＝(－1,1)，c ＝(4,2)，则c 等于( ) A ．3a ＋b B ．3a －b C ．－a ＋3bD ．a ＋3b答案 B解析 由已知可设c ＝x a ＋y b ，则⎩⎪⎨⎪⎧4＝x －y 2＝x ＋y ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝－1.5． (2011·广东)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(1,0)，c ＝(3,4)．若λ为实数，(a ＋λb )∥c ，则λ等于( )A.14B.12C ．1D ．2答案 B解析 a ＋λb ＝(1,2)＋λ(1,0)＝(1＋λ，2)，而c ＝(3,4)，由(a ＋λb )∥c 得4(1＋λ)－6＝0，解得λ＝12.题型一 平面向量基本定理的应用例1 已知点G 为△ABC 的重心，过G 作直线与AB 、AC 两边分别交于M 、N 两点，且AM →＝xAB →，AN →＝yAC →，求1x ＋1y的值．思维启迪：以AB →，AC →为基底来表示向量，建立x ，y 的关系． 解 根据题意知G 为三角形的重心， 故AG →＝13(AB →＋AC →)，MG →＝AG →－AM →＝13(AB →＋AC →)－xAB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－x AB →＋13AC →，GN →＝AN →－AG →＝yAC →－AG →＝yAC →－13(AB →＋AC →)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y －13AC →－13AB →，由于MG →与GN →共线，根据共线向量定理知 MG →＝λGN →⇒⎝ ⎛⎭⎪⎫13－x AB →＋13AC →＝λ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫y －13AC →－13AB →，∵AB →，AC →不共线， ∴⎩⎪⎨⎪⎧13－x ＝－13λ13＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫y －13⇒13－x －13＝13y －13⇒x ＋y －3xy ＝0， 两边同除以xy 得1x ＋1y＝3.探究提高 利用基底表示未知向量，实质就是利用向量的加、减法及数乘进行线性运算；向量的表示是向量应用的前提．如图，在△ABC 中，AN →＝13NC →，P 是BN 上的一点，若AP →＝mAB →＋211AC →，则实数m 的值为_____．答案311解析 设|BP →|＝y ，|PN →|＝x ，则AP →＝AN →＋NP →＝14AC →－x x ＋yBN →，①AP →＝AB →＋BP →＝AB →＋y x ＋yBN →，②①×y ＋②×x 得AP →＝x x ＋y AB →＋y 4x ＋yAC →，令y 4x ＋y ＝211，得y ＝83x ，代入得m ＝311.题型二 向量坐标的基本运算例2 已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)．设AB →＝a ，BC →＝b ，CA →＝c ，且CM →＝3c ，CN→＝－2b ，(1)求3a ＋b －3c ；(2)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ； (3)求M 、N 的坐标及向量MN →的坐标．解 由已知得a ＝(5，－5)，b ＝(－6，－3)，c ＝(1,8)． (1)3a ＋b －3c ＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8) ＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)． (2)∵m b ＋n c ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n )，∴⎩⎪⎨⎪⎧－6m ＋n ＝5，－3m ＋8n ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝－1.(3)设O 为坐标原点，∵CM →＝OM →－OC →＝3c ， ∴OM →＝3c ＋OC →＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)． ∴M (0,20)．又∵CN →＝ON →－OC →＝－2b ，∴ON →＝－2b ＋OC →＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)， ∴N (9,2)．∴MN →＝(9，－18)．探究提高 向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行．若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则．已知平行四边形的三个顶点分别是A (4,2)，B (5,7)，C (－3,4)，则第四个顶点D 的坐标是__________________．答案 (－4，－1)或(12,5)或(－2,9) 解析 设顶点D (x ，y )．若平行四边形为ABCD ，则由AB →＝(1,5)， DC →＝(－3－x,4－y )，得⎩⎪⎨⎪⎧－3－x ＝1，4－y ＝5，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y ＝－1；若平行四边形为ACBD ，则由AC →＝(－7,2)， DB →＝(5－x,7－y )，得⎩⎪⎨⎪⎧5－x ＝－7，7－y ＝2，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝5；若平行四边形为ABDC ，则由AB →＝(1,5)， CD →＝(x ＋3，y －4)，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3＝1，y －4＝5，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝9.综上所述，第四个顶点D 的坐标为(－4，－1)或(12,5)或(－2,9)． 题型三 共线向量的坐标表示例3 平面内给定三个向量a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，c ＝(4,1)，请解答下列问题：(1)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ； (2)若(a ＋k c )∥(2b －a )，求实数k ；(3)若d 满足(d －c )∥(a ＋b )，且|d －c |＝5，求d . 思维启迪：(1)向量相等对应坐标相等，列方程解之． (2)由两向量平行的条件列方程解之．(3)设出d ＝(x ，y )，由平行关系列方程，由模为5列方程，联立方程组求解． 解 (1)由题意得(3,2)＝m (－1,2)＋n (4,1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧－m ＋4n ＝32m ＋n ＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝59n ＝89.(2)a ＋k c ＝(3＋4k,2＋k )，2b －a ＝(－5,2)， ∵(a ＋k c )∥(2b －a )，∴2×(3＋4k )－(－5)(2＋k )＝0， ∴k ＝－1613.(3)设d ＝(x ，y )，d －c ＝(x －4，y －1)，a ＋b ＝(2,4)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4x －4－2y －1＝0x －42＋y －12＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5y ＝3，∴d ＝(3，－1)或d ＝(5,3)．探究提高 (1)运用向量的坐标表示，使向量的运算完全代数化，将数与形有机的结合． (2)根据平行的条件建立方程求参数，是解决这类题目的常用方法，充分体现了方程思想在向量中的应用．(2011·北京)已知向量a ＝(3，1)，b ＝(0，－1)，c ＝(k ，3)．若(a －2b )与c 共线，则k ＝________. 答案 1解析 a －2b ＝(3，1)－2(0，－1)＝(3，3)， 又∵(a －2b )与c 共线，∴(a －2b )∥c ， ∴3×3－3×k ＝0，解得k ＝1.忽视平面向量基本定理的使用条件致误典例：(12分)已知OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OD →＝d ，OE →＝e ，设t ∈R ，如果3a ＝c,2b ＝d ，e＝t (a ＋b )，那么t 为何值时，C ，D ，E 三点在一条直线上？易错分析 本题可以根据向量共线的充要条件列出等式解决，但在得出等式后根据平面向量基本定理列式解决时，容易忽视平面向量基本定理的使用条件，出现漏解，漏掉了当a ，b 共线时，t 可为任意实数这个解． 规范解答解 由题设，知CD →＝d －c ＝2b －3a ，CE →＝e －c ＝(t －3)a ＋t b ，C ，D ，E 三点在一条直线上的充要条件是存在实数k ，使得CE →＝kCD →，即(t －3)a ＋t b ＝－3k a ＋2k b ， 整理得(t －3＋3k )a ＝(2k －t )b .[4分] ①若a ，b 共线，则t 可为任意实数；[7分]②若a ，b 不共线，则有⎩⎪⎨⎪⎧t －3＋3k ＝0，2k －t ＝0，解之得t ＝65.[10分]综上，可知a ，b 共线时，t 可为任意实数；a ，b 不共线时，t ＝65.[12分]温馨提醒 平面向量基本定理是平面向量知识体系的基石，在解题中有至关重要的作用，在使用时一定要注意两个基向量不共线这个条件. 方法与技巧1．平面向量基本定理的本质是运用向量加法的平行四边形法则，将向量进行分解． 2．向量的坐标表示的本质是向量的代数表示，其中坐标运算法则是运算的关键，通过坐标运算可将一些几何问题转化为代数问题处理，从而向量可以解决平面解析几何中的许多相关问题．3．在向量的运算中要注意待定系数法、方程思想和数形结合思想的运用． 失误与防范1．要区分点的坐标和向量坐标的不同，向量的坐标等于表示向量的有向线段的终点坐标减始点坐标；向量坐标中既有大小的信息，又有方向的信息．2．若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件不能表示成x 1x 2＝y 1y 2，因为x 2，y 2有可能等于0，所以应表示为x 1y 2－x 2y 1＝0.A 组 专项基础训练 (时间：35分钟，满分：57分)一、选择题(每小题5分，共20分) 1． 与向量a ＝(12,5)平行的单位向量为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫1213，－513B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213，－513C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1213，513或⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213，－513D.⎝ ⎛⎭⎪⎫±1213，±513答案 C解析 设e 为所求的单位向量， 则e ＝±a |a |＝±⎝ ⎛⎭⎪⎫1213，513. 2. 如图，在△OAB 中，P 为线段AB 上的一点，OP →＝xOA →＋yOB →，且BP →＝2PA →，则( )A ．x ＝23，y ＝13B ．x ＝13，y ＝23C ．x ＝14，y ＝34D ．x ＝34，y ＝14答案 A解析 由题意知OP →＝OB →＋BP →，又BP →＝2PA →，所以OP →＝OB →＋23BA →＝OB →＋23(OA →－OB →)＝23OA →＋13OB →，所以x ＝23，y ＝13.3． 已知a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，c ＝(－1,2)，则c 等于( )A ．－12a ＋32bB.12a －32b C ．－32a －12bD ．－32a ＋12b答案 B解析 设c ＝λa ＋μb ，∴(－1,2)＝λ(1,1)＋μ(1，－1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1＝λ＋μ2＝λ－μ，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝12μ＝－32，∴c ＝12a －32b .4． 在△ABC 中，点P 在BC 上，且BP →＝2PC →，点Q 是AC 的中点，若PA →＝(4,3)，PQ →＝(1,5)，则BC →等于( )A ．(－2,7)B ．(－6,21)C ．(2，－7)D ．(6，－21)答案 B解析 BC →＝3PC →＝3(2PQ →－PA →)＝6PQ →－3PA → ＝(6,30)－(12,9)＝(－6,21)． 二、填空题(每小题5分，共15分)5． 若三点A (2,2)，B (a,0)，C (0，b ) (ab ≠0)共线，则1a ＋1b的值为________．答案 12解析 AB →＝(a －2，－2)，AC →＝(－2，b －2)， 依题意，有(a －2)(b －2)－4＝0， 即ab －2a －2b ＝0，所以1a ＋1b ＝12.6． 已知向量a ＝(1,2)，b ＝(x,1)，u ＝a ＋2b ，v ＝2a －b ，且u ∥v ，则实数x 的值为________．答案 12解析 因为a ＝(1,2)，b ＝(x,1)，u ＝a ＋2b ，v ＝2a －b ， 所以u ＝(1,2)＋2(x,1)＝(2x ＋1,4)，v ＝2(1,2)－(x,1)＝(2－x,3)，又因为u ∥v ，所以3(2x ＋1)－4(2－x )＝0， 即10x ＝5，解得x ＝12.7． 在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，A 、B 、C 三点满足OC →＝23OA →＋13OB →，则|AC →||AB →|＝________.答案 13解析 ∵OC ＝23OA →＋13OB →，∴OC →－OA →＝－13OA →＋13OB →＝13(OB →－OA →)，∴AC →＝13AB →，∴|AC →||AB →|＝13.三、解答题(共22分)8． (10分)已知a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)，是否存在实数k ，使得k a ＋b 与a －3b 共线，且方向相反？ 解 若存在实数k ，则k a ＋b ＝k (1,2)＋(－3,2)＝(k －3,2k ＋2)．a －3b ＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)．若向量k a ＋b 与向量a －3b 共线，则必有(k －3)×(－4)－(2k ＋2)×10＝0，解得k ＝－13. 这时k a ＋b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－103，43，所以k a ＋b ＝－13(a －3b )． 即两个向量恰好方向相反，故题设的实数k 存在．9． (12分)如图所示，M 是△ABC 内一点，且满足条件AM →＋2BM →＋3CM →＝0，延长CM 交AB 于N ，令CM →＝a ，试用a 表示CN →. 解 因为AM →＝AN →＋NM →，BM →＝BN →＋NM →， 所以由AM →＋2BM →＋3CM →＝0，得 (AN →＋NM →)＋2(BN →＋NM →)＋3CM →＝0， 所以AN →＋3NM →＋2BN →＋3CM →＝0.又因为A ，N ，B 三点共线，C ，M ，N 三点共线，由平面向量基本定理，设AN →＝λBN →，CM →＝μNM →， 所以λBN →＋3NM →＋2BN →＋3μNM →＝0. 所以(λ＋2)BN →＋(3＋3μ)NM →＝0.由于BN →和NM →不共线，由平面向量基本定理，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＋2＝0，3＋3μ＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－2，μ＝－1.所以CM →＝－NM →＝MN →，CN →＝CM →＋MN →＝2CM →＝2a .B 组 专项能力提升 (时间：25分钟，满分：43分)一、选择题(每小题5分，共15分)1． 若平面向量b 与向量a ＝(1，－2)的夹角是180°，且|b |＝35，则b 等于( ) A ．(－3,6)B ．(3，－6)C ．(6，－3)D ．(－6,3)答案 A解析 方法一 设b ＝(x ，y )，由已知条件⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝35，x －2y5 x 2＋y2＝－1，整理得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝45，x －2y ＝－15.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝6，∴b ＝(－3,6)．方法二 设b ＝(x ，y )，由已知条件⎩⎨⎧x 2＋y 2＝35，y ＋2x ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝6，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－6，(舍去)，∴b ＝(－3,6)．方法三 ∵|a |＝5，∴1|a |a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15，－25，则b ＝－35⎝⎛⎭⎪⎫1|a |a ＝(－3,6)． 2． 已知平面向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )，且a∥b ，则2a ＋3b 等于( )A ．(－2，－4)B ．(－3，－6)C ．(－4，－8)D ．(－5，－10)答案 C 解析 由a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )，且a∥b ，得1×m ＝2×(－2)⇒m ＝－4，从而b ＝(－2，－4)，那么2a ＋3b ＝2(1,2)＋3(－2，－4)＝(－4，－8)．3． 已知A (－3,0)，B (0,2)，O 为坐标原点，点C 在∠AOB 内，|OC |＝22，且∠AOC ＝π4，设OC →＝ λOA →＋OB →(λ∈R )，则λ的值为( ) A ．1B.13C.12D.23答案 D解析 过C 作CE ⊥x 轴于点E (图略)．由∠AOC ＝π4，知|OE |＝|CE |＝2， 所以OC →＝OE →＋OB →＝λOA →＋OB →，即OE →＝λOA →，所以(－2,0)＝λ(－3,0)，故λ＝23. 二、填空题(每小题5分，共15分)4． △ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若p ＝(a ＋c ，b )，q ＝(b －a ，c －a )，且p∥q ，则角C ＝________.答案 60°解析 因为p∥q ，则(a ＋c )(c －a )－b (b －a )＝0，所以a 2＋b 2－c 2＝ab ，a 2＋b 2－c 22ab ＝12， 结合余弦定理知，cos C ＝12， 又0°<C <180°，∴C ＝60°.5． 已知A (7,1)、B (1,4)，直线y ＝12ax 与线段AB 交于C ，且AC →＝2CB →，则实数a ＝________. 答案 2解析 设C (x ，y )，则AC →＝(x －7，y －1)，CB →＝(1－x,4－y )，∵AC →＝2CB →，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －7＝21－x y －1＝24－y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3y ＝3.∴C (3,3)．又∵C 在直线y ＝12ax 上，∴3＝12a ·3，∴a ＝2. 6． 设OA →＝(1，－2)，OB →＝(a ，－1)，OC →＝(－b,0)，a >0，b >0，O 为坐标原点，若A 、B 、C三点共线，则1a ＋2b的最小值是________． 答案 8解析 据已知得AB →∥AC →，又∵AB →＝(a －1,1)，AC →＝(－b －1,2)，∴2(a －1)－(－b －1)＝0，∴2a ＋b ＝1，∴1a ＋2b＝2a ＋b a ＋4a ＋2b b ＝4＋b a ＋4a b ≥4＋2b a ·4a b＝8， 当且仅当b a ＝4a b ，即a ＝14，b ＝12时取等号， ∴1a ＋2b的最小值是8. 三、解答题7． (13分)已知点O 为坐标原点，A (0,2)，B (4,6)，OM →＝t 1OA →＋t 2AB →.(1)求点M 在第二或第三象限的充要条件；(2)求证：当t 1＝1时，不论t 2为何实数，A 、B 、M 三点都共线；(3)若t 1＝a 2，求当OM →⊥AB →且△ABM 的面积为12时a 的值．(1)解 OM →＝t 1OA →＋t 2AB →＝t 1(0,2)＋t 2(4,4)＝(4t 2,2t 1＋4t 2)．当点M 在第二或第三象限时，有⎩⎪⎨⎪⎧ 4t 2<0，2t 1＋4t 2≠0，故所求的充要条件为t 2<0且t 1＋2t 2≠0.(2)证明 当t 1＝1时，由(1)知OM →＝(4t 2,4t 2＋2)．∵AB →＝OB →－OA →＝(4,4)，AM →＝OM →－OA →＝(4t 2,4t 2)＝t 2(4,4)＝t 2AB →，∴A 、B 、M 三点共线．(3)解 当t 1＝a 2时，OM →＝(4t 2,4t 2＋2a 2)．又AB →＝(4,4)，OM →⊥AB →，∴4t 2×4＋(4t 2＋2a 2)×4＝0，∴t 2＝－14a 2，故OM →＝(－a 2，a 2)． 又|AB →|＝42，点M 到直线AB ：x －y ＋2＝0的距离 d ＝|－a 2－a 2＋2|2＝2|a 2－1|.∵S △ABM ＝12， ∴12|AB |·d ＝12×42×2|a 2－1|＝12， 解得a ＝±2，故所求a 的值为±2.。

基础巩固题组(建议用时：分钟)一、选择题.设是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是( )与λ的方向相反与λ的方向相同－λ≥－λ≥λ·解析对于，当λ＞时，与λ的方向相同，当λ＜时，与λ的方向相反，正确；对于，－λ＝－λ，由于－λ的大小不确定，故－λ与的大小关系不确定；对于，λ是向量，而－λ表示长度，两者不能比较大小.答案.(·邯郸二模)如图，在正六边形中，＋＋＝( )解析由图知＋＋＝＋＋＝＋＝.答案.(·福州质量检测)在△中，＝，＝，＝，＝，则下列等式成立的是( )＝－＝－＝－＝－解析依题意得－＝(－)，＝－＝－，故选.答案.(·温州八校检测)设，不共线，＝＋，＝＋，＝－，若，，三点共线，则实数的值为( ).－ .－解析∵＝＋，＝－，∴＝＋＝－.又∵，，三点共线，∴，共线.设＝λ，∴＋＝λ(－)，∴＝λ，＝－λ，∴λ＝，＝－.答案.如图所示，已知是圆的直径，点，是半圆弧的两个三等分点，＝，＝，则＝( )－－＋＋解析连接，由点，是半圆弧的三等分点，得∥且＝＝，所以＝＋＝＋.答案二、填空题.向量，不共线，＝(＋)，＝－，＝＋，给出下列结论：①，，共线；②，，共线；③，，共线；④，，共线，其中所有正确结论的序号为.解析由＝－＝＋＝，且与不共线，可得，，共线，且不在此直线上.答案④.(·北京卷)在△中，点，满足＝，＝.若＝＋，则＝；＝.解析由题中条件得，＝＋＝＋＝＋(－)＝－＝＋，所以＝，＝－.答案－.(·广州一调)已知△和点满足＋＋＝，若存在实数使得＋＝成立，则＝.解析由已知条件得＋＝－，如图，延长交于点，则为的中点.延长交于点，延长交于点，同理可证、分别为、的中点，即为△的重心，∴＝＝(＋)，即＋＝，则＝.答案三、解答题.已知向量＝－，＝＋，其中，不共线，向量＝－，问是否存在这样的实数λ，μ，使向量＝λ＋μ与共线？解∵＝λ(－)＋μ(＋)＝(λ＋μ)＋(－λ＋μ)，要使与共线，则应有实数，使＝，即(λ＋μ)＋(－λ＋μ)＝－，即得λ＝－μ.故存在这样的实数λ，μ，只要λ＝－μ，就能使与共线..如图，四边形是一个等腰梯形，∥，，分别是，的中点，已。

课时跟踪检测(二十八)[高考基础题型得分练]1．[2017·某某某某四中高三月考]已知向量a ，b 满足a ＋b ＝(1,3)，a －b ＝(3,7)，则a ·b ＝( )A ．－12B ．－20C ．12D ．20答案：A解析：由a ＋b ＝(1,3)，a －b ＝(3,7)，得a ＝12[(1,3)＋(3,7)]＝(2,5)， b ＝12[(1,3)－(3,7)]＝(－1，－2)， a ·b ＝2×(－1)＋5×(－2)＝－12.故选A.2．下列各组向量：①e 1＝(－1,2)，e 2＝(5,7)；②e 1＝(3,5)，e 2＝(6,10)；③e 1＝(2，－3)，e 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，34，能作为表示它们所在平面内所有向量基底的是( ) A ．① B ．①③ C ．②③ D ．①②③答案：B解析：②中，e 1＝12e 2，即e 1与e 2共线，所以不能作为基底．3．已知点A (1,3)，B (4，－1)，则与向量AB →同方向的单位向量为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－45B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫45，－35C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，45 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，35 答案：A解析：∵AB →＝OB →－OA →＝(4，－1)－(1,3)＝(3，－4)， ∴与AB →同方向的单位向量为AB →|AB →|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－45.4．在△ABC 中，点P 在BC 上，且BP →＝2PC →，点Q 是AC 的中点，若PA →＝(4,3)，PQ →＝(1,5)，则BC →＝( )A ．(－2,7)B ．(－6,21)C ．(2，－7)D ．(6，－21)答案：B解析：AQ →＝PQ →－PA →＝(－3,2)．∵Q 是AC 的中点，∴AC →＝2AQ →＝(－6,4)， PC →＝PA →＋AC →＝(－2,7)．∵BP →＝2PC →，∴BC →＝3PC →＝(－6,21)．5．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(1,0)，c ＝(3,4)．若λ为实数，(a ＋λb )∥c ，则λ＝( ) A.14 B ．12 C ．1 D ．2答案：B解析：∵a ＋λb ＝(1＋λ，2)，c ＝(3,4)， 又(a ＋λb )∥c ，∴1＋λ3＝24，∴λ＝12，故选B.6．设向量a ＝(x,1)，b ＝(4，x )，且a ，b 方向相反，则x 的值是( ) A ．2 B ．－2 C ．±2 D ．0答案：B解析：因为a 与b 方向相反，所以b ＝m a ，m <0，则有(4，x )＝m (x,1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧4＝mx ，x ＝m ，解得m ＝±2.又m <0，∴m ＝－2，x ＝m ＝－2.7．[2017·某某某某质量检测]已知向量a ＝(－1,2)，b ＝(3，m )，m ∈R ，则“m ＝－6”是“a∥(a ＋b )”的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件 答案：A解析：由题意，得a ＋b ＝(2,2＋m )， 由a∥(a ＋b )，得－1×(2＋m )＝2×2， 所以m ＝－6，则“m ＝－6”是“a∥(a ＋b )”的充要条件，故选A.8．[2017·某某八市质检]已知点M 是△ABC 的边BC 的中点，点E 在边AC 上，且EC →＝2AE →，则EM →＝( )A.12AC →＋13AB → B ．12AC →＋16AB → C.16AC →＋12AB → D ．16AC →＋32AB → 答案：C解析：如图，∵EC →＝2AE →，∴EM →＝EC →＋CM →＝23AC →＋12CB →＝23AC →＋12(AB →－AC →)＝12AB →＋16AC →. 9．若三点A (2,2)，B (a,0)，C (0，b )(ab ≠0)共线，则1a ＋1b＝________.答案：12解析：AB →＝(a －2，－2)，AC →＝(－2，b －2)， 依题意，有(a －2)(b －2)－4＝0，即ab －2a －2b ＝0， 所以1a ＋1b ＝12.10．[2017·某某某某模拟]已知向量a ＝(3，1)，b ＝(0，－1)，c ＝(k ，3)．若a －2b 与c 共线，则k ＝________.答案：1解析：∵a －2b ＝(3，3)，且a －2b∥c ， ∴3×3－3k ＝0，解得k ＝1.11．已知向量AC →，AD →和AB →在正方形网格中的位置如图所示，若AC →＝λAB →＋μAD →，则λμ＝________.答案：－3解析：建立如图所示的平面直角坐标系xAy ， 则AC →＝(2，－2)，AB →＝(1,2)，AD →＝(1,0)．由题意可知，(2，－2)＝λ(1,2)＋μ(1,0)，即⎩⎪⎨⎪⎧2＝λ＋μ，－2＝2λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－1，μ＝3，所以λμ＝－3.12．[2015·某某卷]已知向量a ＝(2,1)，b ＝(1，－2)，若m a ＋n b ＝(9，－8)(m ，n ∈R )，则m －n 的值为________．答案：－3解析：∵m a ＋n b ＝(2m ＋n ，m －2n )＝(9，－8)，∴⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋n ＝9，m －2n ＝－8，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝5，∴m －n ＝2－5＝－3.[冲刺名校能力提升练]1．[2017·某某某某调研]如图，在△OAB 中，P 为线段AB 上的一点，OP →＝xOA →＋yOB →，且BP →＝2PA →，则( )A ．x ＝23，y ＝13B ．x ＝13，y ＝23C ．x ＝14，y ＝34D ．x ＝34，y ＝14答案：A解析：由题意知，OP →＝OB →＋BP →，又BP →＝2PA →， 所以OP →＝OB →＋23BA →＝OB →＋23(OA →－OB →)＝23OA →＋13OB →，所以x ＝23，y ＝13. 2．[2017·某某某某十校联考]已知a ＝(3，1)，若将向量－2a 绕坐标原点逆时针旋转120°得到向量b ，则b 的坐标为( )A ．(0,4)B ．(23，－2)C ．(－23，2)D ．(2，－23) 答案：B解析：∵a ＝(3，1)，∴－2a ＝(－23，－2)， 易知向量－2a 与x 轴正半轴的夹角α＝150°(如图)．向量－2a 绕坐标原点逆时针旋转120°得到向量b ，在第四象限，与x 轴正半轴的夹角β＝30°，∴b ＝(23，－2)，故选B.3．在△ABC 中，点D 在线段BC 的延长线上，且BC →＝3CD →，点O 在线段CD 上(与点C ，D 不重合)，若AO →＝xAB →＋(1－x )AC →，则x 的取值X 围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0 答案：D 解析：设CO →＝yBC →， AO →＝AC →＋CO →＝AC →＋yBC →＝AC →＋y (AC →－AB →)＝－yAB →＋(1＋y )AC →.∵BC →＝3CD →，点O 在线段CD 上(与点C ，D 不重合)，∴y ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13. ∵AO →＝xAB →＋(1－x )AC →，∴x ＝－y ，∴x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0. 4.在梯形ABCD 中，已知AB ∥CD ，AB ＝2CD ，M ，N 分别为CD ，BC 的中点．若AB →＝λAM →＋μAN →，则λ＋μ＝________.答案：45解析：解法一：由AB →＝λAM →＋μAN →，得 AB →＝λ·12(AD →＋AC →)＋μ·12(AC →＋AB →)，则⎝ ⎛⎭⎪⎫μ2－1AB →＋λ2AD →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫λ2＋μ2AC →＝0， 得⎝⎛⎭⎪⎫μ2－1AB →＋λ2AD →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫λ2＋μ2⎝⎛⎭⎪⎫AD →＋12AB →＝0， 得⎝ ⎛⎭⎪⎫14λ＋34μ－1AB →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫λ＋μ2AD →＝0. 又AB →，AD →不共线， ∴由平面向量基本定理，得⎩⎪⎨⎪⎧14λ＋34μ－1＝0，λ＋μ2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－45，μ＝85.∴λ＋μ＝45.解法二(回路法)：连接MN 并延长交AB 的延长线于T ，由已知易得AB ＝45AT ，∴45AT →＝AB →＝λAM →＋μAN →， 即AT →＝54λAM →＋54μAN →，∵T ，M ，N 三点共线，∴54λ＋54μ＝1，∴λ＋μ＝45.5．已知O (0,0)，A (1,2)，B (4,5)及OP →＝OA →＋tAB →，试问： (1)当t 为何值时，P 在x 轴上？在y 轴上？在第三象限？(2)四边形OABP 能否成为平行四边形？若能，求出相应的t 的值；若不能，请说明理由． 解：(1)∵OA →＝(1,2)，AB →＝(3,3)， ∴OP →＝OA →＋tAB →＝(1＋3t,2＋3t )．若点P 在x 轴上，则2＋3t ＝0，解得t ＝－23；若点P 在y 轴上，则1＋3t ＝0，解得t ＝－13；若点P 在第三象限，则⎩⎪⎨⎪⎧1＋3t <0，2＋3t <0，解得t <－23.(2)若四边形OABP 为平行四边形，则OP →＝AB →，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋3t ＝3，2＋3t ＝3.∵该方程组无解，∴四边形OABP 不能成为平行四边形．6．如图，在平行四边形ABCD 中，M ，N 分别为DC ，BC 的中点，已知AM →＝c ，AN →＝d ，试用c ，d 表示AB →，AD →.解：解法一：设AB →＝a ，AD →＝b ， 则a ＝AN →＋NB →＝d ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12b ，①b ＝AM →＋MD →＝c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a .②将②代入①，得a ＝d ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12⎣⎢⎡⎦⎥⎤c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ， ∴a ＝43d －23c ＝23(2d －c )，③ 将③代入②，得b ＝c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×23(2d －c )＝23(2c －d )．∴AB →＝23(2d －c )，AD →＝23(2c －d )．解法二：设AB →＝a ，AD →＝b . ∵M ，N 分别为CD ，BC 的中点， ∴BN →＝12b ，DM →＝12a ，因而⎩⎪⎨⎪⎧c ＝b ＋12a ，d ＝a ＋12b ⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝232d －c ，b ＝232c －d ，即AB →＝23(2d －c )，AD →＝23(2c －d )．。

心尺引州丑巴孔市中潭学校稳固1．假设O 、E 、F 是不共线的任意三点，那么以下各式中成立的是( ) A.EF →＝OF →＋OE → B.EF →＝OF →－OE → C.EF →＝－OF →＋OE → D.EF →＝－OF →－OE → 解析：选B.由减法的定义可知EF →＝OF →－OE →，B 项正确． 2．(2021年高考卷)如图，D 、E 、F 分别是△ABC 的边AB 、BC 、CA 的中点，那么( )A.AD →＋BE →＋CF →＝0 B.BD →－CF →＋DF →＝0 C.AD →＋CE →－CF →＝0 D.BD →－BE →－FC →＝0解析：选A.AD →＋BE →＋CF →＝12AB →＋12BC →＋12CA →＝12(AB →＋BC →＋CA →)＝0. 3．O 、A 、B 是平面上的三个点，直线AB 上有一点C ，满足2AC →＋CB →＝0，那么OC →＝( ) A ．2OA →－OB → B ．－OA →＋2OB → C.23OA →－13OB → D ．－13OA →＋23OB → 解析：选A.OC →＝OB →＋BC →＝OB →＋2AC → ＝OB →＋2(OC →－OA →)， ∴OC →＝2OA →－OB →.应选A.4．平面上不共线的四点O ，A ，B ，C .假设OA →－3OB →＋2OC →＝0，那么|AB →||BC →|等于________．解析：由得：(OA →－OB →)＋2(OC →－OB →)＝BA →＋2BC →＝0⇒AB →＝2BC →，根据数乘的意义可得：|AB →||BC →|＝2. 答案：25．(原创题)设a ，b 是两个不共线的向量，假设AB →＝2a ＋k b ，CB →＝a ＋b ，CD →＝2a －b ，且A ，B ，D 三点共线，那么实数k 的值等于________．解析：由于A ，B ，D 三点共线，故AB →∥BD →，又AB →＝2a ＋k b ，BD →＝CD →－CB →＝a －2b ，故由2a ＋k b ＝λ(a －2b )可解得k ＝－4.答案：－46．如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且AB ＝2CD ，E 、F 分别是DC 、AB 的中点，设AD →＝a ，AB →＝b ，试用a ，b 表示DC →，EF →，FC →.解：∵DC ∥AB ，AB ＝2DC ，E 、F 分别是DC 、AB 的中点， ∴FC →＝AD →＝a ，DC →＝AF →＝12AB →＝12b . EF →＝ED →＋DA →＋AF →＝－12DC →－AD →＋12AB →＝－12×12b －a ＋12b ＝14b －a . 练习1．以下结论中，不．正确的选项是( ) A ．向量AB →，CD →共线与向量AB →∥CD →同义 B ．假设向量AB →∥CD →，那么向量AB →与DC →共线 C ．假设向量AB →＝CD →，那么向量BA →＝DC →D ．只要向量a ，b 满足|a |＝|b |，就有a ＝b解析：选D.根据平行向量(或共线向量)定义知A 、B 均正确；根据向量相等的概念知C 正确，D 不正确．2．设a ，b 是任意的两个向量，λ∈R ，给出下面四个结论： ①假设a 与b 共线，那么b ＝λa . ②假设b ＝－λa ，那么a 与b 共线． ③假设a ＝λb ，那么a 与b 共线．④当b ≠0时，a 与b 共线的充要条件是有且只有一个实数λ＝λ1，使得a ＝λ1b . 其中，正确的结论有( )A ．①②B ．①③C ．①③④D ．②③④解析：选D.①a ＝0，b ≠0时，不成立，②③④均正确．3.(2021年高考卷)设D 、E 、F 分别是△ABC 的三边BC 、CA 、AB 上的点，且DC →＝2BD →，CE →＝2EA →，AF →＝2FB →，那么AD →＋BE →＋CF →与BC →( )A ．反向平行B ．同向平行C ．互相垂直D ．既不平行也不垂直解析：选A.AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋13BC →，BE →＝BC →＋CE →＝BC →＋23CA →，CF →＝CA →＋AF →＝CA →＋23AB →， ∴AD →＋BE →＋CF →＝53AB →＋53CA →＋43BC →＝53(AB →＋CA →)＋43BC →＝53CB →＋43BC →＝－13BC →.应选A. 4．平面内有一点P 及一个△ABC ，假设PA →＋PB →＋PC →＝AB →，那么( ) A ．点P 在△ABC 外部 B ．点P 在线段AB 上 C ．点P 在线段BC 上 D ．点P 在线段AC 上 解析：选D.∵PA →＋PB →＋PC →＝AB →， ∴PA →＋PB →＋PC →－AB →＝0， 即PA →＋PB →＋BA →＋PC →＝0， ∴PA →＋PA →＋PC →＝0，2PA →＝CP →，∴点P 在线段AC 上．5．在△ABC 中，D 是AB 边上一点，假设AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，那么λ等于( )A.23B.13 C ．－13 D ．－23解析：选A.法一：∵A 、D 、B 三点共线，∴13＋λ＝1，∴λ＝23.应选A.法二：∵AD →＝2DB →，∴AD →＝23AB →，∴CD →＝CA →＋AD →＝CA →＋23AB →＝CA →＋23(CB →－CA →) ＝13CA →＋23CB →＝13CA →＋λCB →， ∴λ＝23，应选A. 6．设两个向量a ＝(λ＋2，λ2－cos 2α)，b ＝(m ，m2＋sin α)，其中λ，m ，α为实数．假设a ＝2b ，那么λm的取值范围是( )A ．[－6,1]B ．[4,8]C ．(－∞，1]D ．[－1,6] 解析：选A.∵a ＝2b .∴⎩⎨⎧λ＋2＝2m ，λ2－cos 2α＝m ＋2sin α.消去λ，得4m 2－8m ＋4－cos 2α＝m ＋2sin α，即4m 2－9m ＋2＝－(sin α－1)2.∵－1≤sin α≤1，∴－4≤－(sin α－1)2≤0，∴－4≤4m 2－9m ＋2≤0，解得14≤m ≤2，∴λm ＝2m －2m ＝2－2m∈[－6,1]．7．a 与b 是两个不共线向量，且向量a ＋λb 与－(b －3a )共线，那么λ＝________. 解析：由得a ＋λb ＝－k (b －3a )，∴⎩⎨⎧ λ＝－k 3k ＝1，解得⎩⎨⎧λ＝－13k ＝13.答案：－138．设e 1，e 2是不共线向量，e 1－4e 2与k e 1＋e 2共线，那么实数k 的值为________． 解析：由题意e 1－4e 2＝λ(k e 1＋e 2)＝kλe 1＋λe 2， ∴⎩⎨⎧kλ＝1，λ＝－4.∴k ＝－14.49．如图，在△ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M 、N ，假设AB →＝mAM →，AC →＝nAN →，那么m ＋n 的值为________．解析：AO →＝12(AB →＋AC →)＝m 2AM →＋n 2AN →， ∵M ，O ，N 三点共线，∴m 2＋n2＝1，∴m ＋n ＝2. 答案：210．如下列图，D 、E 分别是△ABC 中AB 、AC 边中点，M 、N 分别是DE 、BC 的中点，BC →＝a ，BD →＝b ，试用a 、b 分别表示DE →、CE →和MN →.解：由三角形中位线定理知DE 綊12BC . 故DE →＝12BC →，即DE →＝12a .CE →＝CB →＋BD →＋DE →＝－a ＋b ＋12a ＝－12a ＋b .MN →＝MD →＋DB →＋BN →＝12ED →＋DB →＋12BC →＝－14a －b ＋12a ＝14a －b . 11.设i 、j 分别是平面直角坐标系Ox ，Oy 正方向上的单位向量，且OA →＝－2i ＋m j ，OB →＝n i ＋j ，OC →＝5i －j ，假设点A 、B 、C 在同一条直线上，且m ＝2n ，求实数m 、n 的值．解：AB →＝OB →－OA →＝(n ＋2)i ＋(1－m )j ， BC →＝OC →－OB →＝(5－n )i ＋(－2)j .∵点A 、B 、C 在同一条直线上，∴AB →∥BC →，∴(n ＋2)i ＋(1－m )j ＝λ[(5－n )i ＋(－2)j ]，∴⎩⎪⎨⎪⎧n ＋2＝λ(5－n )1－m ＝－2λm ＝2n，解得⎩⎨⎧m ＝6n ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3n ＝32.12．如下列图，在△ABC 中，点M 是BC 的中点，点N 在边AC 上，且AN ＝2NC ，AM 与BN 相交于点P ，求AP ∶PM 的值． 解：设BM →＝e 1，CN →＝e 2， 那么AM →＝AC →＋CM →＝－3e 2－e 1， BN →＝2e 1＋e 2∵A 、P 、M 和B 、P 、N 分别共线， ∴存在实数λ、μ使 AP →＝λAM →＝－λe 1－3λe 2，BP →＝μBN →＝2μe 1＋μe 2，故BA →＝BP →－AP →＝(λ＋2μ)e 1＋(3λ＋μ)e 2. 而BA →＝BC →＋CA →＝2e 1＋3e 2∴⎩⎨⎧ λ＋2μ＝2，3λ＋μ＝3.解得⎩⎨⎧λ＝45，μ＝35.故AP →＝45AM →，即AP ∶PM ＝4∶1.。

第三节 平面向量的数量积及应用举例A 级·基础过关 |固根基|1.已知两个非零向量a 与b 的夹角为θ，则“a ·b >0”是“θ为锐角”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B 由a ·b >0，可得到θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2，不能得到θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2；而由θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，可以得到a ·b >0.故选B ．2．(2019届某某一中高三入学测试)已知向量a ，b 均为单位向量，若它们的夹角为60°，则|a ＋3b |等于( )A ．7B ．10C ．13D ．4解析：选C 依题意得a ·b ＝12，∴|a ＋3b |＝a 2＋9b 2＋6a ·b ＝13，故选C ．3．(2019届某某模拟)已知非零向量m ，n 满足4|m |＝3|n |，cos 〈m ，n 〉＝13.若n ⊥(t m＋n )，则实数t 的值为( )A ．4B ．－4C ．94D ．－94解析：选B 由n ⊥(t m ＋n )可得n ·(t m ＋n )＝0，即t m ·n ＋n 2＝0，所以t ＝－n 2m ·n＝－n 2|m ||n |cos 〈m ，n 〉＝－|n |2|m ||n |×13＝－3|n ||m |.又4|m |＝3|n |，∴t ＝－3×43＝－4.故选B ．4．(2019届东北联考)已知向量a ，b 满足(a ＋2b )·(5a －4b )＝0，且|a |＝|b |＝1，则a 与b 的夹角θ为( )A ．3π4B ．π4C ．π3D ．2π3解析：选C 因为(a ＋2b )·(5a －4b )＝0，|a |＝|b |＝1， 所以6a ·b －8＋5＝0，即a ·b ＝12.又a ·b ＝|a ||b |cos θ＝cos θ，所以cos θ＝12.因为θ∈[0，π]，所以θ＝π3.故选C ．5．(2019届某某模拟)在△ABC 中，AB ＝4，AC ＝3，AC →·BC →＝1，则BC ＝( ) A ． 3 B ． 2 C ．2D ．3解析：选D 设∠A ＝θ， 因为BC →＝AC →－AB →，AB ＝4，AC ＝3，所以AC →·BC →＝AC →·(AC →－AB →)＝AC →2－AC →·AB →＝9－AC →·AB →＝1，即AC →·AB →＝8，所以cos θ＝AC →·AB→|AC →||AB →|＝83×4＝23，所以BC ＝16＋9－2×4×3×23＝3.故选D ．6．已知向量a ，b 满足|a |＝1，(a ＋b )·(a －2b )＝0，则|b |的取值X 围为( ) A ．[1，2]B ．[2，4]C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，12 D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1 解析：选D 由题意知b ≠0，设向量a ，b 的夹角为θ，因为(a ＋b )·(a －2b )＝a 2－a ·b －2b 2＝0，又|a |＝1，所以1－|b |cos θ－2|b |2＝0，所以|b |cos θ＝1－2|b |2.因为－1≤cos θ≤1，所以－|b |≤1－2|b |2≤|b |，所以12≤|b |≤1，所以|b |的取值X 围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1.故选D ．7．(2020届某某调研)在Rt △ABC 中，∠C ＝π2，AC ＝3，取点D ，E ，使BD →＝2DA →，AB →＝3BE →，那么CD →·CA →＋CE →·CA →＝( )A ．－6B ．6C ．－3D ．3解析：选D 由BD →＝2DA →，得CD →－CB →＝2(CA →－CD →)，得CD →＝23CA →＋13CB →.由AB →＝3BE →，得CB →－CA→＝3(CE →－CB →)，得CE →＝－13CA →＋43CB →.因为∠C ＝π2，即CA →⊥CB →，所以CA →·CB →＝0.所以CD →·CA →＋CE →·CA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23CA →＋13CB →·CA →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13CA →＋43CB →·CA →＝23CA →2－13CA →2＝3，故选D ．8.如图，BC ，DE 是半径为1的圆O 的两条直径，BF →＝2FO →，则FD →·FE →的值是( )A ．－34B ．－89C ．－14D ．－49解析：选B 因为BF →＝2FO →，r ＝1，所以|FO →|＝13，所以FD →·FE →＝(FO →＋OD →)·(FO →＋OE →)＝FO→2＋FO →·(OE →＋OD →)＋OD →·OE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋0－1＝－89，故选B ．9．(2019届某某市摸底联考)已知O 是△ABC 内一点，OA →＋OB →＋OC →＝0，AB →·AC →＝2且∠BAC＝60°，则△OBC 的面积为( )A ．33 B ． 3 C ．32D ．23解析：选A ∵OA →＋OB →＋OC →＝0，∴O 是△ABC 的重心，∴S △OBC ＝13S △ABC ．∵AB →·AC →＝2，∴|AB→|·|AC →|·cos ∠BAC ＝2.又∠BAC ＝60°，∴|AB →|·|AC →|＝4，∴S △ABC ＝12|AB →|·|AC →|sin ∠BAC＝3，∴△OBC 的面积为33，故选A ． 10．(2020届某某摸底)已知a ，b 均为单位向量，若|a －2b |＝3，则a 与b 的夹角为________．解析：由|a －2b |＝3，得|a －2b |2＝3，即a 2－4a ·b ＋4b 2＝3，即1－4a ·b ＋4＝3，所以a ·b ＝12，所以cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a |·|b |＝12，所以〈a ，b 〉＝π3.答案：π311．(2019届某某摸底调研)已知动直线l 与圆O ：x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，且|AB |＝2，点C 为直线l 上一点，且满足CB →＝52CA →，若M 是线段AB 的中点，则OC →·OM →的值为________．解析：解法一：动直线l 与圆O ：x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，连接OA ，OB ，因为|AB |＝2，所以△AOB 为等边三角形，于是不妨设动直线l为y ＝3(x ＋2)，如图所示，根据题意可得B (－2，0)，A (－1，3)，因为M 是线段AB 的中点，所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，32.设C (x ，y )，因为CB →＝52CA →，所以(－2－x ，－y )＝52(－1－x ，3－y )，所以⎩⎪⎨⎪⎧－2－x ＝52（－1－x ），－y ＝52（3－y ），解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－13，y ＝533，所以C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，533，所以OC →·OM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，533·⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，32＝12＋52＝3.解法二：连接OA ，OB ，因为直线l 与圆O ：x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，|AB |＝2，所以△AOB 为等边三角形．因为CB →＝52CA →，所以OC →＝OA →＋AC →＝OA →＋23BA →＝OA →＋23OA →－23OB →＝53OA →－23OB →.又M 为AB 的中点，所以OM →＝12OA →＋12OB →，且OA →与OB →的夹角为60°，则OC →·OM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫53OA→－23OB →·⎝ ⎛⎭⎪⎫12OA →＋12OB →＝56OA →2－13OB →2＋12|OA →||OB →|cos 60°＝56×4－13×4＋12×2×2×12＝3. 答案：312.如图，已知O 为坐标原点，向量OA →＝(3cos x ，3sin x )，OB →＝(3cosx ，sin x )，OC →＝(3，0)，x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2.(1)求证：(OA →－OB →)⊥OC →；(2)若△ABC 是等腰三角形，求x 的值． 解：(1)证明：∵OA →－OB →＝(0，2sin x )， ∴(OA →－OB →)·OC →＝0×3＋2sin x ×0＝0， ∴(OA →－OB →)⊥OC →.(2)若△ABC 是等腰三角形，则AB ＝BC ， ∴(2sin x )2＝(3cos x －3)2＋sin 2x ， 整理得2cos 2x －3cos x ＝0， 解得cos x ＝0，或cos x ＝32. ∵x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴cos x ＝32，即x ＝π6.B 级·素养提升 |练能力|13.(2019届某某市第一次联考)已知点O 是锐角三角形ABC 的外心，若OC →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R )，则( )A ．m ＋n ≤－2B ．－2≤m ＋n <－1C ．m ＋n <－1D ．－1<m ＋n <0解析：选C 因为点O 是锐角三角形ABC 的外心，所以O 在三角形内部，则m <0，n <0.不妨设锐角三角形ABC 的外接圆的半径为1，因为OC →＝mOA →＋nOB →，所以OC →2＝m 2OA →2＋n 2OB →2＋2mnOA →·OB →.设向量OA →，OB →的夹角为θ，则1＝m 2＋n 2＋2mn cos θ<m 2＋n 2＋2mn ＝(m ＋n )2，所以m ＋n <－1或m ＋n >1(舍去)，所以m ＋n <－1，故选C ．14．已知点P 是圆x 2＋y 2＝4上的动点，点A ，B ，C 在以坐标原点O 为圆心的单位圆上运动，且AB →·BC →＝0，则|PA →＋PB →＋PC →|的最大值为( )A ．5B ．6C ．7D ．8解析：选C 由A ，B ，C 三点在圆x 2＋y 2＝1上，且AB →·BC →＝0，得AC 是该圆的直径．设PO →，OB →的夹角为θ，θ∈[0，π]，则|PA →＋PB →＋PC →|＝|2PO →＋PB →|＝|3PO →＋OB →|＝（3PO →＋OB →）2＝9|PO →|2＋|OB →|2＋6PO →·OB →＝36＋1＋12cos θ＝37＋12cos θ，当θ＝0时，|PA →＋PB →＋PC →|取得最大值7，故选C ．15．在Rt △ABC 中，∠BCA ＝90°，CA ＝CB ＝1，P 是AB 边上的点，AP →＝λAB →，若CP →·AB →≥PA →·PB →，则实数λ的最大值是( )A ．1B ．2－22C ．22D ．2＋22解析：选A 以点C 为坐标原点，CA →，CB →的方向分别为x 轴，y 轴的正方向建立平面直角坐标系，则C (0，0)，A (1，0)，B (0，1)，所以AB →＝(－1，1)．因为点P 在线段AB 上，AP →＝λAB →，所以AP →＝(－λ，λ)，所以P (1－λ，λ)，所以CP →＝(1－λ，λ)，PB →＝(λ－1，1－λ)，λ∈[0，1]．因为CP →·AB →≥PA →·PB →，所以(1－λ，λ)·(－1，1)≥(λ，－λ)·(λ－1，1－λ)，化简得2λ2－4λ＋1≤0，解得2－22≤λ≤2＋22.因为λ∈[0，1]，所以2－22≤λ≤1，所以λ的最大值是1.故选A ．16.如图，在平行四边形ABCD 中，|AD →|＝2，向量AD →在AB →方向上的投影为1，且BD →·DC →＝0，点P 在线段CD 上，则PA →·PB →的取值X 围为________．解析：解法一：由题意知∠DAB ＝45°，且|AB →|＝1，设|PD →|＝x ，则0≤x ≤1，因为AP →＝AD →＋DP →，BP →＝BC →＋CP →＝AD →＋CP →，所以PA →·PB →＝(－AD →－DP →)·(－AD →－CP →)＝AD →2＋AD →·CP →＋AD →·DP →＋DP →·CP →＝2＋2(1－x )cos 135°＋2x cos 45°－x (1－x )＝x 2＋x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34∈[1，3]．解法二：由题意可知，DB ⊥AB ，以B 为坐标原点，AB 及BD 所在直线分别为x 轴，y 轴建立如图所示的平面直角坐标系．由题意知B (0，0)，A (－1，0)，设P (x ，1)，其中0≤x ≤1，则PA →·PB →＝(－1－x ，－1)·(－x ，－1)＝x 2＋x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34∈[1，3]．答案：[1，3]17．已知△ABC 的面积为24，点D ，E 分别在边BC ，AC 上，且满足CE →＝3EA →，CD →＝2DB →，连接AD ，BE 交于点F ，则△ABF 的面积为________．解析：解法一：如图，连接CF ，由于B ，F ，E 三点共线，因而可设CF →＝λCB →＋(1－λ)CE →.∵CE →＝3EA →，CD ＝2DB →，∴CF →＝32λCD →＋34(1－λ)CA →.又A ，F ，D 三点共线，∴32λ＋34(1－λ)＝1，解得λ＝13，∴CF →＝13CB →＋23CE →＝13CB →＋12CA →.∵AF→＝CF →－CA →＝13CB →－12CA →，FD →＝CD →－CF →＝13CB →－12CA →，∴F 为AD 的中点，因而S △ABF ＝12S △ABD ＝16S △ABC＝4.解法二：如图，过D 作AC 的平行线，交BE 于H ，则由已知CD →＝2DB →，得DH ═∥13CE ，又CE →＝3EA →，因而DH ═∥EA ，△AEF ≌△DHF ，则F 为AD 的中点，因而S △ABF ＝12S △ABD ＝16S △ABC ＝4. 答案：4。

2021年高考数学一轮复习第五章平面向量5.3平面向量的数量积真题演练集训理新人教A 版1．[xx·新课标全国卷Ⅲ]已知向量BA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，则∠ABC ＝( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°答案：A解析：由两向量的夹角公式，可得cos ∠ABC ＝BA →·BC →|BA →||BC →|＝12×32＋32×121×1＝32，则∠ABC ＝30°.2．[xx·北京卷]设a ，b 是向量，则“|a |＝|b |”是“|a ＋b |＝|a －b |”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 答案：D解析：取a ＝－b ≠0，则|a|＝|b|≠0，|a ＋b |＝|0|＝0.|a －b |＝|2a |≠0，所以|a ＋b|≠|a －b |，故由|a|＝|b|推不出|a ＋b|＝|a －b|.由|a ＋b|＝|a －b|，得|a ＋b|2＝|a －b|2，整理得a·b ＝0，所以a⊥b ，不一定能得出|a|＝|b|，故由|a ＋b|＝|a －b|推不出|a|＝|b|.故“|a|＝|b|”是“|a ＋b|＝|a －b |”的既不充分也不必要条件．故选D.3．[xx·重庆卷]若非零向量a ，b 满足|a |＝223|b |，且(a －b )⊥(3a ＋2b )，则a 与b的夹角为( )A.π4B.π2C.3π4D ．π答案：A解析：由(a －b )⊥(3a ＋2b )，得(a －b )·(3a ＋2b )＝0， 即3a 2－a ·b －2b 2＝0.又∵ |a |＝223|b |，设〈a ，b 〉＝θ，即3|a |2－|a ||b |cos θ－2|b |2＝0， ∴ 83|b |2－223|b |2·cos θ－2|b |2＝0. ∴ cos θ＝22. 又∵ 0≤θ≤π，∴ θ＝π4.4．[xx·新课标全国卷Ⅱ]设向量a ，b 满足|a ＋b |＝10，|a －b |＝6，则a ·b ＝( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．5答案：A解析：由条件可得，(a ＋b )2＝10，(a －b )2＝6，两式相减得4a·b ＝4，所以a·b ＝1. 5．[xx·天津卷]已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得DE ＝2EF ，则AF →·BC →的值为( ) A ．－58B.18C.14D.118答案：B解析：如图，设AC →＝m ，AB →＝n .根据已知得，DF →＝34m ，所以AF →＝AD →＋DF →＝34m ＋12n ，BC →＝m －n ，AF →·BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34m ＋12n ·(m －n ) ＝34m 2－12n 2－14m·n ＝34－12－18＝18. 6.[xx·浙江卷]已知向量a ，b ，|a |＝1，|b |＝2.若对任意单位向量e ，均有|a ·e |＋|b ·e |≤ 6，则a ·b 的最大值是________．答案：12解析：由题意，令e ＝(1,0)，a ＝(cos α，sin α)，b ＝(2cos β，2sin β)，则由|a·e |＋|b·e |≤6，可得|cos α|＋2|cos β|≤ 6.① 令sin α ＋2sin β＝m .②①2＋②2，得4[|cos αcos β|＋sin αsin β]≤1＋m 2对一切实数α，β恒成立， 所以4[|cos αcos β|＋sin αsin β]≤1.故a·b ＝2(cos αcos β＋sin αsin β)≤2[|cos αcos β|＋sin αsin β]≤12.课外拓展阅读 以向量为背景的创新题[典例1] (1)对任意两个非零的平面向量α和β，定义α·β＝α·ββ·β，若两个非零的平面向量a ，b 满足a 与b 的夹角θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，且a·b 和b·a 都在集合⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫ ⎪⎪⎪n 2n ∈Z 中，则a ·b 等于( )A.52 B.32 C ．1 D.12[答案] D[审题视角] 先根据定义表示a·b和b·a ，利用其属于集合⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫ ⎪⎪⎪n 2n ∈Z ，将其表示成集合中元素的形式，两式相乘即可表示出cos θ，然后利用θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2确定cos θ的取值范围，结合集合中n ∈Z 的限制条件即可确定n 的值，从而求出a ·b 的值．[解析] 根据新定义，得a·b ＝a·b b·b ＝|a ||b |cos θ|b |2＝|a ||b |cos θ， b·a ＝b·a a·a ＝|a ||b |cos θ|a |2＝|b ||a |cos θ. 又因为a·b和b·a 都在集合⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫⎪⎪⎪n 2n ∈Z 中， 设a·b ＝n 12，b·a ＝n 22(n 1，n 2∈Z )，那么(a·b )·(b·a )＝cos 2θ＝n 1n 24，又θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，故cos 2θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，所以0<n 1n 2<2. 所以n 1，n 2的值均为1.故a·b ＝n 12＝12.(2)设向量a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，定义一种向量积a ⊗b ＝(a 1b 1，a 2b 2)．已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0，点P (x ，y )在y ＝sin x 的图象上运动，Q 是函数y ＝f (x )图象上的点，且满足OQ →＝m ⊗OP →＋n (其中O 为坐标原点)，则函数y ＝f (x )的值域是________．[答案] ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12[审题视角] 根据定义先写出m ⊗OP →，进而求出OQ →，确定函数y ＝f (x )的解析式．[解析] 设Q (c ，d )，由新的运算可得 OQ →＝m ⊗OP →＋n ＝⎝⎛⎭⎪⎫2x ，12sin x ＋⎝⎛⎭⎪⎫π3，0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，12sin x ，由⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2x ＋π3，d ＝12sin x 消去x ，得d ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12c －π6，所以y ＝f (x )＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π6，易知y ＝f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12. 方法点睛解答创新型问题时，首先需要分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，将问题转化为我们熟悉的定义运算，然后确定解题策略，根据题目条件进行求解．。

【创新设计】（某某专用）2017版高考数学一轮复习 阶段回扣练（五）平面向量习题 理 新人教A 版一、填空题1.已知a ＝e 1＋e 2，b ＝3e 1－2e 2，c ＝2e 1＋3e 2，且a ＝m b ＋n c ，则m ＋n ＝________. 解析 因为a ＝m b ＋n c ＝m (3e 1－2e 2)＋n (2e 1＋3e 2)＝(3m ＋2n )e 1＋(3n －2m )e 2， 所以⎩⎪⎨⎪⎧3m ＋2n ＝1，3n －2m ＝1.所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝113，n ＝513. 所以m ＋n ＝613.答案6132.(2015·潍坊五校联考)已知向量a ＝(3，4)，b ＝(x ，－3)，c ＝(0，1)，若(a ＋b )·(b －c )＝0，则x ＝________.解析 a ＋b ＝(3＋x ，1)，b －c ＝(x ，－4)，则(a ＋b )·(b －c )＝(3＋x )x ＋1×(－4)＝x 2＋3x －4＝0，解得x ＝1或x ＝－4. 答案 1或－43.(2015·某某卷改编)设a ＝(1，2)，b ＝(1，1)，c ＝a ＋k b .若b ⊥c ，则实数k 的值等于________.解析 c ＝a ＋k b ＝(1，2)＋k (1，1)＝(1＋k ，2＋k )，∵b ⊥c ，∴b ·c ＝0，b ·c ＝(1，1)·(1＋k ，2＋k )＝1＋k ＋2＋k ＝3＋2k ＝0，∴k ＝－32.答案 －324.(2016·某某调研)若平面向量a ＝(－1，2)与b 的夹角是180°，且|b |＝35，则b 的坐标为________.解析 ∵a 与b 夹角是180°，∴设b ＝λa ＝λ(－1，2)(λ＜0)，∵|a |＝5，|b |＝35，∴λ＝－3，∴b ＝(3，－6). 答案 (3，－6)5.(2015·某某卷改编)已知菱形ABCD 的边长为a ，∠ABC ＝60° ，则BD →·CD →＝________ 解析 如图所示，由题意，得BC ＝a ，CD ＝a ，∠BCD ＝120°.BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD ·cos 120°＝a 2＋a 2－2a ·a ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝3a 2，∴BD ＝3a .∴BD →·CD →＝|BD →||CD →|cos 30° ＝3a 2×32＝32a 2. 答案 32a 26.(2015·卷改编)设a ，b 是非零向量.“a ·b ＝|a ||b |”是“a ∥b ”的________条件(填“充分而不必要”、“必要而不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”).解析 设a 与b 的夹角为θ.因为a ·b ＝|a |·|b |cos θ＝|a |·|b |，所以cos θ＝1，即a 与b 的夹角为0°，故a ∥b ；而当a ∥b 时，a 与b 的夹角为0°或180°，所以a ·b ＝|a |·|b |cos θ＝±|a |·|b |，所以“a ·b ＝|a |·|b |”是a ∥b 的充分而不必要条件. 答案 充分而不必要7.(2015·某某一模)设A ，B ，C 为直线l 上不同的三点，O 为直线l 外一点，若pOA →＋qOB →＋rOC →＝0(p ，q ，r ∈R )，则p ＋q ＋r ＝________.解析 由已知得OA →＝－q pOB →－r pOC →，而A ，B ，C 三点共线，所以－q p ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－r p ＝1，所以p ＋q＋r ＝0. 答案 08.(2015·某某五校联考)已知|a |＝|b |＝|a －2b |＝1，则|a ＋2b |＝________. 解析 由|a |＝|b |＝|a －2b |＝1，得a 2－4a ·b ＋4b 2＝1， ∴4a ·b ＝4，∴|a ＋2b |2＝a 2＋4a ·b ＋4b 2＝5＋4＝9， ∴|a ＋2b |＝3. 答案 39.(2016·某某调研)已知O 为原点，点A ，B 的坐标分别为(a ，0)，(0，a )，其中常数a >0，点P 在线段AB 上，且有AP →＝tAB →(0≤t ≤1)，则OA →·OP →的最大值为________.解析 因为AP →＝tAB →，所以OP →＝OA →＋AP →＝OA →＋t (OB →－OA →)＝(1－t )OA →＋tOB →＝(a －at ，at )， 所以OA →·OP →＝a 2(1－t )，因为0≤t ≤1，所以0≤OA →·OP →≤a 2. 答案 a 210.(2015·某某二模)定义平面向量的一种运算：a ⊗b ＝|a ||b |sin 〈a ，b 〉，则下列命题： ①a ⊗b ＝b ⊗a ；②λ(a ⊗b )＝(λa )⊗b ；③若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ⊗b ＝|x 1y 2－x 2y 1|. 其中真命题是________(写出所有真命题的序号).解析 ①由定义可知b ⊗a ＝|b ||a |sin 〈a ，b 〉＝a ⊗b ，所以①成立；②当λ<0时，〈λa ，b 〉＝π－〈a ，b 〉，所以(λa )⊗b ＝|λa ||b |sin 〈λa ，b 〉＝－λ|a ||b |sin 〈a ，b 〉，而λ(a ⊗b )＝λ|a |·|b |sin 〈a ，b 〉，所以②不成立；③(a ⊗b )2＝|a |2·|b |2·sin 2〈a ，b 〉＝|a |2·|b |2(1－cos 2〈a ，b 〉)＝|a |2·|b |2－|a |2·|b |2cos 2〈a ，b 〉＝|a |2·|b |2－(a ·b )2＝(x 21＋y 21)·(x 22＋y 22)－(x 1x 2＋y 1y 2)2＝(x 1y 2－x 2y 1)2，所以a ⊗b ＝|x 1y 2－x 2y 1|，所以③成立.所以真命题是①③. 答案 ①③11.(2015·某某、某某模拟)已知|OA →|＝1，|OB →|＝2，∠AOB ＝2π3，OC →＝12OA →＋14OB →，则OA →与OC→的夹角大小为________.解析 以O 为坐标原点，OA 所在直线为x 轴，与OA 垂直的直线为y 轴建立平面直角坐标系.则A (1，0)，B (－1，3)，OC →＝12OA →＋14OB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14，34.设OA →，OC →的夹角为θ，θ∈[0，π]，则cos θ＝OA →·OC →|OA →||OC →|＝1412＝12，所以θ＝π3.答案 π312.(2016·苏北四市调研)平行四边形ABCD 中，已知AB ＝4，AD ＝3，∠BAD ＝60°，点E ，F 分别满足AE →＝2ED →，DF →＝FC →，则AF →·BE →＝________.解析 依题意得AF →＝AD →＋DF →＝AD →＋12AB →，BE →＝AE →－AB →＝23AD →－AB →，AF →·BE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →＋12AB →·⎝ ⎛⎭⎪⎫23AD →－AB →＝23AD →2－12AB →2－23AD →·AB →＝23×32－12×42－23×3×4cos 60°＝－6.13.(2015·某某期末)如图，圆O 的内接△ABC 中，M 是BC 的中点，AC ＝3.若AO →·AM →＝4，则AB ＝________.解析 如图，延长AO 交圆于D ，连接BD ，CD ，则∠ABD ＝∠ACD ＝90°.AO →·AM →＝AO →·12(AB →＋AC →)＝12|AO →||AB →|cos ∠BAD ＋12|AO →||AC →|·cos∠CAD ＝14(|AB →||AD →|cos ∠BAD ＋|AC →||AD →|·cos ∠CAD )＝14(|AB →|2＋|AC →|2)＝4，得|AB →|2＝7，即AB ＝7. 答案714.(2015·某某三模)在平面直角坐标系xOy 中，设A ，B ，C 是圆x 2＋y 2＝1上相异三点，若存在实数λ，μ，使得OC →＝λOA →＋μOB →，则λ2＋(μ－3)2的取值X 围是________. 解析 设向量OA →与OB →的夹角为θ，则由OC →＝λOA →＋μOB →得λ2＋2λμcos θ＋μ2＝1，从而由|cos θ|<1得－1<1－λ2－μ22λμ<1，即⎩⎪⎨⎪⎧λ＋μ>1，|λ－μ|<1. 作出如图所示的可行域，则λ2＋(μ－3)2表示点(0，3)到这一区域上点的距离的平方，又点(0，3)到直线λ－μ＋1＝0的距离的平方为⎝ ⎛⎭⎪⎫|0－3＋1|22＝2，所以λ2＋(μ－3)2的取值X 围是(2，＋∞).答案 (2，＋∞)15.已知点P (0，－3)，点A 在x 轴上，点Q 在y 轴的正半轴上，点M 满足PA →·AM →＝0，AM →＝－32MQ →，当点A 在x 轴上移动时，求动点M 的轨迹方程. 解 设M (x ，y )为所求轨迹上任一点， 设A (a ，0)，Q (0，b )(b >0)，则PA →＝(a ，3)，AM →＝(x －a ，y )，MQ →＝(－x ，b －y )， 由PA →·AM →＝0，得a (x －a )＋3y ＝0.① 由AM →＝－32MQ →，得(x －a ，y )＝－32(－x ，b －y )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32x ，32（y －b ）， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x －a ＝32x ，y ＝32y －32b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－x 2，b ＝y3.∴b >0，∴y >0，把a ＝－x2代入①，得－x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋x 2＋3y ＝0，整理得y ＝14x 2(x ≠0).所以动点M 的轨迹方程为y ＝14x 2(x ≠0).16.(2015·某某、某某调研)在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知向量a ＝ (2，1)，A (1，0)，B (cos θ，t ).(1)若a ∥AB →，且|AB →|＝5|OA →|，求向量OB →的坐标； (2)若a ∥AB →，求y ＝cos 2θ－cos θ＋t 2的最小值. 解 (1)∵AB →＝(cos θ－1，t )，又a ∥AB →，∴2t －cos θ＋1＝0.∴cos θ－1＝2t .① 又∵|AB →|＝5|OA →|，∴(cos θ－1)2＋t 2＝5.② 由①②得，5t 2＝5，∴t 2＝1.∴t ＝±1.当t ＝1时，cos θ＝3(舍去)，当t ＝－1时，cos θ＝－1， ∴B (－1，－1)，∴OB →＝(－1，－1).(2)由(1)可知t ＝cos θ－12，∴y ＝cos 2θ－cos θ＋（cos θ－1）24＝54cos 2θ－32cos θ＋14＝54⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2θ－65cos θ＋14＝54⎝⎛⎭⎪⎫cos θ－352－15，∴当cos θ＝35时，y min ＝－15.17.(2015·潍坊模拟)已知函数f (x )＝sin x ＋cos x . (1)求函数y ＝f (x )在x ∈[0，2π]上的单调递增区间；(2)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知m ＝(a ，b )，n ＝(f (C )，1)，且m ∥n ，求B .解 (1)f (x )＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，令2k π－π2≤x ＋π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，得2k π－3π4≤x ≤2k π＋π4(k ∈Z )，令k ＝0，得－3π4≤x ≤π4，令k ＝1，得5π4≤x ≤9π4，又∵x ∈[0，2π]，∴f (x )在[0，2π]上的单调递增区间为[0，π4]，[5π4，2π].(2)由题意f (C )＝sin C ＋cos C ，∵m ∥n ，∴a ·1－f (C )·b ＝0，即a ＝b (sin C ＋cos C )，由正弦定理a sin A ＝bsin B ，得sin A ＝sin B (sin C ＋cos C )＝sin B sin C ＋sin B cos C . 在△ABC 中，sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ， ∴sin B sin C ＝cos B sin C . 又sin C ≠0，∴sin B ＝cos B ， ∴tan B ＝1，又∵0＜B ＜π，∴B ＝π4.18.(2015·某某期中)设在平面上有两个向量a ＝(cos α，sin α)(0°≤α<360°)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32. (1)求证：向量a ＋b 与a －b 垂直；(2)当向量3a ＋b 与a －3b 的模相等时，求α的大小.(1)证明 因为(a ＋b )·(a －b )＝|a |2－|b |2＝(cos 2α＋sin 2α)－⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋34＝0，故a ＋b 与a －b 垂直.(2)解 由|3a ＋b |＝|a －3b |，两边平方得 3|a |2＋23a ·b ＋|b |2＝|a |2－23a ·b ＋3|b |2， 所以2(|a |2－|b |2)＋43a ·b ＝0. 而|a |＝|b |，所以a ·b ＝0， 则⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×cos α＋32sin α＝0， 即cos(α＋60°)＝0，所以α＋60°＝k ·180°＋90°， 即α＝k ·180°＋30°，k ∈Z ， 又因为0°≤α<360°， 所以α＝30°或α＝210°.19.(2016·某某、某某模拟)已知向量m ＝(cos x ，－1)，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3sin x ，－12，函数f (x )＝(m ＋n )·m .(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)已知a ，b ，c 分别为△ABC 内角A ，B ，C 的对边，A 为锐角，a ＝1，c ＝3，且f (A )恰是函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值，求A ，b 和△ABC 的面积.解 (1)f (x )＝(m ＋n )·m ＝cos 2x ＋3sin x cos x ＋32＝1＋cos 2x 2＋32sin 2x ＋32＝12cos 2x ＋32sin 2x ＋2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋2.因为ω＝2，所以最小正周期T ＝2π2＝π.(2)由(1)知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋2， 当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，π6≤2x ＋π6≤7π6.由正弦函数图象可知，当2x ＋π6＝π2时，f (x )取得最大值3，又A 为锐角，所以2A ＋π6＝π2，A ＝π6.由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得1＝b 2＋3－2×3×b ×cos π6，所以b ＝1或b ＝2，经检验均符合题意.从而当b ＝1时，△ABC 的面积S ＝12×3×1×sin π6＝34；当b ＝2时，S ＝12×3×2×sin π6＝32.20.(2016·某某模拟)已知向量OA →＝(λcos α，λsin α)(λ≠0)，OB →＝(－sin β， cos β)，其中O 为坐标原点.(1)若β＝α－π6，求向量OA →与OB →的夹角；(2)若|AB →|≥2|OB →|对任意实数α，β恒成立，某某数λ的取值X 围. 解 (1)设向量OA →与OB →的夹角为θ， 则cos θ＝OA →·OB→|OA →|·|OB →|＝λsin （α－β）|λ|＝λ2|λ|，当λ＞0时，cos θ＝12，θ＝π3；当λ＜0时，cos θ＝－12，θ＝2π3.故当λ＞0时，向量OA →与OB →的夹角为π3；当λ＜0时，向量OA →与OB →的夹角为2π3.(2)|AB →|≥2|OB →|对任意的α，β恒成立，即(λcos α＋sin β)2＋(λsin α－cos β)2≥4对任意的α，β恒成立， 即λ2＋1＋2λsin(β－α)≥4对任意的α，β恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＞0，λ2－2λ＋1≥4或⎩⎪⎨⎪⎧λ＜0，λ2＋2λ＋1≥4， 解得λ≥3或λ≤－3.故所某某数λ的取值X 围是(－∞，－3]∪[3，＋∞).另法一 由λ2＋1＋2λsin(β－α)≥4对任意的α，β恒成立，可得λ2＋1－2|λ|≥4，解得|λ|≥3或|λ|≤－1(舍去)，由此求得实数λ的取值X 围；另法二 由|AB →|＝|OB →－OA →|≥||OB →|－|OA →||＝||λ|－1|，可得|AB →|的最小值为||λ|－1|，然后将已知条件转化为||λ|－1|≥2，由此解得实数λ的取值X 围.。