2018课标版理数一轮(7)第七章-不等式(含答案)2 第二节 一元二次不等式及其解法夯基提能作业本

第七章错误!不 等 式 第一节不等式的性质及一元二次不等式突破点（一) 不等式的性质基础联通 抓主干知识的“源"与“流”1．比较两个实数大小的方法 (1）作差法错误! (2)作商法错误! 2．不等式的基本性质性质 性质内容 特别提醒对称性 a 〉b ⇔b <a ⇔ 传递性 a 〉b ,b >c ⇒a >c ⇒ 可加性 a 〉b ⇔a ＋c 〉b ＋c ⇔可乘性 错误!⇒ac >bc 注意c 的符号错误!⇒ac 〈bc 同向可加性 错误!⇒a ＋c >b ＋d ⇒ 同向同正可乘性错误!⇒ac 〉bd 〉0 ⇒ 可乘方性 a >b 〉0⇒a n 〉b n （n ∈N ，n ≥1) a ，b 同为正数 可开方性a 〉b 〉0⇒错误!〉错误!（n ∈N ，n ≥2)3。

不等式的一些常用性质 (1）倒数的性质①a 〉b ，ab 〉0⇒错误!<错误!。

②a <0<b ⇒错误!<错误!.③a 〉b >0，0<c 〈d ⇒错误!>错误!.④0〈a 〈x 〈b 或a 〈x <b 〈0⇒错误!〈错误!〈错误!.（2)有关分数的性质若a 〉b 〉0，m >0，则：①ba <错误!；错误!>错误!（b －m >0)．②错误!>错误!;错误!<错误!（b －m 〉0）. 考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”本节主要包括2个知识点:1。

不等式的性质；2。

一元二次不等式。

比较两个数（式)的大小［例1］ （1)已知a 1,a 2∈（0,1），记M ＝a 1a 2，N ＝a 1＋a 2－1，则M 与N 的大小关系是（ ） A ．M 〈N B ．M 〉N C ．M ＝ND ．不确定（2）若a ＝ln 22，b ＝错误!，则a ________b （填“＞”或“＜”)．［解析］ (1)M －N ＝a 1a 2－（a 1＋a 2－1）＝a 1a 2－a 1－a 2＋1＝(a 1－1)(a 2－1)，又∵a 1∈(0,1)，a 2∈(0,1），∴a 1－1〈0，a 2－1〈0。

第七章不等式1.不等关系了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式(组)的实际背景．2．一元二次不等式(1)会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型．(2)通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系．(3)会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图．3．二元一次不等式组与简单线性规划问题(1)会从实际情境中抽象出二元一次不等式组．(2)了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组．(3)会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决．4．基本不等式：ab≤a＋b2(a≥0，b≥0)(1)了解基本不等式的证明过程．(2)会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．7．1 不等关系与不等式1．两个实数大小的比较(1)a＞b⇔a-b________；(2)a＝b⇔a-b________；(3)a＜b⇔a-b________.2．不等式的性质(1)对称性：a>b⇔__________；(2)传递性：a>b，b>c⇒__________；(3)不等式加等量：a>b⇔a＋c______b＋c；(4)不等式乘正量：a>b，c>0⇒__________，不等式乘负量：a>b，c<0⇒__________；(5)同向不等式相加：a>b，c>d⇒__________；※(6)异向不等式相减：a>b，c<d⇒a-c＞b-d；(7)同向不等式相乘：a>b>0，c>d>0⇒__________；※(8)异向不等式相除：a>b>0，0<c<d⇒ac＞bd；※(9)不等式取倒数：a>b，ab>0⇒1a＜1b；(10)不等式的乘方：a>b>0⇒______________；(11)不等式的开方：a>b>0⇒______________．※注：1.(5)(6)说明，同向不等式可相加，但不可相减，而异向不等式可相减；2．(7)(8)说明，都是正数的同向不等式可相乘，但不可相除，而都是正数的异向不等式可相除．自查自纠1．＞0 ＝0 ＜02．(1)b<a(2)a>c(3)> (4)ac>bc ac<bc(5)a＋c>b＋d(7)ac>bd(10)a n>b n(n∈N且n≥2)(11)na>nb(n∈N且n≥2)(2014·山东)已知实数x ，y 满足a x ＜a y(0＜a＜1)，则下列关系式恒成立的是( )A.1x 2＋1＞1y 2＋1B ．ln(x 2＋1)＞ln(y 2＋1) C ．sin x ＞sin yD ．x 3＞y 3解：根据指数函数的性质得x ＞y ，此时x 2，y 2的大小不确定，故选项A ，B 中的不等式不恒成立；根据三角函数的性质，选项C 中的不等式也不恒成立；根据不等式的性质知，选项D 中的不等式恒成立．故选D .(2016·贵州模拟)若a ，b 都是实数，则“a -b >0”是“a 2-b 2>0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解：由a -b >0得a >b ≥0，由a 2-b 2>0得a 2>b 2，即|a |＞|b |，所以“a -b >0”是“a 2-b 2>0”的充分不必要条件．故选A .(2016·贵州模拟)若c >1，0<b <a <1，则( ) A ．a c<b cB ．ba c <ab cC ．a log b c <b log a cD ．log a c <log b c解：令a ＝12，b ＝14，c ＝2，则a c <b c ，ba c <ab c，a logbc <b log a c 都不成立，所以排除A ，B ，C 选项，对于D 选项，因为log b c -log a c ＝log c a -log c blog c b ×log c a >0，所以log a c <log b c .故选D .已知a ＝27，b ＝6＋22，则a ，b 的大小关系是a ________b .解：由于a ＝27，b ＝6＋22，平方作差得a 2-b2＝28-14-83＝14-83＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫74-3＞0，从而a ＞b .故填＞.(2016·武汉模拟)已知a 1≤a 2，b 1≥b 2，则a 1b 1＋a 2b 2与a 1b 2＋a 2b 1的大小关系是________．解：a 1b 1＋a 2b 2-(a 1b 2＋a 2b 1)＝(a 1-a 2)(b 1-b 2)，因为a 1≤a 2，b 1≥b 2，所以a 1-a 2≤0，b 1-b 2≥0，于是(a 1-a 2)(b 1-b 2)≤0，故a 1b 1＋a 2b 2≤a 1b 2＋a 2b 1.故填a 1b 1＋a 2b 2≤a 1b2＋a 2b 1.类型一 建立不等关系(2015·湖北)设x ∈R ，表示不超过x 的最大整数．若存在实数t ，使得＝1，＝2，…，＝n 同．时成立．．．，则正整数n 的最大值是( ) A ．3B ．4C ．5D ．6解：因为表示不超过x 的最大整数．由＝1得1≤t <2，由＝2得2≤t 2<3，由＝4得4≤t 4<5，所以2≤t 2<5，由＝3得3≤t 3<4，所以6≤t 5<45，由＝5得5≤t 5<6，与6≤t 5<45矛盾，故正整数n 的最大值是4.故选B .【点拨】解决有关不等关系的实际问题，应抓住关键字词，例如“要”“必须”“不少于”“大于”等，从而建立相应的方程或不等式模型．本例表示不超过x 的最大整数，故由＝k ，可得k ≤x <k ＋1，再由多个不等式结合不等式的性质找到正整数n 的最大值．(2016·湖南模拟)用一段长为30 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m ，要求菜园的面积不小于108 m 2，靠墙的一边长为x m ，其中的不等关系可用不等式(组)表示为________．解：设矩形靠墙的一边长为x m ， 则另一边长为30-x 2 m ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫15-x 2 m ，根据题意知⎩⎪⎨⎪⎧0＜x ≤18，x ⎝ ⎛⎭⎪⎫15-x 2≥108. 故填⎩⎪⎨⎪⎧0＜x≤18，x ⎝ ⎛⎭⎪⎫15-x 2≥108. 类型二 不等式的性质已知下列三个不等式①ab ＞0；②c a ＞db；③bc >ad .以其中两个作为条件，余下一个作结论，则可组成几个正确命题？解：(1)对②变形c a ＞d b ⇔bc -adab＞0，由ab ＞0，bc＞ad 得②成立，所以①③⇒②.(2)若ab ＞0，bc -adab＞0，则bc ＞ad ， 所以①②⇒③. (3)若bc ＞ad ，bc -adab＞0，则ab ＞0， 所以②③⇒①.综上所述可组成3个正确命题．【点拨】运用比较法及不等式性质进行比较时要注意不等式需满足的条件，如比较ac 与bc 的大小关系应注意从c ＞0，c ＝0，c ＜0三个方面讨论．(2014·四川)若a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，则一定有( )A.a c ＞b dB.a c ＜b dC.a d ＞b cD.a d ＜b c解：由c ＜d ＜0⇒-1d ＞-1c＞0，又a ＞b ＞0，故由不等式性质，得-a d ＞-b c ＞0，所以a d ＜b c.故选D .类型三 不等式性质的应用(1)若1<α<3，-4<β<2，则α2-β的取值范围是________．解：由1＜α＜3得12＜α2＜32，由-4＜β＜2得-2＜-β＜4，所以α2-β的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫-32，112.故填⎝ ⎛⎭⎪⎫-32，112.【点拨】①需要注意的是，两同向不等式可以相加但不可以相减，所以不能直接由12＜α2＜32和-4＜β＜2两式相减来得到α2-β的范围．②此类题目用线性规划也可解．(2)已知-1＜a ＋b ＜3且2＜a -b ＜4，则2a ＋3b 的取值范围是________．解：设2a ＋3b ＝x (a ＋b )＋y (a -b )， 所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，x -y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝52，y ＝-12.所以-52＜52(a ＋b )＜152，-2＜-12(a -b )＜-1.所以-92＜52(a ＋b )-12(a -b )＜132，即-92＜2a ＋3b ＜132.故填⎝ ⎛⎭⎪⎫-92，132. 【点拨】由于a ＋b ，a -b 的范围已知，所以要求2a ＋3b 的取值范围，只需将2a ＋3b 用已知量a ＋b ，a -b 表示出来，可设2a ＋3b ＝x (a ＋b )＋y (a -b )，用待定系数法求出x ，y ，再利用同向不等式的可加性求解．(1)若角α，β满足-π2<α<β<π2，则2α-β的取值范围是________．解：因为-π2＜α＜β＜π2，所以-π2＜α＜π2，-π2＜β＜π2，-π2＜-β＜π2，而α＜β，所以-π＜α-β＜0，所以2α-β＝(α-β)＋α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫-3π2，π2.故填⎝ ⎛⎭⎪⎫-3π2，π2.(2)(2016·云南模拟)若-1≤lg xy≤2，1≤lg xy ≤4，则lg x 2y的取值范围是________．解：由1≤lg xy ≤4，-1≤lg xy≤2， 得1≤lg x ＋lg y ≤4，-1≤lg x -lg y ≤2，则lg x 2y ＝2lg x -lg y ＝12(lg x ＋lg y )＋32(lg x -lg y )，所以-1≤lg x 2y≤5.故填．类型四 比较大小实数b ＞a ＞0，实数m ＞0，比较a ＋mb ＋m 与ab的大小，则a ＋mb ＋m ________ab. 解法一：(作差比较)：a ＋mb ＋m -a b ＝b （a ＋m ）-a （b ＋m ）b （b ＋m ）＝m （b -a ）b （b ＋m ）， 因为b ＞a ＞0，m ＞0，所以m （b -a ）b （b ＋m ）＞0，所以a ＋mb ＋m＞ab.解法二(作商比较)：因为b ＞a ＞0，m ＞0， 所以bm ＞am ⇒ab ＋bm ＞ab ＋am ＞0，所以ab ＋bm ab ＋am ＞1，即a ＋m b ＋m ·b a ＞1⇒a ＋m b ＋m ＞a b.故填＞.【点拨】本题思路是作差整理，定符号，所得结论也称作真分数性质．作差(商)比较法的步骤是：①作差(商)；②变形：配方、因式分解、通分、分母(分子)有理化等；③判断符号(判断商和“1”的大小关系)；④作出结论．(2015·福建月考)已知a ，b ，c ∈R ＋，且a 2＋b 2＝c 2，当n ∈N ，n >2时，比较c n 与a n ＋b n的大小，则a n＋b n________c n.解：因为a ，b ，c ∈R ＋，所以a n ，b n ，c n>0，而a n ＋b ncn＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a c n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b c n .因为a 2＋b 2＝c 2，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫a c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b c 2＝1，所以0<a c <1，0<b c <1.当n ∈N ，n >2时，⎝ ⎛⎭⎪⎫a c n <⎝ ⎛⎭⎪⎫a c 2，⎝ ⎛⎭⎪⎫b c n <⎝ ⎛⎭⎪⎫b c 2，所以a n ＋b n cn ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a c n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b c n <a 2＋b 2c2＝1，所以a n ＋b n <c n.故填＜.1．理解不等关系的意义、实数运算的符号法则、不等式的性质，是解不等式和证明不等式的依据和基础．2．一般数学结论都有前提，不等式性质也是如此．在运用不等式性质之前，一定要准确把握前提条件，一定要注意不可随意放宽其成立的前提条件．3．不等式性质包括“充分条件(或者是必要条件)”和“充要条件”两种，前者一般是证明不等式的理论基础，后者一般是解不等式的理论基础．4．利用几个不等式来确定某个代数式的范围时要注意：“同向(异向)不等式的两边可相加(相减)”这种变形不是等价变形，若多次使用，则有可能使取值范围扩大，解决这一问题的方法是：先建立待求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，再一次性的运用这种变形，即可求得正确的待求整体的范围．5．比较两个实数的大小，有作差法和作商法两种方法．一般多用作差法，注意当这两个数都是正数时，才可以用作商法．作差法是比较作差后的式子与“0”的大小关系；作商法是比较作商后的式子与“1”的大小关系．6．对于实际问题中的不等量关系，还要注意实际问题对各个参变数的限制．1．(2015·浙江)设a，b是实数，则“a＋b＞0”是“ab＞0”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解：若a＋b＞0，取a＝3，b＝-2，则ab＞0不成立；反之，若a＝-2，b＝-3，则a＋b＞0也不成立，因此“a＋b＞0”是“ab＞0”的既不充分也不必要条件．故选D.2．(2016·宜昌模拟)设a，b，c∈R，且a>b，则( )A．ac>bc B.1a＜1bC．a2>b2D．a3>b3解：A选项，当c<0时，ac<bc，故A不正确；B 选项，当a>0>b时，显然B不正确；C选项，当a＝1，b＝-2时，a2<b2，C不正确；D选项，因y＝x3是单调增函数，所以当a>b时，有a3>b3，D正确．故选D.3．(2015·云南模拟)若a，b，c∈R，且a>b，则下列不等式一定成立的是( )A．a＋c≥b-c B．(a-b)c2≥0C．ac>bc D.c2a-b>0解：A项：当c<0时，不等式a＋c<b-c可能成立；B项：a>b⇒a-b>0，c2≥0，故(a-b)c2≥0；C项：当c＝0时，ac＝bc；D项：当c＝0时，c2a-b＝0.故选B.4．(2014·湖南)已知命题p：若x＞y，则-x＜-y；命题q：若x＞y，则x2＞y2.在命题①p∧q；②p∨q；③p∧(q)；④(p)∨q中，真命题是( )A．①③B．①④C．②③D．②④解：当x＞y时，两边乘以-1可得-x＜-y，所以命题p为真命题；当x＝1，y＝-2时，显然x2＜y2，所以命题q为假命题，所以②③为真命题．故选C.5．(2014·浙江)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，且0＜f(-1)＝f(-2)＝f(-3)≤3，则( )A．c≤3 B．3＜c≤6C．6＜c≤9 D．c＞9解：由f(-1)＝f(-2)＝f(-3)得，-1＋a-b＋c＝-8＋4a-2b＋c＝-27＋9a-3b＋c，消去c得⎩⎪⎨⎪⎧3a-b＝7，5a-b＝19，解得⎩⎪⎨⎪⎧a＝6，b＝11，于是0＜c-6≤3，即6＜c≤9.故选C.6．有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积(单位：m2)分别为x，y，z，且x<y<z，三种颜色涂料的粉刷费用(单位：元/m2)分别为a，b，c，且a<b<c.在不同的方案中，最低的总费用(单位：元)是( )A．ax＋by＋cz B．az＋by＋cxC．ay＋bz＋cx D．ay＋bx＋cz解：令x＝1，y＝2，z＝3，a＝1，b＝2，c＝3，则ax＋by＋cz＝14，az＋by＋cx＝10，ay＋bz＋cx＝11，ay＋bx＋cz＝13.由此可判断最低总费用是az＋by＋cx.故选B.7．(2015·江西模拟)设a＝lge，b＝(lge)2，c＝lg e，则a，b，c的大小关系为________．解：因为e＜10，所以lge＜lg10＝12，所以(lge)2＜12·lge＝lg e，即b＜c.又因为e＜e，所以lg e＜lge，即c＜a.故填b＜c＜a.8．(2016·合肥质检)已知△ABC的三边长分别为a，b，c，且满足b＋c≤3a，则ca的取值范围为________．解：由已知及三角形三边关系得⎩⎪⎨⎪⎧a＜b＋c≤3a，a＋b＞c，a＋c＞b，所以⎩⎪⎨⎪⎧1＜b a ＋c a≤3，1＋b a ＞c a ，1＋c a ＞b a ，所以⎩⎪⎨⎪⎧1＜b a ＋ca≤3，-1＜c a -b a ＜1，两式相加得，0<2×c a <4，所以ca的取值范围为(0，2)．故填(0，2)．9．设实数a ，b ，c 满足 ①b ＋c ＝6-4a ＋3a 2， ②c -b ＝4-4a ＋a 2.试确定a ，b ，c 的大小关系．解：因为c -b ＝(a -2)2≥0，所以c ≥b ， 又2b ＝2＋2a 2，所以b ＝1＋a 2，所以b -a ＝a 2-a ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a -122＋34＞0，所以b ＞a ，从而c ≥b ＞a .10．某企业去年年底给全部的800名员工共发放1 000万元年终奖，该企业计划从今年起，10年内每年发放的年终奖都比上一年增加30万元，企业员工每年净增a 人．(1)若a ＝10，在计划时间内，该企业的人均年终奖是否会超过1.5万元？(2)为使人均年终奖年年有增长，该企业每年员工的净增量不能超过多少人？解：(1)设从今年起的第x 年(今年为第1年)该企业人均发放年终奖为y 万元．则y ＝1 000＋30x 800＋ax (a ∈N *，1≤x ≤10)．假设会超过1.5万元，则当a ＝10时有1 000＋30x800＋10x ＞1.5，解得x ＞403＞10.所以，10年内该企业的人均年终奖不会超过1.5万元．(2)设1≤x 1＜x 2≤10，y ＝f (x )＝1 000＋30x800＋ax，则f (x 2)-f (x 1)＝1 000＋30x 2800＋ax 2-1 000＋30x 1800＋ax 1＝（30×800-1 000a ）（x 2-x 1）（800＋ax 2）（800＋ax 1）＞0，所以30×800-1 000a ＞0，得a ＜24.所以，为使人均年终奖年年有增长，该企业每年员工的净增量不能超过23人．11．(2015·云南模拟改编)已知a ＋b ＋c ＝0，且a >b >c ，求ca的取值范围．解：因为a ＋b ＋c ＝0，所以b ＝-(a ＋c )．又a >b >c ， 所以a >-(a ＋c )>c ，且3a ＞a ＋b ＋c ＝0＞3c ， 则a >0，c <0，所以1>-a ＋c a ＞ca， 即1＞-1-c a ＞c a ，所以⎩⎪⎨⎪⎧2ca ＜-1，ca＞-2， 解得-2＜c a ＜-12.故c a 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫-2，-12. (2016·武汉模拟)(1)设x ≥1，y ≥1，证明：x ＋y ＋1xy ≤1x ＋1y＋xy ；(2)设1<a ≤b ≤c ，证明：log a b ＋log b c ＋log c a ≤log b a ＋log c b ＋log a c .证明：(1)由于x ≥1，y ≥1， 所以x ＋y ＋1xy ≤1x ＋1y＋xy ⇔xy (x ＋y )＋1≤y ＋x＋(xy )2.将上式中的右式减左式， 得- ＝-＝(xy ＋1)(xy -1)-(x ＋y )(xy -1) ＝(xy -1)(xy -x -y ＋1) ＝(xy -1)(x -1)(y -1)．因为x ≥1，y ≥1，所以(xy -1)(x -1)(y -1)≥0， 从而x ＋y ＋1xy ≤1x ＋1y＋xy 成立．(2)设log a b ＝x ，log b c ＝y ，则x ≥1，y ≥1，由对数的换底公式得log b a ＝1x ，log c b ＝1y ，log c a ＝1xy，log a c＝xy .于是，所要证明的不等式即为x ＋y ＋1xy ≤1x ＋1y＋xy .由(1)知所要证明的不等式成立．。

a b
b)>0,a2>ab,即-ab>-a2,故C项错误;由a<b<0,得a-b<0,ab>0,故- - =
1 <- a b <0,- 1 成立,故选D.
1 1 a b
ab
a
b
解法二(特殊值法):令a=-2,b=-1,则 =- > =-1,ab=2>b2=1,-ab=-2>-a2=-4,
1 1 a b a
③中,由
a b, 由 可得a2>ab,∴a2>ab>b2,故为真命题. a 0
④中,由a>b得-a<-b,∴c-a<c-b,
1 1 又c>a,∴0<c-a<c-b,∴ > >0.
ca cb
b ,故为真命题. a > 又a>b>0,∴
ca cb
b a ca cb
1 1 a b
其中真命题的个数是 (
A.2 答案 B.3 C.4 D.5
)
(1)B (2)C
a b
1 1 1 1 解析 (1)由不等式的性质可得|a|>|b|,a2>b2, > 成立.假设 > 成立,
a b a
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由a<b<0得a-b<0,∴a(a-b)>0,
b 2ln 3 a 3ln 2
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方法技巧 比较两数(式)大小的三种常用方法 (1)作差法:
一般步骤:①作差;②变形;③定号;④结论.其中关键是变形,常采用配
方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式.当两个 式子都为正时,有时也可以先平方再作差. (2)作商法: 一般步骤:①作商;②变形;③判断商与1的大小;④结论. (3)特值法: 若是选择题、填空题,可以用特值法比较大小;若是解答题,可先用特值 探究思路,再用作差或作商法判断.

为各不等式所表示的平面区域的公共部分.
(2)当不等式中不等号为≥或≤时,边界为实线,不等号为>或<时,边界应 画为虚线,特殊点常取原点. 1-1
x 1, (2016汕头模拟)已知约束条件 x y 4 0, 表示面积为1的直角三 kx y 0
角形区域,则实数k的值为 ( A.1 B.-1 C.0
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易得C(2,-2),D(-1,1),
(2 1)2 (2 1)2 =3 2 .故选C. 所以|AB|=|CD|=
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2-3 (2016福建漳州八校4月联考)若直线y=2x上存在点(x,y)满足约束条
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2.线性规划的有关概念
名称 线性约束条件 目标函数 线性目标函数 可行解 可行域 最优解 意义 由关于x,y的③ 一次 不等式组成的不等式组 关于x,y的函数解析式,如z=x+2y 关于x,y的④ 一次函数 解析式 满足线性约束条件的解⑤ (x,y) 所有⑥ 可行解 组成的集合 使目标函数取得⑦ 最大值或最小值 的可行解
OA OA OA OB OB OB (2)由| |=| |= · =2知< , >= . 3 OA =(2,0), OB =(1, 3 ), OP =(x,y), 设






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x 2 λ μ, 则 y 3 μ,
y μ , 3 解得 1 λ x y . 2 3 由|λ|+|μ|≤1得| 3x-y|+|2y|≤2 3 .
x 2 0, 点P在直线l上的投影.由区域 x y 0, 中的点在直线x+y-2=0上的投 x 3y 4 0

真题演练集训
．若变量，满足(\\(＋≤，－≤，≥，))则＋的最大值是( )
．
．
．
．
答案：解析：作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，
设(，)为平面区域内任意一点，则＋表示.显然，当点与点重合时，＋取得最大值，
由(\\(＋＝，－＝，))
解得(\\(＝，＝－，))故(，－)．所以＋的最大值为＋(－)＝.故选.
．若，满足(\\(－≤，＋≤，≥，))则＋的最大值为( )
．
．
．
．
答案：解析：不等式组(\\(－≤，＋≤，≥))表示的可行域如图中阴影部分所示，
由(\\(－＝，＋＝，))解得(\\(＝，＝，))故当目标函数＝＋经过点()时，取得
最大值，＝×＋＝.故选.．某企业生产甲、乙两种产品均需用，两种原料，已知生产吨每种产品所需原料及每天原
料的可用限额如表所示．如果生产吨甲、乙产品可获利润分别为万元、万元，则该企业每天可
获得最大利润为( )
万元
．万元．万元
答案：
解析：
设每天生产甲、乙产品分别为吨、吨，每天所获利润为万元，则有
(\\(＋≤，＋≤，≥，≥，))目标函数为＝＋，作出可行域如图中阴影部分所示，由图形可知，当直线＝＋经过点()时，取最大值，最大值为×＋×＝(万元)．．不等式组(\\(＋≥，－≤))的解集记为，有下面四个命题：
：∀(，)∈，＋≥－；
：∃(，)∈，＋≥；
：∀(，)∈，＋≤；
：∃(，)∈，＋≤－.
其中的真命题是( )
．，．，
．，．，
答案：
解析：作出不等式组表示的可行域，如图中阴影部分所示．。

第2讲 一元二次不等式及其解法一、选择题 1．不等式x －2x ＋1≤0的解集是( ) A ．(－∞，－1)∪(－1,2] B ．(－1,2] C ．(－∞，－1)∪[2，＋∞)D ．[－1,2] 解析 ∵x －2x ＋1≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ＋x －，x ＋1≠0⇔⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤2，x ≠－1，∴x ∈(－1,2]． 答案 B2. 若集合{},{}x A x x B xx-2=-1≤2+1≤3=≤0，则A B ⋂=（ ） A. {}x x -1≤<0 B. {}x x 0<≤1 C. {}x x 0≤≤2 D.{}x x 0≤≤1解析 因为集合{},{}A x x B x x =-1≤≤1=0<≤2,所以A B ⋂={}x x 0<≤1,选B. 答案 B3．设a >0，不等式－c <ax ＋b <c 的解集是{x |－2<x <1}，则a ∶b ∶c ＝ ( )． A ．1∶2∶3 B ．2∶1∶3 C ．3∶1∶2D ．3∶2∶1解析 ∵－c <ax ＋b <c ，又a >0，∴－b ＋c a <x <c －ba. ∵不等式的解集为{x |－2<x <1}，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －b ＋ca ＝－2，c －b a ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝a2，c ＝32a ，∴a ∶b ∶c ＝a ∶a 2∶3a2＝2∶1∶3.答案 B4．不等式(x 2－2)log 2x >0的解集是( )．A ．(0,1)∪(2，＋∞)B ．(－2，1)∪(2，＋∞)C ．(2，＋∞)D ．(－2，2)解析 原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2>0，log 2x >0或⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2<0，log 2x <0.∴x >2或0<x <1，即不等式的解集为(0,1)∪(2，＋∞)． 答案 A5．已知二次函数f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1(a ∈Z )，且函数f (x )在(－2，－1)上恰有一个零点，则不等式f (x )>1的解集为 ( )．A ．(－∞，－1)∪(0，＋∞)B ．(－∞，0)∪(1，＋∞)C ．(－1,0)D ．(0,1)解析 ∵f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1，Δ＝(a ＋2)2－4a ＝a 2＋4>0， ∴函数f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1必有两个不同的零点， 又f (x )在(－2，－1)上有一个零点，则f (－2)f (－1)<0， ∴(6a ＋5)(2a ＋3)<0，∴－32<a <－56，又a ∈Z ，∴a ＝－1，不等式f (x )>1即为－x 2－x >0， 解得－1<x <0. 答案 C6．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2，x ＞0，x 2＋bx ＋c ，x ≤0，若f (－4)＝f (0)，f (－2)＝0，则关于x 的不等式f (x )≤1的解集为( )．A ．(－∞，－3]∪[－1，＋∞)B ．[－3，－1]C ．[－3，－1]∪(0，＋∞)D ．[－3，＋∞)解析 当x ≤0时，f (x )＝x 2＋bx ＋c 且f (－4)＝f (0)，故其对称轴为x ＝－b2＝－2，∴b ＝4.又f (－2)＝4－8＋c ＝0，∴c ＝4，当x ≤0时，令x 2＋4x ＋4≤1有－3≤x ≤－1；当x ＞0时，f (x )＝－2≤1显然成立，故不等式的解集为 [－3，－1]∪(0，＋∞)． 答案 C 二、填空题7．已知关于x 的不等式ax 2＋2x ＋c >0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，12，则不等式－cx 2＋2x －a >0的解集为________．解析 由ax 2＋2x ＋c >0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，12知a <0，且－13，12为方程ax 2＋2x ＋c ＝0的两个根，由根与系数的关系得－13＋12＝－2a ，－13×12＝c a，解得a ＝－12，c ＝2，∴－cx 2＋2x －a >0，即2x 2－2x －12<0，其解集为(－2,3)． 答案 (－2,3)8．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≥0，1，x ＜0，则满足不等式f (1－x 2)＞f (2x )的x 的取值范围是________．解析 由函数f (x )的图象可知(如下图)，满足f (1－x 2)＞f (2x )分两种情况：①⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2≥0，x ≥0，1－x 2＞2x⇒0≤x ＜2－1.②⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2＞0，x ＜0⇒－1＜x ＜0.综上可知：－1＜x ＜2－1. 答案 (－1，2－1)9．已知函数f (x )＝－x 2＋2x ＋b 2－b ＋1(b ∈R )，若当x ∈[－1,1]时，f (x )>0恒成立，则b 的取值范围是________．解析 依题意，f (x )的对称轴为x ＝1，且开口向下， ∴当x ∈[－1,1]时，f (x )是增函数．若f (x )>0恒成立，则f (x )min ＝f (－1)＝－1－2＋b 2－b ＋1>0，即b 2－b －2>0，∴(b －2)(b ＋1)>0，∴b >2或b <－1. 答案 (－∞，－1)∪(2，＋∞)10．设a ∈R ，若x >0时均有[(a －1)x －1](x 2－ax －1)≥0，则a ＝________. 解析 显然a ＝1不能使原不等式对x >0恒成立，故a ≠1且当x 1＝1a －1，a ≠1时原不等式成立．对于x 2－ax －1＝0，设其两根为x 2，x 3，且x 2<x 3，易知x 2<0，x 3>0.当x >0时，原不等式恒成立，故x 1＝1a －1满足方程x 2－ax －1＝0，代入解得a ＝32或a ＝0(舍去)． 答案 32三、解答题11．设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，函数F (x )＝f (x )－x 的两个零点为m ，n (m <n )．(1)若m ＝－1，n ＝2，求不等式F (x )>0的解集； (2)若a >0，且0<x <m <n <1a，比较f (x )与m 的大小．解 (1)由题意知，F (x )＝f (x )－x ＝a (x －m )(x －n )， 当m ＝－1，n ＝2时，不等式F (x )>0，即a (x ＋1)(x －2)>0.当a >0时，不等式F (x )>0的解集为{x |x <－1或x >2}；当a <0时，不等式F (x )>0的解集为{x |－1<x <2}．(2)f (x )－m ＝F (x )＋x －m ＝a (x －m )(x －n )＋x －m ＝(x －m )(ax －an ＋1)， ∵a >0，且0<x <m <n <1a，∴x －m <0,1－an ＋ax >0.∴f (x )－m <0，即f (x )<m .12．已知不等式ax 2－3x ＋6>4的解集为{x |x <1或x >b }， (1)求a ，b ；(2)解不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0.解 (1)因为不等式ax 2－3x ＋6>4的解集为{x |x <1或x >b }，所以x 1＝1与x 2＝b 是方程ax 2－3x ＋2＝0的两个实数根，且b >1.由根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧1＋b ＝3a，1×b ＝2a.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2.(2)由(1)知不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0为x 2－(2＋c )x ＋2c <0，即(x －2)(x －c )<0. ①当c >2时，不等式(x －2)(x －c )<0的解集为{x |2<x <c }；②当c <2时，不等式(x －2)(x －c )<0的解集为{x |c <x <2}；③当c ＝2时，不等式(x －2)(x －c )<0的解集为∅. 综上所述：当c >2时，不等式的解集为{x |2<x <c }； 当c <2时，不等式的解集为{x |c <x <2}； 当c ＝2时，不等式的解集为∅.13．已知抛物线y ＝(m －1)x 2＋(m －2)x －1(x ∈R )． (1)当m 为何值时，抛物线与x 轴有两个交点？(2)若关于x 的方程(m －1)x 2＋(m －2)x －1＝0的两个不等实根的倒数平方和不大于2，求m 的取值范围．解 (1)根据题意，m ≠1且Δ>0，即Δ＝(m －2)2－4(m －1)(－1)>0，得m 2>0， 所以m ≠1且m ≠0.(2)在m ≠0且m ≠1的条件下，⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝m －21－m，x 1·x 2＝11－m，因为1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2＝m －2，所以1x 21＋1x 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1＋1x 22－2x 1x 2＝(m －2)2＋2(m －1)≤2. 得m 2－2m ≤0，所以0≤m ≤2.所以m 的取值范围是{m |0<m <1或1<m ≤2}． 14．设函数f (x )＝a 2ln x －x 2＋ax ，a ＞0. (1)求f (x )的单调区间；(2)求所有的实数a ，使e －1≤f (x )≤e 2对x ∈[1，e]恒成立． 注 e 为自然对数的底数．解 (1)因为f (x )＝a 2ln x －x 2＋ax ，其中x ＞0，所以f ′(x )＝a 2x －2x ＋a ＝－x －a x ＋ax.由于a ＞0，所以f (x )的增区间为(0，a )，减区间为(a ，＋∞)． (2)由题意得，f (1)＝a －1≥e－1，即a ≥e. 由(1)知f (x )在[1，e]内单调递增， 要使e －1≤f (x )≤e 2，对x ∈[1，e]恒成立，只要⎩⎪⎨⎪⎧f＝a －1≥e－1，f ＝a 2－e 2＋a e≤e 2，解得a ＝e.。

第七章 不等式 7.2 一元二次不等式及其解法 理1．“三个二次”的关系2.常用结论(x －a )(x －b )>0或(x －a )(x －b )<0型不等式的解法【知识拓展】 (1)f xg x>0(<0)⇔f (x )·g (x )>0(<0)．(2)f xg x≥0(≤0)⇔f (x )·g (x )≥0(≤0)且g (x )≠0.以上两式的核心要义是将分式不等式转化为整式不等式． 【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集为(x 1，x 2)，则必有a >0.( √ )(2)若不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集是(－∞，x 1)∪(x 2，＋∞)，则方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根是x 1和x 2.( √ )(3)若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)没有实数根，则不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为R .( × ) (4)不等式ax 2＋bx ＋c ≤0在R 上恒成立的条件是a <0且Δ＝b 2－4ac ≤0.( × ) (5)若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象开口向下，则不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集一定不是空集．( √ )1．(教材改编)不等式x 2－3x －10>0的解集是( ) A ．(－2,5) B ．(5，＋∞)C ．(－∞，－2)D ．(－∞，－2)∪(5，＋∞)答案 D解析 解方程x 2－3x －10＝0得x 1＝－2，x 2＝5，由于y ＝x 2－3x －10的图象开口向上，所以x 2－3x －10>0的解集为(－∞，－2)∪(5，＋∞)． 2．设集合M ＝{x |x 2－3x －4<0}，N ＝{x |0≤x ≤5}，则M ∩N 等于( ) A ．(0,4] B ．[0,4) C ．[－1,0) D ．(－1,0]答案 B解析 ∵M ＝{x |x 2－3x －4<0}＝{x |－1<x <4}， ∴M ∩N ＝[0,4)．3．(教材改编)y ＝log 2(3x 2－2x －2)的定义域是________________． 答案 (－∞，1－73)∪(1＋73，＋∞)解析 由题意，得3x 2－2x －2>0，令3x 2－2x －2＝0得x 1＝1－73，x 2＝1＋73，∴3x 2－2x －2>0的解集为(－∞，1－73)∪(1＋73，＋∞)．4．(教材改编)若关于x 的不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集是(－12，13)，则a ＋b ＝________.答案 －14解析 ∵x 1＝－12，x 2＝13是方程ax 2＋bx ＋2＝0的两个根，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 4－b2＋2＝0，a 9＋b 3＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，b ＝－2，∴a ＋b ＝－14.5．不等式x 2＋ax ＋4≤0的解集不是空集，则实数a 的取值范围是________________． 答案 (－∞，－4]∪[4，＋∞)解析 ∵x 2＋ax ＋4≤0的解集不是空集，则x 2＋ax ＋4＝0一定有解． ∴Δ＝a 2－4×1×4≥0，即a 2≥16，∴a ≥4或a ≤－4.题型一 一元二次不等式的求解 命题点1 不含参的不等式例1 求不等式－2x 2＋x ＋3<0的解集． 解 化－2x 2＋x ＋3<0为2x 2－x －3>0， 解方程2x 2－x －3＝0得x 1＝－1，x 2＝32，∴不等式2x 2－x －3>0的解集为(－∞，－1)∪(32，＋∞)，即原不等式的解集为(－∞，－1)∪(32，＋∞)．命题点2 含参不等式例2 解关于x 的不等式：x 2－(a ＋1)x ＋a <0. 解 由x 2－(a ＋1)x ＋a ＝0，得(x －a )(x －1)＝0， ∴x 1＝a ，x 2＝1，①当a >1时，x 2－(a ＋1)x ＋a <0的解集为{x |1<x <a }， ②当a ＝1时，x 2－(a ＋1)x ＋a <0的解集为∅， ③当a <1时，x 2－(a ＋1)x ＋a <0的解集为{x |a <x <1}． 引申探究将原不等式改为ax 2－(a ＋1)x ＋1<0，求不等式的解集．解 若a ＝0，原不等式等价于－x ＋1<0，解得x >1. 若a <0，原不等式等价于(x －1a)(x －1)>0，解得x <1a或x >1.若a >0，原不等式等价于(x －1a)(x －1)<0.①当a ＝1时，1a ＝1，(x －1a )(x －1)<0无解；②当a >1时，1a <1，解(x －1a)(x －1)<0，得1a<x <1；③当0<a <1时，1a >1，解(x －1a )(x －1)<0，得1<x <1a.综上所述，当a <0时，解集为{x |x <1a或x >1}；当a ＝0时，解集为{x |x >1}； 当0<a <1时，解集为{x |1<x <1a}；当a ＝1时，解集为∅； 当a >1时，解集为{x |1a<x <1}．思维升华 含有参数的不等式的求解，往往需要对参数进行分类讨论．(1)若二次项系数为常数，首先确定二次项系数是否为正数，再考虑分解因式，对参数进行分类讨论，若不易分解因式，则可依据判别式符号进行分类讨论；(2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，确定不等式是不是二次不等式，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式； (3)对方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集．解下列不等式：(1)0<x 2－x －2≤4；(2)求不等式12x 2－ax ＞a 2(a ∈R )的解集． 解 (1)原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2>0，x 2－x －2≤4⇔⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2>0，x 2－x －6≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x －x ＋，x －x ＋⇔⎩⎪⎨⎪⎧x >2或x <－1，－2≤x ≤3.借助于数轴，如图所示，所以原不等式的解集为{x |－2≤x <－1或2<x ≤3}． (2)∵12x 2－ax ＞a 2，∴12x 2－ax －a 2＞0， 即(4x ＋a )(3x －a )＞0，令(4x ＋a )(3x －a )＝0， 得x 1＝－a 4，x 2＝a3.当a ＞0时，－a 4＜a 3，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜－a 4或x ＞a 3；当a ＝0时，x 2＞0，解集为{x |x ∈R 且x ≠0}； 当a ＜0时，－a 4＞a 3，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜a 3或x ＞－a 4. 综上所述，当a ＞0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜－a 4或x ＞a 3；当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ∈R 且x ≠0}； 当a ＜0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜a 3或x ＞－a 4.题型二 一元二次不等式恒成立问题 命题点1 在R 上的恒成立问题例3 (1)若一元二次不等式2kx 2＋kx －38<0对一切实数x 都成立，则k 的取值范围为( )A ．(－3,0]B ．[－3,0)C ．[－3,0]D ．(－3,0)(2)设a 为常数，对于∀x ∈R ，ax 2＋ax ＋1>0，则a 的取值范围是( ) A ．(0,4) B ．[0,4) C ．(0，＋∞) D ．(－∞，4)答案 (1)D (2)B解析 (1)∵2kx 2＋kx －38<0为一元二次不等式，∴k ≠0，又2kx 2＋kx －38<0对一切实数x 都成立，则必有⎩⎪⎨⎪⎧2k <0，Δ＝k 2－4×2k －38，解得－3<k <0.(2)对于∀x ∈R ，ax2＋ax ＋1>0，则必有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝a 2－4a <0或a ＝0，∴0≤a <4.命题点2 在给定区间上的恒成立问题例4 设函数f (x )＝mx 2－mx －1.若对于x ∈[1,3]，f (x )<－m ＋5恒成立，求m 的取值范围． 解 要使f (x )<－m ＋5在x ∈[1,3]上恒成立，即m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6<0在x ∈[1,3]上恒成立．有以下两种方法：方法一 令g (x )＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6，x ∈[1,3]．当m >0时，g (x )在[1,3]上是增函数， 所以g (x )max ＝g (3)⇒7m －6<0， 所以m <67，所以0<m <67；当m ＝0时，－6<0恒成立；当m <0时，g (x )在[1,3]上是减函数，所以g (x )max ＝g (1)⇒m －6<0，所以m <6，所以m <0. 综上所述，m 的取值范围是{m |m <67}．方法二 因为x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34>0，又因为m (x 2－x ＋1)－6<0，所以m <6x 2－x ＋1.因为函数y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34在[1,3]上的最小值为67，所以只需m <67即可． 所以，m 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫m |m <67. 命题点3 给定参数范围的恒成立问题例5 对任意m ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(m －4)x ＋4－2m 的值恒大于零，求x 的取值范围． 解 由f (x )＝x 2＋(m －4)x ＋4－2m ＝(x －2)m ＋x 2－4x ＋4， 令g (m )＝(x －2)m ＋x 2－4x ＋4.由题意知在[－1,1]上，g (m )的值恒大于零，∴⎩⎪⎨⎪⎧g－＝x －－＋x 2－4x ＋4>0，g ＝x －＋x 2－4x ＋4>0.解得x <1或x >3.故当x 的取值范围为(－∞，1)∪(3，＋∞)时，对任意的m ∈[－1,1]，函数f (x )的值恒大于零．思维升华 (1)对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴下方．另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值．(2)解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数．(1)已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0成立，则实数m 的取值范围是________． 答案 (－22，0) 解析 作出二次函数f (x )的草图，对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0，则有⎩⎪⎨⎪⎧f m ，f m ＋，即⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m 2－1<0，m ＋2＋m m ＋－1<0，解得－22<m <0. (2)已知不等式mx 2－2x －m ＋1<0，是否存在实数m 对所有的实数x ，使不等式恒成立？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由． 解 不等式mx 2－2x －m ＋1<0恒成立，即函数f (x )＝mx 2－2x －m ＋1的图象全部在x 轴下方． 当m ＝0时，1－2x <0，则x >12，不满足题意；当m ≠0时，函数f (x )＝mx 2－2x －m ＋1为二次函数， 需满足开口向下且方程mx 2－2x －m ＋1＝0无解，即⎩⎪⎨⎪⎧m <0，Δ＝4－4m －m ，不等式组的解集为空集，即m 无解．综上可知，不存在这样的m . 题型三 一元二次不等式的应用例6 某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件．若售价降低x 成(1成＝10%)，售出商品数量就增加85x 成．要求售价不能低于成本价．(1)设该商店一天的营业额为y ，试求y 与x 之间的函数关系式y ＝f (x )，并写出定义域； (2)若再要求该商品一天营业额至少为10 260元，求x 的取值范围．解 (1)由题意得，y ＝100⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 10·100⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋850x . 因为售价不能低于成本价，所以100⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 10－80≥0.所以y ＝f (x )＝40(10－x )(25＋4x )，定义域为x ∈[0,2]． (2)由题意得40(10－x )(25＋4x )≥10 260， 化简得8x 2－30x ＋13≤0，解得12≤x ≤134.所以x 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2.思维升华 求解不等式应用题的四个步骤(1)阅读理解，认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系．(2)引进数学符号，将文字信息转化为符号语言，用不等式表示不等关系，建立相应的数学模型．(3)解不等式，得出数学结论，要注意数学模型中自变量的实际意义． (4)回归实际问题，将数学结论还原为实际问题的结果．甲厂以x 千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x ≤10)，每小时可获得的利润是100·(5x ＋1－3x)元．(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，求x 的取值范围；(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润．解 (1)根据题意，得 200(5x ＋1－3x)≥3 000，整理得5x －14－3x≥0，即5x 2－14x －3≥0，又1≤x ≤10，可解得3≤x ≤10.即要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，x 的取值范围是[3,10]． (2)设利润为y 元，则y ＝900x ·100(5x ＋1－3x)＝9×104(5＋1x －3x2)＝9×104[－3(1x －16)2＋6112]，故当x ＝6时，y max ＝457 500元．即甲厂以6千克/小时的生产速度生产900千克该产品时获得的利润最大，最大利润为457 500元．14．转化与化归思想在不等式中的应用典例 (1)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f (x )<c 的解集为(m ，m ＋6)，则实数c 的值为________．(2)已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋ax，若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )>0恒成立，则实数a 的取值范围是________．思想方法指导 函数的值域和不等式的解集转化为a ，b 满足的条件；不等式恒成立可以分离常数，转化为函数值域问题． 解析 (1)由题意知f (x )＝x 2＋ax ＋b＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22＋b －a 24.∵f (x )的值域为[0，＋∞)， ∴b －a 24＝0，即b ＝a 24.∴f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22. 又∵f (x )<c ，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22<c ，即－a 2－c <x <－a2＋c .∴⎩⎪⎨⎪⎧－a 2－c ＝m ， ①－a2＋c ＝m ＋6. ②②－①，得2c ＝6，∴c ＝9.(2)∵x ∈[1，＋∞)时，f (x )＝x 2＋2x ＋ax>0恒成立，即x 2＋2x ＋a >0恒成立．即当x ≥1时，a >－(x 2＋2x )＝g (x )恒成立．而g (x )＝－(x 2＋2x )＝－(x ＋1)2＋1在[1，＋∞)上单调递减， ∴g (x )max ＝g (1)＝－3，故a >－3. ∴实数a 的取值范围是{a |a >－3}． 答案 (1)9 (2){a |a >－3}1．不等式(x －1)(2－x )≥0的解集为( ) A ．{x |1≤x ≤2} B ．{x |x ≤1或x ≥2} C ．{x |1<x <2} D ．{x |x <1或x >2}答案 A解析 由(x －1)(2－x )≥0可知(x －2)(x －1)≤0， 所以不等式的解集为{x |1≤x ≤2}． 2．(2016·潍坊模拟)函数f (x )＝1－x 2＋4x －的定义域是( )A ．(－∞，1)∪(3，＋∞)B ．(1,3)C ．(－∞，2)∪(2，＋∞)D ．(1,2)∪(2,3)答案 D解析 由题意得－x 2＋4x －3>0，即x 2－4x ＋3<0， ∴1<x <3，又ln(－x 2＋4x －3)≠0，即－x 2＋4x －3≠1， ∴x 2－4x ＋4≠0，∴x ≠2. 故函数定义域为(1,2)∪(2,3)．3．若集合A ＝{x |ax 2－ax ＋1<0}＝∅，则实数a 的取值范围是( ) A ．{a |0<a <4} B ．{a |0≤a <4} C ．{a |0<a ≤4} D ．{a |0≤a ≤4}答案 D解析 由题意知a ＝0时，满足条件．当a ≠0时，由⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ＝－a 2－4a ≤0，得0<a ≤4.所以0≤a ≤4.4．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－4x ＋6，x ≥0，x ＋6，x <0，则不等式f (x )>f (1)的解集是( )A ．(－3,1)∪(3，＋∞)B ．(－3,1)∪(2，＋∞)C ．(－1,1)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(1,3)答案 A解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0，x 2－4x ＋6>3或⎩⎪⎨⎪⎧ x <0，x ＋6>3，解得－3<x <1或x >3.5．已知不等式x 2－2x －3<0的解集为A ，不等式x 2＋x －6<0的解集为B ，不等式x 2＋ax ＋b <0的解集为A ∩B ，那么a ＋b 等于( )A ．－3B ．1C ．－1D ．3 答案 A解析 由题意，A ＝{x |－1<x <3}，B ＝{x |－3<x <2}，A ∩B ＝{x |－1<x <2}，则不等式x 2＋ax ＋b <0的解集为{x |－1<x <2}．由根与系数的关系可知，a ＝－1，b ＝－2，所以a ＋b ＝－3，故选A.6．若关于x 的不等式x 2－2ax －8a 2<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，且x 2－x 1＝15，则a 等于( ) A.52B.72C.154D.152答案 A解析 由x 2－2ax －8a 2<0，得(x ＋2a )(x －4a )<0，因为a >0，所以不等式的解集为(－2a,4a )，即x 2＝4a ，x 1＝－2a ，由x 2－x 1＝15，得4a －(－2a )＝15，解得a ＝52.7．已知不等式ax 2－bx －1≥0的解集是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，－13，则不等式x 2－bx －a <0的解集是( ) A ．(2,3) B ．(－∞，2)∪(3，＋∞)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ 答案 A解析 由题意知－12，－13是方程ax 2－bx －1＝0的根，所以由根与系数的关系得－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝b a ，－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝－1a.解得a ＝－6，b ＝5，不等式x 2－bx －a <0即为x 2－5x ＋6<0，解集为(2,3)． *8.已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋b 2－b ＋1(a ∈R ，b ∈R )，对任意实数x 都有f (1－x )＝f (1＋x )成立，当x ∈[－1,1]时，f (x )>0恒成立，则b 的取值范围是( )A ．－1<b <0B ．b >2C ．b <－1或b >2D ．不能确定 答案 C解析 由f (1－x )＝f (1＋x )知f (x )图象的对称轴为直线x ＝1，则有a 2＝1，故a ＝2. 由f (x )的图象可知f (x )在[－1,1]上为增函数．∴x ∈[－1,1]时，f (x )min ＝f (－1)＝－1－2＋b 2－b ＋1＝b 2－b －2，令b 2－b －2>0，解得b <－1或b >2.9．若不等式－2≤x 2－2ax ＋a ≤－1有唯一解，则a 的值为________.答案 1±52解析 若不等式－2≤x 2－2ax ＋a ≤－1有唯一解，则x 2－2ax ＋a ＝－1有两个相等的实根，所以Δ＝4a 2－4(a ＋1)＝0，解得a ＝1±52. 10．设f (x )是定义在R 上的以3为周期的奇函数，若f (1)>1，f (2)＝2a －3a ＋1，则实数a 的取值范围是________．答案 (－1，23) 解析 ∵f (x ＋3)＝f (x )，∴f (2)＝f (－1＋3)＝f (－1)＝－f (1)<－1.∴2a －3a ＋1<－1⇔3a －2a ＋1<0⇔(3a －2)(a ＋1)<0，∴－1<a <23. *11.已知f (x )是定义域为R 的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－4x ，那么，不等式f (x ＋2)<5的解集是______________________．答案 {x |－7<x <3}解析 令x <0，则－x >0，∵x ≥0时，f (x )＝x 2－4x ，∴f (－x )＝(－x )2－4(－x )＝x 2＋4x ，又f (x )为偶函数，∴f (－x )＝f (x )，∴x <0时，f (x )＝x 2＋4x ，故有f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ，x ≥0，x 2＋4x ，x ＜0.再求f (x )<5的解，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0，x 2－4x <5，得0≤x ＜5；由⎩⎪⎨⎪⎧ x <0，x 2＋4x <5，得－5<x <0，即f (x )<5的解集为(－5,5)．由于f (x )向左平移两个单位即得f (x ＋2)，故f (x ＋2)<5的解集为{x |－7<x <3}．12．设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，函数F (x )＝f (x )－x 的两个零点为m ，n (m <n )．(1)若m ＝－1，n ＝2，求不等式F (x )>0的解集；(2)若a >0，且0<x <m <n <1a，比较f (x )与m 的大小． 解 (1)由题意知，F (x )＝f (x )－x ＝a (x －m )(x －n )．当m ＝－1，n ＝2时，不等式F (x )>0，即a (x ＋1)(x －2)>0.当a >0时，不等式F (x )>0的解集为{x |x <－1或x >2}；当a <0时，不等式F (x )>0的解集为{x |－1<x <2}．(2)f (x )－m ＝F (x )＋x －m ＝a (x －m )(x －n )＋x －m ＝(x －m )(ax －an ＋1)，∵a >0，且0<x <m <n <1a， ∴x －m <0,1－an ＋ax >0.∴f (x )－m <0，即f (x )<m .*13.(2016·烟台模拟)已知不等式(a ＋b )x ＋(2a －3b )<0的解为x >－34，解不等式(a －2b )x 2＋2(a －b －1)x ＋(a －2)>0.解 因为(a ＋b )x ＋(2a －3b )<0，所以(a ＋b )x <3b －2a ，因为不等式的解为x >－34，所以a ＋b <0，且3b －2a a ＋b ＝－34， 解得a ＝3b <0，则不等式(a －2b )x 2＋2(a －b －1)x ＋(a －2)>0. 等价为bx 2＋(4b －2)x ＋(3b －2)>0，即x 2＋(4－2b )x ＋(3－2b)<0， 即(x ＋1)(x ＋3－2b)<0. 因为－3＋2b<－1， 所以不等式的解为－3＋2b<x <－1. 即所求不等式的解集为{x |－3＋2b<x <－1}．。

2018版高考数学一轮复习 第七章 不等式 7.1 不等式的性质与一元二次不等式真题演练集训 理 新人教A 版1．[2016·北京卷]已知x ，y ∈R ，且x ＞y ＞0，则( )A.1x －1y ＞0 B ．sin x －sin y ＞0C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12y ＜0 D ．ln x ＋ln y ＞0 答案：C解析：解法一：因为x >y >0，选项A ，取x ＝1，y ＝12，则1x －1y＝1－2＝－1<0，排除A ；选项B ，取x ＝π，y ＝π2，则sin x －sin y ＝sin π－sin π2＝－1<0，排除B ；选项D ，取x ＝2，y ＝12，则ln x ＋ln y ＝ln(xy )＝ln 1＝0，排除D.故选C. 解法二：因为函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在R 上单调递减，且x >y >0，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫12x <⎝ ⎛⎭⎪⎫12y ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12y <0，故选C.2．[2016·新课标全国卷Ⅰ]若a >b >1,0<c <1，则( )A ．a c <b cB ．ab c <ba cC ．a log b c <b log a cD ．log a c <log b c 答案：C解析：对于选项A ，考虑幂函数y ＝x c ，因为c >0，所以y ＝x c 为增函数，又a >b >1，所以a c >b c ，故A 错；对于选项B ，ab c <ba c ⇔⎝ ⎛⎭⎪⎫b a c <b a ，又y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b a x 是减函数，故B 错；对于选项D ，由对数函数的性质可知D 错，故选C.3．[2015·江苏卷]不等式2x 2－x ＜4的解集为________．答案：{x |－1＜x ＜2}[或(－1,2)]解析：∵ 2x 2－x ＜4，∴ 2x 2－x ＜22，∴ x 2－x ＜2，即x 2－x －2＜0，∴ －1＜x ＜2.课外拓展阅读转化与化归思想在不等式中的应用[典例1] 已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f (x )<c 的解集为(m ，m ＋6), 则实数c ＝________.[审题视角] 考虑“三个二次”间的关系；[解析] (1)由题意知，f (x )＝x 2＋ax ＋b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22＋b －a 24. ∵f (x )的值域为[0，＋∞)，∴b －a 24＝0，即b ＝a 24. ∴f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22. 又∵f (x )<c ，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22<c ， 即－a 2－c <x <－a 2＋c . ∴⎩⎪⎨⎪⎧ －a 2－c ＝m ，①－a 2＋c ＝m ＋6.②②－①，得2c ＝6，∴c ＝9.[答案] 9[典例2] 已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋a x，若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )>0恒成立，则实数a 的取值范围是________．[审题视角] 将恒成立问题转化为最值问题求解．[解析] ∵x ∈[1，＋∞)时，f (x )＝x 2＋2x ＋a x>0恒成立， 即x 2＋2x ＋a >0恒成立．即当x ≥1时，a >－(x 2＋2x )＝g (x )恒成立．而g (x )＝－(x 2＋2x )＝－(x ＋1)2＋1在[1，＋∞)上单调递减，∴g (x )max ＝g (1)＝－3，故a >－3.∴实数a 的取值范围是{a |a >－3}．[答案] {a |a >－3}方法点睛本题的解法充分体现了转化与化归思想：函数的值域和不等式的解集转化为a ，b 满足的条件；不等式恒成立可以分离常数，转化为函数值域问题．。

1．“三个二次”的关系2.常用结论(x －a )(x －b )>0或(x －a )(x －b )<0型不等式的解法口诀：大于取两边，小于取中间． 【知识拓展】(1)f (x )g (x )>0(<0)⇔f (x )·g (x )>0(<0)． (2)f (x )g (x )≥0(≤0)⇔f (x )·g (x )≥0(≤0)且g (x )≠0. 以上两式的核心要义是将分式不等式转化为整式不等式． 【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集为(x 1，x 2)，则必有a >0.( √ )(2)若不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集是(－∞，x 1)∪(x 2，＋∞)，则方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根是x 1和x 2.( √ )(3)若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)没有实数根，则不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为R .( × ) (4)不等式ax 2＋bx ＋c ≤0在R 上恒成立的条件是a <0且Δ＝b 2－4ac ≤0.( × )(5)若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象开口向下，则不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集一定不是空集．( √ )1．(教材改编)不等式x 2－3x －10>0的解集是( ) A ．(－2,5) B ．(5，＋∞)C ．(－∞，－2)D ．(－∞，－2)∪(5，＋∞)答案 D解析 解方程x 2－3x －10＝0得x 1＝－2，x 2＝5，由于y ＝x 2－3x －10的图象开口向上，所以x 2－3x －10>0的解集为(－∞，－2)∪(5，＋∞)． 2．设集合M ＝{x |x 2－3x －4<0}，N ＝{x |0≤x ≤5}，则M ∩N 等于( ) A ．(0,4] B ．[0,4) C ．[－1,0) D ．(－1,0] 答案 B解析 ∵M ＝{x |x 2－3x －4<0}＝{x |－1<x <4}， ∴M ∩N ＝[0,4)．3．(教材改编)y ＝log 2(3x 2－2x －2)的定义域是________________． 答案 (－∞，1－73)∪(1＋73，＋∞)解析 由题意，得3x 2－2x －2>0，令3x 2－2x －2＝0得x 1＝1－73，x 2＝1＋73，∴3x 2－2x －2>0的解集为(－∞，1－73)∪(1＋73，＋∞)．4．(教材改编)若关于x 的不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集是(－12，13)，则a ＋b ＝________.答案 －14解析 ∵x 1＝－12，x 2＝13是方程ax 2＋bx ＋2＝0的两个根，∴⎩⎨⎧a 4－b2＋2＝0，a 9＋b3＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，b ＝－2，∴a ＋b ＝－14.5．不等式x 2＋ax ＋4≤0的解集不是空集，则实数a 的取值范围是________________． 答案 (－∞，－4]∪[4，＋∞)解析 ∵x 2＋ax ＋4≤0的解集不是空集，则x 2＋ax ＋4＝0一定有解． ∴Δ＝a 2－4×1×4≥0，即a 2≥16，∴a ≥4或a ≤－4.题型一 一元二次不等式的求解 命题点1 不含参的不等式例1 求不等式－2x 2＋x ＋3<0的解集． 解 化－2x 2＋x ＋3<0为2x 2－x －3>0， 解方程2x 2－x －3＝0得x 1＝－1，x 2＝32，∴不等式2x 2－x －3>0的解集为(－∞，－1)∪(32，＋∞)，即原不等式的解集为(－∞，－1)∪(32，＋∞)．命题点2 含参不等式例2 解关于x 的不等式：x 2－(a ＋1)x ＋a <0. 解 由x 2－(a ＋1)x ＋a ＝0，得(x －a )(x －1)＝0， ∴x 1＝a ，x 2＝1，①当a >1时，x 2－(a ＋1)x ＋a <0的解集为{x |1<x <a }， ②当a ＝1时，x 2－(a ＋1)x ＋a <0的解集为∅， ③当a <1时，x 2－(a ＋1)x ＋a <0的解集为{x |a <x <1}．引申探究将原不等式改为ax 2－(a ＋1)x ＋1<0，求不等式的解集． 解 若a ＝0，原不等式等价于－x ＋1<0，解得x >1. 若a <0，原不等式等价于(x －1a )(x －1)>0，解得x <1a或x >1.若a >0，原不等式等价于(x －1a )(x －1)<0.①当a ＝1时，1a ＝1，(x －1a )(x －1)<0无解；②当a >1时，1a <1，解(x －1a )(x －1)<0，得1a <x <1；③当0<a <1时，1a >1，解(x －1a )(x －1)<0，得1<x <1a .综上所述，当a <0时，解集为{x |x <1a 或x >1}；当a ＝0时，解集为{x |x >1}； 当0<a <1时，解集为{x |1<x <1a }；当a ＝1时，解集为∅； 当a >1时，解集为{x |1a<x <1}．思维升华 含有参数的不等式的求解，往往需要对参数进行分类讨论．(1)若二次项系数为常数，首先确定二次项系数是否为正数，再考虑分解因式，对参数进行分类讨论，若不易分解因式，则可依据判别式符号进行分类讨论；(2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，确定不等式是不是二次不等式，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式； (3)对方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集．解下列不等式：(1)0<x 2－x －2≤4；(2)求不等式12x 2－ax ＞a 2(a ∈R )的解集． 解 (1)原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－x －2>0，x 2－x －2≤4⇔⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2>0，x 2－x －6≤0⇔ ⎩⎪⎨⎪⎧ (x －2)(x ＋1)>0，(x －3)(x ＋2)≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x >2或x <－1，－2≤x ≤3.借助于数轴，如图所示，所以原不等式的解集为{x |－2≤x <－1或2<x ≤3}． (2)∵12x 2－ax ＞a 2，∴12x 2－ax －a 2＞0， 即(4x ＋a )(3x －a )＞0，令(4x ＋a )(3x －a )＝0， 得x 1＝－a 4，x 2＝a3.当a ＞0时，－a 4＜a 3，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜－a 4或x ＞a 3；当a ＝0时，x 2＞0，解集为{x |x ∈R 且x ≠0}； 当a ＜0时，－a 4＞a 3，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜a 3或x ＞－a 4.综上所述，当a ＞0时，不等式的解集为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜－a 4或x ＞a 3；当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ∈R 且x ≠0}； 当a ＜0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜a 3或x ＞－a 4.题型二 一元二次不等式恒成立问题 命题点1 在R 上的恒成立问题例3 (1)若一元二次不等式2kx 2＋kx －38<0对一切实数x 都成立，则k 的取值范围为( )A ．(－3,0]B ．[－3,0)C ．[－3,0]D ．(－3,0)(2)设a 为常数，对于∀x ∈R ，ax 2＋ax ＋1>0，则a 的取值范围是( ) A ．(0,4) B ．[0,4) C ．(0，＋∞) D ．(－∞，4)答案 (1)D (2)B解析 (1)∵2kx 2＋kx －38<0为一元二次不等式，∴k ≠0，又2kx 2＋kx －38<0对一切实数x 都成立，则必有⎩⎪⎨⎪⎧2k <0，Δ＝k 2－4×2k ×(－38)<0，解得－3<k <0. (2)对于∀x ∈R ，ax 2＋ax ＋1>0，则必有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝a 2－4a <0或a ＝0，∴0≤a <4.命题点2 在给定区间上的恒成立问题例4 设函数f (x )＝mx 2－mx －1.若对于x ∈[1,3]，f (x )<－m ＋5恒成立，求m 的取值范围． 解 要使f (x )<－m ＋5在x ∈[1,3]上恒成立， 即m ⎝⎛⎭⎫x －122＋34m －6<0在x ∈[1,3]上恒成立． 有以下两种方法：方法一 令g (x )＝m ⎝⎛⎭⎫x －122＋34m －6，x ∈[1,3]． 当m >0时，g (x )在[1,3]上是增函数， 所以g (x )max ＝g (3)⇒7m －6<0， 所以m <67，所以0<m <67；当m ＝0时，－6<0恒成立； 当m <0时，g (x )在[1,3]上是减函数，所以g (x )max ＝g (1)⇒m －6<0，所以m <6，所以m <0. 综上所述，m 的取值范围是{m |m <67}．方法二 因为x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －122＋34>0， 又因为m (x 2－x ＋1)－6<0，所以m <6x 2－x ＋1.因为函数y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝⎛⎭⎫x －122＋34在[1,3]上的最小值为67，所以只需m <67即可． 所以，m 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫m |m <67.命题点3 给定参数范围的恒成立问题例5 对任意m ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(m －4)x ＋4－2m 的值恒大于零，求x 的取值范围． 解 由f (x )＝x 2＋(m －4)x ＋4－2m ＝(x －2)m ＋x 2－4x ＋4， 令g (m )＝(x －2)m ＋x 2－4x ＋4.由题意知在[－1,1]上，g (m )的值恒大于零，∴⎩⎪⎨⎪⎧g (－1)＝(x －2)×(－1)＋x 2－4x ＋4>0，g (1)＝(x －2)＋x 2－4x ＋4>0. 解得x <1或x >3.故当x 的取值范围为(－∞，1)∪(3，＋∞)时，对任意的m ∈[－1,1]，函数f (x )的值恒大于零． 思维升华 (1)对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴下方．另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值．(2)解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数．(1)已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0成立，则实数m 的取值范围是________． 答案 (－22，0) 解析 作出二次函数f (x )的草图，对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0，则有⎩⎪⎨⎪⎧f (m )<0，f (m ＋1)<0，即⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m 2－1<0，(m ＋1)2＋m (m ＋1)－1<0，解得－22<m <0. (2)已知不等式mx 2－2x －m ＋1<0，是否存在实数m 对所有的实数x ，使不等式恒成立？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由． 解 不等式mx 2－2x －m ＋1<0恒成立，即函数f (x )＝mx 2－2x －m ＋1的图象全部在x 轴下方． 当m ＝0时，1－2x <0，则x >12，不满足题意；当m ≠0时，函数f (x )＝mx 2－2x －m ＋1为二次函数， 需满足开口向下且方程mx 2－2x －m ＋1＝0无解，即⎩⎪⎨⎪⎧m <0，Δ＝4－4m (1－m )<0，不等式组的解集为空集，即m 无解． 综上可知，不存在这样的m . 题型三 一元二次不等式的应用例6 某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件．若售价降低x 成(1成＝10%)，售出商品数量就增加85x 成．要求售价不能低于成本价．(1)设该商店一天的营业额为y ，试求y 与x 之间的函数关系式y ＝f (x )，并写出定义域； (2)若再要求该商品一天营业额至少为10 260元，求x 的取值范围． 解 (1)由题意得，y ＝100⎝⎛⎭⎫1－x 10·100⎝⎛⎭⎫1＋850x .因为售价不能低于成本价，所以100⎝⎛⎭⎫1－x10－80≥0. 所以y ＝f (x )＝40(10－x )(25＋4x )，定义域为x ∈[0,2]． (2)由题意得40(10－x )(25＋4x )≥10 260， 化简得8x 2－30x ＋13≤0，解得12≤x ≤134.所以x 的取值范围是⎣⎡⎦⎤12，2.思维升华 求解不等式应用题的四个步骤(1)阅读理解，认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系．(2)引进数学符号，将文字信息转化为符号语言，用不等式表示不等关系，建立相应的数学模型．(3)解不等式，得出数学结论，要注意数学模型中自变量的实际意义． (4)回归实际问题，将数学结论还原为实际问题的结果．甲厂以x 千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x ≤10)，每小时可获得的利润是100·(5x ＋1－3x)元．(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，求x 的取值范围；(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润．解 (1)根据题意，得 200(5x ＋1－3x )≥3 000，整理得5x －14－3x ≥0，即5x 2－14x －3≥0，又1≤x ≤10，可解得3≤x ≤10.即要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，x 的取值范围是[3,10]． (2)设利润为y 元，则 y ＝900x ·100(5x ＋1－3x )＝9×104(5＋1x －3x 2)＝9×104[－3(1x －16)2＋6112]，故当x ＝6时，y max ＝457 500元．即甲厂以6千克/小时的生产速度生产900千克该产品时获得的利润最大，最大利润为457 500元．14．转化与化归思想在不等式中的应用典例 (1)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f (x )<c 的解集为(m ，m ＋6)，则实数c 的值为________．(2)已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋ax ，若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )>0恒成立，则实数a 的取值范围是________．思想方法指导 函数的值域和不等式的解集转化为a ，b 满足的条件；不等式恒成立可以分离常数，转化为函数值域问题． 解析 (1)由题意知f (x )＝x 2＋ax ＋b ＝⎝⎛⎭⎫x ＋a 22＋b －a 24. ∵f (x )的值域为[0，＋∞)， ∴b －a 24＝0，即b ＝a 24.∴f (x )＝⎝⎛⎭⎫x ＋a 22. 又∵f (x )<c ，∴⎝⎛⎭⎫x ＋a22<c ， 即－a 2－c <x <－a2＋c .∴⎩⎨⎧－a2－c ＝m ， ①－a2＋c ＝m ＋6. ②②－①，得2c ＝6，∴c ＝9.(2)∵x ∈[1，＋∞)时，f (x )＝x 2＋2x ＋ax >0恒成立，即x 2＋2x ＋a >0恒成立．即当x ≥1时，a >－(x 2＋2x )＝g (x )恒成立．而g (x )＝－(x 2＋2x )＝－(x ＋1)2＋1在[1，＋∞)上单调递减， ∴g (x )max ＝g (1)＝－3，故a >－3. ∴实数a 的取值范围是{a |a >－3}． 答案 (1)9 (2){a |a >－3}1．不等式(x －1)(2－x )≥0的解集为( ) A ．{x |1≤x ≤2} B ．{x |x ≤1或x ≥2} C ．{x |1<x <2} D ．{x |x <1或x >2}答案 A解析 由(x －1)(2－x )≥0可知(x －2)(x －1)≤0， 所以不等式的解集为{x |1≤x ≤2}．2．(2016·潍坊模拟)函数f (x )＝1ln (－x 2＋4x －3)的定义域是( ) A ．(－∞，1)∪(3，＋∞) B ．(1,3) C ．(－∞，2)∪(2，＋∞) D ．(1,2)∪(2,3)答案 D解析 由题意得－x 2＋4x －3>0，即x 2－4x ＋3<0， ∴1<x <3，又ln(－x 2＋4x －3)≠0，即－x 2＋4x －3≠1， ∴x 2－4x ＋4≠0，∴x ≠2. 故函数定义域为(1,2)∪(2,3)．3．若集合A ＝{x |ax 2－ax ＋1<0}＝∅，则实数a 的取值范围是( ) A ．{a |0<a <4} B ．{a |0≤a <4} C ．{a |0<a ≤4} D ．{a |0≤a ≤4}答案 D解析 由题意知a ＝0时，满足条件．当a ≠0时，由⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝(－a )2－4a ≤0， 得0<a ≤4.所以0≤a ≤4.4．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋6，x ≥0，x ＋6，x <0，则不等式f (x )>f (1)的解集是( )A ．(－3,1)∪(3，＋∞)B ．(－3,1)∪(2，＋∞)C ．(－1,1)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(1,3) 答案 A解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0，x 2－4x ＋6>3或⎩⎪⎨⎪⎧x <0，x ＋6>3， 解得－3<x <1或x >3.5．已知不等式x 2－2x －3<0的解集为A ，不等式x 2＋x －6<0的解集为B ，不等式x 2＋ax ＋b <0的解集为A ∩B ，那么a ＋b 等于( )A ．－3B ．1C ．－1D ．3 答案 A解析 由题意，A ＝{x |－1<x <3}，B ＝{x |－3<x <2}，A ∩B ＝{x |－1<x <2}，则不等式x 2＋ax ＋b <0的解集为{x |－1<x <2}．由根与系数的关系可知，a ＝－1，b ＝－2，所以a ＋b ＝－3，故选A.6．若关于x 的不等式x 2－2ax －8a 2<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，且x 2－x 1＝15，则a 等于( ) A.52B.72C.154D.152 答案 A解析 由x 2－2ax －8a 2<0，得(x ＋2a )(x －4a )<0，因为a >0，所以不等式的解集为(－2a,4a )，即x 2＝4a ，x 1＝－2a ，由x 2－x 1＝15，得4a －(－2a )＝15，解得a ＝52. 7．已知不等式ax 2－bx －1≥0的解集是⎣⎡⎦⎤－12，－13，则不等式x 2－bx －a <0的解集是( ) A ．(2,3)B ．(－∞，2)∪(3，＋∞) C.⎝⎛⎭⎫13，12D.⎝⎛⎭⎫－∞，13∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞ 答案 A解析 由题意知－12，－13是方程ax 2－bx －1＝0的根，所以由根与系数的关系得－12＋⎝⎛⎭⎫－13＝b a ，－12×⎝⎛⎭⎫－13＝－1a.解得a ＝－6，b ＝5，不等式x 2－bx －a <0即为x 2－5x ＋6<0，解集为(2,3)． *8.已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋b 2－b ＋1(a ∈R ，b ∈R )，对任意实数x 都有f (1－x )＝f (1＋x )成立，当x ∈[－1,1]时，f (x )>0恒成立，则b 的取值范围是( )A ．－1<b <0B ．b >2C ．b <－1或b >2D ．不能确定答案 C 解析 由f (1－x )＝f (1＋x )知f (x )图象的对称轴为直线x ＝1，则有a 2＝1，故a ＝2. 由f (x )的图象可知f (x )在[－1,1]上为增函数．∴x ∈[－1,1]时，f (x )min ＝f (－1)＝－1－2＋b 2－b ＋1＝b 2－b －2，令b 2－b －2>0，解得b <－1或b >2.9．若不等式－2≤x 2－2ax ＋a ≤－1有唯一解，则a 的值为________.答案 1±52解析 若不等式－2≤x 2－2ax ＋a ≤－1有唯一解，则x 2－2ax ＋a ＝－1有两个相等的实根，所以Δ＝4a 2－4(a ＋1)＝0，解得a ＝1±52. 10．设f (x )是定义在R 上的以3为周期的奇函数，若f (1)>1，f (2)＝2a －3a ＋1，则实数a 的取值范围是________．答案 (－1，23) 解析 ∵f (x ＋3)＝f (x )，∴f (2)＝f (－1＋3)＝f (－1)＝－f (1)<－1.∴2a －3a ＋1<－1⇔3a －2a ＋1<0⇔(3a －2)(a ＋1)<0， ∴－1<a <23. *11.已知f (x )是定义域为R 的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－4x ，那么，不等式f (x ＋2)<5的解集是______________________．答案 {x |－7<x <3}解析 令x <0，则－x >0，∵x ≥0时，f (x )＝x 2－4x ，∴f (－x )＝(－x )2－4(－x )＝x 2＋4x ，又f (x )为偶函数，∴f (－x )＝f (x )，∴x <0时，f (x )＝x 2＋4x ，故有f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ，x ≥0，x 2＋4x ，x ＜0.再求f (x )<5的解，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0，x 2－4x <5，得0≤x ＜5；由⎩⎪⎨⎪⎧x <0，x 2＋4x <5， 得－5<x <0，即f (x )<5的解集为(－5,5)．由于f (x )向左平移两个单位即得f (x ＋2)，故f (x ＋2)<5的解集为{x |－7<x <3}．12．设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，函数F (x )＝f (x )－x 的两个零点为m ，n (m <n )．(1)若m ＝－1，n ＝2，求不等式F (x )>0的解集；(2)若a >0，且0<x <m <n <1a，比较f (x )与m 的大小． 解 (1)由题意知，F (x )＝f (x )－x ＝a (x －m )(x －n )．当m ＝－1，n ＝2时，不等式F (x )>0，即a (x ＋1)(x －2)>0.当a >0时，不等式F (x )>0的解集为{x |x <－1或x >2}；当a <0时，不等式F (x )>0的解集为{x |－1<x <2}．(2)f (x )－m ＝F (x )＋x －m ＝a (x －m )(x －n )＋x －m ＝(x －m )(ax －an ＋1)，∵a >0，且0<x <m <n <1a， ∴x －m <0,1－an ＋ax >0.∴f (x )－m <0，即f (x )<m .*13.(2016·烟台模拟)已知不等式(a ＋b )x ＋(2a －3b )<0的解为x >－34，解不等式(a －2b )x 2＋2(a －b －1)x ＋(a －2)>0.解 因为(a ＋b )x ＋(2a －3b )<0，所以(a ＋b )x <3b －2a ，因为不等式的解为x >－34， 所以a ＋b <0，且3b －2a a ＋b＝－34， 解得a ＝3b <0，则不等式(a －2b )x 2＋2(a －b －1)x ＋(a －2)>0.等价为bx 2＋(4b －2)x ＋(3b －2)>0，即x 2＋(4－2b )x ＋(3－2b)<0， 即(x ＋1)(x ＋3－2b)<0. 因为－3＋2b<－1， 所以不等式的解为－3＋2b<x <－1. 即所求不等式的解集为{x |－3＋2b<x <－1}．。

必考部分第七章不等式不等式§不等式的性质与一元二次不等式考纲展示►.了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式(组)的实际背景．．会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型．．通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系．．会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图．考点不等式的性质.两个实数比较大小的方法(\\(－>⇔，，－＝⇔，，－<⇔，))错误!答案：()> ＝< ()> ＝<．不等式的基本性质续表<＋>＋>> >．不等式的一些常用性质()倒数的性质：①>，>⇒.②<<⇒.③>><<⇒.④<<<或<<<⇒.()有关分数的性质：若>>，>，则①<；>(－>)．②>；<(－>)．答案：()①< ②< ③> ④< <不等式性质的两个易错点：不等号的传递性；可乘性．()若＞，≥，则与的大小关系是．答案：＞解析：由＞，≥，得＞.()若＞，则与的大小关系是．答案：不确定解析：若＞，则＞；若＜，则＜；若＝，则＝..比较两个数大小的方法：差值法；商值法．()若>，且>，则与的大小关系是．答案：<解析：∵>，∴－<，又>，∴－＝<，即<.()与的大小关系是.答案：＞解析：＝＝·。

7．2 一元二次不等式及其解法1．解不等式的有关理论(1)若两个不等式的解集相同，则称它们是_________；(2)一个不等式变形为另一个不等式时，若两个不等式是同解不等式，这种变形称为不等式的_________；(3)解不等式变形时应进行同解变形；解不等式的结果，一般用集合表示．2．一元一次不等式解法任何一个一元一次不等式经过不等式的同解变形后，都可以化为ax＞b(a≠0)的形式．当a＞0时，解集为_________；当a＜0时，解集为_________．若关于x的不等式ax>b的解集是R，则实数a，b满足的条件是_________．3．一元二次不等式及其解法(1)我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为__________不等式．(2)使某个一元二次不等式成立的x的值叫做这个一元二次不等式的解，一元二次不等式所有的解组成的集合叫做一元二次不等式的________．(3)若一元二次不等式经过同解变形后，化为一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(或ax2＋bx＋c＜0)(其中a ＞0)的形式，其对应的方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实根x1，x2，且x1＜x2(此时Δ＝b2-4ac＞0)，则可根据“大于号取_________，小于号取_________”求解集．(4)一元二次不等式的解：(1)化分式不等式为标准型．方法：移项，通分，右边化为0，左边化为f（x）g（x）的形式．(2)将分式不等式转化为整式不等式求解，如：f（x）g（x）＞0⇔f(x)g(x)＞0；f（x）g（x）＜0 ⇔f(x)g(x)＜0；f（x）g（x）≥0 ⇔⎩⎪⎨⎪⎧f（x）g（x）≥0，g（x）≠0；f（x）g（x）≤0 ⇔⎩⎪⎨⎪⎧f（x）g（x）≤0，g（x）≠0.自查自纠1．(1)同解不等式 (2)同解变形2.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＞b a⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜b a a ＝0，b ＜03．(1)一元二次 (2)解集 (3)两边 中间 (4)①{}x |x ＜x 1或x ＞x 2 ②⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠-b 2a ③(2016·宜昌模拟)设集合A ＝{x |x 2＋x -6≤0}，集合B 为函数y ＝1x -1的定义域，则A ∩B等于( )A ．(1，2)B ．C ．解：A ＝{x |x 2＋x -6≤0}＝{x |-3≤x ≤2}，由x -1>0得x >1，即B ＝{x |x >1}，所以A ∩B ＝{x|1<x ≤2}．故选D .(2016·梧州模拟)不等式2x ＋1<1的解集是( )A ．(-∞，-1)∪(1，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(-∞，-1)D ．(-1，1) 解：因为2x ＋1<1，所以2x ＋1-1<0，即1-xx ＋1<0，该不等式可化为(x ＋1)(x -1)>0，所以x <-1或x >1.故选A .(2016·青海模拟)不等式(a -2)x 2＋2(a -2)x -4<0，对一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(-∞，2]B ．(-2，2]C ．(-2，2)D ．(-∞，2)解：当a ≠2时，有⎩⎪⎨⎪⎧a -2＜0，Δ＜0， 所以-2<a <2.当a＝2时，原式化为-4<0，恒成立．所以-2<a ≤2.故选B .不等式2x 2-x <4的解集为____________． 解：由2x 2-x <4得x 2-x <2，解得-1<x <2，即不等式2x 2-x <4的解集为{x |-1<x <2}．故填{x|-1<x<2}．(2016·达州模拟)若关于x 的不等式12x 2＋(2-m )x <0的解集是{x |0<x <2}，则实数m ＝________.解：由题知x ＝0和x ＝2是方程12x 2＋(2-m )x ＝0的根，代入可得m＝3.故填3.类型一 一元一次不等式的解法已知关于x 的不等式(a ＋b )x ＋2a -3b ＜0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫-∞，-13，则关于x 的不等式(a -3b )x ＋b -2a ＞0的解集为________．解：由(a ＋b )x ＜3b -2a 的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫-∞，-13，得a ＋b ＞0，且3b -2a a ＋b ＝-13，从而a ＝2b ，则a ＋b ＝3b ＞0，即b ＞0， 将a ＝2b 代入(a -3b )x ＋b -2a ＞0， 得-bx -3b ＞0，x ＜-3，故填{x|x ＜-3}． 【点拨】一般地，一元一次不等式都可以化为ax ＞b (a ≠0)的形式．挖掘隐含条件a ＋b ＞0且3b -2aa ＋b ＝-13是解本题的关键．解关于x 的不等式：(m 2-4)x ＜m ＋2.解：(1)当m 2-4＝0即m ＝-2或m ＝2时， ①当m ＝-2时，原不等式的解集为， ②当m ＝2时，原不等式的解集为R . (2)当m 2-4＞0，即m ＜-2或m ＞2时，x ＜1m -2.(3)当m2-4＜0，即-2＜m＜2时，x＞1m-2.类型二一元二次不等式的解法解下列不等式：(1)x2-7x＋12＞0; (2)-x2-2x＋3≥0；(3)x2-2x＋1＜0; (4)x2-2x＋2＞0.解：(1)方程x2-7x＋12＝0的解为x1＝3，x2＝4.而y＝x2-7x＋12的图象开口向上，可得原不等式x2-7x＋12＞0的解集是{x|x＜3或x＞4}．(2)不等式两边同乘以-1，原不等式可化为x2＋2x-3≤0.方程x2＋2x-3＝0的解为x1＝-3，x2＝1.而y＝x2＋2x-3的图象开口向上，可得原不等式-x2-2x＋3≥0的解集是{x|-3≤x≤1}．(3)方程x2-2x＋1＝0有两个相同的解x1＝x2＝1.而y＝x2-2x＋1的图象开口向上，可得原不等式x2-2x＋1＜0的解集为.(4)因为Δ＜0，所以方程x2-2x＋2＝0无实数解，而y＝x2-2x＋2的图象开口向上，可得原不等式x2-2x ＋2＞0的解集为R.【点拨】解一元二次不等式的步骤：(1)将二次项系数化为正数；(2)解相应的一元二次方程；(3)根据一元二次方程的根，结合不等号的方向画图；(4)写出不等式的解集．容易出现的错误有：①未将二次项系数化正，对应错标准形式；②解方程出错；③结果未按要求写成集合．(2015·贵州模拟)关于x的不等式x2-(a ＋1)x＋a<0的解集中，恰有3个整数，则实数a的取值范围是________．解：原不等式可化为(x-1)(x-a)<0，当a>1时，得1<x<a，此时解集中的整数为2，3，4，则4<a≤5；当a<1时，得a<x<1，此时解集中的整数为-2，-1，0.则-3≤a<-2，故a∈．故填．类型三二次不等式、二次函数及二次方程的关系(2015·贵州模拟)已知不等式ax2＋bx＋2>0的解集为{x|-1<x<2}，则不等式2x2＋bx＋a<0的解集为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x<-1或x>12B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|-1<x<12 C．{x|-2<x<1} D．{x|x<-2或x>1}解：由题意知x＝-1，x＝2是方程ax2＋bx＋2＝0的两根，且a＜0.由韦达定理得⎩⎪⎨⎪⎧-1＋2＝-b a，（-1）×2＝2a⇒⎩⎪⎨⎪⎧a＝-1，b＝1.所以不等式2x2＋bx＋a<0，即2x2＋x-1<0.解得-1＜x＜12.故选B.【点拨】已知一元二次不等式的解集，就能够得到相应的一元二次方程的两根，由根与系数的关系，可以求出相应的系数．注意结合不等式解集的形式判断二次项系数的正负．(2016·湖南模拟)已知f(x)＝-3x2＋a(6-a)x＋6.(1)解关于a的不等式f(1)>0；(2)若不等式f(x)>b的解集为(-1，3)，求实数a，b的值．解：(1)因为f(x)＝-3x2＋a(6-a)x＋6，所以f(1)＝-3＋a(6-a)＋6＝-a2＋6a＋3，所以原不等式可化为a2-6a-3<0，解得3-23<a<3＋2 3.所以原不等式的解集为{a|3-23<a<3＋23}．(2)f(x)>b的解集为(-1，3)等价于方程-3x2＋a(6-a)x＋6-b＝0的两根为-1，3，等价于⎩⎪⎨⎪⎧-1＋3＝a （6-a ）3，-1×3＝-6-b 3， 解得⎩⎨⎧a ＝3±3，b ＝-3.类型四 含有参数的一元二次不等式解关于x 的不等式：mx 2-(m ＋1)x ＋1＜0. 解：(1)当m ＝0时，不等式为-(x -1)＜0，得x -1＞0，不等式的解集为{x |x ＞1}；(2)当m ≠0时，不等式为m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x -1m (x -1)＜0.①当m ＜0，不等式为⎝ ⎛⎭⎪⎫x -1m (x -1)＞0，因为1m＜1，所以不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜1m或x ＞1.②当m ＞0，不等式为⎝ ⎛⎭⎪⎫x -1m (x -1)＜0.(Ⅰ)若1m＜1，即m ＞1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |1m ＜x ＜1； (Ⅱ)若1m＞1，即0＜m ＜1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |1＜x ＜1m ；(Ⅲ)若1m＝1，即m ＝1时，不等式的解集为.【点拨】当x 2的系数是参数时，首先对它是否为零进行讨论，确定其是一次不等式还是二次不等式，即对m ≠0与m ＝0进行讨论，这是第一层次；第二层次：x 2的系数正负(不等号方向)的不确定性，对m ＜0与m ＞0进行讨论；第三层次：1m与1大小的不确定性，对m ＜1、m ＞1与m ＝1进行讨论．解关于x 的不等式ax 2-2≥2x -ax (a ∈R )．解：不等式整理为ax 2＋(a -2)x -2≥0， 当a ＝0时，解集为(-∞，-1]．当a ≠0时，ax 2＋(a -2)x -2＝0的两根为-1，2a，所以当a ＞0时，解集为(-∞，-1]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫2a，＋∞；当-2＜a ＜0时，解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a，-1；当a ＝-2时，解集为{x |x ＝-1}；当a ＜-2时，解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤-1，2a .类型五 分式不等式的解法(1)不等式x -12x ＋1≤1的解集为________．解：x -12x ＋1≤1 ⇔ x -12x ＋1-1≤0 ⇔ -x -22x ＋1≤0 ⇔ x ＋22x ＋1≥0. 解法一：x ＋22x ＋1≥0 ⇔⎩⎪⎨⎪⎧（x ＋2）（2x ＋1）≥0，2x ＋1≠0.得{x|x ＞-12或x ≤-2}．解法二：x ＋22x ＋1≥0 ⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2≥0，2x ＋1＞0 或 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2≤0，2x ＋1＜0.得{x|x ＞-12或x ≤-2}．故填{x |x ＞-12或x≤-2}．(2)(2016·丽水模拟)已知两个集合A ＝{x |y ＝ln(-x 2＋x ＋2)}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|2x ＋1e-x ≤0，则A ∩B ＝( ) A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫-12，2B.⎝ ⎛⎦⎥⎤-1，-12 C ．(-1，e)D ．(2，e)解：由题意得A ＝{x |-x 2＋x ＋2>0}＝{x |-1<x <2}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x >e 或x ≤-12，故A ∩B ＝⎝ ⎛⎦⎥⎤-1，-12.故选B . 【点拨】首先通过“移项、通分”，将不等式右边化为0，左边化为f （x ）g （x ）的形式，将原分式不等式化为标准型，然后将化为标准型的分式不等式等价转化为整式不等式(组)来求解，注意分母不为0.(1)若集合A ＝{x |-1≤2x ＋1≤3}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x -2x ≤0，则A ∩B ＝( )A ．{x |-1≤x ＜0}B ．{x |0＜x ≤1}C ．{x |0≤x ≤2}D ．{x |0≤x ≤1}解：易知A ＝{x |-1≤x ≤1}，B 集合就是不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x （x -2）≤0，x ≠0 的解集，求出B ＝{}x |0＜x ≤2，所以A ∩B ＝{x |0＜x ≤1}．故选B .(2)不等式x -12x ＋1≤0的解集为( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤-12，1B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤-12，1 C.⎝⎛⎭⎪⎫-∞，-12∪，函数f (x )＝x 2＋(a -4)x ＋4-2a 的值总大于0，则x 的取值范围是( )A ．{x |1＜x ＜3}B ．{x |x ＜1或x＞3}C ．{x |1＜x ＜2}D ．{x |x ＜1或x ＞2}解：记g (a )＝(x -2)a ＋x 2-4x ＋4，a ∈，依题意，只须⎩⎪⎨⎪⎧g （1）＞0，g （-1）＞0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 2-3x ＋2＞0，x 2-5x ＋6＞0⇒x＜1或x ＞3，故选B .【点拨】(1)一元二次不等式恒成立问题，对于x 变化的情形，解法一利用参变量分离法，化成a ＞f (x )(a ＜f (x ))型恒成立问题，再利用a ＞f (x )max (a ＜f (x )min )，求出参数范围．解法二化归为二次函数，由于是轴动区间定，结合二次函数对称轴与定义域的位置关系、单调性等相关知识，求出参数范围．(2)对于参数变化的情形，大多利用参变量转换法，即参数转换为变量；变量转换为参数，把关于x 的二次不等式转换为关于a 的一次不等式，化繁为简，然后再利用一次函数的单调性，求出x 的取值范围．(1)(2016·银川模拟)已知函数f (x )＝x 2-2ax -1＋a ，a ∈R .(Ⅰ)若a ＝2，试求函数y ＝f （x ）x(x >0)的最小值； (Ⅱ)对于任意的x ∈，不等式f (x )≤a 恒成立，试求a 的取值范围．解：(Ⅰ)依题意得y ＝f （x ）x ＝x 2-4x ＋1x ＝x ＋1x-4.因为x >0，所以x ＋1x ≥2.当且仅当x ＝1x，即x ＝1时，等号成立．所以y ≥-2.所以当x ＝1时，y ＝f （x ）x的最小值为-2.(Ⅱ)因为f (x )-a ＝x 2-2ax -1，所以要使得∀x ∈，不等式f (x )≤a 恒成立，只要x 2-2ax -1≤0在上恒成立即可．不妨设g (x )＝x 2-2ax -1，则⎩⎪⎨⎪⎧g （0）≤0，g （2）≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧0-0-1≤0，4-4a -1≤0， 解得a ≥34.则a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞. (2)对于满足|a |≤2的所有实数a ，使不等式x 2＋ax ＋1＞2x ＋a 成立的x 的取值范围为________．解：原不等式转化为(x -1)a ＋x 2-2x ＋1＞0，设f (a )＝(x -1)a ＋x 2-2x ＋1，则f (a )在上恒大于0，故有：⎩⎪⎨⎪⎧f （-2）＞0，f （2）＞0 即⎩⎪⎨⎪⎧x 2-4x ＋3＞0，x 2-1＞0 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＞3或x ＜1，x ＞1或x ＜-1.所以x ＜-1或x ＞3.故填(-∞，-1)∪(3，＋∞)．类型七 二次方程根的讨论若方程2ax 2-x -1＝0在(0，1)内有且仅有一解，则a 的取值范围是( )A ．(-∞，-1)B ．(1，＋∞)C ．(-1，1)D ．．(2)由题意得20(10-x )(50＋8x )≥10 260，化简得8x 2-30x ＋13≤0.解得12≤x ≤134.所以x 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2.1．一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ＞0(或ax 2＋bx ＋c ＜0)(a ≠0)的解集的确定，受二次项系数a 的符号及判别式Δ＝b 2-4ac 的符号制约，且与相应的二次函数、一元二次方程有密切联系，可结合相应的函数y ＝ax2＋bx ＋c (a ≠0)的图象，数形结合求得不等式的解集；二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的值恒大于0的条件是a ＞0且Δ＜0；若恒大于或等于0，则a ＞0且Δ≤0.若二次项系数中含参数且未指明该函数是二次函数时，必须考虑二次项系数为0这一特殊情形．2．解分式不等式要使一边为零；求解非严格分式不等式时，要注意分母不等于0，转化为不等式组．(注：形如f （x ）g （x ）≥0或f （x ）g （x ）≤0的不等式称为非严格分式不等式)3．解含参数的不等式的基本途径是分类讨论，能避免讨论的应设法避免讨论．对字母参数的逻辑划分要具体问题具体分析，必须注意分类不重、不漏、完全、准确．4．解不等式的过程，实质上是不等式等价转化的过程．因此保持同解变形是解不等式应遵循的基本原则．5．各类不等式最后一般都要化为一元一次不等式(组)或一元二次不等式(组)来解，这体现了转化与化归的数学思想．6．对给定的一元二次不等式，求解的程序框图是：1．不等式x -2x ＋1≤0的解集是( ) A ．(-∞，-1)∪(-1，2] B ．C ．(-∞，-1)∪ 解：x -2x ＋1≤0⇔()x ＋1()x -2≤0，且x ≠-1，即x ∈(-1，2]，故选D .2．(2015·湖北模拟)不等式f (x )＝ax 2-x -c >0的解集为{x |-2<x <1}，则函数y ＝f (-x )的图象为()解：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧-2＋1＝1a ，-2×1＝-c a ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝-1，c ＝-2.则f (x )＝-x 2-x ＋2，所以f (-x )＝-x 2＋x ＋2.故选C .3．已知一元二次不等式f (x )<0的解集为{x |x <-1或x >12}，则f (10x)>0的解集为( )A ．{x |x <-1或x >lg2}B ．{x |-1<x <lg2}C ．{x |x >-lg2}D ．{x |x <-lg2}解：可设f (x )＝a (x ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫x -12(a <0)，由f (10x)>0可得(10x＋1)⎝⎛⎭⎪⎫10x -12<0，从而10x <12，解得x <-lg2，故选D .4．(2016·辽宁一模)若不等式2kx 2＋kx -38<0对一切实数x 恒成立，则k 的取值范围为( )A ．(-3，0)B ．D ．(-3，0]解：当k ＝0时，显然成立；当k ≠0时，即一元二次不等式2kx 2＋kx -38<0对一切实数x 恒成立，则⎩⎪⎨⎪⎧k ＜0，k 2-4×2k ×⎝ ⎛⎭⎪⎫-38＜0， 解得-3<k <0.综上，满足不等式2kx 2＋kx -38<0对一切实数x 都成立的k 的取值范围是(-3，0]．故选D .5．若关于x 的不等式2x 2-8x -4-a >0在(1，4)内有解，则实数a 的取值范围是( )A ．(-∞，-12)B ．(-4，＋∞)C ．(-12，＋∞)D ．(-∞，-4)解：关于x 的不等式2x 2-8x -4-a ＞0在(1，4)内有解，即a ＜2x 2-8x -4在(1，4)内有解，令f (x )＝2x 2-8x -4＝2(x -2)2-12，当x ＝2时，f (x )取最小值f (2)＝-12；当x ＝4时，f (4)＝2(4-2)2-12＝-4，所以在(1，4)上，-12≤f (x )＜-4.要使a ＜f (x )有解，则a ＜-4.故选D .6．若关于x 的方程3x 2-5x ＋a ＝0的一个根大于-2且小于0，另一个根大于1且小于3，则实数a 的取值范围是( )A ．(-∞，2)B ．(-12，＋∞)C ．(-22，0)D ．(-12，0)解：设f (x )＝3x 2-5x ＋a ，则由题意有⎩⎪⎨⎪⎧f （-2）＞0，f （0）＜0，f （1）＜0，f （3）＞0.即⎩⎪⎨⎪⎧22＋a ＞0，a ＜0，-2＋a ＜0，12＋a ＞0.解得-12＜a ＜0.故选D .7．(2015·浙江模拟)不等式log 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x＋6≤3的解集为________．解：log 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x＋6≤3⇔log 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x＋6≤log 28⇔0＜x ＋1x ＋6≤8⇔-6＜x ＋1x ≤2.当x ＞0时，x ＋1x≥2，此时x ＝1；当x ＜0时，x ＋1x ≤-2，此时x ＋1x＞-6，解得-3-22＜x ＜-3＋2 2.故填(-3-22，-3＋22)∪{1}．8．(2016·辽宁模拟)若关于x 的不等式4x -2x ＋1-a ≥0在上恒成立，则实数a 的取值范围是________．解：因为不等式4x-2x ＋1-a ≥0在上恒成立，所以4x-2x ＋1≥a 在上恒成立．令y ＝4x-2x ＋1＝(2x )2-2×2x＋1-1＝(2x-1)2-1.因为1≤x ≤2，所以2≤2x≤4.由二次函数的性质可知：当2x＝2，即x ＝1时，y 取得最小值0，所以实数a 的取值范围为(-∞，0]．故填(-∞，0]．9．若关于x 的不等式x 2-ax -a ≤-3的解集不是空集，求实数a 的取值范围．解法一：设f (x )＝x 2-ax -a .则关于x 的不等式x 2-ax -a ≤-3的解集不是空集⇔f (x )min ≤-3，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＝-4a ＋a24≤-3，解得a ≤-6或a ≥2.解法二：x 2-ax -a ≤-3的解集不是空集⇔x 2-ax -a ＋3＝0的判别式Δ≥0，解得a ≤-6或a ≥2.10．汽车在行驶中，由于惯性的作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析事故的一个重要因素．在一个限速为40 km/h 的弯道上，甲、乙两辆车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了．事后现场勘查测得甲车的刹车距离略超过12 m ，乙车的刹车距离略超过10 m ，又知甲、乙两种车型的刹车距离s (m)与车速x (km/h)之间分别有如下关系：s 甲＝0.1x ＋0.01x 2， s 乙＝0.05x ＋0.005x 2.问甲、乙两车有无超速现象？解：由题意知，对于甲车，有0.1x ＋0.01x 2＞12， 即x 2＋10x -1200＞0，解得x ＞30或x ＜-40(舍去)． 这表明甲车的车速超过30 km/h ，又由甲车刹车距离略超12 m ，可判断甲车车速不会超过限速40 km/h.对于乙车有0.05x ＋0.005x 2＞10，即x 2＋10x -2000＞0，解得x ＞40或x ＜-50(舍去)． 这表明乙车超过40 km/h ，超过规定限速．解关于x 的不等式：a （x -1）x -2＞1(a ＜1)． 解：(x -2)＞0， 当a ＜1时有(x -2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x -a -2a -1＜0，若a -2a -1＞2，即0＜a ＜1时，解集为{x |2＜x ＜a -2a -1}； 若a -2a -1＝2，即a ＝0时，解集为； 若a -2a -1＜2，即a ＜0时，解集为{x |a -2a -1＜x ＜2}．1．已知-12<1x<2，则x 的取值范围是( )A ．(-2，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫-12，2C.⎝⎛⎭⎪⎫-∞，-12∪(2，＋∞) D ．(-∞，-2)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞解：当x >0时，x >12；当x <0时，x <-2.所以x 的取值范围是x <-2或x >12，故选D .2．(2016·贵州模拟)若集合A ＝{x |ax 2-ax ＋1<0}＝，则实数a 的取值范围是( )A ．(0，4)B ．D ．解：由题意知当a ＝0时，满足条件．当a ≠0时，由⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＝a 2-4a ≤0， 得0<a ≤4，所以实数a 的取值范围是．故选D .3．(2016·肇庆模拟)已知不等式mx 2＋nx -1m<0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x ＜-12或x ＞2，则m -n ＝( )A.12 B ．-52C.52 D ．-12解：由已知可得方程mx 2＋nx -1m ＝0的两个根为-12，2，且m <0.所以⎩⎨⎧-12＋2＝-n m，-12×2＝-1m m， 解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝-1，n ＝32. 所以m -n ＝-52.故选B .4．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300 m 2的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x (单位：m)的取值范围是()A ．B ．C ．D ． 解：设矩形的另一边为y m ，依题意得x 40＝40-y40，即y ＝40-x ，所以x (40-x )≥300，解得10≤x ≤30.故选C .5．(2016·云南模拟)若不等式x 2-(a ＋1)x ＋a ≤0的解集是的子集，则a 的取值范围是( )A ．B ．C ．D ．解：原不等式等价于(x -a )(x -1)≤0，当a <1时，不等式的解集为，此时只要a ≥-4即可，即-4≤a <1；当a ＝1时，不等式的解为x ＝1，此时符合要求；当a >1时，不等式的解集为，此时只要a ≤3即可，即1<a ≤3.综上可得-4≤a ≤3.故选B .6．(2016·河南模拟)在R 上定义运算⊗：x ⊗y ＝(1-x )(1＋y )．若不等式(x -a )⊗ (x ＋a )＜1对任意实数x 恒成立，则( )A ．-1＜a ＜1B ．-2＜a ＜0C ．0＜a ＜2D ．-32＜a ＜12解：(x -a )⊗(x ＋a )＝(1-x ＋a )(1＋x ＋a )＝(1＋a )2-x 2＜1恒成立，即x 2＞(1＋a )2-1恒成立，故只要(1＋a )2-1＜0即可，所以a 2＋2a ＜0，解得-2＜a ＜0.故选B .7．(2016·西安模拟)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的值域为，不等式(m -m 2)4x ＋2x ＋1＞0恒成立，则实数m 的取值范围是________．解：因为(m -m 2)4x ＋2x＋1＞0在x ∈(-∞，-1]上恒成立，所以m -m 2＞-2x＋14x 在x ∈(-∞，-1]上恒成立．设t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，因为x ∈(-∞，-1]，所以t ≥2. 所以-2x＋14x ＝-t 2-t ＝-⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122＋14≤-6，所以m -m 2＞-6，解得-2＜m ＜3.故填(-2，3)．9．(2016·西安模拟)某商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现准备提高售价来增加利润．已知这种商品每件售价提高1元，销量就要减少10件．那么要保证该商品每天的利润在320元以上，求其每件售价的取值范围．解：设售价定为每件x 元，利润为y 元，则：y ＝(x -8)，依题意，有(x -8)＞320，即x 2-28x ＋192＜0，解得12＜x ＜16，所以每件售价的取值范围为(12，16)(单位：元)． 10．(2016·湖北模拟)已知不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为(1，t )，记函数f (x )＝ax 2＋(a -b )x -c .(1)求证：函数y ＝f (x )必有两个不同的零点； (2)若函数y ＝f (x )的两个零点分别为m ，n ，求|m -n |的取值范围．解：(1)证明：由题意知a ＜0，a ＋b ＋c ＝0，且-b2a>1，所以c ＜a ＜0，所以ac >0，所以对于函数f (x )＝ax 2＋(a -b )x -c 有Δ＝(a -b )2＋4ac >0，所以函数y ＝f (x )必有两个不同零点．(2)|m -n |2＝(m ＋n )2-4mn ＝（b -a ）2＋4aca 2＝（-2a -c ）2＋4ac a2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＋8·ca＋4， 由不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为(1，t )可知，方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个解分别为1和t (t >1)，由根与系数的关系知c a＝t ，所以|m -n |2＝t 2＋8t ＋4，t ∈(1，＋∞)．所以|m -n |>13，所以|m -n |的取值范围为(13，＋∞)．(2016·郑州模拟)设二次函数f (x )＝ax2＋bx ＋c ，函数F (x )＝f (x )-x 的两个零点为m ，n (m <n )．(1)若m ＝-1，n ＝2，求不等式F (x )>0的解集； (2)若a >0，且0<x <m <n <1a，比较f (x )与m 的大小．解：(1)由题意知，F (x )＝f (x )-x ＝a (x -m )(x -n )， 当m ＝-1，n ＝2时，不等式F (x )>0， 即a (x ＋1)(x -2)>0.那么当a >0时，不等式F (x )>0的解集为{x |x <-1或x >2}；当a <0时，不等式F (x )>0的解集为{x |-1<x <2}． (2)f (x )-m ＝a (x -m )(x -n )＋x -m ＝(x -m )(ax -an ＋1)． 因为a >0，且0<x <m <n <1a，所以x -m <0，1-an ＋ax >0. 所以f (x )-m <0，即f (x )<m .。

m 0, 即 此不等式组无解. Δ 4 4 m (1 m ) 0,
综上,不存在满足题意的m.
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命题角度二
形如f(x)≥0(x∈[a,b])恒成立,求参数范围
典例3 设函数f(x)=mx2-mx-1(m≠0),若对于x∈[1,3], f(x)<-m+5恒成立,
求m的取值范围. 解析 f(x)<-m+5即为mx2-mx+m-6<0, 则问题转化为mx2-mx+m-6<0在x∈[1,3]上恒成立, 有以下两种解法:
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文数
课标版
第二节 一元二次不等式及其解法
栏目索引
教材研读
1.“三个二次”的关系
判别式Δ=b -4ac
2
Δ>0
Δ=0
Δ<0
二次函数y=ax +bx+c(a>0)
2
的图象
一元二次方程ax +bx+c=0 (a>0)的根
2
有两相异实根x1,x2(x1<x2)
有两相等实根x1=x2 没有实数根 =- 2a
利用数轴(如图)可知,原不等式的解集为{x|-2≤x<-1或2<x≤3}.
2 x 3.
(4)原不等式可变形为(ax-1)(x-1)<0, 当a=0时,原不等式的解集为{x|x>1};
栏目索引
当a≠0时,原不等式可变形为a x (x-1)<0. a
1 x 若a<0,则 (x-1)>0, a
1 3 解法一:令g(x)=mx -mx+m-6=m m-6,x∈[1,3]. x + 2 4

考情概览 知识梳理 核心考点 学科素养
-11-
4.(教材改编)设a>b>0,c∈R,则下列不等式成立的 有 .(填写序号)
①a-c>b-c;②ac>bc;③ 3 ������ > ������;④������ < ������ .
3
1
1
关闭
由不等式的性质知只有②不正确.
关闭
①③④
解析 答案
第七章
知识梳理 双击自测
-4-
2017 2016 2015 2014 2013 1.了解不等关系,掌握不等式的基本性质. 考查要 2.了解二次函数、一元二次方程、一元二次不等式之 求 间的联系. 3.会解一元二次不等式. 高考对不等关系及一元二次不等式的考查常与求函数 的定义域、充要条件、判断命题真假、数或式的大小 考向分 比较、不等式的恒成立及同解变形等问题结合在一 析 起.高考对本节内容的考查在注重双基的同时,还注重 函数与方程思想、分类讨论思想、数形结合思想及待 定系数法的考查. 年份
第七章
不等式、推理与证明第七章
7.1 不等关系与一元二次不等式
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-3-
年份 不等式 的概念 和性质
2017
2016
2015 20,6 分(理)
2014 8,5 分(理) 9,5 分(理) 7,5 分(文) 6,5 分(理) 15,4 分(理) 21,4 分(文)
������������ ������������ ������ ,即 ������������ ������
< , 故选 B.
解析
������ ������
关闭
答案
第七章
知识梳理 双击自测

A 组 专项基础训练(时间：25分钟)1．直线2x ＋y －10＝0与不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x －y ≥－2，4x ＋3y ≤20表示的平面区域的公共点有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数个 【解析】 由不等式组画出平面区域如图(阴影部分)．直线2x ＋y －10＝0恰过点A (5，0)，且其斜率k ＝－2＜k AB ＝－43，即直线2x ＋y －10＝0与平面区域仅有一个公共点A (5，0)．【答案】 B2．(2015·天津)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2≥0，x －y ＋3≥0，2x ＋y －3≤0，则目标函数z ＝x ＋6y 的最大值为( )A ．3B ．4C ．18D ．40【解析】 画出约束条件的可行域如图阴影部分，作直线l ：x ＋6y ＝0，平移直线l 可知，直线l 过点A 时，目标函数z ＝x ＋6y 取得最大值，易得A (0，3)，所以z max ＝0＋6×3＝18，选C.【答案】 C3．(2016·北京)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≤0，x ＋y ≤3，x ≥0，则2x ＋y 的最大值为( )A ．0B ．3C ．4D ．5【解析】 作出可行域(如图)，令z ＝2x ＋y ，则当目标函数线过点A (1，2)时，2x ＋y 取得最大值，且最大值为2×1＋2＝4.故选C.【答案】 C4．(2016·河南洛阳期中)若实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y －3≥0，2x －y －3≤0，x －my ＋1≥0，且x ＋y 的最大值为9，则实数m ＝( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2【解析】 先根据约束条件画出可行域，如图．设z ＝x ＋y ，则y ＝－x ＋z ，将z 转化为直线y ＝－x ＋z 在y 轴上的截距．当直线z ＝x ＋y 经过直线x －my ＋1＝0与直线2x －y －3＝0的交点A 时，z 最大．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝9，2x －y －3＝0得A (4，5)，将点A 的坐标代入x －my ＋1＝0得m ＝1，故选C.【答案】 C5．(2016·北京丰台模拟)某工厂生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲种产品要用A 原料3吨，B 原料2吨；生产每吨乙种产品要用A 原料1吨，B 原料3吨．该工厂每天生产甲、乙两种产品的总量不少于2吨，且每天消耗的A 原料不能超过10吨，B 原料不能超过9吨．如果设每天甲种产品的产量为x 吨，乙种产品的产量为y 吨，则在坐标系xOy 中，满足上述条件的x ，y 的可行域用阴影部分表示正确的是()【解析】 由题可知⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥2，3x ＋y ≤10，2x ＋3y ≤9，x ≥0，y ≥0，故选A.【答案】 A6．(2016·株洲模拟)已知a ＞0，x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤3，y ≥a （x －3），若z ＝2x ＋y 的最小值为1，则a ＝( )A.12B.13 C ．1 D ．2【解析】 如图所示，目标函数z ＝2x ＋y 在点(1，－2a )处取得最小值，2×1－2a ＝1，解得a ＝12.【答案】 A7．(2016·枣庄模拟)已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，4x ＋3y ≤4，y ≥0，，则ω＝y ＋1x的最小值是( )A ．－2B ．2C ．－1D ．1 【解析】 作出不等式组对应的平面区域如图，ω＝y ＋1x的几何意义是区域内的点P (x ，y )与定点A (0，－1)所在直线的斜率， 由图象可知当P 位于点D (1，0)时，直线AP 的斜率最小，此时ω＝y ＋1x 的最小值为－1－00－1＝1.故选D.【答案】 D8．(2016·贵阳模拟)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≥0，x ＜2，x ＋y －1≥0，则z ＝2x －2y －1的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤53，5 B ．C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫53，5D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－53，5 【解析】 画出不等式组所表示的区域，如图中阴影部分所示，可知2×13－2×23－1≤z ＜2×2－2×(－1)－1，即z 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－53，5.【答案】 D9．(2016·山西质检)若变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧|x |＋|y |≤1，xy ≥0，则2x ＋y 的取值范围为________．【解析】 作出满足不等式组的平面区域，如图中阴影部分所示，平移直线2x ＋y ＝0，经过点(1，0)时，2x ＋y 取得最大值2×1＋0＝2，经过点(－1，0)时，2x ＋y 取得最小值2×(－1)＋0＝－2，所以2x ＋y 的取值范围为．【答案】10．(2016·郑州第二次质量预测)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≥0，x －y ≥0，0≤x ≤a ，设b ＝x －2y ，若b的最小值为－2，则b 的最大值为________．【解析】 画出可行域，如图阴影部分所示．由b ＝x －2y 得，y ＝12x －b2.易知在点(a ，a )处b 取最小值，故a －2a ＝－2，可得a ＝2.在点(2，－4)处b 取最大值，于是b 的最大值为2＋8＝10.【答案】 10B 组 专项能力提升 (时间：15分钟)11．(2016·黑龙江哈六中月考)设z ＝x ＋y ，其中实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥0，x －y ≤0，0≤y ≤k ，若z 的最大值为6，则z 的最小值为( )A ．－3B ．－2C ．－1D ．0 【解析】 作出不等式组对应的平面区域， 如图所示．由z ＝x ＋y ，得y ＝－x ＋z .平移直线y ＝－x ＋z ，由图象可知当直线y ＝－x ＋z 经过点A 时，直线y ＝－x ＋z 在y 轴上的截距最大，此时z 最大为6，即x ＋y ＝6.当直线y ＝－x ＋z 经过点B 时，直线y ＝－x ＋z 在y 轴上的截距最小，此时z 最小．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝6，x －y ＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝3，即A (3，3)． ∵直线y ＝k 过点A ，∴k ＝3.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3，x ＋2y ＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－6，y ＝3，即B (－6，3)．此时z 的最小值为－6＋3＝－3，故选A. 【答案】 A12．(2016·河北衡水中学四调)设x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －6≤0，2x －y －1≤0，3x －y －2≥0，若z ＝ax ＋y 的最大值为2a ＋4，最小值为a ＋1，则实数a 的取值范围为( )A ．B ．C ．D ．【解析】 由z ＝ax ＋y 得y ＝－ax ＋z ，直线y ＝－ax ＋z 是斜率为－a ，在y 轴上的截距为z 的直线，作出不等式组对应的平面区域，如图，则A (1，1)，B (2，4)．∵z ＝ax ＋y 的最大值为2a ＋4，最小值为a ＋1，∴直线z ＝ax ＋y 过点B 时，z 取得最大值2a ＋4，过点A 时取得最小值a ＋1.若a ＝0，则y ＝z ，此时满足条件． 若a ＞0，则目标函数线的斜率k ＝－a ＜0，要使目标函数在A 处取得最小值，在B 处取得最大值，则目标函数线的斜率满足－a ≥k BC ＝－1，即0＜a ≤1.若a ＜0，则目标函数线的斜率k ＝－a ＞0，要使目标函数在A 处取得最小值，在B 处取得最大值，则目标函数线的斜率满足－a ≤k AC ＝2，即－2≤a ＜0.综上，－2≤a ≤1，故选B.【答案】 B13．(2016·浙江)在平面上，过点P 作直线l 的垂线所得的垂足称为点P 在直线l 上的投影．由区域⎩⎪⎨⎪⎧x －2≤0，x ＋y ≥0，x －3y ＋4≥0中的点在直线x ＋y －2＝0上的投影构成的线段记为AB ，则|AB |＝( )A ．2 2B ．4C ．3 2D ．6【解析】 由不等式组画出可行域，如图中的阴影部分所示．因为直线x ＋y －2＝0与直线x ＋y ＝0平行，所以可行域内的点在直线x ＋y －2＝0上的投影构成的线段的长|AB |即为|CD |.易得C (2，－2)，D (－1，1)，所以|AB |＝|CD |＝（2＋1）2＋（－2－1）2＝3 2.故选C.【答案】 C14．(2016·郑州第一次质量预测)已知点P (x ，y )的坐标满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，y ≥x －1，x ＋3y －5≤0，那么点P 到直线3x －4y －13＝0的距离的最小值为( )A.115B ．2 C.95D ．1 【解析】 在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域及直线3x －4y －13＝0，结合图形可知，在该平面区域内所有的点中，到直线3x －4y －13＝0的距离最近的点是(1，0)．又点(1，0)到直线3x －4y －13＝0的距离等于|3×1－4×0－13|5＝2，即点P 到直线3x－4y －13＝0的距离的最小值为2.【答案】 B15．(2016·江苏)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4≥0，2x ＋y －2≥0，3x －y －3≤0，则x 2＋y 2的取值范围是________．【解析】 画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4≥0，2x ＋y －2≥0，3x －y －3≤0，表示的可行域如图：由x －2y ＋4＝0及3x －y －3＝0得A (2，3)，由x 2＋y 2表示可行域内的点(x ，y )与点(0，0)的距离的平方可得(x 2＋y 2)max ＝22＋32＝13，(x 2＋y 2)min ＝d 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫252＝45，其中d 表示点(0，0)到直线2x ＋y －2＝0的距离，所以x 2＋y 2的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤45，13.【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤45，1316．(2016·山东淄博模拟)电视台应某企业之约播放两套连续剧．其中，连续剧甲每次播放时间为80 min ，广告时间为1 min ，收视观众为60万；连续剧乙每次播放时间为40 min ，广告时间为1 min ，收视观众为20万．已知此企业与电视台达成协议，要求电视台每周至少播放6 min 广告，而电视台每周播放连续剧的时间不能超过320 min.问两套连续剧各播多少次，才能获得最高的收视率？【解析】 设每周播放连续剧甲x 次，播放连续剧乙y 次，收视率为z . 则目标函数为z ＝60x ＋20y ，约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧80x ＋40y ≤320，x ＋y ≥6，x ∈N ，y ∈N .作出⎩⎪⎨⎪⎧80x ＋40y ≤320，x ＋y ≥6，x ≥0，y ≥0表示的可行域如图．作出直线y ＝－3x 并平移，由图可知，当直线过点A 时纵截距z20最大．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧80x ＋40y ＝320，x ＋y ＝6，得点A 的坐标为(2，4)，满足x ∈N ，y ∈N ，所以z max ＝60×2＋20×4＝200.所以电视台每周应播放连续剧甲2次，播放连续剧乙4次，才能获得最高的收视率．。

第七章 不等式第一节 不等式的性质与不等式的解法题型75 不等式的性质——暂无 题型76 比较数（式）的大小1.(2017北京理13)能够说明“设a b c ，，是任意实数．若a b c >>，则a b c +>”是假命题的一组整数a b c ，，的值依次为__________________．解析 由题知，取一组特殊值且,,a b c 为整数，如1a =-，2b =-，3c =-.2.（2017山东理7）若0a b >>，且1ab =，则下列不等式成立的是（ ）. A.()21log 2a b a a b b +<<+ B.()21log 2a b a b a b <+<+ C.()21log 2a ba ab b +<+< D.()21log 2a b a b a b +<+<解析 由题意知1a >，01b <<，所以12ab<，()22log log 1a b +>=， 12112log ()a ba ab a a b b b+>+>+⇒+>+.故选B. 评注 本题也可采用特殊值法，如13,3a b ==，易得结论.题型77 一元一次不等式与一元二次不等式的解法 题型78 分式不等式的解法——暂无第二节 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题题型79 二元一次不等式组表示的平面区域 题型80 求解目标函数的取值范围或最值1.（2017天津理2）设变量,x y 满足约束条件2022003x y x y x y +⎧⎪+-⎪⎨⎪⎪⎩…………，则目标函数z x y =+的最大值为（ ）. A.23 B.1 C.32D.3 解析 变量,x y 满足约束条件2022003x y x y x y +⎧⎪+-⎪⎨⎪⎪⎩…………的可行域如图所示，目标函数z x y =+经过可行域的点A 时，目标函数取得最大值，由03x y =⎧⎨=⎩，可得(0,3)A ，目标函数z x y =+的最大值为3.故选D.32.(2017北京理4)若x ，y 满足32x x y y x ⎧⎪+⎨⎪⎩………，则2x y +的最大值为（ ）. A.1 B. 3 C.5 D.9解析作出不等式组的可行区域，如图所示，令2z x y =+，则22x zy -=+.当过A 点时z 取最大值，由()3,3A，故max 369z =+=.故选D.3.（2017全国1理14）设x ，y 满足约束条件21210x y x y x y +⎧⎪+-⎨⎪-⎩………，则32z x y =-的最小值为 .解析不等式组21210x y x y x y +⎧⎪+-⎨⎪-⎩………表示的平面区域如图所示，由32z x y =-，得322zy x =-，求z 的最小值，即求直线322z y x =-的纵截距的最大值，当直线322zy x =-过图中点A 时，纵截距最大， 由2121x y x y +=-⎧⎨+=⎩，解得点A 的坐标为(1,1)-，此时3(1)215z =⨯--⨯=-.4.（2017全国2理5）设x ，y 满足约束条件2330233030x y x y y +-⎧⎪-+⎨⎪+⎩………，则2z x y =+的最小值是（ ）. A ．15- B ．9- C ．1 D ．9解析 目标区域如图所示，当直线2y =x +z -过点()63--，时，所求z 取到最小值为15-． 故选A.(6,35.（2017全国3理12）若x ，y 满足约束条件0200x y x y y -⎧⎪+-⎨⎪⎩………，则34z x y =-的最小值为__________．解析 由题意，作出可行域如图所示.目标函数为34z x y =-，则直线344zy x =-的纵截距越大，z 值越小．由图可知z 在()1,1A 处取得最小值，故min 31411z =⨯-⨯=-．6.（2017山东理4）已知x ，y 满足3035030x y x y x -+⎧⎪++⎨⎪+⎩………，则2z x y =+的最大值是（ ）.A. 0B. 2C.5D.6解析 由303+5030x y x y x -+⎧⎪+⎨⎪+⎩………，作出可行域及直线20x y +=，如图所示，平移20x y +=发现，当其经过直线350x y ++=与3x =-的交点(3,4)-时，2z x y =+取最大值为max 3245z =-+⨯=.故选C.y=-3x-5y=-x 27.(2017浙江理4)若x ，y 满足约束条件03020x x y x y ⎧⎪+-⎨⎪-⎩………，则2z x y =+的取值范围是（ ）.A.[]0,6B.[]0,4C.[)6,+∞D.[)4,+∞ 解析 如图所示，22x zy =-+在点()2,1取到z 的最小值为2214z =+⨯=，没有最大值， 故[)4,z ∈+∞．故选D ．题型81 求解目标函数中参数的取值范围——暂无 题型82 简单线性规划问题的实际运用第三节 基本不等式及其应用题型83 利用基本不等式求函数的最值1.（2017江苏10）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是 ． 解析一年的总运费与总存储费用之和为6003600644x x x x⨯+=+240=…，当且仅当36004x x=，即30x =时取等号．故填30． 2.(2017浙江理17)已知a ∈R ，函数()4f x x a a x=+-+在区间[]14，上的最大值是5，则a 的取值范围是 . 解析 设4t x x=+，则()f t t a a =-+，[]4,5t ∈. 解法一：可知()f t 的最大值为{}max (4),(5)f f ，即(4)45(5)55f a a f a a ⎧=-+=⎪⎨=-+⎪⎩…或(4)45(5)55f a a f a a ⎧=-+⎪⎨=-+=⎪⎩…， 解得 4.55a a =⎧⎨⎩…或 4.55a a ⎧⎨⎩……，所以 4.5a …．则a 的取值范围是(],4.5-∞. 解法二：如图所示，当0a <时，()5f t t a a t =-+=…成立； 当0a t <…时，()05f t a t a t =-+-=…成立；当a t >时，()5f t t a a a t a =-+=-+…成立，即 4.5a …. 则a 的取值范围是(],4.5-∞.题型84 利用基本不等式证明不等式——暂无a。

真题演练集训1．若变量x ，y 满足错误!则x 2＋y 2的最大值是（ )A ．4B ．9C ．10D ．12 答案：C 解析：作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，设P (x ，y )为平面区域内任意一点，则x 2＋y 2表示｜OP |2。

显然,当点P 与点A 重合时，x 2＋y 2取得最大值,由错误!解得错误!故A （3,－1)．所以x 2＋y 2的最大值为32＋(－1)2＝10.故选C 。

2．若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ≤0，x ＋y ≤3，，x ≥0，则2x ＋y 的最大值为( )A ．0B ．3C ．4D ．5 答案：C解析：不等式组错误!表示的可行域如图中阴影部分所示，由错误!解得错误!故当目标函数z ＝2x ＋y 经过点A (1，2)时，z 取得最大值,z max ＝2×1＋2＝4。

故选C.3．某企业生产甲、乙两种产品均需用A ,B 两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为( ） 甲 乙 原料限额A(吨)3212B（吨）128A.12万元B．16万元C．17万元D．18万元答案：D解析:设每天生产甲、乙产品分别为x吨、y吨，每天所获利润为z万元，则有错误!目标函数为z＝3x＋4y，作出可行域如图中阴影部分所示，由图形可知，当直线z＝3x＋4y经过点A（2,3)时，z取最大值，最大值为3×2＋4×3＝18(万元）．4．不等式组错误!的解集记为D,有下面四个命题:p1:∀(x，y）∈D，x＋2y≥－2;p2：∃（x，y)∈D，x＋2y≥2;p3：∀(x，y）∈D，x＋2y≤3；p4:∃（x，y）∈D，x＋2y≤－1。

其中的真命题是（)A．p2,p3B．p1，p4C．p1，p2D．p1，p3答案：C解析：作出不等式组表示的可行域，如图中阴影部分所示．由错误!得交点A（2，－1）．目标函数的斜率k＝－错误!〉－1，观察直线x＋y＝1与直线x＋2y＝0的倾斜程度,可知u＝x＋2y过点A时取得最小值0错误!.结合题意知p1，p2正确．5．若x，y满足约束条件错误!则z＝x＋y的最大值为________．答案：错误!解析：约束条件对应的平面区域是以点错误!，(0，1）和（－2，－1）为顶点的三角形，当目标函数y＝－x ＋z经过点错误!时，z取得最大值错误!.课外拓展阅读非线性目标函数最值的求解类型1 斜率型非线性规划问题的最值（值域）目标函数形式一般为z＝错误!（ac≠0），求解步骤为(1)需先弄清其几何意义，z＝错误!·错误!表示的是可行域内的点(x，y)与点错误!所连直线的斜率的错误!倍．(2)数形结合，确定定点错误!,观察可行域的范围．（3)确定可行域内的点（x,y),看(x，y）取何值时，斜率最大(注意若可行域不含边界点，有可能取不到最大值);(x，y）取何值时，斜率最小(注意若可行域不含边界点，有可能取不到最小值)；通常在三角形或四边形的边界交点处取得最值．已知变量x，y满足约束条件错误!则f(x，y)＝错误!的取值范围是________．作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，f（x，y）＝错误!＝错误!.令错误!＝k ，则g （k )＝错误!＝2－错误!.而k ＝错误!表示可行域内的点P （x ，y )与坐标原点O 的连线的斜率，观察图形可知，k OA ≤k ≤k OB ,而k OA ＝错误!＝错误!,k OB ＝错误!＝3， 所以13≤k ≤3, 即错误!≤f (x ，y ）≤错误!。