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第四讲 函数与方程一、知识回顾（一）一次函数的性质和图象1.形如b kx y +=（0≠k ）的函数叫做一次函数，定义域为R ，值域为R .2.一次函数b kx y +=（0≠k ）的图象是一条直线，以后简写为直线b kx y +=，其中k 叫做该直线的斜率，b 叫做该直线在y 轴的截距.一次函数也叫线性函数.3.一次函数的性质：（1）函数值的改变量12y y y -=∆与自变量的改变量12x x x -=∆的比值等于一个常数k ，k 的大小表示直线和x 轴的倾斜程度.（2）当0>k 时，一次函数是增函数，当0<k 时，一次函数是减函数.（3）当0=b 时，一次函数变为正比例函数，是奇函数；当0≠b 时，它既不是奇函数，也不是偶函数.（二）二次函数的性质和图象1.形如)0(,2≠++=a c bx ax y ，叫做二次函数，无特殊要求时，定义域为R .2.a 决定开口方向，0>a 开口向上，0<a 开口向下，c 为图象在y 轴的截距.3.值域：0>a 值域为⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞-,442a b ac ，0<a 时值域为⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡-∞-a b ac 44,2 4.单调性：0>a 时单调增区间为⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞-,2a b ，单调减区间⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-a b 2,.0<a 时单调增区间为⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-a b 2,，单调减区间⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞-,2a b .5.奇偶性：当二次函数解析式中0=b 时，函数为偶函数.6.顶点坐标：)44,2(2ab ac a b --7.方程0)(=x f 根的存在情况与)(x f 与x 轴交点问题：ac b 42-=∆.（1）0>∆，方程0)(=x f 有两个不等的实根，)(x f 与x 轴有两个不同的交点；（2）0=∆时，方程0)(=x f 有两的相等的实根，)(x f 与x 轴只有一个交点；（3）0<∆时，方程0)(=x f 没有实数根，)(x f 与x 轴无交点.8.21,x x 是实系数一元二次方程)0(,02>=++a c bx ax 的实数根，下列为几种常见的根的分布情况根的分布图象 充要条件k x x <<21⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<->>∆k ab k f 20)(021x x k <<⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>->>∆k ab k f 20)(021x k x <<0)(<k f()2121,,k k x x ∈⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<-<>>≥∆212120)(0)(0k a b k k f k f xyo1x 2x k )(k f ab x 2-=ab x 2-=)(k f k2x 1x oyxxyo1x 2x k)(k f xyo1x 2x 1k 2k )(1k f )(2k f ab x 2-=。
高中数学第四章函数应用4.1 函数与方程4.1.1 利用函数性质判定方程解的存在教案1 北师大版必修1编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第四章函数应用4.1 函数与方程4.1.1 利用函数性质判定方程解的存在教案1 北师大版必修1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
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4。
1.1利用函数性质判定方程解的存在本节教材分析函数作为高中的重点知识有着广泛应用，与其他数学内容有着有机联系。
课本选取探究具体的一元二次方程的根与其对应的二次函数的图像与x轴的交点的横坐标之间的关系作为本节内容的入口，其意图是让学生从熟悉的环境中发现新知识，使新知识与原有知识形成联系。
本节设计特点是由特殊到一般，由易到难，这符合学生的认知规律;本节体现的数学思想是“数形结合”思想和“转化”思想.本节充分体现了函数图像和性质的应用。
另外本节也是传统数学方法与现代多媒体完美结合的产物.三维目标1、知识与技能：①理解函数（结合二次函数）零点的概念，领会函数零点与相应方程要的关系,掌握零点存在的判定条件．②培养学生的观察能力．③培养学生的抽象概括能力．2、过程与方法：①通过观察二次函数图象，并计算函数在区间端点上的函数值之积的特点，找到连续函数在某个区间上存在零点的判断方法．②让学生归纳整理本节所学知识．3、情感、态度与价值观：在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值．教学重点:零点的概念及存在性的判定．教学难点：零点的确定．教学建议:这一节，是用函数来研究方程，具体研究的是方程的实数解，可以先引导学生学习判定方程实数解的存在性,然后教会学生如何求方程的近似解.方程0f让学生明白实数解就x)(是函数)(xf的零点，解方程的过程（求方程的近似解）就是细化函数连续区间的过程.进而使学生感受函数的核心地位.另外，要引导学生学习如何构建数学模型。
高中三年级数学课教案：函数与方程函数与方程一、引言数学是学生中较为普遍的一门课程，在高中阶段，数学课程的难度逐渐加深。
而在高中三年级的数学课程中，函数与方程是重要的内容之一。
本教案将围绕函数与方程展开，通过合理的课堂设计，帮助学生掌握相关概念和解题方法。
二、函数与方程的概念1. 函数的定义函数是一个数学对象，它将一个或多个给定的数映射到另一个数上。
函数由定义域、值域和映射规则组成。
2. 方程的定义方程是一个等式，它表达了两个表达式之间的平衡关系。
方程中通常含有未知数，我们需要找到未知数的值使得等式成立。
三、函数与方程的关系1. 函数与方程的异同函数与方程都是数学对象，二者的主要区别在于函数是一种特殊的方程，它具有映射关系。
而方程更加广义，它可以没有映射关系。
2. 函数与方程的联系方程可以表示为函数的形式，而函数可以通过解方程得到具体的值。
函数和方程的联系有助于我们更好地理解和应用数学知识。
四、函数与方程的实际应用1. 函数的实际应用函数在实际生活中有广泛的应用，如物理领域的速度函数、经济学中的供求函数等。
通过掌握函数的性质和变化规律，我们可以更好地解释和分析实际问题。
2. 方程的实际应用方程在解决实际问题中起着重要的作用，如在物理学中用方程描述物体的运动状态，在经济学中用方程描述市场的供求平衡。
通过掌握方程的求解方法，我们可以解决许多实际问题。
五、函数与方程的解题方法1. 函数的解题方法函数的解题方法主要包括图像法、符号法和推导法。
通过综合运用这些方法，我们可以求得函数的性质、图像以及解析式。
2. 方程的解题方法方程的解题方法主要包括平衡法、代入法、消元法等。
不同类型的方程需要采用不同的解题方法，我们需要根据具体情况选择合适的方法进行求解。
六、函数与方程的拓展应用1. 函数与方程的图像描述通过绘制函数和方程的图像，可以更直观地了解其性质和变化规律。
同学们可以通过练习绘图，提高对函数和方程的理解。
课题：函数与方程（高三第一轮复习课）教学内容分析：本节课选自人教版必修一第三章第一节《函数与方程》内容。
函数与方程在高中数学中占举足轻重的地位，高考对函数零点的考查有：（1）求函数零点；（2）确定函数零点的个数：（3）根据函数零点的存在情况求参数值或取值范围。
题型既有选择题、填空题，又有解答题，客观题主要考查相应函数的图像和性质，主观题考查较为综合，涉及函数与方程、转化与化归、分类讨论、数形结合的思想方法等。
本节课通过对函数零点的讨论，将函数零点与方程的根、与函数图像三者有机结合起来。
它既揭示了函数与方程之间的内在联系，又对函数知识进行了总结拓展，同时将方程与函数图像联系起来，渗透了“数形结合”、“方程与函数”等重要思想。
学情分析：这是一个理科的普通班，学生基础普遍不扎实，学生具有强烈的畏难情绪，且眼高手低。
通过高一高二的知识积累，学生虽然对本节内容有简单的认识，但是时间较长，知识点大多遗忘。
所以，在本课开始前，先通过简单的知识梳理让学生把知识点贯穿起来，然后根据学生的实际情况进行适当的知识点拓展。
设计思想：教学理念：以第一轮复习为抓手，让学生把各个相关的知识点有机的结合起来。
教学原则：夯实基础，注重各个层面的学生。
教学方法：讲练结合，师生互动。
教学目标：知识与技能：让学生理清函数零点、函数图象与x轴的交点、方程的根三者之间的关系；弄清零点的存在性、零点的个数、零点的求解方法等三个问题。
过程与方法：利用已学过的函数的图像、性质去研究函数的零点。
情感态度与价值观：体会数形结合的数学思想及从特殊到一般的归纳思想，提高辩证思维以及分析问题解决问题的能力。
教学重点难点：重点：函数零点，方程的根，函数图象与x轴交点三者之间的互相联系。
难点：零点个数问题，含参数的零点问题。
教学程序框图：教学环节与设计意图：（一）、知识梳理设计意图：第一部分知识梳理要求学生在课前完成，学生回顾已学过的内容，结合相关知识整理出“函数与方程”的知识体系。
北京市西城教研中心高考数学思想专题系列讲座函数与方程（不等式）函数是高中数学知识的主要内容，它不仅是高中代数的主干，而且在其他知识块儿也起着重要的作用。
函数包括概念、图象（数形结合）、性质（单调性）。
函数的思想是对函数内容在高层次的抽象、概括、提炼，从整体的角度来考虑问题、研究问题、解决问题。
函数的思想贯穿于高中数学知识的始终。
当函数值等于零或不等于零（大于零、小于零）时，函数就和方程、不等式联系在一起了，它们之间有区别，也有联系，更重要的是联系，这种联系就是函数思想的一种体现，是研究变量之间关系的基本方法。
函数思想的考查包括函数知识本身的考查以及函数知识与其他知识的联系，而后者更能体现出函数思想的运用。
【函数与方程、不等式】例1．已知：函数)1(2)(2<<++=b c c bx x x f ，0)1(=f ，且方程01)(=+x f 有实根。
（１）求证：31c -<≤-且0b ≥；（２）若m 是方程01)(=+x f 的一个实根，判断)4(-m f 的正负并加以证明。
【解析】：（1）210210)1(+-=⇒=++⇒=c b c b f ， 又c ＜b ＜1，故313121-<<-⇒<+-<c c c 方程f （x ）＋1＝0有实根，即0122=+++c bx x 有实根，故△＝0)1(442≥+-c b即30)1(4)1(2≥⇒≥+-+c c c 或1-≤c 又c ＜b ＜1，得-3＜c ≤-1，由21+-=c b 知0≥b ． （2）)1)(()1(2)(22--=++-=++=x c x c x c x c bx x x f ，01)(<-=m f ，∴ c ＜m ＜1 ∴ c m c <-<-<-344，∴ 0)14)(4()4(>----=-m c m m f ， ∴ )4(-m f 的符号为正。
例2．(07广东文)21．已知：a 是实数,函数2()223f x ax x a =+--.如果函数()y f x =在区间[-1,1]上有零点,求：a 的取值范围.【解析】若0a =,则()23f x x =-,令3()0[1,1]2f x x =⇒=∉-,不符题意, 故0a ≠ 当()f x 在 [-1,1]上有一个零点时,此时48(3)01112a a a ∆=++=⎧⎪⎨-≤-≤⎪⎩或(1)(1)0f f -⋅≤解得a =或15a ≤≤ 当()f x 在[-1,1]上有两个零点时,则48(3)01112(1)(1)0a a a f f ∆=++>⎧⎪⎪-≤-≤⎨⎪-⋅>⎪⎩解得7112215a a a a a a ⎧<<⎪⎪⎪≤-≥⎨⎪<>⎪⎪⎩或或即1152a a a <≤<>或，∴实数a 的取值范围为1([,)2-∞+∞ . (别解:222230(21)32ax x a x a x +--=⇔-=-,题意转化为知[1,1]x ∈-求23221xa x -=-的值域,令32[1,5]t x =-∈得276a t t=+-转化为对勾函数问题.) 例3．(海淀2008.1)19．设1x 、2x )(21x x ≠是函数)0()(223>-+=a x a bx ax x f 的两个极值点.（1）若2,121=-=x x ，求函数)(x f 的解析式； （2）若22||||21=+x x ，求b 的最大值；（3）设函数)()(')(1x x a x f x g --=，12(,)x x x ∈，当a x =2时，求证：21()(32)12g x a a +≤.【解析】：（I ）∵)0()(223>-+=a x a bx ax x f ，∴)0(23)(22>-+='a a bx ax x f依题意有⎩⎨⎧='=-'0)2(0)1(f f ，∴)0(041202322>⎪⎩⎪⎨⎧=-+=--a a b a a b a . 解得⎩⎨⎧-==96b a ，∴x x x x f 3696)(23-+=.（II ）∵)0(23)(22>-+='a a bx ax x f ,依题意，12,x x 是方程()0f x '=的两个根，且22||||21=+x x ，∴8||22)(2121221=+-+x x x x x x 。
数学高三数学函数与方程知识总结与应用在高三数学学习过程中，数学函数与方程是非常重要的内容。
掌握了这些知识，不仅可以为学习其他数学课程提供基础，也能在解决实际问题时发挥重要作用。
下面将对高三数学函数与方程的知识进行总结并介绍其应用。
一、函数知识总结1.1 函数的定义与性质函数是一种特殊的关系，通常用f(x)表示。
其中，x是自变量，f(x)是因变量。
要使一个关系为函数，对于任意的x值，都必须有唯一的f(x)值与之对应。
函数也有定义域与值域的概念，分别表示自变量与因变量的可能取值范围。
1.2 基本函数类型高中数学中常见的函数类型有线性函数、二次函数、指数函数、对数函数和三角函数等。
每种函数类型都有其独特的特点和性质。
例如，线性函数的图像为直线，二次函数的图像为抛物线。
1.3 函数图像的性质通过函数的表达式，我们可以得到其图像的一些性质。
例如，对于一次函数y = kx + b，其中k和b为常数，我们知道其图像是一条直线，斜率k决定了直线的倾斜程度。
二、方程知识总结2.1 一元一次方程一元一次方程是形如ax + b = 0的方程，其中a和b是已知常数，x是未知数。
解一元一次方程的一般步骤是将方程化简为ax = b的形式，然后求出x的值。
2.2 一元二次方程一元二次方程是形如ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b和c是已知常数，x是未知数。
解一元二次方程的一般步骤可以通过配方法、因式分解法或求根公式等方式进行。
2.3 二元一次方程组二元一次方程组是形如{ax + by = c,dx + ey = f}的方程组，其中a、b、c、d、e和f是已知常数，x和y是未知数。
解二元一次方程组的一般步骤是使用消元法或代入法等方法，最终得到x和y的值。
三、函数与方程的应用3.1 函数的图像应用函数的图像不仅可以直观地展示函数的性质，还可以应用于实际问题的解决。
例如，在物理学中，我们可以通过绘制v - t图像，其中t表示时间，v表示速度，从图像中直观地了解物体的运动情况。
第四讲 函数与方程一、知识回顾（一）一次函数的性质和图象1.形如b kx y +=（0≠k ）的函数叫做一次函数，定义域为R ，值域为R .2.一次函数b kx y +=（0≠k ）的图象是一条直线，以后简写为直线b kx y +=，其中k 叫做该直线的斜率，b 叫做该直线在y 轴的截距.一次函数也叫线性函数.3.一次函数的性质：（1）函数值的改变量12y y y -=∆与自变量的改变量12x x x -=∆的比值等于一个常数k ，k 的大小表示直线和x 轴的倾斜程度.（2）当0>k 时，一次函数是增函数，当0<k 时，一次函数是减函数.（3）当0=b 时，一次函数变为正比例函数，是奇函数；当0≠b 时，它既不是奇函数，也不是偶函数.（二）二次函数的性质和图象1.形如)0(,2≠++=a c bx ax y ，叫做二次函数，无特殊要求时，定义域为R . 2.a 决定开口方向，0>a 开口向上，0<a 开口向下，c 为图象在y 轴的截距.3.值域：0>a 值域为⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞-,442a b ac ，0<a 时值域为⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡-∞-a b ac 44,2 4.单调性：0>a 时单调增区间为⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞-,2a b ，单调减区间⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-a b 2,.0<a 时单调增区间为⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-a b 2,，单调减区间⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞-,2a b .5.奇偶性：当二次函数解析式中0=b 时，函数为偶函数.6.顶点坐标：)44,2(2ab ac a b --7.方程0)(=x f 根的存在情况与)(x f 与x 轴交点问题：ac b 42-=∆.（1）0>∆，方程0)(=x f 有两个不等的实根，)(x f 与x 轴有两个不同的交点；（2）0=∆时，方程0)(=x f有两的相等的实根，)(x f 与x 轴只有一个交点；（3）0<∆时，方程0)(=x f 没有实数根，)(x f 与x 轴无交点.8.21,x x 是实系数一元二次方程)0(,02>=++a c bx ax 的实数根，下列为几种常见的根的分布情况待定系数法：一般地，在求一个函数时，如果知道这个函数的一般形式，可先把所求函数写为一般形式，其中的系数待定，然后再根据题设的条件求出这些待定的系数，这种通过求待定系数来确定变量之间关系的方法叫做待定系数法.（三）函数的零点1.函数零点的概念：一般地，如果函数))((D x x f y ∈=，在实数α处的值等于零，即0)(=αf ，则α叫做这个函数的零点，在坐标系中表示图象与x 轴的公共点是)0,(α. 2.注意事项：（1）函数的零点是一个实数，当自变量取得这个实数时，其函数值等于零. （2）函数的零点也就是函数)(x f y =的图象与x 轴的交点的横坐标. （3）一般的我们只研究函数的实数零点. 3.函数零点与方程的根的关系：根据函数零点的定义可知：函数)(x f y =的零点，就是方程0)(=x f 的根，因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程0)(=x f 是否有实根，有几个实根. 4.函数零点的求法：解方程0)(=x f 所得的实数根就是)(x f 的零点.函数)(x f 的零点⇔0)(=x f 的根⇔函数)(x f 的图象与x 轴的交点的横坐标.5.函数零点的判断：如果函数)(x f y =在区间[]b a ,上的图象是连续不断的曲线，并且有0)()(<⋅b f a f ，那么，函数)(x f y =在区间()b a ,内有零点，即存在()b a x ,0∈，使0)(0=x f ，这个0x 也就是0)(=x f 的根.【注意】如果函数)(x f y =在区间[]b a ,上的图象是连续不断的曲线，且0x 是函数在这个区间上的一个零点，却不一定有0)()(<⋅b f a f .二、精选例题例1、已知直线013=++y ax 与0)2(=+-+a y a x 平行，则_______=a . 【答案】 3【解析】因为013=++y ax ，所以313--=x a y ， 又0)2(=+-+a y a x ，所以221----=a ax a y ， 所以213--=-a a 且231--≠-a a ，所以1-=a 或3=a ，而1-=a 不符合题意，因此3=a例2.已知直线()0,≠+=k b kx y 与x 轴的交点在x 轴的正半轴，下列结论： ①0,0>>b k ②0,0<>b k ③0,0><b k ④0,0<<b k .其中正确的有（） A. 1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】B【解析】因为直线()0,≠+=k b kx y 与x 轴的交点在x 轴的正半轴，所以该直线在x 轴上的截距大于0，由此可知0>-=kbx . 由于0>-=k b x ，0<∴k b，0<⋅∴k b ，⎩⎨⎧<>∴00b k 或⎩⎨⎧><00b k故②③正确，选B.例3、已知函数()m xm y m m 4352+-=--为一次函数，则下列说法正确的是（）A. 该函数是增函数B. 该函数是减函数C. m 的值为3或-2D. 以上都不对 【答案】B【解析】因为()m xm y m m 4352+-=--为一次函数，⎩⎨⎧=--≠-∴15032m m m ，2-=∴m ，85--=∴x y ，它是个减函数故选项B 正确例4、已知()x f 为一次函数，且满足()()1831214+=---x x f x f ，求函数()x f 在[]1,1-上的最大值，并比较()2010f 和()2011f 的大小 【解析】解法一：设()()0≠+=k b kx x f ，由已知得，()[]()[]1831214+=+--+-x b x k b x k ， 整理得183266+=++-x b k kx⎩⎨⎧=+=-∴182636b k k 解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=22121b k ， ()22121+-=∴x x f 在[]1,1-上为减函数（在R 上也是减函数）∴函数()x f 在[]1,1-上的最大值为()111=-f 且()()20112010f f >解法二： ()x f 为一次函数，∴()x f 在[]1,1-为单调函数∴()x f 在[]1,1-上的最大值为()1f 或()1-f分别取0=x 和2=x 得()()()()⎩⎨⎧=--=--241214181214f f f f ，解得()101=f ，()111=-f∴函数()x f 在[]1,1-上的最大值为()111=-f又()()11-<f f ，∴()x f 在R 上是减函数，∴()()20112010f f >例5、已知抛物线c bx ax y ++=2过点()0,1且c b a >>，一下关于a 、b 、c 的说法正确的是（）A ．a 、b 、c 皆为正值B ．a 、b 为正值，c 为负值C ．a 为正值，b 、c 为负值D ．a 为正值，c 为负值，b 不一定 【答案】Ｄ【解析】抛物线c bx ax y ++=2过点）（0,1则0=++c b a ，又因为c b a >>，所以0>a ；对B 的正负值不能确定.例6.函数()()122-+-+=a x b a ax x f 是定义在()()22,00,--a a 上的偶函数，则=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+522b a f （）A ．1B ．3C ．25D ．不存在 【答案】B【解析】由已知二次函数在()()22,00,--a a 上是偶函数，故知()022=-+-a a ，解得2=a ， 二次函数对称轴为022=--=aba x ，解得b a 2=，故有1,2==b a ()122+=∴x x f ，()31522==⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∴f b a f ，故B 为答案例7、设函数342+-=x y ，[]4,1∈x ，则()x f 的最小值和最大值为（）A.-1 ，3B.0 ，3C.-1，4D.-2，0 【答案】A【解析】对二次函数配方得()122--=x y ，当在[]4,1∈x 范围时：当2=x 时，1min -=y ，当4=x 时，3max =y ， 故A 为答案例8、求函数122--=ax x y 在[]2,0上的值域.【解析】由已知可知，函数()x f 的对称轴为a x =①当0<a 时，函数在[]2,0上单调递增，故()10min -==f y ，()a a f y 431442max -=--==， 所以函数值域为[]a 43,1--；②当10≤≤a 时，()()12min +-==a a f y ，()a f y 432max -==，所以函数的值域为()[]a a 43,12-+-；③当21≤<a 时，()()12min +-==a a f y ，()10max -==f y ，所以函数值域为()[]1,12-+-a ；④当2>a 时，函数在[]2,0上单调递减，()a f y 432min -==，()10max -==f y ， 所以函数值域为[]1,43--a综上所述，当0<a 时，值域为[]a 43,1--； 当10≤≤a 时，值域为()[]a a 43,12-+-； 当21≤<a 时，值域为()[]1,12-+-a ； 当2>a 时，值域为[]1,43--a .例9、求二次函数()322+-=x x x f 在区间[]1,+t t 上的最小值和最大值.【解析】()()213222+-=+-=x x x x f（1）当11≤+t ，即0≤t 时，()x f 在区间[]1,+t t 上是单调递减函数，最小值为()212+=+t t f ，最大值为()322--=t t t f ；（2）当1121+<≤+t t ，即210≤<t 时， ()x f 在区间[]1,+t t 上的最小值为()21=f ，最大值为()322--=t t t f ；（3）当211+<≤t t ，即121≤<t 时， ()x f 在区间[]1,+t t 上的最小值为()21=f ，最大值为()212+=+t t f ；（4）当1>t 时，()x f 在区间[]1,+t t 上是单调递增函数，最小值为()322--=t t t f ，最大值为()212+=+t t f ；综上所述，()x f 在区间[]1,+t t 上的最大值为()⎪⎩⎪⎨⎧>+≤--=21,221,3222t t t t t x f ； ()x f 在区间[]1,+t t 上的最小值为()⎪⎩⎪⎨⎧>--≤<≤+=1,3210,20,222t t t t t t x f例10、设0>a ，2=+y ax ()0,0≥≥y x ，记2213x x y -+的最大值是()a M ，试求()a M 的表达式.【解析】设()2213x x y x F -+=，将ax y -=2代入，得 ()()[]()23213212321222+-+---=+-+-=a a x ax x x x F ()0≥x02≥-=ax y ，ax 20≤≤∴（1）当a a -≤32，即21≤≤a 时，()x F 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡a 2,0上是增函数， ()a a a F a M 6222+-=⎪⎭⎫⎝⎛=；（2）当aa 230<-<，即10<<a 或32<<a 时， ()()()232132+-=-=a a F a M ； （3）当a -≥30，即3≥a 时，()x F 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡a2,0上是减函数，()()20==F a M ；综上所述：()()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥<<+-≤≤+-<<+-=3,232,232121,6210,2321222a a a a a a a a a M例11、已知函数()21xb ax x f ++=是定义在)1,1(-上的奇函数，且.52)21(=f 确定函数)(x f 的解析式；【解析】由)(x f 是奇函数，∴)()(x f x f -=-，∴2211xb ax x b ax ++=++-，解得0=b 又52)21(=f ，代入函数，解得1=a .∴.1)(2xxx f += 例12.判断下列函数是否有零点？若有，有几个零点？ （1）1)(2++=x x x f （2）x x y +-=1【解析】（1）0342<-=-=∆ac b ，所以此二次函数不存在零点；（2）042=-=∆ac b ，所以此函数存在两个相等的实根，所以函数有一个不变号零点.例13.函数x x y 43-=的零点个数是（） A.0 B.1 C.2 D.3【解析】由函数零点定义可知，零点的个数也就是0)(=x f 方程实根的个数，因为043=-x x 的根有0，2±共三个，故函数的零点个数为3个.例14.求函数22)(23+--=x x x x f 的零点，并画出它的大致图象.【解析】)1)(1)(2()2()2(22)(223+--=---=+--=x x x x x x x x x x f ，22)(23+--=∴x x x x f 的零点为-1，1，2三个零点将x 轴分成四个区间：(]1,-∞-，()1,1-，[]2,1，()+∞,2.∴函数)(x f 的图象因根据自右向左，奇穿偶回大致图象如下：例15.已知函数218)(2++=mx mx x f ，若0)(<x f 的解集为)1,7(--，求实数m 的值. 【解析】由函数218)(2++=mx mx x f 可知函数是二次函数，且0)(<x f 的解集为)1,7(--，所以可知-7和-1是这个二次函数的两个根，所以将-1代入可得0218=+-m m ，最后可得3=m .例16.试证方程09623=+-x x 在区间)1,0(内不可能有两个不同的实根. 【解析】可从函数96)(23+-=x x x f 在区间)1,0(上的单调性入手，任取1x ，)1,0(2∈x ，且21x x >，则)96()96()()((3232213121+--+-=-x x x x x f x f])6)()[((21212121x x x x x x x x --++-=21x x > ，1x ，)1,0(2∈x ，021>-∴x x ，021>+x x ，021>x x ， 0621<-+x x ，0])6)()[((21212121<--++-∴x x x x x x x x ，即0)()((21<-x f x f ，所以函数)(x f 单调递减，这就说明函数若在（0，1）上有零点也就只能有一个，绝不能是两个.例17.已知a 是实数，函数x x y +-=1，如果函数)(x f y ==在区间[],1,1-上有零点，求a 的取值范围.【解析】若0=a ，则函数32)(-=x x f 在区间[]1,1-上没有零点，下面就0≠a 时分三种情况进行讨论：（1）方程0)(=x f 在区间[],1,1-上有重根，此时有0=∆，即0)162(42=++a a ，解得273±-=a ； 当273+-=a 时，0)(=x f 的重根[]1,1273-∉+=x ； 当273--=a 时，0)(=x f 的重根[]1,1273-∈-=x ； 故当方程0)(=x f 在区间[],1,1-上有重根时，273--=a . （2）方程0)(=x f 在区间[],1,1-上只有一个零点但不是重根，此时有0)1()1(≤-f f ，5)1(-=-a f ，1)1(-=a f0)1)(5(≤--∴a a ，最后得51≤≤a .5=a 时，方程0)(=x f 在区间[],1,1-上有两个相异的实根，故当方程0)(=x f 在区间[],1,1-上只有一个根且不是重根时，51<≤a . （3）方程0)(=x f 在区间[],1,1-上有两个相异的实根，∴函数321)21(2)(2---+=a aa x a x f ，其图像的对称轴方程为a x 21-=，a 应满足：⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧>∆≥-≥<->00)1(0)1(1210f f a a ，或⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧>∆≤-≤<-<00)1(0)1(1210f f aa解这两个不等式得5≥a 或273--<a ， 故当方程0)(=x f 在区间[],1,1-上有两个相异的实根时，[)+∞⎪⎪⎭⎫⎝⎛--∞-∈,5273, a 时，由于0)1()21(<-f a f ，且121<a ，方程0)(=x f 在区间[],1,1-上有两个实根；当273--=a 时，方程0)(=x f 在区间[],1,1-上有根.综上所述，函数)(x f y =在区间[],1,1-上有零点，则a 的取值范围是[)+∞⎥⎦⎤⎝⎛--∞+,1273, .例18.求方程063223=--+x x x 的一个正根（精确到0.1）【解析】设632)(23--+=x x x x f ，由于06)1(<-f ，04)2(>=f ，取区间[]2,1为计算的初始区间，用二分法逐次计算， 将方程的实数解所在的区间依次求出，列表如下：由上表可知，区间[]734375.1,71875.1内的所有值，若精确到0.1，都是1.7，所以1.7就是方程精确到0.1的一个正根.例19.函数62)(3-+=x x x f 在区间)3,1(-上的零点必在（） A.)0,1(- B.)3,2( C.)2,1( D.)1,0(【解析】9)1(-=-f ，27)3(=f ，3)1(-=f ，6)2(=f ，0)1(<f ，0)2(>f ，)(x f ∴的一个零点必在)2,1(内，故选C.三、课堂训练【课堂训练1】若直线5)3(2+-=x m y 与12--+=m m x y 重合，则_______=m . 【答案】2-【解析】 两直线重合，则其斜率在y 轴上的截距完全相同，即有⎪⎩⎪⎨⎧=-=--135122m m m⎩⎨⎧=-==-=∴3,22,2m m m m 或或，2-=∴m .【课堂训练2】两条直线b ax y +=1与a bx y +=2在同一坐标系中的图像可能是图中的（）【答案】A【解析】假设B 项中直线b ax y +=1正确，则0,0>>b a ，所以a bx y +=2的图像应过第一、二、三象限，而实际图像过第一、二、四象限，∴B 错，同理C 、D 错，故A 正确.【课堂训练3】一次函数()432--=x a y 在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是（） A ．32>a B ．32-<aC ．23>aD ．23-<a 【答案】C【解析】()432--=x a y 在R 上单调递增，032>-∴a ，即23>a ，故选C 【课堂训练4】某公司推销一种产品，设x （件）是推销产品的数量，y （元）是推销费，如图表示了该公司每月付给推销员推销费的两种方案.看图解答下面问题. （1）求1y 与2y 的函数解析式（2）解释图中表示的两种方案是如何付推销费的. （3）如果你是推销员，应如何选择付费方案？【解析】（1）设x k y 11=，b x k y +=22，观察图象，可知点)600,30(在x k y 11=，由此得201=k ，x y 201=∴把点)600,30(和()300,0代入b x k y +=22中，得102=k ，300=b ，300102+=∴x y（2）方案一：没有基本工资，每推销一件产品，付推销费20元（即x y 201=）.方案二：每月发基本工资300元，每推销一件产品，再付推销费10元（即300102+=x y ）（3）由x x y +-=1，即3001020+=x x ，得30=x .所以，若每月可以推销30件产品，则两种方案都一样； 若每月推销量不足30件，则21y y <，选择方案二； 若每月推销量可以超过30件，则21y y >，选择方案一.【课堂训练5】一次函数b ax y +=与二次函数c bx ax y ++=2在同一坐标系中的图像大致30是（）【答案】C【解析】先看一次函数图像，由A 、B 选项知0>a ，0b >首先排除A ，又对称轴为02<-=abx ，从而排除B ， 由C 、D 选项知0,0<<b a ，先排除D.故选C【课堂训练6】已知函数c bx x y ++=2是偶函数，则函数1-+=b cx y 必过定点（） A ．()1,0 B ．()0,1 C ．()1,0- D ．()0,1- 【答案】C【解析】由c bx x y ++=2为偶函数知，0=b ，则1-+=b cx y 变为1-=cx y 必过点)1,0(-【课堂训练7】函数()⎩⎨⎧≤≤-+≤≤-=02,630,222x x x x x x x f 的值域是.【答案】[]1,8-【解析】将函数配方，得到()()()⎩⎨⎧≤≤--+≤≤+--=02,9330,1122x x x x x f ， 上下两个函数在各自定义域区间内的最大、最小值分别为()33min -=y ，()11max =y 和()82min -=-y ，()00max =y ，故函数的值域应当为[][][]1,80,81,3-=--【课堂训练8】函数()a ax x x f -++-=122在[]1,0上有最大值2，求实数a 的值.【解析】()()122+-+--=a a a x x f①当0<a 时，()x f 在[]1,0上单调递减，其最大值()210=-=a f ，解得1-=a ；②当10≤≤a 时，()x f 在[]1,0上最大值()212=+-=a a a f ，解得[]1,0251∉±=a ，舍去. ③当1>a 时，()x f 在[]1,0上单调递增，其最大值()21==a f ，2=∴a ； 综上所述：1-=a 或2=a【课堂训练9】已知二次函数()4143322++--=b x x x f ()0>b ，[]b b x --∈1,，()x f 的最大值为25，求b 的值.【解析】()14213414332222++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=++--=b x b x x x f ()0>b①当211-≤-b ，即23≥b 时，()x f 在[]b b --1,上是单调递增函数，其最大值为()25423912=-+=-b b b f ，解得25129±-=b ， 其中2325129<--，舍去； ②当b b -<-<-121，即2321<<b 时， ()x f 在[]b b --1,上的最大值为2514212=+=⎪⎭⎫⎝⎛-b f ，解得⎪⎭⎫ ⎝⎛∉±=23,216b ，故都舍去； ③当21-≥-b ，即21≤b ，又0>b ，故当210≤<b 时，()x f 在[]b b --1,上是单调递减函数，最大值()254132=++=-b b b f ， 解得⎥⎦⎤⎝⎛∉±-=21,02363b ，故都舍去； 综上所述：25129+-=b【课堂训练10】求函数()()a x x x f --=在[]a x ,1-∈上的最大值.【解析】给函数配方得()4222a a x x f +⎪⎭⎫ ⎝⎛--=当2aa <，，又1->a 即01<<-a 时，()x f 在[]a ,1-上是单调递增函数， 最大值()0=a f ；当a a ≤≤-21，即0≥a 时，()x f 在[]a ,1-上的最大值为422aa f =⎪⎭⎫ ⎝⎛；当21a>-，即2-<a 时，与1->a 矛盾，舍去 综上所述：函数在[]a ,1-上的最大值为()⎪⎩⎪⎨⎧≥<<-=0,401,02a a a x f .【课堂训练11】、已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，当0>x 时，)1()(x x x f +=. 求出函数的解析式.【解析】当0<x 即0>-x 时，∴)1()(x x x f --=-∵)(x f 是奇函数，∴)()(x f x f --=， ∴当0<x 时，)1()()(x x x f x f -=--= 又∵)(x f 是奇函数，∴)0()0(f f -=-， ∴0)0(2=f ，∴0)0(=f综上，⎪⎩⎪⎨⎧-+=),1(, 0),1()(x x x x x f 000<=>x x x 【课堂训练12】判断函数183)(2--=x x x f 是否具有零点，若有，有几个？ 【解析】08142>=-=∆ac b ，所以此函数有两个不相等的零点. 【课堂训练13】函数1)(23+--=x x x x f 零点的个数是个.【解析】)1()1()1)(1()1()1(1)(22223+-=--=---=+--=x x x x x x x x x x x f所以函数具有一个不变号零点1和一个变号零点-1.所以函数具有2个零点.【课堂训练14】求函数的)23)(2()(22+--=x x x x f 的零点，并利用函数零点大体模拟出函数的图象.【解析】令0=y ，即0)23)(2(22=+--x x x ，整理得0)2)(1)(2)(2(=---+x x x x解得21=x ，22-=x ，13=x ，24=x .∴ 所求函数的零点为2，2-，1，2.且这些零点全是变号零点，∴ 所以函数图象如下：【课堂训练15】解不等式0822<-+x x .【解析】令)1)(3(82)(2--=-+=x x x x x f .令0)(=x f ，则1=x 或3=x .作出函数82)(2-+=x x x f 的图象，如下0822<-+∴x x 的解集为()2,4-.【课堂训练16】设关于x 的方程0532=+-a x x 的一根大于-2，小于0，另一根大与1小于3 ，求a 的取值范围.【解析】设a x x x f +-=53)(2，则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><<>-0)3(0)1(0)0(0)2(f f f f ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+<+-<>+012010022a a a a ，解得012<<-a .a ∴的取值范围是)0,12(-.【课堂训练17】求方程0133=+-x x 在区间（1，2）内的根的近似解（精确到0.01）. 【解析】令13)(3+-=x x x f ，则)(x f 在区间)2,1(上的图象是一条连续不断的曲线，01131)1(<-=+-=f ，03168)2(>=+-=f ，0)2()1(<∴f f所以函数在区间（1，2）内必有一个零点.用二分法逐步计算，列表如下：区间（1.53125，1.533203125）的两端点精确到0.01的近似值都是1.53.【课堂训练18】用二分法研究函数13)(3-+=x x x f 的零点时，第一次经计算0)0(<f ，0)5.0(>f ，可得其中一个零点∈0x ，第二次计算.【解析】有函数零点的存在定理可知当0)0(<f ，0)5.0(>f 时，函数在)5.0,0(上存在一个零点，我们找这个区间的中点25.0=x ，我们下一步计算)25.0(f .四、课后作业【训练题A 类】1、函数()12-++=x x x f 的单调递增区间是（ ）A ．()∞+-，2 B [)+∞,1 C (]1,∞- D (]2,-∞- 2、函数()x f 的图像是如图所示的折线段OAB ，若()2,1A ()0,3B ，函数()()()x f x x g 1-=，则函数)(x g 的最大值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．43、若两直线2++=k kx y 与42+-=x y 交点在第一象限内，则实数k 的取值范围是（ ） A ．32->k B ．2<k C ．232<<-k D ．32-<k 或2>k 4、设集合{}5||<=x x S ，()(){}037<-+=x x x T ，则T S =（ ） A ．{}57-<<-x x B ．{}53<<x x C ．{}35<<-x x D ．{}57<<-x x 5、函数322--=x x y ，(]2,1-∈x 的值域为（ ）A ．[)0,3-B ．[)0,4-C ．(]0,3-D ．(]0,4-6、二次函数542+-=mx x y 的对称轴为2-=x ，则当1=x 时，y 的值为（ ） A.7- B. 1 C.17 D.25yO 1 32A7、已知函数()122++=ax ax x f ()0≠a ，那么下列各式中不可能成立的是为（ ）A ．()()()221f f f >->-B ．()()()012f f f >->-C ．()()()210f f f <<D ．()()()301-<<-f f f8、函数32++=bx ax y 在(]1,-∞-上是增函数，在[)+∞-,1上是减函数，则（ ）A 、00<>a b 且B 、02<=a bC 、02>=a bD 、b a ,的符号不确定9、函数562---=x x y 的值域为（ ）A 、[]2,0B 、[]4,0C 、(]4,∞-D 、[)+∞,0 10、已知函数()22223+--=m m xm m y 是二次函数，则m =________11、已知函数82)(2--=kx x x f 在[]5,2上具有单调性，实数k 的取值范围是________ 12、如果a x x x f ++=2)(在[]1,1-上的最大值是2，那么)(x f 在[]1,1-上的最小值是 .13、根据下列条件，求二次函数的解析式： （1）图像过点()0,2，()0,4，及点()3,0 （2）图像顶点为()2,1并且过点()4,0 （3）过点()1,1，()2,0，()5,314、已知函数()()0222>++-=a b ax ax x f ，若()x f 在区间[]3,2上有最大值5，最小值2，求b a ,的值.15.若一次函数b kx y +=的零点为2=x ，则kb的值为（ ） A.-2 B.2 C.21 D. 21-16.二次函数c bx ax y ++=2)0(≠a 中，0<ac ，则函数的零点的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．0 D ．不能确定17.已知函数8143)(2+-=x x x f ，则0)(<x f 的解集为（ ）A.)4,23(B.)4,32(C.),4()23,(+∞-∞D. ),4()32,(+∞-∞ 18.下面函数中没有零点的是（ ） A ．2)(x x f = B ．x x f =)( C ．xx f 1)(=D ．x x x f +=2)( 19.已知函数)(x f 为偶函数，其图像与x 轴有四个交点，则该函数的所有零点之和为 . 20.若函数042=++mx x 有两个不相等的实数根，则函数42++=mx x y 的图象与x 轴的交点的个数为 .21.二次方程0142=++x mx 有两根实数根，则实数m 的取值范围是 . 22.求下列函数的零点.（1）62--=x x y ； （2）x x y 83-=；（3）1322+--=x x x y ； （4）)32)(2(22+--=x x x y【参考答案】1.【答案】B【解析】将函数()12-++=x x x f 写成分段函数形式：()⎪⎩⎪⎨⎧≥+<<--≤--=1,1212,32,12x x x x x x f 只有[)+∞∈,1x 时，对应函数的斜率0>k ，函数()x f 是增函数.故答案为B2.【答案】B【解析】如图易得()⎩⎨⎧≤≤+-<≤=31,310,2x x x x x f ，则()⎩⎨⎧≤≤-+-<≤-=31,3410,2222x x x x x x x g ，()()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+--<≤-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=31,1210,2121222x x x x x g ()x g ∴在[)1,0和[]3,1的最大值分别为()00=f 和()12=f()x g ∴的最大值为13.【答案】C 【解析】联立⎩⎨⎧+-=++=422x y k kx y ，得交点为⎪⎭⎫⎝⎛+++-246,22k k k k ，由交点在第一象限，所以022>+-k k ，0246>++k k ，解之得232<<-k ，故选C 4.【答案】C【解析】 {}5||<=x x S ，()(){}037<-+=x x x T ，∴=T S {}35<<-x x ，故选 C5.【答案】B【解析】 4)1(3222--=--=x x x y ，对称轴为1=x .∴当(]2,1-∈x 时有03)1(2)1(2max =--⨯--=y ，431212min -=-⨯-=y .6.【答案】D【解析】二次函数的对称轴242-=⋅--=mx ，解得16-=m 51642++=∴x x y ，∴当1=x 时，25=y .故D 为正确答案7.【答案】B【解析】二次函数()x f 的对称轴为122-=-=aax ，()()02f f =-∴，故B 错误. 当0<a 时，()()()201f f f >>-即()()()221f f f >->-，故A 正确； 当0>a 时，显然C 正确，又()()13f f =- ，而()()()101f f f <<-成立， 故D 也正确.8.【答案】B【解析】由二次函数的单调性质很容易可得⎪⎩⎪⎨⎧-=-<120ab a，解得02<=a b9.【答案】A【解析】函数可写作()432++-=x y ，()44302≤++-≤x ，[]2,0∈∴y10.【答案】2【解析】由二次函数定义，⎩⎨⎧=+-≠-2220322m m m m ，即⎩⎨⎧==≠≠2003m m m m 或且，2=∴m11.【答案】(][)+∞∞-,208,【解析】函数82)(2--=kx x x f 对称轴为4k x =， 由题目要求可知54≥k 或24≤k，解得20≥k 或8≤k ， 所以实数k 的取值范围是(][)+∞∞-,208,12.【答案】41-【解析】函数配方得a x x f +-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=4121)(2，其最大值在1=x 处取到，即()221=+=a f ，0=a()x x x f +=∴2，其最小值为4121-=⎪⎭⎫⎝⎛-f13.【解析】①函数()x f 图像与x 轴的交点分别为()0,2，()0,4，设二次函数解析式为()()()42--=x x a x f ，代入点()3,0，即38=a ，83=a ()()()3498342832+-=--=∴x x x x x f ②设二次函数解析式为()()212+-=x a x f ，代入点()4,0， 即42=+a ，2=a ()()2122+-=∴x x f③设函数解析式为()c bx ax x f ++=2，将点()1,1，()2,0及()5,3代入：⎪⎩⎪⎨⎧=++==++53921c b a c c b a 解得⎪⎩⎪⎨⎧=-==221c b a ，()222+-=∴x x x f 14.【解析】原函数配方得()()()0212>++--=a b a x a x f ，对称轴为1=x又因为0>a ∴函数()x f 在区间[]3,2上是单调递增函数， 所以()22=f ，()53=f即()()⎩⎨⎧=++--=++--5213221222b a a b a a ，解得0,1==b a . 15.【答案】A【解析】由一次函数b kx y +=的零点为2=x ，可得02=+b k ，此时可得2-=kb，所以答案为A. 16.【答案】B【解析】ac b 42-=∆，而0<ac ，所以042>-=∆ac b所以函数有两个不相等的实根.所以选B.17.【答案】B【解析】我们先来画出)(x f 的图象由图象可知不等式的解集为)4,32(，所以选B.18.【答案】C【解析】由于函数xx f 1)(=中，对任意自变量x 的值，均有01≠x ，故该函数不存在零点.所以选C.19.【答案】0【解析】由偶函数的性质可知，函数的图象是关于y 轴对称的，此时函数四个零点也由于对称性互为相反数，所以所有零点之和为0.20.【答案】2【解析】由方程零点的和对应函数与x 轴的交点的关系可知，方程零点就是对应函数与x 轴的交点，所以交点个数为2个.21.【答案】]4,0)0,(（ -∞【解析】由二次方程0142=++x mx 有两根实数根，首先有0≠m ，且0416≥-=∆m ，解得04≠≤m m 且， 所以m 的取值范围是]4,0)0,(（ -∞.22.【解析】（1）)2)(3(62+-=--=x x x x y ，令0=y ，则3=x 或2-=x .所以该函数的零点为3或2-.（2）)22)(22()8(823+-=-=-=x x x x x x x y ，令0=y ，则0=x 或22±=x .（3）)1(31)1)(3(1322-≠-=++-=+--=x x x x x x x x y ， 令0=y ，则3=x ，所以该函数的零点为3.（4）[]2)1()2)(2()32)(2(222+--+=+--=x x x x x x y ，01)1(2>+-x ，令0=y ，则2=x 或2-=x ，所以该函数的零点为2±.【训练题B 类】1、已知()bx ax x f +=2，()0≠ab ，若()()21x f x f =，且21x x ≠，则()21x x f +的值为（ ）A ．0B ．1C ．-1D ．以上都不对2、如果函数()c bx x x f ++=2，对任意实数t 都有()()t f t f -=+22，那么（ ）A ．()()()412f f f <<B ．()()()421f f f <<C ．()()()142f f f <<D ．()()()124f f f <<3、函数()242++=ax x x f 在()6,∞-内递减，则a 的取值范围是（ ）A ．3≥aB ．3≤aC ．3-≥aD ．3-≤a4、设函数)0()(2≠++=a c bx ax x f ，对任意实数t 都有)2()2(t f t f -=+成立，则函数值)5(),2(),1(),1(f f f f -中，最小的一个不可能是（ ）A ．)1(-fB ．)1(fC ．)2(fD ．)5(f5、函数12)(2++=ax ax x f 在[]2,3-上有最大值4，则=a ______6、设[]()()()()A x x x f b b A ∈+-=>=1121,1,12，若()x f 的值域也是A ，则b 的值为_____ 7、已知函数)0(32)(2>-+-=a b ax ax x f 在[]3,1上有最大值5和最小值2，则a 、b 的值分别是________8、若函数))(()(a bx a x x f ++= （常数R b a ∈,）是偶函数，且它的值域为(]4,∞-，则该函数的解析式为=)(x f .9、设a 为常数，()342+-=x x x f ，若()a x f +为偶函数，则=a ，()()=a f f10、二次函数()x f 满足⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛+x f x f 2121，并且在x 轴上的截距为-1，在y 轴上的截距为4，求此函数的解析式.11、若函数()242--=x x x f 的定义域为[]m ,0，值域为[]2,6--，求m 的取值范围.12、求函数)20(302<<++=a ax x y 在[]1,1-上的最小值和最大值.13.若方程0142=--x ax 在)1,0(内恰有一解，则a 的取值范围是（ ） A.21-<a B.21>a C.2121<<-a D.212≤≤-a14.若函数b ax x x f --=2)(的两个零点是2和3，则函数1)(2--=ax bx x g 的零点为（ ） A.21，31 B. 21-，31- C.61-，1 D.61，-1 15.若函数b ax x f +=)(只有一个零点2，那么ax bx x g -=2)(的零点是 .16.已知二次函数)(x f y =有两个零点1x 、2x ，且满足)3()3(x f x f -=+，则=+21x x . 17.如果函数12)(2+++=a ax x x f 的两个零点中，一个比2大，一个比2小，则实数a 取值范围是 .18.已知函数)(x f y =的图像是连续不断的，有如下的对应值表A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个19.若函数1)(2--=x ax x f 仅有一个零点，求实数a 的取值范围；20.已知函数d cx bx ax x f +++=23)(的图象如下，则（ ）A ．()0,∞-∈bB ．)1,0(∈bC ．)2,1(∈bD ．),2(+∞∈b21.已知奇函数)(x f 的图象是两条直线的一部分（如图所示），其定义域为]1,0()0,1[ -，则不等式1)()(->--x f x f 的解集是（ ）A.{}011|≠≤≤-x x x 且B.⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<-<≤-10211|x x x 或C.{}01|<≤-x xD.⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<<≤-12101|x x x 或22、函数()()1122+-+-=x a x x f 的定义域被分为四个不同的单调区间，则实数a 的取值范围是（ ）A.23>a B.2321<<a C.21>a D. 21<a23、对于每个实数x ，设()x f 取1+=x y ，12+=x y ，x y 21-=三个函数中的最大值，用分段函数的形式写出()x f 的解析式，并求()x f 的最小值【参考答案】1.【答案】A【解析】 )()(21x f x f =，222121bx ax bx ax +=+∴，即0)())((212121=-+-+x x b x x x x a ， 又 21x x ≠，0)(21=++∴b x x a ，而.0])()[()()()(21212122121=+++=+++=+b x x a x x x x b x x a x x f 故0)(21=+x x f ，选A2.【答案】A【解析】由题知函数)(x f 的对称轴为2=x ，开口向上，)3()1(f f =，由数形结合既得. 3.【答案】D【解析】依题意有362624=⇒-≤⇒≥-a a a4.【答案】D【解析】由)2()2(t f t f -=+可知函数()x f 的对称轴为2=x所以当0>a 时，最小值为()2f ；当0<a 时，最小值为()()51f f =-， 只有)1(f 不可能为最小值.5.【答案】83或3- 【解析】函数配方得()11)(2+-+=a x a x f若0>a ，则最大值为()4182=+=a f ，83=a ； 若0<a ，则最大值为()411=+-=-a f ，3-=a83=∴a 或3-=a 6.【答案】3【解析】由题设可知，函数()x f 在区间A 上是单调递增函数，若()x f 的值域也是A ，则()b b f =即()b b =+-11212，解得3=b 或11≤=b （舍），3=∴b 7.【答案】43，41【解析】()()031)0(32)(22>+---=>-+-=a b a x a a b ax ax x f函数()x f 在[]3,1上单调递增，故()()⎩⎨⎧==5321f f ，即⎩⎨⎧=+-=+--53323b a b a ，解得43=a ，41=b8.【答案】()42+-=x x f【解析】()()22a x ab a bx x f +++=，对称轴baba x 2+-=， 由题可知有⎪⎩⎪⎨⎧==+-4022a bab a ，即⎩⎨⎧==+402a ab a ， 由0,0=∴=+a ab a （舍）或1-=b()42+-=∴x x f9.【答案】2，8【解析】由()a x f +为偶函数，()()a x f a x f +=+-∴，a x =∴是()x f 的对称轴224=--=∴a ， ()()()()()()81324222=-=+⋅-==∴f f f f a f f10.【解析】由题中条件可知，函数()x f 的对称轴是21=x ， 过()4,0点，与x 轴的一个交点的横坐标为-1， 故与x 轴的另一个交点的横坐标为()21212=--⋅， 用两根式设二次函数()x f 的解析式为()()()21-+=x x a x f ， 代入点()4,0，得42=-a ，2-=a()()()4222122++-=-+-=∴x x x x x f11.【解析】函数()242--=x x x f 的对称轴为2=x ，又由()62-=f ，()x f 的值域为[]2,6--，故知[]m ,02∈，即2≥m 又()20-=f ，故()x f []()m x ,0∈在0=x 处取到最大值， 即0022=-≤-m ，4≤∴m 综上所述：m 的取值范围是[]4,2.12.【解析】由题可知，函数对称轴为2a x -=，由于20<<a ，故021<-<-a所以当2a x -=时，函数取最小值4322min a a f y -=⎪⎭⎫⎝⎛-=当1=x 时，函数可取到最大值()a f y +==41max13.【答案】B【解析】若0=a ，则有01=--x ，此时1-=x ，不满足在)1,0(内恰有一解，所以0≠a ，此时方程为一元二次方程，所以有0)1()0(<f f 此时有24>a ，解得21>a . 14.【答案】A【解析】对照下)(x f 和)(x g ，我们将)(x g 变形，)1()(22b x a x x x g ---=此时可由b ax x x f --=2)(的两个零点是2和3得到，)(x g 的零点为21和31. 15.【答案】0，21-【解析】函数b ax x f +=)(只有一个零点2，即02=+b a ，那么就有a b 2-=，所以)12()()(+-=-=x ax a bx x x g ，所以)(x g 的零点为0和21-. 16.【答案】6【解析】函数)(x f y =是二次函数，且有)3()3(x f x f -=+，所以函数的对称轴为3=x ，则函数的两个根也关于3=x 对称， 所以621=+x x .17.【答案】)1,(--∞∈a【解析】由题意可得⎩⎨⎧<>∆0)2(0f ，解得)1,(--∞∈a .18.【答案】B【解析】由表可知，0)3()2(<⋅f f ，0)4()3(<⋅f f ，0)5()4(<⋅f f ，由函数零点存在性定理，函数)(x f y =在区间[]6,1的零点至少有3个.19.【解析】①0=a ，则1)(--=x x f 为一次函数，易知函数仅有一个零点；②0≠a ，则函数)(x f 为二次函数，若其只有一个零点，则方程012=--x ax 仅有一个实数根， 故判别式041=+=∆a ，得41-=a 时. 综上所述，当0=a 或41-时，函数仅有一个零点. 20.【答案】A【解析】从图像上可以知道0)0(=f ，所以0=d ，又0)1(=f 0=++∴c b a ①， 又0)1(<-f ，即0<-+-c b a ②， ①+②得02<b ，所以0<b .所以选A.21.【答案】B【解析】由于()x f 是奇函数，故()()x f x f =-，1)()(->--x f x f所以()()[]()12)()(->=--=--x f x f x f x f x f 即()21->x f ，由图得其解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<-<≤-10211|x x x 或22.【答案】C【解析】由于)()(x f x f =-，()x f 是偶函数，故()x f 在()+∞,0和(]0,∞-上应各有两个单调区间， 由于函数图象关于y 轴对称，故只需考虑0>x 的情况即可.当0>x 时，()()4544212112222+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛---=+-+-=a a a x x a x x f ， 根据题意有，0212>-a ，解得21>a .23.【解析】在同一坐标系中做出函数1+=x y ，12+=x y ，x y 21-=的图像， 由⎪⎩⎪⎨⎧+=-=121x y x y ，得⎪⎩⎪⎨⎧=-=3132y x ，即⎪⎭⎫ ⎝⎛-31,32A 由⎩⎨⎧+=+=121x y x y ，得⎩⎨⎧==10y x ，即()1,0B根据图像可得函数()x f 的解析式为()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>+≤≤-+-<-=0,12032,132,21x x x x x x x f ，由上述过程及图像可知，当32-=x 时，()x f 取得最小值31.【训练题C 类】1、已知函数()542+-=mx x x f 在区间),2[+∞-上是增函数，则)1(f 的范围是（ ）A.25)1(≥fB.25)1(=fC.25)1(≤fD.25)1(>f2、已知函数n mx x x f ++=2)(，且)2(+x f 是偶函数，则⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛27,25),1(f f f 的大小关系是（ ）A ．()⎪⎭⎫ ⎝⎛<<⎪⎭⎫ ⎝⎛27125f f fB ．()⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛<25,271f f fC ．()⎪⎭⎫ ⎝⎛<<⎪⎭⎫ ⎝⎛25127f f fD ．()12527f f f <⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛ 3、函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 的图象关于直线abx 2-=对称.据此可推测，对任意的非零实数a ，b ，c ，m ，n ，p ，关于x 的方程[]0)()(2=++p x nf x f m 的解集都不可能是（ ）A. {}2,1 B {}4,1 C {} 4,3,2,1 D {}64,16,4,1 4、已知函数⎪⎩⎪⎨⎧<->+=0,40,4)(22x x x x x x x f 若)()2(2a f a f >-则实数a 的取值范（ ）A ),2()1,(+∞--∞B )2,1(-C )1,2(-D ),1()2,(+∞--∞ 5、函数x x x f 4)(2+-=在[])(,m n n m >的值域是[]4,5-，则m n +的最大值为 .6、已知函数()522+-=ax x x f ()1>a ，若函数()x f 的定义域和值域均为[]a ,1，求实数a的值.7、函数()432--=x x x f 在[]m ，0的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡--4,425，求实数m 的取值范围.8.已知函数2)1()(2-+-+=a x a x x f 的一个零点小于1，另一个零点在区间)2,1(内，则a 的取值范围为 .9.已知函数42)(+=mx x f ，若在[]1,2-上存在0x ，使0)(0=x f ，求实数m 的取值范围.10.已知函数124)(2+-+=a x x x f ，若)(x f 有两个不等的零点，且它们位于区间)1,5(--内，求a 的取值范围.11.对于定义在实数集R 上的函数)(x f ，如果存在0x ，使00)(x x f =，呢么0x 叫做函数)(x f 的一个不动点.已知函数12)(2++=ax x x f 不存在不动点，那么实数a 的取值范围是 .12.已知函数1)3()(2+-+=x m mx x f 图象的零点至少有一个在原点的右侧，求实数m 的取值范围.13．已知a 是实数，函数32)(-=x x f 人如果函数)(x f y =在区间[]1,1-上没有零点，求a 的取值范围.14.设c bx ax x f ++=23)(2，使0=++c b a ，0)0(>f ，0)1(>f ，求证：（1）0>a 且12-<<-ab； （2）方程0)(=x f 在)1,0(内有两个实根.15.若关于x 的方程2)2(1--=x kx 有两个不相等的实根，求实数k 的取值范围.16.用二分法求方程0523=--x x 在区间[]3,2内的实根，取区间中点5.20=x ，那么下一个有根区间是 .17.用二分法求函数5)(3+=x x f 的零点（精确到0.1）.【参考答案】1.【答案】A【解析】函数配方得()51641222+-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=m m x x f ，故其单调递增区间是⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,8m()x f 在区间),2[+∞-上是增函数，[)⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞⊆+∞-∴,8,2m ，28-≤∴m，16-≤m 251699)1(=+≥-=m f ，故A 为正确选项.2.【答案】A【解析】()2+x f 是偶函数，()()22+=+-∴x f x f ，故2=x 是函数()x f 的对称轴，故函数()x f 在()2,∞-上是单调递减函数， 其中⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛2322122125f f f f ，同理⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛2127f f ， 又因为()⎪⎭⎫ ⎝⎛<<⎪⎭⎫ ⎝⎛21123f f f ，故有()⎪⎭⎫ ⎝⎛<<⎪⎭⎫ ⎝⎛27125f f f .A 为答案.3.【答案】D【解析】设方程[]0)()(2=++p x nf x f m 两根分别为()x f 1和()x f 2，()x f 1和()x f 2关于直线m n x 2-=对称，则知()()mn x f x f -=+21， ∴ 关于x 方程[]0)()(2=++p x nf x f m 的解是以mn-为轴对称分布的，∴ ABCD 四个选项中只有D 不满足此条件，故选D.4.【答案】C【解析】观察函数发现x x 42+在0>x 时是增函数；x x 42+-在0<x 时也是增函数()()0400422<->>>+x x x x x x ，()x f ∴在其定义域()()+∞∞-,00, 上是增函数 a a >-∴22，解得a 的取值范围是)1,2(-.5.【答案】7【解析】函数配方得()42)(2+--=x x f①当2≤n 时，()x f 在[])(,m n n m >上是单调递增函数，()5min -==∴m f f ，()4max ==n f f ，解得1-=m 或5=m （舍），2=n ，故1=+m n②当n m <<2时，()42max ==f f ， 其中当n nm <<+22时，()5min -==m f f ， 解得1-=m ，5=m （舍），52<<n ，()4,1∈+m n ； 当22nm m +≤<时，()5min -==n f f ， 解得1-=n （舍），5=n ，21<≤-m ，[)7,4∈+m n ③当2≥m 时，()x f 在[])(,m n n m >上是单调递减函数，()5min -==∴n f f ，()4max ==m f f ，解得1-=n （舍）或5=n ，2=m ，故7=+m n综上所述，m n +的最大值为76.【解析】函数配方得()()522+--=a a x x f ()1>a()x f ∴在[]a ,1上最小值为()152=+-=a a f ，解得2=a ，2-=a 舍去.7.【解析】函数配方得到：()425232-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x x f ，故知只有当23=x 时，函数()x f 才能取到最小值425-，故23≥m .又由()40-=f 知，02323-≤-m ，3≤m m ∴的取值范围是⎥⎦⎤⎢⎣⎡3,238.【答案】)1,0(【解析】有题意可知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><<--0)2(0)1(121f f a ，最后解得10<<a ，所以a 的取值范围为)1,0(9.【解析】首先当0=m 时，函数为4)(=x f 没有零点；当0≠m 时，函数在[]1,2-上存在零点，且函数是一次函数，一定会单调， 若函数存在零点，必然会是变号零点，所以有0)1()2(<-f f ， 即有0)42)(44(<+-m m ，解得此不等式得2-<m 或1>m ， 所以m 的取值范围是()()+∞-∞-,12, .10.【解析】根据题意有⎪⎩⎪⎨⎧>->->∆0)1(0)5(0f f ，解得123-<<-a ，所以a 的取值范围为)1,23(--.11.【答案】⎪⎭⎫⎝⎛-23,21 【解析】假设函数12)(2++=ax x x f 存在不动点，则有x ax x =++122，若不存在不动点，此方程无解.所以判别式04)12(2<--=∆a ，解得实数a 的取值范围是⎪⎭⎫⎝⎛-23,21. 12.【解析】（1）当0=m 时，13)(+-=x x f ，直线与x 轴的交点为)0,31(，即函数的零点为31，在原点右侧，符合题意. （2）当0≠m 时，1)0(=f ，∴抛物线过点)1,0(.若0<m ，)(x f 的开口向下，如图。
