北师大版必修5高中数学2.3《解三角形的实际应用举例》word导学案

第八课时§解三角形应用举例（三）一、教课目的1、知识与技术：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关计算角度的实质问题。

2、过程与方法：本节课是在学习了有关内容后的第三节课，学生已经对解法有了基本的了解，这节课应经过综合训练加强学生的相应能力。

除了安排课本上的例1，还针对性地选择了既具典型性有具启迪性的 2 道例题，重申知识的教授更重能力的浸透。

讲堂中要充足表现学生的主体地位，重过程，重议论，教师经过导疑、导思让学生有效、踊跃、主动地参加到研究问题的过程中来，逐渐让学生自主发现规律，贯通融会。

3、感情态度与价值观：培育学生提出问题、正确剖析问题、独立解决问题的能力，并在教学过程中激发学生的研究精神。

二、教课要点：能依据正弦定理、余弦定理的特色找到已知条件和所求角的关系。

教课难点：灵巧运用正弦定理和余弦定理解对于角度的问题。

三、教课方法：探析概括，讲练联合四、教课过程Ⅰ. 课题导入[ 创建情境 ]发问：前方我们学习了如何丈量距离和高度，这些实质上都可转变已知三角形的一些边和角求其他边的问题。

但是在实质的航海生活中 , 人们又会碰到新的问题，在浩大无垠的海面上如何保证轮船不迷失方向，保持必定的航速和航向呢？今日我们接着商讨这方面的丈量问题。

Ⅱ . 探析新课[ 典范解说 ]例 1、如图，一艘海轮从 A 出发，沿北偏东75的方向航行67.5 n mile后抵达海岛B, 然后从 B 出发 , 沿北偏东 32的方向航行54.0 n mile 后达到海岛 C.假如下次航行直接从 A 出发抵达C, 此船应当沿如何的方向航行, 需要航行多少距离?( 角度精准到0.1, 距离精准到0.01n mile)学生看图思虑并叙述解题思路教师依据学生的回答概括剖析：第一依据三角形的内角和定理求出 AC 边所对的角 ABC，即可用余弦定理算出 AC边，再依据正弦定理算出 AC边和 AB 边的夹角 CAB。

解：在ABC中，ABC=180 - 75 + 32 =137，依据余弦定理，AC=AB 2BC 22AB BC cos ABC=67.5254.02267.554.0cos137≈ 113.15依据正弦定理 ,BC=ACsin CAB sin ABCsinCAB = BCsinABC =54 .0 sin 137 ≈0.3255,因此CAB =19.0,75-CAB AC113 .15=56.0答 : 此船应当沿北偏东 56.1的方向航行 , 需要航行 113.15n mile例 2、在某点 B 处测得建筑物AE 的顶端 A 的仰角为，沿 BE方向行进 30m，至点 C 处测得顶端 A 的仰角为 2，再持续行进10 3 m至 D点，测得顶端 A 的仰角为 4，求的大小和建筑物 AE的高。

北师大版高中必修5-3解三角形的实际应用举例课程设计背景和目的三角形作为几何图形中最基础的一类，其在各种实际应用中都有着广泛的应用。

在高中数学课程中，解三角形一直是一项重要的内容，也是可以联系到实际应用的数学知识点之一。

本次课程设计旨在通过实例和案例的分析，加深学生对解三角形的理解，同时也展示出其在实际生活中的应用。

教学内容一、解三角形的基本原理回顾在开始案例介绍前，先对解三角形思路进行回顾，阐明需要进行三角函数运用的前提。

具体内容为： - 角度的概念和计算方法 - 正弦、余弦、正切三角函数 - 三角函数运算基本规则二、设计案例一：测量建筑物高度针对案例一，学生需要分组来完成以下任务： - 通过实地测量手段获得建筑物周围的所有数据 - 计算并确定三角形的三个角度度数 - 运用三角函数算出建筑物的高度注意事项： - 测量数据需要精确，建议学生在实践前进行模拟算法，在老师的指导下完成实地测量 - 小组合作完成测量和计算，要求结果准确无误三、设计案例二：天线高度计算针对案例二，学生需要独立完成以下任务： - 根据问题提供的相关信息，计算天线的高度和检测仪离天线的水平距离 - 给出计算高度和水平距离的步骤和方法，并概括解决此类实际问题的基本思路 - 思考什么因素会影响计算结果以及实际应用中如何避免和解决这些因素的影响注意事项： - 学生需要理解并能独立运用所学三角函数知识，确定三角形的各个角度度数 - 给出详细的计算步骤和公式实施方法一、教学方式采用讲解导入，案例分析和讨论，小组合作演练和个人独立思考结合的教学方式，强调理论和实践相结合的教学方法。

二、评价方法针对不同案例，采用不同的评价方式。

测量建筑物高度的实例，可通过实地测量准确度进行评价；天线高度计算的实例，可通过学生独立完成计算并给出详细计算步骤和方法的准确度进行评价。

同时，需要注重学生的思维能力、创新思维和解决实际问题的能力。

教学反思通过课程设计的实施，学生深入理解了解三角形的基本思路和三角函数运用的基本规则，同时也加深了对解三角形在实际生活中的应用的理解和认识，培养了学生解决实际问题的能力。

正弦定理和余弦定理及其应用【2017年高考会这样考】考查利用正、余弦定理判断三角形的形状和解三角形．【复习指导】1．强化正、余弦定理的记忆，突出一些推论和变形公式的应用．2．本节复习时，应充分利用向量方法推导正弦定理和余弦定理．3．重视三角形中的边角互化，以及解三角形与平面向量和三角函数的综合应用，能够解答一些综合问题．•基础梳理1．正弦定理：2．余弦定理：3．面积公式:让学生上黑板来书写公式。

教师讲解公式应注意的问题，并由公式得到一些结论。

一条规律在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC中，A＞B⇔a＞b⇔sin A＞sin B. 两类问题在解三角形时，正弦定理可解决两类问题：(1)已知两角及任一边，求其它边或角；(2)已知两边及一边的对角，求其它边或角．情况(2)中结果可能有一解、两解、无解，应注意区分．余弦定理可解决两类问题：(1)已知两边及夹角求第三边和其他两角；(2)已知三边，求各角．随堂练习（由学生上黑板做）1．在△ABC中，A＝60°，B＝75°，a＝10，则c等于()．A ．5 2B ．10 2 C.1063 D ．5 62．在△ABC 中，若sin A a ＝cos B b ，则B 的值为( )．A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°3．在△ABC 中，a ＝3，b ＝1，c ＝1，则A 等于( )．A ．30°B ．135°C ．60°D ．120°4．在△ABC 中，a ＝32，b ＝23，cos C ＝13，则△ABC 的面积为( )．A ．3 3B ．2 3C ．4 3 D. 3例题讲解考向一 利用正弦定理解三角形【例1】►在△ABC 中，a ＝3，b ＝2，B ＝45°.求角A ，C 和边c .考向二 利用余弦定理解三角形【例2】►在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且cos B cos C ＝－b 2a ＋c. (1)求角B 的大小；(2)若b ＝13，a ＋c ＝4，求△ABC 的面积．这道题让学生先做，注意基本方法，边化角和角化边都能做，比较那种方法更好，在把这道题进行拓展，可以考虑射影定理。

《解三角形的实际应用举例》教学设计一、本节教材分析为了突出正弦定理、余弦定理在解决一些与三角形有关的实际问题中的作用，教材设置了不同问题情境的例题.目的是为了进一步强化数学建模的思想方法，即：从实际出发，经过抽象概括，转化为具体问题中的数学模型，通过推理演算，得出数学模型的解，再还原成实际问题的解.二、三维目标知识与技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关计算角度的实际问题．过程与方法：本节课是在学习了相关内容后的第三节课，学生已经对解法有了基本的了解，这节课应通过综合训练强化学生的相应能力．除了安排课本上的例1，还针对性地选择了既具典型性有具启发性的2道例题，强调知识的传授更重能力的渗透．课堂中要充分体现学生的主体地位，重过程，重讨论，教师通过导疑、导思让学生有效、积极、主动地参与到探究问题的过程中来，逐步让学生自主发现规律，举一反三．情感与价值：培养学生提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力，并在教学过程中激发学生的探索精神．三、教学重点能根据正弦定理、余弦定理的特点找到已知条件和所求角的关系．四、教学重点能根据正弦定理、余弦定理的特点找到已知条件和所求角的关系．五、教学难点灵活运用正弦定理和余弦定理解关于角度的问题．六、教学建议能否灵活求解问题的关键是正弦定理和余弦定理的选用，有些题目只选用其一，或两者混用，这当中有很大的灵活性，需要对原来所学知识进行深入的整理、加工，鼓励一题多解，训练发散思维．借助计算机等媒体工具来进行演示，利用动态效果，能使学生更好地明辨是非、掌握方法．七、新课导入设计导入一: 探究导入，在解决实际问题中，经常设及三角形问题，我们可以把它抽象为解三角形问题，本节我们继续探究应用正弦定理、余弦定理解决与三角形有关的实际问题.导入二：直接导入，上节课我们研究了怎样测量到不可到达的点的距离，又解决了怎样测量底部不可能到达的建筑物的高度的问题，这些都是距离问题，本节课我们进一步探究综合运用正弦定理、余弦定理解决与三角形有关的实际问题的方法步骤.。

《解三角形的实际应用举例》教学设计一、教材依据本节教材选自《普通高中课程标准实验教科书·数学(必修5)》(北师大版)，第58页第二章《解三角形》：第3小节《解三角形的实际应用举例》的第一课时。

二、设计思想【设计理念】理念之一是让学生体验应用正弦定理、余弦定理解决实际测量问题的历程。

首先，分析、探讨一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离如何测量，初步感受两个定理的应用；然后，分组探讨怎样测量两个不可到达的点之间的距离，体验合作、交流、成功的快乐。

理念之二是倡导学生自主探索、合作交流等学习数学的方式，培养学生分析问题、解决问题的能力以及交流合作的能力。

总之，本节课将充分体现以“学生为本”的教学观念，实现课程理念、教学方式和学生学习方式的转变。

【教材分析】“解三角形”既是高中数学的基本内容，又有较强的应用性，也是培养学生的应用意识，提高学生分析问题、解决问题的能力非常好的载体，教学中结合具体问题，教给学生解答应用题的基本方法、步骤和建模思想。

【学情分析】学生学习《解三角形的实际应用举例》之前，已经掌握了利用正、余弦定理解三角形的方法，具备一定的分析问题的能力；但学生应用数学的意识不强，创造能力较弱，往往不能把实际问题抽象成数学问题，不能把所学的数学知识应用到实际问题中去，因此，小组讨论时学生必须在老师的指导下进行。

根据《普通高中数学课程标准(实验)》的指导思想，针对教材内容重难点和学生实际情况的分析，本节教学应该帮助学生解决好的问题是，将距离测量问题合理、正确的转化为解三角形问题。

三、教学目标（一）课标要求：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。

（二）三维教学目标【知识与技能】通过对实例的解决，能够运用两个定理等解决两种类型的距离测量问题：一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离；两个不可到达的点之间的距离。

【过程与方法】经历将距离测量问题转化为解三角形问题的过程，认识实际应用问题的研究方法：分析——建模——求解——检验。

§3 解三角形的实际应用举例教学目标1、掌握正弦定理、余弦定理，并能运用它们解斜三角形。

2、能够运用正弦定理、余弦定理进行三角形边与角的互化。

3、培养和提高分析、解决问题的能力。

教学重点难点1、正弦定理与余弦定理及其综合应用。

2、利用正弦定理、余弦定理进行三角形边与角的互化。

教学过程 一、复习引入 1、正弦定理：2sin sin sin a b cR A B C=== 2、余弦定理：,cos 2222A bc c b a -+=⇔bca cb A 2cos 222-+=,cos 2222B ca a c b -+=⇔cab ac B 2cos 222-+=C ab b a c cos 2222-+=，⇔abc b a C 2cos 222-+=二、例题讲解引例： （课本P62题2）飞机的飞行线路和山顶在同一个铅直平面内，已知飞机的高度为海拔20250m,速度为189km/h,飞行员先看到山顶的俯角为/3018,经过960s （秒）后又看到山顶的俯角为081, 求山顶的海拔高度（精确到1m ）.例1 曲柄连杆机构当曲柄CB 绕C 点旋转时，通过连杆AB 的传递，活塞作往复直线运动。

当曲柄在0CB 时，曲柄和连杆成一条直线，连杆的端点A 在0A 处。

设连杆AB 长为lmm ，曲柄CB 长为rmm ，r l >（1）当曲柄自0CB 按顺时针方向旋转θ度时，其中03600<≤θ，求活塞移动的距离（即连杆的端点A 移动的距离A A 0）。

（2）当mm l 340=，mm r 85=，080=θ时，求A A 0的长（结果精确到mm 1）分析：不难得到，活塞移动的距离为AC C A A A -=00易知r l BC AB C A +=+=0所以，只要求出AC 的长即可，在ABC ∆中，已知两边和其中一边的对角，可以通过正弦定理或余弦定理求出AC 的长解：（1）设x AC =，若00=θ，则00=A A ，若0180=θ，则rmm A A 20=若001800<<θ，在ABC ∆中，由余弦定理得： C BC AC BC AC AB cos 2222⨯-+= 即：0)()cos (2222=---r l x r x θ解得：mm r l r r l r r x )sin cos ()cos (cos 2222221θθθθ-+=-++=0)cos (cos 2222<-+-=r l r r x θθ（不合题意，舍去）AC BC AB AC C A A A -+=-=00)(sin cos (222mm r l r r l θθ---+若00360180<<θ则根据对称性，将上式中的θ改为θ-0360即可有：)(sin cos (2220mm r l r r l A A θθ---+=总之，当003600<≤θ时，)(sin cos (2220mm r l r r l A A θθ---+=（2）当mm l 340=，mm r 85=，080=θ时，利用计算器得：800B 0A 0CB A)(8180sin 8534080cos 8585340022200mm A A ≈---+=答：此时活塞移动的距离约为mm 81例2：a 是海面上一条南北方向的海防警戒线，在a 上点A 处有一个水声监测点，另两个监测点C B ,分别在A 的正东方km 20和km 54处，某时刻，监测点B 收到发自静止目标P 的一个声波，s 8后监测点A ，s 20后监测点C 相继收到这一信号，在当时气象条件下，声波在水中的传播速度是s km /5.1（1）设A 到P 的距离为xkm ，用x 表示C B ,到P 的距离，并求x 的值（2）求静止目标P 到海防警戒线a 的距离（结果精确到km 01.0） 分析：（1）PC PB PA ,,长度之间的关系可以通过收到信号的先后时间建立起来（2）作a PD ⊥，垂足为D ，要求PD 的长，只需要求出PA 的长和APD ∠cos ，即PAB ∠cos 的值，由题意，PB PC PB PA --,都是定值，因此，只需要分别在PAB ∆和PAC ∆中，求出PAB ∠cos ，APC ∠cos 的表达式，建立方程即可解：（1）依题意，km PB PA 1285.1=⨯=-，km PB PC 30205.1=⨯=-因此：km x PB )12(-=，km x PC )18(+=，在PAB ∆中，km AB 20=xx x x x AB PA PB AB PA PAB 5323202)12(202cos 222222+=⨯--+=⨯-+=∠同理：xxPAC 372cos -=∠ 由于：PAC PAB ∠=∠cos cos 即：xxx x 3725323-=+ 解得：km x 7132= （2）作a PD ⊥，垂足为D ，在PDA Rt ∆中， PAB PA APD PA PD ∠=∠=cos cos)(71.17532713235323km xx x ≈+⨯=+⨯= 答：静止目标P 到海防警戒线a 的距离约为km 71.17练习：1、如图，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的A ，B ，C 三点进行测量。

高中数学 第2章 解三角形小结导学案北师大版必修5【学习目标】1、通过对任意三角函数边与角度的探索，掌握正弦定理、余弦定理并能解决一些简单的三角形度量问题。

2、能运用正弦定理、余弦定理解决一些计算和测量有关的实际问题 【学习重点】正弦定理、余弦定理【学法指导】阅读课本15-17页内容，结合导学案，要求在30分钟内独学至课内探究。

2、请写出余弦定理及其变形3、请写出三角形面积公式（一） 学习探究（1）(A)在ABC ∆中，45B =，60C =，1c =，求最短边的边长 。

（2）(A)求边长为5、7、8的三角形的最大角与最小角之和。

变式、（1）在ABC ∆中，已知2=b ，︒=30B ，︒=135C ，求a 的长个 性 笔 记（2）(B)在ABC ∆中，AB=3，AC=2，BC=10，则AB AC ⋅= ( )A ．23-B ．32- C ．32 D ．23三角形面积例2、(B)在∆A B C 中，s i n c o s A A +=22，A C =2，A B =3，求A tan 的值和∆A B C 的面积。

正、余弦定理判断三角形形状3在△ABC 中，若2cos B sin A ＝sinC ，则△ABC 的形状一定是（ ）A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形变式、（1）(A)在ABC ∆中，若C B A 222sin sin sin +=，判断ABC ∆的形状变式、（2）(C)在△ABC 中，若,cos cos cos C c B b A a =+判断△ABC 的形状正、余弦定理实际应用1、(B)如图一个三角形的绿地ABC ，AB 边长7米，由C 点看AB 的张角为45，在AC 边上一点D 处看AB 得张角为60，且2AD DC =，试求这块绿地得面积。

变式、(C)货轮在海上A 点处以30 n mile/h 的速度沿方向角（指北方向顺时针转到方向线的水平角）为1500的方向航行，半小时后到达B 点，在B 点处观察灯塔C 的方向角是900， 且灯塔C 到货轮航行方向主最短距离为310 n mile ，求点A 与灯塔C 的距离。

课题: 2.3.1解三角形的实际应用举例编制人：徐海军 审核： 领导签字：【使用说明】1.请同学们认真阅读课本，划出重要知识，并熟记基础知识，用红颜色笔做好疑难标记。

2.联系课本知识和学过的知识，利用自习时间认真限时完成此训练学案，要特别注意解题的方法和规范性。

3. 根据自身特点选择提升自身能力的侧重点。

4.小组长在课堂上讨论环节发挥引领作用，确保人人达到目标。

【学习目标】知识与技能：了解斜三角形在测量、工程、航海等实际问题中的应用；能选择正弦定理、余弦定理解决与三角形有关的实际问题。

过程与方法：在解三角形的实际问题中，进一步体会数学建模的思想，掌握数学建模的方法。

. 情感态度价值观：体会数学知识来源于实际生活，体会正弦定理、余弦定理在实际生活中的广泛应用.重 点：构建数学模型，解决实际问题。

难 点：数学建模的过程及解三角形的运算。

一、问题导学 1、正弦定理：2sin sin sin a b c R ABC===2、余弦定理：2222cos a b c bc A =+- ； 变形：bcac b A 2cos 222-+==2b=2c3、面积公式： 在ABC Rt ∆中=S 在一般三角形中=S二、课内探究1、从地平面A ，B ，C 三点测得某山顶的仰角均为 15，设 30=∠BAC ，而BC=200m 。

求山高（结果精确到0.1m ）2、如图，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的A ，B ，C 三点进行测量。

已知AB=50m,BC=120m ，于A 处测得水深AD=80m ，于B 处测得水深BE=200m ，于C 处测得CF=110m ，求DEF ∠的余弦值。

解：作DM//AC 交BE 于N ，交CF 于M 。

29810170302222=+=+=DM MF DF 130120502222=+=+=ENDNDE.15012090)(2222=+=+-=BCFC BE EF在DEF ∆中，由余弦定理，EFDE DFEFDEDEF ⨯-+=∠2cos 222.6516150130229810150130222=⨯⨯⨯-+=.3、某观测站C 在A 城的南偏西20°的方向.由A 城出发的一条公路，走向是南偏东40°，在C 处测得公路上B 处有一人距C 为31千米正沿公路向A 城走去，走了20千米后到达D 处，此时CD 间的距离为21千米，问这人还要走多少千米才能到达A 城？ 解： 设∠ACD=α，∠CDB=β. 在△BCD 中，由余弦定理得 cos β=CDBD CBCDBD⋅-+2222=21202312120222⨯⨯-+=-71，则sin β=734,而sin α=sin(β-60°)=sin βcos60°-cos βsin60°=734×21+23×71=1435,在△ACD 中，由正弦定理得︒60sin 21=αsin AD ,∴AD=︒60sin sin 21α=23143521⨯=15(千米).4、如图所示，已知半圆的直径AB=2，点C 在AB 的延长线上，BC=1，点P 为半圆上的一个动点，以DC 为边作等边△PCD ，且点D 与圆心O 分别在PC 的两侧，求四边形OPDC 面积的最大值. 解：POC 中，由余弦定理得PC 2=OP 2+OC 2-2OP ·OCcos θ=5-4cos θ. ∴y=S △OPC +S △PCD =21×1×2sin θ+43(5-4cos θ)=2sin(θ-3π)+435.∴当θ-3π=2π，即θ=65π时，y max =2+435. 所以四边形OPDC 面积的最大值为2+435.三、当堂检测1、在△ABC 中，角A 、B 、C 成等差数列，则角B 为（ ） (A) 30°(B) 60°(C) 90° (D) 120°2、在△ABC 中，若222c a b ab =++，则∠C=（ ）(A) 60° (B) 90°(C) 150°(D) 120°3、在△ABC 中，若sin cos cos sin A B A B =，则△ABC 为（ ）(A)直角三角形(B)等腰三角形(C)等腰直角三角形(D)等腰三角形或直角三角形4、如图，某海轮以60 n mile/h 的速度航行，在A 点测得海面上油井P 在南偏东60°，向北航行40 min 后到达B 点，测得油井P 在南偏东30°，海轮改为北偏东60°的航向再行驶80 min到达C 点，求P 、C 间的距离。

§3 解三角形的实际应用举例教学目标1、掌握正弦定理、余弦定理，并能运用它们解斜三角形。

2、能够运用正弦定理、余弦定理进行三角形边与角的互化。

3、培养和提高分析、解决问题的能力。

教学重点难点1、正弦定理与余弦定理及其综合应用。

2、利用正弦定理、余弦定理进行三角形边与角的互化。

教学过程 一、复习引入 1、正弦定理：2sin sin sin a b cR A B C=== 2、余弦定理：,cos 2222A bc c b a -+=⇔bca cb A 2cos 222-+=,cos 2222B ca a c b -+=⇔cab ac B 2cos 222-+=C ab b a c cos 2222-+=，⇔abc b a C 2cos 222-+=二、例题讲解引例：我军有A 、B 两个小岛相距10海里，敌军在C 岛，从A 岛望C 岛和B 岛成60°的视角，从B 岛望C 岛和A 岛成75°的视角，为提高炮弹命中率，须计算B 岛和C 岛间的距离，请你算算看。

解：060=A 075=B ∴045=C由正弦定理知045sin 1060sin =BC6545sin 60sin 100==⇒BC 海里750600CBA例1．如图，自动卸货汽车采用液压机构，设计时需要计算油泵顶杆BC 的长度（如图）．已知车厢的最大仰角为60°，油泵顶点B 与车厢支点A 之间的距离为1.95m ，AB 与水平线之间的夹角为/02060，AC 长为1.40m ，计算BC 的长（保留三个有效数字）． 分析：这个问题就是在ABC ∆中，已知AB=1.95m ，AC=1.4m,求BC 的长，由于已知的两边和它们的夹角，所以可 根据余弦定理求出BC 。

解：由余弦定理，得答：顶杠BC 长约为1.89m.解斜三角形理论应用于实际问题应注意： 1、认真分析题意，弄清已知元素和未知元素。

2、要明确题目中一些名词、术语的意义。

3 解三角形的实际应用举例学习目标 1.会用正弦、余弦定理解决生产实践中有关不可到达点距离的测量问题.2.培养提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力．知识点一常用角思考试画出“北偏东60°”和“南偏西45°”的示意图．梳理在解决实际问题时常会遇到一些有关角的术语，请查阅资料后填空：(1)方向角指北或指南方向线与目标方向所成的小于________度的角．(2)仰角与俯角与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平线________时叫仰角，目标视线在水平线________时叫俯角．(如下图所示)知识点二测量方案思考如何不登月测量地月距离？梳理测量某个量的方法有很多，但是在实际背景下，有些方法可能没法实施，比如解决不能到达的实际测量问题．这个时候就需要设计方案绕开障碍间接地达到目的．设计测量方案的基本任务是把目标量转化为可测量的量，并尽可能提高精确度．一般来说，基线越长，精确度越高．类型一测量不可到达点间的距离例1 如图，设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是55 m，∠BAC＝51°，∠ACB＝75°.求A、B两点间的距离(精确到0.1 m)．反思与感悟解决实际测量问题的过程一般要充分理解题意，正确作出图形，把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角，通过建立数学模型来求解．跟踪训练1 要测量对岸两点A、B之间的距离，选取相距 3 km的C、D两点，并测得∠ACB ＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°，则A、B之间的距离为______km.类型二测量高度例2 如图，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角α＝54°40′，在塔底C处测得A 处的俯角β＝50°1′.已知铁塔BC部分的高为27.3 m，求出山高CD(精确到1 m)．反思与感悟利用正弦、余弦定理来解决实际问题时，要从所给的实际背景中，进行加工、提炼，抓住本质，抽象出数学模型，使之转化为解三角形问题．跟踪训练2 江岸边有一炮台高30 m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和30°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距________ m.类型三航海中的测量问题例3 如图，一艘海轮从A出发，沿北偏东75°的方向航行67.5 n mile后到达海岛B，然后从B出发，沿北偏东32°的方向航行54.0 n mile后到达海岛C.如果下次航行直接从A 出发到达C，此船应该沿怎样的方向航行，需要航行多少距离？(角度精确到0.1°，距离精确到0.01 n mile)反思与感悟解决航海问题一要搞清方位角(方向角)，二要弄清不动点(三角形顶点)，然后根据条件，画出示意图，转化为解三角形问题．跟踪训练3 甲船在A点发现乙船在北偏东60°的B处，乙船以每小时a海里的速度向北行驶，已知甲船的速度是每小时3a海里，问甲船应沿着什么方向前进，才能最快与乙船相遇？1．一艘海轮从A处出发，以40 n mile/h的速度沿南偏东40°方向直线航行，30 min后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是( )A．10 2 n mile B．10 3 n mileC．20 2 n mile D．20 3 n mile2．甲、乙两楼相距20米，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两楼的高分别是________________．3．如图所示，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在A所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，求A、B两点的距离．4．为测量某塔的高度，在A，B两点进行测量的数据如图所示，求塔的高度．1．在求解三角形中，我们可以根据正弦函数的定义得到两个解，但作为有关现实生活的应用题，必须检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解．2．解三角形的应用题时，通常会遇到两种情况：(1)已知量与未知量全部集中在一个三角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之．(2)已知量与未知量涉及两个或几个三角形，这时需要选择条件足够的三角形优先研究，再逐步在其余的三角形中求出问题的解．答案精析问题导学 知识点一 思考梳理 (1)90 (2)上方 下方 知识点二思考 可以在地球上选两点，与月亮构成三角形，测量地球上两点的距离和这两点看月亮的视角，通过解三角形求得地月距离． 题型探究例1 解 根据正弦定理得AB sin C ＝ACsin B，AB ＝AC sin C sin B＝AC sin C－A －C ＝55sin 75°－51°－＝55sin 75°sin 54°≈65.7(m)．答 A 、B 两点间的距离为65.7 m. 跟踪训练1 5解析如图，在△ACD 中，∠ACD ＝120°，∠CAD ＝∠ADC ＝30°， ∴AC ＝CD ＝ 3 (km)．在△BCD 中，∠BCD ＝45°，∠BDC ＝75°，∠CBD ＝60°. ∴BC ＝3sin 75°sin 60°＝6＋22(km)．△ABC 中，由余弦定理得AB 2＝(3)2＋⎝⎛⎭⎪⎫6＋222－23×6＋22×cos 75°＝3＋2＋3－3＝5， ∴AB ＝ 5 (km)．∴A 、B 之间的距离为 5 km.例2 解 在△ABC 中，∠BCA ＝90°＋β，∠ABC ＝90°－α，∠BAC ＝α－β，∠BAD ＝α. 根据正弦定理，BCα－β＝AB＋β，所以AB ＝BC ＋βα－β＝BC cos βα－β.解Rt△ABD ，得BD ＝AB sin∠BAD ＝BC cos βsin αα－β.将测量数据代入上式，得BD ＝27.3cos 50°1′sin 54°40′－＝27.3cos 50°1′sin 54°40′sin 4°39′≈177.4(m)．CD ＝BD －BC ≈177.4－27.3≈150(m)．答 山的高度约为150 m. 跟踪训练2 30解析 设两条船所在位置分别为A 、B 两点，炮台底部所在位置为C 点， 在△ABC 中，由题意可知AC ＝30tan 30°＝303(m)，BC ＝30tan 45°＝30(m)，C ＝30°，AB 2＝(303)2＋302－2×303×30×cos 30°＝900，所以AB ＝30(m)．例3 解 在△ABC 中，∠ABC ＝180°－75°＋32°＝137°， 根据余弦定理，AC ＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos∠ABC＝67.52＋54.02－2×67.5×54.0×cos 137° ≈113.15(n mile)．根据正弦定理，BC sin∠CAB ＝ACsin∠ABC，sin∠CAB ＝BC sin∠ABC AC ＝54.0sin 137°113.15≈0.325 5， 所以∠CAB ＝19.0°，75°－∠CAB ＝56.0°.答 此船应该沿北偏东56.0°的方向航行，需要航行113.15 n mile. 跟踪训练3 解如图所示．设经过t 小时两船在C 点相遇， 则在△ABC 中，BC ＝at (海里)， AC ＝3at (海里)， B ＝90°＋30°＝120°，由BC sin∠CAB ＝ACsin B得：sin∠CAB ＝BC sin B AC ＝at ·sin 120°3at ＝323＝12，∵0°<∠CAB <90°， ∴∠CAB ＝30°.∴∠DAC ＝60°－30°＝30°.∴甲船应沿着北偏东30°的方向前进，才能最快与乙船相遇． 当堂训练1．A 2.203米、4033米3．解 由题意知∠ABC ＝30°， 由正弦定理AC sin∠ABC ＝ABsin∠ACB，故AB ＝AC ·sin∠ACBsin∠ABC＝50×2212＝502(m)． 4．解 在△ABT 中，∠ATB ＝21.4°－18.6°＝2.8°， ∠ABT ＝90°＋18.6°，AB ＝15(m)． 根据正弦定理，15sin 2.8°＝ATcos 18.6°，AT ＝15×cos 18.6°sin 2.8°.塔的高度为AT ×sin 21.4°＝15×cos 18.6°sin 2.8°×sin 21.4°≈106.19(m)．。

第5课时解三角形的实际应用1.掌握仰角、俯角、方向角、方位角等的含义.2.学会用正弦定理、余弦定理解决距离、高度、角度等的问题.3.学会解三角形应用题的一般步骤.中国的“海洋国土”面积约300万平方公里,海洋权益在国家利益中的地位更加凸显.近几年,我国海军先后参加了为打击海盗进行的亚丁湾护航,并开始走出近海,深入远海进行演习,实力在不断增强,为护卫我们的“蓝色国土”提供了坚实的保障.2005年7月11日,是中国伟大航海家郑和下西洋600周年纪念日.2005年4月25日,经国务院批准,将每年的7月11日确立为中国“航海日”,作为国家的重要节日固定下来,海洋强国正成为13亿华夏儿女的共同梦想.问题1:海军在海上航行时,定位船只或者自身位置的手段已经非常先进.在较早时期,人们在海上航行时,定位船只的方法通常是根据方位角、方向角和距离来进行的.那么何为方位角、方向角呢?方位角:;方向角:.此外,在测量以及确定方位时,我们能接触到的还有俯角:和仰角:,这些是测量中的常用的名词,在我们的学习中也会经常出现.问题2:正弦定理与余弦定理的常见变形有哪些?(1)a∶b∶c=;(2)R为△ABC外接圆的半径,则sin A= ,sin B= ,sin C= ;(3)余弦定理的推论可以用式子表示为cos A=,cos B= ,cos C= .问题3:在解三角形应用问题时,一般在处理问题时要分几个步骤?分如下四个步骤:(1):理解题意,分清已知与未知,画出示意图.(2):根据已知条件与求解目标,将实际问题转化为抽象的数学问题.(3):利用正弦定理、余弦定理有序地解三角形,求得数学模型的解.(4):检验上述所求的解是否具有实际意义,从而得出实际问题的解.问题4:解斜三角形应用题的步骤是怎么样的?应用正弦定理、余弦定理解三角形应用问题,一般是根据题意,从实际问题中抽象出,通过解这些三角形,从而使实际问题得到解决.解题时应认真审题,未给图形的,可以先画出示意图,要理解好应用题中有关的名词、术语,如、、、等,要注意解的实际意义以及题目中给出的精确度.1.若P在Q的北偏东44°50',则Q在P的().A.东偏北45°10'B.东偏北45°50'C.南偏西44°50'D.南偏西45°50'2.一船向正北航行,看见正西方向相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上,继续航行半小时后,看见一灯塔在船的南偏西60°,另一灯塔在船的南偏西75°,则这艘船的航行速度是每小时().A.5海里B.5海里C.10海里D.10海里3.在直径为30 m的圆形广场中央上空,设置一个照明光源,射向地面的光呈圆形,且其轴截面顶角为120°,若要光源恰好照到整个广场,则光源的高度为m.4.在同一平面内,在A处测得B点的仰角是50°,且到A的距离为2,C点的俯角为70°,且到A的距离为3,求B、C间的距离.利用正、余弦定理求解距离问题如图所示,隔河看两目标A,B,但不能到达,在岸边选取相距千米的C,D两点,并测得∠ACB=75°,∠BCD=45°,∠ADC=30°,∠ADB=45°(A,B,C,D在同一平面内),求两目标A,B之间的距离.利用正、余弦定理求解高度问题如图,山脚下有一小塔AB,在塔底B测得山顶C的仰角为60°,在山顶C测得塔顶A的俯角为45°,已知塔高AB=20 m,求山高CD.利用正、余弦定理求解角度问题在一次海上联合作战演习中,红方一艘侦察艇发现在北偏东45°方向,相距12 n mile 的水面上,有蓝方一艘小艇正以每小时10 n mile的速度沿南偏东75°方向前进,若侦察艇以每小时14 n mile的速度,沿北偏东45°+α方向拦截蓝方的小艇.若要在最短的时间内拦截住,求红方侦察艇所需的时间和角α的正弦值.某观测站C在目标A的南偏西25°方向,从A出发有一条南偏东35°走向的公路,在C 处测得与C相距31 km的公路上的B处有一人正沿此公路向A走去,走了20 km后到达D处,此时测得CD距离为21 km,求此人在D处距A的距离.如图所示,测量河对岸的塔高AB时,可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D,现测得∠BC D=α,∠BDC=β,CD=s,并在点C测得塔顶A的仰角为θ,求塔高AB.如图所示,位于A处的信息中心获悉:在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险,在原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C处的乙船,现乙船朝北偏东θ的方向即沿直线CB前往B处救援,求cos θ.1.从A处望B处的仰角为α,从B处望A处的俯角为β,则α、β的关系为().A.α>βB.α=βC.α+β=90°D.α+β=180°2.如图所示,已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km,灯塔A在观察站C的北偏东20°,灯塔B在观察站C的南偏东40°,则灯塔A与灯塔B的距离为().A.a kmB.a kmC.a kmD.2a km3.海上有A,B,C三个小岛,测得A,B两岛相距10 n mile,∠BAC=60°,∠ABC=75°,则B,C间的距离是n mile.4.如图,为测一树的高度,在地面上选取A、B两点,从A、B两点分别测得树尖的仰角为30°、45°,且A、B两点之间的距离为60 m,求树的高度h.(2013年·江苏卷)如图,游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径.一种是从A沿直线步行到C,另一种是先从A沿索道乘缆车到B,然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山,甲沿AC匀速步行,速度为50 m/min.在甲出发2 min 后,乙从A乘缆车到B,在B处停留1 min后,再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min,山路AC长为1260 m,经测量,cos A=,cos C=.(1)求索道AB的长;(2)问乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短?考题变式(我来改编):第5课时解三角形的实际应用知识体系梳理问题1:从正北方向顺时针到目标方向线的水平角从指定方向线到目标方向线的水平角在同一铅垂面内,视线在水平线下方时与水平线所成的角在同一铅垂面内,视线在水平线上方时与水平线所成的角问题2:(1)sin A∶sin B∶sin C (2)(3)问题3:(1)分析(2)建模(3)求解(4)检验问题4:一个或几个三角形坡角仰角俯角方位角基础学习交流1.C根据P在Q的北偏东44°50',可以判断Q在P的南偏西44°50',故选C.2.C如图所示,依题意有∠BAC=60°,∠BAD=75°,所以∠CAD=∠CDA=15°,从而CD=CA=10(海里),在Rt△ABC中,得AB=5(海里),于是这艘船的航行速度是=10(海里/小时).3.5轴截面如图,则光源高度h==5(m).4.解:根据题意得:∠BAC=120°,AB=2,AC=3,∴BC2=AB2+AC2-2AB·AC cos∠BAC=4+9-2×2×3×cos 120°=19,∴BC=.重点难点探究探究一:【解析】在△ACD中,∠ADC=30°,∠ACD=120°,∴∠CAD=30°,∴AC=CD=.在△BDC中,∵∠CBD=180°-45°-(45°+30°)=60°,由正弦定理,可得BC==2sin(30°+45°)=2sin 30°cos 45°+2cos 30°sin 45°=.在△ACB中,由余弦定理,可得AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos∠BCA,∴AB2=()2+()2-2×××cos 75°=5+-(3+)(cos 30°cos 45°-sin 30°sin 45°)=5,∴AB=.故两目标A,B间的距离为千米.【小结】(1)求解三角形中的基本元素,应由确定三角形的条件个数,组织一系列三角形求解,即“三角形链”方法.(2)本题是测量两个都不能到达的两点间的距离,它是测量学中应用非常广泛的“三角网”测量方法的原理,其中AB可视为基线.(3)计算方法:sin 75°=sin(45°+30°)=sin 45°cos 30°+cos 45°sin 30°=.同理cos 75°=.熟记后可直接应用.探究二:【解析】如图,过点C作CE∥DB,延长BA交CE于点E,设CD=x m,则AE=(x-20)m,∵tan 60°=,∴BD===x(m).在△AEC中,x-20=x,解得x=10(3+) m.故山高CD为10(3+) m.【小结】(1)测量高度时,要准确理解仰、俯角的概念;(2)分清已知和待求,分析(画出)示意图,明确在哪个三角形内应用正、余弦定理.探究三:【解析】如图,设红方侦察艇经过x小时后在C处追上蓝方的小艇,则AC=14x,BC=10x,∠ABC=120°.根据余弦定理得(14x)2=122+(10x)2-240x cos 120°,解得x=2.故AC=28,BC=20.根据正弦定理得=,解得sin α==.所以红方侦察艇所需要的时间为2小时,角α的正弦值为.【小结】(1)测量角度,首先应明确方向角的含义.(2)在解应用题时,理清已知与所求,再根据题意正确画出示意图,通过这一步可将实际问题转化为可用数学方法解决的问题,在解题过程中也要注意体会正、余弦定理综合使用的特点.思维拓展应用应用一:如图,∠CAD=25°+35°=60°.在△BCD中,由余弦定理,得cos B===.故sin B=.在△ABC中,由正弦定理,得AC===24.由余弦定理,得BC2=AC2+AB2-2AC·AB cos A,即312=AB2+242-2×AB×24cos 60°,∴AB2-24AB-385=0,解得AB=35或AB=-11(舍去),∴AD=AB-BD=15(km).故此人在D处距A还有15 km.应用二:在△BCD中,∠CBD=π-α-β,由正弦定理得=,所以BC==.在Rt△ABC中,AB=BC tan∠ACB=.应用三:如图所示,在△ABC中,AB=40,AC=20,∠BAC=120°,由余弦定理,得BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos 120°=2800,所以BC=20.由正弦定理,得sin∠ACB=·sin∠BAC=.由∠BAC=120°,知∠ACB为锐角,故cos∠ACB=.故cos θ=cos(∠ACB+30°)=cos∠ACB cos 30°-sin∠ACB sin 30°=×-×=.或由cos θ=sin B及正弦定理有sin B=·sin 120°=×=.基础智能检测1.B根据仰角与俯角的定义可知α=β.2.B由题意知∠ACB=120°,AC=BC=a.在△ABC中,由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2AC·BC cos 120°=2a2-2a2×(-)=3a2,∴AB= a.3.5在△ABC中,由正弦定理可得=,即BC===5.4.解:由正弦定理得:=,∴PB=,∴h=PB sin 45°=(30+30)m.全新视角拓展(1)在△ABC中,因为cos A=,cos C=,所以sin A=,sin C=.从而sin B=sin[π-(A+C)]=sin(A+C)=sin A cos C+cos A sin C=×+×=.由正弦定理=,得AB=×sin C=×=1040(m).所以索道AB的长为1040 m.(2)假设乙出发t分钟后,甲、乙两游客距离为d,此时,甲行走了(100+50t)m,乙距离A 处130t m,所以由余弦定理得d2=(100+50t)2+(130t)2-2×130t×(100+50t)×=200×(37t2-70t+50)=200[37×(t-)2+ ],因0≤t≤,即0≤t≤8,故当t=(min)时,甲、乙两游客距离最短.。

1.3.3解三角形应用举例(第三课时)教学目标:（a ）知识与技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关计算角度的实际问题（b ）过程与方法：本节课是在学习了相关内容后的第三节课，学生已经对解法有了基本的了解，这节课应通过综合训练强化学生的相应能力。

除了安排课本上的例1，还针对性地选择了既具典型性有具启发性的2道例题，强调知识的传授更重能力的渗透。

课堂中要充分体现学生的主体地位，重过程，重讨论，教师通过导疑、导思让学生有效、积极、主动地参与到探究问题的过程中来，逐步让学生自主发现规律，举一反三。

（c ）情感与价值：培养学生提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力，并在教学过程中激发学生的探索精神教学重点：能根据正弦定理、余弦定理的特点找到已知条件和所求角的关系 教学难点：灵活运用正弦定理和余弦定理解关于角度的问题学法:能否灵活求解问题的关键是正弦定理和余弦定理的选用，有些题目只选用其一，或两者混用，这当中有很大的灵活性，需要对原来所学知识进行深入的整理、加工，鼓励一题多解，训练发散思维。

借助计算机等媒体工具来进行演示，利用动态效果，能使学生更好地明辨是非、掌握方法。

教学设想: 1、 设置情境提问：前面我们学习了如何测量距离和高度，这些实际上都可转化已知三角形的一些边和角求其余边的问题。

然而在实际的航海生活中,人们又会遇到新的问题，在浩瀚无垠的海面上如何确保轮船不迷失方向，保持一定的航速和航向呢？今天我们接着探讨这方面的测量问题。

2、 新课讲授例1、如图，一艘海轮从A 出发，沿北偏东75︒的方向航行67.5 n mile 后到达海岛B,然后从B 出发,沿北偏东32︒的方向航行54.0 n mile 后达到海岛C.如果下次航行直接从A 出发到达C,此船应该沿怎样的方向航行,需要航行多少距离?(角度精确到0.1︒,距离精确到0.01n mile)学生看图思考讲述解题思路；教师根据学生回答归纳分析：首先根据三角形的内角和定理求出AC 边所对的角∠ABC ，即可用余弦定理算出AC 边，再根据正弦定理算出AC 边和AB 边的夹角∠CAB 。