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2.2空间向量的运算 课件(北师大版选修2-1)

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北师版数学选修2-1课件：第2章 2 空间向量的运算

北师版数学选修2-1课件：第2章 2 空间向量的运算


【答案】 B
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→ → → 3．在空间四边形ABCD中，连接AC，BD，则AB＋BC＋CD为________． 【解析】 【答案】 → → → → → → AB＋BC＋CD＝AC＋CD＝AD. → AD
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4．若空间向量a，b满足|a|＝|b|＝1，a与b的夹角为60° ，求a· a＋a· b＝_____.
【答案】 C
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→ → → → (2)化简(AB－CD)－(AC－BD)＝________.
→ －CD → )－(AC → －BD →) 【自主解答】 法一：(AB → －CD → －AC → ＋BD → ＝AB → → → → ＝AB＋DC＋CA＋BD → ＋BD → )＋(DC → ＋CA →) ＝(AB → ＋DA → ＝0. ＝AD
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→ ＋D → →＝ 2．如图221所示，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，AA C － BB 1 1 1 1 ( )
图221 → A.AB 1 → C.AD
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→ B．DC → D．BA
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【解析】
→ → → → → → → → → → AA1＋D1C1－BB1＝AA1＋A1B1＋B1B＝AB1＋B1B＝AB＝DC.
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减法
空间向量a与一个实数λ的乘积是一个 向量，记作λa，满足： 空间向量 ①|λa|＝|λ||a| 的数乘 ②当λ＞0时，λa与a方向 相同 ； 当λ＜0时，λa与a方向 相反； 当λ＝0时，λa＝ 0
①λa＝aλ(λ∈R) ②λ(a＋b)＝ λa＋λb (λ＋μ)a＝λa＋μa (λ∈R，μ ∈R) ③(λμ)a＝ λ(μa) (λ∈R，μ ∈R)．
2.2《空间向量的运算》线上课程课件-北师大版高中数学选修2-1

2.2《空间向量的运算》线上课程课件-北师大版高中数学选修2-1


02 新知讲授
一、空间向量的加、减法
1. 如图，设a和b是空间两个向量，过一
点O，作a和b的相等向量 OA和OB ,根据平
面向量加法的平行四边形法则，平行四边
形的对角线OC对应的向量就是a与b的和，
记作a+b.
a-b
2. 与平面向量类似,a与b的差定义为 a+(-b),记作a-b，其中-b是b的相反向量.
1．三角形法则和平行四
1．由于对两个法则不熟悉而
边形法则的应用;
造成对和、差向量的方向与
2．数乘向量要抓住它的
1．向量的加减法;
大小判断错误;
定义，从大小与方向两方
2．空间向量的数乘;
2．由于忽视了共线定理中的
面来理解;
3．空间向量的数量积.
b≠0，而造成解题错误;
3．数量积可以类比平面
3．在求数量积时，不能正确
江西省中小学2020年秋季学期线上课程——北师大版高中数学选修2-1
第二章：空间向量与立体几何 2. 空间向量的运算
01 新课导入
代数主要是研究运算的一门学科，它在中学数学中 占有非常重要的地位。随着对代数学习的深入，运算对 象在不断地拓展，对运算规律的理解也在不断地加深。 向量是代数研究最重要的对象之一。它不仅可以进行加 减运算，与实数结合进行数乘运算，而且还可以进行内 积(也就是向量的数量积）等运算。
③ (a·b)=( a)·b ( R ).
结论：
(1) a a a;
(2) a b a b 0;
(3) cos
a, b
a a
b b
(a 0, b 0).
2.向量a的单位向量
对于任意一个非零向量a,我们把
高中数学北师大版选修2-1 2.2.1空间向量的线性运算 课件(30张)

高中数学北师大版选修2-1 2.2.1空间向量的线性运算 课件(30张)

§2 空间向量的运算
-1-
第1课时 空间向量的线性运算
-2-
第1课时 空间向量的线性运算
M 目标导航 Z 知识梳理 D典例透析 S随堂演练
UBIAODAOHANG HISHI SHULI IANLI TOUXI
UITANGYANLIAN
1.会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算 律. 2.能运用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何问 题.
-8-
第1课时 空间向量的线性运算
M 目标导航 Z 知识梳理 D典例透析 S随堂演练
UBIAODAOHANG HISHI SHULI IANLI TOUXI
UITANGYANLIAN
【做一做 2】 给出下列命题: ① 在空间中, 零向量一定没有方向;
②若 ABCD-A'B'C'D'为平行六面体, 则������������ = ������' ������' ; ③若 ABCD-A'B'C'D'为长方体, 则������������ + ������������ + ������������' = ������������' + ������' ������' .
UBIAODAOHANG HISHI SHULI IANLIБайду номын сангаасTOUXI
UITANGYANLIAN
3.运算律 空间向量加法和减法的运算律与平面向量的运算律相同,表示如 下: (1)结合律 (a+b)+c=a+(b+c); (2)交换律 a+b=b+a. 说明:空间向量的加法、减法运算满足平行四边形法则或三角形 法则,并且空间向量的加法满足交换律和结合律.
2.2 空间向量的运算 课件(北师大选修2-1)

2.2 空间向量的运算 课件(北师大选修2-1)


[精解详析]
∵E，H 分别是 AB，AD 的中点，
∴EH ＝ AH －AE 1 1 ＝ AD － AB 2 2 1 ＝ (AD －AB ) 2 1 ＝ BD . 2
2 2 又∵CF＝2FB，CG＝2GD，∴ C F ＝ C B ，C G ＝ C D .
λa的模是a的
模的 |λ| 倍
(3)空间向量的数乘运算律：
①交换律：λa＝ aλ (λ∈R)； λa＋λb ，
②分配律：λ(a＋b)＝
(λ＋μ)a＝λa＋μ a(λ∈R，μ∈R)； ③结合律：(λμ)a＝ λ(μa) (λ∈R，μ∈R)． (4)定理：空间两个向量a与b(b≠0)共线的充分必要条件 是存在实数λ，使得 a＝λb .
b＝0 ； ②a⊥b ⇔ a·
a· b ③cos〈a，b〉＝ |a||b| (a≠0，b≠0.)
a (4)对任意一个非零向量， |a| 叫作向量 a 的单位向量， 把
记作 a0.a0 与 a 同 方向．
与平面向量类似，空间向量的加减、数乘、数量积运算 有如下特点 1．空间向量的加减法满足平行四边形和三角形法则，结 果仍是一个向量． 2．空间向量的数乘运算，结果仍是一个向量，方向取决 于λ的正负，模为原向量模的|λ|倍．
设 a，b，c 是任意空间向量，类比平面向量的数量 积，回答以下问题． 问题 1：由 a· b＝0，一定能推出 a＝0 或 b＝0 吗？
π 提示：不一定，也可能〈a，b〉＝ . 2
问题 2：由 a· b＝a· 能得到 b＝c 吗？ c
提示：不一定．
问题 3：(a· b)c＝a(b· c)成立吗？
提示：不一定．
2
高中数学第二章空间向量与立体几何2.2空间向量的运算课件北师大版选修2_1

高中数学第二章空间向量与立体几何2.2空间向量的运算课件北师大版选修2_1

＝ 12 ＋ 1×1×cos 60°－ 2×1×1×cos 60°＋ 1×1×cos 60°＋12－2×1×1×cos 60° ＝1.
讲课堂互动讲义
空间向量的线性运算 已知空间四边形 OABC， M，N 分别是对边 OA、BC 的中点， 点 G 在 MN 上，且 MG＝2GN，如 图，设O→A＝a，O→B＝b，O→C＝c， 试用 a，b，c 表示向量O→G.
如图．
(2)减法法则 与平面向量类似，a与b的差定义为_a_与__－__b_的___ __和__向__量___，记作a－b，其中－b是b的相反向 量．
(3)运算律 交换律：a＋b＝__b_＋__a_b＋a； 结合律：(a＋b)＋c＝__a_＋__(_b_＋__c)__．
[强化拓展]
(1)空间向量的加减法与平面向量的加减法完全相
[强化拓展] (1)因为空间任意两个向量都是共面的，所以空间向 量共线定理与平面向量共线定理是相同的；定理中 b≠0 不可丢掉，否则实数 λ 不一定存在，且不一 定唯一．如：a≠0，b＝0，则 λ 不存在；a＝b＝0， 则 λ 不唯一． (2)在 a＝λb 中，对于确定的 λ 与 b，a＝λb 可以表 示空间中与 b 平行且长度为|λb|的所有的向量．
4．空间向量的数量积
λ(a·b)
b·a a·b＋a·c
(1)若 a，b 是非零向量，则 a⊥b⇔a·b
两个 ＝0. 向量 (2)若 a 与 b 同向，则 a·b＝|a|·|b|； 数量 若反向，则 a·b＝－|a|·|b|. 积的 特别地：a·a＝|a|2 或|a|＝ a·a. 性质 (3)若 θ 为 a，b 的夹角，则 cos θ＝|aa|··b|b|.
2．射线 AB、AC、AD 不共面， 连接 BC、CD、DB，分别取 AB、BC、CD、DA 的中点 E、 F、G、H，试判断四边形 EFGH 的图形形状，并用向量的方法 证明．
2.空间向量及其加减运算-北师大版高中数学选修2-1PPT全文课件

2.空间向量及其加减运算-北师大版高中数学选修2-1PPT全文课件


例题
例 已知平行A 六B面 CD 体 A'B'C'D'，化简下 列向量表达式化 ，简 并结 标果 出的向量
⑵ABADAA'；
起点相同的三个不共面 向量之和，等于以这三 个向量为棱的平行六面 体的以公共起点为起点
的对角线所示向量
D’ A’
D
C’ B’
C
A
B
2 . 空 间 向量 及其加 减运算 -北师大 版高中 数学选 修2-1 PPT全文 课件【 完美课 件】
b
加法交换律：
A
a
B
abba
加法结合律：
向量减法的三角形法则
(ab)ca(bc)
4.推广:
（1）首尾相接的若干向量之和， 等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的 向量； A 1A 2A 2A 3A 3A 4 A n 1A nA1 A n
（2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图 形，则它们的和为: 零向量
A1
A n1
A2
An
2 . 空 间 向量 及其加 减运算 -北师大 版高中 数学选 修2-1 PPT全文 课件【 完美课 件】
A3
A4
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例题
例 已知平行A 六B面 CD 体 A'B'C'D'，化简下 列向量表达式化 ，简 并结 标果 出的向量
在这里，空间向量的加减法运算性质 完全和平面向量的运算性质一样！
2 . 空 间 向量 及其加 减运算 -北师大 版高中 数学选 修2-1 PPT全文 课件【 完美课 件】
问题 2.空间向量及其加减运算-北师大版高中数学选修2-1PPT全文课件【完美课件】
高中数学 2.2 空间向量的运算课件 北师大版选修21

高中数学 2.2 空间向量的运算课件 北师大版选修21


空间向量的线性运算
如图 2－2－1 已知三棱锥 A－BCD，E、F 分别
是 BC、CD 的中点，化简下列各表达式．
(1)A→B＋B→C＋C→D；
(2)A→B＋12B→D＋12B→C；
(3)A→F－12A→B－12A→C.
图 2－2－1
【思路探究】 结合图形特点，利用空间向量的线性运 算法则进行化简．
空间两个向量 a 与 b(b≠0)共线的充要条件是存在实数
λ，使得 a＝λB．
单位向量
【问题导思】 在平面向量中，与 a 共线的单位向量有几个，分别是什 么？ 【提示】 有 2 个，分别是|aa|与－|aa|.
对于任意一个非零向量 a，我们把|aa|叫作向量 a 的单位向 量，记作 a0，a0 与 a同方向 .
2 空间向量的运算
教师用书独具演示
●三维目标 1．知识与技能 (1)理解空间向量的概念，掌握其表示方法． (2)能用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们 的运算律． (3)能用空间向量的运算意义及运算律解决立体几何中的 简单问题．
2．过程与方法 通过对空间向量的运算的学习，了解并初步把握空间向 量的运算意义及运算律解决立体几何中的简单问题的方法． 3．情感、态度与价值观 培养学生知识迁移的能力，渗透数形结合思想．
【解】 (1)∵A→B＋A→D＝A→C，
∴
A→1O－
1 2
A→B
－12
A→D＝
A→1O－
12(A→B＋
A→D)
＝A→1O－
1 2
A→C
＝
A→1O－A→O＝A→1A. (2)E→O＝E→D＋D→O＝23D→1D＋12D→B＝23D→1D＋12(D→A＋A→B)＝23
A→1A＋12D→A＋12A→B＝12A→B－12A→D－23A→A1.
2.2《空间向量的运算》课件(北师大版选修2-1)

2.2《空间向量的运算》课件(北师大版选修2-1)


何值时BP·CQ的值最大?并求出这个最大值.
【解题提示】把BP·CQ化成关于θ的函数关 系式，再求函数最值.
【解析】
学习目标定位
基础自主学习
典例精析导悟
课堂基础达标
知能提升作业
一、选择题（每题4分，共16分） 1.下列命题中不正确的是（
(A)| 0 |=0 (C)| a |2= a 2
）
(B) a - a =0 (D) a - a = 0 【解析】选B. a - a = 0 ≠0
【解题提示】正确地画出辅助线，利用向量共线定理求
解.
【解析】EF与AD+BC共线.连接AC，取AC中点G，连接EG，FG，
∴GF= 1 AD,EG= 1 BC.
2 1 2 2 1 1 BC= (AD+BC). 2 2
又∵GF,EG,EF共面，
∴EF=GF+EG= AD+
即EF与AD+BC共线.
8.已知空间四边形OABC各边及对角线长都相等,E,F分别为
AB,OC的中点,求异面直线OE与BF夹角的余弦值.
【解析】如图,设OA= a ,OB= b ,OC= c ,且| a |=| b |=| c |=1, 易知∠AOB=∠BOC=∠AOC= , 3
则 a · b = b·c = c·a = . 2






1
9.(10分)如图，在Rt△ABC中,已知BC=a,若长为 2a的线段PQ以点A为中点,问PQ与BC的夹角θ 取
二、填空题（每题4分，共8分） 5.化简：
(1)
=_____________;
(2)平行六面体A)AB-AC+BC-BD-DA =CB+BC-(BD+DA) =0 -BA =AB
《2.2 空间向量的运算》课件-优质公开课-北师大选修2-1精品

《2.2 空间向量的运算》课件-优质公开课-北师大选修2-1精品

b≠0，则存在唯一实数x使a＝xb；②若存在 唯一实数λ，使a＝λb，则a∥b.
• 判定两向量共线的关键是找到实数λ.运用② 证明直线平行还需说明a(或b)上有一点不在 b(或a)上．
• 运用②证明三点共线，还需说明a与b有公共 点．
• 5．数量积
• 由于空间任意两个向量都可转化为共面向量， 所以空间两个向量的夹角的定义和取值范围、 两个向量垂直的定义和表示及向量的模的概 念和表示等，都与平面向量相同．
重点难点点拨
• 本节重点：向量的线性运算及运算律、数量 积．
• 本节难点：向量的线性运算及运算律、数量 积．
知能自主梳理
1．空间向量加减法的定义 如图，设 a 和 b 是空间两个向量，过 一点 O 作 a 和 b 的相等向量O→A和O→B，根 据平面向量加法的平行四边形法则，平行 四边形的对角线 OC 对应的向量O→C就是 a 与 b 的和，记作 a＋b. a 与 b 的差定义为 a＋(－b)，记作 a－b，其中－b 是 b 的 相反向量．
• 与平面上两个向量的数量积一样，空间两个 向量的数量积也具有如下性质．
• ①a⊥b⇔a·b＝0.用于判断两向量是否垂 直．
• ②|a|2＝a·a用于求向量的模．
• ③|a·b|≤|a||b|用于判断或证明不等式．
• 6．向量中应该重视的问题
• ①空间向量的加法、减法、数乘向量的意义 及运算律与平面向量类似，这些运算不但适 合学过的代数运算律，而且很多性质与实数 性质相同．
④a·b＝0⇒/ a＝0 或 b＝0，a＝0 时，一定有 a·b＝0. ⑤三个不为零的实数 a、b、c，有(ab)c＝a(bc)成立，但对 于三个向量 a、b、c，(a·b)·c≠a·(b·c)，因为 a·b 是一个实数，(a·b)c 是与 c 共线的向量，而 a(b·c)是与 a 共线的向量，a 与 c 却不一 定共线．
2020北师大版高中数学选修2-1 教师课件：第二章 空间向量的运算

2020北师大版高中数学选修2-1 教师课件：第二章 空间向量的运算


1．已知空间四边形 ABCD，如图，连接 AC，BD，设 M，G 分别是 BC，CD 的中点， 化简下列各表达式： (1)A→B＋B→C＋C→D； (2)A→B＋12(B→D＋B→C)； (3)A→G－12(A→B＋A→C)．
解析：(1)A→B＋B→C＋C→D＝A→C＋C→D＝A→D. (2)A→B＋12(B→D＋B→C)＝A→B＋12B→C＋12B→D ＝A→B＋B→M＋M→G＝A→G. (3)A→G－12(A→B＋A→C)＝A→G－A→M＝M→G.
一、空间向量的运算
空间向量的运算
定义(或法则)
运算律
设 a 和 b 是空间两个向量，过一点 O 作 a 和
b 的 相等向量 O→A和O→B，以 OA、OB 为边 ①结合律：(a＋b)
空间向量
加法
作 平行四边形 ，则对角线 OC 对应的向量 O→C就是 a 与 b 的和，记作 a＋b，如图．
＋c＝
b＋a
[解析] M，N 分别是 AC，BF 的中点，而四边形 ABCD，ABEF 都是平行四边形． 所以M→N＝M→A＋A→F＋F→N＝12C→A＋A→F＋12F→B. 又因为M→N＝M→C＋C→E＋E→B＋B→N＝－12C→A＋C→E－A→F－12F→B， 所以12C→A＋A→F＋12F→B＝－12C→A＋C→E－A→F－12F→B. 所以C→E＝C→A＋2A→F＋F→B＝2(M→A＋A→F＋F→N)． 所以C→E＝2M→N. 所以C→E与M→N共线．
空间向量的运算
定义(或法则)
运算律
与数量 积有关 的结论
①|a|＝ a·a ； ②a⊥b⇔a·b＝ 0 ； ③cos〈a，b〉＝|aa|·|bb|(a≠0，b≠0)
二、共线向量基本定理
空间两个向量 a 与 b(b≠0)共线的充要条件是存在实数 λ，使得 a＝λb .
2019-2020高中北师版数学选修2-1 第2章 §2 空间向量的运算课件PPT

2019-2020高中北师版数学选修2-1 第2章 §2 空间向量的运算课件PPT

D．|a·b|≤|a||b|
D [|a|·a是与a共线的向量，a2是实数，故A错误；
(a·b)2＝
|a|2·|b|2·cos2〈a，b〉≠a2·b2，故B错误； (a·b)c与c共线，a(b·c)
与a共线，故C错误； |a·b|＝||a|·|b|·cos〈a，b〉|≤|a|·|b|，故D正
确．]
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() ()
[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√
栏目导航
2.化简P→M－P→N＋M→N所得的结果是( )
A．P→M
B．N→P
C．0
D．M→N
C [因为P→M－P→N＋M→N＝N→M＋M→N＝0.]
栏目导航
3.下列式子中正确的是( A．|a|·a＝a2 C．(a·b)c＝a(b·c)
) B．(a·b)2＝a2·b2
第二章 空间向量与立体几何
§2 空间向量的运算
栏目导航
学习目标：1.会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及 它们的运算律．(重点) 2.会利用两个空间向量共线的充要条件解决 有关问题．(难点) 3.能够利用空间向量的数量积的定义求两个向量 的数量积．(重点)
栏目导航
自主预习 探新知
栏目导航
1．空间向量的运算
栏目导航
(2)如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，设 A→A1 ＝a， A→B ＝ b， A→D ＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c 表示以下各向量：
①A→P；②A→1N；③M→P＋N→C1.
栏目导航
0 [(1)法一：(A→B－C→D)－(A→C－B→D)＝A→B－C→D－A→C＋B→D＝A→B ＋D→C＋C→A＋B→D＝(A→B＋B→D)＋(D→C＋C→A)＝A→D＋D→A＝0.

高中数学选修2-1北师大版 空间向量的运算 课件(42张)


在进行向量的加减法运算时要牢记加减法的运算法则，最终的表 达方式是唯一的，但在具体的解题过程中，注意封口多边形法则的应
用，只要形成封闭图形即可，在解题过程中注意灵活选择．
1.已知空间四边形 ABCD，如图，连接 AC，BD，设 M，G 分别是 BC，CD 的中点，化简下列各表达式： → ＋BC → ＋CD →； (1)AB 1 → → → (2)AB＋2(BD＋BC)； 1 → → → (3)AG－2(AB＋AC)．
研重点 究疑点 1．提示：由数量积的定义知 a· b＝|a||b|cos〈a，b〉是一个数，从 而(a· b)· c 与 c 共线，又 a· (b· c)＝(b· c)· a 是与 a 共线的一个向量，所以 (a· b)· c＝a· (b· c)不一定成立． 2．提示：不是．由 a＝λb 可得出 a，b 共线．而由 a，b 共线不一 定能得到 a＝λb，如当 b＝0，a≠0 时． 3．D 向量 a，b 不一定是共线向量，因此，当 a，b 不共线时， a0，b0 也不共线，此时 a0，b0 不相等，故 A，C 错误；向量与数量不 能比较，故 B 错；单位向量的模都是 1，因此|a0|＝|b0|.故选 D.A．a0＝b0C． Nhomakorabea0，b0共线
B．a0＝1
D．|a0|＝|b0|
→ －AB → ＋BC → 化简后 4．在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，向量表达式DD 1 的结果是( → A.BD 1 → C.B 1D ) → B.D 1B → D.DB 1
5．若 a，b 均为非零向量，则 a· b＝|a||b|是 a，b 共线的( A．充分不必要条件 C．充要条件 B．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件
空间向量的线性运算
→ ＝a，OB → ＝b，OC → ＝c， [例 1] 如图所示，在四面体 OABC 中，OA → 和OE →. D 为 BC 的中点，E 为△ABC 的重心，试用 a、b、c 表示向量OD

高中数学(北师大版)选修21第2章空间向量的运算PPT课件

第二章 2.2 第1课时
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·北师大版 ·数学 ·选修2-1
[正解] 命题①为假命题，因为A→B、C→D两个向量所在的直线 可能没有公共点，所以四点不一定在一条直线上；命题②为真命 题，因为A→B、A→C两个向量所在的直线有公共点 A，所以三点共线．故 填②.
[答案] ② [总结反思] 我们所研究的向量为自由向量，所以平行向量就 是共线向量，但是向量所在的直线却不一定共线，也有可能平行， 关键是看这两个向量有没有公共点，如果没有公共点，那么对应 的两条直线平行；如果有公共点，那么对应的两条直线重合．
[分析] 要判断C→E与M→N是否共线，只需判断是否存在实数 x， 使C→E＝xM→N，若存在，则C→E与M→N共线，否则M→N与C→E不共线．
第二章 2.2 第1课时
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·北师大版 ·数学 ·选修2-1
[解析] M，N 分别是 AC，BF 的中点，而四边形 ABCD，ABEF 都是平行四边形，
[ 答 案 ] C
[解析] A→B与B→C两向量平行，且有一个公共点，所以三点共
线．
第二章 2.2 第1课时
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·北师大版 ·数学 ·选修2-1
向量共线 如图所示，四边形 ABCD，ABEF 都是平行四边形， 且不共面，M、N 分别是 AC、BF 的中点，判断C→E与M→N是否共线？
所以M→N＝M→A＋A→F＋F→N＝12C→A＋A→F＋12F→B. 又因为M→N＝M→C＋C→E＋E→B＋B→N＝－12C→A＋C→E－A→F－12F→B， C→E－(12C→A＋A→F＋12F→B)＝C→E－M→N. 所以C→E＝2M→N. 所以C→E与M→N共线．

最新-高中数学 22《空间向量的运算》课件 北师大版选修2-1 精品

A1A2 A2 A3 A3A4 ． An1An An A1 0
⑶两个向量相加的平行四边形法则在空间仍然成立 ．
例１已知平行六面体 ABCD A' B'C' D（' 如图），化简下列
向量表达式，并标出化简结果的向量
⑴AB BC；
⑵AB AD AA'；
⑶AB AD 1 CC' 2
⑷ 1 (AB AD AA' )． 3
推论：空间一点P位于平面MAB内的充分必要条件是存在
有序实数对x、y，使 MP =xMA+y MB
或对空间任一点O，有OP= OM +x MA +y MB ①
平面MAB内，点P对应的实数对（x,y）是唯一的，①式 叫做平面MAB的向量表达式。
例2、对空间任一点O和不共线的三点A、B、C，试问满足 向量关系式
OP OA t a ① 其中向量a叫做直线l的方向向量。
OP OA t AB OP (1 t)OA tOB ②
①或②式都叫做空间直线的向量参数方程
4．共面向量
（1）概念：已知平面α与 a向量，作 OA a ，如 果直线OA平行于平面α或在α内，那么我们说向量 a 平行于平面α，记作 a ∥α。
OP =x OA+y OB +ZOC (其中x+y+z=1)
的四点P、A、B、C是否共面
例3、已知平行四边形ABCD，从平面AC外一点O引向量
OE=k OA ，OF =kOB ,OG =kOC ,OH OD
=k ,求证： ⑴四点E、F、G、H共面；
⑵平面EG∥平面AC。
O
D
C
A
Bபைடு நூலகம்
H
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互相平行或重合，则这些向量叫做共线向
量或平行向量
a平行于b,记作a∥b
（2）共线向量定理： 对空间任意两个向量a、b(b≠0)，a∥b的充要条 l 件是存在实数λ ，使a=λ b。 P
a
A B
推论：如果l为经过已知点A且平行于已知向量a的直线， 那么对任一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，满 足等式 OP OA t ① a 其中向量a叫做直线l的方向向量。 OP OA t AB OP (1 t )OA tOB ② ①或②式都叫做空间直线的向量参数方程
D
S
·
A
C
P·
A B
R·
B
D C
G C
D
A
· Q
B
⑵平面EG∥平面AC。
O
D A H
C B G
E
F
小结：1、空间向量的概念 2、空间向量的运算 3 、共线向量（平行向量）的概念及空 间向量共线的充要条件 4、共面向量的概念及向量共面的充要 条件
作业
1.如图是正方体，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，求证： 这四个点共面
。
.2.如图设A是△BCD所在平面外的一点，G是△BCD的重 1 心。求证： AG ( AB AC AD) 3
D' 例１已知平行六面体 ABCD A' B' C '（如图），化简下列向 量表达式，并标出化简结果的向量
⑴AB BC；
⑵AB AD AA'；
1 ⑶ AB AD CC ' 2
1 ⑷ ( AB AD AA' )． 3
3.共线向量（平行向量）
（1）概念：如果表示空间向量的有向线段所在的直线
O A
a
α
a
（2）共面向量定理 如果两个向量 a b不共线，则向量 、 面的充要条件是，存在实数对x、y，使
与向量 、共 p ab
p=x a +y b
推论：空间一点P位于平面MAB内的充分必要条件是存在有 MP 序实数对x、y，使 =x MA MB +y OP OM +x +y ① 或对空间任一点O，有 = MB MA
2．空间向量的运算 结论：空间向量的加法、减法、数乘向量的定义与平面 向量的运算一样
OB量） OP λa ( R)
运算律：⑴加法交换律： a b b a ⑵加法结合律：(a b) c a (b c)
空间向量及其运算
一、复习 1、平面向量的概念
2、平面向量的加减和数乘运算
1．空间向量的概念 在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量
注意：⑴空间的平移就是一个向量。平移实际就是点 到点的一次变换，因此我们说空间任意两个向 量是共面的 ⑵向量一般用有向线段表示。同向等长的有向线段 表示同一或相等的向量。 ⑶空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来 表示
平面MAB内，点P对应的实数对（x,y）是唯一的，①式叫 做平面MAB的向量表达式。
例2、对空间任一点O和不共线的三点A、B、C，试问满足向 量关系式 +y OP =x OA OB+Z OC(其中x+y+z=1) 的四点P、A、B、C是否共面
例3、已知平行四边形ABCD，从平面AC外一点O引向量 , OE=k OA ， OF =k OB ,OG =k OC , OH =k OD 求证： ⑴四点E、F、G、H共面；
( a b ) a b ⑶数乘分配律：
空间向量加法的运算律要注意以下几点： ⑴首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点 指向末尾向量的终点的向量．即：
A1 A2 A2 A3 A3 A4 An1 An A1 An
⑵首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们 的和为零向量．即： A1 A2 A2 A3 A3 A4 An1 An An A1 0 ． ⑶两个向量相加的平行四边形法则在空间仍然成立．
O
4．共面向量
a （1）概念：已知平面α 与 a 向量，作 OA ，如果 直线OA平行于平面α 或在α 内，那么我们说向量 平 a a 行于平面α ，记作 ∥α 。
通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量说 明：⑴空间任意两个向量总是共面的； ⑵空间任意三个向量不一定共面； ⑶空间四边形ABCD中 AD AC AB 、 、 不共面。