一元二次方程的应用 比赛 握手问题

题型一：送卡片、握手、比赛问题1.毕业之际，某校九年级数学兴趣小组的同学相约到同一家礼品店购买纪念品，每两个同学都相互赠送一件礼品，礼品店共售出礼品30件，则该兴趣小组的人数为 。

2.国庆“五一”，市工会组织篮球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），共进行了45场比赛， 这次有 队参加比赛．题型二：传播问题有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感．（1）求每轮传染中平均一个人传染了几个人？（2）如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？题型三：平均增长（下降）率问题雅安地震牵动着全国人民的心，某单位开展了“一方有难，八方支援”赈灾捐款活动．第一天收到捐款10000元，第三天收到捐款12100元．（1）如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增长率；（2）按照（1）中收到捐款的增长率速度，第四天该单位能收到多少捐款？题型四：利润问题1.种新商品每件进价为120元，商场在试销阶段发现，当每件商品售价为130元时，每天可销售70件。

当每件商品售价高于130元时，每涨价2元，日销售量就减少4件，据此规律，商场要想达到每日赚取1600元利润的目标，应涨价多少元？2.某商场试销一种成本为60元/件的T 恤，规定试销期间单价不低于成本单价，又获利不得高于40%，经试销发现，销售量y （件）与销售单价x （元/件）符合一次函数b kx y +=，且70=x 时，50=y ；80=x 时，40=y ；（1）写出销售单价x 的取值范围；（2）求出一次函数b kx y +=的解析式；（3）销售单价定为多少时，商场可获得利润500元？3.销售某种商品，根据经验，销售单价不少于30元∕件，但不超过50元∕件时，销售数量N （件）与商品单价M （元∕件）的函数关系的图象如图所示中的线段AB ． （1）求y 关于x 的函数关系式； （2）若商品的成本为20元，要想获利1200元时，那么该商品的单价应该定多少元？题型五：面积问题1.为响应市委市政府提出的建设“绿色襄阳”的号召，我市某单位准备将院内一块长30m ，宽20m 的长方形空地，建成一个矩形花园，要求在花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余的地方种植花草．如图所示，要使种植花草的面积为532m 2，那么小道进出口的宽度应为多少米？（注：所有小道进出口的宽度相等，且每段小道均为平行四边形）例2：如图，利用一面墙（墙EF 最长可利用25米），围成一个矩形花园ABCD ，与围墙平行的一边BC 上要预留3米宽的入口（如图中MN 所示，不用砌墙），用砌46米长的墙的材料，当矩形的长BC 为多少米时，矩形花园的面积为299平方米．例3：在一块长16m 、宽12m 的矩形荒地上，要建一个花园，并使花园所占面积为荒地面积的一半． （1）如果如图①所示设计，并使花园四周小路宽度都相等，那么小路的宽是多少？ （2）如果如图①所示设计，并使小路宽度都相等，那么小路的宽是多少？题型六:根的判别式对比练习:例1:已知关于x 的一元二次方程x 2-2kx+12k 2-2=0.求证:不论k 为何值,方程总有两不相等实数根.例2:已知一元二次方程2-40x x k +=有两个不相等的实数根。

一元二次方程应用握手问题送卡片问题数论问题专练教师版命题人：潘五洲一、1. 题文某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念,全班共送1035张照片,如果全班有x名同学,根据题意,列出方程为A．xx+1=1035 B．xx-1=1035C．xx+1=1035 D．xx-1=1035答案：答案B解析试题分析：如果全班有x名同学,那么每名同学要送出x-1张,共有x名学生,那么总共送的张数应该是xx-1张,即可列出方程．∵全班有x名同学,∴每名同学要送出x-1张；又∵是互送照片,∴总共送的张数应该是xx-1=1035．故选B考点：由实际问题抽象出一元二次方程．2. 题文摄影兴趣小组的学生,将自己拍摄的照片向本组其他成员各赠送一张,全组共互赠了182张,若全组有x名学生,则根据题意列出的方程是A．B．C．D．答案：答案B．解析试题分析：设全组有名同学,则每名同学所赠的标本为：件,那么名同学共赠：件,所以, ．故选B．考点：由实际问题抽象出一元二次方程．3. 题文有一人患了流感,经过两轮传染后共有100人患了流感,那么每轮传染中,平均一个人传染的人数为．A．8人B．9人C．10人D．11人答案：答案B解析试题分析：设每轮传染中平均一个人传染的人数为x人,第一轮过后有1+x个人感染,第二轮过后有1+x+x1+x个人感染,那么由题意可知1+x+x1+x=100,整理得,,解得x=9或-11, x=-11不符合题意,舍去．那么每轮传染中平均一个人传染的人数为9人．故选B．考点：一元二次方程的应用．4. 题文要组织一次排球邀请赛,参赛的每两个队之间都要比赛一场,根据场地和时间等条件,赛程计划安排7天,每天安排4场比赛．设比赛组织者应邀请个队参赛,则满足的关系式为A．B．C．D．答案：答案B．解析试题分析：每支球队都需要与其他球队赛场,但2队之间只有1场比赛,所以可列方程为：．故选B．考点：由实际问题抽象出一元二次方程．5. 若一个数和它的一半的平方和等于5,则这个数是A.2B.-2C.2或-2D.以上都不对答案：思路解析：依据条件列方程即可求解.设这个数为x,可列方程x 2 + 2 =5.解得x=±2.答案：C6. 若某三个连续偶数的平方和等于56,则这三个数是A.2、4、6B.4、6、8C.-6、-4、-2或2、4、6D.-8、-6、-4或4、6、8答案：思路解析：设中间的偶数为x,然后列方程得x-2 2 +x 2 +x+2 2 =56.解得x=±4,所以这三个数分别为-6、-4、-2或2、4、6,由于此题为选择题也可以直接验证选项. 答案：C7. 两个正数的差是2,它们的平方和是52,则这两个数是A.2和4B.6和8C.4和6D.8和10答案：思路解析：常规题型可直接列方程求解.设较小的正数为x,较大的为x+2,则x 2 +x+2 2 =52,x 1 =4,x 2 =-6舍去.故所求的两个正数为4,6.答案：C8. 如果两个连续偶数的积为288,那么这两个数的和等于A.34B.-34C.35或-35D.34或-34答案：思路解析：两个连续偶数差2,设较小的数为x,较大的为x+2,则x+2x=288.解方程即可.答案：D二、填空题9. 题文要组织一次排球邀请赛,参赛的每两个各队之间都要比赛一场,根据场地和时间等条件,赛程计划安排7天,每天安排4场比赛,比赛组织者应邀请多少个队参赛若设应邀请x各队参赛,可列出的方程为_________．答案：答案xx-1=28．解析试题分析：关系式为：球队总数×每支球队需赛的场数÷2=4×7,把相关数值代入即可．试题解析：每支球队都需要与其他球队赛x-1场,但2队之间只有1场比赛,所以可列方程为：xx-1=28．考点：由实际问题抽象出一元二次方程．10. 题文若两数和为-7,积为12,则这两个数是 .答案：答案3和4解析试题分析：设其中的一个数为x,则另一个是7x,根据“积为12”可得x7x=12,解方程即可求解．设其中的一个数为x,则另一个是7x,根据题意得x7x=12,解得x=3或x=4,那么这两个数就应该是3和4．考点：一元二次方程的应用．11. 题文在一次同学聚会时,大家一见面就相互握手;有人统计了一下,大家一共握了45次手,参加这次聚会的同学共有多少人若参加聚会有名同学,可列方程 ;答案：答案解析试题分析：设参加聚会的同学共有x人,根据大家一见面就互相握手,有人统计了一下,大家一共握了45次手,从而可列出方程．考点：由实际问题抽象出一元二次方程12. 题文某班师生十年后再次聚会,见面时相互握手一次,共握手820次,问原来班级师生人.答案：答案41．解析试题分析：设这次参加聚会的同学有人,则每人应握次手,由题意得：,即：,解得：, 不符合题意舍去,所以,这次参加同学聚会的有41人．故答案为：41．考点：一元二次方程的应用．13. 题文网民小李的群里共有若干个好友,每个好友都分别给群里其他好友发送了一条消息,这样共有90条消息,设小李的群里共有好友个,可列方程为: ．答案：答案解析试题分析：设有x个好友,依题意,xx1=90,故答案为：xx1=90考点:由实际问题抽象出一元二次方程14. 某两位数的十位数字是方程x 2 －8x=0的解,则其十位数字是 .答案：思路解析：不要忽视对所求方程解的分析.解方程x 2 －8x=0,得x 1 =0,x 2 =8,由于两位数的十位数字不能为0,∴x=0舍去.∴十位数字为8.答案：815. 某次足球赛中,每两个足球队之间要进行一场主场和一场客场比赛,共有20场比赛,则这次足球比赛共有_________支足球队参加.答案：5点拨：设共有x 支足球队参加.依题意可列方程: x x －1＝20.解得x ＝5.16. 有一两位数,其个位和十位数字之和是14,交换数字位置后,得到的新的两位数比原两位数大18,则原两位数为____________.答案：思路解析：这类与多位数有关的问题,不可直接设“元”,间接设数位上的数字为宜.设个位上的数字为x,则十位上的数字为14-x,于是有10x+14-x=1014-x+x+18.解得x=8.故该两位数为68.答案：68三、解答题17. 题文为了满足铁路交通的快速发展,安庆火车站从去年开始启动了扩建工程,其中某项工程,甲队单独完成所需时间比乙队单独完成所需时间多5个月,并且两队单独完成所需时间的乘积恰好等于两队单独完成所需时间之和的6倍．求甲、乙两队单独完成这项工程各需几个月答案：答案甲队单独完成这项工程需要15个月,乙队单独完成这项工程需要10个月．解析试题分析：设甲队单独完成这项工程需要x个月,则乙队单独完成这项工程需要x5个月,根据两队单独完成所需时间的乘积恰好等于两队单独完成所需时间之和的6倍建立方程求出其解即可．试题解析：设甲队单独完成这项工程需要x个月,则乙队单独完成这项工程需要x5个月,由题意,得xx5=6x+x5,解得：x 1 =2舍去,x 2 =15．∴乙队单独完成这项工程需要155=10个月答：甲队单独完成这项工程需要15个月,乙队单独完成这项工程需要10个月．考点：一元二次方程的应用．18. 题文要组织一场篮球赛,每两队之间都赛一场单循环赛计划安排15场比赛求应邀请多少个球队参赛 6分答案：答案6．解析试题分析：设邀请x个球队参加比赛,那么第一个球队和其他球队打x1场球,第二个球队和其他球队打x2场,以此类推可以知道共打1+2+3+…+x1场球,然后根据计划安排15场比赛即可列出方程求解．试题解析：设邀请x个球队参加比赛,依题意得：,∴, ∴x=6或x=5不合题意,舍去．答：应邀请6个球队参加比赛．考点：1．一元二次方程的应用；2．比赛问题．19. 象棋比赛中,每个选手与其他选手将比赛一场,每局胜者记2分,败者记0分,如果平局,每人各记1分,今有4 位同学统计了比赛中全部选手得分的总和分别为2025,2070,2080,2085分,经核实,其中只有一位同学是正确的,试求这次比赛中共有多少名选手参加答案：46名本题考查了一元二次方程的应用；得到局数是解决本题的难点；判断出相应的分数是解决本题的易错点．每局的得分均为2分,2人的比赛只有一局；局数= ×选手数×选手数-1；等量关系为：2×局数=所得分数,根据所得分数应是2的倍数可舍去2025,2085,把剩下的分数代入看哪个有整数解即可．解：设这次比赛中共有x名选手参加．易得分数一定不是2025,2085,2××xx-1=2070,解得x1=46,x2=-45不合题意,舍去∵只有一位同学是正确的,∴正确的分数是2070,共有46名选手参加比赛．20. 在解一元二次方程时,粗心的甲、乙两位同学分别抄错了同一道题,甲抄错了常数项,得到的两根分别是8和2;乙抄错了一次项系数,得到的两根分别是-9和-1.你能找出正确的原方程吗若能,请你用配方法求出这个方程的根.答案：x2-10x+9=0；x1=9,x2=1 本题主要考查了根与系数的关系及用配方法解一元二次方程. 先设这个方程的两根是α、β,由于乙把一次项系数看错了,而解得方程的两根为-9和-1,则有αβ= =9,甲把常数项看错了,解得两根为8和2,则有α+β=- =10,令a=1,那么关于α、β的一元二次方程即为所求．解：设此方程的两个根是α、β,根据题意得：α+β=-=10,αβ==9,令a=1,那么关于α、β的一元二次方程是x2-10x+9=0．x2-10x+9=x-52-25+9=0,故x-52=16,解得：x=9或x=1,故方程两根为：9,1．21. 某种电脑病毒传播非常快,如果一台电脑被感染,经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析,每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑若病毒得不到有效控制,3轮感染后,被感染的电脑会不会超过700台答案：解：设每轮感染中平均每一台电脑会感染x台电脑,依题意,得1＋x＋1＋xx＝81.1＋x 2 ＝81.x＋1＝9或x＋1＝－9.x 1 ＝8,x 2 ＝－10舍去．1＋x 3 ＝1＋8 3 ＝729＞700.答：每轮感染中平均每一台电脑会感染8台电脑,3轮感染后,被感染的电脑会超过700台．22. 解方程x 2 +bx+c=0时,甲看错了b,解得两根为－1与6；乙看错了c,解得两根为－3与4,求原来的两根.答案：略23. 三个连续整数两两相乘后相加得431,求这三个数.答案：思路分析：此题关键是依据所设写出另两个数的表达式,再列方程求解.解：设三个连续整数中间的一个数为x,则另外两个数分别为x-1、x+1,依题意,得xx-1+xx+1+x+1x-1=431.解这个方程得x 1 =12,x 2 =-12.x=12时,x-1=11,x+1=13.x=-12时,x-1=-13,x+1=-11.所以三个连续整数为11,12,13或-13,-12,-11.24. 一个两位数,等于它的个位上数的2倍的平方,且个位上的数比十位上的数小2,求这个两位数.答案：思路分析：涉及到多位数问题,要注意通过数位上的元写出该多位数的正确形式. 解：设个位上的数为x,则十位上的数为x＋2,∴10x+2+x=2x 2 .∴4x 2 -11x-20=0.∴x 1 =4,x=- 舍. ∴这个两位数为64.。

九上数学| 一元二次方程实际应用的基本类型【知识回顾】列方程解实际应用题的步骤：①审题仔细审题，找出题目中的等量关系。

②设未知数根据问题与等量关系直接或间接设未知数。

③列方程根据等量关系与未知数列出一元二次方程。

④解方程按照解方程的步骤解一元二次方程。

⑤答检验方程的解是否满足实际情况，然后作答。

一元二次方程实际应用的基本类型：①【传播问题】计算公式原病例数×（1＋传播数）传播轮数＝总病例数。

②【握手（比赛）问题】计算公式单循环：n（n+1）/2＝总数；双循环：n（n+1）＝总数。

（n表示参与数量）③【数字问题】一个十位数可表示为：10×十位上的数字＋个位上的数字；一个百位数可表示为：100×百位上的数字＋10×十位上的数字＋个位上的数字。

以此类推。

④【平均增长率（下降率）问题】计算公式原数×（1＋增长率）增长轮数＝总数；原数×（1－下降率）下降轮数＝总数；⑤【商品销售问题】基本等量关系：总利润＝单利润×数量；现单利润＝原单利润＋涨价部分（－降价部分）；现数量＝原数量－涨价部分/涨价基数×变化基数（原数量+降价部分/降价基数×变化基数）；⑥【图形面积问题】利用勾股定理建立一元二次方程。

利用面积公式建立二元一次方程。

【预习专练】【一】受国际油价影响，今年我国汽油价格总体呈上升趋势．某地92号汽油价格三月底是6.2元/升，五月底是8.9元/升．设该地92号汽油价格这两个月平均每月的增长率为x，根据题意列出方程，正确的是（A）A．6.2（1+x）2＝8.9B．8.9（1+x）2＝6.2C．6.2（1+x2）＝8.9D．6.2（1+x）+6.2（1+x）2＝8.9【分析】利用该地92号汽油五月底的价格＝该地92号汽油三月底的价格×（1+该地92号汽油价格这两个月平均每月的增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．解：依题意得6.2（1+x）2＝8.9.【二】某厂家今年一月份的口罩产量是30万个，三月份的口罩产量是50万个，若设该厂家一月份到三月份的口罩产量的月平均增长率为x．则所列方程为（A）A．30（1+x）2＝50 B．30（1﹣x）2＝50 C．30（1+x2）＝50 D．30（1﹣x2）＝50 【分析】若设该厂家一月份到三月份的口罩产量的月平均增长率为x，某厂家今年一月份的口罩产量是30万个，则二月份的口罩产量是30（1+x）万个，三月份的口罩产量是30（1+x）2万个，根据三月份的口罩产量是50万个，列出方程即可．解：设该厂家一月份到三月份的口罩产量的月平均增长率为x，由题意得，30（1+x）2＝50．【三】我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，则符合题意的方程是（A）A．3（x﹣1）x＝6210 B．3（x﹣1）＝6210 C．（3x﹣1）x＝6210 D．3x＝6210【分析】设这批椽的数量为x株，则一株椽的价钱为3（x﹣1）文，利用总价＝单价×数量，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．解：∵这批椽的数量为x株，每株椽的运费是3文，少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，∴一株椽的价钱为3（x﹣1）文．依题意得：3（x﹣1）x＝6210．【四】如图，小明同学用一张长11cm，宽7cm的矩形纸板制作一个底面积为21cm2的无盖长方体纸盒，他将纸板的四个角各剪去一个同样大小的正方形，将四周向上折叠即可（损耗不计）．设剪去的正方形边长为xcm，则可列出关于x的方程为（11﹣2x）（7﹣2x）＝21．【分析】根据题意和图形，可以得到裁剪后的底面的长是（11﹣2x）cm，宽为（7﹣2x）cm，然后根据长方形的面积＝长×宽，可以列出相应的方程．解：由题意可得：（11﹣2x）（7﹣2x）＝21.【五】某公司5月份的营业额为25万，7月份的营业额为36万，已知5、6月的增长率相同，则增长率为20%．【分析】设平均每月的增长率为x，根据5月份的营业额为25万元，7月份的营业额为36万元，表示出7月的营业额，即可列出方程解答．解：设平均每月的增长率为x，由题意得25（1+x）2＝36，解得x1＝0.2，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）所以平均每月的增长率为20%．【六】某网络学习平台2019年的新注册用户数为100万，2021年的新注册用户数为169万，设新注册用户数的年平均增长率为x（x＞0），则x＝30%（用百分数表示）．【分析】设新注册用户数的年平均增长率为x（x＞0），利用2019年的新注册用户数为100万×（1+平均增长率）2＝2021年的新注册用户数为169万，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．解：新注册用户数的年平均增长率为x（x＞0），依题意得：100（1+x）2＝169，解得：x1＝0.3，x2＝﹣2.3（不合题意，舍去）．0.3＝30%，∴新注册用户数的年平均增长率为30%．。

一元二次方程握手公式一元二次方程，这可是初中数学里的“大明星”！而其中的握手公式，更是解决问题的一把“利器”。

咱们先来说说啥是一元二次方程。

就像你去买糖果，老板说一颗糖x 元，你买了 5 颗，给了老板 20 元，老板得找你多少钱？这时候就可以列出一个方程：x×5 + y = 20 。

可这不是一元二次方程，一元二次方程长这样：ax² + bx + c = 0 （a≠0）。

那握手公式又是啥呢？其实它就是求根公式啦，x = [-b ± √(b² - 4ac)] / （2a）。

这公式看起来有点复杂，就像一个神秘的密码，但只要你掌握了，那解题可就轻松多啦。

我记得之前有个学生，叫小李，他刚开始学一元二次方程的时候，那叫一个头疼。

每次看到求根公式就像看到了外星文字一样，完全不知所措。

有一次做作业，遇到一道题：x² + 2x - 3 = 0 ，让用求根公式求解。

小李坐在那里抓耳挠腮半天，愣是没写出来。

我走到他身边，问他：“怎么啦，被这道题难住啦？”他苦着脸说：“老师，这求根公式我记不住啊，就算记住了也不会用。

”我笑着跟他说：“别着急，咱们一起来看看。

这道题里，a = 1，b = 2，c = -3 ，先把这些数找对，然后代入求根公式里。

”我带着他一步一步地算，先算 b² - 4ac ，也就是 2² - 4×1×（-3）= 16 。

然后再代入公式，x = [-2 ± √16] / （2×1）。

最后算出 x₁ = 1 ，x₂ = -3 。

小李眼睛一下子亮了起来，说：“老师，好像也没有那么难嘛！”从那以后，小李每次遇到一元二次方程的题，都会先试着用求根公式去解，慢慢地，他也越来越熟练了。

其实啊，握手公式就像是一把万能钥匙，不管方程长成啥样，只要它是一元二次方程，咱们都能用这把钥匙去打开解题的大门。

比如说，遇到方程 2x² - 5x + 1 = 0 ，咱们还是先找到 a = 2 ，b = -5 ，c = 1 ，然后算 b² - 4ac = （-5）² - 4×2×1 = 17 。

段老师九年级暑假培优课堂 ：一元二次方程应用题（三） 一、循环赛问题（握手问题）例1.2条直线相交，最多只有1个交点；3条直线相交，最多有3个交点；……；求n 条直线相交，最多有多少个交点？例2、参加一个足球联赛的每两队之间都进行两次比赛，共要比赛90场，共有多少个队参加比赛？例3为弘扬亚运精神，九年级组织了篮球联赛，赛制为单循环形式（即每两队之间都赛一场），计划安排15场比赛，应邀请多少个球队参加比赛？请列方程解答此问题。

练习1、新年里，一个小组有若干人，若每人给小组的其它成员赠送一张贺年卡，则全组送贺卡共72张，此小组人数为（ ） A ．7 B ．8 C ．9 D ．102、在某次聚会上，每两人都握了一次手，所有人共握了10次，设有x 人参加这次聚会，则列方程正确的是（ ） A 、(1)10xx -= B 、(1)102x x -= C 、(1)10xx += D 、(1)102x x += 二、传播问题例4.有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？ 分析：每轮传染中平均一个人传染了x 个人，那么有如下表格（表格分析法较直观）例5..某种植物的主干长出若干树木的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干、和小分支的总数是91，每个支干长出多少小分支？传染源 传染人数第0轮 1第1轮 x第2轮1+x练习1、有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了x 个人，则可列方程（ ）A 、(1)121xx x ++=B 、1(1)121x x ++=C 、2(1)121x += D 、(1)121x x += 2.某种植物的主干长出若干相同数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支， 主干、支干和小分支的总数是73，求每个支干又长出多少小分支？如果设每个支干又长出x 个小分支，那么依题意可得方程为 .三、增长率问题例6、为迎接”2011李娜和朋友们国际网球精英赛”，某款桑普拉斯网球包原价168元，连续两次降价a %后售价为128元，下列所列方程中正确的是 A.12%)1(1682=+a B.12%)1(1682=-a C.12%)21(168=-a D.12%)1(1682=-a 例7、2010年“十一”期间，武汉市接待游客人数达204.83万人次，比去年同期增长22.46%，下列说法：①2009年“十一”期间的旅游人次为204.83(122.46%)⨯-万；②2009年“十一”期间的旅游人次为%46.22183.204+万；③若按相同的增长率计算，2012年“十一”期间的的旅游人次将达到2%)46.221(83.204+⨯万；④若2011年“十一”期间的人次比2010年同期减少22.46%，那么2011年与2009年“十一”期间的旅游人次相同，其中正确结论的个数为（ ）A 、1B 、2C 、3D 、4例8.为了应对市场竞争，某手生产厂计划用两年的时间把某种型号的手机的生产成本降低64%，若每年下降的百分数相同，求这个百分数。

握手问题常常可以用一元二次方程来解决。

以下是一个常见的握手问题的例子：
在一个聚会上，每个人与其他每个人只握手一次，如果总共发生了56次握手，那么聚会中有多少人？
解题步骤：
设聚会中有x个人。

每个人都会与其他(x-1)个人握手（因为自己不会与自己握手）。

因此，总的握手次数可以表示为x个人每人与(x-1)个人握手的总和，但这样每个握手都被计算了两次（一次从握手的发起者角度，一次从握手的接收者角度），所以需要除以2。

所以，我们可以建立以下一元二次方程：
握手次数 = (x * (x-1)) / 2
根据题目，我们知道握手次数为56，所以我们可以将这个数值代入方程：
56 = (x * (x-1)) / 2
接下来，我们解这个一元二次方程：
112 = x * (x-1)
展开：
112 = x^2 - x
移项，得到一元二次方程的标准形式：
x^2 - x - 112 = 0
这是一个一元二次方程，可以使用求根公式或者因式分解等方式来解。

在这个例子中，我们可以尝试因式分解：
x^2 - x - 112 = (x-16)(x+7) = 0
所以，x = 16 或 x = -7。

由于人数不能为负数，所以聚会中有16人。

专题04握手问题、传染问题、平均增长率、图形问题【1】握手问题解题技巧：有2种类型（1）重叠类型：n支球队互相之间都要打一场比赛，总共比赛场次为m。

∵1支球队要和剩下的（n－1）支球队比赛，∴1支球队需要比（n－1）场∵存在n支这样的球队，∴比赛场次为：n（n－1）场∵A与B比赛和B与A比赛是同一场比赛，∴上述求法有重叠部分∴m=12n（n−1）（2）不重叠类型：n支球队，每支球队要在主场与所有球队各打一场，总共比赛场次为m。

∵1支球队要和剩下的（n－1）支球队比赛，∴1支球队需要比（n－1）场∵存在n支这样的球队，∴比赛场次为：n（n－1）场∵A与B比赛在A的主场，B与A比赛在B的主场，不是同一场比赛，∴上述求法无重叠∴m=n（n−1）【2】传染问题解题技巧：有2种类型（1）个体传播一轮后，依旧传染。

设a为传播前基础人数，b为传播后的人数，n为传播的轮次，p为传播过程中，平均一人传染的人数。

发现规律：传播人数：b=a（1+p）n，与增长率问题公式一致。

见例1.【3】平均增长率问题解题技巧：设a为增长（下降）基础数量，b为增长（下降）后的数量，n为增长（下降）的次数，p为增长（下降）率。

2a（1±p）a（1±p）p a（1±p）±a（1±p）p=a（1±p）23a（1±p）2a（1±p）2p a（1+p）2±a（1±p）2x=a（1±p）3发现规律：①增长时：b=a（1+p）n；②减少时：b=a（1−p）n注：①本章考察一元二次方程，通常增长（下降）次数n为2；②通常设增长（下降）率为x；③例求解得x=0.1，则表示增长（下降）10%。

【4】图形问题解题技巧：解决面积问题的关键是把实际问题数学化，把实际问题中的已知条件与未知条件归结到某一个几何图形中，然后按照几何图形的面积公式列写等式方程，使问题得以解决。

一元二次方程中握手问题的公式一元二次方程是初中数学中的重要内容，它在实际生活中有着广泛的应用。

而“握手问题”则是一种常见的数学问题，它与一元二次方程密切相关。

本文将针对一元二次方程中握手问题的公式进行详细的探讨和解析。

一、握手问题的背景介绍在一个场合中，当所有人两两握手一次后，共有多少次握手呢？这就是常见的握手问题。

假设在该场合中共有n个人，那么每个人都需要与其他n-1个人握手一次，所以每个人的握手次数为n-1次。

然而，由于每次握手都同时给两个人增加了一次握手次数，因此整个场合中的握手次数将是每个人握手次数的总和的一半。

二、握手问题的数学建模为了更方便地解决握手问题，我们可以采用一元二次方程来进行数学建模。

假设握手问题中共有n个人，每个人都与其他人握手一次。

那么整个场合中的握手次数可以表示为：S = 1 + 2 + 3 + ... + (n-1) (式1)其中，S表示握手总次数，等号右边的表达式为每个人握手的次数逐个相加的结果。

三、一元二次方程的求解为了解决式1中的求和问题，我们可以利用一元二次方程的求解公式。

将式1中的求和表达式进行变形，得到：S = (n-1) + (n-2) + (n-3) + ... + 1 (式2)假设式1和式2中的S值相等，我们将它们相加，得到：2S = n + n + n + ... + n (式3)式3中的n出现了n-1次，所以2S可以简化为：2S = n(n-1) (式4)将式4两边同时除以2，可得：S = n(n-1)/2 (式5)四、握手问题的公式解释通过推导，我们发现握手问题的总次数S可以用一元二次方程的形式表示为n(n-1)/2。

其中，n代表场合中的人数。

这个公式可以直接计算出握手问题的答案，省去了逐个相加的麻烦过程。

五、握手问题的实际应用握手问题的公式在实际生活中有着广泛的应用。

例如，有一间教室里有20个人，他们相互之间握手一次，那么握手次数可以通过公式计算得到：S = 20(20-1)/2 = 190故该教室中共有190次握手。

一元二次方程应用题典型题型归纳This manuscript was revised by the office on December 22, 2012一元二次方程应用题典型题型归纳（一）传播与握手问题1.有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了个人。

2.某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出小分支。

3.参加一次足球联赛的每两队之间都进行一场比赛，共比赛45场比赛，共有个队参加比赛。

4.参加一次足球联赛的每两队之间都进行两次比赛，共比赛90场比赛，共有个队参加比赛。

5.生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了182件，这个小组共有多少名同学？6.7.一个小组有若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡72张，这个小组共有多少人？8.9.某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？（二）平均增长率问题变化前数量×（1 x）n＝变化后数量1.青山村种的水稻2001年平均每公顷产7200公斤，2003年平均每公顷产8450公斤，水稻每公顷产量的年平均增长率为。

2.某种商品经过两次连续降价，每件售价由原来的90元降到了40元，求平均每次降价率是。

3.某种商品，原价50元，受金融危机影响，1月份降价10％，从2月份开始涨价，3月份的售价为64.8元，求2、3月份价格的平均增长率。

4.某药品经两次降价，零售价降为原来的一半，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率？5. 恒利商厦九月份的销售额为200万元，十月份的销售额下降了20%，商厦从十一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了193.6万元，求这两个月的平均增长率.（三）商品销售问题售价—进价=利润单件利润×销售量=总利润单价×销售量=销售额1.某商店购进一种商品，进价30元．试销中发现这种商品每天的销售量P(件)与每件的销售价X(元)满足关系：P=100-2X销售量P，若商店每天销售这种商品要获得200元的利润，那么每件商品的售价应定为多少元每天要售出这种商品多少件2.3.某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，每日最高产量为４０只，且每日产出的产品全部售出，已知生产ⅹ只熊猫的成本为Ｒ（元），售价每只为Ｐ（元），且Ｒ、Ｐ与x的关系式分别为R=500+30X，P=170—2X。

一元二次方程的应用二教学内容1、比赛问题：解决此类问题的关键是分清单循环和双循环 ．2、传播问题： (1)na x A ，a 表示传染前的人数，x 表示每轮每人传染的人数，n 表示传染的轮数或天数，A 表示最终的人数．【例1】 某次会议中，参加的人员每两人握一次手，共握手190次，求参加会议共有多少人．【例2】 某实验室需要培养一群有益菌，现有60个活体样本，经过两轮培植后，总和达到24000个，其中每个益生菌一次可以分裂出若干个相同数目的有益菌．求每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出多少个有益菌?知识精讲模块一：传播问题例题解析【例3】我们知道传销能扰乱一个地方的正常的经济秩序，是国家法律明令禁止的，如图是某传销公司的发展模式，该传销模式经两轮发展后，共有传销人员111名，问该传销公司要求每人发展多少名下家?模块二：利率、利润问题知识精讲1、利率问题基本公式：利息=本金*利率*期数2、利润问题基本公式：单件利润=售价-成本；利润=（售价-成本）*销售的件数．例题解析【例7】利达经销店为某工厂代销一种建筑材料（这里的代销是指厂家先免费提供货源，待货物售出后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）．当每吨售价为260元时，月销售量为45吨．该经销店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销．经市场调查发现：当每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7.5吨．综合考虑各种因素，每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用100元．（1）当每吨售价是240元时，计算此时的月销售量；（2）在遵循“薄利多销”的原则下，问每吨材料售价为多少时，该经销店的月利润为9000元．（3）小静说：“当月利润最大时，月销售额也最大．”你认为对吗？请说明理由．模块三：面积问题知识精讲1、面积问题：判断清楚要设的未知数是关键点，找出题目中的等量关系，列出方程．例题解析【例8】一个长方形的对角线长的是10，面积是48，长方形的周长是________．传播问题1、动态几何类问题：（1）若动态图形比较特殊，思考用基本几何图形的面积公式找等量关系列方程或函数关系式； （2）如动态图形不特殊，则思考用组合图形的面积和差找等量关系列方程或函数关系式【例12】 在矩形ABCD 中，AB =9cm ，BC =15cm ，点P 从点A 开始以3cm /s 的速度沿AB 边向点B 移动，点Q 从点B 开始以cm /s 的速度5沿BC 边向点C 移动，如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，当点Q 运动到点D 时，P 、Q 两点同时停止运动，试求△PQD 的面积S 与P 、Q 两个点运动的时间t 之间的函数关系式 ．模块五：动态几何类问题知识精讲 例题解析A BCDP Q【例13】 有一边为8cm 的正方形ABCD 和等腰三角形PQR ，PQ ＝PR ＝5cm ，QR ＝52cm ，点B 、C 、Q 、R 在同一直线l 上，当C 、Q 两点重合时，等腰三角形PQR 以1cm /s 的速度沿直线l 按箭头方向匀速运动，t 秒后正方形ABCD 与等腰三角形PQR 重合部分的面积为5，求时间t ．【例14】 已知竖直上抛物体离地高度h （米）和抛出瞬间的时间t （秒）的关系是2012hv tgt ，0v 是抛出时的瞬时速度，常数g 取10米/秒2．一枚爆竹以0v =30米/秒的速度从地面上升，试求： （1） 隔多少时间爆竹离地面高度是25米? （2） 多少时间以后爆竹落地?模块六：其他类问题例题解析ABCDPQRL【例15】象棋比赛中，每个选手都与其他选手恰好比赛一局，每局赢者记2分，输者记0分．如果平局，两个选手各记1分，有四个同学统计了比赛中全部选手的得分总数，分别是1979，1980，1984，1985.经核实，有一位同学统计无误，其他三名同学均有错误.试计算这次比赛共有多少个选手参加．【例16】一个容器内乘有60升纯酒精，倒出若干升后用水加满，第二次倒出比第一次多14升的溶液，再用水加满．这时容器内纯酒精和水正好各占一半，问第一次倒出了多少的纯酒精?随堂检测【习题1】小华勤工俭学挣的100元钱按一年期存入银行，到期后取出50元来购买学习用品，剩下的50元和所得的利息又全部按一年定期存入银行，若存款的年利率又下调到原来的一半，这样到期后可得本息和为63元，求第一次存款的年利率（不计利息税）【习题2】 某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若每千克50元销售，一个月能售出500kg ，销售单价每涨1元，月销售量就减少10kg ，针对这种水产品情况，请解答以下问题： （1）当销售单价定为每千克55元时，计算销售量和月销售利润． （2）设销售单价为每千克x 元，月销售利润为y 元，求y 与x 的关系式．（3）商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应为多少．【习题3】 如图，用总长为54米的篱笆，在一面靠墙的空地上围成由八个小矩形组成的矩形花圃ABCD ，并使面积为72平方米，求AB 和BC 的长．【习题4】 一个容器盛满纯药液63L ，第一次倒出一部分纯药液后用水加满，第二次又倒出同样多的药液，再加水补满，这时容器内剩下的纯药液是28L ，设每次倒出液体xL ，求每次倒出的药液量．A B CD【习题5】 某商场礼品柜台春节期间购进甲、乙两种贺年卡，甲种贺年卡平均每天可售出500张，每张盈利0.3元，乙种贺年卡平均每天可售出200张，每张盈利0.75元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，如果甲种贺年卡的售价每降价0.1元，那么商场平均每天可多售出100张；如果乙种贺年卡的售价每降价0.25元，那么商场平均每天可多售出40张．如果商场要想每种贺年卡平均每天盈利120元，那么哪种贺年卡每张降价的绝对量大?【习题6】 如图，Rt △ABC 中，∠B =90°，AC =10cm ，BC =6cm ，现有两个动点P 、Q 分别从点A 和点B 同时出发，其中点P 以2cm/s 的速度，沿AB 向终点B 移动；点Q 以1cm/s 的速度沿BC 向终点C 移动，其中一点到终点，另一点也随之停止．连接PQ ．设动点运动时间为x 秒． （1）用含x 的代数式表示BQ 、PB 的长度； （2）当x 为何值时，△PBQ 为等腰三角形；（3）是否存在x 的值，使得四边形APQC 的面积等于202cm ？若存在，请求出此时x 的值；若不存在，请说明理由ABCPQ【习题7】等腰直角三角形ABC 中， ∠ BAC =45°，CD ⊥ AB ，垂足为D ，CD =2，P 是AB 上的一动点(不与A 、B 重合)，且AP =x ，过点P 作直线l 与AB 垂直 ．（1） 设三角形ABC 位于直线l 左侧部分的面积为S ，写出S 与x 之间的函数关系式；（2） 当x 为何值时，直线l 将三角形ABC 的面积分成1:3的两部分．A BC D L P。